UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO (IIP)
DEFORMACIONES DE UN ARCO DE HORMIGÓN ARMADO
BI-EMPOTRADO DEL PUENTE SOBRE EL RIO SAN PABLO
POR MEDIO DE ANÁLISIS DINÁMICO
JAIME EDUARDO JARA LANDIVAR
TUTOR: ING. JUAN FRANCISCO FERNÁNDEZ BRITO PhD.
Trabajo presentado como requisito parcial para la obtención del grado de:
MAGÍSTER EN ESTRUCTURAS Y CIENCIAS DE LOS
MATERIALES
Quito-Ecuador
2015
DEDICATORIA
Dedico este trabajo:
A la memoria de mis abuelos: Luis Elicio Landívar Rodríguez (+1990-12-15),
Manuelita Veintimilla Bolaños (+1982-01-28); Leonidas Jara Jácome (+1984),
Victoria Arroba (+1931); a mi tío Tito Luis Olmedo Landívar Veintimilla (+1987-0106),
A mis padres César y Margoth que con su ejemplo siempre guiaron mis pasos y a
quienes tanto debo…
A mis hijos: Yemina, Ammy y Gersom,
Y a mi nieto Michael Villarreal.
JAIME EDUARDO JARA LANDÍVAR
ii
AGRADECIMIENTOS
Agradezco a Dios en “cuyas manos están mis tiempos”; a la Facultad de Ingeniería que
me ha permitido continuar mis estudios, a los profesores del posgrado que con su
enseñanza nos impartieron sus conocimientos y continuaron con la siembra de la
investigación, de manera especial al Ing. Juan Francisco Fernández Brito PhD. que con
su generosidad amplió mis inquietudes de entender de mejor manera las ciencias de la
ingeniería. Al Ing. Pablo Herrera, Gerente de la Consultora IPHc, que me dio la
oportunidad de obtener algunos datos para comprobaciones ingenieriles mientras se
construía el puente motivo de esta investigación, así como al Ministerio de Transportes
y Obras Públicas en general y en particular al Ing. Marcos Mayorga Reinoso, Director
Provincial de los Ríos (E), quien me autorizó a utilizar la información básica de los
estudios del puente sobre el río San Pablo.
JAIME EDUARDO JARA LANDÍVAR
iii
AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL
Yo, Jara Landívar Jaime Eduardo, en calidad de autor de la tesis sobre
DEFORMACIONES DE UN ARCO DE HORMIGÓN ARMADO BI-EMPOTRADO
DEL PUENTE SOBRE EL RIO SAN PABLO POR MEDIO DE ANÁLISIS
DINÁMICO, por la presente autorizo a la UNIVERSIDAD CENTRAL DEL
ECUADOR, hacer uso de todos los contenidos que me pertenecen o de parte de los que
contiene esta obra, con fines estrictamente académicos o de investigación.
Los derechos que como autor me corresponden, con excepción de la presente
autorización, seguirán vigentes a mi favor, de conformidad con lo establecido en los
artículos 5, 6, 8, 19 y demás pertinentes de la Ley de Propiedad Intelectual y su
Reglamento.
Quito, 8 de septiembre de 2015
JAIME EDUARDO JARA LANDÍVAR
CC. 1704868452
iv
CERTIFICACIÓN
Certifico que el presente trabajo fue realizado en su totalidad por el Sr.
JAIME EDUARDO JARA LANDÍVAR como requisito parcial a la obtención
del título de MAGÍSTER EN ESTRUCTURAS Y CIENCIAS DE LOS
MATERIALES.
El documento elaborado superó el control antiplagio URKUND.
8 de septiembre de 2015
ING. JUAN FRANCISCO FERNÁNDEZ BRITO PhD.
TUTOR
..........................................................
