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ACTAS DE LA VIII CONFERENCIA ARGENTINA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA Año 2010 ACTAS DE LA VIII CONFERENCIA ARGENTINA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA SOAREM Sociedad Argentina de Educación Matemática http://www.soarem.org.ar Página 1 de 632 ACTA DE LA VIII CONFERENCIA ARGENTINA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA VIII CAREM. Organizada por la Sociedad Argentina de Educación Matemática y el Departamento de Matemática del Instituto del Profesorado “Sagrado Corazón”, del 8 de octubre de 2009 al 10 de octubre de 2009, en la Capital Federal. República Argentina. Editora: Haydeé Blanco Sociedad Argentina de Educación Matemática En la portada: Fotografía del Instituto del Profesorado “Sagrado Corazón” e imagen de la Sociedad Argentina de Educación Matemática, http://www.soarem.org.ar Diseño de portada y CD: Haydeé Blanco Edición: ©2010. ©2009. SOAREM. Sociedad Argentina de Educación Matemática. Casilla de Correos 50 - Sucursal 17 Villa del Parque. (1417) Ciudad de Buenos Aires. República Argentina. [email protected] ISBN: En trámite Derechos reservados. © SOAREM. Sociedad Argentina de Educación Matemática. http://www.soarem.org.ar Se autoriza la reproducción total o parcial, previa cita a la fuente: Blanco, H. (Ed.). (2010). Acta de la VIII Conferencia Argentina de Educación Matemática, República Argentina, Ciudad de Buenos Aires: SOAREM. Sociedad Argentina de Educación Matemática. Página 2 de 632 COMITÉ ORGANIZADOR DE LA CAREM Presidenta Honoraria: Nelly Vázquez de Tapia Presidente: Oscar Sardella Sociedad Argentina de Educación Matemática Colaboradores Vicepresidente 1º: Norma Cotic Vicepresidente 2º: Adriana Engler Secretaria: Cecilia Crespo Crespo Prosecretaria: Patricia Lestón Tesorera: Adriana Berio Protesorera: Liliana Homilía Vocales: Cristina Verdaguer de Banfi Haydeé Blanco Irene Zapico Teresa Braicovich Vilma Giudice Comisión de Revisores de Cuentas Tribunal de Ética Titulares: Titulares: Enrique Fabián Valiño Daniela Andreoli Christiane Ponteville María de las Mercedes Colombo Ángela Pierina Lanza María Rosa Rodríguez Suplente: José Luis Rey Suplente: Elsa Groenewold Página 3 de 632 Comité Científico de Evaluación Arceo, Cristina Beltrametti, M. Cristina Benzal, Graciela Blanco, Haydeé Braicovich, Teresa Cadoche, Lilian Caputo, Liliana Eduardo, Porcel Chahar, Berta Ciancio, María Inés Correa Zeballos, Marta Cotic, Norma Crespo Crespo, Cecilia Engler, Adriana De Lucca, Adriana Esper, Lidia Fernández, Teresa Gallese, Elda González de Galindo, Susana Guala, Graciela Homilka, Liliana Lanza, Pierina Mercau, Susana Messina, Vicente Micelli Mónica Müller, Daniela Oliva, Elisa Oropeza, Carlos Pérez, María del Carmen Pochulu, Marcel Ponteville, Christiane Rey Genicio, María Rey, José Luis Rodriguez de Estofán, Maria Rosa Sardella, Oscar Schneeberger, Marino Valiño, Fabián Veiga, Daniela Veliz, Margarita Vera Ocampo, José Villalonga de García, Patricia Vrancken, Silvia Zapico, Irene Página 4 de 632 Índice – Tabla de Contenidos Básico (7-12 años) y Medio (13-17 años) .....................................10 ¿JUGAMOS?...MMM…SI!...PENSEMOS! ............................................................................10 ANÁLISIS DE NECESIDADES TECNOEDUCATIVAS: ESTADO DEL ARTE DE LAS TIC EN EL MEDIO EDUCATIVO DE LA MACRO REGIÓN SUR-AUSTRAL ....................................18 LA CORRESPONDENCIA NÚMERO IRRACIONAL-PUNTO DE LA RECTA. DE OBJETO DE ESTUDIO A OBJETO A ENSEÑAR ................................................................................25 UNA PROPUESTA DIDÁCTICA: INTRODUCCIÓN AL TEOREMA DE PITÁGORAS ..........33 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS ESCOLARES. SIGNIFICACIONES DE LOS ALUMNOS E INTERVENCIÓN DOCENTE ..................................................................40 DESDE EL CONOCIMIENTO IMPLÍCITO AL CONOCIMIENTO EXPLÍCITO EN UNA ACTIVIDAD DE ÁLGEBRA ...................................................................................................50 CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA EN UN CAMPUS VIRTUAL ........................................58 ¿CÓMO SE JUSTIFICAN LAS FÓRMULAS PARA EL ÁREA EN LIBROS DE TEXTO? .....67 LAS WEB QUEST COMO ESTRATEGIA DIDÁCTICA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA ....75 CONSIDERAÇÕES SOBRE A INTERDISCIPLINARIDADE NO ENSINO DA MATEMÁTICA ..............................................................................................................................................80 UNA APROXIMACIÓN A LAS CONCEPCIONES SOBRE LA MATEMÁTICA DE ALUMNOS DE ESCUELA SECUNDARIA ...............................................................................................86 UNA INVESTIGACIÓN ACERCA DEL INFINITO EN EL AULA DE MATEMÁTICA..............92 DIFICULTADES E IMPORTANCIA DEL LENGUAJE MATEMÁTICO ...............................97 USO EFICIENTE DEL TIEMPO Y DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN: UNA OBSERVACIÓN DE SU VÍNCULO ..................................................................................... 107 DISEÑO DE ACTIVIDADES VIRTUALES. ALGUNAS CONSIDERACIONES .................... 114 SECUENCIA DIDACTICA PARA LA ENSEÑANZA DE TRIANGULOS .............................. 122 ¿ATOLONDRADOS POR PI? ............................................................................................. 129 FORMACIÓN DOCENTE EN MATEMÁTICA Y NUEVAS TECNOLOGÍAS ........................ 136 ANÁLISIS DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS A TRAVÉS DE SUS REPRESENTACIONES ...................................................................................................... 144 Página 5 de 632 ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS ............................................................. 154 ALFABETIZAÇÃO MATEMÁTICA: REFLEXÕES SOBRE A PRÁXIS NA PERSPECTIVA INCLUSIVA ......................................................................................................................... 162 LA PARADOJA DE AQUILES. ............................................................................................ 169 UNA MIRADA DESDE LA MATEMATICA Y LA FISICA ..................................................... 169 UN RELEVAMIENTO DE DIFICULTADES QUE SUPONE EL APRENDIZAJE DE CONCEPTOS DEL CALCULO ............................................................................................ 177 ARGUMENTACIÓN E IMÁGENES EN LOS LIBROS DE MATEMÁTICA PARA LA ENSEÑANZA SECUNDARIA. ............................................................................................. 187 CONSTRUCCIÓN DE SECUENCIA DE ENSEÑANZA EN MATEMÁTICA, QUE FAVOREZCA LA ARTICULACIÓN DE NIVELES ............................................................... 194 MATEMÁTICA Y LAS REPRESENTACIONES DE UNA FUNCIÓN ................................... 200 JUEGOS EN EL AULA ........................................................................................................ 203 UM AMBIENTE DINÂMICO NO ENSINO E APRENDIZAGEM DE CONTEÚDOS MATEMÁTICOS .................................................................................................................. 210 LA EVALUACIÓN EN NUESTRAS PRÁCTICAS DOCENTES ........................................... 217 PENSAMIENTO Y LENGUAJE VARIACIONAL. ACCIONES PARA ARTICULAR LA INVESTIGACIÓN Y EL TRABAJO EN EL AULA ................................................................ 226 REVISIÓN CRÍTICA DE LA MODELIZACIÓN MATEMÁTICA EN CONTEXTOS FÍSICOS234 NO POR MUCHO CALCULAR SE RAZONA MÁS TEMPRANO ........................................ 246 LA GEOMETRIA DE LOS GRAFOS PLANARES ............................................................... 254 LA HELENA DE LA GEOMETRÍA ....................................................................................... 260 MÉTODOS GRÁFICOS PARA LA FORMULACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS DE FENÓMENOS SIMPLES ..................................................................................................... 266 ENSEÑANZA DE TRIANGULOS UTILIZANDO SOPORTE INFORMATICO ..................... 269 Terciario..........................................................................................276 APUNTES A LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA DEL SIGLO XX: LA TEORÍA DE LAS CATÁSTROFES .................................................................................................................. 276 TIEMPO DE RADIO PARA LA MATEMÁTICA .................................................................... 286 MATEMÁTICA Y LITERATURA, PROPUESTAS PARA EL AULA ..................................... 292 Página 6 de 632 CONSIDERACIONES SOBRE EL TRATAMIENTO DIDACTICO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN LA UNIVERSIDAD .................................................................... 300 CONSIDERACIONES ACERCA DEL DISEÑO DE UN INSTRUMENTO QUE PERMITA INDAGAR SOBRE LAS CONCEPCIONES Y CREENCIAS DE LOS PROFESORES ACERCA DE LA MATEMÁTICA.......................................................................................... 307 APLICACIÓN Y USO DE MATRICES EN ECOLOGÍA ....................................................... 314 EXPLORACIÓN DE LAS CONCEPCIONES DE NUESTROS ALUMNOS SOBRE VARIABLES, FUNCIONES Y CAMBIOS ............................................................................ 320 LAS FIGURAS DE ANÁLISIS. UN RECORRIDO HISTÓRICO ........................................... 329 LA FORMACIÓN DE PROFESORES EN MATEMÁTICA. VISIÓN DE LOS ESTUDIANTES SOBRE LOS DIFERENTES SUBSISTEMAS ..................................................................... 337 LA DEMOSTRACIÓN Y LA ENSEÑANZA DE LA ESTADÍSTICA ...................................... 346 LAS HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS EN EL APRENDIZAJE Y LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS........................................................................................................... 351 LA VISUALIZACIÓN TRIDIMENSIONAL EN MATEMÁTICA COMO CONSTRUCCIÓN SOCIOCULTURAL .............................................................................................................. 360 LA FORMULACIÓN DE PROBLEMAS EN LA FORMACIÓN DE PROFESORES DE MATEMÁTICA ..................................................................................................................... 365 PROGRAMA DE FORMACIÓN DE DOCENTES EN LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS .................................................................................................................. 373 INFLUENCIA DE LA BIOGRAFIA ESCOLAR EN LA CLASE DEL PRACTICANTE ........... 380 LA PRÁCTICA DOCENTE DEL PROFESOR DE MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA EN LA FORMACIÓN DE MAESTROS: UNA PERSPECTIVA DE INVESTIGACIÓN ..................... 386 UNA APLICACIÓN DEL TEOREMA DE GERSHGORIN .................................................... 392 CONDICIONES DEL PROCESO DE COMPRENSION DE LA ALFABETIZACIÓN MATEMÁTICA EN LOS DOCENTES DE EDUCACIÓN BÁSICA SECUNDARIA ............... 398 Universitario ...................................................................................404 UNA EXPERIENCIA APLICANDO MODELOS DE REGRESIÓN MULTINIVEL ................. 404 LA ENTREVISTA CLÍNICA UNA HERRAMIENTA EFICAZ PARA LA EVALUACIÓN EN MATEMÁTICA ..................................................................................................................... 413 ARTICULACION ENTRE LA FORMACION DE PROFESORES DE MATEMATICA Y EL NIVEL MEDIO ..................................................................................................................... 421 Página 7 de 632 REFLEXION SOBRE LOS RESULTADOS EN EL SISTEMA DE ADMISION DE UNA FACULTAD DE CIENCIAS. UNA MIRADA DESDE LA MATEMATICA ............................ 429 PROPUESTA DE ENSEÑANZA PARA ALUMNOS DE INGENIERÍA, USANDO HIPERTEXTO, BAJO LA MODALIDAD DE TALLER .......................................................... 437 EPISTEMOLOGÍA Y METAMATEMÁTICA ....................................................................... 445 OBJETO DE APRENDIZAJE CON MEDHIME PARA ALGEBRA LINEAL .......................... 453 LA MATEMÁTICA PUEDE AYUDAR A LA EDUCACIÓN AMBIENTAL, CON LOS RESULTADOS DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIÓN ATMOSFÉRICA .................................. 461 EFECTOS DE LA UTILIZACION DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES EN LAS CAPACIDADES DE VISUALIZACIÓN ESPACIAL .............................................................. 468 ALGUNAS CONCEPCIONES EPISTEMOLÓGICAS DE DOCENTES DE UN PROFESORADO EN MATEMÁTICA .................................................................................. 476 UNA EXPERIENCIA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA EN EL CONTEXTO DE LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DEL ANÁLISIS MATEMATICO........................................ 483 SOFTWARE EDUCATIVO CON DERIVE 6 PARA LA APLICACIÓN DE SPLINE ............. 493 PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ............................................................................................................................ 501 ANALISIS DE ALGUNAS DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE EN UN TEMA DE ÁLGEBRA EN ALUMNOS DE PRIMER AÑO DE LA UNIVERSIDAD ................................ 508 REDISEÑO DE LA EVALUACIÓN EN UN CURSO DE CÁLCULO VECTORIAL PARA BIOINGENIEROS................................................................................................................ 515 MOMENTOS CRUCIALES DEL DESGRANAMIENTO Y EL REZAGO ESTUDIANTIL: DIFICULTADES DE ESTUDIANTES DE PROFESORADO EN MATEMATICA EN LA TRANSICIÓN DEL NIVEL MEDIO A LA UNIVERSIDAD .................................................... 523 LAS TEORÍAS DIDÁCTICAS TAMBIÉN NECESITAN BUENOS EJEMPLOS: ANÁLISIS DE UNA ACTIVIDAD PARA EL JUEGO DE MARCOS............................................................. 531 SOBRE EL CONCEPTO DE LÍMITE DE SUCESIONES NUMÉRICAS .............................. 538 VISUALIZACION DEL CONCEPTO DE EXACTITUD EN INTEGRACION NUMERICA ..... 545 EVALUACION ENTRE PARES (EVEPAR). UN MODELO DIFUSO PARA LA CALIFICACIÓN ................................................................................................................... 554 LA CONSTRUCCIÓN DEL ESPACIO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO EN LOS PLANES DEL PROFESORADO DE MATEMÁTICA ENTRE 1933-1962 ................................................... 563 ANALISIS DEL DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE UN PROGRAMA DE EVALUACIÓN EN UN CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ............................................................ 571 Página 8 de 632 VISUALIZACION INTERACTIVA DE METODOS DE INTEGRACION NUMERICA............ 579 EL USO DE NUEVAS TECNOLOGIAS (TIC) Y LA EDUCACIÓN BASADA EN COMPETENCIAS: EXPERIENCIAS DESDE MATERIAS BÁSICAS .................................. 587 CARACTERIZACIÓN DE REPRESENTACIONES VISUALES EN UNA DEMOSTRACIÓN EN GEOMETRÍA ................................................................................................................. 596 EFECTOS DE LA “TRANSPARENCIA” SOBRE EL ESTUDIO DE R EN EL PROFESORADO EN MATEMÁTICA .................................................................................. 604 ENSEÑANZA DE CONICAS UTILIZANDO UN SOPORTE INFORMÁTICO ...................... 612 CONSTRUYENDO CÓNICAS CON CABRI ........................................................................ 618 CONCEPTOS GEOMÉTRICOS Y UNIDADES DE MEDIDA EN LA ETAPA DE ARTICULACIÓN NIVEL MEDIO – NIVEL UNIVERSITARIO .............................................. 624 Página 9 de 632 Básico (7-12 años) y Medio (13-17 años) ¿JUGAMOS?...MMM…SI!...PENSEMOS! Mabel Alicia Slavin Instituto Superior de Formación Docente Nº 10.Tandil. Argentina. [email protected] Nivel Educativo: Inicial, Nivel E.P.B. 1º Ciclo y 2º Ciclo, Nivel E.S.B. Palabras Clave: Rompecabezas, Jugar, Superficie, Calcular RESUMEN El escaso conocimiento sobre la geometría con el que ingresan los estudiantes al nivel terciario, debido a la “ausencia” de la misma en la formación secundaria, posibilita realizar algunas reflexiones sobre la necesidad de su aprendizaje para poder incorporarla nuevamente a la vida cotidiana escolar. Por ello se debe aprender a manejar la visualización y sus técnicas, ya que la geometría, sus ideas y métodos, están inmersos en un mundo de imágenes y representaciones cuyo uso es necesario a la hora de resolver problemas. Este trabajo consiste en una propuesta basada en dos rompecabezas que surgen a partir de un único cuadrado. La idea es que las piezas de los rompecabezas conserven la superficie del cuadrado original, “perdiendo” el perímetro. Un rompecabezas tiene piezas limitadas por curvas mientras que el otro conserva los perímetros limitados por segmentos de recta. Los dibujos que cubren ambas caras de los rompecabezas son teselas generadas también a partir del cuadrado básico. Aquí aparece el concepto de cubrimiento del plano dando lugar al surgimiento del concepto de fracción .Por superposición de las piezas de los rompecabezas se generan raros volúmenes que son posibles de calcular. Se aprovechan de esta forma los sentidos, se pone en juego la interdisciplinariedad ya que se puede hacer referencia al arte actual e incursionar en lo histórico fomentando de esta forma la participación colectiva. Estos rompecabezas permiten su uso desde el nivel inicial hasta el último año de la E.S.B., posibilitando el desarrollo de diferentes capacidades adecuadas al nivel en cuestión. INTRODUCCION Esta propuesta tiene como objetivo presentar una situación audazmente intuitiva y visual que permita disfrutar del color, que sirva para informar, que ayude a la reflexión, que pueda entretener, divertir, asombrar, plantear dudas y proponer caminos de descubrimiento y de invención. Aquí aparece la idea del juego como un recurso pedagógico, deliberadamente propuesto para orientar al niño y/o al adolescente en la adquisición de saberes y prácticas curriculares valiéndose de una actividad cercana a ellos y elegida por ellos (Aizencang, 2005). Aquí es donde el juego que presenta una combinación interesante de símbolos y signos convencionales sirve de intermediario entre lo real y la ficción. La utilización de juegos con algunas características que les permitan adaptarse a las necesidades de los alumnos, posibilitan la instalación de situaciones imaginarias. Esto facilita el abordaje de diferentes temáticas en forma indirecta, exteriorizar conflictos o disconformidades y, fundamentalmente, ponerse en el lugar del otro. Es mediante la simulación que implica el jugar que se pueden aprender o modificar conductas y/o conceptos que permitan organizar situaciones a futuro. Página 10 de 632 Desde esta visión de juego es que se lo utilizará para promover el desarrollo de habilidades específicas, favorecer el aprendizaje de contenidos, introducir nuevos temas, afianzar saberes ya adquiridos y promover la socialización de los niños y/o adolescentes. CONSIDERACIONES SOBRE LA PROPUESTA La propuesta de jugar conlleva en sí misma un cierto orden para su desarrollo que se combina con cierto grado de incertidumbre y de azar que movilizan al sujeto hacia una resolución y le exigen un determinado esfuerzo para alcanzar el éxito que se propone. Para Vigotsky esta situación es el desarrollo de un nuevo proceso psicológico que dista de ser consciente: la imaginación. En estos ámbitos lúdicos los alumnos aprenden a dominar ámbitos del saber y del saber-hacer complejos, preservando su significado cultural. Planteada de esta forma, la situación lúdica implica una actividad mental comprometida desde el punto de vista del alumno, y resulta educativamente útil cuando promueve formas de pensamiento y de aproximación al conocimiento cada vez más avanzadas. La propuesta consiste en trabajar con dos rompecabezas de 64 piezas cada uno, armados sobre pizarrones magnéticos para facilitar el trabajo vertical. Cada una de las piezas surge de otro rompecabezas formado por cuatro triángulos rectángulos y un cuadrado. Con ellas se puede obtener un cuadrado que será el “origen” de todo el juego .Las modificaciones de este cuadrado dan lugar a las piezas de los rompecabezas y también a las cuatro configuraciones que lo ilustran. Las prácticas pedagógicas en las que se involucra el juego facilitan la transferencia de hábitos y saberes a nuevas situaciones sociales. Vigotsky considera que trabajo y juego difieren solamente en el carácter de los resultados. En el primero se concreta un producto previsto y objetivo, y en el segundo se resuelve subjetivamente, produciendo el goce del jugador por el juego ganado. Salvo estas diferencias, ambas actividades coinciden en su naturaleza psicológica, se puede decir que el juego es una forma natural de la actividad infantil que constituye una preparación para la vida futura. El juego es un elemento valioso mediante el cual se puede crear un ambiente de cooperación en el aula donde los alumnos trabajen juntos e interactúen unos con otros, contribuyendo a la construcción de conceptos, ya que se verán obligados a defender sus ideas ante las alternativas que presenten los otros. Pero como hacer matemática es, básicamente, resolver problemas, ya sea que provengan del interior o del exterior de la misma, el diseño de este tipo de situaciones que resultan problemas para los alumnos, desarrolladas en un contexto familiar a ellos como es el juego, les generará entusiasmo por aprender (Bixio, 2006) y aplicar los nuevos hallazgos a distintas situaciones, esto los llevará a la progresiva incorporación de las formalidades y el rigor propio de la disciplina. Armar los rompecabezas para obtener las diferentes teselaciones propuestas, para encontrar las fracciones que subyacen en las mismas, para encontrar las formas pedidas, es sólo cuestión de percepción espacial, de aplicar ciertos desplazamientos sencillos y no perder de vista el modelo, pero la percepción espacial no es una simple actividad de copia de la realidad sino que es el resultado de la organización y la codificación de informaciones sensoriales. La posibilidad de actuar, accionar manipulando objetos, localizando situaciones en el entorno y efectuando desplazamientos, medidas, cálculos crearía la motivación necesaria, aunque no suficiente ni única que despertará la curiosidad que generará el entusiasmo que permita resolver el problema. La curiosidad es el primer impulso para saber, es el placer de experimentar lo nuevo, de descubrir, de superar el desafío; es el componente fundamental de la motivación intrínseca (Bixio, 2006). Por lo tanto la clase se debe convertir en un grupo cooperativo en el que docente y alumnos utilicen este recurso: jugar para construir conocimientos a partir de diferentes alternativas de discusión, decisión y ejecución. Página 11 de 632 Es decir, la sola resolución de problemas no es suficiente para la construcción de conocimientos transferibles a situaciones nuevas. Es necesaria la reflexión sobre lo realizado, la comparación de los distintos procedimientos de resolución utilizados; la puesta en juego de argumentaciones acerca de la validez de los procedimientos llevados a cabo y de las respuestas obtenidas y la intervención del docente para que establezca las relaciones entre lo construido y el saber matemático y para que formalice el conocimiento construido por el alumno (Diseño Curricular para ESB). El docente no puede ser un sujeto pasivo como así tampoco lo será el alumno, hacia quien está dirigida fundamentalmente la propuesta de jugar, los conocimientos escolares que surgirán del juego serán interesantes, significativos y con valor social. Esto les brindará la posibilidad de explorar, conjeturar, volver con una mirada crítica sobre los datos para resolver los problemas, diseñar técnicas y estrategias para obtener soluciones, detectar errores proponiendo momentos de autoevaluación y discutir sus producciones con sus compañeros. Las discusiones entre pares constituyen una etapa de la comprensión matemática y un punto de partida para la formalización de los conceptos. Además, promueven en el alumno la necesidad de buscar argumentos sólidos para sostener sus hipótesis en el intercambio entre pares. El docente deberá estar atento a lo que dicen los alumnos en estas discusiones, ya que las mismas dan la posibilidad de tomar contacto con los conocimientos y los errores de los participantes. Se debe rescatar el sentido lúdico que tiene el enseñar y el aprender, por eso los rompecabezas propuestos permitirán armar y desarmar, y volver a armar solos o entre varios el deseo de aprender la matemática. La manipulación de material concreto, hará despertar mejor los sentidos y agudizará la mente para resolver un problema y así alcanzar ese objetivo central en matemáticas que es la generalización. Los rompecabezas propuestos se transforman así en una situación que le permitirá proceder a la solución explicitando sus conocimientos en un lenguaje que debe ser comprendido por los demás, además de justificar ante sus pares las herramientas implícitas que ha utilizado en ese acto. La idea es empezar con algo muy concreto para luego pasar a lo abstracto. La abstracción comienza a producirse cuando el alumno llega a captar el sentido de las manipulaciones que hace con el material. Estas manipulaciones son un paso fundamental para motivar que los alumnos descubran conceptos matemáticos observando relaciones de regularidades y formando generalizaciones. La filosofía constructivista (Sadosky, 2006) también propone, que para los alumnos no hay aventura más apasionante que la del descubrimiento y que la mejor manera de disfrutarla es cuando él mismo ha sido capaz de experimentar dicho descubrimiento. Entonces la actividad de los alumnos, en este caso el juego, es base fundamental para el aprendizaje mientras que la acción del docente es aportar las ayudas necesarias, estableciendo esquemas básicos (situaciones problemáticas) sobre los cuales explorar, observar, y reconstruir conocimientos. Se toma aquí el concepto de Interacción Socio Cognitiva: la cognición humana óptima se lleva a cabo con la colaboración de otras personas y de objetos físicos y simbólicos que potencian las capacidades individuales (Baquero, 2001). Por otra parte, se toma el concepto de estrategia didáctica de Bixio (1995): conjunto de las acciones que realiza el docente con clara y conciente intencionalidad pedagógica, o sea, de lograr un aprendizaje en el alumno. Las estrategias deben apoyarse en los conocimientos previos de los alumnos (significatividad) para orientar la construcción de conocimientos a partir de materiales adecuados y deben poder desarrollarse en el tiempo previsto. En el campo de la Didáctica de la Matemática, la propuesta se apoya en la “ingeniería didáctica” (Douady; 1996): elaboración de un conjunto de secuencias de clases concebidas, organizadas y articuladas en el tiempo para efectuar un proyecto de aprendizaje. Así, la llamada “Situación fundamental”, dada por las situaciones “adidácticas” (Brousseau, Página 12 de 632 1988), enfrenta a los alumnos a un conjunto de problemas que evolucionan de manera tal que el conocimiento que se quiere que aprendan es el único medio eficaz para resolverlos. Intervienen las “variables didácticas” para que el conocimiento evolucione en niveles crecientes de complejidad, y las “recontextualizaciones” de los conceptos tratados en los marcos geométrico y algebraico le otorgan significatividad a la propuesta. Para ello, el docente les brindará la posibilidad de explorar, conjeturar, volver con una mirada crítica sobre las actividades que se vayan desarrollando, procesar la información y obtener de ella los datos para resolver los problemas, diseñar técnicas y estrategias para obtener soluciones, detectar errores proponiendo momentos de autoevaluación y discutir sus producciones con sus compañeros.(Villela,2001) Las discusiones entre pares constituyen una etapa de la comprensión matemática y un punto de partida para la formalización de los conceptos. Además, promueven en el alumno la necesidad de buscar argumentos sólidos para sostener sus hipótesis en el intercambio entre pares. El docente deberá estar atento a lo que dicen los alumnos en estas discusiones, ya que las mismas dan la posibilidad de tomar contacto con los conocimientos y los errores de los participantes. Por esto la apuesta es enseñar “en” y “para” el juego para que los niños y/o adolescentes vean facilitado su trabajo, que se puedan modificar algunas de las dificultades que suelen surgir en el aprendizaje, con una última finalidad: comprender y mejorar las prácticas de enseñanza. USO DEL MATERIAL El material preparado para esta propuesta consiste en dos rompecabezas formados cada uno de ellos por sesenta y cuatro piezas de igual superficie. Estas piezas surgen de un mismo cuadrado por lo que conservan la superficie pero modifican su perímetro. El cuadrado básico, (es el que genera las piezas) surge de un rompecabezas de cinco piezas, cuatro triángulos rectángulos y un cuadrado que al ensamblarse dan lugar a un cuadrado y a dos configuraciones de pentominós, uno con forma de T y otro con forma de U. Uno de los rompecabezas posee todas sus piezas con borde curvo y el otro tiene sus piezas con bordes rectos. Estas piezas surgen de diferentes configuraciones que se obtienen al considerar al cuadrado como un eneaminó. Cada uno de los rompecabezas presenta dos fases ; uno de ellos tiene una cara pavimentada con el pentominó T surgido a partir del cuadrado originante y la otra está cubierta con un pentágono equilátero, pero no equiángulo, que al ensamblarse diseña un hexágono no regular (el pentágono surge al cortar dos triángulos en el cuadrado originante de todas las piezas).El otro tiene una cara cubierta con el pentominó U (también surgido del cuadrado base) y la cara opuesta se cubre con teselas formadas con peces surgidos al fraccionar el cuadrado en cuartos y ,por cortes y rotaciones se obtienen mitades de peces. Para facilitar el ensamble de las piezas de cada rompecabezas se les asocia a cada uno un pizarrón magnético que permitirá jugar y/o visualizar en posición vertical. Está prevista la superposición de ambos rompecabezas de esta manera se facilitará la obtención de “huecos” a partir de los cuales se visualiza la tesela inferior; contribuyendo a la idea de “fracción”. Cada tesela representa la unidad o una fracción de ella, al igual que cada una de las piezas de los rompecabezas. INTENCIONES PEDAGÓGICAS - Descubrir las simetrías y sus consecuencias. - Diferenciar entre figura geométrica (abstracta) y su representación material. - Diferenciar perímetro de superficie. - Establecer relaciones parte-todo. - Armar y calcular volúmenes. Página 13 de 632 - Identificar figura-fondo. - Abstraer conceptos y relaciones. - Integrar el lenguaje propio del pensamiento visual. - Utilizar gráficos, esquemas y dibujos. - Facilitar la concentración, debido a la situación de juego. (Aizencang, 2005) - Generar iniciativas y dejar de lado el aburrimiento. - Facilitar el intercambio con otros. - Favorecer el placer al superar obstáculos. - Fomentar la tolerancia al error, esto evitará frustraciones. - Diferenciar entre medio y fin, el proceso es más relevante que el resultado por alcanzar. - Anticipar funciones relevantes que le permiten realizar transformaciones para resolver el conflicto. - Respetar reglas impuestas por el grupo. IMPLEMENTACION La versatilidad del material nos permite la utilización del mismo desde la sala de 5 (cinco), del Nivel Inicial hasta el último año de la E.S.B. (3º año). Algunas sugerencias para el uso del material (cada docente establecerá el esquema que le convenga de acuerdo con los conocimientos y dificultades de su grupo de alumnos): NIVEL INICIAL Algunas sugeridas por Cerquetti (1994) (Desde sala de 5) Posibilidad de construir un sólido por ensamblaje de otros sólidos. (Desde sala de 5) Buscar la mayor cantidad posible de ensamblajes. (Todas las salas) Apilamientos libres. (Desde sala de 5) Formar la tesela de peces. (Desde sala de 5) Reconocer simetrías. (Desde sala de 5) Reconocer figuras en los rompecabezas. (Desde sala de 5) Reconocer traslaciones. (Desde sala de 5) Reconocer letras más comunes. (Desde sala de 5) Contar y sumar. (Desde sala de 5) Noción de fracción. Reconocimiento de mitad y de cuarto. E.P.B. Algunas contempladas en los Diseños Curriculares vigentes PRIMER CICLO (Desde 1º año) Reconocimiento de figuras. (Desde 1º año) Reconocer fracciones en un mismo lado del rompecabezas ( (Desde 1º año) Encontrar equivalencias de fracciones entre rompecabezas. (Desde 1º año) Identificar simetrías. (Desde 1º año) Armar los rompecabezas. (Desde 2º año) Encontrar las simetrías en los teselados. (Desde 3º año) Diferenciar figuras. (Desde 2º año) Intentar el cálculo intuitivo de perímetro. (Desde 3º año) Comenzar con la idea de superficie. 1 1 , ) 2 4 diferentes partes del Página 14 de 632 SEGUNDO CICLO (Desde 4º año). Reconocer y clasificar las simetrías. (Desde 4º año) Encontrar las traslaciones en los teselados. (Desde 5º año) Diseñar nuevas teselas. (Desde 4º año) Reconocer los eneaminós y encontrar otras configuraciones. (Desde 6º año) Calcular volúmenes de los distintos sólidos “raros”. (Desde 5º año) Calcular perímetros y superficies de las piezas de los rompecabezas y de los cubrimientos. (Desde 4º año) Encontrar equivalencias entre las diferentes fracciones. E.S.B. (Desde 1º año). Comenzar el trabajo de proporcionalidad. (Desde 1º año). Establecer relaciones entre las superficies de las distintas figuras. (Desde 2º año) Encontrar el valor exacto de las longitudes de las piezas que forman el rompecabezas. (Desde 2º año) Reconocimiento de la existencia del número irracional. (Desde 1º año). Encontrar las figuras simétricas. (Desde 2º año) Realizar el desarrollo de las piezas de los rompecabezas. (Desde 2º año) Intentar la construcción de nuevos cubrimientos: Uso de Cabri Géomètre II Plus. (Desde 1º año) Realizar piezas a partir del cuadrado base, distintas a las que forman los rompecabezas. EL MATERIAL El material que se sugiere puede ser construido por lo mismos niños y/o adolescentes, ya que constituye en sí mismo un problema no convencional que exige la puesta en marcha de habilidades manuales y destrezas en el uso de herramientas (estos aspectos han dejado de ser tenidos en cuenta en estas últimas modificaciones de la enseñanza básica). Se prevé que los materiales puedan ser económicos y posibles de construir en cualquier contexto social, no por desconocer u oponerse a las nuevas tecnologías, sino para presentar opciones que alternen su uso. (Ricotti, 2005) Con estos rompecabezas, el número racional se trabaja desde lo visual buscando una fuerte reflexión sobre las relaciones parte-todo y parte-parte en un todo continuo. Para profundizar se calculan áreas y perímetros, apelando a propiedades y teoremas para iniciar la formalización. La experimentación con el material lleva a las propiedades de las figuras, esto le dará significatividad a los resultados y a la necesidad de ordenar datos para obtener representaciones claras de las medidas. Los alumnos pueden generar la idea de volumen, con la posibilidad de deducir cómo encontrar su valor numérico a partir de la idea de “apilar”. Este material deja un margen total de libertad al docente para que de acuerdo con sus capacidades, gustos y/o estilos decida cómo, cuando y para qué utilizarlo, solo pretende ser el comienzo de vivencias diferentes, de expresiones enriquecedoras que hagan más apasionante la clase de matemática. El uso de la imagen, tan popular en los medios de comunicación actuales, será necesario para lograr el entendimiento con miras a un aprendizaje más directo. Página 15 de 632 LOS DISEÑOS Cuadrado originante Eneaminó Tesela T Tesela U Pececitos Pentágono Piezas curvas Piezas Teselas COMENTARIOS FINALES El tiempo de aprender es tiempo de producción diferenciada de sentidos y de construcción de reglas comunes para su comunicación. Es un tiempo lúdico, creativo, integrador, gozoso; el tiempo de aprender es tiempo de producción y comunicación .Se debe recuperar el sentido del enseñar y el aprender, se debe recuperar la fascinación por lo desconocido, la audacia de la transformación y la indisciplina del pensamiento y la razón. Entonces se debe pensar acerca de lo que se enseña, para qué se hace y buscar fundamentos que avalen la elección de los contenidos que se desarrollan en cada ciclo .Esta reflexión aparece como llena de nuevas posibilidades, como rica y sumamente interesante. El planteo de un problema que sea abierto, que plantee pocas indicaciones para su solución, dará a los alumnos más posibilidades para que sean ellos los que construyan los caminos, las estrategias y nuevos procedimientos y relaciones entre los datos que se les presentan. Si además, su resolución permite la formulación de nuevos interrogantes, se transformará en un punto de partida para nuevos aprendizajes. Aprender a aprender con otros llevará a rescatar lo lúdico del enseñar y el aprender, que significa idear modos creativos y novedosos de abordar y resolver problemas, llenar de significaciones los datos y los conceptos y, abrir espacios para construir procedimientos que le den sentido al aprendizaje. Se debe romper con las rígidas estructuras que habitan todavía algunas aulas, se debe inventar, recrear e idear nuevas formas para poder construir nuevas utopías. El juego llevará, entonces, a un saber hacer, un saber actuar, un saber aprender, un saber construir nuevos saberes, es decir un saber que conducirá a un poder hacer. Entonces ya se estaría llegando al logro de aprendizajes complejos que implican asumir posiciones, compromisos, responsabilidades. Página 16 de 632 Enseñar es marcar recorridos posibles, aunque no indicar cuales se deben transitar. Enseñar es pensar con el otro, para ayudarle a pensar, pero no pensar por el otro. Enseñar es abrir espacios de interrogación y de construcción sin dar la información precisa. Enseñar es jugar .Porque el juego permite nuevas prácticas de enseñanza, promueve la cooperación como valor social y facilita la negociación. El sentido lúdico del aprender promueve y asegura la creatividad ,permite reinventar nuevas y viejas escenas ,hace reír ,asombra , convoca ,causa enojo o eriza la piel . Nos permite discutir teorías, inventar razones, justificar cada descubrimiento, cada invento, cada idea, cada hecho. Juguemos, y entre ilusiones y sueños, entre memoria y olvido, y entre hilachas de cuentos, sonidos y olores que se mezclan busquemos el camino que nos devele el secreto que nos permita recuperar el placer por enseñar y aprender. BIBLIOGRAFÍA Aizencang, N. (2005). Jugar, aprender y enseñar. Buenos Aires: Manantial. Baquero, R. (2001). Introducción a la psicología del aprendizaje escolar. Buenos Aires: Universidad Nacional de Quilmes. Beltrán, J. y otros. (1993). Intervención psicopedagógica. Madrid: Pirámide. Bixio, C. (2006). ¿Chicos aburridos? El problema de la motivación en la escuela. Rosario: Homo Sapiens. Bixio, C. (1999). Enseñar a aprender. Rosario: Homo Sapiens. Cerquetti-Aberkane, F. (1994). Enseñar Matemática en el Nivel Inicial. Buenos Aires: Edicial. Cerquetti-Aberkane, F. (1994). Enseñar Matemática en los Primeros Ciclos. Buenos Aires: Edicial. Documentos de la Revista de Educación. (2003). Orientaciones didácticas para el Nivel Inicial 1º Parte. La Plata: Subsecretaría de Educación. DGCyE. Documentos de la Revista de Educación. (2003). Orientaciones didácticas para el Nivel Inicial 2º Parte. La Plata: Subsecretaría de Educación. DGCyE. Edelstein, G. (1995). Imágenes e Imaginación .Iniciación a la Docencia. Buenos Aires: Kapelusz. Gómez, J. (2002). De la enseñanza al aprendizaje de las matemáticas. Barcelona: Paidos. Ricotti, S. (2005). Juegos y problemas para construir ideas matemáticas .Buenos Aires: Novedades Educativas. Sadovsky, P. (2005). Enseñar matemática hoy. Buenos Aires: Libros del Zorzal. Vergnaud, G. (1997). Aprendizajes y didácticas: ¿qué hay de nuevo? Buenos Aires: Edicial. Villella, J. (2001). Uno, dos, tres…geometría otra vez. Buenos Aires: Aique. Página 17 de 632 ANÁLISIS DE NECESIDADES TECNOEDUCATIVAS: ESTADO DEL ARTE DE LAS TIC EN EL MEDIO EDUCATIVO DE LA MACRO REGIÓN SUR-AUSTRAL Danilo Díaz Levicoy, Ignacio Inay Navarro, Dr. Abraham Olivares Escanilla Universidad de Los Lagos - Chile [email protected], [email protected], [email protected] Nivel educativo: Medio Palabras Clave: Análisis de Necesidades, Informática, Matemática, Competencias Resumen El trabajo que se presenta corresponde a un análisis comparativo, respecto de la inserción de las TIC en el proceso de formación en la macro región sur-austral chilena, el estudio se orienta bajo un análisis de carácter cualitativo en el que se verifican aspectos tales como infraestructura, capacitación de profesores, aplicaciones en matemáticas, entre otros. Los resultados muestran que la inserción de las TIC en el medio educativo de la región se ha incrementado levemente, sin embargo, aún es insipiente la inserción de estas en el trabajo de los alumnos en el aula, la falta de perfeccionamiento de los profesores y la ausencia en la malla curricular de una asignatura exclusiva de informática para los estudiantes. Respecto a la aplicación de las TICs, los profesores de Matemática señalan aplicarlas en un 60%, en sus procedimientos didácticos, mientras que los alumnos(as), señalan que ello ocurre en un 16%, siendo uno de los software más utilizado en matemática por profesores y alumnos el Gaphmatic, seguido por el Derive, aunque el uso de estas herramientas debiese aumentar. Este estudio ha dejado de manifiesto una mejora en la inserción de las TICs en educación y en especial en educación matemática, observándose un mayor avance en los establecimientos educacionales de dependencia particular. Introducción En el último tiempo, el mundo y la sociedad exigen un nuevo tipo de alfabetización, la alfabetización tecnológica informática, que nos permite avanzar e ir al día en el contexto de las Tecnologías de la Información y Comunicación. El presente estudio es una indagación cualitativa realizada directamente en establecimientos educacionales, de modalidad Humanístico – Científico, pertenecientes a las regiones de Los Lagos y Los Ríos, Chile. El objetivo de esta investigación fue analizar el estado del arte con respecto a la aplicación de las TIC en Educación y específicamente en la Educación Matemática para el nivel secundario, indagando el uso, aplicación y aportes de las TIC en el desarrollo del proceso de enseñanza y aprendizaje. Objetivo General: Analizar el estado del Arte respecto a la aplicación de las TIC en educación, en particular en el contexto de la enseñanza aprendizaje de la matemática en secundaria. Objetivos Específicos: Observar aplicaciones que realizan los establecimientos en el contexto de las TIC. Evaluar las aplicaciones en las asignaturas respecto a las TIC. Discriminar respecto del uso de TIC en Ciencias Exactas. Página 18 de 632 Metodología La metodología utilizada es de carácter cualitativo con un enfoque experimental. Los resultados se obtuvieron mediante la aplicación de instrumentos (encuesta) semi-estructurado a profesores (24) y alumnos (628), previamente validados por expertos en Matemática, Informática y Educación. La graduación en que se ha desarrollado es a través de notas de campo y observación directamente del medio (Pérez, 1998). En cuanto al Análisis de Necesidades Tecnoeducativas, concierne a una herramienta de investigación derivada del trabajo de investigación educativa por (Gutiérrez, 1993), (Olivares, 2005a). Marco referencial Análisis de necesidades tecnoeducativas: Corresponde a una investigación, que permite obtener información temporal sobre el estado del arte de la aplicación de tecnologías en la educación. Una de sus principales ventajas, es que permite al docente obtener información actualizada y real sobre los requerimientos tecnológicos del entono que le interesa, situación de administración y el grado de aplicación de las Tecnologías de la Información y de la Comunición en la Educación y en particular de la Educación Matemática. ¿Cómo se realiza un análisis de necesidades? Para la realización este tipo de estudios se deben considerar, en lo posible, todos los actores educativos involucrados: Encuentra y/o entrevista a profesores y análisis de su inserción en las TICs: uso para la preparación de material (guía, evaluaciones), control de asistencia, registro de notas, presentación para las clases, uso de software matemático(a nivel personal y de aula), entre otros. Encuentra a los alumnos y análisis de su inserción en las TICs: uso para desarrollar tareas escolares, pertenencia a redes sociales (Fotolog, Facebook, otros), uso de software educativos en el aula y para el desarrollo de actividades. Observación de la infraestructura y administración: laboratorio de computación, cantidad de equipos a disposición de profesores y alumnos, formas de uso, medios tecnológicos a disposición de los docentes (Olivares, 2005b) Características de un análisis de necesidades El análisis de necesidades obtiene información del entorno que se desea conocer, comparando dos posiciones extremas, ¿Dónde estamos? y ¿Dónde deberíamos estar? Contrastando lo existente, con un ideal esperado, logrando de esta forma establecer métodos para solventar las necesidades, falencias y dificultades detectadas. Ningún análisis de necesidades es definitivo ni completo: el análisis de discrepancia o de necesidades es temporal y permite obtener información del aquí y del ahora. Pues, lo que exista o suceda en el futuro, será fruto de un nuevo análisis de necesidades. La información obtenida, debe hacer alusión a productos o comportamientos reales y no en proceso, por ejemplo: el proceso de implementación de un laboratorio de computación, pues esta implementación puede ser cancelada (Olivares, 2005a) Resultados: Página 19 de 632 Distribución de profesores encuestados 9 Matemática 15 Ciencia El 62,5% de los profesores encuestados corresponden al área de Matemática, los restantes al área de Ciencia. Acceso Internet Profesores/Alumnos Acceso Internet PROFESORES Acceso Internet ALUMNOS 0% 17% 24% Si No Si 76% No N/R 83% De la totalidad de los profesores encuestados, el 83% indica tener acceso al ciberespacio, mientras tanto que de los alumnos encuestados el 76% indica lo mismo. Capacitación Docente / Estudiantil Profesores Alumnos 0% 27% Si 50% 50% Si No No N/R 73% El 50% de los docentes, ha participado en cursos de perfeccionamiento con respecto a las TIC. Solo el 27% de los alumnos tiene una asignatura exclusiva de informática o computación, lo que significa que cuentan con una capacitación en informática. Página 20 de 632 Grado de aplicación TIC/ Ciencias Exactas Profesores - Matemática - TIC 40% Si No 60% Alumnos - Matemática - TIC Profesores - Ciencias Básicas - TIC 16% 46% Si 54% SI No No 84% El nivel de aplicación en las TIC en Ciencias Exactas de las Tecnologías de la Información y Comunicación en nuestra región: Los profesores de Matemática lo aplican en un 60%, mientras que los de Ciencias Básicas solo en un 46%. Con respecto al mismo tema los estudiantes secundarios señalan su uso en tan solo un 16%. Tipo de Software utilizado Profesores - Software Alumnos - Software Graphmatic Graphmatic 5 Cabri 33 Derive 4 Derive 31 Ofimática 3 21 Clic 13 Regla y Compás 1 Mapple 1 Euclid 1 Winplot 1 Cabri 1 SWP 1 Mathtype 1 Ofimática 1 Otros 0 1 Geogebra 2 3 4 5 6 6 18 0 5 10 15 20 25 30 35 Dentro de la asignatura de Matemática, por tipo de software podemos inferir que el más y utilizado por profesores y alumnos es el Gaphmatic, seguido por el Derive. Página 21 de 632 Uso de Programas según dependencia Alumnos - Programas - Particular Subvencionado Alunmnos - Programas - Municipalizados Alumnos - Programas -Particular 0% 0% 1% 18% 36% Si No Omite 41% Si Si No No Omite Omite 64% 58% 82% Desde la perspectiva de los estudiantes, las unidades educativas que presentan mayor uso de programas de matemática son los particulares subvencionados y particulares sobre los municipalizados. Alumnos - Programas - De pe nde ncia 30 26 25 20 16 15 11 10 10 6 5 1 2 0 1 2 1 7 5 1 0 tht Ma bri Ca ype ra eb og Ge clid Eu Municipal c Cli ti imá Of Particular Subvencionado ca ri De ve c ati hm ap Gr Particular Dentro de los programas más usados en el sistema particular se encuentra el Graphmatic seguido del Derive, mientras que en los establecimientos de dependencia particular subvencionados existe un predominio del Derive y el Cabri. Para los colegios de dependencia municipal existe un mayor uso de Graphmatic y Herramientas office, aunque en menor grado con respecto a los demás establecimientos. Tipo de actividades Profesores Alumnos 600 30 25 20 24 20 510 400 17 14 15 300 8 10 5 200 5 100 0 0 Planificaciones Preparación de Clases 500 500 22 Guías Pruebas Control de Asistencia Notas Otras 45 Actividades Academicas Entetención Otros 13 N/R Página 22 de 632 Dentro de las actividades desarrollada por los profesores con ayuda del ordenador, se destacan principalmente el desarrollo de Guías y Pruebas. En los educantes se prefiere levemente las Actividades de Entretención sobre las Académicas. Discusión Potencial didáctico de las TIC: Los profesores y los alumnos consideran que el uso de las TICs facilita el proceso de enseñanza y aprendizaje, pues cumple un rol visualizador y motivador en la tarea matemática que se esta desarrollando, además permitir una interacción constante en la actividad que se está realizando. Perfeccionamiento Docente: Los profesores se muestran interesados en participar en actividades de perfeccionamiento sobre uso de TICs, señalando prioritariamente el manejo de ofimática y herramientas propias para la enseñanza de la matemática. Infraestructura: en general, los establecimientos cuentan con infraestructura tecnológica, pero muchas veces son insuficientes para una efectiva inserción de las TICs. Actualización: Los alumnos destacan la importancia el uso de las TICs en la enseñanza de la matemática, pero a su vez dejan de manifiesto su poca utilización en el aula. Esto se puede justificar debido a la falta de tiempo del que disponen los profesores para crear buenas y efectivas actividades. Sumado a esto la poca actualización que poseen los profesores en el dominio de TICs. Conclusiones Análisis de necesidades tecnoeducativas: es una herramienta que permite al docenteinvestigador conocer las debilidades y fortalezas del entorno educacional inmediato en el cual se va a desarrollar, con el propósito de establecer los lineamientos de su gestión pedagógica. Acceso y Limitantes: lamentablemente existen establecimientos educaciones que no permiten realizar este tipo de estudio, pues intuyen que la información recabada será difundida de forma negativa ante la sociedad, o bien, se oponen al desarrollo de la investigación por creer que serán comparados con otras unidades educativas. Inserción curricular de las TIC: se constató que se están siguiendo algunas indicaciones del Ministerio de Educación de Chile sobre TIC-Educación, pero que aún esta utilización es leve, planteando grandes desafíos para los profesores de matemática y especialmente en la formación de formadores. Proyección: esta investigación abre la posibilidad que los profesores se interesen por el estudio de la utilización de las TICs en su entorno educativo; análisis de necesidades centrados en la inserción de las TIC en la educación primaria; análisis de las TICs en matemática y su contribución al proceso de enseñanza y aprendizaje; analizar el potencial de las TICs en evaluación de contenidos. Referencias bibliográficas BONVECCHIO, M. & MAGGIONI, B. (2006). Evaluación de los Aprendizajes. Manual para Docentes. Segunda Edición, Ediciones Novedades Educativas. Página 23 de 632 GUTIÉRREZ, I. (1993). Análisis de necesidades, Apunte Universidad de Santiago de Chile, manuscrito no publicado. KAUFMAN, R. (1973). Planificación de sistemas educativos. Ideas básicas concretas. México, Editorial Trillas. OLIVARES, A. (2005a). Propuesta metodológica para la enseñanza de la informática en pregrado. Tesis Doctoral. Valladolid, España OLIVARES, A. (2005b). Determinación de las necesidades tecnoeducativas. Apuntes, Universidad de Los Lagos, Osorno-Chile, manuscritos no publicados. PÉREZ, G. (1998). Investigación Cualitativa retos e interrogantes. Madrid, España, ED. La Muralla. Página 24 de 632 LA CORRESPONDENCIA NÚMERO IRRACIONAL-PUNTO DE LA RECTA. DE OBJETO DE ESTUDIO A OBJETO A ENSEÑAR Verdún Nora - Caronia Silvia Instituto Posadas Nº 0403 Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales. UNAM. Argentina [email protected] - [email protected] Nivel educativo: Medio Palabras clave: irracional, recta, praxelogía, transposición RESUMEN Este trabajo forma parte de un estudio didáctico-matemático que sigue los lineamientos de la Teoría Antropológica de Chevallard. Tiene por objetivo caracterizar las transformaciones a las que se ha sometido el objeto matemático: números irracionales - recta numérica, desde un modelo de organización matemática en relación con la problemática de la correspondencia número irracional- punto de la recta, hasta la enseñanza de los mismos en la institución escolar, vista desde dos dispositivos: Currículo y un libro de texto. Esta comunicación se centra en el problema específico de “la asignación de un punto de la recta a un número irracional dado”. Se anticipan algunas conclusiones que a priori se pudieron observar con respecto a la citada transformación. INTRODUCCIÓN El Diseño Curricular de la Provincia de Misiones pretende, a medida que transcurren los años de escolaridad, la ampliación de los conjuntos numéricos, de tal modo que al finalizar la E.G.B.3 (Educación General Básica, Tercer ciclo), el alumno haya “aprendido” la noción de número real, como así también las propiedades de los distintos conjuntos numéricos. En particular, en los 9nos años de E.G.B.3 y 1er año de Polimodal, se incorporan a los números racionales hasta allí conocidos por el alumno, los números irracionales: su concepto, la representación en la recta y las propiedades de la misma, terminándose por conformar así, la recta de números reales. Específicamente, se considera que la presentación de los números irracionales es escueta y se efectúa con el propósito de llegar a completar la estructura numérica de los reales. En los libros de texto de los niveles de enseñanza enunciados precedentemente, en general, cuando describen las características de la recta “real” se insiste en la biyección que existe entre cada punto de la recta y cada número real, ya sea racional ó irracional. Se señala que, aunque la recta con los números racionales es “densa”, aún tiene “huecos” y esos huecos se completan con los números irracionales, queda así la recta “continua”, cubierta totalmente de números reales. Sin embargo, al momento de representar a los números irracionales en la recta, la mayoría de los libros (de 9no año de E.G.B.3 o 1eraño de Polimodal) explican un procedimiento geométrico, basado en el Teorema de Pitágoras, para la 2 , 3 , 5 , 7 y algunas raíces cuadradas más, tras lo cual efectúan la generalización mencionada en el párrafo anterior, es decir, la biyección entre números reales y puntos de la recta. Con la representación de unos pocos números irracionales en la recta, los autores enuncian las características de la “recta real”: continua, ordenada, completa (sin huecos), resultando además “transparente” la biyección mencionada. Como consecuencia de este panorama sobre la introducción de los números irracionales y su correspondiente representación en la recta, en el contexto de la institución escolar, surgen Página 25 de 632 algunas cuestiones a considerar, como el estudio, la reflexión y el análisis acerca de la “transformación” que ha sufrido este objeto matemático, desde un modelo de organización matemática, basada en un estudio del contenido en relación con la problemática de la correspondencia número irracional-punto de la recta, hasta llegar a la enseñanza de los mismos en la Institución escolar, vista desde los dos dispositivos ya enunciados. Las cuestiones que surgen, se pueden clasificar según los aspectos: Cognitivo: ¿Cómo se resuelve el problema de ubicar en la recta la marca puntual correspondiente a un número irracional dado? Instruccional. ¿Cómo se sugiere la enseñanza de los objetos: números irracionales, reales y la representación de estos números en la recta geométrica en la institución escolar, específicamente en el primer año del Polimodal? Para responder a estos cuestionamientos se adopta como marco teórico la Teoría Antropológica de la Didáctica por cuanto este paradigma cuenta con herramientas teóricas que favorecen el estudio: la Transposición Didáctica y la noción de Praxeología. Teoría Antropológica de la Didáctica (T.A.D.) de Y. Chevallard Dentro de la “Didáctica fundamental”, como lo expresara Gascón (1998) “no era posible interpretar adecuadamente la matemática escolar (...) sin tener en cuenta los fenómenos relacionados con la reconstrucción escolar de las matemáticas‖, es decir, sin observar los fenómenos de Transposición Didáctica (Chevallard, 1985), los que a su vez, no pueden estudiarse independientemente del proceso de producción de las obras matemáticas. Es así como a partir de la Teoría de la Transposición Didáctica, surge el enfoque Antropológico en la Didáctica de las Matemáticas (Chevallard, 1992). Esta teoría se designa a si misma antropológica porque sitúa a la actividad matemática y por consiguiente la actividad del estudio en matemáticas como una actividad humana más, en el seno de alguna Institución social. Su postulado de base es que toda actividad humana que se realice regularmente puede describirse con un modelo único, identificable con la noción de praxeología. La Transposición Didáctica La teoría de la Transposición Didáctica fue presentada por primera vez en el año 1980. Básicamente enuncia que los contenidos o conocimientos que se enseñan en la escuela no son generados en ella ni para ella, sino en otros sitios (o Instituciones) de la sociedad y que se los enseña en la Institución escolar ―por necesidades sociales de educación y difusión‖ Bosch y Gascón (2007). En este marco es necesario un trabajo transpositivo, en el sentido de transformaciones adaptativas, que posibiliten que un conocimiento que no fue producido para la escuela pueda ser reproducido en ella, conservando su potencia y funcionalidad. Este trabajo transpositivo, que va más allá de simples transferencias o simplificaciones de los conocimientos al pasar de una institución a otra, lo realizan diferentes actores de la sociedad: la noosfera. Desde este lugar se impondrán una serie de condiciones y restricciones sobre el tipo de enseñanza de un determinado conocimiento en la institución escolar. La limitación se presenta cuando el trabajo transpositivo no es capaz de sostener o de recrear alguna posible razón de ser para el conocimiento que se desea que la escuela transmita. Este concepto da cuenta del origen de una noción matemática ―porqué se construyó inicialmente, en que ámbito, contexto o problemática y como participa en el desarrollo del saber matemático, hasta llegar a las posibles funciones de la noción en las actividades (matemáticas o no matemáticas) que tiene lugar en la sociedad‖ (Bosch y Gascón, 2007). Página 26 de 632 Los componentes de una Praxeología Matemática u Obra (T, Ô , , ) Praxeología Matemática o también, denominada por Chevallard, organización matemática, es el modelo por el cual se produce matemática como consecuencia de la actividad del estudio sistemático e intencional de algún tipo de “tareas o cuestiones” (T) que resultan problemáticas para una comunidad en un momento histórico dado. La obra como actividad humana responde a necesidades específicas y para que aquellos problemas que la hacen surgir sean transformados en tareas rutinarias, realizables fluida y eficazmente, se requiere de una determinada “manera de hacer” o “técnica” ( Ô ), palabra de origen griego que significa “saber hacer”. La técnica no es necesariamente de naturaleza algorítmica. Puede ocurrir que una técnica sea exitosa para resolver alguna tarea, pero no para un tipo de tareas. Los tipos de tareas y las técnicas asociadas constituyen el “saber-hacer” que hacen referencia a la praxis de la actividad. Para que las técnicas puedan existir en una institución, deben poder ser justificadas racionalmente, de tal manera que se pueda asegurar que permiten realizar las tareas que se pretenden. Esta es la primer función de la tecnología ( ), la que además tiene como finalidades la de explicar, hacer inteligible y exponer porqué una técnica es correcta, como también la de producir nuevas técnicas. El discurso tecnológico contiene frecuentemente afirmaciones más o menos explícitas de las que se puede pedir razón. El argumento formal que justifica la tecnología es la teoría ( ), es un nivel superior de justificación-explicación- producción. Los enunciados teóricos aparecen como “abstractos”, alejados de las tecnologías y técnicas. El conjunto: tecnología- teoría constituyen el bloque del saber o el logos de la actividad. En síntesis, una praxeología relativa a un tipo de tareas, está constituida por dos bloques: el práctico-técnico (saber-hacer) y el tecnológico-teórico (saber). Organización Matemática del tema en estudio Atendiendo al marco teórico en el que se encuadra este trabajo (la T.A.D) se estudia una organización matemática acerca de la cuestión central del mismo: la asignación punto de la recta – número irracional y recíprocamente. En esta presentación, se mostrará una parte de esa organización matemática. Frente a la cuestión de la correspondencia número– punto se plantea: Tarea 1(T1): Obtener la marca puntual (M) en la recta geométrica, que le corresponde a un número irracional dado (Se conocen los puntos correspondientes al cero y al uno, además del número irracional). Algunos investigadores señalan que para responder a esta cuestión, se necesita conocer una expresión inequívoca del número irracional, basada en algún sistema de representación: verbal, icónica o en el sistema de numeración decimal. No obstante hay muchos números irracionales para los que no se tiene tal representación inequívoca, como por ejemplo un número fabricado por el sucesivo lanzamiento de un dado en base diez: 0,579452381... Se trata de un número trascendente (número real no algebraico), no computable (no se puede predecir para cualquier n la cifra enésima) y no constructible (no se puede ubicar o representar “exactamente” en la recta mediante el uso de la regla y el compás ideales) (Coriat M. y Scaglia S, 2000) Para dar respuesta a esta tarea, se disponen de diferentes técnicas o modos de hacer. En general, la utilización de una u otra técnica va a depender del tipo de número irracional que se quiera representar, básicamente atendiendo al criterio de si es o no un número constructible. Página 27 de 632 Técnica 1: para T1 ( Ô 1;1 ): Procedimiento para obtener el punto sobre la recta correspondiente a 50 . Se trata de un número irracional constructible (pertenece a un subcuerpo de R estable por la raíz cuadrada, además de todos los números racionales y las raíces de racionales positivos de índice 2n, con n natural) Coriat y Scaglia (2000). 49 = 7 y de altura 1. La diagonal tiene Se construye sobre la recta un rectángulo de base una longitud de 50 . Con el compás, se rebate sobre la recta la longitud de la misma (desde el punto correspondiente al cero). El extremo de este segmento no coincide con ningún punto racional, es el punto correspondiente al irracional 50 . (Fig. 1) 0 7 50 Figura 1 Tecnología 1 ( 1; 1,1), para la técnica 1 de la tarea 1: Se trata de construir un rectángulo tal que su diagonal (hipotenusa de un triángulo rectángulo) mida la raíz cuadrada buscada. En el ejemplo de la técnica 1 ( Ô 1;1) la hipotenusa debe medir 50 , por lo que los catetos del 49 y 1 respectivamente. Se fundamenta tal construcción en un corolario del Teorema de Pitágoras. Como la hipotenusa debe medir 50 , triángulo rectángulo pueden valer, por ejemplo un cateto puede medir 1 y para hallar la longitud del otro cateto hay que plantear la ecuación: 50 1 x , de donde se desprende que el otro cateto (x) debe medir 2 Teoría 1 ( 2 49 . ): el Teorema de Pitágoras que explica y justifica la técnica 1, nos remite en 1 última instancia a un nivel superior de justificación: las “Nociones comunes y a los Postulados de Euclides”. En particular: las nociones comunes 1 y 2 y el postulado 1 de Los Elementos de Euclides (Libro I) En tanto la asignación número real - punto de la recta queda garantizada por el “Axioma de Cantor” o el “Axioma de Dedekind”. Si el número que se quiere representar en la recta es el irracional 38 (constructible), la 5 técnica 1 utilizada para ubicar ejemplo: Técnica 2 ( 50 no resulta satisfactoria, es necesaria otra técnica, como por Ô2,1) para Tarea 1: Para obtener el punto sobre la recta correspondiente a 38 . 5 (Fig. 2) Se traza una semicircunferencia con centro en 19 y radio 19 , de tal modo que la misma 5 5 pase por los puntos correspondientes al 0 y a 38 . 5 Página 28 de 632 Se traza una perpendicular a la recta por el punto de abscisa 1 hasta cortar a la semicircunferencia (punto A). Se une el punto O con el punto A, determinándose el segmento OA. Dicho segmento tiene una longitud 38 . 5 Con el compás se transporta sobre la recta la longitud de dicho segmento (desde el punto correspondiente al cero). El extremo de este segmento no coincide con ningún punto racional, es el punto correspondiente al irracional 38 . 5 A O N 0 1 B 38 19 38 5 5 5 Figura 2 Tecnología 2 ( 2; 2,1), para la técnica 2 de la tarea 1 Se basa en la construcción de triángulos rectángulos semejantes tales que, los lados homólogos formen una proporción continua, donde el segmento medio proporcional sea el de la longitud buscada (Puede ser cualquier raíz de índice 2 n de un n° racional positivo). 38 En el ejemplo de la técnica 2 ( Ô 2;1 ), como se pretende que el OA mida 5 y el ON se considera de longitud 1, para hallar la longitud del OB (donde OB es el diámetro de la semicircunferencia a construir y por lo tanto OB / 2 es el radio de la misma e indica la abertura 38 del compás) basta con hallar el extremo de la proporción continua 1 38 5 , dde la que se OB 5 obtiene OB = 38 . 5 La justificación de que la longitud del OA OB es en base a la relación de proporcionalidad entre los lados homólogos de triángulos semejantes. Página 29 de 632 Teoría 2 ( 2 ) La proporcionalidad entre segmentos, y la asignación número real - punto de la recta, nos remiten en última instancia a las “Nociones comunes y Postulados de Euclides” y al “Axioma de Cantor” o al “Axioma de Dedekind”. En la tecnología 2 se menciona el trazado de figuras, las que se pueden justificar en base a las definiciones: 10, 17 y 21de Los Elementos de Euclides (Libro I). También se menciona en la tecnología 2 la proporcionalidad entre segmentos que se forma entre los lados de dos triángulos rectángulos semejantes. Se pueden justificar en base a las definiciones 3, 5, 6 y 8 de Los Elementos de Euclides (Libro V). Consideraciones sobre la organización matemática Esta problemática, la de la correspondencia número irracional – punto de la recta y resolver las tareas planteadas, se basa en la medida de longitudes, por lo que en general para todo número irracional, en la práctica, esto es físicamente, en cuanto media un proceso de “medición directa” los resultados serán aproximados, ya que en estos casos, el observador recurre a la utilización de instrumentos de medición (regla, compás), lo que va a arrojar siempre algún error, esto es alguna diferencia entre la ubicación de la marca puntual en la recta correspondiente a un número irracional y el número irracional asignado a través de alguna representación. Si la tarea a resolver se puede hacer a través de un proceso de ―medición indirecta‖, o desde un plano ideal, trabajando con instrumentos “ideales”, la correspondencia es exacta, pero desde la práctica, la misma será siempre aproximada. Algunas consideraciones acerca de la enseñanza desde los Diseños Curriculares y Libro de Texto Una parte importante de este trabajo consiste en el estudio del contenido tanto en los Currículos como en libros de textos, con el objetivo de poder precisar su ―razón de ser‖ dentro de la Institución escolar. - En los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP, 2006) no se mencionan explícitamente a los números irracionales ni reales como objeto de estudio; sí aparece como contenido lo que puede identificarse como una “razón de ser” de los números irracionales: reconocer que los racionales no son suficientes para expresar ciertas longitudes, como específicamente se mencionan: la longitud de la circunferencia y los lados de un triángulo rectángulo. Es decir, se pretende que quede planteada la “necesidad” de otros “nuevos” números, además de los racionales. - En cambio en el Dispositivo Curricular, E.G.B.3 (1998), en la síntesis explicativa del eje Números y Operaciones dice que los números irracionales han de introducirse por las necesidades de su uso (lo que justificaría su inclusión como tema de estudio), aunque no se hace referencia a ello en ninguna otra parte del mismo. Menciona explícitamente a los números irracionales, a los números reales, al orden y la completitud, a la recta y los números reales. - Son los Programas Orientadores, Educación Polimodal (1999), donde se pone énfasis con relación al trabajo de la correspondencia: punto - número real. Sin embargo tampoco en este nivel aparece explícitamente mencionado en los contenidos el trabajo con la densidad de los reales y en particular no queda dicho cómo abordar la completitud y la continuidad (estas últimas propiedades distinguen a R de los otros conjuntos numéricos, más allá de la densidad, que gozan tanto los racionales como los irracionales). A continuación se propone analizar qué se enseña en relación con el objeto números irracionales – representación en la recta en un libro de texto correspondiente al primer año de Polimodal, el que ha permitido observar la transformación de este conocimiento desde la Página 30 de 632 praxeología matemática presentada y lo que el autor muestra como organización matemática. Kaczor, Schaposchnik, Franco, Cicala y Díaz (1999): Observen el siguiente esquema: marcamos el punto O en el origen y trazamos un arco de circunferencia de centro O y radio OA que interseque el eje x en un punto. Este punto representa el número irracional…….porque OA= 2 Entonces, hay puntos de la recta que representan números racionales y otros puntos que representan números……………………… . Si pudiéramos marcar los puntos correspondientes a todos los números racionales y a todos los irracionales, la recta quedaría completa. 1 A 1 0 1 2 La unión del conjunto Q de números racionales y el conjunto I de números irracionales es el conjunto R de los números reales. A cada número real le corresponde un único punto de la recta y cada punto de la recta representa un número real. A esa recta continua la llamamos recta real. El autor comienza introduciendo un número: 2 , que demuestra no es racional (marco numérico), luego muestra que se puede hacer corresponder a este número irracional un punto de la recta numérica (marco geométrico). A partir de esta presentación de un único númeropunto irracional, sanciona: la “completitud” de la recta, la formación de los números reales y la correspondencia uno a uno entre números reales-puntos de la recta a la que califica de “continua” y denomina recta real. Se señala al respecto de la correspondencia número irracional punto de la recta que, el autor no ha presentado la técnica en su totalidad para llevar a cabo la marcación, como tampoco los elementos tecnológicos-teóricos. Se piensa que esta breve introducción de los irracionales, bajo estos dos marcos (numérico y geométrico) podría obedecer a la necesidad de lograr constituir el conjunto de números reales, a modo de cumplir con la presentación de los campos numéricos, a la vez de institucionalizar la completitud y/o continuidad de la recta, con el compromiso de que quede asociada a la misma, la completitud del conjunto de números reales. CONCLUSIONES En el modelo de organización matemática presentado, al menos se muestran dos procedimientos diferentes de resolver la tarea planteada. En ella se observa la limitación de la primera técnica (sólo raíces cuadradas de números naturales) y se muestra una segunda técnica, más potente que la primera (por cuanto permite ubicar los puntos correspondientes a raíces cuadradas de racionales positivos). Se detalla el cómo y el porqué se “hace” de esas maneras. En cuanto a la enseñanza de la correspondencia número irracional-punto de la recta, en el libro de texto analizado, se pueden observar las siguientes restricciones: se acota la naturaleza del Página 31 de 632 número irracional a ubicar puntualmente en la recta (sólo 2 ), no se muestra ni explica cómo sería para otras raíces cuadradas de naturales, además no se manifiestan las limitaciones de dicha técnica. Cabe mencionar que tras esta única presentación, establece un nuevo conjunto numérico: el de los números reales, señalando la correspondencia biunívoca entre cada número real y cada punto de la recta. Entre los documentos curriculares observados, en los Programas orientadores, Nivel Polimodal (1999), es donde se prevé un trabajo más exhaustivo en cuanto a la correspondencia puntonúmero irracional (real), aunque no se explicitan procedimientos (técnicas) ni el tratamiento de las justificaciones de los mismos (tecnología– teoría). En síntesis, se pretende que a través de este estudio se pueda reflexionar que, cuando se enseña un contenido (aquí la correspondencia número irracional-punto de la recta y la biyección entre número real- recta) hay otros aspectos relacionados, que se deberían considerar a la hora de abordar los mismos, como por ejemplo: la asignación de puntos de la recta a otros números irracionales (bajo otras representaciones), el problema de la correspondencia recíproca o el tratamiento de la exactitud en las marcaciones, que no se están manifestando y quedan asociados a lo mostrado en forma transparente. Al presentar estas reflexiones se espera contribuir a una mejor comprensión de la actividad intelectual desplegada en situaciones como ésta que seguramente, al ser más analíticamente conocidas, podrán ser mejor tratadas desde una perspectiva pedagógica. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Bosch M. y Gascón J. (2007). 25 Años de la Transposición Didáctica en Ruiz Higueras, L., Estepa, A., García, F. J. (eds.) Matemáticas, escuela y sociedad. Aportaciones de la Teoría Antropológica de lo Didáctico. Jaén: Publicaciones de la Diputación de Jaén (pp.349-371). Coriat M. Scaglia S. (2000). Representación de los números reales en la recta. Enseñanza de las ciencias, 18, 25 - 34. Barcelona. Chevallard Y. (1999). El análisis de las prácticas docentes en la teoría antropológica de lo didáctico. Recherches en Didactique des Mathématiques, 19 (2), 221 – 266. Francia. Kaczor, P., Schaposchnik, R., Franco, E., Cicala, R. y Díaz, B. (1999) Matemática I. Buenos Aires: Santillana. Ministerio de Cultura y Educación de la Nación. (1999). Programas Orientadores. Educación Polimodal. Adoptado por la Provincia de Misiones, pp 93-99. Argentina. Ministerio de Cultura y Educación, Provincia de Misiones. (1998). Dispositivo Curricular, E.G.B.3. pp79 – 94. Argentina. Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología, presidencia de la Nación, Consejo Federal de Cultura y Educación. (2006). Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP) Matemática. 3er ciclo E.G.B./Nivel Medio, 7º, 8º y 9º Años. pp 16 – 29. Argentina. Página 32 de 632 UNA PROPUESTA DIDÁCTICA: INTRODUCCIÓN AL TEOREMA DE PITÁGORAS Norma Martyniuk - Silvia Caronia Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales. UNAM. País: Argentina [email protected] [email protected] Nivel educativo: Medio Palabras Clave: Análisis Didáctico, Desigualdad Triangular, Ternas Pitagóricas, Teorema de Pitágoras RESUMEN Se presenta una propuesta didáctica como inicio de estudio para la enseñanza del Teorema de Pitágoras, teniendo en cuenta que el mismo debe tener sentido, tanto en lo instrumental para resolver diferentes problemas como también en lo formativo como conocimiento geométrico. Se plantea la problemática originaria y su aplicación práctica en diferentes situaciones, destacándose el motivo del surgimiento de la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, dando sentido a su estudio como contenido matemático. INTRODUCCIÓN Para iniciar el estudio sobre el tema, Teorema de Pitágoras, en la enseñanza en 1er año de la CBS, se proponen actividades que permitan a los alumnos en relación a sus conocimientos previos, enfrentarse a ellas, favoreciendo: la observación, los cuestionamientos, la formulación de hipótesis, la reflexión sobre sus producciones, la modificación o elaboración de nuevos conocimientos, la obtención de conclusiones lógicas de las proposiciones y datos a su alcance en un trabajo interactivo y participativo. Con soporte a lo mencionado precedentemente y en las indagaciones y análisis de propuestas de enseñanza en los libros de textos, se presenta una actividad introductoria que destaca el motivo del surgimiento de la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, dando sentido a su estudio como contenido matemático. La actividad se encuentra enmarcada en la Teoría de las Situaciones Didácticas de Guy Brousseau, la cual propone un modelo de enseñanza, que consiste en un proceso centrado en la producción de conocimiento matemático en el ámbito escolar. La misma constituye una herramienta para conocer, explicar y ofrecer elementos para intervenir en la realidad de las clases de matemática. Brousseau (1986) otorga en su teoría un rol fundamental a la situación didáctica, situación construida intencionalmente, y la define como:“el conjunto de relaciones establecidas explícita o implícitamente entre un alumno o grupos de alumnos, un cierto medio y un sistema educativo con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vías de constitución.”, es decir, es aquella que se elabora con el fin que el alumno aprenda un determinado saber. Dentro de la Teoría de las Situaciones, existen distintos momentos, en el caso del docente el rol fundamental se centra en la Devolución e Institucionalización. La devolución, la define Brousseau (1988), como: “el acto por el cual el maestro hace aceptar al alumno la responsabilidad de una situación de aprendizaje o de un problema y acepta el mismo las consecuencias de esta transferencia”. Este proceso se desarrolla durante toda la situación adidáctica, el docente debe orientar al alumno para establecer la relación entre alumno problema, sin la comunicación del conocimiento en juego. De esta manera, se modeliza a la devolución como un proceso realizado, dentro de una negociación que forma parte del Contrato Didáctico. La Institucionalización, que es la parte complementaria a la Devolución, Brousseau (1988) lo define como “la consideración oficial del objeto de enseñanza por parte del alumno, y del Página 33 de 632 aprendizaje del alumno por parte del docente”. El docente es el encargado de dar un estatus cultural a las producciones del alumno, es decir, definir las relaciones que pueden tener con el saber cultural o científico y con el proyecto didáctico. ACTIVIDAD PROPUESTA Materiales: Regla, lápiz, compás, semicírculo, cuerdas y hojas. Objetivos de la actividad Establecer la relación que deben cumplir tres segmentos, para la construcción de triángulos. Interpretar y comprender cuáles son las condiciones para que una terna de números enteros positivos se corresponda con los lados de un triángulo rectángulo. (Recíproco del Teorema de Pitágoras). Valorar la importancia del Teorema de Pitágoras como herramienta útil para resolver diferentes situaciones. Primer momento En el inicio de la clase el docente hará un trabajo grupal, para llevarlos a la reflexión sobre cuestiones que deberán quedar acordadas previamente al trabajo con las ternas. Se pretende evidenciar que conociendo tres segmentos cualesquiera no siempre es posible construir un triángulo, para ello los lados deberán cumplir una condición: la desigualdad triangular. Consigna 1 Si tuvieras tres palitos de cualquier medida, ¿siempre es posible construir un triángulo? Los alumnos podrán comprobar lo solicitado y dar respuesta a la pregunta, valiéndose de palitos, biromes, lápices, etc. Si llegaran a trabajar solo con objetos de las mismas medidas les será en principio, evidente construir el triángulo. Podrán contestar que es posible. El docente ante la respuesta deberá advertir que el pedido es con “cualquier medida”, es decir no necesariamente iguales por lo que preguntará: Si ahora tuvieran palitos de diferentes longitudes ¿también podremos asegurar que se formará un triángulo? Para responder a la pregunta los estudiantes pueden ir observando en qué casos se formarán los triángulos y en qué caso no. Podrán decir: - “depende de la medida”, hay casos en donde “no se cierra”. - “Con dos largos y uno corto se forma” - “Con tres iguales también” O puede suceder que, como los elementos son de cualesquiera longitudes, los alumnos “acomoden” a su “conveniencia” y continúen sosteniendo que siempre se forma un triángulo. Ante esta posibilidad el docente deja en suspenso esta respuesta para discutir después de la segunda consigna y llegar a los acuerdos pertinentes. Página 34 de 632 Consigna 2 Cecilia y José están realizando la tarea y discutiendo la posibilidad de construir triángulos con las siguientes medidas de segmentos: a) 3 , 5 y 3 ; b) 5 , 12 , 13 c) 3 ; 1 y 1 ; d) 6 , 8 y 10 . Cecilia asegura que es posible en todos los casos y José dice que no. ¿Quién tiene razón y por qué? En el primer momento ha sido un trabajo limitado en la posibilidad de formar los triángulos independientes del valor de los segmentos, solo se podía decir “más largo”, “más corto”, “distintos”, “iguales”. En esta parte se comienza el trabajo con medidas de segmentos concretos y se pretende evidenciar que conociendo tres segmentos cualesquiera no siempre es posible construir un triángulo, para ello los lados deberán cumplir una condición: la desigualdad triangular. Además se quiere destacar la representación de los lados de un triángulo como ternas de longitudes de segmentos para un trabajo posterior. Luego de la puesta en común se deberán llegar a los siguientes acuerdos: - No cualesquiera tres segmentos forman un triángulo. - Tres segmentos forman un triángulo si se cumple que: “cada uno de ellos es menor a la suma de los otros dos y mayor que su diferencia” - Cuando indiquemos por ejemplo (3, 6, 7), nos referiremos a las longitudes de los lados de un triángulo. Esta notación recibe el nombre de ternas y 3, 6 y 7 son las componentes de dicha terna. Segundo momento Se formarán grupos de 3 o 4 alumnos. En cada caso se les pedirá que registren los procedimientos, como también las justificaciones en una hoja. Cada grupo expondrá sus respuestas en una puesta en común. Habrá espacios de trabajo colectivo con la puesta en común, donde las producciones serán acordadas conjuntamente. Luego el docente hará un resumen de todo lo trabajado y pactado en la clase, para pasar a la formalidad del conocimiento a través de la institucionalización. Consigna 3 Los “tiradores de cuerdas” en el antiguo Egipto eran los encargados de subdividir las tierras, luego de la crecida anual del río Nilo. Utilizaban un procedimiento para trazar ángulos rectos. Se habían dado cuenta que, tomando una cuerda a la que hacían 12 nudos, todos a la misma distancia, la estiraban entre estacas colocadas en sus nudos de junturas y encontraban un ángulo recto (es decir consideraban como unidad de medida la distancia entre dos nudos, que correspondía a un segmento de recta, y los vértices del triángulo estaban en uno de sus nudos). Traten de averiguar cómo se las arreglaban para construir ángulos rectos con estas cuerdas. En esta consigna se le entregará a cada grupo las cuerdas con 12 nudos unidas en sus extremos. A partir de la misma con movimientos diferentes hallarán la forma de obtener un ángulo recto, en este caso existe una sola ubicación de cada nudo para formar el ángulo requerido. Página 35 de 632 De esta manera se pretende que los alumnos comprueben que para encontrar el ángulo recto, necesariamente sus lados se corresponden a un triángulo rectángulo, teniendo en cuenta la unidad utilizada de la distancia entre nudos: 3, 4 y 5. Al efectuar los movimientos correspondientes en la búsqueda “del ángulo” al ubicar los nudos, queda determinado un único triángulo rectángulo, ya que pueden formarse también otros triángulos al desplazar la cuerda, es por ello que el docente luego trabajará esta cuestión. Luego de la puesta en común se llegarán a los siguientes acuerdos: - con la cuerda de 12 nudos se puede construir un único triángulo rectángulo, aunque se ubique en distintas posiciones. - Se halla un ángulo recto cuando se forma con la cuerda un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5. - La terna (3, 4, 5) corresponde a los lados de un triángulo rectángulo. Siendo 3 y 4 los catetos y 5 la hipotenusa que pertenece al lado de mayor longitud. Consigna 4 Los indios y los chinos utilizaban un procedimiento similar a los egipcios para obtener ángulos rectos, encontraron otros valores 8, 15 y 17 y también 9, 12 y 15. ¿José duda si es cierto que con esos valores se formaban ángulos rectos?. Lo ayudan a verificarlo. En este caso la consigna apunta a destacar que existen otros valores además del analizado anteriormente, que permiten formar triángulos rectángulos. Luego de la puesta en común se deberán llegar a los siguientes acuerdos: - se puede verificar a través de la construcción que los valores dados forman triángulos rectángulos. - La terna (9, 12,15) corresponde a un triángulo rectángulo. - La terna (9,12,15) corresponde a los lados de un triángulo rectángulo, donde cada uno de ellos, es el triple de los segmentos que forman el triángulo rectángulo (3,4,5) - A partir de ternas conocidas se puede obtener otras ternas multiplicando a cada elemento de la misma por un número entero positivo. Trabajo colectivo Luego de la puesta en común y de los acuerdos arribados el docente iniciará un diálogo: -¿con cualquier terna de valores se pueden encontrar ángulos rectos?. El docente dejará un momento de reflexión. Se espera que los alumnos observen lo trabajado anteriormente, para responder que: “no siempre se puede encontrar ángulos rectos”. La inquietud que surgirá será: ¿cómo era posible que aseguren que las ternas de valores hallados permitan encontrar el ángulo recto?. El profesor manifestará que posiblemente éste era el cuestionamiento planteados por los griegos, quiénes intuían que podía existir una relación entre los valores de las ternas encontradas que aseguraban el ángulo recto y además que correspondía a los lados del triángulo rectángulo. Los griegos tenían en claro que si armaban un triángulo rectángulo, obtenían el ángulo recto que buscaban, lo que se preguntaban entonces era ¿si el triángulo era rectángulo, qué relación había entre sus lados?. Se deja un momento de reflexión para que los alumnos vuelvan a las ternas encontradas. Luego el docente dirá que: “los griegos hallaron la relación que existía entre sus lados, Página 36 de 632 elevando al cuadrado y sumando los lados de menor longitud (es decir los catetos) daba el lado de mayor longitud al cuadrado (es decir la hipotenusa). El docente solicitará a la clase que prueben si se cumple la relación descubierta por los griegos con los valores de las ternas de las consignas anteriores que han dado triángulos rectángulos (3, 4, 5); (5, 12, 13), (6, 8, 10), (9, 12,15) y (8, 15, 17). Seguidamente expresará que “estas ternas” que cumplen la condición mencionada, se las llaman Ternas Pitagóricas. Cada elemento de la terna se corresponde con las longitudes de los lados de triángulos rectángulos, lo cual fue comprobado por Pitágoras. A la finalización del trabajo colectivo, se establecerán los siguientes acuerdos: Si en una terna cualquiera se cumple que, la suma de los cuadrados de los dos primeros es igual al cuadrado del tercero, dichos valores se corresponden con las longitudes de los lados de triángulos rectángulos. Las ternas (a, b, c) siendo a, b y c números enteros, que verifican la relación mencionada precedentemente, son llamadas ternas pitagóricas. A continuación el profesor dirá: ¿con tres segmentos de longitud 1,5cm, 2cm y 2,5cm se podrá formar un triángulo rectángulo? ¿Cómo puedo saber? Esta pregunta tiene la intención de que los alumnos reflexionen nuevamente sobre las longitudes, ahora valores decimales, probablemente los sorprenda en un primer momento, pero resultan cuestiones interesantes de tratar antes de dar la formalidad de la relación. Institucionalización El docente dará la formalidad al conocimiento que ha circulado, retomando primero todo lo discutido y acordado en cada consigna, para a continuación enunciar: “Si en un triángulo, el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es rectángulo‖. Si en un triángulo de lados (a, b, c), se cumple que a 2 + b2 = c2, el triángulo es rectángulo. - (Recíproco del Teorema de Pitágoras) - La relación entre los lados del triángulo rectángulo nos conduce al Teorema de Pitágoras, el cual establece que: ―en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos‖. Dado un triángulo rectángulo de lados a, b y c, donde a y b son sus catetos y c la hipotenusa, se cumple que a2 + b2 = c2. - A partir de este Teorema conociendo dos lados de un triángulo rectángulo es posible encontrar el tercer lado. Página 37 de 632 Actividades Complementarias Las actividades propuestas están pensadas con la intención de continuar reflexionando a través de actividades que muestren la visión de instrumento útil del Teorema para la resolución de diferentes situaciones desde la matemática, como también de la vida cotidiana. Analizar las siguientes situaciones presentadas, resolver y justificarlas: 1. Cecilia dispone de tres varillas de 6, 8 y 10 cm y dice que también puede construir un triángulo rectángulo, si aumenta 1 cm a cada lado del triángulo ¿Estás de acuerdo con esta afirmación?, ¿Por qué? 2. En un taller se construyó un marco cuadrado de 1,2 m de lado. A Pedro le parece que tiene alguna falla. ¿Cómo puede saber si está bien construido el marco? Justifique su respuesta. 3. Juan camina cada mañana 500 m hacia el sur y 100 m hacia el oeste para llegar a la escuela. Rosario camina 300 m hacia el norte y 300 hacia el oeste, y también llega a la escuela. Rosario dice que aunque caminan lo mismo, ella está más cerca de la escuela, ¿puede tener razón? (Sadovsky, Sessa, (2002)). 4. La diagonal de un cuadrado mide 50 cm. ¿Cuánto mide su lado? 5. El siguiente problema se encontró en un libro muy antiguo. Traten de resolverlo. Tengan en cuenta que “codos” es una medida de longitud. ―Si un bambú de 32 codos de altura ha sido roto por el viento de tal manera que su extremo superior queda apoyado en el suelo a una distancia de 16 codos de su base, ¿a qué altura del suelo se rompió‖. (Bosani V, Carnelli G, Lamela C, Itzcovich H, 2006). Conclusiones Comenzar la actividad discutiendo las condiciones que deben cumplir tres segmentos para que formen un triángulo, conducirá a la presentación de la desigualdad triangular, no solo como “una condición más de las que regularmente algunos autores presentan” sino como un momento oportuno para discutir el porqué, cualquier medida de tres segmentos no siempre permiten construir un triángulo. Se piensa que es necesario antes del inicio del Teorema de Pitágoras tener en claro estas relaciones entre lados, ya que, cuando se trabaje con el triángulo rectángulo deberán cumplirán otras más. Una visión diferente para abordar el estudio del Teorema de Pitágoras es comenzar a analizar la relación que deben cumplir los lados, para que el triángulo sea rectángulo. Iniciar el estudio del Recíproco del Teorema, permitirá comprender el porqué de la existencia de dicha relación y el motivo de su surgimiento, indagar, discutir, reflexionar sobre estas cuestiones dará sentido al estudio en cuestión. Referencias Bibliográficas Berté, A (1999). Matemática Dinámica. Buenos Aires. Argentina. Red de Formación Docente Continua Ministerio de Cultura y Educación de la Nación. Publicación original: Mathématiques dynamique. Editions Nathan-Paris (1993). Bosani V.- Carnelli G.- Lamela C. - Itzcovich, H.; Novembre A. (2006). Matemática 8. Buenos Aires. Argentina. Editorial Tinta Fresca. Boyer, C. (1994). Historia De La Matemática. Madrid. España. Editorial Alianza. Versión española de Mariano Martínez Pérez. Brousseau, G. (1987): Fundamentos y Métodos de la Didáctica de la Matemática. Irem. Francia. Traducción realizada con autorización del autor por: Fregona Dilma y Ortega Página 38 de 632 Facundo. Publicada por la Facultad de Matemática, Astronomía y Física de la Universidad de Córdoba. Argentina. Colerus, E, (1943). Historia de la Matemática. De Pitágoras a Hilbert. Alemania Traducción directa del original alemán por Caplan, N. Buenos Aires. Argentina. Ediciones progreso y cultura. Chemello, G. (1992). La Matemática y su Didáctica. Nuevos y Antiguos Debates. Buenos Aires Argentina. Editorial Aique. Chorny, F., Krimker, G., Salpeter, C. (2004). Pitágoras 8. Matemática. Buenos Aires. Argentina. Proyecto Mundo para todos. Ediciones SM. Dispositivo Curricular (1998). Posadas, Misiones. Argentina Tercer ciclo. Ministerio de Cultura y Educación de la Provincia de Misiones. NAP (2006) Núcleos de Aprendizajes Prioritarios de Matemática. Tercer ciclo de la educación general básica/ nivel medio (7mo, 8vo y 9no). Buenos Aires. Argentina. Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología. Panizza, M. (2003): Conceptos básicos de la Teoría de Situaciones Didácticas en enseñar Matemática en el Nivel Inicial y 1º ciclo de EGB. Buenos Aires. Argentina. Editorial Paidós. Sadovsky, P, Sessa C. (2002). Actualización de programas de nivel medio. Programa de matemática, primer año. Gobierno de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires. Secretaria de Educación, Dirección General de Planeamiento. Dirección de Currícula. Página 39 de 632 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS ESCOLARES. SIGNIFICACIONES DE LOS ALUMNOS E INTERVENCIÓN DOCENTE Autoras: - Lic. Isabel Venazco - Lic. Elba Mottolese FLACSO (Argentina) Universidad Nacional de General San Martín (San Martín. Prov. de Bs. As. Argentina). E-Mail [email protected] / [email protected] / [email protected]/ Nivel Educativo: Medio Palabras clave: Problema matemático escolar, significaciones de los alumnos,motivación, intervención docente. RESUMEN La matemática ha evolucionado históricamente a partir de la resolución de problemas. Esto implica que su enseñanza no es sólo un fin sino un medio para lograr el aprendizaje. Pero, ¿Cómo “viven” los problemas matemáticos en el aula? ¿Cómo se relaciona cada alumno con el problema? ¿Cuál es la actitud del profesor al gestionar la clase? Abordaremos estas cuestiones desde las teorías cognitivas basadas en los esquemas y desde la teoría de la motivación: centrándonos en las orientaciones motivacionales de los alumnos y en las intervenciones del docente. Nos limitaremos a hacer una reflexión teórica acerca de la resolución de problemas en el ámbito escolar, inmersos en las situaciones de enseñanza y los procesos de aprendizaje. Nuestra unidad de análisis será, por tanto, la compleja trama de interrelaciones entre el alumno, el docente y el problema matemático por resolver que se producen en un determinado contexto sociocultural. Pretendemos que las reflexiones teóricas que se plantean en este trabajo permitan repensar e investigar las prácticas áulicas para que los problemas matemáticos se comporten como vehículos de los aprendizajes y no se transformen en verdaderos obstáculos. INTRODUCCIÓN Los problemas son, o deberían ser, los protagonistas en la enseñanza de la matemática ya que su resolución permite activar, en los alumnos, procesos cognitivos mediante los cuales éstos pueden, entre otras cosas, construir los objetos matemáticos, aprender estrategias generales de resolución, entender el funcionamiento de su propio razonamiento, conocer y dominar sus estados de ánimo, aumentar la confianza en sí mismos. Pero cabe preguntar: ¿Logran los alumnos los objetivos antes mencionados o sólo son frases sublimes escritas en la planificación del docente? ¿Qué siente? ¿Qué piensa?, ¿Qué hace cada alumno cuando se enfrenta a la resolución de un problema? ¿Cuál es la actitud del profesor al gestionar la clase? ¿De qué manera interviene? En este trabajo nos limitaremos a hacer una reflexión teórica de los problemas matemáticos escolares, las significaciones que de ellos crean los alumnos y las intervenciones del docente analizadas desde el modelo de la psicología cognitiva clínica y desde el modelo motivacional de Montero y Huertas (2002). El mismo problema matemático suscita en cada alumno distintas emociones, pensamientos y conductas. La relación que establece el alumno con el problema depende de los esquemas que haya construido. En los casos en que surjan dificultades sistemáticas y persistentes en su resolución es tarea del docente ayudar al alumno a identificar los esquemas desadaptativos que le impiden apropiarse del problema e intervenir en el diseño y presentación de las tareas favoreciendo la motivación con orientación al aprendizaje. Página 40 de 632 Comenzaremos el trabajo definiendo lo que entendemos por problema matemático escolar para analizar luego las significaciones que de él crean los alumnos, la manera que el docente puede percibir estas significaciones e intervenir en favor del aprendizaje 1. Problema matemático escolar: En el contexto escolar debe tenerse en cuenta que es el alumno quien resuelve el problema no cualquier resolutor- y que es planteado por un docente con una intencionalidad determinada por ciertos objetivos de enseñanza fijados a priori. El alumno, por su parte, debe actuar ajustándose a los contratos implícitos y explícitos que se establecen dentro del sistema educativo. Puig (1996) considera que “un problema escolar de matemática es una tarea de contenido matemático, cuyo enunciado es significativo para el alumno al que se ha planteado, que éste desea abordar y para la cual no ha producido sentido”(p.31). Según la teoría desarrollada por Ausubel (1968) el enunciado será significativo para el alumno en la medida que le posibilite activar conocimientos adquiridos previamente. Cuanto mayor sea esta activación mayores posibilidades tendrá el alumno de resolver correctamente el problema. La expresión “producir sentido” se refiere a la adquisición del aprendizaje. Si ya se le adjudicó un sentido al problema, éste deja de serlo. El sentido se encuentra cuando se llega a la solución y cuando se resignifican todos los elementos del problema a la luz de los procedimientos usados para alcanzar la meta. 2. Significaciones de los alumnos 2.1 Aportes del modelo cognitivo Dice Adler (1931, citado en Beck, 1979) “…los significados no están determinados por las situaciones, sino que nos determinamos a nosotros mismos por el significado que damos a las situaciones.” (p.17). Según esta concepción, no es el problema en si mismo el que impacta en el alumno sino las significaciones que éste ha creado sobre los problemas matemáticos. Estudiaremos cómo se generan estas significaciones teniendo en cuenta las hipótesis sobre las que se basa el modelo cognitivo planteado por Beck (1964) y Ellis (1962) (citados en Beck, 1979) - Las percepciones de las situaciones influyen sobre las emociones y los comportamientos de las personas. - Los sentimientos no están determinados por las situaciones mismas sino por la interpretación que la persona hace de ella. Para analizar las percepciones y las interpretaciones que las personas hacen de una situación es necesario hacer referencia a uno de los conceptos claves de la teoría cognitiva: el concepto de esquema. La teoría de Bartlett (citada en Keegan, 1998) afirma que los esquemas son estructuras relativamente estables desarrolladas por el ser humano para poder procesar los estímulos y recuperar los registros que éstos han dejado. Desde esta teoría, la memoria es considerada un proceso activo de evocación que está determinado por el esquema desarrollado por el sujeto. En este sentido, Piaget (1977) ha desarrollado su teoría de la inteligencia sobre la base del concepto de esquema. Éstos son los que le permiten al sujeto construir y conocer el mundo y a sí mismo. Desde la didáctica de la matemática G. Vergnaud también ha retomado este concepto cuando considera que un esquema (schème) es la organización invariable de la conducta para una clase de situaciones dadas (Vergnaud , 1994) Los esquemas, así definidos, son un todo dinámico formado por cuatro elementos: Página 41 de 632 1234- El objetivo y las anticipaciones. Las reglas de acción y de encadenamiento condicional de las operaciones. Los invariantes operatorios mediante las cuales el sujeto puede seleccionar y tratar convenientemente la información. Las inferencias. Según Vergnaud (1994) los invariantes operatorios son del tipo “concepto - en acto” o “teorema – en acto”. Los conceptos - en acto son conocimientos implícitos que pueden ser considerados como pertinentes o no pertinentes, pero no como verdaderos o falsos. Los teoremas – en acto son proposiciones aceptadas como verdaderas por el sujeto pero que pueden ser verdaderas o falsas. En ellos se basa el trabajo mental realizado por el alumno. No son conocimientos demostrados como los teoremas científicos. El proceso de conceptualización está relacionado con la construcción de invariantes operatorios. En cuanto a las inferencias, dependen de las particularidades de la situación que el sujeto trata. A partir de los datos y los objetivos, los sujetos infieren propiedades que pueden ser falsas. Beck, por su parte, considera que durante el desarrollo del ser humano normal se constituyen esquemas que le permiten procesar e interpretar las situaciones que se le presentan en la vida En sentido estricto, puede considerarse que un esquema es una unidad de procesamiento de información: “una estructura cognitiva que aprehende y categoriza la información relativa a una porción de la realidad” (Beck, 1995, en Keegan, 2004, p.288). Desde una perspectiva más amplia, se considera que un esquema es un tipo de creencia llamada central por pertenecer al nivel más esencial de la cognición. Las creencias centrales (esquemas) son ideas fundamentales y profundas sobre uno mismo, las otras personas y el mundo. Son globales, rígidas y generalizan excesivamente. Se forman a partir de las interacciones del sujeto con el mundo y con los demás y una vez que son activadas determinan la interpretación de las situaciones particulares de la vida. Los esquemas no son innatos sino que se van construyendo en las distintas etapas del desarrollo, desde los primeros años de vida. Puede suceder que determinadas situaciones conduzcan a la formación de esquemas disfuncionales que cuando son evocados posteriormente, generan alteraciones en el procesamiento prototípico de la información. Surgen en estos casos pensamientos que conducen primero a emociones negativas y luego a conductas desadaptativas. Uno de los axiomas básicos de la teoría cognitiva sostiene que la emoción sigue al pensamiento y que ambos determinan los comportamientos. Cuando los comportamientos no son funcionales es posible generar una reestructuración cognitiva mediante la modificación de los pensamientos. Siguiendo la secuencia antes mencionada, se logrará un cambio en las emociones y consecuentemente en la conducta. (Keegan, 1998). Existen distintos niveles en los pensamientos. Hicimos referencia anteriormente a las creencias centrales que se ubican en el nivel más esencial de la cognición. En el extremo opuesto se encuentran los pensamientos automáticos, son específicos para cada situación y constituyen el nivel más superficial de la cognición. Beck (citado en Keegan, 2004) los llamó automáticos porque no son producto de un razonamiento sino que aparecen en forma abrupta y rápida. En general el sujeto no es consciente de este tipo de pensamiento y sólo percibe la emoción que generan. Por ello para identificar los pensamientos automáticos, deben observarse los cambios afectivos que se producen en el sujeto. Entre las creencias centrales y los pensamientos automáticos existe otro nivel cognitivo: las creencias intermedias. Al igual que las creencias centrales, se construyen a partir de las interacciones de la persona con el mundo y con los demás. Las creencias intermedias son actitudes, reglas o expectativas y presunciones. Ejemplificaremos, más adelante, cada uno de estos niveles cognitivos a partir del estudio de las actitudes de los alumnos a la hora de resolver problemas matemáticos. Página 42 de 632 2.2 Pensamientos, emociones y conductas de los alumnos al resolver problemas Las actitudes de los alumnos en el momento de enfrentarse a la resolución de un problema matemático pueden ser positivas (confianza, tranquilidad, disposición de aprender, curiosidad, gusto por el reto, etc) o negativas (miedo, nerviosismo, prisa por terminar, desinterés). Las primeras favorecen el avance en la tarea y las segundas lo obstaculizan provocando en algunas circunstancias bloqueos de origen afectivo o cognitivo. Estas reacciones emocionales implican determinadas conductas que adoptan los alumnos frente a la tarea propuesta por el profesor y responden, en gran medida, a las creencias que el alumno tiene respecto de algunos conceptos -como la inteligencia, el aprendizaje, la motivación- y a las atribuciones que hace sobre sus éxitos o fracasos acontecidos anteriormente en situaciones análogas. Supongamos que un docente presenta a todos los alumnos de un curso un mismo problema matemático para resolver. Los sentimientos que se generarán en cada sujeto no están determinados por el problema en sí sino por la manera en que cada uno interpreta la situación que está enfrentando. La interpretación de la situación consiste en transformar los datos en cogniciones (pensamientos e imágenes visuales) a partir de los esquemas que ha construido el sujeto. Existe una correspondencia entre los esquemas del sujeto y las situaciones externas que los activan. Las emociones que experimenten serán, según el modelo cognitivo, producto de los pensamientos que se generen en su mente. Las emociones, a su vez, influirán en su conducta. Presentamos a modo de ejemplo, distintos casos que se presentan con frecuencia en el aula: En el siguiente cuadro compararemos los esquemas, pensamientos, emociones y conductas para cada uno de los casos expuestos: SITUACIÒN Caso1 Resolución de un problema Caso 2 ESQUEMAS PENSAMIENTOS EMOCIONES CONDUCTA -No soy inteligente -Los números no fueron creados para mí. -Desánimo -No vale la pena intentarlo, seguro me va a salir mal -Desinterés Evita la tarea para no caer en el fracaso que anticipa. -Si lo intento, puedo llegar a resolverlo -Entusiasmo -El profesor ni mis compañeros pueden ayudarme -Malestar -La matemática es muy difícil -Estoy capacitada para enfrentar los problemas -Mis compañeros pueden ayudarme, si lo necesito -Interés -Debo relacionar la nueva información con conocimientos ya aprendidos. Centrada en la resolución del problema -Confianza en sí misma y en los demás Página 43 de 632 SITUACIÒN ESQUEMAS PENSAMIENTOS EMOCIONES CONDUCTA -Soy el mejor -no puedo equivocarme -Orgullo -no se enfrenta solo a la tarea por miedo al fracaso -Todo lo hago bien -Mis compañeros quisieran ser como yo Caso 3 -para hacerlo bien le pregunto al profesor -tengo que obtener una buena calificación -No soy buena para la matemática, tengo que esforzarme mucho -Esto no lo se hacer sola, voy a pedir que me ayuden -no vale la pena perder tiempo resolviendo problemas -Lo resuelvo de cualquier manera, así termino rápido -Quiero entender lo que estoy haciendo -desinterés por la tarea en sí misma -interés en la evaluación de los demás -Busca el lucimiento -Empeño Se centra en la resolución de la tarea, sabiendo que no lo logrará tan rápidamente como sus compañeros -Confianza en sí misma y en los demás Caso 4 Resolución de un problema Caso 5 -desinterés por la tarea. -Falta de compromiso. -apatía -Engaño -Si el profesor me pregunta, le digo que ya lo hice, y mientras tanto puedo hacer otra cosa más divertida 2.3 Aportes del modelo motivacional: Si analizamos estos casos desde la teoría de la motivación (Montero, 1997) vemos que, en muchas ocasiones, para defender la autoestima el alumno evita las emociones negativas, evita los fallos y, por tanto, no se enfrenta a la tarea. Permanece inactivo. Los pensamientos surgen de la creencia central que aprender es un sufrimiento garantizado y por ello se evita el aprendizaje. La inteligencia es considerada como una habilidad interna, permanente e incontrolable. Se cree una capacidad innata que no se puede modificar. El autoconcepto que tiene el alumno con estas características es globalizado y bajo. Considera que todas las situaciones de la vida cotidiana se reducen a una única dimensión y, por lo tanto, el autoconcepto no varía. Las expectativas de éxito son también bajas. Se hacen muchas atribuciones. El error se atribuye a la falta de inteligencia y el acierto a causas externas y variables. Las emociones son intensas y negativas en caso de error (razón por la que se evitan) y de indiferencia frente al acierto. Montero (1997) llama a este tipo de motivación al aprendizaje, orientación a la evitación. El Caso 1 es un claro ejemplo de este tipo de orientación. Página 44 de 632 En otros casos la motivación está orientada al lucimiento. Muchas de las características de esta orientación son similares a la de la evitación: las metas se centran en el yo, las tareas se realizan en forma autónoma cuando no hay riesgo de fallo. Hay retraimiento cuando el éxito no es seguro. Se tiene una concepción clásica de la inteligencia, el autoconcepto es como en el caso anterior, globalizado con la diferencia de que la autoestima es alta. Las emociones son intensas y positivas en caso de acierto y las emociones negativas se evitan mediante atribuciones defensivas. El caso 3 es un caso típico de motivación orientada al lucimiento. Por último, cuando el alumno se siente atrapado por la tarea en sí misma, centra sus metras en la tarea, se interesa por aprender e intenta ser autónomo, la motivación está orientada al aprendizaje. Hay un aprendizaje de tipo instrumental, se buscan los errores y la manera de salvarlos. Sus expectativas de éxito y las emociones son moderadas. Los éxitos se consideran naturales. Las pocas atribuciones que hacen se refieren a causas internas con respecto al fallo y al acierto. Se internalizan tanto el éxito como el error y éste es gestionado y no se lo considera como fracaso. Cambia la concepción de la inteligencia. Se la considera un conjunto de habilidades modificables mediante el esfuerzo. Se relaciona la inteligencia directamente con el nivel de aprendizaje y en este sentido ser más inteligente es tener más conocimientos específicos y destrezas en un determinado dominio. El autoconcepto es situado, variado ya que se concibe la realidad desde múltiples dimensiones. Dos ejemplos de motivación por aprendizaje son el caso 2 y el caso 4. . Evidentemente, no se puede encasillar a cada alumno dentro de una única orientación ya que cambian las situaciones académicas y por tanto difícilmente las motivaciones de los alumnos permanezcan siempre dentro de una misma orientación. Del caso 5 podremos afirmar que seguramente no se trata de una alumno con motivación orientada al aprendizaje, tampoco está orientada al lucimiento. Se trata más bien de una orientación a la evitación ya que si bien el alumno no evita directamente la actividad, tampoco se compromete con el aprendizaje. Se produce un bloqueo de tipo afectivo, que tiene que ver con emociones negativas como el desgano, el desinterés que impiden poner en marcha procesos cognitivos que permitan resolver adecuadamente el problema. 3. Intervención docente en el aula 3.1 Aportes del modelo cognitivo Aplicando la teoría cognitiva clínica en educación, podemos decir que las dificultades en la resolución de problemas no se deben sólo a procesos intrapsíquicos sino que surgen cuando sucesos externos activan las estructuras internas del sujeto, los esquemas. En este sentido, una de las intervenciones del docente será la de extraer información sobre los esquemas que sostiene el alumno que presenta dificultades en los aprendizajes. Esto se logra examinando los eventos externos que activan dichos esquemas. Las técnicas cognitivas tratan de monitorear los esquemas desadaptativos que ha construido el sujeto poniendo a prueba sus falsas creencias. Un ejemplo claro es la creencia generalizada que tienen los alumnos sobre la inteligencia: es innata, globalizada, inmodificable. Siguiendo las consideraciones de Beck (1979) el docente podrá hacer intervenciones que favorezcan en el alumno: -el control de los pensamientos automáticos negativos (esto nunca me saldrá bien) -identificar las relaciones entre cogniciones (pensamientos), emociones y comportamientos. -analizar los alcances de los pensamientos distorsionados, recontextualizarlos, evaluar otras interpretaciones de la misma situación de modo de no hacer inferencias incorrectas sobre un hecho concreto. -aprender a identificar las falsas creencias y sustituirlas por interpretaciones más funcionales y realistas. Página 45 de 632 Las modificaciones de la estructura cognitiva del alumno influirán en su estado de ánimo y en su comportamiento. Las cogniciones negativas pueden ser la causa de bloqueos emocionales y de inhibiciones psicomotrices. En general, la teoría cognitiva centra su estudio en el individuo, en los aspectos intrapsíquicos. Sin embargo, en el ámbito escolar, las relaciones interpersonales influyen notoriamente sobre la conducta del sujeto. La visión que el alumno tiene sobre el “otro” (el profesor y sus compañeros) forma parte de sus creencias, de sus cogniciones y por tanto influirán positiva o negativamente sobre su conducta. Atendiendo a este punto, el docente debe ponerse en cada momento en el lugar del alumno para poder generar una relación armoniosa que brinde seguridad y favorezca la motivación hacia el aprendizaje. Asimismo debe estimular relaciones positivas entre pares de forma tal que no se produzcan situaciones que favorezcan la activación de creencias negativas hacia los demás que provoquen emociones que obstaculicen los aprendizajes. 3.2 Aportes del modelo motivacional Estudiaremos las intervenciones que puede hacer el docente para favorecer la motivación con orientación al aprendizaje a la hora de plantear la actividad de resolución de problemas. Adoptaremos una de las dimensiones consideradas por Montero (2002) referentes a la intervención motivacional del docente en el aula: la Tarea. La gestión de la tarea puede dividirse en tres momentos: el diseño, la presentación y la supervisión. En nuestro estudio, la tarea es la resolución de problemas matemáticos como herramienta para lograr un objetivo educativo. 3.2.1 Diseño de la Tarea A la hora de diseñar la tarea destacamos tres características a tener en cuenta: 3.2.1.1. Multidimensionalidad: En la mayoría de las prácticas docentes, a partir del objetivo propuesto, se elige un único problema que se plantea a todo el curso con la intención que todos aprendan lo mismo. Los alumnos no tienen posibilidad de elección. Este esquema unidimensional de planificación de la clase no favorece la apropiación por parte del alumno, del objeto de estudio. Difícilmente alguien se responzabilice en la resolución de un problema que no lo siente como propio. Huertas y Montero (2002) proponen diseñar actividades multidimensionales. En nuestro caso, presentar diferentes problemas que atiendan a un mismo objetivo educativo. El alumno tiene la libertad de elegir cuál va a resolver y esta posibilidad de elección hace que se comprometa y se responsabilice de la tarea. Se fomenta de esta manera la autonomía que permite el desarrollo de los procesos de autorregulación implicados en la orientación motivacional al aprendizaje. 3.2.1.2. Fragmentación: Cuando los problemas que se presentan requieren de varios pasos para llegar a la solución es conveniente guiar al alumno mediante pautas e trabajo que lo orienten en la resolución de cada paso. Conseguir resultados parciales exitosos incentiva al alumno a seguir adelante. Sin embargo, cuando un problema se plantea de forma que lo único importante es llegar a la solución última y global es más probable que surjan emociones negativas como el desánimo, el cansancio o el aburrimiento que impidan avanzar en la tarea. De esta manera estamos enseñando uno de los heurísticos en la resolución de problemas que es la división del problema en subproblemas o submetas. Una vez aprendida esta estrategia el alumno será capaz de aplicarla en forma autónoma. Esta estrategia permite reducir el espacio del problema y en consecuencia la cantidad de variables que entran en juego. Desde el punto de vista cognitivo se inhibe, temporalmente, de Página 46 de 632 la memoria de trabajo, información que no es relevante para la parte del problema en cuestión lo que permite un trabajo más eficaz. (Perez Echeverría, 2008). Desde el punto de vista motivacional, la no fragmentación de la tarea orienta al lucimiento de los alumnos ya que los que llegan a la solución del problema son los “genios” de siempre. 3.2.1.3. Retos moderados: Vigotski define el aprendizaje como “la apropiación y la internalización de instrumentos y signos en un contexto de interacción.” (Rivière, A., 1988, p.59). Para que se produzca aprendizaje, desde esta perspectiva, el sujeto debe desenvolverse en el marco de la Zona de Desarrollo Próximo (ZDP), es decir en la situación de interacción (experto – novato) en la que pueden crearse nuevas comprensiones y nuevas herramientas de mediación. Los problemas planteados por el docente deben tener en cuenta la ZDP en la que se desenvuelve el alumno para que favorezca la persistencia en la resolución. Si se trabaja por debajo de la zona se favorece el aburrimiento y si se trabaja por encima de ella, planteando problemas muy difíciles se produce el desánimo y en consecuencia la evitación o el bloqueo. Las interacciones que se producen entre los alumnos que se enfrentan de diferentes maneras a la actividad de resolución de problemas hacen posible uno de los elementos claves del aprendizaje, la apropiación del conocimiento. (Newman, D y otros, 1991). Debemos tener en cuenta que la ZDP en la que se desenvuelven los alumnos de un curso no es exactamente la misma, aún cuando el curso sea homogéneo. Es por esto que además de presentar varios problemas debemos seleccionarlos de forma que tengan diferentes grados de dificultad. Cada alumno elegirá el problema que considere un reto moderado; de esta forma ganará en seguridad y confianza en sus habilidades y competencias. 3.2.2. Estrategias para presentar la tarea. Siguiendo la propuesta de Montero (1997), señalaremos tres estrategias generales a la hora de seleccionar los problemas que plantearemos a nuestros alumnos: 3.2.2.1. Activar la curiosidad: La curiosidad se genera a partir de la variedad y la novedad. La variedad permite acceder a los diversos intereses de los alumnos. Por tanto es esta otra variable a tener en cuenta cuando planificamos tareas multidimensionales: que los enunciados de los problemas se refieran a diversos puntos de interés de los alumnos. Plantear temas novedosos también genera curiosidad. Cuando los problemas giran siempre en torno a las mismas situaciones la tarea no resulta atractiva, la motivación no se centrará en la tarea, y por lo tanto no se logrará un aprendizaje significativo. 3.2.2.2. Enfatizar la utilidad: La matemática es una herramienta de modelización de la realidad y como tal permite resolver problemas que se presentan en ella. Sin embargo, es una ciencia formal, y como tal, trata con objetos de conocimiento abstractos. Por esta razón, muchas veces no es posible relacionar un concepto matemático con un objeto real y cuando se intenta hacerlo se cae en errores epistemológicos graves. En este sentido la utilidad de la matemática es de tipo instrumental, sirve como herramienta para conseguir resolver un determinado problema. Debemos también rescatar la utilidad de los conocimientos matemáticos en los contextos socio históricos en los que fueron creados. 3.2.2.3. Conectar con los conocimientos previos: Terminaremos el trabajo retomando las consideraciones realizadas al inicio del mismo cuando definimos el problema matemático desde el sistema escolar: “un problema escolar de matemática es una tarea de contenido matemático, cuyo enunciado es significativo para el alumno al que se ha planteado, que éste desea abordar y para la cual no ha producido sentido”. Página 47 de 632 CONCLUSIÓN La resolución de problemas puede encararse en el aula desde diferentes perspectivas cada una de las cuales tendrá implicancias escolares específicas. Es indudable que no existe aprendizaje si el alumno no percibe un problema para resolver. Los problemas matemáticos, deben ser, por tanto los instrumentos culturales mediante los cuales el alumno se apropie de los conocimientos. Sin embargo, no es fácil elegir cuáles serán los problemas que cumplan con esta función. El primer paso para saber seleccionar los problemas adecuados será conocer los distintos tipos de problemas y las teorías que cada uno de ellos sustenta. Aún así, el mismo problema será interpretado de manera diferente por cada uno de los alumnos. En los casos en que se presentan dificultades sistemáticas y persistentes en la resolución de problemas, será necesario ayudar al alumno a identificar las creencias inadecuadas que le impiden apropiarse del problema. Otra condición indispensable es la motivación del docente por enseñar. Es a partir de ella que se podrán dar los pasos pertinentes que favorezcan la motivación de los alumnos con orientación al aprendizaje. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Ausubel, D. (1968). Educational psychology: a cognitive view. New York: Holt, Rinehart and Winston Beck, A.T., Rush, A.J., Shaw, B.E. y Emery, G. (1979). Terapia cognitiva de la depresión. Barcelona: Desclée De Brouwer. Beck, A.T.; Freeman, A. (1990) Terapia cognitiva de los trastornos de la personalidad. Madrid: Paidós. Huertas, J.A. y Montero, I. (2002). La intervención motivacional en el aula. Madrid: Santillana Educación. Keegan, E. (2001). La terapia cognitiva. Fundamento teórico, aplicaciones y perspectivas futuras. Buenos Aires: Clepios. Polemos. Keegan, E. (1998). Trastornos de ansiedad: la perspectiva cognitiva. Vertex. Revista Argentina de Psiquiatría.Vol. X, No. 33. Pp. 197-209. Keegan, E. (2004). Abordaje cognitivo del trastorno límite de la personalidad. Vertex. Revista Argentina de Psiquiatría.Vol. XV, Pp. 287-294. Montero, I. y Huertas, J.A. (1997). Motivación en el aula. En J.A. Huertas, Querer Aprender: Principios de la motivación humana. Buenos Aires: Aique. Newman, D., Griffin P. y Cole M. (1991). La zona de construcción del conocimiento, Morata: Madrid. Pérez Echeverría, M. (2008). Solución de problemas. En M. Carretero, M. y M. Asensio (Coords.), (2ª edición). Psicología del pensamiento. Teoría y prácticas. Madrid: Alianza. Página 48 de 632 Piaget, J. (1977). Psicología da inteligencia. Río de Janeiro: Zahar. Puig, L.