Tema 3: Valoración financiera de conjuntos de capitales

Tema 3: Valoración financiera de conjuntos de capitales1
1. Valor financiero de un conjunto de capitales
Se denomina valor financiero de un conjunto de capitales en un momento tτ , a su suma
financiera en dicho punto.
Así, dado un conjunto de capitales (C1 , t1 ), (C 2 , t 2 ),...., (C n , t n )  , y una ley financiera


de capitalización compuesta L(t; tn) = (1+i)n, con i constante, su valor financiero en un
punto cualquiera tτ∈[t0, tn] vendrá dado por:
n
Vτ = ∑ Cs ⋅ (1 + i)( tτ − t s )
s =1
[1.]
Se va a plantear la obtención de los denominados valor final y valor inicial o actual.
Así, el valor final:
n
n
s=1
s=1
Vn = ∑ Cs u( t s , t n ) = ∑ Cs (1 + i) t n − ts
[2.]
y valor actual o inicial:
n
n
s=1
s=1
V0 = ∑ Cs u * ( t 0 , t s ) = ∑ Cs (1 + i) −( ts −t 0 )
[3.]
Por la equivalencia financiera, se verifica que:
V0 = Vn u * ( t 0 , t n ) = Vn (1 + i) − ( t n −t0 )
y Vn = V0 u ( t 0 , t n ) = V0 (1 + i) t n −t0
[4.]
2. Rentas2. Valor financiero de una renta.
Se denomina renta a todo conjunto de capitales asociado a una partición del espacio
temporal (división del tiempo en intervalos), es decir cada uno de los capitales se asocia
a un intervalo de tiempo. Cada uno de los capitales que constituyen la renta recibe la
denominación de término y cada uno de los intervalos a los que se asocian recibe la
denominación de período.
Origen de una renta: Coincide con el inicio del primer período de la renta.
Final de una renta: Coincide con el final del último período.
Las rentas pueden clasificarse de acuerdo con diferentes criterios.
1) Según el momento en que vencen los términos en cada período:
• Rentas pospagables: Todos los términos vencen al final del correspondiente período.
El origen de estas rentas es un período antes del vencimiento del primer término y el
final coincide con el vencimiento del último término.
• Rentas prepagables: Todos los términos vencen en el inicio del correspondiente
período. El origen de la renta coincide con el vencimiento del primer término,
mientras que el final de la renta es un período después del vencimiento del último
término.
1
Este tema 3 se desarrolla exclusivamente en capitalización compuesta.
En esta asignatura de Matemática Financiera se trabaja en ambiente de certeza, por lo que sólo se tratan
las rentas ciertas.
2
1
2) Según que la duración de la renta sea finita o infinita:
• Rentas temporales.
• Rentas perpetuas.
3) Según la cuantía de los términos que la componen
• Rentas constantes.
• Rentas variables.
Dentro de las rentas constantes, se encuentran las rentas unitarias, que son aquéllas en
las que todos los términos tienen de cuantía la unidad.
Las rentas variables reciben diversas denominaciones dependiendo de la ley de
variabilidad de los términos: variables en progresión geométrica, aritmética, etc.
4) Según la amplitud de los periodos:
• Rentas discretas: con periodos de amplitud finita.
• Rentas periódicas: períodos de idéntica amplitud.
• Rentas continuas: periodos infinitesimales.
Para obtener el valor financiero de una renta bastará con sumar financieramente los
términos que la componen.
Ejemplo 1
Obténgase el valor final y el actual o inicial de la siguiente renta anual, pospagable de
términos (12.000; 1), (20.000; 2), (16.500; 3), (1.200; 4), si se valora en capitalización
compuesta con un tipo de interés efectivo anual del 2,75%, para los dos primeros años y
del 3% para el resto.
No obstante, dado que en muchas ocasiones los términos de la renta son constantes, o
con una ley de variabilidad conocida, y el tipo de interés de la ley de capitalización
compuesta con que se valoran es también constante, se pueden obtener para estos casos
unas expresiones específicas de la suma financiera que facilitan el cálculo.
Obtendremos a continuación las utilizadas con mayor frecuencia.
3. Valoración de rentas constantes.3
3.1 Renta constante, pospagable y temporal
La renta unitaria pospagable y temporal definida por el siguiente conjunto de capitales
(1, t ), (1, t ),L, (1, t )  y valorada con una ley de capitalización compuesta con un tipo
 1
2
n 


