Complejidad Comparación - Departamento de Ingeniería Telemática

Complejidad
Carlos Delgado Kloos
Ingeniería Telemática
Univ. Carlos III de Madrid
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Comparación
  long fib (int n)
{if (n<=1)
return n;
else
return
fib(n-1)+fib(n-2);
}
  long fibo (int
n,x,y)
{if (n<=1)
return x+y;
else
return
fibo(n-1,y,x+y);
}
  Los dos métodos calculan la función fib
correctamente, ¿pero cuál preferiría?
  El primero es más claro.
  El segundo es más eficiente.
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¿Cómo medimos?
  Midiendo el tiempo de ejecución (en
función del tamaño de la entrada)
 No podemos probar con todas las entradas
 Es necesario implementar el algoritmo
 Depende del software y el hardware
  Busquemos otra medida
 Más abstracta
 Más fácil de obtener
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¿Cómo medimos?
  Asociamos a cada algoritmo: f(n)
de
  Emplearemos el caso peor para Tamaño
la entrada
caracterizar el tiempo de ejecución
  Es más fácil de calcular
  Interesa la velocidad de crecimiento del
tiempo de ejecución en función del
tamaño de la entrada
  Comportamiento asintótico
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¿Cómo medimos?
  Asociamos a cada operación primitiva un tiempo
de ejecución constante:
 Asignación
 Llamada a método
 Operación aritmética, etc.
 Indexación en array
 Seguir una referencia
 Volver de un método
 Etc.
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Ejemplo
(en pseudocódigo)
 
 
 
 
 
Hallar el máximo de un array
Entrada: un array A con n enteros
Salida: el elemento mayor de A
Algoritmo: arrayMax(A,n)
current=A[0]
for i=1 to n-1 do
if current<A[i]
then current=A[i]
return current
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Ejemplo
(en pseudocódigo)
  current=A[0]
for i=1 to n-1 do
if current<A[i]
then current=A[i]
return current
  Mínimo núm. de operaciones (si es A[0]):
2+1+n+4(n-1)+1=5n
  Máximo núm. de operaciones (si A creciente):
2+1+n+6(n-1)+1=7n-3
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Notación O
c⋅g(n)
f(n)
n0
f(n) es O(g(n))
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sii
f(n) ≤ c ⋅ g(n) para n ≥ n0
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Notación O
  7n-3 es O(n)
 c=7, n0=1
 7n-3 ≤ 7n
  20n3+10n log n+5 es O(n3)
  3 log n + log log n es O(log n)
  2100 es O(1)
  5/n es O(1/n)
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Crecimiento
de funciones
log n
√n
n
n log n
n2
n3
2n
1
1,4
2
2
4
8
4
2
2,0
4
8
16
64
16
3
2,8
8
24
64
512
256
4
4,0
16
64
256
4.096
65.536
5
5,7
32
160
1.024
6
8,0
64
384
4.096
262.144
1,8 * 1019
7
11,0
128
896 16.536
2.097.152
3,4 * 1038
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32.768 4.294.967.296
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Crecimiento
de funciones
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Tamaño máximo
de un problema
Tiempo de
1 segundo
ejecución
400n
2.500
1 minuto
1 hora
150.000
9.000.000
20nlog n
4.096
166.666
7.826.087
2n2
707
5.477
42.426
n4
31
88
244
2n
19
25
31
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Ejemplo
  Dado un array A de n números
  Calcular otro array B, tal que:
∑ij=0A[j]
B[i]=—————
i+1
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Solución 1
  for i=0 to n-1 do
a=0
for j=0 to i do
a=a+A[j]
B[i]=a/(i+1)
return B
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Solución 1: Análisis
  Partes:
 Inicializar y devolver array B: O(n)
 Bucle i: se ejecuta n veces
 Bucle j: se ejecuta 1+2+3+...+n=n(n+1)/2
veces: O(n2)
  Total:
 O(n)+O(n)+O(n2)= O(n2)
 Orden cuadrático
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Optimización
  B[i]=(A[0]+...+A[i])/(i+1)
  B[i+1]=(A[0]+...+A[i]+A[i+1])/(i+2)
  B[i+1]=(B[i]*(i+1)+A[i+1])/(i+2)
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Solución 2
  s=0
for i=0 to (n-1) do
s=s+A[i]
B[i]=s/(i+1)
return B
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Solución 2: Análisis
  Partes:
 Inicializar y devolver array B: O(n)
 Inicializar s: O(1)
 Bucle i: se ejecuta n veces
  Total:
 O(n)+O(1)+O(n)=O(n)
 Orden lineal
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¿Hay un algoritmo para
resolver cualquier problema?
  ¿Se puede resolver cualquier problema
por medio de un algoritmo?
  ¿Cuál es el límite de la computabilidad?
  Hilbert pensaba que todos los problemas
matemáticos eran computables
  En los años 1930, Gödel, Turing, Church y
otros demostraron que no es así
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Computabilidad
  Un problema matemático se llama
computable, si puede puede ser resuelto
en principio por un dispositivo de
computación
  Hay una clasificación de problemas
matemáticos en computables y no
computables
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Dispositivo de computación
  ¿Cuál es el dispositivo de computación
más sencillo, pero que sin embargo
entraña la capacidad de todos los
ordenadores?
  Se definieron varios dispositivos
(imaginarios) o formalismos matemáticos
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Definiciones de
computabilidad
  Andrey Markov (1856-1922)
 Algoritmos de Markov
  Alonzo Church (1903-95)
 Cálculoλ
  Kurt Gödel (1906-78)
 Funciones recursivas
  Stephen Kleene (1909-94)
 Sistemas formales
  Alan Turing (1912-54)
 Máquinas de Turing
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Máquina de Turing
  Componentes:
 Control con un nº finito de estados
 Cabeza lectora/escritora
 Cinta infinita
  Funcionamiento:
 Cabeza lee símbolo de cinta y
en función de él y del estado,
 escribe un símbolo en la cinta,
la mueve y pasa a un nuevo estado
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Máquinas de Turing
  MT determinista, si para cada
combinación (símbolo leído, estado),
hay una única continuación
(símbolo a escribir, estado, movimiento)
  MT no-determinista si hay más
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Clases de problemas
  El conjunto de
problemas
computables se
dividen en varias
clases:
 P (polinomial con MT
determinista)
 NP (polinomial con MT
no-determinista)
 etc.
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¿Es P = NP?
  “Resolver un sudoku” (NP) vs
“Comprobar si está bien resuelto”
(P)
  El Clay Mathematics Institute ofrece
US$ 1 millón para el que resuelva si los
dos conjuntos son iguales o no
 www.claymath.org/millennium
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