(1996). Elementos de resolución de problemas. Granada: Comares. Rivière, A. (1988). La psicología de Vigotski, Madrid: Aprendizaje Visor. Vergnaud G. (1994). ―Aprendizajes y didácticas. ¿Qué hay de nuevo?” Bs As.: Edicial. Página 49 de 632 DESDE EL CONOCIMIENTO IMPLÍCITO AL CONOCIMIENTO EXPLÍCITO EN UNA ACTIVIDAD DE ÁLGEBRA Marcela Cifuentes – Martha Ferrero Universidad Nacional del Comahue – Argentina [email protected] Nivel educativo: nivel medio Palabras clave: teoremas-en-acción, dominio de validez, función lineal, función cuadrática Resumen En este trabajo se describen algunos conocimientos implícitos utilizados por estudiantes de escuela media, al resolver una actividad de Álgebra. La experiencia se llevó a cabo en un 5to año del Centro de Educación Media nº 46 de Bariloche, Argentina, en dos etapas: una clase y entrevistas clínicas posteriores, registradas en audio y video. La tarea propuesta a los alumnos se refiere a la comparación entre dos funciones, una lineal y otra cuadrática, dadas ambas de forma verbal (escrita). Se estudia el dominio de validez de los conocimientos intuitivos de los alumnos atendiendo a la Teoría de los Campos Conceptuales desarrollada por Vergnaud. En particular, presentamos algunos resultados del análisis de las producciones de dichos alumnos considerando la noción de teorema-en-acción y las aproximaciones “escalar” y “funcional” identificadas en los modelos lineales. Introducción Este trabajo fue realizado en el marco de un curso de Enseñanza y Aprendizaje de Álgebra Temprana dictado por la Dra. Bárbara Brizuela (Tufts University) en el Centro Regional Universitario Bariloche de la Universidad Nacional del Comahue. Esta investigación está realizada desde una perspectiva funcional del Álgebra, es decir, el énfasis está puesto en el estudio de las relaciones entre variables más que en la mera manipulación de ecuaciones y símbolos. Cabe destacar la importancia del enfoque aquí adoptado en la enseñanza del Álgebra según ha manifestado la comunidad de investigación en educación matemática: La investigación en educación matemática ha puesto de manifiesto la importancia de una perspectiva funcional en la enseñanza del álgebra. Un enfoque funcional del álgebra está en contraste con una perspectiva que se centra en la manipulación simbólica de ecuaciones, normalmente conocida como enfoque en ecuaciones. El concepto de función puede facilitar la introducción al álgebra mediante el uso de diferentes formas de representar las funciones: la notación algebraica, las tablas de funciones y gráficos en la cuadrícula de coordenadas cartesianas. Además, una introducción temprana a una perspectiva funcional puede promover una profunda comprensión de la noción de función, central en el campo de las matemáticas. Desde una perspectiva funcional, las funciones incluyen ecuaciones sólo como uno de los elementos de la enseñanza y el aprendizaje del álgebra. (Martínez & Brizuela, 2006). En este trabajo se describen algunos aspectos de los procesos de enseñanza y aprendizaje que surgieron al implementar una actividad de Álgebra en un grupo de 30 estudiantes de 5º año de un Centro de Educación Media público de Bariloche, Argentina. La tarea propuesta a los alumnos se refiere a la comparación entre dos funciones, una correspondiente a una función lineal y la otra correspondiente a una cuadrática, dadas ambas de forma verbal (escrita). Página 50 de 632 Propósito y marco teórico El propósito de este trabajo es realizar un análisis y descripción de los tipos de conocimientos implícitos de los alumnos al trabajar con funciones lineales y cuadráticas, desde una perspectiva funcional del álgebra. Dentro de este objetivo general, se pretende estudiar el dominio de validez de los conocimientos intuitivos de los alumnos. Para el análisis en cuestión tendremos en cuenta el marco teórico de la Teoría de los Campos Conceptuales desarrollado por Vergnaud, acerca de “invariantes operatorios” (teorema-enacción y conceptos-en-acción). Según Moreira (2002), que describe la Teoría de los Campos Conceptuales de Vergnaud: Teorema-en-acción es una proposición considerada como verdadera sobre lo real. Vergnaud se refiere a ―invariantes operatorios (teoremas-en-acción y conceptos-en-acción) que dirigen el reconocimiento, por parte del individuo, de los elementos pertinentes de la situación; …; son aquellos que constituyen la base, implícita o explícita, que permite obtener la información pertinente y de ella inferir la meta a alcanzar y las reglas de acción adecuadas.‖ (Moreira, 2002, pág. 7) Debido a la importancia de formular conexiones entre el conocimiento intuitivo de los alumnos y el conocimiento objetivo (Martínez & Brizuela, 2006), vamos a realizar un análisis de los teoremas en acción que aparecen en el desarrollo de la actividad propuesta. Cabe destacar lo que Moreira menciona al respecto: En general, los alumnos no son capaces de explicar ni tampoco de expresar en lenguaje natural sus teoremas y conceptos-en-acción. En el abordaje de una situación, los datos a ser trabajados y la secuencia de cálculos a ser realizados dependen de teoremas-en-acción y de la identificación de diferentes tipos de elementos pertinentes. La mayoría de esos conceptos y teoremas-en-acción permanecen totalmente implícitos, pero ellos pueden, también ser explícitos o tornarse explícitos y ahí encaja la enseñanza: ayudar al alumno a construir conceptos y teoremas explícitos, y científicamente aceptados a partir del conocimiento implícito. Es en este sentido que conceptos-en-acción y teoremas-en-acción pueden, progresivamente, tornarse verdaderos conceptos y teoremas científicos, pero eso puede llevar mucho tiempo. (Moreira, 2002, pág. 12) Según explica Moreira (2002) acerca de la Teoría de los Campos Conceptuales de Vergnaud, los teoremas en acción más importantes desarrollados por los estudiantes se encuentran las propiedades isomórficas de la función lineal: f ( x x' ) f ( x) f ( x' ) f ( x x' ) f ( x) f ( x' ) f (c1 x1 c2 x2 ) c1 f ( x1 ) c2 f ( x2 ) y las propiedades de coeficiente constante de esa misma función: f ( x) ax x 1 f ( x) a Modalidad de trabajo La modalidad de trabajo adoptada constó de dos encuentros, uno en el marco de una clase con todos los estudiantes; y una posterior entrevista a cuatro alumnos seleccionados luego de la intervención en el aula. Se consultó la página web: http://earlyalgebra.terc.edu. De allí nos propusimos trabajar en particular con una actividad en contexto: “Varying Rates of Change”, Lesson 5-16. La base de esta propuesta fue diseñada por el grupo de investigación en didáctica de la matemática Álgebra Temprana (Tufts University, Boston), para ser implementada en primaria dentro de un ambicioso proyecto donde los jóvenes estudiantes abordan actividades de álgebra desde los 8 Página 51 de 632 años. Se realizaron modificaciones que consideramos pertinentes de acuerdo a nuestro objetivo y al grupo con el que trabajamos (adolescentes de 16-17 años de los cuales no tenemos información sobre su formación específica previa en álgebra). La actividad propuesta en clase a los alumnos estuvo dividida en dos partes que fueron entregadas en el orden en que a continuación se muestra: Primera parte: La abuela de Matías le ofrece que elija entre dos opciones: a. Darle $ 5 por semana. b. Darle la primera semana $1; la segunda semana $ 2; la tercera semana $ 3 y así sucesivamente. 1. ¿Cuánto dinero acumulará con cada uno de las opciones en 5 semanas? ¿Y en 10 semanas? 2. ¿Qué opción le conviene a Matías? Mostrar que esa elección es la mejor. 3. ¿Hay algún momento en el cual es lo mismo elegir cualquiera de las opciones? Segunda parte: 4. ¿Cuánto tiempo le llevará con cada trato juntar $ 100? Explica tu respuesta. 5. ¿Cuál es la ganancia de Matías entre la tercera y séptima semana? ¿Y entre la semana 12 y la 16? 6. Representa gráficamente la relación entre el tiempo y el monto acumulado en cada uno de los tratos. (Con la segunda entrega se anexó una hoja con dos grillas para que los alumnos graficaran) Una vez presentada la primera parte de la actividad (ítems 1, 2 y 3), los alumnos trabajaron en grupos, discutieron entre ellos, y cada uno realizó su propia producción escrita. Después de la instancia de análisis y discusión grupal de la situación planteada, se efectuó una puesta en común con todos los alumnos de la clase. Se llevó a cabo la segunda parte de la actividad (ítems 4, 5 y 6) con la correspondiente discusión en los pequeños grupos y la entrega individual de las producciones. Luego de la intervención en el aula se procedió a seleccionar cuatro alumnos para la entrevista. La elección de los mismos se realizó considerando las intervenciones de los alumnos en clase y sus producciones escritas. Sobre esta base se armó un guión general de preguntas para la posterior entrevista, a fin de indagar con mayor profundidad los conocimientos implícitos en sus producciones. Las entrevistas se llevaron a cabo de a pares, por una parte se entrevistó a Belén y Sonia, y por otra parte a Valeria y Damián. Nos pareció adecuada esta modalidad de entrevista debido a que estas parejas así conformadas habían trabajado en los mismos grupos en el encuentro áulico. Tanto la intervención en el aula como las posteriores entrevistas fueron registradas. Por una parte se cuenta con el audio de la clase, y con vídeos de las entrevistas realizadas. Además contamos con las producciones escritas que los alumnos realizaron en clase y con el material escrito que produjeron los alumnos entrevistados. Descripción matemática de la actividad propuesta La actividad implementada se refiere al trabajo con funciones lineal y cuadrática. El enunciado presentado a los alumnos habla de dos tratos propuestos a Matías por su abuela. El análisis que aquí se presenta tiene por objetivo estudiar las relaciones entre las variables en la actividad propuesta: tiempo (en semanas) y cantidad de dinero acumulado por Matías (en pesos). El trato a (la abuela ofrece darle $5 por semana) corresponde a la función lineal f : N0 N0 , f ( x) 5 x Página 52 de 632 El trato b (la abuela ofrece darle la primera semana $1; la segunda semana $ 2 y así sucesivamente) corresponde a la función cuadrática donde f : N0 N0 , f ( x) x 1x 2 , N 0 es el conjunto de los números naturales con el cero. Análisis de algunas producciones Teoremas en acción utilizados por los alumnos Vamos a enfocarnos en el estudio que Vergnaud realiza de la función lineal, y lo que él denomina teorema-en-acción “escalar” y teorema-en-acción “funcional” (Martínez & Brizuela, 2006; Carraher & Schliemann, 2007). Por teorema-en-acción “escalar” se refiere a que dada una función de la forma f ( x) ax el trato que se le da a la misma es de alguna manera un trato recursivo. Para obtener algún valor de la variable dependiente, se le suma la constante a al valor anterior de la variable dependiente. En el contexto de nuestro problema, con la función f : N0 N0 , f ( x) 5x un alumno que utilice el teorema-en-acción escalar sumará 5 pesos iteradamente al valor anterior obtenido. En otras palabras, conoce f (0) 0 (Matías tiene inicialmente $0 con el trato a) y calcula f (n 1) f (n) 5 . Esta forma de tratar a las funciones muestra que los estudiantes, de forma implícita, se desprenden de la variable independiente, ya que sólo están atentos al algoritmo “sumar $5” y a operar con los valores de la variable dependiente (cantidad de dinero acumulado por Matías en $), pero hacen caso omiso a la variable independiente (tiempo en semanas), como se ejemplifica en la Fig. 1. Fig. 1_Estrategia de Valeria para resolver ítem 5 A su vez, el teorema en acción “funcional” (Martínez & Brizuela, 2006) supone el uso de la propiedad del coeficiente constante en lugar de la propiedad del isomorfismo utilizada en el caso del teorema en acción “escalar”. En el contexto de nuestro problema, con el teorema en acción “funcional” los estudiantes explicitan la relación entre los valores de la variable dependiente y los valores de la variable independiente. Para calcular cuánto dinero acumuló Matías en una determinada semana n, multiplicaría 5 por n. En cuanto al trato que los estudiantes hicieron de la función lineal, surge del análisis general de los registros el predominio del uso del teorema-en-acción “funcional”. A continuación se muestra como ejemplo de lo afirmado un fragmento de la transcripción del audio de clase, que corresponde a la puesta en común que se realizó luego de la primera entrega y respecto a la pregunta 1 de la misma (¿Cuánto dinero acumulará con cada uno de las opciones en 5 semanas? ¿Y en 10 semanas?): Página 53 de 632 Luciano: en la opción a 5 semanas 25 pesos Marcela: para el trato a entonces 25 pesos Luciano: la opción b 5 semanas 15 pesos, después la opción a 10 semanas 50 pesos y la opción b 10 semanas 55 pesos. Marcela: por qué y cómo hicieron ese cálculo? Dante: con los dedos…jajaja Marcela: bueno, está bien, contaron con los dedos, ¿pero qué contaron? Micaela: si por semana le daba 5 pesos, entonces en 5 semanas hicimos 5 por 5 y nos dio 25. En 10 semanas hicimos 5 por 10 y nos dio 50. Después en la b 5 semanas, fuimos sumando en la primera un peso, en la segunda 2 pesos… Este grupo de alumnos, nos muestra aquí cómo en el caso de la opción a, solamente hacen 5 por 10 por ejemplo para calcular el dinero que acumuló Matías luego de 10 semanas, mientras que para la opción b realizan una suma iterada, calculan el dinero acumulado por Matías en cada semana hasta llegar a la semana número 10. Un ejemplo gráfico es la siguiente tabla (ver Fig. 2) que construye Evelyn para contestar la pregunta 3 (¿Hay algún momento en el cual es lo mismo elegir cualquiera de las opciones?). Fig. 2_Tabla construida por Evelyn (pregunta 3) Si bien estos teoremas-en-acción “funcional” y “escalar” de los que habla Vergnaud se refieren a funciones lineales, podemos encontrar que los alumnos dieron un trato similar a la función cuadrática del trato b, expandiendo el dominio de validez de los teoremas-en-acción usados en la función lineal. Esta hipótesis se reafirma cuando analizamos lo que algunos alumnos realizaron en la pregunta 4 de la segunda entrega (ver Fig. 3 y Fig. 4). Fig. 3_ Respuesta de Victoria a la pregunta 4 con el trato a Página 54 de 632 Fig. 4_ Respuesta de Victoria a la pregunta 4 con el trato b Podemos observar el trato diferente que Victoria realiza con cada opción propuesta por la abuela a Matías. Por una parte, a la hora de calcular cuánto tiempo tardará en juntar $100 con la opción a, recurre a la propiedad del coeficiente constante (de tipo funcional). Y por otra parte calcula en la opción b realizando una secuencia iterada de sumas, basándose en el resultado anterior para hallar el siguiente. Es aquí que encontramos reminiscencias del teorema-enacción escalar para funciones lineales, pues se verifica el tratamiento implícito de la variable dependiente. Si bien vemos que parte de $55 que se corresponden a la semana 10, utilizando resultados de la pregunta 1, para contestar la pregunta 4 parte desde $55 y suma $11, suma $12, suma $13, suma $14, hasta que llega a $105 y por haberse pasado de los $100 a los que se refería el enunciado detiene su cálculo y consigna la respuesta en cantidad de semanas (variable independiente). Dado que la función cuadrática trabajada es muy particular, y el tratamiento iterativo se desprende de la manera en que se presenta la actividad, hablaremos del teorema en acto en este contexto concreto. (Si es posible extenderlo a las funciones cuadráticas en general escapa a este análisis y puede ser objeto de otras investigaciones). El dominio de validez del conocimiento de los alumnos Dentro de lo observado, en cuanto a lo que significó para los estudiantes manejarse con el opción a (función lineal) y con el opción b (función cuadrática), hay evidencias de diferentes conductas en el trato de cada situación, que conjeturamos se corresponden con la familiaridad de los conceptos involucrados. Al respecto, Moreira en referencia a Vergnaud, cita dos clases de situaciones: 1. Clases de situaciones en las que el sujeto dispone – dentro de su repertorio, en un momento dado de su desarrollo y bajo ciertas circunstancias – de las competencias necesarias al tratamiento relativamente inmediato de la situación. 2. Clase de situaciones en las que el sujeto no dispone de todas las competencias necesarias, que le obligan a un tiempo de reflexión y exploración, a vacilaciones, a tentativas frustradas, llevando eventualmente al suceso o a un fracaso. (Moreira, 2002) Los alumnos se enfrentan a lo que llamamos el “trato a” del problema (la abuela le ofrece a Matías darle $5 por semana) y en contraste se enfrentan también al “trato b” (la abuela le ofrece darle $1 la primer semana, $2 la segunda, $3 la tercera y así sucesivamente). El abordaje de cada trato nos muestra diferentes conductas en los alumnos. Por una parte, las indagaciones que los alumnos realizaron acerca del trato a, nos mostraron que poseían las competencias necesarias para trabajar con la situación, aunque en muchos casos no llegaban a explicitar los métodos utilizados para hallar los resultados, los mismos eran hallados sin dificultad y las respuestas fueron consignadas en el trabajo escrito, no así los procedimientos seguidos. Mientras que al indagar acerca del trato b, intentaron utilizar lo que les había sido útil con el trato anterior, es decir lo que conocen acerca de las funciones lineales (y que se cumplió Página 55 de 632 para el trato a) pretenden utilizarlo para el trato b (que se corresponde a una función cuadrática). Basta observar como ejemplo la Fig. 5, que se corresponde al trabajo realizado por Belén al intentar resolver el ítem 4 (¿Cuánto tiempo le llevará con cada trato juntar $ 100? Explica tu respuesta). Belén intenta llegar a una fórmula que le permita averiguar cuánto tiempo va a tardar Matías en juntar $100 con la opción b. Pero en esta búsqueda, la alumna recurre a lo que conoce se cumple para las funciones lineales. Notemos aquí que el rango o dominio de validez de lo que esta alumna supuso podría funcionar, fue superado. Consideramos positivo que ella misma se dio cuenta de esto. Desde el análisis didáctico el hecho relevante es que lo primero que intentó hacer es moverse en un terreno conocido. Fig. 5_ Belén en busca de una fórmula para el trato b Nos llamó poderosamente la atención, dentro de lo que fueron estos dos tipos de situaciones, que los alumnos expresaran en clase y luego en las entrevistas la necesidad de contar con una fórmula para trabajar la opción b, mientras que para trabajar con la opción a no expresaron necesitar la explicitación de ningún tipo de fórmula (si bien aparecieron expresiones como “5 por el número de semanas”, la falta de simbolización no representó un obstáculo para lograr los cálculos requeridos). Martha: Qué intentaste hacer ahí? (Se le muestra su hoja, Fig. 5) Belén: Lo pensamos las dos. En realidad porque… Sabíamos que hay… esto igual lo hicimos para una nos equivocamos porque lo hicimos en función de una línea recta con las pendientes y era una parábola al final. Pero, sabíamos que había una fórmula para la parábola, para sacar, no me acuerdo. Sonia: Llegamos al punto 4, leímos y dijimos: Bueno, para esto hay que ir sumando, sumando, hasta ver cuánto, llegamos aproximadamente a 100$. No tenemos ganas, debe haber una fórmula, entonces algo tiene que haber. Entonces empezamos a recordar lo del año pasado y tratar de sacar eso de… Belén: Lo que pasa es que sacamos en función de una línea recta y x . Como no nos daba, nos dimos cuenta de que habíamos puesto la pendiente para 1, para 2, no para 100. El 1 estaba mal, pero después realmente no nos daba porque era una parábola. Al intentar analizar las posibles motivaciones que llevaron a los estudiantes a la búsqueda de una fórmula que de alguna manera les solucione el problema, creemos que esto podría deberse al tipo de instrucción que han tenido estos alumnos. Según Schwartz: Tradicionalmente, diseñamos la enseñanza para que proceda de los símbolos a los números, y de ahí (a veces) a las gráficas. Este camino obliga a los alumnos a dominar las reglas y manipulación algebraicas, así como la manipulación simbólica de familias de funciones, antes de poder utilizar las matemáticas con el propósito de modelar su mundo. Nosotros creemos que ésta es una razón fundamental detrás del hecho de que se le dedique tan poco tiempo a Página 56 de 632 modelar y a la investigación matemática realmente importante dentro del programa de las escuelas secundarias. Este camino también implica un estilo de enseñanza y aprendizaje que avanza a modo de serie, en lugar de un estilo que utilice múltiples representaciones paralelas relacionadas; los alumnos pasan la mayor parte del tiempo manipulando símbolos sin siquiera poder relacionar lo que están haciendo con números o con gráficas. (Brizuela, 2005) Reflexiones finales El trabajo realizado intenta resaltar la importancia que pueden tener los teoremas-en-acción en el proceso de enseñanza – aprendizaje del álgebra, y mostrar a los docentes que el tenerlos en cuenta brinda la oportunidad de hacerlos evolucionar hacia un conocimiento explícito. También hemos destacado que diferentes tipos de situaciones pueden generar un mismo comportamiento inicial, siendo que los alumnos trabajan sobre lo conocido y es nuestra tarea docente hacerlos reflexionar sobre el alcance de las situaciones. Esto coincide con resultados de otras investigaciones (Villareal, Esteley & Alagia, 2007) en las que señalan la transferencia que hacen los alumnos de los modelos lineales a situaciones que se corresponden con otros modelos. A su vez, sugerimos que muchos de los comportamientos observados en los alumnos tienen una explicación en que su aprendizaje del álgebra ha sido de manera tradicional, centrado en la manipulación de expresiones simbólicas, y en este caso, la tarea propuesta rompe el esquema fórmula-tabla-gráfico para el manejo de funciones. La forma de presentación del enunciado los llevó a movilizar sus propias estrategias, y s lo cual consideramos una práctica saludable. Bibliografía Brizuela, B.M. (2005). Relaciones entre representaciones: el caso de Jennifer, Nathan y Jeffrey. In B. Brizuela y M. Alvarado (Eds.) Haciendo números. Las notaciones numéricas vistas desde la psicología, la didáctica y la historia. Paidos Educador. Carraher, D.W. &Schliemann, A.D. (2007). Early Algebra and algebraic reasoning. In F. Lester (Ed.) Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. NCTM. Martinez, M. & Brizuela, B. (2006). A third grader‟s way of thinking about linear function tables. Journal of Mathematical Behavior, No. 25, 285-298. Moreira, M. A. (2002). La Teoría de los Campos Conceptuales de Vergnaud, La enseñanza de las ciencias y la investigación en el área. Publicado en investigaciones en Enseñanza de las Ciencias, 7(1). Villareal, M.; Esteley, C. & Alagia, H. (2007). Las producciones matemáticas de estudiantes universitarios al extender modelos lineales a contextos no lineales. En Abrate & Pochulu (Comps.) Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática. Universidad Nacional de Villa María. Página 57 de 632 CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA EN UN CAMPUS VIRTUAL Mansilla, Alejandra – Parodi, Carlos – Vicente, Sonia Facultad de Ingeniería – UNLPam – Argentina [email protected] - [email protected] - [email protected] Nivel educativo: medio-polimodal/universitario Palabras clave: articulación, modalidad, presencial, e-learning RESUMEN Presentamos una propuesta que fue desarrollada por profesores del departamento de Matemática con la colaboración del Departamento de Informática de la Facultad de Ingeniería de la UNLPam, la cual luego de ser mejorada, se volverá a realizar este año. Con su implementación se pretende establecer un mecanismo de articulación entre el nivel medio y la universidad, para tratar de ampliar los conocimientos de los estudiantes y mejorar sus habilidades relacionadas con la matemática, favoreciendo su inserción y permanencia en el Nivel Superior. Ante el desafío de una educación globalizada se ha tenido que considerar la necesidad de incorporar tecnología en los procesos educativos para desarrollar nuevas formas de enseñanza-aprendizaje, a través de accesos múltiples de interacción y fuentes de formación. La incidencia de estas nuevas tecnologías en el campo de la educación, nos está indicando el surgimiento de un nuevo paradigma pedagógico-tecnológico. El uso de las nuevas tecnologías de la información y comunicación posibilitan un nuevo espacio socio-virtual para poder abordar esta problemática, sin desprendernos de la educación presencial. Se previeron distintas instancias de trabajo como ser: - Taller de Revisión de Contenidos de Matemática bajo la modalidad presencial. - Curso de Revisión de temas de matemática bajo la modalidad de E-learning. Con las actividades previstas se pretende ayudar a los estudiantes a recordar y/o reforzar algunos conceptos fundamentales de matemática desarrollados en el transcurso del Nivel Medio/Polimodal, y complementar la preparación básica de ellos tendiendo a favorecer sus posibilidades de acceso a la educación superior. INTRODUCCIÓN Justificación Para los adolescentes que están a punto de terminar el nivel polimodal, la proximidad de la finalización de esta etapa genera, en muchos de ellos, incertidumbre, ya que es el momento de tomar decisiones que pueden llegar a marcar su futuro. Este pasaje les resulta difícil y, superar con éxito las pruebas nivelatorias o los cursos de ingreso los preocupa ya que éstos representan un camino muchas veces sinuoso que tendrán que recorrer apelando a los recursos adquiridos en el nivel anterior. Experiencias de años anteriores y el análisis de las evaluaciones diagnósticas realizadas durante estos últimos años permiten afirmar que la formación en matemática del nivel medio, en un gran número de los estudiantes que ingresan a nuestra facultad, es claramente deficiente, de tal modo que la articulación escuela media - universidad resulta traumática, cuando no imposible. Consideramos que, desarrollando adecuadamente el material didáctico y brindándole al estudiante la posibilidad de una apropiación significativa de los contenidos apelando a Página 58 de 632 estrategias de enseñanza - aprendizaje adecuadas, se logrará motivarlos para que, a través de un trabajo sistemático durante los últimos meses previos al ingreso a la Universidad, incrementen sus posibilidades de lograr un buen desempeño en el inicio de su carrera. Acciones previas Que la cartera educativa de nuestra provincia carezca de un plan de articulación entre niveles sumado al hecho del ingreso irrestricto a las carreras que se cursan en la Facultad de Ingeniería de la UNLPam., hace que el mismo se produzca con una escasa preparación previa de los estudiantes en el área de matemática. Esta formación básica insuficiente, entre otras cosas, contribuye a que no puedan avanzar con éxito en las carreras universitarias elegidas. Al ser integrantes de las materias introductorias del año de las distintas carreras como Análisis Matemático Ia, Álgebra e Introducción a la Informática, observamos año a año los escasos resultados obtenidos por los estudiantes al finalizar el semestre, ya sea por la deserción dada o por la desaprobación de las distintas evaluaciones y sus correspondientes recuperatorios. Para intentar revertir esta situación se llevaron a cabo distintas acciones como ser: Dictado de cursos nivelatorios durante el mes de febrero previos al comienzo de la cursada de materias de primer año. Estos cursos se implementaron hasta el año 2007. Implementación de cursos nivelatorios de temas estudiados en la escuela media durante todo el primer semestre, paralelos al dictado de las asignaturas. Al final de los mismos los estudiantes podían inscribirse y cursar las primeras materias del plan de estudio. Comienzo anticipado de las clases de las asignaturas correspondientes al primer semestre con repaso de temas básicos de Matemática. Encuentros presenciales para la resolución de problemas con estudiantes que actualmente cursan el tercer año del Nivel Polimodal. Desarrollo de una experiencia piloto con un Entorno Virtual de Educación al final del año 2003 y comienzos del 2004 (presentación, durante los meses de diciembre de 2003 y enero de 2004, en un sitio Web específico, del material elaborado para un curso nivelatorio presencial de Matemática que se dictó en el transcurso del mes de febrero de 2004), utilizando la plataforma virtual diseñada por los miembros de una empresa consultora externa. Esta última actividad no tuvo continuidad porque los resultados obtenidos en ese momento no fueron los esperados: muy pocos estudiantes ingresaron a la página web de la facultad para ver el material presentado y menos fueron los que realizaron consultas a los profesores dedicados a atenderlos en ese tiempo. En el segundo semestre de los años 2004, 2005, 2006 y 2007 se implementó un Taller presencial de revisión de contenidos matemáticos destinado a todos aquellos estudiantes que tienen pensado continuar sus estudios superiores en carreras donde se necesite una formación matemática básica. El mismo estuvo a cargo de docentes de la cátedra de Análisis I y se llevaba a cabo dos días a la semana para los estudiantes de nuestra localidad, y el día sábado para los de localidades vecinas. En el año 2008, ante la falta de docentes que pudieran colaborar en la implementación del Taller presencial, se decidió desarrollarlo sólo durante la semana, para los estudiantes de la localidad. A través del programa de difusión de carreras que viene llevando a cabo nuestra Facultad, se recibieron innumerables inquietudes de alumnos, profesores y directores de escuela, para poder extender el taller a otras localidades de la región, o por lo menos disponer de los materiales utilizados para el desarrollo de los contenidos en el taller presencial. Considerando la imposibilidad de implementarlo los días sábado para que pudieran asistir los interesados, se decide pedir la colaboración a docentes del área de Informática, para adecuar Página 59 de 632 los contenidos en objetos de aprendizaje digitalizado y utilizar el campus virtual disponible en el sitio web de la Facultad de Ingeniería (www.ing.unlpam.edu.ar). Propuesta Internet se convierte en una gigantesca biblioteca universal. En consecuencia, el problema pedagógico no es la mera transmisión del “saber”, sino enseñar al alumnado a hacer frente de modo racional a la ingente y sobrecogedora cantidad de información disponible en una determinada disciplina científica. La formulación de problemas relevantes, la planificación de estrategias de búsqueda de datos, el análisis y valoración de las informaciones encontradas, la reconstrucción personal del conocimiento deben ser las actividades de aprendizaje habituales en el proceso de enseñanza universitario, en detrimento, de la mera recepción del conocimiento a través de apuntes de clase. Por lo que el profesor debe dejar de ser un “transmisor” de información para convertirse en un tutor que guía y supervisa la construcción del conocimiento del alumnado. Así como las redes transforman sustantivamente los modos, formas y tiempos de interacción entre docentes y alumnado, las nuevas tecnologías permiten incrementar considerablemente la cantidad de comunicación entre el profesor y sus alumnos independientemente del tiempo y el espacio, ya que los estudiantes poseen, en general, conocimientos y acceso al manejo de las redes y de las nuevas tecnologías de la información y de la comunicación. Contamos desde el año 2005 con una plataforma virtual de enseñanza que está siendo utilizada por la totalidad de las asignaturas pertenecientes a las carreras Ingeniería en Sistemas, Ingeniería Electromecánica, Ingeniería Electromecánica con orientación en Automatización Industrial y Analista Programador. Teniendo en cuenta los conocimientos previos del manejo de programas de Internet de los estudiantes y la posibilidad de utilizar un aula virtual de la plataforma, nos pareció adecuado implementar en ella el taller de conocimientos básicos de Matemática para alumnos del nivel medio. En el desarrollo de la propuesta se trabajó en forma intensa con responsables del área de Matemática (dos docentes y una auxiliar de Análisis Matemático I y un docente de Álgebra), con cuatro tutores de gestión y seguimiento académico y un coordinador, adaptando los contenidos del taller para ser dictado bajo la modalidad e-learning. La propuesta que presentamos es desarrollar un conjunto de actividades destinado a intentar que los postulantes cubran la brecha que los separa de la Universidad, aumentando la probabilidad de éxito de los mismos y organizando los recursos disponibles en beneficio del conjunto, mejorando el proceso de enseñanza-aprendizaje y facilitando el tránsito de los estudiantes entre instituciones de diferentes niveles educativos. Dicha propuesta se basa en la implementación de un curso introductorio bajo la modalidad de “e-learning”. Se denomina e-learning (electronic learning) al desarrollo de programas de enseñanza y aprendizaje a través de entornos virtuales. Es una modalidad de estudio totalmente online, donde los estudiantes se desvinculan del docente; dándole paso a la interacción con las TIC´s en plataformas o entornos virtuales de aprendizajes. Creemos que algunas ventajas de utilizar esta modalidad de enseñanza son: La separación física entre el estudiante y el docente, ya que la misma favorece la flexibilidad de espacio y tiempo en el proceso de aprendizaje. La utilización de multimedios, que genera la posibilidad de atender a los estilos de aprendizajes de cada estudiante y establecer trayectos opcionales. Se puede realizar un seguimiento del aprendizaje, motivando la autonomía del estudiante. Se puede planificar el curso y el material para que no sean simples textos electrónicos, sino que haya equilibrio entre los recursos de aprendizaje, ayudas al estudio, actividades y sistemas de autoevaluación eficaces. Página 60 de 632 Un proyecto e-learning es un conjunto de ideas y planes que se desarrollan para armar una vía de acceso al conocimiento a través de soportes tecnológicos, programando los mecanismos pedagógicos, tecnológicos, y administrativos con el objeto de desarrollar nuevas e innovadoras alternativas de capacitación. Este plan debe de tener objetivo/s, etapas, recursos y diferentes áreas de realización. Las diferentes áreas que componen un proyecto y sobre las cuales se sustenta son las siguientes. a) De planeamiento b) De tutorías c) De diseño de materiales d) Evaluación. e) De tecnología Son las mismas que contiene un proyecto educativo, con el agregado de las áreas específicas: diseño de materiales y tecnología multimedia. Implementación En nuestro caso la etapa de planeamiento se concretó teniendo en cuenta que el curso tendría una duración de 40 horas reloj comenzando en el mes de octubre no siendo conveniente prolongarlo más allá del mes de noviembre, ya que en ese momento los estudiantes del nivel polimodal se encontrarán abocados a la finalización de esa etapa, lo que supone que estarán rindiendo las últimas evaluaciones en todas las materias y algunos de ellos recuperando objetivos no alcanzados. Se dispuso que al inicio del curso haya un único encuentro presencial para que los participantes y tutores/profesores se conozcan personalmente, compartan actividades y experiencias que favorezcan el acercamiento, el trabajo en grupo y el establecimiento de vínculos para el enriquecimiento de todos. Una vez que los participantes ingresen en el entorno virtual, tendrán a su disposición el cronograma de trabajo general -el cual les permitirá organizar sus tiempos de estudio- y un instructivo que los acompañará en un primer recorrido por los espacios del entorno y los orientará en el manejo de las herramientas propias del mismo: foros, correos, materiales, instructivos. Como metodología de trabajo, cada lunes se dará inicio a una nueva unidad. Para ello se pondrá a disposición de los alumnos el material de lectura correspondiente, más los instructivos adicionales que sean necesarios para el uso de las nuevas herramientas sugeridas para el desarrollo propio de la unidad. Como espacio de debate y reflexión sobre los temas incluidos en la misma, se habilitarán foros, que serán coordinados por un tutor asignado para tal fin. El correo electrónico estará disponible como medio sumamente útil para desarrollar la comunicación entre docentes - alumnos y alumnos - alumnos. Los participantes tendrán acceso a la plataforma las 24 horas, sugiriéndose conectarse a la plataforma una vez al día, leer la información publicada, reflexionar sobre los materiales, y participar en forma activa. En cuanto a las tutorías, se estableció que habrá tutores académicos y técnicos. Los tutores académicos serán los encargados de atender todas sus dudas respecto al desarrollo de los contenidos y de las evaluaciones, y sus funciones serán: Orientar pedagógicamente al alumno en la construcción de su conocimiento en forma autónoma. Motivar y contener al alumno desde la interacción personalizada, frente a posibles dificultades, obstáculos o inconvenientes que puedan identificarse anticipadamente o que se le presenten al tutor dentro de su proceso de aprendizaje. Asesorar en lo referido a aspectos organizativos y/o administrativos. Página 61 de 632 Los tutores técnicos serán los encargados de atender los aspectos relativos a la inscripción y al uso de la plataforma, encargándose además de asesorar en lo referido a aspectos organizativos y/o administrativos del proyecto. Considerando que los materiales son los recursos didácticos mediados por tecnologías como el texto, audio, material navegable, etc. en su diseño se utilizó material navegable diseñado por una alumna que preparaba su tesis final. Teniendo en cuenta que los contenidos son un conjunto de conocimientos que se le brinda al estudiante a través de las distintas herramientas y posibilidades que ofrece una plataforma virtual: materiales, actividades, foros, enlaces Web, etc., los que en esta oportunidad se les seleccionaron fueron los siguientes: Conjuntos Números reales Expresiones algebraicas - Polinomios Ecuaciones e inecuaciones Funciones Sistemas de ecuaciones e inecuaciones Por una cuestión de tiempo, no se pudo incluir los temas de Trigonometría. Por cada tema se desarrolló material navegable que se trató como unidad, y cada unidad tenía de 3 a 4 clases con sus respectivas actividades y evaluación. En el Anexo 1 se presenta el cronograma correspondiente. En cuanto a la evaluación, la misma se preparó teniendo en cuenta que debía ser acorde a los contenidos desarrollados, variada en cuanto a los ejercicios dados (conteniendo ejercicios de desarrollo, de múltiple choice, de apareamiento, poniendo énfasis en aquellos problemas que requirieran un planteo para su resolución, etc.). Respecto al área de tecnología, se recurrió al uso de la plataforma Claroline, que es un groupware asincrónico y colaborativo que permite montar plataformas educativas virtuales. Presenta características propias y particulares de los Sistemas de Gestión de Contenidos, más conocido como CMS tales como ser totalmente dinámico, altamente configurable, versátil y simple a la hora de modificar sus contenidos. Nuestra propuesta se basó en los siguientes objetivos: Recordar y/o reforzar algunos conceptos fundamentales de matemática, desarrollados en el transcurso del Nivel Medio/Polimodal. Complementar la preparación básica del estudiante tendiendo a favorecer sus posibilidades de acceso a la educación superior. Incentivar la autonomía en el aprendizaje a través de la búsqueda de información y el acceso a sitios de Internet. Con la implementación de este proyecto se pretendió contribuir al proceso de aprendizaje de los alumnos ingresantes, tratando de que desarrollen el juicio crítico, buscando la incorporación de conocimientos nuevos y la construcción del saber a partir de sus conocimientos previos. También se buscó promover el protagonismo de los estudiantes para que éstos puedan superar con éxito las etapas posteriores de sus carreras universitarias facilitando su ingreso y permanencia en la universidad. Además, en la implementación del proyecto se pretendió desarrollar un marco de trabajo general para el diseño de materiales de estudio para el aula virtual, y evaluar el proceso de aprendizaje llevado a cabo en este entorno. Resultados obtenidos Página 62 de 632 Se anotó un total de 40 estudiantes de ésta y de otras localidades, quienes estaban en condiciones de acceder al material del Curso y poder ser atendidos por los tutores. Ocho de ellos completaron el curso haciendo, entregando y aprobando todas las evaluaciones propuestas. Quince de los inscriptos en el curso, se anotaron en el mes de febrero en alguna de las carreras que se dictan en la Facultad de Ingeniería. De estos quince alumnos, cinco de ellos habían hecho el curso completo (incluidas las evaluaciones). Se convocó a los quince estudiantes inscriptos en la Facultad, y al finalizar el semestre se le realizó una encuesta (la cual respondieron doce de ellos), cuyos resultados se muestran en el Anexo 2. Se esperó hasta el final del semestre para hacer el seguimiento y ver el rendimiento de estos estudiantes en base a su desempeño en las primeras materias de la carrera: Análisis Matemático I-a y Álgebra. En Análisis I-a: Nueve estudiantes no regularizaron (pueden rendir final de toda la materia) Cuatro estuvieron ausentes (podrán recursar la materia el próximo año) Uno promocionó Uno regularizó (tiene la posibilidad de rendir examen para promocionar) En Álgebra: Siete no regularizaron (pueden rendir final de toda la materia) Siete estuvieron ausentes (podrán recursar la materia el próximo año) Uno regularizó (tiene la posibilidad de rendir para promocionar) A partir de las encuestas y entrevistas realizadas a los estudiantes se desprende la siguiente información: Los materiales, además de ser adecuados tanto en el contenido teórico como en el práctico, fueron suficientes en cuanto a la cantidad y profundidad presentadas. En cuanto a la plataforma consideran que si la utilizan con responsabilidad, es una muy buena herramienta para incorporar esos conocimientos que ellos no poseen. Varios de los estudiantes manifestaron que provienen de escuelas técnicas del medio en las que no tienen matemática en los dos últimos años, por lo que tienen los contenidos “muy olvidados” y no les alcanzó el tiempo para repasarlos y profundizarlos. Al realizar las correcciones de las evaluaciones entregadas se notó que a las mismas les dedicaron el tiempo necesario para un desarrollo completo (aunque en algunos casos no fue el correcto), posiblemente por la falta de estudio de la teoría correspondiente que respaldara cada uno de los pasos seguidos en la resolución. En cuanto a promover el protagonismo del alumno para que éste pueda superar con éxito las etapas posteriores de su carrera universitaria, facilitando su ingreso y permanencia en la universidad, vemos que no alcanzaron a superar con éxito esta primera etapa debido a que la comunicación entre los distintos actores no fue lo fluida que se espera. Los estudiantes sólo efectuaron consultas relativas al uso de la plataforma, al uso de los materiales navegables, a las fechas de entregas de actividades y evaluaciones (a pesar que el cronograma siempre estuvo presente en la plataforma para que los consultaran en cualquier momento), no hubo consultas relativas a lo académico (resolución de ejercicios ni del material teórico) por lo que suponemos lo pudieron realizar en forma autónoma. Página 63 de 632 Creemos que nuestra intención de contribuir al proceso de aprendizaje de los alumnos ingresantes, tratando que desarrollen un juicio crítico, buscando la incorporación de conocimientos nuevos y la construcción del saber a partir de sus conocimientos previos, fue demasiado ambiciosa. A la luz de estos resultados vemos que nuestras expectativas en cuanto al buen rendimiento de los estudiantes en esas asignaturas no se alcanzaron a cumplir. ―Se podría pensar que si los alumnos fracasan en las actividades simples como la aplicación de una regla, la de suprimir paréntesis en un cálculo, por ejemplo, no podrían afrontar problemas más complejos. Sin embargo el conocimiento didáctico producido nos lleva a sostener que brindar a los jóvenes la experiencia de sumir el desafío intelectual de ‗atrapar‖ lo que en principio parecía ―escaparse‖, de entender después de no haber entendido, contribuye a que construyan una imagen valorizada de sí mismos, lo cual le otorga un sentido fundamental a su permanencia en la escuela porque restituye el deseo de aprender. Desafiar a un alumno supone proponerle situaciones que él visualice como complejas pero al mismo tiempo posibles, que lo inviten a pensar, a explorar, a poner en juego conocimientos que tiene y probar si son o no útiles para la tarea que tiene entre manos, que lo lleven a conectarse con sus compañeros, a plantear preguntas que le permitan avanzar…. Se necesita creer que es posible lograr que los alumnos se ubiquen en esa posición, pero esa creencia no se puede inventar, es necesario sustentarla con conocimientos que permitan pensar por dónde se puede empezar a actuar‖. (Sadosky, Patricia- 2005). Continuaremos haciendo un seguimiento de los estudiantes para ver si permanecen en la institución (o sea si vuelven a cursar el año que viene las materias que han desaprobado en esta instancia). Consideramos que, trabajando en equipo, lograremos desarrollar un marco de trabajo general para la producción y el mejoramiento de todo material necesario para la implementación del aula virtual. Bibliografía – Burbules, N. (1999). El diálogo en la enseñanza. Teoría y práctica. Buenos Aires: Amorrortu – Col Educación Agenda Educativa. – Gutiérrez Pérez & Prieto Castillo, D. (1999). La Mediación Pedagógica. Apuntes para una educación a distancia alternativa. Buenos Aires: CICCUS – La Crujía. Col. Signo. – Kaplún, M. (1998): Una pedagogía de la comunicación. Recuperado el 27 de Mayo de 2009, de http://www.bdp.org.ar/facultad/posgrado/especializaciones/cdi/libros/Kaplun.pdf. – Sadovsky P. (2005). Enseñar matemática hoy: miradas, sentidos y desafíos. Recuperado el 29 de Mayo de 2009, de http://books.google.com.ar/books?id=qbB0NCj1L_YC&lpg=PP1&pg=PP1. – Sessa Carmen (2005). Iniciación Al Estudio Didáctico Del álgebra. Orígenes y perspectivas. http://www.buscalibros.cl/libro.php?libro=258103. Anexo 1 RONOGRAMA CURSO DE MATEMÁTICA 2008 Página 64 de 632 Fecha Tema Unidad 1: Nociones de lógica- Conjuntos – Números reales. 27/10 al 02/11 Desarrollo de las actividades de la unidad. 02/11 al 05/11 Entrega de la actividad de evaluación propuesta. Unidad 2: Expresiones algebraicas – Polinomios 05/11 al 10/11 Desarrollo de las actividades de la unidad. 10/11 al 13/11 Entrega de la actividad de evaluación propuesta. Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones 13/11 al 18/11 Desarrollo de las actividades de la unidad. 18/10 al 22/11 Entrega de la actividad de evaluación propuesta. Unidad 4: Funciones 22/11 al 27/11 Desarrollo de las actividades de la unidad. 27/11 al 30/11 Entrega de la actividad de evaluación propuesta. Unidad 5: Sistemas de ecuaciones 30/11 al 05/12 Desarrollo de las actividades de la unidad. 05/12 al 09/12 Entrega de la actividad de evaluación propuesta. Sábado 13 de diciembre Encuentro final - Entrega de certificados. Anexo 2 Encuesta realizada a los estudiantes que se inscribieron para acceder al material y al curso de revisión de temas de matemática de la facultad de ingeniería, y resultados obtenidos RESPECTO A: si a)El material 1. ¿Le pareció adecuado el nivel de los contenidos? 100% Página 65 de 632 2. ¿Considera que el material fue presentado de manera “entendible”? 100% 3. ¿Cree que los temas presentados son los necesarios conocer para un ingreso exitoso? 4. ¿La cantidad de ejercicios propuestos fue suficiente? 91% 5. ¿La teoría presentada fue suficiente para entender el tema y realizar la ejercitación? 91% 91% b) La plataforma 1. ¿Le resultó fácil el acceso? 91% 2. ¿Considera que el material digital fue “amigable”? (¿Tuvo fácil acceso a él, pudo pasar de la teoría a la ejercitación y a las respuestas de manera ágil?) 100% c) La evaluación 1. ¿Considera que fue acorde a los contenidos presentados? 100% 2. ¿La devolución de los resultados por parte de los profesores fue clara? 100% 3. ¿ La devolución de los resultados por parte de los profesores fue hecha en tiempo y forma? 100% d) La comunicación 1. ¿Se comunicó con los tutores a través de la plataforma? 73% 2. ¿Se comunicó con los tutores por medio del correo electrónico? 18% 3. ¿Usó los dos medios? 9% e) Las consultas 1. ¿Fueron atendidas? 100% 2. ¿Fueron respondidas en tiempo y forma? 100% ¿Considera que el realizar este curso en forma completa puede contribuir a mejorar los resultados obtenidos en las materias introductorias de la carrera? Página 66 de 632 ¿CÓMO SE JUSTIFICAN LAS FÓRMULAS PARA EL ÁREA EN LIBROS DE TEXTO? Fabiana Kiener, Sara Scaglia y Marcela Götte. Facultad de Humanidades y Ciencias. Universidad Nacional del Litoral. Argentina. [email protected], [email protected], [email protected] Nivel educativo: Básico (7-12 años) Palabras clave: libro de texto- área - análisis - justificación. Resumen Existe consenso respecto de que la práctica de enseñanza, en algunas ocasiones, está más influenciada por los libros de texto que por los decretos ministeriales y los programas oficiales, por lo que resulta preciso remitirse a ellos para la búsqueda de respuestas a las preguntas que se plantean con respecto a esta práctica. Debido a la significativa influencia de los libros de texto en las decisiones didácticas de un profesor, éstos suelen considerarse como una de las fuentes que intervienen en la elaboración del discurso docente. Además, el libro de texto ofrece información significativa acerca de cómo se aborda un concepto en el aula, y permite realizar inferencias sobre las consecuencias que los distintos tipos de tratamientos pueden tener en el aprendizaje de los sujetos. A partir de estas consideraciones, se plantea una investigación que tiene como objeto caracterizar los procesos de validación desarrollados en libros de texto para el tratamiento del concepto de área y estudiar las actividades propuestas para el desarrollo del tema enfocando el análisis en los procesos de exploración, producción de conjeturas y desarrollo de demostraciones que promueven. En esta comunicación se presentan las categorías generales consideradas para el estudio de las justificaciones dadas en los libros para las fórmulas del área, así como la descripción de los campos incluidos en cada una de ellas. Además, se pretende mostrar la adecuación de dicha categorización mediante la aplicación de la misma al estudio de algunos libros de texto de matemática de la escuela primaria. 1. Introducción El presente trabajo se enmarca en una investigación que tiene como objeto caracterizar los procesos de validación desarrollados en libros de texto para el tratamiento del concepto de área y estudiar, paralelamente, las actividades propuestas para el desarrollo del tema. El análisis se enfoca en los procesos de exploración, producción de conjeturas y desarrollo de justificaciones que se promueven en los diferentes textos. En esta comunicación se presentan algunos argumentos teóricos respecto de la importancia otorgada al estudio de los libros de textos y a la validación en la investigación educativa (sección 2), la descripción de la metodología de la investigación (sección 3) y de las categorías generales consideradas para el estudio de las justificaciones dadas en los libros para las fórmulas del área, así como de los campos incluidos en cada una de ellas (sección 4) y el análisis de cuatro libros de matemáticas de la escuela primaria, de acuerdo con la categorización establecida (sección 5). Finalmente, se expresan algunas reflexiones sobre la categorización presentada y sobre los libros estudiados (sección 6). Teniendo en cuenta la significativa influencia de los libros de texto en las decisiones didácticas de un profesor y su constitución como una de las fuentes que intervienen en la elaboración del discurso docente, el estudio de los mismos ofrece información significativa acerca de cómo se aborda un concepto en el aula y permite realizar inferencias sobre las consecuencias que los distintos tipos de tratamientos pueden tener en el aprendizaje de los sujetos. 2. Marco teórico Página 67 de 632 En el marco del Tercer Estudio Internacional sobre Matemática y Ciencia se establece que, al menos en parte, los libros de texto reflejan el currículo diseñado (Villella, 2007). Los autores que coinciden con esta conjetura sostienen que los libros de texto han sido “desde siempre uno de los materiales educativos más empleados en el ámbito escolar y a veces, incluso, el único” (Martínez Losada y García Barros, 2003, p. 243) y que constituyen uno de los factores que mayor influencia tienen en el aula (Schubring, 1987) llegando, en ciertas oportunidades, a “transformarse en los sustitutos del currículum escolar para pasar a ocupar el lugar de los “directivos” del proceso de enseñanza” (Villella, 2007, p.25). Por otra parte, conforman el soporte de circulación del saber que se considera oficialmente óptimo dentro de las instituciones convirtiéndose, en numerosas ocasiones, en “el vehículo a través del cual se legitiman los contenidos que se deben desarrollar en las escuelas en los distintos niveles y modalidades educativas” (Bishop, 1999, citado en Villella, 2007, p.166). De acuerdo con Villella (2007) para muchos docentes la elección de un libro de texto constituye su decisión curricular más importante, por lo que no es extraño que este instrumento ejerza un efecto poderoso sobre los enfoques de enseñanza y sobre las estrategias de aprendizaje de los alumnos. Así entendida, la elección del texto a utilizar denota una determinada postura teórica respecto de los procesos de enseñanza y de aprendizaje que condiciona la práctica cotidiana. En concordancia con los argumentos anteriores, podemos considerar a los libros de texto como importantes recursos educativos, que caracterizan de alguna manera la enseñanza y el aprendizaje teniendo en cuenta también, que la forma en que reflejan determinados aspectos de los conceptos, puede influir en lo que los alumnos aprenden (qué y cómo) si admitimos que proporcionan la mayor parte del contenido matemático que los estudiantes deben aprender y son, además, una de las principales fuentes de actividades y tareas (García y Llinares, 1995, citado en Villella, 2007, pp.123-124). A partir de estas consideraciones, se plantea una investigación que tiene como objetivo caracterizar los procesos de validación desarrollados en libros de texto para el tratamiento del concepto de área y estudiar las actividades propuestas para el desarrollo del tema, enfocando el análisis en los procesos de exploración, producción de conjeturas y desarrollo de justificaciones que promueven. Surge este interés dado el consenso general que existente respecto a que el aprendizaje de la demostración constituye un objetivo importante en la formación matemática (Mariotti, 2001) y que, sin embargo, las investigaciones han puesto de manifiesto que los alumnos suelen interpretar a las demostraciones como un conjunto de reglas formales desconectadas de su actividad matemática personal, en lugar de reconocerla como una forma de establecer la validez de sus ideas (Battista y Clements, 1995). De este modo, se observa la dificultad existente para hallar o construir una situación en la que el alumno actúe, además de como alumno, como verdadero matemático, responsabilizándose de las respuestas que da a las cuestiones que se les plantea (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997). Con respecto al último fenómeno mencionado, adherimos con la concepción de saber matemáticas que plantean Chevallard, Bosch y Gascón (1997) cuando sostienen que “no es solamente saber definiciones y teoremas para reconocer la ocasión de utilizarlos y aplicarlos, es “ocuparse de problemas” en un sentido amplio.[…]” Por lo tanto, una buena reproducción por parte del alumno de la actividad matemática, exige que éste intervenga en la misma, que formule enunciados, pruebe proposiciones, construya modelos, lenguajes, conceptos y teorías, que los ponga a prueba e intercambie con otros, que pueda reconocer los que están conformes con la cultura matemática y que tome los que le son útiles para continuar con su actividad (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997, pp. 213-214). Es decir, para que el aprendizaje de cuestiones matemáticas sea eficaz, el estudiante debe tener una posición activa, en el sentido de comprometerse con la tarea y ser capaz de argumentar a favor de la validez o falsedad de sus respuestas. El interés por desarrollar estas habilidades en los alumnos está también considerado en las propuestas curriculares actuales. En efecto, en los Núcleos de Aprendizaje Prioritarios (NAP) se recomienda promover “la producción e interpretación de conjeturas y afirmaciones de Página 68 de 632 carácter general y el análisis de su campo de validez, avanzando desde argumentaciones empíricas hacia otras más generales” (NAP, 2006, p.16). En relación con esta temática, Balacheff (2000) proporciona algunas definiciones útiles para estudiar y caracterizar las producciones de los alumnos durante la actividad argumentativa. Este autor denomina “pruebas pragmáticas a las pruebas que recurren a la acción o a la ostensión”, y “pruebas intelectuales a las pruebas que, separándose de la acción, se apoyan en formulaciones de las propiedades en juego y de sus relaciones” (p. 22). Por otra parte, varios investigadores del campo de la didáctica coinciden en asumir una concepción amplia acerca de la demostración en matemática. Para este enfoque, la actividad demostrativa puede tener distintos objetivos entre los cuales se encuentra: verificar o justificar la validez de una afirmación, iluminar o explicar por qué una afirmación es verdadera, sistematizar los resultados en un sistema deductivo (axiomas, definiciones, teoremas aceptados, etc.), descubrir nuevos resultados, comunicar o transmitir conocimiento matemático (De Villiers, 1993). Finalmente, cabe destacar un último concepto significativo para nuestro estudio: el proceso de transposición didáctica, entendiendo por tal al “conjunto de transformaciones adaptativas que sufre una obra para ser enseñada” (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997, p.136) En este pasaje del saber científico al saber enseñado, se debe desconcentrar y secuenciar el saber a los fines de poder evaluarlo parcialmente. Esto permite una programación para su adquisición y produce, a la vez, una liberación del mismo con respecto a la persona o personas que le dieron origen, o sea, se despersonaliza. “Por otra parte y con respecto a su transmisión, se debe publicitar, a los fines de someterlo al inevitable control social del aprendizaje. Todos estos requisitos se hallan plasmados en el proceso denominado puesta en texto del saber” (Etchegaray, 2001, p. 77). En relación al texto del saber o saber a enseñar, Sanz Lerma (1994) sostiene que al no encontrarse publicado en ninguna parte, lo más próximo a él es el libro escolar, cuyo contenido y estructura reflejan las transformaciones efectuadas sobre el saber sabio. De acuerdo con Kang y Kilpatrick (1992), la percepción del fenómeno de transposición didáctica puede ayudarnos a mejorar nuestra manera de tratar el conocimiento matemático escolar teniendo en cuenta que el uso efectivo de los libros de texto de matemáticas en una clase depende de la vigilancia epistemológica del docente de matemática. 3. Metodología Este trabajo se enmarca en el paradigma interpretativo. Según las fuentes utilizadas, la investigación es bibliográfica pues supone la búsqueda, recopilación, organización, valoración, crítica e información bibliográfica (Bisquerra, 1989) sobre un tema específico, a saber: el desarrollo de los procesos de validación en libros de textos cuando se aborda el concepto de área. Desde el punto de vista metodológico, la investigación es cualitativa. Una de las técnicas que se utilizará durante el estudio de los textos es el análisis de contenido, cuyo objetivo básico es tomar un documento no cuantitativo y transformarlo en datos cuantitativos, identificando categorías y unidades de análisis apropiadas que reflejarán la naturaleza del documento analizado y la finalidad de la investigación (Cohen y Manion, 1990). Con respecto a la selección de los libros de texto se lleva a cabo de acuerdo con los siguientes criterios: 1. Que pertenezcan a diversas editoriales. 2. Que se desarrolle el tema elegido. 3. Que posibiliten establecer comparaciones en cuanto al tratamiento del tema área antes y después de la Ley Federal de Educación. 4. Que posibiliten el seguimiento del tratamiento del tema a lo largo de 5°, 6° y 7° grado en cada editorial. 4. Campos para el estudio de las justificaciones Página 69 de 632 Con el objetivo de llevar a cabo una adecuada sistematización del trabajo, se definieron campos de análisis para el estudio de las justificaciones. Para el establecimiento de dichos campos, se tuvieron en cuenta los aportes mencionados en el marco teórico de Balacheff (2000), De Villiers (1993) e Ibañes y Ortega (2004) y con respecto al área según Freudenthal (1983), Del Olmo, Moreno y Gil (1993). A continuación se describen los campos definidos para el estudio de las justificaciones para las fórmulas de área en libros de texto: Presentación de la fórmula: se citan fragmentos del texto y se describe la manera en que se introduce determinada fórmula para el cálculo de superficies. Clase de justificación: para establecer las categorías de este campo se considera la clasificación en pruebas pragmáticas, pruebas intelectuales y demostraciones dadas por Balacheff (2000). Líneas generales de la justificación: en este campo se señalan las nociones a las que se hace referencia durante la justificación analizada. Ubicación de la fórmula y su justificación durante el tratamiento del tema área: se explicita el lugar que ocupa el tratamiento de cada fórmula durante el desarrollo del tema área, es decir, qué cuestiones preceden y siguen a dicha fórmula. Función de la justificación: siguiendo a De Villiers (1993), se plantea un análisis de los fines de las justificaciones presentes en los libros de texto seleccionados, identificando también si se explicitan o no tales fines. Expresiones utilizadas: se explicitan las expresiones utilizadas durante la justificación de una fórmula determinada. El interés de este campo radica en determinar si aparecen expresiones del tipo si … entonces, hipótesis, tesis, etc. (Ibañes y Ortega, 2004) que caracterizan las deducciones lógicas o del tipo: Observa, fíjate, en la figura se puede ver, si recortamos, etc. que por lo general caracterizan a las pruebas pragmáticas, que están más relacionadas con los aspectos sensoriales. Aproximación al área utilizada en la justificación: de acuerdo con Freudenthal (1983, citado en Del Olmo, Moreno, Gil, 1993) las aproximaciones al área más importantes son las siguientes: a) Repartir equitativamente: situaciones en las que dado un objeto hay que repartirlo. Se resuelve mediante uno de los tres modos siguientes: - Aprovechando regularidades (torta circular) - Por estimación. - Por medida (medir y dividir el resultado entre los números de partes) b) Comparar y reproducir. Situaciones en las que hay que comparar dos superficies o reproducir una superficie con una forma diferente a la que tiene. - Por inclusión (para comparar superficies) - Por transformaciones de romper y rehacer (descomponerla y reorganizar las partes) - Por estimación. - Por medida. - Por medio de funciones. c) Midiendo (para comparar, repartir, valorar) - Por exhausción con unidades (para medir superficies irregulares) - Por acotación entre un valor superior e inferior (se obtiene medida aproximada. Superponer rejilla, mediante figuras interiores y exteriores que sean fácilmente medibles) - Por transformaciones de romper y rehacer (para deducir fórmulas) - Por medio de relaciones geométricas generales (medir dimensiones y aplicar fórmula). Reconocimiento del proceso: en este campo se identifican las reflexiones, si es que existen, sobre cada justificación particular, sobre el tipo de razonamiento que se hace, sus Página 70 de 632 características, efectos y distinciones con respecto a otras posibles justificaciones (Ibañes y Ortega, 2004). Consideraciones globales: en este caso, se identifican las explicaciones, si es que existen, sobre el proceso de demostrar, sobre su significado, la distinción entre el enunciado y la justificación, y si en el texto se señalan otras posibles vías de justificación (Ibañes y Ortega, 2004). Papel del alumno: en este campo se describe la interacción del estudiante con el texto durante el proceso demostrativo. Observaciones: en este campo se señalan cuestiones que no se consideraron en ninguno de los campos anteriores y que merecen ser mencionadas. El estudio se organiza discriminando los textos por el año escolar al que corresponden, para luego poder establecer comparaciones significativas entre los mismos y arribar a conclusiones específicas para cada año y generales para los tres años considerados: 5 to, 6to y 7to grado de la escuela primaria1, relacionadas con las justificaciones para las fórmulas de área en libros de texto. No obstante, por cuestiones de espacio, en este trabajo sólo se presenta lo que concierne a la fórmula del área del rectángulo en libros de 5° y 6° de dos de las editoriales seleccionadas. Por otra parte, siendo conscientes de los intereses comerciales de las editoriales, se mantiene el anonimato de las mismas y se hace referencia a ellas con el nombre genérico de Editorial A y Editorial B. 5. Estudio de las justificaciones en libros de texto 5.1 Estudio de las justificaciones en libros de texto para 5 to grado de la primaria Editorial A: En este libro se presentan las fórmulas para el cálculo de la cantidad de superficie del rectángulo sin ningún tipo de justificación. Editorial B: A continuación se expone el análisis de la justificación dada para la fórmula para el área del rectángulo. Cantidad de Sup. Rectángulo= L x A (largo por ancho) Presentación de la fórmula: La actividad 33 de la sección mediciones introduce el tema con el siguiente texto: “Observa el rectángulo de la figura. ¿Cuál es su cantidad de superficie, si 2 usamos como unidad el cm ? [se muestra en el margen izquierdo la figura de un rectángulo y 2 de un cuadrado de 1cm de superficie] Para responder a la pregunta tendrás que contar cuántos cuadraditos caben en el rectángulo. Una manera de hacerlo es observar cuántos hay en cada fila y en cada columna”. Se muestra en el margen izquierdo el mismo rectángulo pero cuadriculado, con cuadrados de 1 cm2 de superficie y se señala que hay 3 filas de cuadrados y 6 columnas. A continuación se explicita: Cantidad de cuadraditos: 6 x 3 = 18 Cantidad de superficie: 18 cm2 Luego, se recalca: “sin necesidad de dibujarlos, también se pueden contar” y se exponen dos rectángulos congruentes con el primero, dibujados sobre papel liso. En uno de ellos se marcan sobre los lados la cantidad de cuadrados por filas y columnas y en el otro se señala el largo y el ancho y se simulan cintas métricas (cuya unidad es el cm) que miden estas dos dimensiones del rectángulo. Seguidamente, en un cuadro de texto se resalta: “Se puede probar que: La cantidad de superficie del rectángulo se obtiene multiplicando las longitudes de su largo y de su ancho” y se invita al alumno a escribir esto en símbolos. Página 71 de 632 Clase de justificación: Prueba pragmática. La justificación consiste en el texto citado anteriormente y las cuatro figuras de rectángulos. La fórmula del área del rectángulo se plantea como una manera de simplificar el método de exhausción de unidades. Se trabaja sobre un ejemplo particular (un rectángulo de 6cm por 3cm) y luego se generaliza el procedimiento coloquialmente: “la cantidad de superficie del rectángulo se obtiene multiplicando las longitudes de su largo y de su ancho”. Se indica que el mismo ―se puede probar‖ pero no se dan más detalles al respecto. Líneas generales de la justificación: Se hace uso de las nociones de: cantidad de superficie, rectángulo, unidad, cm2, cuadraditos, cantidad de cuadraditos, contar, multiplicar, longitud, ancho, largo. Ubicación durante el tratamiento del tema área: Sigue a las actividades sobre figuras isoperimétricas y equivalentes en área y precede a la actividad que presenta la fórmula para calcular la superficie del cuadrado. Función de la justificación: Explicación / verificación (implícito) Expresiones utilizadas: “Observa el rectángulo de la figura” Esta expresión muestra la importancia que se otorga a las figuras en esta justificación que es de índole pragmática. “Sin necesidad de dibujarlos también se pueden contar” Esta expresión sugiere la conveniencia de aplicar la fórmula para el cálculo de la superficie del rectángulo en lugar de aplicar el método de exhausción de unidades. “Se puede probar que […]” Mediante esta expresión se explicita que la fórmula para el cálculo de la superficie del rectángulo puede demostrarse, pero no se exponen comentarios al respecto. Al final de la actividad, en un cuadro del texto bajo el título “Simplifiquemos la escritura” se señala: “en adelante usaremos la palabra superficie para indicar cantidad de superficie” Aproximación al área utilizada: Medición por exhausción de unidades. Reconocimiento del proceso: La expresión “Se puede probar que […]” puede estar indicando que la deducción de la fórmula que se realizó no constituye una demostración. Consideraciones globales: No hay. Papel del alumno: Si bien al comienzo de la actividad se le pregunta, en relación a la figura del rectángulo del margen izquierdo: “¿Cuál es la cantidad de superficie, si usamos como unidad el cm2?” la respuesta se da a continuación, en el mismo texto. Después de que se explicita coloquialmente la fórmula para calcular la superficie del rectángulo, el alumno debe expresarla en símbolos. Observaciones: Es probable que el alumno no le de importancia a la expresión “Se puede probar que […]” o no le encuentre sentido, puesto que no se realiza ningún comentario en el texto que le sigue, que esté relacionado con la misma. to 5.2 Estudio de las justificaciones en libros de texto para 6 grado de la primaria Editorial A: A continuación se expone el estudio de las justificaciones dadas para la fórmula del área del rectángulo. Sup. Rectángulo= B x h (Base por altura) Presentación de la fórmula: Bajo del título Superficie del Rectángulo sigue el texto: “Para averiguar la superficie de un rectángulo, no es necesario contar uno a uno los cuadrados unidad; puedes hacerlo multiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura” (p. 529) Se muestra la figura de un rectángulo en un cuadriculado, explicitando que B= 1,5cm y h= 2cm. Se calcula la superficie de este rectángulo multiplicando estos dos valores. Luego, se establece la fórmula general: Sup. Rectángulo= B x h (pág. 529) Clase de justificación: No hay justificación. Si bien se muestra en el margen derecho la figura de un rectángulo sobre un cuadriculado y en el texto citado anteriormente se hace Página 72 de 632 referencia al método conocido por los alumnos para el cálculo del área (método de exhausción de unidades), no se utiliza este método para justificar la validez y conveniencia del procedimiento que se presenta (la fórmula para el cálculo del área), ni se indica a los alumnos que realicen esta tarea. En la figura del rectángulo se explicitan sus dimensiones en cm. pero no se indica cuánto vale el área ni el lado del cuadrado del cuadriculado. Líneas generales de la justificación: Se hace uso de las nociones de: superficie, rectángulo, contar, cuadrado unidad, multiplicar, longitud, base, altura. Ubicación durante el tratamiento del tema área: Sigue a la definición de polígonos equivalentes y precede a la fórmula para calcular la superficie del cuadrado. Función de la justificación: No hay justificación Expresiones utilizadas: “no es necesario contar uno a uno los cuadrados unidad puedes hacerlo multiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura” Esta expresión pretende indicar la conveniencia de aplicar la fórmula para el cálculo de la superficie del rectángulo en lugar de aplicar el método de exhausción de unidades. Aproximación al área utilizada: No hay justificación. Reconocimiento del proceso: No hay justificación. Consideraciones globales: No hay. Papel del alumno: Pasivo. Observaciones: -Editorial B: En este texto, la fórmula para el área del rectángulo se considera conocida por el alumno. 6. Breve discusión de resultados y reflexiones finales Entre las diferencias que se pueden observar, mencionamos en primer lugar que la discusión sobre al área del rectángulo en un texto se presenta en 5º grado (Editorial B) y en el otro en 6º (Editorial A). El momento de introducción de una noción matemática es una decisión que requiere del análisis cuidadoso de las limitaciones y posibilidades que conllevan cada elección. A priori podría suponerse que un tratamiento más temprano tendría exigencias cognitivas de menor complejidad. Esto parece observarse en los textos estudiados. Mientras que en el texto de 5º se presenta una justificación pragmática que recurre al método de exhausción de unidades, en el de 6º no se presenta ninguna justificación y se propone explícitamente, en cambio, obviar ese método para dar un salto conceptual que termina directamente en la fórmula. Esta segunda elección nos resulta menos adecuada. En primer lugar, porque limita la posibilidad de los alumnos de construir el sentido de la fórmula. En segundo lugar, porque aún tratándose de una justificación pragmática la observada en el primer ejemplo, permite poner de manifiesto las funciones de la demostración mencionadas por De Villiers (1993): verificar o justificar la validez de una afirmación e iluminar o explicar por qué una afirmación es verdadera. Todo ello está en sintonía con la búsqueda de un tratamiento de la matemática que trascienda el conocimiento memorístico de hechos y que posibilite al alumno actuar como matemático, que es una de las aspiraciones señaladas en el marco teórico. En virtud de lo observado en estos breves ejemplos, rescatamos la importancia del análisis de libros de texto. Algunos investigadores del campo de la didáctica de la matemática sostienen que entre las cosas que sería necesario ofrecer a los docentes están las “herramientas de lectura que les permitan criticar los libros que seleccionan y usan para el trabajo con sus alumnos en las aulas” (Villella, 2007, p. 70). De acuerdo con las consideraciones teóricas anteriores, el objetivo de este estudio: la caracterización de los procesos de validación desarrollados en los libros de texto y el análisis de las actividades propuestas en los mismos durante el tratamiento del área, cobra especial Página 73 de 632 relevancia para poder describir posibles implicaciones y consecuencias de los distintos tratamientos en el aprendizaje del tema. Bibliografía Balacheff, N. (2000). Procesos de prueba en los alumnos de matemáticas. Bogotá: Universidad de los Andes. Battista, T. y Clements, D. (1995). Geometry and Proof. Mathematics Teacher, 88(1), 4854. Bisquerra, R. (1989). Métodos de investigación educativa. Guía práctica. Barcelona: Ediciones CEAC, SA. Buschiazzo, N., Filipputti, S., Lagreca, L., Lagreca, N. y Strazziuso, S. (2002). Matemática 5. Aprender haciendo matemática. Grupo P.R.E.M. Rosario: UNR editora. Buschiazzo, N., Filipputti, S., Lagreca, L., Lagreca, N. y Strazziuso, S. (2001). Matemática 6. 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El docente en su nuevo rol de orientador y guía debe promover trabajos colaborativos aprovechando las utilidades que brindan las TIC´s. En este caso, se presenta una nueva estrategia de aprendizaje por descubrimiento, la utilización de WebQuest en la enseñanza de la matemática, que permite estimular en el alumno el desarrollo de nuevas competencias que modifican su forma de pensar, deducir, relacionar, explorar, elaborar síntesis; y se favorece la generación de ambientes solidarios con proyectos que acentúan el aprender a aprender, el pensamiento lógico y la creatividad en la aprehensión de nuevos procesos. La visualización de diversos diseños de WebQuest, realizados por futuros profesores de matemática para utilizar en sus prácticas permitirá detectar las fortalezas y debilidades de esta metodología. DESARROLLO Una de las preocupaciones de los docentes en todos los niveles educativos es lograr que los alumnos construyan sus conocimientos, aprendiendo a aprender. Cuando no se logran estos objetivos, surge la necesidad de pensar en la implementación de nuevas técnicas, recursos o metodologías que sean más efectivas para conseguir la motivación que genere el aprendizaje. Uno de los recursos que se ha incrementado notablemente en los últimos años es la búsqueda de información en Internet, que permite a los alumnos tener acceso a abundantes contenidos y procesos, no siempre adecuados a los objetivos propuestos por el docente o sin una fuente veraz y de calidad. El docente en su nuevo rol de orientador y guía debe promover trabajos colaborativos aprovechando las utilidades que brindan las TIC´s, pero debe estar siempre atento a desarrollar en sus alumnos una actitud crítica frente a la avasallante información que recibe. En esta exposición, se presenta una nueva estrategia de aprendizaje por descubrimiento, la utilización de WebQuest en la enseñanza de la matemática, que permite estimular en el alumno el desarrollo de nuevas competencias que modifican su forma de pensar, deducir, relacionar, explorar, elaborar síntesis, producir información. Se trata de facilitar el acceso del alumno a documentos, haciendo una selección previa de sitios valiosos para el aprendizaje que se pretende; no impidiendo que busquen información por su cuenta, pero sí orientándolos con sugerencias. De esta manera se reducirá la pérdida de tiempo buscando información o probando con distintos buscadores, pudiendo utilizar el tiempo restante para que los alumnos gestionen la información que reciben, comparando, clasificando, deduciendo, analizando errores, construyendo información con aportes propios, incorporando al mismo tiempo el debate y el pensamiento crítico para lograr una verdadera transformación de la información. La creación y puesta en práctica de las WebQuest no representa por sí misma una innovación ya que son actividades que se utilizan para que el alumno desarrolle o potencie competencias que le permitan desempeñarse con éxito en los desafíos de su vida futura. Página 75 de 632 El modelo de webquest, basado en una dinámica de uso educativo en Internet, donde los alumnos van construyendo su propio conocimiento fue creado por Bernie Dodge y Tom March en el año 1995, en la Universidad del Estado de San Diego, California, EE.UU. Desde entonces, miles de docentes de todo el mundo han utilizado WebQuest en sus aulas para crear pequeños proyectos de aprendizaje para alumnos de todas las edades. Muchos de ellos, además, las han puesto en la Internet para compartirlas con cualquiera que esté interesado. Según sus autores, se trata de la organización de actividades en las que los alumnos puedan construir sus aprendizajes de manera activa, aprovechando la información que le brinda Internet, pero en las que el docente facilita la búsqueda de sitios interesantes y significativos. La disponibilidad de innumerables recursos en Internet, de posible aplicación en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las temáticas que se abordan en matemática en general , plantea la necesidad de analizarlos y seleccionarlos teniendo en cuenta el perfil de los alumnos, sus intereses y necesidades además de apuntar a lograr los objetivos propuestos. Siguiendo los lineamientos de sus autores para el diseño de la estructura de una WebQuest , Se detallan los seis pasos a seguir: Introducción: es un texto corto que trata de relacionar los intereses de los alumnos con el tema de estudio, tiende a generar motivación para lograr el producto final deseado por el docente. Tarea: constituye la parte más importante de una WebQuest. Brinda al alumno una orientación sobre las intenciones curriculares del docente sobre el producto final que se espera que elaboren en forma individual o grupal. Presenta un detalle general de lo que el alumno debe realizar. Pueden ser tareas diversas como se indica a continuación: Página 76 de 632 Proceso: detalla justamente los procesos que deben realizar los alumnos para lograr el trabajo final. Es la etapa que representa el mayor desafío para el autor/docente porque exige mucha creatividad y autenticidad en la construcción de actividades y en el enfoque educativo que se le otorga. Recursos: se proponen los sitios web que el alumno debe utilizar para desarrollar las actividades, han sido revisados y analizados por el docente. Evaluación: se anticipan los criterios que serán evaluados durante el proceso y en el producto final. Deben ser consignas claras y comprensibles para que los alumnos focalicen sus acciones en ese sentido. Conclusión: resume la experiencia y estimula la reflexión sobre los resultados logrados. Se agregan enlaces a otros sitios sobre los temas tratados para estimular a los alumnos que deseen ampliar los conocimientos adquiridos. Durante la exposición se presentarán ejemplos de WebQuest diseñados por futuros docentes de matemática para utilizar en sus prácticas. Modelo de WebQuest Webquest: La Geometría del Arte Destinatarios: Alumnos de escuela secundaria Áreas relacionadas: geometría – informática - plástica Introducción ¿Han observado la belleza de las obras de arte en la exposición escolar que recorrimos? ¿Reconocieron algunas figuras geométricas en ellas? ¿Piensan que los artistas tienen alguna técnica especial para realizar esos cuadros? Les propongo descubrir alguna de esas técnicas para lograr sus propias obras de arte. Tarea En Internet buscarán las figuras geométricas que reconocieron en las obras de arte y sus características esenciales, Confeccionarán e imprimirán un cuadro con los resultados logrados Utilizarán la técnica del artista plástico Maurits Cornelis Escher para diseñar sus propias obras de arte. En el procesador de textos harán los epígrafes o textos cortos que acompañarán las obras que serán expuestos en una muestra. Proceso 1- Se organizan en grupos de dos o tres alumnos. 2- Elijan una de las obras de arte expuestas y registren en un cuadro las figuras geométricas utilizadas por el autor. 3- Busquen en Internet las figuras geométricas que descubrieron. Completen un cuadro: nombre de la figura geométrica, características de sus lados y ángulos. Impriman el cuadro 4- Elijan algunas de las figuras geométricas del cuadro impreso, construidas en papel, traten de cubrir un plano (panel de 30 cm por 50 cm). Las figuras no pueden superponerse ni dejar espacios entre ellas. Los lados deben coincidir. Visualicen en Internet otras posibilidades. 5- ¿Qué significa teselar el plano? Busquen en los sitios propuestos su significado y algunos modelos que utilizan polígonos regulares. Impriman un modelo. Página 77 de 632 6- ¿Quién fue Escher? En qué época vivió? Cuál es su técnica? Impriman un modelo. 7- Utilicen la técnica del artista para crear una figura que cubra el plano para la muestra escolar. Escriban en un procesador de texto el título, los epígrafes o textos cortos que acompañen a su obra Recursos Para visualizar cubrimientos del plano http://roble.cnice.mecd.es/~jarran2/cabriweb/Mosaicos/mosaicos.htm Para conocer la técnica del artista Maurits Cornelis Escher para obtener figuras irregulares que cubren el plano. http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/grabados_de_escher/pajarita.htm Evaluación Se consideran algunos puntos importantes para la evaluación, entre ellos, la autonomía en la búsqueda de información, la adquisición de los contenidos específicos, la creatividad en el trabajo final, la colaboración y coordinación en la tarea grupal. Para los contenidos específicos de matemática se complementará con una evaluación escrita individual. Se pueden orientar con el siguiente cuadro: Búsqueda y selección de información Contenidos y procesos logrados Utilización de los recursos sugeridos Trabajo colaborativo Presentación Final Capacidad Muy Bien Bien Búsqueda autónoma en la selección y organización de la información Búsqueda de información y selección de los contenidos con escaso apoyo Los conceptos y procedimientos utilizados son correctos Los conceptos y procesos utilizados son aceptables Se han utilizado los recursos ofrecidos aprovechando la información Colaboración activa individual y grupal. Trabajos creativos que cumplen con todas las consignas. Regular Búsqueda incompleta sin criterio selectivo Los conceptos y procesos utilizados son confusos. Se han utilizado No se han utilizado algunos de los satisfactoriamente recursos ofrecidos los recursos obviando ofrecidos información Colaboración adecuada pero escasa Colaboración poco participativa Trabajos adecuados pero falta creatividad. Trabajos copiados de los sitios sugeridos, no cumplen con las consignas . Exploración Página 78 de 632 Investigadora Exploración de Exploración en los superficial de los contenidos en enlaces con la algunos enlaces los sitios ayuda del docente o opcionales en grupo Conclusión Luego de haber visto la muestra con las producciones de ustedes, elaboren una conclusión con el procesador de texto, sobre las posibilidades que brinda la técnica de Escher para crear diseños novedosos con figuras de características especiales.¿ Qué modelo les pareció más creativo? ¿Cuál les gustó más y porqué? ¿Qué dificultades tuvieron al utilizar esa técnica? ¿ Pueden describir otra técnica para diseñar cubrimientos del plano? Otras Páginas con Información sobre teselados para ampliar el tema. http://platea.cnice.mecd.es/~mcarrier/. http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/teselacion/Indice_%20teselacion.htm http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teselaciones.htm http://www.geocities.com/teselados/ . Bibliografía y Sitios consultados Blanco S., De la fuente P., Dimitriadis Y. (2000). Estudio de caso: Uso de Webquest en educación secundaria. Documento en línea: http://www.pntic.mec.es/mem/ecomec/index.htm. Consultado en (Julio 2009). Dodge, B. (2002). WebQuests. A technique for Internet-based learning. Documento en línea: http://ww.WebQuest.sdsu.edu/about_WebQuests.html. Consultado en (Julio 2009). Gavilán, P. (2004). Álgebra en secundaria: Trabajo cooperativo en matemáticas. Madrid: Narcea, S.A. Giménez, J. (1997). Evaluación en Matemáticas: Una integración de perspectivas. Editorial Síntesis, S.A. Madrid. Ortiz, A. (2004). Internet en el aula: La metodología del WebQuest en el aula. Revista en línea Quaderns Digitals: http://www.quadernsdigitals.net/index.php?accionMenu=hemeroteca.VisualizaArticuloIU.vi sualiza&articulo_id=7478. Consultado en (Junio 2009). Página 79 de 632 CONSIDERAÇÕES SOBRE A INTERDISCIPLINARIDADE NO ENSINO DA MATEMÁTICA Harryson Júnio Lessa Gonçalves Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC/SP) – Brasil Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo (IFSP) - Brasil E-mail: [email protected] Célia Maria Carolino Pires Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC/SP) – Brasil E-mail: [email protected] Nivel Educativo: Medio (13-17 años) Palabras Clave: Currículo de Matemática, Interdisciplinaridade, Organização Curricular, Ensino da Matemática. O presente texto traça uma discussão sobre a perspectiva interdisciplinar do ensino da matemática. Conforme aponta Machado (2000), a interdisciplinaridade é palavra-chave para a organização escolar em que busca estabelecer uma efetiva intercomunicação entre as diversas disciplinas do currículo, por meio do enriquecimento entre elas. “Almeja-se, no limite, a composição de um objeto comum, por meio dos objetos particulares de cada uma das disciplinas componentes” (p. 135). Contudo, busca-se nesta perspectiva uma construção dialógica entre os diversos componentes curriculares a partir das peculiaridades de cada área do conhecimento (método/objeto) visando desenvolver uma aprendizagem efetiva para estudantes na escola. Concordo com as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (Parecer CEB/CNE Nº 15/1998) que preconizam a contextualização e a interdisciplinaridade como uma das diretrizes para uma pedagogia de qualidade (BRASIL/MEC, 1999). Assim como, com as considerações apontadas por Fazenda (1993, p. 32) relativas à importância da articulação da interdisciplinaridade nos universos epistemológico e pedagógico como: meio de conseguir uma melhor formação geral, pois somente um enfoque interdisciplinar pode possibilitar certa identificação entre o vivido e o estudado, desde que o vivido resulte da inter-relação de múltiplas e variadas experiências; meio de atingir uma formação profissional, já que permite a abertura de novos campos do conhecimento e a novas descobertas; incentivo à formação de pesquisadores e de pesquisas, pois o sentido das investigações interdisciplinares é reconstruir a unidade dos objetos que a fragmentação dos métodos separou e, com isto, permitir a análise das situações globais, dos limites de seu próprio sistema conceitual e o diálogo entre as disciplinas; condição para uma educação permanente, posto que através da intersubjetividade, característica essencial da interdisciplinaridade, será possível a troca contínua de experiências; forma de compreender e modificar o mundo, pois sendo o homem agente e paciente da realidade do mundo torna-se necessário um conhecimento efetivo dessa realidade em seus múltiplos aspectos; superação da dicotomia ensino-pesquisa, pois, nesse novo enfoque pedagógico, a pesquisa se constitui na única forma possível de aprendizagem. A interdisciplinaridade tem assumido posição central nas discussões da Pedagogia, sendo vista como palavra de ordem para uma ação pedagógica efetiva da escola. Vários autores têm tratado com efetiva propriedade o tema. Japiassu (1979) aponta que a disciplina ou disciplinaridade é a exploração progressiva científica de uma determinada área ou domínio homogêneo de estudo em que esta deverá definir e estabelecer suas fronteiras contituintes – estas fronteiras é que irão determinar seus objetos formais e materiais, seus sistemas e métodos, seus conceitos e teorias. Segundo Página 80 de 632 D‟Ambrósio (2005) “as disciplinas dão origem a métodos específicos para conhecer objetos de estudo bem definidos. Os métodos e os resultados assim obtidos, que se referem a questionamentos claramente identificados, constituem um corpo nomeado de conhecimento” (p. 103). Falar em interdisciplinaridade é falar em integração dessas disciplinas, embora entendendo disciplina como sinônimo de ciência, o termo é mais empregado para designar o ensino de uma dada ciência. Para Japiassu (1976) a interdisciplinaridade caracteriza-se pela intensidade das trocas entre especialistas e pelo grau de real integração das disciplinas no interior de um mesmo projeto de pesquisa. Ou seja, torna-se possível a complementaridade dos conceitos, métodos, dos axiomas e das estruturas sobre as quais se fundam as diversas práticas científicas. Fazenda (1993) ao articular o universo epistemológico com o universo pedagógico considera a interdisciplinaridade “não como uma panacéia que garantirá um ensino adequado, ou um saber unificado, mas um ponto de vista que permitirá uma reflexão aprofundada, crítica e salutar sobre o funcionamento do ensino” (p. 32). Contudo, a autora aponta que as práticas interdisciplinares podem gerar práticas vazias ou meras proposições ideológicas, impedindo questionamento de problemas reais, caso seus participantes permaneçam em um jogo de integração, descuidando-se de questionar a realidade a que pertencem e o papel que nela ocupam. Para Machado (2000) a interdisciplinaridade tem sido uma palavra-chave na discussão da organização do trabalho acadêmico e escolar, pois supera uma fragmentação crescente dos objetos do conhecimento nas diversas áreas, gerando uma visão de conjunto, e por facilitar para o processo de ensino-aprendizagem o enquadramento de fenômenos que ocorrem fora da escola que não se contextualizam no âmbito de uma única disciplina. Pires (2004) aponta que a organização do currículo escolar tradicional a partir da justaposição das disciplinas, sem nenhum um processo de penetração mútua, é apontada como responsável por uma formação fragmentada, baseada na dissociação e no esfacelamento do saber. A abordagem interdisciplinar, em contrapartida, junto a uma postura crítica e a um questionamento constante do saber, traria possibilidades de um enriquecimento por meio de novos enfoques, ou da combinação de perspectivas diferentes, incentivando a busca de caminhos alternativos que não apenas aqueles dos saberes já adquiridos, instituídos e institucionalizados (paginação irregular). Assim, conforme a autora, a interdisciplinaridade é percebida por especialistas como a interação necessária entre as diversas disciplinas no processo de organização e desenvolvimento curricular, a partir de uma análise crítica da realidade e da percepção do papel que o educador e o educando tem nesta realidade. Essa interação pode ir da simples comunicação de idéias à integração mútua de conceitos diretores da epistemologia, da terminologia, da metodologia, dos procedimentos, dos dados e da organização referentes ao ensino e à pesquisa. Contudo, o tratamento da interdisciplinaridade dever-se-á acontecer com certa cautela no currículo escolar, pois diferentes estudos apontam indiretamente a possibilidade de distanciamento entre o “escrito” pela Epistemologia da Ciência, o “dito” nos currículos oficiais e o “feito” na práxis de professores de Matemática que atuam no Ensino Médio. Considero que se torna relevante uma análise destas questões geradas a partir da possibilidade de coerências e incoerências destas três perspectivas ora apresentadas (o “escrito”, o “dito” e o “feito”). Muito se tem dito sobre a interdisciplinaridade, termo que se torna presente constantemente em textos científicos, em documentos oficiais, livros didáticos, guias/orientações para professores e, principalmente, na fala de docentes ao caracterizarem sua prática pedagógica. Contudo, nota-se a possibilidade de se haver certo “modismo” relativo ao termo, questão que tem me despertado atenção diante da “multireferencialidade conceitual” que pode gerar ao termo. Até certo ponto, acredito que tal situação, pode não ser tão salutar no campo didático-pedagógico da Educação Matemática, pois possibilita o desenvolvimento de práticas pedagógicas frágeis ao processo de construção conceitual do aluno fazendo com que a matemática escolar pouco contribua com a função da escola de promover o “pleno desenvolvimento da pessoa, seu Página 81 de 632 preparo para o exercício da cidadania e sua qualificação para o trabalho”, conforme preconizado na Constituição Federal de 1988. Ampliando ainda esta noção, visualizamos a perspectiva interdisciplinar de ensino da matemática como exigência do mundo contemporâneo... Falar em paradigma não representa falar em modelos de forma simplificada ou como modismo, mas, sim, discutir a postura epistemológica do sujeito inserida em uma matriz paradigmática frente ao conhecimento humano. Com base em definições de Kuhn (1975/1994), percebo que paradigmas são conjugações científicas que se inserem em determinada matriz de conhecimento que as legitimam. Ou seja, os conceitos, as metodologias e as técnicas não estão alheios no universo; eles pertencem a uma rede de crenças e valores determinados por dada comunidade científica. Por exemplo: um estudo sobre o currículo escolar sempre estará subordinado a um modelo exemplar, e assim normativo, de conhecimento científico que subjaz a determinado modelo de sociedade e de homem. Segundo Marcondes, “uma crise de paradigmas caracteriza-se assim como uma mudança conceitual, ou uma mudança de mundo, conseqüência de uma insatisfação com os modelos anteriormente predominantes de explicação” (2002, p. 15). De acordo com Kuhn, (1975/1994), quando o paradigma entra em crise podem ocorrer as chamadas revoluções científicas, que são mudanças radicais do paradigma. Existem, ainda em Kuhn, causas internas e externas para essas crises. As causas internas são geradas a partir de acontecimentos teóricos e metodológicos nas teorias que ocorrem dentro do próprio paradigma, assim como do esgotamento dos modelos tradicionais de explicação oferecidos por essas teorias, levando a busca de novas perspectivas. As causas externas estão relacionadas às mudanças que ocorrem na própria sociedade e na cultura de uma dada época, fazendo que os modelos tradicionais deixem de ser satisfatórios, gerando a necessidade do surgimento de teorias mais adequadas que as anteriores. Na história da Ciência e da Filosofia, percebo nas revoluções científicas dos séculos XVI e XVII i um dos períodos mais significativos e marcantes de crise de paradigmas. O surgimento da “nova Ciência” representou muito mais do que a construção de nova teoria científica nos campos da Astronomia e da Física, significou nova postura epistemológica frente ao conhecimento científico vigente já há aproximadamente vinte séculos. Marcondes aponta que essa crise: equivale a uma crise não apenas científica (...), mas sobretudo uma crise metodológica que afeta uma concepção tradicional de método científico, bem como uma crise de visão de mundo, de concepção de natureza e do lugar do homem enquanto microcosmo, nesta natureza, o macrocosmo. (2002, p. 18) Essas mudanças representaram a superação de uma visão de mundo restrita e ordenada hierarquicamente – concepção de cosmo aristotélica. Sendo assim, essas mudanças afetaram não só a esfera epistemológica da época, mas também os planos ético, político e estético daquela sociedade, desencadeando aí o pensamento da modernidade. Porém, como estabelecer estes fundamentos da nova Ciência, onde encontrar as bases para estas teorias científicas? Não é mais possível recorrer à tradição clássica, ao saber adquirido, às instituições, uma vez que precisamente estes estão sendo questionados, já que as teorias que defendiam foram postas por terra. É, portanto, no próprio indivíduo, em sua natureza sensível e racional, que estes pensadores vão buscar os fundamentos para as novas teorias científicas. É com base na razão subjetiva que se construirá a nova concepção de conhecimento. (MARCONDES, 2002, p.19) Um dos problemas da modernidade era o de estabelecer fundamentos dessa “nova Ciência”, e somente no século XVIII – chamado de “Século das Luzes”, pois o real deveria tornar-se claro, transparente à razão – o pensamento modernista se consolida epistemologicamente. O exercício da reflexão filosófica equivale, em larga escala, a revelar ao próprio homem sua natureza racional, a purificá-lo das crenças e preconceitos obscurantistas que lhe foram incutidos pela tradição. Equivale também a retomar o caráter originário do pensamento e da Página 82 de 632 racionalidade, de modo a adotá-lo como ponto de partida seguro de um novo processo de conhecimento que produzirá, este sim, teorias válidas. (MARCONDES, 2002, p. 19) Nesse contexto, ocorre o que Santos (2000), em seu livro Introdução a uma Ciência PósModerna, denomina de primeira ruptura epistemológica: o senso comum era visto como opinião, forma de conhecimento falso com que era preciso romper para que se tornasse possível o conhecimento racional, válido e científico. É nessa perspectiva que a Ciência se constrói – contra o senso comum –, utilizando para tanto três atos epistemológicos fundamentais: a ruptura, a construção e a constatação. Essa é a base do pensamento modernista. A modernidade, que Morin (2002) chama de o grande paradigma do ocidente, caracteriza-se como “paradigma cartesiano que separa o sujeito e o objeto, cada qual na esfera própria: a filosofia e a pesquisa reflexiva, de um lado, a ciência e a pesquisa objetiva, de outro” (p. 26). Morin (2002) nos apresenta três problemas essenciais do conhecimento, no paradigma cartesiano: Disjunção e Especialização Fechada Redução e Disjunção Falsa Racionalidade “De fato, a hiperespecialização impede tanto a percepção do global (que ela fragmenta em parcelas), quanto do essencial (que ela dissolve). Impede até mesmo tratar corretamente os problemas particulares, que só podem ser propostos e pensados em seu contexto” (p. 41) “A inteligência parcelada, compartimentada, mecanicista, disjuntiva e reducionista rompe o complexo do mundo em fragmentos disjuntivos, fraciona os problemas, separa o que está unido, torna unidimensional o multidimensional. É uma ciência míope que acaba por ser normalmente cega. Destrói no embrião as possibilidades de julgamento corretivo ou da visão a longo prazo.” (p. 42) “(...) a falsa racionalidade, isto é, a racionalidade abstrata e unidimensional, triunfa sobre as terras. Por toda parte e durante décadas, soluções presumivelmente racionais trazidas por peritos convencidos de trabalhar para a razão e para o progresso e de não identificar mais que superstições nos costumes e nas crenças das populações, empobrecerão ao enriquecer, destruíram ao criar.” (p. 44) Em síntese, a modernidade configurou-se como uma lógica, uma retórica e uma ideologia. Uma lógica que no campo sociológico denominou-se de capitalismo; no campo filosófico, chamado de positivismo; no religioso, secularização ou profanação do sagrado; no antropológico, homem dimensional como sujeito autônomo e semi-absoluto; no político, Estado da democracia formal para defender a liberdade; no epistemológico, razão instrumental; e no científico, primazia da tecnologia que, como manifestação da utilidade das ciências positivas, se colocará acima dos valores morais (ROJO, 1997). Esse paradigma torna-se então saturado/esgotado, gerando, assim, a crise e, por conseguinte, o surgimento da pós-modernidadeii. A ruptura com o paradigma da modernidade é considerada por Santos como dupla ruptura epistemológica, em que se rearticulam os discursos acadêmicos/eruditos com o empíricos/senso comum, “existência de condições sociais e teóricas que permitam recuperar todo o pensamento que não se deixou pensar (...) e que foi sobrevivendo em discursos vulgares, marginais, subculturais” (SANTOS, 2000, p. 36). Abre-se, assim, espaço para nova leitura de pensamento científico em um novo paradigma de uma sociedade percebida como complexa. Morin (2002) traz grande contribuição quando da sua leitura sobre a complexidade nesse novo paradigma. Nenhuma área de conhecimento dá conta, sozinha, da problemática posta pela Página 83 de 632 realidade; somente a consideração dos movimentos de articulações conceituais e procedimentais entre elas podem nos melhor instrumentalizar para o enfrentamento dessa problemática. Um dos pontos essenciais de sua teoria é sobre a relação entre o todo e as partes – o global. O global é mais que o contexto, é o conjunto das diversas partes ligadas a ele de modo interretroativo ou organizacional. (...) O todo tem qualidades ou propriedades que não são encontradas nas partes, se estas estiverem isoladas umas das outras, e certas qualidades ou propriedades podem ser inibidas pelas restrições provenientes do todo. (MORIN, 2002, p. 37) Ou seja, cada parte só tem sentido quando percebida em sua relação com as demais partes e com o todo, evitando, assim, fragmentações e reducionismos. Remetendo-nos ao currículo escolar, surge aí a importância de uma educação inter/transdiciplinar no processo de constituição do sujeito contemporâneo. Outro ponto importante de análise, na perspectiva moriniana, é sobre a consciência das incertezas do real: “o conhecimento é a navegação em um oceano de incertezas, entre arquipélagos de certezas” (MORIN, 2002, p. 86). Segundo Morin, para enfrentarmos as incertezas, as imprevisibilidades a longo prazo, precisamos lidar com o binômio desafio e estratégia: o primeiro é a consciência da aposta contida numa dada decisão, lidar com tomada de decisão num cenário de incertezas é sempre um desafio; o segundo, a estratégia, diz respeito a “um cenário de ação que examina as certezas e as incertezas da situação, as probabilidades, as improbabilidades” (p. 90). No entanto, a estratégia deve prevalecer sobre o programa: O programa estabelece uma seqüência de ações que devem ser executadas sem variação em um ambiente estável, mas, se houver modificação das condições externas, bloqueia-se o programa. [N]a estratégia (...) o cenário pode e deve ser modificado de acordo com as informações recolhidas, os acasos, contratempos ou boas oportunidades encontradas ao longo do caminho. (MORIN, 2002, p. 90) Dessa forma, percebo a contribuição que uma visão crítica do ensino da matemática a partir de uma perspectiva interdisciplinar proporcionará ao sujeito uma apreensão crítica da realidade, definindo assim a relação que este irá estabelecer com o mundo e com o conhecimento. Concluindo... ensinar hoje se torna tarefa bastante complexa para a escola, devido, principalmente, à nova relação estabelecida entre o professor e o conhecimento, com o advento da Sociedade da Informação. Cotidianamente, o sujeito é bombardeado por inúmeras informações, oriundas de diversas fontes, como jornais, revistas, propagandas, televisão, Internet etc., nem sempre fontes confiáveis. Porém, este mesmo sujeito tem de tomar decisões rápidas e eficazes que lhe garantam sua participação ativa e autônoma nesta sociedade complexa. Percebo que a matemática tem muito a contribuir para a formação do cidadão contextualizado nestas novas exigências sociais, para tanto, sem ignorar a natureza disciplinar da matemática, grande parte dos fenômenos não conseguem uma representação significativa na aprendizagem do aluno quando tratados apenas em uma disciplina – levando assim o professor à necessidade de transcender a matemática e integrar-se a elementos em outras áreas do conhecimento para melhor desenvolver sua ação pedagógica, surge aí a noção e necessidade da interdisciplinaridade. Referências Bibliográficas BRASIL/MEC. (1999). Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio / bases legais. Brasília: Ministério da Educação. FAZENDA, (1993). Ivani Catarina Arantes. Interdisciplinaridade: um projeto em parceria. São Paulo: Edições Loyola. Página 84 de 632 JAPIASSÚ, Hilton. (1976). Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago. KUHN, Thomas S. (1975/1994). A estrutura das revoluções científicas. São Paulo: Editora Perspectiva. MACHADO, Nilson José. (2000). Educação: projeto e valores. São Paulo: Escrituras Editora. MARCONDES, Danilo. (2002). A crise de paradigmas e o surgimento da modernidade. In: BRANDÃO, Zaia (Org.). A crise dos paradigmas e a educação. São Paulo: Cortez, p. 1429. MORIN, Edgar. (2002). Os sete saberes necessários à educação do futuro. São Paulo: Cortez/Unesco. PIRES, Célia Maria Carolino. (2004). Formulações basilares e reflexões sobre a inserção da matemática no currículo visando a superação do binômio máquina e produtividade. São Paulo: Educação Matemática Pesquisa. (mimeo). ROJO, Martín. (1997). Hacia una didáctica crítica. Madrid: Editorial La Muralla. SANTOS, Boaventura de Souza. (2000). Introdução a uma ciência pós-moderna. Rio de Janeiro: Graal. Página 85 de 632 UNA APROXIMACIÓN A LAS CONCEPCIONES SOBRE LA MATEMÁTICA DE ALUMNOS DE ESCUELA SECUNDARIA Graciela Echevarría - Nora Gatica - Karina Olguín Facultad de Ingeniería y Ciencias Económico Sociales- Universidad Nacional de San LuisArgentina . E mail: [email protected]; [email protected] Nivel educativo: Secundario Palabras Clave: Concepciones. Matemática. Resolución de Problemas. Creencias. RESUMEN A pesar de que las matemáticas son necesarias en todos los ámbitos de la vida hay un alto grado de fracaso en la vida escolar, tal que como se puede ver en los resultados nacionales de matemática en nuestro país o a nivel internacional (Operativos Nacionales de Evaluación: ONE 2003 y PISA 2003). Muchos alumnos generan actitudes negativas hacia las matemáticas, generando a veces antipatía o rechazo. La aparición de estas actitudes podría estar relacionada con los fracasos en el aprendizaje de las matemáticas, de ahí que consideremos necesario el estudio de los factores afectivos y emocionales El presente trabajo se inscribe en la línea de investigación de didáctica de la matemática que estudia las concepciones que tienen los alumnos sobre la matemática y su relación con la vida diaria. La muestra consistió en 51 alumnos del cuarto año de la escuela secundaria. Se elaboró una encuesta de 10 preguntas, acerca de su interés por las matemáticas y la utilidad en la vida diaria de esta disciplina. El objeto de la misma es que los alumnos fuesen críticos de su propia experiencia. INTRODUCCIÓN Uno de los principales objetivos que tenemos como docentes de matemáticas es “enseñar a pensar”, este objetivo puede ser quizás utópico, pero a lo largo de la historia este ha sido uno de los argumentos para justificar la necesidad de aprender matemática, aunque no el único. Las situaciones problemáticas que les damos a nuestros alumnos deben tener como finalidad estimular a los estudiantes donde deben abordar situaciones nuevas, a responder cuestiones, elaborar estrategias de pensamiento, a cuestionarse, a aplicar sus conocimientos y destrezas a otras situaciones, a esto nos referimos cuando expresamos “enseñar a pensar”. En la actualidad, se pondera una enseñanza de las matemáticas donde el estudiante sea más participativo, “…poniendo énfasis en el proceso de hacer matemáticas más que en considerar el conocimiento matemático como un producto acabado‖ (Castillo P. y Gil F., 2007, pg. 491) Sin embargo, en el estudiante, de acuerdo a las experiencias que adquieren en su quehacer matemático, se van conformando día a día creencias y/o concepciones que condicionan su manera de actuar. Por lo tanto, conocer las concepciones de los alumnos permitiría anticipar su forma de proceder, lo que sería muy importante al momento de diseñar y proponer situaciones didácticas en el aula. A pesar de que creencias y concepciones tienen distinto significado, comparten una base común: opiniones personales sobre una determinada cuestión, sin necesidad de ser compartido (Castillo P. y Gil F., 2007, pg. 491). Contreras L. (1998) establece que mientras las creencias hacen referencia al pensamiento, las concepciones hacen referencia a tendencias de pensamientos que describen rasgos más generales. Para Moreno L. y Waldegg G. (1992) las concepciones pertenecen a una red de información que posee imágenes, relaciones, anticipaciones e inferencias alrededor de una idea. Página 86 de 632 En este estudio acogeremos el significado de la palabra “concepción” como las ideas, representaciones y creencias que orientan al alumno en su labor matemática. El presente trabajo forma parte de una investigación mucho más amplia que trata sobre las concepciones de los alumnos de la escuela secundaria en torno a las matemáticas y su relación con la vida cotidiana. Nuestro interés se focalizó no solamente en conocer y medir las apreciaciones subjetivas de los alumnos, sino también en que el estudiante, al contestar el cuestionario, reflexione y conozca sus propias concepciones. Es importante que el alumno tome conciencia sobre lo que significa “hacer matemáticas”. Esta se trata de un aspecto de la metacognición sobre el conocimiento (saber como…) que permite al estudiante programar las acciones mediante las cuales pueda realizar con éxito una tarea (Marti E., 1995). Diversas investigaciones (Gomez-Chacon I., 2004; Mau-Homen y Luengo, 2004) establecen la importancia del estudio sobre las concepciones de los alumnos porque se ha comprobado la influencia que tienen en el desarrollo del aprendizaje en el aula. OBJETIVOS Los objetivos propuestos para el siguiente estudio son los siguientes: Analizar las percepciones y valoraciones de estudiantes de la escuela secundaria acerca lo que significa para ellos la matemática. Estudiar las percepciones de utilidad, importancia y aplicabilidad de las matemáticas a la vida cotidiana que tienen los estudiantes. Explorar la autoimagen del estudiante con respecto a sus habilidades y capacidades para resolver problemas matemáticos. Examinar las expectativas de logro con el placer y gusto cuando resuelven un problema matemático. Analizar hasta que punto los estudiantes son capaces de reconocer un “problema matemático”. METODOLOGIA Al presente trabajo lo situamos como un estudio exploratorio, descriptivo e interpretativo. El instrumento de recolección de datos que hemos dispuesto para llevar a cabo este estudio es una adaptación a nuestro contexto, del cuestionario estructurado de respuesta cerrada elaborado por Vila A. y Callejo M. (2005). De la totalidad de las preguntas de este cuestionario, en este trabajo solo analizamos 6 de ellas. En la selección de la muestra se utilizó un muestreo no probabilística de conveniencia y está compuesta por 51 estudiantes de 15 años que asistían a dos cursos de un colegio secundaria de gestión privada. ANALISIS DE LAS RESPUESTAS Las preguntas que se analizan en este trabajo son las siguientes: 1. ¿Te gustan las matemáticas? Mucho 8 Bastante 16 Poco 19 Nada 8 total 51 Página 87 de 632 El objetivo de esta pregunta fue indagar sobre la apreciación subjetiva de los estudiantes hacia las matemáticas. Del análisis de las respuestas observamos, en primer lugar que con el 37,25 % los encuestados respondieron que les gusta “poco” las matemáticas, siguiendo con “bastante” con un 31,37 %. En los extremos “mucho” y “nada” con un 15,68 %. A pesar que existe un colectivo general al pensar que las matemáticas despiertan sentimientos de “o se aman o se odian”, en estos alumnos parece no cumplirse esta afirmación. Los sentimientos, valores y actitudes son también aspectos importantes de la educación. Ante una situación de aprendizaje, un estudiante puede reaccionar positiva o negativamente, de acuerdo con sus creencias acerca de la asignatura que cursa. Se reproduce la misma reacción afectiva muchas veces (frustración, satisfacción, etcétera), esta puede convertirse en una actitud; y las actitudes, a su vez, influyen en las creencias y contribuyen a la formación del alumno. 2. ¿Qué es lo que mas te gusta de las matemáticas? Reglas Exactitud Métodos Razonamiento Imaginación Sentido común 33 22 35 34 8 21 El objetivo de esta pregunta fue averiguar las representaciones de los alumnos y su valoración de la asignatura. En esta pregunta ellos debían elegir tres preguntas con las que vinculan matemática. Observamos que las más elegidas resultaron métodos, razonamiento y reglas, con muy poca diferencia entre ellas. A pesar de que para la resolución de problemas se requiere imaginación, son muy pocos los alumnos que lo valoran positivamente. 3. 3. ¿Qué palabras relacionas más con las clases de matemáticas? Practicar Explicación Memoria Investigar Pensar Discusión Total 50 44 11 4 40 4 153 El objetivo de esta pregunta fue averiguar que actividad matemática la relacionan con esta asignatura. Del análisis de las respuestas surge que para ellos la actividad matemática más importante es “practicar”. Esto se deba posiblemente a los contratos didácticos establecidos con los profesores que principalmente mantienen una actitud conductista. En segundo lugar ponderan las “explicaciones” de los profesores siguiendo con “pensar” (nuevamente las clases magistrales). En último lugar se ubica “discusión” e “investigar”. Parecería que estas actividades no han sido mayoritariamente propuestas por los profesores. Las siguientes preguntas están vinculadas a la resolución de problemas. En trabajos de (Callejo, 1994; Vila; 1995), se evidencia que el término de problema está muy desgastado en el contexto escolar, pues se ha venido usando para hacer referencia a una amplia tipología de actividades que se proponen al alumnado con finalidades muy dispares y mayoritariamente con Página 88 de 632 un aspecto en común: se exige aplicar diferentes conocimientos, habilidades y capacidades que normalmente forman parte de la programación matemática. Es muy importante que el alumno “sepa hacer”, pero también debe saber reflexionar sobre que “sabe hacer” 4. Te encuentras con situaciones complicadas en la vida cotidiana, en la que tengas que utilizar las matemáticas? Muchas Pocas Bastante Ninguna Total 18 16 15 2 51 Esta pregunta tiene como objetivo analizar si los alumnos son capaces de relacionar las situaciones problemáticas de la vida cotidiana con las matemáticas. Del análisis de las respuestas surge que son capaces de reconocer situaciones problemáticas y relacionarlas con las matemáticas. Solo dos respuestas evidencian no ser capaces de esta relación. 5. Si ha sabido resolver un problema de matemáticas es porque: Se muchas matemáticas 4 Tengo mucha intuición y sentido común. 5 Se hacer esquemas y representaciones 1 Me esforzado mucho cuando resolvía 25 Estaba muy concentrado. 16 El propósito de esta pregunta es analizar si los alumnos reconocen cuales son las actividades que les ayudan a resolver problemas. El haberse esforzado mucho es la actividad cognitiva que reconocen como las que más les sirve para poder resolver problemas con éxito. En segundo lugar se ubica “estaba muy concentrado”. Reconocen que el saber muchas matemáticas no influye en la resolución del problema. A pesar que existe un reconocimiento general que el realizar esquemas y representaciones ayuda al momento de resolver un problema, en este caso se ubica en último lugar. 6. Cuando acabo de resolver un problemas correctamente me siento: Normal como siempre Satisfecho Sorprendido No me lo acabo de creer Con ganas de hacer más problemas Total 6 18 9 6 12 51 La intención de esta pregunta fue averiguar cuales son los sentimientos que sienten los alumnos luego de resolver correctamente un problema. Página 89 de 632 Los alumnos se sienten satisfechos en primer lugar, seguido con las ganas de hacer más problemas. En último lugar los alumnos declaran sentirse como si no hubiera pasado nada o que no pueden creer que los hayan resuelto. Estas respuestas evidencian los sentimientos positivos (satisfecho y con ganas de hacer más problemas) que sienten los alumnos cuando resuelven bien esta actividad. Es importante que los profesores planifiquemos actividades que deban resolver problemas porque de esta manera podríamos promover el agrado en nuestros estudiantes hacia las matemáticas. CONCLUSIONES Del análisis de las respuestas podemos concluir que: Frente a las creencias acerca de la naturaleza de las matemáticas y de su aprendizaje, los estudiantes consideran las matemáticas como útiles y necesarias para desenvolverse correctamente en la sociedad. Cuando logran resolver un problema matemático manifiestan una gran satisfacción y deseo de enfrentar un nuevo desafío matemático. Resolver un problema es una actividad compleja, en ellas están implicados distintos tipos de conocimiento, como las estrategias heurísticas que dan implicaciones sobre los posibles caminos a seguir. Son pocos los alumnos que perciben a las matemáticas como fáciles, divertidas y cercanas a la realidad. Muchas personas, creen que matemática es resolver cálculos. Santaló (1993) indicaba que para aquellos que tiene una escasa formación matemática, esta ciencia está integrada únicamente por cálculos aritméticos comunes y por los nombres y propiedades de algunas figuras geométricas, para ellos, se trata de saber calcular, y en consecuencias, con la aparición de la calculadoras, consideran que la matemáticas ha perdido gran parte de su interés, o que este interés cabe mantenerlo evitando el uso de esta herramienta o de las nuevas tecnologías en el aula. Incluso personas con una alta formación reducen su actividad matemática a la abstracción y manipulación de números y relaciones funcionales, pero debemos entender a la matemática como una técnica, como un arte, como una filosofía y como una ciencia, y esta dimensión solo puede ser desarrollada, cultivando el espíritu de investigación. Los docentes, en lugar de enseñar a resolver ejercicios en forma mecánica, debemos crear un ambiente que propicie la confianza de cada alumno en sus propias capacidades de aprendizaje, lo que no quiere decir que no se sientan a veces frustrados o fracasados, sino que tengan confianza en ellos mismos, que crean en sus capacidades de resolver problemas, que elaboren su propio criterio y que no teman equivocarse. Los docentes debemos ayudar a adquieran este estimulo, debemos enseñar guiando y motivando su actividad creadora y descubridora. Proporcionar y ejercitar esos procesos eficaces de pensamiento, es sin duda, uno de los contenidos valiosos que la escuela debe brindar. BIBLIOGRAFÍA Callejo, M. L. (1994). Un club matemático para la diversidad. Editorial Nancea. Madrid. Castillo P. y Gil F. (2007). Las creencias de un profesor de matemáticas sobre enseñanza, aprendizaje y evaluación. En Investigaciones en Educación Matemática: Pensamiento numérico. E. Castro y J. Lupiañez (edits). Editorial Universidad de Granada. España. Contreras L. (1998). Resolución de problemas. Un análisis exploratorio de los profesores de las concepciones de los profesores acerca de su papel en el aula. Tesis doctoral. Universidad de Huelva. Página 90 de 632 Gomez-Chacón I. (2004). Investigar las influencias afectivas en el conocimiento de la Matemática. Enfoques e instrumentos. En Líneas de investigación en Educación Matemática. Ricardo Luengo Gonzales editor. Tecnigraf S.A. Universidad de Extremadura. España. Marti E. (1995). Metacognición: entre la fascinación y el desencanto. En Infancia y aprendizaje. Tomo 72. Madrid. Mau-Homen A. y Luengo R. (2004). Concepcoes dos alunos do Ensino Secundario acerca da matemática e sua aprendizagem. En Líneas de investigación en Educación Matemática. Ricardo Luengo Gonzales editor. Tecnigraf S.A. Universidad de Extremadura. España. Moreno L. y Waldegg G. (1992). Constructivismo y educación matemática. En Educación Matemática 4. México. Grupo editorial Iberoamérica. Santaló, L. (1993). La matemática: una filosofía y una técnica. Editorial Eumo. Vila, A (1995). “¿Problemas de matemáticas? ¿Para qué? Una contribución al estudio de las creencias de los profesores y alumnos/as”. Actas de las VII JAEM. pp 32-37. Madrid. Vila A. y Callejo M. (2005). Matemáticas para aprender a pensar. El papel de las creencias en la resolución de problemas Editorial Nancea. Madrid. Página 91 de 632 UNA INVESTIGACIÓN ACERCA DEL INFINITO EN EL AULA DE MATEMÁTICA Patricia Lestón. Cecilia Crespo Crespo. [email protected], [email protected]. Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González”. Buenos Aires, Argentina. CICATA, IPN. México DF Nivel Educativo: medio - terciario Palabras clave: infinito, construcción social, socioepistemología, escenario. Resumen Este trabajo describe una investigación que se está llevando a cabo acerca del infinito desde una perspectiva socioepistemológica, centrada en la construcción social del conocimiento matemático. Se presentan algunos de los resultados obtenidos y se plantean los pasos a seguir por la misma, en la que se están identificando las representaciones sociales que tienen los estudiantes acerca del infinito intuitivo y el infinito matemático. El infinito no académico de carácter intuitivo, es construido por los estudiantes fuera de escenarios escolares, siendo asimilado a lo que no termina y lo que no se puede contar. Entra de esta manera en el aula sin que haya conciencia de que se trata de un infinito de distinta naturaleza, y genera dificultades en la construcción del infinito matemático. Sobre la base de cuestionarios escritos y entrevistas, se está indagando acerca de las representaciones sociales que poseen los estudiantes acerca del infinito con la finalidad de comprender la manera en la que se construye el concepto de infinito y las dificultades que genera su aplicación a otros conceptos matemáticos. Introducción Esta investigación se inicia como consecuencia de años de trabajar alrededor del infinito en la escuela media. En el marco de la investigación se han ido presentando resultados que se orientan a la comprensión de su presencia y características en el aula de matemática (Lestón, 2008, Lestón y Crespo Crespo, 2009) El infinito ha resultado el tema resulta apasionante desde diversas disciplinas: filosofía, matemática, literatura, religión... Muchas investigaciones se han realizado al respecto. (Monaghan, 2001; Grabin, 2003; Garbin, 2005; Valdivé Fernández, 2006; Biedma, 2004; Crespo Crespo, 2002; Lestón, 2008) Además, los estudiantes muestran un manejo tan poco matemático del concepto que hace que en cualquier momento surjan ideas y discusiones que se apartan de lo que los docentes esperan de sus clases, en los que se pone de manifiesto que el infinito del discurso matemático escolar que permite entender la continuidad, por ejemplo, no es compartido por los alumnos, generando dificultades en el desarrollo de un curso de introducción al Análisis. Resultados Preliminares De la primera parte primera investigación surgieron algunas cuestiones que son las ya reportadas. Por un lado, se intentó identificar qué hace que la gente se haga de una idea de infinito. Algunas de las ideas que generan la concepción de infinito según lo que investigamos fueron: La enumeración: la necesidad de asignar cantidades a grupos de elementos semejantes (estrellas, granos de arena) Página 92 de 632 La medida: conocer la extensión del mar, del espacio, del universo, de todo cuanto rodea al ser humano La temporalidad: comprender desde cuándo y hasta cuándo existe lo que se conoce La clasificación numérica: conjuntos pequeños, grandes, muy grandes... e infinitos. El infinito como adjetivo ayuda a la clasificación de colecciones de elementos similares. La clasificación cualitativa: el amor, la esperanza, la fe, el poder de Dios, requieren de calificativos lo suficientemente poderosos como para destacar la distancia entre estas situaciones y otras menos importantes. Esas ideas surgen no solo de respuestas de estudiantes, sino de la historia de la matemática, lo que se observa en las experiencias de esta trabajo, pero principalmente, de la vida. Cuando los niños preguntan, insisten, cuestionan, surge para los padres el infinito como un “comodín”: no es claro lo que representa, no es claro lo que quiere decir, y sin embargo los niños lo adoptan. (Lestón, 2008, pp. 112-113) El infinito se hace presente en muchos momentos de la vida y es una de esas ideas que se transmiten de generación en generación. Pero para los docentes de matemática, se trata de una de las ideas extremadamente fuerte porque son socialmente compartidas, son cultura, que me permiten identificarnos con un colectivo que es mi comunidad. El infinito matemático que se intenta imponer en la escuela (sutilmente con los más variados ejemplos y las ideas más formales que se nos ocurre pueden entender) no representa a nadie, sólo a la comunidad de Profesores de Matemática. El impacto de las ideas intuitivas en el caso del infinito es innegable, especialmente porque fuera de la matemática el infinito no es contradictorio. En los sentimientos, en el tiempo, en el espacio, en la religión, el infinito “cierra”: convence, caracteriza de manera tal que todo el mundo sabe de lo que se está hablando. Los conflictos aparecen sólo dentro de la matemática: entonces, ¿por qué alguien cambiaría un modelo que no tiene problemas (el modelo intuitivo) por un modelo que se muestra contradictorio, conflictivo y que “no convence” (el modelo matemático)? La matemática escolar debe tomar parte en la modificación del discurso de manera tal que los alumnos encuentren en el sistema matemático un modelo compatible y sin problemas. (Lestón, 2008, 115) Todo eso se puso de manifiesto en nuestra investigación a partir de la aplicación de encuestas y del análisis de diversas experiencias que se dan a lo largo de varios años de lidiar con los mismos temas y el mismo público. Pero aún no se ha logrado dar respuesta a los problemas de los alumnos, a las dificultades de las clases de matemática que involucran al infinito ni a dar una posible manera de introducirlos a la comprensión y construcción de este concepto en la clase de matemática. Perspectivas actuales de la investigación. Su marco teórico En la actualidad, estamos tratando de entender la manera en la que hemos construido la noción matemática del infinito, gracias a qué experiencias o procesos, hemos llegado a desarrollar otras ideas del infinito que permiten trabajar cuestiones como la continuidad o los límites infinitos. El marco teórico en el que se desarrolla esta investigación es la socioepistemología que permite comprender la manera en la que se construye el conocimiento a partir de un prácticas que se dan al seno de un grupo, permitiendo que los miembros de ese grupo se sientan en comunidad, con una cultura científica compartida. La socioepistemología es una manera no sólo de entender la construcción del conocimiento matemático sino como una forma de ver la evolución de la humanidad, de una cultura y de un grupo. Porque es el grupo con sus necesidades y sus características el que lleva a que se produzcan avances, partimos del supuesto de que los saberes matemáticos son un bien cultural y que son producto de la actividad humana en su práctica de modificar y construir su realidad, tanto natural como Página 93 de 632 social. Trabajamos con la hipótesis del origen social del conocimiento, asumiendo que los procesos de construcción y de creación humana son procesos de síntesis de los objetos y herramientas culturales presentes en una sociedad o un grupo específico. […] nuestras investigaciones se inscriben dentro de la problemática general que busca entender las circunstancias en la cuales son llevados a cabo los procesos de construcción de conocimiento. Entender estas circunstancias es interpretada como la elaboración de una teoría que los describa, explique y prediga los procesos de construcción de conocimiento. (Martínez, 2005, p. 198) Si el conocimiento es producto de construcción social, entonces el alumno es central en el proceso de construcción. Porque es él quien tiene que construir su propio conocimiento. Y si él no construye no hay nada que podamos hacer para lograrlo de nuestro lado. Lo que el docente debe hacer es estar atento para proponer a un grupo actividades y propiciar circunstancias o condiciones necesarias para que ese grupo logre construir un conocimiento determinado. Pero para eso hay que estar atento a algunas cuestiones más que importantes: primero hay que conocer al grupo, quiénes son, qué saben, qué necesitan y qué quieren lograr. Sabemos ya qué ideas traen los estudiantes en relación al infinito, cómo funcionan esas ideas y cómo entran sin nuestro permiso ni consentimiento en lo que deseamos lograr de nuestras clases. El tema es entonces, acompañar, si es posible, a los alumnos en el proceso de construcción del infinito matemático escolar, próximo al infinito científico pero que conviva armónicamente con el que ya traen. La dificultad que se presenta es tratar de comprender cómo es que se dan los procesos de construcción, cómo es que una persona organiza y hace interactuar esas ideas que trae con esas nuevas que intentamos nazcan en la escuela. Y esa búsqueda implica la selección de herramientas que permitan adentrarse en cuestiones cognitivas, siempre confusas y poco transparentes, porque la mente es un terreno que es aún algo a descubrir. La comprensión de lo cognitivo a través de lo social La Teoría de las Representaciones Sociales, originada en la Psicología Social ha comenzado a ser utilizadas en investigaciones relacionadas con la educación. En algunas de ellas (Sanchez Luján, 2009), se pone de manifiesto la potencialidad, de las Representaciones Sociales para conocer la manera en la que formamos ideas que compartimos socialmente en las comunidades. La teoría de las R S constituye tan solo una manera particular de enfocar la construcción social de la realidad. La ventaja de este enfoque, sin embargo, es que toma en consideración y conjuga por igual las dimensiones cognitivas y las dimensiones sociales de la construcción de la realidad. Ello hace que su óptica de análisis; la elección de aspectos relevantes a investigar y la interpretación de los resultados difieran en gran medida de la cognición social. (Araya Umaña, 2002, p. 15) La TRS es una manera de ver, explicar y entender cómo se construye socialmente la realidad. No hay forma de pensar en la construcción de la realidad desde un punto de vista absolutamente autónomo. Todos aprendemos de otros, todos nos hacemos ideas basadas en el intercambio con otros, y construimos nuestro mundo alrededor del mundo que compartimos con otros. Y esa manera en se va construyendo nuestra realidad es la manera en que vamos construyendo nuestra cultura, nuestro conocimiento y nuestra ciencia. Entonces, si conocemos la forma en que se da esa construcción, podemos ayudar a que otros construyan. La herramienta central que creemos nos va a servir para ver estas cuestiones es la Representación Social, que se define como: un sistema de interpretación de la realidad que rige las relaciones de los individuos con su entorno físico y social, ya que determinará sus comportamientos y sus prácticas. Es una guía para la acción, orienta las acciones y las relaciones sociales. Es un sistema de pre-codificación Página 94 de 632 de la realidad puesto que determina un conjunto de anticipaciones y expectativas (Abric, 2001, p. 13) La RS puede poner en juego conocimientos, interactuar con diversas situaciones. Si se logra reconocer una RS del infinito matemático o de un infinito más cercano al matemático entonces podremos hacerlo entrar a la clase para que aparezca frente a las situaciones que es necesario que aparezca. El infinito intuitivo, el primero del que hablábamos, asumimos ya está construido y tiene una RS para las personas. El problema es que es esa RS la que tenemos en el aula y esa es la que en la matemática no funciona. Pero sí puede servir para poder acercarnos a la búsqueda de la RS del infinito matemático. La TRS tiene una serie de instrumentos de indagación para poder caracterizar a la RS una vez que ya ha sido construida. A través de entrevistas y cuestionarios, se indagan las características que de un objeto social, en nuestro caso de un conocimiento, surgen como centrales. La RS divide sus elementos en dos grupos: aquellos que se encuentran en el núcleo de la representación y que son compartidos por los miembros de una comunidad, y los elementos que caen en el sistema periférico, que son más personales, que son los que se mueven y modifican con más facilidad y que permiten que la estructura se adapte a diversas situaciones. - - “Un sistema central”, esencialmente social, que relaciona las condiciones históricas, sociológicas e ideológicas. Su papel es esencial en la estabilidad y coherencia de la representación. “Un sistema periférico”, asociado a las características individuales, permite, de esta forma, una adaptación en función de las experiencias personales en torno al núcleo central. El sistema periférico no se considera menor que el central, es fundamental para la preservación o transformación de la RS. (Sánchez Luján, 2009, pp. 22-23) Si se logra entender cómo está organizada esa idea y ese conocimiento, entonces es posible identificar elementos que son esenciales para que en la clase haya un infinito que permita la construcción de otras cuestiones. Conclusiones La investigación que nos proponemos está centrada en el aula, nace de lo que vemos a diario y busca detectar por un lado la manera en que la gente construye conocimiento y por otro, la forma en que esas ideas que son construidas se organizan internamente como producto de lo que socialmente se comparte. La teoría, ya sea como marco teórico o como herramienta de análisis es central en este estudio y en cualquier que intente comunicar resultados a una comunidad. Las experiencias de clase y lo que intentamos desde lo que nos nace intuitivamente, basados en la experiencia, es importante pero no permite hacer crecer a un grupo de docentes que se enfrentan a diario con situaciones similares. El infinito es un tema que ha sido discutido, analizado e investigado desde hace muchos años, pero para el cual no hemos encontrado aún una propuesta que nos ayude. No creemos que lo que nosotros hagamos resuelva los problemas de la enseñanza del análisis, pero estamos en la búsqueda de nuevos elementos para mejorar la realidad de nuestras clases. Referencias bibliográficas Abric, J. (2001). Las representaciones sociales: aspectos teóricos. En J. Abric (Ed.) Prácticas sociales y representaciones. (pp. 11-32). México: Ediciones Coyoacán. Araya Umaña, S. (2002). Cuaderno de Ciencias Sociales 127. Las representaciones sociales: Ejes teóricos para su discusión. San José: FLACSO. Página 95 de 632 Bolzano, B. (1991). Las paradojas del infinito. México: Mathema. 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RESUMEN Las disciplinas científicas tienen un lenguaje que las caracteriza y a esto no escapa la Matemática quien posee un lenguaje que se ´autoexplica´ con un sistema de signos ´autocontenidos´ (aunque esto no fue siempre así). Esta expresión final de la Matemática como lenguaje autosuficiente y formal es la que en general se comunica a los alumnos y sería, a nuestro juicio, la razón última de las dificultades observadas en su aprendizaje: el ´lenguaje matemático´ bajado al aula sin la conveniente transposición didáctica generaría un conflicto cognitivo difícil de salvar por el estudiante. En tal caso el quehacer matemático queda reducido a una mera manipulación de símbolos (en general arbitrariamente convenidos) y reglas, divorciados de cualquier interpretación concreta. Entendiendo que “el aprendizaje de la Matemática está íntimamente ligado a la capacidad lingüística matemática que se tenga‖ proponemos que nuestra acción debe tener por fin el desarrollo de esta capacidad. Que debemos evitar la completa separación entre la acción y la forma, provocar que el ´símbolo´ contenga, cuanto menos, ´huellas´ de los elementos que participan en la abstracción de la cosa. Huellas que posibiliten al lector el reencuentro con la cosa en sí, la asimilación significativa del esquema que la representa, la operatividad del mismo. En definitiva, nuestro desafío es: restablecer el significado. El resultado de nuestra investigación es que tal objetivo se logra a partir de secuencias de trabajo donde el acento no esté en el objeto matemático en sí, sino en la actividad a realizar para su aprehensión; particularmente, en que tal actividad se de en contextos argumentativos donde los actores reproduzcan prácticas donde se combinen la percepción de la realidad y la experimentación situada con la argumentación matemática. INTRODUCCIÓN Las dificultades observadas en los alumnos que ingresan a la facultad en relación a una efectiva inserción al ámbito académico son muchas y de muy diversa índole. Al respecto y a nuestro juicio entre las tantas razones o causas que estarían dificultando el proceso de enseñanza y aprendizaje en general y en particular el de la Matemática, (coincidiendo con las últimas investigaciones en el campo de la Educación Matemática), estaría el conocimiento o dominio del lenguaje científico, en particular el ´matemático´. Así, en el presente trabajo, nos proponemos: Analizar la hipótesis de que el lenguaje matemático es una fuente susceptible de conflictos en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática. Proponer estrategias didácticas alternativas, superadoras de este conflicto. Las dificultades para la enseñanza y aprendizaje de la Matemática (en constante aumento y sin soluciones efectivas a la vista), reconocen distintas causas; una de las más importantes, la visión que de ella se tiene. Se la ve como una ciencia: Página 97 de 632 fija, inmutable, desconectada de la realidad; asequible a unos pocos dotados; constituida por una colección de reglas y definiciones que sólo cabe recordar de memoria; exacta, no opinable; expresada en un lenguaje incomprensible, lleno de x´s y de y´s, desprovistas de todo significado. Se estima que estas imágenes negativas podrían tener su origen en: Las actitudes generales del contexto hacia la Matemática, las cuales en forma consciente o inconsciente se transmiten al alumno. El modo de presentación de esta materia en el aula. Las actitudes de los profesores de Matemática para con los alumnos. La naturaleza del pensamiento matemático. El “lenguaje de la Matemática‖. En relación a la problemática señalada se observa una evolución en el ´tipo´ de las dificultades presentadas por los ingresantes a la Universidad en las últimas décadas con respecto a las presentadas en las décadas del 70, 80 y hasta el 90. En el Informe del Grupo de Discusión: “Actividades de enseñanza que pueden apoyar el tránsito de los estudiantes desde la secundaria a la Universidad” (Álvarez, Belgrano, Herrera, Lacués y Pagano 2002, p. 1327), y en relación al diagnóstico de dificultades en el alumno ingresante, se destacan las siguientes como las de mayor peso: comprender consignas y aplicar procedimientos apropiados para responderlas; abstraer propiedades generales comunes a diversos objetos ; reconocer casos particulares en formulaciones generales ; comunicarse apropiadamente con otro según lo requiera el trabajo (en forma coloquial, oral o escrita; en forma simbólica, literal o gráfica) ; traducir la información presentada en un registro dado (gráfico, simbólico, verbal, numérico) a cualquiera de los otros. O sea, se ha percibido que los problemas relativos al dominio de “propiedades, algoritmos o reglas algebraicas” (que subsisten) son relativamente fáciles de salvar si el alumno posee las capacidades antes mencionadas. Es decir, que la problemática educativa antes que de orden ´técnico/conceptual´ es de orden ´metodológico/actitudinal´; que excede ampliamente el campo de lo disciplinar y trasciende al campo de lo sociocultural dado que, en última instancia, el aprender aparece asociado (y cada vez más) a la capacidad del hombre de involucrarse o conectarse tanto con el saber como con los otros hombres. En definitiva, se asume cada vez más que los instrumentos de mediación, entre ellos y en lugar destacado el ´lenguaje´, no son factores secundarios en la producción del conocimiento en general y, menos aún, del matemático. Empieza a comprenderse el papel fundamental de los mismos en dicho proceso, más precisamente, su impacto en la génesis misma de una idea o concepto, consecuentemente en la forma de pensar o razonar. NUEVAS TENDENCIAS EN LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS reconocer que la práctica educativa es parte de un contexto muy amplio; aprovechar los avances científicos y tecnológicos; reconocer un nuevo rol para el docente; Página 98 de 632 conceptualizar el ´Currículo´ de forma más dinámica, entendiendo que: los contenidos, no son el problema (pueden ser fácilmente reorganizados) los métodos (son modificables, pero el cambio es difícil de instrumentar) objetivos sobre ellos recae toda la carga los objetivos (lo más difícil de replantear y cambiar) socio-histórica-cultural del sistema Desde la concepción emergente, modificar un currículo requiere algo más que aggiornar contenidos ó relevar metodologías; requiere la modificación de conductas, de parámetros, perseguir la formación de un individuo LIBRE PENSANTE ACTUANTE. En definitiva, requiere de un cambio de actitudes, entre ellas la resignificación del rol docente (particularmente en el ciclo superior). Para ello, la DISCIPLINA no como sino como SISTEMATIZACIÓN DEL CUERPO DE CONOCIMIENTOS SISTEMATIZACIÓN DE ACTIVIDADES ´Sensibilizadas´ o ´atravesadas´ por la realidad. Posibles con la ayuda de MEDIOS. El docente: como mediador entre el estudiante y el saber, como investigador en acción. Instrumentales: base conceptual, medios técnicos y/o tecnológicos. El LENGUAJE: como elemento esencial para la toma de posesión del mundo que nos rodea y desarrollo del pensamiento Respecto del LENGUAJE, obviamente es mucho lo que se puede hablar pero, resumidamente podemos decir que se lo puede “ver” como: Página 99 de 632 Convención, en cuanto lo usamos para sustituir el mundo de lo ´real y concreto´ por el abstracto de los signos, signos sobre cuya significación hay ´usos impuestos´. Conjunto estructurado de signos a través del cual conocemos, podemos desprendemos de lo concreto, abstraer sin la influencia de lo “evidente‖, comunicar pensamientos, transmitir información, pero y sobre todo, construir razonamientos. Respecto al LENGUAJE MATEMÁTICO o FORMAL observamos: tendencia Que está compuesto signos para cuales reglas en de manipulación y de La actual esporprivilegiar el los papel del hay lenguaje el análisis de construcción (o sea, posee una sintaxis). Que sobre estas reglas, a diferencia del distintos campos uno de ellos, la teoría conocimiento . o de lenguaje usual, disciplinares, no existe margen alguno de tolerancia para del los errores ortográficos puntuación (en general, aunque no siempre, en el lenguaje usual, la fuerza del contexto permite eliminar las ambigüedades, dudas o confusiones que causa el error). No está completamente formalizado, siga valiéndose de sintagmas del lenguaje natural. El componente semántico no está ausente.Existen en el discurso matemático ambigüedades que, como en el discurso corriente, se resuelven según el contexto del mismo. Ejemplos: a -1 = 1 a si a representa un número real distinto de cero; f-1 si f representa una función escalar. Es el vehículo 1 a través del cual se comunican los conceptos matemáticos (y extra matemáticos) y también a través del cual se opera sobre f los mismos. Es una especie de taquigrafía que ayuda a desnudar la esencia de argumentos, textos o problemas largos y complicados ya que permite: 1. traducir proposiciones del lenguaje usual a la forma simbólica; 2. operar con todo rigor sobre la forma simbólica a efectos de ´simplificarla´, comprender así lo esencial del texto, obtener respuesta o solución al problema; 3. traducir la forma simplificada de nuevo a proposiciones del lenguaje usual. Es también el vehículo a conceptos. través del cual se descubren y construyen todo tipo de O sea, el lenguaje matemático no es sólo un medio para el cálculo y el razonamiento deductivo, sino también un medio de idealización y analogías, fuente de ideas y principios que posibilitan el surgimiento de nuevas teorías u orientaciones en cualquier rama de la ciencia. El modo de presentación de la Matemática en el aula Creemos que la Matemática (consciente o inconscientemente) es en general presentada a los alumnos en su forma más acabada; o sea, como un lenguaje formal y autosuficiente; que Página 100 de 632 esta presentación de la misma como una manipulación rigurosa y exacta de reglas y símbolos oportunamente convenidos y „divorciados´ de todo ´significado´ es una de las razones de la crisis en el aprendizaje de la Matemática. Hecho que se agrava cuando en el intento (válido pero erróneo) de “facilitar” el aprendizaje, procedemos a reemplazar las expresiones o símbolos “exactos” por expresiones o giros del lenguaje vulgar que, aunque ambiguos, creemos que “ayudan” a entender. Este tipo de “simplificaciones” derivan en obstáculo pedagógicos sólo detectables en el tiempo. Al respecto presentamos un análisis de un caso que ejemplifica lo antedicho. Actividad: dada las siguientes ecuaciones, analizar si definen función y = f(x). (a) 2x + 5y = 4 (b) 4x2 - 2y = 8 (c) 3x - y2 = 0 (d) x.y = 1 (e) (f) (g) (h) y=3 x2.y = 1 x2.y2 = 1 x2. + y2 = 1 con fórmula (i) x.(y+1)= y (j) 5 x 3 2 x Objetivos: evaluar la identificación de relaciones funcionales (tema ´nuevo´) a la vez que diagnosticar el nivel de conocimiento en cuanto al tema ecuaciones (tema ´viejo´, sustento del nuevo). Resultados: alrededor del 65 % de los 350 alumnos cometieron errores de igual o parecida naturaleza al que mostramos a continuación. O sea, no se trata de unos pocos “casos aislados”. Un error típico: 4x - y2 = 0 y2 = 4 x y = 3 x [nunca decimos, la inversa de la potencia es la raíz?] Una resolución: 5x 3 5x –3 = 2x 5x – 2x = 3 3x = 3x = 0 [hace: x = 3 – 3] 2 x Para confrontar al alumno con su error le pedimos que verificara su respuesta; y él, verificó!!; o sea, probó que x = 0 era solución aun cuando para ello tuviera que, ¡ dividir por cero! . P (profesor) - ¿Cómo concluís de 3x = 3 que x = 0? A (alumno) - la x´s tiene un 3 al lado ...., y para que me quede sola tengo que ´quitar ese 3´ , así que......., le resto 3 y queda cero. (cabe preguntarnos:¿con qué asociamos a veces la palabra ´restar´, quizás con ´quitar´?) P - ¿verificaste si x = 0 es solución? A - no…, pero si x = 0 entonces 3/x = 3 y….., P - ¿ 3/ 0 te da 3 ? A - si, por que si a 3 no lo divido ( 0 = ´nada´) …., queda 3.¡ Ah!! P - ¿Qué? (¡¡Se dio cuenta!!) A - ... entonces, también 5.0 me da 5 y, ahí está , 5 -3 = 2 , y ¡ 0 es solución !. P - ¿te parece? Empecemos de nuevo…… Estos resultados nos llevan al punto inicial del proceso, es decir a cómo enseñamos el tema ecuaciones. Al respecto, es muy probable que, más tarde o más temprano nos encontremos diciendo: Tenemos que lograr que quede la x´s sola de un lado y los términos sin x´s del otro lado. Página 101 de 632 Y esto parece ser lo único que al alumno le ´queda´, pues es evidentemente que no le ´queda´ idea respecto a los procesos involucrados, a la existencia de manipulaciones válidas y no válidas, ni al por qué de ellas. Estimamos que esta presentación de la Matemática como una ciencia acabada por un lado y por otro (por imperio de las circunstancias) como una colección de “reglas prácticas” plagadas de “saltos deductivos”, es lo que termina por producir el fenómeno observado y caracterizado por Duval en sus trabajos. Este sostiene que una de las principales causas de las dificultades en el aprendizaje de la Matemática estaría en la “identificación” que los alumnos hacen entre la “representación del objeto” y el “objeto en sí”. Muchos son ya los investigadores que al igual que Duval, plantean que los procesos mentales se facilitan y sostienen a partir de una constante interacción entre la aprehensión o producción de representaciones semióticas y la aprehensión de conceptos que estas a su vez posibilitan. Particularmente en la Matemática esta interacción es esencial en cuanto a la movilización de los distintos sistemas de representación en los que el objeto matemático admite ser representado, así como también para pasar de un registro a otro (del algebraico al geométrico, del coloquial al algebraico, etc). De hecho el aprendizaje puede prácticamente identificarse con la habilidad para pasar de un registro de representación a otro. Esta última interpretación de la Matemática comporta un cambio de orden epistemológico en cuanto al saber matemático en sí; cambio que tiene su correlato en las investigaciones en Educación Matemática y que se puede apreciar en las últimas teorías o investigaciones producidas en este campo, en los últimos años: “Teoría de las Funciones Semióticas en Didáctica de la Matemática” (Godino, 2003); “Semiosis y pensamiento humano” (Duval, 1995, 1998), “La escolarización del saber y de las relaciones” (D´Amore, 2000). Otros investigadores se han dedicado al análisis del “lenguaje algebraico”. Kucheman (1980) estudia en más de 3000 estudiantes de entre 13 y 15 años la forma en que éstos interpretan los símbolos literales. Entre otras cuestiones, observa la interpretación de la “letra como objeto‖: se considera la letra como el nombre abreviado de un objeto o como un objeto en sí mismo. (O sea, observa lo mismo que Duval). A este respecto en una investigación realizada en la Facultad de Ciencias Bioquímicas y Farmacéuticas de la U.N.R. para indagar habilidades lingüísticas obtuvimos iguales conclusiones: TEST: constituidos por ejercicios de distinta naturaleza, al efecto de indagar las siguientes habilidades: 1. Traducción de expresiones coloquiales a simbólicas y viceversa. 2. Identificación de equivalencias entre distintas expresiones simbólicas (dominio de la sintaxis algebraica) 3. Interpretación de variables en el contexto de un problema (sentido del símbolo o semántica algebraica) 4. Interpretación cuantitativa y cualitativa de gráficas. El siguiente es el problema propuesto en el ítem 3. Sobre una mesa se apoyan cuadernos y libros. Hay el mismo número de cuadernos que de libros. Cada cuaderno tiene 300 hojas y cada libro 700 hojas. Se sabe que en total, sobre la mesa, hay 8000 hojas. Para hallar la cantidad de hojas de ―cuaderno‖ que hay sobre la mesa, alguien procede a: Paso 1) ´representar´ parte de los datos en una ´ecuación´: 300 C + 700 L = 8000 Paso 2) reconocer la existencia de otro dato: C = L; reformular con este dato la ecuación: 300 C + 700 C = 8000 (1) Paso 3) ´operar´ en el 1er miembro de la ecuación (1): 1000 C = 8000 C = 8 Paso 4) ´traducir´ el resultado obtenido al lenguaje usual, dar la respuesta: Página 102 de 632 Rta: sobre la mesa hay 8 hojas de cuaderno. Se informa que el problema está mal resuelto, que hay un error en uno de los pasos. Se pide que indique: - En que paso se encuentra el error. - ¿Cuál es? Resultados de la aplicación del test: - sólo el 48% de los alumnos reconoce que el error está en la respuesta; entre quienes reconocen donde está el error, sólo el 30% identifica correctamente la razón del mismo; - entre el 70% de los alumnos que identifican mal la razón del error, la mayoría dice que la misma se encuentra en el Paso 2: igual cantidad de libros que de cuadernos : C= L. Su argumento es: ¡¡ CUADERNOS Y LIBROS NO SON LA MISMA COSA !!. Concluimos así: que el aprendizaje de la Matemática está íntimamente ligado a la capacidad lingüística matemática que se tenga; que la palabra trasmitida sin apoyo ´concreto´ se transforma en verbalismo hueco (aún en Matemática, ciencia abstracta por antonomasia; que ésta será efectiva solo cuando de alguna manera esté unida a la acción o tenga ´huellas´ de ella; cuando nazca de una necesidad del espíritu; que el desafío a superar hoy es una Matemática concebida y presentada como una manipulación perfecta de reglas y símbolos rigurosamente establecidos pero divorciados de cualquier significado; o sea, que el desafío es: ´RESTABLECER EL SIGNIFICADO´. Para lograr esto nuestro objetivo debería ser: no producir una completa separación entre la forma y la acción, lograr que el signo o expresión literal contenga, cuanto menos, marcas o huellas de todos los elementos que participan o han participado en la abstracción de la cosa; huellas cuya función sería la de posibilitar al lector el reencuentro con la cosa en sí, la asimilación ´significativa´ del esquema o signo que la representa, la operatividad del mismo. O sea, si el objetivo es lograr que el alumno no solo pueda ´repetir´ un esquema de razonamiento, sino que también pueda reeditar el mismo, identificar su oportunidad de uso, adaptarlo a otros contextos, trabajar con la analogía, la metáfora, etc; pero ,y sobre todo, pueda resignificar el objeto matemático en situaciones nuevas, adaptarlo o transferirlo a tros contextos, no debemos quedarnos sólo en la sintaxis del lenguaje matemático, sino incursionar en el costado semántico y pragmático del mismo. PROPUESTA La evolución de la Matemática ha llevado siglos; la cuestión es: ¿podemos en la enseñanza de esta ciencia “saltar” las distintas etapas que ella ha ido transitando, trabajar directamente con el “producto” acabado, puro y exacto de este largo proceso en el que se fueron gestando los objetos que ella estudia? Página 103 de 632 La disyuntiva no es sencilla: si no damos sentido a lo que enseñamos esto se transforma en un conjunto de reglas “sin sentido”, pero, si ponemos la realidad al servicio de la Matemática corremos el riesgo de generar obstáculos de todo tipo: pedagógicos, cognitivos, epistemológicos. El lenguaje matemático, en su larga evolución, fue independizándose cada vez más del lenguaje usual, hasta llegar a la forma actual, teniendo siempre esta transformación su motor fundamental en la resolución de problemas, la cual está en el corazón mismo del origen de la Matemática. Así, y dado que natural y normalmente han sido los problemas quienes han dado origen a los objetos matemáticos; que, por lo tanto y en última instancia, son ellos los que han dotado de sentido a dichos objetos y por ende a los símbolos que los representan, entendemos que este hecho señalaría un camino a seguir: la enseñanza basada en la resolución de problemas. Cuando resolvemos un problema, en general aplicamos los cuatro pasos siguientes: Elegir requiere capacidad de abstracción Mundo real Modelo Problema Traducir Problema (Modelizado) requiere dominio de Lenguajes Calcular Solución(Pr. Real) Interpretar Solución (Pr. Modelizado) Podríamos decir así que la Matemática cumple una función metalingüística al posibilitar el modelado y manipulación de gran cantidad de datos condensados en unos pocos símbolos. Esta función metalingüística es la que a partir de un objeto relativamente concreto permite ´formular´ un problema referido al mismo, avanzar luego hasta un nivel de abstracción conveniente donde a través de una adecuada manipulación simbólica se obtenga una solución,regresar luego al objeto inicial, aplicar a este el resultado obtenido. Por ejemplo: tomemos una situación problemática que de ordinario se trabaja en los cursos de Cálculo pero que podría trabajarse sin los recursos del Cálculo, con alumnos del nivel medio: ―Dada una hoja de papel (A4), a partir de recortar un cuadrado de lado ―x‖ en cada esquina de la hoja y doblar las ―solapas‖ que sobresalen, construir una caja sin tapa cuyo volumen sea máximo‖. * Leída la consigna, el primer problema que aparece es de orden semántico: qué entender; luego, ya entendido lo que se pide, el segundo problema es de orden pragmático: cómo reescribir la situación de forma tal que se pueda ´operar´ sobre ella, obtener ´respuestas´. * Aclarada la consigna, se puede proponer que construyan la tal caja, que lo hagan en grupo. Esta es una actividad muy fructífera debido al intercambio oral al que da lugar en relación al valor de x´s. Nunca falta quien sostenga que el volumen es siempre el mismo debido a que las hojas de partida son iguales. Así, de manera natural, se plantea la necesidad de formular y contrastar una hipótesis, la cual se le pide que ―escriban‖ en el lenguaje coloquial y en sus propios términos. Por ej, esto podría quedar escrito así: Página 104 de 632 Hipótesis: ―todas las cajas hechas con hojas A4 tienen igual volumen‖. * Contrastar la hipótesis los llevará a la necesidad de calcular (el volumen), por ende a la necesidad de traducir su hipótesis en términos más operativos. Para hacer esto deberán puntualizar que tipo de cuerpo es la caja que han construido, cómo se calcula el volumen de dicho cuerpo, quién es x, etc; en definitiva, deberán expresar el problema en una ecuación (ó fórmula): x b a términos de V = a. b. x (volumen del paralelepípedo) * * En este punto resulta importante discutir cómo se va a organizar la acción al efecto de investigar la validez de la hipótesis. Aquí debemos insistir en la conveniencia de trabajar en forma sistemática, con método. Acordar que en este caso conviene disponer los resultados de la investigación en una ―tabla‖ de cuatro columnas (x,a , b, V); proponer luego que, por grupo, vayan completando la tabla para distintos valores de x. Seguramente a poco de trabajar, los alumnos descubrirán que a y b se pueden escribir como función de x, a = 29.7- 2 x y b = 21-2 x, y de este modo agilizar los cálculos. Concluido el trabajo verificarán que la hipótesis era falsa a la vez que, en forma “ concreta”, observarán que el volumen es función de x´s . Reconocido que V = V(x), que la tabla es una forma de representar la función (la “numérica”) la cual sólo proporciona el volumen de las cajas construidas en el aula, surgirá naturalmente la cuestión de si no habrá otra forma de representar la función la cual permita obtener el volumen de todos las cajas construidas en el aula, más todas las cajas que se pudieran construir. Se llegará así a la representación analítica (la fórmula) de la función : V(x) = (29.7- 2x). ( 21-2x). x Y esta construcción no sólo implica haber avanzado en el nivel de abstracción, sino que además, y por ello mismo, constituye una construcción metalingüística en cuanto permite referirse a una característica (el volumen) de la caja representada en el dibujo, la que a su vez representa la caja real. Es decir, en la expresión V(x) = (29.7- 2x) . ( 21-2x). x está condensado un “nido de representaciones sucesivas”, cada una a un nivel superior de abstracción en referencia a la anterior.La apropiada manipulación sintáctica y/o gráfica de esta expresión permite tanto el estudio local como global del comportamiento del volumen de la caja para distintas alturas sin la desventaja de las limitaciones físicas impuestas por el tiempo necesario para construir la caja, por los intrumentos de medición, etc.Vemos entonces como la lengua materna y la Matemática están llamadas a jugar un papel central en la educación, pues mientras la primera es el lugar común a todos, la segunda es la que permite avanzar en la construcción de objetos cada vez más y más complejos aunque, y paradójicamente, más simples de manipular. Concluimos así que una forma de trabajar en la línea propuesta sería a través del planteo y resolución de cuestiones que involucren procesos de modelización y/o simulación de fenómenos naturales. Que esto, además de mostrar la potencia de la Matemática en la resolución de problemas (motivar), posibilitaría el uso de las nuevas tecnologías no sólo como auxiliares de cálculo sino también como auxiliares didácticos, promoviendo tanto los procesos de visualización y análisis como la vinculación de las diferentes representaciones de un objeto matemático: icónica, gráfica, numérica, analítica y verbal.Se facilitaría también el abordaje de uno de los grandes obstáculos del aprendizaje de conceptos matemáticos “la conversión congruente entre registros de representación” (en el sentido de Duval (1999)). Esto favorecería la asimilación significativa del concepto involucrado en la resolución del problema a la vez que trabajar el costado pragmático del lenguaje matemático. Página 105 de 632 Según y acorde la propia experiencia en los cursos ordinarios, la Enseñanza basada en la Resolución de Problemas proporciona una estrategia efectiva a los objetivos propuestos. Es decir, a través de esta estrategia se logra efectivamente que el acento no esté puesto en el objeto matemático en sí, sino en la actividad a realizar para su aprehensión; fundamentalmente, la misma permite trabajar en contextos argumentativos donde los actores reproducen prácticas donde se combinan la percepción de la realidad y la experimentación situada con la argumentación matemática. Por último estimamos que estamos en un lugar de privilegio para combatir la crisis que nos envuelve, que sin dudas esto requiere el apoyo de la “institución” pues todo cambio es el emergente de un sistema de prácticas, no puede lograrse en forma individual. Referencias Bibliográficas Álvarez, W., Belgrano, D., Herrera, G., Lacués, E. y Pagano, M. (2002). Actividades de enseñanza que pueden apoyar el tránsito de los estudiantes desde la secundaria a la universidad. En Crespo Crespo, C.(Eds.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa: Vol. 15, tomo2, 1327- 1331. Buenos Aires: Grupo Editorial Iberoamérica. D´Amore,B.(2000).La escolarización del saber y de las relaciones: Los efectos sobre el aprendizaje de las Matemáticas. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, 13, 8187. Duval, R. (1995). Semiosi y pensamiento humano (Trad. 1999). Educación Matemática, GEM. Colombia: Grupo de Duval, R. (1998).Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento. Investigaciones en Educación Matemática, 2, 173-201. Duval, R. (1999). Representation, vision and visualization: cognitive functions in mathematical thinking. Obtenida el 5 de Noviembre de 2007 de: http://pat-thompson.net/PDFversions/1999Duval.pdf . Godino, J. (2003). Teoría de las Funciones Semióticas en Didáctica de la Matemática. Granada: Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada. Kucheman, D. (1980). Children understanding of integers, Mathematics in School, 9, 31-32. Vigotsky, L. (1996). Pensamiento y Lenguaje. México: Quinto Sol. Página 106 de 632 USO EFICIENTE DEL TIEMPO Y DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN: UNA OBSERVACIÓN DE SU VÍNCULO Sonia Pastorelli - Eva Casco Facultad Regional Santa Fe. Universidad Tecnológica Nacional. Argentina [email protected] ; [email protected] Nivel Educativo: Medio, Terciario y/o Universitario Palabras clave: Comprensión, SAC, Calidad, Tiempo Resumen La búsqueda de soluciones a problemas de gestión y calidad en educación, debe ser abordada con alternativas múltiples, que trascienden al aula. Desde hace varios años llevamos a cabo una experiencia, en que cada alumno deber realizar un proyecto individual donde, haciendo uso de un software, desarrolle tanto su comprensión como habilidades individuales y sociales. El objetivo de esta investigación fue diseñar una secuencia didáctica para mejorar los “desempeños de comprensión” de los alumnos (Stone Wiske, 1999) y analizar la relación horas destinadas al proyecto y el nivel de comprensión exhibido por cada alumno. La Universidad Tecnológica Nacional en todas las carreras de grado, incorpora a los contenidos de Álgebra, “la noción de los cuadrados mínimos en estudio de los sistemas lineales” y “la matriz pseudoinversa”. Estos conceptos permiten resolver problemas medulares del futuro profesional, como obtener soluciones aproximadas a problemas cuyo planteo matemático deviene de un sistema de ecuaciones lineales incompatible. A pesar de la centralidad dada por el diseño a estos conceptos su comprensión se dificulta debido a los reducidos tiempos académicos con los que se cuenta para desarrollarlos, además están insertos en el primer nivel, el que a las claras enfrenta altos índices de deserción, bajo rendimiento académico, altas tasas de desaprobación, gran cantidad de “conocimientos rituales” (Perkins 1998). La experiencia es valorada desde dos perspectivas, la del docente, relacionando la calidad del tratamiento de los conceptos, el rendimiento académico y el tiempo dedicado y la perspectiva del estudiante analizando el uso eficiente del tiempo dedicado. Introducción La Calidad de la Educación es un factor esencial y de base para el desarrollo. El uso del tiempo y las características de éste, que los alumnos dedican a la construcción de sus aprendizajes, es un factor que incide directamente sobre la formación integral del alumno. Este escenario impone nuevas demandas en las Instituciones Educacionales y nuevas responsabilidades a los profesores como generadores y transmisores del conocimiento. Es por ello que en este trabajo interesa observar si el uso del tiempo invertido en el desarrollo de un proyecto integrador fue utilizado fructíferamente para mejorar la comprensión de conceptos centrales de la asignatura. Hoy se concibe la Universidad como “un espacio de toma de decisiones formativas” Zabalza (2002). Esto significa que, en el escenario formativo universitario, se entrecruzan diversas dimensiones: el contexto institucional, los contenidos de la carrera, docentes, alumnos y graduados, que son los cuatro ejes que constituyen la visión ad-intra, del mundo universitario. Por otra parte, las políticas universitarias, los avances de la ciencia, la cultura, la investigación, las recomendaciones del CONFEDI, y el mundo del empleo, son los ejes que constituyen la visión ad-extra de nuestro mundo universitario. Según Lepeley (2001), los beneficios que ha obtenido la humanidad con la expansión de los mercados para satisfacer necesidades humanas son conocidos y forman parte integral del modelo de gestión de calidad aplicado a la educación. Este mundo caracterizado por el cambio Página 107 de 632 constante, aumenta los desafíos de educadores e Instituciones Educacionales y ambos buscan todas las oportunidades posibles para resolver nuevos problemas y mejorar la calidad de la educación. El marco pedagógico El objetivo de esta experiencia fue diseñar una secuencia didáctica para mejorar los desempeños de comprensión de un grupo formado por 41 jóvenes que cursaron la asignatura Álgebra. La pregunta de investigación fue ¿Puede, el diseño de una secuencia didáctica apropiada que incorpore softwares matemáticos, ayudar a mejorar la comprensión de los conceptos matriz pseudoinversa y noción de cuadrados mínimos en el estudio de sistemas lineales? Para dar respuesta a este interrogante se diseñó una secuencia didáctica. Puesto que el énfasis se centró en la comprensión se adoptó un marco conceptual que centra su mirada en ella: Enseñanza para la Comprensión (EpC). Esta metodología de la enseñanza deriva según Stone Whiske de cuatro preguntas claves que se realiza todo docente: ¿Qué tópicos se deben comprender?, ¿Qué aspectos de esos tópicos deben ser comprendidos?, ¿Cómo podemos promover la comprensión?, ¿Cómo podemos averiguar lo que comprenden los alumnos? Las respuestas a estas preguntas son los pilares de la EpC y se denominan respectivamente Tópicos Generativos, Metas de Comprensión, Desempeños de Comprensión y Evaluación Diagnóstica Continua. Cada elemento centra la investigación en cada una de las preguntas anteriores: define qué es importante comprender, identificando tópicos generativos y organizando propuestas curriculares alrededor de ellas; clarifica lo que los alumnos tienen que comprender, articulando metas claras centradas en comprensiones claves; motiva el aprendizaje involucrando a los alumnos en desempeños que exigen que éstos apliquen, amplíen y sinteticen lo que saben, y controla y promueve el avance de los estudiantes por medio de evaluaciones diagnósticas continuas de sus avances, con criterios directamente vinculados con las metas de comprensión. Así se asegura que un currículum diseñado para favorecer la comprensión revela como rasgo característico no sólo que debe proporcionar información sino que debe involucrar a los alumnos en constantes espirales de indagación que los lleven desde un conjunto de respuestas hacia preguntas más profundas que revelen conexiones entre el tópico que se está tratando y otras ideas, preguntas y problemas fundamentales (Perrone en Stone Wiske, 1999). La experiencia Se adoptó como tópico generativo el “ajuste de datos”; como meta de comprensión que “los alumnos comprendan como utilizar lo que saben para encontrar ecuaciones que representen razonablemente bien un fenómeno dado a través de datos”. El desempeño final de síntesis fue realizar un proyecto consistente en “reproducir, utilizando un sistema algebraico de cómputos, un dibujo diseñado en papel”, mientras que la valoración continua de los aprendizajes tuvo su eje en la tutoría para el desarrollo del proyecto. En la primera entrega del proyecto, cada alumno diseñó un dibujo en una hoja cuadriculada tamaño A4. Las consignas eran que contuvieran tramos rectos y curvos. Finalmente debió replicar el dibujo, usando el software, debiendo para ello determinar una ecuación de cada trazo. Para ello el estudiante debió hacer uso activo del los conceptos matriz seudoinversa y uso de los mínimos cuadrados integrándolos con la mayoría de los demás conceptos centrales de la asignatura (sistemas de ecuaciones, matrices, determinantes, transformaciones lineales, etc). Página 108 de 632 Figura 1: El proyecto de un estudiante: Diseño en papel y reproducción con un SAC. Como criterio de evaluación del proyecto se resaltó el cumplimiento de las consignas (tiempo y forma); el diseño y presentación visual, la semejanza entre el diseño en papel y el obtenido con el soft; fortalezas y debilidades de los conocimientos mostrados durante la ejecución del proyecto; pertinencia de las ecuaciones utilizadas, la simplicidad en la estructura del trabajo y la solidez en los conocimientos teóricos en la defensa final del proyecto. En la figura 1 las entregas del proyecto de una alumna. La evolución de la comprensión Se valorizó la comprensión en los conceptos uso de los mínimos cuadrados y matriz pseudoinversa con un instrumento desarrollado para tal fin, siguiendo los lineamientos de la EpC. Se usaron los cuatro niveles de comprensión propuestos (comprensión de ingenuo; de principiante, de aprendiz y de experto), agregando un quinto (no refleja). El porcentaje de alumnos en cada nivel de comprensión antes y después del desarrollo del proyecto se muestra en la figura 2. El antes muestra que casi el 90 % de los jóvenes no exhiben niveles aceptables de comprensión. Como puede apreciarse, los resultados al finalizar la experiencia muestran una dispersión normal en torno del nivel de comprensión de principiante. Esta situación refuerza la idea de que la experiencia ha logrado mejorar los niveles de comprensión de un tema intrínsecamente complejo hasta llevarlo a niveles estándar. Figura 2: Niveles de comprensión antes y después de la experiencia. Página 109 de 632 El uso del tiempo El uso del tiempo se evalúa desde dos aristas según la visión de los actores de la misma. La primera, desde la perspectiva docente, se relaciona la calidad del tratamiento de los conceptos en el proyecto, el rendimiento académico y el tiempo dedicado al mismo. La segunda, utilizando el enfoque del estudiante, se indaga sobre el uso eficiente y eficaz del tiempo dedicado al proyecto. Cada estudiante elaboró su proyecto durante la cursada de la asignatura. Al finalizar la misma, durante la semana de evaluación continua, lo defendieron. Esta defensa se constituyó además en la evaluación integradora, dado que el alumno debió responder no sólo sobre su trabajo sino sobre los contenidos teóricos de la asignatura). Luego de la defensa y posterior a informar la condición final en la asignatura (promocionado, regularizado o libre) se realizó una entrevista semi-estructurada a los efectos de relevar la visión de los jóvenes de la experiencia. Las preguntas pueden observarse en el cuadro 1 y en este trabajo centraremos la atención en la respuesta a la 5 y la 10. 1. ¿Es la primera carrera universitaria? Si la respuesta es no ¿qué carrera y durante cuanto tiempo la cursaste? Según la respuesta se consultaba sobre las actitudes hacia la matemática 2. ¿Cuáles temas considerás que comprendiste bien de la asignatura y cuáles considerás que no comprendiste bien? 3. ¿Crees que los conceptos desarrollados durante la cursada serán de utilidad en el futuro? ¿cuáles? 4. ¿Porqué realizaste un ajuste lineal (o no hiciste) el problema de ajuste del 2º parcial? (Se le muestra el parcial) 5. En cuanto al proyecto: ¿qué te pareció la idea de desarrollar un proyecto en Álgebra? ¿Te parecieron claras las consignas? ¿Cuántas horas le dedicaste en total? ¿Las considerás productivas? 6. ¿Cuáles fueron los obstáculos que encontraste para realizarlo? Cuadro 7. ¿Cuáles los beneficios de haber realizado el proyecto? 8. ¿Ayudaste a algún compañero? ¿Algún compañero te ayudó? dedispuso la entrevista 9. ¿Porqué pensás vos que1:laPreguntas cátedra les realizar este trabajo? 10. ¿Considerás positiva la experiencia? ¿te gustó realizar el proyecto? El uso del tiempo: la visión del docente: 11.análisis ¿Posibilitó quelacomprendiera mejor algún En el desde perspectiva docente se tema? relaciona la calidad del tratamiento de los conceptos en el proyecto justipreciada desde el nivel de comprensión final exhibido por cada estudiante, el rendimiento académico valorado desde nota asignada al proyecto y su defensa y el tiempo dedicado al mismo relevado desde la entrevista final. Alumno 1 2 4 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2 3 Horas 20 6 13 6 15 9 9 4 - 9,5 17 30 - 16 9,5 15 10 14 - 2 0 Nota 4 6 5 6 4 7 10 7 - 10 7.5 4 - 6.5 5,5 6 5 8 4 4 , 5 Com Pren sión P P I P I P E A - E P I - P P P P A I I Página 110 de 632 Alumno 25 26 27 29 30 32 33 34 35 36 37 39 40 41 43 44 45 46 48 50 Horas 15 15 6 17 25 9 15 30 - 25 25 25 - 15 9 11 25 - 12 - Nota p 6 9 7 9 7 9 9 7 3,5 7 6,5 7,5 - - 10 6,5 6,5 - 10 3,5 Com prensión P A A A P A A P I P P P - I E A P - E I 53 9 8 A Tablas 1: Horas de dedicadas al proyecto, nota obtenida en el mismo y nivel de comprensión al finalizar por cada alumno. En las tablas 1 se muestra en la primer fila el número que identifica a cada alumno. Cabe mencionar que del total de 53 inscriptos sólo participan 41 en la experiencia, los 12 restantes dejan de cursar la asignatura en las dos primeras semanas de cursadas, cuando aún no se comenzaba con en proyecto (la mayoría de ellos por no haber obtenido el título secundario). 4 de los 41 estudiantes no realizaron el proyecto (tampoco regularizaron la asignatura). La segunda fila expone las horas dedicadas individualmente al proyecto por cada alumno fuera de las horas desarrolladas en el laboratorio de computación, en las que los docentes colaboraban con los estudiantes para el desarrollo de las actividades del proyecto. Estos datos fueron relevados en oportunidad de la defensa final (y se cuenta con los datos de 34 de los 37 alumnos que realizaron el proyecto, dado que nos se presentaron a la misma los restantes 3). La tercer fila muestra la nota asignada al proyecto (la que valora la entrega en tiempo y forma, el uso eficaz y eficiente de los conceptos, la semejanza entre diseño y reproducción, colaboración con compañeros, la pertinencia de los conceptos utilizados y la defensa oral del proyecto). La cuarta fila comunica el nivel final de los desempeños de comprensión mostrados (valorados durante las 9 semanas en las que se desarrolla el proyecto). En ella se simboliza con I, P, A, E los niveles de Ingenuo, de Principiante, de Aprendiz y de Experto respectivamente. Los jóvenes usaron entre 4 y 30 horas para realizar el proyecto, siendo el promedio 14,9 (usando los 34 datos disponibles). La primera observación que puede realizarse en cuanto al uso del tiempo es que la mayor cantidad de horas dedicadas a cada proyecto no significó mayor comprensión. Así Estefi (alumna nº 11) utilizó 4 horas para realizar el proyecto y alcanzó un alto nivel de comprensión (aprendiz) mientras que las 30 horas dedicadas por Facundo (alumno nº 34) no lograron elevar sus desempeños más allá de los de un principiante (las horas utilizadas por este estudiantes están relacionadas con la motivación que el proyecto desató en él, pero las tareas siempre las realizó tratándolas como un algoritmo y no como una oportunidad para desarrollar una verdadera comprensión). nota asignada Cantidad de alumnos Promedio de horas dedicadas por alumno Ingenuo 8 18,6 Principiante 16 17,4 Aprendiz 9 Experto 4 11,11 9,88 Tabla 2: cantidad de horas utilizadas para el proyecto versus nivel de comprensión final. La tabla 2 muestra que a mayor nivel de comprensión desarrollado los estudiantes han sido más expeditivos. Mientras que los grupos con menor comprensión necesitaron 18 horas en promedio para realizar el proyecto, los grupos con mayores niveles de comprensión lo hicieron utilizando sólo 10. Esto parece indicar que el uso efectivo del tiempo también es una característica de la verdadera comprensión. Página 111 de 632 Nota Cantidad de alumnos Promedio de horas dedicadas por alumno <6 8 6n<8 16 8 n 10 10 16,56 14,94 13,50 Tabla 3: cantidad de horas utilizadas para el proyecto versus nota asignada La tabla 3 muestra que tampoco la nota final asignada al proyecto es directamente proporcional a la cantidad de horas dedicadas al mismo. Por el contrario la relación es inversa, pero hay poca variación entre los grupos. Esto es debido a que en la nota asignada no solo se valorizó comprensión sino el cumplimiento de las consignas (tiempo y forma); el diseño y presentación visual, la semejanza entre el diseño en papel y el obtenido con el software y la colaboración con sus pares. Es de destacar que muchos alumnos se mostraron motivados más por desarrollar más las competencias sociales que el proyecto potenciaba que en las actividades conceptuales del mismo. El uso del tiempo: la visión del estudiante: Para ello se relevó las respuestas dadas por los jóvenes en las preguntas 5 y 10 de la entrevista semi-estructurada. Los resultados obtenidos se muestran en las figuras 3 y 4 y en ellas se muestra claramente la gran aceptación de los alumnos a esta propuesta educativa. Mientras que ningún alumno consideró negativa la experiencia alrededor del 80% considera que las horas que dedicó al proyecto fueron productivas. En este sentido algunos alumnos se explayaron comentando el motivo por lo que la consideraron positiva: algunos valorizaron integrar contenidos, otros la motivación para el aprendizaje que en ellos despertó, otros la oportunidad para crear lazos sociales y sociedades de aprendizajes al inicio de la carrera universitaria. Considera productivas las horas dedicadas al proyecto: Respuestas % cantidad Si, muy productivas 20,6 7 Si. 58,8 20 A medias. 2,9 1 No 5,9 2 No lo sabe. 11,8 4 Considera la experiencia: Respuestas Muy Positiva. Positiva. Positiva, con reservas Indiferente. Negativa No tiene opinión. % 17,6 55,9 8,8 5,9 0 11,8 cantidad 6 19 3 2 0 4 Tabla 4: Respuestas dadas en la entrevista final. A modo de conclusión Es preciso que los docentes nos aseguremos que los alumnos pasen una amplia parte del tiempo utilizando y expandiendo activamente sus mentes y no recibiendo pasivamente lo que otros han creado. Esto es, debemos aspirar a lograr verdaderos desempeños de comprensión, que les permitan pensar avanzando más allá de lo que se les dice, confrontando sus ideas y actitudes desde una perspectiva más crítica y combinando y contrastando esas ideas de formas hasta el momento inexploradas. Los docentes efectivos diseñan desempeños en los cuales sus alumnos pueden usar lo que Gardner (1994; 1999) llama las “inteligencias múltiples”, vale decir las diferentes formas de Página 112 de 632 expresión que pueden incluir actividades verbales, matemáticas, visuales, musicales, de movimiento, introspectivas e interpersonales. Stone Wiske (1999) afirma que las nuevas tecnologías pueden perfeccionar y enriquecer los desempeños de comprensión de diversas maneras, entre las que se incluyen: La tecnología multimedia permite que el estudiante investigue nuevas ideas y produzca conocimientos utilizando una variedad de inteligencias. Muchos softwares pueden hacer visibles conceptos abstractos y permiten que los estudiantes comprendan ideas complicadas experimentando activamente con ellas, manipulando variables y observando la interacción dinámica de los elementos de un sistema Las tecnologías digitales y las herramientas informáticas permiten que los alumnos expresen su comprensión en una rica variedad de formas. Estas tecnologías también permiten registrar el trabajo de los alumnos en formatos que pueden corregirse, combinarse y distribuirse más fácilmente. Hemos encontrado evidencias que desarrollar un proyecto apoya la colaboración y el aprendizaje entre pares, el ensayo de distintos caminos para la resolución de problemas, el uso de distintos registros para el abordaje de los temas, la autovaloración de los avances y el desarrollo de desempeños de comprensión cada vez más refinados. En esta empresa el estudiante debió auto-gestionar el tiempo invertido en ella. La tarea fue culminada eficazmente por la mayoría de los jóvenes, los que la valoraron positivamente la experiencia. El rendimiento académico alcanzado por el grupo, el clima de trabajo, el compromiso asumido, el compañerismo observado durante las tutorías alientan a continuar con esta propuesta y a desarrollar otras similares. Referencias Bibliográficas Lepeley, M.T. (2001). Gestión y Calidad en Educación. Un Modelo de Evaluación. Santiago de Chile. McGraw-Hill. Gardner, H. (1994). La mente no escolarizada. Cómo piensan los niños y cómo deberían enseñar las escuelas. Buenos Aires. Paidós. Gardner, H. (1994). Estructuras de la mente. La teoría de las inteligencias múltiples. México. Fondo de la Cultura. Perkins, D (1995). La Escuela Inteligente. Del adiestramiento de la memoria a la educación de la mente. Barcelona. Gedisa. Stone Wiske, M. (1999)(comp.). La enseñanza para la comprensión. Vinculación entre la investigación y la práctica. Buenos Aires. Paidós. Zabalza M. (2002). La enseñanza universitaria: el escenario y sus protagonistas. Madrid. Nancea. Página 113 de 632 DISEÑO DE ACTIVIDADES VIRTUALES. ALGUNAS CONSIDERACIONES Daniela Müller, Adriana Engler, Silvia Vrancken Facultad de Ciencias Agrarias Universidad Nacional del Litoral Argentina e-mail: [email protected] Nivel Educativo: Medio/Terciario/Universitario Palabras clave: nuevas tecnologías, actividades virtuales, diseño Resumen La utilización de las nuevas tecnologías como herramienta complementaria de los procesos de enseñanza y de aprendizaje, es cada vez más frecuente en las aulas y en especial en las de nivel Superior. Los avances sociales y tecnológicos están fomentando el desarrollo de entornos de aprendizaje cada vez más innovadores y eficientes que ayuden a los alumnos, futuros profesionales, a ajustarse a los requerimientos del mundo laboral. Desde la institución deben adoptarse actitudes dinámicas que respondan a las nuevas necesidades. Una de las posibilidades emergentes derivadas de las nuevas tecnologías, es el uso de entornos virtuales de aprendizaje para apoyar la labor docente, extendiendo la clase más allá de las fronteras del aula. Estos entornos cuentan con recursos que apoyan todo el trabajo en el mismo, como son los foros, el chat, los cuestionarios, la posibilidad de agregar documentos y herramientas de administración para el docente. La virtualización de materiales educativos implica la atención a los principales criterios de calidad que garanticen la accesibilidad idónea a los materiales y la adquisición de conocimientos. La metodología didáctica y funcional en la creación de actividades virtuales implica responder a los requerimientos de la enseñanza de la institución en la que se inscriben. El objetivo de este trabajo es el de ofrecer algunos lineamientos para la elaboración de actividades para entornos virtuales utilizando distintos recursos. En el mismo presentamos algunos ejemplos de una experiencia realizada con nuestros alumnos de primer año del nivel universitario para el tema Funciones. Introducción Los avances sociales y tecnológicos están fomentando el desarrollo de entornos de aprendizaje cada vez más innovadores y eficientes que ayuden a los alumnos, futuros profesionales, a ajustarse a los requerimientos del mundo laboral. Desde la institución deben adoptarse actitudes dinámicas que respondan a las nuevas necesidades. Así, será posible que el alumno aprenda conductas adaptadas a las distintas demandas que se le soliciten. Una de las posibilidades emergentes derivadas de las nuevas tecnologías, es el uso de entornos virtuales de aprendizaje para apoyar la labor docente, extendiendo la clase más allá de las fronteras del aula. Estos espacios virtuales de aprendizaje son también útiles para que los docentes puedan formarse de manera continua, participando de experiencias de formación centradas en perspectivas educativas constructivistas, donde la interacción con los pares, la reflexión y el construir conocimiento en forma colaborativa, son aspectos centrales. Para lograr una integración adecuada de nuevos recursos didácticos y estrategias de enseñanza y de aprendizaje basadas en el uso de las nuevas tecnologías, es necesaria la transformación y acomodación de este modelo de enseñanza, así como la integración y formación del profesorado. Página 114 de 632 En el prólogo del el informe sobre las Tecnologías de la información y la formación docente elaborado por la UNESCO (2004) se establece: Con el advenimiento de las nuevas tecnologías, el énfasis de la profesión docente está cambiando desde un enfoque centrado en el profesor y basado en clases magistrales, hacia una formación centrada principalmente en el alumno dentro de un entorno interactivo de aprendizaje. El diseño e implementación de programas de capacitación docente que utilicen las TICs efectivamente es un elemento clave para lograr reformas educativas profundas y de amplio alcance. (…) Para que la educación pueda explotar al máximo los beneficios de las TICs en el proceso de aprendizaje, es esencial que tanto los futuros docentes como los docentes en actividad sepan utilizar estas herramientas. Las instituciones y los programas de formación deben liderar y servir como modelo para la capacitación tanto de futuros docentes como de docentes en actividad, en lo que respecta a nuevos métodos pedagógicos y nuevas herramientas de aprendizaje (p. 5). Entre otros aspectos, coincidimos con Barberà y Badía (2004) al considerar que es muy positivo que los docentes participen en este tipo de propuestas pues les permite conocer cómo funcionan estos espacios que en otro momento podrían ser ambientes en los que les correspondería desempeñarse, ya sea integrándolos como apoyo o complemento de una clase presencial o utilizándolo completamente en forma virtual. También, participando de estas propuestas, tienen la posibilidad no solo de actualizarse en contenidos curriculares, sino también de afianzar sus competencias en el uso de las nuevas tecnologías, conocer nuevas estrategias metodológicas para la enseñanza de contenidos, nuevas maneras de integrar recursos tecnológicos a su modo de aprendizaje y formarse en entornos virtuales. La incorporación de las tecnologías de la información y de la comunicación (TICs) en el aula ha supuesto un cambio en la enseñanza tradicional a nivel metodológico y actitudinal tanto para los profesores como para los propios alumnos. Coincidimos con González Mariño (2006) al establecer como principales ventajas educativas que resultan de la utilización de las nuevas tecnologías a la independencia en el tiempo y en el espacio, al aprender en cualquier sitio y momento, al acceso a la educación y a través de internet, a recursos y servicios educativos en permanente crecimiento, al potencial para un aprendizaje basado en tareas o para el trabajo de investigación. El uso de las nuevas tecnologías posibilita que el alumno fije la atención en los aspectos conceptuales, facilita la tarea meramente técnica conservando de esa manera la importancia de los significados de los conceptos en juego. Teniendo en cuenta estas potencialidades, es importante reflexionar sobre la posibilidad de aplicar estas características para crear espacios educativos que utilicen la tecnología y, también, acerca del uso adecuado de estos espacios en contextos concretos y procesos específicos de enseñanza y de aprendizaje, de manera adecuada a las necesidades de aprendizaje de los alumnos, para dar soporte a los procesos cognitivos de éstos, a la interacción social entre los participantes o a la interrelación entre ambos procesos. La decisión de utilizar los recursos que proporcionan las nuevas tecnologías tiene que partir de un proyecto minucioso adaptado a las necesidades particulares de la institución y, por supuesto, de la asignatura. Este proyecto facilita la metodología a seguir para el desarrollo, publicación y aplicación de los materiales didácticos a través de estas tecnologías, es decir, son los principios de diseño a través de los cuales podemos garantizar un proceso de enseñanza y de aprendizaje de calidad a través de otros recursos. El proyecto será la base sobre la cual construimos nuestros recursos didácticos y conseguimos sacar el mayor provecho a los medios tecnológicos que estén a nuestra disposición. Integrar los recursos virtuales a los procesos en los que las actividades presenciales se mantienen de manera significativa, permite, entre otros aspectos, mejorar el acceso a los contenidos y a sus distintas representaciones. Esto puede complementarse con guías de Página 115 de 632 estudio y propuestas de actividades (Sigalés, 2004). En aquellas asignaturas donde el libro de texto sigue siendo la herramienta básica de aprendizaje, debemos tener presente que las actividades que planteemos utilizando cualquier recurso virtual, debe constituir un complemento didáctico al estudio y un apoyo a los procesos de enseñanza y de aprendizaje a través de las distintas herramientas y materiales disponibles. Desde hace varios años nos desempeñamos como docentes incorporando el uso del recurso informático y el entorno virtual como complemento al trabajo del aula. También, desde hace 8 años participamos como docentes tutores de cursos a distancia para la formación docente. Toda esta experiencia constituye la base sobre la cual, en este trabajo, presentamos algunas pautas para la elaboración de actividades que pueden utilizarse como recursos virtuales. En cada una de ellas tuvimos siempre presentes las palabras de Luis Moreno Armella (2002) al expresar que “cuando se usa la tecnología en la escuela, hay que reconocer que no es la tecnología en sí misma el objeto central de nuestro interés, sino el pensamiento matemático que pueden desarrollar los estudiantes bajo la mediación de dicha tecnología”. Por razones de extensión, sólo presentaremos algunos ejemplos referidos al tema Funciones que acompañan a la caracterización de cada recurso. Diseño de Actividades Es importante especificar los criterios metodológicos que se seguirán en la organización de los materiales didácticos. En ellos debemos atender en primer lugar a la enseñanza donde se inscribe el curso. Por otra parte, debemos tener presente en el momento de estructurar las actividades, otros aspectos como: significación e importancia de las mismas, cantidad de los contenidos, posibilidad de que produzcan interacción alumno-contenidos, coherencia, homogeneidad y sencillez; eficacia y eficiencia; tipos de información presentadas y sus posibilidades de integración; la navegabilidad; sencillez; longitud de la página; encabezados y títulos de las páginas. El entorno educativo que se elija, debe ser flexible, intuitivo y amigable, donde los alumnos aprendan, compartan experiencias y conocimientos con los compañeros a través de las distintas herramientas de comunicación, de presentación de contenidos y de evaluación. Un entorno virtual flexible será aquel que permita adaptarse a las necesidades de los alumnos y profesores (borrar, ocultar, adaptar las distintas herramientas que ofrece); intuitivo, si su interfaz es familiar y presenta una funcionalidad fácilmente reconocible y amigable, si es fácil de utilizar y ofrece una navegabilidad clara y homogénea en todas sus páginas. La virtualización de materiales educativos implica la atención a criterios de calidad que garanticen la accesibilidad idónea a los materiales, la economía cognitiva y la adquisición de conocimientos. Documentos Uno de los primeros aspectos sobre los cuales debemos trabajar, es sobre la diferencia entre diseñar actividades presenciales y virtuales. Por experiencia, sabemos que al planear actividades para la clase presencial, lo hacemos sin precisar exhaustivamente la forma en que las desarrollaremos en el aula. Por el contrario, al diseñar actividades para un entorno virtual, una preocupación permanente debe ser la de hacer explícito con el mayor detalle posible, lo que le proponemos al alumno y las instrucciones precisas de lo que esperamos que ellos hagan con eso que proponemos. Por ejemplo, si presentamos un documento sobre un determinado tema, es necesario que le indiquemos qué queremos que haga: leerlo, analizarlo, comentarlo con los compañeros, contestar algún cuestionario, relacionarlo con otro documento, etc. De igual manera, si le presentamos una serie de actividades o de problemas de aplicación, también es necesario que le indiquemos qué debe hacer: resolverlas, analizarlas, compartir las respuestas o resoluciones con sus compañeros, presentar de manera impresa la resolución, etc. Página 116 de 632 Para ilustrar el resultado de lo expuesto, se presenta a continuación uno de los documentos planteados a los alumnos en el tema función de primer grado. Consigna: realice las actividades que se encuentran en el archivo adjunto y en el foro correspondiente a este tema, plantee las dudas que se le presenten. Recuerde que el día viernes a la hora 12 es la fecha límite de entrega de las resolución completa. 1) 2) 3) a) Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(2, -3) y Q 5, 3: 2 b) Determine la ecuación de la recta paralela a la obtenida en el ítem a) que pasa por el origen de coordenadas. a) Obtenga la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3, –1) y es perpendicular a la recta de ecuación x – 2y – 4 = 0. b) Determine si el punto R(3, –2) pertenece a la recta obtenida en el ítem anterior. El peso promedio P en gramos de un pez en un estanque depende de la cantidad n depeces que habitan en el mismo según la ley P(n) = 500 – 0,5n. a) Represente gráficamente la función. b) Determine el peso promedio de un pez si se sabe que en el estanque hay 300 peces. c) Calcule la cantidad de peces que hay en el estanque si el peso promedio de uno de ellos es de 350 g. d) ¿Cuál es la cantidad máxima de peces que puede contener el estanque? ¿Por qué? La tecnología no crea la comunicación ni el aprendizaje (Gros, 2004), sino que abre vías que facilitan y hacen posible la comunicación lo que muchas veces se da a nivel de participación que no es sinónimo de interacción. Foros Los foros son espacios de comunicación asincrónica, es decir aquella que no se realiza tiempo real, y su naturaleza propia es la de promover el encuentro y la comunicación entre personas alrededor en un mismo tema. En ellos el profesor abre la discusión planteando una pregunta o un problema referido a un tema en particular y luego retroalimenta las opiniones de los alumnos que intervienen en diferentes momentos aportando su opinión, otros puntos de vista, compartiendo información, etc. Esta herramienta comunicativa incorporada de modo apropiado en los procesos de enseñanza o de formación, y bien asistidas, puede favorecer un proceso interactivo en donde los alumnos producen activamente el conocimiento expresando por escrito las ideas que son compartidas y construidas a partir de las reacciones y respuestas de los demás. La participación y la interacción son dos formas complementarias de presencia virtual. Para diferenciarlas, tomamos las palabras de Barberá y Badía (2004), quienes consideran que la participación es la presencia y aporte virtual del alumno, mientras que la interacción agrega la respuesta y encadenamiento de comprensiones mutuas realizadas mediante el lenguaje. La interacción es vital para la construcción de conocimiento por medio del intercambio de mensajes con los otros participantes y con el tutor, centrados en el tema de discusión. Estos mensajes muchas veces se construyen en un comienzo desde la experiencia personal y luego se enriquecen con los aportes de los demás. En cambio, la participación supone simplemente “estar ahí e intervenir”, pero no requiere de una respuesta ni necesariamente la provoca. Un ejemplo de esto es cuando el docente plantea un tema y todos o parte de los alumnos le responden al él pero no interactúan entre ellos. En cambio cuando hay interacción hay diálogo entre el tutor y los participantes y entre estos mismos. En los cursos virtuales existen muchos alumnos que no participan activamente del curso aunque lean las intervenciones de los compañeros. Para lograr que ellos se relacionen con los demás, expresen sus ideas, modifiquen su pensamiento a partir de la idea de los otros, Página 117 de 632 defiendan con argumento sus propias ideas y pensamientos, es preciso favorecer la interacción más allá de la participación. Acordamos con Barberà, Badía y Moninó (2001) al establecer como ventaja que al disponer de los textos escritos de las intervenciones éstos pueden ser visualizados y examinados varias veces y su contenido puede ser reestructurado y recontextualizado en cualquier momento mientras dura el proceso de discusión del tema propuesto. Para convertir el debate escrito virtual en una actividad que potencie la construcción del conocimiento es preciso plantear preguntas adecuadas para iniciar o replantear el debate o la conveniencia de proveer ayudas a los alumnos para favorecer su participación en el debate. En una de las experiencias virtuales realizadas con nuestros alumnos, planteamos distintos foros para cada tema tratado. Para el desarrollo de función de segundo grado, los foros fueron los siguientes: Foro de actividades de reflexión. Consigna: Analice la siguiente situación y comparta sus respuesta con los demás respondiendo a este foro. Si realiza gráficas, no olvide adjuntar el archivo correspondiente. Actividad. Si se representa gráficamente una función de segundo grado con vértice en el punto V(-2, 4). a) ¿Cuántas intersecciones con el eje de las abscisas puede tener? ¿Por qué? b) ¿Cuántas intersecciones con el eje de las ordenadas? ¿Por qué? En este foro, cada alumno emitió su respuesta y la participación fue del 100%. Podían utilizar cualquier recurso para responderlo. Por ejemplo, una forma podría haber sido pensar en cualquier función de segundo grado con vértice en el punto dado y asignarle distintos valores al coeficiente a en la expresión y = a(x + 2)2 - 4, representarla con algún graficador y analizar qué es lo que ocurre con las intersecciones con cada eje. Foro de actividades integradoras. En este foro propusimos actividades correspondientes al tema desarrollado y si era factible se las integraba con los temas anteriores. Para el ejemplo que estamos considerando, en este foro los alumnos plantearon las dudas que se les presentaban en la resolución del documento más arriba citado. Ellos debían resolverlas utilizando cualquier procesador de texto y luego adjuntaron el archivo correspondiente respondiendo a este foro. Foro de de consultas generales. En este foro los alumnos podían presentar consultas sobre cualquiera de los ejercicios o problemas que se les presentaba al estudiar alguno de los temas propuestos. Las mismas fueron coordinadas y en su mayoría respondidas por el docente, pero también contó con una buena participación por parte de los alumnos que aportaban su resolución a partir de lo expuesto por alguno de sus compañeros. Foro de presentación También pueden plantearse al inicio del curso foros de tipo social donde cada alumno puede presentarse al resto y explicitar, por ejemplo, cuáles son sus principales dificultades en Matemática. Página 118 de 632 Para el correcto funcionamiento de un espacio virtual, se requiere siempre la intervención de un profesor tutor que realice el seguimiento y la moderación que permita mantener “vivos” los espacios comunicativos, facilite el acceso a los contenidos y anime el diálogo entre los participantes. Chat Este es un recurso que permite la comunicación sincrónica entre los participantes del curso. La utilización de esta herramienta está mediatizada, en mayor medida que el resto de las herramientas de comunicación, por el tipo de enseñanza. En ella es posible responder en tiempo real cualquier pregunta que formulen los alumnos que se encuentren conectados en ese momento. Se recomienda realizar una secuenciación ordenada y organizada con la suficiente antelación proponiendo la hora y día de encuentro para que el alumno pueda acudir a la cita virtual. Es difícil poder acordar un horario único de encuentro entre todos los participantes por lo que el docente puede acordar distintos momentos y días. Aquí es importante la intervención del docente como moderador de la conversación que se inicie sobre un tema. Cuestionarios Un proceso de evaluación efectivo y fiable cubrirá, a través de distintos recursos, aspectos que no sólo busquen informar al alumno sobre el progreso, sino que también beneficien el aprendizaje y aporten datos al profesor para mejorar la práctica docente. La evaluación en el entorno virtual puede llevarse a cabo a través de cuestionarios de preguntas abiertas y de opción múltiple y de trabajos de elaboración personal o en grupo. También pueden evaluarse las intervenciones en los foros de debate y charlas, que aportan información relevante sobre los conocimientos del alumno. La inclusión de preguntas de autoevaluación relacionadas con cada uno de los temas desarrollados o presentar una prueba general de todos los temas, facilita el aprendizaje, el refuerzo mediante la retroalimentación de las respuestas recibidas y permite al alumno conocer su progreso. En nuestro caso, optamos por la presentación de actividades de resolución de ejercicios y de problemas de aplicación, como el mencionado anteriormente. También, para cada tema preparamos una prueba de opción múltiple ya que el entorno que utilizamos nos permitía su construcción. Cuestionario con preguntas de opción múltiple. En la elaboración de las preguntas de este cuestionario tuvimos en cuenta las distintas representaciones y la conversión de unas en otras. Para cada uno de los enunciados, de las opciones que se presentan solo una es verdadera y las otras corresponden a concepciones erróneas que hemos detectado. Para cada opción redactamos un mensaje que le aparecerá al alumno cuando éste finalice el cuestionario y analice el resultado final. En el mismo figura un mensaje de estímulo en el caso de haber respondido correctamente o algún aspecto teórico que debe repasar, en caso contrario. El objetivo principal de esta actividad es el de fomentar en los alumnos la autoevaluación de su aprendizaje valorando el trabajo realizado e identificando aquellos aspectos que debe reforzar o corregir. Algunas de las preguntas propuestas para función de segundo grado fueron: 1) La función y = -x2 + 4x + 1 alcanza un valor máximo a) 5 en x = 2 b) -3 en x = 2 c)-5 en x = -2 d) -3 en x = -2 2) Las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la función y = (x - 3)2 - 2 son: Página 119 de 632 a) V(-3, -2); x = -3 b) V(3, -2); x = -3 c) V(3, -2); x = 3 d) V(-3, 2); x = 3 2 3) La gráfica de la función y = -2x + 12x - 18 interseca al eje de abscisas en a) dos puntos b) un punto c) ningún punto 4) La intersección de la gráfica de la función y = (x - 2)2 - 5 con el eje de las ordenadas es: a) (0, -1) b) (0, -5) c) (0, -9) Reflexiones La simple aplicación de estas actividades no es suficiente para alcanzar los beneficios deseados. Es preciso fomentar un cambio en la conciencia de los alumnos. Consideramos sumamente importante transmitir nuestro interés por el progreso de los alumnos y el convencimiento de que un trabajo adecuado terminará produciendo buenos resultados, aún cuando inicialmente aparezcan dificultades. Todas las estrategias didácticas que podamos utilizar deberían orientarse hacia el planteo de actividades que permitan obtener mejores resultados en el aprendizaje y crear un clima de actitudes positivas hacia la Matemática. Cuanto más amplias y complejas sean las relaciones que se establezcan, mayor será la capacidad de los alumnos de utilizarlas en situaciones cotidianas, en la construcción de nuevos significados y en el establecimiento de nuevas relaciones. Al diseñar las actividades descriptas, la principal característica que quisimos impartirles para que jueguen un papel orientador e impulsador del trabajo de los alumnos, es que ellos puedan percibirlas como ayuda real, generadora de expectativas positivas. No debemos olvidar la importancia del apoyo y la motivación a los alumnos. Ofrecer al alumno apoyo e intentar motivarlo en la realización de actividades virtuales, implica el uso de los distintos recursos que ofrece el entorno de manera coherente, cercana, flexible y entusiasta. Los docentes que estén dispuestos a implementar este tipo de actividades como complemento al trabajo en el aula, deben tener presente que inicialmente ello demandará mucho tiempo y trabajo por el desempeño de nuevos roles para aplicar eficientemente innovaciones metodológicas que les proporcionen a los alumnos otras herramientas para integrar nuevos conocimientos. En nuestra experiencia, la clase formada por dos espacios: uno presencial y otro virtual, extiende la actividad del docente a dominios espaciales y temporales más amplios que sólo los del aula donde todos tienen la posibilidad de participar y de expresarse y donde los materiales deben adecuarse a los alumnos para los que están dirigidos. Referencias bibliográficas Barberà, E. (Coord.), Badía, A; Moninó, J.M. (2001) La incógnita de la educación a distancia, Cuadernos de Educación Nº 35. Barcelona: Horsori. Barberà, E.; Badia, A. (2004) Educar con aulas virtuales: Orientaciones para la innovación en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Madrid: A. Machado. González Mariño, J. (2006). B-Learning utilizando software libre, una alternativa viable en Educación Superior. Revista Complutense de Educación, 17 (1), 121-133 Gros, B. (2004) La construcción del conocimiento en la red: límites y posibilidades. Revista Teoría de la Educación: Educación y Cultura en la Sociedad de la Información, 5. Recuperado el 2 de febrero de 2009, de http://www.usal.es/~teoriaeducacion/rev_numero_05/n5_art_gros.htm. Moreno, L. (2002). Graficación de funciones. En Memorias del Seminario Nacional: Formación de docentes sobre el uso de nuevas tecnologías en el aula de Matemáticas (pp. 110140). Bogotá, Colombia: Ministerio de Educación Nacional. Página 120 de 632 Sigalés, Carles (2004, septiembre). Formación universitaria y TIC: nuevos usos y nuevos roles. Revista de Universidad y Sociedad del Conocimiento (RUSC). Vol. 1, nº 1. Recuperado el 20 de febrero de 2005, de http://www.uoc.edu/rusc/1/index.html UNESCO (2004). Las tecnologías de la información y la comunicación en la formación docente. París, Informe UNESCO. Página 121 de 632 SECUENCIA DIDACTICA PARA LA ENSEÑANZA DE TRIANGULOS María J. Rey Genicio, Liliana R. Tapia, Clarisa Hernández, Héctor R. Tarifa Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Jujuy. Argentina [email protected] Nivel educativo: Nivel Medio Palabras Clave: Triángulo, enseñanza, secuencia, didáctica RESUMEN La propuesta se sostiene en un Proyecto de Investigación que busca el desarrollo de estrategias innovadoras en la enseñanza de la matemática. Se apoya en una concepción de aprendizaje constructivo y significativo que adopta la «Ingeniería Didáctica», como metodología para la investigación. Pretende brindar al profesor un material estructurado en forma clara, precisa y amena, elaborado con todos los elementos que consideramos necesarios para ser un instrumento eficaz para la enseñanza de Triángulo. Fue diseñado, no como algo prescriptivo sino, como una reflexión sobre la "buena receta", es decir, para que oriente el análisis y los criterios de acción, discuta y exprese los supuestos y permita al docente decidir entre alternativas y comprobar resultados. A través de esta secuencia el alumno investiga, utilizando el software Cabri Gèométre, si es posible la construcción de triángulos que cumplen determinadas características, puede explorar de forma interactiva, conjeturar y, en algunos casos demostrar, las propiedades de los ángulos interiores y exteriores, la propiedad de los ángulos opuestos a lados iguales, la propiedad triangular (correspondiente a los lados) y las rectas y puntos notables de un triángulo (mediatrices, bisectrices, alturas, medianas y recta de Euler). INTRODUCCIÓN Al encontrarnos insertos en un mundo de calculadoras, microcomputadoras y computadoras es preciso que profesionales, empresarios, docentes, estudiantes, entre otros, adquieran nuevas aptitudes acordes con esta nueva forma de vida que, sin duda, los llevará a tener nuevos enfoques para el desarrollo diario de sus actividades. En particular en la educación, este hecho implica un condicionamiento no sólo al alumno sino también para el docente que es el motor del proceso educativo y gestor de la innovación educativa. El uso de una computadora y software con capacidad gráfica están dirigidos a lograr un mejor y más completo aprendizaje por parte del alumno ya que, entre otros aspectos, se puede reducir el tiempo de cálculo lo que permite disponer de más tiempo para encarar los aspectos conceptuales y cualitativos de un problema o experimento, el alumno puede adquirir destrezas en el manejo de modelos descriptivos, probar hipótesis o conjeturas más rápidamente adquiriendo así habilidades específicas en resolución de problemas y en toma de decisiones. Al encarar el proceso de aprendizaje de un contenido de geometría plana, mediante el uso de software específico para tal fin, intentamos que el estudiante mediante el manejo de modelos sencillos, previamente analizados y concebidos para ese fin, experimenten distintas situaciones que lo lleven al descubrimiento de leyes, relaciones y comportamientos. Él mismo puede introducir nuevas conjeturas sobre los modelos experimentados, para preguntarse, por ejemplo, “¿ qué pasaría si…” llegando así a confirmar o descartar esas conjeturas, proponer otros modelos, demostrar una propiedad o generalizar una idea. Convencidos que los medios informáticos con capacidad gráfica son un instrumento poderoso con el cual puede contar el profesor en el aula, hemos diseñado una secuencia didáctica para el aprendizaje de triángulos utilizando Cabri realizando la experiencia áulica con alumnos del nivel medio de la Escuela Agrotécnica N° 4 de Libertador General San Martín de la Provincia de Jujuy. Página 122 de 632 MARCO TEÓRICO Intentar cambios en los modelos tradicionales de la enseñanza, en este caso específico en la enseñanza de la matemática y en particular de la Geometría, es una tarea compleja. Si estamos dispuestos a construir una didáctica transformadora de tradiciones pedagógicas rutinarias, necesariamente hay que admitir que el docente debe reflexionar sobre sus prácticas, interiorizarse sobre los resultados de las nuevas investigaciones educativas, analizar y debatir sus resultados, cotejar lo viejo y lo nuevo para hacer las rupturas necesarias y obtener nuevas conclusiones, rescatando lo positivo de cada una de ellas. Pero este es un camino que no es fácil de andar, por eso se justifica crear modalidades que nos posibiliten acompañarnos. Esta secuencia está dirigida al docente de matemática que cotidianamente está en la búsqueda de actividades y estrategias nuevas, o bien diferentes, para que los alumnos se sitúen frente a los problemas de la matemática, pongan en juego sus estrategias personales y discutan, analicen, comparen, etc, actividades mentales que los ayudarán a construir nuevos conceptos, aprehenderlos, y finalmente aplicarlos Esta propuesta didáctica se sostiene en un Proyecto de Investigación que busca el desarrollo de estrategias innovadoras en la enseñanza de la matemática. El proyecto se nutre teóricamente de las contribuciones de la Psicología constructivista del aprendizaje y de la Didáctica de la Matemática. Desde estos marcos se toman aportes relevantes, que se presentan sintéticamente a continuación. De la fuente psicológica tomamos en especial las teorías cognitivas, las que en general entienden que el aprendizaje efectivo requiere que el estudiante participe activamente en la construcción del conocimiento y que aquel es mediado por los procesos de pensamiento, de comprensión y de dotación de significado (Constructivismo psicogenético, la Teoría SocioHistórica de Vigotsky y el Aprendizaje Significativo de Ausubel) . Tenemos entonces que la actividad de los alumnos es base fundamental para el aprendizaje en tanto que la acción del docente es intervenir aportando las ayudas necesarias, estableciendo los esquemas básicos sobre los cuales éstos pueden explorar, observar, y reconstruir conocimientos. En esos esquemas se articulan la información (aportada por el docente, los textos, los materiales y los alumnos) con las acciones cognitivas de los sujetos. De esta misma fuente se toma el concepto de Interacción SocioCognitiva, entendiendo que la cognición humana óptima se lleva a cabo con la colaboración de otras personas y de objetos físicos y simbólicos que potencian las capacidades individuales. De allí sostenemos que los procesos grupales de construcción de conocimientos se constituyen en medios altamente eficaces para el logro de un aprendizaje significativo. Sin embargo en ellos se hace necesaria una intervención muy cuidadosa del docente tendiente a optimizar las actividades, supervisando cada grupo, facilitando los intercambios de tipo cognitivo, recuperando oportunamente lo producido en cada uno y logrando una reorganización final de los conocimientos trabajados. Por otra parte, de la fuente didáctica tomamos en primer lugar el concepto de estrategia didáctica de Bixio que designa al conjunto de las acciones que realiza el docente con clara y explícita intencionalidad pedagógica. Algunas de sus componentes son el estilo de enseñanza, la estructura comunicativa de la clase, el modo de presentar los contenidos, las consignas, los objetivos y su intencionalidad, la relación entre materiales y actividades, los criterios de evaluación, etc. Las estrategias deben apoyarse en las construcciones de sentido previas de los alumnos (significatividad), orientar la construcción de conocimientos a partir de materiales adecuados y ser factibles de desarrollarse en el tiempo planificado, con la cantidad de alumnos con que se cuenta y con la carga horaria destinada. En segundo lugar, la propuesta se apoya por un lado en la Didáctica francesa de la Matemática, con Brousseau y Chevalard como referentes, y en la «Ingeniería didáctica» de Douady. En su Propuesta, Regine Douady caracteriza lo que denomina «dialéctica instrumentoobjeto»: un concepto matemático funciona como «instrumento» cuando es la herramienta que Página 123 de 632 permite resolver un problema; y funciona como «objeto» cuando es descontextualizado y aislado como objeto matemático. La dialéctica instrumento – objeto exige que el alumno enfrente situaciones en las que aparece un mismo «significante» con distintos «significados» (Una misma expresión fraccionaria puede significar, entre otras, una relación parte-todo, una razón de proporcionalidad o una probabilidad). Como así también que un mismo concepto, en diferentes marcos, se presente con diferentes significantes. (Un sistema de ecuaciones lineales puede ser presentado algebraicamente o mediante su representación gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas). Este enfoque requiere que el docente, antes de presentar el problema que haya seleccionado de acuerdo al contenido elegido, pueda anticipar las posibles estrategias y respuestas que puedan dar sus alumnos, los errores que puedan surgir a fin de prever las dificultades con las que pueda encontrarse y decidir sus probables intervenciones. En base a esta ideas base, para esta experiencia se elaboró un conjunto de actividades concebidas, organizadas y articuladas en el tiempo para efectuar un proyecto de aprendizaje sobre el tema mencionado. En los análisis preliminares se tuvieron en cuenta: las dificultades y los errores más frecuentes de estos aprendizajes, las prácticas habituales de los docentes para el tratamiento de este tema y los diferentes enfoques que presentan los libros de texto sobre el mismo. EL POR QUÉ DE LA PROPUESTA La confluencia de varios factores hizo nacer la propuesta de estudiar los triángulos con el software Cabri. La poca motivación por las matemáticas que encontramos en el grupo de alumnos requería idear estrategias validas para motivar al grupo-clase. El boom de la informática, la moda del ordenador, el desarrollo de las nuevas tecnologías, el énfasis que pone nuestra actual Ley Nacional de Educación N° 26.206, que dice que la escuela debe garantizar no sólo el acceso al conocimiento a través de los medios convencionales sino también a través de los medios tecnológicos. El convencimiento, tal como decía Luis Santaló, de que para aprender matemática hay que usarla “como una manera de conocer, más que de hacer”, y esto implica pensar u organizar secuencias didácticas donde el eje sea la resolución de problemas. PROPÓSITOS QUE PERSEGUIMOS Entre los propósitos perseguidos con la implementación de esta propuesta podemos mencionar los siguientes: • • Que los alumnos aprendan de una manera entretenida Nos interesa que descubran por ellos mismos las propiedades de los ángulos de un triangulo, propiedad triangular, los puntos notables, reconceptualizando y significando saberes abordados en la escuela primaria. Introducir a los alumnos en el dominio de los ordenadores. La idea fue que las herramientas tradicionales lápiz y papel, empiecen a compartir protagonismo con las herramientas del software, ya que su manejo será imprescindible dentro de muy pocos años. Consideramos que es importante que el estudiante descubra las limitaciones y alcances de ambas herramientas, las convencionales y las informáticas. Dar oportunidades para expresar la creatividad. Comentaba Giménez (2004) haciendo referencia a una cita de Sawyer: «Al finalizar una clase de arte, el alumno puede decir, éste es el dibujo que he hecho. Al finalizar una clase de inglés, ésta es la historia que he escrito. ¿Qué dice después de una clase de Página 124 de 632 matemática? “¿He hecho los cálculos correctamente…?». Nos gustaría que fuese: “He deducido tal propiedad y la expresé de esta manera” o “Aquí tienen un patrón o regularidad que he observado por eso deduzco que siempre se va a dar de esta manera”. • Fomentar el trabajo cooperativo y el trabajo en grupo Porque resolver un problema en grupo implica muchas ventajas: escuchar, explicar, descubrir, razonar, compartir, intercomunicar, aprender, enseñar, descubriendo la matemática como una actividad interactiva y comunicativa. DESCRIPCIÓN, OBJETIVOS Y ANÁLISIS DE LAS ACTIVIDADES A continuación sólo analizaremos la primera actividad de la secuencia. 1.- Descripción de la actividad: Clasificación de triángulos. 1.- Modifica el triángulo escaleno ABC, de forma de obtener en cada caso el triángulo especificado, siempre que sea posible. Indica en cada caso el valor de los lados y ángulos. Ver Fig. 1 a) acutángulo b) rectángulo c) obtusángulo 2.- Modifica el triángulo isósceles ABC, de forma de obtener en cada caso el triángulo especificado, siempre que sea posible. Indica en cada caso el valor de los lados y ángulos. a) acutángulo b) rectángulo c) obtusángulo 3.- Modifica el triángulo equilátero ABC, de forma de obtener en cada caso el triángulo especificado, siempre que sea posible. Indica en cada caso el valor de los lados y ángulos. a) acutángulo b) rectángulo c) obtusángulo Página 125 de 632 2.- Objetivos: Que el alumno sea capaz de lograr • Descubrir • Expresar las propiedades de los triángulos. • Conjeturar y confrontar sus posturas con las de sus compañeros y con los atributos del software 3.- Análisis de la actividad Una de las intenciones de esta primera actividad fue recordar la clasificación de los triángulos según sus lados, según sus ángulos, los elementos de un triángulo y ver cómo en determinadas situaciones hay problemas que pueden tener varias soluciones (por ejemplo: escaleno acutángulo), una sola solución (isósceles rectángulo) o bien no tener solución (equilátero rectángulo). Destacamos que respecto de esta última posibilidad se generó, en la clase correspondiente, un ameno debate entre los educandos, para justificar la imposibilidad de lo solicitado. Con la participación de los distintos grupos formados y la guía del docente se logró llegar a la conclusión de que estas situaciones se generan cuando se solicita que propongan un triángulo con dos condiciones contradictorias, por ejemplo que un triángulo sea simultáneamente equilátero y obtusángulo. ORGANIZACIÓN DEL TALLER Del taller participaron aproximadamente 84 alumnos de 1° año 3ª y 4ª división. Los estudiantes provenían de la escuela Agrotécnica Nº4, de Libertador General San Martín de la Provincia de Jujuy. Se los distribuyo en tres grupos de 28 alumnos cada uno, trabajando dos alumnos por ordenador. La duración de cada encuentro fue de 80 minutos, una vez por semana. RESULTADOS DE LA EXPERIENCIA Entre los aspectos relevantes de esta experiencia podemos remarcar los siguientes: • Relacionar la clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos fue una de las actividades que más le costó a los alumnos. Consideramos que esta dificultad se debe a que en la primaria se trabaja dicha clasificación por separado, y no hay un análisis de la interrelación de ellas. Les sorprendía que les propusiéramos situaciones imposibles, como la de un equilátero rectángulo Página 126 de 632 • Los procesos de generalizar y simbolizar, fue otra de las grandes dificultades que tuvieron los estudiantes. Expresar sus conclusiones utilizando el lenguaje matemático fue todo un desafío. Con las herramientas del software Cabri, ellos observaban las regularidades, pero extender esas regularidades a todos los triángulos les parecía algo muy apresurado. Esta primera apreciación se fue superando a medida que se analizaba el alcance, hecho que se vio favorecido por la potencia que nos daba el software, para ver en cuestión de minutos lo que con las herramientas tradicionales nos llevaría un tiempo más. • Después de superada la dificultad de generalizar, el otro inconveniente fue cómo expresar los resultados a los que habían arribado: los alumnos utilizaron sus propios códigos y estilos de lenguaje. Tomando como punto de partida sus conclusiones, se analizó su pertinencia. De ello surgió la necesidad de aunar criterios de notación, utilizando, para que podamos entendernos, un mismo lenguaje. CONCLUSIÓN El carácter interactivo del programa fue muy valioso porque le posibilitó al alumno contrastar la realidad con las respuestas dadas en un comienzo, lo que generó un debate de gran riqueza en las distintas instancias de la secuencia. Así mismo les ayudó a mirar la propuesta haciendo una lectura crítica, valorando la necesidad de la coexistencia de ambas herramienta: papel y lápiz por un lado y recursos informáticos por otro. Los alumnos estuvieron motivados y comprometidos con la tarea, entre otras cosas, porque era una de las primeras veces que utilizaban la computadora en la clase de matemática. Se pudo observar que por las actividades propuestas y el medio utilizado, los educandos vieron la necesidad de tener una mayor precisión y comprensión del lenguaje, debido a que el manejo del software lo requiere. REFLEXIÓN FINAL Utilizar como metodología de enseñanza la dialéctica instrumento-objeto de Douady, implica reconceptualizar nuestras concepciones de lo que significa enseñar y aprender matemática. Es una forma de trabajo que requiere pensar no sólo como se va a enseñar si no también cuáles serán las distintas estrategias que utilizará el alumno. Implica todo un cuestionamiento previo, acompañado de una posible propuesta, que se termina configurando en la implementación. En la experiencia llevada a cabo, sin duda el aprendizaje de los alumnos se vio, si no mejorado por el tipo de propuesta, al menos movilizado a tareas de mayor compromiso intelectual y más actividad personal y grupal. BIBLIOGRAFIA Abdala C. & M. Real, Carpeta de matemática1, Aique, Argentina, 2001. Berté A., Matemática de EGB 3 al Polimodal, A-Z Editora, Argentina, 1996 Berté A., Matemática dinámica, A-Z Editora, Argentina, 1993 Bruno de Marti, M. E., Matemática 2001, Novelibro S. A., Argentina, 1997 Chemello G. & A. Díaz, Matemática, metodología de la enseñanza, Prociencia, Argentina, 1997. Chevallard Y., M. Bosch & J. Gascón, Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje, Horsori, Barcelona, 2000. Douady R., M. Artigue, L. Moreno & P. Gómez, Ingeniería didáctica en educación matemática, Iberoamericana, Bogotá, 1995. Página 127 de 632 Garaventa L. & P. Rodas, Carpeta de matemática 7, Aique, Argentina, 2001 Kaczor P. & V. Machiunas V, Matemática EGB 8, Santillana, Argentina, 2002 Ponce H., Enseñar y aprender matemática, Novedades educativas, Argentina, 2005 Villella J., Didáctica de la matemática, UNSAM, Argentina, 2002. Giménez S., La actividad matemática en el aula, Grao, Barcelona, 2004. Página 128 de 632 ¿ATOLONDRADOS POR PI? Patricia Eva Bozzano, UNLP, Liceo Víctor Mercante, La Plata, Buenos Aires, Argentina. [email protected] Nivel educativo: ESB-ESS. Palabras clave: PI, aproximación, irracional Resumen En épocas, donde se acentúa más la falta de interés por parte de los alumnos y la necesidad de nuevas ideas motivadoras por parte de los docentes, llegada la hora de introducir temas como campo numérico: conjunto de números irracionales, conjuntos infinitos, serie y sucesiones, limites infinitos, algoritmos, expresiones algebraicas y trascendentes; como también, calculo de longitudes de circunferencia y áreas correspondientes a los círculos; un buen camino que lleve a atrapar el interés de los alumnos podrá ser el uso de la historia, elemento esencial para la construcción del concepto de numero, más aún, para la construcción tanto de la idea de numero irracional, su evolución y situación actual, como también la de conjuntos. Desde Arquímedes hasta Ramanujan; desde Aristóteles hasta Cantor. El mismo camino, debería contar con las aplicaciones de tan importante concepto: número de infinitas cifras decimales no periódicas, para la tecnología actual, y su protagonismo para el desarrollo, por ejemplo, en microprocesadores cada vez más veloces, placas de video con calidad que va superándose año a año, etc. Sobre estos últimos temas, son los alumnos quienes pueden darnos clases al respecto. Así, el objetivo que se pretende alcanzar es incluir el presente y el futuro, en estos últimos aspectos, con el pasado. Hasta en lo artístico se encuentran propuestas integradoras que provoquen el despertar del interés por parte del alumno, la literatura por un lado; por otro, la cinematografía. Algunas de ellas incluidas en este trabajo. Introducción “El progreso material de los hombres depende de las investigaciones abstractas o científicas del presente, y será a los hombres de ciencia, que trabajan para fines puramente científicos sin pensar en la aplicación práctica de sus doctrinas, a quienes deberá la Humanidad su desarrollo material en tiempos futuros… Cuando el matemático efectúa sus cálculos o busca nuevas relaciones entre los números, no busca la verdad para fines utilitarios. Cultivar la ciencia por su utilidad práctica, inmediata, es desvirtuar el alma de la propia ciencia… Conviene no olvidar que la matemática, aparte de su objetivo de resolver problemas, calcular áreas y medir volúmenes, tiene finalidades mucho más elevadas. Por tener tan alto valor en el desarrollo de la inteligencia y del raciocinio, la matemática es uno de los caminos más seguros para llevar al hombre a sentir el poder del pensamiento, la magia del espíritu… sin el sueño y la fantasía, la ciencia se envilece. Es ciencia muerta…”1 (Tahan Malba, (1996). El hombre que calculaba. Buenos Aires, ABRN prod.graficas, 187 páginas). “Pi o el gran enigma circular. Soy y seré a todos definible mi nombre tengo que daros cociente diametral siempre inmedible soy de los redondos aros.” de Manuel Golmayo Página 129 de 632 Un poema de fuerte contenido numérico: contando las letras de cada una de sus palabras, se obtienen las primeras veinte cifras de Pi. Aquí se presenta una de las relaciones entre literatura y matemática, como primer intento de despertar el interés para alumnos de nivel ESB, donde se les muestra que el famoso símbolo π es mucho más que la escasa representación 3,14 utilizada para cálculo de áreas de círculos como para longitud de circunferencias. A partir de esto, se efectúan preguntas disparadoras para despertar la curiosidad: -¿Por qué el número tendrá nombre? -¿Por qué se llama de ese modo? -¿Por qué sólo usábamos tres cifras? El objetivo, en todo momento, es motivar para: conocer, aprender, cuestionar, reflexionar. Luego de esto, se los introduce a la idea de números “distintos”, los correspondientes conjuntos numéricos; y hasta es posible, como lo he comprobado con experiencias, introducirlos al concepto de conjuntos infinitos y transfinitos. Proporcionar nuevos conceptos a partir de la integración con otras áreas, resulta para los alumnos, un aporte distinto a todo aquello a lo que están acostumbrados para aprender matemática. Como indica las experiencias y expectativas de estos últimos años, es necesario innovar para mejorar el desarrollo de las actividades de enseñanza-aprendizaje. Por tal motivo, el uso de la historia, los juegos, los desafíos, la integración con otras áreas, y que no falte: los usos en la actualidad, son elementos a tener en cuenta para lograr el objetivo: despertar interés y motivar. Dando respuesta a los interrogantes: ¿Qué es Pi? Π es la letra griega que representa el cociente entre el perímetro de una circunferencia y la longitud de su diámetro. Perímetro proviene del griego perimetron: “medida alrededor”, y diámetro del vocablo griego diametron: “la medida a través” Haciendo un poco de historia: Los egipcios y los babilonios resolvieron problemas específicos mediante métodos también específicos, pero nunca intentaron establecer reglas generales. En particular, los babilonios utilizaron para pi el muy groseramente aproximado valor 3. De igual manera, los antiguos hebreos daban a pi el valor 3, como se puede comprobar en el Cap.4 del 2º Libro de Crónicas, segundo versículo, en donde se describe un recipiente de forma circular en el Templo de Salomón. En uno de los más antiguos textos matemáticos, el Papiro de Rhind, siglo XVII antes de Cristo, los egipcios registraron una regla para calcular el área de un circulo con un valor asignado a pi de (16/9)2: 3,16049… Después vinieron los griegos, quienes buscaban arduamente lo general y creían que las formas matemáticas tienen ciertas propiedades naturales que son eternas e inmutables. Por ejemplo, Arquímedes de Siracusa, siglo III antes de Cristo, empleo un método, precursor directo del cálculo integral, para el cálculo de Pi, llamado “método de exhaucion”. Consistía en inscribir y circunscribir polígonos regulares en un circulo de diámetro unidad; los perímetros de los polígonos inscriptos y circunscriptos servían de cota superior e inferior para el valor Pi; valiéndose de polígonos de 96 lados determino que Pi estaba comprendido entre 3+10/71 y 3+1/7 o 22/7!! En el año 120, el matemático chino Chang Hing llegó a la relación 142/45(3,1555...). En la India, año 500, el matemático Aryabhatta propuso la relación 62832/20000(3,1416). En Europa, se comenzó a obtener mejores resultados, a partir del siglo XVI. En el año 1593, Viete dedujo una serie infinita de fracciones ”Serie de Vieta”, que empleo para calcular Pi con 17 decimales. Allá por el 1600, el matemático ingles Oughtred empleo la letra griega π por primera vez, pero lo hizo para asignar con esa letra al perímetro de la circunferencia. En cambio, Euler, en el año 1737, utilizo el símbolo para asignar el cociente entre el perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. La demostración que Pi es un número irracional, Página 130 de 632 se le debe al matemático alemán Lambert, quien lo logro en el año 1761; el valor verdadero solamente se puede expresar como serie infinita. Como los pitagóricos desarrollaron la demostración de que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional, sucedió de igual manera con Pi. Que Pi es un número trascendente (son números que salen del ámbito de las operaciones del algebra, son no algebraicos; solo pueden ser raíces de expresiones trascendentes), se debe a la demostración realizada por el matemático Lindemann en 1882, su trabajo se basa en la imposibilidad de la “cuadratura del círculo”. ¡¡¡ es un número entero!!! El matemático indio Srinivasa Ramanujan. Nacido en 1887 en el seno de una familia venida a menos, conjeturo con cálculos manuales la anterior afirmación. La importancia de mencionar dicho matemático, se basa en mostrar a nuestros alumnos, que hasta en situaciones nada favorables para una persona, con obstáculos sociales, económicos y de salud; la tenacidad, el tesón y esfuerzo, la constancia y dedicación, y el gusto por lo que se hace, abre caminos inesperados en la vida de cualquier persona. NOTA BIOGRAFICA: Este genio matemático indio, ideó métodos de extraordinaria eficacia para calcular Pi, que en la actualidad rinden millones de cifra decimales. Contando solo con dos libros: Tratado de trigonometría de Loney y Sinopsis de resultados Elementales en Matemática pura, recopilación del Prof. Carr de Cambridge; para constituir su formación matemática básica; pues, en dos oportunidades, fracaso en los exámenes de centros de estudio formales, logró el desarrollo de toda su obra. En 1913 estableció contacto con el matemático ingles Hardy a través de correspondencia, mediante la cual le hizo llegar un conjunto de formulas y teoremas. Luego, Hardy y su amigo, el matemático Littlewood, concluyeron que tenían ante sí la obra de un genio, puro talento. Finalmente, Hardy invito a Ramanujan a Cambridge, quien se incorporo en 1914; durante cinco años trabajaron codo a codo en el Trinity College, publicaron en colaboración una serie de trabajos; y en 1917, Ramanujan fue admitido como miembro numerario de la Royal Society de Londres y del Trinity College. A medida que crecía su importancia, su salud se deterioraba, en 1919 regreso a la India convertido en ídolo de los jóvenes intelectuales; murió allí en 1920 con un diagnostico de tuberculosis. Se encuentra en la obra de Ramanujan los ingredientes básicos de los algoritmos iterativos para el cálculo de Pi mediante ordenadores. Se demuestra que los algoritmos de tipo Ramanujan para la determinación de valores aproximados para pi se hallan muy cerca de los óptimos posibles. ¿Cuál es el ingrediente que posee esta información para atrapar el interés de nuestros alumnos? Pues bien, las empresas fabricantes de microprocesadores: AMD, INTEL, CELERON, VIA, IBM, etc; utilizan los algoritmos iterativos tipo Ramanujan, para obtener productos cada vez más veloces. Un microprocesador es mejor para las exigencias del mercado, si es capaz de generar la mayor cantidad de cifras de Pi, en el menor tiempo. Y ahí entra el interés de nuestros alumnos: Sus computadoras, celulares, reproductores de audio y video, consolas de video juego (NINTENDO WII, PLAY STATION, etc.) son hoy, el producto que son, gracias a brillantes mentes de personas no tan distintas a ellos mismos, como muchos erróneamente creen. Todos los hombres mencionados en esta breve reseña histórica, han sido personas NO con capacidades especiales e irrepetibles, todo lo contrario, han efectuado su trabajo con esfuerzo y dedicación, paciencia y sobre todo con pasión. Si en la actualidad, gracias toda esa tecnología de los microprocesadores, se sostiene la conjetura que Pi contiene infinitas cifras decimales no periódicas, cabe mencionar que tipo de conjunto infinito seria; pues la obra del matemático Cantor (1856-1918) define distintos tipos de conjuntos infinitos refiriéndose a su cardinal. El conjunto de todos los números naturales posee el mismo cardinal que el conjunto de todos los números enteros, por ejemplo; esos conjuntos son llamados “numerables”, ¿la misma clasificación le corresponde al conjunto de cifras no enteras de Pi? ¿Estaremos ante el caso de la unión de una familia de conjuntos numerables, la cual resulta ser un conjunto numerable? Por el otro lado, Cantor demostró que el conjunto de todos los números irracionales tiene un cardinal superior al de los conjuntos numerables, o sea, Pi pertenece a un conjunto de infinitos elementos, un conjunto infinito “no numerable”. Más aún, Página 131 de 632 llegó a demostrar que el conjunto de números irracionales (que tiene una partición: los números irracionales algebraicos y los números irracionales trascendentes), es un conjunto no numerable igual que el conjunto de los números reales, ¡el total igual a una de sus partes! Dichos conceptos, tan revolucionarios en el ámbito matemático como lo fueron las geometrías no euclideanas (geometría hiperbólica: la circunferencia de cualquier circulo tiene un perímetro mayor que π veces el diámetro; geometría elíptica: la circunferencia de un circulo es siempre menor que π veces su diámetro), tuvo sus detractores, quienes sostenían como únicas las ideas sobre el infinito establecidas en la antigüedad por Aristóteles y su “infinito potencial”. Si nos proponemos hallar una relación entre Pi, su hallazgo, evolución e importancia a través de la historia; y lo mismo para la teoría de conjuntos transfinitos; ambos, además de tener relación con respecto a los conceptos, definiciones y consiguiente clasificación, están envueltos en un halo de misterio (podríamos decir) que lo rodea acompañado por sorpresa y hasta resistencia. No muchas veces, le presentamos a nuestros alumnos, un tema que les resulte desafiante y con las características antes enumeradas; y si sumamos a esto la posibilidad que cuestionen para luego acceder a las conclusiones correctas, haciendo un recorrido por todas las etapas, en la forma más sintética posible, que ha atravesado el objeto de estudio; podríamos decirnos estar en el camino de atrapar el interés de los alumnos, entusiasmarlos a descubrir y hacer, investigar y hasta desarrollar ideas, solo por el placer de hacerlo, como muchos de los matemáticos aquí mencionados lo han hecho. Actividades propuestas: Nivel: a partir de 1º año de ESB. 1. Problema original egipcio, siglo XIX antes de Cristo, tomado del Papiro de Rhind: “Tomar el diámetro. Restar la novena parte. De esta diferencia nuevamente la novena parte y restar de la anterior. Multiplicar el resultado por el diámetro. Tal es el área del circulo.” 2. En la antigüedad, el matemático griego Eratostenes (siglo III antes de Cristo), con el método de determinación de ángulos entre paralelas, conociendo la distancia entre dos puntos (Siena-Alejandría), y con una simple regla de tres, determinó la longitud de la circunferencia máxima de la Tierra. Obtuvo el equivalente a 40.200 km. Calcular el radio terrestre, utilizando tres valores distintos e históricos de Pi. 3. El siguiente verso de Aryabhata, matemático hindú del siglo IV, nos da la más antigua formulación sobre el valor aproximado de la relación que, más adelante, se llamará “pi”. “Sumar cuatro a cien, multiplicar por ocho, sumar todavía sesenta y dos mil. Se obtiene así un valor aproximado de la circunferencia cuyo diámetro es de dos miríadas.” Dos miríadas: 20 000 Nivel: ESS. 1. Expresar el término general de la Serie de Gregory, que tiende a π/4. 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + 1/13 – 1/15 + 1/17…….. 2. Expresar el término general de la Serie de Vieta, y encontrar a que valor tiende. 4/1 – 4/3 + 4/5 – 4/7 + 4/9 – 4/11 + 4/13 – 4/15 + 4/17……. 3. Método de Arquímedes de exhaución: trazar seis circunferencias de diámetro unidad, inscribir en tres de ellas polígonos regulares de seis, doce y veinticuatro lados; en las otras tres circunscribir otros tres polígonos iguales a cada uno de los anteriores. Con el uso de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) expresar el perímetro de cada uno de los polígonos en función del ángulo central determinado por una diagonal y el apotema Página 132 de 632 correspondiente de cada polígono. Por último, “atrapar” el valor de Pi, entre los perímetros de los polígonos de igual cantidad de lados, tanto inscripto como circunscripto. 4. Probabilidades: problema propuesto y resuelto por el francés George Louis Leclerc, conde de Buffon, siglo XVIII, conocido como el problema de la aguja de Buffon: arrojar al azar una aguja de longitud L= 2cm sobre una superficie con líneas paralelas a distancia d= 4cm una de otra. Repetir centenar de veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la aguja caiga sobre una de las líneas? ( cuanto mayor es el numero de sucesos, mejor será la aproximación a la probabilidad que tiende a 5. ). Algoritmos iterativos: toman como entrada de cada ciclo la salida del precedente. Sea y0 = -1; α0= 6 - 4 ; yn+1 = 1/ 1+ ; αn+1 = [( 1+y n+1)4αn] – 2 2n+3y n+1(1+y n+1+ ) Ejecutar el algoritmo hasta n=9, y comprobar la cantidad de cifras de Pi que provee. 6. Investigación: se invita a los alumnos averiguar las últimas novedades publicadas acerca del cálculo de cifras de π realizada por ordenadores. Por internet, el enlace, se sugiere, que sea “super pi + ordenadores+ cifras”. Allí encontrarán varios links que informan al respecto. Marca del siglo XX Autores: Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi (Universidad de Tokyo) Fecha: 20 de Septiembre de 1999 Número de decimales: 206..158.430.000 Tiempo: 37 y 46 horas (dos cálculos diferentes utilizando algoritmos diferentes) Ordenador utilizado: Hitachi SR8000 Nueva marca mundial Autores: Kanada, Ushio y Kuroda Fecha: Diciembre de 2002 Número de decimales: 1.241.100.000.000 Tiempo: Más de 600 horas Ordenador utilizado: Hitachi SR8000 2 Para finalizar, propongo como actividad, recurrir al cine. Son muchas las películas que dedican su argumento, o parte de él, a temas relacionados con la matemática, y hasta a veces propiamente a matemáticos. Es el caso, por ejemplo, de MOEBIUS (1996), LOS CRIMENES DE OXFORD (2008), UNA MENTE BRILLANTE (2001), la trilogía: EL CUBO (1997), y la película de ficción PI(1998) la cual, como su nombre lo indica, hace explicita referencia al número π . Valores obtenidos para PI a lo largo de la historia Las columnas indican autor del cálculo, año y número de decimales. Babilonios Hacia el 2000 a.C. 1 Egipcios Hacia el 2000 a.C. 1 Arquímedes Hacia el 250 a.C. 3 Ptolomeo 150 3 Liu Hui 263 5 2 3.125 = 3 + 1/8 3.16049=(16/9)^2 3.1418 (media) 3.14166 3.14159 FUENTE: http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/numpi.htm Página 133 de 632 Tsu Ch'ung Chi Aryabhata Al-Khowarizmi Al-Kashi Vieta Romanus Van Ceulen Van Ceulen 480 499 800 1429 1593 1593 1596 1615 6 4 4 14 9 15 20 35 3.1415929(=355/113) 3.14156 3.1416 3.14159265358979 3.141592653 3.141592653589793 A partir de esta fecha empiezan a utilizarse series. Sharp 1699 71 Machin 1706 100 De Lagny 1719 127 (112 correctos) Vega 1794 140 Rutherford 1824 208 (152 correctos) Strassnitzky y Dase 1844 200 Clausen 1847 248 Lehmann 1853 261 Rutherford 1853 440 Shanks 1874 707 (527 correctos) Utilizando calculadora Ferguson y Wrench Smith y Wrench 1947 1949 Utilizando ordenador Reitwiesner 1949 Nicholson y Jeenel 1954 Felton 1957 Genuys 1958 Guilloud 1959 Shanks y Wrench 1961 Guilloud y Filliatre 1966 Guilloud y Dichampt 1967 Guilloud y Bouyer 1973 Miyoshi y Kanada 1981 Tamura y Kanada 1982 Tamura y Kanada 1982 Kanada, Yoshino y Tamura 1982 Gosper 1985 Bailey 1986 Kanada y Tamura 1986 Kanada y Tamura 1986 Kanada, Tamura, Kubo 1987 Kanada y Tamura 1988 Chudnovskys 1989 Chudnovskys 1989 Kanada y Tamura 1989 Chudnovskys 1991 Chudnovskys 1994 Kanada 1995 Kanada and Takahashi SR2201 en 29 horas (mes de agosto). 808 1.120 2.037 ENIAC 3.092 NORAC 7.480 PEGASUS 10.000 IBM 704 16.167 IBM 704 100.265 IBM 7090 250.000 IBM 7030 500.000 CDC 6600 1.001.250 CDC 7600 2.000.036 FACOM M-200 4.194.288 HITACHI M-280H 8.388.576 HITACHI M-280H 16.777.206 HITACHI M-280H 17.526.200 SYMBOLICS 3670 29.360.111 CRAY-2 33.554.414 HITACHI S-810/20 67.108.839 HITACHI S-810/20 134.217.700 NEC SX-2 201.326.551 HITACHI S-820/80 480.000.000 525.229.270 1.073.741.799 2.260.000.000 4.044.000.000 6.442.450.938 1997 51.500.000.000 utilizando un HITACHI Página 134 de 632 Bibliografía: Asimov, Isaac. (1977). De los números y su historia .Buenos Aires, El Ateneo, 257 páginas. Borwein, Jonathan; Borwein Peter. (1988). Ramanujan y el número pi. Investigación y ciencia, numero 139, 104 páginas. Doxiadis, Apostolos. (1992). El tío Petros y la conjetura de Goldbach. España. Ediciones B, 166 páginas. Gardner, Martin. (1988). Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas. España, ed. Labor, 294 páginas. Gardner, Martin. (1997). Damas, parábolas y más mistificaciones matemáticas. España, Gedisa editorial, 190 páginas. Guasco, Maria Jose; Crespo Crespo, Cecilia. (1996). Geometría, su enseñanza. Buenos Aires, Pro Ciencia Conicet, 221 páginas. Guedj, Denis, (1996). El imperio de las cifras y los números. Italia, ediciones B, 176 páginas. Palacios, Alfredo; Giordano, Emilio. (2000). Caminante, si hay camino….En: Palacios, Alfredo Raul, antología, (2000). Cuentecicos y decires. Buenos Aires, Lumen, 159 páginas. Smullyan, Raymond. (1992). Un viaje al infinito. 