capitulo 1

Unidad I, NÚMEROS NATURALES Y
ENTEROS
A continuación se enuncian las claves de cada pregunta hechas por mı́ (César Ortiz). Con esto, asumo
cualquier responsabilidad, entiéndase por si alguna solución está errada. Si llegase a pasar esto pido
por favor que me lo comuniquen a la brevedad al correo: [email protected]. A continuación de las
claves está cada pregunta detallada, si tiene alguna duda DÍGAMELO.
1. E
2. B
3. B
4. E
5. B
6. D
7. B
8. C
9. D
10. B
11. B
12. B
13. C
14. A
15. B
16. A
17. A
18. D
19. A
20. A
21. C
22. D
23. A
24. A
25. E
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
1
A
E
D
B
D
A
C
B
C
A
C
B
C
B
C
A
C
D
E
A
B
D
A
E
C
1.
−3 + (−307) = −3 − 307
= −310
2.
( 1 + 5 ) − 32 + 8 : 2 · 2 = 6 − 9 + 4 · 2
=6 − 9 + 8
=5
recordar que en 8 : 2 · 2, se opera de izquierda a derecha, es decir,
8 : 2 · 2 = (8 : 2) · 2 = 4 · 2 = 8
3.
−7 + (−20 : 4) = −7 + (−5)
= −12
4.
6 + (−10) · 2 − (−3) + (−5) · (−1) − (−2)2 =6 + (−20) + 3 + 5 − 4
=14 − 24
= − 10
5.
(−3) − (−5) = −3 + 5
=2
6.
2 · (−2) + (5) · −4 + 3 = (2 · (−2)) + ((5) · −4) + 3
= (−4) + (−20) + 3
= −24 + 3
= −21
7. Antes de ver cuales de las expresiones son siempre positivas debemos notar que m2 es siempre
positivo, por lo tanto, si m2 · n es negativo n necesariamente es negativo. Con esto en mente:
I) m2 · n es negativo, lo dice la hipótesis. Por lo tanto, no es siempre positivo
II) m2 − n es siempre positivo. m2 es positivo y de la hipótesis n es negativo, por lo tanto, −n
es positivo y la suma de positivos (m2 + (−n)) es positivo.
III) m2 + n no es siempre positivo. Tomemos m = 1 y n = −4 (recordad que n es siempre
negativo).
8. Notemos que el sucesor de n es n + 1 y el sucesor de n + 1 es (n + 1) + 1 = n + 2, por lo tanto,
el sucesor del sucesor de n es n + 2.
2
9. Si la diferencia de dos números es 2n entonces los números los podemos tomar como: 5n y 3n.
Sea 3n el menor de estos dos números, si le sumamos n a este se tendrá: 3n + n = 4n. Luego a
5n se le tendrá que restar n para que sea igual a 4n.
10. Sean 2n, 2n + 2, 2n + 4 un trı́o cualquiera de pares consecutivos, con 2n el menor de ellos y
2n + 4 el mayor. Luego la diferencia entre el mayor y el menor de ellos será:
(2n + 4) − (2n) = 4. (fijémonos que no fue necesario usar que su suma es 72).
11. Sean 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5 tres números impares consecutivos cualesquiera. Si su suma es 117
entonces:
(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) =117
2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 =117
6n + 9 =117
6n =117 − 9
6n =108
n =108 : 6
n =18
como n = 18 entonces el menor de los tres impares es
2n + 1 = 2 · (18) + 1 = 36 + 1 = 37
12. Ver que 18 = 2 · 3 · 3 por lo tanto, los factores primos de 18 son 2 y 3.
13. Ver que de las alternativas sólo 0 y 2 cumplen con la relación (m · m = m + m), pero el cero no
es natural.
14. (Rcdo: un número entero es primo si es distinto de 1 y es divisible sólo por 1 y por si mismo)
Notar que:
I) 2 · 5 + 5 + 2 = 17 un número primo.
II) 3 · 5 + 5 + 2 = 22 número divisible por 2, por lo tanto, no primo.
III) 4 · 45 + 5 + 2 = 187 número divisible por 11, por lo tanto, no primo.
15. Si b es múltiplo de a entonces b = an, para algún n entero. Luego el mı́nimo común múltiplo
entre a y b equivale a encontrar el mcm( a, an) = an = b.
16. Por definición del algoritmo de la división (página 10). p es divisible por q si y sólo si q es divisor
de p si y sólo si p = n · q.
17. Si 64 es divisor de n, por el ejercicio anterior se tiene n = 64 · p, para algún p entero. Luego
n = 16 · 4 · p = 16 · (4 · p)
Y la última igualdad quiere decir que 16 es un divisor de n (Nuevamente por el ejercicio anterior).
18. Notar que los divisores de 3 son: {1, 3}. Liego la suma de los divisores de 3 es:
x = 1 + 3 = 4.