de interés efectivo periodal i, tendrá la siguiente representación gráfica:
1
t0
t1
1
....
1
1
t2
.....
tn-1
tn
3
La valoración se verá sólo en capitalización compuesta con tipo de interés constante, además de para el
caso de rentas periódicas, es decir, para periodos de la misma duración, por lo que se va a suponer que
como ∆t=1, los vencimientos de los términos son t0, t1=t0+1, t2=t1+1, …, tn=tn-1+1.
2
Su valor financiero en t0, valor inicial o actual, representado por
a
a
n| i
con n ∈ N será:
n
n| i
= (1 + i) −1 + (1 + i) −2 + ... + (1 + i) −n = ∑ (1 + i) −s
s=1
[5.]
y dado que se trata de la suma de los términos de una progresión geométrica de primer
término a1 = (1 + i) −1 , último an = (1 + i) − n , y razón r = (1 + i) −1 , se puede escribir:
a
n| i
=
a1 − an r (1 + i) −1 − (1 + i) − n (1 + i) −1 1 − (1 + i) − n
=
=
1− r
1 − (1 + i) −1
i
[6.]
De igual forma, su valor financiero en tn, valor final, representado por S n | i es:
n −1
S n | i = 1 + (1 + i) + (1 + i) 2 + ... + (1 + i) n −1 = ∑ (1 + i) s
s =0
[7.]
y como nuevamente se trata de una suma de téminos variables en progresión
geométrica, esta vez creciente, se puede escribir:
Sn | i =
(1 + i) n − 1
i
[8.]
Obsérvese que se verifica:
S n | i = (1 + i) n ⋅ a n | i
por ser (1+i)n el factor de capitalización del intervalo [t0 ,tn].
Cuando en lugar de una renta de cuantía unitaria se trate de una renta con términos de
cuantía constante C, tal como la representada en el esquema:
t0
C
C
....
t1
t2
.....
C
C
tn-1
tn
Sus valores inicial y final serán respectivamente:


V0 = C(1 + i) −1 + C(1 + i) −2 + L + C(1 + i) − n = C (1 + i) −1 + (1 + i) −2 + L + (1 + i) − n  = C ⋅ a n | i


[9.]


Vn = C + C(1 + i) + C(1 + i) 2 + L + C(1 + i) n −1 = C 1 + (1 + i) + (1 + i) 2 + L + (1 + i) n −1  = C ⋅ S n | i