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Página 135 de 632 FORMACIÓN DOCENTE EN MATEMÁTICA Y NUEVAS TECNOLOGÍAS Güichal Edgardo, Guala, Graciela; Malet, Ana; Montano, Andrea; Oscherov, Viviana; Cocilova, Ana Universidad Nacional del Sur – Argentina [email protected] Nivel educativo: Educación Secundaria y Superior Palabras clave: Educación Matemática, Competencias Docentes, Nuevas Tecnologías, Formación Docente Continua RESUMEN Los avances logrados en el desarrollo del Proyecto de Investigación en Educación Matemática: El uso de nuevas tecnologías en la enseñanza del Cálculo (Proyecto de Investigación (PGI) subsidiado por la Secretaría de Ciencias y Tecnología de la UNS que se lleva a cabo en el Departamento de Matemática de la UNS), que llevamos a cabo en el ámbito de la UNS, nos orientaron a formular, en el marco del Programa de Capacitación gratuita para docentes de las Universidades Nacionales, la propuesta del curso de formación para docentes de escuelas secundarias y de educación superior: Nuevas tecnologías y enseñanza de la matemática. Según Cabero la llegada de las TICs al sector educativo viene enmarcada con cambios en las relaciones sociales y con una nueva concepción de la relación tecnología-sociedad que determinan las relaciones tecnología – educación. Por otro lado, aparece la formación de competencias, entre las que Perrenoud menciona la de utilizar las nuevas tecnologías. En los lineamientos curriculares nacionales para la formación docente inicial también se señala que la docencia como práctica centrada en la enseñanza implica, entre otras, capacidad para seleccionar y utilizar nuevas tecnologías de manera contextualizada. Finalmente Litwin señala que las tecnologías se incorporarán a las aulas cuando en realidad se hayan incorporado en la formación docente. Si son parte de la propuesta de formación, es probable que su incorporación sea cada vez más fácil y genuina. La necesidad de crear un espacio donde discutir estas cuestiones y generar propuestas áulicas, nos motivó a proponer el curso de formación docente al que nos referimos en este trabajo, que abarcó tanto los vínculos de las tecnologías y el aprendizaje, las operaciones mentales así como la construcción de competencias. INTRODUCCIÓN Los avances logrados en el desarrollo del Proyecto de Investigación en Educación Matemática: El uso de nuevas tecnologías en la enseñanza del Cálculo (Proyecto de Investigación (PGI) subsidiado por la Secretaría de Ciencias y Tecnología de la UNS que se lleva a cabo en el Departamento de Matemática de la UNS), que llevamos a cabo en el ámbito de la UNS, nos orientaron a formular, en el marco del Programa de Capacitación gratuita para docentes de las Universidades Nacionales, la propuesta del curso de formación para docentes de escuelas secundarias y de educación superior: Nuevas tecnologías y enseñanza de la matemática. ¿Por qué pensamos y propusimos un curso de formación docente relacionando las nuevas tecnologías y la enseñanza de la matemática? En los últimos años el campo profesional se ha visto ampliamente modificado por el uso de las TICs. La formación de alumnos que se insertarán en este campo no puede quedar al margen de estos desarrollos. Como afirman Cabero y otros (2003) “La llegada de las Tecnologías de la Información y la Comunicación al sector educativo viene enmarcada por una situación de Página 136 de 632 cambios (…), que no pueden ser considerados al margen de los cambios que se desarrollan en la sociedad relacionado con la innovación tecnológica, con los cambios en las relaciones sociales y con una nueva concepción de la relación tecnología-sociedad que determinan las relaciones tecnología – educación”. Por otro lado, aparece la formación de competencias. Philipe Perrenoud publicó en 1999 el libro Diez nuevas competencias para enseñar. En él, en primer lugar desarrolla cuál es el sentido que otorga al concepto de competencias docentes para luego elaborar una especie de inventario de diez grandes familias de competencias, que no son ni definitivas ni exhaustivas. Una de ellas es: Utilizar las nuevas tecnologías. Para este autor el concepto de competencia representa una capacidad de movilizar varios recursos cognitivos para hacer frente a un tipo de situaciones. Las competencias no son en sí mismas conocimientos, habilidades o actitudes, aunque movilizan e integran estos factores. La movilización resulta pertinente en una situación. Las competencias profesionales se crean, en formación, pero también por la navegación cotidiana de una situación de trabajo a otra. El ejercicio de competencias pasa por operaciones mentales complejas sostenidas por esquemas de pensamiento, los cuales permiten determinar y realizar una acción relativamente adaptada a una situación. (Perrenoud, 2004). Cuando Perrenoud propone como una competencia docente la utilización de las nuevas tecnologías, señala que en lo referido a la incorporación de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación en la enseñanza podemos encontrar adeptos incondicionales, en algunos casos por moda, por estrategias de mercado, y escépticos, tal vez por la nostalgia de poder continuar viviendo en la época del lápiz y el papel. En los lineamientos curriculares nacionales para la formación docente inicial aprobados por Resolución Nº 24/07 del Consejo Federal de Educación, también se señala que la docencia como práctica centrada en la enseñanza implica, entre otras, capacidad para seleccionar y utilizar nuevas tecnologías de manera contextualizada. Finalmente, Edith Litwin (2002) señala que las tecnologías se incorporarán a las aulas cuando en realidad se hayan incorporado en la formación docente. Si son parte de la propuesta de formación, es probable que su incorporación sea cada vez más fácil y genuina. Estas posturas, cuyo análisis en profundidad resulta prácticamente imposible por la extensión de este trabajo, muestran la necesidad de un análisis crítico sobre las nuevas tecnologías y su incorporación en el campo de la enseñanza. Si un docente conoce lo que aportan las nuevas tecnologías así como sus peligros y sus límites puede decidir cómo y cuándo usarlas porque ha evaluado sus fortalezas y debilidades, teniendo en cuenta el grupo de alumnos, los contenidos disciplinares a abordar, los recursos con los que cuentan tanto los alumnos como las instituciones. Asimismo otro aspecto objeto de análisis y reflexión es si los docentes aprovechan las tecnologías como una ayuda para la enseñanza, como un soporte que proporciona cierta innovación o si las aprovechan para la creación, la gestión y el seguimiento de situaciones de aprendizaje. La necesidad de crear el espacio donde discutir estas cuestiones y generar propuestas nos motivó a proponer un curso de formación docente que se inscribe en la formación continua y abarcó tanto los vínculos de las tecnologías y el aprendizaje, las operaciones mentales así como la construcción de competencias por parte de los docentes ACERCA DE LA EXPERIENCIA a) Diseño a. 1. Las finalidades y los contenidos del curso fueron: Análisis de las propuestas pedagógicas y didácticas que se configuran a partir de la incorporación de las nuevas tecnologías. En este proceso se consideraron los enfoques de Página 137 de 632 enseñanza vinculados a la incorporación de nuevas tecnologías y su impacto en el aprendizaje. Desarrollo de competencias para el uso estratégico de programas en las prácticas de la enseñanza de los docentes de matemática de los niveles universitario y secundario, tales como: PLANILLAS DE CÁLCULO, DERIVE y otros de libre acceso. Diseño de materiales didácticos a partir de los programas informáticos. Diseño de propuestas alternativas de prácticas de enseñanza mediante la articulación de enfoques y herramientas informáticas desde una postura interpretativa y crítica. a. 2. Destinatarios: Docentes de matemática universitarios y preuniversitarios. a. 3. Las propuestas de actividades abarcaron: La lectura e interpretación crítica de los textos sugeridos que se trataron con la modalidad de seminario: lecturas previas y sesión presencial de análisis y debate. Trabajo de laboratorio: encuentros en los que se abordaron el manejo de los programas citados y el diseño de materiales y propuestas alternativas de enseñanza a partir del uso de las herramientas informáticas, según el espacio laboral de cada uno de los participantes. Presentación y defensa frente al grupo de las propuestas y materiales diseñados. El propósito de esta actividad fue promover el análisis y la reflexión sobre las propias prácticas. a.4. Evaluación Estas producciones se ordenaron con la modalidad de un portfolio, entendido como el proceso dinámico mediante el cual los docentes reúnen los datos provenientes de su trabajo y crecimiento profesional, agrupados y redactados con cuidadosa reflexión, compartidos con colegas y presentados para la discusión y el debate sobre las concepciones de la enseñanza. Este portfolio personal de trabajos fue acompañado de una reflexión personal en torno a las siguientes preguntas: ¿Qué interpretación realiza acerca de la incorporación de las TIC´s en la enseñanza y el aprendizaje? ¿Qué percepciones tiene de sus producciones? ¿Puede reconocer aportes del curso en su formación? ¿Cuáles? ¿Cómo pueden impactar estos aportes en sus prácticas de enseñanza? Como instancia final para la acreditación, se solicitó la presentación de una propuesta de enseñanza que incorporara el uso estratégico de software, recuperando las producciones desarrolladas durante el curso y la fundamentación de las decisiones tomadas desde los marcos teóricos trabajados. Para la fundamentación se sugirió tener en cuenta: la intencionalidad que orienta el trabajo en la clase (¿para qué?), los contenidos (¿qué?) y su tratamiento (¿cómo?), la/s estrategia/s de enseñanza implementada/s, el sentido de las actividades que se desarrollan, los recursos necesarios, cómo se articulan teoría y práctica, todo ello sin perder de vista el contexto (nivel educativo, espacios disponibles, institución) de implementación de dicha propuesta de enseñanza. Esta producción podía realizarse en forma individual o grupal, para finalmente presentarla al grupo total para su análisis y debate. a. 5. Duración del curso: Se propusieron diez encuentros de tres horas reloj cada uno para el tratamiento de los contenidos de manera integrada. b) Puesta en acto. Página 138 de 632 El primer encuentro permitió reconocer las distintas posturas de los docentes en actividad con respecto a la incorporación de las nuevas tecnología en sus clases: aquellos que las consideran como una fuente de ilustración, animación y recursos sofisticados que pueden “garantizar” la atención y el aprendizaje de los alumnos, quienes las ven como un recurso para el mejoramiento de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática por la facilitación de los procesos perceptivos, quienes aceptan que los docentes tienen que tener capacidades vinculadas a las tecnologías ante la asimetría que asumen frente al conocimiento de los alumnos y se acercaron al curso sin saber cómo manejar el mouse. Asimismo hubo pedidos recordándonos que en este curso “empezábamos de cero” y expresiones como: No utilizo las TIC‟s en el aula: por desconocimiento personal, lo cual me limita; cuando lo intenté en la Escuela no conseguí las condiciones necesarias, esto es, la sala de computación estaba ocupada en mi horario o el ayudante tenía horarios en los cuales yo estaba ocupada; como tengo mis “limitaciones” con las TIC‟s no me siento capacitada para la elaboración de trabajos prácticos en los cuales pueda hacer un buen uso de la tecnología; para implementar las TIC‟s tendría que elaborar trabajos para que los alumnos aprovecharan el tiempo en sus casas, dificultando así, la tarea de aquellos que no poseen los medios necesarios; para desarrollar una clase con las TIC‟s en el aula no dispongo de los elementos necesarios, ejemplo: cañón, PC, notebook, etc; creo que el problema más grave con el que me enfrento es la falta de tiempo de clase, sobre todo en el Nivel Polimodal. En el caso de los docentes universitarios en general usaban otros programas como MATLAB o MATHEMATICA. En los encuentros posteriores se desarrollaron Guías de Actividades en el Laboratorio de Matemática. El Laboratorio de Matemáticas es una estrategia pedagógica de utilización del material, en la que se encuentra un conjunto de actividades matemáticas para ser desarrolladas autónomamente por los participantes a través del uso de variados materiales, proceso que proporciona un ambiente de aprendizaje en el que se genera la relación entre actividad matemática y material manipulativo, relación que contribuye a la construcción y fundamentación de pensamiento matemático. (Arce, Jorge. www.colombiaaprende.edu.co/html. última consulta: 25-06-09). Estas tuvieron la intencionalidad de que los participantes vivenciaran, experimentaran las potencialidades para el aprendizaje de la matemática que tienen los programas propuestos. El trabajo en laboratorio permitió experimentar con los programas señalados orientándolos con fines didácticos. Estos instrumentos fueron comprendidos como una ayuda para construir conocimientos al hacer accesibles operaciones y manipulaciones que son dificultosas y en algunos casos imposibles con lápiz y papel y permitieron concentrarse en tareas más específicas y dejar al programa las tareas más repetitivas. Los cursantes multiplicaron las pruebas y los errores y así pudieron saber de inmediato los resultados y modificar “a la vista” las estrategias. (En el Anexo se pueden ver los contenidos tratados). El dominio de los programas propuestos obligó a planificar, decidir, encadenar operaciones, y todo esto fue formador de competencias, donde el instrumento se constituyó en secundario en relación con las operaciones cognitivas: memoria, deducción, anticipación, etc. Asimismo el trabajo en laboratorio se realizó en parejas lo que generó la verbalización y debate de hipótesis, el logro de acuerdos para decidir qué operaciones seguir, la toma de decisiones con recursos informáticos que actúan como mediadores. Así mismo en poco tiempo se dieron cuenta que tanto los docentes de nivel secundario como los del universitario en realidad no habían usado con anterioridad el programa EXCEL como se planteaba en el curso (la mayoría no conocía el DERIVE) esto favoreció el clima de colaboración. El reconocimiento de las potencialidades del trabajo con las nuevas tecnologías, particularmente sus aportes en cuanto a la capacidad de experimentar y a la visualización, facilitó la transferencia a las propuestas alternativas de enseñanza. Página 139 de 632 A modo de ejemplo, mostramos propuestas de dos docentes, uno dirigido a alumnos de segundo año de Polimodal y otro destinado a el Curso de Nivelación para ingresantes a la UNS. A) El tema elegido fue función polinómica, el sentido de la actividad es que los alumnos participen, jueguen, interactúen, observen y experimenten, tanto individual como grupalmente, con las herramientas que les brindamos. Problema: El Servicio Meteorológico utilizó como modelo para la variación de la temperatura (en ºC) durante cierto día la siguiente formula T(t) = 0,04 (t3 – 38.t2 + 352.t), donde t está medido en horas, y t = 0 corresponde a 6 horas. Observe la gráfica de T … a) Se quiere averiguar a qué hora del día la temperatura fue de 0º C b) ¿En qué momentos del día la temperatura tomó valores superiores a 0º C? ¿e inferiores a 0º C? c) ¿Cuál fue la mayor temperatura que se registró y a qué hora fue? ¿Y la menor? d) ¿Qué sucedió al día siguiente? e) Compare los resultados obtenidos con sus compañeros y saque sus propias conclusiones. B) Esta actividad está orientada a mostrar cómo se relacionan los valores de la función trigonométrica coseno de un angulo t definida sobre la circunferencia trigonométrica con el gráfico en coordenadas cartesianas de la función x( t ) cos( t ) . Se grafica: la circunferencia trigonométrica de radio 1; sobre ella un punto (en color blanco) de coordenadas x( t ), y ( t ) cuyas coordenadas varían a medida que se arrastra la barra de desplazamiento situado debajo. En rango de desplazamiento de la barra es entre 0 y 150 y los valores de la variable t asociados varían entre 0 y 2 ; la abscisa del punto que es por definición el coseno del ángulo entre el radio vector del punto y el eje x ; el gráfico de la abscisa en función del ángulo t , es decir la función x( t ) cos( t ) ; y sobre ella un punto (en color negro) que también se desplaza al mover la barra de desplazamiento. Página 140 de 632 x=cos(t) circ. trigonométrica pto. s/circ. 1 x(t) punto s/sen 0 -1 cos(t) 0 1 2 3 4 -1 t 5 6 7 abscisa del pto. s/circ. ordenada del pto. s/cos APORTES Y REFLEXIONES DE LOS PARTICIPANTES Nos interesa transcribir algunas opiniones y reflexiones de los cursantes. En contraste con la situación del inicio, al finalizar el curso los docentes manifestaron, a partir de sus propias prácticas, los nuevos enfoques y posibilidades que el mismo les brindó * El curso cumplió con nuestras expectativas, abriéndonos las puertas a las TIC‘s de manera clara, siendo muy interesantes y didácticos los temas y actividades seleccionados. Hemos tenido la posibilidad de comenzar a familiarizarnos con el uso de las nuevas tecnologías y distintas propuestas didácticas para incorporarlas en la enseñanza y aprendizaje. * Reconocemos la necesidad de estar capacitados para utilizar las TIC‘s en nuestra práctica profesional ya que a lo largo del curso hemos podido apreciar que las mismas nos dan la posibilidad de contar con recursos versátiles para desarrollar capacidades de selección, organización, retención, recuperación e interpretación de la información, y especialmente el desarrollo de las correspondientes estrategias. Está en nosotros sacar provecho de estas herramientas y diseñar actividades que motiven y generen aprendizajes significativos en nuestros alumnos. * El curso aportó mucho a mi formación docente, porque si bien conocía y utilizaba el software EXCEL, nunca me imaginé que lo podía utilizar tanto como herramienta para la matemática y para la enseñanza de la misma. Me han motivado mucho las actividades propuestas en el curso, el mismo me hizo ver que hay mucho por seguir aprendiendo, descubriendo, (…) hay que sentarse y trabajar, (…) y sobre todo a no tener miedo a enfrentarse a las TIC´s, son sólo herramientas de trabajo. * Al principio del curso me veía muy limitada con esto de incorporar las TIC´s, todavía me siento limitada, pero me brindaron herramientas para perderles el miedo a no poder utilizarlas, y me mostraron que ―metiéndose‖ y probando se puede aprender, además de también hacerlo a través de una capacitación con profesionales que tienen un buen manejo del tema. * Creo que me dio muchos aportes el curso. Primero desconocía totalmente lo que se podía hacer con Excel y así y todo hay muchas cosa que todavía no sé. No conocía el software Derive y lo accesible que es, por eso creo que esta al alcance de los chicos, me refiero a la complejidad. * Considerando que una de las integrantes del grupo se encuentra actualmente trabajando en un curso de 2° polimodal, decidimos adaptar este trabajo a este nivel educativo teniendo en cuenta el contexto y la institución en la que se encuentra, (…) cuenta con un gabinete de computación con los recursos básicos para trabajar. Es por ello que la propuesta fue pensada para ser aplicada en Excel dado que es un programa que está disponible en cualquier computadora. * El trabajo final, lo pensamos como una actividad que consideramos puede ser llevada a cabo, ya que intentamos adaptarlo a un curso real, con su contexto particular, tarea que nos resultó interesante como cierre de este taller y un gran aporte en nuestras prácticas de enseñanza. Página 141 de 632 Los aportes del curso son notorios, el hecho de sentarse frente a una computadora e investigar y experimentar con EXCEL Y DERIVE constituyó el primer paso para la incorporación de estas nuevas tecnologías en nuestras prácticas A MODO DE CIERRE La propuesta del curso ha sido la incorporación de las nuevas tecnologías en la formación docente continua con el foco puesto en su uso como herramienta para la enseñanza y el aprendizaje. Trabajamos con programas que nos permitieron el uso de distintos registros de representación y que son de fácil manejo desde su sintaxis. La revolución tecnológica está instalada. Los alumnos manejan celulares, el chat, navegan por internet, participan en foros virtuales, en blogs y tal como dice Cabero ninguna institución educativa puede quedar fuera de este marco. Sin embargo debe quedar claro que no basta con que se cuente con un laboratorio. El uso de las nuevas tecnologías constituyen un desafío tanto para el docente como para el investigador en Educación Matemática que tiene el compromiso de investigar sobre sus posibilidades educativas. Una cultura tecnológica de base es necesaria para pensar las relaciones entre la evolución de los instrumentos (informáticos e hipermedias), las competencias intelectuales y la relación con el saber que las instituciones educativas pretenden lograr. Las nuevas tecnologías fortalecen los trabajos pedagógicos y didácticos en tanto permiten crear situaciones de aprendizajes enriquecedoras, complejas y diversificadas (Perrenoud, 2004). Para concluir recuperamos estas palabras de Edith Litwin (2002): ―El problema no es fácil, porque más de una vez logramos potenciar las propuestas educativas, pero en esta posibilidad de potenciar las propuestas educativas tenemos también que pensar los tiempos que cada uno de nosotros como docentes necesitamos para poder hacerlo. Cada vez que aparecen nuevas posibilidades, nuevos problemas, nuevos entornos comunicacionales, nos encontramos con que necesitamos tiempo para pensar las nuevas propuestas, para realizarlas, para revisarlas y para mejorarlas. Y estos son los problemas que hoy tenemos. Son problemas difíciles de resolver en los difíciles contextos de práctica, pero evidentemente están a nuestra disposición. Si salimos del pensamiento maniqueo, si salimos de la tecnofobia y de la tecnofilia, podemos encontrar excelentes ayudas para mejorar nuestras propuestas‖. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Kutzler, B.; Kokol–Voljc, J. (2000): Introducción a derive 5. España. Derisoft. Perrenoud, Ph. (2004) Diez nuevas competencias para enseñar. Barcelona. Grao. Litwin, Edith (2002) ¿Cómo trabajar con tecnología en la escuela? Conferencia disponible en la página: http://www.educared.org.ar/conferencias/litwin.asp. El-Gebeily, M.; Yushau, B: (2005) Curve Graphing in MS Excel and Applications. 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Página 142 de 632 ANEXO Trabajando con EXCEL Descripción general de una Hoja de Cálculo y de cómo se introducen comandos en una celda para efectuar operaciones; construcción de sucesiones numéricas definidas en forma recurrente, destacando las ventajas que da la posibilidad de copiar un comando en celdas sucesivas, para simplificar las operaciones que deben ser reiteradas; construcción de tablas de valores de funciones; de los comandos para dar formatos condicionales a las celdas, permitiendo resaltar aspectos de interés; observación de diversas formas de introducir los valores que permiten resaltar distintas propiedades de las operaciones de suma y producto. Estudio de las distintas formas de construir gráficos de sucesiones numéricas y de funciones. Introducción de nombres a celdas o grupos de las mismas, lo que permite el uso de variables para referirnos a ellas. Implementar barras de desplazamiento, que permitan construir gráficos dinámicos. Análisis de funciones dadas en forma cartesiana, paramétrica o usando coordenadas polares. Construcción de gráficos dinámicos que permiten comprender el papel de los distintos parámetros que puedan intervenir en la expresión de una función. Funciones lineales, cuadráticas, circulares, etc. Construcción de gráficos dinámicos que permiten visualizar en forma interactiva la dependencia de la evolución del fenómeno, de los datos iniciales o de algún parámetro que controle el sistema, introduciendo la idea de comportamiento caótico de sistemas no lineales en el estudio de la evolución de sistemas dinámicos discretos. Se estudian los comandos necesarios para definir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones no lineales: en particular el método de bisección y el de Newton. Estudio de gráficos dinámicos, por medio de comandos que permiten la introducción de puntos o rectas móviles sobre el gráfico de una curva dada. Trabajando con DERIVE Introducción al manejo del programa y uso de los comandos necesarios para introducir expresiones algebraicas, realizar operaciones y pasar de la ventana de ALGEBRA a la de GRÁFICOS EN 2 DIMENSIONES, lo que permite pasar fácilmente de una representación a la otra y entender mejor el comportamiento de algunas funciones. Representación gráfica de varios miembros de una familia de funciones que depende de un parámetro, por el uso del comando VECTOR. Resolución de ecuaciones e inecuaciones en forma analítica y gráfica. Presentación de informes en la ventana de álgebra con textos y gráficos incorporados. Lecturas complementarias que generaron debate: Burbules, N.; Callister, T. (2001): Educación: Riesgos y promesas de las nuevas tecnologías de la información. Granica. Buenos Aires. Las promesas de riesgo y los riesgos promisorios de las nuevas tecnologías de la información en Educación. pp 13 - 39 Cabero Almenara, J. (2004): Formación del profesorado en TIC. El gran caballo de batalla. Comunicación y Pedagogía. Tecnologías y recursos didácticos.pp.27-31 Stone Wiske, M. (2006): Enseñar para la comprensión con nuevas tecnologías. Paidós. Buenos Aires. Aplicar las nuevas tecnologías a la enseñanza para la comprensión pp. 51; 64. Página 143 de 632 ANÁLISIS DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS A TRAVÉS DE SUS REPRESENTACIONES Haydeé Blanco Argentina [email protected] Nivel Educativo: Medio Palabras clave: visualización, perspectiva, prototipo, socioepistemología. Resumen Se presenta en este trabajo una investigación acerca del análisis de las representaciones visuales que realizan los estudiantes de los cuerpos poliédricos en el plano realizando una propuesta de aplicación de geometría dinámica. El objetivo de esta investigación es indagar de qué factores depende la representación de cuerpos geométricos y explorar la influencia del estudio y aplicación de elementos de perspectiva sobre la visualización de objetos tridimensionales en alumnos de escuela media. Se realizó en primer lugar, una recopilación de antecedentes e investigaciones orientadas a poner de manifiesto las falencias observadas en el aula de matemática respecto de las representaciones bidimensionales de configuraciones tridimensionales, las cuales se apoyan sobre algún conocimiento de la geometría bidimensional y los motivos por lo que estas habilidades no se han desarrollado y que traen aparejados muchos inconvenientes en el momento de tener que aplicarlos a situaciones que involucren manejo geométrico. Los resultados obtenidos muestran evidencias de un acercamiento a soluciones que permitan a los alumnos lograr estos objetivos y, respecto de los profesores, que comprendan la necesidad de enseñar geometría tridimensional basándose en aquellos conceptos que lleven al alumno a manejarse correctamente con los conocimientos matemáticos, evitando en lo posible las dificultades actuales. Objetivo Indagar de qué factores depende la representación de cuerpos geométricos y explorar la influencia del estudio y aplicación de la perspectiva sobre la visualización de objetos tridimensionales en alumnos de escuela media. Este trabajo se basa en la visualización, ya que se intenta un análisis de las representaciones visuales que realizan los estudiantes de los cuerpos poliédricos en el plano, a través de algunas propuestas de aplicación. Marco teórico Muchos investigadores han realizado reflexiones acerca de la visualización en el aula de matemática desde diversos marcos teóricos y en relación a distintos contenidos de la matemática. En este trabajo, nos centraremos en las representaciones que se realizan de cuerpos geométricos tridimensionales y vamos a presentar algunas de ellas, teniendo en cuenta en el análisis de las distintas concepciones acerca de la visualización, la doble interpretación del concepto: como un proceso mental de formación de imágenes y como una competencia deseable para obtener conocimiento matemático. Presmeg (1986) sostiene: “El currículum escolar de matemáticas, en el que el logro es medido a través de los resultados de los exámenes, favorece al pensador no visual y, en la mayoría de los salones de clase, la enseñanza enfatiza los métodos no visuales”. Los trabajos de Vinner (1989) y Eisenberg y Dreyfus (1990) hacen mención de la reticencia por parte de los estudiantes del uso de consideraciones visuales. Consideran que prevalece el pensamiento algorítmico sobre el visual. Página 144 de 632 Bishop (1985) habla de “ayudas visuales” no de imágenes visuales ya que la habilidad de interpretación de información aparece expresada en general y apartada del procesamiento visual. No se indica la transformación de información obtenida en forma simbólica en alguna forma de información gráfica. Menciona a la computadora como importante en dicho proceso. Las primeras explicaciones teóricas sobre las representaciones gráficas de cuerpos geométricos consistían en argumentos cognitivos resultado de las experiencias de aula. Vinner (1983) y Tall (1996) crearon los términos imagen del concepto y definición del concepto para explicar cómo el estudiante usaba dichas imágenes para resolver problemas. Tenemos tres elementos: la imagen del concepto, la definición del concepto, un grupo de operaciones mentales Algunos aspectos en el aprendizaje de la Geometría. El espacio en la escuela Reflexionando sobre cómo aprende geometría un niño, vemos que lo hace experimentando e interactuando con su entorno. Según Alsina (1992), el conocimiento del espacio geométrico considera dos instancias: la correspondiente a la intuición: etapa intuitiva y la de naturaleza verbal: etapa lógica. En la etapa intuitiva: se dan tres momentos: La percepción y visualización a través de la construcción del espacio geométrico a partir de su entorno. La manipulación a través de la modelización de percepciones con el manejo de materiales didácticos. El descubrimiento y enunciación de conjeturas, a través de la apreciación de regularidades, propiedades. En la etapa lógica: se dan dos momentos: La validación y comunicación, a través de la demostración y comunicación de sus conjeturas. La relación, a través de la posibilidad de expresar un mismo concepto de formas diferentes. Pallascio (1985), considera cinco niveles: visualización, estructuración, traducción, determinación y clasificación. Visualización: después de haber observado un objeto, radica en memorizar imágenes parciales a fin de reconocer objetos iguales o semejantes a través de un cambio de posición o de escala, entre un conjunto de objetos ante un mismo diagrama. Estructuración: una vez visualizado el objeto, la estructuración reside en el reconocimiento y reconstrucción del objeto partiendo de sus elementos básicos. Traducción: se basa en el reconocimiento de un objeto a partir de una descripción literaria y viceversa. Determinación: reside en el reconocimiento de su existencia partiendo de la descripción de sus relaciones métricas. Clasificación: reside en el reconocimiento de clases de objetos equivalentes de acuerdo a distintas pautas de clasificación. Desarrollo del pensamiento geométrico y visualización Los estudiantes presentan serias dificultades con las representaciones visuales de los cuerpos poliédricos en el plano (por ejemplo: cubos o pirámides). Estas dificultades también se reflejan en actividades en las que deben poner en juego la visualización de propiedades geométricas de cuerpos representados o bien de cuerpos que deben imaginar. El paradigma de la enseñanza que sigue el sistema educativo argentino, está centrado fundamentalmente en un enfoque axiomático deductivo y en la resolución de problemas que en muchas oportunidades se orientan a lo algorítmico. Como ninguna de las representaciones planas de cuerpos geométricos que realizan los alumnos corresponde por completo a la realidad, es útil que pueda manipular varias para utilizar la más conveniente en cada caso. Página 145 de 632 Parszyz (1988) se refiere a la existencia de distintos niveles de representación de cuerpos geométricos, a los que les corresponden distintas cantidades de información perdida. El primer nivel corresponde a la representación de cuerpos tridimensionales en madera, cartulina o varillas. En estos casos se pierde información. El segundo nivel, según Parszyz, corresponde a las representaciones bidimensionales. Debemos tener en cuenta que la información que se mantiene se debe al hecho de compartir determinados códigos, pues determinados datos objetivos se traducen siempre de la misma manera. Parszyz (1988) lo denomina “restitución del significado”. De no conocerse los códigos se tendría una lectura equivocada de las representaciones planas. Construcción utilizando la Proyección Paralela o Perspectiva Cavalieri Cubo - Proyección en Perspectiva con 1 punto de fuga. Construcción utilizando la proyección en Perspectiva con Puntos de Fuga Línea de horizonte a Punto de fuga la altura de los ojos Cubo - Proyección en Perspectiva con 1 punto de fuga. Cómo evoluciona la habilidad del dibujo en perspectiva Mitchelmore (1976, 1980) describe el desarrollo de la habilidad de representación en perspectiva y propone cuatro etapas. Etapa 1: Esquemática plana. Se representan las figuras dibujando una de sus caras ortogonalmente. Página 146 de 632 Etapa 2: Esquemática espacial. Las figuras se representan dibujando varias de sus caras ortogonalmente y a veces incluyendo caras ocultas. Etapa 3: Pre-realista. Se muestran intentos de representar los cuerpos de una manera realista y dotarlos de profundidad, aunque sin lograrlo. a.- b.- Etapa 4: Realista. Los dibujos siguen aproximadamente las reglas del dibujo en perspectiva, en particular las que aluden a las líneas que convergen en un punto del infinito (Gutiérrez, 1998). La herramienta tecnológica como recurso para las representaciones gráficas En opinión de Trouche (2005): A lo largo de la historia las herramientas han provocado cambios en el terreno educativo, e incluso en el de los matemáticos profesionales. La aparición de las calculadoras y computadoras en la clase de matemática, no responden a una necesidad de este sector educativo, sino que forman parte de una evolución de las herramientas más general. Principal hipótesis de trabajo Influencia de los prototipos En las clases de Geometría, tratando de mejorar la comprensión de los conceptos enseñados, se dan ejemplos modelizadores de esos conceptos (figuras tipo o prototipos), que si bien son necesarios, tienen sus ventajas y desventajas (Hershkowitz, 1990). Experiencia con alumnos Dadas las dificultades observadas en cuanto a la representación gráfica de cuerpos geométricos en el plano, se realizó una experimentación con alumnos de 4° año especialidad bachiller (con nociones de perspectiva) y 4to año especialidad comercial (sin nociones de perspectiva) para evidenciar los problemas existentes. Se les pidió lo siguiente: 1. Dibuja un cubo 2. Dibuja una pirámide 3. Veamos ahora una tablilla con 3 agujeros: uno cuadrado, otro rectangular y otro con el formato indicado en la figura. Página 147 de 632 Un tapón para tres orificios Resultados de la experimentación • • • • se notan influencias de prototipos "diestros" y "zurdos" "aprenden" las representaciones prototípicas estrategia que había resultado exitosa en el caso del cubo, no lo fue en el caso de la pirámide el que los estudiantes tuvieran conocimientos previos de nociones de perspectiva, ayudó a la obtención de mejores resultados. Representando poliedros en el aula La realización de figuras planas es para los estudiantes problemática. Para obtener una buena representación, ésta debe transmitir al que observa igual cantidad de información que el cuerpo tridimensional que representa (Gutiérrez, 1998). Se diseñaron algunas actividades que se pusieron en práctica en el aula y que a continuación se describen y reportan. Una experiencia en el inicio del estudio de los poliedros utilizando material concreto Se eligió un aula de 1° año para la realización de esta experiencia. No poseen experiencia previa en la representación de cuerpos geométricos en el plano. La experiencia constó de siete etapas, que no se realizaron en el mismo módulo de clase, debido al tiempo que insumieron. Primera etapa Se propuso al curso, separado en grupos de 4 o 5 integrantes, la construcción de figuras tridimensionales cerradas y limitadas por polígonos con distintos materiales: plastimasa, sorbetes, cartulina, maderitas, etc. Cada grupo trabajó con distinto material. Respondieron: • ¿Cuáles son sus elementos? • ¿Qué características tienen? • ¿Qué dificultades encuentran para poder construirlos? Representación con materiales concretos (1° nivel de Parszyz) (1988). Segunda etapa En nuestra experiencia en el aula, al realizar en clase el cubo de la figura formado por varillas y pedirles a los alumnos una representación del mismo, uno de los estudiantes, espontáneamente utilizó su teléfono celular para fotografiarlo y así obtener la representación pedida. Representación en perspectiva (2° nivel de Parszyz). Definición de poliedro Pallascio (1985) visualización estructuración Tercera etapa Se avanzó respecto de la visualización para trabajar la traducción y determinación. (Pallascio) Página 148 de 632 Se orientó a lograr comunicar y organizar las ideas; lo que habilitó el camino para lograr clasificaciones. • Describa un poliedro de diferentes maneras. Coteje su descripción con las de sus compañeros. • Proponga una descripción de un poliedro y solicite a un compañero que lo construya. Cuarta etapa Se les pidió a los alumnos que trataran de descubrir regularidades respecto de los elementos del poliedro: caras, vértices, aristas, etc. El descubrimiento de regularidades permitiría elaborar distintos criterios de clasificación de poliedros. Se les propuso: • Existen poliedros convexos y poliedros no convexos. Y se les preguntó: • ¿A partir de qué observaciones pueden descubrirse estas regularidades? Quinta etapa Nuevamente se insistió en la elaboración de conjeturas a partir de regularidades. Nuestro objetivo era lograr trabajar la fórmula de Euler para poliedros convexos. • Cuente vértices, caras y aristas del poliedro que construyó y trate de relacionar estas cantidades. • ¿Cómo podría probar esa relación, que se denomina fórmula de Euler vinculada a los poliedros convexos? Sexta etapa Sobre los logros obtenidos en esta etapa intuitiva se debe desarrollar la etapa lógica, caracterizada por la validación de conjeturas por parte del alumno a partir de la percepción espacial. Se propuso la construcción de poliedros con caras regulares congruentes en los que en cada vértice concurrían el mismo número de aristas. Para ello se les dio a cada grupo plantillas para construir uno de los cinco poliedros regulares. Se les dijo a los alumnos que recibían el nombre de poliedros regulares y se conjeturó que no era posible que existieran otros. Séptima etapa En un intercambio con los alumnos de 4to Bachiller, los alumnos de 1º que estaban participando de la experiencia visitaron el laboratorio de informática en el que alumnos de 4º habían programado representaciones en perspectiva de cubos. Los alumnos de 4º les mostraron cubos en distintas posiciones. Entre los de 1º año, surgieron las siguientes observaciones por parte de ellos: • Vemos a los poliedros con más posiciones diferentes sobre la pantalla, que sobre los libros de texto. • Es como tener muchas fotos de los cubos. • Vemos fotos de todas las partes, aún de lo que está atrás. Página 149 de 632 Una experiencia con alumnos, utilizando geometría dinámica para representar gráficamente poliedros En esta experiencia se trabajó con un grupo de alumnos de 4° año Bachiller, fuera del horario de la asignatura matemática, en la clase de computación. Tienen buen manejo de las herramientas informáticas y habían recibido nociones de utilización del software Cabri Géomètre. Primera etapa Comenzamos la experimentación, indicando a los alumnos que construyeran un cubo. Esta representación se encuentra en Perspectiva Cavalieri o Paralela, aunque no es la manera usual en que la hacemos con lápiz y papel. Segunda etapa Comenzamos esta etapa, indicando a los alumnos que construyeran nuevamente un cuadrado. Esta construcción corresponde a una Perspectiva con un punto de fuga. Al mover el punto elegido sobre el horizonte, los alumnos observaron la manera en la que se transforma la representación del cubo. Tercera etapa Con instrucciones similares a las anteriores, solicitamos a los alumnos que construyeran la representación de un cubo a partir de dos puntos sobre el horizonte (perspectiva con dos puntos de fuga). No sólo se obtuvieron prototipos, sino que fue posible observar el cubo en distintas posiciones, favoreciendo a un conocimiento real del mismo. Algunos comentarios de las experiencias realizadas Consideramos que a través de este tipo de actividades en las que el alumno combina representaciones con materiales concretos y geometría dinámica, es posible que el estudiante rompa los obstáculos clásicos del manejo de representaciones de cuerpos en el espacio, ya que puede lograr ampliar la manera en la que logra visualizarlos. Acerca de cubos y sus representaciones. Reporte de una entrevista a una estudiante Por último se realizó una entrevista a una estudiante adulta, intentando indagar acerca de sus opiniones y visión acerca de las representaciones planas de los cuerpos geométricos. Es estudiante de un postítulo de Especialidad en Informática Educativa y su título de base es Profesora de Biología. Esta alumna está aprendiendo a manejar ciertos elementos de geometría dinámica con Cabri en la asignatura Recursos tecnológicos aplicados a la enseñanza de las ciencias. Se observó: - En el comienzo de la entrevista se pusieron de manifiesto las ideas de Fischbein (1993) al plantear la diferencia entre un objeto geométrico y su representación. - La utilización de los prototipos, los cuales tienen mucha influencia en el aprendizaje de los alumnos, ya que van incorporando ciertas figuras como únicas, o casi únicas. Vemos que la influencia de libros y docentes no es solamente un factor didáctico, sino que también es social. Tras realizar la estudiante las representaciones con Cabri, observamos su influencia en la comprensión de las representaciones planas con uno y dos puntos de fuga: El papel del Cabri, si bien fue importante debido al aprovechamiento de la potencialidad de la geometría dinámica, se redujo a su uso como una herramienta. Hemos detectado con claridad el peso de las representaciones prototípicas y la fuerte influencia de su carácter social. Página 150 de 632 Principales resultados En esta investigación, se detectaron inicialmente por parte de los alumnos grandes dificultades en la representación de cuerpos geométricos al intentar describir y argumentar las características de los cuerpos y sus propiedades. La experimentación llevada a cabo inicialmente, puso de manifiesto las falencias observadas en el aula de matemática respecto de las representaciones bidimensionales de configuraciones tridimensionales, las cuales se apoyan sobre algún conocimiento de la geometría bidimensional y los motivos por lo que estas habilidades no se han desarrollado y que traen aparejados muchos inconvenientes en el momento de tener que aplicarlos a situaciones que involucren manejo geométrico. Las dificultades se manifestaron sobre todo en estudiantes que no habían tenido acceso previamente a nociones de perspectiva a través del dibujo técnico. En los resultados obtenidos, fue posible detectar la presencia de prototipos de representaciones de cuerpos tridimensionales, tanto para cubos como para pirámides. También se evidenció en esta experimentación intentos de los estudiantes para transferir la manera en la que representan un cubo a la representación de pirámides. Estos intentos no fueron exitosos, ni pudieron los alumnos darse cuenta de sus errores al respecto por no poseer una buena imagen mental de las pirámides. Los alumnos tienen problemas en el diseño e interpretación de representaciones planas de cuerpos geométricos tridimensionales. Esto podría estar reflejando la poca importancia que se da a la geometría, en particular a la tridimensional, en la escuela. Tenemos imágenes mentales incorporadas para la representación de cuerpos matemáticos en el plano. Al oír la palabra “cubo”, visualizamos una imagen que se une al prototipo que se utilizó en la escuela o en los libros de texto. Esa imagen mental es evocada por la palabra “cubo” y así se puede visualizar al mismo y sus características. Para lograr el concepto de “cubidad”, será necesario conocer y ser capaces de imaginar y visualizar al cubo en cualquier posición, pudiendo así conocer todas sus propiedades y siendo capaces de utilizar la visualización en sus dos interpretaciones, como proceso mental y como competencia para construir conocimiento. En la forma en que se construyen las representaciones planas de poliedros, se pone de manifiesto la influencia de lo didáctico y lo social a través de las representaciones prototípicas que se realizan en la escuela. En cada escenario se van construyendo formas de representar que son asumidas por los actores del mismo. En el uso de prototipos es posible identificar un aspecto didáctico a través de su utilización con el fin de transmitir conocimiento por parte de libros de texto y docentes, su carácter social se evidencia en que nuestra sociedad ha asumido el uso de algunos como correctos y estandarizados, por otra parte, su influencia cognitiva se manifiesta en la influencia que tiene en la formación de imágenes mentales. Pensamos que es necesario que los estudiantes aprendan a dibujar y a leer las representaciones planas de cuerpos tridimensionales, para poder comprender la geometría espacial y facilitar la comprensión de materias como el Cálculo Diferencial e Integral, donde los alumnos encuentran serias dificultades no sólo en la escuela media sino también en la enseñanza superior. Observamos, como se muestra en las experiencias realizadas en esta investigación que resulta muy trabajoso este proceso no sólo con cuerpos que deben representar sino también con cuerpos que deben imaginar. Tratamos con esta investigación de ir acercándonos a soluciones que permitan a los alumnos lograr estos objetivos y, respecto de los profesores, que comprendan la necesidad de enseñar geometría tridimensional basándose en aquellos conceptos que lleven al alumno a manejarse correctamente con los conocimientos matemáticos, evitando en lo posible las dificultades actuales. Para lograr este objetivo pueden no sólo utilizar el dibujo manual, sino también el trabajo a partir de materiales concretos, la utilización de recursos tecnológicos como las fotografías y programas con las potencialidades de la geometría dinámica. Página 151 de 632 Los estudiantes que aprenden formas de representar cuerpos geométricos a través de la geometría proyectiva, si bien pueden reconocer su importancia en relación a la proximidad con la manera en la que ven los objetos, muestran preferencias por aquellas que se asemejan a las que construyeron con anterioridad. A partir de la entrevista presentada al final, podría respaldarse la idea de que las representaciones planas que surgieron a través de la historia del arte muestran también a las mismas como una construcción social. Por ejemplo, si aceptamos esto, las culturas que no tuvieron representaciones que permitieran ver la idea de profundidad, como los egipcios, los mayas o los chinos, no podrían verse como representaciones imperfectas de la realidad, como a veces se han considerado. Sino que podría pensarse que ellos fueron capaces de interpretar a través de las mismas la idea de profundidad y otras características tridimensionales pues respondían a prototipos de representación que habían construido. A nosotros nos parecen planas porque nuestras representaciones pictóricas ya han incorporado elementos proyectivos que nos permiten visualizar el espacio de manera distinta. Esta visión permitiría comprender a las representaciones planas de objetos tridimensionales como construcciones socioculturales. En un escenario como el actual, en el que la tecnología ha cobrado cada vez un papel más central y en el que nuestros alumnos ven a la velocidad de los avances tecnológicos actuales como algo natural, consideramos que es imprescindible el aprovechamiento en el aula de todos los recursos a nuestro alcance para poder obtener mejores modos de visualización de los cuerpos geométricos. Referencias Bibliográficas Alsina, C. (2005). Los secretos geométricos en diseño y arquitectura. En Curso Interuniversitario Sociedad, Ciencia, Tecnología y Matemáticas. Bishop, A. J. (1992). Implicaciones didácticas de la investigación sobre visualización. Antología en Educación Matemática. México: Cinvestav. (pp. 29-42). Eisenberg, T. y Dreyfus, T. (1990). On the Reluctance to Visualize in Mathematics. In Zimmermann W. & Cunningham S. (Eds), Visualization in Teaching and Mathematics (pp. 25-37), MAA Series. USA. Fischbein, E. (1993). The Theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics, pp. 139-162. Gutiérrez A. (1998). Las representaciones planas de cuerpos 3-dimensionales en la enseñanza de al Geometría espacial. Revista Ema. Vol. 3, N° 3, 193-220. Hershkowitz R. (1990). Psychological aspects of learning geometry. En Nasher, P. y Kilpatrick, J. (ads.). Mathematics and cognition: A research síntesis by the Internacional Group for the psychology of mathematics education; pp. 70-95; Cambridge, Cambridge U.P. Mitchelmore, M. C. (1980). Prediction of developmental stages in the representation of regular space figures. Journal for Research in Mathematics Education, 11 (2), 83-93. Mitchelmore, M. C. (1983). Geometry and spatial learning: Some lessons from a Jamaican experience. For the Learning of Mathematics, 3 (3), 2-7. Parszyz, B. (1988). Knowing vs. seeing. Problems of the plane representation of space geometry figures. Educational Studies in Mathematics, 19, 79-92. Presmeg, N.C. (1986). Visualization in high school mathematics. En For the learning of mathematics. Vol 6; (3) pp. 42-46. Tall, D. (1996). Functions and calculus. En A. L. Bishop et al. (Eds.), International handbook of mathematics education (pp. 289-325). Netherlands: Kluwer. Trouche, L. (2005). Calculators in mathematics education: A rapid evolution of tools, with differential effects. En D. Guin, K. Ruthven y L. Trouche (Eds.), The Didactical Challenge of Symbolic Calculators. Turning a Computational Device into aMathematical Instrument (pp. 9 - 39). New York, U.S.A.: Springer. Página 152 de 632 Vinner, S. (1983). Concept definition, concept image and the notion of function. International Journal of mathematics education, science and technology 14 (3), 293 – 305. Vinner, S. (1991). The role of definitions in the teaching and learning of mathematics. En D. Tall (Ed.), Advanced mathematical thinking; Mathematics Education Library. Página 153 de 632 ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS Silvia Salomone - Ana Mabel Juárez Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires – República Argentina [email protected] - [email protected] Nivel Educativo: Medio - Terciario – Universitario Palabras Clave: estrategias – resolución de problemas – procedimientos heurísticos Resumen La resolución de problemas juega un papel fundamental en la enseñanza de la Matemática, en todos los niveles educativos. En el caso que nos ocupa, nivel universitario, se refleja en los perfiles profesionales, cuando se plantea la necesidad de formar un profesional con un nivel de desarrollo de las habilidades en la resolución de problemas que le permitan enfrentar con éxito las tareas y retos de su futura esfera profesional. Mediante la resolución de problemas, los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de las Matemáticas en el mundo que les rodea. Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas; no hay un conjunto de procedimientos o métodos que aplicándolos lleven necesariamente a la resolución del problema (aún en el caso de que tenga solución) pero sí se encuentran indicaciones generales, que ayudan, en alguna medida, a las personas que intentan resolverlos. Estas indicaciones están contenidas en los llamados elementos heurísticos. Es por ello, que resulta de gran utilidad para los alumnos conocer técnicas y procedimientos, pero vistos en acción, como recursos básicos a través de los cuales es posible desarrollar esta importante capacidad para que se enfrenten con mayor seguridad y confianza a la hora de resolver problemas. En consecuencia, hay que hacer cuantos esfuerzos sean necesarios para que la resolución de problemas sea el núcleo central de la enseñanza matemática. En ese sentido, se propone en este trabajo la enseñanza de algunos procedimientos heurísticos como un aporte significativo para contribuir al desarrollo de tan importante habilidad. Introducción Una de las tendencias actuales en educación matemática es poner mayor énfasis en el desarrollo de procesos de pensamientos más que en la mera transferencia de contenidos o de recetas adecuadas en cada materia. De Guzmán (1993) afirma que, en este mundo tan rápidamente cambiante, vale mucho más acumular procesos de pensamiento útiles, que de contenidos. En esta dirección se encauzan los esfuerzos por transmitir estrategias heurísticas adecuadas para la resolución de problemas en general, interpretándolas como medio, modelo y fin del trabajo en el aula de matemática, como también, estimular la resolución autónoma de verdaderos problemas. La matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido. Por ello se concede una gran importancia al estudio de las cuestiones referidas a los procesos mentales de resolución de problemas. El proceso de resolución de problemas es muy complejo, teniendo en cuenta las distintas facetas que se debe recorrer hasta llegar a su solución, si existe, como también el conjunto de acciones y operaciones que se desarrollan desde el reconocimiento del mismo hasta la valoración de la respuesta encontrada. Por otro lado, son muchas las dificultades que se observan en los alumnos cuando se enfrentan con los problemas, en muchos casos les parece una tragedia, experimentando grandes desilusiones. Se considera, entonces, imprescindible brindarles a los alumnos estrategias de resolución de problemas que le permitan guiarlo en las distintas etapas por las que debe transitar. Página 154 de 632 Fundamentación Teórica Son muchos los textos que abordan la definición de un problema (Polya, 1969, Schoenfeld, 1991), pero todas conceptualmente parecidas. En todas ellas, se encuentran en común el hecho de que una situación solamente puede concebirse como un problema, en la medida en que no se disponga de procedimientos de tipo automático para solucionarla de forma inmediata, sino que requiere de un proceso de reflexión o toma de decisiones sobre los pasos a seguir. El proceso de resolución de problemas es muy complejo, teniendo en cuenta las etapas que se debe transitar y las acciones a desarrollar desde el reconocimiento del mismo hasta la valoración de la respuesta encontrada. En el campo de la resolución de problemas matemáticos es innegable la contribución de G. Polya. El modelo que propone coincide en sus rasgos más generales con otros más actuales. Según el clásico modelo de Polya, las cuatro fases a seguir en la actividad de resolución de problemas son: comprender el problema, concebir un plan, ejecución del plan y examinar la solución obtenida. Si bien no existe una forma exacta de proceder, que lleve a la solución de cualquier tipo de problema matemático, sí se han elaborado indicaciones generales, que permiten guiar en alguna medida, a las personas que estén tratando de resolver un problema. Estas indicaciones están contenidas en lo que se suele llamar elementos heurísticos. Entre sus principales componentes están los medios auxiliares heurísticos y los procedimientos heurísticos. Dentro de estos últimos se encuentran los principios heurísticos de analogía, inducción, reducción y generalización; las reglas heurísticas que representan impulsos en el proceso de búsqueda de solución y las estrategias heurísticas de trabajo hacia adelante o método sintético y de trabajo hacia atrás o método analítico. La Psicología del Aprendizaje sostiene que los alumnos que se apropian de procedimientos que apoyan la realización consciente de actividades mentales exigentes, llegan a mejores resultados en el proceso de resolución de problemas. Estos procedimientos se basan en la heurística, y son llamados procedimientos heurísticos. “Un procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas, orientadas a la consecución de una meta” (DCB, pp. 41-42). Se pueden señalar los rasgos característicos de todo procedimiento: - que se refieren a una actuación. - que no es una actuación cualquiera, sino ordenada. - que esta actuación se orienta hacia la consecución de una meta. Es decir, lo que se propone al aprendizaje de los alumnos son conjuntos de actuaciones cuya realización permite llegar finalmente a determinadas metas. Esto es lo que se pretende, de un modo fundamental, con la inclusión de los procedimientos en el currículum. Trabajar los procedimientos significa, en definitiva, revelar la capacidad de saber hacer, de saber actuar de manera eficaz. Entre los diferentes tipos de procedimientos se pueden mencionar los de componente motriz y los de componente cognitivo. En cualquier actividad humana la acción externa (acción corporal observable en forma directa) y la acción interna; que no es tan evidente, se complementan y son como dos caras de una misma moneda. Esta clasificación se basa en la conocida distinción entre destrezas motrices y habilidades o estrategias cognitivas. Son procedimientos del primer tipo los que se necesitan, por ejemplo, para el manejo correcto, fácil y preciso de instrumentos, objetos y aparatos. Una atención muy especial merece aquellos procedimientos que implican un curso de acciones y decisiones de naturaleza interna que sirven de base a la realización de tareas intelectuales. El saber hacer consiste en saber operar con objetos y con información. Página 155 de 632 Es fundamental facilitar el acceso de los alumnos a estas habilidades cognitivas, puesto que se trata de unas herramientas muy potentes de la cultura humana mediante las cuales se accede a metas superiores. Precisamente nos encontramos en un momento en que se está dedicando una atención particular por parte de los estudiosos a este tipo de procedimientos. Se habla ya con cierta profusión de las destrezas cognitivas, de las estrategias superiores de pensamiento, de aprender a pensar, de aprender a aprender, de habilidades metacognitivas, de estrategias de aprendizaje, etc. Con el aprendizaje de los procedimientos, se trata de conocer las formas de actuar, de usar este conocimiento, así como de usar esas formas para conocer más cosas. Aprender procedimientos significa también ponerlos en práctica. Sería insuficiente si una vez adquiridos los procedimientos (o durante el proceso de adquisición del conocimiento y de la aplicación), el alumno no fuera capaz de llegar a realizar mediante ellos nuevos aprendizajes. En matemática, tenemos procedimientos dirigidos fundamentalmente a la resolución de problemas y se pueden clasificar en dos grandes tipos: Procedimientos algorítmicos: contienen exactamente el total de pasos necesarios para llegar de forma correcta a la meta o solución. Los algoritmos especifican de forma muy precisa la secuencia de acciones y decisiones que debe respetarse para resolver un determinado problema. Si se realiza completamente y en el orden propuesto, seguro que se llega a la solución. Procedimientos heurísticos: sólo orientan de manera general en la secuencia a respetar, y no dicen exacta o completamente cómo se ha de actuar. Su uso y aplicación no siempre hacen previsible un resultado concreto o una manera idéntica de obrar por parte de aquellos que los utilizan. Procedimientos heurísticos La palabra heurística, aparece en más de una categoría gramatical. Cuando se encuentra como sustantivo, se identifica con el arte o la ciencia del descubrimiento. Cuando aparece como adjetivo, se refiere a cosas más concretas como estrategias heurísticas, reglas heurísticas o incluso silogismos y conclusiones heurísticas. La instrucción heurística es la enseñanza consciente y planificada de reglas generales y especiales de la heurística para la solución de problemas, las cuales deben ser declaradas de un modo claro y firme, insistiéndose en clases posteriores, hasta que los alumnos las aprendan y las utilicen de forma independiente y generalizada, por lo que debe ejercitarse su uso en numerosas y variadas tareas. Los elementos heurísticos se pueden clasificar en dos categorías: procedimientos heurísticos y medios auxiliares heurísticos. Según H. Müller (1987) los procedimientos heurísticos son formas de trabajo y de pensamiento que apoyan la realización consciente de actividades mentales inteligentes. La introducción de estos procedimientos en la clase y su aplicación por parte de los alumnos propicia la asimilación de los conocimientos, su capacidad para resolver problemas para los cuales no existen procedimientos algorítmicos y el desarrollo del pensamiento creador. Se pueden clasificar en principios, reglas y estrategias, los cuales pueden ser generales o especiales. Principios Heuristicos (PH): Son de gran utilidad para la búsqueda de nuevos conocimientos y para su fundamentación, también sugieren ideas para la solución de diferentes problemas. Reglas Heuristicas (RH): Tienen carácter de impulsos dentro del proceso de búsqueda de nuevos conocimientos y de la resolución de problemas. Aunque comparadas con los principios no ofrecen prácticamente ninguna sugerencia para encontrar la idea principal de solución, contienen en sí acciones y operaciones a realizar en la búsqueda de los medios matemáticos y de la vía para resolver un problema. Pueden darse como indicadores o preguntas. Página 156 de 632 Estrategias Heuristicas (EH): Se llaman también estrategias de búsqueda, pues constituyen el método para buscar los medios matemáticos concretos, que se necesitan para resolver un problema y para buscar la idea fundamental de solución. Medios Auxiliares Heurísticos (MH): son herramientas que facilitan a la situación problemática o demostración como por ejemplo figuras informativas, tablas, compendios de diferentes estructuras, grafos de solución, etc. En el siguiente esquema aparecen algunos de los procedimientos heurísticos. Principio de analogía Generales Principio de reducción P R Principios Heurísticos (P.H.) Principio de generalización Especiales O ( Principio de medir y probar C Principio de inducción incompleta E Separar lo dado y lo buscado. D I M Principio de movilidad Reglas Heurísticas (R.H.) Confeccionar figura de análisis. Recordar teoremas del dominio matemático correspondiente. I Sustituir conceptos por su definición. E Representar las magnitudes dadas y buscadas con variables. N T O Generales Estrategias Heurísticas (E.H.) Trabajo hacia delante. Trabajo hacia atrás. S Especiales Esquema de Descartes. Trabajode hacia atrás. Método los lugares geométricos. Página 157 de 632 Propuso además lo que se ha dado en llamar el programa heurístico general para la resolución de problemas, el cual consta de cuatro fases fundamentales que a su vez se desglosan en fases parciales: I. II. 1. 2. III. IV. Fase de orientación: Búsqueda del problema o motivación. Planteamiento del problema. Comprensión del problema. Fase de elaboración o de trabajo en el problema: Análisis y precisión. Búsqueda de la idea de solución. Reflexión sobre los métodos. Elaboración de un plan de solución. Fase de realización: Realización del plan de solución. Representación de la solución. Fase de evaluación: Comprobación de la solución. Determinación del número de las soluciones. Subordinación de la solución en el sistema existente. Memorización de la “ganancia” de información metodológica. Consideraciones perspectiva A continuación, se muestra un problema resuelto mediante la aplicación de algunos procedimientos heurísticos. El problema planteado puede corresponder a un contenido de nivel medio, terciario ó universitario. Ejemplo de resolución de un problema aplicando algunas reglas y principios heurísticos Una firma de transporte posee tres tipos distintos de camiones A, B y C. Los camiones están equipados para el transporte de 2 clases de maquinaria pesada. El número de máquinas de cada clase que puede transportar cada camión está dado por: Clase 1 Clase 2 A 2 0 Camiones B 1 1 C 1 2 La firma consigue una orden para 32 máquinas de la clase 1 y 10 máquinas de la clase 2. Encontrar el número de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la orden, asumiendo que, cada camión debe estar completamente cargado y el número exacto de máquinas pedidas es el que se debe despachar. Si la operación de cada tipo de camión tiene el mismo costo para la firma, ¿cuál es la solución más económica? Fase de orientación Se inicia una conversación heurística entre el docente y el alumno. Leer atentamente el enunciado del problema más de una vez. Página 158 de 632 Datos: El número de máquinas de cada clase que puede transportar cada tipo de camión dado por la tabla: Clase 1 Clase 2 A 2 0 Camiones B 1 1 C 1 2 R.H: Separar lo dado y lo buscado ¿Qué se pide calcular? a) Encontrar el número de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la orden pedida. b) ¿Cuál es la solución más económica si la operación de cada tipo de camión tiene el mismo costo para la firma? R.H: a: número de camiones del tipo A Representar b: número de camiones del tipo B las c: número de camiones del tipo C magnitudes dadas con variables Fase de elaboración Traducir el problema dado con texto o en lenguaje coloquial al lenguaje matemático La notación adecuada es un sistema de ecuaciones lineales: 2a b c 32 b 2c 10 R.H: Representar las relaciones contenidas en el texto del problema P.H: Reducción de un problema a otro ya resuelto Fase de realización Se trata de un sistema de ecuaciones lineales y se lo puede analizar y resolver por el método de Gauss. Otra posibilidad es analizar mediante el teorema de Rouchè-Forbenius y resolver por el método de la matriz inversa o aplicando la regla de Cramer. R.H: Recordar conceptos del dominio matemático correspondiente Página 159 de 632 Escribiendo la matriz del sistema y aplicando el método de Gauss se obtiene: 2 1 1 32 1 1 / 2 1 / 2 16 0 1 2 10 0 1 2 10 Se tienen 3 incógnitas y se obtienen 2 filas no nulas; por lo tanto se trata de un sistema compatible indeterminado. El conjunto solución para el sistema planteado es: S a, b, c R 3 / a c / 2 11 b 10 2c ¿La solución de este sistema de ecuaciones, es la solución del problema planteado? Como las incógnitas representan cantidad de camiones, entonces debe cumplirse: c N 0 c / 2 11 0 10 2c 0 , o bien: c 0 R.H: Comparar lo que se tiene con lo que se busca c 0 c 5 c 0 Por lo tanto: c 0 , 5 Los valores que puede tomar c son: c 0, 1, 2, 3, 4, 5 Se obtienen así las siguientes soluciones: c0, c 1, c 2, c 3, c 4, c 5, 11, 10, 0 23 / 2, 8, 1 12, 6, 2 25 / 2, 4, 3 13, 2, 4 27 / 2, 0, 5 R.H: Comprobar e interpretar la solución Fase de evaluación ¿Cuál o cuáles de las soluciones anteriores satisfacen las condiciones del problema que cada camión debe estar completamente cargado y el número exacto de máquinas pedidas es el que se debe despachar? Para responder a) se pueden indicar dos posibles soluciones, ya que las otras se descartan por tener fracciones o cero: 1°) 12 camiones del tipo A 6 camiones del tipo B 2 camiones del tipo C 2°)13 camiones del tipo A 2 camiones del tipo B 4 camiones del tipo C Página 160 de 632 b) La solución más económica si la operación de cada tipo de camión tiene el mismo costo para la firma es la indicada como 2° pues se requiere menor cantidad de camiones; 19 en total mientras que para la posibilidad 1°, es necesario 20 camiones. Conclusiones Esta propuesta de trabajo es sumamente enriquecedora ya que se puede aplicar en distintos contextos dada la flexibilidad que presentan los elementos heurísticos en su utilización. La resolución de problemas es una capacidad que se desarrolla a través del proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática. Los elementos heurísticos son de gran utilidad, como se dijo, ya que sirven de guían y brindan orientaciones y sugerencias generales para la búsqueda de soluciones a los problemas. Su importancia es mayor en la medida en que el problema a resolver sea más novedoso para el alumno que intenta resolverlo. Pero debe tenerse en cuenta, que por mucho conocimiento que se tenga de los elementos heurísticos, no alcanza si no se tienen claros los conceptos matemáticos específicos relacionados con el contexto del problema. Es decir, no tiene sentido intentar usar elementos heurísticos para resolver problemas que requieran de la utilización de contenidos matemáticos que el alumno desconozca. Por otro lado, no se puede pedir a los alumnos la utilización de los recursos heurísticos en la resolución de problemas si durante el proceso de enseñanza aprendizaje no fue entrenado en la utilización de esos recursos en situaciones más simples. Se debiera convertir todo el proceso de enseñanza en una Instrucción Heurística y así contribuir al desarrollo de un pensamiento creativo en los alumnos disminuyendo las dificultades observadas. Bibliografía Anchorena, S. (2004).Teoría y diseño curricular. Compilación de material para el Magister en la Enseñanza de la Matemática en el Nivel Superior. Mar del Plata. Coll, C., Pozo, J., Sarabia, B. & Valls, E. (1994). Los contenidos de la Reforma. Enseñanza y aprendizaje de conceptos, procedimientos y actitudes. Buenos Aires: Santillana. Müller, H. (1987). Formas del trabajo heurístico en la enseñanza de la Matemática en la Enseñanza General Politécnica y Laboral; Frank País García; Santiago de Cuba. Müller, H. (1987). Formas del trabajo heurístico en la enseñanza de la Matemática en la Enseñanza General Politécnica y Laboral; Santiago de Cuba: Frank País García. Pérez Pantaleón, G. (2003). Procedimientos algorítmicos y heurísticos. Compilación de material para el Magister en la Enseñanza de la Matemática en el Nivel Superior. Mar del Plata. Polya, G. (1994). Como plantear y resolver problemas. Madrid: Trillas. Página 161 de 632 ALFABETIZAÇÃO MATEMÁTICA: REFLEXÕES SOBRE A PRÁXIS NA PERSPECTIVA INCLUSIVA Raquel Soares de Santana Dr. Cristiano Alberto Muniz Universidade de Brasília – UnB – Brasil [email protected] Mestrado Palavras-chave: Alfabetização Matemática. Inclusão. Formação Continuada RESUMO O trabalho tem como objetivo analisar os processos de ressignificação da práxis pedagógica na construção do conceito de número por um aluno com necessidades educacionais especiais, na tentativa de identificar, no professor, as possíveis concepções acerca da deficiência, e como estas concepções podem estar corroborando a prática pedagógica de (im)possibilitar ao sujeito com necessidades educacionais especiais, o seu poder de pensar matematicamente. Impõese, como desafio ao método de pesquisa, a análise da prática pedagógica para desvelar e levantar sinalizações individuais e coletivas de possível superação, quanto a possibilidade dos alunos com necessidades educacionais especiais, incluídos em turma regular de ensino, no aprender matemática previsto no currículo escolar, com a devida adequação curricular e, ainda no impacto deste aprendizado socialmente. INTRODUÇÃO Em virtude das acentuadas dificuldades em matemática, dos alunos com necessidades educacionais especiais (NEE), matriculados em turma inclusiva, em classes comuns das séries iniciais do ensino fundamental, e atendidos na Sala de Recursos de uma escola pública do DF; e na evidente constatação da valorização de suas habilidades na aquisição da leitura e da escrita da língua materna, em detrimento do desenvolvimento conceitual da matemática, apareceram questionamentos sobre a prática e, em particular, sobre as concepções matemáticas que estariam sendo usadas na prática pedagógica, impossibilitando o sujeito com necessidades educacionais especiais, de desenvolver seu poder de pensar matematicamente. Neste contexto, o que se tem feito para, de fato, gerar mudanças qualitativas na construção de competências matemáticas para os alunos com NEE de tal forma que estes possam julgar e tomar decisões a partir de situações-problema do cotidiano que requerem a quantificação de quantidades contínuas (o que se mede) e/ou discretas (o que se conta) com ou sem a necessidade da contagem. O exemplo abaixo mostra com clareza a questão: “Estava em uma escola pública de séries iniciais, observando um grupo de alunos de Classe Especial realizar alguns jogos matemáticos sob a coordenação do professor Cristiano Muniz, quando fui questionada pela coordenadora pedagógica sobre o motivo da minha escolha pelo mestrado em Educação Matemática, se a minha área de atuação era no ensino especial. „___Matemática não tem nada haver com o ensino especial!‟ (excerto de uma conversa da pesquisadora com uma coordenadora pedagógica. Brasília – Brasil , 2008)” A colocação foi muito incisiva, ou seja, na concepção da professora, não se deve misturar as duas coisas. Neste contexto, o ensino especial seria para o senso comum, sinônimo de menos, de inferioridade, de incapacidade, e, a matemática, uma ciência sinônimo de inteligência. Historicamente, a Educação Especial e a Matemática refletem esta postura, respaldadas na dualidade da capacidade e da incapacidade, assim como do inteligente e do deficiente. Portanto, reconhecer no senso comum a Matemática como uma ciência superior, e que a Página 162 de 632 deficiência é uma característica da “anormalidade”, não contribui para uma ação reflexiva, significativa e transformadora. Ordem superior e poder, normalidade e deficiência, escolas diferentes, são questões que permeiam as extremidades da ação pedagógica, podendo-se dizer que, atualmente, a Matemática e a Educação Especial estão ocupando espaços diferenciados, mas, ao mesmo tempo, tendo em comum o espaço da exclusão. Entretanto, pouco contribui para o processo educacional saber de suas existências e de seus atuais significados, uma vez que é preciso lidar com a relação real entre a disciplina e os sujeitos envolvidos e atendidos pela Educação Especial. Quais são os sujeitos pertencentes desta matemática? Quem faz matemática? Quem não é capaz de produzir uma matemática? De que matemática estaria se referindo este estudo? Quais são os sujeitos pertencentes à Educação Especial? Qual é a relação da matemática na Educação Especial? De que Educação Especial se referem? São questões para as quais se devem buscar as devidas respostas. MARCO TEÓRICO Segundo Mitller (2003, p.24), “o que acontece na escola é um reflexo da sociedade em que elas funcionam”. Neste sentido, a sociedade em que a escola funciona apresenta uma realidade excludente, afastou-se a compreensão de sujeito histórico-cultural, atribuindo, as pessoas “deficientes”, estigmas e rótulos estabelecidos pela própria sociedade. Sobre o assunto Mantoan (2006) afirma que os sistemas escolares estão organizados de maneira onde se permite a divisão de atendimentos de alunos “normais” e “deficientes”, das modalidades de ensino em regular e especial, de professores em especialistas em diversas áreas, principalmente, nas áreas onde o foco são manifestações das diferenças. A dinâmica educacional baseada na perspectiva da inclusão exige a extinção de atitudes excludentes e envolve, conforme Mitller (2003, p. 25), “um processo de reforma e de reestruturação das escolas como um todo, com o objetivo de assegurar que todos os alunos possam ter acesso a todas as gamas de oportunidades educacionais e sociais oferecidas pela escola.” Em contradição ao excerto descrito no início do trabalho, sobre a dicotomia entre Ensino Especial e Matemática, e pensando em assegurar o acesso referido por Mitller, apresentam-se três pesquisas, cujos objetos estão relacionados à aquisição dos conceitos matemáticos, por alunos considerados socialmente com necessidades educacionais especiais. A primeira pesquisa foi desenvolvida por Pimenta (2003) sobre a aquisição dos conceitos matemáticos nos adultos surdos. Ficou evidente o desenvolvimento da prática pedagógica dos professores centrada na suposta limitação da surdez, onde a matemática representa um problema, e não um instrumento de desenvolvimento do sujeito que é surdo. A numerização é colocada em segundo plano, e a alfabetização destes sujeitos se restringe a uma questão de ler, escrever e aprender a oralizar. O estudo do português foi considerado um fator limitante para o surdo na resolução de problemas matemáticos, mas a pesquisa mostra que a utilização, com proficiência do professor, da Língua Brasileira de Sinais (LIBRAS) como instrumento semiótico, é fator determinante para que o surdo em LIBRAS consiga lidar com a lógica do sistema numérico. Vieira (2002), especificamente com um sujeito com Síndrome de Down, e Bonfim (2005) realizaram pesquisas sobre a aquisição do conceito de número com sujeitos deficientes mentais. Estes estudos mostram que a concepção do ensino da matemática está relacionada a questões de habilidades numéricas e operacionais por meio de regras e memorização através de treinos, em detrimento da lógica estrutural que a compõe. Quando foram submetidos a estes sujeitos os processos de intervenções propostos por Fávero (apud Vieira, 2002 p. 133), compostos por avaliação de competências e habilidades, por sistematização das atividades, baseadas nas competências conceituais identificadas no sujeito, e não no treino, e por uma análise minuciosa das atividades e dos significados das ações em relação às aquisições de estruturas conceituais, percebeu-se que os alunos não só desenvolveram o conceito de número, mas também a competência para operá-los. Página 163 de 632 Pimenta (2003), Vieira (2002) e Bonfim (2005) evidenciam que é possível favorecer a construção de competências matemáticas, desde que oportunizem ao sujeito agir, elaborar e reconstruir sobre os conceitos matemáticos. Tantos os alunos ditos “normais”, como aqueles com necessidades educacionais especiais, são capazes de construir conceitos matemáticos, desde que haja a contextualização dos fatos numéricos, desde que estes conceitos façam sentido na sua vida cotidiana, e desde que exista uma relação dialética entre os conceitos cotidianos e científicos. Outra questão, que ainda paralisa a atuação do professor, é o discurso subjetivo coletivo sobre a capacidade de abstração dos alunos com necessidades educacionais especiais (NEE), que muitas vezes justifica uma prática pedagógica baseada no treino. Em consonância com a afirmação acima, Vieira (2003) preocupou-se com o treinamento escolar, ao ponto de colocar o sujeito em posição passiva mediante a aprendizagem, dando à escola a responsabilidade de propiciar o desenvolvimento criativo ao sujeito deficiente mental, não simplificando atividades tal como “siga o modelo”, o que, supostamente, tiraria a oportunidade de desenvolver estratégias, impedindo o desenvolvimento do pensamento lógicomatemático do sujeito. Ao mesmo tempo acredita que a deficiência mental limita um pouco a criatividade pela sua dificuldade em abstrair, apesar do seu sujeito de pesquisa demonstrar indícios de desenvolvimento metacognitivo, ou seja, refletir sobre o seu próprio processo de pensamento: pensar sobre o seu pensar. Esta afirmação vem em desencontro com a perspectiva de Vigotski (1997), ao afirmar que, em se tratando de criatividade e deficiência uma criança mentalmente atrasada, quando ela domina as quatro operações da aritmética, confirma um processo muito mais criativo que uma criança normal, pois se trata de uma dificuldade e de uma tarefa que demanda a superação de obstáculos, tendo como base os processos de pensamento para a resolução dos problemas. Nas três pesquisas, os autores concluem sobre a capacidade destes alunos em aprenderem de fato conceitos matemáticos a partir da intervenção consciente do professor, que acredita na capacidade do aluno em desenvolver e utilizar a mediação simbólica dos conceitos matemáticos, para proporcionar o desenvolvimento das funções psíquicas superiores, e analisa, reflete e reelabora suas ações pedagógicas na relação com o aluno. Estas pesquisas mostram e desmistificam a suposta dificuldade de aprendizagem da matemática pelos alunos considerados com NEE, e apontam, também, que as práticas pedagógicas ainda estão centradas na limitação da deficiência, pautadas no treino e na memorização de regras. Primeiro é necessário aprender a ler e a escrever alfabeticamente, para depois ensinar matemática, como é o caso da pesquisa de Pimenta (2003), sendo, neste particular, necessárias intervenções conscientes do docente, partindo da análise das atividades e das ações dos alunos para proporcionar a construção de competências, neste caso, conceitos matemáticos. Percebe-se que as três pesquisas discutidas neste artigo, foram realizadas em um espaço psicopedagógico, onde os sujeitos foram observados fora do contexto da sala de aula. Entretanto, para além das importantes contribuições deixadas, precisamos incluir o espaço da sala de aula onde realmente estão estabelecidas ações em sua dimensão psicossocial. Neste sentido, Mitjáns e González Rey (2006), apontam sobre a importância de um estudo voltado nesta dimensão, analisando aspectos do caráter subjetivo e social que contribuam para compreender as barreiras sobre o processo de inclusão escolar. Neste contexto, o que se tem feito de fato para gerar mudanças qualitativas na construção de competências matemáticas para os alunos considerados com NEE? Percebe-se existir uma distância entre a teoria e a prática. As pesquisas evidenciam um caminho, mas a mudança não ocorre no âmbito escolar, pois estas, necessariamente, precisam ser reelaboradas, repensadas e reconstruídas pelo docente. Neste sentido, o conceito de subjetividade desenvolvido por González Rey (2003), aponta o caminho para encontrar possíveis respostas sobre a almejada mudança no âmbito escolar. O ensino-aprendizagem da matemática para os alunos considerados com necessidades educacionais especiais é um desafio, onde não existem receitas. Entretanto, é na relação que Página 164 de 632 se institui as possibilidades de ação, e o espaço da sala de aula e todas as relações que se estabelecem neste espaço, transformam-se em espaços particulares de desenvolvimento do sujeito (Tacca, 2005). Acredito que o desafio posto está nas formas de subjetivação das diferenças individuais que representam, muitas vezes, os modelos dominantes de subjetividade social em que são geradas e, também, a partir das representações sociais sobre a Matemática e sobre o Ensino Especial. Estamos em uma época em que a efervescência sobre o tema da inclusão tem forçosamente levado a sociedade a repensar sobre a visão que tem sobre o conceito de sujeito e de (in)capacidade. Nas escolas encontramos sujeitos concretos ativos, volitivos, e com características distintas, na ordem emocional, física e mental. Chamo a atenção a estas características na tentativa de não rotular estes sujeitos em uma terminologia como deficientes físicos, mentais, entre outros. Na verdade temos em nossas salas de aula, crianças diferentes entre si, inseridas em um espaço com o propósito de proporcionar-lhes situações que remetem a aprendizagem de conceitos construídos historicamente em nossa cultura. Sabe-se que a constituição histórica e social, referente à Matemática e a modalidade de Ensino Especial, deixou marcas que repercutem ainda fortemente em nossa sociedade, relacionadas, principalmente, no âmbito da (in)capacidade. Sem dúvida estamos em um período histórico que aponta a necessidade de mudanças sobre as representações estabelecidas historicamente sobre a Matemática, e sobre os alunos considerados com NEE. Mas ainda, no ano de 2008, encontramos professores que não acreditam na possibilidade destes alunos em aprenderem Matemática, e que, talvez, questionem a sua presença em turmas regulares de ensino. O fato de que, hoje, temos a grande maioria de alunos inseridos em turmas regulares de ensino respaldados por lei, e que se pode, graças a eles, discutir questões como estas. E é neste ponto que está a riqueza, pois a natureza dos problemas colocados socialmente, criam conflitos e exigem soluções. Segundo Tacca (2005), as exigências sociais e individuais para solucionar reais demandas, criam conflitos e empurram para novas soluções: “a natureza dos problemas colocados pelos sujeitos ou pela sociedade, exige a utilização e o desenvolvimento de novas funções psicológicas que até então não haviam sido inauguradas” (p.215). Acredita-se que, no espaço da sala de aula regular, onde um dos alunos apresente uma NEE, criam-se oportunidades de ressignificação dos sujeitos (professor e alunos), e do pensar sobre as representações criadas historicamente na nossa cultura sobre a matemática e a deficiência. Nesse espaço instituído subjetivamente em âmbitos sociais e individuais, pode-se compreender os aspectos que dificultam a relação ensino-aprendizagem dos conceitos matemáticos para alunos considerados com NEE. PESQUISA Considerando como essencial a discussão sobre a função da escola, da prática pedagógica e da família no contexto do ensino inclusivo, e diante da amplitude destes questionamentos e dos limites deste trabalho, o campo da análise está circunscrito à busca de repostas as seguintes questões fundamentais: Quais as concepções presentes no docente, referente ao processo de ensino e de aprendizagem do número natural, do aluno com necessidades educacionais especiais? Como ocorre à prática pedagógica referente ao processo de ensino e de aprendizagem, na construção do conceito de número natural do aluno com necessidades educacionais especiais? Como repensar, desvelar e levantar práticas pedagógicas individuais e coletivas, para poder desenvolver a superação referente à capacidade de aumentar o poder de pensar matematicamente na construção do conceito de número do aluno com necessidades educacionais especiais? A epistemologia qualitativa proposta por González Rey (2002) norteou a pesquisa por considerar o processo de produção de conhecimentos, como um processo construtivointerpretativo, interativo, e por legitimar o nível do singular na produção do conhecimento Página 165 de 632 científico (González Rey, 1997 apud Mitjáns Martínez e González Rey, 2006). A estratégia metodológica utilizada foi o estudo de caso Para viabilidade da pesquisa, tomou-se como referencial um aluno com deficiência física, decorrente de paralisia cerebral do tipo tetraplegia mista 3, e que apresenta dificuldade na fala e na locomoção. O professor se vê diante do obstáculo estabelecido pelo canal de comunicação. Outra questão se dá, muitas vezes, quando se relaciona a dificuldade motora ao déficit cognitivo, como se a dificuldade motora e a incapacidade da fala fossem determinantes da capacidade cognitiva. Neste contexto, como seria vista a relação com a aprendizagem matemática? O desafio para propor ações para vencer estes obstáculos está instalado. Outro fator determinante na escolha deste aluno se deve ao fato de que seu ingresso na Rede Pública de Ensino se deu na vigência da proposta da Política Nacional de Educação Especial na Perspectiva da Educação Inclusiva, ou seja, o aluno está em turma regular de ensino, sem ter passado pelo Centro de Ensino Especial, freqüentando a Educação Infantil na mesma modalidade de ensino regular e, agora, está na Escola Classe (1º ao 5º ano de escolaridade). Outra questão fundamental para a escolha foi a sua relação na construção da numerização, fato que levou sua mãe a questionar a professora regente do 2º ano de 2008, sobre o motivo de seu filho piscar os olhos cada vez que ouvia um número durante uma história infantil. Frente a esta atitude, a professora respondeu que o aluno estava simplesmente contando. O aluno foi observado em situações de aprendizagem matemática em sua relação com a professora regente, com os seus pares, e com a professora da Sala de Recursos. O foco foi dado aos professores (regente e da Sala de Recursos), e no modo como estabelecem as possíveis intervenções, nas suas angústias, na flexibilidade de suas ações, no conteúdo escolhido para desenvolver com o aluno, e na análise das atividades propostas ao aluno, ou seja, nos aspectos que envolvem a prática pedagógica. Foram desenvolvidas observações e atividades em sala de aula, observações na Sala de Recursos, participações de reuniões compostas por professor regente, professores da Sala de Recursos, família e profissionais especializados, participação nas coordenações pedagógicas individuais e coletivas, e nos momentos de estudo propostos pelo projeto Re-educação Matemática, e entrevistas semi-estruturada com a professora regente. Estas atividades foram registradas no caderno de campo e gravadas em áudio e vídeo. O processo de reflexão teórica representa, apenas, o início de possíveis indicativos que suscitam as inquietações da pesquisa. Um dos indicativos se refere à concepção de sujeito que a professora regente apresenta através de suas ações, das atividades que propõe ao aluno e do seu discurso. A professora acredita na capacidade de aprendizagem do aluno, e os desafios impostos pela dificuldade motora e da fala, não foram impeditivos para o desenvolvimento da construção do conceito de número. “Com a convivência mesmo é que eu fui aprendendo a trabalhar com ele. Aí eu fui percebendo que ele entendia e gostava de participar. “Ele percebe que eu acredito nele, que ele vai dar conta, então eu transmito esta confiança prá ele ... que eu acho que em alguns lugares não foi passado isso para ele. “Ela ( a professora) sabe que eu dou conta, ela acredita em mim (Bruno). Você faz as coisas e nem percebe (professora regente - áudio -07/07/2009)”. A professora em entrevista coloca a sua decepção, quando percebe que, no próprio ambiente escolar, ainda encontra pessoas que não acreditam na capacidade de aprendizagem do aluno. “É uma coisa que toca, você ver o crescimento da pessoa. Você está num ambiente escolar, você vê um monte de gente que olha e fala, coitadinho! Ai não dá conta! Aquele ar de pena ... parece que o tempo todo a pessoa não acredita. (professora regente - áudio – 07/07/2009)” 3 3 A Tetraplegia caracteriza-se pela alteração de movimento nos quatro membros, o tronco e o pescoço. Está relacionada com lesão severa e difusa do córtex cerebral e o prognóstico, na maioria dos casos é bastante restrito. Os chamados tipos mistos de paralisia cerebral implicam uma combinação de duas características, como por exemplo: espasticidade e distonia, associado a lesões piramidais a extrapiramidais. (BRAGA, 1995) Página 166 de 632 Quanto à afirmação de que o aluno gosta de matemática, está respaldada na idéia de que a matemática é mais lúdica. A professora se refere a Caixa Matemática, que é composta por materiais de contagem, como palitos de picolé, calculadora, dinheirinho, fita métrica, etc. “Por que eu acho que a matemática, como tem a questão da caixa matemática, tem os materiais que chamam a atenção, não só pra ele e para as outras crianças, é mais lúdico, eu tenho o que pegar. Pela questão do visual, do material, eu descobri que ele gosta da matemática. (professora regente – áudio – 07/07/2009)” Observa-se que a professora regente, a partir da dificuldade em estabelecer um canal de comunicação mais efetivo com o aluno, que se utiliza do piscar dos olhos para dar sua opinião, e confirmar sua hipótese, aproveita deste recurso e inicia o processo de ensino e aprendizagem da construção do conceito de número por esta via. Mesmo que, muitas vezes este canal limitado de comunicação, venha a ser considerado para o professor um obstáculo na relação com a aprendizagem matemática. O desafio para propor ações e vencê-lo, está instalado. “Eu fui inventando códigos com ele. Como, por exemplo, eu sabia que ele piscava, que ele fazia assim pra cima. Então, quando a gente conta o palito, a gente não levanta ele para cima, geralmente enquanto conta. Aí eu falei, vamos inventar códigos. Então eu comecei 1 a gente faz assim, então ele levantava. E ele pegou rapidinho porque, como era uma coisa que ele dava conta de fazer, ele tem que usar a expressão, o rosto. E eu sei pela expressão do rosto. Tinha que inventar o dez ele estica o corpo porque cansa contar de um em um. E números grandes como a gente vai fazer, vamos inventar esticar o corpo.(professora regente 07/07/2009)” Mesmo com a utilização dos códigos criados, a professora regente questiona a aprendizagem sobre a construção do número, quando pergunta: “Como a criança irá concretizar o dez, se ele não consegue usar a liga de borracha para prender os palitos?” Esta questão baseia-se na importância da utilização e do manuseio, pelo aluno, dos materiais concretos para contagem, principalmente na conceitualização de número, tais como a contagem um a um, agrupamento e posicionamento. Percebe-se a importância do professor regente em levantar questões sobre a sua prática que, muitas vezes, está vinculada a outros sujeitos que não apresentam esta demanda. Como não é o aluno que age fisicamente, mas, por intermédio de outro sujeito (o professor, o colega), questiona-se se realmente, pode esta criança aprender, sem uma ação concreta sobre as estruturas: contar, agrupar... CONSIDERAÇÕES FINAIS Para encontrar as respostas, faz-se necessário que tais situações alimentem um processo de formação continuada, mergulhada nas situações-problema do cotidiano na sala de aula. É necessário que a formação continuada tenha como objetivo principal, minimizar o distanciamento entre a teoria e a prática, e contextualizar suas ações pedagógicas, para refletir sobre suas concepções de ensino-aprendizagem e reelaborar suas ações. Muitas questões, reflexões, diálogos e possibilidades surgirão, abrindo novos horizontes ainda não bem visualizados nesta etapa. Caminhos serão trilhados. A intenção não é dar receitas e respostas prontas, nem propor um método de ensino de matemática, mas desenvolver um estudo que proporcione um incômodo, uma vontade de repensar a prática pedagógica, e que ajude a encontrar outros, novos ou, porque não, velhos caminhos de atuação que, de forma consciente, sejam essenciais na sua ação. Entretanto, o principal intuito desta pesquisa é que, de fato, faça diferença qualitativa para os alunos, atores principais e responsáveis diretos pela motivação da pesquisa. Este é o grande desafio deste estudo: buscar e analisar a aquisição conceitual da matemática, considerando o desenvolvimento do aluno com necessidades educacionais especiais, e as peculiaridades deste desenvolvimento; e repensar os paradigmas envolvidos na relação entre aluno e professor e, quem sabe, entre sujeito e família, e como eles são vistos nesta relação, e Página 167 de 632 na necessidade de privilegiarem e acreditarem nas suas capacidades de desenvolver estruturas cognitivas, visando à aquisição de conceitos matemáticos. REFERÊNCIAS BONFIM, R. A. F. (2005). Aquisição de Conceitos Numéricos na Sala de Recursos: relato de uma pesquisa de intervenção. 2005. Dissertação (Mestrado em Psicologia) Instituto de Psicologia da Universidade de Brasília, Brasília. BRAGA, L. W. (1995). 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Relação pedagógica e desenvolvimento da subjetividade. In: GONZÁLEZ REY, F. Subjetividade, complexidade e pesquisa em Psicologia. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. VIEIRA D.O. (2002). A aquisição do conceito de número em condições especias: A Síndrome de Down em questão. Dissertação de mestrado. Instituto de Psicologia. Brasília: UnB. VIGOTSKI, L. S. (1997). Obras Escogidas. Tomo V: Fundamentos da defectologia, Madri: Visor Dis., S.A. Página 168 de 632 LA PARADOJA DE AQUILES. UNA MIRADA DESDE LA MATEMATICA Y LA FISICA Horacio Caraballo1 Cecilia Zulema González2 Bachillerato de Bellas Artes. Colegio Nacional. Facultad Ciencias Agrarias y Forestales. Universidad Nacional de La Plata. Argentina. 2 Facultad Ciencias Agrarias y Forestales. Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional de La Plata. Argentina. [email protected] [email protected] Nivel educativo: Medio (13-17 años). Universitario. Palabras Clave: Paradoja de Aquiles, Matematización, Resignificación. 1 Resumen Presentamos en este artículo algunos tópicos referidos a la paradoja de Aquiles. Se resuelve primero el problema desde un punto de vista cinemático, luego se enuncia la paradoja en los términos en que lo hizo Zenón pero con alguna precisión técnica, a continuación se retoma esta descripción pero se hace una narración matemática de la misma que nos termina enfrentando con las series geométricas. Se da una explicación breve sobre la idea de sucesión de sumas parciales como función y de la operación de límite sobre ésta de una manera informal. Se aplican estos resultados a interpretar la carrera manteniendo el punto de vista de Zenón. Este tipo de problema de cierta complejidad y que genera interesantes polémicas y diversidad de interpretaciones puede ser administrado por el docente de por lo menos dos modos: uno como elemento disparador (tópico generativo) al comienzo de la presentación de un tema y otro como un trabajo de integración y resignificación de conocimientos a posteriori. Respecto a la implementación podemos resumir que este problema puede ser presentado de distintos modos, como tarea o proyecto de investigación, como taller, como exposición inaugural, etc. Introducción Zenón de Elea (490 – 430 antes de J.C.) discípulo de Parménides, combatió a los adversarios de la doctrina de su maestro mediante una serie de argumentos por los cuales se reducían al absurdo los conceptos de multiplicidad del ser y de movimiento. En cuanto al movimiento, Zenón proporcionaba diversas pruebas para combatirlo, entre ellas nombremos el argumento de Aquiles según el cual el más rápido de los hombres, Aquiles, no podrá alcanzar nunca al más lento de los animales, la tortuga, si se da a esta en una carrera una ventaja inicial. Pues mientras Aquiles recorre el camino que la tortuga llevaba avanzado por la mencionada ventaja inicial, la tortuga habrá recorrido otra porción, aunque mas pequeña, del espacio; cuando Aquiles haya recorrido esta porción de camino mas pequeña, la tortuga habrá avanzado otra porción mas pequeña, así la tortuga irá llevando la ventaja hasta en espacios infinitamente pequeños de tal forma que Aquiles no podrá alcanzarla nunca. Borges en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga‖ dice sobre la paradoja: Las implicaciones de la palabra joya —valiosa pequeñez, delicadeza que no está sujeta a la fragilidad, facilidad suma de traslación, limpidez que no excluye lo impenetrable, flor para los años— la hacen de uso legítimo aquí. No sé de mejor calificación para la paradoja de Aquiles, tan indiferente a las decisivas refutaciones que desde más de veintitrés siglos la derogan, que ya podemos saludarla inmortal. Las reiteradas visitas del misterio que esa perduración postula, las finas ignorancias a que fue invitada por ella la humanidad, son generosidades que no podemos no agradecerle. ……. Página 169 de 632 Zenón es incontestable, salvo que confesemos la idealidad del espacio y del tiempo. Aceptemos el idealismo, aceptemos el crecimiento concreto de lo percibido, y eludiremos la pululación de abismos de la paradoja… ¿Tocar a nuestro concepto del universo, por ese pedacito de tiniebla griega?, interrogará mi lector. En el espectro multifacético que nos propone la paradoja es nuestra intención abordarla desde un punto de vista didáctico en tanto y en cuanto su discusión en términos matemáticos proporciona la oportunidad de relacionar diversos temas entre si, integrarlos y resignificarlos. El esquema central es el de pasar de una suma finita a una serie, generar una función a partir de considerar la sucesión de sumas parciales y aplicar la operación de límite sobre esta función. Según el nivel de los alumnos a los que esté dirigida, esta actividad puede ir desde ser un tópico generativo para los temas de límite o series hasta, en un plano metacognitivo, la reflexión sobre la posibilidad de matematización de la realidad. En este último aspecto podemos seguir a Popper cuando se pregunta: ¿Por qué son aplicables a la realidad los cálculos de la Lógica y la Aritmética? y analizar las tres posibles respuestas que propone: - Estos cálculos, por lo general, son sistemas semánticos, es decir, lenguajes creados con la intención de usarlos para la descripción de ciertos hechos. No debemos sorprendernos, pues, si resultan servir para este propósito. - Pueden estar construidos de modo que no sirvan para ese propósito; puede verse esto en el hecho que ciertos cálculos (por ejemplo la Aritmética de números naturales o la de números reales) son útiles para describir ciertos tipos de hechos pero no otros. - En la medida en que un cálculo se aplica a la realidad pierde el carácter de cálculo lógico y se convierte en una teoría descriptiva que puede ser empíricamente refutable; y en la medida en que es considerado irrefutable, es decir, con un sistema de fórmulas lógicamente verdaderas, y no como una teoría científicamente descriptiva, no se aplica a la realidad. Es esta última respuesta la que brinda los mejores argumentos para la discusión. La versión cinemática de la carrera Si partimos de las definiciones de posición y velocidad para un móvil que se mueve en línea recta, adoptamos un sistema de referencia, un sistema de coordenadas y suponemos la velocidad constante, la posición en función del tiempo viene dada por: x x0 vt x0 v x [ 0 En este marco un análisis simple de la carrera entre Aquiles y la Tortuga sería el siguiente: La partida es simultánea, la posición inicial de Aquiles coincide con el origen del sistema de coordenadas, la posición inicial de la Tortuga es T0, vA es la velocidad de Aquiles y vT la velocidad de la Tortuga, como todo el mundo sabe vA es mayor que vT. Las posiciones de los contendientes (A para Aquiles y T para la Tortuga) cuando el tiempo transcurre son: A(t ) vA t T (t ) T0 vT t A0 (1) (2) T0 T [ [ Podemos proponer la igualdad de las posiciones para determinar, si existe, el tiempo de A encuentro te: Página 170 de 632 v Ate T0 vT te te T0 v A vT Como era de esperarse te existe ya que vA - vT es positivo y depende de esta diferencia y de la ventaja que tenga la Tortuga. La posición de encuentro, reemplazando te en la ecuación (1) es: A(te ) v A T0 v A vT A vA T0 v A vT La posición de encuentro, reemplazando te en la ecuación (2) es: T (te ) T0 vT T (te ) v AT0 v A vT T0 v A vT T (te ) T (v A vT )T0 vT T0 v A vT T (te ) v AT0 vT T0 vT T0 v A vT vA T0 v A vT Las posiciones de Aquiles y la Tortuga son iguales tal y como lo esperábamos. Nuestros resultados indican que si la posición de la meta coincide con el encuentro los participantes empatarán, si la posición de la meta esta más cercana al origen que esta posición la ganadora será la Tortuga y si la meta está más alejada del origen ganará Aquiles. Estas predicciones son fáciles de comprobar desde un punto de vista técnico pero advirtamos que la Tortuga después de tantos siglos es reacia a participar de estos eventos. La versión de Zenón sobre la carrera A0 T0 T1 T2 [ [ [ T3… x [ Aquiles y la Tortuga parten Para describir la carrera tomamos un eje A1 simultáneamente. A2 A3… coordenado a lo largo de la pista, que es rectilínea, tomando como origen la posición inicial de Aquiles (A0 = 0). La Tortuga parte con ventaja desde la posición T0. Aquiles llega a la posición T0 que ocupaba la tortuga. En el tiempo que tarda Aquiles en llegar a T0 la Tortuga avanza a la posición T1. Aquiles llega a la posición T1 que ocupaba la tortuga. En el tiempo que tarda Aquiles en llegar a T1 la Tortuga avanza a la posición T2. Aquiles llega a la posición T2 que ocupaba la tortuga. En el tiempo que tarda Aquiles en llegar a T2 la Tortuga avanza a la posición T3. Este proceso continúa indefinidamente. Zenón concluye que Aquiles no puede alcanzar a la Tortuga. La versión de Zenón sobre la carrera. Una narración matemática. A continuación presentamos el mismo discurso de Zenón pero en términos matemáticos a partir de la misma relación entre posición, velocidad y tiempo que aceptamos cuando describimos la carrera desde la cinemática del movimiento rectilíneo uniforme. Comienzo de la carrera. Posiciones A0 T0 Página 171 de 632 T0 [ A0 x Aquiles y la tortuga parten simultáneamente, el origen de coordenadas se toma en la posición inicial de Aquiles (A0 = 0) la Tortuga parte con ventaja desde la posición T0 Posiciones A1 T1 A0 T0 T1 [ [ x Aquiles llega a la posición A T0 que ocupaba la tortuga. En el tiempo que tarda Aquiles en llegar a 1 T0 la Tortuga avanza a la posición T1 Tiempo de Aquiles para ir desde A0 hasta A1: t01 T0 vA Posición de la tortuga: T1 T0 vT t01 T1 T0 vT T0 vA Posición de Aquiles: A1 T0 Tiempo total transcurrido es: t1 t01 t1 T0 vA Posiciones A2 T2 A0 T0 T1 T2 [ [ [ x Aquiles llega a la posición T A2la tortuga. En el tiempo que tarda Aquiles en llegar a A11 que ocupaba T1 la Tortuga avanza a la posición T2 Tiempo de Aquiles para ir desde A1 hasta A2: t12 T1 T0 vA Posición de la tortuga: T2 T1 vT t12 T2 T1 vT T1 T0 T2 T1 vT T0 vT T0 T0 vA vA vA v T v T v T2 T0 vT 0 T vT 0 T2 T0 T0 T T0 T vA vA vA vA vA 2 Posición de Aquiles: A2 T1 Página 172 de 632 Tiempo total transcurrido es: t2 t01 t12 t2 T0 T1 T0 vA vA t2 T1 vA Posición A3 T3 A0 T0 T1 T2 T3 [ [ [ [ x Aquiles llega a la posición T A21 que ocupabaA2la tortuga. A3 En el tiempo que tarda Aquiles en llegar a T2 la Tortuga avanza a la posición T3 Tiempo de Aquiles para ir desde A2 hasta A3: t23 T2 T1 vA Posición de la tortuga: T3 T2 vT t23 T3 T2 vT T2 T1 vA 2 2 vT vT vT vT vT v T3 T0 T0 T0 T0 T0 T0 T0 T0 T vA vA vA vA vA vA 2 v v v T3 T0 T0 T T0 T T0 T vA vA vA 3 Posición de Aquiles: A3 T2 Tiempo total transcurrido es: t3 t01 t12 t23 t3 t01 t12 t23 t3 T0 T1 T0 T2 T1 vA vA vA t3 T2 vA Posición An Tn Tiempo de Aquiles para ir desde An-1 hasta An: t( n 1) n Tn 2 T( n 1) vA Posición de la tortuga: 2 v v v Tn T0 T0 T T0 T T0 T vA vA vA v Tn T0 T i 0 vA n n i Posición de Aquiles: Página 173 de 632 v An Tn 1 T0 T i 0 vA n 1 i para n 1 Tiempo total transcurrido es: tn t01 t12 t23 t( n 1) n tn T( n1) vA T n1 v tn 0 T v A i 0 v A i para n 1 Que este proceso continúe indefinidamente sería equivalente a manejar objetos matemáticos, a los que llamaremos series, que tienen el siguiente aspecto: T v t 0 T v A i 0 v A i v A T0 T i 0 v A i v T T0 T i 0 v A i Donde ∞ significa que i no termina nunca de aumentar. Si bien la posición de Aquiles y la tortuga es la misma, Zenón argumentaría triunfante que: si para calcular el tiempo de encuentro siempre hace falta agregar un instante mas, por pequeño que este sea, lo que está en juego es la eternidad y por lo tanto se concluye que Aquiles no puede sobrepasar a la Tortuga. A esta altura nuestro discurso matemático hace necesario que tengamos argumentos que nos permitan manejar las series. Interrupción en busca de nuevas herramientas A continuación ampliaremos nuestra idea sobre la suma para poder seguir nuestra narración matemática. Consideremos las sumas que hemos obtenido siguiendo a Zenón. Llamando r al cociente de las velocidades y prescindiendo de algunas constantes tenemos: n Sn r i i 0 El intentar realizar esta suma cuando n se agranda indefinidamente nos deja expuestos a una nueva paradoja, como nos hizo notar Zenón, sería necesaria la eternidad para concluir la tarea. Sin embargo hay otro camino, consideremos la suma expandida, por motivos de claridad, de los n primeros términos: Sn 1 r r 2 r 3 r n Multipliquemos por r ambos miembros de la igualdad: rSn r r 2 r 3 r n r n 1 Restando miembro a miembro: Sn rSn 1 r r 2 r 3 r n r r 2 r 3 r n r n 1 Finalmente: Sn rSn 1 r n 1 Sn 1 r n 1 1 r En estos términos Sn puede considerarse como una función que a cada número natural que elijamos le hace corresponder un número real que representa la suma. Esta correspondencia se efectúa mediante una sola operación de potenciación y no a partir de la suma de los n+1 términos, sin importar cuan grande sea n. Página 174 de 632 Si recordamos que r es menor que 1 (r es cociente entre la velocidad de la tortuga y la velocidad de Aquiles) se puede ver que cuanto mas grande resulte n mas pequeño va ser rn. Si por último, para poder expresar esta afirmación, presentamos la operación de límite sobre una función tendremos: 1 r n1 1 n 1 r 1 r lim Sn S lim n Si el límite existe, como en este caso, se lo interpreta como suma de la serie. En otras palabras tenemos una generalización de la suma. Resumiendo, si la cantidad de objetos a ser sumados es finita los procedimientos aritméticos elementales bastarán, mientras que si los objetos pertenecen a una colección infinita estaremos supeditados a la existencia del límite de la sucesión de las sumas parciales. En lo que concierne a nuestro caso, tenemos que: r i 0 i 1 1 r siendo r 1 Continuación y final de nuestra narración matemática. Se trata de encontrar la posición de Aquiles y la Tortuga a la vista de nuestra nueva idea de suma: v A T T0 T i 0 v A i A T T0 1 v 1 T vA A T T0 t T0 v A v A v A vT vA v A vT Para el tiempo tenemos: T v t 0 T v A i 0 v A i t T0 1 v A 1 vT vA t T0 v A vT Estos resultados son idénticos a los obtenidos en la descripción cinemática de la carrera. Aclaremos que no fue necesario objetarle a Zenón la posibilidad de dividir el espacio y el tiempo de manera indefinida. A esta altura la paradoja parece superada si acordamos con la tercera de las respuestas de Popper al problema de la aplicación del cálculo lógico-aritmético a la realidad: En la medida en que un cálculo se aplica a la realidad pierde el carácter de cálculo lógicoaritmético y se convierte en una teoría descriptiva que puede ser empíricamente refutable… También podemos darnos valor recordando las palabras de Henri Poincaré: ¿Es el análisis matemático un simple juego de la mente? Sirve para proporcionar a la Física un lenguaje conveniente; ¿no es este un servicio mediocre que, estrictamente considerado, es prescindible?; más aún, ¿no es de temerse que este lenguaje artificial pueda ser un velo interpuesto entre la realidad y el ojo del físico? Lejos de ello; sin este lenguaje, la mayor parte de las íntimas analogías de las cosas habrían permanecido por siempre ocultas a nosotros; y por siempre hubiéramos permanecido ignorantes de la armonía íntima del mundo… Sin embargo parece prudente dejar la discusión abierta y siguiendo a Borges dar la calificación de joya “para la paradoja de Aquiles, tan indiferente a las decisivas refutaciones que desde más de veintitrés siglos la derogan, que ya podemos saludarla inmortal‖. Página 175 de 632 Conclusiones En nuestra tarea docente hemos utilizado este problema como disparador previo a la presentación de límites con excelentes resultados, tanto en el último año de la enseñanza media (17, 18 años) como en el primer año universitario en los cursos de Cálculo. Respecto a la metodología de trabajo podemos resumir que se ha presentado el problema de distintos modos, como tarea de investigación, como taller, como exposición inaugural, etc. También hemos utilizado este problema como proyecto de investigación luego de haber cubierto los temas que implican su resolución. En todos los casos el ajuste y la integración de conceptos es significativa pero además la reflexión sobre el uso de las herramientas formales en la descripción de situaciones fácticas es muy enriquecedora. Referencias bibliográficas Borges, J. L. (1932). Discusión. Buenos Aires: EMECE. Ferrater Mora, J. (2004). Diccionario de Filosofía. Barcelona: Ariel. Kaplan, W. (1971). Cálculo Avanzado. México: CECSA Popper, K. R. (1967). El desarrollo del conocimiento científico. Conjeturas y refutaciones. Buenos Aires: Paidós Spivak, M. (1970). Calculus. Cálculo Infinitesimal. Barcelona: Reverté Página 176 de 632 UN RELEVAMIENTO DE DIFICULTADES QUE SUPONE EL APRENDIZAJE DE CONCEPTOS DEL CALCULO Quiroga, Marisa; Sorribas, Estela Facultad de Ciencias Bioquímicas y Farmacéuticas – UNR – Santa Fe (Argentina) [email protected] ; [email protected] Palabras clave: Dificultades de aprendizaje, razonamiento deductivo, visualización, preconceptos Nivel Educativo: secundario, universitario RESUMEN Desde nuestra experiencia observamos que los alumnos de primer año de la facultad, cometen errores que constituyen un verdadero obstáculo para el desarrollo de cualquier tipo de habilidad matemática. Estamos convencidas que los docentes del ciclo superior, debemos generar alternativas y comprometernos para que nuestros estudiantes puedan superar estos obstáculos. Pretendemos, con este trabajo (enmarcado en el proyecto: "La significación de los contenidos conceptuales en la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo en las carreras de Ingeniería y Agrimensura"), analizar si los alumnos de este año en particular, siguen teniendo las dificultades que se repiten año a año, o si se ha producido alguna variación con respecto a otros grupos, para a partir de allí planificar actividades para superar estos problemas. Para ello, procedimos a la recolección de datos a través de una actividad e indagamos sobre cuestiones como: visualización, pasajes de registros, conocimientos previos y preconceptos, para trabajar las clases teniéndolas en cuenta. Analizando los resultados, es que concluimos que no sólo persisten los errores sino que hasta podrían haberse profundizado respecto de años anteriores, no están familiarizados con el tipo de razonamiento lógico-deductivo que requieren; aún no han desarrollado completamente la capacidad de visualización y poseen preconceptos que obstaculizan el aprendizaje significativo de algunos conceptos matemáticos. Nuestra propuesta sería entonces reforzar las cuestiones lógicas e incorporar herramientas (TIC´s) que faciliten la visualización de los objetos matemáticos. Consideramos que una actividad factible y muy beneficiosa es la implementación de talleres extracurriculares de resolución de problemas. FUNDAMENTACION DE ESTE TRABAJO Desde nuestra experiencia áulica e investigaciones realizadas acerca del tipo y la naturaleza de los errores cometidos por nuestros alumnos de primer año de la facultad (Quiroga et al, 2005; Sorribas et al, 2006), hemos observado que dichos errores se constituyen en un verdadero obstáculo para el desarrollo de cualquier tipo de habilidad matemática, llevando a muchos de ellos al fracaso. (Braccialarghe et al, 2004; Figueroa et al, 2004) A partir del conocimiento de esta situación, estamos convencidas que los docentes del ciclo superior, debemos generar alternativas y comprometernos para que nuestros estudiantes puedan superar estos obstáculos. Contextualizamos este trabajo en la Facultad de Ciencias Bioquímicas y Farmacéuticas de la Universidad Nacional de Rosario en la que somos docentes en la asignatura Matemática I correspondiente al Ciclo Básico de las carreras de Licenciaturas en Biotecnología, en Química y Profesorado en Química. Asimismo, con este trabajo complementamos uno análogo realizado en la Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura (Introcaso et al 2009). Página 177 de 632 Ambos trabajos se enmarcan en el proyecto (Cod: ING 215 UNR): "La significación de los contenidos conceptuales en la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo en las carreras de Ingeniería y Agrimensura". Este proyecto se extendió este año (2009) a las carreras de Licenciaturas en Biotecnología y Química. No pretendemos, con este trabajo, detectar las causas de estos errores sino analizar si los alumnos de este año en particular, tienen las dificultades que se repiten año a año, o si se ha producido alguna variación con respecto a otros grupos, para a partir de este análisis planificar actividades para superar estos problemas. Estamos convencidas que los errores frecuentemente cometidos por los estudiantes de Matemática ponen de manifiesto falencias en su formación en lo que hace a temas de Precálculo que obstaculizan la comprensión de los conceptos básicos de esta disciplina. Estas falencias han sido analizadas por numerosos autores, notándose en la evolución de la investigación en Didáctica –como refieren Azcárate & Camacho (2003)– una clara evolución desde el estudio de los errores y dificultades del alumnado hacia investigaciones acerca del conocimiento de los estudiantes que subyace a dichas dificultades. Más aún, investigadores en Didáctica de la Matemática encuentran que los alumnos tienen “concepciones espontáneas” (Azcárate et al,1996) que pueden convertirse en obstáculos a la hora del aprendizaje de los conceptos; tienen también dificultades para utilizar adecuadamente las representaciones gráficas (Guzmán Retamal, 1998), y para la comprensión y el manejo de símbolos (Azcárate et al, 1996). Los trabajos respecto a la formación matemática de los estudiantes en su educación preuniversitaria, coinciden, en general, en que resulta tan importante que el estudiante logre encontrar sentido a las ideas matemáticas como que adquiera las capacidades necesarias para aplicarlas. Sobre la base de nuestra experiencia docente en el ámbito universitario, consideramos fundamental que el alumno no sólo aprenda una gama de contenidos, reglas y fórmulas matemáticas, sino que también desarrolle un conjunto de habilidades y estrategias que le permitan la aplicación de los conceptos aprendidos. Para esto, es necesario un alumno que haya superado ciertas instancias de razonamiento, y haya logrado avanzar sobre el razonamiento inductivo, que no se apoye permanentemente en lo concreto. Según Piaget (1955): en el período de las operaciones formales se alcanza el equilibrio operatorio, se producen cambios trascendentes que permiten que la inteligencia se libere de lo concreto para pensar lógicamente. El adolescente adquiere la capacidad de razonar en base a combinaciones proposicionales, puede elaborar hipótesis y razonar sobre enunciados sin necesidad de relacionarlos con la realidad. Las operaciones formales consisten, esencialmente en implicaciones (en el sentido estricto del término) e incompatibilidades establecidas entre proposiciones (Pag. 191). Por su parte, en nuestra asignatura se requiere de una fuerte interpretación de gráficos, que pasa necesariamente por su visualización; entendiendo por ella la “habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar información visual en el pensamiento y el lenguaje del que aprende” (Cantoral, 2002). Para realizar la actividad de visualización es necesario que el alumno sea capaz de lograr un fluido pasaje entre los diferentes registros (numérico, gráfico, algebraico o verbal) (Bonacina et al (2005). Respecto de la capacidad de visualización existen numerosas investigaciones que coinciden en que los estudiantes tienen muchas dificultades al usar las gráficas para comunicar o extraer información (Wainer, 1992), o aplicar lo aprendido en clases de matemática, física u otras materias (Mc Dermott et al, 1987). Una clasificación de las dificultades de los estudiantes en la compresión de las gráficas realizada por Leinhardt el al, (1990) plantea cuatro tipos de categorías: la confusión entre pendiente y “altura”, la confusión entre un intervalo y un punto, el ver la gráfica como un dibujo y la concepción de gráfica como un conjunto. A partir de todo lo expuesto es que indagaremos sobre estas cuestiones: visualización, pasajes de registros, conocimientos previos y preconceptos de los alumnos sobre algunos Página 178 de 632 conceptos del Análisis con el objetivo primordial de poder trabajar la clase teniéndolas en cuenta. TRABAJO DE CAMPO Se procedió a la recolección de datos a través de: - Una actividad esencialmente de ejercitación - La resolución y discusión grupal de la actividad. Los participantes del estudio fueron 85 alumnos ingresantes a las carreras de Licenciatura en Biotecnología y Licenciatura en Química de la Facultad de Ciencias Bioquímicas y Farmacéuticas del año 2009. La actividad se implementó una vez que los alumnos concluyeron el Curso de Nivelación, dictado en la Facultad al inicio del ciclo lectivo. Dicho curso tuvo por objetivo repasar y profundizar temas del ciclo anterior. Entre los conceptos involucrados en ella se encuentran los de: intervalo, gráfica de una función, distancia entre dos puntos, pendiente de una recta, números racionales e irracionales, sucesiones, que son parte de los temas desarrollados en el curso de Nivelación. Cabe destacar que los alumnos no fueron informados de la implementación de esta actividad con antelación. La Actividad desarrollada por los alumnos fue la siguiente: • EJERCICIO 1: Observa las gráficas y completa la tabla: Intervalo a) (,1) b) (1,1) c) d) (2,+) signo de y1 >0 signo de y2 <0 >0 signo del producto y1 y2 <0 >0 En este ejercicio nos planteamos como objetivo analizar cómo los alumnos relacionan el concepto de representación de puntos en un sistema coordenado, con la regla de los signos y con la noción intervalos. Página 179 de 632 EJ. 1 b) EJ. 1 a) 10% NO RESPONDE 12% NO RESPONDE REGULAR REGULAR 14% 14% 47% 54% 22% MAL BIEN BIEN MAL 27% EJ. 1 c) EJ. 1 d) NO RESPONDE NO RESPONDE 39% 24% BIEN 21% REGULAR 0% 8% REGULAR 10% MAL 69% MAL 29% BIEN Observamos que, dado el intervalo, aproximadamente la mitad de los alumnos pudo determinar si la función es positiva o negativa pero no recíprocamente. Es notable el aumento de respuestas correctas al determinar el signo de la función cuando la gráfica de la curva se encuentra en el primer cuadrante. Asimismo detectamos que pueden aplicar la regla de los signos con más facilidad que leer un gráfico. • EJERCICIO 2: La siguiente es la gráfica de: a) b) y = x2 y1= x2 c) d) y = x2 1 y = (x1)2 Página 180 de 632 En este ejercicio pretendemos analizar si logran identificar una gráfica con su expresión algebraica. EJ. 2 5 % NO RESPONDE 19 % MAL Como se observa, casi el 80% de los alumnos respondieron bien. 76 % BIEN • EJERCICIO 3: ¿Cuál es la mínima distancia de la curva al origen de coordenadas? (marca el segmento que medirías) En este ejercicio nos propusimos determinar si los alumnos conocen el concepto de distancia de un punto a una curva y cómo visualizan la misma. EJ. 3 a) 29% EJ. 3 b) NO RESPONDE 35% NO RESPONDE 35% BIEN REGULAR 1% 56% 14% MAL BIEN 3% REGULAR MAL 27% Como se observa en los gráficos, más de la mitad de los alumnos interpretan la noción de distancia de un punto a una curva cuando el segmento que mide la misma se encuentra en el primer cuadrante. En el otro caso, son pocos los que responden correctamente y entre los que lo hacen mal muchos toman como distancia el segmento de recta que mide la distancia del punto intersección entre la curva y el eje x con el origen de coordenadas. • EJERCICIO 4: El punto P (2,4) pertenece a una recta que pasa por el origen de coordenadas ¿cuál es la pendiente de dicha recta? Página 181 de 632 Ej. 4 En este ejercicio, muchos de los alumnos que respondieron mal, dan el ángulo en lugar de la pendiente. Dentro de los que respondieron bien, el 10% sólo escribe 2, con lo que no se sabe si tienen idea de la pendiente o confunden con la abscisa del punto. NO RESPONDE 38 % 23 % NO JUSTIFICA 33 % BIEN 10 % JUSTIFICA 29 MAL % • EJERCICIO 5: La siguiente afirmación ¿es verdadera o falsa? – a < 0, cualquiera sea a R El objetivo que nos planteamos en este ejercicio fue determinar si los alumnos pueden reconocer que una letra representa un número que puede ser menor, mayor ó igual a cero. A pesar que el 84% de los alumnos respondió bien, un poco más de la mitad justifica correctamente Ej. 5 NO RESPONDE 37% NO 5% 84% BIEN 12% 46% MAL JUSTIFICA • EJERCICIO 6: ¿Racional ó Irracional? Completa la siguiente tabla: Número ¿Racional o irracional? ¿Positivo o negativo? Valor absoluto del número Si el número es racional, su expresión como cociente de enteros es: 0,1 0,1010010001... 0,10101010... 1 3,121212... Con este ejercicio pretendemos analizar si los alumnos diferencian números racionales de irracionales, si conocen la representación decimal de los números reales y si manejan la definición de valor absoluto de un número real. En general, casi todos los alumnos tienen la idea de orden en . Nos resultó llamativo que la mayoría no puede representar en fracción a los números racionales. Además fue notorio el aumento en la dificultad que se produjo cuando el número está presentado como una diferencia. Página 182 de 632 • EJERCICIO 7: Se deja caer una pelota desde 2 m de altura sobre una superficie horizontal. Cada vez que la pelota llega al suelo, tras caer desde una altura h, rebota hasta una altura h/2. a) ¿Podrías calcular la distancia total recorrida por la pelota? Explica tu respuesta. b) ¿Podrías decir cuántos rebotes hará la pelota? Explica tu respuesta. Para resolver este problema, los alumnos deberían conocer los conceptos de sucesión y serie, pero ese no fue el objetivo que nos planteamos sino analizar cómo interpretan la situación y que ideas previas tienen de procesos infinitos. EJ. 7 a) EJ. 7 b) 15% BIEN 15% BIEN 22% MAL 33% MAL 51% REGULAR 1% 60% NO RESPONDE REGULAR NO RESPONDE 3% Un gran porcentaje hace cuentas comenzando con un valor arbitrario de “h”. Algunos, a pesar de no tener formalizado el concepto, se dan cuenta que no pueden dar el número de rebotes en la distancia recorrida. Además observamos problemas en la comunicación escrita, desde la presentación del problema en la hoja durante la resolución, pasando por la falta de organización, coherencia con que presentan las respuestas. • EJERCICIO 8: La siguiente afirmación es verdadera: Juan aprueba la materia si contesta bien una última pregunta. Decide entonces si es verdadera o falsa cada una de las que siguen: a) b) c) d) Si Juan no contesta la última pregunta, entonces no aprueba la materia Si Juan no aprueba la materia, entonces no contestó bien la última pregunta Juan aprueba la materia sólo si contesta bien la última pregunta Juan puede no haber aprobado la materia aún habiendo contestado bien la última pregunta En estos ítems se ponen en juego principios de Lógica proposicional y Tablas de verdad. En general, parece que responden haciendo “TA TE TI”, no se puede evidenciar si relacionan lo pedido con el razonamiento lógico necesario para responder. Lo que aquí queda al descubierto, es que – en general – los alumnos no son capaces de distinguir el nivel de asignación de valor de verdad a las proposiciones o enunciados, del nivel de validez de un razonamiento. • EJERCICIO 9: Página 183 de 632 una curva en ¿Qué entiendes por recta tangente a un punto? EJ. 10 5% BIEN 21% MAL No responde 74% La mayoría de los alumnos no contesta. De los pocos que intentan dar una definición matemática (que casualmente son los recursantes), el 100% lo hacen mal. ANALISIS DE RESULTADOS Y PROPUESTAS Analizando los resultados de la actividad y en base a las justificaciones dadas por los alumnos en cada una de sus respuestas, es que concluimos que no sólo persisten los errores sino que hasta podrían haberse profundizado respecto de años anteriores, no están familiarizados con el tipo de razonamiento lógico-deductivo que requieren para afrontar la asignatura Matemática; aún no han desarrollado completamente la capacidad de visualización y poseen preconceptos que obstaculizan el aprendizaje significativo de algunos conceptos matemáticos. La pregunta es: ¿Qué podemos hacer, los docentes, conociendo las causas de las dificultades de nuestros alumnos para facilitarles la tarea de aprender? Suponemos que los alumnos que recibimos en primer año de la facultad deberían poder razonar lógicamente, razonar sobre enunciados en los que se combinen proposiciones lógicas. Sin embargo, la realidad nos presenta generalmente un panorama bastante más desalentador que atenta contra la rigidez de las divisiones cronológicas establecidas por Piaget y las que separan niñez, adolescencia y juventud. Al respecto, pensamos que las edades que marcan tales divisiones pueden haber sido desplazadas en el mismo sentido en que lo fueron las edades que limitan por ejemplo las etapas de adolescencia o juventud; todo esto respondiendo en gran medida a sobredeterminaciones provenientes del entorno físico, cultural, social e histórico. Frente a esto consideramos que los aprendizajes que deben realizarse a partir de poder razonar sobre enunciados en donde se combinen proposiciones lógicas que sean acompañados por ejemplos, gráficos y/u objetos concretos que sean necesarios. De ahí la importancia que adquiere la visualización para la comprensión e interpretación de ciertos conceptos matemáticos. Si sólo damos la definición del concepto, las manipulaciones puramente sintácticas pueden ocasionar un aprendizaje memorístico, desprovisto de sentido. Si acompañamos al concepto con la visualización lograremos a nuestro entender una mejor comprensión. La visualización se ha convertido en un tópico importante de las diversas escuelas del pensamiento relacionadas con la enseñanza y aprendizaje de la matemática. Principalmente se la ubica como componente de los procesos mentales que tienen lugar en la actividad matemática, aunque se tiene claro que al relacionarse estrechamente con la percepción se presenta también en diversas situaciones de la vida cotidiana. Creemos que la capacidad de visualizar no es sencilla ni simple. En los últimos años observamos que son cada vez más los estudiantes que no pueden valerse de la visualización como una herramienta útil y paso previo para relacionar, clasificar, organizar…, en definitiva, conceptuar. Por otro lado, las concepciones espontáneas sobre algunos conceptos centrales en Análisis Matemático que poseen nuestros alumnos, pueden convertirse en obstáculos a la hora del aprendizaje significativo de los mismos en el contexto de esta materia. Es conocida la idea de Página 184 de 632 Bachelard (1988) sobre obstáculo epistemológico, como el efecto limitativo de un sistema de conceptos sobre el desarrollo del pensamiento. Un obstáculo es entonces una concepción que ha sido en principio eficiente para resolver algún tipo de problemas pero que falla cuando se aplica a otro. Debido a su éxito previo se resiste a ser modificado o a ser rechazado: viene a ser una barrera para un aprendizaje posterior. Una actividad posterior podrá ser realizada con el objetivo de corroborar estas ideas. Nuestras propuestas serían entonces, por un lado, reforzar las cuestiones lógicas con actividades tendientes a poner en claro el tipo de razonamiento que se espera que ellos sean capaces de llevar a cabo en el desarrollo de los diversos temas de la materia, y por otro, incorporar herramientas (TIC´s) (Quiroga, Sorribas et al, 2005) que faciliten la visualización de situaciones y que les permitan “manipular” los objetos matemáticos en juego con el fin de facilitar el paso de registro y lograr que estos objetos puedan ser utilizados en diferentes contextos y para resolver situaciones diversas. Consideramos que una actividad factible y muy beneficiosa es la implementación de talleres extracurriculares de resolución de problemas. BIBLIOGRAFIA • • • • • • • • • • • • • Azcárate, C.; Bosch, D.; Casadevall, M. y Casellas, E. (1996). Cálculo Diferencial e integral. España: Editorial Síntesis. Azcarate, C y Camacho Machın,M. (2003). Sobre la Investigación en Didáctica del Análisis Matemático. 