Los divisores de doce son: {1, 2, 3, 4, 6, 12} y su suma es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28. Ahora,
dado que 28 = 7 · 4 = 7 · x
3
19. Sea A = {n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5}. La suma de estos seis enteros consecutivos es
6 · n + 15 = −87 resolviendo la ecuación para n obtenemos que n = −17 y ahora podemos tener
los números consecutivos, estos serán A = {−17, −16, −15, −14, −13, −12} de los cuales −11
no pertenece al conjunto (−11 ∈
/ A).
20. Sean 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5 tres impares consecutivos, su suma es: 6n + 9 = 3 · (2n + 3), por
lo tanto, por el ejercicio 16. 6n + 9 es divisible por 3, es decir, la suma de los tres impares
consecutivos es siempre divisible por 3.
21. Sean 6n y (6n + 6) dos múltiplos consecutivos de 6, su suma es: 12n + 6 = 222 resolviendo esta
ecuación para n se tiene n = 18 por lo tanto el múltiplo mayor es 6 · (18) + 6 = 114 y luego el
sucesor de 114 es 114 + 1 = 115.
22. Recordar que un número RACIONAL es un cuadrado perfecto si puede expresarse como el cuadrado
de un número RACIONAL. Es decir, si x es un cuadrado perfecto, entonces x = y2 , donde x e y
son números racionales. Ejemplo de cuadrados perfectos:
4 = 22
25 =52
0, 36 =(0, 6)2
2
1
1
=
81
9
Notar que 5 no es un cuadrado perfecto pues no puede expresar como el cuadrado de ningún
número RACIONAL.
Luego en el problema se tiene que 0, 10 no es un cuadrado perfecto.
23. Dado que los tres primeros números naturales son: 1, 2 y 3, entonces su suma es 1 + 2 + 3 = 6.
24. Sean 2 · n + 1 y 2 · p + 1, con n y p enteros, dos números impares. Su suma es 2 · n + 2 · p + 2 =
2 · (n + p + 1) y por lo visto en el ejercicio 16 se tiene que la suma de dos impares siempre es
divisible por 2.
25. Recordar que:
par + par = par
par + impar = impar
impar + impar = par
par · par = par
par · impar = par
impar · impar =impar
Con esto en mente, si a es par y b impar entonces:
I) 2a + b + 1 = ( par · par ) + impar + impar = par + impar + impar = par
II) a + b + 1 = par + impar + impar = par
III) a + 2b = par + ( par · impar ) = par + par = par
4
26. Sean 2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6, 2n + 8 cinco pares consecutivos cualesquiera, si su suma es cero
entonces:
2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) + (2n + 8) = 0
si resolvemos la ecuación para n se obtiene que n = −2. Luego el menor de ellos es 2n =
2 · (−2) = −4 y el cuadrado de este es 16.
27. El sucesor de 3 · (n − 5) es: 3 · (n − 5) + 1 = 3 · n − 3 · (−5) + 1 = 3n − 15 + 1 = 3n − 14.
28. Notar que si n − 1 es un número par, entonces su sucesor (n − 1) + 1 = n es un número impar,
con esto podemos ver que:
I) n + 2 = impar + par = impar
II) 3n + 1 = impar · impar + impar = par
III) 2n + 1 = par · impar + impar = impar
29. Notar que los múltiplos de 3 son de la forma 3n y los múltiplos de 6 son de la forma 6m, donde
n y m son números naturales cualquiera. Luego podemos ver que los múltiplos de 3 son pares
e impares, sin embargo los múltiplos de 6 son siempre pares (si no lo ve PREGUNTEMELO) de
esta forma:
I) a + b = a + par, que no es siempre un número impar, pues a que es un múltiplo de 3 puede
ser par. (Tomar a = 6 y b = 6 como contraejemplo).
II) a · b = a · par esta expresión es siempre par, para cualquier a múltiplo de 3 par o impar.
III) (b : a) no es siempre múltiplo de 2 (Tomar b = 6 y a = 6 como contraejemplo. Con esto
b : a = 1 que no es! múltiplo de 2)
30. I) Notar que 215 − 25 = 25 (210 − 1), luego como 210 = 1024 se tendrá 210 − 1 = 1023 divisible
por 3
II) un simple cálculo demuestra que 25 = 32 y 1023 = 31 · 32, por lo tanto, 215 − 25 = 31 · 32 · 33
III) Dado que 210 divide a 215 , pero no a −25 , entonces no dividirá a la suma (215 − 25 ) de estos
números.
31. Dado que mcm(2, 3, 4) = 12 y mcm( a2 , a3 , a4 ) = a4 entonces el mcm(2a2 , 4a3 , 3a4 ) = 12a4
32. I) El mcm(m, n) no es necesariamente m · n. Tomar n = 3 y m = 9.
II) El MCD(m, n) no es necesariamente n. Tomar n = 3 y m = 2.
III) Sólo será primo cuando m = 1.
33. Sólo recordar que para encontrar el mcm entre cantidades expresadas en sus factores primos
primero vemos si hay factores comunes (entre ambos números), si los hay se toma el factor primo
elevado a su mayor exponente y se realiza el producto de estos con los demás que no son comunes.