[10.]
verificándose igualmente la relación:
Vn = V0 ⋅ (1 + i) n
o la recíproca:
V0 = Vn ⋅ (1 + i) − n
[11.]
3
Puede obtenerse el valor financiero de la renta en un momento intermedio, o incluso
antes de su inicio o después de su final, teniendo en cuenta en cada caso la ley
financiera que se aplica en cada período.
Ejemplo 2:
Dada una renta pospagable de 5 años de duración y término anual constante de 12.000€,
con origen el 15/02/03 y final el 15/02/08, si se valora en capitalización compuesta a un
tipo de interés efectivo anual del 3,75%, obténgase su valor en los siguientes puntos:
a) t0=15/02/03
b) tn=15/02/08
c) tτ= 15/02/06
d) tτ’=15/05/10
e) tτ’’ =15/01/00
•
El valor actual de una renta es una función inversa del tipo de interés, si aumenta
el tipo de interés disminuye el valor actual de la renta, por el contrario si
disminuye el tipo de interés aumenta el valor actual de la renta.
•
El valor final de una renta es una función directa del tipo de interés, si aumenta
el tipo de interés aumenta el valor final de la renta, por el contrario si disminuye
el tipo de interés disminuye el valor final de la renta.
•
El valor actual y final de una renta es una función directa del número de
términos, n, si aumenta n aumentan el valor actual y el final de la renta, si
disminuye el número de términos disminuye el valor actual y el final de la renta.
Representación gráfica.
Ejemplo 3: Dada una renta pospagable de términos mensuales de 1.000€, obténgase:
a) Su valor inicial y final para tres valores distintos del tipo de interés de valoración
anual: 3%, 4% y 8%. La duración de la renta es 3 años.
b) Su valor inicial y final para tres duraciones distintas de la renta: 1, 5, y 10 años. El
tipo de interés de valoración es el 3% anual.
3.2 Renta constante, pospagable y perpetua.
El valor inicial de la renta unitaria pospagable y perpetua se obtendrá como el límite del
valor actual de la correspondiente renta temporal cuando n → ∞ . Así,
a
∞| i
1 − (1 + i) − n 1
=
n →∞
i
i
= lim a n | i = lim
n →∞
[12.]
Y en el caso de la renta perpetua con términos de cuantía constante C será:
V0 = C ⋅ a ∞ | i =
C
i
[13.]
4
El cálculo de los valores finales en las rentas perpetuas carece de sentido financiero por
ser infinito.
Ejemplo 4: Obténgase el valor actual de una renta perpetua de términos anuales de
3.000€ y valorada al 2,75% anual.
4. Valoración de rentas variables.
4.1 Renta de términos variables en progresión geométrica, pospagable y temporal.
Sea la renta de términos (C, t1 ), (C ⋅ q, t 2 ), (C ⋅ q 2 , t 3 ),L, (C ⋅ q n −1 , t n )
representada por el siguiente esquema.
t0
C
C·q
t1
t2
C·q2 ....................................
t3
....................................
con q > 0 y
C·qn-2
tn-1
C·qn-1
tn
Su valor actual, con tipo de interés constante i, es:
V0 = A(C, q ) n | i = C(1 + i) −1 + C ⋅ q(1 + i) −2 + L + C ⋅ q n −1 (1 + i) − n =
=C
[14.]
1 − q n (1 + i) −n
1+ i − q
En el caso particular de que q = (1 + i) esta expresión nos conduce a una
indeterminación, por lo que deberá obtenerse directamente el valor actual de la renta:
A(C,1 + i) n | i = C(1 + i) −1 + C(1 + i)(1 + i) −2 + L + C(1 + i) n −1 (1 + i) n = C (1 + i) −1 ⋅ n
[15.]
El valor final de la renta en el caso general es:
Vn = S(C, q ) n | i = C ⋅ q n −1 + C ⋅ q n −2 (1 + i) + L + C(1 + i) n −1 = C
(1 + i) n − q n
,
1+ i − q
[16.]
verificándose obviamente la relación:
S(C, q ) n | i = A(C, q ) n | i ⋅ (1 + i) n
[17.]
En el caso particular de q = (1 + i ) , el valor final tendrá la siguiente expresión:
S(C, q ) n | i = C(1 + i) n −1 ⋅ n
[18.]
Ejemplo 5
5
Obténgase el valor inicial (actual) y el final de una renta anual, pospagable, de 15 años
de duración, y términos crecientes en progresión geométrica un 2% anual, si se valora
en capitalización compuesta con un tipo de interés del 5% efectivo anual y el primer
término tiene una cuantía de 1000€.
5. Valoración de rentas fraccionadas.
Renta pospagable con fraccionamiento aritmético uniforme.
El fraccionamiento aritmético de una renta consiste en dividir cada una de las cuantías
de sus términos en “m” subcuantías, tales que su suma aritmética sea la cuantía inicial y
descomponer cada período en “m” subperíodos, asociando cada subcuantía a cada uno
de los subperíodos.
El fraccionamiento aritmético de frecuencia “m” en una renta de “n” términos la
transforma en otra de “n x m” términos, siendo la suma aritmética de las cuantías
iguales en ambas, pero no así su valor financiero.
Cuando el fraccionamiento, tanto de cuantías como de períodos se hace en partes
iguales se denomina uniforme. En este caso las m subcuantías serán iguales entre sí e
C
1
iguales a s , resultando m subperiodos de la misma amplitud
y la representación
m
m
gráfica:
Cs/m
ts-1
t s−1 +
1
m
Cs/m ........................ Cs/m
Cs/m
2
( m − 1)
....... t s−1 +
m
m
ts
t s−1 +
El valor financiero en ts de todos los términos del período en base a una ley de
capitalización compuesta con un tipo de interés efectivo i correspondiente al período
será:
1
m −1 

1
2
( m −1) 
m
m 

Cs 
C
1
−
(
1
+
i
)
(
1
+
i
)
1 + (1 + i) m + (1 + i) m + L + (1 + i) m  = s 
C′s =
=
1
m
 m



1 − (1 + i) m

 [19.]
=
Cs (1 + i) − 1
i
i
= Cs
= Cs
1
( m)
m
m⋅i
j( m)
(1 + i) m − 1
De otra forma:
1
2
( m −1) 
Cs 
C
C  (1 + i ( m ) ) m − 1
m
m
1 + (1 + i) + (1 + i) + L + (1 + i) m  = s s m| i( m ) = S 
=
C′s =
m
m
i( m)
 m
 [20.]