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Facultad de Ciencias Exactas. UNCPBA. 2 CONICET- Argentina [email protected]; [email protected] Nivel Educativo: Medio Palabras clave: argumentación, imágenes, libros de texto, enseñanza secundaria 1 Resumen En esta investigación se estudia la argumentación matemática en 137 textos para la enseñanza secundaria, editados entre los años 1940 y 2007. Los ejemplares se analizan realizando una categorización inductiva que toma en cuenta diversos aspectos de la argumentación mediante tres metacategorías: características de los libros de texto, características de la argumentación y relación entre las imágenes externas y la argumentación. A partir de las variables y modalidades asociadas a cada metacategoría se realiza todo el análisis de los libros, con el objetivo de determinar algunas características distintivas entre el total de ejemplares estudiados de acuerdo al período de edición de los libros. 1. Introducción La relevancia de estudiar los cambios que se producen en torno a la argumentación a lo largo del tiempo deriva de las características identificadas en los libros de matemática analizados; que obedecen a ciertas particularidades determinadas por el período en que fueron editados dichos textos. Se evidencian modificaciones en la forma en que se inicia la argumentación, en la manera de concebir a la matemática, en los tipos de razonamientos empleados, en las actividades o situaciones que proponen, y sobre todo, cambios relacionados con cuestiones “estéticas” de los libros, debido a la cantidad de colores y de imágenes que cambian en cada momento y que se incrementan a medida que los libros corresponden a ediciones mas recientes. A partir de esta observación, surge la necesidad de analizar el uso que se hace de las representaciones externas y las características de las mismas en cada período de edición de los ejemplares analizados. Estos resultados podrían contribuir con la enseñanza de la matemática en el nivel medio y en particular con aquellos docentes en formación y en servicio que, por lo general consultan y utilizan estos libros, proporcionando a partir de esta investigación herramientas teóricas que les ayuden a reflexionar y sustentar decisiones didácticas que son responsabilidad suya. 2. Marco teórico En nuestro trabajo se asume una definición específica de argumentación que considera las relaciones entre argumentación y construcción de conocimiento, en el sentido que le atribuye Leitão (2001, 2007). Se analiza a partir de este referente, cuales son las características de los libros que explícitamente posibilitan al lector insertarse en procesos de negociación de divergencias consigo mismo. Leitão considera que tres elementos como mínimo, constituyen una unidad de análisis efectiva para este propósito: argumento, contra-argumento y respuesta. En un sentido estricto, la idea de unidad de análisis aplicada a este conjunto de elementos implica que el análisis de cualquiera de ellos (o de un subconjunto de ellos) por separado no permitiría capturar el proceso de revisión de perspectivas que la argumentación pone en marcha. Esta afirmación no impide que se reconozca que cada uno de estos elementos Página 187 de 632 contribuye de forma específica en la implementación de la propia actividad argumentativa (función discursiva), en la instalación de procesos de revisión (función psicológica) y en la transformación del conocimiento (función epistémica). Para poder realizar todo el análisis de los libros es necesario considerar por otro lado, a la argumentación en un sentido amplio. En este sentido, la argumentación es inherente a los principios dialógicos de los enunciados (todo enunciado es producido intencionalmente en la dirección de otro). Se considera que ―enunciar es argumentar‖ (Goulart, 2007), es “actuar” sobre los otros, lo que significa que va mas allá de comprender y responder enunciados. 3. Preguntas de la investigación 3.1- ¿Es posible realizar una clasificación y encontrar semejanzas entre el conjunto de libros analizados, respecto de sus características distintivas? 3.2- ¿Cuál es la relación entre las imágenes externas y la argumentación? 3.3- ¿Cómo varía el “grado de la argumentación” en los diferentes períodos de edición considerados? 4. Metodología Para llevar a cabo la investigación, se realiza un muestreo intencional y se seleccionan los textos más utilizados y representativos del nivel medio en el Sistema Educativo Argentino. Se estudian 137 ejemplares y se utilizan técnicas de análisis y meta-análisis como las que se emplean para analizar protocolos de entrevistas. Para el diseño y la construcción de las categorías y subcategorías de análisis se estudian 12 libros correspondientes a los cursos de ingreso a la Universidad, que conservan características prototípicas en la organización de los contenidos que coinciden con los de la Educación Media, y 125 libros de matemática del nivel medio. Se generaron inductivamente categorías y subcategorías de análisis que se ajustan a las características de los libros de texto y al marco teórico de la investigación que se organizan en tres metacategorías: (1) características de los libros de texto, (2) características de la argumentación y (3) relación entre las imágenes externas y la argumentación. Las categorías y subcategorías de análisis, se definen y describen en la tabla a continuación. A1 – PERI (Período de edición) A2 – ESCO (Año de escolaridad) A- CARACTERÍSTICAS DE LOS LIBROS DE TEXTO A1.1- Período 1: Libros de texto editados entre 1940 y 1973. Se identifican 19 textos. A1.2- Período 2: Libros de texto editados entre 1974 y 1994, anteriores a la reforma educativa de 1994. Se identifican 34 textos. A1.3- Período 3: Libros de texto editados entre 1995 y 2007, correspondientes a la reforma educativa vigente desde 1995. Se identifican 84 libros. A2.1- Escolaridad 1: Libros de texto dirigidos a la escolaridad 7, 8 y 9; correspondientes a los alumnos entre 12 y 14 años. Se identifican 76 ejemplares. A2.2- Escolaridad 2: Libros de texto dirigidos a la escolaridad 10, 11 y 12 correspondientes a los alumnos entre 15 y 17 años. Se identifican 49 ejemplares. A2.3- Escolaridad 3: Libros de texto dirigidos a alumnos que cursan el ingreso a la Universidad, correspondientes a estudiantes a partir de los 18 años. Se identifican 12 ejemplares. Página 188 de 632 A3.1- Tradición Computacional: Libros que muestran a la matemática como una disciplina ocupada en la resolución de problemas de cálculo, en los números, y en las operaciones que se puedan realizar con ellos. Se identifican 101 libros. A3 – TRAD A3.2- Tradición Axiomática: Libros que comienzan ofreciendo definiciones, (Tradiciones de proponen principios y utilizando las formas correctas de razonamiento, se la matemática) deducen a partir ellos los teoremas y se presentan los pasos de las demostraciones respectivas. Se identifican 25 libros A3.3- Tradición Estructuralista: Libros que muestran al trabajo matemático como búsqueda de regularidades y entendimiento de estructuras que cumplen una misma serie de condiciones. Se identifican 11 libros. B- CARACTERÍSTICAS DE LA ARGUMENTACIÓN B1.1- Pregunta: Libros de texto que comienzan formulando una cuestión, mediante una situación problema o preguntas, que generalmente más tarde se responden. Se identifican 53 ejemplares. B1 – INAR B1.2- Definición: Libros que comienzan empleando definiciones para (Inicio de la introducir un nuevo conocimiento. Se identifican 60 ejemplares. argumentación) B1.3- Ejemplos: Libros de texto que utilizan ejemplos para introducir un contenido, a partir de los cuales, el conocimiento puede ser generalizado. Se identifican 24 libros. B2.1- Argumentación Deductiva: Libros que emplean razonamientos deductivos. Se identifican 64 libros. B2 - TIAR (Tipo de B2.2- Argumentación Inductiva: Libros que generalizan a partir del análisis argumentación) de ejemplos o mediante transformaciones sobre un ejemplo seleccionado, tomado como representante. Se identifican 73 ejemplares. B3.1- Alto: Libros cuyo discurso intenta generar explícitamente algún tipo de confrontación, sin resolverlo en el texto. Se identifican 5 ejemplares. B3 – GRAD B3.2- Medio: Libros que intentan generar explícitamente algún tipo de (Grado de confrontación, que el texto resuelve mas adelante. Se identifican 51 argumentación) ejemplares. B3.3- Nulo: (Leitão, noviembre 2007; comunicación personal) libros que informan. Se identifican 81 libros con la subcategoría. C – RELACIÓN ENTRE IMÁGENES EXTERNAS Y ARGUMENTACIÓN C1.1- Ornamental: Caracteriza a los libros en los que mayoritariamente se usan las imágenes con un fin decorativo, no estrictamente relacionadas al C1 – USOI contenido. Se identifican 37 libros. (Uso de la C1.2- Argumentativa: Identifica a los libros que emplean las imágenes como imagen) fuente de información, a partir de la cual el conocimiento puede ser derivado. Se identifican 100 ejemplares en esta categoría. C2.1- Representaciones matemáticas: Imágenes que potencialmente aportan a la argumentación en lenguaje matemático. Se identifican 93 C2 – TIIM (Tipo ejemplares. de imagen) C2.2- Representaciones extra matemáticas: Imágenes que no aportan a la argumentación en lenguaje matemático. Se identifican 44 ejemplares. C3.1- Conceptual: Imágenes que representan relaciones y características fijas entre los elementos representados, es decir muestran cómo pueden ser C3 – ESTI categorizadas las cosas. Se identifican 101 ejemplares. (Estilo C3.2- Narrativa: Imágenes que muestran acciones entre los objetos gramatical de participantes, y es posible construir con ellas alguna narración – una la imagen) dimensión temporal- que representa una relación transaccional entre los objetos que las componen. Se identifican 36 ejemplares. Página 189 de 632 C4 – REEM (Relación con el “mundo que vivimos”) C4.1- Naturalista: imágenes que hacen referencia directa al mundo que experimentamos. Son imágenes detalladas y complejas. Se identifican 44 libros. C4.2- Abstracta: imágenes que no hacen referencia a aspectos del mundo que experimentamos. Se identifican 93 ejemplares. La categorización se transforma en un conjunto de variables nominales y modalidades siguiendo los criterios del Análisis Exploratorio de Datos (Lebart, Morineau, 1994). Para considerar la posibilidad de realizar de un estudio empleando técnicas cuantitativas, se realizó un análisis de contingencia entre las variables, que mostró la existencia de asociaciones significativas entre un conjunto de ellas. En virtud de este análisis, se decidió fusionar las modalidades de la variable “grado de argumentación”, y se redujo el número de modalidades a aquellas que efectivamente presentaban asociación significativa. Esta modalidad tiene ahora asociadas dos modalidades: argumentativo y no argumentativo. La primera resulta de fusionar las modalidades que describen el grado de argumentación alto y medio (dado que con la modalidad grado de argumentación alto sólo se identifican 5 ejemplares entre los 137 libros estudiados) y la segunda (no argumentativos) coincide con la descripción de grado de argumentación nulo. 5. Análisis de datos y resultados Para realizar un análisis cuantitativo a partir de las variables y modalidades asociadas a las características de los 137 ejemplares estudiados, se utilizan técnicas provenientes del Análisis Multivariado de Datos. La técnica de reducción factorial proporciona una síntesis de la información que permite analizar las principales conjunciones-oposiciones entre las variables en planos factoriales y proporciona una visión directa y global de los datos. El análisis factorial es un requisito previo para el análisis de clúster que permite encontrar tipologías y detectar asociaciones de variables, o características relacionadas en el conjunto de libros analizados. Para realizar el Análisis Factorial de Correspondencias Múltiples (Benzecri, 1980; Lebart, Morineau y Fenelon, 1985), se determinan las variables activas y nominales y se introducen al análisis la totalidad de las mismas. Se seleccionan como variables activas: tradiciones, inicio de la argumentación, tipo de argumentación, grado de argumentación, uso de la imagen y tipo de imagen. Los tres primeros factores, determinan el 68,76 % de la varianza explicada. Las variables que más contribuyen a la conformación del primer factor son: uso de la imagen y grado de argumentación. Lo que esto explica es que las grandes diferencias relativas a la argumentación entre los libros analizados se dan en el uso decorativo o argumentativo de las imágenes implementadas en los ejemplares o en las confrontaciones explícitas propuestas en los libros, a diferencia de los que informan al lector. Luego del análisis factorial se realizó una clasificación para encontrar una posible tipología entre el conjunto de libros de texto analizados. La clasificación es inductiva y se basa en la búsqueda de regularidades entre los 137 libros. Se parte de los individuos (los libros) y se procede por agrupamientos sucesivos, tratando de descubrir las grandes líneas que describen al conjunto. Se busca una partición del conjunto de libros en partes bien separadas, y que a su vez reúna a los más próximos entre sí. En este caso se seleccionó una partición en tres clases y el análisis se realizó con relación a esta partición óptima. Las clases tienen asociadas ciertas características que se detallan a continuación; y pueden identificarse en el Gráfico 1. Página 190 de 632 Gráfico 1: Representación de los individuos en cada clase y de los parangones La CLASE 1/3 ―no confrontativos - abstractos‖ reúne 53 libros. Estos ejemplares se caracterizan por iniciar la argumentación mediante una definición y el tipo de argumentación que predomina es de deductiva. Los libros de esta clase además hacen un uso de las imágenes de tipo argumentativo, representaciones en lenguaje matemático, el estilo gramatical de las mismas es conceptual y la relación con el mundo que vivimos es abstracta. Principalmente se trata de textos editados entre 1940 y 1973 correspondiente al primer período de edición considerado y el estilo de argumentación es no confrontativo. La mayoría de los ejemplares de la Clase 1 se identifican con las tradiciones axiomática y estructuralista. Los libros ―no confrontativos – abstractos‖ inician cada capítulo con definiciones y no proponen explícitamente ningún tipo de confrontación; son libros que informan. Este grupo de libros han sido editados en el primer período considerado, y muestran el trabajo matemático como búsqueda de regularidades y entendimientos de estructuras, empleando razonamientos deductivos. Las imágenes se emplean como fuente de información y colaboran en el entendimiento de un determinado conocimiento, en lenguaje matemático. La CLASE 2/3 ―confrontativos‖ reúne 35 ejemplares. Estos ejemplares se caracterizan con el estilo de argumentación confrontativo y por iniciar la argumentación mediante una pregunta. Las imágenes son implementadas con fines argumentativos y las argumentaciones son de tipo deductivas. Los libros ―confrontativos‖ plantean explícitamente algún tipo de confrontación que por lo general tiene la respectiva respuesta. La argumentación se inicia mediante una pregunta, y esto indica que desde el comienzo del capítulo hay una intención confrontativa. Las imágenes son implementadas como fuente de información, a partir de las cuales el conocimiento puede ser derivado y el tipo de argumentación que predomina es deductivo. La CLASE 3/3 ―no confrontativos - estéticos‖ agrupa 49 ejemplares. Estos libros se caracterizan principalmente por hacer un uso de las imágenes ornamental y por informar al lector. Las imágenes implementadas son narrativas y naturalistas, y aportan a la argumentación Página 191 de 632 en lenguaje extra matemático. Están vinculadas a aspectos del mundo que vivimos. El tipo de argumentación es inductivo y el inicio de la argumentación se da mediante un ejemplo. En esta clase los libros se identifican con la tradición computacional y se caracterizan por pertenecer a ediciones posteriores a la reforma educativa. En esta clase ―no confrontativo – estético‖ los libros se caracterizan principalmente por implementar imágenes que son utilizadas con fines decorativos, estéticos y con el único objetivo de informar al lector. Gran parte de los libros de esta clase muestran a la matemática como una disciplina que básicamente se ocupa de los números y de las operaciones que se pueden realizar con estos; obteniendo como resultado datos numéricos. Los capítulos se inician mediante un ejemplo, a partir del cual el conocimiento puede ser generalizado. Las imágenes están implementadas con fines decorativos, vinculadas a aspectos del mundo que vivimos y que es posible construir con ellas alguna narración. Estas representaciones aportan a la argumentación en lenguaje no matemático. Para comprender además algunas de las relaciones existentes entre las variables y sus modalidades, se realizó un análisis de contingencia que mostró la existencia de asociación características de la argumentación y las características de las representaciones externas. 6. Conclusiones A partir del análisis realizado, es posible describir y comprender posibles modificaciones en la argumentación matemática en los ejemplares editados entre 1940 y 2007. Se afirma que se establece una fuerte relación entre: el período de edición, el año de escolaridad al que los libros están dirigidos, las características de la argumentación y la finalidad con que se utilizan las representaciones externas, no así con el grado de argumentación. Realizando un análisis conjunto de las variables y modalidades, es posible mostrar ciertos atributos que obedecen a la forma de concebir y fundamentar la matemática en cada uno de los momentos en que han sido editados dichos ejemplares y se responde a cada una de las preguntas inicialmente planteadas. Asumiendo una noción de argumentación en un sentido amplio se responden las dos primeras preguntas. Respecto de la posibilidad de realizar una clasificación, se describió anteriormente que los ejemplares se agrupan en tres clases caracterizadas principalmente por el estilo de argumentación y el uso de las imágenes. Los ejemplares se distribuyen en cada clase, de acuerdo a las características que presentan. Los libros “no confrontativos – abstractos”, que son 53, se caracterizan principalmente con el estilo de Argumentación no confrontativo y por hacer un uso de imágenes de tipo argumentativo. En esta clase los libros son axiomáticos o estructuralista y emplean razonamientos deductivos. Los 35 ejemplares “no confrontativos – estéticos”, emplean imágenes con fines decorativos, son computacionales y emplean razonamientos inductivos. Los libros que generan explícitamente confrontaciones que son resueltas a continuación, forman el grupo de los ejemplares “confrontativos”, y en esta clase se identifican 49 libros. En esta última clase la argumentación se inicia mediante preguntas y las imágenes son implementadas con fines argumentativos. De esta descripción de las clases se concluye que hay más libros informativos que confrontativos, y más libros de matemática que emplean imágenes argumentativas antes que decorativas. Respecto de las características de las imágenes externas en cada uno de los períodos de edición y de la relación entre dichas representaciones y la argumentación, podemos indicar que las imágenes empleadas en los libros, se agrupan en dos grandes conjuntos: Imágenes que están implementadas como fuente de información, a partir de las cuales se puede derivar un determinado conocimiento (imagen argumentativa). Estas representaciones externas estarían al servicio del contenido, aportan a la argumentación matemática y corresponden a todos los períodos de edición, principalmente el primero. Página 192 de 632 Las representaciones externas empleadas con fines ornamentales, decorativos -no estrictamente relacionadas al contenido- no facilitan la comprensión del objeto matemático a abordar (no aportan a la argumentación matemática) y por la forma en que son usadas, parecería que el único objetivo sería motivar al lector o bien responder a la imposición de la cultura visual actual (imágenes no argumentativas). Asumiendo una noción de argumentación en un sentido estricto es posible responder a la última de las preguntas planteadas en este trabajo, acerca de la variación del “grado de argumentación” en cada uno de los períodos de edición de los libros. Como la confrontación explícita de puntos de vista se asume como condición necesaria para definir la argumentación, se concluye que ninguno de los textos del conjunto sería argumentativo. En el mejor de los casos es posible llegar hasta el grado de argumentación medio, donde si bien se plantea explícitamente alguna confrontación, a continuación se resuelve y se informa al lector la solución. No habría argumentación en ningún período, porque los libros son informativos. Esta ausencia de argumentación que se hace evidente luego del análisis realizado, conduce a reflexionar acerca de la proporción entre aspectos informativos y estrictamente argumentativos que efectivamente pueden plantearse en un texto escolar. Bibliografía Benzécri, J. P. (1980). Práctique de l´Anályse des Dones T1 y2. Paris: Dunod. Cisia-Ceresta. (1998). SPAD. 3.5 integrado versión PC. Francia: Centre International de Statistique et d´Informatique Appliquées. Goulart, C. M. A. (2007). Enunciar é argumentar: analisando um episódio de uma aula de História com base em Bakhtin. Revista Pro-Posições – Dossie: Argumentação e construção do Conhecimento: estudos em sala de aula. Vol. 18, nº 3 (54), 93-108. 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Página 193 de 632 CONSTRUCCIÓN DE SECUENCIA DE ENSEÑANZA EN MATEMÁTICA, QUE FAVOREZCA LA ARTICULACIÓN DE NIVELES AUTORES: Odetti Héctor, Fernandez Elena, Marcipar Katz Susana, Ferrero Susana, Perusini Marina, Silvestrini Sonia, Marenoni Analía, Auday Rubén; Acosta, Marisa; Fregona, Rita; Senn, Liliana; Tosoratto, Laura INSTITUCIONES: Universidad Nacional del Litoral- Instituto Superior de Profesorado N° 2Instituto Superior de Profesorado N° 20 - ARGENTINA CORREO ELECTRÓNICO: [email protected] Nivel educativo: Medio y Superior Palabras clave: Expresiones Algebraicas, Funciones Polinómicas, Ecuación, Parábola. RESUMEN En el marco de los Proyectos de Investigación Científica y Tecnológica Orientados, la Universidad Nacional del Litoral, el Instituto Superior de Profesorado N°2 y el Institu to Superior de Profesorado N°20, llevan adelante el proyecto denominado: “ Un espacio compartido entre la investigación educativa y las prácticas docentes. Construcción de secuencias de enseñanza en Matemática, Química y Lengua que favorezcan la articulación de niveles”. El presente trabajo, metodológicamente, se centró en la Hipótesis: la construcción de un espacio de interacción entre la investigación educativa y las prácticas docentes permite diseñar secuencias de enseñanza favorecedoras de aprendizajes específicos y de articulaciones pertinentes entre la educación media y los estudios superiores. Espacio que reunió a quienes realizan la investigación y a los que tienen a cargo las prácticas docentes en ambos niveles. En primer lugar fue necesario, a partir de las experiencias y datos aportados por los actores involucrados, indagar e identificar los nudos problemáticos que presentan los alumnos al momento de ingresar a la educación superior: en el área matemática, la disociación entre las expresiones polinómicas de una variable y las funciones polinómicas asociadas, el estudio de la ecuación de 2º grado, su resolución: cálculo e interpretación de soluciones, construcción e interpretación de gráficas y sus elementos . Luego de este trabajo conjunto se elaboró una secuencia de enseñanza para desarrollar en los últimos cursos de la educación media, durante el año 2009, basada en el análisis de situaciones reales relativas a accidentes de tránsito: el estudio de las relaciones entre la velocidad de los automóviles, la distancia de reacción y la distancia de frenado, en piso seco o húmedo. Y por último, corroborar la hipótesis planteada, mediante la aplicación y evaluación de la secuencia diseñada, desde una lógica cuantitativa y otra cualitativa para triangul ar luego la información, etapa en la que se está trabajando. MARCO TEÓRICO Este trabajo parte de consensuar nudos problemáticos, en el área de matemática, que presentan los alumnos al ingresar a estudios de nivel superior, tales como la disociación entre la noción de expresiones polinómicas de una variable y la noción de funciones polinómicas asociadas a ellas, necesaria para el estudio de la ecuación de 2º grado, su resolución: cálculo e interpretación de soluciones, construcción e interpretación de gráficas y sus elementos. Para abordar esta problemática se diseñó, planificó y desarrolló una secuencia de enseñanza, teniendo en cuenta cinco tareas necesarias para tal fin (Dominguez, 2007): Página 194 de 632 1° Contenido académico seleccionado: a) Breve reseña histórica: la noción de función se originó por el interés en el cambio, tuvo diferentes concepciones a través de la historia: primero como relación entre magnitudes variables, luego como razón o proporción (Galileo), como curva analítico-geométrica (Descartes y Fermat), y más adelante como expresión analítica (Lagrange). El desarrollo de la teoría de funciones se basó en tres pilares: el crecimiento de los cálculos matemáticos, la creación del álgebra simbólico-literal y la extensión del concepto de número. El término “función” (del latín functo: ―acto de realizar”) proviene de Leibnitz que analizó matemáticamente el comportamiento de las curvas, y en el siglo XIX Dirichlet introdujo la definición hoy usada. b) Transposición didáctica: la noción de función se desarrolla, en la educación media o secundaria, desde el 1° año con los conceptos fundamentales, en 2° año en relación con el estudio de magnitudes directas e inversamente proporcionales, y a partir de 3° año y siguientes, funciones polinómicas de primer, segundo, y n grados, funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. c) Motivos para su enseñanza: el estudio de funciones se considera eje central de la matemática, sobre todo en el análisis matemático, dada su incidencia en el desarrollo de la matemática, otras ciencias y la tecnología. 2° Determinación de la problemática de la enseñanza y del aprendizaje, en función de las experiencias particulares: Dificultades en la asociación entre las expresiones polinómicas de una variable y las funciones polinómicas, necesaria para el abordaje de Ecuación de 2º grado, resolución: cálculo e interpretación de las soluciones como raíces, construcción e interpretación de gráficas y sus elementos. 3° Formulación, selección y secuenciación de objetivos. Objetivo particular: Apoyar el proceso de enseñanza y aprendizaje de las funciones reales, en sus diferentes representaciones: numérica, gráfica y algebraica, e integración de éstas, usando distintos recursos. 4° Selección de Estrategias didácticas: la metodología de trabajo se organizó en tres fases: a) de inicio: valorar conocimientos previos de los estudiantes sobre la noción de expresión algebraica; b) de desarrollo: conceptualizar la noción de función polinómica de 2° grado con una variable; y c) de aplicación: aplicar conceptos y procedimientos a situaciones problemáticas y justificar, argumentar, comunicar procedimientos de resolución. 5° Estrategias de Evaluación: se consideraron dos aspectos: la evaluación del aprendizaje adquirido, mediante el desarrollo de la secuencia de enseñanza, y la evaluación del método mediante la obtención de información, derivada del seguimiento continuo de las respuestas, discusiones y argumentos de los estudiantes durante el desarrollo de las actividades propuestas. METODOLOGÍA: de la propuesta de trabajo con los alumnos. Se recomienda el trabajo en pequeños grupos de alumnos y la participación del docente estimulando el desarrollo de capacidades para anticipar- estimar- conjeturar – resolver – valorar – modificar, proponiendo actividades para resolver tanto con lápiz y papel como con NTIC. SECUENCIA DE ACTIVIDADES FASE DE INICIO: actividades de reconocimiento e interpretación de expresiones algebraicas en distintos contextos, por ejemplo en: el cálculo del interés de financiación (I), en función del tiempo que dura la operación (t), en el estudio de la oferta y la demanda, la relación entre el precio y la cantidad de unidades del producto y un valor constante. Página 195 de 632 el estudio de distintos tipos de movimientos y en particular el rectilíneo uniformemente variado, donde se determinan velocidades finales de un móvil ( v f) en función de la distancia que recorre (d), la aceleración (a), o el tiempo (t). la determinación de la sensación térmica en función de la temperatura del aire, la velocidad del viento. Las expresiones algebraicas correspondientes a los ejemplos planteados, se clasifican en: Expresiones Algebraicas Racionales Enteras Irracionales Fraccionarias A continuación se planteó el cálculo de área y volumen de un prisma en función de la longitud de sus lados, expresados éstos en términos de una variable, para llegar a ecuaciones que permitan calcularlos, así como sus representaciones en un mismo sistema de ejes de coordenadas cartesianas. FASE DE DESARROLLO: función de 2do grado como función polinómica, fórmulas, gráficos: elementos, variación al cambiar cada coeficiente, uso de graficadores. Se propone el estudio particular, de las funciones polinómicas de 2º grado de una variable, a partir de la siguiente publicación: “…La asociación civil argentina Luchemos por la vida, informó que durante el año 2005 murieron en el país por accidentes de tránsito 7138 personas, lo que equivale a 595 muertes por mes, o 20 cada 24 hs. La provincia de Santa Fe, donde se notificaron 552 de esas muertes, ocupa el 2º lugar del país en cantidad de casos, detrás de la provincia de Buenos Aires…”. Estas cifras han ido aumentando, de manera tal que, llega a considerarse que los accidentes de tránsitos son la 1° causa de muerte entre los niños mayores de 1 año y adolescentes (Beltramino, 2007). Este problemática llevo a analizar la siguiente situación, extraída del Manual de educación vial para el conductor de la Municipalidad de Rafaela (SF): En un día claro y seco, sobre una ruta asfaltada, un auto atropella a otro. ¿Se podría haber evitado el accidente? Cuando un conductor encuentra un peligro en la ruta y necesita frenar para no impactar con él, pasa un cierto tiempo desde que decide hacerlo hasta que realmente pisa el freno, esto se llama tiempo de reacción. Ese tiempo, que es aproximadamente de unos 3 de segundo, y que 4 te puede parecer insignificante, da lugar a un recorrido del coche tanto más largo cuanto mayor sea la velocidad que trae. Pero, además, el coche no para automáticamente cuando se pisa el freno, sino que recorre una distancia, a la que se llama distancia de frenado debida a la inercia, que también será más larga cuanto mayor sea la velocidad que trae.. O sea que para lograr la detención total del vehículo hay que considerar dos distancias, a saber: 1º la Distancia de reacción: que representa la distancia recorrida hasta el momento de accionar el freno y 2º la Distancia de frenado: que representa la distancia que recorrerá después del frenado hasta detenerse completamente. Es decir que, desde que el conductor aprecia el peligro hasta que el coche se detiene, se recorre una distancia, tanto mayor cuanto mayor sea la velocidad, ésta se llama distancia total recorrida y es igual a la suma de las otras dos. Página 196 de 632 Haciendo uso de la matemática, las distancias necesarias para frenar un automóvil, calculadas en metros y contando con el sistema de frenos y cubiertas en buen estado, sobre pavimento seco o húmedo, se especifican en el siguiente gráfico, para las distintas velocidades. Tabla de distancia de frenado km/h 20 30 4 8 5 metros recorridos durante el tiempo 9 7 7,5 14,5 13 40 de reacción 13 20,5 12 10 metros recorridos después del frenado 22 22 50 60 100 40 48 63 33 17,5 90 distancia total recorrida 45,5 25 15 hasta detenerse -PAVIMENTO HÚMEDO 29,5 33 70 80 metros recorridos después del frenado 32 17 12,5 hasta detenerse -PAVIMENTO SECO 20 22,5 25 50,5 64 81,5 43 63 84 104 55 77,5 105 127,5 68 93 130 155 A partir de esta situación y los datos brindados se trabajan las siguientes temáticas: La matemática y la educación vial, La distancia de reacción y la función de primer grado: Analizando magnitudes que se relacionan, unidades de medida en que se expresa cada una, conjunto numérico a los que pertenecen los datos, variable dependiente e independiente, fórmulas, gráficas, dominio y codominio, rango o imagen. Página 197 de 632 Distancia de frenado y la función de segundo grado: Utilizando software educativo, para obtener, a partir de la tabla y la gráfica, la fórmula de una función con dominio en el intervalo [20,100] y codominio en el intervalo [4,68], que no corresponde a un modelo lineal, si a un nuevo modelo: la función polinómica de 2º grado en una variable. Visualización de la PARÁBOLA, sus elementos, determinación de las fórmulas de la función polinómica de 2º grado en sus distintas variantes y desplazamientos, a través de diferentes actividades. Fórmula de la resolvente de la ecuación de segundo grado, análisis del discriminante y naturaleza de las raíces. FASE DE APLICACIÓN: las funciones polinómicas de 2° grado como modelo matemático en situaciones problemáticas de: Caída libre: a partir de la publicación N°50 del instituto de seguridad y educación vial (2004): en el que se relaciona el hecho de caer desde una determinada altura con chocar de frente a cierta velocidad, y problema clásico de Disparo de emergencia: En ambas situaciones se propone la construcción de tabla donde se expresa la relación entre el tiempo transcurrido y la altura a la que se encuentra el objeto en cada instante y su correspondiente gráfica en un sistema de ejes de coordenadas. Otros conceptos que se abordan son máximos, mínimos y raíces de la función, su interpretación e importancia en la resolución de problemas. Por último se retoma la situación planteada inicialmente: distancia de frenado sobre piso seco, con la intención de determinar: La distancia total recorrida = distancia de reacción + distancia de frenado. Análisis de factores que determinan la variación de la distancia total recorrida. Se sugiere hacer idéntico análisis para la situación en que el auto necesite frenar sobre piso húmedo. EVALUACIÓN: respecto de los aprendizajes de los alumnos 1) A partir de las distintas actividades realizadas y las situaciones problemáticas abordadas, donde se utilizó de una manera implícita o explícita distintos conceptos matemáticos, se propone completar el siguiente cuadro: Situación Variable independiente Variable dependiente Gráfica de la función asociada a la situación Fórmula de la función asociada a la situación Modelo matemático u objeto matemático utilizado Gráfica de la función Fórmula de la función Distancia de reacción Distancia de frenado Distancia total El auto que cae del Página 198 de 632 edificio Disparo de emergencia 2) Ordenar los conceptos y tratar de relacionarlos entre sí, mediante la elaboración de un mapa conceptual. 3) Volver a la situación inicial: ―La Matemática y la educación vial‖ y responder a la situación planteada en ella. BIBLIOGRAFÍA Alsina, C (2008)-El club de la hipotenusa. Un paseo por la historia de las matemáticas a través de sus anécdotas más divertidas. Barcelona. España. Editorial Ariel. Beltramino J.C. y Fernández E. (2007). El respeto a las normas de tránsito en la ciudad de Santa Fe. Argentina. Revista Panamericana, salud pública. Domínguez, J.M., editor y otros (2007). Actividades para la enseñanza en el aula de ciencias: fundamentos y planificación. Santa Fe. Ediciones UNL. Kaczor, P.; Franco, E. y otros (1999). Matemática I. Buenos Aires. Argentina. Ediciones Santillana S.A. Colección Polimodal. TRABAJOS CITADOS Asociación civil Luchemos por la vida. Accidentes de tránsitos. Estadísticas. www.luchemos.org.ar/espa consulta: 19/02/2009 Instituto de seguridad y educación vial. http://www.isev.com.ar/uploads/Boletin_Seguridad_Vial-DIC-04.pdf. Consulta 24/02/09 Municipalidad de Rafaela. (2002). Manual de educación vial para el conductor Secretaría de Gobierno. Rafaela. Argentina. Página 199 de 632 MATEMÁTICA Y LAS REPRESENTACIONES DE UNA FUNCIÓN Bianchiman, Valeria - De Lucca, Adriana Instituto Superior del Profesorado Río Grande – Tierra del Fuego- Argentina e-mail: [email protected] Nivel: Medio y Terciario Palabras Clave: función, representaciones semióticas, registros, conversión. Resumen La formación de un concepto matemático se lleva a cabo a través de un largo proceso de construcciones y reconstrucciones sucesivas. La experiencia en el aula de nivel medio da muestras de las dificultades que se presentan para la construcción del concepto de funcional. La idea de esta propuesta es generar una oportunidad de trabajo con la representación de una función en diferentes registros. El trabajo de reflexión sobre la identificación del modelo funcional a partir de sus diferentes registros favorece, a nuestro entender, el enriquecimiento de las representaciones mentales que los alumnos construyen de las funciones que se pondrán a consideración en este taller. El taller en sí, representa una propuesta didáctica que requerirá relacionar, identificar, convertir, reflexionar y justificar caracterizaciones de funciones reales de una variable independiente, utilizando distintos tipos de registros representacionales. Introducción Durante el año 2007 se emprende una investigación consistente en indagar sobre los conocimientos, ideas previas y preparación que los alumnos tienen al momento de ingresar al profesorado de matemática. De dicha investigación surge, entre otros datos importantes, que: Las representaciones mentales que tienen del concepto de función se limitan, en mayor o menor medida, a tablas de valores y gráficos cartesianos Los modelos funcionales que recuerdan son el modelo lineal y el cuadrático Desde la cátedra de Didáctica de la Matemática del Instituto de Profesorado Río Grande, se decide diseñar una propuesta de taller, destinada a estos alumnos, cuando ya se hallan cursando el 1er año del Profesorado de Matemática, con la finalidad de trabajar en el enriquecimiento de estas representaciones. En el diseño y puesta en marcha de este taller participaron, también, alumnos del 3er año del profesorado de matemática. Marco teórico Entendemos que la estructura cognitiva de un individuo asociada a un concepto matemático incluye todas las representaciones mentales, las propiedades y los procesos asociados al concepto; definiendo como “representación mental” al conjunto de todas las imágenes asociadas al concepto en su mente, incluyendo cualquier representación del mismo (gráfica, numérica, simbólica, etc.). (TALL Y VINNER, 1981). Sabemos, además, que se construye a lo largo de los años a través de experiencias de todo tipo y va cambiando según el individuo madura y halla nuevos estímulos. Para la elaboración del diseño de este taller, centramos la atención en la “teoría de las representaciones semióticas”, desarrollada por R. Duval (1996, 1999) quien constata en sus investigaciones dos aspectos importantes a tener en cuenta: La no accesibilidad de los objetos matemáticos fuera de un sistema semiótico aunque sea rudimentario. Los objetos matemáticos, no son objetos reales, como pueden ser los Página 200 de 632 propios de las disciplinas como la biología o la física que pueden ser manipulables. Reconociendo la necesidad de describir y aprender cómo funcionan ciertos sistemas de representación: representaciones graficas de formas (funciones o no), representaciones de la escritura literal y algebraica, representaciones que son las figuras en geometría, etc. La necesidad de nunca confundir un objeto con su representación semiótica (un número y su escritura, un objeto geométrico y la figura que lo representa, etc.) Duval, considera dos características esenciales de la actividad matemática: el cambio y la coordinación de los registros de representación semiótica. Por ejemplo, si se consideran los registros de representación: lingüísticos (lenguaje natural, escritura algebraica, lenguaje formal) u otros registros (figuras geométricas, gráficos cartesianos, tablas, etc.), se entiende por cambio de registro de representación “a la conversión de la representación de alguna cosa en una representación de esta misma cosa en otro sistema semiótico”. Por ejemplo, realizamos un cambio cuando al resolver un problema matemático usamos un grafico cartesiano para representar una función y en el siguiente paso de la resolución, expresamos con una ecuación algebraica la misma función. Por otro lado, como en el dominio del conocimiento matemático se movilizan diferentes registros de representación, también es necesario coordinarlos. R. Duval (1993) afirma “por un lado, la aprehensión de los objetos matemáticos no puede ser otra cosa que una aprehensión conceptual y, por otro lado, solamente por medio de las representaciones semióticas es posible una actividad sobre los objetos matemáticos”, si asumimos que las representaciones mentales se ponen de manifiesto a través de las representaciones semióticas no sólo para fines de comunicación, sino para favorecer la formación de nuevos conocimientos, el desarrollo de las representaciones mentales o el cumplimiento de diferentes funciones cognitivas como la objetivación y el tratamiento, o para la formación de nuevos conocimientos. En este sentido reconocemos como semiosis a la aprehensión o a la producción de una representación semiótica, y noesis a la aprehensión conceptual de un objeto, es entonces necesario afirmar que tanto la noesis como la semiosis son inseparables. Existen tres actividades fundamentales ligadas a la semiosis, que son: La formación de una representación identificable, que implica una selección de rasgos del contenido por representar. El tratamiento de una representación, que es la transformación de una representación en el registro mismo donde ha sido formada. La conversión de una representación, que es la transformación de una representación en otro registro, conservando la totalidad o solamente parte del contenido de la representación inicial. En cuanto a la noesis, que trata la aprehensión conceptual de un objeto, es importante destacar que: La necesidad de utilizar varios registros de representación es una característica del pensamiento humano La creación de nuevos conocimientos requiere la creación y desarrollo de nuevos sistemas de representación. En este sentido, es necesario, considerar la economía del tratamiento, la complementariedad de los registros y la coordinación de los mismos para lograr una conceptualización. Para este taller se utilizarán los sistemas de representación grafico, analítico y verbal, así como el tratamiento y la conversión entre ellos. Objetivos específicos Establecer relaciones entre distintos tipos de representaciones semióticas de las funciones lineal, cuadrática, exponencial, módulo, mantisa, logarítmica y trigonométrica. Ofrecer una propuesta didáctica que provoque el enriquecimiento de las representaciones mentales que tienen los alumnos de los modelos funcionales. Página 201 de 632 Actividades propuestas para el presente taller En una primera etapa se ofrecerá una colección de tarjetas que contienen distintos registros de diferentes modelos funcionales: Tarjetas conteniendo gráficos cartesianos Tarjetas conteniendo la situación problemática que puede modelizarse a través de la función Tarjetas conteniendo la expresión en lenguaje natural de alguna propiedad o descripción de las funciones Tarjetas conteniendo la expresión algebraica Tarjetas conteniendo tablas de valores Todas las tarjetas estarán referidas a los siguientes modelos funcionales: Función lineal, cuadrática, exponencial, módulo, mantisa, logarítmica y trigonométrica. Con esta colección, los asistentes, reunidos en pequeños grupos, deberán responder a la consigna: Relacionar los gráficos con las situaciones, fórmulas y enunciados que crean que se corresponden. Diseñar un afiche con la red de relaciones encontradas. En la segunda etapa se pedirá a los asistentes que expongan su afiche y argumenten brevemente su trabajo en forma oral. Exponer las relaciones encontradas y justificarlas. En la tercera etapa se propondrá a los asistentes que elijan alguna de las líneas trabajadas en la red y elaboren una línea original de similares características. En la cuarta etapa se expondrán brevemente los aspectos teóricos didácticos y las conclusiones de la experiencia realizada durante el taller. Cantidad de asistentes: Por la cantidad de material y las características del mismo se establece como cupo la cantidad máxima de 30 asistentes. Bibliografía Azcárate Giménez, C. y Camacho Machín, M. (2003). Sobre la Investigación en Didáctica del Análisis Matemático Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, Vol. X, No. 2, pp 135-148. Camuyrano, M; Crippa, A y otros. (1998). Matemática: Temas de su didáctica. Pro Ciencia. Ministerio de Cultura y Educación de la Nación Argentina. Douady, Regine. (1984). Juego de marcos y Dialéctica instrumento-objeto en la enseñanza de la matemática. Universidad de París. Duval, R. (1993). Registres de representation semiotique et fonctionnement cognitif de la pensée, Annale de Didactique et de Sciences Cognitives, pp. 5, 37-65. Duval, R. (1996). Quel cognitif retenir en didactique des mathématiques? Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 6, 3, pp. 349-382. Duval, R. (1999b). Representation, vision and visualization: cognitive functions in mathematical thinking, basic issues for learning. Actas del PME 23, pp. 3-26. Gysin, L. y Fernández, G. (1999). Matemática: Una mirada Funcional. Serie Polimodal. AZ Editora. Tall, D. y Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in Mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, Nº 12, pp. 151- 169. Zetetiké/Unicamp (1996). Faculdade de Educação, Revista do Círculo de Estudo, Memoria e Pesquisa em Educação Matemática. V.4, n.5, pp.89-97. Página 202 de 632 JUEGOS EN EL AULA Irene Zapico, Teresa Fernández, Pamela Abregú, Ezequiel Lobatto, Silvia Tajeyan, José Vera Ocampo, M. Eugenia Fernández, M. Cecilia Meliá. Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González” – Ciudad de Buenos Aires Argentina [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] Nivel Educativo: Escuela Media (alumnos de 13 a 18 años) Palabras clave: Juegos con lápiz y papel - Mnemotest – Dominó – Juegos de tablero – Naipes Resumen Este taller se basa en parte del trabajo realizado, en los últimos años, por el equipo de investigación que integramos, dependiente del Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González”. Nuestra propuesta consiste en dar forma de juego a la ejercitación de diferentes contenidos que se ven en la escuela, con el objetivo de estimular a nuestros alumnos y despertar su interés hacia la matemática. Tomando palabras de Martin Gardner: "Con seguridad el mejor camino para despertar a un estudiante consiste en ofrecerle un intrigante juego, puzzle, truco de magia, chiste, paradoja, pareado de naturaleza matemática o cualquiera de entre una veintena de cosas que los profesores aburridos tienden a evitar porque parecen frívolas". (Gardner, 1983) En el taller comenzaremos por presentar a los asistentes diferentes juegos que hemos diseñado, pensados para alumnos de 13 a 18 años. Los del primer encuentro son para resolver con lápiz y papel, los asistentes serán invitados a resolverlos y, luego, a diseñar algunos similares. En el segundo encuentro presentaremos juegos de mesa, los hemos ideado dando contenido matemático a formatos tradicionales (Crucigrama, Mnemotest, Dominó, Juegos de tablero, Mazos de Naipes) y su fabricación es casera y artesanal; los repartiremos entre los docentes que concurran al taller para que experimenten jugando con ellos y luego reflexionemos sobre su implementación. Se hará el cierre con una puesta en común sobre los comentarios y conclusiones que a cada uno le sugiera el trabajo realizado. Desarrollo Este taller se basa en parte del trabajo realizado por el equipo de investigación que integramos, dependiente del Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González”. “¿Dónde termina el juego y dónde comienza la matemática seria? Una pregunta capciosa que admite múltiples respuestas. Para muchos de los que ven la matemática desde fuera, ésta, mortalmente aburrida, nada tiene que ver con el juego. En cambio, para los más de entre los matemáticos, la matemática nunca deja totalmente de ser un juego, aunque además de ello pueda ser otras muchas cosas.” (Guzmán, 1984) Compartimos esta idea y, considerando que nuestro territorio es el de la enseñanza de la matemática, con la intención de contrarrestar el concepto de que es “mortalmente aburrida”, hemos dado al juego un espacio en el aula. Volviendo a citar a Miguel de Guzmán: “La actividad matemática ha tenido desde siempre una componente lúdica que ha sido la que ha dado lugar a una buena parte de las creaciones más interesantes que en ella han surgido.” Más adelante agrega: “El matemático experto comienza su aproximación a cualquier cuestión de su campo con el mismo espíritu explorador con el que Página 203 de 632 un niño comienza a investigar un juguete recién estrenado, abierto a la sorpresa, con profunda curiosidad ante el misterio que poco a poco espera iluminar, con el placentero esfuerzo del descubrimiento ¿Por qué no usar este mismo espíritu en nuestra aproximación pedagógica a las matemáticas?” Proponemos que, algunos momentos de las clases de matemática, la actividad central sea lúdica y, a través de ella, se practiquen, se resuelvan y/o se repasen diversos contenidos de los programas escolares. El objetivo es estimular, despertar el interés y el entusiasmo de nuestros jóvenes estudiantes hacia nuestra materia. ¿Qué necesitan hoy los estudiantes? Las exigencias que lo cotidiano plantea, en diferentes ámbitos, requieren que sean capaces de resolver problemas, de analizar críticamente y transformar la realidad, de identificar conceptos y, también, que estén preparados para aprender a aprender, aprender a hacer, aprender a ser y descubrir el conocimiento de una manera amena, interesante y motivadora. El juego es una actividad de recreación que sirve para desarrollar, adquirir o ejercitar capacidades mediante una participación activa y afectiva de los estudiantes, por lo que el aprendizaje creativo se transforma en una experiencia feliz y, no nos cabe duda de que es deseable incorporar experiencias felices a la escuela. En cuanto al desarrollo del taller, en el primer encuentro presentaremos juegos con lápiz y papel; los asistentes serán invitados a resolverlos y, luego, a diseñar algunos similares. La última instancia de esa primera jornada será una puesta en común en base a lo trabajado. En el segundo encuentro, repartiremos juegos de mesa (fabricados por nosotros) para que los docentes jueguen y puedan luego, en la puesta en común, opinar sobre los momentos adecuados para llevarlos al aula, su conveniencia y eficiencia. A continuación mostramos las actividades que se realizarán y damos ejemplos de algunas de ellas. Pirámides numéricas: Permiten ejercitar las operaciones con números racionales y resolver ecuaciones. Fábrica de números: Utilizando todas las operaciones conocidas y tu ingenio: (ejemplos) 1) Con un 5 y dos 3, fabricar un 128 2) Con un 7, un 6 y un 0, fabricar un 5. 3) Con un 7, un 6 y un 0, fabricar un 0. 4) Con un 7, un 6 y un 0, fabricar un 6. 5) Con un 7, un 6 y un 0, fabricar un 1. 6) Con tres números 2 escribir el número 2, al menos de tres maneras diferentes. Posta con cálculos: El resultado del primer cálculo debe ubicarse en el espacio punteado del segundo, debe hacerse lo mismo con el segundo y el tercero. 1º) 144 + 9x5 - 03 - 105:3 = 2º) 132:_ _ _ - 120 + 81 + 15 = 3º) 7x8 + 10 - 210:_ _ _ - 49 = Respuesta: 36 Posta con problemas: Se resuelve con el mismo mecanismo de la posta con cálculos, el resultado de un problema es dato del siguiente. 1º) ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 5 y 7? Página 204 de 632 2º) Si al siguiente de un número se lo multiplica por cuatro y luego se le suma tres se obtiene _ _ _ _ . ¿Cuál es ese número? 3º) El abuelo Manuel, que es amante de la matemática, estuvo reflexionando y dijo: “el primer décimo de mi vida lo pasé con mis padres; 1/5 de ella estuve pupilo en un colegio y 1/12 en la universidad. Apenas me gradué, me casé con mi querida Laura, con quien compartí ½ de mi vida; ahora hace ya _ _ _ _ años que soy viudo. ¿Cuántos años tiene el abuelo Manuel? Respuesta: 60 años Congreso de profesores: Los asistentes resolverán lo planteado en el texto y luego desglosarán los fragmentos que pueden utilizarse por separado, según los precisen. Era un día espléndido. El cielo estaba absolutamente despejado y mostraba un color celeste purísimo, la temperatura era agradable, una brisa muy leve daba un suave movimiento a las copas de los árboles. En medio de las sierras, en el Hotel Los Bochos, todo era tranquilidad, paz y sosiego. Eran las siete de la mañana y el dueño del hotel, con algunos de sus empleados, estaban preparando el desayuno para los pocos turistas que se alojaban allí; todavía no había comenzado la temporada. De pronto apareció un coche, subiendo por el camino de tierra, que se estacionó frente a Los Bochos, de él descendió un hombre muy apurado que entró al hotel golpeando las manos para ser atendido. El dueño del hotel apareció rápidamente preguntándole qué deseaba y pidiéndole que no hiciera ruido, ya que los huéspedes aún dormían. –Soy el Profesor Raúl Togni –dijo el recién llegado– y vengo a confirmar las reservas hechas para nuestro congreso. – ¿Qué reservas y qué congreso? –preguntó el dueño del hotel. –Por favor, no me haga bromas, viene un equipo de brillantes profesores que yo coordino, ellos son: Elsa Cone, Roque Laite y Leo Scesis. Además, contamos con la asistencia del célebre profesor Omar Geet, que a pesar de su avanzada edad sigue liderando la enseñanza de nuestra materia: Viene acompañado de su hijo, el profesor Mario Geet, que no sólo es la mano derecha de su padre, también brilla con luz propia, por sus conocimientos y su inteligencia. Si estas presencias no le parecieran suficientes, también vendrá el equipo del profesor Darío Clauter, integrado por los talentosos profesores Pamela Gorlaro, M. B. Oro, Dardo Cau, Angel Rocut, Paco Tier y Pedro Zeita. –Señor –terminó diciendo Raúl Togni–, le he nombrado a todos los profesores más insignes, conocidos y reconocidos en nuestra área, no me dirá que no puede darnos alojamiento para realizar nuestro congreso. –Profesor –le contestó el dueño del hotel–, yo no he dicho eso, al contrario, será para mí un placer, y un buen negocio, hospedarlos; pero aún no me ha contado de qué son profesores todos estos profesores. Raúl Togni suspiró aliviado, obviamente el hotel no iba a perderse el negocio de hospedarlos por unos días. Mirando el cartel que ostentaba el nombre del lugar, le dijo al dueño: – ¡Qué buen nombre el que usted ha elegido! ¿Usted es también un “bocho”?, si lo es podrá deducir cuál es nuestra disciplina, pues todos nuestros nombres y apellidos son anagramas de palabras que tienen que ver con ella. Es más, si usted descifra todos los anagramas, dejaremos abundantes propinas. El dueño del hotel frunció el ceño y le pidió al Profesor Raúl Togni que le repitiera todos los nombres y le permitiera anotarlos. Así se hizo, e inclusive le agregó los de tres profesoras que no habían confirmado su presencia, pero tenían interés en concurrir: María Citet, Corina Pesoe e Inés Cauceo. En el caso de estar en el lugar del dueño del hotel, ¿podrías ganarte las propinas? Soluciones: El congreso es de matemática. Página 205 de 632 Omar Geet >> Geómetra Triángulo Roque Laite >> Equilátero Escaleno Darío Clauter >> Cuadrilátero Dardo Cau >> Cuadrado Pedro Zeita >> Trapezoide Corina Pesoe >> Operaciones Mario Geet >> Geometría Raúl Togni >> Leo Scesis >> Isósceles Elsa Cone >> Pamela Gorlaro >> Paralelogramo M.B. Oro >> Rombo Angel Rocut >> Rectángulo Paco Tier >> Trapecio María Citet >> Aritmética Inés Cauceo >> Ecuaciones Crucigramas: Damos un ejemplo: Ejemplo: Crucigrama algebraico 1 2 Horizontales: 3 4 4 5 6 7 8 1) x1 6) 11 12 15 5) 5 3 27.(2) 1 2x x 1 23 2x - 2 3 5 11) 5x – 5.3 = 4x + (22) 2 7) (x – 33)2 = 10 000 3) 2x + x – 20 = 4) 3 3 14) 3 (-x + 2) + (x – 3). 4 = 6 1 x 1 1 10 49 . 8) x 3x x 200 2x 15) 2 4 2 Verticales: 4 x 3 2) 4 4 2 . 1 2 10) 3x + 6 = 5x – 62 + x 3 7) – 3x + 23 = – 2. (x + 3) 13 14 9) -3 (x + 10) = (x + 80) (- 2) 3) (4x -5 ). 2 = 2x – 100 9 10 x 2 6 .3 3 2 3 +2 0 12) 2. (3 + x )2 = 54. 2 13) = 7 2 1 + 1 = 3 4 125 x -1 3 + -2 Juegos de mesa: Dominó con operaciones En base al tradicional juego de dominó, las fichas tienen cálculos en lugar de los clásicos puntitos, damos como ejemplo tres de esas fichas y sus equivalentes en el dominó: 3 3 2 (7–5) x (11–9) Página 206 de 632 24 - 4 2 21 5 0 x ( - 25 ) 37 36 Mnemotest También nos hemos inspirado en otro juego de mesa clásico, que nuestros alumnos conocen desde muy pequeños: el mnemotest. Número de jugadores: dos o tres. Reglas: a) Se colocan todas las fichas boca abajo sobre la mesa o pupitre. b) Los jugadores, alternadamente, levantan dos fichas; si forman una igualdad se las quedan, si no es así las colocan nuevamente boca abajo en los lugares en que estaban y pasa el turno al siguiente jugador. c) El objetivo es encontrar el máximo de parejas y el jugador que consiga más será el ganador. Damos a continuación algunas de las fichas de uno de ellos: Mnemotest logarítmico: Log 0,1 -1 Log2 64 6 Log2 0,5 -1 Loga a 1 Logb 1 b -1 Log3 -2 1 9 Juegos de tablero A los juegos ya presentados se agregan los de tablero. Estos se inspiran en el antiguo Juego de la Oca. Hemos diseñado varios, con diferentes contenidos. Mostramos acá un ejemplo: Página 207 de 632 Juego Geométrico (con tablero, fichas y dado) Instrucciones: Cada jugador utiliza una ficha de distinto color. Se ubican todos a la izquierda de la casilla número 1. Por turno, arrojan un dado y avanzan el número de casillas que éste indique. Luego de avanzar lo que corresponda, el jugador debe obedecer la consigna de la casilla a la que llegó. Gana el que llega primero a la número 18. 1 2 3 4 5 6 11 10 9 8 7 12 18 13 14 15 16 17 Consignas: 1 Avanzar dos casillas 2 Retroceder 1 casilla 3 ¿Qué son los ángulos suplementarios? 4 ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero? 5 ¿Qué relación existe entre los ángulos opuestos por el vértice? 6 ¿Qué relación existe entre los ángulos conjugados (internos o externos) entre paralelas? 7 ¿Qué son los ángulos adyacentes? 8 ¿Qué relación existe entre los ángulos correspondientes entre paralelas? 9 ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un triángulo? 10 Retroceder 3 casillas 11 Avanzar dos casillas 12 ¿Qué relación existe entre un ángulo exterior de un triángulo y los dos interiores no adyacentes? 13 ¿Qué relación existe entre los ángulos alternos (internos o externos) entre paralelas? 14 ¿Qué es la bisectriz de un ángulo? Página 208 de 632 15 ¿Qué son los ángulos complementarios? 16 ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo? 17 Retroceder 3 casillas. 18 ¡Felicitaciones! Cumpliste el objetivo. Naipes Egipcios: El mecanismo de juego es similar al de la “Casita Robada”; la diferencia es que se han reemplazado los valores de las cartas españolas (del 1 al 12) por expresiones trigonométricas. Cada carta tiene una expresión equivalentes en cada uno de los otros tres palos. También fueron cambiados los palos tradicionales por otros de temática egipcia, cada uno con una imagen diferente. Por ejemplo, las expresiones de estas cuatro cartas tienen el mismo valor. Nótese que cada una de ellas tiene distinto “palo”. Cos180º Tg135 Sen270 1 H A B Todos estos juegos, y otros similares, con distintos contenidos pero los mismos formatos, se rotarán entre los asistentes al taller para que experimenten jugando y reflexionen sobre su uso en las clases de matemática. Bibliografía Gardner, M. (1983). Carnaval Matemático. Madrid, España: Alianza Editorial. Guzmán, M. de (1984, septiembre). Juegos matemáticos en la enseñanza, Actas de las IV Jornadas sobre Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas, IV JAEM 1984, Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas "Isaac Newton". Santa Cruz de Tenerife, España. Zapico I., Serrano G. y otros. (2006). Matemática en su salsa. Buenos Aires, Argentina: Lugar Editorial. Zapico, I. (2009). Cuentos y juegos para resolver. Buenos Aires, Argentina: Lugar Editorial. Página 209 de 632 UM AMBIENTE DINÂMICO NO ENSINO E APRENDIZAGEM DE CONTEÚDOS MATEMÁTICOS Celina A. A. P. Abar Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC/SP) – Brasil [email protected] Nível Educativo: Professores da Escola Básica Palavras Chave: Geometria dinâmica, Geogebra, Educação Matemática RESUMO Apresentamos uma proposta de um mini-curso concebido com o objetivo de oferecer orientações pedagógicas para o ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos com o uso de um ambiente dinâmico e promover discussões sobre os impactos que possam ser vivenciados pelos participantes no desenvolvimento de atividades a serem utilizadas na sua prática docente. O curso será desenvolvido em ambientes com computadores e acesso à Internet com no máximo quinze participantes. Os participantes do curso devem estar familiarizados com conceitos algébricos e geométricos pertinentes ao Ensino Básico assim como se sentirem confortáveis no uso do computador e no acesso à Internet. As atividades têm por objetivo buscar um aprendizado em matemática que permita ao participante desenvolver capacidades que caracterizam atos próprios do “fazer matemático” como experimentar, representar, analisar e concluir. Com base nessas reflexões, as atividades foram preparadas para que o participante tenha a oportunidade de manipular os objetos na tela a fim de conjecturar, descobrir e formalizar as relações pertinentes ao assunto em estudo. Será utilizado o GEOGEBRA, um software matemático para o estudo de Geometria, Álgebra e Cálculo. INTRODUÇÃO A apropriação das tecnologias digitais pelo professor e, em especial, pelo professor de matemática, é uma condição de sobrevivência para sua prática docente. É difícil conceber um professor, nos dias atuais, desenvolvendo seu trabalho na escola sem fazer uso dos novos recursos tecnológicos para dar suporte às suas atividades. Assim, sua formação deve ser contínua e acompanhar o desenvolvimento das novas tecnologias. É essencial conhecer estratégias de ensino e aprendizagem que possibilitem ao aluno independência para que ele possa desenvolver seus próprios mecanismos de conjecturas e resolução de problemas com o uso de programas computacionais específicos. È importante também conhecer teorias e pesquisas que dêem suporte a essas estratégias e servem de alicerce para a prática docente deste professor. Nesse sentido, propomos um mini-curso dirigido a professores de matemática com o uso de um software educacional como apoio ao ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos nos contextos algébricos e geométricos. Na exploração desses conteúdos o programa GEOGEBRAfoi escolhido pelo fato de ter acesso livre na sua utilização e de possibilitar plenamente a realização das atividades propostas. Com a realização e vivência nesse mini-curso, o professor participante poderá reconhecer como as TICs podem contribuir para a sua formação continuada e que a prática docente pode ser aperfeiçoada e fundamentada com a leitura e reflexão de resultados de pesquisas já realizadas. Pretende-se envolver os participantes em um contexto de aprendizagem com propostas de problemas, formulação de hipóteses e tomadas de decisão em um diálogo permanente com a realidade de sua prática docente. Além disso, oferecer orientações pedagógicas e promover Página 210 de 632 discussões sobre os impactos de um ambiente dinâmico no processo de ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos. As atividades têm por objetivo buscar um aprendizado em matemática que permita ao estudante desenvolver capacidades que caracterizam atos próprios do “fazer matemático” como experimentar, representar, analisar e concluir. Com base nessas reflexões, as atividades devem ser preparadas para que o participante tenha a oportunidade de manipular os objetos na tela a fim de conjecturar, descobrir e formalizar as relações pertinentes ao assunto em estudo. O GEOGEBRA é um software matemático para o estudo de Geometria, Álgebra e Cálculo. Para tanto, há duas janelas de visualização: a janela algébrica e a geométrica. Cada objeto visualizado na janela geométrica tem sua representação algébrica mostrada na janela algébrica. Ao abrir o software, visualizamos a seguinte tela: Nela podemos observar as duas janelas: a janela algébrica (à esquerda) e a janela geométrica (à direita). O mini-curso proposto terá a duração de quatro horas divididas em duas etapas. Etapa 1: PRIMEIROS PASSOS Nesta seção inicial, temos por objetivo ajudar o participante a se familiarizar com a tela e algumas opções de ferramentas do aplicativo GEOGEBRA. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Após realizar as atividades da Etapa I você será capaz de: Abrir uma figura feita com o Geogebra e movimentá-la na janela geométrica. Salvar uma figura feita com o Geogebra no local desejado. Criar uma figura no Geogebra utilizando as ferramentas Ponto, Ponto médio, Segmento e Polígono. Distinguir pontos livres e objetos. Utilizar ferramentas de formatos para nomear e colorir figuras. Fechar o aplicativo Geogebra. ATIVIDADE 1 – Conhecendo as ferramentas Geogebra Página 211 de 632 Inicie o aplicativo Geogebra - preparando uma folha limpa - Na tela há duas janelas: a janela algébrica, do lado esquerdo e a janela geométrica, do lado direito. A janela algébrica pode ser fechada ou aberta clicando na cruzinha x ou na opção Exibir – Janela de álgebra. Feche a janela algébrica. Na janela geométrica os eixos cartesianos e a malha podem ser exibidos ou escondidos, através da opção do menu Exibir, Exibir–Eixo e Exibir–Malha. Esconda os eixos e a malha. Na parte inferior da tela do geogebra há uma caixa de Entrada e uma de Comando que podem ser exibidos ou escondidos por meio da opção Exibir–Campo de Entrada. Esconda a caixa de Entrada. Na parte superior da janela há os ícones com pequenas setas no canto inferior direito que abrem as ferramentas disponíveis. O primeiro botão na barra de ferramentas é utilizado para selecionar e mover objetos. Sempre que você quiser selecionar um objeto para movimentá-lo ou alterar suas propriedades, esse botão deverá ser acionado. Criando pontos livres – clique na pequena seta do botão Ponto e escolha a opção Novo ponto. Clique na janela geométrica três vezes em locais diferentes para obter três pontos. Os três novos pontos são pontos livres, pois não dependem de nenhum outro objeto. Não esqueça de clicar logo em seguida no botão Mover para desativar a ferramenta de criação de pontos. Para desfazer uma ação, basta escolher no menu superior da janela geométrica a opção Editar – Desfazer. Pode-se refazer o que foi desfeito com a opção Editar – Refazer. Experimente desfazer/refazer a última operação executada anteriormente. Modificando o aspecto - O aspecto de um objeto pode ser modificado ao se alterar valores de suas propriedades. Após selecionar um objeto (botão Mover), clicando sobre o objeto com o botão DIREITO do mouse pode-se ver um menu de opções. Com a opção exibir rótulo pode-se exibir ou esconder o rótulo com a denominação do objeto. Essa denominação pode ser alterada na opção Renomear. Para deletar o objeto, utiliza-se a opção Apagar. Na opção Propriedades encontra-se a ferramenta para alterar a cor do objeto. Inicialmente é apresentada uma pequena janela contendo do lado esquerdo todos os objetos que foram criados e do lado direito opções referentes ao objeto que está selecionado. Clicando-se na opção Cor vê-se uma janela com as possíveis escolhas para a cor do objeto e basta clicar sobre a cor escolhida para alterar a cor do objeto. Selecione um dos três pontos livres e altere as seguintes propriedades: exibir/esconder rótulo, mudar a cor, alterar o rótulo, apagar o objeto. ATIVIDADE 2 – Primeira construção Exiba o rótulo dos três pontos denominados A, B e C. Movimente os pontos de modo que fiquem não alinhados. Com a ferramenta Segmento definido por dois pontos (uma das possibilidades do botão Reta definida por dois pontos) construa os segmentos AB, AC e BC. Não se esqueça de clicar no botão Mover para desativar a ferramenta de criação de segmentos. Com a ferramenta Ponto médio ou centro (no botão Novo ponto), construa os três pontos médios: O – ponto médio de A e B. P – ponto médio de B e C. Q – ponto médio de A e C. Não se esqueça de clicar no botão Mover para desativar a ferramenta de criação de pontos. Use a ferramenta Polígono para construir o triângulo OPQ. Página 212 de 632 Movimentando e alterando as propriedades dos objetos, obtenha uma figura semelhante à figura abaixo: Gravando um arquivo – para gravar a figura construída, basta escolher a opção Arquivo – gravar como, digitar o nome do arquivo Figura1_seunome.ggb e escolher o local onde pretende guardar seus arquivos. Encerrando o aplicativo – para encerrar o uso do aplicativo basta escolher a opção Arquivofechar que encerra o aplicativo Geogebra. Abrindo um arquivo – inicie o Geogebra e clique sobre Figura1_seunome.ggb no menu Arquivo ou no local que você escolheu para guardá-lo. Objetos e pontos livres - o triângulo OPQ é um objeto assim como os pontos O, P e Q. Os pontos A, B e C são pontos livres, mas os pontos O, P e Q não são pontos livres, pois foram obtidos por meio de uma construção geométrica (são pontos médios). Cada um desses pontos depende de dois pontos iniciais. Por sua vez, o triângulo OPQ depende da existência dos pontos O,P e Q. ATIVIDADES DE EXPLORAÇÃO 1. Mantendo fixos os pontos A e C, movimente o ponto B e observe que os dois pontos O e P são deslocados acompanhando o movimento de B. Movimente o ponto P. Que parte da figura acompanha o movimento de P? Explique. 2. Movimente os pontos de forma a obter novamente a figura inicial do triângulo OPQ. Selecione o ponto B e arraste-o até ficar alinhado com A e C. Em que ordem ficaram os pontos O, P e Q? 3. Construa o triângulo ABC, utilizando a ferramenta Polígono. Movimente o ponto B, mantendo fixo o segmento AC. Observe os deslocamentos dos pontos O e P. É possível fazer com que todos os seis pontos fiquem alinhados sendo O, P e Q nesta ordem e ao mesmo tempo A, B e C fiquem nesta ordem? Explique. Etapa 2: POLÍGONOS Na Etapa 2 temos por objetivo capacitá-lo a classificar e construir quadriláteros e utilizar as ferramentas do Geogebra para auxiliar na verificação de conjecturas plausíveis. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Após realizar as atividades desta parte você será capaz de: Fazer construções de diferentes quadriláteros, baseadas nas propriedades que os definem. Página 213 de 632 Verificar algumas propriedades relacionadas a quadriláteros com auxílio do Geogebra. ATIVIDADE – Construindo Quadriláteros Preparando a figura de base – Inicie o aplicativo Geogebra, abra o arquivo BaseAltura.ggb. A partir da figura contida nesse arquivo serão feitas as 6 primeiras construções dessa atividade. Antes de iniciar cada construção grave a figura com o nome QuadX_seunome.ggb, em que X é o número da construção realizada. Repita esse passo para cada construção. Construção 1 - construa um quadrilátero ABCD com o lado AB sobre a reta r (veja que o ponto A já está sobre a reta), lado CD paralelo à reta r e com altura relativa ao lado AB igual a h. ATENÇÃO! O único invariante na figura deve ser AB//CD, isto é, ao mover tudo o que é permitido, apenas o paralelismo se mantém. Construção 2 - construa um quadrilátero ABCD com o lado AB sobre a reta r, lado CD paralelo à reta r, com altura relativa ao lado AB igual a h e com AD//BC. ATENÇÃO! Os dois únicos invariantes na figura devem ser AB//CD e AD//BC. Construção 3 - construa um quadrilátero ABCD com o lado AB sobre a reta r, lado CD paralelo à reta r, com altura relativa ao lado AB igual a h, com AD//BC e AB BC CD AD. ATENÇÃO! Ao mover tudo o que é permitido mover, os quatro lados do quadrilátero devem ter a mesma medida. Construção 4 - construa um quadrilátero ABCD com o lado AB sobre a reta r, lado CD paralelo à reta r, com altura relativa ao lado AB igual a h, AB BC e AB AD. ATENÇÃO! Ao mover tudo o que é permitido mover, os ângulos internos do quadrilátero devem ser retos. Construção 5 - construa um quadrilátero ABCD com o lado AB sobre a reta r, lado CD paralelo à reta r, com altura relativa ao lado AB igual a h, os ângulos internos retos e os quatro lados iguais. ATENÇÃO! Ao mover tudo o que é permitido mover, os ângulos internos do quadrilátero devem ser retos e os quatro lados iguais. Construção 6 – volta ao início: construa um quadrilátero ABCD com o lado AB sobre a reta r, lado CD paralelo à reta r, com altura relativa ao lado AB igual a h e AD BC. ATENÇÃO! Ao mover tudo o que é permitido mover, os lados AB e CD devem ser paralelos e os lados AD e BC devem ter a mesma medida. Construção 7 - prepare uma folha limpa e construa um quadrilátero ABCD com dois pares de lados adjacentes iguais: AB AD e BC BD. ATIVIDADES DE EXPLORAÇÃO 1) Os quadriláteros são polígonos com 4 lados. A seguir listamos as definições dos quadriláteros construídos na Atividade 1. Você poderia associar cada um desses quadriláteros a cada uma das 7 construções? 1. Trapézio - é um quadrilátero que tem dois lados paralelos. 2. Trapézio isósceles - é um quadrilátero que tem dois lados paralelos e os outros dois lados com a mesma medida. 3. Paralelogramo – é um quadrilátero que tem dois pares de lados paralelos. 4. Retângulo – é um quadrilátero que tem os quatro ângulos retos. Página 214 de 632 5. Quadrado – é um quadrilátero que tem os quatro lados iguais e os quatro ângulos retos. 6. Losango - é um quadrilátero que tem os quatro lados com a mesma medida. 7. Pipa - é um quadrilátero que tem dois pares distintos de lados adjacentes iguais. 2) Quais afirmativas são verdadeiras? Quais são falsas? Verifique se a conjectura é plausível, isto é, se parece ser verdadeira, usando o aplicativo: abra o arquivo Geogebra correspondente à figura desejada, insira as medidas dos elementos e movimente a figura. 1. Os lados opostos de um quadrado são paralelos. 2. Os lados opostos de um losango são paralelos. 3. Em uma pipa, os ângulos opostos têm a mesma medida. 4. Os ângulos opostos de um losango têm a mesma medida. 5. Em um trapézio, as diagonais se cruzam em ângulo reto. 6. Em um paralelogramo, as diagonais se cruzam em ângulo reto. 7. Em um retângulo, as diagonais se cruzam em ângulo reto. 8. Em um losango, as diagonais se cruzam em ângulo reto. 9. Em um trapézio, os segmentos que ligam os pontos médios dos lados opostos se cruzam em ângulo reto. 10. Em um paralelogramo, os segmentos que ligam os pontos médios dos lados opostos se cruzam em ângulo reto. 11. Em um trapézio isósceles, os segmentos que ligam os pontos médios dos lados opostos se cruzam em ângulo reto. 12. Em um paralelogramo, o quadrilátero determinado pelos pontos médios dos lados do paralelogramo é um retângulo. 13. As diagonais de um losango são bissetrizes 14. Os ângulos consecutivos em um paralelogramo são suplementares. 15. Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes. 16. As diagonais de uma pipa se interceptam em ângulo reto. 17. Em uma pipa, os ângulos formados por lados diferentes são congruentes. RELEMBRANDO 1) Polígono é uma forma geométrica delimitada por uma linha poligonal fechada. Uma linha poligonal é uma sucessão de segmentos não alinhados, isto é, que formam ângulos entre si com medidas diferentes de 180 graus. Daí o nome de polígono, que significa “muitos ângulos”, em grego. Os quadriláteros definidos anteriormente são polígonos especiais, porque são convexos. Nos polígonos convexos, os ângulos interiores têm medida menor que 180 graus. Experimente construir um quadrilátero com um ângulo interno de medida igual a 320 graus. Provavelmente ficará semelhante a uma bandeirinha de festa. Mas há outro tipo de quadrilátero que também não merece os nomes definidos acima: são os polígonos cruzados, formado por uma linha poligonal que cruza a si mesma, se desenhados em uma superfície plana. Quadriláteros como esses mais parecem dois triângulos juntos. Analise as construções de 1 a 7 e descubra se alguma delas produz com exatidão o quadrilátero desejado (convexo, não cruzado, com “muitos ângulos” internos). Tente construir um losango de forma que possamos mexer na figura, modificando a posição ou o lado, mas sem deixá-lo se transformar em um ponto ou em um quadrilátero cruzado (a isso se chama construção robusta). QUADRILÁTEROS 1) Um quadrilátero é inscritível em uma circunferência se os 4 vértices desse quadrilátero pertencem a uma única circunferência. É fácil construir quadriláteros inscritíveis: basta escolher seus vértices sobre uma circunferência. Construa cada um dos quadriláteros Página 215 de 632 2) 3) definidos anteriormente (paralelogramo, retângulo, quadrado, trapézio, trapézio isósceles e pipa) com os vértices em uma circunferência dada. ATENÇÃO! Primeiro, construa a circunferência, depois os quadriláteros. Construa um quadrilátero qualquer ABCD, em seguida construa o quadrilátero determinado pelos pontos médios dos lados do quadrilátero ABCD. Movimente os pontos A, B, C ou D em várias posições diferentes, mesmo naquelas em que o quadrilátero ABCD deixa de ser convexo, ou torna-se cruzado. O quadrilátero formado pelos pontos médios tem uma forma conhecida? Qual dos 7 quadriláteros definidos acima se parece com ele? Em uma mesma folha limpa, construa duas circunferências c1 e c2, um quadrilátero ABCD inscrito na circunferência c1 e um quadrilátero EFGH com os vértices E, F e G sobre a circunferência c2 e o vértice H fora de c2. Determine as somas das medidas dos ângulos opostos de cada um dos quadriláteros e verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações: 1) A soma das medidas dos ângulos de um qualquer quadrilátero é igual a 360 graus. 2) A soma das medidas dos ângulos opostos de um qualquer quadrilátero é igual a 180 graus. REFERÊNCIAS CHEVALLARD, Y. La transposition didactique: du savoir savant au savoir enseigné. Grenoble, La Pensée Sauvage, 1991. BALACHEFF, N. La transposition informatique. Note sur un nouveau problème pour la didactique. Vingt ans de didactique des mathématiques en France, RDM, La Pensée Sauvage, 1994. SOFTWARE DE REFERÊNCIA GeoGebra 3.0 - Dynamic Mathematics for Schools: Markus Hohenwarter, 2001-2007 http://www.geogebra.org Página 216 de 632 LA EVALUACIÓN EN NUESTRAS PRÁCTICAS DOCENTES Autoras: Lic. Elba Mottolese - Lic. Isabel Venazco Universidad General Nacional de San Martín (San Martín. Prov. de Bs. As. Argentina). E-Mail: [email protected] / [email protected]/ [email protected] Nivel Educativo: Secundario y Universitario Palabras Clave: Diseño. Metodología. Conocimiento. Instrumento de Control. Resumen La evaluación no es ni puede ser un apéndice de la enseñanza ni del aprendizaje, es parte de ellos, ya que las actividades evaluativas se constituyen y entrelazan en el interior mismo del proceso total. La obtención de información acerca de lo que se desea evaluar es sólo un aspecto del proceso evaluativo., lo fundamental son las reflexiones, interpretaciones y juicios a que dan lugar esos datos que se han recogido. El diseño y la elección de la metodología para captar la información supone, una toma de postura teórico-epistemológica acerca de la concepción de conocimiento y de su modo de construcción, elemento que constituye uno de los parámetros que guían las interpretaciones. Los docentes contamos con diferentes fuentes de información acerca del proceso que realizan los alumnos, sus actitudes en clase, trabajos, exámenes etc. todas ellas deben ser procesadas e interpretadas. Las preguntas específicas de la evaluación deben plantearse mucho antes de pensar en el examen. A medida que se realiza el proceso educativo, el alumno evoluciona, sus necesidades varían y el tipo de ayuda pedagógica debe ir variando. Para obtener datos acerca de los cambios recurrimos a la evaluación formativa o a la evaluación de proceso; mientras que la evaluación sumativa, llevada a cabo al final del proceso, tiene como fin determinar si se han alcanzado o no (y el grado en que se ha hecho) los objetivos planteados al comienzo del curso; mide resultados de aprendizaje, es una evaluación de producto y se convierte en instrumento de control. Introducción Hablar de Evaluación, es hablar de la necesidad de plantear abiertamente la insatisfacción e incertidumbre que nuestras prácticas evaluativas nos generan, de ponerlas en tela de juicio; es hablar de cuestionar para abordar procesos de transformación, innovación y mejora, de trabajar para lograr consensos entre los actores que promueven el debate y propician la reflexión sobre la práctica y la investigación. En palabras de Camilloni (1998), evaluar consiste en principio en emitir juicios de valor acerca de algo, objetos, conductas, planes, estos juicios tienen una finalidad, la evaluación no tiene un fin en sí misma. No se evalúa por evaluar, se Evalúa para tomar decisiones con respecto a la marcha de un proceso. Desde la perspectiva de aula, la evaluación puede ser concebida como inherente a la dinámica propia de enseñar y aprender y como acreditación, que supone dar cuenta de los resultados de aprendizaje logrados, en un tiempo y nivel de escolaridad determinado. La obtención de información acerca de lo que se desea evaluar es sólo un aspecto del proceso evaluativo. Lo fundamental son las reflexiones, interpretaciones y juicios a que dan lugar esos datos que se han recogido. Dentro del aula las “verdaderas evaluaciones”, serán aquellas en las que, docentes y alumnos, con la información disponible, puedan relacionar datos, intenten relacionar algunas hipótesis y emitan juicios fundados, que permitan comprender qué ocurre, cómo ocurre y porqué. Página 217 de 632 Nos preguntamos: ¿Qué hacemos para contribuir a un aprendizaje significativo?, nos referiremos en este trabajo a los diferentes tipos de Evaluación y a los instrumentos utilizados. Objetivos de la propuesta Destacar las funciones de las operaciones metacognitivas en el proceso de construcción de aprendizajes. Brindar al docente herramientas conceptuales que optimicen sus competencias en el diseño de instrumentos de evaluación. Incentivar la participación comprometida del alumno en el proceso de evaluación. Incorporar las instancias post- evaluación al dispositivo de enseñanza-aprendizaje. Evaluación y aprendizaje Si nos preguntamos qué es la Evaluación, podríamos definirla como un proceso dinámico, continuo y sistemático que genera información respecto de la calidad de la propuesta de enseñanza y los aprendizajes de los alumnos. La evaluación adquiere sentido en la medida que comprueba la eficacia y posibilita el perfeccionamiento de la acción docente, es decir, en la medida que permite conocer las estrategias de aprendizaje con las que opera el alumno para implementar técnicas de evaluación, que promuevan el mejoramiento de dichas estrategias y la autoevaluación por parte del alumno. Más técnicamente, podríamos definir la Evaluación como lo hace A Pila teleña (1984), considerándola una operación sistemática, integrada en la actividad educativa con el objetivo de conseguir su mejoramiento continuo, mediante el conocimiento lo más exacto posible del alumno en todos los aspectos de su personalidad, aportando una información ajustada sobre el proceso mismo y sobre todos los factores personales y ambientales que en ésta inciden. También señala en qué medida el proceso educativo logra sus objetivos fundamentales y confronta los fijados con los realmente alcanzados. Considerando que el alumno es protagonista del proceso de Evaluación, podríamos preguntarnos qué entendemos por alumno: El Alumno es el protagonista fundamental del proceso receptor – emisor El Docente es parte de la situación de aprendizaje, y cómo tal, debe generar un espacio de reflexión en el aula y ayudar al alumno a cruzar “el puente”, dándole herramientas para que lo haga. En este punto debemos hacer una diferencia entre información y conocimiento: Información: sólo se trasmite, se transforma en conocimiento si es significativa para el alumno. Conocimiento: debe ser construido activamente, implica rupturas y procesos continuos de reorganización. Esto nos lleva a definir el Aprendizaje como un proceso vivencial que se evidencia en cambios de habilidades (procedimental), actitudes (actitudinal), y conceptos (conceptual) y se refleja en la conducta del alumno. Consecuentemente con lo dicho, la evaluación debería proporcionar, además de la medición del rendimiento de los alumnos, información significativa y cualitativa sobre las dificultades de aprendizaje del alumno, es decir, evaluar qué ha sucedido en el aprendizaje y los obstáculos a los que este se enfrenta. Los sistemas de Evaluación deberían estar integrados a las actividades cotidianas del aula y que no sean percibidas por el alumno como actividades de evaluación. La recuperación de una Página 218 de 632 información previamente aprendida, será más fácil, cuanto más similar sea la situación en que se está recuperando, a la situación en la que se aprendió. El contexto de Evaluación debería ser lo más parecido posible al contexto de aprendizaje. Considerando la Evaluación en términos de Propósitos y Resultados, podríamos enunciar entre los propósitos: mostrar progresos, tomar decisiones sobre la formación, valorar los conocimientos del alumno, valorar los programas de estudio y entre los resultados: promover crecimiento, mejorar la educación, reconocer y modificar errores, modificar programas. Control de las evaluaciones La evaluación debe tener: Validez Interna: un instrumento es válido, cuando mide lo que dice medir. También llamada validez de contenido. Credibilidad: los datos deben ser creíbles, isomorfismo entre los datos recogidos por el evaluados y la realidad. Validez Externa: Eficacia para predecir una realización concreta. Puede considerarse predictiva cundo las pruebas permiten predecir comportamiento futuros. Transferencia: Replicar los procedimientos y el tipo de análisis de los resultados en otros contextos para ver que tienen en común y aquellos específicos. Confiabilidad: La información producida sea digna de confianza. La aplicación de un instrumento da resultados similares a otra aplicación del mismo instrumento. Consistencia: Hace referencia a la estabilidad de los datos. Se relaciona estrechamente con la credibilidad. Objetividad: La información científica es objetiva en tanto refleja con fidelidad procesos y comportamientos. Es posible de ser verificado y confirmado en cualquier momento. Confirmabilidad: Se pone el acento en la descripción de los fenómenos, en la dilucidación de los significados atribuidos al mismo fenómeno y en la aceptabilidad de las conclusiones. Momentos en la evaluación Reconocemos en la Evaluación distintos momentos, y para ello nos formulamos las siguientes preguntas: ¿Qué evaluamos?, ¿Para qué sirve la evaluación?, ¿Cómo evaluamos? ¿Qué? Conocimientos Conceptual Habilidades / Destrezas Procedimental Actitudes Valorativo Socio/Afectivo Para obtener información ¿Para qué sirve? Para formular un juicio de valor Para tomar decisiones Página 219 de 632 Para conducir a la autoevaluacióny al ajuste de la enseñanza (Retroalimentación) ¿Cómo? Exámenes escritos Exámenes orales Trabajos prácticos Grillas de Seguimiento Fichas de Autoevaluación Ev. Inicial Evaluar ¿Para qué? Diagnóstico y Pronóstico ¿Qué? Toma de decisiones Conceptos y Habilidades que el alumno domina ¿Cuándo? Al comienzo de la nueva fase de aprendizaje Ev. Formativa Ev. Sumativa Realimentar el proceso de aprendizaje Acreditar y Promocionar Control de logros Los tipos y grados de aprendizaje que plantean los objetivos, en función de los contenidos seleccionados Progresos Dificultades Bloqueos en el proceso de aprendizaje Durante el proceso de aprendizaje ¿Cómo? Consulta de la historia académica del alumno Registro e interpretación de las respuestas y comportamientos ante preguntas y situaciones de aprendizaje Al término de una fase de aprendizaje Observación, registro e interpretación de las respuestas y comportamientos de los alumnos a preguntas y situaciones que exige la aplicación de los contenidos aprendidos Para respondernos las preguntas expuestas el cuadro anterior, utilizamos distintos instrumentos, y en ellos reconocemos algunas ventajas y desventajas. Consideramos los distintos momentos de la Evaluación: Inicial, Formativa, Sumativa. Los diferentes tipos de evaluación; los instrumentos de evaluación y los diferentes tipos de validez de esos instrumentos formarán parte del desarrollo de éste taller. Instrumentos de Evaluación Objetivo El alumno demuestra su conocimiento, su capacidad discursiva y su aptitud para Ventajas Desventajas Sugerencias Contacto personal docente-alumno. Posibilidad de preguntar al alumno cómo Escasa objetividad en cuanto a la reproducción de los resultados. Estado de Siempre debe haber más de un evaluador. Prever un repertorio de preguntas para Página 220 de 632 Examen Oral Examen Escrito no estructurado Examen escrito estructurado de opción múltiple, doble alternativa ( V / F), apareamiento Trabajos Prácticos resolver problemas llega a formular sus respuestas. Posibilidad de evaluar la integración de la asignatura El alumno explica con sus palabras su reacción ante una situación problemática y de esta forma quedan manifiestos sus procesos mentales. Permite al docente obtener información del aprendizaje del alumnado que puede ser evaluada rápidamente y en forma objetiva. Posibilidad de verificar NO el volumen de información sino la capacidad de organizar los conocimientos y expresarlos en la resolución de casos prácticos Pone de manifiesto lo que el alumno puede hacer. Verificar aptitudes por observación directa del trabajo. Permite incluir como posibles respuesta los errores más frecuentes en la fase de aprendizaje de los alumnos. Práctico para grupos numerosos. Posibilidad de detectar dificultades en el proceso de aprendizaje para su inmediata ánimo, cansancio, capacidad de atención del docente. Aspecto Físico, conducta lingüística del alumno. Este tipo de examen se utiliza para evaluar información y no conocimientos. El alumno “recita” el texto estudiado evitar la repetición o la improvisación. Los alumnos pueden obtener la respuesta por casualidad. Se desconoce el proceso mental por el cual el alumno llegó a la respuesta. Presencia de elementos de orientación que el alumno no tendrá en la práctica. Solicitar fundamentación en alguna de las respuestas, dándole mayor valor. No basarlas en respuestas enciclopedistas sino en respuestas razonadas Limitaciones de carácter práctico para grupos numerosos. Dificultad para que el docente observe la totalidad de los trabajos. Dividir al grupo en caso de trabajo en laboratorio. Realizar fichas de observación que asegure el seguimiento de las conductas previstas Requiere del Completar la Trabajar sobre casos de práctica profesional. Utilizar la información como instrumento para la resolución de casos. Página 221 de 632 Fichas de seguimiento Evaluar procesos de aprendizaje del alumno. Que el alumno aprenda corrigiendo sus errores y fortaleciendo sus logros. Fichas de autoevaluación corrección. Posibilidad de afianzar los progresos del alumno para alentarlo en su aprendizaje. Posibilidad de modificar las estrategias de enseñanza sobre la base de las necesidades detectadas. El alumno puede realizar su propia evaluación. El alumno conoce de antemano las conductas o conocimientos que debe lograr docente un tiempo de reflexión para completarlas ficha en diferentes momentos del proceso de aprendizaje Que no se genere un espacio para considerar lo que el alumno autoevaluó En caso de tratarse de un grupo reducido se sugiere realizar entrevistas individuales. Si el grupo es numeroso se solicitan las fichas para su supervisión, entrevistando sólo a aquellos en los que se detecta dificultad o disparidad de criterios. Dimensiones de la evaluación La mayoría de las bibliografías sobre motivación en el aula (Alonso, 1995; Ames, 1992;; Montero, 1989, y Pintrich y Schunk, 1996) coincide en destacar tres dimensiones relevantes de la evaluación, de cara a sus consecuencias motivacionales: La dimensión norma-criterio a) La dimensión La dimensión producto-proceso pública-privada La dimensión norma-criterio: Cuando decimos que evaluamos según una norma nos referimos a esos modos de conocer el grado de aprendizaje que se basan en comparar las Página 222 de 632 ejecuciones de uno con una norma en el que se incluyen los diferentes grados de consecución posibles de los aprendizajes. Se resume en una calificación numérica. En cambio evaluamos según criterios cuando tenemos establecidas una serie de logros o de consecuencias distintas que debemos ir adquiriendo. Significa conocer qué objetivos de aprendizaje tenemos que alcanzar en cada momento educativo e informar del grado de adquisición de cada uno en forma distinta. La dimensión producto-proceso: Compaginar una evaluación de criterios con una información sobre el proceso obliga a tener en cuenta, también, el resultado final. Pero este es consecuencia de las actividades realizadas. Lo que interesa saber es el modo de apropiación de un dominio que ha llevado a cabo un estudiante y el resultado final adonde le ha llevado. La evaluación pública o privada: Cuando se informa a los alumnos privadamente de su rendimiento, si además se hace con relación a criterios y dando información sobre el proceso, se centra su atención en el trabajo personal y en el modo de superar los posibles errores, es decir, en su propio proceso de aprendizaje. b) c) Bibliografía Ausubel, D.; Novak, I; Hanasian, H. (1986). Psicología Educativa. Ed.Trillas. México. Barber, J.M. (1993). La evaluación en los proceso de formación. Ed. Paidós. Bs. As. Camilloni, A.; Celman, S.; Litwin, E.; Palau de Maté, M. (1998). La Evaluación de los Aprendizajes en el debate didáctico contemporáneo. Ed. Paidós. Bs. As. Casanova, M. A. (1997). Manual de Evaluación Educativa. La Muralla. S.A. Madrid. Colás Bravo, M. P.; Buendía Eisman, L. (1994). Investigación Educativa. Ediciones Alfar. Sevilla. Coll, C.; Pozo, J. I.; Sarabia, B.; Valls, E. (1994). Los contenidos en la Reforma. Ediciones Santillana. Bs. As. Coll, C. (1991). Psicologia y Curriculum. Ed. Paidós. Bs. As. Díaz Barriga, A. (1997). Didáctica y Curriculum. Editorial Paidós Mexicana S.A. México D.F. Guasco, María José. (2006). Taller: ¿Qué evaluamos cuando evaluamos Matemática?. V Jornadas de Actualización Docente en Ciencia y Tecnología. “Acercar la Ciencia al Docente”. ITBA. Huertas, J. A. y Montero, I. (2002). La intervención motivacional en el aula. Santillana Educación. Madrid. Lafourcade, P. (1975). 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B2) ¿Para qué utiliza la evaluación? B3) ¿En qué momento los evalúa? B4) ¿Qué instrumentos de evaluación utiliza en los momentos mencionados? (exámenes escritos, orales, trabajos prácticos, grilla de seguimiento, etc.) B5) ¿Qué opinión le merece la autoevaluación de los alumnos? B51) ¿Usted la promueve? B52) ¿Cómo? Actividad 2 Tarea Grupal Se presentará una prueba escrita compuesta por tres ejercicios sobre temas de Matemática de la escuela media y las resoluciones hechas por tres alumnos. Les proponemos que: integre un grupo con tres o cuatro colegas, y corrijan las resoluciones de los alumnos; propongan un orden de mérito en las pruebas y luego en la puesta en común, discutiremos los diferentes criterios expuestos por cada grupo, para sacar algunas conclusiones. Actividad 3 Tarea Individual Las calificaciones que aparecen a continuación pertenecen a las obtenidas, en la asignatura de Matemática, por algunos alumnos de 1º de ESO. En la tabla se recogen las puntuaciones de Página 224 de 632 los alumnos en dos de los controles que el profesor hace habitualmente a lo largo de cada evaluación con el fin de obtener una evaluación final. 23 Ana Pedro Rosa Joaquín Pablo 1º control 6 2 4 4 10 2º control 6 4 4 2 10 Evaluación final Como ve, la columna correspondiente a la evaluación final está vacía. Le proponemos que sea usted el que haga esa evaluación final, y que con esa información conteste a las siguientes preguntas: • • • ¿Quién o quiénes de esos cuatro alumnos aprobarán la evaluación? ¿Qué calificación obtendrá Pedro? ¿Qué criterios ha seguido para tomar ambas decisiones? En este punto llegamos a uno de los problemas de la evaluación criterial, ¿qué significado tienen las calificaciones y el cambio en las mismas? Es decir, ¿qué significan el 2, el 6, el 10? y, ¿qué significa que un alumno haya pasado de un 2 a un 4? Intente encontrar la solución a este dilema, construyendo sus propios criterios de evaluación. Página 225 de 632 PENSAMIENTO Y LENGUAJE VARIACIONAL. ACCIONES PARA ARTICULAR LA INVESTIGACIÓN Y EL TRABAJO EN EL AULA Adriana Engler, Daniela Müller, Silvia Vrancken Facultad de Ciencias Agrarias. Universidad Nacional del Litoral. Argentina [email protected]; [email protected]; [email protected] Nivel Educativo: Medio. Terciario. Universitario Palabras clave: pensamiento y lenguaje variacional * matemática educativa * actividades de aula * nuevas tecnologías Resumen La tarea docente es compleja. Está llena de obstáculos, dificultades y errores que hay que tratar de salvar para que los resultados académicos sean los esperados. La preparación docente se basa fundamentalmente en una muy buena formación en el saber matemático dado que no podemos hablar de enseñanza de la matemática sin saber matemática. No podemos desconocer que, tan importante como el conocimiento mismo, es la preparación pedagógica y didáctica de los profesores. Este es tema de debate hace tiempo. En los últimos años se realizaron investigaciones muy serias en relación a la enseñanza y aprendizaje del cálculo desde un enfoque centrado en el pensamiento y lenguaje variacional. Sin embargo está claro que faltan acciones concretas que permitan superar ampliamente los niveles meramente descriptivos y teóricos especialmente en el nivel universitario. Es necesario propiciar la toma de profundas decisiones que permitan la implementación áulica de las conclusiones y aportes obtenidos de los diferentes proyectos llevados a cabo a lo largo de las últimas décadas. Con el desarrollo de este taller pretendemos generar un espacio de discusión y debate a fin de colaborar en la formación docente y propiciar la realización de acciones concretas en el ámbito escolar. Buscamos vincular las investigaciones en relación al pensamiento y lenguaje variacional con la actividad en el aula y la incorporación de las nuevas tecnologías. Trabajaremos en base a las investigaciones realizadas sobre el tema en los últimos tiempos cuyos resultados representan aportes muy interesantes para ser llevados al aula. Introducción La tarea docente es compleja. Está llena de obstáculos, dificultades y errores que hay que tratar de salvar para que los resultados académicos sean los esperados. La preparación docente se basa fundamentalmente en una muy buena formación en el saber matemático dado que no podemos hablar de enseñanza de la matemática sin saber matemática No podemos desconocer que, tan importante como el conocimiento mismo, es la preparación pedagógica y didáctica de los profesores. Este es tema de debate hace tiempo. En el marco de la Matemática Educativa o Educación Matemática se han realizado en las últimas décadas un número considerable de investigaciones acerca de la enseñanza y el aprendizaje de temas relacionados con el cálculo. Esta disciplina, surgida durante la segunda mitad del siglo veinte, se ocupa del estudio de los fenómenos didácticos ligados al saber matemático. Su propósito consiste en explorar y entender cómo los seres humanos construyen conocimiento matemático y cómo desarrollan una manera matemática de pensar. Cantoral (2003, p. 208) expresa: El nombre de Matemática Educativa da a nuestra disciplina una ubicación geográfica y conceptual; en el mundo anglosajón, el nombre que le han dado a la práctica social asociada es el de Mathematics Education, mientras que en Europa continental le han llamado Didáctica Página 226 de 632 de las Matemáticas, Didactique des Mathématiques, Didaktik der Mathematik, por citar algunas de las escuelas más dinámicas. Sin importar la denominación adoptada, según se trate de la tradición de escuela a la que pertenecen, el interés de investigación se centra en los procesos de constitución, transmisión y adquisición de los diferentes contenidos matemáticos en situación escolar. Debido a la complejidad de los procesos que intervienen en el cálculo (abstracción, demostración, generalización, visualización, entre otros) que además tienen que ver con tópicos avanzados que van más allá del álgebra elemental, las investigaciones en relación a esos temas se ubican dentro del campo denominado “Pensamiento Matemático Avanzado”. A principios de la década de los noventa, las investigaciones comienzan a considerar que en el estudio de las circunstancias que permiten construir conocimiento no se pueden dejar de lado aspectos sociales y culturales. En los últimos tiempos aparecen en la literatura una serie de trabajos con otra orientación común: la necesidad de analizar la relación de los conceptos con prácticas socialmente compartidas y con sentidos y significados extra matemáticos (Cantoral, Farfán, Cordero, Alanís, Rodríguez y Garza, 2003). Con la prioridad de dotar a la investigación de una aproximación sistémica que permita incorporar las cuatro componentes fundamentales en la construcción del conocimiento (su naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, el plano cognitivo y el didáctico), surge una línea de investigación que se ha denominado “acercamiento socioepistemológico”. Se trata de una aproximación teórica en construcción iniciada por grupos de investigación del área de Educación Superior del Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV IPN, en México. La actividad humana dentro de esta aproximación juega un papel muy importante ya que es considerada como la fuente principal de la reorganización de la obra matemática que implicará el rediseño del discurso matemático escolar en todos los niveles escolares. Bajo esta aproximación se encuentra la línea de investigación del Pensamiento y Lenguaje Variacional, que estudia la articulación entre la investigación y las prácticas sociales que dan vida a la matemática de la variación y el cambio en los sistemas didácticos (Cantoral y Farfán, 2000). Cabañas y Cantoral (2007) expresan que los trabajos en este área se han orientado al desarrollo de acercamientos didácticos que favorezcan la construcción de significados, tanto al nivel de los procesos como de los conceptos propios del cálculo, principalmente de los conceptos de función, límite, continuidad, derivada, convergencia y analiticidad, basados siempre en lo que llaman ideas variacionales. Los conceptos básicos sobre los cuales se construye la matemática de la variación y el cambio son el de variable y el de función. Valero (2003) asegura: Para acceder al pensamiento y lenguaje variacional, se precisa entre otras cosas, del manejo de un universo de formas gráficas extenso y rico en significados por parte del que aprende pues el conocimiento superficial no resulta suficiente para desarrollar las competencias esperadas en los cursos de análisis (p. 4). Un elemento fundamental para entender el proceso de variación de las funciones es trabajar sus aspectos cualitativos y cuantitativos. En el primer caso se busca conocer cómo cambia una función y en el segundo cuánto cambia. Las funciones se utilizan como modelos de situaciones del mundo real, incluyendo aquellas que son resultado del avance tecnológico, y tienen enorme aplicación a la descripción de fenómenos físicos Dolores (2004) sostiene que poder analizar el comportamiento de las funciones es uno de los rasgos esenciales que caracteriza al pensamiento variacional. Propiciar y desarrollar esta forma de pensamiento en los alumnos les permitirá encontrarse en mejores condiciones para acceder a la matemática superior. Valero (2003) destaca que Dolores, Solache y Díaz abordan el problema del escaso desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional en estudiantes que terminan el bachillerato y en ingresantes a la universidad, especialmente el que se relaciona con conceptos y procedimientos relativos a las variables, funciones, derivadas y análisis del comportamiento variacional de funciones. Página 227 de 632 Cantoral (1991, c.p. Dolores, 2007) “propone rediseñar el discurso matemático escolar desde el fondo, cambiando el papel principal que los cursos de cálculo confieren al concepto de límite y poniendo en su lugar a la variación física …” (p.195) y expresa además: …en el terreno de la enseñanza, tendemos hacia la reconstrucción de una Didáctica del Cálculo basada en las intuiciones y vivencias cotidianas de los sujetos, mediante acercamientos fenomenológicos, por lo que se atiende más al fenómeno en su relación con el concepto matemático que al concepto per se (p.195). Dolores (2007) recomienda: … ubicar como eje rector de todo el curso de Cálculo Diferencial al estudio de la variación, de modo que la derivada no sea un concepto matemático abstracto sino un concepto desarrollado para cuantificar, describir y pronosticar la rapidez de la variación en fenómenos de la naturaleza o de la práctica (p. 198). En general los investigadores proponen que el primer contacto que los alumnos tengan con las nociones y conceptos del cálculo sea enfrentarlos con aquellas situaciones problemáticas que favorezcan de una manera natural su construcción. Enseñanza y aprendizaje del cálculo Los vínculos del cálculo tanto con la matemática elemental como con la matemática avanzada y su papel en las ciencias lo transforman en un conjunto de conocimientos con valor teórico y empírico indispensable en la educación superior. Los currículums de matemática y los métodos de enseñanza durante mucho tiempo fueron inspirados sólo por ideas que provienen de la estructura de las matemáticas formales y por métodos didácticos fuertemente apoyados en la memoria y en la algoritmia donde frecuentemente el estudiante se ve imposibilitado de percibir las relaciones que tienen los procedimientos con las aplicaciones más cercanas a la vida cotidiana y se priva de experimentar sus propios aprendizajes en escenarios diferentes a los que se les proveen en el aula. Moreno (2005) expresa: La enseñanza de los principios del cálculo resulta bastante problemática y aunque seamos capaces de enseñar a los estudiantes a resolver de forma más o menos mecánica algunos problemas estándar, o bien a realizar algunas derivadas o integrales, tales acciones están muy lejos de lo que supondría una verdadera comprensión de los conceptos y métodos de pensamiento de esta parte de las matemáticas (p. 82). Es importante debatir cómo nuestros alumnos acceden al discurso matemático escolar. Se supone que los alumnos fracasan por no llegar con una preparación adecuada, no saben álgebra, no conocen las propiedades de los números, las características de las desigualdades y no saben geometría. Sin embargo, pueden tener todos estos conocimientos y aún fracasar o evidenciar serias dificultades. Generalmente las imágenes previas del concepto existentes en sus mentes interfieren inevitablemente generando obstáculos al mezclarse con las nuevas imágenes adquiridas, impidiendo el desarrollo de la comprensión del nuevo concepto. Cantoral & Mirón (2000), citados en Zuñiga (2007, p.150), señalan: “la enseñanza habitual del análisis matemático logra que los estudiantes deriven, integren, calculen límites elementales sin que sean capaces de asignar un sentido más amplio a las nociones involucradas en su comprensión”. El desarrollo de investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de temas relacionados con el cálculo en las últimas décadas abren la posibilidad de nuevas propuestas didácticas fundamentadas en el análisis de los procesos involucrados en el aprendizaje de estos temas. Ingeniería didáctica y teoría de situaciones didácticas La noción de ingeniería didáctica surgió en el seno de la escuela francesa a comienzo de los años ochenta. Douady (1995, p.61) expresa: La elaboración de un problema es un paso de una ingeniería didáctica. En este contexto, el término ingeniería didáctica designa un conjunto de secuencias de clase concebidas, Página 228 de 632 organizadas y articuladas en el tiempo de manera coherente por un profesor-ingeniero, con el fin de realizar un proyecto de aprendizaje para una población determinada de alumnos. En el transcurso de las interacciones entre el profesor y los estudiantes el proyecto evoluciona bajo las reacciones de los estudiantes y en función de las selecciones y decisiones del profesor. En la didáctica de la matemática el término se utiliza desde un doble aspecto: como metodología de investigación y como producción de situaciones de enseñanza. En nuestro trabajo nos interesa el segundo aspecto. Douady (1995, p.61) manifiesta “...la ingeniería didáctica es a la vez un producto, resultante de un análisis a priori, y un proceso en el transcurso del cual el profesor ejecuta el producto adaptándolo, si se presenta el caso, a la dinámica de la clase.” El propósito de la ingeniería didáctica es proporcionar herramientas de trabajo a los profesores, de modo que las planificaciones tengan un marco teórico y reflexivo. Se apoya en la teoría de las Situaciones Didácticas iniciada por Brousseau y su evolución se ha visto caracterizada por la evolución de esta teoría. Se identifica fundamentalmente por centrar la atención en los procesos de aprendizaje de los alumnos cuando se desenvuelven en el aula, mediante la realización de actividades didácticas diseñadas por el investigador. Una característica importante de esta teoría es su consideración de los fenómenos de enseñanza y de aprendizaje desde un enfoque sistémico centrado en tres componentes fundamentales: el saber, el o los alumnos y el profesor. El funcionamiento didáctico no puede ser explicado por el estudio separado de cada uno de sus componentes. Además está el mundo exterior a la escuela, los padres, los matemáticos, la sociedad en general, que no pueden dejar de tenerse en cuenta. No se trata simplemente de reproducir el ambiente científico en que el conocimiento fue establecido originalmente. La esencia del trabajo didáctico es construir situaciones artificiales adecuadas a las condiciones pedagógicas. Las situaciones son específicas del conocimiento. Para que el alumno construya el conocimiento es necesario que se interese personalmente por la resolución del problema planteado en la situación didáctica. Sistemas de representación y visualización Entre los procesos cognitivos implicados en el pensamiento matemático avanzado, se encuentra el de visualización. Cantoral y cols. (2003, p. 146) entienden por visualización “la habilidad para transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar información visual”. Este proceso está relacionado con el uso de medios de representación correspondientes a los distintos registros: gráfico, numérico, simbólico y algebraico. Hitt (2003) expresa: … la visualización matemática de un problema juega un papel importante, y tiene que ver con entender un enunciado mediante la puesta en juego de diferentes representaciones de la situación en cuestión y ello nos permite realizar una acción que posiblemente puede conducir hacia la solución del problema (p. 215). Todo concepto matemático necesita de representaciones ya que no se dispone de objetos para mostrar en su lugar y sólo por medio de éstas es posible una actividad sobre los objetos matemáticos. Duval (2000, c.p. González, 2006) afirma que no hay conocimiento sin representación. Un recurso importante para lograr la comprensión de un concepto es la utilización de distintos registros de representación. Hitt (2003) argumenta además que los estudiantes de primer año universitario no logran crear articulaciones entre varios sistemas de representación relacionados con los conceptos de ese nivel. Si bien la visualización es importante para favorecer la comprensión matemática en los primeros cursos de la universidad, existen numerosas investigaciones que muestran la gran resistencia de los alumnos a visualizar. Eisenberg y Dreyfus (1991) opinan que las causas por las que los estudiantes evitan la visualización están relacionadas con distintos aspectos. Por un lado la visualización demanda actividades cognitivas superiores a las que exige pensar algorítmicamente. Por otro lado los aspectos visuales no son utilizados para comunicar las ideas matemáticas ya que éstos suelen ser considerados por matemáticos, maestros y alumnos como secundarios al concepto mismo. Estos autores opinan que muchas de las Página 229 de 632 dificultades del cálculo se superarían si se enseñara a los estudiantes a interiorizar las connotaciones visuales de los distintos conceptos. Obstáculos y dificultades en el aprendizaje Para comprender los aportes de las investigaciones en cuanto al estudio de las dificultades es necesario hacer referencia a la noción de obstáculo. El concepto de obstáculo fue introducido por el filósofo francés Bachelard en el contexto de las ciencias experimentales bajo la denominación de obstáculo epistemológico. Socas (1999, p. 136) en el trabajo desarrollado sobre dificultades expresa: “El traslado del concepto de obstáculo epistemológico al campo de la Didáctica de la Matemática es objeto de debate, ya que plantea dificultades que han sido descritas por autores como Brousseau (1983), Sierpinska (1985) y Artigue (1989)…” La evolución histórica de los conceptos matemáticos es un proceso caracterizado por la presencia de obstáculos epistemológicos. El mismo Socas considera que las dificultades se pueden organizar teniendo en cuenta determinadas características: dificultades asociadas a la complejidad de los objetos de la matemática, a los procesos de pensamiento matemático, a los procesos de enseñanza desarrollados para el aprendizaje de la matemática, a los procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos y a actitudes afectivas y emocionales hacia la misma. Las dificultades se conectan y refuerzan entre ellas y se concretan en la práctica en forma de obstáculos y se manifiestan en los alumnos en forma de errores. Los errores se consideran desde un doble aspecto: falta de conocimiento por un lado y presencia de un esquema cognitivo inadecuado. La incorporación de las nuevas tecnologías en la enseñanza Duart y Sangrá (2000), expresan que la educación no puede estar ajena al potencial que los nuevos espacios de relación virtual aportan. Ante la rapidez de la evolución tecnológica, ahora más que nunca, la educación debe manifestarse claramente y situar la tecnología en el lugar que le corresponde: el de medio eficaz para garantizar la comunicación, la interacción, la información y, también, el aprendizaje. Cuanto más amplias y complejas sean las relaciones que se establezcan, mayor será la capacidad de utilizarlos en las situaciones cotidianas, en la construcción de nuevos significados y en el establecimiento de nuevas relaciones. Es necesaria la creación de entornos para el aprendizaje donde la interacción con el alumno esté mediada por propuestas de enseñanza que, a través de diferentes tipos de materiales educativos, propicie la adquisición y construcción del conocimiento de manera flexible y autónoma. Zaldívar (2006, p.22) manifiesta: En la actualidad existen varias investigaciones en didáctica de las matemáticas que ponen a la tecnología como motor de conocimiento, teniendo interesantes repercusiones en la enseñanza del Cálculo. En ellas se sugiere que el uso de la tecnología en el aula de matemáticas no debe quedar excluido porque „evitan que el alumno piense‟, sino más bien, mirar a la tecnología como la herramienta que brinda la posibilidad a los estudiantes de involucrarse en la construcción de su conocimiento matemático. Se propone entonces la creación de propuestas en las que se desarrolle un uso inteligente de los medios tecnológicos (Buendía, et al, 2006). Los investigadores que tienen a su cargo la ejecución de este tipo de proyectos, comparten una visión sobre los instrumentos tecnológicos: facilitadotes de cálculos y operaciones en general, cuyo uso inteligente no puede quedar relegado al pragmatismo de ahorrador de tiempo. De ahí que, en el aula de matemáticas de este siglo, tiene que darse necesariamente una reorganización del discurso matemático escolar que favorezca un estudio, representación y exploración del saber matemático matizado por el uso de instrumentos tecnológicos (Buendía et al, 2006). Página 230 de 632 El uso adecuado de estas tecnologías implica la incorporación de una metodología didáctica y funcional que atienda al diseño de los contenidos, al proceso de comunicación, al sistema de estudio y de evaluación. Mónica Villarreal (2003) cita a diversos autores como Schoenfeld, Smith, Heid y Baylor, Hillel et al., quienes describen las características, ventajas e influencias de los ambientes computacionales en la enseñanza y aprendizaje del cálculo. Según esos autores, en diversas propuestas de enseñanza del cálculo que utilizan el recurso informático, algunos de los rasgos más destacados son la posibilidad de ilustrar y reforzar conceptos básicos, reducir la preocupación de las técnicas de cálculo y permitir concentrarse en las ideas centrales del cálculo al abordar aplicaciones más realistas, comunicar nuevas ideas de manera visual y experimental antes de pasar a una explicación oral y ofrecer imágenes que de otro modo serían inaccesibles para los alumnos. De esta manera, el trabajo en un ambiente computacional favorece la posibilidad de alcanzar una mayor comprensión conceptual. Destaca también que los ambientes computacionales favorecen el abordaje más experimental en el aprendizaje matemático que alienta a los alumnos a formular, verificar o rechazar y reformular hipótesis, generar patrones, anticipar resultados y combinar abordajes gráficos con rutinas numéricas y analíticas. Diversos trabajos de investigación relacionados con el cálculo proponen la incorporación de estos medios con la intención de promover la conexión entre diferentes registros de representación y la visualización matemática (Villarreal, 2003; González, 2006). El gran trabajo desarrollado en didáctica del cálculo así como en relación a los proyectos de innovación en su enseñanza aún no han logrado los resultados esperados en el interior de las prácticas institucionales y en las aulas. Se nota una gran brecha entre la realidad del aula (innovación) y las investigaciones científicas (Moreno, 2005, c. p. Zaldívar, 2006). Faltan acciones concretas que permitan superar ampliamente los niveles meramente descriptivos y teóricos especialmente en el nivel universitario. En Chim y Zaldívar (2007, p. 398) leemos: Ahora bien, el éxito de cualquier cambio en la forma en la que se desarrolla la enseñanza está determinado, en gran parte, por la implementación de un cambio en las concepciones del profesor, pues muchas de ellas se vuelven verdaderos obstáculos para lograr un cambio en los métodos de enseñanza que éste emplea. (Campanario, 2003) … Se requiere que el profesor posea una adecuada visión de lo que es la actividad matemática, en especial dentro del salón de clase, de una epistemología apropiada y de concepciones didácticas apropiadas. Objetivos de la propuesta Generar un espacio de reflexión para valorar los avances en las investigaciones en la enseñanza del cálculo y su implementación en el aula. Despertar en el docente la necesidad de crear elementos didácticos y desarrollar actividades que favorezcan el desarrollo del pensamiento variacional. Temas a desarrollar Pensamiento y lenguaje variacional. Investigación en didáctica del cálculo. Ingeniería didáctica y teoría de situaciones. La noción de sistemas de representación y visualización matemática. Obstáculos y dificultades en el aprendizaje. Diseño de actividades didácticas. La incorporación de las nuevas tecnologías en el diseño de actividades didácticas. Página 231 de 632 Metodología de trabajo Se proponen dos jornadas de trabajo. Durante cada uno de los encuentros se tendrán en cuenta las siguientes formas de trabajo: Desarrollo de los aspectos básicos de los contenidos e investigaciones descriptas en el apartado anterior. Presentación y resolución grupal de actividades propuestas. Trabajo en el laboratorio de informática presentando los avances referidos a la introducción de las nuevas tecnologías en nuestro trabajo cotidiano. Puesta en común de las diferentes producciones. Debate y discusión abierta a todos los participantes del taller con el fin de construir, analizar, seleccionar, detallar y reorganizar los conocimientos, contenidos, metodología de trabajo que permitan la articulación entre las investigaciones y el trabajo diario en el aula en relación al desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional de nuestros alumnos. Reflexiones Si como formadores: logramos reflexionar y tomar conciencia de lo importante que resulta conocer los resultados derivados de investigaciones, generamos, en base a lo anterior, propuestas de aula acorde a dichos resultados y utilizamos la creatividad para desarrollar una metodología innovadora en la enseñanza propiciando el desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional, buscando alcanzar mejores niveles en el proceso de aprendizaje y en la formación universitaria, seguramente nuestros logros en relación a los objetivos propuestos serán mejores. Referencias bibliográficas Cabañas, G. y Cantoral, R. (2007). La integral definida: un enfoque socioepistemológico. En Dolores, C.; Martínez, G.; Farfán, R.; Carrillo, C.; López, I., Navarro, C. (Eds.) Matemática Educativa. Algunos aspectos de la socioepistemología y la visualización en el aula. (pp. 2-25). México: Ediciones Díaz de Santos. Cantoral R. y Farfán, R. (2000). 