Y el MCD es el producto de todos los factores primos comunes (que comparten ambos números)
elevados a su menor exponente.
34. Por el recuerdo en el ejercicio anterior vemos que mcm( A, B, C ) = 23 · 32 · 52 y MCD( A, B, C ) =
2 · 3. Luego mcm( A, B, C )·MCD( A, B, C ) = 23 · 32 · 52 · 2 · 3 = 24 · 33 · 52
35. Como PARTEN JUNTOS los ciclistas, debemos saber que en algún tiempo más adelante SIEMPRE
podrán encontrarse nuevamente y este tiempo será el mı́nimo múltiplo que tengan en común los
tiempos que da la vuelta cada uno, es decir, mcm(120, 140, 180) = 2520
36. Lo que se pide aquı́ es dividir cada uno de estos items en cantidades iguales, es decir, buscar un
divisor común entre ellos. Pero además se pide repartir en la MAXIMA cantidad de nios. Es decir
debemos encontrar el máximo común divisor entre los tres números. MCD(180, 240, 360) = 60
5
37. Dado que el máximo alcanzado es 9 y el mı́nimo es −3 (cifras bajo cero se denotan con un signo
negativo). La variacion fue V = 9 − (−3) = 9 + 3 = 12
38. Recordar que cualquier múltiplo de un entero k está representado como kn, luego un múltiplo
consecutivo está dado por k(n + 1), etc. Por lo tanto, enteros consecutivos de k serán:
kn, k (n + 1), k(n + 2), k (n + 3), etc.
39. Si m = −7
m − |m| + | − m| = −7 − | − 7| + | − (−7)| = −7 − 7 + 7 = −7
40. Si m < n entonces m − n < 0 luego |m − n| = −(m − n) = −m + n = n − m, por la definición
del valor absoluto (página 12 libro).
41. a = | − 5| = 5, b = (−3)2 = 9, c = −| − 5| = −5 y d = −32 = −9, entonces
| a + b| − |c + d| = |5 + 9| − |(−5) + (−9)| = |14| − | − 14| = 14 − 14 = 0
42. Notar que si x < 0 entonces − x > 0, luego
I) Falso, | x | = − x
II) Verdadero − x > 0, cierto por hipótesis.
III) Falso, | − x | = x, − x ES POSITIVO.
IV) Falso. Tomar x = 2 para ver que no se cumple.
43. Notar que si a < b entonces a − b < 0 y 0 < b − a, luego
2| a − b| − 3|b − a| = 2(−( a − b)) − 3(b − a)
2| a − b | − 3| b − a | = 2( b − a ) − 3( b − a )
2| a − b | − 3| b − a | = −1( b − a )
2| a − b | − 3| b − a | = a − b
44. Notar que | − x | = | x |, para todo x. Luego
| a − b| − |b − a| = | a − b| − | − ( a − b)|
| a − b| − |b − a| = | a − b| − | a − b|
| a − b| − |b − a| = 0
45. Dado que a y b son dos enteros consecutivos con a < b se tiene que b = a + 1. Luego:
I) es verdadero : b − a = ( a + 1) − a = 1
II) no es cierto. Tomar a = 1 y b = 2.
III) no es cierto. Tomar a = 2 y b = 1.
46. Dado que d > c esto es equivalente a c < d, luego se tiene a < b < 0 < c < d y este orden
puede verse en la figura.
47. Ver que a < 0 y a > −b, es decir, −b < a < 0, de lo último se puede concluir que −b < 0 por
lo tanto 0 < b. Ahora:
I) Verdadero. Como a < 0 y b > 0 entonces a < b y luego − a > −b.
II) Falso. 0 < b.
III) Verdadero. a > −b es equivalente a: − a < b
6
48. I) Falso. 23 = − 32 < − 43 =
II) Verdadero.
III) Verdadero.
3
4
49. Queremos ver si b es un divisor de 2a, es decir, si 2a = bp, para algún p.
(1) si b es un múltiplo de a no tenemos necesariamente la proposición. Tome como contraejemplo
b = 9 y a = 3.
(2) Si 2a + 2 es un múltiplo de b no se tiene la proposición. Tome como contraejemplo b = 4 y
a = 3.
(1) y (2) Esto es a, b enteros positivos, b múltiplo de a y 2a + 2 múltiplo de b. Tampoco podemos
afirmar que b divide (o es un divisor) a 2a. Tomar a = 2 y b = 6.
(1) ó (2) Esta opción sólo es válida cuando (1) y (2) satisfacen por si solas la afirmación.
50. (1) m y n son naturales consecutivos. Esta información es escasa, pues no sabemos nada de m.
(2) m es impar. Nuevamente tenemos esta información incompleta, no se relaciona con n.
(1) y (2) Acá si podemos afirmar que n es par, pues si m es impar y n y m son consecutivos, n
es el sucesor o antecesor de m, es decir, es necesariamente par.
7