C (1 + i) − 1
i
i
= s
= Cs
= Cs
(m)
(m)
m i
m⋅i
j( m)
6
La renta fraccionada es, por tanto, financieramente equivalente a otra renta sin
fraccionar de términos:


C i , t 
[21.]
 s j( m) s 


El fraccionamiento uniforme en rentas pospagables de periodo unitario valoradas en
capitalización compuesta equivale a multiplicar las cuantías de sus términos por el
i
coeficiente común
.
j( m)
Resultando sus valores inicial y final:
n
V0( m ) = ∑ Cs
s =1
n
Vn( m ) = ∑ Cs
s =1
i
i
(1 + i) − s = V0
j( m)
j( m)
[22.]
i
i
(1 + i) n − s = Vn
j( m)
j( m)
[23.]
i
juega el papel de operador de transformación de
j( m)
la renta sin fraccionar en la correspondiente renta fraccionada, y se le denomina
coeficiente de corrección por fraccionamiento.
En consecuencia, el coeficiente
En la práctica, y siempre que se trate de rentas de cuantía constante C, resulta más
sencillo obtener el valor de la renta fraccionada sumando financieramente sus términos,
C
, y utilizando el correspondiente rédito subperiodal, i(m). Así:
m
i
a n | i = C a n×m | i ( m)
Valor inicial: V0( m ) = C a (nm| i) = C
[24.]
j(m)
m
Valor final: Vn( m ) = C S(nm| i) = C
i
sn | i = C Sn × m | i ( m )
j(m)
m
[25.]
Ejemplo 6
Obténgase el valor actual de las siguientes rentas sabiendo que se valoran en
capitalización compuesta con un tipo de interés efectivo anual del 4%.
a) Una renta de términos mensuales constantes de 900€ de cuantía y 5 años de
duración.
b) Una renta de términos mensuales, pospagables, constantes durante el año y
crecientes cada año un 1,5% acumulativo y 10 años de duración. La cuantía del
primer término es de 500 €.
7
CUESTIONES TEÓRICAS TEMA 3
1.- Sea la renta de términos (C ; t1 ) (C ⋅ q; t 2 ) (C ⋅ q 2 ; t 3 ) L (C ⋅ q n −1 ; t n )
representada por el siguiente esquema.
t0
C
C.q
C.q2
t1
t2
t3
........................
..........................
con q > 0 y
C.qn-2
C.qn-1
tn-1
tn
Obtenga razonadamente una expresión para calcular el valor en t0 si q=1+i.
2.- Sea la renta de términos (C ; t1 ) (C ⋅ q; t 2 ) (C ⋅ q 2 ; t 3 ) L (C ⋅ q n −1 ; t n )
representada por el siguiente esquema.
t0
con q > 0 y
C
C.q
C.q2
........................
C.qn-2
t1
t2
t3
........................
tn-1
C.qn-1
tn
Obtenga razonadamente una expresión para calcular el valor en t0 si q ≠1+i
3.- Demuestre razonadamente que:
C ∂ (nmi ) =
C
∂ n×m i ( m )
m
4.- Razone si es verdadera o falsa la siguiente proposición: “El fraccionamiento
aritmético uniforme de una renta siempre incrementa el valor de la misma”.
5.- Dado el siguiente esquema
1
1
1
t0
t1
t2
........................
t3
........................
1
tn-1
tn
Obtenga razonadamente el valor financiero en t0 de la renta anterior.
8
6.- Razone si es verdadera o falsa la siguiente ecuación:
( m)
A
=
( C ;q ) n i
A
C
( ;
m
q
(m)
)n * m i
(m)
7.- ¿Cuál es el esquema temporal y la expresión analítica que corresponde a la siguiente
expresión?
(m)
A
( C ;q ) n i
8.- ¿Cuál es el esquema temporal y la expresión analítica que corresponde a la siguiente
expresión?
A
C
( ;
m
(m)
q
)n * m i
(m)
9.- ¿Existe alguna relación entre las rentas fraccionadas pospagables y las rentas
fraccionadas prepagables?
10.- Obtenga razonadamente el valor financiero en t0 de la renta siguiente.
1
1
1
t0
t1
t2
........................
t3
........................
∞
11.- Si en una renta constante temporal el tipo de interés se incrementa ¿Qué ocurre con
el valor final de la renta? ¿Y con el valor actual?
9