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Página 233 de 632 REVISIÓN CRÍTICA DE LA MODELIZACIÓN MATEMÁTICA EN CONTEXTOS FÍSICOS Zabala, Analía; Berenguer, María del Carmen; Moyano, Analía Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de San Juan - Argentina [email protected] Nivel Educativo: Medio (13-17 años) Palabras Clave: Modelaje matemático, contextos físicos, validación de modelos, aprendizaje Resumen Se presenta un taller en el que se revisan contenidos básicos de Cinemática de la Partícula, como punto de partida para realizar un análisis crítico de la contextualización de modelos físicos que usa el profesor de matemática del nivel medio. Para que el modelaje matemático contribuya a facilitar el proceso de enseñanza-aprendizaje es preciso que el proceso de traducción esté formulado correctamente. Caso contrario, se fomenta el hecho de que el estudiante se aísle del contexto y busque la solución de la situación problemática planteada haciendo uso de conceptos sin significado y de técnicas memorizadas que nunca comprendió. Introducción Uno de los objetivos específicos del proyecto: “Hacia la integración a la vida universitaria. Propuesta de mejora del ingreso y permanencia”, en ejecución en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de San Juan – Argentina, es reconocer áreas claves del conocimiento en Matemática con dificultades de aprendizaje en la enseñanza media. Por ello, en la etapa de diagnóstico, se efectuó el análisis de los “errores” más frecuentes cometidos por los aspirantes en los exámenes de ingreso (Esteybar, 2007). “Los resultados muestran que el mayor porcentaje de errores está asociado a la interpretación de gráficos y análisis crítico de los valores numéricos obtenidos al resolver una situación problemática” (Zabala, 2009). En algunas entrevistas personales, los aspirantes argumentaron que: en una evaluación de Matemáticas, nunca se les ocurrió pensar si el resultado es coherente o no. Al respecto, Mancipar de Katz (2009, Abril 22) opina que: La “Matemática que se enseña” es ese cúmulo procedimental, algorítmico, lógico formal, cargado de ejercicios irrelevantes y soporíferos (…) (….) hay que propiciar un aprendizaje basado en los significados por sobre las técnicas, otorgando un sentido al conocimiento matemático, en donde se establezca un lazo con los usos de la Matemática (...). (….) La modelización matemática, en tanto estrategia didáctica y pedagógica, asume a la actividad matemática como un proceso continuo de resolución de problemas encuadrados en contextos reales permitiendo, a su vez, la combinación de diferentes tareas, según las necesidades de aprendizaje de los estudiantes. Por otra parte, Camarena (2008) afirma que: “Los estudiantes no tienen en claro por qué estudiar matemáticas y esto demerita la motivación hacia esta ciencia (…)” (p. 83). La enseñanza de la Matemática a través de problemas contextualizados es un recurso que, como ya se ha demostrado en el trabajo de numerosos investigadores, contribuye en gran manera a facilitar el proceso de aprendizaje del alumno. Sin embargo, para que el mismo promueva el conocimiento perenne es preciso que el proceso de traducción esté formulado correctamente; solo así el alumno puede extender a la realidad las conclusiones obtenidas mediante su análisis y/u operación. Ya que la construcción de los modelos físicos plantea la inclusión de parámetros y constantes, que reflejan la dimensión de las relaciones entre las variables del modelo, es necesaria una contextualización adecuada que permita al alumno realizar una validación del modelo; caso Página 234 de 632 contrario, el aprendizaje se reduce a una memorización de fórmulas y algoritmos que con el tiempo se olvidan. “La desarticulación que existe entre los cursos de matemáticas y las demás asignaturas que cursa el estudiante se convierte en un conflicto cotidiano para los alumnos” (Camarena, 2008, p. 83), lo que fomenta el hecho de que los estudiantes se aíslen del contexto y busquen la solución de la situación problemática planteada haciendo uso de conceptos sin significado y de técnicas memorizadas que nunca comprendieron. Por ello, Godino (2003) recomienda que “(…) el profesor debe ser cuidadoso y hacer un uso crítico de los libros de texto. (….) Más allá de que la presentación sea agradable, que los ejercicios y problemas sean interesantes hay que cuidar que el contenido sea adecuado…” (p. 129). Metodología: En este taller se analizan los contenidos de Física involucrados en algunos problemas contextualizados para ilustrar que la preocupación por la formalización matemática y el rigor científico no siempre es adecuadamente orientado, desfavoreciendo el proceso de enseñanza- aprendizaje. A modo de ejemplo se muestran algunos problemas contextualizados y las variables didácticas específicas relacionadas con la situación (en especial los elementos de la situación que puedan afectar el proceso de enseñanza-aprendizaje). Usando la metodología de trabajo colaborativo en grupos pequeños, con la orientación permanente del docente a cargo, se realiza el análisis crítico de problemas contextualizados, que involucran Fundamentos de Física, seleccionados de la bibliografía disponible para docentes y alumnos del nivel secundario. Al culminar cada jornada de trabajo se realiza la exposición y argumentación de las conclusiones a las que arriban los distintos grupos. Revisión de Fundamentos de Cinemática para contextualizar problemas en Matemática Cabe aclarar que los contenidos específicos de Física a continuación desarrollados no han sido diagramados para reemplazar un texto de la asignatura, constituyen sólo la base para acordar, con los docentes de matemática asistentes al taller, los criterios de revisión de los contextos físicos en el modelaje matemático. Cinemática: Es la parte de la mecánica que se relaciona sólo con los aspectos geométricos del movimiento. Movimiento: Se dice que un objeto se encuentra en movimiento con respecto a otro, cuando su posición, medida con respecto al segundo cuerpo, cambia a medida que transcurre el tiempo. Por otra parte, si esta posición relativa no cambia a medida que transcurre el tiempo, el objeto se encuentra en reposo relativo. Tanto el movimiento como el reposo son conceptos relativos; esto es, dependen de la condición del objeto con relación al cuerpo que se usa como referencia. Sistema de Referencia: Para describir un movimiento, el observador debe definir un cuerpo de referencia adecuado, que se idealiza en la forma de un sistema de coordenadas. El Sistema de Referencia que se elige para estudiar el movimiento de un cuerpo no es absoluto, su elección es completamente arbitraria. Si dos observadores que describen el movimiento de un cuerpo utilizan distintos sistemas de referencia en reposo relativo, observarán el mismo movimiento del cuerpo. Pero si usan sistemas de referencia en movimiento relativo entre sí, la descripción que haga cada uno de ellos del movimiento será diferente. Si los observadores conocen su movimiento relativo, pueden fácilmente conciliar sus observaciones respectivas. Página 235 de 632 Por ejemplo, consideremos dos observadores: uno fijo al Sol y el otro fijo a la Tierra; estudiando ambos el movimiento de la Luna (Figura 1). Para el observador terrestre que usa el sistema de referencia x‟y‟z‟, la luna describe una órbita casi circular alrededor de la Tierra. Sin embargo, para el observador situado en el Sol, que usa el sistema xyz, la órbita de la Luna es una línea ondulante (epicicloide). Trayectoria: Es el lugar geométrico de los puntos que ocupa el cuerpo durante su movimiento. Trayectoria de la Luna con respecto al Sol (línea ondulante epicicloide) (las ondulaciones están exageradas considerablemente) Trayectoria de la Luna respecto a Tierra (prácticamente circular) z‟ Luna Trayectoria de la Tierra respecto al Sol (elíptica) y‟ Tierra x‟ z y x Figura 1. Sol Vector posición: La posición de un punto P del cuerpo (Figura 2), en movimiento, respecto del sistema de referencia elegido se determina en cada instante de tiempo “t” mediante un vector de posición r , trazado desde el origen del sistema de referencia hasta el punto P. Usando como sistema de referencia una terna derecha de ejes cartesianos ortogonales rígidos, se puede expresar r como: r t x t î y t ĵ z t k̂ z P r O y x Figura 2. Partícula: Para estudiar el movimiento de un cuerpo, se debe determinar el vector posición, en cada instante de tiempo “t”, de cada uno de sus puntos respecto del sistema de referencia elegido. Para simplificar el problema es conveniente comenzar a estudiar el movimiento de un cuerpo idealizado llamado partícula., que matemáticamente se representa con un punto. El concepto de partícula es un concepto relativo, depende del movimiento que se quiere estudiar. Un cuerpo puede considerarse como una partícula cuando: - Los vectores posición de cada uno de los puntos del cuerpo (en un instante dado), tienen prácticamente la misma dirección, el mismo módulo y el mismo sentido. Lo que equivale a decir que las proyecciones de estos vectores diferirán “muy poco” entre sí. Página 236 de 632 - - La incerteza asociada a la medición del módulo del vector posición de un punto en el espacio es del orden de las dimensiones del cuerpo. Ejemplo: La Tierra puede ser considerada como partícula en su movimiento orbital como planeta; ya que la incerteza con la que conocemos la distancia Tierra – Sol (150.000.000 km ± 30.000 km) es mayor que el diámetro medio de la Tierra (~12.000 km). En el estudio de su movimiento sus dimensiones no tienen incidencia. Es indeformable y sólo tiene movimiento de traslación pura. Un observador puede afirmar que un cuerpo se mueve con movimiento de traslación pura si los ejes x´, y´,z´ (Figura 3) de un referencial que en forma imaginaria está rígidamente fijo al objeto, siempre permanecen paralelos a sí mismos; es decir, con igual orientación respecto al sistema de referencia del observador x, y, z . z´ y´ x´ z´ y´ x´ z O y x Figura 3 Todos los puntos de un cuerpo que describe un movimiento de traslación pura se mueven de la misma manera y describen la misma trayectoria, que no necesariamente es una recta. Entonces, la posición de un cuerpo puntual está fijada por un único vector posición en cada instante de tiempo. Ecuación de movimiento: El movimiento de una partícula está determinado si se conoce como cambia su posición en el tiempo, respecto de un determinado sistema de referencia; es decir, si se conoce la función: r r ( t ) . Lo que equivale a decir que el objeto de la Cinemática x x t y y t es conocer las ecuaciones Paramétricas de la trayectoria, en el plano: Por otra parte, y y (x ) representa la ecuación cartesiana de la trayectoria. Hay partículas que describen trayectorias de igual forma; pero, no describen el mismo movimiento (responden a distintas ecuaciones horarias). Vector desplazamiento: Si una partícula se mueve en el plano xy (Figura 4) su vector posición cambia a medida que transcurre el tiempo. Si r1 es el vector posición de la partícula en el instante t 1 y r2 es el vector posición en un instante posterior t 2 ; el vector desplazamiento de la partícula, que representa el cambio de posición de la misma en el intervalo de tiempo t t 2 t 1 , es r r2 r1 . Página 237 de 632 En coordenadas cartesianas, el vector desplazamiento se expresa como: r x î y ĵ , donde: x x 2 x 1 y y 2 y1 y S A B r1 x r2 O Figura 4 Se designa con S a la longitud de arco; distancia recorrida por la partícula medida sobre su trayectoria. Al observar la Figura 4 es posible concluir que: - El módulo del vector desplazamiento no tiene por que coincidir con la longitud de la trayectoria recorrida por la partícula; coincide sólo cuando la trayectoria es rectilínea y el sentido del movimiento no cambia. Por ejemplo: si la partícula recorre una trayectoria cerrada (la posición final coincide con la inicial), r 0 pero S 0 . - El vector desplazamiento es el mismo cualquiera sea la trayectoria descripta por la partícula en el intervalo t. El módulo y la dirección del vector desplazamiento, a diferencia del vector posición, no dependen del sistema de referencia elegido para estudiar el movimiento. Velocidad media: Es la magnitud vectorial que representa la rapidez del cambio de posición en un intervalo de tiempo finito. Matemáticamente: v m r t En coordenadas cartesianas, en el plano: v m v mx î v my ĵ x v mx t donde: v y my t La velocidad media v m es un vector de igual dirección y sentido que el vector desplazamiento r (secante a la trayectoria entre A y B). Por estar asociada a todo el desplazamiento r el vector v m se traza en un punto intermedio entre A y B. Su módulo se calcula como: v m Análisis dimensional: v m L T r t (rapidez media). Por ejemplo: m/s (SIMELA); km/h Página 238 de 632 Si la velocidad media es la misma (en magnitud y dirección) entre dos pares de puntos cualesquiera de la trayectoria, se concluye que la partícula se ha movido con velocidad constante; es decir, a lo largo de una línea recta (dirección constante) y con rapidez uniforme (magnitud constante). El movimiento que describe es un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). Rapidez promedio: v p s longitud recorrida sobre la trayectoria por unidad de tiempo. t Velocidad instantánea: El vector desplazamiento no tiene significado físico particular, ya que no proporciona ninguna información acerca de donde estuvo el móvil entre A y B (entre t 1 y t2), ni cuál ha sido la trayectoria, ni si el movimiento ha sido uniforme o variado. Pero si se elige el punto B cada vez más próximo al punto A, en el límite cuando B A, el vector desplazamiento tiende a ser tangente a la trayectoria en el punto A y su módulo tiende a confundirse con la distancia dS (elemento de arco) recorrida sobre la trayectoria entre t 1 y t2. Al elegir B cerca de A, la relación entre el desplazamiento y el tiempo transcurrido se acerca a un valor límite definido, independizándose de la amplitud del intervalo t . r cuando t 0 se denomina velocidad instantánea en el punto A. t r dr Matemáticamente: v lím t 0 t dt El valor límite de v m La existencia de este límite indica, como empíricamente se comprueba, que el movimiento no puede ocurrir “a saltos”, que es un proceso continuo. direc v : tangente a la trayectoria en el punto v : sent v : sentido de movimiento v v d r ds rapidez instántanea ó rapidez dt dt Si la v cte se cumple que v m v en todo instante de tiempo t. Aceleración media: Si v cte ; se dice que la partícula experimenta una aceleración. Se define la aceleración media como la magnitud vectorial que mide la rapidez de cambio de la velocidad instantánea durante un intervalo de tiempo t. Matemáticamente: a m v En coordenadas cartesianas en el plano: a m a mx î a my ĵ t La dirección y sentido del vector aceleración media coincide con la dirección y sentido del cambio de velocidad instantánea en el intervalo de tiempo considerado. Su módulo se calcula como: a m Análisis dimensional: a m L T 2 v t Ejemplo: m s2 Aceleración instantánea: Si el cambio de velocidad, para iguales intervalos de tiempo, no es uniforme; la aceleración media no se mantiene constante en el transcurso del tiempo. En este caso, es conveniente determinar la aceleración en cada instante de tiempo, es decir la aceleración instantánea. Página 239 de 632 v dv t 0 t dt Matemáticamente: a lím La existencia del límite significa que tampoco la velocidad puede “saltar de un valor a otro, sin pasar por todos los valores intermedios”. Como la aceleración es la magnitud vectorial que mide la rapidez de cambio de la velocidad instantánea en el transcurso del tiempo, se pueden presentar las siguientes situaciones: direc v cte MR v cte : MRU (Movimiento Rectilíneo Uniforme) v cte MU direc v cte MR v cte : MRV (Movimiento Rectilíneo Variado) v cte MV direc v cte MCurv. v cte : Ej: Movimiento Circular Uniforme (MCU) v cte MU direc v cte MCurv. v cte : Ej: Movimiento Circular Variado v cte MV Movimiento en una dimensión con aceleración constante (MRUV) Si una partícula describe una trayectoria recta es conveniente elegir uno de los ejes del sistema de referencia coincidente con la trayectoria. Para describir la posición de la partícula en cualquier instante t, se debe determinar la función: x = x(t) Teniendo en cuenta que: a x dv x dx ; vx y las condiciones iniciales: dt dt x x 0 , resulta: v x v 0 x Para t = t0 v x v0 x a x t t 0 1 2 x x 0 v 0 x t t 0 a x t t 0 2 Combinando las dos ecuaciones linealmente independientes, se obtiene: v 2x v 02 x 2 a x x x 0 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) y Movimiento Rectilíneo Uniformemente Desacelerado o Retardado (MRUR) Analizando la ecuación horaria de posición: x x 0 v 0 x t t 0 1 2 a x t t 0 se observa que 2 según los signos relativos de v0x y ax el comportamiento físico de la partícula será distinto. Si v0x y ax tienen el mismo signo (no importa cuál) el término lineal y el cuadrático en t variarán en el mismo sentido, y el móvil se alejará monótonamente de la posición inicial (la distancia x x 0 crece monótonamente), resultando un movimiento estrictamente acelerado. Si en cambio v0x y ax tienen signos opuestos el movimiento es desacelerado. En este último caso, el término lineal predomina sobre el cuadrático para pequeños intervalos de tiempo t y el móvil se alejará de x0; pero, a medida que crece t , el término cuadrático empieza a “hacerse sentir”, anulando paulatinamente la acción del término lineal, por tener Página 240 de 632 signo opuesto. Entonces, el móvil vuelve a acercarse a x0 y pasará por x0 cuando los dos términos tengan igual valor absoluto, es decir cuando: t 2 v0 . a Después de ese instante, el término cuadrático siempre “llevará la delantera” y el móvil se alejará definitivamente de la posición inicial x0 en el sentido opuesto al movimiento inicial. Matemáticamente, en el caso que a x 0 y v x 0 la ecuación de movimiento queda (considerando t0=0): x x 0 v 0 t 1 2 at 2 Esta función pasa por un extremo (mínimo) x‟ en el instante t‟: v dx 1 v 02 v 0 a t ' 0 t ' 0 x' x 0 dt a 2 a En este instante t‟, v‟ = 0 el móvil invierte su sentido de movimiento. Vuelve a pasar por x 0 en el instante t‟‟ = 2 t‟ = 2 v0 con una rapidez v 'x' v 0 x . a Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) Un caso particular del MRUV es el MRU (ax=0 vx=cte) La función x = x(t) que describe el movimiento es: x x 0 v 0 x t t 0 Ejemplo de MRUA: Caída libre El ejemplo más común de movimiento con aceleración constante es el de un cuerpo puntual que bajo determinadas condiciones cae hacia la superficie terrestre. Condiciones: La resistencia del aire es despreciable (vacío) a g La altura desde la que se deja caer es menor a 4km g cte 9,8 La rapidez inicial es nula: v0=0 m s2 Eligiendo el eje “y” del sistema de referencia coincidente con la trayectoria y positivo hacia abajo, las ecuaciones que permiten estudiar el movimiento son: v y g t t 0 1 2 y y 0 g t t 0 2 2 v y 2 g y y 0 Ejemplo de MRUA: Tiro vertical hacia abajo Se deben cumplir las mismas condiciones que en el movimiento de caída libre, la diferencia es que la rapidez inicial no es nula. Teniendo en cuenta el mismo sistema de referencia, resulta: Página 241 de 632 v y v 0 g t t 0 1 2 y y 0 v 0 t t 0 g t t 0 2 v 2y v 02 2 g y y 0 Ejemplo de MRUV: Tiro vertical hacia arriba Movimiento con a g cte Eligiendo el eje “y” del sistema de referencia coincidente con la trayectoria y positivo hacia arriba, las ecuaciones que describen el movimiento son: v y v 0 g t t 0 1 2 y y 0 v 0 t t 0 g t t 0 2 v 2y v 02 2 g y y 0 MRUR hasta el punto de altura máxima v y 0 desde el punto de altura máxima (caída libre) Tiro vertical hacia arriba: MRUA Ejemplo de movimiento en el plano con aceleración constante: Movimiento parabólico Ejemplo: Movimiento de proyectiles en el vacío Para que un proyectil (cuerpo puntual que no es capaz de impulsarse por sí mismo) lanzado en forma oblicua describa una trayectoria parabólica se deben cumplir las siguientes condiciones: La resistencia del aire es despreciable (vacío) a g dir g cte curvatura de la T ierra despreciable g cte : m g cte 9,8 2 la altura máxima inferior a 4km s De acuerdo al sistema de referencia elegido (Figura 5), las ecuaciones horarias del movimiento son: x x 0 v 0 x t t 0 y (+) 1 2 y y 0 v 0 y t t 0 g t t 0 2 Con lo que la ecuación cartesiana de la trayectoria resulta (considerando x0=0): y y0 x (+) v0y v0x x g x2 2 v 02 x Figura 5 Actividad Los enunciados que se incluyen son situaciones problemáticas contextualizadas, que involucran conceptos de Física, seleccionados de libros de textos de Matemática del Nivel Secundario. Para cada uno de ellos: Página 242 de 632 a) Esbozar la solución de los problemas propuestos; a fin de identificar los conceptos y procedimientos matemáticos que necesitarían poner en juego sus alumnos para resolverlo. b) Identificar los contenidos de Física involucrados y la rigurosidad científica de la formulación del enunciado. c) Analizar la validez científica de los resultados obtenidos y su posible generalización. d) Si lo cree conveniente, reformular el enunciado. Aclaración: Los enunciados han sido ordenados según el objeto predominantemente involucrado, de acuerdo al criterio de los respectivos autores matemático Algunos Ejemplos de Situaciones Problemáticas a analizar contextualmente: 1.- Martín arrojó hacia arriba una pelotita de tenis que pudo agarrar nuevamente cuando cayó. El gráfico muestra la altura que alcanzó la pelotita a medida que transcurrió el tiempo. Altura (en m) 4 3 2 0 1 2 3 Tiempo (en segundos) 4 5 a) ¿A qué altura llegó la pelotita? Rta: 4 metros 1 b) ¿Cuánto tiempo tardó en llegar a la máxima altura? Rta: 2 seg. c) ¿Cuánto tiempo tardó en bajar? Rta: 3 seg. 2.- En todos los tramos rectos de su camino un tren avanza a velocidad constante, siempre la misma; es decir, avanza espacios iguales en tiempos iguales. Observa el gráfico que muestra el espacio recorrido por el tren en función del tiempo. e (km) 400 375 20 40 200 t (min) 60 80 100 120 140 160 180 a) ¿Cuántos metros recorrió el tren en total? Rta: 375 000 m 300 Página 243 de 632 225 150 b) ¿Cuánto tiempo duró el viaje? ¿Qué elemento del gráfico te lo indica? Rta: 190 minutos. A partir de ahí no varía e (el gráfico se convierte en un segmento horizontal) c) ¿Cuántos metros avanzó en cada tramo recto y cuánto tiempo tardó para recorrer cada uno? Rta: En ambos casos recorrió 75 000 m en 50 minutos d) ¿A qué velocidad avanzó el tren en los tramos rectos, o sea, cuánto vale la constante de proporcionalidad? Rta: 1,5 km/min. 3.- Una bola de béisbol es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 64 m/s. El número de metros m sobre el suelo después de t segundos está dado por la ecuación m = −16t2 + 64t.a) ¿En cuánto tiempo alcanza la pelota una altura de 48 m sobre el suelo? b) ¿Cuándo regresará al piso? 4.- Lanzamos una pelota, la altura alcanzada y (en m) y los metros recorridos x están relacionados por la ecuación: y = -5x2 + 10x. Calcula la máxima altura alcanzada por la pelota. 5.- Ésta es la gráfica altura-tiempo de la caída de un paracaidista. m 2000 5 s 30 60 80 Di cuál es 1000 la velocidad de caída libre, cuánto tiempo la mantiene y que altura cae de ese modo; cuál es su velocidad con el paracaídas abierto, cuánto tiempo la mantiene y que altura recorre así. ¿En qué instantes lleva una velocidad de 50m/s? 6.- Si a un balde se le hacen agujeritos a distintas alturas y se le vierte agua con una manguera 500 el balde se mantenga lleno, se observará que los chorros de agua que salen de modo que describen curvas que son parábolas. La fuerza con la que sale el agua está en función de la altura del agujerito. Por ejemplo, el chorro que sale por un agujerito que está a 8 cm de la base, llega a 2cm de distancia. La función cuadrática correspondiente es: 100 y = -2x2 + 8. ¿A qué altura se debe practicar el agujerito para que el agua llegue a 4 cm de distancia? Página 244 de 632 Bibliografía Educación Matemática: - Camarena Gallardo, P. (2008). La Matemática en el Contexto de las Ciencias. Trabajo presentado en el III Coloquio Internacional sobre Enseñanza de las Matemáticas, Lima, Perú. - Esteybar, I (2008). Hacia la integración a la vida universitaria. Propuesta de mejora del ingreso y permanencia (Proyecto de Inv.). San Juan, Argentina: Universidad Nacional de San Juan, Departamento de Matemática. - Godino, J., Batanero, C. y Font, V. (2003). Fundamentos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas para maestros. Matemática y su didáctica para maestros. Manual para el estudiante. Granada: Proyecto Edumat-Maestros. Extraído el 20 de Marzo de 2008 desde: http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/ - Mancipar de Katz, S. (2009, 22 de Abril) Modelización: Una forma de encontrar el sentido de la Matemática. Extraído el 15 de julio de 2009 desde http://www.ellitoral.com/index.php/diarios/2009/04/22/medioambiente/MED-02.html - Zabala, A. Berenguer, M., Moyano, A. y Esteybar, I. (2009, Septiembre). Análisis documental de las evaluaciones de matemática para ingreso a la FI – UNSJ. Comunicación presentada en EMCI XV, Tucumán, Argentina. Conceptos Físicos: - Resnick, R., Halliday, D. y Krane, K. (2004). Física - Volumen I. México: Compañía Editorial. - Serway, R. & Jewett, J. (2005). Física para ciencias e ingenierías – Volumen I. México: Thomson. - Tippler, P. & Mosca, G. (2005). Física para la ciencia y la tecnología - Vol 1A y C. Argentina: Reverté. Matemática para el Nivel Secundario: - Altman, S. y otras. (2002). Matemática/Polimodal. Funciones I. Argentina: Longseller S.A. Andrés, M. (2006). Actividades de Matemática 8. Argentina: Santillana. Berio, A. (2008). Logonautas matemática 2 versión docente. Argentina: Puerto de Palos. De Guzmán, M. y Colera, J. (1998). Matemáticas II. C.O.U. 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Concluimos que en el campo de la matemática como en cualquier campo nadie se desprende de las riquezas que jamás poseyó, y es frecuente ver como a los chicos se les exige pensar cuando en realidad no se le han brindado oportunidades para que lo hagan. Además sabemos que: la enseñanza de algoritmos automatizados y mecánicos no presenta al alumno oportunidades reales para pensar. está en manos del docente poner énfasis en el acto de pensar del alumno. ahogar el pensamiento resulta fácil pero se hace difícil estimularlo. es fácil pensar por los alumnos; no lo es tanto darles oportunidades de pensar por sí mismos. es una obligación del docente propiciarles oportunidades para pensar y también, es una obligación crear en ellos hábitos de indagación reflexiva. no por mucho calcular se razona más temprano pero sí por mucho razonar se calcula más temprano. Estamos convencidos que para obtener buenos resultados el maestro tendría que enriquecer su cultura matemática motivado por un espíritu de innovación pedagógica que permita crear en él hábitos de indagación reflexiva. Es así que, sobre la base del libro “No por mucho calcular se razona más temprano‖, de Alfredo Palacios, presentaremos con todo su condimento, distintas miradas a los algoritmos utilizados en las operaciones habituales, para que cada docente pueda seleccionar lo que más le interese. No damos recetas pero sí propuestas que por vía de la discusión nos conducirán a repensar la enseñanza de la aritmética. MARCO TEÓRICO La propuesta de trabajo que ponemos en manos de los maestros, parte de una idea-fuerza que consideramos esencial: será posible mejorar la calidad de la enseñanza sólo cuando el maestro conozca íntimamente la rica trama conceptual que permite edificar el conocimiento matemático; cuando comprenda la necesidad de replantear críticamente los objetivos y los instrumentos básicos de la educación matemática; cuando confíe en esos instrumentos y cuando, a su vez, tenga confianza en su propia capacidad para plasmar en el aula la reforma metodológica adecuada. Página 246 de 632 Una mejoría en la calidad de la enseñanza no puede decretarse; debe ser la consecuencia de un lento proceso mediante el cual se facilite al maestro una genuina adquisición de los recursos metodológicos activos, junto con una sólida compresión de los conceptos matemáticos. Tratamos de poner en contacto al maestro con actividades de pensamiento que le permitan continuar recreando los conocimientos que ya tiene, incorporar nuevos y ensayar propuestas originales y creativas al desafío del cambio metodológico. Pretendemos, modestamente, acercar laborío e ideas, destinados a que comprenda a la Matemática como una manera de pensar, más que como una tediosa colección de técnicas. En este sentido Alfredo R. Palacios dice: “Maestro no es aquel que ha acumulado una mayor cantidad de nociones y la vuelca desde la cátedra sobre sus alumnos para que éstos la almacenen en sus memorias. Maestro es únicamente aquel que habiendo recorrido activa y personalmente el camino inventivo y habiendo operado – al cabo de ese camino- síntesis científicas válidas, se ha hecho capaz de suscitar una actividad del mismo género en sus discípulos y de guiarlos para que realicen un trabajo similar al suyo convirtiendo igualmente al nuevo en trabajo original y absolutamente personal”. FICHA 1 . RECUERDOS DEL FUTURO (Palacios, 1994) La insuficiencia actual de la educación primaria en la provincia misma de Buenos Aires, y con mayor razón en las demás Provincias de la República, es un hecho desgraciadamente muy cierto [...] En el número de los niños que se presentan cada año al salir de la escuela primaria, cuya enseñanza han apurado, para entrar a las clases preparatorias, sea de la Universidad Provincial, sea del Colegio nacional, muchos hay que aún cuando satisfacen materialmente a las condiciones de admisión exigidas por los reglamentos, están sin embargo en la absoluta incapacidad de cursar con provecho las aulas del primer año de estudios preparatorios. Leen por lo general correctamente, pero sin entender, y la misma monotonía de su hablar fluido semejante a una oración rezada, denota la más profunda indiferencia al sentido de las palabras, que corren como agua de sus labios. Escriben a veces bien pero así como leen, sus páginas son unas planillas, que constan de una serie de palabras sin punto ni coma, lo más del tiempo sin ortografía, y siempre sin vínculo entre sí, ni significación en su mente. Sabrán multiplicar o dividir un número por otro; pero si se les pregunta cuánto valen veinte varas de un cierto género a razón de diecisiete pesos la vara no podrán decidir cuál de esas dos operaciones conduce a la solución de la cuestión. De todo lo demás no tienen idea ni remota ni confusa. Así es que en aquella clase preparatoria en que entran, todo les es nuevo y extraño; las más sencillas explicaciones importan para ellos unos misterios, unas profundidades, y casi brujerías. Las palabras del profesor hieren inútilmente su oído, sin penetrar hasta su espíritu. Amadeo F. Jacques Amadeo Florentino Jacques representa uno de los educadores más prestigioso de Argentina; entre los muchos cargos en los que se desempeñó se encuentra el de director de estudios del Colegio Nacional de Buenos Aires. ACTIVIDAD 1 Leer y analizar el texto. Responder: ¿Está Ud de acuerdo con lo expresado por Amadeo F. Jaques ?......... En caso de discrepancia, resaltar en el texto las afirmaciones que no comparte y fundamentar su opinión. Página 247 de 632 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………… Estimar la fecha en que fue escrito este artículo……………………. FICHA 2 EL NENE YA ME SUMA “Un cronopio pequeñito buscaba la llave de la puerta de calle en la mesa de luz, la mesa de luz en el dormitorio, el dormitorio en la casa, la casa en la calle. Aquí se detenía el cronopio, pues para salir a la calle precisaba la llave de la puerta” Julio Cortázar ……………………………………. Los dos rasgos fundamentales de la numeración escrita que emplea nuestra sociedad y que enseñamos son: es posicional es de base diez Esto significa – en términos de lectoescritura – que será preciso tener en cuenta tres aspectos esenciales: Utilizamos diez símbolos ( cifras) diferentes, a saber: 5, 7, 0, 1,2, 9, 8, 4, 3,6. Cada símbolo adquiere un valor relativo según su ubicación, en aquellos numerales de más de una cifra. La regla de transformación para pasar de una posición (columna) a otra contigua, es por agrupamiento de diez elementos. Dice Alfonso Reyes: …y cuando le preguntaron a Lao-Tsé cuál sería su primera ley si él fuera gobernante, contestó: -“La ley que definiera el recto sentido de las palabras” ……………………………………. Y nos preguntamos: - ¿Conocen nuestros niños el recto sentido de los símbolos numéricos? - ¿Hay certeza y seguridad acerca de qué significado encierra para ellos escribir 3 7 3 1 ó qué comprenden cuando leen esa misma expresión? - ¿Qué entendemos nosotros al proponernos “lograr que el niño utilice con rapidez, seguridad y certeza las técnicas de cálculo que le permitan el dominio de las cuatro operaciones básicas? Los hechos de las sumas, las restas o las divisiones, no representan lo importante; generalmente existe una absoluta falta de comprensión de los símbolos implicados. Por muchos ejercicios que se hagan, por mucho que sean corregidos, nada de esto servirá si no han sido construidos los cimientos, si no hay raíces sanas y fuertes, si no se posee la llave principal. No tenemos derecho a olvidar que: Se aprende eficazmente sólo cuando se ha perdido la angustia de no comprender. ACTIVIDAD 2 Página 248 de 632 Resolver dando formato habitual de cuenta, ej.: 23 + 12 23+12=;3+10=;7+10=;78+20=;11+6=;39+101=;2+10=;12+5=;55+11=;78+30=;85+5=;50+859= ALGORITMOS El nombre de algoritmo surgió como deformación del nombre del geógrafo, astrónomo y matemático árabe del siglo IX, Mohamed ben Musa Al-Joarizmi. El término Joarizm se refiere al nombre de la región de Arabia de la cual era oriundo el matemático y ben Musa significa que era hijo de Moisés .Este Mohamed señala el inicio de la literatura matemática de los mahometanos, siendo uno de los libros más reconocidos Aritmética del cual se conserva una versión latina titulada Liber Algorismi de Numero Indorum. Un algoritmo es una serie de instrucciones cuyo objetivo es la resolución de una problemática. Está formado por un número de pasos, cada uno de los cuales enuncia una acción perfectamente definida. Los algoritmos – en definitiva- son procedimientos o estrategias variadas para alcanzar un fin. De esas estrategias, aquellas que nos brindan modos rápidos y efectivos para obtener resultados prácticos se institucionalizan, se imponen, siendo utilizadas por la mayoría como reglas o mecanismos no comprensivos. Cuando un algoritmo se transforma en un mecanismo desprovisto de significación, su aplicación tiende a la obtención de resultados dejando de lado los procesos de elaboración y los cambios creativos que pudieran sufrir, pues interesa más su aplicación práctica e inmediata que los aprendizajes y el enriquecimiento del sujeto pensante. Los algoritmos matemáticos – más precisamente los algoritmos del cálculo aritméticohan sido durante un largo tiempo y aún hoy, el único camino para resolver las operaciones aritméticas y geométricas. Al punto tal que la rapidez para calcular era y es considerada – todavía-por una importante parte de la sociedad como señal de actitud inteligente y de conocimiento de esta disciplina. Algunos algoritmos son fundamentados en el aula a partir de demostraciones-cuando la edad del alumno lo permite-pero si bien éstas dotarían de significado y de bases científicas a esos futuros mecanismos, en la mayoría de los casos las fundamentaciones no son asimiladas y queda solamente, como residuo, la regla memorizada. La construcción personal de estrategias (algoritmo personal) que el sujeto elabora frente a una problemática, constituye-desde el ángulo del aprendizaje -conductas inteligentes. La elaboración de un plan previo, como punto de partida, muestra en el sujeto pensante una actividad intelectual prometedora. Poco debe interesar si el plan elaborado resulta inadecuado, ya que la experiencia adquirida a través de las pruebas planificadas, irá aproximando paulatinamente el camino más claro, más breve y más preciso. El sujeto aprende así a seleccionar, tomar decisiones, desechar lo que no corresponda, descubrir que ciertas inferencias se repiten, que hay “modos” mejores para obtener resultados ¿LE y que ciertas constantes constituyen el meollo de variadas cuestiones. . PARECE POCO? Página 249 de 632 FICHA 3 HABLANDO LA GENTE SE ENTIENDE… ACTIVIDAD 3 Tratar de leer y comprender la información contenida en los siguientes resúmenes: 1- Se vencían las marioplumas y todo se resolviraba en un profundo pínice. De Julio Cortázar, Rayuela, Cap. 68 2- Se dice que dos trucas son fraslapias, si y loso si son no peretristes. Es decir, si percatan una masmi profusión. Definición de un concepto 3- INYECT t/d aut 80gr 5t/m cierre u$s 8.9000 y f Lacarra 329. Aviso clasificado del Díario Clarín ,26/2/91 4- C H N CI + KCN ---- C H CN + N + KCI 6 5 2 6 5 2 Cierta reacción química. -¿Hemos comprendido cada uno de los mensajes? ¿Hemos podido hacerlo sin conocer los términos respectivos? ¿Qué significan pínice, trucas, percatan, aut, u$s, f, KCN, N? VALE LA PENA RECORDARLO: El solo hecho de conocer en sí una palabra -oral o escrita- no es suficiente para que represente un término en el sentido lógico. Es imprescindible que, además, nos dirija a algún concepto. PROFUNDO: Palabra que representa un término; nos dirige a un determinado concepto. FRASLAPIA: No representa un término, puesto que no nos hace conocer concepto alguno. Sin embargo cuando del lenguaje matemático se trata, no hay concesiones. Tres reglas muy simples deben cumplirse para garantizar una correcta transmisión: 1-Asegurarnos de que el esquema lingüístico en uso sea conocido por el lector o el oyente. 2-Asegurarnos de que, en ese esquema, cada símbolo representa una sola idea. 3-No alterar el esquema adoptado o convenido, sin el conocimiento del lector o del oyente. El lenguaje está íntimamente ligado con los conceptos y con la formación del concepto. Un concepto es una idea: el nombre del concepto es un sonido o una marca sobre un papel, asociada con él. Esta asociación o correspondencia puede establecerse después de que el concepto ha sido formado o durante el proceso de formarlo (“¿cómo se denomina a esto?”). FICHA 4 LAS LLAVES DEL REINO Recordemos con respeto, admiración y prudencia, las convenciones de escritura que caracterizan a nuestro sistema de numeración. Y al mismo tiempo, responsable y docentemente, pensemos en el niño. El nombre “ tres mil setecientos treinta y uno” se asigna al número cuya notación, en el sistema de numeración decimal indo-arábigo, es: 3731 Esta notación está significando lo siguiente: 3 2 1 0 3. 10 + 7.10 + 3.10 + 1.10 Página 250 de 632 Cada sumando es un producto entre una potencia de base 10 y cierto coeficiente simbolizado mediante uno de los dígitos; esta forma de expresar el número 3731 es denominada descomposición polinómica. Para abreviar la escritura se fijan los siguientes criterios: Se conviene un lugar para cada uno de los términos, teniendo en cuenta las sucesivas potencias de diez. ….. cuarta columna tercera columna 3 …. 10 segunda columna 2 10 primera columna 1 10 0 10 Se avanza de derecha a izquierda, que es el sentido para la lectura y escritura en la lengua árabe. Como cada potencia de base 10 queda identificada por la columna correspondiente, se suprime, en la escritura, la respectiva notación. En cada columna se escribe, solamente, el dígito que representa el coeficiente. Así como para cualquier número las columnas se consideran fijas, este coeficiente variará según el número de que se trate. Se suprimen los signos de adición (+), conviniéndose que la yuxtaposición de las cifras significa “adicionar”. Es decir: El convenio de notación abreviada consiste en: suprimir los símbolos de las potencias y los signos de adición y multiplicación: la sucesión de potencias quedar representada por la sucesión de lugares; la suma de productos queda representada por la yuxtaposición de los dígitos correspondientes a los coeficientes y, entonces cada producto queda indicado mediante el símbolo de uno solo de los factores. 3731 ACTIVIDAD 4 En esta actividad quedará en claro un hecho definitorio de la técnica del cálculo: estamos tratando con valores posicionales de las cifras. La convención de escritura, utilizando posiciones, es suficiente para desarrollar el cálculo. El sistema posicional está fundado en el concepto de cambio y es en este concepto donde debe centrarse la actividad por parte del niño y su correspondiente expresión verbal. a) Retomemos el cálculo de la actividad 2 : 23 + 12 b) Expresar los sumando en notación polinómica. c) Proponer un procedimiento para sumarlos en dicha notación. No debemos caer en la situación tremenda que es el colmo del error pedagógico: intentar un aprendizaje cuando éste no es todavía viable. Naturalmente, los niños que no han estudiado la multiplicación y las potencias, no pueden entender las formas anteriores, pero pueden escribir: Página 251 de 632 dos “dieces” más tres unidades o 2 dieces + 3 unidades, 2 decenas + 3 unidades,2d + 3 u, 20 + 3 o finalmente, 23. ME LLEVO UNA Y… Analicemos la siguiente resolución y su usual verbalización: 237 + 526 3 ------------- “Siete más seis, trece: pongo el 3 y me levo el 1” ( o “me llevo una”) + 237 ------------- 526 63 “Una que me llevaba más tres, cuatro; y dos son seis; pongo el 6 y no me llevo nada” 237 + 526 763 “dos más cinco, siete” Es preciso advertir que, una vez más, el lenguaje puede, involuntariamente, generar oscurecimiento de conceptos con la excusa de iluminar el “hacer”. Con el afán de esclarecer y simplificar, priorizando la brevedad y la velocidad, se utiliza un lenguaje físico-descriptivo que, insistimos, culmina con acentuar el “como se hace” sin importar “qué se está haciendo” ni “por qué”. El proceso de cálculo representa, como todo el quehacer matemático, una tarea de transformación. Por ello el lenguaje debe tratar de describir los cambios estructurales que hacen al sistema de numeración empleado por el niño. Debe reseñar lo más aproximadamente posible, el hecho matemático en sí. EL FIN NO JUSTIFICA LOS MEDIOS: proponerse adquirir el manejo de una técnica de cálculo eficiente, rápida y expresable en forma breve, es aceptable. Conseguirlo de cualquier manera no. Y mucho menos, cosechando la adulteración de los conceptos matemáticos. Creemos, ingenuamente, que esa instrucción parcializada logra que el niño “aprenda a razonar”. La realidad es muy diferente. El niño es empujado a luchar por la adquisición del conocimiento de una masa desmesurada de detalles que no están iluminados por una concepción general. Insistimos que debemos cuidarnos de algo muy grave: producir la angustia de no comprender en un chico que tiene ganas de entendernos. FICHA 5 EL SECRETO DE SUMARIO Todos sabemos cuál es la clave- la llave- que nos abre el acceso a la resolución de sumas. Tal como hemos visto, podríamos detallar el desarrollo de la siguiente manera: 176 + 353 + 68 = = ( 1C+7D+6U)+(3C+5D+3U)+(6D+8U)= DESCOMPOSICIÓN DE CADA SUMANDO = (1C+3C)+(7D+5D+6D)+(6U+3U+8U)= ASOCIACIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Página 252 de 632 = 4C+18D+17U= REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES =4C+(10D+8D)+(10U+7U)= = (4C+1C)+(8D+1D)+7U= = 5C+9D+7U= DESCOMPOSICIÓN DE AQUELLOS SUMANDOS QUE EXCEDEN O IGUALEN DIEZ SUSTITUCIÓN POR EQUIVALENCIA Y NUEVA ASOCIACIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES. NUEVA REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES. = 597 REGLA DE ESCRITURA. ACTIVIDAD 5 Resolver de modo habitual registrando cada paso: 176 + 353 68 La forma abreviada actual, desarrollada paso a paso, resulta prácticamente equivalente al proceso anterior, excepto en un aspecto. Comparar ambos algoritmos y registrar las diferencias. BIBLIOGRAFIA Berlanda, Omar G. (2007). Pensar como matemáticos desde el Nivel Inicial. Buenos Aires.SB. Palacios, Alfredo y otros. (1993). No por mucho calcular se razona más temprano. Argentina. Universidad CAECE. Serie 3 Didáctica. Palacios, Alfredo; Giordano, Emilio. (1996). Señorita ¿es de más o es de por? Un ajuste de cuentas. Buenos Aires. Serie Eureka. Magisterio del Río de La Plata. Palacios, Alfredo R. y otros. (1995). Biografías de palabras. Pesquisas en el lenguaje matemático. Buenos Aires. Serie Eureka. Magisterio del Río de la Plata. Santaló, Luis; Palacios, Alfredo R.; Giordano, Emilio. (1994). De Educación y estadística. Buenos Aires. Kapelusz. Elejabarrieta, Francisco. (1994). Las representaciones sociales. En Agustín Echevarria Echabe Psicología Social Sociocognitiva. Bilbao, Desclée de Brouwer. Página 253 de 632 LA GEOMETRIA DE LOS GRAFOS PLANARES Autores: Teresa Braicovich, Patricia Caro, Lorena Alfonso, Marcia Oropeza Institución: Universidad Nacional del Comahue. Argentina Dirección electrónica: [email protected] Nivel educativo: EGB3 y Polimodal Palabras clave: grafos, planaridad, poliedros Resumen A partir de distintas investigaciones, en distintos niveles educativos y en distintos contextos sociales, llevadas a cabo se llegó a la conclusión que el trabajo con algunos conceptos de grafos ayuda a los alumnos en distintos aspectos dentro del proceso de enseñanza. Pero, muchos docentes desconocen el tema, otros sólo tienen un mínimo conocimiento del mismo e incluso algunos, aún cuando conocen más sobre esta temática no conocen la forma de presentarlo a sus alumnos. Debido a lo planteado, se propone el dictado de este taller, cuyo objetivo es transferir conceptos del tema grafos a docentes, tanto en formación como en ejercicio, pero haciendo además referencia a la didáctica y a la metodología a utilizar de acuerdo a los distintos niveles educativos en los cuales se desee trabajar. En particular, en esta propuesta se presentarán los grafos planares y la relación de ellos con los poliedros eulerianos, ya que distintas representaciones sustentan diferentes formas de pensar sobre los objetos matemáticos. Durante los encuentros se buscaría que sean los propios asistentes quienes construyan el conocimiento, mediante la presentación de actividades adecuadas, esto con el fin de generar en ellos la inquietud de profundizar en el estudio de este tema en el futuro y también de movilizarlos a enseñar el mismo a sus alumnos. I) Introducción Debido a que el tema grafos no se encuentra en las currículas escolares se realizaron algunas investigaciones en distintos niveles educativos y de distinto contexto social con el fin de evaluar la viabilidad de introducirlo4. A partir de este estudio, se concluyó que la inclusión de ciertos conceptos de la teoría de grafos hace que los alumnos: realicen razonamientos matemáticos típicos de la matemática discreta, mediante la intuición, la exploración, el descubrimiento, el planteo de distintas hipótesis y la corroboración, o no de las mismas. Esto atendiendo a que el alumno debe apropiarse del conocimiento matemático, “el razonamiento y la demostración matemáticos proporcionan modos potentes de desarrollar y codificar conocimientos sobre una amplia variedad de fenómenos. Las personas que razonan y piensan analíticamente tienden a percibir patrones, estructuras o regularidades…y conjeturan y demuestran”. (NCTM, 2003, pág. 59). También se pudo determinar que los estudiantes son capaces de utilizar a los grafos como “organizadores” para así facilitar la comprensión y por lo tanto el aprendizaje, realizando representaciones y modelizaciones de situaciones cotidianas utilizando esta estructura matemática. La finalidad de este taller es transferir algunos conocimientos de este tema a los asistentes, ya sean docentes en formación o en ejercicio. En particular, en este caso se trabajarán conceptos 4 Distintos trabajos de integrantes de los Proyectos de Investigación Adjunción en Grafos y El operador line sobre grafos cordales y de comparabilidad, proyectos ejecutados y subsidiados por la Universidad Nacional del Comahue, con informes de avance y final aprobados. Períodos 2004-2007 y 2008 hasta la fecha, respectivamente. www.uncoma.edu.ar Página 254 de 632 referidos a la planaridad de los grafos y la relación de los mismos con los poliedros eulerianos. Las actividades que se propondrán tendrán una fuerte componente procedimental, se buscará que sean los propios asistentes quienes construyan el conocimiento, esto por supuesto, eligiendo actividades adecuadas. II) Pertinencia de la propuesta En matemática discreta se trabaja con conjuntos finitos de objetos, lo que incluye tópicos y técnicas de cada día de la vida, esta rama de la matemática se desarrolló rápidamente adquiriendo gran importancia durante las últimas cuatro décadas. El tema de matemática discreta con el cual se trabajaría en este taller, como ya se dijo, es la teoría de grafos y dentro del mismo nos avocaremos a la planaridad. El primer artículo referido a la teoría de grafos, estaba relacionado con recorridos, fue publicado en el año 1736, fue escrito por el matemático suizo Leonhard Euler. Es importante mencionar que esta teoría en sus comienzos se ocupaba principalmente de pasatiempos y rompecabezas, sin embargo, avances recientes en la matemática y especialmente en sus aplicaciones la han impulsado en gran medida, siendo actualmente una rama de la matemática que se encuentra en pleno auge. Ya en el siglo XIX se usaban los grafos en áreas tales como circuitos eléctricos o diagramas moleculares, en la actualidad estos son una herramienta natural y tienen muchas aplicaciones a cuestiones de carácter práctico: emparejamientos, problemas de transporte, flujo en redes, programación, entre otros y además está presente en campos tan dispares como la economía, la sicología y la biología. Por otro lado, en este taller se relacionan los grafos con los poliedros. En NCTM (2003), dentro de los objetivos para los últimos tres años de la enseñanza media, se plantea utilizar la visualización, el razonamiento matemático y la modelización geométrica para resolver problemas y dentro de este objetivo se propone utilizar a los grafos para modelizarlos y resolverlos. Grafos y su potencial educativo Puede establecerse, a modo de síntesis, que existen distintos argumentos para introducir algunos conceptos de la Teoría de Grafos en las currículas de los distintos niveles educativos. Citaremos para tal fin el texto de Rosenstein, J., Franzblau, D., Roberts, F. (1997, pág. xxvii), donde se detallan los siguientes puntos: Referido a la aplicabilidad: en los años recientes varios temas de esta teoría han sido utilizados creando diversos modelos en distintas áreas. Referido a la accesibilidad: para entender las aplicaciones del tema en muchas situaciones es suficiente tener conocimientos de aritmética y en otras solamente de álgebra elemental. Referido a la atracción: existen algunas situaciones sencillas de resolver y también otras que hacen que los alumnos deban explorar para poder llegar a los resultados. Referido a la adecuación: a aquellos estudiantes que no tengan problemas en matemática les dará mayor preparación para las carreras que elijan y para los que no les va bien en esta disciplina es apropiada pues puede dar la posibilidad de un nuevo comienzo. III) Contenidos a desarrollar G (V ,U ) es una función f tal que a cada vértice v V le hace corresponder un punto del plano y a cada arista a U le hace corresponder Una representación en el plano de un grafo una curva simple con extremos en los puntos del plano correspondientes a los puntos extremos Página 255 de 632 de la arista a, de manera que tal curva no contiene otros puntos correspondientes a vértices del grafo. Un grafo G admite distintas representaciones, sin embargo, es importante destacar que una representación determina un único grafo. En este taller se trabajaría con la representación en el plano de los grafos, en particular con el concepto de planaridad. Un grafo G se dice grafo planar si admite una representación en el plano tal que curvas correspondientes a aristas distintas no se cortan salvo, tal vez, en sus puntos extremos. Una tal representación se dice una representación plana de G o una inmersión de G en el plano. Un grafo plano es un grafo planar con una dada representación plana. Para la introducción del tema se utilizará un antiquísimo problema, el llamado comúnmente “Problema de los recursos”. En el mismo es esencial, decidir si se puede o no dibujar un grafo en el plano sin intersecciones entre puntos interiores de las aristas. El enunciado se presenta a continuación: “En un terreno se han construido tres casas y se han excavado tres pozos de agua para uso de sus ocupantes. El clima y la naturaleza del terreno son tales que es frecuente que uno u otro de los pozos se seque; por ello, es importante que los habitantes de cada una de las casas tengan acceso a cada uno de los tres pozos. Al cabo de un tiempo, los residentes a, b y c desarrollan una fuerte antipatía mutua, por lo que quieren construir caminos al mismo nivel hasta los tres pozos x, y, z, de manera que puedan evitar el encontrarse en el camino de ida y de vuelta a los pozos, la pregunta es si será posible hacer esto”. Cabe aclarar que este mismo problema suele ser presentado de otras maneras, por ejemplo, tener desde las tres casas conexiones a los servicios de gas, agua y luz mediante cañerías que no se crucen pero que se encuentren en el mismo plano. Con este problema como disparador se presentará la Conjetura de Kuratowski. En el año 1930, el matemático polaco Kazimierz Kuratowski da a conocer un teorema en el que demuestra que un grafo es planar si y sólo si, ignorando sus vértices de grado dos, no contiene subgrafos isomorfos al bipartito completo K3,3 o al completo K5, ambos grafos se esquematizan a continuación: Grafo K5 Grafo K3,3 Se trabajará con la Fórmula de Euler que dice: “Sea G un grafo planar conexo con v vértices, a aristas y r regiones, entonces se tiene que: v a r 2” y con el siguiente concepto: “Un grafo planar simple G es un grafo planar maximal si el agregado de una arista entre dos cualesquiera de sus vértices no adyacentes produce un grafo que no es planar”. Cabe mencionar que la Fórmula de Euler mencionada para los grafos es equivalente a la Fórmula Poliedral de Euler, tomando cantidad de caras del poliedro en lugar de cantidad de regiones del grafo. Dado un grafo planar G , se puede construir un nuevo grafo G´ , llamado grafo dual de G , el mismo se construye asociando un vértice a cada región del grafo G y si una arista limita dos Página 256 de 632 regiones en G, se añade en el grafo dual G´ una arista uniendo los vértices correspondientes a esas regiones. Como dos regiones pueden estar limitadas por más de una arista en común, pueden existir aristas paralelas. Asímismo, en el grafo dual pueden existir bucles, los mismos representan aristas que no limitan distintas regiones en el grafo G . En un poliedro regular todas las caras son polígonos regulares congruentes entre sí y a cada uno de sus vértices concurre el mismo número de aristas. Es importante recordar que existen exactamente cinco poliedros regulares, los mismos son llamados sólidos platónicos, en honor a Platón, por ser quién los mencionó por primera vez en su libro Timeo. Se presentan estos a continuación: Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro Un grafo regular plano G es completamente regular si su grafo dual G´ es también regular, se evidencia la correspondencia que existe entre los sólidos platónicos y los grafos completamente regulares. IV) Metodología: El propósito de esta propuesta de taller es la de presentar una serie de actividades a resolver con herramientas de la Teoría de Grafos, las que pueden ser llevadas al aula por el docente, por supuesto con la dificultad acorde al nivel en que dicta sus clases. Como el tiempo de desarrollo del taller no es demasiado extenso, la idea es generar en los asistentes la inquietud de investigar y estudiar el tema grafos, por lo que se prepararon actividades que los motiven a continuar en esa dirección. Para que esto sea efectivamente provechoso se ofrecerá toda ayuda a futuro, mediante el contacto con las docentes encargadas del taller. Algunas actividades a proponer: A continuación se presentan ciertas pautas a tener en cuenta para las actividades que se propondrían en el taller, esto atendiendo a la flexibilidad del proceso de enseñanzaaprendizaje: Comenzar el taller analizando en conjunto el prólogo del libro "Matemática 1. Iniciación a la creatividad" de Luis Santaló, que dice: ..."Como los alumnos de hoy no son los mismos que los de ayer y las necesidades para poder actuar eficazmente en el mundo actual tampoco son las mismas, es natural que la educación matemática deba estar en continua evolución y que los educadores deban ir ajustando sin pausa la forma y el fondo de sus enseñanzas, para mantener a la escuela acorde a la calle de manera que el alumno no encuentre demasiada discontinuidad entre lo que oye en el aula y lo que encuentra y ve en su casa y en la calle".... Sin definir la estructura de grafo, se planteará a los asistentes una situación problemática que pueda ser modelizada utilizando grafos y se les pedirá que hagan un esquema de la misma. La finalidad de esta actividad es que surja a partir de los distintos esquemas que ellos realicen el concepto de grafo, para que así comprueben que el mismo es relativamente intuitivo. Página 257 de 632 Dar un listado con distintos conceptos de la teoría de grafos, por ejemplo: vértice, nodo, arista, distancia, ciclo, grafo valuado, conexidad, y pedirles que “definan” los mismos, esto por supuesto de manera intuitiva, para luego sí presentar las definiciones formales correspondientes. Es importante que vean a los grafos como una herramienta de modelización, pues representaciones diferentes sustentan diferentes formas de pensar sobre los objetos matemáticos. A medida que se dan los contenidos del tema que nos ocupa, mencionar las motivaciones históricas del mismo y también hacer una sucinta referencia a los restantes problemas clásicos de esta teoría, a saber: camino euleriano, camino hamiltoniano, árboles y coloreo, este último muy relacionado con el de planaridad. Se hará hincapié en que la historia debería formar parte, necesariamente, de los conocimientos de cada docente en todos los niveles, no sólo con la intención de que la utilice como instrumento en su propia enseñanza, sino también porque proporciona una visión verdaderamente humana de la ciencia y por ende permite entender mejor las distintas correlaciones existentes. Dar actividades que no sean una mera ejercitación rutinaria, sino aquellas que hagan movilizar los conocimientos previos y engendrar nuevos para lograr resoluciones correctas, haciendo que los propios asistentes construyan el conocimiento. Proponer actividades que requieran de la elaboración de conjeturas, de su justificación y de su posterior demostración. “El tratamiento de la demostración formal sin realizar previamente un acercamiento a través del planteo de conjeturas, formulación de hipótesis, desarrollo de argumentos, conduce a un aprendizaje memorístico y a confundir el propósito de la demostración”. (Scaglia y otras, 2008). Se hará que los docentes trabajen de manera individual en algunas situaciones y de manera grupal en otras, consultando todo lo que consideren necesario, para lo que se contaría con 4 personas a cargo del taller. Se hará hincapié en grafos duales, poliedros regulares y grafos completamente regulares, esto con el fin de proporcionar a los docentes una puerta para introducir el tema grafos en alumnos de los últimos años de la enseñanza secundaria. Por último, cerrar el taller con el prólogo del libro "Introductory Graph Theory" de G. Chartrand (1985), el que se transcribe a continuación: ―Escribí este libro con varios objetivos: enseñar al lector algunos de los temas vigorosos y excitantes del campo de la teoría de grafos, mostrar que los grafos son aplicables en una gran variedad de campos, dentro y fuera de la matemática, incrementar los conocimientos de los estudiantes y facilitar las demostraciones o pruebas matemáticas y por último no por ser lo menos importante para que disfruten con la matemática”. La idea es analizar el mismo y compartir, o no, la opinión del autor. Reflexión final En este taller, como seguramente será heterogéneo con respecto a los participantes, se parte considerando que los asistentes desconocen totalmente el contenido a desarrollar referido a grafos, que no han trabajado previamente con conceptos de esta teoría, ya que por el tipo de actividades que se plantean esto es posible. Pero, cabe aclarar que se considera que sí manejan el tema de poliedros, con el cuál se relaciona. Por último, queremos destacar que “Pensar matemáticamente supone buscar conexiones y haciendo conexiones se construye la comprensión matemática. Sin ellas, los estudiantes tienen que aprender y recordar demasiados conceptos y destrezas aislados. Con conexiones, pueden construir nuevos conocimientos sobre conocimientos previos” (NCTM, 2003, pág. 278) Bibliografía Appel, K. y Haken, W. (1989). La solución del problema de los cuatro colores. Investigación y Ciencia 15, 78-91. Buenos Aires. Argentina. Página 258 de 632 Ausubel, D. (1978). Psicología Educativa. Un punto de vista cognoscitivo. Trillas, México. Braicovich, T. (2005). Introducción de algunos conceptos de grafos en Tercer Ciclo de Educación General Básica. Universidad Nacional del Comahue. Neuquén. Braicovich, T.; Caro, P; Cerda, V.; Osio, E.; Oropeza, M.; Reyes, C. (2009). Introducción a la Teoría de Grafos. Editorial Educo. Neuquén. Brousseau, G. (1986). Fondaments et méthodes de la didactique des mathématiques. 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Página 259 de 632 LA HELENA DE LA GEOMETRÍA Autores: Alarcón Sabrina - Amadio Ariel - Bottazzini Marcela - Bretón Zulma - Buccino Soraya Viveros Pablo. Institución: Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional Pacheco. Argentina. Dirección electrónica: [email protected] Nivel Educativo: Medio - Superior Palabras clave: Propuesta didáctica, Geometría dinámica, Historia de la matemática, Cicloide. RESUMEN Debido al gran desarrollo de la informática, la práctica educativa realiza esfuerzos permanentemente por incorporar las nuevas tecnologías a las aulas. En este proyecto se han desarrollado, con la ayuda de Cabri, una propuesta didáctica que le permitan al alumno a través de la exploración y el uso del software reproducir el proceso histórico que llevo al hombre a descubrir las propiedades de la curva cicloide. INTRODUCCIÓN Las nuevas tecnologías imperantes hacen necesario replantear nuestras prácticas pedagógicas. El soporte informático juega un papel importante debido a su potencia visual, ayudando a la construcción de los conceptos matemáticos, y debido a la facilidad para realizar cálculos, permite que el alumno pueda centrarse en la exploración y el debate (Turégano Moratalla, 1998). También puede plantear interrogantes, conjeturar, argumentar y explicar desde distintos marcos conceptuales (Duady, 1984). Adherimos tanto a la Teoría de las Situaciones de Brousseau como a la Educación Matemática Realista de Freudenthal, en las que se concibe a la matemática como una actividad humana a la que todos pueden acceder y en la que importa la actividad misma y no solo los resultados. Freudenthal utiliza el término matematización, refiriéndose a que hacer matemática es más importante que aprenderla como un producto terminado. Otro de los aspectos que consideramos relevantes, en nuestro trabajo, de la teoría de las de Freudenthal es el principio de realidad, el que considera que el aprendizaje matemático debe originarse en la realidad. Mantener la matemática conectada al mundo real. Es decir, presentar problemas en contextos de la vida. Consideramos la historia de la matemática como una manera de conservar el sentido al mismo tiempo que estructura el pensamiento matemático del alumno de forma global, coherente y rigurosa. Ya que se sitúa a la matemática, y a su enseñanza, dentro de la historia. Entonces, el sentido y el rigor ya no son absolutos, contradictorios o inaccesibles sino que se construyen a través de la interacción al mismo tiempo que se estructura el pensamiento del alumno en un proceso dinámico y vital. (Jean-Pierre Friedelmeyer) Debido a que las herramientas tecnológicas facilitan a los alumnos la adquisición de habilidades para desarrollar sus capacidades de conjeturar, construir, argumentar y comunicar, nuestro trabajo se basa en la construcción y análisis de las propiedades de la cicloide utilizando como recurso principal el software Cabri. DESARROLLO DEL TALLER En la primera actividad se pretende estudiar el recorrido de un punto perteneciente a un polígono regular, como un vértice por ejemplo, que rueda sobre una recta sin deslizar o resbalar (Fig. 1). Página 260 de 632 Figura 1 Se pretende a partir de esta actividad ver que a medida que vamos aumentando el número de lados del polígono, el lugar geométrico que describe uno cualquiera de sus vértices es una curva que tiende a suavizarse a medida que aumentamos el número de lados (partiendo de un triángulo hasta llegar a un hexágono), podríamos seguir con este procedimiento tendiendo a infinitos lados y entonces encontramos la circunferencia como límite de dichos polígonos y la cicloide como límite de dichas curvas. (Fig. 2). Figura 2 Página 261 de 632 En el espacio también se puede obtener la cicloide. Si hacemos rodar una lata sobre un plano siguiendo una trayectoria rectilínea, y consideramos un punto fijo sobre el borde de la tapa, también obtenemos la curva antes mencionada, pero ahora en Cabri 3D (Fig. 3). Figura 3 La Helena de la Geometría A causa de las continúas disputas entre los matemáticos del siglo XVII la cicloide fue denominada "La Helena de los Geómetras”. Galileo estudió la cicloide en el año 1632 estudió la curva y fue el primero en darle el nombre con la que la conocemos hoy. Galileo intentó hallar el área bajo uno de sus arcos. Lo mejor que pudo hacer fue trazar la curva sobre una chapa homogénea, recortar la parte encerrada bajo un arco y pesarla. Llegando a la conclusión de que este área era probablemente un poco menor que tres veces el área del circulo encerrado. Hacia 1634 Roberval mostró que el área de la región de un bucle de cicloide era tres veces el área correspondiente a la circunferencia que la genera. Descubrió un método para trazar la tangente a la cicloide en uno cualquiera de sus puntos, problema que también resolvieron, más o menos a la vez, Fermat y Descartes. Torricelli también estudió la cicloide. Publicó un libro, al que añadió como apéndice tanto la cuadratura de la cicloide como la construcción de la tangente, Torricelli no hacía ninguna referencia en su obra al hecho de que Roberval había llegado a estos mismos resultados antes que él, y por lo tanto Roberval acusó a Torricelli de plagio. Blas Pascal lanza un desafío a los matemáticos proponiendo determinar la longitud de un arco de la cicloide así como su centro de gravedad y la superficie del volumen de revolución que engendra el área plana que barre el arco de cicloide al girar ya sea entorno al eje de las abscisas, o entorno al eje de las ordenadas, o bien, en torno al eje de simetría del arco de cicloide. Ofreciendo un primero y un segundo premios por su solución, y proponiendo a Roberval como uno los jueces del concurso. La publicidad dada y el plazo de recepción de soluciones fueron tan desafortunados que Pascal no otorgó ninguno de los dos premios y decidió publicar sus propias soluciones. En esa misma época, Christiaan Huygens inventó el reloj, se le ocurrió estudiar qué ocurriría si se sustituyera el recipiente semiesférico por otro engendrado por la cicloide invertida girando alrededor de su eje de simetría y comprobó que para ese recipiente una bolilla alcanzaría el punto más bajo exactamente en el mismo tiempo, independientemente de la altura del punto del interior del recipiente en que se abandone la bolilla. Por esta propiedad de la cicloide se dice que es una curva tautócrona; quiere decir que un objeto abandonado a su propio peso sobre un arco de una cicloide invertida y sin rozamiento Página 262 de 632 se desliza desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida del movimiento. Sin embargo quedaba por resolver, un problema difícil: ¿Cómo puede uno conseguir un péndulo que oscile siguiendo un arco cicloidal en vez de circular? En la solución de este problema hizo Huygens otro descubrimiento de una gran belleza, si el péndulo de un reloj oscilase entre guías cicloidales, entonces seria verdaderamente isócrono es decir que es un movimiento de igual duración. Las investigaciones de Huygens le condujeron a un descubrimiento de gran importancia matemática: la involuta (llamada también envolvente) de una cicloide es otra cicloide igual, o, inversamente, la evoluta de una cicloide es otra cicloide igual a ella. Para poder visualizar estas propiedades descubiertas por Huygens, se mostrará en el Taller, un video de una experiencia que se llevo a cabo en una escuela industrial en la que los alumnos construyeron un prototipo del reloj de péndulo de Huygens (Fig. 4) se filmó el mismo en funcionamiento, se tomaron los tiempos y se analizaron las propiedades haciendo una captura de pantalla y un montaje para verificar las propiedades en Cabri (Fig. 5). Figura 4 Figura 5 Para finalizar, se ampliará el estudio al análisis de las curvas que se generan con el rodamiento de una circunferencia sobre otra sin deslizamiento, siguiendo el estudio realizado por Roger Cuppens. En este actividad (Fig. 6) se podrá observar el recorrido del punto P, perteneciente a la circunferencia c‟ (color verde), mientras esta última rueda sin deslizarse sobre la circunferencia c (color azul). Página 263 de 632 Figura 6 Las distintas curvas descriptas por el lugar geométrico del punto P, van a depender de una constante k , que resulta del cociente entre los radios de las circunferencias. ( k r ). r' Dependiendo de esta constante se puede observar: Cuando k 1 , las curvas descriptas (determinadas) serán hipocicloides. Cuando 0 k 1 , las curvas descriptas (determinadas) serán epicicloides interiores r ' r k 0 , las curvas descriptas (determinadas) serán epicicloides exteriores r ' r Se realizara un análisis de las distintas curvas descriptas por P, cuando k perenne a los Cuando distintos conjuntos numéricos. Por ejemplo en la Figura 7 se indica la curva descripta por P, cuando de k es una aproximación 2. Figura 7 Página 264 de 632 Una curiosidad a analizar es la propiedad existente entre los distintos valores de la constante k que determinan las mismas curvas. Por ejemplo k 2 y k Esta relación verifica 2 que generaron una nefroide. 3 1 1 1. k1 k 2 BIBLIOGRAFÍA ALAGIA, H.; BRESSAN A.; SADOVSKY P. (2005). Reflexiones teóricas para la educación matemática. Buenos Aires. Argentina. Editorial Del zorzal. BROUSSEAU, G. (1993). Fundamentos y métodos de la didáctica de la Matemática. Serie B. Trabajos de Matemática, FAMAF, UNC. Córdoba. Argentina. DOUADY, R. (1984). Tesis doctoral. París. FRIEDELMEYER, J.P. (2001). La enseñanza de las matemáticas: puntos de referencia entre los saberes, los programas y las prácticas. Ed. Blanchard. JOHSUA, S. – DUPIN, J. (1993). Introducción a la didáctica de las ciencias y la matemática. Buenos Aires. Argentina. Editorial Colihue. LABORDE, C. VERGNAUD, G. (1994). Aprendizaje y didáctica. 3º parte: El aprendizaje y la enseñanza de la matemática. Página 265 de 632 MÉTODOS GRÁFICOS PARA LA FORMULACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS DE FENÓMENOS SIMPLES Marta Bonacina- Claudia Teti- Alejandra Haidar Facultad de Cs. Bioquímicas y Farmacéuticas-UNR-Argentina Nivel Educativo: Secundario, Terciario, Universitario Palabras Clave: estrategias didácticas, resolución de problemas, soporte informático RESUMEN Actualmente no existe una única concepción acerca del para qué y porqué debemos enseñar Matemática; así, la elección de la perspectiva con que un tema puede ser abordado termina dependiendo de las concepciones o creencias del docente. De este hecho debe ser consciente el docente y es imprescindible que reflexione sobre su propia práctica, se interiorice sobre las teorías de la enseñanza, el aprendizaje, los aportes de la Didáctica de la Matemática y los resultados de las investigaciones educativas. Así podrá hacer las rupturas necesarias y obtener nuevas conclusiones a fin de resignificar su práctica. Esta propuesta está dirigida a docentes interesados en reflexionar sobre dos conceptos clave: el de “función” y el de “aprendizaje basado en problemas”. Las actividades propuestas se centran en un tipo especial de problema: la “modelización de fenómenos simples”, es decir que admiten ser modelizados por funciones elementales (lineal, cuadrática, exponencial). En particular nos ocuparemos de “reconocer” la función que subyace a un determinado fenómeno (físico, natural o matemático) con énfasis en el proceso ó método gráfico. Proponemos realizar esta actividad con el auxilio del soporte informático. FUNDAMENTACIÓN Pensamos que la Matemática es fruto de un proceso de construcción humana como respuesta a la tarea de resolver problemas y, como tal, fruto de un proceso cultural, imposible de ser separada del contexto histórico y social en que se elabora. Y, como construcción humana, también es falible. Verla de esta forma, como un proceso y no como un producto elaborado y formal que hay que transmitir, es determinante para entender la Matemática y para trabajarla en el aula. Entendiendo que la Matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido consideramos que la Matemática no debe tener por único fin el cálculo (no es sólo contenidos), sino que debe potenciar también el desarrollo de capacidades generales tales como: planificación, síntesis, crítica, autocrítica, etc.; o sea que debe proporcionar también un sistema de habilidades generales. ¿CÓMO SE PUEDE LOGRAR ESTO? Creemos que a través de la resolución de problemas, tanto de la Matemática misma como de la vida cotidiana y de otras ciencias podemos lograr los objetivos propuestos. Estimamos que a través del análisis ´sistemático´ de la resolución de problemas tipo es posible enseñar a reconocer la naturaleza de un problema, o sea, a través de un reconocimiento de los elementos que intervienen en cada caso, de cómo se interrelacionan y organizan entre sí, en definitiva, del ´esquema´ que subyace detrás de cada resolución tipo. En particular, la “modelización matemática” de fenómenos de la naturaleza o de hechos de la vida cotidiana provee de oportunidades interesantes para encarar actividades de aprendizaje no rutinarias, particularmente por el estilo narrativo en el que la mayoría de las veces aparece descrito el proceso o hecho a modelizar. El texto narrado, emplea principalmente un lenguaje coloquial, tiene una correspondencia más cercana a la experiencia cotidiana que la de los textos técnico-expositivos. Muchas inferencias basadas en el conocimiento previo son Página 266 de 632 generadas durante la comprensión del texto narrado, facilitando la activación de estructuras de conocimiento, esquemas y su interpretación para conformar una representación significativa del texto. El proceso de resolución de problemas involucra: la producción de inferencias para deducir progresivamente leyes típicas, el desarrollo de destrezas para argumentar, la elaboración de estrategias que garanticen el análisis sistemático de las distintas posibilidades, la exploración de la estructura completa del problema, activar tanto el razonamiento formal como el informal. PROPUESTA DE TRABAJO En esta instancia proponemos trabajar con un tipo particular de problemas o fenómenos, aquellos en donde se reconoce la existencia de un proceso donde intervienen dos magnitudes variables en donde la variación de una de ellas es función de la otra; o sea, de procesos que admiten ser modelizados por funciones de una variable. En lo general este tipo de problema surge ante la necesidad del hombre de representar matemáticamente procesos o fenómenos naturales con el objeto de “describirlos” o “predecir resultados”. OBJETIVOS Específicos En el taller propuesto nos ocuparemos de métodos o formas de reconocer la función que subyace a un determinado fenómeno que deseamos o necesitamos modelizar matemáticamente. En particular el objetivo será obtener un modelo matemático del fenómeno (físico, natural o matemático) acudiendo a un proceso ó método gráfico o al soporte informático. También veremos modo y oportunidad de uso de cada uno. Básicamente nos ocuparemos de: hallar la función algebraica que mejor represente un fenómeno o proceso del cual sólo se tiene la función gráfica o numérica (o sea, una serie de datos experimentales); hacer esto a partir del tratamiento gráfico de estos datos. reconocer a la función lineal como sustento importante de todo el proceso; ver como algunas curvas de ajuste se pueden “linealizar”, como ello posibilita la obtención de los parámetros que la caracterizan. Generales Entre los objetivos generales pretendidos tenemos entonces: Reflexionar sobre las competencias a lograr y las dificultades a superar en la resolución de problemas. Proporcionar motivación y herramientas basadas en las funciones que faciliten la elaboración de problemas. Ampliar la visión respecto a los alcances y aplicaciones de las “funciones elementales”. Finalmente, toda la propuesta se basa en la convicción de que el desarrollo de las capacidades cognitivas de nuestros alumnos se puede potenciar a través de planteos didácticos adecuados y que tal adecuación descansa, en última instancia, en los hombres que ejecutan la letra y no en la letra de los programas. Página 267 de 632 BIBLIOGRAFÍA Díaz Barriga Arceo, F. y Hernández Rojas, G. (1998). Estrategias Docentes para un Aprendizaje Significativo. Una interpretación constructivista. México: McGraw-Hill. Gil Pérez, D. y Guzmán, M. (1993). Enseñanza de las Ciencias y la Matemática, Tendencias e Innovaciones. Madrid: Popular S.A., Ministerio de Educación y Ciencia de España. Kilpatrick, J., Gomez, P. y Rico, L. (1995). Educación Matemática. México: Grupo Editorial Iberoamericano. Monereo, C., Castelló, M., Clariana, M., Palma, M.y Pérez, M. L. (1994). Estrategias de enseñanza y aprendizaje. Formación del profesorado y aplicación en el aula. Barcelona: Graó. Parra, B. (1991). La resolución de problemas en la construcción de esquemas de razonamiento, Revista de Educación Matemática, 3(1), 59-61. Polya, G. (1984). Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas. Pozo, J. (1994). La solución de problemas. Madrid: Aula XXI, Santillana. Página 268 de 632 ENSEÑANZA DE TRIANGULOS UTILIZANDO SOPORTE INFORMATICO María J. Rey Genicio, Liliana R. Tapia, Clarisa Hernández, Héctor R. Tarifa Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Jujuy. Argentina [email protected] Nivel educativo: Nivel Medio Palabras Clave: Triángulo, enseñanza, secuencia, didáctica RESUMEN Mediante este taller se pretende brindar a los profesores de Nivel Medio una Secuencia didáctica para el abordaje de Triángulos, utilizando como soporte informático el Software CABRI. Tradicionalmente la geometría es enseñada utilizando papel y lápiz, lo que dificulta reconocer, en algunos casos, las propiedades de las figuras. A través de esta secuencia el alumno investiga si es posible la construcción de triángulos que cumplen determinadas características, puede explorar de forma interactiva, conjeturar y, en algunos casos demostrar, las propiedades de los ángulos interiores y exteriores, la propiedad correspondiente a los lados y las rectas y puntos notables de un triángulo. INTRODUCCIÓN La actualidad en nuestro país muestra que los alumnos parecen aprender cada vez menos. Esto se debe a diversos y complejos factores, algunos relacionados con las dificultades que se les presentan en las clases, en particular en las de matemática. Si pretendemos que el alumno recupere el gusto por ir a la escuela, debemos proponer experiencias de aprendizaje que le provoquen el placer de aprender y descubrir otros aspectos del conocimiento matemático, además de promover en ellos la convicción de que sí pueden aprender matemática. Contamos en la actualidad con diversos recursos, entre ellos el software Cabri, que permiten que el alumno tenga un papel activo en las clases y descubra que puede construir conceptos matemáticos mediante actividades más agradables y acordes a la realidad en que está inserto. MARCO TEÓRICO Esta propuesta didáctica se sostiene en un Proyecto de Investigación que busca el desarrollo de estrategias innovadoras en la enseñanza de la matemática. El proyecto se nutre teóricamente de las contribuciones de la Psicología constructivista del aprendizaje y de la Didáctica. Desde estos marcos se toman aportes relevantes, que se presentan sintéticamente a continuación. De la fuente psicológica tomamos en especial las teorías cognitivas, las que en general entienden que el aprendizaje efectivo requiere que el estudiante participe activamente en la construcción del conocimiento y que aquel es mediado por los procesos de pensamiento, de comprensión y de dotación de significado (Constructivismo psicogenético, la Teoría SocioHistórica de Vigotsky y el Aprendizaje Significativo de Ausubel). Tenemos entonces que la actividad de los alumnos es base fundamental para el aprendizaje en tanto que la acción del docente es intervenir aportando las ayudas necesarias, estableciendo los esquemas básicos sobre los cuales éstos pueden explorar, observar, y reconstruir conocimientos. En esos esquemas se articulan la información (aportada por el docente, los textos, los materiales y los alumnos) con las acciones cognitivas de los sujetos. Página 269 de 632 De esta misma fuente se toma el concepto de Interacción SocioCognitiva, entendiendo que la cognición humana óptima se lleva a cabo con la colaboración de otras personas y de objetos físicos y simbólicos que potencian las capacidades individuales. De allí sostenemos que los procesos grupales de construcción de conocimientos se constituyen en medios altamente eficaces para el logro de un aprendizaje significativo. Si embargo en ellos se hace necesaria una intervención muy cuidadosa del docente tendiente a optimizar las actividades, supervisando cada grupo, facilitando los intercambios de tipo cognitivo, recuperando oportunamente lo producido en cada uno y logrando una reorganización final de los conocimientos trabajados. Por otra parte, de la fuente didáctica tomamos en primer lugar el concepto de estrategia didáctica de Bixio (1998). que designa al conjunto de las acciones que realiza el docente con clara y explícita intencionalidad pedagógica. Algunas de sus componentes son el estilo de enseñanza, la estructura comunicativa de la clase, el modo de presentar los contenidos, las consignas, los objetivos y su intencionalidad, la relación entre materiales y actividades, los criterios de evaluación, etc. Las estrategias deben apoyarse en las construcciones de sentido previas de los alumnos (significatividad), orientar la construcción de conocimientos a partir de materiales adecuados y ser factibles de desarrollarse en el tiempo planificado, con la cantidad de alumnos con que se cuenta y con la carga horaria destinada. En segundo lugar, la propuesta se apoya en la «ingeniería didáctica» (Douady, 1996), por lo que se elaboró un conjunto de actividades concebidas, organizadas y articuladas en el tiempo para efectuar un proyecto de aprendizaje sobre el tema mencionado. En los análisis preliminares se tuvieron en cuenta: las dificultades y los errores más frecuentes de estos aprendizajes, las prácticas habituales de los docentes para el tratamiento de este tema y los diferentes enfoques que presentan los libros de texto sobre el mismo. MODALIDAD DEL TALLER El Taller se realizará en dos encuentros de 2 hs de duración cada uno, en los cuales se trabajará la Secuencia didáctica planteada con el uso de software. Primer encuentro Se trabajará clasificación de triángulos, ángulos exteriores y sus propiedades, y propiedad triangular, para ello se realizarán las siguientes actividades: Actividad 1: Revisión de la clasificación de triángulos Se presenta una figura con un triángulo escaleno y se pide que la modifiquen a efectos de obtener, siempre que sea posible, un triángulo a) acutángulo, b) rectángulo, c) obtusángulo. Se realiza la misma actividad, pero ahora con un triángulo isósceles y luego con un triángulo equilátero Actividad 2: Suma de los ángulos interiores de un triángulo. I) En base al triángulo ABC dado a) Indica cuánto vale la suma de los ángulos interiores b) Modifica los lados y ángulos del triángulo y vuelve a calcular la suma de los ángulos interiores. Compara con el valor obtenido en la parte a) c) En base a lo obtenido en los 2 ítems anteriores, escribe una propiedad referida a la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Página 270 de 632 II) Utiliza el triángulo dado para justificar que A+B+C=180º Actividad 3: Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo. I) En base a la figura responde a) ¿El ángulo M es opuesto por el vértice al ángulo C? Justifica tu respuesta b) ¿El ángulo M es suplementario a C? Justifica tu respuesta. c) ¿El ángulo M es complementario a C? Justifica tu respuesta. d) ¿Los ángulos M y C son adyacentes?, y los ángulos M y A ?, y M y B?. e) Calcula el valor del ángulo M de dos maneras distintas. ¿Qué propiedad usaste en cada caso para calcularlo?. f) Comprueba el resultado obtenido en e) usando la herramienta de Cabri. g) Modifica los ángulos del triángulo, moviendo cualquiera de los vértices. Sigue siendo válido el método que utilizaste en el ítem e) para calcular el valor del ángulo M? g) Construye otro ángulo exterior, mídelo y determina si se cumple lo observado en el ítem e) Modifica los ángulos del triángulo. ¿Sigue valiendo la misma conclusión?. h) Expresa tu conclusión utilizando el lenguaje simbólico. Página 271 de 632 Actividad 4: Propiedad de los ángulos exteriores. En base a un triángulo ABC dado: a) Indica cuánto vale la suma de los ángulos exteriores b) Modifica los lados y ángulos del triángulo y vuelve a calcular la suma de los ángulos exteriores. Compara con el valor obtenido en la parte a). c) Justifica el porqué del valor obtenido en b) d) En base a lo obtenido en los ítems a) y b), escribe una propiedad referida a la suma de los ángulos exteriores de un triángulo. Actividad 5: Propiedad triangular. I) a) En base al triángulo ABC mostrado en la figura, completa la línea de puntos con <, > ó =, según corresponda: i) a + b …………. c ii) a + c …………. b iii) b + c ………... a b) Modifica el triángulo ABC para obtener el triángulo que se indica en cada inciso. En cada caso vuelve a completar los incisos del apartado a). i) Un triángulo acutángulo ii) Un triángulo obtusángulo iii) Un triángulo isósceles iv) Un triángulo equilátero Página 272 de 632 c) En base a lo obtenido en los 2 puntos anteriores, escribe una propiedad que resuma lo obtenido. II) Se realiza una actividad similar para determinar la propiedad referida a la diferencia de la medida de dos lados con respecto al tercero Actividad 6: Propiedad de los ángulos opuestos a lados iguales Dado al triángulo isósceles, ABC mostrado en la figura, contesta los siguientes ítems: a) Qué valor tienen el ángulo que se opone al lado b? . Qué valor tienen el ángulo que se opone al lado c ?. ¿Cómo son estos dos ángulos?. b) Modifica el lado c del triángulo y contesta nuevamente el ítem a) c) Si el triángulo es rectángulo se sigue manteniendo lo observado? d) Escribe una propiedad que resuma lo observado Segundo encuentro En el segundo encuentro se continuará trabajando con los conceptos de medianas, baricentro, mediatrices, circuncentro, alturas, ortocentro, bisectrices, incentro y finalmente recta de Euler. A modo de ejemplo se especifica una actividad para mediatrices de un triángulo y circuncentro I) En el triángulo que se observa en la figura se dibujó la mediatriz (Mc) correspondiente al lado c. Para determinar qué propiedades cumple ésta recta determina: a) Distancia (A, M), distancia (B, M) y compara los valores obtenidos Página 273 de 632 b) El valor de los ángulos AMP y BMP II) Contesta las siguientes preguntas: a) Qué es el punto M respecto del segmento AB (lado c)? b) Cómo es la recta Mc con respecto a lado c? c) Modifica el triángulo y observa si se sigue cumpliendo lo indicado en los ítems c) y d) d) En base a las propiedades que cumple la mediatriz (Mc) correspondiente al lado c del triángulo intenta dar una definición de mediatriz de un triángulo. III) Traza las mediatrices correspondientes a los otros lados del triángulo y responde a las siguientes preguntas. a) ¿Las mediatrices se intersecan o no? b) Si la respuesta anterior es afirmativa, ¿ en cuánto puntos se intersecan?. c) Valdrá la misma respuesta para cualquier otro triángulo (rectángulo, obtusángulo, acutángulo, escaleno, isósceles y equilátero)?. IV) En la figura que obtuviste llama R al circuncentro y contesta: a) ¿El circuncentro puede estar fuera del triángulo? ; b)¿El circuncentro puede ser un vértice? ; c) ¿El circuncentro puede estar dentro del triángulo? ; d) Teniendo en cuenta la clasificación de un triángulo según sus ángulos, donde se sitúa el circuncentro? V) a) Calcula la medida de los segmentos AR, BR y CR e indica cómo son éstas medidas ; b) Si modificas el triángulo sigue valiendo lo observado en a) ; b) Indica qué propiedad tiene el circuncentro ; c) Traza la circunferencia que tiene como centro el punto R y como radio la medida del segmento AR ; d) ¿Por qué crees que el punto R recibe el nombre de circuncentro? Finalmente, para culminar el segundo encuentro, se llevará a cabo una actividad de familiarización de todos los conceptos vistos. BIBLIOGRAFIA Abdala, C. y Real, M. (2001). Carpeta de matemática1. Argentina: Aique. Berté, A. (1996). Matemática de EGB 3 al Polimodal. Argentina: A-Z Editora. Berté, A. (1993). Matemática dinámica. Argentina: A-Z Editora. Bixio, C (1998). Enseñar y aprender. Bs. As: Homo Sapiens. Página 274 de 632 Bruno de Marti, M. (1997). Matemática 2001. Argentina: Novelibro S. A. Carretero, M. (2000) Introducción a la psicología cognitiva. Buenos Aires: Aique. Chemello, G. y Díaz, A. (1997). Matemática, metodología de la enseñanza. Argentina: Prociencia. Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (2000). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Barcelona, España: Horsori. Douady, R., Artigue, M., Moreno, L. y Gómez, P. (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. Bogotá, Colombia: Iberoamericana. Garaventa, L. y Rodas, P. (2001). Carpeta de matemática 7. Argentina: Aique. Kaczor, P. y Machiunas, V. (2002). Matemática EGB 8. Argentina: Santillana. Ponce, H. (2005). Enseñar y aprender matemática. Argentina: Novedades educativas. Villella, J. (2002). Didáctica de la matemática. Argentina: UNSAM. Giménez, S. (2004). La actividad matemática en el aula. Barcelona, España: Grao. Página 275 de 632 Terciario APUNTES A LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA DEL SIGLO XX: LA TEORÍA DE LAS CATÁSTROFES Nápoles Valdes, Juan Eduardo De Lucca, Adriana UTN- FRRE ISPRG – Tierra del Fuego- Argentina e-mail: [email protected] [email protected] Nivel: Medio y Terciario Palabras Clave: Teoría de las Catástrofes, René Thom, Matemática Siglo XX RESUMEN Las teorías matemáticas desarrolladas durante la segunda mitad del siglo XX requieren ser divulgadas tanto por la importancia de sus aplicaciones como por la necesidad de apoyarse en ellas para la comprensión, elaboración y construcción de nuevas teorías. Así mismo, ofrecen una visión desde la complejidad de los procesos que estudian las otras ciencias. En particular, la teoría de las catástrofes, difundida a partir de 1970 permite explicar episodios de discontinuidad que ocurren en sistemas dinámicos de comportamiento continuo y que pueden observarse con cierta frecuencia en los fenómenos naturales que estudia la biología. Este trabajo describe, de modo sencillo, las principales características de la teoría que desarrollaron Thom y Zeeman, las relaciones que la teoría guarda con otras teorías de la época, la incidencia en la enseñanza de la misma en la educación superior y las dificultades didácticas que presenta. Introducción A mediados de los años 60, comienza a hablarse del libro de René Thom “Stabilité Structulle et Morphogénèse”, que apareció en forma acabada en 1972 y que rápidamente despertó la atención e interés de todos por una teoría conocida ahora como Teoría de las Catástrofes. Thom proponía utilizar la teoría topológica de los sistemas dinámicos, para la modelación de diversos fenómenos de crecimiento y desarrollo en diversas ramas, principalmente la biología. Él señaló que, bajo algunas condiciones exigidas, se deduce que el estudio de diversos sistemas se puede describir, localmente, mediante algunas formas estándar llamadas, catástrofes elementales. Por aquellos tiempos se le acusó de hacer marketing con la denominación de catástrofe, René Thom se defendió -“Me gustaría decir que si he reemplazado la palabra discontinuidad por la de catástrofe es porque quería sugerir la idea de un mecanismo subyacente. Una discontinuidad no sugiere necesariamente la idea de dinamismo”-. Algunos consideran que la Teoría de las Catástrofes, es una parte de la Teoría de las Singularidades, mientras otros afirman lo contrario. En los siguientes párrafos se detallarán las características de ésta teoría y algunas de sus aplicaciones y vinculaciones con la Educación Matemática. Características de la Teoría En el sentido de Thom(1972), la palabra “catástrofe” expresa un proceso cuya evolución sufre discontinuidades en una o varias zonas. Página 276 de 632 La Teoría de las Catástrofes podría definirse intuitivamente como “el lado opuesto” a lo que en Termodinámica se llama “proceso reversible”. Un proceso reversible puede determinarse unívocamente en función de una serie de valores de control o variables independientes. Un ejemplo muy simple de un proceso unívoco es la longitud de una varilla metálica en función de la temperatura. A cada valor T de ésta corresponde otro L de la longitud, de forma que L = f(T). El proceso está definido en cualquier sentido, con temperaturas ascendentes y descendentes, y no depende, por ejemplo, de la velocidad con que varía la temperatura. A cada valor de ésta corresponde unívocamente uno de la longitud. También, se puede pensar que un determinado proceso depende de dos variables de control (x,y), en función de las cuales presenta unos estados caracterizables definidos por unos valores, que representaremos en el eje vertical (z). En general, variaciones de (x,y) conducirán a valores unívocamente definidos, representables mediante la superficie de ecuación z = f(x,y). Sin embargo en la práctica, véase la Figura 1, hay procesos de este tipo cuya superficie característica manifiesta una divergencia, como vemos en la figura. Para dos valores muy próximos (x,y), (x,y+dy), puede ocurrir que las sucesivas variaciones de x conduzcan a dos regiones distintas de la superficie separadas por un “pliegue”, como ocurre con los puntos P y Q. Obsérvese que P y Q están situado en zonas distintas de la superficie, y no es posible el paso de una a la otra más que mediante un salto o discontinuidad Un ejemplo típico puede verse en el cambio en la forma de un puente, mientras se va acumulando peso sobre el mismo. En ese caso, el puente comienza a deformarse de manera relativamente uniforme hasta que, una vez superado cierto peso crítico, el puente se viene abajo. Eso es una catástrofe: un cambio cualitativo en la estructura de un atractor o punto fijo (en este ejemplo, irreversible), mientras varía continua y suavemente un parámetro de control. Se puede afirmar que, la Teoría de las Catástrofes, permite representar cambios drásticos. En procesos reales, estos cambios, pueden ser generados por Figura 1 crisis cambiarias, explosiones inflacionarias, desviaciones de genotipo, actitudes inesperadas, etc., implicando un poder de representación de problemas de muy distintas disciplinas. En su obra antes mencionada “Structural Stability and Morphogenesis”, Thom destacó que este instrumental analítico no es estrictamente una teoría, sino más bien un método que permite explorar los procesos dinámicos subyacentes a ciertos fenómenos reales. El enfoque es cualitativo, pero hace uso de instrumental matemático, como la teoría de las singularidades, las singularidades de formas diferenciales, la teoría de aplicaciones diferenciables y las nociones de bifurcación y de atractores. Al analizar más de cerca el proceso que se describe mediante la superficie en la Figura 2: partiendo de un punto A definido por las coordenadas z A = f(xA,yA), se hace variar (x,y) según la línea roja (Figura 2). Al llegar al punto B, ya no es posible seguir manteniéndose en la superficie, y el valor de z sufre un brusco cambio, mediante el cual, sin variar (x B,yB) se pasa bruscamente del valor zB al zC. Ha habido lo que técnicamente se denomina una “bifurcación del equilibrio”. Este proceso discontinuo se da en multitud de fenómenos; en todos los casos el paso de zB a zC es brusco, y acontece espontáneamente, de forma imprevisible y sin que, en principio, varíen los valores, pues (xB,yB) = (xC,yC). Página 277 de 632 Analizando la superficie podría observarse que, en teoría, podría volverse al punto inicial (xA,yA,zA) recorriendo la línea azul CD. Al llegar al punto D del pliegue, otro brusco cambio nos conduciría al punto E, mediante el cual podría alcanzarse el A, esta vez de manera continua según el camino EA. Se dice, en este caso, que el proceso ha recorrido un camino de histéresis. Incluso, en lugar de los dos caminos indicados, podríamos haber recorrido la línea negra, pasando por el punto F, y recorriendo la línea AFC (o la CFA), esta vez de manera continua. Se habría dado en este caso un tránsito continuo entre dos puntos de Figura 2 equilibrio. El paso de determinados estados de hielo-líquido o de líquido-vapor puede alcanzarse en un cuerpo mediante procesos de ese tipo, como se estudia en Termodinámica. Relación con otras teorías de la época De acuerdo con Thom el término Teoría de las Catástrofes, es debido a su discípulo E.C. Zeeman (en 1971). Es posible visualizarla como la Teoría de la Bifurcación desde un punto de vista topológico; o sea, definirla como el estudio, desde un enfoque cualitativo, de las formas en que las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden variar. En el momento de su aparición, medios de prensa como Newsweek reportaron una revolución en las matemáticas, comparable quizás, al descubrimiento del Cálculo Diferencial e Integral. Ellos afirmaron que la nueva ciencia, la Teoría de las Catástrofes, era mucho más importante que el Análisis Matemático: mientras este sólo considera procesos suaves, continuos, la otra provee un método universal para el estudio de todas las transiciones de salto, discontinuidades y cambios cualitativos súbitos. El punto “filosófico” es que el conjunto de los puntos catástrofes K son los que contienen el comportamiento significativo del proceso, es decir, donde se trabaja es en el lugar geométrico de los puntos de equilibrio del sistema. Es el esqueleto, del cual el resto de la morfología depende. Consideremos un sistema dinámico gradiente: dx grad x F x ,a dt (1) Donde x y a son vectores de números reales (posiblemente, unidimensionales) y F es infinitamente diferenciable, o suave. Llamemos a “x” variable de estado y “a” a la variable de control. Busquemos los puntos de equilibrio, así tenemos: grad x F x ,a 0 (2) El problema matemático es cómo varían las soluciones “x” de (2) con “a”, para F general. Si al resolver esto desde un punto de vista topológico, diferentes funciones F tienen el mismo comportamiento (local), se dicen que son equivalentes. Una clase de equivalencia de tales funciones F es llamada una catástrofe elemental. Para una familia de funciones f : ; es decir, con n variables de estado, y con k parámetros, denominados de control, si n≤2 y k≤5, Thom estableció la existencia de formas n k Página 278 de 632 canónicas, a las que hacíamos referencia antes. A ellas son reducibles las funciones en estudio, si cumplen con la restricción antes citada y otra que se comentará más abajo. En las catástrofes elementales, que listamos a continuación, las componentes x1, x2, ... de x han sido reemplazadas por x, y, a1, a2, ...por a, b, .... Nombre F(x,a) Pliegue x3/3 + ax A2 Cúspide ±x4/4 + ax2/2 + bx A Cola de milano x5/5 + ax3/3 + bx2/2 + cx Mariposa Ombligo A4 ±x6/6 + ax4/4 + bx3/3 + cx2/2 + dx A±5 x7 + ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f A6 x2y - y3 + ay2 + bx + cy D-4 x2y + y3 + ay2 + bx + cy D4 x2y + y4 + ax2 + by2 + cx + dy D5 Elíptico Ombligo Hiperbólico Ombligo Parabólico x2y + y5 + ay3 + by2 + cx2 + dx + ey D6 Página 279 de 632 x2y - y5 + ay3 + by2 + cx2 + dx + ey D-6 x3 ± y4 + axy2 + by2 + cxy + dx + ey ±5 Estos nombres son escogidos por una gran variedad de razones y deben ser tratados meramente como mnemotécnicos, las siglas de la última columna son las denominaciones de cada una de las catástrofes elementales. Poseen una propiedad de estabilidad muy fuerte: la estabilidad estructural. Esta es una propiedad muy deseada y Thom (junto a nombres como Lefschetz y Arnold) la considera un requerimiento esencial. La estabilidad estructural debe considerarse en un “contexto determinado”. El contexto comprende: a) una clase de sistemas matemáticos C, b) una clase de perturbaciones P, c) una relación de equivalencia R. En este contexto, un sistema es estructuralmente estable si demostramos que toda perturbación en P, lleva a un sistema en C que es equivalente, con respecto a R, al original. Un péndulo simple, por ejemplo, considerado como un oscilador no forzado, es un sistema estructuralmente inestable (en el modelo usual) si la clase de perturbaciones incluye la posibilidad de términos de amortiguamiento. Restringiendo las perturbaciones al caso no disipativo solamente, es posible restaurar la estabilidad estructural. Si consideramos la existencia de simetría, debemos restringir las clases P y C consecuentemente y así debe procederse en lo sucesivo. La descripción matemática del mundo depende, sobretodo, de una delicada interrelación entre la continuidad y discontinuidad: `fenómenos discretos', singularidades, bifurcación y catástrofe, son términos diferentes para la descripción del surgimiento de estructuras discretas a partir de otras suaves, continuas. La teoría de las singularidades es una generalización del estudio de funciones en sus puntos máximo y mínimo. El término bifurcación, como se entiende ahora, significa rompimiento y es usado en un sentido amplio para designar toda suerte de reorganización cualitativa o metamorfosis de varias entidades que resultan de un cambio de los parámetros de los cuales ellas dependen. Catástrofes, son cambios bruscos que surgen como una respuesta súbita del sistema a un cambio suave en las condiciones externas. Incidencia en la Matemática Superior Es sabido que el estudio de las funciones (reales, de ahora en adelante), está sujeta a distintas dificultades didácticas. Algunas de ellas son: La determinación de los extremos de una función y el esbozo de su gráfico. La propia construcción del gráfico de las mismas, pues en la mayoría de los casos, trabajamos con el gráfico de la función propiamente dicha, y no con algunas variantes interesantes, como pueden ser: la derivada contra la función, la derivada contra la variable independiente, etc. Página 280 de 632 La determinación de los puntos de acumulación, y las funciones definidas por series infinitas. En el primer caso, abordamos dominios "plenos" casi siempre, cuando pudiéramos generar discusiones interesantes con nuestros estudiantes, si restringimos el dominio a determinados subconjuntos de R. En el segundo caso, casi siempre el uso docente de las funciones continuas, o con series convergentes en dominios más o menos "cómodos", trae aparejado una convicción, en el estudiantes, sobre las "bondades" de las funciones, sin tener prácticamente en mente, la utilización de funciones discontinuas, o continuas no derivables, restringir series divergentes, para definir funciones apropiadas en algunos casos, etc. A pesar de la existencia de técnicas constructivas en varias ramas de la Matemática, utilizaremos el concepto de función por considerarlo de capital importancia dentro de la misma. El concepto de función, tal y como se utiliza actualmente en Matemática, se desarrolló progresivamente. A medida que las necesidades prácticas se hacían sentir, se agregaban las definiciones necesarias. Y es a causa de eso que se llegó a una proliferación de nociones vagas e inexactas. No haremos un esbozo histórico de este concepto, pues existen varios trabajos dedicados al mismo, sólo retomaremos algunos datos para ilustrar nuestra exposición. Si para Jean Bernoulli (1718), función de una variable es "una cantidad compuesta de una cierta manera de esta cantidad y de constantes" para Euler (1748), "es la expresión analítica cualquiera de las cantidades variables y de números o cantidades constantes". De aquí que la continuidad de la función es prácticamente asumida, pues una curva que estaba representada por una ecuación algebraica o trascendente se llamaba una curva continua. Y ¿no es así como, prácticamente, nuestros alumnos asumen la noción de función? Mejor aún, ¿cuántos alumnos consideran funciones definidas por más de una rama, discontinuas o definidas por una serie infinita, digamos, su desarrollo en Serie de Fourier? Estos aspectos muestran que es necesario hacer más énfasis en la construcción de funciones en la Educación Matemática. De hecho, no sólo este es un problema, resumiendo podemos presentar otros: obtener, dado el gráfico (ya sea, el de la función y la variable independiente, de la función y su derivada, o de esta última con la variable independiente), la representación algebraica de la función, construir los gráficos de las funciones y sus derivadas. Por otra parte, el uso de los ordenadores como herramientas educacionales, hace muy difícil separar el concepto de función con valores reales de la idea intuitiva de función continua. Esto es quizás sugerido por el hecho que la mayoría de los "paquetes" usados presentan el concepto de función como sinónimo de una relación entre dos variables, relación expresada por una fórmula. Por todo esto, nos parece meritorio la obtención del concepto de función desde un punto de vista histórico en el orden de dejar bien claro las relaciones entre el concepto de función y la continuidad de funciones. Este concepto de función y su devenir histórico permite, además, apuntalar la evidencia que una demanda de saber que se evalúa, puede cambiar a lo largo del tiempo conforme las viejas teorías son sustituidas por las nuevas. En realidad, está aceptado comúnmente dentro de la filosofía de la ciencia que incluso lo que se toma por conocimiento factual, depende de las teorías en uso (Popper, Kuhn, Lakatos, etc.). Por tanto, lo que puede ser llamado conocimiento en un tiempo, puede, a la luz de nuevas teorías posteriores, ser considerada creencia. Inversamente, una creencia sostenida alguna vez, con el tiempo, puede ser aceptada como conocimiento a la luz de nuevas teorías que la apoyen. Quisiéramos presentar, ahora, algunas observaciones respecto a la determinación de los extremos de una función. Página 281 de 632 En nuestro trabajo docente, utilizamos el conocido algoritmo de determinar los puntos críticos de la primera derivada y después, mediante el signo de la misma en un entorno de dichos puntos, o evaluando directamente, decidir sobre la naturaleza de los mismos, y en ocasiones, cuando f'(a) = f''(a) = 0, desechamos dichos puntos, por considerarlos sin ninguna importancia docente. Sin embargo, esos puntos críticos degenerados, son los puntos de catástrofe de la aplicación. La Teoría de las Catástrofes puede aplicarse a la modelación de fenómenos reales de diversas causas: cualitativas o cuantitativamente; desde un punto de vista conceptual, predominantemente descriptivo, a partir de las características de las superficies de equilibrio de las funciones de catástrofes, hasta un empleo rigurosamente matemático, cuando se conocen las funciones que gobiernan el fenómeno físico en estudio y éstas cumplen con las restricciones propias de la Teoría de las Catástrofes. Como modelos descriptivos permite agrupar en una sola geometría diversas características de un fenómeno que, de otro modo, permanecerían aislados o, incluso, pasarían inadvertidos. Que mejor ejemplo para ilustrar lo anterior, que el de la función f(x) = x3 + cx, cR. A pequeños cambios en el parámetro c (considérese c>0, c=0 y c<0), se obtienen gráficos totalmente distintos de la función donde no existen extremos, existe uno y existen tres, respectivamente (ver las figuras sig.). Es decir, estamos en presencia de la catástrofe elemental tipo cúspide. Puesto que la función puede modificarse significativamente si se cambia c, por pequeños que sean estos cambios y el fenómeno físico que representa sufrirá alteraciones de importancia, pues cambia cualitativamente, es de interés estudiar el comportamiento de los puntos críticos de la función. Por otra parte, este ordenamiento permite establecer programas experimentales con lo que es factible lograr una mejor presentación y comprensión de los resultados y, por tanto del fenómeno mismo. Además como método descriptivo permite introducir una nomenclatura y conceptos importantes, como el de estabilidad estructural, que facilita la comprensión de aquellos fenómenos complejos en los que la función que los gobierna se desconoce o es muy complicada. Se supone implícitamente la existencia de una relación funcional a la que puede aplicarse la Teoría de las Catástrofes. La justificación de esta hipótesis sólo se obtiene cuando los datos experimentales se ajustan a una geometría de catástrofes, cuestión esta que justifica su popularidad y uso entre los investigadores que a la vez se auxilian de sus computadoras y observan las trayectorias en el espacio de fases. Por último, debemos señalar que los conceptos fundamentales de la Teoría de las Catástrofes son propios del lenguaje del Análisis Matemático, sus métodos, procedimientos y enfoques tanto geométricos como topológicos, son también análogos, es decir, esta nueva teoría ha surgido por continuidad para enfrentar y resolver nuevos y viejos problemas. Recordemos Página 282 de 632 que en los textos tradicionales no se analiza el caso de los puntos degenerados (excepto el criterio de la n-ésima derivada) y que sólo es abordada por la Teoría de las Catástrofes. Por todas las razones analizadas consideramos que es posible, en los cursos de Análisis Matemático, abordar algunos conceptos, procedimientos, métodos y ejemplos de la Teoría de las Catástrofes así, en nuestro trabajo presentamos una propuesta didáctica que permite perfeccionar la modelación de procesos cuyo comportamiento no es continuo, señalando consideraciones didácticas que enfaticen este aspecto importante y esencial en la disciplina. Aprovechar este resultado, significa que debemos vincularlo con otros conceptos como el de continuidad, y dicho análisis no debe resultar difícil, pues queda claro que para pequeñas variaciones del parámetro c en un entorno del punto O(0,0), la cuestión resulta muy interesante como ya analizamos. Luego, debemos relacionar dichos resultados con problemas de las ciencias. Reafirmando, entre otras, la noción de límite que un estudiante nunca debe perder. Una de las relaciones que podemos establecer, es referida a la utilidad que tiene el análisis anterior y su vínculo con otros contenidos, y que en esencia, es el mismo caso de resolver la ecuación diferencial f'´(x) = 3x2 + f(0), f(0) = 0, su solución es, por supuesto, f(x) = x3, pero si consideramos que la condición inicial debemos hallarla como resultado de un experimento, es muy probable que el resultado que obtengamos sea no nulo y las justificaciones son abundantes. Si aceptamos tan pequeño error, o un error tan pequeño como se quiera, podemos aceptar un valor positivo o negativo y el resultado como ya sabemos es cualitativamente distinto, el resultado de la ley que modela dicho problema es un caso muy diferente en esta disyunción y si no supiéramos a ciencia cierta cuál es el verdadero valor de la condición inicial, entonces estamos frente a un rompecabezas; por qué, cuál es la ley que modela dicho fenómeno, ya que se trata de tres curvas diferentes, ver las figura anteriores; en fin, puede plantearse el ejercicio de varias formas que resultan el mismo problema. En este caso, se nota la importancia de las condiciones iniciales en un problema, aún cuando para valores muy cercanos de las condiciones iniciales las soluciones no resultan aproximadas, y surgen buenas preguntas: en qué condiciones suceden dichos comportamientos, para qué tipos de fenómenos, para qué valor del parámetro c el resultado es divergente o cuál es el conjunto de valores donde las soluciones son diferentes (se bifurcan). Continuando con nuestro ejemplo, para el caso f'(x) = 3x2 + f(0), resulta la solución general 3 f(x,c) = x + cx; pero para qué valores de x y c los resultados son cualitativamente análogos; en este caso, el estudiante puede llegar a describir las relaciones geométricas de la original y la perturbada en función de sus puntos críticos. El ejemplo anterior resulta muy fácil de resolver pues no se necesitan métodos especiales, con conocimientos mínimos de diferenciación e integración se resuelve; pero la condición inicial impuesta convierte el ejercicio en un problema cuya solución no se encuentra al alcance de los conocimientos y habilidades que el Análisis Matemático ha brindado hasta el momento; pero es un buen inicio para relacionarse con la Teoría del Caos surgida en los últimos 30 años de nuestro siglo y que en la década de los años 90 ha planteado nuevos retos. Deben concebirse actividades que conduzcan al estudiante a hacer descubrimientos personales. Esas actividades deben estar profundamente enraizadas en la realidad de modo que les permita explorar y examinar el mundo que les rodea. Hay que incitar a los estudiantes a copiar datos y a concebir problemas por su propia cuenta y fundamentalmente actividades relacionadas con la realidad circundante (recordemos a Aristóteles). Por último, presentamos el siguiente procedimiento para determinar el tipo de función de catástrofe. 1) Se establece la función que gobierna el fenómeno a estudiar, se define la variable o variables de estado y el parámetro o parámetros de control, es decir, f = f(x i,cj); i = 1,2; j = 1,...,5. Página 283 de 632 2) Se determinan los puntos críticos de la función f(xi,cj) dados por las ecuaciones df/dx=0 ó Dfx i 0, i 1,2. 3) Se determinan si existen los puntos críticos degenerados df/dx = 0, df 2/dx2 = 0, ó Dfx i 0, i 1,2. , det Hf = 0 y d2f = 0. 4) Se analiza si es conveniente: A) B) C) 5) Escribir la ecuación de la superficie de equilibrio directamente grad f(xi,cj) = 0, a partir de la función que gobierna ó modela el proceso que estamos analizando. Trabajar en la propia función que gobierna el fenómeno a estudiar de manera tal que f(xi,cj) = 0 y resolver dicha ecuación y comparar su solución con la geometría de cada función de catástrofe. Se desarrolla la función que gobierna el fenómeno a estudiar en serie de Taylor, de forma tal que desechando los términos de orden superior, obtengamos las ecuaciones del tipo de una función de catástrofe. Concluir el tipo de función de catástrofe que representa. Expresar por medio del plano de control el comportamiento de la función analizada o por el contrario, en caso que las derivadas o su determinante hessiano sean distintos a cero, se analiza la función como es conocido. Esto no quiere decir que las únicas formas de analizar sean las variantes A, B y C, las cuales son las referidas en la literatura matemática. Este “cuasi–algoritmo” posibilita estudiar e investigar, en particular, fenómenos de carácter estocástico, sin emplear técnicas estadísticas ni probalísticas, tan solo utilizando el lenguaje que se ha denominado Teoría de las Catástrofes. Por otra parte, él constituye un procedimiento de trabajo que le permite a los estudiantes concluir los casos en los cuales la función analizada se comporta de manera singular, debido a que se anulan sus derivadas de primer orden, el determinante de la matriz hessiana, así como la diferencial de segundo orden, por lo que pudiera parecer que en todos estos casos no puede decidirse; pero sabemos que es posible utilizar este procedimiento. Consideramos que la ingeniería didáctica descrita, no conduce al fenómeno de egresar un profesor con mucho contenido de nivel superior y poca visión de la las necesidades de la escuela, sino que contribuye al desarrollo del pensamiento matemático ya que le provee de un método universal para el estudio de todas las transiciones de salto, discontinuidades y cambios cualitativos súbitos, cuestión esta que le permite interpretar de un modo más completo los fenómenos que estudie y por lo cual determina en la forma de analizar y enfrentar los nuevos retos, así como la aplicación de los conocimientos y habilidades que son propios del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. A modo de conclusión La Teoría de las Catástrofes forma parte de las Matemáticas y explica la discontinuidad de procesos, cuando el agua se congela o hierve, cambiando de estado, cuando un puente se derrumba, cuando una gota colma el vaso, o cuando un terremoto sacude la tierra, se produce lo que Thom denomina una catástrofe porque se interrumpen los procesos normales de las cosas. En términos matemáticos "catástrofes" son formas geométricas abstractas que simbolizan los procesos evolutivos que generan discontinuidades en la realidad. El concepto matemático no significa tragedia, sino cambio brusco o discontinuidad. Página 284 de 632 Al igual que la teoría del caos, la teoría de las catástrofes, tiene como base de partida la idea de bifurcación o desdoblamiento del equilibrio en puntos críticos, así como el hecho de que las relaciones funcionales son del tipo no lineal. Fundamentalmente enfoca a la dinámica de las variables en estudio como una suerte de “evolución” cualitativa de un sistema a lo largo del tiempo. El objetivo de representar discontinuidades observables en sistemas dinámicos es posiblemente uno de los que mejor se despliega, siendo un aporte importante al desarrollo de la dinámica y la topología diferenciales. Sin embargo, no pareció muy convincente su utilidad como instrumento de predicción de puntos de quiebre o ruptura razón por la que parece ser menos popular que la teoría del caos. Esto no significa que no resulte un abordaje potente y enriquecedor para nuestros estudiantes que los sitúe en el paradigma de la complejidad y sus principios epistemológicos. Bibliografía Albaiges i Olivart, J. M. (s/f). La Teoría de las Catástrofes de René Thom. Disponible en: www.albaiges.com.es/catastrofes/teoriacatastrofe... Arnold, V. I. (1987). Teoría de Catástrofes. Madrid: Alianza. Montealegre, Mauro (2004). Aspectos Algebraicos y geométricos de la Teoría de las Catástrofes, Memorias del VIII Encuentro de Geometría. Colombia: Universidad Surcolombiana. Nápoles Valdes, J. E. (2007). De las Cavernas a los fractales. Conferencias de Historia de la Matemática. edUTecNe: U.T.N. Disponible en: http://www.edutecne.utn.edu.ar. Woodcock, A. y Davis, M. (1986). Teoría de Catástrofe. Madrid: Cátedra. Página 285 de 632 TIEMPO DE RADIO PARA LA MATEMÁTICA Irene Zapico – Silvia Tajeyan – Tere Fernández - Ezequiel Lobatto Instituto Superior del Profesorado “Dr. J. V. González” – Argentina [email protected] – [email protected] – [email protected] – [email protected] Nivel educativo: Escuela Media y Nivel Terciario Palabras clave: Matemática – Radio – Literatura – Historia Resumen Desde hace casi 10 años conformamos un equipo de investigación en Educación Matemática, integrado por docentes, egresados y alumnos del Instituto Superior del Profesorado “Dr. J. V. González”; nuestro trabajo está orientado a la integración de áreas para la enseñanza de la Matemática y consiste en investigar su presencia en ellas para luego elaborar actividades para el aula en base a lo investigado. A fines del año 2007 recibimos la propuesta de “hacer” un programa de radio para internet; esto despertó nuestro entusiasmo porque consideramos un reto el hacer un programa de radio, teniendo en cuenta que ninguno de nosotros era locutor, productor, guionista o editor. Cuando pusimos manos a la obra, comenzaron a surgir programas en los que nos pertenecen el guión, la producción, la edición y la locución. El proyecto elaborado se apoya en los contenidos, referentes a la Historia de la Matemática y a la Literatura, de los Informes Finales de nuestros trabajos de investigación. Hicimos escuchar a los asistentes a esta comunicación breve, un segmento de audio con el cual iniciamos nuestros programas. Al comenzar el año 2009 decidimos independizarnos y tener un lugar propio: nuestro blog, con la posibilidad de mostrar imágenes, enriqueciendo así nuestras producciones. Continuamos trabajando con estas propuestas audiovisuales y nuestro objetivo (al realizar esta tarea) es diferente al que tenemos en nuestra labor habitual como equipo; no sólo nos dirigimos a los jóvenes estudiantes y a los docentes, también estamos realizando una tarea de divulgación cultural, integrando distintas áreas con la Matemática como eje. Trabajo en extenso Desde hace casi 10 años conformamos un equipo de investigación Matemática, integrado por docentes, egresados y alumnos del Instituto Superior del Profesorado “Dr. J. V. González”. Nuestro trabajo está orientado a la integración de áreas para la enseñanza de la Matemática y consiste en investigar su presencia en ellas y luego elaborar actividades para el aula en base a lo investigado. Las disciplinas con las que hemos conectado a la Matemática son: la Historia, la Literatura, la Arquitectura, las Bellas Artes y los Juegos. A fines del año 2007 recibimos la propuesta de “hacer” un programa de radio para internet; esto despertó nuestro entusiasmo porque consideramos un reto el hacer un programa de radio, siendo que ninguno de nosotros era locutor, productor, guionista o editor. En ese momento pensamos en llevar a la radio el trabajo realizado y elegimos, como título de nuestro programa: “Matemática en su salsa”, que es el nombre del libro que publicamos en el año 2006. El proyecto elaborado se apoya en los contenidos, referentes a la Historia de la Matemática y a la Literatura, de los Informes Finales de nuestros trabajos de investigación. El entusiasmo inicial se vio potenciado cuando pusimos manos a la obra y comenzaron a surgir programas en los que nos pertenecen el guión, la producción, la edición y la locución. En el transcurso del año 2008 salieron al aire 12 programas realizados íntegramente por nosotros. Página 286 de 632 Escucharon nuestros asistentes a esta comunicación breve un segmento de audio con el cual iniciamos nuestros programas. Al comenzar el año 2009 decidimos independizarnos y tener un lugar propio: nuestro blog. El mismo brinda la posibilidad de mostrar imágenes, enriqueciendo así nuestras producciones. Nos pusimos a trabajar en la reedición de los programas, aprovechando esta posibilidad y diseñando un nuevo formato para “Matemática en su salsa”. Actualmente, ya estamos trabajando en el segundo ciclo, en él continuamos con la Historia de la Matemática, sus relaciones con la Literatura y la presencia de algunos invitados especiales. Como siempre, continuamos acompañando nuestros guiones con temas musicales relacionados y con la lectura de poemas o citas textuales de diversos autores. Presentamos fragmentos de distintos programas para ilustrar lo antedicho. A continuación transcribimos un segmento del guión del Programa 2: Hoy estaremos con Jorge Luis Borges, que nos sigue hablando desde sus libros, de los cuales hemos elegido algunos de los fragmentos que mencionan conceptos matemáticos. En “El libro de arena”, cuento que da nombre a uno de sus libros, nos dice: “La línea consta de un número infinito de puntos; el plano, de un número infinito de líneas; el volumen, de un número infinito de planos; el hipervolumen, de un número infinito de volúmenes...” - Borges crea un personaje que vive solo y recibe la visita de un desconocido; ofrece venderle biblias pero él no está interesado. El desconocido tiene otro recurso: ofrecerle un libro sagrado, de dudoso origen. Éste sí atrae la atención del dueño de casa, nos narra: “. . . Lo abrí al azar. Los caracteres me eran extraños. Las páginas, que me parecieron gastadas y de pobre tipografía, estaban impresas a dos columnas a la manera de una biblia. El texto era apretado y estaba ordenado en versículos. En el ángulo superior de las páginas había cifras arábigas. Me llamó la atención que la página par llevara el número (digamos) 40.514 y la impar, la siguiente, 999. La volví; el dorso estaba numerado con ocho cifras. Llevaba una pequeña ilustración, como es de uso en los diccionarios: un ancla dibujaba a la pluma, como por la torpe mano de un niño. Fue entonces que el desconocido me dijo: -Mírela bien. Ya no la verá nunca más. Había una amenaza en la afirmación, pero no en la voz. Me fijé en el lugar y cerré el volumen. Inmediatamente lo abrí. En vano busqué la figura del ancla, hoja tras hoja. . . . Página 287 de 632 . . . --Sospecho que en el Libro de los Libros vio un amuleto. Era de la casta más baja; la gente no podía pisar su sombra, sin contaminación. Me dijo que su libro se llamaba el Libro de Arena, porque ni el libro ni la arena tienen ni principio ni fin. Me pidió que buscara la primera hoja. Apoyé la mano izquierda sobre la portada y abrí con el dedo pulgar casi pegado al índice. Todo fue inútil: siempre se interponían varias hojas entre la portada y la mano. Era como si brotaran del libro. - Ahora busque el final. También fracasé; apenas logré balbucear con una voz que no era la mía: - Esto no puede ser. Siempre en voz baja el vendedor de biblias me dijo: - No puede ser, pero es. El número de páginas de este libro es exactamente infinito. Ninguna es la primera; ninguna, la última. No sé por qué están numeradas de ese modo arbitrario. Acaso para dar a entender que los términos de una serie infinita admiten cualquier número. Después, como si pensara en voz alta: -Si el espacio es infinito estamos en cualquier punto del espacio. Si el tiempo es infinito estamos en cualquier punto del tiempo.” Jorge Luis Borges nació en Buenos Aires en 1899 y murió en Ginebra en 1986. Es muy difícil hacer una reseña breve de su vida y su obra. Para presentarlo tomamos el párrafo final de “BORGES, una biografía”, de Horacio Salas: - ...Dentro de doscientos o trescientos años, cuando las cronologías se confundan y algunos nombres de esta época confusa hayan desaparecido de los textos de historia, la obra de Borges continuará deslumbrando, enriquecida por nuevas generaciones de lectores que descubrirán - no cabe duda - luminosidades que hoy ni siquiera intuimos. - En este cuento, en particular, Borges juega con el concepto de infinito. Dice: “los términos de una serie infinita admiten cualquier número”, en matemática, en cambio, los términos de una serie infinita tienen, cada uno de ellos, una ubicación dada por un determinado número. - O sea que no son exactamente lo mismo el infinito literario y el infinito matemático... Un fragmento del guión del Programa 4: ...... - Se le han dedicado poemas, entre ellos: Página 288 de 632 El número Pi de Wislawa Szymborska ”Digno de admiración es el número Pi tres coma catorce todas sus siguientes cifras también son iniciales, quince noventa y dos porque nunca se termina. No se deja abarcar sesenta y cinco treinta y cinco con la mirada, ochenta y nueve con los cálculos setenta y nueve con la imaginación y ni siquiera treinta y dos treinta y ocho con una broma o sea comparación cuarenta y seis con nada veintiséis cuarenta y tres en el mundo. La serpiente más larga de la tierra después de muchos metros se acaba. Lo mismo hacen aunque un poco después las serpientes de las fábulas. La comparsa de cifras que forma el número Pi no se detiene en el borde de la hoja, es capaz de continuar por la mesa, el aire, la pared, la hoja de un árbol, un nido, las nubes, y así hasta el cielo, a través de toda la hinchazón e inconmensurabilidad celestiales.” - En el poema van apareciendo más cifras decimales correctas d obtenemos: 3,141592653589793238462643... - Es interesante la diferencia que marca la poetisa entre las cosas te todo - Ya comentamos que es un número irracional, justamente eso es lo que este poema pone de manifiesto, sus infinitas cifras decimales, diciendo: “La comparsa de cifras que forma el número Pi no se detiene en el borde de la hoja, es capaz de continuar por la mesa, el aire, la pared, la hoja de un árbol, un nido, las nubes, y así hasta el cielo, a través de toda la hinchazón e inconmensurabilidad celestiales.” Página 289 de 632 - Con respecto a la autora, Wislawa Szymborska, les contamos que nació en 1923 en Polonia; es poeta, recibió el Premio Nobel de Literatura en 1996 y es considerada una de las voces más originales de la poesía contemporánea en su país. Continuamos trabajando con estas propuestas audiovisuales y nuestro objetivo (al realizar esta tarea) es diferente al que tenemos en nuestra labor habitual como equipo; no sólo nos dirigimos a los jóvenes estudiantes y a los docentes, también estamos realizando una tarea de divulgación cultural, integrando distintas áreas con la Matemática como eje. Bibliografía Borges, J. L. (1975). El libro de arena. Buenos Aires, Argentina: EMECÉ. Mastrandrea, D. (2008). Libro de arena V (libro con arena encolada). Chubut, Argentina. [En línea] Recuperado el 15 de abril de 2009. http://www.artebus.com.ar/artistas/obras.php?artID=24 Salas, H. (1994). BORGES, una biografía. Buenos Aires, Argentina: Planeta. Zapico, I., Serrano, G., Burroni, E, Micelli M., Tajeyan, S., Vera Ocampo, J., Abregú, P.y Villa Del Prat, G. (2006). Matemática en su salsa. Buenos Aires, Argentina: Lugar Editorial Zapico, I., Serrano G. y otros. (2000). Integración de áreas para el mejoramiento de la enseñanza de la Matemática. Buenos Aires, Argentina: Informe Final, Unidad Interdepartamental de Investigaciones, Instituto Superior del Profesorado “Dr. J. V. González”. Zapico, I., Burroni, E. y otros. (2002). Integración de áreas para el mejoramiento de la enseñanza de la Geometría. Buenos Aires, Argentina: Informe Final, Unidad Interdepartamental de Investigaciones, Instituto Superior del Profesorado “Dr. J. V. González”. Zapico, I., Burroni, E. y otros. (2004). Historia y arte en la enseñanza de la geometría. Buenos Aires, Argentina: Informe Final, Unidad Interdepartamental de Investigaciones, Instituto Superior del Profesorado “Dr. J. V. González”. Zapico, I., Burroni, E. y otros. (2005). Historia y arte en la enseñanza de la Matemática. Buenos Aires, Argentina: Informe Final, Unidad Interdepartamental de Investigaciones, Instituto Superior del Profesorado “Dr. J. V. González”. Página 290 de 632 Zapico, I., Tajeyan, S. y otros. (2007). Historia, arte, juegos y Matemática.- Propuestas para el aula. Buenos Aires, Argentina: Informe Final, Unidad Interdepartamental de Investigaciones, Instituto Superior del Profesorado “Dr. J. V. González”. Zapico, I., Tajeyan, S. y otros. (2008). Matemática, arte y juegos. – Diseño e implemntacionde propuestas para el aula. Buenos Aires, Argentina: Informe Final, Unidad Interdepartamental de Investigaciones, Instituto Superior del Profesorado “Dr. J. V. González”. Página 291 de 632 MATEMÁTICA Y LITERATURA, PROPUESTAS PARA EL AULA Natalia Ferre Facultad de Ciencias Exactas, U.N.L.P. [email protected] Nivel educativo: terciario - universitario Palabras clave: interdisciplinariedad - integración – demostración – número primo Resumen El presente trabajo es una propuesta para el aula dirigido a alumnos de 1er año de un curso de álgebra de nivel universitario para carreras de licenciatura o profesorado. La propuesta pedagógica es vincular distintas disciplinas con la matemática, de modo de mirar desde otro lado y de manera integrada los conceptos matemáticos que se han ido trabajando. Se supone conocido el concepto de divisibilidad, números primos, el Teorema algoritmo de la división, el Teorema fundamental de la aritmética, congruencia módulo p y Teorema de Fermat. Se presentará el libro “El Tío Petros y la conjetura de Goldbach” de Apóstolos Dioxadis, y una serie de actividades para realizar luego de su lectura, con una propuesta metodológica de trabajo en grupos, con intervención del docente como guía y al final de cada bloque habrá una puesta en común con explicaciones en el pizarrón de los conceptos que han ido apareciendo. Se trabajará fundamentalmente en las demostraciones, qué significa demostrar una proposición universal y una existencial, y qué significa demostrar su falsedad, qué son las conjeturas. Por otro lado se verán relaciones entre los números primos, con dos herramientas para analizar primalidad. Se enunciará también el Teorema de Gödel y su incidencia en el quehacer matemático. Finalmente se dará una aplicación, es decir, luego de haber trabajado en todos los aspectos de números primos, se muestra la criptografía de clave pública como una aplicación directa de esta teoría. Fundamentos El presente trabajo es una propuesta para motivar el estudio de la matemática desde un planteo literario. Un enfoque distinto que puede estimular y desestructurar la clase de matemática generando un mayor interés. Por otro lado se pretende generar un proceso integrador de distintos temas ya vistos, que de sentido y unidad. Se trata también de que la enseñanza de la matemática provoque investigación y descubrimiento. Menciona Claudi Alsina a la creatividad como un fin educativo, que muchas veces se les pide a los alumnos en la resolución de problemas. El va mas allá mencionando la creatividad que debe tener el profesorado en su actuación docente. Dice Alsina: “El desarrollo de la ciencia tiende a una especialización cada vez más fina, y por eso puede resultar muy creativo el unir resultados de varias ramas del saber y en particular llevar a cabo labores interdisciplinarias donde la matemática pueda aparecer realmente aplicada y motivada”. (Alsina, 2000). El enfoque de conectar las matemáticas con otras disciplinas puede resultar sumamente provechoso. Así, y de acuerdo con Irene Zapico y su grupo de investigación las conexiones existentes entre estas asignaturas se hallan no solo en sus orígenes sino también en su desarrollo y consecuencias. “El verdadero conocimiento es integrador y no reconoce propietarios”. (Zapico y otros, 2002). El libro “ El Tío Petros y la Conjetura de Goldbach” es una novela escrita por Apostolos Dioxadis, que narra la historia de un joven que quiere ser matemático y es desalentado por su Página 292 de 632 tío, también matemático pero retirado de sus estudios, que le da para resolver la Conjetura de Goldbach, sin decirle que se trata de un problema no resuelto. Disponer de una novela en la que aparecen tantos contenidos matemáticos es una maravillosa estrategia para abordar diferentes temas desde una perspectiva distinta. El tema central son los números primos y los teoremas y conjeturas acerca de ellos, pero también la interpretación de los teoremas y conjeturas y su significado. La guía de actividades propuesta para el aula es sólo una muestra de las numerosas que se pueden extraer y generar y son de diferentes características. Actividades de fijación para reafirmar y validar conceptos y definiciones que se han ido tratando en el aula. Actividades de opinión personal acerca de la matemática, del trabajo de un matemático, debates que a veces están ausentes y que aportan a conocer el trabajo de investigación. Actividades de ejercitación: resolución de ejercicios que refuerzan definiciones y conceptos. Actividades de aplicación. Aquí se plantean situaciones nuevas o diferentes que requieren un proceso de reflexión acerca de las estrategias a seguir. En la aplicación los estudiantes llegan a entender los propósitos y usos del conocimiento que se está estudiando. Actividad Lee el libro “El tío Petros y la conjetura de Goldbach” de Apóstolos Dioxadis. I. Introducción 1) 2) 3) 4) 5) En la página 12, cuando el protagonista va a la conferencia en homenaje al nacimiento de Leonhard Euler queda maravillado , a pesar de no entender demasiado acerca del significado de algunas cosas, dice ”…Los nombres mágicos, nunca oídos, se sucedían interminablemente, cautivándome con su sublime musicalidad: el problema del continuo, el aleph, Gottiod Frege, razonamiento inductivo, el programa de Hilbert, verificabilidad y no verificabilidad, pruebas de consistencia, pruebas de completitud, conjunto de conjuntos, la máquina de Von Neumann, la paradoja de Russell, el álgebra de Boole…” ”…los axiomas de Peano para la aritmética, el teorema de los números primos, los sistemas abiertos y cerrados, más axiomas, Euclides, Euler, Cantor, Zenon, Gödel…‖ Lee las biografías que figuran al final del libro, de los matemáticos citados y haz una lista cronológica de ellos. Los axiomas de Peano son 5. Investiga acerca de ellos, escríbelos y discutan en el grupo si hay más conjuntos que satisfagan los 2 últimos. En la página 14 Petros habla acerca del significado de la matemática, explica brevemente. Explica que son las matemáticas para vos. En la página 15 y en la pagina 25 se menciona cómo debe ser un matemático, ¿Estás de acuerdo con ese punto de vista? da tu opinión. En la página 16 Petros plantea un problema a su sobrino que involucra los números primos. Da una definición de número primo. Encuentra 5 números primos mayores que 50. En la página 17 se menciona que la prueba de la infinitud de los números primos la demostró por primera vez Euclides con el método de reducción al absurdo. Explica el método con tus palabras. Demuestra que el cuadrado de todo entero par es par, utilizando ese método. Luego Petros enuncia el problema de demostrar que todo par mayor a dos puede escribirse como suma de dos primos y da algunos ejemplos. Escribe el 16, 18, 20, 22 y 24 de esa forma. “Después de innumerables divisiones había creado una tabla de los primeros cien números primos (una versión primitiva y casera de la criba de Eratóstenes)” (pagina 18). Investiga acerca de la criba de Eratóstenes. Describe el método y ejemplifica. Página 293 de 632 6) Cuando el protagonista cree haber demostrado el problema que le dio Petros, éste le envía un telegrama diciendo: “Lo único que has demostrado es que todo número par puede expresarse como la suma de un primo y un impar, lo cual es obvio. Stop.” (pagina 19). Lo que sigue es la demostración de esa afirmación. Justifica cada paso. Sea n un número par, entonces n=2k, con k ……..y k>1 Existe un número p primo tal que p < n y p 2, ya que…………………………. Entonces n = p t + r , t y r únicos y r < p porque………………………………... Entonces n = p + (t-1)p + r porque ……………………………………………… caso 1) t par , entonces (t-1) es impar y r es par porque………………………… entonces (t-1)p + r es impar porque………………………………………. entonces n es suma de un primo y un impar. caso 2) t impar , entonces (t-1) es par y r es impar porque……………………… entonces (t-1)p + r es impar porque………………………………………. entonces n es suma de un primo y un impar. También puede simplificarse mucho la prueba si pensamos que para todo par mayor que 2, el 3 es menor que él y primo. ¿Puedes formalizar esta demostración? 7) El problema que Petros da a su sobrino es la Conjetura de Goldbach. ¿Por qué se llama conjetura? En la pagina 17 se mostraron varios casos en los que la proposición es verdadera, ¿Por qué no es suficiente? ¿Por qué el protagonista busca casos donde la conjetura falle? ¿Hubiera sido suficiente encontrar un caso en el que no fuera cierta para afirmar que es verdadera o que es falsa? Lee los siguientes enunciados y discute su valor de verdad justificando tu respuesta con la demostración: a. “ Todo número par es múltiplo de 4” b. “ Todo múltiplo de 6 es múltiplo de 3” c. “ Algunos números son primos” d. “ Existen números pares e impares a la vez” 8) En la página 22 se menciona que la conjetura está en una carta enviada a Euler en 1742 que en realidad dice “Todo entero puede expresarse como la suma de tres números primos”. Lo que se conoce como la conjetura de Goldbach es un corolario o una consecuencia de esta afirmación. ¿Puedes explicar porqué? 9) En la página 27 se comenta acerca del trabajo de los matemáticos, discutan en grupos y escriban cómo imaginan este trabajo. II. La historia de Petros Papachristos: 1) “ A los 11 años, tras aprender que todo entero positivo puede expresarse como suma de cuatro cuadrados, Petros sorprendía a los buenos de los jesuitas proporcionándoles la composición de cualquier número que le sugirieran después de escasos segundos de reflexión “ (pagina 1) Esta expresión no es única, ¿puedes encontrar 5 números con dos expresiones diferentes? Escribe el 325 y el 171 como suma de 4 cuadrados. Página 294 de 632 “ Y qué me dices de la distribución de los números primos? - preguntó Caratheodory - ¿ Se te ocurre una forma de calcular cuántos primos existen menores que un número dado n? - No - respondió Petros -, pero conforme n tiende a infinito, la cantidad de primos se aproxima a n dividido por su logaritmo neperiano.” (página 3) El enunciado que se menciona es el teorema de los números primos. En las páginas 12 y 13 se vuelve a mencionar el Teorema, busca quién lo enunció y quien lo demostró. Ejemplifica con n = 50 y n = 100. Con respecto a esta distribución en la página 12 se menciona que: “… es sumamente fácil demostrar que para cualquier entero dado k, es posible encontrar una sucesión de k enteros que no contiene un solo número primo”. Lee la demostración que figura al pie, transcríbela completando las justificaciones y da ejemplos. 3) “El sol aún no había salido cuando se sentó al escritorio, tomó su gruesa estilográfica y escribió en una hoja de papel blanca y nueva: ENUNCIADO: Todo entero par mayor que 2 es igual a la suma de dos primos. PRUEBA: Supongamos que el enunciado anterior es falso. Luego, existe un entero n tal que 2n no puede expresarse como la suma de dos números primos; por ejemplo, para todo primo p< 2n, 2n - p está compuesto...‖ (página 11) ¿Cuál es el método de demostración que va a utilizar? ¿Porqué dice que suponer falso el enunciado implica suponer que para todo primo primo p, p<2n 2n-p está compuesto? ¿Qué pasaría si no estuviera compuesto? 4) En la página 13 se menciona la segunda conjetura de Goldbach. Enúnciala y da 5 ejemplos de impares mayores que 50. 5) “Como muchos matemáticos que trabajan durante largos períodos con problemas aritméticos básicos, Petros había adquirido la cualidad denominada de amistad con los enteros, esto es, un conocimiento profundo de la idiosincrasia y las peculiaridades de miles de números específicos. He aquí algunos ejemplos: un amigo de los enteros identificará de inmediato como primos los números 199, 457 o 1009. De manera automática asociará el 220 con el 284, puesto que están ligados por una relación atípica (la suma de los divisores enteros de cada uno es igual a la del otro). Leerá con naturalidad el 256 como 2 a la octava potencia que como bien sabe está seguido por un número de 2) 2 2 1 , y una hipótesis 3 gran interés histórico, dado que el 257 puede expresarse como sostenía que todos los números de la forma 2 1 , eran primos” (página 35) Encuentra el primo siguiente a 1009 usando la Criba de Eratóstenes. ¿Qué ocurrió con la hipótesis que aparece en el relato? ¿Pudo demostrarse? En las páginas 38 y 39 Petros se encuentra con Alain Turig y conversan acerca del teorema de Gödel. Anteriormente, en la pagina 29 también se menciona la posición de Euclides acerca de la posibilidad de demostrar las proposiciones verdaderas. Relee estas páginas y discutan en el grupo sus opiniones. Expliquen brevemente las conclusiones. En la página 44 Turig envía un telegrama a Petros: “… He demostrado la imposibilidad de demostrar la solubilidad de un problema a priori. Stop.” ¿Pueden explicar el significado de esas palabras? ¿Qué relación tiene esto con el problema que Petros estaba estudiando? 2n 6) III. De vuelta a Estados Unidos: 1) En la página 13 Petros dice a su sobrino: “– Ahora demuestra que los ceros complejos de la función de Riemann tienen una parte real igual a ½. Me eché a reír y el me imitó. - ¡No! ¡Otra vez, no, Tío Petros!- exclamé “ ¿Cómo se llama el enunciado que Petros le pide que demuestre? ¿Es un teorema o una conjetura aún? Página 295 de 632 2) En la página 22 se menciona lo que se conoce como el último teorema de Fermat. Escribe el enunciado. Averigua quién demostró este teorema y cuando lo hizo. IV. Algunos ejercicios: 1) 2) Demostrar que para todo p primo, p>5, p 1 es múltiplo de 24. a) Si se suman 3 números naturales consecutivos el resultado ¿es siempre un múltiplo de 3? b) Si se suman 5 números naturales consecutivos el resultado ¿es siempre un múltiplo de 5? c) ¿Será cierto que si se suman k números naturales consecutivos el resultado es siempre un múltiplo de k? 2 3) Encontrar todos los números naturales n tales que n y n 8 sean ambos primos. 4) Demostrar que para todo número primo p distinto de 2 y 5, existe un número cuyas cifras son todas 9 tal que p lo divide. 5) Uno de los temas importantes que aparecen en el texto es la dificultad de averiguar si un número es primo o no. Se ha trabajado con la Criba de Eratóstenes, pero para números muy grandes sigue siendo muy trabajoso. Mersenne escribió una vez a Fermat preguntándole si era un número primo. Fermat respondió inmediatamente que es el producto de por , ambos primos. Al día de hoy no se sabe a ciencia cierta cómo factorizó ese número tan grande en tan poco tiempo. Lo que sí se conoce es un método de factorización ideado por Fermat, aunque no sabemos si fue el que usó para este caso. 2 El método de factorización de Fermat La cuestión es factorizar un cierto número . Si digamos puede , entonces es igual a la diferencia de dos cuadrados, factorizarse de forma muy sencilla: . Como debe ser mayor que se tiene que debe ser mayor que . Dado un número entero positivo que queremos factorizar tomamos un entero positivo mayor que . Calculamos y le restamos . Si obtenemos un cuadrado hemos terminado. Si no es así tomamos , calculamos , restamos y si hemos obtenido un cuadrado se acaba. Procedemos de la misma forma hasta encontrar un cuadrado. Ejemplos: Vamos a factorizar el número . Su raíz cuadrada está entre y . Tomamos . Pero , que no es un cuadrado. Tomamos ahora . Ahora . Por tanto despejando de esta expresión tenemos su factorización: Vamos ahora con un número más grande, el que utilizó Fermat para probar la efectividad de su método: . Su raíz cuadrada está entre y . Comenzamos con . Veamos qué resultados obtenemos: Página 296 de 632 , que no es un cuadrado. , que no es un cuadrado. , que no es un cuadrado. , que no es un cuadrado. , que no es un cuadrado. , que no es un cuadrado. , que no es un cuadrado. , que no es un cuadrado. , que no es un cuadrado. , que no es un cuadrado. , que no es un cuadrado. . Por tanto ya tenemos la factorización: 2027651281= 450412 – 10202 = (45041 + 1020)( 45041 – 1020) =44021 . 46061 Como podemos ver el método está muy bien si la diferencia entre los factores del número no es muy grande pero no es demasiado eficiente si los dos factores están muy alejados el uno del otro, ya que en ese caso la cantidad de cálculos que deberíamos realizar sería enorme. De todas formas el método es interesante ya que hasta en nuestros tiempos ha servido como motivación para la búsqueda de nuevos métodos de factorización. Elijan un número de 10 cifras y utilicen la factorización de Fermat para investigar si es compuesto o no. 7) Tenemos cuatro números primos que se escriben de la siguiente manera: AA , BAB , BACD , AAAC. Cada letra representa una cifra del 0 al 9. A letras distintas corresponden cifras distintas y a letras iguales corresponden letras iguales. ¿Cuáles son estos números primos? V. Una aplicación importante: Criptografía: Cifrado de clave pública II. Cifrado RSA El algoritmo fue descripto en 1977 por Ron Rivest, Adi Shamir y Len Adleman (la sigla RSA es Rivest Shamir Adleman) en el MIT.El cifrado RSA es un algoritmo de cifrado de clave pública (o asimétrico) por bloques, que como todos los cifrados de clave pública tiene dos claves: una pública, que se distribuye a los usuarios que quiera el propietario de ella, y otra privada, la cual es guardada en secreto por su propietario. Así cuando se envía un mensaje, el emisor usa la clave pública de cifrado del receptor para cifrar el mensaje y una vez que dicho mensaje llega al receptor, éste se ocupa de descifrarlo usando su clave oculta. Los mensajes enviados usando el algoritmo RSA se representan mediante números y el funcionamiento se basa en el producto de dos números primos grandes (mayores que 10100) elegidos al azar para conformar la clave de descifrado. Emplea expresiones exponenciales en aritmética modular. La seguridad de este algoritmo radica en que no hay maneras rápidas conocidas de factorizar un número grande en sus factores primos utilizando computadoras tradicionales. Cifrado de mensajes: Bob quiere enviar a Alicia un mensaje secreto que solo ella pueda leer. Alicia envía a Bob una caja con una cerradura abierta, de la que solo Alicia tiene la llave. Bob recibe la caja, escribe el mensaje, lo pone en la caja y la cierra con su cerradura (ahora Bob no puede leer el mensaje). Página 297 de 632 Bob envía la caja a Alicia y ella la abre con su llave. En este ejemplo, la caja con la cerradura es la clave pública de Alicia, y la llave de la cerradura es su clave privada. 1. Cada usuario elige n = p·q 2. Los valores p y q NO se hacen públicos 3. Cada usuario calcula (n) = (p-1)(q-1) 4. Cada usuario elige una clave pública e de forma que 1 < e < (n) y que cumpla con la condición: mcd [e, (n)] = 1 5. Cada usuario calcula la clave privada d , tal que e.d 1 mod (n) 6. Se hace público el grupo n y la clave e 7. Se guarda en secreto la clave d Cifra: c me (mod n) Ejemplo: Supongamos que Bob desea enviar un mensaje M a Alicia. Él cambia M en un número m<n, usando un protocolo reversible conocido como padding scheme. Bob ahora tiene m, y conoce n y e, mientras Alicia fue avisada. Él entonces calcula el texto cifrado c correspondiente a m. Bob transmite c a Alicia. c me (mod n) donde e y n son la clave pública de Alicia ( la caja abierta) Alicia para descifrar tiene su clave privada d (llave) tal que d.e calcula: c d = (me )d =m1+k (n) = m .mk (n) 1 (mod (n)), entonces m (mod n), ya que por el Teorema de Euler Fermat si a y n son coprimos (a (n) ) 1 (mod n), donde (n) es la función de Euler que a cada n le asigna el número de coprimos menores que él. Por lo tanto recupera m. Supongamos que Bob quiere enviar a Alicia el mensaje: YES (es lo que hemos llamado M), Bob conoce (n, e) = (46927, 39423) dado por Alicia. Utiliza un protocolo reversible como puede ser, tomando un alfabeto de 26 letras (comenzando en 0 y sin ñ), se escribe el número 24418 (haciendo corresponder la Y con 24, la E con 4, la S con 19) en base 26, entonces 24418= 24.262 + 4. 26 + 18 16346 (mod 46927), notemos que este valor de n es el dado por Alicia. Este número obtenido es el que hemos llamado m. Ahora calcula 1634639423 3 21166 (mod 46927), ahora lo escribe en base 26, 2 21166= 1.26 + 5. 26 + 8. 26 + 2 = BFIC (haciendo corresponder el 1 con B, el 5 con F, el 8 con I y el 2 con C), este es el mensaje c que recibe Alicia. Al recibirlo Alicia escribe BFIC en base 26 y obtiene el 21166 y como conoce d, su llave, calcula 21166 26767 16346 (mod 46927), lo escribe en base 26 y recupera YES. Seguridad: La factorización de números grandes por lo general proponen métodos teniendo 663 bits de longitud usando métodos distribuidos avanzados. Las claves RSA son normalmente entre 1024-2048 bits de longitud. Algunos expertos creen que las claves de 1024 bits podrían comenzar a ser débiles en poco tiempo; con claves de 4096 bits podrían ser rotas en un futuro. Por lo tanto, si n es suficientemente grande el algoritmo RSA es seguro Página 298 de 632 Generación de claves: Buscando números primos grandes p y q por el test de aleatoriedad y realizando tests probabilísticos de primalidad los cuales eliminan virtualmente todos los noprimos (eficientemente).Los números p y q no deberían ser suficientemente cercanos para que la factorización de Fermat para n sea exitosa. Además, si cualquier p-1 o q-1 tiene sólo factores primos pequeños, n puede ser factorizado rápidamente, con lo que estos valores de p o q deben ser descartados. Ejercicio: Cada grupo de trabajo elija una clave pública y reserve su clave secreta. Hagan una lista con las claves públicas de cada grupo, envíen un mensaje a todos los grupos y decodifiquen los mensajes que reciban de cada uno de ellos. Conclusión: En este proyecto se intenta lograr un enfoque desestructurado de la clase de matemática, integrar conocimientos y dar una aplicación. Este último aspecto es de suma importancia como estímulo al estudio de distintos temas, que a veces pueden aparecer a los alumnos como vacíos de significado y con un interés meramente teórico. Referencias Bibliográficas Alsina, Claudi. (2000). La Matemática de la Liberación. La Matemática hermosa… y otras conferencias. Pág. 17 y 18. Red Olímpica. Alsina, Claudi. (2000). Creatividad y musas matemáticas. La Matemática hermosa… y otras conferencias. Pág. 63, 70 y 75. Red Olímpica. Gentile, Enzo. (1976). Capítulo III. Anillo de enteros racionales. Notas de Algebra. Pág. 105 a 195. Eudeba. Sessa, Carmen. (2005). Formulación y validación de conjeturas sobre los números y las operaciones. Iniciación al estudio didáctico del Algebra. Pág. 109, 113, 114 y 115. Libros del Zorzal. Stewart, Ian. (2005). La importancia de ser primos. De aquí al infinito. Las matemáticas de hoy. Pag 24 a 31, Biblioteca de bolsillo. Zapico, Irene y Tajeyan, Silvia. (2008). Curso Matemática en la Literatura. Material del curso realizado a través de la plataforma del aula virtual de SOAREM. Zapico, Irene y otros. (2002). Acerca de la Integración de áreas. Integración por áreas para el mejoramiento de la enseñanza de la Geometría. UIDI, ISP “Dr. J. V. González. Página 299 de 632 CONSIDERACIONES SOBRE EL TRATAMIENTO DIDACTICO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN LA UNIVERSIDAD Sastre Vázquez, P.; Rey, A.M.G.; Boubée, C.; Cañibano, A. Facultad de Agronomía. Universidad Nacional Centro de la Provincia de Buenos Aires. Azul. Argentina [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] Nivel Educativo: Terciario, Universitario Palabras clave: funciones, trigonometría, didáctica, universitarios RESUMEN En general, los programas de estudio de las escuelas de nivel medio que introducen el estudio de las funciones trigonométricas, lo hacen centrando el interés en el aprendizaje de los elementos que se encuentran relacionados con el uso de estas funciones como una herramienta para la solución de problemas geométricos. Así, se comienzan estudiando las medidas de los ángulos, los triángulos y por último el círculo trigonométrico. Si bien es cierto que estas funciones son muy útiles a la hora de resolver problemas en los cuales se encuentran involucrados ángulos, no menos cierto es que cuando se desea construir modelos, es prácticamente imprescindible concebir las funciones trigonométricas como funciones de un número real. En este trabajo se analizan distintas posibilidades de tratamiento didáctico, en el nivel universitario, de las funciones trigonométricas considerando ventajas y limitaciones de estrategias tales como el pasaje de la medida de la amplitud de los ángulos del sistema sexagesimal al sistema radial, y la definición de estas funciones como relaciones entre números reales prescindiendo del uso de ángulos. INTRODUCCIÓN Durante nuestra práctica docente en el aula, hemos encontrado numerosas dificultades en los alumnos al trabajar con funciones trigonométricas, las cuales nos han motivado a tratar de investigar el origen de las mismas. Si bien en general en el tratamiento didáctico de la noción de función se tiene en cuenta la naturaleza epistemológica del concepto, en general no parece haberse tenido en cuenta, a la hora de diseñar las herramientas del proceso de enseñanza aprendizaje, una diferenciación entre los diferentes tipos de funciones: algebraicas, exponenciales, logarítmica y trigonométricas. En tal sentido compartimos las preguntas que se formula Montiel, G., (2005), respecto del problema didáctico que plantea el estudio de la Función: ¿pueden aprenderse por igual, desde cualquier perspectiva, las funciones algebraicas que las transcendentes?; al incorporar una componente epistemológica a la explicación del fenómeno didáctico ¿no debemos atender la particularidad epistemológica de cada tipo de función: algebraica, exponencial, logarítmica, trigonométrica? Es objetivo de este trabajo realizar una revisión bibliográfica sobre las investigaciones que consideran aspectos didácticos sobre la noción de función trigonométrica, para posteriormente tomando como base este trabajo, detectar los posibles obstáculos epistemológicos relacionados con estas funciones y poder así diseñar las herramientas adecuadas para trabajar en el aula con estos conceptos Página 300 de 632 ANTECEDENTES Desde hace algún tiempo se ha percibido la especificidad epistemológica de las funciones trascendentes, cuyo tratamiento escolar es fuente de diversas dislexias escolares (Trujillo, 1995; Ferrari, 2001). Tomar en consideración los elementos epistemológicos de la construcción de los conceptos nos hace pensar en cómo enfrentar la problemática del aprendizaje del concepto de función cuando tenemos distintos tipos de funciones (algebraicas, racionales, trascendentes, entre otras), cada una con origen en un contexto específico, con distintas propiedades analíticas, esto es, con epistemologías propias, (Maldonado, S., Montiel, G. y Cantoral, R., 2004). Entre los trabajos que tratan de elaborar explicaciones que dotan de particularidades a su explicación, especialmente en lo referente a las funciones trascendentes podemos citar a Ferrari, (2001), Ferrari y Farfán, (2004); Lezama, (1999); Lezama (2003); Confrey y Smith, (1994, 1995); Martínez-Sierra (2002, 2003). Según la National Council of Teachers of Mathematics (1992), el currículum de Matemáticas Básicas debe incluir la Trigonometría para que todos los estudiantes sean capaces de aplicarla en la resolución de problemas donde aparecen triángulos y puedan explorar los fenómenos periódicos del mundo real usando las funciones seno y coseno en general; luego conocer la conexión que existe entre el comportamiento de las funciones trigonométricas y los fenómenos periódicos, aplicar técnicas generales de representación gráfica de funciones trigonométricas, las propiedades de las funciones trigonométricas en el estudio de las coordenadas polares, vectores, números complejos y series.. Ahora bien, existen varias formas de introducir las funciones trigonométricas. Se las pueden definir: 1) como las proporciones entre los lados de un triángulo recto, 2) en términos de las coordenadas x e y de un punto P del círculo unitario (interpretar las funciones trigonométricas como proyecciones), 3) como ciertas funciones de los reales a algún subconjunto de los números reales, 4) como cierta serie de potencias de una variable independiente. Cada uno de estos enfoques tiene sus ventajas y desventajas, y es claro no todos ellos son igualmente conveniente en el aula. Interpretar las funciones trigonométricas como proyecciones, tal como se indica en el punto 2), refleja un cambio en el énfasis de lo abstracto a lo práctico. No debe olvidarse que la trigonometría es una disciplina eminentemente práctica, que nació y se desarrolló fundamentalmente ligada a sus aplicaciones. De Kee, Mura y Dionne (1996) y Shama, (1998) realizaron estudios sobre la comprensión de conceptos trigonométricos, utilizando en su investigación dos contextos. El primero de estos contextos fue el del triángulo rectángulo, mientras que el segundo fue el contexto de la circunferencia trigonométrica. Las representaciones dominantes entre los alumnos fueron: 1) 2) 3) 4) Como el procedimiento que consiste en dividir una entre otra las longitudes de dos lados de un triángulo (rectángulo) y que producen el seno o el coseno de un ángulo (agudo). Aunque a veces los alumnos aplicaban este procedimiento indebidamente a triángulos que no eran rectángulos o a ángulos que no eran agudos; Como coordenadas cartesianas de un punto en un círculo trigonométrico, esas coordenadas eran, para los alumnos, el coseno y el seno del «punto»; Como las funciones de una calculadora, funciones que proporcionaban, según los alumnos, el seno y el coseno de un número que expresaba la medida de un ángulo. Como las curvas de aspecto ondulado. Incluso algunos alumnos admitían que esas curvas seguían representando las mismas funciones cuando sufrían una rotación o un cambio de escala. Página 301 de 632 5) Como una ecuación, aunque raramente recurrieron a ella y eran susceptibles de equivocarse cuando lo hacían. De Kee, Mura y Dionne (1996) encontraron cuatro representaciones del seno y del coseno entre los estudiantes de secundaria, las cuales tiene que ver con: 1) las razones, 2) las coordenadas cartesianas, 3) los valores que se obtienen en una calculadora y 4) las curvas con aspecto ondulado. Los estudiantes mostraron no haber establecido relaciones entre las diferentes representaciones del seno y del coseno antes enumerado. Si desea mejorar la comprensión es necesario promover y fortalecer las relaciones entre esas representaciones, Montiel (2005), señala que en general se encontraron concepciones alrededor de la función trigonométricas relacionadas a las concepciones ya estudiadas sobre el concepto de función general, consideran especialmente dos de ellas, por ser particulares de la función trigonométrica: 1) 2) … no se hace diferencia entre el seno como una relación trigonométrica y el seno como función trigonométrica… ... una «función» es el conjunto de diferentes objetos que comúnmente llamamos funciones («la función trigonométrica es el conjunto, el coseno, el seno, todas esas cosas») … De Kee, Mura y Dionne (1996) señalan que para favorecer la comprensión hay que dar más importancia a los lazos entre las diversas representaciones de la noción. Analizan el papel que juega el círculo trigonométrico en el paso de las concepciones geométricas a las concepciones funcionales relacionadas con el seno y el coseno (y que constituye uno de los lazos más importantes entre la relación y la función trigonométrica): “Cuando comparamos el desempeño de los alumnos en el contexto del triángulo rectángulo y en el del círculo trigonométrico, constatamos que era mejor en el primer contexto, aun cuando el segundo estuviera más fresco en su mente, ya que acababan de terminar su estudio mientras que había pasado todo un año desde la presentación del primero. Observamos notoriamente pocas huellas de comprensión, del género que fuera, de la función circular y de su papel en la definición de las funciones trigonométricas. Si pensamos que la función circular no es más que un medio didáctico destinado a volver más visual, más «concreta», la construcción de las funciones trigonométricas, esta constatación deja perplejo. Hay que reconocer que esta aproximación concretiza la definición de las funciones trigonométricas al precio de complicarla considerablemente.” Maldonado (2005) teniendo en cuenta la distinción socio epistemológica entre las funciones trascendentes y algebraicas, diseña un cuestionario, con base en los contenidos institucionales, para explorar las concepciones de los estudiantes alrededor de la función trigonométrica. Su diseño dibuja tres etapas escolares: el planteamiento de la razón trigonométrica, la relación entre ángulos medidos en grados y radianes, y la comprensión de las propiedades. Otro aspecto importante implícito en las funciones trigonométricas es la periodicidad. Esta parece en la naturaleza, por todos lados. Las funciones periódicas son usadas para modelar numerosos fenómenos en meteorología, biología, química, física y en la tecnología. Este concepto cobra aún más relevancia si lo vemos como necesario para comprender la conducta de sistemas caóticos y sistemas no lineales. Shama, (1998), estudió la periodicidad. Este autor señala que una función con período de longitud r, también tiene período de longitud nr, para cualquier número natural n. Sin embargo tanto los alumnos, como los profesores prefirieron identificar un período fundamental como el Página 302 de 632 período. La mayoría de los estudiantes prefirieron identificar puntos de discontinuidad, puntos extremos o puntos cero como los puntos extremos de un período. Algunos estudiantes piensan que los extremos de un período tienen que ser iguales, para algunos incluso si un período termina y comienza en extremos diferentes no es un período. Shama (1998) resalta en sus conclusiones que los estudiantes tienden a confundir el proceso con sus productos, entonces transfieren las propiedades del primero a los segundos. Entendida la periodicidad como proceso, se concibe entonces como fenómeno dependiente del tiempo. Por tanto, como un proceso que tiene un punto de inicio. Además, se tiende a asociar una dirección de ocurrencia al período como proceso es la frente de muchos de los errores que cometen los estudiantes. Orhun, (2000), investigó sobre los errores y las concepciones erróneas de los alumnos respecto de la trigonometría. Entre sus conclusiones se destacan las siguientes: 1) 2) 3) 4) los estudiantes no desarrollan conceptos claros de trigonometría, algunos de ellos usan la notación algebraica de manera informal, la mayoría no comprende el concepto de trigonometría numérica, la trigonometría es comprendida como relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo. Orhun, (2000) adjudica todos estos errores y concepciones erróneas en los estudiantes, al método de enseñanza que predomina en las escuelas. Para superar estos problemas, recomienda enseñar primero las funciones trigonométricas como funciones reales y antes de entrar a tratar problemas con ángulos. También hace hincapié en la utilidad del uso de los gráficos de las funciones trigonométricas, Blackett y Tall (1991) señalan que la enseñanza inicial de la trigonometría enfrenta varios problemas, entre los que se destacan: 1) 2) el uso de bosquejos de triángulos comunicaría la idea que sólo se pueden obtener resultados precisos usando procedimientos numéricos y se usan dibujos estáticos en lugar de prestar atención a las relaciones cambiantes dinámicamente. otras dificultades aparecen cuando el estudiante tiene que conceptualizar que pasa cuando un triángulo rectángulo cambia de dimensiones en dos maneras esencialmente diferentes: (1) en la medida que un ángulo agudo aumenta y la hipotenusa se mantiene fija, el lado opuesto aumenta y el lado adyacente decrece, (2) los ángulos permanecen constantes, el alargamiento de la hipotenusa por un factor dado cambia los otros dos lados por el mismo factor (Blackett y Tall, 1991). Una manera de superar estas dificultades es mediante la introducción de un software que permita la manipulación dinámica de objetos matemáticos. Montiel (2005) afirma que el tratamiento escolar tradicional que se da en el nivel Medio Superior del concepto de Función Trigonométrica es una extensión de la Trigonometría Clásica, que encuentra en el círculo trigonométrico una explicación necesaria y suficiente para dejar claro: 1) 2) 3) 4) 5) el dominio de la función en todos los reales, el significado de un ángulo negativo, la conversión de la unidad de medida: grados ↔ radianes, la equivalencia entre radianes y reales, la periodicidad y el acotamiento de la función. Esta autora considera que la programación de los temas referentes a Trigonometría y Funciones Trigonométricas en el Nivel Medio Superior y en el discurso matemático escolar asociado, permite que al final de este periodo las funciones trigonométricas puedan operarse Página 303 de 632 (derivarse y, en algunos sistemas educativos, integrarse). En consecuencia, el discurso matemático escolar del Nivel Superior (NS) asume de entrada que la función trigonométrica ha sido aprendida por el estudiante, generando en el docente una indiferencia ante las explicaciones analíticas que problematizan la longitud de un arco, la conveniencia o necesidad del uso del radián, el significado analítico de la expresión en serie infinita de la función, etc. Maldonado (2005) puntualiza que al tratar a las funciones trigonométricas como funciones reales, se tienen serias dificultades para tratarlas como tal, puesto que en el tratamiento escolar de las funciones como funciones reales, cuando se pasa de radianes a reales, no se lo hace explícito, por lo tanto los estudiantes no logran profundizar el concepto de función trigonométrica, puesto que no hacen diferencia, cuando se les presenta la función como función real. CONCLUSIONES Durante preparación del material didáctico necesario para la enseñanza de la trigonometría, en el nivel universitario, se deberían tomar en cuenta tanto las necesidades futuras de los estudiantes como los resultados de algunas investigaciones en educación matemática. Al comenzar con el estudio de las funciones trigonométricas, en el primer curso de Análisis Matemático, se supone que los alumnos han estudiado trigonometría y que están familiarizados con las definiciones de las relaciones trigonométricas basadas en triángulos rectángulos. Pero es de hacer notar que durante esa etapa no se habla aún de funciones, sino más bien se trata con razones entre lados de un triángulo rectángulo y refiriéndose a un ángulo, generalmente medido en grados sexagesimales, en particular del triángulo. Algunas de las dificultades que los estudiantes tienen en apropiarse de los contenidos de la trigonometría están relacionadas con problemas en el aprendizaje de otros conceptos matemáticos. Dos de estos conceptos matemáticos son el de razón, de ángulo y de función. Sabemos que los estudiantes tienen problemas para aprender de razones, así como el de proporciones. El concepto de ángulo no es aprendido con facilidad por los estudiantes. Una dificultad adicional es que los alumnos estudian el concepto de ángulo por primera vez en geometría, luego en trigonometría se tiene que abandonar esas ideas de ángulo. Además, tenemos las dificultades que encuentran los estudiantes en el estudio de conceptos propios de la trigonometría, tal es el caso de la periodicidad. Durante las primeras lecciones de trigonometría se trabaja con ángulos, en general referidos a un triángulo y medidos en grados sexagesimales, es decir que en todo caso, con referencia al sistema radial de medición, se trabaja con funciones cuyo dominio no son los reales, sino un subconjunto de estos restringido a los ángulos comprendidos entre 0 y . Luego se incorporan los ángulos que exceden este valor, pero aún así quedan excluidos del dominio de las funciones los ángulos negativos, incorporación ésta que se hace de una forma didáctica no muy clara. Todas estas consideraciones respecto al dominio de las funciones, en general no se explicitan durante la actividad docente. Teniendo en cuenta que Euler, (siglo XVIII), en su obra Introductio in analysin infinitorum en la cual hace un tratamiento estrictamente analítico (y no geométrico) de las funciones trigonométricas, presenta al seno de un ángulo ya no como un segmento, sino simplemente como un número, (el elemento más importante en la construcción de las nociones trigonométricas es la proporción expresada como razón en un sentido matemático abstracto, no la razón como la relación de dos catetos) la ordenada de un punto de la circunferencia unidad, es que nos plateamos si entonces tal vez no sería más apropiado definir las funciones trigonométricas tomando como base el círculo unitario, ya que de esta forma sus dominios son conjuntos de números reales en lugar de conjuntos de ángulos. El paso de la medida de los ángulos en grados a la medida de los ángulos en radianes plantea un escenario de interés para los estudios didácticos. En general la enseñanza de la trigonometría se limita a la enseñanza de las razones entre los lados de un triángulo Página 304 de 632 rectángulo. Este hecho repercute negativamente en los estudiantes ya que los induce a poseer una idea reducida y hasta muchas veces erróneas sobre las funciones trigonometrías, ya que encuadran estas funciones en el estudio de los triángulos rectángulos lo cual tiene sus limitaciones, por ejemplo, el coseno de un ángulo recto. Es recomendable que la enseñanza de la trigonometría se inicie por el estudio de las funciones trigonométricas en contextos dinámicos, en especial con la ayuda de tecnologías como calculadoras y aplicaciones en computadora. Existen importantes razones para desarrollar conceptos de trigonometría en el ámbito de los estudios universitarios, entre ellas destacamos las siguientes: 1) 2) 3) 4) 5) Durante el desarrollo de la Trigonometría se ilustran algunas propiedades matemáticas fundamentales de algunas funciones, como por ejemplo la esencia no-lineal de muchas de ellas. El manejo de fórmulas permite desarrollar destrezas algebraicas y puede contribuir a una compresión más profunda estas funciones tan importantes. Las funciones trigonométricas juegan un rol fundamental en casi todas las aplicaciones de la ciencia moderna. Estas funciones, especialmente el seno y el coseno, constituyen modelos matemáticos para muchos fenómenos periódicos del mundo real, tales como el movimiento circular uniforme, los cambios de temperatura, los biorritmos, las ondas de sonido y la variación de las mareas El uso del sistema de coordenadas rectangulares es el más adecuado para el estudio de las funciones trigonométricas, como funciones reales, para su representación gráfica, cálculo de sus valores e identificación de sus propiedades. Los estudiantes deben tener también la oportunidad de comprobar identidades trigonométricas básicas, ya que esta actividad fortalece la comprensión de las propiedades trigonométricas, y proporciona un nuevo contexto para demostraciones deductivas. BIBLIOGRAFIA Blackett, N. y Tall, D. (1991). Gender and the versatile learning of trigonometry using computer software. Published in The Proceedings of the International Group for the Psychology of Mathematics Education XV, Assisi, Italy, vol. 1, pp. 144–151 Confrey, J. y Smith, E. (1994). Exponential functions, rates of change, and the multiplicative unit en Educational Studies in Mathematics, Nº26, pp.135-164. Confrey, J. y Smith, E. (1995). Splitting, covariation, and their role in the development of exponential functions. Journal of Research in Mathematics Education, Vol 26(1), pp. 66-86. De Kee, S., Moura, R. y Dionne, J. (1996). La comprensión des notions de sinus et cosinus chez des éleves du secondaire. For the Learning of Mathematics 16 (2), pp 19-22. Ferrari, M. (2001). Una visión socioepistemológica. Estudio de la función logaritmo. Tesis de Maestría, Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN, México. Ferrari, M. y Farfán, R. M. (2004). La covariación de progresiones en la resignificación de funciones. En L. Díaz (Ed.). 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Tesis de Maestría no publicada, Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN, México. Página 306 de 632 CONSIDERACIONES ACERCA DEL DISEÑO DE UN INSTRUMENTO QUE PERMITA INDAGAR SOBRE LAS CONCEPCIONES Y CREENCIAS DE LOS PROFESORES ACERCA DE LA MATEMÁTICA Sastre Vázquez, P.; Rey, G.; Boubée C.; Scempio, V. Facultad de Agronomía. Universidad Nacional Centro de la Provincia de Buenos Aires. Azul. Argentina [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] Nivel Educativo: Terciario, Universitario Palabras clave: encuesta, creencias, concepciones, matemática. RESUMEN Este trabajo se enmarca en el Proyecto de Investigación Acreditado por SECyT: Concepciones y creencias sobre la Matemática en una Facultad de Agronomía: docentes, alumnos, graduados que se realiza en la Facultad de Agronomía de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos, Argentina. El interés se centra en conocer cómo conciben la Matemática los diferentes actores de la comunidad universitaria de la Facultad de Agronomía y cómo influye esta idea en los procesos de enseñanza y de aprendizaje. También, se pretende indagar sobre la utilización de la Matemática en la carrera de Ingeniería Agronómica y sobre las posibilidades de integración de contenidos de Matemática con los de otras asignaturas del ciclo superior. Ni las concepciones ni las creencias ni las actitudes, por su naturaleza subjetiva, son susceptibles de observación directa, por lo que han de inferirse de la conducta manifiesta, en este caso a través de la expresión verbal de los sujetos de investigación. En este trabajo se analizan los distintos aspectos que deben ser considerados al momento de diseñar un instrumento que permita medir variables y constructos que sean observables a través de expresiones verbales o manifestaciones conductuales, con el propósito de caracterizar de forma contrastable las diferentes valoraciones que realizan los profesores acerca de la Matemática, su enseñanza, su aprendizaje y su uso. INTRODUCCIÓN Este trabajo se enmarca en el Proyecto de Investigación Acreditado por SECyT: Concepciones y creencias sobre la Matemática en una Facultad de Agronomía: docentes, alumnos, graduados que se realiza en la Facultad de Agronomía de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos, Argentina. El interés se centra en conocer cómo conciben la Matemática los diferentes actores de la comunidad universitaria de la Facultad de Agronomía y cómo influye esta idea en los procesos de enseñanza y de aprendizaje. Las dificultades que se presentan en la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática se incrementan cuando el trabajo matemático se realiza con personas cuyo principal interés no está centrado en esta ciencia. Los alumnos y los docentes pueden poseer diferentes concepciones y creencias sobre esta ciencia, y sobre la importancia y necesidad de esta disciplina en su carrera universitaria, particularmente en carreras “no matemáticas”. Incluso pueden presentarse miradas diferentes entre los docentes que dictan esta asignatura y los docentes que son usuarios de la misma o podrían serlo. Los estudios que se refieren a las concepciones y creencias de los profesores, son muy importantes puesto que: a) tienen cierta relación con el modelo de enseñanza que se lleva a cabo y con lo que se entiende por enseñar (Lederman y Zeidler, 1987; Porlán, 1989); b) guardan alguna coherencia con las concepciones que se refieren a cómo aprenden ciencias los Página 307 de 632 alumnos (Porlán, 1989; Brickhouse, 1990); c) influyen en las concepciones científicas de los alumnos y d) contribuyen a formar y/o reforzar la imagen de ciencia del público en general (Lederman, 1992). Así es de interés conocer cómo conciben la Matemática los diferentes actores de la comunidad universitaria de la Facultad de Agronomía de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires, Argentina, y cómo influye esta idea en los procesos de enseñanza y de aprendizaje. También, se pretende indagar sobre la utilización de la Matemática en la carrera de Ingeniería Agronómica y sobre las posibilidades de integración de contenidos de Matemática con los de otras asignaturas del ciclo superior. Interesa, además, considerar algunos de los posibles orígenes de estas actitudes y creencias, con el objetivo de proponer estrategias encaminadas a modificar las prácticas no adecuadas y con la finalidad de lograr una mayor integración entre las asignaturas de la carrera. Ni las concepciones ni las creencias ni las actitudes, por su naturaleza subjetiva, son susceptibles de observación directa, por lo que han de inferirse de la conducta manifiesta y/o de la expresión verbal de los sujetos de investigación. En este trabajo se analizan los distintos aspectos que deben ser considerados al momento de elegir y diseñar un instrumento que permita medir variables y constructos que sean observables a través de expresiones verbales o manifestaciones conductuales, con el propósito de caracterizar de forma contrastable las diferentes valoraciones que realizan los profesores acerca de la Matemática, su enseñanza, su aprendizaje y su uso. Consideraciones generales acerca de los instrumentos de recolección de datos Cuando se desea indagar sobre los pensamientos de las personas, parecería que los métodos cualitativos son los más adecuados. Aunque tienen la desventaja de introducir sesgos y pueden ocultar algunos aspectos claves de la investigación, en particular, las interpretaciones del investigador de los registros obtenidos (Lederman, 1992), su utilización puede ser considerada atendiendo a las finalidades de la investigación y algunas cuestiones propias de los instrumentos de recolección de datos. Las entrevistas son herramientas puramente cualitativas que aportan mucha riqueza de datos y, si su grado de estandarización es leve o moderado, su finalidad de uso es sólo de naturaleza exploratoria o descriptiva. La mayor virtud de estas entrevistas reside en la profundidad de los datos, es decir, permiten obtener mucha información aunque de pocas unidades de análisis. Por su parte, las entrevistas con estandarización o encuestas, a diferencia de las anteriores se caracterizan por la extensión de los datos (muchas unidades de análisis) y por su capacidad de cuantificarlos y compararlos. Es decir, la encuesta no sólo permite la recolección de amplia variedad de datos, también los clasifica y, por lo tanto, los mide. En este caso, la medición exige la construcción de un parámetro acorde al objetivo establecido; por otra parte, la relación de lo que se pretende medir con dicho parámetro debe estar contextualizada por una teoría precisa. Otro aspecto de la encuesta que se debe considerar está referido a que al ser una herramienta bb b b bbbbbbbbbbbbbbn bzssx zzzzzzsi se encontrara exenta de todo marco teórico. Pero esto no es así. La encuesta supone unas determinadas concepciones que no pueden ser obviadas sin correr el riesgo de invalidar la utilización de sus resultados. Los principales supuestos básicos de la encuesta según Bordieu, Chamboredon y Passeron, (1993), (citado por Mayo, 2004), pueden sintetizarse en los siguientes puntos: la encuesta supone una sociedad compuesta por individuos atomizados, aislados, a los que es necesario interrogar para conocer acerca de un determinado fenómeno social. la encuesta supone que cada individuo es consciente de sus actos y puede dar cuenta de sus motivos de un modo imparcial y transparente. Página 308 de 632 la encuesta supone que el lenguaje es un instrumento neutral que puede ser tratado de forma unívoca, sin considerar que por su naturaleza simbólica siempre queda abierto a múltiples interpretaciones y que además, en el contexto de la encuesta, el lenguaje se desarrolla en una relación intersubjetual en la que la expresión del encuestado está influenciada o limitada por la forma en que se pregunta. Decidir la utilización de la encuesta como herramienta de investigación no significa necesariamente adherir a estos supuestos en la medida en que se sea consciente de ellos. Se trata de utilizar la encuesta reconociendo que no es un elemento neutral y que para su correcto0020uso no se pueden obviar las cuestiones mencionadas. La encuesta como estrategia de investigación basada en un cuestionario estandarizado tiene precisamente en esa estructura su arma más poderosa: la fiabilidad. Ésta remite a la posibilidad de usar la misma técnica para distintas unidades sin variar significativamente los resultados. La fiabilidad, o confiabilidad, depende sobre todo de la estandarización pero también está determinada por la forma en que se pregunta: a mayor estandarización de las preguntas más estandarizadas serán las respuestas y a mayor claridad en la pregunta mayor posibilidad de que todos los encuestados la comprendan en el mismo sentido y por lo tanto mayor será la fiabilidad del instrumento. Respecto a la validez de esta herramienta, es decir su verdadera utilidad, está determinada por el planteo del problema y del marco teórico utilizado. Por lo tanto, la validez en la encuesta depende en gran parte de que las preguntas efectuadas sean indicadores de las variables de interés. Para ello es fundamental el proceso de operacionalización, que garantiza la correspondencia de los indicadores con los conceptos teóricamente planteados. La confiabilidad y la validez de la encuesta son cuestiones de fundamental importancia para comprender el funcionamiento de esta herramienta. La validez supone la fiabilidad pero la fiabilidad no depende de la validez. Es decir que se puede formular un cuestionario con alto nivel de fiabilidad pero puede resultar inválido por el problema planteado. Una tercera vía muy valiosa, que combina las ventajas de los instrumentos cerrados, con la riqueza de las entrevistas, son los cuestionarios empíricamente desarrollados a partir de preguntas abiertas y entrevistas previas (Aikenhead 1988). Vázquez, Acevedo, Manassero y Acevedo (2006), señalan que los cuestionarios cerrados empíricamente desarrollados tienen numerosas deficiencias metodológicas: las creencias de los investigadores se imponen implícitamente a los participantes, mediante las opciones ofrecidas (Lederman, 1992); la hipótesis de la percepción inmaculada, que presupone que el investigador y la persona participante perciben y comprenden el texto de un cuestionario de la misma manera (Aikenhead y Ryan, 1992); los instrumentos normalizados limitan mucho la posibilidad de extraer conclusiones significativas y evaluar los cambios actitudinales, o viola la unidimensionalidad de constructo, necesaria en cualquier instrumento para validar los resultados métricos y las correspondientes interpretaciones (Aikenhead, 1988; Shrigley y Koballa, 1992). Por otra parte, la validez y fiabilidad de los instrumentos utilizados para indagar sobre las creencias dependen, en gran medida, de los aspectos metodológicos que se utilizan en la evaluación de los resultados. Sin embargo, investigaciones recientes han conducido a la obtención de mejoras metodológicas. Vázquez, Acevedo, Manassero y Acevedo (2006), señalan tales mejoras metodológicas que permiten aplicaciones estadísticas inferenciales y la comparación de grupos en la investigación con ítems CTS, así como progresar en técnicas propias de la investigación cualitativa, como es el caso de los diagnósticos personalizados (Manassero, Vázquez y Acevedo, 2001, 2003a, 2003b, 2004; Vázquez, Acevedo y Manassero, 2000; Vázquez y Manassero, 1999; Vázquez, Manassero y Acevedo, 2005, 2006.) Entre las nuevas líneas metodológicas para mejorar la validez y fiabilidad, se destacan: Página 309 de 632 1) 2) 3) 4) El uso de un modelo de respuesta múltiple (MRM), que permite utilizar toda la información disponible en cada ítem. La creación de una nueva métrica, que permite extraer de las respuestas múltiples toda la información que contienen. La definición de un índice actitudinal global normalizado, con un significado métrico invariante que sintetiza con validez el conjunto de todas las respuestas emitidas. La clasificación de todas las frases del cuestionario en tres categorías, mediante la valoración por un panel de jueces especialistas. Esto permite la aplicación de una métrica adecuada para calcular el índice actitudinal, (Vázquez, Acevedo, Manassero y Acevedo, 2006). Un aspecto importante a considerar en el MRM es el de la cantidad de alternativas de respuestas, que según sea par o impar, omite o no la categoría de respuesta central, que suele ser ―Ni de acuerdo ni en desacuerdo‖. Sobre este tema existe debate. Edwards, 1957; Sudman y Bradburn, 1989, sostienen que es recomendable el uso de la categoría de respuesta central argumentando que es preferible no forzar las respuestas de los sujetos indecisos hacia un polo (acuerdo o desacuerdo) que podría no describirles, mientras que, Worthy, 1969; Kaplan, 1972; Dubois y Burns, 1975, cuestionan el uso de las categorías centrales porque éstas pueden atraer a las personas que las seleccionan por razones diferentes de cuál es su posición en la actitud medida. Por su parte, los trabajos de Espejo y González-Romá, 1999, han revelado que casi un 50% de los sujetos que responde mediante diferentes tipos de categorías de respuesta centrales lo hace por razones diferentes a la de estar en el punto medio de la dimensión medida. Otros estudios han mostrado que incluso los sujetos con niveles medios en la dimensión medida, tiene una probabilidad muy pequeña de contestar utilizando la categoría central, y es más probable que respondan utilizando otras categorías de respuesta adyacentes, como “En desacuerdo” o “De acuerdo” (Andrich, de Jong y Sheridan, 1997; Espejo y González-Romá, 2001). Consideraciones particulares acerca de un instrumento para indagar concepciones y creencias sobre la Matemática Para decidir qué instrumento para la recolección de datos se utilizará en el marco de la investigación acerca de las concepciones y creencias sobre la Matemática en una Facultad de Agronomía resulta imprescindible establecer la relación entre las consideraciones generales de las distintas metodologías e instrumentos, expresadas anteriormente, y los objetivos planteados para este proyecto en particular. En la búsqueda de las creencias más compartidas por los profesores del ciclo superior sobre la Matemática, su enseñanza, su aprendizaje y su uso, se define la necesidad de caracterizar, en forma contrastable, las diferentes valoraciones que realizan los profesores. La intención es lograr una descripción del sistema conceptual en el cual se encuadran, y a partir de este marco conceptual delimitar los grupos de profesores que comparten creencias y concepciones similares. En otras palabras, el instrumento deberá permitir la determinación y caracterización de la diversidad de concepciones y creencias que sustentan los profesores del ciclo superior, y la descripción de los factores en el sistema de concepciones y creencias compartidos por ellos en los diferentes grupos. Además interesa: 1) Caracterizar el componente cognitivo de la actitud de los docentes hacia la Matemática, 2) Describir el componente afectivo de la actitud, 3) Identificar las manifestaciones conductuales de la actitud hacia la Matemática por parte de los docentes universitarios del ciclo superior. Atendiendo a tales objetivos se considera pertinente diseñar un cuestionario estructurado, cerrado de escala de valoración, que se apoye en la identificación empírica de los juicios de los Página 310 de 632 profesores, la generación inductiva de un sistema de categorías teóricamente fundamentado para clasificar tales juicios y el control del proceso por expertos. Como primera instancia en el diseño se considera necesario realizar una entrevista semi estructurada exploratoria de las creencias y concepciones sobre la Matemática para aplicar a un grupo reducido de profesores. Dicha entrevista, intentará dar respuesta a las preguntas planteadas en este proyecto: los docentes de las asignaturas no matemáticas, ¿cómo ven a esta ciencia?, ¿qué conceptos, procedimientos y actitudes creen que deberían incluirse en las asignaturas con contenidos matemáticos?, ¿qué docentes usan la matemática en sus asignaturas?, ¿de qué manera?, ¿priorizan sus conceptos, sus procedimientos o las actitudes que fomenta?, ¿qué motivos tienen los docentes que podrían usarla pero no lo hacen?, ¿en qué grado ven factible la integración de su asignatura con Matemática?, ¿de qué manera?. La finalidad de este instrumento es recoger algunas de las creencias de los profesores que sirvan como una de las bases para definir las dimensiones de las actitudes que se quieren medir. Con la finalidad de obtener un conjunto suficientemente amplio de ítems o enunciados acerca de la actitudes y creencias en cuestión, para constituir el banco o base inicial de ítems, se impone como tarea inicial la examinación de la bibliografía existente sobre el tema, en un relevamiento de los instrumentos utilizados por otros investigadores y que puedan contribuir en ese sentido. En esta tarea se debe tener especial cuidado en recolectar un número de ítems suficientemente amplio, para prevenir complicaciones en caso de tener que eliminar alguno posteriormente. Con este material y los datos obtenidos de la primera entrevista, se aspira a elaborar un banco inicial de ítems organizados en diferentes dimensiones. Todos los ítems del futuro cuestionario tendrán formato de elección múltiple para el grado de acuerdo, 1 (Total) hasta 6 (Nulo), evitando la categoría de respuesta central que está seriamente cuestionada. Así, ante el planteo de un problema respecto al cual se desea conocer la actitud de la persona se listan, a continuación, varias frases que ofrecen diferentes justificaciones sobre lo planteado. Además de tres opciones que permitan esgrimir razones para no responder: 1) “No entiendo la cuestión”, 2) “No sé lo suficiente sobre el tema para seleccionar una opción” y 3) “Ninguna de las opciones satisface básicamente mi opinión”. La mitad de los ítems, de cada dimensión y subcategoría consideradas, representan manifestaciones de actitudes positivas o favorables, y la otra mitad de los ítems constituyen manifestaciones de actitudes negativas o desfavorables, es decir, que no todos los ítems están redactados en el mismo sentido. Para lograr la clasificación de las frases se debe recurrir a la opinión de tres expertos. Según la metodología desarrollada por Vázquez, Acevedo, Manassero y Acevedo (2006), cada valoración directa se transforma después en índices actitudinales, conforme a una clasificación en categorías previamente asignada a cada frase por un panel de jueces. Así, por medio del cuestionario, se obtienen índices actitudinales normalizados (-1, +1) para cada frase, según la categoría que se le ha asignado. Las frases adecuadas se valoran más alto cuanto más cerca de 6 sea la puntuación otorgada, y las ingenuas, cuanto más cerca estén de 1. A partir de los índices de las frases de un ítem, se pueden calcular nuevos índices, para las categorías de frases, como promedio de los índices anteriores de las frases en cada categoría. Finalmente como indicador global de la actitud de cada persona hacia el tema de un ítem se puede calcular un índice actitudinal ponderado. Consideraciones finales Decidir la metodología a utilizar en una investigación y diseñar instrumentos adecuados a los fines que se persiguen no son aspectos exentos de marco teórico ni de rápida definición. Y esto es particularmente importante cuando el sujeto de la investigación es al mismo tiempo el objeto, es decir cuando el hombre forma parte de la sociedad que trata de conocer. Página 311 de 632 En este trabajo se han realizado consideraciones sobre los instrumentos de recolección de datos, pero esto no significa que aquí se haya agotado el diseño metodológico del trabajo de investigación. Por el contrario, las fases de construcción de la muestra a la que se le aplicará el instrumento, el trabajo de campo propiamente dicho, y la ordenación y análisis de los resultados son etapas igualmente importantes y requieren de sus propios análisis por el sinnúmero de cuestiones que entran en juego en cada una de ellas. Bibliografía AIKENHEAD, G. S. (1988). 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Página 313 de 632 APLICACIÓN Y USO DE MATRICES EN ECOLOGÍA Cañibano Alejandra, Sastre Vázquez Patricia, Gandini Marcelo Facultad de Agronomía – UNCPBA – Argentina [email protected]; [email protected]; [email protected] Nivel Educativo: Terciario, Universitario Palabras clave: matrices, universitarios, ecología, imágenes satelitales RESUMEN En Ecología el hábitat es el espacio que reúne las condiciones adecuadas para que una especie pueda residir y reproducirse, perpetuando su presencia. La fragmentación y pérdida del hábitat constituye la peor amenaza en lo que se refiere a pérdida de biodiversidad y los recursos bióticos. Como su nombre lo indica, describe la aparición de discontinuidades (fragmentación) en el medio ambiente y el hábitat se va transformando en varios fragmentos y el resultado en algunos casos es una reducción de la capacidad productiva de los ecosistemas. Existen diferentes medidas para cuantificar el grado de fragmentación: medidas de extensión, subdivisión, geometría, conectividad del hábitat entre otras. De una o de otra manera todos estos parámetros se relacionan con la matemática a través de las distintas ramas que ésta nos ofrece, principalmente el álgebra y la geometría. El propósito de este trabajo es hacer uso de dos de estos indicadores: Proporción y Dominancia, aplicando los conceptos matemáticos que un alumno de Ingeniería Agronómica, debe aprender en las materias correspondientes a primer año. Se plantea además, la necesidad de enseñar y mostrar la matemática como herramienta para la resolución de problemas típicos de la carrera universitaria que los alumnos elijen para estudiar. INTRODUCCIÓN La ecología de paisajes es una rama de la ecología que estudia las relaciones entre el patrón espacial y los procesos. Asimismo, los tipos y tasas de los procesos ecológicos y, especialmente, los sociales afectan la configuración espacial. La fragmentación y la pérdida del hábitat constituye la peor amenaza en lo que se refiere a la pérdida de biodiversidad y los recursos bióticos (Badii y Ruvalcaba, 2006 a; Badii y Abreu, 2006 b). Como consecuencia de la fragmentación, un hábitat se fractura y se divide en varios fragmentos o islas y la capacidad productiva de estas islas en comparación con la del hábitat original, normalmente e históricamente, se disminuye, salvo la relación entre las fuentes y los resumideros y la estructura y la composición de los corredores biológicos (Badii et al, 1999). Se definen las métricas del paisaje a las distintas medidas disponibles para cuantificar el grado de fragmentación del hábitat. Existe una gran cantidad de métricas para poder cuantificar la configuración del paisaje o los patrones especiales, muchos programas los calculan de manera pronta pero, se debe tener presente el concepto de cada una de ellas para su correcta utilización y comprensión. En este trabajo se van a utilizar sólo dos métricas para estudiar la composición del paisaje, aunque haya más de las que van a ser expuestas creemos que contribuyen a poder exponer una aplicación de la matemática para alumnos terciarios y universitarios de carreras que analizan o tratan la dinámica de los agroecosistemas. Página 314 de 632 IMPORTANCIA DE LA MATEMÁTICA APLICADA Creemos que la matemática no es únicamente un trabajo abstracto- intelectual, sino que estudia diversos problemas cuyos resultados, algunas veces representan buenos aportes a la sociedad y también revelan la importancia de esta ciencia para el mundo actual. La matemática puede modelar la realidad de manera simbólica y eso la convierte en una herramienta indispensable para la comprensión de los objetos y procesos de estudio. La matemática es cada vez más fuerte y vivaz porque es una manera de hablar del mundo y es un ladrillo fundamental en la tecnología moderna. DEFINICIÓN DE DOS MÉTRICAS DE PAISAJE Comenzamos definiendo patrón a la configuración, dentro de un territorio dado, de los diversos fragmentos de relativa homogeneidad interna en cuanto a funciones ecosistémicas o usos de la tierra. La organización espacial de estos fragmentos; esto es, tamaños relativos, tipo de distribución espacial; distancia y conectividad entre ellos, influyen en las tasas y los tipos de procesos biológicos y humanos en el territorio. Para medir la composición del paisaje vamos a utilizar dos métricas: la proporción (p i) del paisaje y la dominancia (D) Estas métricas tienen su importancia relativa dentro del conjunto de todas las métricas porque la primera nos habla de porcentaje de determinado fragmento dentro de la estructura general del paisaje y la segunda indica paisajes dominados por pocos o muchos tipos de cobertura. Proporción (pi) del paisaje: la proporción ocupado por el i-ésimo tipo de fragmento es la más fundamental de las medidas y es calculada como sigue: pi Número total de celdas de la categoría i Número total de celdas en el paisaje Dominancia (D) (O´Neill et al. 1988). Se puede calcular como: D ln S pi ln pi i ln S Donde, S es el número de tipos de cobertura, p i es la proporción del i-ésimo tipo de cobertura. La dominancia toma valores de 0 a 1; los cercanos a 1 indican un paisaje dominado por uno o varios tipos de cobertura mientras que los cercanos a 0 indican que las proporciones de cada tipo de cobertura son casi iguales. Estos índices provienen de la teoría de la información. APLICACIÓN MATEMÁTICA Se presenta en este trabajo un sector de una imagen satelital Landsat, del año 2001, imagen que toma casi la totalidad del sector urbano y parte del ejido de la ciudad de Azul, provincia de Buenos Aires. Si bien la imagen es bastante amplia en la misma se observa un recuadro de la zona que se evaluará para este trabajo. Página 315 de 632 Imagen Landsat 7 ETM- Abril 2001 El sector recuadrado y sometido a una clasificación no supervisada, este proceso de clasificación consiste en agrupar un conjunto de n objetos, definidos por p variables, en c clases, donde en cada clase los elementos posean características afines y sean más similares entre sí que respecto a elementos pertenecientes a otras clases permite observar los distintos fragmentos que son las diferentes unidades morfológicas que se pueden diferenciar en el territorio del paisaje con mayor detalle El color rojo indica el sector correspondiente al Lago Güemes (artificial) donde la predominancia del elemento es el agua, por lo tanto todos los píxeles, que se observen en color corresponderán al elemento agua, lo que sea zona urbana se verá en colores violeta y fucsia y todo lo referente a campo (ejido) en celeste, amarillo, azul. Las imágenes satelitales se nos ofrecen de dos maneras, una es como la venimos presentando, visualmente observamos la imagen y la otra en forma de matriz de datos, ambas se denominan en formato raster. Los programas especializados se encargan de todas las operaciones entre millones de pixeles que contiene una imagen. Como el objetivo del trabajo es presentar una aplicación que sea pertinente a una clase práctica de matemática y donde el alumno relacione conceptos aprendidos y los vuelque a la resolución de una situación dada, se procede a reducir nuevamente la imagen de manera que resulte un producto tangible; la siguiente imagen está reducida a un sector que abarca (22 X 19) píxeles. Página 316 de 632 Nuevamente surge una matriz demasiado amplia para poder trabajar cómodamente entonces vuelve a hacerse una reducción que abarque un determinado tipo de fragmento, en este caso el Lago Güemes. Primera Actividad: Componer una matriz de datos La conformación de la matriz puede ser arbitraria, asignando números a distintos colores que se nos aparecen, así hacemos una tabla con la siguiente valoración: COLOR ROJO AMARILLO VERDE FUCSIA VIOLETA CELESTE AZUL 4 6 2 2 4 A 5 4 4 5 5 VALOR 1 2 3 4 5 6 7 4 3 7 5 5 4 5 6 1 1 2 4 4 5 3 1 1 1 3 2 4 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 2 6 1 1 1 1 2 4 6 3 1 1 1 2 6 5 2 3 1 3 6 4 4 4 4 5 4 4 5 Segunda Actividad: Cálculo de la proporción (pi), del fragmento que corresponde al elemento agua en el paisaje Página 317 de 632 Número total de celdas de la categoría i Número total de celdas en el paisaje 30 pi 0.375 80 Tercera Actividad: Cálculo de la Dominancia pi D ln S pi ln pi i ln S Donde, S es el número de tipos de cobertura, p i es la proporción del i-ésimo tipo de cobertura. La dominancia toma valores de 0 a 1; los cercanos a 1 indican un paisaje dominado por uno o varios tipos de cobertura mientras que los cercanos a 0 indican que las proporciones de cada tipo de cobertura son casi iguales. S=7 Elementos 1: rojo 2: amarillo 3: verde 4: fucsia 5: violeta 6: celeste 7: azul D pi 0,375 0,1125 0,1 0,20 0,125 0,075 0,0125 ln7 0,375 ln0,375 0,1125 ln0,1125 0,1 ln0,1 0,20 ln0,20 ln 7 0,125 ln0,125 0,075 ln 0,075 0,0125 ln 0,0125 0,139 El valor 0,139 está más cercano a 0 que a 1 por lo que de acuerdo a la definición de Dominancia en el paisaje elegido para el estudio predominan, por igual, distintas clases de cobertura. CONCLUSIONES Realizar actividades de este tipo en el aula no es una tarea imposible, si el docente de las materias básicas no está familiarizado con otras temáticas de la carrera le queda el recurso de la integración con docentes de otras disciplinas como la geografía o las ciencias naturales, que ofrezcan sus conocimientos y sus intereses en la matemática. Queda siempre dicho que la matemática como herramienta actúa en forma más poderosa que en el papel de una materia aislada y sin conexión con otras disciplinas. Brindar al alumno situaciones problemáticas donde deban relacionarse con la carrera a través de la matemática redundará en un beneficio para ellos, para el docente y para el proceso de aprendizaje. BIBLIOGRAFÍA Badii, M. H. y Abreu, J. (2006 a). Metapoblación, conservación de recursos y sustentabilidad. Daean, 1(1), 37-51. Página 318 de 632 Badii, M. H., Ruvalcaba, R. (2006 b). Fragmentación del hábitat: el primer jinete de Apocalipsis. Calidad Ambiental, XII (3), 8-13. 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Página 319 de 632 EXPLORACIÓN DE LAS CONCEPCIONES DE NUESTROS ALUMNOS SOBRE VARIABLES, FUNCIONES Y CAMBIOS Silvia Vrancken, Adriana Engler, Daniela Müller Facultad de Ciencias Agrarias - Universidad Nacional del Litoral - Argentina [email protected]; [email protected]; [email protected] Nivel educativo: Medio - Terciario - Universitario ciclo Básico Palabras clave: pensamiento matemático, variación, concepciones, dificultades Resumen En el marco de la Educación Matemática se han realizado en las últimas décadas un número considerable de investigaciones que tienen en cuenta la importancia del desarrollo del pensamiento como base de la actividad cognoscitiva. El pensamiento matemático, entendido como las formas en que piensan las personas que hacen matemática, se desarrolla a lo largo de la vida de los individuos y los procesos de enseñanza deberían tomar en cuenta esa evolución. En este contexto, los procesos de variación y cambio constituyen un aspecto de gran riqueza en el ámbito escolar. El estudio de las variables, las funciones y el cálculo diferencial, encarados desde el pensamiento variacional, son un campo de acción y formación permanente en la educación matemática. Conociendo que, en general, en nuestro sistema educativo las ideas relativas al cambio no son trabajadas en profundidad, decidimos explorar el estado del pensamiento y lenguaje variacional de nuestros alumnos, relativo a sus concepciones sobre nociones variacionales básicas al momento de enfrentarse al estudio del cálculo. En este trabajo se presentan los enunciados de algunas de las actividades preparadas con este fin y un análisis cualitativo de las respuestas que consideramos más significativas. Las mismas involucran modelos sencillos que se relacionan con situaciones cotidianas del alumno, especialmente las relacionadas con velocidad. Los resultados nos muestran que los alumnos presentan dificultades en cuestiones básicas, que generalmente damos por interiorizadas. Esto nos llama a reflexionar sobre qué enseñamos, cómo lo hacemos y de qué manera podemos cambiar esta situación. Introducción En el marco de la Educación Matemática se han realizado en las últimas décadas un número considerable de investigaciones con el propósito de explorar y entender cómo los seres humanos construyen conocimiento matemático. Si bien las mismas tratan múltiples problemáticas, aparece como punto en común el reconocimiento de la importancia de promover el desarrollo del pensamiento. En la actividad cognoscitiva del alumno intervienen muchos factores. Entre ellos, los conocimientos que éste posee y los procedimientos que realiza para obtenerlos, mezclándose también otros procesos psíquicos, como percepción, atención y memoria, pero el lugar central lo ocupa el pensamiento, de tal manera que se llega a entender “la formación de la actividad cognoscitiva como la formación del pensamiento en el alumno” (Dolores, 2007b, p. 66). Es común hablar y reflexionar sobre el pensamiento y otras funciones mentales en diversos ámbitos que abarcan desde la vida cotidiana hasta la psicología, pero es importante aclarar qué significa y qué trata el pensamiento matemático. Al usar esta expresión nos referimos a las formas en que piensan las personas que se dedican a la matemática, así como las maneras posibles de construir ideas matemáticas, incluidas las provenientes de la vida cotidiana. Los investigadores sobre el pensamiento matemático “se Página 320 de 632 interesan por caracterizar o modelar los procesos de comprensión de los conceptos y procesos propiamente matemáticos” (Cantoral, Farfán, Cordero, Alanís, Rodríguez y Garza, 2003, p. 18). Dado que la construcción del conocimiento matemático tiene muchos niveles y profundidades, el pensamiento matemático se desarrolla a lo largo de la vida de los individuos y los procesos de enseñanza deberían tomar en cuenta esa evolución. En contraposición a un pensamiento de nivel inferior que tiene lugar cuando el alumno recita información, emplea reglas o lleva a cabo una actividad rutinaria o repetitiva, la enseñanza debería lograr un pensamiento de nivel superior de modo que los alumnos manipulen información e ideas de manera que transformen los significados y sus implicaciones, permitiéndoles la resolución de problemas y el descubrimiento de nuevos significados. En los cursos superiores de la escuela y en la universidad se deberían considerar procesos cognitivos implicados en el pensamiento matemático avanzado, como abstracción, análisis, categorización, deducción, conceptualización, visualización, entre otros. En este contexto, los procesos de variación y cambio constituyen un aspecto de gran riqueza en el ámbito escolar. El estudio de las variables, las funciones y el cálculo diferencial, encarados desde el pensamiento variacional, colabora enormemente al desarrollo cognitivo de nuestros alumnos. Como parte del pensamiento matemático avanzado, el término pensamiento variacional se utiliza con la intención de profundizar un poco más en lo que se refiere a las funciones como modelos de situaciones de cambio. Comprende las relaciones entre la matemática de la variación y el cambio por un lado y los procesos del pensamiento por otro. A partir de lo expuesto y del análisis de distintos trabajos de investigación desarrollados en esta temática (Cantoral y cols., 2003; Dolores, 2007a; Dolores, Guerrero, Martínez y Medina, 2002) apoyamos la idea que el tratamiento, durante la enseñanza, de situaciones relacionadas con la variación y el cambio puede favorecer en gran medida la comprensión de las funciones, propiciando una mejor introducción a temas específicos del cálculo. Conociendo que, en general, en nuestro sistema educativo las ideas relativas al cambio no son trabajadas en profundidad, decidimos explorar el estado del pensamiento y lenguaje variacional de nuestros alumnos, relativo a sus concepciones sobre nociones variacionales básicas al momento de enfrentarse al estudio del cálculo. Para ello diseñamos e implementamos un cuestionario que presentamos en este trabajo. Presentación de actividades y análisis de resultados Las distintas actividades abarcan los conceptos de variable, función y cambio de cada una de las variables involucradas. Su resolución requiere representar variables, evaluar y graficar funciones, cuantificar cambios y analizar el comportamiento de esos cambios. Las situaciones se presentan en distintas representaciones: verbal, numérica, gráfica, analítica, y se constituyen en los medios para indagar las concepciones de los alumnos. Para su elaboración se tuvieron en cuenta las sugerencias presentadas en el documento de trabajo de Colombia, “Pensamiento variacional y tecnologías computacionales” (Ministerio de Educación Nacional, 2004) y las actividades presentadas por Dolores (1999, 2007b). Los modelos corresponden a funciones sencillas que se relacionan con situaciones cotidianas del alumno, especialmente las relacionadas con velocidad. Su implementación fue durante el segundo cuatrimestre de 2008 y participaron 137 alumnos cursantes de Matemática II de la Facultad de Ciencias Agrarias de la Universidad Nacional del Litoral. Los alumnos ya habían aprobado Matemática I, asignatura en la cual se desarrollaron ampliamente los contenidos correspondientes a funciones. Se presentan los enunciados de algunas actividades y un análisis cualitativo de las respuestas que consideramos más significativas, sobre un total de 76 trabajos, ya que para su resolución la mayoría de los alumnos se agruparon de a dos. Página 321 de 632 Actividad Supongamos que se está llenando un balde con agua. En esta situación de variación están involucradas diversas magnitudes, como por ejemplo el volumen del balde, es decir su capacidad total. Mencione otras magnitudes que intervienen (por lo menos tres). ¿Cuáles de esas magnitudes aumentan? ¿Cuáles disminuyen? ¿Alguna permanece constante? Esta actividad, como las dos siguientes, analiza una situación específica de variación y cambio desde un punto de vista cualitativo. Se solicita la identificación de las magnitudes que cambian y una descripción verbal escrita de su comportamiento. Si bien todos los alumnos, excepto uno, respondieron, se observaron dificultades para identificar magnitudes intervinientes en el problema. Hicieron referencia a propiedades físicas de los elementos involucrados, como el agua o el recipiente y hasta el medio ambiente. Aparecieron reiteradamente mencionadas, por ejemplo, presión del agua, temperatura (del agua o del ambiente), peso específico. Surgieron también dudas para responder si las magnitudes involucradas aumentan, disminuyen o se mantienen constantes, relacionando en muchos casos comportamiento de magnitudes. Por ejemplo, varios grupos escribieron: ―si la velocidad aumenta, disminuye el tiempo‖, o viceversa. Actividad Cada una de las siguientes gráficas muestra la posición e(t) de un auto en función del tiempo desde cierto punto de referencia. Determine cuál de ellas describe el caso de un auto que se mueve a velocidad constante. Explique. i) ii) iii) iv) Actividad Determine cuál de las siguientes gráficas muestra la velocidad con que se mueve el auto del problema anterior. Explique. i) ii) iii) iv) Página 322 de 632 La resolución de estas actividades exige que los alumnos pongan en juego sus concepciones sobre las trayectorias de cuerpos en movimiento y su velocidad a partir de la lectura de gráficas cartesianas espacio recorrido-tiempo y velocidad-tiempo. Al analizar las respuestas de los alumnos se observó que, de los 76 equipos, la mayoría eligió la opción correcta. En la primera, solamente tres equipos seleccionaron la primer opción, y en la siguiente, dos optaron por la segunda. Sí se presentaron dificultades para explicar la elección, ya que muchos justificaron repitiendo lo expresado en las consignas. Razonaron correctamente 40 equipos (53%). Actividad Los valores de la tabla dan la posición e (en metros) de un automóvil desde cierto punto de referencia, en el instante en que han transcurrido t segundos. t (segundos) e (metros) 0 17 1 34 2 51 3 68 4 85 5 102 a) ¿Qué valores puede tomar la variable independiente? ¿Y la variable dependiente? b) Teniendo en cuenta los valores de la tabla, ¿cómo varía la variable dependiente a medida que los valores de la variable independiente aumentan? c) Complete las siguientes tablas con el cambio entre dos valores consecutivos de la variable considerada. Escriba en cada casillero la operación que realiza. t e 0 cambio 17 cambio 1 2 cambio 34 cambio 3 cambio 51 4 cambio 68 cambio 85 cambio 5 cambio 102 cambio ¿Qué significado tienen las operaciones hechas en cada tabla? ¿Por medio de qué operación calculó los cambios? ¿Cómo fueron los cambios para cada una de las variables? La pregunta sobre qué valores pueden tomar las variables, espera indagar qué interpretan los alumnos de una función de la cual sólo se presentan algunos pares de valores. Las respuestas fueron variadas, observando dificultades para realizar este análisis. No lograron interpretar la consigna 11 equipos (14,5 % aproximadamente). En lugar de analizar los valores que pueden tomar las variables respondieron que la variable independiente es “t” y la dependiente es “e” o que la variable independiente son los segundos y la dependiente los metros. Cuatro equipos se refirieron a valores enteros positivos o enteros para ambas variables, mientras que otros cuatro supusieron que “t” y “e” toman solamente los valores de la tabla, dando como respuesta: ―La variable independiente toma los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5 y la variable dependiente 17, 34, 51, 68, 85, 102‖. En las demás respuestas se notó una consideración de la continuidad de las variables, si bien no todos aclararon el conjunto numérico. Las distintas respuestas se muestran en la siguiente tabla. Respuesta Cantidad de equipos La variable independiente toma valores reales positivos incluido el cero y la dependiente valores mayores o iguales a diecisiete. 15 Página 323 de 632 La variable independiente toma valores reales positivos y la dependiente valores mayores a diecisiete. La variable independiente puede tomar valores de cero a cinco mientras que la dependiente valores de diecisiete a ciento dos. Cualquier valor para ambas variables. Las dos variables pueden tomar cualquier valor positivo. Las dos variables toman valores reales positivos incluido el cero. La variable independiente toma cualquier valor real positivo y la dependiente cualquier valor real. 4 5 5 6 7 6 Cinco equipos no respondieron lo pedido, haciendo alusión a la relación de dependencia entre las dos variables y no a los valores que toma cada una. Por último, cuatro equipos consideraron al revés las variables, tomando “t” como la dependiente y “e” como la independiente. Actividad En la tabla se muestran las ganancias de una pequeña empresa en cada uno de los primeros cinco años de trabajo. Complete la tabla con el cambio de ganancia año a año. Año Ganancia (en miles de pesos) Cambio de ganancia 2000 2001 2002 2003 2004 2005 7 18 45 34 30 30 ¿En qué períodos la ganancia aumentó? ¿En qué períodos la ganancia disminuyó? ¿En qué períodos la ganancia no cambió? ¿Qué puede observar en la cantidad que representa el cambio para cada una de las situaciones anteriores? Los alumnos presentaron dificultades para responder a las preguntas. Las mismas estuvieron relacionadas con el tipo de situación, en la que se presenta la ganancia año a año. Consideramos que los problemas surgieron por el tipo de variables involucradas, esencialmente con la variable independiente. En general se trabajan situaciones en que el tiempo aparece como una variable continua. En ésta, aparece la variable temporal discreta, y la ganancia que se calcula anualmente. La variable independiente toma valores aislados (2000, 2001,...2005) y los alumnos no supieron cómo considerar los períodos. Con la pregunta sobre qué se puede observar en la cantidad que representa el cambio para cada una de las situaciones, pretendíamos que observen que se presentan cambios positivos y negativos y que relacionen esta particularidad con su significado en el problema, de manera de comenzar a pensar cuándo la función crece, decrece o se mantiene constante. Los alumnos tuvieron que ser orientados porque no entendían qué se les pedía. Asimismo no respondieron 10 grupos. Sólo cinco equipos expresaron que el cambio es positivo cuando la ganancia aumenta, negativo cuando disminuye y cero cuando la ganancia es la misma. Actividad Las gráficas muestran la posición s(t) de dos partículas desde cierto punto de referencia para determinado intervalo de tiempo. Página 324 de 632 a) Para cada una de las gráficas, explique qué sucede con una de las magnitudes a medida que varía la otra. b) Complete las tablas para cada función. Recuerde que la letra indica cambio de una cantidad, por lo que s significa el cambio de la variable s en el intervalo de t correspondiente. Intervalos 0t1 1t2 2t3 3t4 4t5 s Intervalos 0t1 1t2 2t3 3t4 4t5 s c) Describa el comportamiento de los cambios s para cada gráfica. Si corresponde, indique en qué intervalos los cambios de la variable dependiente fueron más rápidos. En esta actividad se presentan dos funciones definidas gráficamente. La resolución de los distintos incisos exige su interpretación y la traducción del registro gráfico al numérico y al coloquial. Abarca aspectos cualitativos y cuantitativos de la variación para las funciones. Ambos modelos presentan la dificultad de que la posición inicial no coincide con el origen, de manera que la variable dependiente ya no describe espacio recorrido sino desplazamiento desde el punto de referencia. En el caso de la primer función el análisis es más sencillo ya que se trata de una función de primer grado y, por lo tanto, de crecimiento constante en cada intervalo. La segunda gráfica tiene mayor grado de dificultad, ya que presenta imágenes negativas e introduce, a su vez, variaciones de espacio negativas. En el inciso a) se requiere una explicación sobre el comportamiento cualitativo de una magnitud a medida que varía la otra para cada una de las funciones. Para el caso de la primer función, 15 equipos respondieron que a medida que transcurre el tiempo, la posición aumenta. Seis contestaron de manera más general, escribiendo que a medida que una de las magnitudes aumenta la otra también aumenta. Otros 14 escribieron que a medida que aumenta el tiempo la posición aumenta en forma constante o la partícula avanza constantemente. Finalmente cuatro equipos expresaron que la partícula se aleja del punto de partida (o avanza) siempre a la misma velocidad. Varios equipos se refirieron a cuánto varían las variables. Las respuestas fueron: ―A medida que t aumenta tres, s(t) aumenta uno‖ (4); ―A medida que t varía en uno, s(t) lo hace en un tercio‖ (3); ―Se produce una variación de crecimiento constante de un tercio unidades por segundo‖ (1). Destacamos que muchos equipos hacen alusión a una relación de proporcionalidad entre las variables. Nueve equipos respondieron directamente―la posición de la partícula varía proporcionalmente con el tiempo‖. Otros casos (10) expresaron que a medida que el tiempo Página 325 de 632 aumenta, aumenta proporcionalmente la posición. Estos últimos nos dan lugar a dudas sobre lo que quisieron expresar en sus respuestas, pero por lo observado y escuchado durante el trabajo en clase podemos decir que, dado que la gráfica es una recta, consideran directamente que las variables posición y tiempo son proporcionales. Un solo equipo no respondió la pregunta. Con respecto a la segunda función, se esperaba que los alumnos respondan que a medida que el tiempo aumenta, la posición cambia de manera distinta (disminuye o aumenta) y distinta cantidad. Utilizando diferentes expresiones, 50 equipos (66%) dieron una respuesta de este estilo. Tres equipos no respondieron y las respuestas que consideramos incorrectas estuvieron caracterizadas en general por ser muy imprecisas (por ejemplo: ―La partícula se mueve irregularmente a través del tiempo‖). En el inciso b) de la misma actividad debían completar las tablas con los valores s para intervalos de tiempo de una unidad de amplitud para cada una de las funciones. Completaron bien ambas tablas 51 equipos. El mayor problema fue la falta de reconocimiento de la importancia en el orden de su cálculo (valor final menos valor inicial). Al no distinguir las diferencias entre variaciones positivas y negativas, completaron de manera correcta la primer tabla y, en la segunda, todos los valores positivos, aunque bien en valor absoluto (ocho equipos). Se observó además que algunos no supieron cómo expresar la diferencia entre cambios positivos y negativos, escribiendo por ejemplo, en la segunda tabla ―disminuye uno‖, ―aumenta siete‖. Otro error que apareció en algunos trabajos es que confundieron cambio de posición con la posición en el instante final del intervalo. En la primer parte del inciso c) los alumnos debían describir el comportamiento de los cambios de la variable dependiente para cada función. Un buen porcentaje de alumnos respondió correctamente. Para la primera función se obtuvieron 49 respuestas correctas (64%). La mayoría expresó que los cambios son iguales o se mantienen constantes, agregando, en algunos casos, el valor de los cambios. Con respecto a las respuestas incorrectas, la mayoría estuvo relacionada con la confusión entre posición y cambios de posición. Escriben: ―aumentan constantemente‖, ―son constantes y aumentan un tercio por vez‖, ―a medida que aumenta t, aumenta s en un tercio de unidad‖. Destacamos también que vuelven a aparecer expresiones que hacen referencia a la proporcionalidad entre las variables: ―son proporcionales‖, ―el tiempo es proporcional a la posición de la partícula‖. Para la segunda función se obtuvo menor número de respuestas correctas. Sólo 36 equipos (47%) respondieron que los cambios no son iguales, son irregulares o varían. Cuatro equipos contestaron que los cambios pueden ser positivos o negativos, lo cual no es incorrecto, pero sí incompleto. Las respuestas incorrectas vuelven a referirse al comportamiento de la variable dependiente y no de sus cambios. Escribieron por ejemplo: “en el intervalo de cero a cuatro disminuye y en el intervalo de cuatro a cinco aumenta‖, ―para 0 t 4 decreciente y para 4 t 5 creciente‖. En relación a la última pregunta, acerca de los intervalos en que los cambios fueron más rápidos, para pensar en rapidez de cambio es necesario encontrar primero la razón de cambio promedio, lo que implica calcular los cambios de la variable dependiente en relación con los de la variable independiente. Si bien este tema no se desarrolló todavía en clase, se pretendía analizar si los alumnos son capaces de realizar una interpretación numérica (a través de la tabla) o gráfica, comparando el espacio recorrido en intervalos de igual longitud. La respuesta dada por 47 equipos fue que los cambios más rápidos se pueden analizar en la segunda gráfica y ocurren en el intervalo que va desde cuatro hasta cinco. Ocho grupos expresaron que para 2 t 3 y 3 t 4 disminuye más rápido y para 4 t 5 avanza mucho más rápido. Si bien no responden lo pedido, muestra una diferenciación del significado teniendo en cuenta el signo de los cambios. Nueve equipos no respondieron esta pregunta. Página 326 de 632 Consideraciones finales Al iniciar el estudio de temas relacionados a la variación, tales como razón de cambio, derivada, análisis y graficación de funciones, entran en juego conocimientos variacionales que frecuentemente tendemos a naturalizar en nuestro discurso. Damos por interiorizadas nociones como, por ejemplo, intervalo, constante, variable, magnitud, variación, razón. Los resultados obtenidos en las distintas actividades nos muestran que muchos alumnos presentan dificultades a pesar de haber desarrollado estos contenidos desde los primeros años de su educación formal. Los mismos problemas han sido detectados por diversos autores (Dolores y cols., 2002; Valero, 2003) que han investigado temas relacionados con las variables, las funciones y la variación. Coincidimos con ellos en que, entre los factores que provocan su aparición, podemos considerar las formas de enseñanza que, según nuestra experiencia docente, no tienen en cuenta la importancia de presentar situaciones de variación, tanto cotidianas como provenientes de la matemática, de manera de beneficiar el desarrollo del pensamiento variacional en los alumnos. Por ejemplo, el modelo correspondiente a la función de primer grado y el caso particular de la función de proporcionalidad directa son elementales y los primeros que se desarrollan en la escuela. Observamos en varias situaciones que los alumnos no distinguen claramente las diferencias entre uno y otro. El tratamiento de estas dificultades requiere un cambio de postura. En lugar de sólo presentar la definición y ejemplos o aplicaciones correspondientes a cada función por separado, es posible trabajar desde distintos registros los aspectos relacionados con la variación. Mediante la confección de tablas y gráficos los alumnos pueden descubrir lo que tienen en común, es decir el hecho de que el cambio de la función para distintos intervalos es constante, lo que implica que en la gráfica los puntos queden alineados, así como también las diferencias, el valor constante añadido, que implica el traslado sobre el eje de ordenadas. Los resultados obtenidos nos movilizaron a reflexionar, ya que el tema funciones fue tratado en el cuatrimestre anterior al que se presentó este cuestionario a los alumnos. En el esfuerzo de superar las dificultades, consideramos importante el desarrollo de acercamientos variacionales, previo al inicio del estudio de temas específicos del cálculo. Las nociones relacionadas con el cambio son muy intuitivas y susceptibles de ser abordadas por los alumnos desde los primeros años de escolaridad. El diseño e implementación de propuestas didácticas que contemplen a la variación como una temática transversal a distintos contenidos en todos los niveles favorecerá el desarrollo del pensamiento del alumno y contribuirá a proporcionarle una base matemática sólida. Bibliografía Cantoral, R., Farfán, R., Cordero, F., Alanís, J. Rodríguez, R. y Garza, A. (2003). Desarrollo del pensamiento matemático. México: Trillas. Dolores, C. (1999). Una introducción a la derivada a través de la variación. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Dolores, C. (2007a). La derivada y el Cálculo. Una mirada sobre su enseñanza por medio de los textos y programas. En Dolores, C.; Martínez, G.; Farfán, R.; Carrillo, C.; López, I. y Navarro, C. (Eds.). Matemática Educativa. Algunos aspectos de la socioepistemología y la visualización en el aula. (pp. 2-25). México: Ediciones Díaz de Santos. Dolores, C. (2007b). Elementos para una aproximación variacional a la derivada. México: Universidad Autónoma de Guerrero. Ediciones Díaz de Santos. Dolores, C.; Guerrero, L.; Martínez, M. y Medina, M. (2002). Un estudio acerca de las concepciones de los estudiantes sobre el comportamiento variacional de funciones elementales. En Crespo, C. (Ed.) Acta Latinoamericana de Matemática Educativa,15 (1) (pp. 73 – 84). México: Grupo Editorial Iberoamérica. Página 327 de 632 Ministerio de Educación Nacional (2004). Pensamiento variacional y tecnologías computacionales. Colombia: Enlace Editores Ltda. Valero, M. (2003). Estabilidad y cambio de concepciones alternativas acerca del análisis de funciones en situación escolar. Tesis de doctorado. CICATA-IPN, México. Extraído el 3 de Marzo de 2008 desde http://www.matedu.cicata.ipn.mx/tesis/doctorado/valero_2003.pdf. Página 328 de 632 LAS FIGURAS DE ANÁLISIS. UN RECORRIDO HISTÓRICO Mónica Lorena Micelli, Cecilia Rita Crespo Crespo I.S.P. “J. V González”, C.A.B.A., Argentina [email protected] - [email protected] Nivel educativo: Medio - Terciario Palabras clave: figuras de análisis, historia, geometría Resumen En la comunicación se hará un recorrido histórico de las figuras de análisis en diferentes documentos matemáticos pertenecientes a variadas culturas y épocas. En la investigación que se está realizando, se busca dar respuesta a una serie de preguntas que tienen su origen en una problemática detectada en la dificultad de los alumnos de nivel terciario al usar figuras de análisis, especialmente en la materia geometría. Durante las clases puede observarse que los estudiantes no representan correctamente los datos dados en los enunciados de un problema o toman figuras que representan casos particulares, obviando situaciones generales llegando a conclusiones erróneas o incompletas. La investigación se enmarca dentro de los lineamientos de la construcción social del conocimiento matemático. Se ha elegido esta línea de investigación porque en ella se considera a la matemática no sólo como un saber sino que se la ubica en un escenario donde se juegan variables sociales, además de las variables didácticas, cognitivas y epistemológicas. Por lo tanto el marco teórico elegido es la socioepistemología. Para acercarnos a una posible respuesta de una de las preguntas que se plantean en la tesis: ¿Cómo surge el uso de las figuras de análisis en el ámbito escolar?, se presentará parte del relevamiento histórico en busca de figuras de análisis en trabajos de matemáticos pertenecientes a diferentes culturas, en distintas épocas históricas. Introducción a investigación se enmarca dentro de los lineamientos de investigación de la construcción social del conocimiento matemático. Se ha elegido esta línea porque en ella se considera a la matemática no sólo como un saber sino que la ubica en un escenario donde se juegan variables sociales, además de las variables didácticas, cognitivas y el “saber sabio” (Chevallard, 1997). El marco teórico concuerda con la línea de investigación mencionada, la socioepistemología. Dentro de este marco se tendrá en cuenta los cuatro componentes que lo conforman: lo epistemológico, lo cognitivo, lo didáctico y lo social. ¿Cómo surge el uso de las figuras de análisis en el ámbito escolar? Para acercarnos a una posible respuesta este interrogante que forma parte de una de las preguntas que se han planteado en la instigación, se ha realizará un relevamiento histórico en busca de figuras de análisis o aproximaciones de las mismas en trabajos de matemáticos pertenecientes a diferentes culturas, en distintas épocas históricas y acercarse así a un enfoque epistemológico del objeto de estudio de este trabajo; las figuras de análisis. Entendiéndose por figuras de análisis aquellos dibujos que pueden ser realizados a mano alzada, sin rigurosidad geométrica en donde se vuelcan la información dada como primer paso ya sea para resolver un problema geométrico, demostrar un teorema o realizar una construcción. No se pretende hacer una evolución histórica completa y minuciosa de las figuras de análisis sino analizar el uso de estas figuras en distintas épocas de la historia y como el uso de las mismas en cada civilización esta relacionada con su propia cultura. Página 329 de 632 1. Egipto antiguo Así es que se encuentra en el antiguo Egipto diversos papiros, verdaderos testimonio de cómo resolvían estos pueblos los problemas geométricos. De estos papiros se tomaran algunos problemas a modo de ejemplo para analizar las figuras que aparecen junto a los problemas. Uno de los principales documentos matemáticos egipcios que han llegado hasta nuestros días, es el Papiro de Rhind o Ahmes que data de aproximadamente de 1650 a.C. Entre su lista de 87 problemas se encuentra, en particular, el problema número 48: “Comparar el área de un círculo con la del cuadrado circunscrito.” (López, 1997a) Figura 1: Problema 48 del Papiro Rhind o de Ahmes Es así como identificamos, en la parte superior, un dibujo que presenta bastante imprecisión pero que responde a la definición que se ha dado de figura de análisis. Pues la figura que se encuentra en el interior de este cuadrado no corresponde precisamente a un círculo del cual hace referencia el problema pero es suficiente para dar una idea de éste y a partir de la figura comenzar un análisis sobre la misma y avanzar en la resolución del problema hasta llegar a la correcta solución. En el Papiro de Moscú, en el problema número catorce encontramos otro ejemplo. A partir de los datos que se observan, dice López (1997b) “En este problema se pide calcular el área de la figura, que parece ser un trapecio isósceles, pero realmente se refiere a un tronco de pirámide cuadrangular.” Y continua diciendo “(…) parece ser que lo que se busca es calcular el volumen del tronco de pirámide cuadrangular de altura 6 y bases superior e inferior de 2 y 4”. Figura 2: Problema 14 del Papiro Moscú Y aunque se pide el volumen de la pirámide truncada puede verse en la imagen el trapecio, en cuyo interior y alrededores puede diferenciarse signos hieráticos que corresponden a las dimensiones que se dan como datos del problema. Dicho trapecio es la figura obtenida tras realizar un corte transversal al cuerpo del cual se quiere calcular su volumen, lo que implica un abstracción y una visualización del cuerpo con el que se está trabajando. 2. Civilización Sumeria Del mismo modo se puede encontrar ejemplos del empleo de figuras al momento de resolverse un problema en las tablillas pertenecientes a los distintos pueblos que ocuparon la Mesopotamia Asiática. Varios de estos documentos muestran figuras geométricas donde los datos dados en el problema pueden observarse dentro de la figura, se puede asumir que sirvieron de herramienta para visualizar el problema, analizar los datos dados y la razonar para hallar la solución requerida. Página 330 de 632 Figura 3: Aproximación de 2 Figura 4: Tablilla YBC 72 En figura 3 puede observarse un cuadrado de lado 30 con una de sus diagonales dibujadas y sobre ella los símbolos cuneiformes que corresponden a los 1.24.51.10 y 42.25.35 (reacuérdese que el sistema de numeración de estos pueblos es de base 60). Maza Gómez de la Universidad de Sevilla propone que esta última expresión (42;25.35) es una aproximación de 2 . Pero esta gráfica no es casual pues otro ejemplo similar se presenta, como puede verse en la figura 4, en la tablilla YBC 72 (perteneciente a la Yale Babylonian Collection), que se encuentra fechada entre el 1900 a.C. y el 1600 a.C. los datos se presentan de la misma forma que el caso anterior. En la figura 4 puede observarse la irregularidad del dibujo geometrioc ya que los segmentos internos darían la idea de diagonal pero es notorio que sus extremos no coinciden con los vértices del cuadrado. 3. India De la matemática india tomaremos las copias de los manuscritos de Bhaskara I (600-680) para hacer referencia a las figuras de análisis. En su obra “Aryabhatiyabhas”, el autor presenta además de definiciones matemáticas, diferentes problemas donde se pide calcular el área de figuras geométricas como triángulo, trapecio, círculo; el volumen del tetraedro y la esfera entre otros problemas de aritmética. Podrá notarse en las imágenes que siguen que los manuscritos presentan figuras realizadas con gran falta de precisión, tratándose de un escrito geométrico. Es probable que estas figuras solo sirvieran de análisis para la interpretación del problema planteado y no pretendiera el autor hallar una solución geométrica. Figura 5: Representaciones de Bhaskara l: problemas de un trapecio y longitud de los segmentos interiores (verso 8) Y para terminar esta elección que se ha hecho de los problemas hindúes, se ha elegido un problema que fue conocido por varias civilizaciones como es el Teorema de Pitágoras. A continuación se presenta un diagrama de Bhaskara I, en el cual puede notarse que se trata de una figura de análisis pues los cuatro triángulos rectángulos que tienen sus lados incluidos en los lados del cuadrado original deben ser congruentes si se tratara de una construcción geométrica con la cual se intentara demostrar el teorema. A simple vista, puede notarse que no Página 331 de 632 lo son, al igual que los otros cuatro triángulos rectángulos del interior, todos ellos están representando una idea. Figura 6: Bhaskara I: diagrama asociado al teorema de Pitágoras 4. China Para tomar una figura a modo de ejemplo de una de las culturas de Oriente, se eligió como docuemnto “Jiuzhang suànshù ou Chiu Chang Suan Shu ou”, también conocido como los “Nueve capítulos del arte de la Matemática”, texto de gran importancia en oriente pues se utilizó como manual de enseñanza más allá de las fronteras de China por más de 1600 años. Contiene 246 problemas que lo conforman junto a la explicación del método empleado para resolverse o la respuesta. Por ejemplo, la figura que analizaremos corresponde al problema 13 que pertenece al Capítulo IX donde se estudian los triángulos rectángulos. Problema 13: “Hay un bambú con 1 zhang de altura, se partió y la parte de la cima toca el suelo a 3 chih de la base del bambú. ¿A qué altura se quiebra? Solución: 4 +11/20 chi” (Traducido de Lagarto, 2002). Como puede verse en la figura 7, podemos ver que se presenta una figura de análisis para la mayor comprensión del problema, en donde se representa la situación planteada en el enunciado del problema. Figura 7: Ilustración de Yang Hui 5. Grecia De la matemática desarrollada en Grecia, no se tomará para recorrido histórico un del este problema 13 (1261) documento que presente figuras en la resolución de problemas, como en los casos anteriores, sino un documento que trasmite en sus dichos el empleo y la utilidad de las mismas en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Más precisamente, el documento que se analizará es una de las obras de Platón (427 a. C./428 a. C. – 347 a. C.), mas no se puede dejar de mencionar que Platón poseía una posición idealista de los objetos matemático, razón por la cual algunos de sus comentarios son como el siguiente: “los razonamientos que hacemos en geometría no se refieren a las figuras visibles que dibujamos, sino a las ideas absolutas que ellas representan” (Boyer, citado en Sigarreta, Rodríguez y Ruesga, 2006, p.55). A pesar de esta posición idealista, al leer varios fragmentos del diálogo llevado a cabo entre Sócrates y el esclavo o servidor de Menón (según la traducción de la obra “Menón”), Platón, a través del personaje de Sócrates, hace uso de los dibujos para hacer comprender estas propiedades pertenecientes a los objetos matemáticos, en este caso preciso, el cuadrado. En dicho diálogo, se encuentra un fragmento que comprende una serie de preguntas que Sócrates va realizando al servidor con la intención de guiarlo para que él pueda encontrar la solución a Página 332 de 632 un problema geométrico que se le presenta con el fin mostrarle a Menón que no es lo mismo aprender que recordar. El problema señalado es construir un cuadrado que tenga como área el doble de la de un cuadrado conocido, que tiene como lado dos pies. “SÓC. –– (Al servidor.) Dime entonces, muchacho, ¿conoces que una superficie cuadrada es una figura así? (La dibuja.)‖ (Platón, 2002, p. 16) Se puede considerar que este dibujo se trata de una figura de análisis pues todas las preguntas que va realizando Sócrates están basadas en la observación de este dibujo, realizado por él, para que el servidor pudiera razonar sobre ella y hallar la respuesta correcta. Luego de calcular el área del cuadrado dibujado, Sócrates presenta el problema de esta manera: ―SÓC. –– ¿Y podría haber otra superficie, el doble de ésta, pero con una figura similar, es decir, teniendo todas las líneas iguales como ésta? Las primeras respuestas dadas por el servidor de Menón, son en un principio incorrectas ya que el lado cuadrado que tendrá como área el doble del área dada (ocho pies) responde que debe tener cuatro pies, es decir el doble del lado del cuadrado conocido. Sócrates le muestra que su respuesta es incorrecta con otra figura sobre la cual seguirá el análisis. SÓC. –– Dibujemos, pues, a partir de ella, cuatro iguales. ¿No sería ésa la superficie de ocho pies que tú afirmas?‖ (Platón, 2002, pp. 17-18). Se puede ver a través de estos fragmentos la importancia que tiene una imagen, una figura de análisis, en la comprensión de un problema. Es cierto que sin las preguntas de Sócrates tal vez el servidor hubiese seguido pensando que su primera respuesta era la correcta, pero dichas preguntas no podían haber sido respondidas sin un dibujo que sirviera de soporte para el análisis de los interrogantes que se le planteaban al servidor de Menón. Luego sería su discípulo, Aristóteles (384 a. C.–322 a. C.), quien sería uno de los primeros pensadores en considerar el papel que poseen las imágenes mentales, sosteniendo que “el pensamiento es imposible sin una imagen” (Aristóteles, citado por P. Cruz, 2000,30). 6. Siglos XVII y XVIII El hallazgo más importante que podemos realizar en este recorrido histórico de las figuras de análisis se encuentra recién iniciando el siglo XVIII, en el tratado “Reglas para la Dirección de la mente” (publicado post mortem en 1701, en “Obras Póstumas”) en donde Descartes (1596– 1650) estableció las pautas de su método para la resolución de problemas. En este tratado se hace referencia a un total de veintiuna reglas donde el autor explica los pasos a seguir para resolver un problema siguiendo un riguroso método que él describe detalladamente. Entre ellas, existen algunas reglas que hacen referencia a las figuras, entendiendo por figura “el límite del objeto extenso”, como lo define el propio Descartes, durante la explicación de la regla XII (1983, p. 207). Más precisamente, las reglas que pueden relacionarse con las figuras de análisis son las que se transcriben y analizan a continuación: “REGLA XIV: La misma regla debe aplicarse a la extensión real de los cuerpos y propuesta por entero a la imaginación con ayuda de figuras puras y desnudas: de esta manera, en efecto, será comprendida con mucho mayor distinción o claridad por el entendimiento” (Descartes, 1983, p. 229). Aunque en ella, no se da el término preciso de “figuras de análisis” podemos conjeturar que estas figuras simples tienen la misma finalidad, ya que en la regla XII también definió, el matemático, que ha de llamar “cosas simples” a aquellas que son puramente intelectuales haciendo alusión a la idea de un término o las puramente materiales en las cuales incluye a las figuras, la extensión, entre otros (Descartes, 1983). Por lo tanto estas “figuras simples” deben de ser lo más claras posibles para poder a partir de ellas hallar la solución al problema por ello es que la asociamos a nuestro tema de estudio, “las figuras de análisis”. Página 333 de 632 “REGLA XV: Es también útil el trazar de ordinario esta figuras y presentarlas a los sentidos externos, a fin de que sea más fácil por este medio mantener atento nuestro pensamiento” (Descartes, 1983, p. 245). En la representación de las figuras simples, Descartes pone énfasis en la visualización de los datos que intervienen para poder resolver el problema, dándole un papel importante para lograr llegar a una correcta solución pues como explica en la regla anterior, que es por medio a dichas figuras que uno puede formarse una idea, más continua con una advertencia importante para la problemática que dio origen a este trabajo de investigación. Volviendo a Descartes continua diciendo: “de (las figuras) sus diversas e innumerables especies, emplearemos aquí solamente aquellas por cuyo medio se expresan más fácilmente las proporciones” (Descartes, 1983, p. 242). Por eso, estas figuras deben ser tan simples que no deben dejar lugar a la existencia de suposiciones que acarrearían una deducción racional errónea. “REGLA XVI: Las cosas, empero, que no requieren una atención actual o inmediata de la inteligencia, aun cuando sean necesarias para la conclusión, vale más designarlas por las notaciones más breves que por medio de figuras enteras: de esta manera la memoria no podrá equivocarse y no obstante, durante este tiempo, el pensamiento no se distraerá en el intento de retenerlas, mientras se aplica a otras deducciones” (Descartes, 1983, p. 247). En esta regla, lo que marca Descartes no es sólo un camino a recorrer en el uso de las figuras, sino que detalla la forma de presentar las notaciones, según él más breves de llevar una idea sobre el papel, a utilizar en la resolución del problema, a saber: “nos serviremos de las letras a, b, c, etc. para expresar las magnitudes ya conocidas, y de las letras A, B, C, etc., para expresar las desconocidas.” Así como también señala la forma de indicar la frecuencia o las relaciones que se presentan, con el fin no sólo de economizar palabras sino también de presentar a la vista toda la información útil con una lectura sencilla o simple. Por otro lado si se hace referencia al siglo XVII, el cálculo “nace con un componente muy fundamentalmente visual y así se mantiene en su desarrollo a lo largo de los siglos siguientes, en interacción constante con problemas geométricos y físicos” (de Guzmán, 1996). Se encontró que "Lagrange ha expresado con énfasis su creencia en la importancia para el matemático de la facultad de observación; Gauss ha llamado a la matemática una ciencia del ojo..." (Silvestre, citado por de Guzmán, 1996). 7. Edad Contemporánea Henri Poincaré (1854–1912) en su libro “Fundamentos de la Geometría” dedica todo un apartado a el empleo de las figuras, en el explica las razones de porque no se puede estudiar geometría sin figuras y se debe a que antes de estudiar Geometría uno ya ha tenido experiencias que implican las nociones de espacio sensible. No se estudian las figuras sino que éstas sirven de instrumento para estudiar la geometría. Además, Poincaré agrega: “Hemos adquirido la facultad de representarnos las experiencias geométricas familiares, sin ser obligados a haber recurrido a sus reproducciones materiales; pero todavía no hemos deducido conclusiones. ¿Cómo lo haremos? Ante de enunciar la ley, representaremos la experiencia en cuestión de una manera perceptible, despojándola también, lo más completamente posible, de todas las circunstancias accesorias o perturbadoras, exactamente como un físico elimina en sus experiencias las fuentes de errores sistemáticos. Aquí es donde las figuras son necesarias, pero ellas son un instrumento a penas menos grosero que la tiza que sirve para trazarlas, y lo mismo que los objetos materiales no pueden ser representados en el espacio geométrico que constituye el objeto de nuestros estudios, no podemos reprensárnoslos sino en el espacio sensible” (Poincaré, 1948, pp.92-93). Poincaré se refiere a despojar la representación de todas aquellas circunstancias secundarias, lo mismo que Descartes, siglos atrás, reflejaba en su regla XIV al referirse a figuras desnudas o Página 334 de 632 simples. Ambos pensadores dan importancia en la resolución de problemas a la utilización de figuras que sirvan de instrumento para razonar sobre ellas. Y para terminar este breve recorrido histórico sobre la utilización de figuras de análisis por parte de los matemáticos, se harán propias las palabras de Rey Pastor (1888–1962): “Hasta los matemáticos que mayor don de abstracción poseen, como el mismo Hilbert, confiesan que, sin la preciosa guía de la intuición geométrica, sin las figuras, no lograrían demostrar los teoremas algo complicados sobre continuidad de funciones, sobre puntos de condensación, etc. Con palabras del mismo Hilbert „los signos y fórmulas de la Aritmética son figuras escritas, y las figuras geométricas son fórmulas dibujadas; ningún matemático podría prescindir de estas fórmulas dibujadas, como no podría realizar sus cálculos sin paréntesis ni signos operativos‟” (Rey Pastor, 1916, p. 18). A modo de comentario final Este recorrido histórico tiene como fin presentar distintos escenarios socioculturales en donde la matemática se desarrolló, estas ideas “por su carácter sociocultural, son el reflejo y producto de un determinado escenario” (Crespo Crespo, 2007, 68). Es interesante notar que aún en las distintas visiones de la matemática, (tanto con finalidad práctico o con un fin en sí misma), puede encontrarse el empleo de figuras de análisis en muchos escenarios socioculturales de la matemática a través de la historia en la resolución de problemas (empíricos o teóricos) aunque estos dos aspectos pueden influir en el tipo de figura ha realizar. Referencias bibliográficas Cantoral, R y Farfán R. (2003). Matemática educativa: una visión de su evolución. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 6 (1), 27-40. Chevallard, Y., Bosch, M., y Gascón, J. (1997). Estudiar matemáticas: El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje. Horsori Editorial. Crespo Crespo, C. (2007). Las argumentaciones matemáticas desde la visión de la socioepistemología. Tesis de Doctorado no publicada, Cicata - IPN, México. Descartes, R. (1983). Reglas para la dirección de la mente (de P. Samaranch, F., Trad.). Barcelona, España.: Gráficas Ramón Sopena, S.A. (Trabajo original publicado en 1701). de Guzmán, M. (1996). El papel de la visualización. En de Guzmán, El Rincón de la Pizarra. Pirámide, Madrid. Recuperado el 13 de marzo de 2009, de http://www.mat.ucm.es/~angelin/labred/visrincon/00indice.htm Lagarto, M. J. (2002). Historia da Matemática - historia dos problemas Bhaskara I (600680). Recuperado el 10 de febrero de 2009, de http://www.malhatlantica.pt/mathis/India/bhaskaraI.htm. Última actualización 15-06-2008. López, F. (1997a). Las Matemáticas en el Antiguo Egipto. El papiro de Moscú. La Tierra de los Faraones. Egiptologia.org. Recuperado el 9 de febrero de 2009, de http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_moscu.htm López, F. 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Recuperado el 22 de marzo de 2008, de http://www.ma.usb.ve/~bolamv/conten/vol13/pruesga.pdf Figura 1: Imágenes tomadas de http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_rhind.htm. Figura 2: Imagen tomada de http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_moscu.htm. Figura 3: Imagen tomada de http://personal.us.es/cmaza/mesopotamia/plimpton.htm. Figura 4: Imagen tomada de http://www.fisicamente.net/FISICA/index-1540.htm, perteneciente a Da Pichot. Figura 5: Imagen tomada de http://www.malhatlantica.pt/mathis/India/BhaskaraI1.htm#Verso_6. Figura 6: Imagen tomada de http://www.malhatlantica.pt/mathis/India/bhaskaraI.htm. Figura 7: 1 chih = 10 cun, 1 zhang = 10 chih. Figura 8: Imagen tomada de http://www.malhatlantica.pt/mathis/china/Nove9.htm#Problema%202. Página 336 de 632 LA FORMACIÓN DE PROFESORES EN MATEMÁTICA. VISIÓN DE LOS ESTUDIANTES SOBRE LOS DIFERENTES SUBSISTEMAS Autoras: Elisa Petrone (1), Natalia Contreras (1), Patricia Mascó (1), Natalia Sgreccia (1 y 2). Instituciones: (1) Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura de la Universidad Nacional de Rosario, Argentina. (2) Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, Argentina. Direcciones electrónicas: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] Nivel educativo: Terciario – Universitario. Palabras clave: Formación docente – Sistema formador – Profesores en Matemática. Resumen El presente trabajo surge en el desarrollo de un proyecto de investigación sobre Formación de Profesores en Matemática. La Formación de Profesores es un tema relevante, tanto en el área Educación Matemática como en las políticas educativas actualmente en proceso de implementación en nuestro país, a partir de la Ley Nº 26.206, de Educación Nacional. En la República Argentina coexisten dos subsistemas formadores, dependientes de diferentes jurisdicciones gubernamentales: el nacional –Universidades– y los provinciales –Institutos de Formación Docente (IFD)–. El recientemente creado Instituto Nacional de Formación Docente (INFD) tiene entre sus funciones la puesta en marcha de políticas de articulación del sistema de formación docente inicial y continua. En tal sentido resulta de interés conocer características relevantes de cada uno de los subsistemas a efectos de potenciar las acciones destinadas a tal fin. Como toda cuestión compleja, las indagaciones sobre el tema pueden abordarse desde diversos puntos de vista, a partir de los cuales se construyen diferentes aproximaciones al estudio de la problemática. En búsqueda de información, que permita establecer algunas concordancias y aspectos diferenciadores de las formaciones ofrecidas por Universidad e IFD, se recogen y analizan opiniones de ocho estudiantes, cada uno de los cuales son o han sido alumnos de ambos subsistemas. La pertinencia de esta perspectiva está dada por las numerosas experiencias de los estudiantes a lo largo de la actividad en cada una de las instituciones educativas transitadas, que les brindan una visión integral de las realidades parciales del sistema formador. 1. Presentación contextual de la problemática La Formación de Profesores es un tema relevante, tanto en el área Educación Matemática como en las políticas educativas actualmente en proceso de implementación en nuestro país, a partir de la Ley Nº 26.206, de Educación Nacional. En la República Argentina coexisten dos subsistemas formadores, dependientes de diferentes jurisdicciones gubernamentales: el nacional –Universidades– y los provinciales –Institutos de Formación Docente (IFD)–. La autonomía universitaria y las diferentes implementaciones que cada jurisdicción provincial efectúa de las directrices globales pautadas desde el Ministerio de Educación (ME) de la Nación determinan una marcada falta de cohesión, que acarrea diferencias en las formaciones brindadas a los futuros profesores. El recientemente creado Instituto Nacional de Formación Docente (INFD) tiene entre sus funciones la puesta en marcha de políticas de articulación del sistema de formación docente inicial y continua. Página 337 de 632 Resulta así de interés conocer características relevantes de cada uno de los subsistemas, a efectos de potenciar las acciones que se implementen en el marco de tales políticas. 2. Caracterización del trabajo El trabajo se encuadra en el Proyecto de Investigación “La Formación de Profesores en Matemática para la Educación Secundaria y Superior”, radicado en la Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura (FCEIA) de la Universidad Nacional de Rosario (UNR) desde el año 2008 e integrado, en su mayoría, por un equipo conformado a fines del año 2005, en otro proyecto de investigación que analizó la Formación de Profesores en Matemática brindada por la mencionada facultad. Según reconocidos referentes en Educación Matemática (Borba, 2006), la formación de profesores es actualmente uno de los temas más relevantes dentro del área y, como toda cuestión compleja, las indagaciones sobre este tema no traen respuestas simples; por el contrario, pueden abordarse desde diversos puntos de vista a partir de los cuales se construyen diferentes aproximaciones al estudio de la problemática. Teniendo en cuenta que uno de los componentes esenciales en los procesos educativos son los estudiantes, se ha elegido abordar la problemática desde una perspectiva basada en sus vivencias y opiniones. Esta perspectiva se considera de valor en este tipo de investigaciones por las numerosas experiencias de los estudiantes a lo largo de su trayecto de formación, que les brindan una visión integral de la realidad del sistema formador. 3. Algunos referentes teóricos El ME e INFD establecen, en los Lineamientos Curriculares Nacionales para la Formación Docente Inicial (ME e INFD, 2008), las capacidades que deben promoverse en la formación de los docentes, entre otras: dominar los conocimientos a enseñar y actualizar su propio marco de conocimiento teórico; adecuar, producir y evaluar contenidos curriculares; identificar las características y necesidades de aprendizaje de los alumnos como base para su actuación docente; organizar y dirigir situaciones de aprendizaje [...]; concebir y desarrollar dispositivos pedagógicos para la diversidad asentados sobre la confianza en las posibilidades de aprender de los alumnos; tomar decisiones sobre la administración de los tiempos y el ambiente del aula [...]; trabajar en equipo con otros docentes [...] (pp. 26-27). Las componentes del conocimiento profesional docente, en particular de Matemática, y la forma en que se generan es motivo de estudio y análisis por parte de numerosos investigadores. Al respecto Azcárate Goded (2005) señala: “La Formación del Profesor es hoy uno de los temas de especial actualidad, dado el tiempo cambiante y de continua reforma a la que nos enfrentamos. En relación con ello, el diseño y desarrollo de procesos de formación en los diferentes momentos de su vida profesional, es un objeto de investigación significativo” Según Villella (2001) las tendencias formativas del futuro Profesor en Matemática corresponden principalmente a tres enfoques: tradicional (la capacitación profesional aparece íntimamente ligada a la adquisición del dominio de la disciplina); de racionalidad técnica (el objetivo es el entrenamiento en el dominio de destrezas didácticas relacionadas con la Matemática, como base de su competencia profesional); de progresión continua (la capacitación profesional comienza en la formación inicial y continúa desde la interacción práctica-teoría y el análisis de los referentes en los que se ejercerá la profesión, haciendo que el Profesor en Matemática investigue su propia práctica). Gascón (2001) muestra en un estudio “cómo se corresponden muchas decisiones y actuaciones docentes, e incluso ciertos modelos docentes relativamente estructurados, con los modelos epistemológicos generales que han existido a lo largo de la historia de la Matemática y que perviven entremezclados en las diferentes instituciones didácticas”. Agrega que cada modelo docente condiciona la forma de organizar y planificar el proceso de enseñanza de la Matemática del profesor, incidiendo luego sobre su práctica áulica. En el acto pedagógico el intercambio gira no sólo alrededor del contenido temático, sino que hay cuestiones actitudinales que también “se transmiten”, muchas de éstas son inconscientes, Página 338 de 632 son las que el docente a veces ni siquiera planifica; más aún a veces ni se da cuenta que las está transmitiendo y éstas suelen ser las marcas, huellas, recuerdos que más les quedan a los alumnos. Al respecto, Jackson (1999) observa que existen aspectos cruciales de la enseñanza que casi nunca se indagan y sospecha que lo que los alumnos aprenden en una clase de Matemática no se limita exclusivamente a esta disciplina, si no que hay un “aprendizaje adicional” (p. 25). El problema es que no se lo puede caracterizar del mismo modo que al aprendizaje matemático involucrado. También intuye que ciertos fenómenos suelen marcar a las personas sin que ellas se den cuenta. “Y es que, no hay duda, todo eso que se ha vivido impregna el quehacer docente; para bien o para mal y tanto si se quiere como si no -recuérdese esto- termina por aflorar imprimiendo un estilo determinado a nuestra manera de ser y estar como docentes. […] un profesor trabaja en buena medida con lo que es” (Trillo, 2008, p. 73). Por otro lado, en Educación Matemática, Niss (2006) se pregunta qué significa ser un buen profesor en Matemática y se aventura en responder que un buen profesor en Matemática es aquél que estimula el desarrollo de competencias matemáticas en sus estudiantes, para lo cual (inevitablemente) ese profesor debe poseer tales competencias. Para este autor danés, poseer competencia matemática significa conocer, comprender, hacer, usar y poseer una opinión bien fundamentada sobre la Matemática en una variedad de situaciones y de contextos donde ella tiene o puede llegar a tener un papel. En el marco del proyecto en que se encuadra este trabajo de investigación, la valoración de los estudiantes sobre el proceso de enseñanza y de aprendizaje, así como sobre el cumplimiento de los objetivos académicos en su formación como futuros profesionales cobra mayor validez debido a que todos los profesores, antes de serlo, han transitado experiencias de aprendizaje y formación que conforman una biografía con gran peso en su desarrollo profesional. En este sentido plantea Celman (1998) “La evaluación se constituye en fuente de conocimiento y lugar de gestación de mejoras educativas si se la organiza con una perspectiva de continuidad. La reflexión sobre las problematizaciones y propuestas iniciales, así como sobre los procesos realizados y los logros alcanzados –previstos o no previstos–, facilita la tarea de descubrir relaciones y fundamentar decisiones” 4. Metodología El enfoque predominante en este estudio es el cualitativo, ya que se basa principalmente en la recolección de datos tales como descripciones, observaciones y opiniones, con mínimos aportes de elementos cuantitativos. El proceso de investigación es flexible y se aprecia el todo sin reducirlo al estudio de sus partes, lo que le da el carácter de holístico. El alcance del estudio es exploratorio, ya que el objeto de estudio es un sistema formador, con dos subsistemas, del que no se cuenta con anteriores análisis en el mismo sentido. Como técnica para la recolección de datos se realizaron entrevistas sobre la base de protocolos semiestructurados. 4.1. Diseño de la investigación Para analizar aspectos de la realidad de cada uno de los actuales subsistemas educativos se establecieron diferentes fases del trabajo: selección de indicadores; confección y aplicación de los instrumentos; procesamiento y análisis de resultados de las entrevistas; obtención y elaboración de conclusiones. 4.2. Sujetos La población en estudio está integrada por dos grupos de sujetos: . Grupo A: integrado por 4 estudiantes de años superiores de carreras de Profesorado en Matemática de IFD que anteriormente habían sido alumnos del Profesorado en Matemática de la FCEIA. . Grupo B: corresponde a 4 estudiantes de la carrera de Licenciatura en Matemática de la FCEIA que ya tienen el título de Profesor en Matemática, obtenido cada uno en un IFD diferente, algunos ubicados en localidades cercanas a Rosario (menos de 70 Km). 4.3. Instrumentos Página 339 de 632 Se emplearon dos protocolos de encuesta: Protocolo A, con 11 preguntas, para los integrantes del Grupo A y Protocolo B, con 12 preguntas, para los integrantes del grupo B. Ambos protocolos contienen algunas preguntas de tipo cerrado y otras de carácter abierto, las que pueden agruparse, según su contenido conceptual, así: Referido a las diferencias notadas por los estudiantes en ambas instituciones (3 preguntas en el Protocolo A y 2 preguntas en el Protocolo B). Referido a la realidad académica de los IFD (5 preguntas en cada Protocolo). Referido a las apreciaciones de los estudiantes sobre su propia formación (3 preguntas en el Protocolo A y 5 preguntas en el Protocolo B). Al final, en cada uno, se dio la opción de mencionar libremente otros aspectos de interés para el encuestado. No se efectuaron preguntas relativas a la realidad académica de la FCEIA por cuanto la misma es conocida por el equipo del Proyecto de Investigación. Algunas de las entrevistas fueron realizadas en forma personal, otras fueron contestadas por los estudiantes a través de correo electrónico, debido a cuestiones de factibilidad de encuentros personales. En ambos casos se considera de valor la información recogida, por cuanto es resultante de situaciones, imágenes mentales, interacciones, percepciones, experiencias, actitudes, creencias, emociones, pensamientos y conductas vividas por los encuestados, de manera individual o colectiva, en el seno de los dos tipos de instituciones educativas en análisis, trasuntando así representaciones certeras del desarrollo de las actividades educativas al interior de cada una de ellas. 4.4. Indicadores Las cuestiones abordadas por los instrumentos corresponden a los siguientes indicadores, que recogen opiniones basadas en sus experiencias en los IFD y en carreras de la FCEIA: 4.4.1 Diferencias entre ambas instituciones Diferencias más significativas, detectadas en dos momentos: espontáneas y posteriores al proceso de reflexión motivado por el desarrollo de la encuesta; motivos que llevaron a los estudiantes del Grupo A a continuar sus estudios en un IFD. 4.4.2 Realidad académica de los IFD Sistema de evaluación y aprobación de asignaturas; manejo de bibliografía; distribución de tiempo entre teoría y práctica; tratamiento áulico de estrategias didácticas adecuadas a cada tema; efectiva implementación de espacios extra áulicos para consultas. 4.4.3 Apreciaciones sobre su propia formación Características positivas de sus actuales profesores; orientación de la formación recibida; niveles de satisfacción respecto a la disposición de los docentes, de ambas instituciones, para la atención de sus cátedras y del alumnado en general. Para los estudiantes del Grupo B se agregan: materias que aportaron más a su formación; aspectos considerados más débiles. 5. Resultados Se transcriben las preguntas y se consignan las respuestas. En casos en que los estudiantes mencionaron más de un aspecto se efectuaron agrupamientos conceptuales, los que se presentan indicándose entre paréntesis la cantidad de opiniones concordantes y entre comillas transcripciones textuales. 5.1 Diferencias entre ambas instituciones 1) ¿Reconocés diferencias entre ambos profesorados? ¿Cuáles? (preguntas efectuadas en el momento inicial y re-preguntadas al final de la entrevista) (7) Nivel disciplinar de la FCEIA (tratamiento de un espectro más amplio de temas y con mayor profundidad). (4) Actividad docente de mayor calidad en carreras de FCEIA, tanto en el área pedagógica como en la disciplinar. (3) El funcionamiento de los IFD es más parecido al de la escuela secundaria. Página 340 de 632 (2) En la FCEIA la responsabilidad de estudio es del alumno, en los IFD es más “de conjunto, trato más personalizado” (docente y alumno). (1) La formación en los IFD está más directamente direccionada al futuro desempeño profesional. (1) “Falta de organización administrativa y académica en los IFD, muy corporativistas...”. (1) “En los IFD se tienen demasiadas contemplaciones a los alumnos, hay muchas concesiones”. (1) En los IFD hay un ambiente más calmo en cuanto a actividades de representación y de acciones estudiantiles. (1) Al egresar de un IFD faltan herramientas para el desempeño docente. (1) “En el IFD se busca tener egresados, no importa cómo, y eso va en desmedro de la calidad académica. Todo da igual, todos aprueban y en muchos casos con igual nota”. (1) En FCEIA hay más rotación de docentes, lo que provoca cambios de enfoques en algunas materias, ocasionando algunos inconvenientes para el recursado. 2) A los 4 estudiantes del Grupo A se les preguntó: ¿Qué te motivó a dejar el Profesorado de la UNR?, siendo sus respuestas variadas, con más de un argumento en algunos casos: El Profesorado de la FCEIA propone temas muy por encima de lo necesario para enseñar en nivel medio, que es su interés. Sensación de que el Profesorado de la FCEIA estaba por encima de sus posibilidades o de su voluntad de esfuerzo. Le comentaron que en los IFD es más fácil y se reciben más rápidamente. Horario de trabajo coincidente con el horario de cursado en FCEIA. Falta de tiempo. Cambio de plan en FCEIA (en 2002) que motivó retrasos y frustraciones. Dos de los estudiantes entrevistados consideran muy importantes las diferencias entre ambas instituciones y así lo manifiestan: “abismales‖, ―muy notorias‖. Los restantes 6 no efectúan consideraciones ponderativas de las diferencias. 5.2 Realidad académica de los IFD 3) ¿Qué porcentaje de materias son de promoción directa? En estos casos, ¿se promueve sólo la práctica o la promoción incluye teoría y práctica? En aquellas materias donde deben rendir examen final integrador, ¿éste es práctico y teórico? ¿Puede tomarse en forma oral? Promoción Est. N° Examen final Práctica y teoría Sólo práctica con notas 8 Teórico-práctico Oral 1 70% 20% ------ En las materias pedagógicas coloquio (*) 2 50% 30% ------ 3 70% 30% ------ Idem (*) 4 ------ ------ ------ ------ 5 Casi todas 3 materias Se alterna La instancia oral está siempre presente Página 341 de 632 6 10% ------ Todos los exámenes Los exámenes teóricos 7 Pedagógicas Disciplinares Las disciplinares no promocionadas Idem (*) 8 40% ------ En las materias específicas hay finales teóricoprácticos, orales y escritos Con las líneas ------ se indican los casos en que el estudiante no contesta. 5) ¿Qué porcentaje de docentes trabaja en su materia con un libro como apoyo? ¿Cuántos libros adoptan o recomiendan, generalmente, las cátedras? ¿Se manejan con apuntes del propio docente o fotocopias de libros? Est. N° Un solo libro Fotocopias de Apuntes propios muchos libros del profesor Varios libros 1 13,6% (3 de 22 materias) ------ 81,9% (18 de 22 materias) 4,5% (1 de 22 materias) 2 4,5% (1 de 22 materias) ------ 95,5% (21 de 22 materias) ------ 3 Las materias disciplinares Las materias pedagógicas ------ ------ 4 ------ ------ En la mayoría ------ 5 80% ------ ------ ------ 6 25% ------- En las materias pedagógicas se arman apuntes mixtos 7 ------ Se recomienda su consulta Algunas lecturas de las materias pedagógicas La mayoría 8 ------ ------ Casi todas las materias Una sola materia 6) En las clases, habitualmente, ¿en qué medida (porcentaje de tiempo) se reparte la teoría y la práctica? Página 342 de 632 Est. N° Teoría Práctica 1 20% 80% 2 30% 70% 3 50% 50% 4 50% 50% 5 50% 50% 6 60% 40% Algunos comentarios vertidos al respecto, señalan que: Es muy difícil realizar una generalización. Una de las materias no da espacio para la práctica y algunas no tienen espacio para la teoría. No se distingue claramente cuándo se da teoría, ya que no se da de una manera formal. Hay casos con más espacio para la práctica. Hay materias en que se le da el libro al alumno y él decide si usa la clase para hacer práctica o para estudiar teoría. En las clases teóricas no se hacen tantas demostraciones. Se hacen más ejemplos. 7 incluye, 70% 30% 6) ¿Se dentro de las clases, didáctica de los temas que se están tratando? ¿Con qué frecuencia? 8 encuestados 70% 30% Siete contestaron que, en general, no se incluye didáctica de los temas desarrollados; 3 comentan que sólo en algunas materias se enfatizan detalles al respecto; 1 estudiante manifiesta que la mayoría de los docentes lo hace. 7) ¿Qué porcentaje de docentes dispone de horarios de consulta fijos semanales? A los que no tienen horarios de consulta, ¿cómo y dónde se los encuentra? Cuatro de los encuestados manifestaron que ninguno de los docentes de los IFD ofrece espacios extra-áulicos para consultas, la otra mitad consigna un porcentaje muy bajo (menos del 10%) de profesores que sí lo hacen. Agregaron también que las consultas se realizan en horarios de los docentes destinados a otras tareas (clases y exámenes) por cuanto no son tareas rentadas. Tres estudiantes expresaron su disconformidad respecto de esta situación. 5.3 Apreciaciones de los estudiantes sobre su propia formación 8) ¿Cuáles materias/áreas aportaron más a tu formación? ¿Considerás que es mérito del contenido en sí mismo o del docente que trabajó en ella? (Sólo Grupo B) Dos estudiantes no identifican alguna materia o área en especial. Expresan que todas las áreas involucradas en su formación les aportaron algo. Dos estudiantes destacan los aportes recibidos en los Trayectos de Práctica y los Talleres de Didáctica, y asignan iguales méritos al contenido y al docente que dictó la materia. 9) ¿Cuáles aspectos considerás más débiles en tu formación? (2) contenidos matemáticos; (1) contenidos matemáticos nuevos; (1) algunas corrientes psicológicas; (1) didáctica. 10) En ambos protocolos figuraba una pregunta en la que cada estudiante debía calificar, con escala ascendente de 1 a 5, su grado de satisfacción respecto a la disposición general evidenciada por los docentes para la atención de sus cátedras y de sus alumnos. Además a los estudiantes del Grupo A se les pidió que califiquen su grado de satisfacción con la propia decisión de haber cambiado de profesorado. Las respuestas obtenidas son: Estudiante N° Promedio 1 2 3 4 5 6 7 8 Página 343 de 632 Atención de las cátedras en FCEIA 5 5 5 4 5 5 5 5 4,87 Atención de los alumnos en FCEIA 5 5 --- 4 5 3 5 4 4,43 Atención de las cátedras en IFD 2 2 5 4 5 4 4 4 3,75 Atención de los alumnos en IFD 1 1 4 4 5 2 4 5 3,25 Decisión de cambiar de Profesorado 1 1 4 4 no corresponde 2,5 11) ¿Cuáles características de tus profesores te gustaría tener en tu futuro desempeño? (6) responsabilidad; (5) capacidad de transmisión; (4) trabajo con el alumno; (2) conocimientos; (1) vocación; (1) conciencia de lo que implica la docencia. 12) ¿Considerás que la formación que recibiste en el transcurso de la carrera de profesorado en una IFD está direccionada a la enseñanza media exclusivamente? Seis estudiantes opinan que sí, agregando 2 de ellos que no se tratan contenidos más allá de los correspondientes al nivel secundario, y aún éstos con algunas falencias. Sólo 2 estudiantes consideran que además podrían desarrollar sus actividades en algún IFD. 6. Reflexiones finales Las opiniones de los 8 estudiantes coinciden, de manera importante, en lo referente a las diferencias entre ambas instituciones, la inclusión en las clases de aspectos vinculados a la didáctica de los temas en tratamiento, la implementación de horarios de consulta y la orientación de la formación exclusivamente para la enseñanza en el nivel secundario (Preguntas 1, 6, 7 y 12). En otros aspectos consultados se advierten ciertas coincidencias entre los estudiantes de un mismo IFD (Grupo A) pero con importantes diferencias respecto de los egresados de otros (Grupo B). Tal es el caso de las respuestas referidas a las características del sistema evaluativo de asignaturas, uso de libros y/o apuntes en las cátedras y distribución del tiempo entre teoría y práctica, en los IFD (Preguntas 3, 4 y 5). Cabe agregar que, a su vez, ninguno de los sistemas de evaluación de los IFD se asemeja al de la FCEIA, en donde, por ejemplo, ninguna materia implementa promoción directa de teoría y práctica. También hay ricos comentarios en la Pregunta 5 respecto a lo que se entiende por “teoría” en los IFD. Es interesante observar que los 8 encuestados comparten un alto grado de satisfacción respecto a la atención de cátedras y alumnos por parte de los docentes de FCEIA, en tanto manifiestan una marcada dispersión de opiniones sobre los docentes de IFD, destacándose que en este último caso no hay posiciones tibias o intermedias (Pregunta 10). Entre las características de sus profesores con las que quisieran contar en sus futuros desempeños docentes (Pregunta 11) predominan la “responsabilidad” y la “capacidad de transmisión”, resultando esta última coincidente con resultados de anteriores estudios, realizados en el marco de este Proyecto de Investigación, entre estudiantes de 7 cohortes de 1º año del Profesorado en Matemática de la FCEIA. En relación a los motivos por los cuales interrumpieron los estudios en FCEIA y continuaron en IFD (Pregunta 2) se presentan 3 respuestas (Grupo A) que reflejan distintos aspectos vinculados, todos ellos, a la diferencia de exigencias y esfuerzos demandados. Respecto al grado de satisfacción con la decisión tomada –de cambio de institución– (Pregunta 10) se advierte que no hay consenso, siendo las opiniones claramente extremas. Hubo alta coincidencia (en Grupo B) sobre los aspectos considerados más débiles en su formación, principalmente referidos a la formación disciplinar (Pregunta 9). Página 344 de 632 Finalmente cabe destacar la escasez de estudios como el presente que, a partir de la visión de sus estudiantes, caractericen aspectos de la realidad académica de instituciones formadoras de docentes de los dos subsistemas actuales, Universidad e IFD. Su potencial contribución corresponde tanto a la posibilidad de fortalecimiento de las actuales prácticas como al diseño de propuestas superadoras de formación inicial y continua. 7. Bibliografía Azcárate, P. (2005). Los procesos de formación: En busca de estrategias y recursos. Univ. de Cádiz, España. Borba, M. (2006). Diversidade de questões em formao de professores de matemática. En M. Borba (org.). Tendencias Internacionais em Formao de Professores de Matemática (pp. 9-26). Belo Horizonte: Autentica. Celman, S. (1998). La evaluación de los aprendizajes en el debate didáctico contemporáneo. Bs. As.: Paidós. Gascón, J. (2001). Incidencia del modelo epistemológico de las matemáticas sobre las prácticas docentes. 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Uno, dos, tres... Geometría otra vez. De la intuición al conocimiento formal en la EGB. Buenos Aires: Aique. Página 345 de 632 LA DEMOSTRACIÓN Y LA ENSEÑANZA DE LA ESTADÍSTICA 1,2 2 Christiane Ponteville -Myriam Nuñez 1. Instituto Superior del Profesorado “Joaquín V. González”. Argentina 2. Facultad de Farmacia y Bioquímica. Universidad de Buenos Aires. Argentina [email protected] Nivel educativo: Terciario –Universitario Resumen En la educación superior una asignatura de Probabilidades y Estadística en genérico no satisface la demanda de las diferentes y diversas áreas de estudio. Diferentes investigaciones evidencian claramente la necesidad de realizar una revisión no sólo de cómo se enseña sino también de qué se enseña en los diferentes cursos vinculados con las probabilidades y la estadística. Este trabajo busca formar parte del impulso por comprender el proceso de enseñanza-aprendizaje de la probabilidad y estadística en el nivel superior. Las argumentaciones lógicas y las demostraciones han desempeñado un papel importante tanto en el desarrollo de la matemática, como en su fundamentación y enseñanza. El conocimiento matemático se sustenta básicamente en dos modos de comprensión y expresión: uno se realiza de forma directa, y corresponde a la intuición y el otro se lleva a cabo de forma reflexiva, es decir lógica. Sin embargo, a lo largo de la historia, las concepciones relacionadas con las demostraciones no se han mantenido estáticas, sino que han cambiado notablemente reflejando características de los escenarios socioculturales en los que se desenvolvieron. La enseñanza de las pruebas de hipótesis es un buen ejemplo para este hecho. Si recorremos libros de texto, apuntes, cursos, etc. en los cuales se enseñen diferentes pruebas de hipótesis veremos que el tipo de argumentaciones varían desde un punto de vista epistemológico. Dentro de este marco, se propone comenzar una reflexión socioepistemológica del papel que cumplen las argumentaciones matemáticas como generadoras de conocimiento estadístico. Introducción El desarrollo en los últimos tiempos de la tecnología, las ciencias y los medios de comunicación han producido una irrupción de los métodos estadísticos en las prácticas habituales de diversas áreas: decisiones políticas, estratégicas, económicas, científicas, sociales, educativas entre otras se fundamentan a través del análisis de datos. De esta forma la incorporación de contenidos vinculados con las probabilidades y la estadística a la educación formal se ha hecho imprescindible ya que es necesario una cultura estadística básica en los ciudadanos que participan desde los dos extremos del proceso estadístico: como generador de información y como usuario de los decisiones que toma la sociedad a través de esta información. Un buen ejemplo de esto, es la utilización de la medicina basada en la evidencia instalada en las ciencias de la salud. Así, el conocimiento estadístico se ha establecido en todos los niveles de la educación. En lo que respecta a la educación básica en diferentes países un análisis rápido de sus planes de estudio evidencia claramente este hecho. Sin embargo, la simple incorporación de contenidos no ha alcanzado para incorporar conocimientos estadísticos de forma eficiente. Por ejemplo, en la educación superior hace tiempo que una asignatura en genérico no satisface la demanda de las diferentes y diversas áreas de estudio. Diferentes investigaciones evidencian claramente la necesidad de realizar una revisión no sólo de cómo se enseña sino también de qué se enseña en los diferentes cursos vinculados con las probabilidades y la estadística. Esta revisión se debe hacer teniendo en cuenta el notable aumento de ideas estadísticas en diferentes disciplinas y el doble rol de técnica auxiliar y de generador de conocimientos de la estadística. Página 346 de 632 Junto con el impulso que está teniendo la informática, estas ideas han hecho que la estadística sea una ciencia con un veloz y diversificado desarrollo que plantea grandes desafíos en los aspectos vinculados con su enseñanza. Las pruebas de hipótesis como parte de un proceso Hay dos tipos de tendencias predominantes en la enseñanza de la estadística: interpretar las pruebas de hipótesis como modelos matemáticos excluidos del contexto sin tener en cuenta observaciones pertinentes al campo que será aplicada o como la simple aplicación de un algoritmo, olvidándose del contexto para saber cómo los números pueden relacionarse con las mediciones y con el modelo matemático. Cualquiera de las dos involucra una falla en la generación del concepto pues no tiene en cuenta su verdadera naturaleza. En la primera postura, se observa que hay una ausencia de vinculación entre el tópico de estocásticos y las experiencias intuitivas de los estudiantes dando prioridad a requerimientos puramente matemáticos. En la segunda, no hay aspectos de su surgimiento en el proceso de enseñanzaaprendizaje, reduciéndose al manejo algorítmico de datos y generando la idea que los softwares estadísticos pueden resolver cualquier problema. En general, en las pruebas de hipótesis no hay aspectos de su surgimiento en el proceso de enseñanza-aprendizaje, reduciéndose al manejo metodológico de reglas y símbolos. Las pruebas de hipótesis deben ser vistas desde una doble perspectiva, teórica y experimental. La presencia de aspectos matemáticos, históricos, filosóficos, didácticos, informáticos ponen de manifiesto la complejidad del significado de este concepto. Un ejemplo de la complejidad de adquisición de este concepto es la confusión que se presenta entre estadístico y parámetro. Esto surge por la dificultad de concebir, por ejemplo, a la media muestral como una variable aleatoria y esto arrastra confusión a la hora de interpretar correctamente el nivel de significación de una prueba. Pues en general, no se profundiza sobre la conexión entre el estudio del modelo probabilístico y el análisis de datos empíricos, por lo que los modelos matemáticos pierden su objetivo si no se relacionan con los datos que se quieren modelar. Dado el impresionante desarrollo de la informática los alumnos llegan a un manejo razonable de estas herramientas y a realizar correctamente cálculos aislados. Sin embargo, cuando se trata de poner en correspondencias diferentes elementos del significado de lo calculado para tomar una decisión se plantean muchas dificultades. De esta forma, vemos que se presenta un exagerado énfasis en los elementos simbólicos, algebraicos y numéricos. Estos elementos forman parte de la transposición didáctica que han sufrido las pruebas de hipótesis a la largo de libros, cursos, utilización práctica. Otra de las complejidades es que el concepto de variable aleatoria queda implícito en el de prueba de hipótesis, siendo este tratado de manera implícita ya que aquí se evidencia en los alumnos, en general, el pensamiento determinístico sobre el probabilística generando un obstáculo a su comprensión. Reflexión socioepistemológica sobre las pruebas de hipótesis Este trabajo busca formar parte del impulso por comprender el proceso de enseñanzaaprendizaje de la probabilidad y estadística en el nivel superior. Se propone en este trabajo una reflexión socioepistemológica sobre el significado de de las pruebas de hipótesis que se espera que posean los alumnos. Creemos que el marco teórico brindado por la matemática educativa es pertinente pues considera una diversidad de los puntos antes mencionados en la identificación de aspectos vinculados con las cuatro componentes fundamentales que considera en la construcción del conocimiento: el plano cognitivo, el didáctico, su naturaleza epistemológica y su dimensión sociocultural. Estos cuatro componentes se analizarán desde el punto de vista de la educación superior en carreras no matemáticas teniendo en cuenta el papel de la estadística al servicio de otros dominios científicos y de otras prácticas de referencia intentando reconocer les diferentes Página 347 de 632 aspectos a ser tenidos en cuenta al diseñar estrategias de aprendizaje. Dentro de este marco, se propone comenzar un análisis del papel que cumplen las argumentaciones matemáticas como generadoras de conocimiento estadístico. Un punto de análisis puede ser que históricamente no ha sido fácil la construcción de un modelo adecuado a partir de los datos observados, de modo que esta vinculación entre la realidad y la utilización de una prueba de hipótesis (como modelo matemático) puede presentarse como obstáculo. Argumentaciones y demostraciones Las argumentaciones lógicas y las demostraciones han desempeñado un papel importante tanto en el desarrollo de la matemática, como en su fundamentación y enseñanza, pudiendo afirmarse que es usual relacionar estrechamente el concepto de lógica con el de matemática. Durante siglos, la matemática ha sido considerada como la ciencia deductiva por excelencia, en la que la verdad de las afirmaciones se sustenta en el carácter deductivo de la lógica. El conocimiento matemático se sustenta básicamente en dos modos de comprensión y expresión: uno se realiza de forma directa, y corresponde a la intuición y el otro se lleva a cabo de forma reflexiva, es decir lógica. Sin embargo, a lo largo de la historia, las concepciones relacionadas con las demostraciones no se han mantenido estáticas, sino que han cambiado notablemente reflejando características de los escenarios socioculturales en los que se desenvolvieron(Crespo Crespo, 2007). En este sentido, la postura socioepistemológica considera que la matemática no es una ciencia que surge aislada de la sociedad, sino inmersa en ella y por lo tanto recibe influencias fuertemente basadas en el pensamiento, las necesidades y características del escenario en que se desarrolla. En el aula de matemática de los diferentes niveles, las argumentaciones desempeñan distintas funciones en las que se ponen en juego habilidades propias del pensamiento racional. Estas habilidades se van construyendo a través de los diversos niveles de la enseñanza, a lo largo de un extenso proceso. En este proceso, como en todo aprendizaje, el alumno recibe influencias de factores diversos que varían según el escenario en el que se encuentre. Teniendo en cuenta el marco de las argumentaciones como productos sociales, este trabajo busca introducirnos en el papel que cumple el concepto de demostración dentro de la enseñanza de la estadística. Las preguntas que nos hacemos es: ¿qué tipo de argumentaciones utilizan los alumnos cuando trabajan con pruebas de hipótesis? ¿Qué buscan demostrar? Las demostraciones ocupan una posición central en la actividad matemática, ya que constituyen el método de prueba de las afirmaciones de esta ciencia, en contraposición, por ejemplo de lo que ocurre en la física o en otras ciencias experimentales o sociales, en las que el método de verificación de las afirmaciones consiste en su contraste con la realidad. La estadística se convierte en un lazo entre estas dos posturas, debiendo tener en cuenta estas ideas en su desarrollo: basta pensar en el desarrollo básico de una prueba de hipótesis. La demostración matemática es básicamente un proceso validativo que siguen los matemáticos para justificar las propiedades de sus teorías. Aunque existen otras opciones, el modelo actual dominante de demostración, dentro de la institución matemática, es la demostración lógicoformal. Sin embargo, esta no es la única, ni la más importante de las funciones de la demostración en matemática. Algunos autores (de Villiers, 1993), presentan un modelo en el que se evidencian diferentes funciones. Este modelo busca exponer algunas de las funciones de la demostración dentro de la actividad matemática científica permitiendo vislumbrar las posibilidades de modificar algunas prácticas vinculadas con la demostración en el aula evitando caer en la función formalista de verificación que se reconoce generalmente en la enseñanza de la matemática en los diferentes ámbitos de la enseñanza (Crespo Crespo y Ponteville, 2005). El planteo de las diferentes funciones de la demostración que utilizaremos es: Página 348 de 632 Verificación o convicción Explicación Sistematización Descubrimiento o creación Comunicación Es importe aclarar que estas funciones no resultan para nada clasificatorias, o sea que en una misma demostración pueden presentarse en diferentes grados diferentes funciones. Un análisis de las pruebas de hipótesis Proponemos a continuación identificar algunas demostraciones que cumplan con estas funciones en las demostraciones vinculadas con las pruebas de hipótesis. En el caso de la función de verificación o convicción se establece la verdad de una afirmación. Normalmente se busca la demostración después de haber tenido la convicción de validez. Esta es la función más conocida en la matemática no probabilística. Por ejemplo, se presentan diferentes aspectos para la comprensión del concepto de nivel de significación sin analizar que constituye el que establece la verdad de las afirmaciones explicitadas por las pruebas. En el caso de la función de explicación debe exhibir los por qué de la verdad. En resultados evidentes o apoyados en evidencia cuasiempírica, la demostración explica causas. La elección y la aceptación del estadístico que se utilizará en la prueba nos explica la relación con la hipótesis a ser sometida a prueba. La sistematización organiza diversos resultados en un sistema deductivo con conceptos básicos y teoremas. Esta función ayuda a identificar inconsistencias y razonamientos circulares. Simplifica teorías integrando conceptos y proporcionando una visión global de la estructura subyacente. La presentación de un test de hipótesis en este contexto puede considerarse como una organización de resultados respetando este principio de sistematización. O sea, trabajar con suposiciones produce una sistematización en la organización de los contenidos que forman una prueba. La siguiente función se apoya en la idea de que no todas las propiedades se descubren por intuición sino que algunas pueden ser el producto de la demostración misma. La denominamos descubrimiento o creación. La creación de nuevas reglas de decisión, o sea la creación de nuevas pruebas; acompañan esta idea. Por último, la comunicación transmite el conocimiento matemático. En este punto se considera a las demostraciones como forma de discurso, de intercambio basado en significados compartidos. La obtención del nivel justo de significación en un test de hipótesis es un aporte claro a la comprensión de su función en una argumentación estadística. Conclusiones En conclusión, teniendo en cuenta que la enseñanza de las pruebas de hipótesis debe reflejar la naturaleza de esta ciencia y su ejercicio profesional y que los alumnos requieren de actividades significativas para su desarrollo, se requiere una mirada y un proceso más comprensivo de las funciones y del papel de la demostración que el que se le da en forma tradicional en las aulas. Con este panorama, en los últimos años la didáctica de la probabilidad y la estadística se presenta como un desafío para la comunidad vinculada con estas ciencias. Muchos profesores que se dedican a estos tópicos se han preocupado por encontrar un fundamento para su trabajo y poder obtener resultados mejores en su enseñanza. Al intentar crear un cuerpo teórico estadísticos, psicólogos, pedagogos, investigadores en didáctica de la matemática entre otros se han dado cuenta de la falta de investigaciones que respalden esa labor (Batanero, Página 349 de 632 2000). Este panorama hace que surjan una gran cantidad de interrogantes y se hace necesaria la promoción de la investigación en los diferentes ámbitos de pertenencia para poder desarrollar su validez como disciplina científica. Referencias bibliográficas Batanero, C., Garfield, J. B., Ottaviani, M. G. y Truran, J. (2000). Investigación en Educación Estadística: Algunas Cuestiones Prioritarias. En Statistical Education Research Newsletter 1(2). Crespo Crespo, C. (2007). Las argumentaciones matemáticas desde la visión de la socioepistemología. Tesis de doctorado no publicada. CICATA-IPN, México. Crespo Crespo, C. y Ponteville, Ch. (2005). Las funciones de la demostración en el aula de matemática. En J. Lezama (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. Volumen 18 (pp. 307-312). México: Clame. de Villiers, Michael (1993). El papel y la función de la demostración en matemáticas. En Épsilon, 26 (pp.15-30). Página 350 de 632 LAS HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS EN EL APRENDIZAJE Y LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Graciela Andreani, Gabriela Marijan, Adrián Ortega, Estela Gómez, Ricardo Burgos Universidad Nacional de Salta, Sede Regional Tartagal [email protected] Nivel Educativo: Superior Palabras clave: aprendizaje, moodle, graficadores, rendimiento académico. Resumen En esta comunicación nos interesa informar sobre los avances realizados en el proyecto de investigación del CIUNSA - Consejo de Investigación de la Universidad Nacional de Salta- que tiene como objetivo mejorar el rendimiento académico y la permanencia de los alumnos ingresantes en la asignatura Matemática I de la carrera de Ingeniería en Perforaciones. Describimos y analizamos una experiencia piloto realizada con un grupo numeroso de alumnos ingresantes, en la cual incorporamos un espacio optativo de enseñanza y aprendizaje utilizando la plataforma virtual moodle y propuestas de actividades incorporando recursos tecnológicos. Se informa también sobre el proceso de construcción e implementación de este espacio curricular que complemento el dictado de la asignatura Matemática I, como así también de las primeras apreciaciones cuanti y cualitativas obtenidas en relación al rendimiento académico de los alumnos y de la producción del equipo docente interdisciplinario. Introducción Este trabajo se desarrolla en el marco de un proyecto de investigación del CIUNSA (Consejo de Investigación de la Universidad Nacional de Salta) que tiene como objetivo mejorar el rendimiento académico y la permanencia de los alumnos ingresantes en la asignatura Matemática I de la carrera de Ingeniería en Perforaciones. La asignatura Matemática I tiene modalidad cuatrimestral, asisten a la misma aproximadamente 300 alumnos. El porcentaje de alumnos que regularizan y/o promocionan la materia es de aproximadamente el 20%. La mayor pérdida de alumnos se produce en el primer parcial, y el factor que mayor incide en ello, es el bajo rendimiento académico. La relación docente-alumno es muy baja, la misma cuenta con 1 Profesor Adjunto, 2 Jefes de Trabajos Prácticos y un auxiliar alumno, todos los docentes con extensión de funciones en otras asignaturas. Entre los factores que se perciben como causa del bajo rendimiento académico se encuentran: Escaso dominio de contenidos matemáticos propios del nivel polimodal. (2% aprueban el diagnostico del CILEU- Ciclo Introductorio a los Estudios Universitarios) Poca capacidad para concentrarse en el estudio. Serias dificultades para comprender textos matemáticos del nivel superior, incluso del nivel polimodal. Baja relación docente alumno en la cátedra Matemática I. Las estrategias de enseñanza que despliegan los docentes de la asignatura para la atención de grupos numerosos. Desde este equipo de trabajo sostenemos la hipótesis de que si trabajamos con herramientas tecnológicas lograremos que los alumnos desarrollen estrategias de autocontrol de sus producciones, como así también una mayor motivación y dedicación al estudio. De este modo se intenta contribuir a: compensar la baja relación docente alumno, incorporar nuevas Página 351 de 632 estrategias didácticas que prioricen el proceso de aprendizaje e incrementar la interacción docente-alumno, alumno-alumno fuera y dentro del aula. De igual modo los recursos tecnológicos pueden contribuir a mejorar los niveles de comprensión de conceptos y procedimientos, porque mejoran los tiempos reales para la apreciación de cambios numéricos y gráficos de los objetos matemáticos, y la posibilidad de una mayor y mejor manipulación de los objetos y parámetros por parte del alumno. El proyecto inició este año y tienen una duración de tres años en los que se espera incorporar, actividades con recursos tecnológicos en todos los temas de la asignatura. Para el periodo 2009 está prevista la realización de actividades pilotos que serán revisadas y puestas a punto para el periodo 2010 Justificación Nuestros alumnos hoy aprenden a través de nuevos códigos que internalizan y desarrollan a partir de las imágenes, el color y el movimiento. Han naturalizado modos de lectura diferentes a los tradicionales. Realizan lecturas simultáneas, anidadas, selectivas, en diferentes planos y dimensiones, de manera diagonal vertical y horizontal. Sus formas de comunicación y expresión son también simultáneas y diversas. En este sentido la incorporación de las tecnologías de comunicación e información al proceso educativo es imperativa. Los docentes debemos reflexionar, investigar y comprender cómo los estudiantes de hoy están aprendiendo a partir de la presencia cotidiana de la tecnología, cuáles son los nuevos estilos y ritmos de aprendizajes configurados desde el uso intensivo de las tecnologías, cuáles son las nuevas capacidades docentes necesarias para este desafío. Este proceso de investigación se solapa con la puesta a disposición de los alumnos de estos recursos para mejorar la calidad educativa, en un proceso dónde todos aprendemos haciendo y en el que de manera anticipada los docentes de este proyecto estamos asumiendo que seguramente nuestros alumnos se apropiarán de los recursos de manera más rápida y profunda y seguramente serán más ágiles para manejarlos Fundamentación metodológica y didáctica de la propuesta de enseñanza En este proyecto pretendemos brindar, a los estudiantes del primer curso de matemática, las destrezas y conocimientos necesarios para utilizar algún software específico como una metodología complementaria para el aprendizaje de la matemática. Estos recursos tecnológicos están disponibles para los alumnos a través de una plataforma de enseñanza virtual, que además les permitirá comunicarse con los profesores y con los demás alumnos. La modalidad de la propuesta pedagógica de la cátedra es presencial con apoyo de recursos tecnológicos, con incorporación de actividades interactivas a distancia de carácter opcional. La enseñanza centrada en el alumno y el paradigma de aprendizaje activo pueden ser potenciados por la bimodalidad y la integración de las TICs en la propuesta didáctica e implica una revisión y redefinición del plan de trabajo. Esta modalidad aprovecha la familiaridad de los alumnos con los medios informáticos, al mismo tiempo que demanda a los docentes el diseño de actividades complementarias, de los contenidos disciplinares, un formato interactivo en soporte informático accesible. Son distintas las herramientas que posibilitan el abordaje de la matemática como “objeto de estudio” y como “herramienta”, dos dimensiones igualmente importantes para los alumnos de ingeniería, porque no hay posibilidades reales de ampliar el campo de significatividad del objeto si no hay un dominio del contenido en todas sus representaciones. Los procesadores y graficadores posibilitan la manipulación literal del objeto estudiado. El uso del contenido como herramienta se facilita con la utilización de foros de consulta, debate e investigación. Una fuente de datos para la evaluación de la propuesta, siguiendo la metodología cualicuantitativa, lo constituyen los exámenes parciales y finales de los alumnos realizados en el Página 352 de 632 contexto natural de evaluación: el marco del sistema de evaluación de la asignatura. Otra fuente de datos es la observación participativa de docentes y auxiliares alumnos, entrevistas y encuestas. La evaluación de los alumnos en el Taller toma además otros indicadores del proceso realizado por los mismos durante su desarrollo. Aunque comparten algunos indicadores son evaluaciones independientes. Desarrollo La implementación de la propuesta en el periodo 2009, consistió en: Selección de la plataforma a utilizar En el marco de Plan de acción se ha realizado un estudio exhaustivo de las opciones de plataformas virtuales existentes. La plataforma seleccionada fue Moodle. Realización de una experiencia piloto Una vez seleccionada la plataforma, la prueba piloto consistió en implementar durante el dictado de la asignatura Matemática I una opción de aprendizaje optativo con recursos tecnológicos, para el abordaje de dos temas del programa de la asignatura. Para esto fue necesario: Seleccionar los temas a trabajar en estos talleres. Seleccionar los recursos tecnológicos a utilizar. Diseñar las actividades interactivas presenciales y/ o a distancia a desarrollar con los recursos tecnológicos seleccionados. Las actividades diseñadas fueron de tipo explorativas. Al momento sólo se desarrollaron e implementaron las actividades correspondientes al tema Funciones Polinomiales y racionales. Todo el material didáctico correspondiente a Sistemas de m ecuaciones y n incógnitas está en desarrollo. Las actividades fueron diseñadas para ser realizadas utilizando distintos programas graficadores como Graphmática, Winplot, Winfun y Matnum, aplicaciones desarrollados por la cátedra en planillas de cálculo, procesadores de textos, enlaces a aplicaciones web para la resolución de problemas matemáticos relacionados con los contenidos (en este caso funciones polinomiales y racionales), applets propios desarrollados para este trabajo y diversos applets matemáticos de libre uso de Internet(por ejemplo el que se visualiza en la dirección http://www.luventicus.org/articulos/03U009/index.html). El material desarrollado se subió a un aula virtual, desarrollada en la plataforma Moodle cuya dirección es www.iemvirtual.com.ar y será mostrada durante la exposición. Diseñar actividades de autoevaluación Desarrollar el aula virtual Implementación de la propuesta Establecer los criterios para la evaluación del Taller. Apreciaciones cuantitativas Se consideró como grupo experimental a los alumnos que realizaron el Taller (51%), y grupo control a los que no realizaron el Taller (49%). Si bien en el parcial cada apartado tenia consignado un puntaje y la suma total de los mismos era 100%, a los fines de tener una idea cuantitativa del rendimiento se tomo como 100% el apartado correspondiente a función polinomial y racional y 100% el resto del parcial. De esta manera se obtuvieron los siguientes datos: Porcentaje Grupo experimental Funciones Otros polinomiales temas y Racionales 75% 48% Grupo Control Funciones polinomiales y Racionales 53% Otros Temas 41% Página 353 de 632 promedio Se observa un rendimiento mayor en el tema seleccionado en ambos grupos. Se observa mayor rendimiento en ambos temas en el grupo experimental Estos resultados eran esperados por los docentes de la cátedra ya que visualizábamos, por un lado la interferencia de lo trabajado en el Taller en las clases presenciales y además suponíamos una mayor motivación en los alumnos que se anotaron para realizar el taller. Por otro lado los foros de consulta promovieron la participación de los alumnos en las clases presenciales. Algunas apreciaciones cualitativas obtenidas de los parciales. Los alumnos presentan mayor facilidad para: Identificar las funciones en situaciones contextualizadas y destreza para sintetizar aspectos globales y locales de las mismas. Diferenciar mejor el objeto ecuación del objeto función. Transferir de un marco de representación a otro. Seleccionar adecuadamente la escala de representación. Definir, ejemplificar y describir procedimientos. Interpretar gráficas, argumentar y explicar. Identificar dominio y calcular analíticamente el rango. Análisis didáctico De la preparación del material didáctico A partir de la premisa de que el material didáctico debía tomar como referencia priorizar el proceso de aprendizaje, la idea fue diseñar actividades que demanden al alumno un trabajo investigativo: elaboración de hipótesis, verificación de la misma y elaboración de conclusiones. Para esta parte de la experiencia decidimos utilizar graficadores de funciones, planilla de cálculo, procesador matemático y Applets. Por la operatividad de los recursos tecnológicos se diseñaron actividades que permiten profundizar los contenidos y trabajar sobre algunas representaciones que tradicionalmente no abordábamos. Por ejemplo, el estudio de la regularidad numérica de los modelos polinomiales, la determinación gráfica, del grado y los coeficientes, de la expresión algebraica de la curva polinomial que pasan por puntos determinados y la obtención de los parámetros de la recta de regresión. Sobre el uso del graficador La utilización de graficadores en el proceso de enseñanza- aprendizaje, facilita las condiciones para la construcción de argumentos a partir de las interpretaciones y operaciones mentales que son capaces de percibir y realizar los alumnos. La utilización de este recurso les permite obtener y visualizar numerosas curvas en poco tiempo, pueden observar el comportamiento de la gráfica al variar intencionalmente los parámetros, encontrar regularidades y elaborar una idea global sobre las mismas, relacionando la función prototipo con la gráfica obtenida. La relación entre curva completa y expresión algebraica se da a través de la construcción de significados de los coeficientes. Los parámetros son las variables del modelo funcional. La concepción de función está relacionada con sus aspectos globales, la curva es un objeto que se mira en forma completa. De esta manera la concepción global de la función prototipo organiza el razonamiento y la argumentación. En este sentido hemos diseñado actividades tendientes a la búsqueda de regularidades. Por ejemplo para la función polinomial estudiamos el comportamiento de las ramas de la función potencia en función del exponente: para ello utilizamos graficadores donde los alumnos tiene que introducir una a una las funciones, observar la gráfica y extraer conclusiones. Utilizamos también un applet que se encuentra en la página ya mencionada, que permite que el alumno Página 354 de 632 introduzca un parámetro en la fórmula y de este manera ingresa la función y x , al parámetro lo puede mover de manera continua o dando pasos. Al variar k tomando números naturales se visualiza: k Este applet permite también, en lo conceptual, reforzar el campo de definición del exponente en la función polinomial y visualizar aspectos de la curva cuando esta no es polinomial introduciendo exponentes no naturales. También en las funciones polinomiales, en general investigamos la incidencia sobre la gráfica de la modificación de coeficientes. En el caso del coeficiente principal comparamos el efecto de cambiar valores positivos mayores que 1, en el intervalo 0,1 y valores negativos. En este caso trabajamos con los programas para graficar y, además, con applet preparados por la cátedra en donde las funciones presentan más de un parámetro y cada uno de ellos se puede mover de manera independiente. También se han realizado actividades para estudiar la incidencia del término independiente en la gráfica. Otro tipo de actividades dentro de la función polinomial fue el estudio del modo en que repercute la multiplicidad de los ceros. Por ejemplo cuando el cero es de multiplicidad 1 o impar mayor que 1. Ejemplo de la función y x 1 , e y ( x 1)3 En este caso trabajamos con los graficadores y con el applet mencionado en dónde pueden introducir y ( x 1)^ k y variar el k en los naturales. Esta fórmula también se utiliza para estudiar asíntotas de funciones racionales al hacer variar k en los enteros negativos, y permite estudiar el comportamiento de las ramas de la función racional cuando la multiplicidad del cero del denominador es par o impar como vemos en la gráfica de abajo. y ( x 1) 1 y ( x 1)2 y ( x 1) 3 Es importante tener en cuenta que los graficadores al permitir utilizar barras de desplazamiento posibilitan explorar el comportamiento de la función a medida que los valores de x o de y crecen o decrecen a valores extremadamente grandes o chicos. En el caso de las funciones racionales podemos trabajar con funciones del tipo y xk para que analicen la gráfica a partir de los valores del parámetro k. ( x 3)( x 5) Página 355 de 632 Pudiendo ver de este modo como varía el rango de la función si el parámetro varia entre (-5,3), si el parámetro toma los valores 3 y -5 o si el parámetro toma valores mayores que 3 o menores que -5. Esto permite conceptualizar la asíntota vertical, la intersección con los ejes coordenados, y desterrar la concepción de que la curva no corta a la asíntota. Según sea el valor que demos a k podemos obtener una o dos asíntotas verticales. k=3 k=1 También pueden observar como varía el rango según la intersección con el eje x se encuentre entre las asíntotas o a los laterales de la misma. Observamos arriba que para k=1 el rango son todos los reales, mientras que abajo, para k=4 hay un subonjunto de R que no pertenece al rango. k=4 k=4 Este análisis gráfico es previo al estudio analítico del rango, que como sabemos requiere del estudio de una inecuación cuadrática, cuya solución también se la puede estudiar gráficamente. En ambas gráficas anteriores para k=4, en la de la derecha se ha utilizado las barra de desplazamiento y se ha modificado la escala para apreciar el corte con la asíntota horizontal. También el corte con la asíntota se aprecia en la gráfica donde k=1. El estudio experimental de las asíntotas horizontales se puede hacer o bien introduciendo cada una de las funciones racionales, o utilizando funciones con parámetros. Por ejemplo a partir de la función y kx 2 , para distintos valores de k se obtendrán distintas asíntotas horizontales, x3 es interesante también encontrar para qué valor de k la gráfica de la función no presenta asíntota vertical. Reforzando de este modo en lo conceptual las condiciones que debe cumplir la función para la existencia de de este tipo de asíntota. Es un error muy frecuente en los alumnos hacer sólo referencia al valor que anula el denominador y omitir la necesidad de que la expresión que representa a la función sea propia. k=1 k=2 Página 356 de 632 De igual modo se puede estudiar para qué valores de k, cuando éste ocupa el lugar de exponente la función y x3 2 presenta asíntota horizontal y 0 , y 0 o no presenta xk 3 asíntota horizontal. El mismo planteo se puede hacer con las asíntotas oblicuas estudiando los valores de k para la función dada anteriormente y x3 2 xk 2 o para la función y xk 3 x4 3 Sobre la posibilidad de trabajar experimentalmente a partir del marco numérico En general los libros de matemática abordan los modelos funcionales primero en el marco algebraico para luego pasar al marco numérico. El abordaje inverso requiere de los alumnos un manejo algebraico más complejo y la realización de numerosos cálculos. El trabajo numérico que realizan consiste en la construcción de una tabla de valores a partir de la fórmula, o la construcción de una gráfica a partir de la tabla de valores. En general el trabajo manual de cálculos para la determinación de las regularidades le quita transparencia al objeto matemático a estudiar. La realización de estos cálculos con planilla de cálculo ponen el énfasis en el análisis de los resultados más que en la realización de los cálculos. En una primera instancia, la aproximación al concepto tiene más que ver con la lógica de la actividad. Trabajando con recursos tecnológicos pueden realizar muchos cálculos en poco tiempo y se familiarizan rápidamente con esta lógica. La descripción de los procedimientos de cálculo se hace en una instancia posterior en los foros de debate abierto con este fin, en ellos los alumnos tienen que verbalizar el procedimiento para lo cual es necesario que reflexione sobre el mismo. En el análisis de las relaciones cuantitativas que se juegan en los modelos polinomiales, la indagación de las variaciones de las funciones en relación a la variación de la variable independiente, resultan interesantes para los alumnos, adquieren un efecto lúdico dejando para una instancia posterior la construcción conceptual a partir de un sentido ya otorgado a los valores que se obtiene. La importancia de esta tarea y la construcción e internalización de estas relaciones está en que sirven de anclaje para la comprensión de los conceptos de cálculo matemático y allanan el tránsito entre lo concreto y lo abstracto. El trabajo en este marco permite la transición de la concepción global de la función hacia una perspectiva local fundamental para los conceptos del cálculo diferencial. Como ejemplo de este tipo de actividades proponemos la determinación del modelo funcional a partir de una tabla de datos que en el enunciado del problema dicen ser obtenidos de mediciones, realizadas sobre un móvil que parte del reposo y para el cual se miden las magnitudes espacio recorrido en función del tiempo. En una primera instancia damos valores puntuales de x secuenciados de uno en uno. Página 357 de 632 Los cálculos de las variaciones relativas I, II y III se obtienen luego de ingresar los valores de la tabla en un programa diseñado en planilla de cálculo oprimiendo una tecla para cada una de las variaciones. El abordaje numérico para la modelización posibilita la simulación de investigaciones matemáticas reales. Se cuentan con datos supuestamente obtenidos experimentalmente – en realidad son obtenidos de las mismas fórmulas que se pretenden reconstruir –, para encontrar el mejor modelo que se ajuste a ellos. Queda explícito así la transposición didáctica que se realiza del saber científico al saber a enseñar. Es importante mostrarle al alumno que los datos obtenidos de experiencias reales se modelizan aproximándolos a las curvas polinomiales que mejor se ajusta. Se puede en este caso trabajar con el programa Matnun y Winfun para visualizar la curva que se obtiene por extrapolación. También preparamos un programa para calcular los parámetros de la recta de regresión utilizando el método de los mínimos cuadrados. Sobre la posibilidad de verbalización Para favorecer este proceso usamos Foros y Wiki. A través de la experiencia y el trabajo con las diferentes representaciones gráficas los alumnos tienen elaborado un “concepto imagen”, el pasaje desde éste a la definición personal estable, bien adaptada matemáticamente y coherente en el sentido de que el concepto controle la acción del sujeto, requiere de la verbalización del concepto en forma conciente y equivalente en diferentes situaciones. En general trabajando con grupos numerosos las posibilidades de verbalización es casi nula hasta instancias definitivas de evaluación. El Foro permite la interacción entre diferentes sujetos, y brinda la posibilidad de argumentación y contraargumentación, lo que demanda un grado de conciencia y análisis de la funcionalidad del concepto en diferentes contextos. Pero además en el marco de una metodología en la que lo presencial se complementa con las instancias a distancia, siempre los debates que se inician en el foro se trasladan a las clases presenciales teóricas, prácticas y de consulta. En estos casos, la instancia previa de debate a distancia además de ser motivadora les confiere seguridad a los alumnos para participar en los mismos. Estos debates se trasladan a las reuniones de cátedra, renovando la motivación para la controversia sobre estos temas entre los mismos docentes. En el caso de la Wiki, lo que propusimos es la realización de un trabajo de investigación que requería de la experimentación, y la deducción, verificación, generalización.. Pudimos observar que este tipo de actividades tiene para ellos una motivación especial. La experiencia fue interesante pero es necesaria mejorar la preparación de la misma, utilizar los recursos tecnológicos para organizar grupos menores. Sobre las actividades de autoevaluación, si bien los alumnos consideran que son de utilidad para chequear sus producciones e indagar sobre sus errores. Solo pudimos hasta el momento realizar actividades donde la respuesta es correcta o incorrecta. Conclusiones La incorporación de recursos tecnológicos en la enseñanza de las Matemáticas no puede ser considerada una opción posible, es un emergente del desarrollo tecnológico que no nos esta pidiendo permiso para ingresar, ya se instalo. Podemos elegir que recursos utilizar para enseñar un determinado tema, pero no podemos poner limites a los que circulan en el aula, a los que acceden y utilizan nuestros alumnos; el no conocerlos no nos habilita a descartarlo, nos obliga a explorarlo. El no contar con computadora propia, o no proporcionarles desde la institución los medios tecnológicos necesarios, no constituyó un impedimento determinante a la hora de acceder al aula virtual. En este momento más que nunca tenemos que estar abiertos a recibir permanentemente información nueva de nuestros alumnos. Poseemos un saber disciplinar que es la razón de nuestra presencia en el aula. Pero ese saber no alcanza para legitimar nuestra autoridad en Página 358 de 632 ella, es necesario articular los conocimientos de todos los presentes y facilitar el trabajo colaborativo para la construcción de otros nuevos. Poner la tecnología al servicio del aprendizaje intencional y consiente es nuestro mayor desafío. Los nuevos recursos para aprender son estos y no podemos mirar hacia otro lado. El debate virtual resulto ser, en este caso, el mejor estimulo para el debate presencial. Al trabajar de este modo empieza a emerger el alumno que tanto demandamos: inquieto, participativo, autónomo, un alumno con nuevas preguntas, con recursos para poner a prueba inmediatamente nuestras respuestas. Este nuevo alumno es todo un desafío, ocupa un lugar activo y nos plantea preguntas a la que entre todos tendremos que empezar a buscarles las respuestas. Las instituciones educativas deben asumir este desafío y acompañar a docentes y alumnos en este proceso de transición. Bibliografía Ruiz, A. (2006). Asuntos de método en la educación matemática. San José, Costa Rica. Editorial Universidad de Costa Rica. Salinas, N.; Domínguez, M. (2007). Uso de la Tecnología para Fortalecer el Proceso Enseñanza-Aprendizaje en Matemáticas. Primera Conferencia Internacional en Tecnología e innovación educativa. México. ISBN: 978-607-7609-00-1. Salinas, P.; Alanís, J.; Pulido, R..; Santos, F.; Escobedo, J. y Garza, J. (2002). Elementos del Cálculo: Reconstrucción para el aprendizaje y la enseñanza. San José, Costa Rica. Editorial Universidad de Costa Rica. Thenon, J. (1971). La imagen y el lenguaje. BsAs. Ed. La Pléyade. Página 359 de 632 LA VISUALIZACIÓN TRIDIMENSIONAL EN MATEMÁTICA COMO CONSTRUCCIÓN SOCIOCULTURAL José Luis Rey Universidad Nacional de San Martín, Buenos Aires, ARGENTINA ISFD Leonardo da Vinci. Buenos Aires. ARGENTINA [email protected] Nivel Educativo: Superior (Terciario. Universitario) Palabras clave: visualización, construcción sociocultural, representación Resumen Esta comunicación intenta establecer lazos entre el concepto de visualización de imágenes tridimensionales en matemática, las dificultades que esta competencia genera, y esta competencia como construcción sociocultural. Para ello se establecen vínculos desde la socioepistemología como Marco Teórico de base. Los estudios que se están llevando a cabo enfocan esta propuesta desde un análisis histórico de los conocimientos matemáticos de las distintas culturas para intentar establecer la necesidad (o falta) de esta competencia. Esto lleva a considerar a la visualización como una práctica social contemporánea y de allí a tratarse de una construcción socio cultural. Introducción El concepto de visualización alude a una serie de conceptos integrados, todos ellos en relación a la formación e interpretación de imágenes en la mente, así como a las distintas formas de representación de dichas imágenes en los distintos tipos de representación y soporte, ya sea por medio de ecuaciones, gráficas, definiciones, tablas de valores (representación) o mediante dibujos, esquemas, representaciones mediante programas informáticos (soporte) o incluso el lenguaje oral. Dicho concepto ha sido durante muchos años tomado como de poca importancia a la hora del reconocimiento que implica una tarea matemática, donde las demostraciones, los procedimientos algebraicos y la formalidad ha predominado, dejando de lado la importancia que se reconoce actualmente a las “demostraciones” visuales, al reconocimiento de imágenes mediante su simple ecuación, o representación algebraica o geométrica. Estas variaciones en cuanto al interés y status otorgado a la visualización como concepto y herramienta matemática importante ha sufrido muchas modificaciones a lo largo de la historia. El sólo hecho de reconocer estas diferencias históricas le otorga una calificación desde la historicidad, al parecer se ha tratado de un concepto que según los distintos contextos socio culturales ha tenido menor o mayor grado de importancia en cuanto a su consideración. Estas son las bases sobre las cuales se propone este trabajo, la visualización como una construcción socio cultural. Una mirada al pasado Reconocemos la existencia de mucha información en distintos formatos o soportes físicos de gran mencionar a modo de ejemplo escritos de babilonios, chinos, hindúes, egipcios, griegos, árabes, etc… En todos ellos aparecen conceptos matemáticos detallados en mayor o menor grado y con mayor o menor precisión y grado de profundización. Incluso en algunos de ellos aparecen representaciones gráficas relacionadas con curvas, círculos, parábolas, el número pi, espirales, o demostraciones geométricas. En ninguna de ellas aparece ni siquiera Página 360 de 632 soslayadamente la interpretación tridimensional como un concepto trabajado y ni siquiera como un objeto considerado necesario. Pero ello no significa que no se tuvieran conocimiento para ello, lo que a lo sumo indica, es la falta de necesidad de dicho tipo de representaciones. Es muy difícil imaginar que un sabio como Arquímedes, por tomar un ejemplo, quien logra deducir las expresiones para el cálculo del volumen de la esfera y el cono no tuviera capacidad suficiente como para desarrollar algunas ideas respecto a la visualización y representación tridimensional. Es más probable suponer que en un mundo donde la geometría plana bastaba y sobraba para la gran mayoría de los desarrollos simplemente no se consideraría siquiera la necesidad de un desarrollo más profundo de representaciones tridimensionales. Esto no sólo ocurre en el mundo griego sino en todas las civilizaciones de la antigüedad. No sólo es así en matemática sino que podemos trasladarlo a las demás ciencias que pueden llegar a utilizar este concepto de manera fructífera, por mencionar solamente…el arte, como una de ellas. Las representaciones visuales (geométricas o no) hasta fines de la denominada Edad Media, se caracterizan todas ellas por la falta de tridimensionalidad, ya sea en el arte como en la ciencia. El mundo en el que nos movemos es tridimensional y ello no hay forma de dudarlo, pero las necesidades de representación no siempre involucran la aparición de la representación 3D, ya que de alguna manera las representaciones planas se habían desarrollado de una manera tan completa que no aparecía la dificultad necesaria para hacer surgir la necesidad de su complementaria representación en tres dimensiones. Tomemos por ejemplo el caso del nacimiento de la representación en coordenadas cartesianas ortogonales. El paso requerido para una representación en el espacio es tan pequeño que simplemente no se puede considerar que no estaban dadas las circunstancias académicas como para no darlo. Sin embargo inicialmente la revolución que implicaron las nuevas ideas de Descartes sólo se mantuvieron en “Flatland”. (Del libro Flatland (Mundo Plano, o Terra Plana según se lo quiera traducir) de Edwin E. Abbott). Las primeras necesidades de representación con ideas tridimensionales surgen desde el arte, aunque no hayan sido necesariamente artistas posprecursores de este tipo de representaciones. El nacimiento de la geometría descriptiva es un buen ejemplo de ello. Las primeras nociones de profundidad en representaciones planas y las características del espacio tridimensional en representación bidimensional surgen allí. Gaspar Monge recurre a las proyecciones para resolver el problema de la falta de precisión en las representaciones artísticas y es donde nacen las primeras huellas no de la visualización como concepto reconocido, pero sí de concepto subyacente. No se menciona este concepto – ni falta que hace- pero las características del mismo empiezan a hacerse reconocidas en los trabajos no sólo artísticos sino además de representaciones geométricas, adquiriendo así el status de herramienta matemática (no formalmente formulada). Mirando el presente En el presente, hasta aproximadamente la década del 90 (en nuestro país) por cuestiones que no se desarrollarán ampliamente, se habían dejado prácticamente de lado de la currícula escolar gran parte del conocimiento geométrico, con lo cual indirectamente lo que hoy denominamos como “competencia” no era considerada justamente la visualización en un lugar predominante teniendo en cuenta que en el ámbito geométrico se trata justamente de una herramienta muy importante. Se fueron dando distintas etapas en la educación argentina, donde se pasó de la matemática exclusivamente formal, deducida y demostrada, a prácticamente la ausencia de demostraciones (o al menos de demostraciones formales). Basta con observar libros de texto de los últimos 20 años para poder corroborar esta afirmación. Esta desaparición de los documentos curriculares oficiales se concretó incluso en los niveles de formación docente, lo cual lleva a entender también porque no se trabajaba el contenido geométrico en las escuelas. Muchos docentes de esa etapa no habían tenido formación Página 361 de 632 académica al respecto. Para profundizar en un desarrollo mucho más completo acerca de la evolución de la demostración se puede consultar Crespo Crespo (2007). Pero a pesar de esta desaparición de la geometría, se ha producido un vuelco, ya que desde la década del 90 en adelante se ha dado un resurgimiento de la misma probablemente impulsado por los soportes de tipo informático, ya que en ellos la componente visual juega un papel preponderante y las dificultades observadas en el manejo de imágenes tridimensionales fue uno de los factores mas notables. Según se menciona en (Blanco, 2009) “…Estudios recientes reconocen en nuestro país que es fundamental retornar a la comprensión de las propiedades geométricas y hacer hincapié en la visualización y en su utilización para la construcción de los conocimientos geométricos no limitando l. ― ... La computadora así como la fotografía, el retroproyector y la fotocopiadora son recursos mediante los cuales los futuros docentes pueden adquirir experiencias acerca del desarrollo de habilidades espaciales y de exploración de conceptos geométricos...‖ (Ministerio de Cultura y Educación, 1996, pp. 94). Concepción tomada de visualización Ingreso de información Procesamiento operación LAS DOS CONCEPCIONES DE VISUALIZACIÓN producción Página 362 de 632 Se puede sintetizar la concepción de visualización utilizada en este trabajo a partir de las características mencionadas a continuación. la visualización como interpretación de modelos visuales la visualización como algún tipo de proceso mental la visualización como competencia que permite decodificar información dada en forma simbólica o verbal en imágenes visuales, diagramas, gráficas, dibujos, y otras formas de representación su uso efectivo para la comprensión y descubrimiento en matemática, así como su importancia en la resolución de problemas – quedará establecer qué se entiende por “ uso efectivo” la relación con la formación de imágenes mentales – no necesariamente visuales - como una de sus características esenciales Socioepistemología. Sus postulados básicos El enfoque socioepsitemológico, propio de la matemática educativa parte de establecer que los saberes matemáticos son bienes de origen cultural. Estos conocimientos surgen dentro de las comunidades sociales dentro de contextos y escenarios específicos. Dentro de esta perspectiva se reconocen cuatro dimensiones que interaccionan entre sí dimensión epistemológica dimensión didáctica dimensión cognitiva dimensión social Desde la dimensión epistemológica podemos observar la evolución de los conocimientos matemáticos desde sus orígenes y establecer características en función de ese origen, su evolución y estado actual. La dimensión didáctica establece las relaciones que se producen dentro del ámbito escolar en relación a determinados objetos matemáticos (que son los que se desea estudiar en este caso) y de la interacción de los mismos dentro de la tríada didáctica. La dimensión cognitiva nos permite evaluar las características específicas del objeto matemático, su ámbito de aplicación, propiedades, características, e incluso las concepciones acerca del mismo. Por último, la dimensión social permite establecer un nexo entre las tres dimensiones e interpretar las influencias del contexto en el cual se producen estas interacciones en relación al objeto estudiado. Desde esta concepción es que se integran las cuatro dimensiones en el análisis del objeto a considerar. Mirando el futuro Si se consideran las distintas características que se presentan en la visualización como concepto (habilidad, competencia, etc.) además de la importancia que reviste la misma para la comprensión de imágenes tridimensionales esto lleva a considerar porqué razón esto se considera así en la actualidad pero no ha sido así dentro del desarrollo histórico. Las razones pueden ser muchas, pero es indudable que la necesidad de interpretación de imágenes tridimensionales ha adquirido una prevalencia importante en las ciencias actuales, así como en distintas aplicaciones tecnológicas. Esta modificación del estatus de la visualización como habilidad deseable (no sólo en alumnos) la caracteriza en la actualidad como una práctica social. Por tratarse de una práctica social actual podemos considerar entonces a la misma como una construcción sociocultural. Página 363 de 632 Bibliografía Blanco, H. (2009). Representaciones gráficas de cuerpos geométricos. Un análisis de los cuerpos a través de sus representaciones. Tesis de Maestría no publicada. Instituto Politécnico Nacional. CICATA. México. Crespo Crespo, C.; Ponteville, C. y Villella, J. (2000). El proceso de visualización al rescate de la enseñanza de la Geometría. Comunicación Representaciones gráficas de cuerpos geométricos. Un análisis de los cuerpos a través de sus representaciones. Presentada en la II Conferencia Argentina de Educación Matemática II CAREM. Santa Fe (Argentina). Crespo Crespo, C. R. (2007). Las argumentaciones matemáticas desde la visión de la socioepistemología. Tesis de Doctorado no publicada. Instituto Politécnico Nacional. CICATA. México. Materiales de trabajo para la transformación de la formación docente. Ministerio de Cultura y Educación, 1996, p.94. Buenos Aires. Rey, J. L. (2003). Un estudio sobre el sentido espacial y su relación con la visualización en la resolución de problemas geométricos. Tesis de Licenciatura no publicada. Universidad Nacional de San Martín. Buenos Aires. Página 364 de 632 LA FORMULACIÓN DE PROBLEMAS EN LA FORMACIÓN DE PROFESORES DE MATEMÁTICA Lic. Alicia Mirta Giarrizzo ISFD Nº11 de Lanús. ISFD Nº102 de Banfield. Argentina [email protected] Nivel educativo: Terciario Palabras Clave: formación docente, diagnóstico, formulación de problemas, material didáctico. RESUMEN Hoy, los estudiantes del profesorado de matemática, tendrán que desarrollar variadas competencias y los docentes formadores deberán contribuir para generar un proceso de cambio epistemológico del modelo de enseñanza y de aprendizaje con el que ellos convivieron como alumnos, revisando sus concepciones previas y reflexionando sobre sus alcances y limitaciones en relación con lo que significa saber matemática, hacer matemática, aprender matemática y enseñar matemática según las teorías didácticas actuales. Pero para ingresar a la carrera no se contempla la inclusión de actividades que permitan diagnosticar estas aptitudes complementarias y fundamentales para la formación integral de los futuros profesores de matemática. Entonces… ¿A partir de qué situaciones podemos conocer algunas de esas aptitudes? ¿Cómo podríamos determinar la comprensión que adquieren los estudiantes acerca de diferentes conocimientos matemáticos cuando utilizan material didáctico? ¿Qué tiempo dedicaríamos para que los estudiantes reflexionen sobre los diferentes procedimientos que pueden resolver una misma situación problemática? ¿Y a la formulación de nuevos problemas? (…) la idea de que los propios estudiantes puedan ser la fuente de buenos problemas matemáticos probablemente no se le ha ocurrido a muchos estudiantes, ni a muchos de sus profesores” (Kilpatrick J.,1987). La experiencia que se presenta permitió diagnosticar capacidades de los estudiantes, específicamente relacionadas con la formulación de problemas, a partir de la presentación de material didáctico común a todos los grupos para que luego pudieran analizar y confrontar diferentes posibilidades de abordaje de algunos de los contenidos presentes en los diseños curriculares de Matemática para la educación secundaria. INTRODUCCIÓN La formulación de problemas es objeto de estudio de numerosas investigaciones en educación matemática donde es considerada: - como característica de la actividad creativa o de la capacidad matemática. como característica de una enseñanza orientada a la indagación. (¿Qué pasaría si no?) como una característica de la actividad matemática. como un medio de mejorar la capacidad de los estudiantes para resolver problemas. como una ventana para observar la comprensión matemática de los estudiantes. como medio para mejorar la disposición de los estudiantes hacia las matemáticas (intereses, actitudes, motivación,…) (Silver, 1994, p. 21). Desde el enfoque actual de la Enseñanza de la Matemática la formulación de problemas da la posibilidad a los docentes formadores de diagnosticar y evaluar a los futuros docentes en el inicio y a lo largo de su carrera en la implementación de diversas estrategias que son fundamentales para su formación estableciendo condiciones que lleven a generar en ellos la Página 365 de 632 curiosidad, la seguridad y la confianza en sí mismos, la creatividad, la autonomía y el interés en sus propios procesos mentales para luego poder compartirlo con sus alumnos. "La experiencia de un alumno en matemáticas será incompleta mientras no tenga ocasión de resolver problemas que él mismo haya inventado. Enseñando a los alumnos el modo de derivar un nuevo problema de un problema ya resuelto, el profesor logrará suscitar la curiosidad de sus alumnos" (Polya, G., 1979). La experiencia de descubrir y crear por sí mismos problemas matemáticos siempre debería ser parte de la educación de los estudiantes. (…) la idea de que los propios estudiantes puedan ser la fuente de buenos problemas matemáticos probablemente no se le ha ocurrido a muchos estudiantes, ni a muchos de sus profesores. (Kilpatrick J., 1987, p. 21). Los recursos y materiales didácticos son considerados como un medio y no un fin en sí mismos y deben ponerse al servicio del desarrollo de las capacidades de los alumnos para que éstos se acerquen de otras maneras a los conocimientos matemáticos y muestren con sus acciones sobre ellos la comprensión de las nociones involucradas llevando a cabo diferentes procedimientos de resolución. Se emplean para afianzar conceptos o procedimientos, para modelizar algunas características del concepto matemático y también para plantear problemas. Los futuros docentes deberán tomar conciencia de las múltiples interpretaciones que los recursos y los materiales didácticos pueden crear y de su compromiso con la estimulación de esa posibilidad en sus alumnos. “Como toda metáfora, el uso del material concreto en el aprendizaje de las matemáticas resalta unos aspectos de los conceptos que tratamos de enseñar y ocultan otros, por lo que debemos prestar una atención cuidadosa en su uso.” (Godino, Batanero y Font, 2003) Bajo la palabra <<material>> se agrupan todos aquellos objetos, aparatos o medios de comunicación que pueden ayudar a describir, entender y consolidar conceptos fundamentales en las diversas fases del aprendizaje. (…) generadores de cuestiones, problemas abiertos y actividades de investigación. En algunos casos el propio material puede ser el problema. (Alsina, C., Burgués, C., Fortuny, J.M., 1988, p.13). PRESENTACIÓN DE LA EXPERIENCIA La experiencia se realizó con 80 alumnos de primer año y con 30 alumnos de segundo año del Profesorado de Tercer Ciclo de la EGB y de la Educación Polimodal en Matemática que asisten al ISFD Nº11 de Lanús y al ISFD Nº 102 de Banfield, durante las tres primeras clases de Matemática y su Enseñanza I y de Matemática y su Enseñanza II. La decisión de realizarla también con alumnos de segundo año se basó en determinar si se presentaban diferencias notables en sus producciones luego de haber cursado los espacios curriculares del año anterior. La situación fue elegida para diagnosticar capacidades de los estudiantes, específicamente sobre la formulación de problemas, a partir de la presentación del material didáctico común a todos los grupos para que luego pudieran analizar las posibilidades de abordaje de algunos de los contenidos presentes en los diseños curriculares de Matemática para la educación secundaria. No se pretendía evaluarlos sobre contenidos preestablecidos sino poder conocer a cuáles de sus conocimientos disponibles recurrirían para plantear las situaciones problemáticas y con qué estrategias lo harían, correspondiéndose de este modo las decisiones didácticas con algunos de los propósitos del docente que figuran en los proyectos de cátedra: *Desarrollar la curiosidad y la imaginación como estímulos para la búsqueda y la producción de situaciones de enseñanza innovadoras y de recursos vinculados con los saberes a enseñar. *Poner en discusión diferentes enunciados y consignas para reorganizarlos y/o transformarlos en nuevos problemas que permitan la apropiación del sentido de los conocimientos mediante la reflexión y el análisis en torno a ellos. Página 366 de 632 *Aportar a la deconstrucción y reconstrucción de las representaciones y modelos previos de enseñanza y aprendizaje para la apropiación de las nuevas formas de concebir la educación matemática. *Generar en las clases un ámbito de reflexión sobre la relación teoría-práctica a fin de que los alumnos puedan contar con un mayor abanico de posibilidades al momento de encarar sus prácticas pedagógicas. La actividad fue grupal y la elección de los integrantes fue libre: A partir del siguiente material: Formular una situación de enseñanza que plantee un problema para alumnos de la Educación Secundaria. Pueden usar todas las piezas, algunas de ellas o agregar las que consideren necesarias. Si es posible, resolverlo de diferentes maneras. Material: Se construyeron en goma eva considerando las siguientes dimensiones: el cuadrado verde de 22cm de lado; los rectángulos azules de 11cm de base y 22cm de altura; los cuadrados rojos de 11cm de lado y los rectángulos amarillos de 5,5cm de base y 11cm de altura. Cabe aclarar que se sorprendieron bastante ante la propuesta de trabajo ya que lo usual para ellos al decirles que iban a ser evaluados para elaborar un diagnóstico es que se les propongan ejercicios o problemas para resolver sobre contenidos disciplinares. Muchos comentaron que durante su escolaridad previa nunca les habían solicitado formular problemas, ni elaborar conjeturas; ni realizar investigaciones. Y menos aún “hacer matemática” a partir de materiales concretos sin una explicación previa y guiada por parte del profesor sobre los contenidos y los procedimientos que debían abordarse en las actividades correspondientes. INTERCAMBIO GRUPAL Y ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN Luego de mirarse y de mirarme dando a entender: ¿Cómo empezamos?, se animaron a manipular el material como si fueran niños… Durante la fase de exploración lentamente comenzaron a descubrir la posibilidad de considerar algunas nociones matemáticas relacionadas con fracciones, superficies, perímetros, proporcionalidad, volúmenes, funciones, trigonometría, etc. Con el transcurso de los sucesivos encuentros las situaciones que plantearon fueron alcanzando un nivel de mayor complejidad teniendo que recurrir a conceptos y competencias que requirieron de una mayor comprensión y reflexión. En algunos casos se presentaron cuestiones originales y creativas que para avanzar en sus resoluciones los llevó a recurrir a otros marcos. “El cambio de marcos es un medio de obtener formulaciones diferentes de un problema que sin ser necesariamente todas equivalentes, permite un nuevo acceso a las diferencias encontradas, y la puesta en práctica de herramientas y técnicas que no se impusieron en la primera formulación. (…) las traducciones de un marco a otro conduce a resultados no conocidos, a técnicas nuevas, a la creación de objetos matemáticos nuevos, en suma, al enriquecimiento del marco origen y de los marcos auxiliares de trabajo” (Douady, 1986). Ante las limitaciones del material, necesitaron de otras representaciones para poder favorecer la abstracción reflexiva sobre los objetos matemáticos con los que interactuaban. Probaron y Página 367 de 632 analizaron diferentes estrategias posibles, explicaron y/o justificaron los resultados y, según los problemas formulados, llegaron a la generalización de algunas conclusiones. “Es una abstracción reflexiva -usando la terminología de Piaget (1980)-, que no deriva directamente, perceptivamente, de la acción manipulativa efectuada sobre el objeto, sino que resulta de la reflexión sobre las acciones que se ejercen sobre el objeto”. Durante el intercambio grupal se propició el compromiso con la situación planteada y un funcionamiento autónomo con cierta independencia del docente. Varios grupos necesitaron ayuda para organizarse y también aportes de informaciones para poder continuar con sus actividades pero se evitaron aquellas relacionadas directamente con la formulación y/o con la resolución de la problemática elegida. Algunos de los alumnos no sólo formularon los problemas sino que a medida que los iban resolviendo, realizaban ajustes en los enunciados ya sea en relación con los datos o con las incógnitas. En general no se determinaron diferencias notables entre los problemas planteados por los alumnos de primer año y los alumnos de segundo año. La mayoría consideró temas relacionados con áreas, perímetros, embaldosados, fracciones… Otros, incluyendo alumnos de segundo año, formulaban los problemas pero no lograban resolverlos correctamente y mostraban serias dificultades relacionadas principalmente con la existencia de proporcionalidad en áreas y volúmenes de cuerpos. También con la relación entre la suma de las áreas y de los perímetros de las partes con el área y el perímetro del todo. Algunos no llegaron a enunciar el problema con claridad debido a errores en la expresión escrita, tanto verbal como simbólica. Abreviaron y relacionaron mal las unidades de medida con las dimensiones correspondientes; expresaron igualdades donde no se establecían; confundieron figuras geométricas y cuerpos geométricos; no pudieron interpretar nociones en el espacio tridimensional sin recurrir al material concreto. Se notó una fuerte presencia de enunciados con características muy marcadas de los “problemas tipo” de aplicación provenientes de la enseñanza clásica o tradicional. ALGUNAS DE LAS SITUACIONES PROPUESTAS POR LOS ALUMNOS ISFD Nº11 de Lanús ESPACIO CURRICULAR: Matemática y su Enseñanza I INTEGRANTES: Eduardo Dambielle, Eliana Godoy, Ma. Rosa Sosa. Jonatan Vélez, Josefina Dal Seno. “Teniendo en cuenta las siguientes piezas, ¿Qué cuadriláteros de un mismo tamaño elegirías para armar el cuadrado de mayor perímetro exterior? Podrían llegar a agregarse, de ser necesario, otras piezas y no es indispensable utilizarlas todas.” Respuesta: Utilizando los 8 rectángulos amarillos se obtiene el cuadrado de mayor perímetro exterior de 110cm, cuyo lado es de 27,5 cm, disponiéndolos de la siguiente manera. 5,5 cm. 11 cm. 27,5 cm. Las otras posibilidades utilizando piezas de un mismo color para formar un cuadrado dan como resultado cuadrados de 22 cm. de lado, siendo sus perímetro iguales a 88cm. ISFD Nº11 de Lanús ESPACIO CURRICULAR: Matemática y su Enseñanza II INTEGRANTES: Augusto, Marisa; Gonzalez, Marta; Junco, Cintia; Molina, Noelia; Nieva, Vanesa; Pargament, Laura. Página 368 de 632 “A partir de las siguientes fichas de goma eva sin superponerlas ni dejar espacios vacíos entre ellas (no es necesario utilizar todas las fichas), construye por lo menos cinco rectángulos y luego analiza qué sucede con sus respectivos perímetros y áreas en función de la variación de sus bases y de sus alturas.” Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 P= 220 cm A=1936cm2 P= 198 cm A=1694cm2 P= 176 cm A=1452cm2 P= 154cm A=1210cm2 P= 132cm A=968cm2 P= 110 cm A=726cm2 El área es directamente proporcional a cada una de las variables (base y altura) cuando una de ellas se mantiene constante. Su constante de proporcionalidad es: k = 22 cm y la fórmula de la función es: A(h) = 22.h (h >0). Su gráfica es una función lineal y discontinua. El perímetro no es directamente proporcional a cada una de las variables (base y altura) cuando una de ellas se mantiene constante. La fórmula de la función es: P (h) = 2.h + 44 cm (h >0). Su gráfica es una función lineal y discontinua. Si nombramos “n” a los coeficientes de h o de b, es decir las veces que aumenta o disminuye la altura o la base, entonces el perímetro varía en: (2n-2) cm. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ISFD Nº11 de Lanús ESPACIO CURRICULAR: Matemática y su Enseñanza I INTEGRANTES: Canadell Valeria, Rodriguez Ileana, Leguizamón Andrea “Armar con todas las fichas un cuadrado. Dibujar en la carpeta el cuadrado que les quedó armado. ¿Cuántos cuadrados quedan determinados? ¿Qué parte del cuadrado inicial corresponde a la ficha verde? ¿Qué fracción del cuadrado inicial representa un cuadrado rojo? ¿Y dos cuadrados rojos? ¿Y cuatro cuadrados rojos? Expresen el área del cuadrado inicial considerando la fracción que representa un rectángulo amarillo. Ahora expresen el área del cuadrado inicial considerando las fracciones que representan las fichas con las que lo armaron. ¿Resultan iguales? Fundamentar.” Respuestas: 14 cuadrados; la cuarta parte; 1/16; 2/16=1/8; 4/16=2/8=1/4; A= 1/32.32=1; A=8.1/32+4.1/16+2.1/8+1.1/4= =1/4+1/4+1/4+1/4=4.1/4=1 ISFD Nº102 de Banfield ESPACIO CURRICULAR: Matemática y su Enseñanza II Página 369 de 632 INTEGRANTES: Contreras Mariana, Sarpa Bologna Mariano, Vianello Luis, Gómez Ulises. “En grupos de no más de cuatro integrantes, construir un cuerpo con las figuras dadas. No es necesario utilizarlas todas. Podrán agregar otras pero respetando las medidas de las figuras anteriores. 1. Calcular el área total y el volumen del cuerpo construido. 2. Colocar V o F y justificar de dos maneras diferentes. a) Disminuyendo en 2cm los lados de las caras del cuerpo, disminuye 2 cm² su área total. b) Aumentando en 2cm los lados de las caras del cuerpo, aumenta en 2cm³ su volumen. c) Duplicando las áreas de las caras del cuerpo, se duplica el área total. d) Duplicando las áreas de las caras del cuerpo, se duplica el volumen.” Alto: 11cm; Ancho 11cm; Largo 22cm Calcular el área total y el volumen del cuerpo construido. Volumen = l . a . h = 22cm. 11cm . 11cm= 2.662 cm³ Área total= 2.(l . h) + 2(a . h ) + 2(a . l) = 2(22cm . 11cm) + 2(11cm . +2(11cm . 22cm)= 1.210cm² Disminuyendo en 2cm los lados de las caras del cuerpo, disminuye 2 cm² su área total. Área total = 2[(l-2) . (h-2)] + + 2[(a-2) . (h-2)] + 2[(a-2) . (l-2)]= = 2 (20cm . 9cm) + 2(9cm . 9cm) + + 2(9cm . 20cm)= 882cm² F, porque: 1.210cm²- 2 cm²≠ 882cm² Aumentando en 2cm los lados de las caras del cuerpo, aumenta en 2cm³ su volumen. Volumen = (l+2). (a +2). (h+2)= = 24 cm. 13 cm. 13cm= = 4.056cm³ F, porque: 2.662 cm³ + 2cm³ ≠4.056cm³ Duplicando las áreas de las caras del cuerpo, se duplica el área total. 11cm) + Duplo del Área de una de las caras formadas por la ficha roja = 2. (11 cm. 11 cm) = 242 cm² Duplo del Área de una de las caras formadas por la ficha azul = 2. (22 cm. 11 cm) = 484 cm² Área total= [4(2 . 242 cm²) + 2(2 . 121 cm²)] = 2.420 cm² V, porque: 2. 1.210cm² = 2.420 cm² Duplicando las áreas de las caras del cuerpo, se duplica el volumen. Lado del cuadrado de área 242 cm² = 11√2 cm Largo del rectángulo de altura 11√2 cm = = 484 cm² : 11√2 cm = 22√2 cm Volumen = 11√2 cm. 11√2 cm. 22√2 cm = 5.324 cm³ F, porque: 5324 cm³≠5.324 cm³ Página 370 de 632 EVALUACIÓN Al considerar el hecho educativo como un proceso integral, no podemos sólo evaluar la relación docente-alumno-objeto de conocimiento. La evaluación debe estar contextuada, debe ser cuantitativa, cualitativa y compatible con el proyecto de enseñanza y de aprendizaje. Es necesario entonces, evaluar procesos y no solamente resultados atendiendo tanto lo que los alumnos saben como lo que no saben. A partir de este enfoque, durante el tiempo destinado a la realización de la experiencia, la evaluación fue globalizadora, continua, participativa y orientadora. Las intervenciones docentes tanto en los diferentes momentos de las clases como en cada una de las dos entregas escritas parciales y en la entrega final se basaron en aclaraciones e indicaciones para que los alumnos reflexionaran sobre lo producido y lo modificaran, promoviendo de este modo el interjuego entre los procesos de anticipación y de validación a lo largo de la secuencia. En la exposición de las propuestas, pudieron analizar procedimientos y confrontar diferentes modelos alternativos habiendo partido de una situación abierta en la que lo único que compartían era el material dado al comienzo. De este modo extendieron los conocimientos a nuevas situaciones estableciendo en algunas de ellas relaciones con un mismo conocimiento. El proceso evaluativo, en la medida en que introduce la reflexión sobre lo que se hace y como se hace, que cuestiona la eficacia de las prácticas, sensibiliza a las personas implicadas sobre muchas cuestiones. Si se consigue desarrollar esta sensibilidad y que los docentes (los que se están formando y los formadores) entren en un proceso de reflexión y crítica pedagógica sobre qué se hace, cómo se hace y qué utilidad tiene, sin duda se habrán sentado las bases de una evaluación que tiene el reto de asegurar la calidad de la formación. (Cabrera, 2000, p.13) BIBLIOGRAFÍA Alsina, C., Burgués, C. & Fortuny, J. M. (1988). Materiales para construir la geometría. Madrid: Síntesis. Cabrera, F. (2000). Evaluación de la formación. Madrid: Síntesis. Castro, E. & Castro, E. (1997). Representaciones y modelización. En L. Rico (Coord.) La Educación Matemática en la Enseñanza Secundaria. Barcelona: Horsori. Castro Martínez, E. (2008). Resolución de Problemas. Ideas, tendencias e influencias en España. Dep. Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada. Extraído el 18 Diciembre, 2008, de http://www.uv.es/puigl/castroseiem2008.pdf. Compiano, B.; Giarrizzo A. & Schell H. (1999). Matemática y su enseñanza. Problemáticas integradoras desde el álgebra.. Buenos Aires: Edicial. Compiano B. & Giarrizzo A. (1995). Investiguemos para aprender. Una estrategia no convencional en Matemática. Buenos Aires: a-Z editora. Giarrizzo Alicia M. (2006). Los conocimientos previos. Aportes para la problemática de su evaluación. Revista Novedades Educativas, (182), 66-69. Kilpatrick, J. (1987). “Problem Formulating: Where Do Good Problems Come From?”, en Alan Schoenfeld (ed.), Cognitive Science and Mathematics Education, Hillsdale, N.J., Lawrence Erlbaum Associates, 123-147. Mayer, R. E. (1986). 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Las Matemáticas constituyen un vehículo mediante el cual tiene lugar el aprendizaje humano complejo. En la actualidad, el énfasis de la enseñanza de las Matemáticas se sitúa en el aprendizaje de procesos, particularmente los relacionados con la resolución de problemas, en oposición a tendencias tradicionalistas aun vigentes que enfatizan la transferencia memorística y mecánica de los algoritmos. Así, la Matemática se consolida ante todo en el “saber hacer”, enfocando su cometido en el desarrollo de las competencias necesarias para pensar, crear, razonar, argumentar y comunicar los resultados. Es por ello que se torna fundamental asumir nuevos compromisos institucionales que conlleven nuevos rumbos a la formación de docentes en servicio que delineen escenarios formativos que tomen en cuenta las recientes investigaciones que aluden a perspectivas teóricas y metodológicas diversas, tratando de incorporar el espíritu matemático a los jóvenes de hoy. Finalmente podemos comentar que el programa de Maestría en Ciencias de la Educación con la línea de especialización en Didáctica de la Matemáticas ubicará la posibilidad de asumir el reto de formar y transformar la visión formalizadora y pasiva de la enseñanza de las matemáticas y reconocerla como un campo en construcción susceptible de estudiarse y aportar significativamente a su evolución. DESARROLLO La Universidad Autónoma de Baja California (UABC), ha planteado como una de sus metas el desarrollo de un programa de Maestría con la finalidad de favorecer la generación de nuevas propuestas que contribuyan a la solución de las problemáticas que en la actualidad presentan los sistemas educativos. El programa de Maestría en Ciencias de la Educación, que se ofrece en la Facultad de Ciencias Humanas de la UABC, surge a propósito de abordar integralmente la acción educativa con la finalidad de coadyuvar a la mejora de la calidad de ésta, contemplando cuatro líneas de especialización: 1. 2. 3. 4. Docencia Administración educativa Educación Especial Didáctica de las Matemáticas El área de Docencia y Administración Educativa se ofrece desde 1996, y la de Educación Especial en 1998, y a partir del este año se ofertara la de Didáctica de las Matemáticas. Página 373 de 632 Ciertamente en la educación se reconoce la importancia del desarrollo potencial de carácter intelectual asociado al manejo de contenidos matemáticos. Las Matemáticas constituyen un vehículo mediante el cual tiene lugar el aprendizaje humano complejo. En la actualidad, la configuración de propuestas teóricas con mayor trascendencia en la enseñanza de las Matemáticas ponen especialmente el énfasis en ubicar el aprendizaje de procesos, particularmente los relacionados con la resolución de problemas, como medios elementales para la formación de estructuras mentales particulares, que permiten conocer la realidad física o mental de forma más seria. Dicha propuesta se encuentra en oposición a tendencias tradicionalistas aún vigentes que enfatizan la transferencia memorística y mecánica de los algoritmos. Así, la Matemática se consolida ante todo en el “saber hacer”, enfocando su cometido al desarrollo de las competencias necesarias para pensar, crear, razonar, argumentar y comunicar los resultados. De hecho según lo expone Miguel de Guzmán, la actividad científica en general está vinculada fundamentalmente a la actividad matemática ya que ésta presta a otras ciencias, contenidos emanados del campo propio así como modelos metodológicos y procedimentales. Entre los principios compartidos más relevantes podrían incluirse: a) una simbolización adecuada, que permite presentar eficazmente, desde el punto de vista operativo, las entidades que maneja, b) una manipulación racional rigurosa, que compele al asenso de aquéllos que se adhieren a las convenciones iniciales de partida, c) un dominio efectivo de la realidad a la que se dirige, primero racional, del modelo mental que se construye, y luego, si se pretende, de la realidad exterior modelada. Este investigador asegura que se precisa de una formación intensa sobre el conocimiento matemático, que no puede ser sustituida por cursos de actualización aislados, y que nada es mas deseable que todos los miembros de una comunidad matemática y científica como las pertenecientes a las universidades, realizaran esfuerzos formales para hacer patente la presencia influyente de la matemática y de la ciencia en la cultura. La tan referida “Sociedad del conocimiento” solo será posible articulando el saber científico en cada espacio y con todos los medios donde se desenvuelva el ser humano. De ahí que consideremos que la UABC a través de la FCH puede asumir compromisos institucionales que conlleven nuevos rumbos a la formación de docentes en servicio que permitan delinear nuevos escenarios formativos que tomen en cuenta las recientes investigaciones que aluden a perspectivas teóricas y metodológicas diversas a la vez que emergentes y que favoreciesen el desarrollo de las potencialidades de los jóvenes de hoy. La Problemática en la Enseñanza de las Matemáticas. A pesar del reconocimiento de las bondades del buen aprendizaje de contenidos y procesos de índole lógico matemático, los estudiantes mexicanos, asumen las matemáticas como un tabú, sobre el cual prefieren no saber nada, sacándoles la vuelta todo lo que les sea posible. De hecho, no pocos estudiantes abandonan sus estudios como respuesta a las dificultades que éstas les presentan, mientras que para muchos más la solución es buscar un área de estudio o una profesión que poco o nada tenga que ver con las matemáticas. Datos reveladores expresados en el informe sobre la calidad de la educación básica en México 2006, emitido por el Instituto Nacional de Evaluación de la Educación (INEE) ilustran lo anterior; el INEE especifica que a nivel nacional poco mas de la mitad de los alumnos de tercero de secundaria (51.1 por ciento) se encuentran por debajo del nivel básico en el desarrollo de las competencias matemáticas valoradas por Excale (Examen de calidad y de logro educativo); 3 de cada 10 (29.5 por ciento) se ubican en el nivel básico y solo poco más de 1 de cada 100 (1.4 por ciento) se ubica en el nivel avanzado, es decir que la mitad de los alumnos no lograron adquirir las competencias requeridas y expresadas en el currículo oficial. Baja California se conservó en la media nacional (500.0) tanto en Secundarias Generales y Técnicas públicas como en Secundarias de carácter privado. Si se considera la presencia de esta condición Página 374 de 632 extendida al bachillerato resulta imperioso asumir que es necesario aplicar nuevas visiones y estrategias teóricas tanto como metodológicas para potenciar los aprendizajes en el campo específico de las matemáticas. Diversos estudios realizados en países latinoamericanos refieren diferentes causales de este fenómeno insistiendo en su carácter multifactorial entre ellas destaca la falta de articulación de esta asignatura con otras que podrían reforzarla, su relación con aspectos prácticos de la vida cotidiana del estudiantes, la rutinizacion de las clases, el uso excesivo de los ejercicios propuestos en los libros de texto que limitan la enseñanza al seguimiento de instrucciones y la descontextualización de contenidos, en pro de la disminución significativa de los resultados no satisfactorios observados en las diferentes evaluaciones aplicadas a los estudiantes mexicanos. Resulta interesante también destacar que la experiencia de los docentes es un factor de influencia preponderante en la enseñanza de las matemáticas, según los informes mas recientes (INEE 2006) en las escuelas urbanas de carácter público se encuentra una proporción considerablemente mas alta de profesores con larga experiencia profesional ( 51 por ciento del total con mas de veinte años de antigüedad) y, de acuerdo a diferentes estudios a los cinco años de experiencia el docente adquiere el dominio manejando un amplio repertorio de estrategias educativas las cuales relacionada con los intereses y necesidades de los alumnos, empero se señala que a partir de los 15 años de experiencia laboral los docentes demuestran mayor resistencia al cambio y pueden sufrir fatiga laboral, lo cual presupone un riesgo mas alto de inefectividad de la enseñanza. Por otra parte, es necesario enfatizar que las matemáticas tienen mucho que ver con el pensamiento abstracto. Enseñarlas a los estudiantes es equivalente a enseñarles a pensar; sin embargo, en su lugar se les enseña a memorizar tablas de multiplicar, fórmulas y reglas para manipular números y signos, sin explicar el significado ni la importancia de esas reglas. Los niños aprenden conductas, su aprendizaje es mecánico y en mucho termina siendo estéril. El problema se agudiza en la educación media (básica y superior), cuando las matemáticas son enseñadas como un lenguaje, haciendo énfasis en su gramática y dejando para un después que no llega nunca- el significado de las expresiones que deben estudiar y operar. A ello podríamos agregar que el desencanto que algunos profesores sienten por la enseñanza de su asignatura, así como el desconocimiento profundo de los contenidos de la misma, terminan siendo transmitidos a sus alumnos. Datos interesantes clarifican la problemática anteriormente expuesta como por ejemplo el Programa para la evaluación internacional de los alumnos (PISA), es un estudio que se realiza cada tres años sobre las competencias que se ocupan de la capacidad de los estudiantes para aplicar conocimientos y destrezas en materias clave y para analizar, razonar y transmitir ideas con eficacia al tiempo que plantean, resuelven e interpretan problemas en situaciones diferentes, de los alumnos de 15 años. Participan en esta evaluación 48 países integrantes de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE), en el año 2003 se valoró las competencias relativas al pensamiento matemático. De su último informe podemos destacar que alrededor de tres cuartas partes de los alumnos de la OCDE son capaces de realizar al menos ejercicios de nivel 2. No obstante, no son competentes más allá del nivel 1 cerca de una cuarta parte de los alumnos de Italia y Portugal, más de una tercera parte de los de Grecia, y más de la mitad de los de México y Turquía. Varios países asociados muestran también cifras elevadas en el nivel 1 o por debajo. Esto no hace anunciar que la prueba cuenta con seis niveles que a saber son los siguientes: Podemos observar que el ejercicio de interpretación y de tránsito de conceptos empíricos a científicos para presentar argumentaciones fundamentadas está distante de objetivarse en los alumnos mexicanos, además se manifiesta con los resultados también que la habilidad para resolver problemas no está consolidada como rasgo de formación. Mejorar el conocimiento de los maestros implica realizar cambios serios. En las condiciones actuales, la formación de los profesores debe ser intervenida con estrategias sistemáticas, diversas y problematizadoras que conlleven dejar atrás prácticas fundamentalmente Página 375 de 632 conductistas. Caine y Caine (1997) proponen tres elementos interactivos de la enseñanza que pueden perfectamente aplicarse en el proceso enseñanza aprendizaje: 1. Inmersión orquestada en una experiencia compleja: crear entornos de aprendizaje que sumerjan totalmente a los alumnos en una experiencia educativa. 2. Estado de alerta relajado: eliminar el miedo en los alumnos, mientras se mantiene un entorno muy desafiante 3. Procesamiento activo: permitir que el alumno consolide e interiorice la información procesándola activamente La propuesta Las premisas anteriores son la base edificadora que la Universidad Autónoma de Baja California asume para responder a la necesidad imperiosa de abordar de forma distinta y relevante al reto de formar profesionales para la enseñanza del conocimiento matemático en los niveles de secundaria y bachillerato, ampliando el especto de especialización de la Maestría en Ciencias de la Educación con siete materias que preparen al profesional en la didáctica de la enseñanza de las matemáticas. Aunque las matemáticas son milenarias, un problema persistente a nivel internacional en educación matemática es, cómo diseñar programas de formación que influyan sobre la naturaleza y calidad de la práctica de los profesores. Según lo expuesto por Hiebert, Morris y Glass (2003), la ausencia de efectos significativos en los programas de formación de profesores en dicha práctica se puede explicar en parte , “ por la falta de un conocimiento base ampliamente compartido sobre la enseñanza y la formación de profesores”. El saber didáctico que progresivamente va produciendo la investigación en educación matemática queda reflejado en diversas fuentes dispersas y heterogéneas (Godino 2006). Dada esta condición relativa a nuestro objeto de intervención, podemos asumir solo algunos referentes generales que ya empiezan a ser comunes en las prácticas educativas con una nueva visión de la educación matemática 1) Teoría Cultural de Objetivación (Radford, 2006) Esta se apoya en una epistemología y una ontología no racionalistas que dan lugar, por un lado una concepción antropológica del pensamiento y por otra a una concepción esencialmente social del aprendizaje. De acuerdo con la teoría, lo que caracteriza al pensamiento no es solamente su naturaleza semióticamente mediatizada sino sobre todo su modo de ser en tanto que praxis reflexiva. El aprendizaje de las matemáticas es tematizado como la adquisición comunitaria de una forma de reflexión del mundo guiada por modos epistémico-cuturales históricamente formados; la frase que ejemplifica este pensar es “aprender matemáticas no es simplemente aprender a hacer matemáticas (resolver problemas) sino aprender en matemáticas” (Radford;2006); de forma complementaria, resolver problemas matemáticos no es el fin sino el medio para alcanzar la reflexión y esta última el inicio de un nuevo proceso de aprendizaje. 2) Enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática. El panorama general que resalta Godino en sus aportaciones es un modelo ontológico y semiótico (EOS) de la cognición que proporciona seis criterios para identificar los estados posibles de las trayectorias epistémica y cognitiva, y la adopción de a negociación de significados, se debe tener en cuenta la interacción entre los criterios para alcanzar la idoneidad didáctica como pautas sistémica de adecuación y pertinencia. Dichos criterios se articulan y complementan para superar la visión parcial y sesgada de los objetos matemáticos ampliando la noción de objeto matemático (concepto) y significado (el contenido de cualquier función semiótica). La idoneidad didáctica debe interpretarse como relativa a condiciones temporales y contextuales cambiantes, lo cual requiere de una Página 376 de 632 actitud de reflexión e investigativa por arte del profesor y demás agentes del proceso enseñanza-aprendizaje. Los criterios se describen a continuación: a) Idoneidad epistémica: Que ubica el grado de representatividad de los significados institucionales implementados (o pretendidos), respecto de un significado de referencia en los programas educativos para el campo de las matemáticas; b) Idoneidad cognitiva: Remite al grado de proximidad de los significados implementados respecto de aquellos que son personales iniciales de los estudiantes expresados pedagógicamente en una Zona de desarrollo potencial; c) Idoneidad interrelaciona o semiótica: un proceso de enseñanza-aprendizaje tendrá mayor idoneidad si las configuraciones y trayectorias didácticas permiten identificar conflictos semióticos, así, este criterios se observa en el grado de compaginación entre las configuraciones (objetos matemáticos) a construir con las trayectorias didácticas como medio para resolver los conflictos semióticos que se producen en el proceso de instrucción; d) Idoneidad mediacional: grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el proceso de enseñanza-aprendizaje: e) Idoneidad emocional: grado de implicación (interés, motivación…) del alumnado en el proceso de estudio. f) Idoneidad ecológica: grado en que el proceso de estudio se ajusta al proyecto educativo del centro, escuela y sociedad, y al acondicionamiento del entorno en que se desarrolla. 3) Enfoque de resolución de problemas (Krulik y Polya) La resolución de problemas se propone como una estrategia que facilita no solo el entendimiento de los conceptos matemáticos, sino que se convierten en el instrumento de apreciación de los estudiantes de la validez y pertinencia de alcanzar los conocimientos matemáticos. La enseñanza a través de la resolución de problemas es actualmente el método más invocado para poner en práctica el principio general de aprendizaje activo y de inculturación (realidad matematizable). Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir en lo posible de una manera sistemática los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas. El planteamiento de problemas permitirá el deslizamiento del pensamiento hacia explicaciones sistémicas, holísticas, complejas y transdisciplinarias para asumir que los objetos de conocimiento no solo existen objetiva y previamente sino no que también son creados y recreados en el ejercicio de la práctica (Cantoral; 2006), impregnándolos de significados sociales y culturales que son necesarios en cualquier época del desarrollo humano y por ende de la humanidad. Se trata de tener conciencia de que el acto de saber vuelto condiciona las normas no solo del acceso a el, sino también la normas de uso. Por lo que no solo debe importar la cuestión de la escolarización del saber, sino también que actitudes de los estudiantes se deriva como consecuencia (D´Amore; 2000). Finalmente podemos comentar que este programa de Maestría ubicará la posibilidad de asumir el reto de formar y transformar la visión formalizadora y pasiva de la enseñanza de las matemáticas y reconocerla como un campo en construcción susceptible de estudiarse y aportar significativamente a su evolución. La maestría en Ciencias de la Educación deberá cubrir 80 créditos como se observa en el siguiente cuadro cursando cinco materias obligatorias, y diez materias optativas (estas las podrá elegir de las listadas en el cuadro no. 2). Página 377 de 632 Cuadro 1. MAESTRIA EN CIENCIAS DE LA EDUCACION UNIDADES DE APRENDIZAJE CREDITOS MATERIAS % OBLIGATORIAS OPTATIVAS TOTAL 30 50 80 5 10 15 37.5 62.5 100 Cuadro 2. Área de especialización DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS DIDACTICA DE LA ARITMETICA DIDACTICA DEL ALGEBRA DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS DIDACTICA DE LA ESTADISTICA PROCESOS DE LA COGNICION MATEMATICA DIDACTICA DE LA GEOMETRIA Y LA TRIGONOMETRIA EPISTEMOLOGIA DE LAS MATEMATICAS LITERATURA MATEMATICA ACTUAL TALLER DE ELABORACION DE MATERIAL DIDACTICO APLICACIONES DE LAS NUEVAS TECNOLOGIAS EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMATICAS DIDACTICA DEL CALCULO INTEGRAL ENFOQUES EN LA ENSENANZA DE LAS MATEMATICAS EN SECUNDARIA Y BACHILLERATO DIDACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL OTROS CURSOS Se pretende que el programa de Maestría en Ciencias de la Educación con la línea de especialización en Didáctica de la Matemáticas nos permita apoyar en la formación de los docentes para la enseñanza de las matemáticas y reconocerla como un campo en construcción. BIBLIOGRAFIA * * * * Brousseau, Guy. (1986). Fundamentos y métodos de la didáctica. RDM Nº 9 (3). 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(Argentina) [email protected] Nivel Educativo: superior Categoría: Formación de profesores – Metodología: cualitativa Palabras clave: prácticas docentes, función, biografía escolar, formalización Resumen Los futuros profesores durante el periodo de residencia evidencian en sus primeras clases la cultura matemática construida a lo largo de su biografía escolar. Los casos que se presentan corresponden a observaciones de clases realizadas a diferentes practicantes. Se resalta en cada situación aspectos positivos y negativos que influyen en la construcción de conceptos matemáticos. En oportunidades, reproducir el concepto de función tal como ha sido aprendido al momento de abordarlo y tratarlo en el aula, refleja la resistencia al cambio desarrollada por ellos (Lezama, 2005). La matemática que se construye en la clase se expresa por medio de un discurso rígido y formal. El análisis realizado, permite reflexionar acerca del modo en que encaran las prácticas docentes los estudiantes de profesorado (Homilka, 2008). La historia escolar en las primeras clases de matemática La docencia se caracteriza por ser una profesión que se desarrolla en un lugar conocido de antemano, vivido y experimentado por los sujetos durante muchos años en etapas decisivas de la vida (Alliaud, 2006; p8.). La matemática educativa, desde el enfoque socioepistemológico, da cuenta que en la construcción social del conocimiento matemático, el alumno va construyendo ideas, imágenes y creencias acerca de la matemática y del rol docente. La mayoría de las veces en forma implícita a lo largo de lo vivido dentro y fuera de la escuela (Crespo Crespo, 2007; Homilka, 2008) Por lo tanto, la historia biográfica se produce y transmite en determinadas condiciones de existencia, y está relacionada a la historia colectiva de la profesión docente en matemática y es la que se va a producir y a reproducir en las escuelas. La escuela es entonces el lugar por el que todos los docentes pasaron cuando fueron alumnos y al que todos vuelven siendo profesores. Ahora bien, la influencia de esa experiencia vivida, no es lineal y mecánica, ni va a determinar el ejercicio profesional. Pero, afecta lo que los futuros profesores realicen en el aula durante su residencia aun cuando no tengan conciencia de ello. En el profesorado de matemática del Profesorado “Dr. J. V. González” de la Ciudad de Buenos Aires, en uno de los ejes formativos se incluyen asignaturas que se orientan a introducir a los alumnos en la realidad del sujeto que aprende, iniciarse en la comprensión de las teorías de aprendizaje desde la disciplina y que culmina en el último año de la carrera con las prácticas docentes en la denominada residencia. En esta última, es donde los futuros profesores evidencian en sus primeras clases la cultura matemática construida a lo largo de su biografía escolar en distintos momentos y alrededor de diferentes realidades sociales Esa cultura es en parte, producto de acuerdos sobre saberes sancionados por el grupo y de negociaciones con sus docentes; pero se manifiesta de manera individual en las decisiones didácticas sobre los temas matemáticos a tratar en el aula. La práctica del profesor, influye fuertemente en la visión de los futuros profesores, quienes en sus primeras prácticas docentes incorporan otros saberes que provienen de diferentes escenarios socioculturales, saberes que tienen fuerte relación con su historia escolar y social. Página 380 de 632 Muchas veces, esos saberes, son resistentes al cambio ya que son construidos de manera vivencial y sin reflexiones profundas, pero que son necesarios tener presente en un escenario de formación y acción profesional. (Homilka, 2008) Es importante entonces, contemplar las condiciones y circunstancias en que las prácticas escolares se produjeron y se producen para tratar de comprenderlas, más allá de lo que se ve a simple vista y de lo