v
CONTENIDO
DEDICATORIA ....................................................................................................................... ii
AGRADECIMIENTOS ............................................................................................................iii
AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL .........................................................iv
CERTIFICACIÓN .....................................................................................................................v
LISTADO DE TABLAS ............................................................................................................x
LISTADO DE FIGURAS ......................................................................................................... xi
LISTADO DE ANEXOS ........................................................................................................ xiii
RESUMEN.............................................................................................................................. xiv
ABSTRACT ............................................................................................................................. xv
CERTIFICACIÓN .................................................................................................................. xvi
CAPITULO 1 ............................................................................................................................ 1
REVISION BIBLIOGRAFICA SOBRE DEFORMACIONES ............................................... 1
INTRODUCCION .................................................................................................................... 1
1.1.1
Generalidades ........................................................................................................ 1
1.1.2
Deformación.......................................................................................................... 2
1.3
Ley de Hooke: deformación axial – distorsión ......................................................... 3
1.4
Deformación angular (o por cortante) – Distorsión .................................................. 4
1.5
Relación de Poisson: Estados de deformación biaxial y triaxial ............................... 6
1.6
Ecuación Generalizada Lamé-Hooke .................................................................... 8
1.6.1
Material anisótropo. .......................................................................................... 8
1.6.2
Material isótropo: ecuaciones de Lamé-Hooke ................................................. 9
1.6.3 Interpretación física de las constantes elásticas del material de Hooke ............... 11
1.6.3.1 Módulo de elasticidad ........................................................................ 11
1.6.3.2 Módulo de Poisson ............................................................................. 11
1.6.3.3 Módulo de elasticidad transversal ...................................................... 11
1.6.3.4 Módulo de deformación volumétrica ................................................. 11
1.7 Esfuerzos de origen térmico ........................................................................................ 12
1.8
Deformaciones en puentes AASHTO 2012 ............................................................ 13
1.8.1
Requisitos Generales ....................................................................................... 13
1.8.2
Criterios para la Deflexión .............................................................................. 14
1.8.3
Grandes deformaciones en puentes colgantes ................................................. 16
CAPITULO 2 .......................................................................................................................... 17
vi
CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN PUENTES TIPO ARCO ...................................... 17
2.1
Introducción ............................................................................................................ 17
2.2
Propiedades de los arcos ......................................................................................... 17
2.3
Definición................................................................................................................ 17
2.4
Sistemas estructurales básicos usados en puentes ................................................... 17
2.4.1
Puentes de vigas .................................................................................................. 17
2.4.2
Vigas de alma llena ............................................................................................. 18
2.4.3
Vigas en celosía................................................................................................... 19
2.4.5
Puentes atirantados .............................................................................................. 21
2.5
El arco ..................................................................................................................... 21
2.6
Métodos de cálculo ................................................................................................. 23
2.6.1
Método de los desplazamientos....................................................................... 23
2.6.1.1
ARCO BIEMPOTRADO ............................................................................... 27
Métodos energéticos............................................................................................ 32
2.6.2
2.6.3
2.7
Método de los elementos finitos...................................................................... 33
El puente arco.......................................................................................................... 35
Clasificación de los puentes arco ........................................................................ 38
2.7.1
2.7.1.1
Arco con tablero superior ................................................................................ 39
2.7.1.2
Puentes de hormigón con tablero superior ...................................................... 39
2.8
CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN EL ARCO DEL PUENTE SOBRE EL RÍO
SAN PABLO POR EL MÉTODO DE DESPLAZAMIENTOS............................................. 43
CAPITULO 3 .......................................................................................................................... 52
CÁLCULO DE DEFORMACIONES MEDIANTE MÉTODOS COMPUTACIONALES
COMO EL SAP2000 .............................................................................................................. 52
3.1
Introducción ............................................................................................................ 52
3.1.1
3.1.1.1
Solicitaciones y Combinaciones de carga ........................................................... 53
Carga muerta o peso propio (CM)................................................................... 53
3.1.1.1.1 Sobre carga vehicular e impacto (CV + I) ....................................................... 53
3.1.1.3
Sobrecarga vehicular HL-93 .......................................................................... 53
3.1.1.4
Fuerza de frenado ........................................................................................... 54
3.1.1.5
Fuerza del viento ............................................................................................ 55
3.1.1.6
Presión del viento sobre los vehículos (Viento-1) ......................................... 55
3.1.1.7
Presión del viento sobre la estructura (Viento-2) ........................................... 56
3.1.1.8
Carga sísmica (EQ) ........................................................................................ 56
vii
3.1.1.9
Combinaciones de carga y factores de mayoración ........................................ 62
3.1.1.10 Diseño geométrico .......................................................................................... 63
3.1.1.11 Idealización estructural ................................................................................... 65
3.1.1.11.1
Condiciones de apoyo ............................................................................. 66
3.1.1.11.2
Cargas y combinaciones de cargas del modelo ....................................... 66
3.1.1.11.2.1
Cargas introducidas: ................................................................................ 66
3.1.1.11.2.2
Combinaciones de carga: ........................................................................ 67
3.1.1.12 Resultados del Modelo SAP2000................................................................... 70
3.1.1.121 Deflexiones en el puente ................................................................................ 70
CAPITULO 4 .......................................................................................................................... 73
CÁLCULO DE DEFORMACIONES MEDIANTE UN MODELO DE ANÁLISIS
DINÁMICO PARA CARGA MOVIL EN LOS ARCOS DE HORMIGÓN PARA EL
PUENTE EN ARCO SOBRE EL RÍO SAN PABLO ............................................................ 73
Análisis dinámico .................................................................................................... 73
4.1
4.1.1
Requisitos básicos de la dinámica estructural ..................................................... 73
4.1.2
Requisitos Generales ........................................................................................... 73
4.1.3
Distribución de Masas ......................................................................................... 75
4.1.4
Rigidez ................................................................................................................ 75
4.1.5 Amortiguamiento ....................................................................................................... 76
4.1.6 Frecuencias Naturales ................................................................................................ 76
4.1.7 Respuestas Dinámicas Elásticas ................................................................................. 78
4.1.7.1 Vibración Inducida por los Vehículos ................................................................. 78
4.1.8
Vibración Inducida por el Viento ........................................................................ 79
4.1.8.1 Velocidades del Viento ....................................................................................... 79
4.1.9
Efectos Dinámicos .............................................................................................. 79
4.1.10
Consideraciones de Diseño ................................................................................. 80
4.1.11 Respuestas Dinámicas Inelásticas ........................................................................... 80
4.1.11.1 Requisitos Generales ............................................................................................. 80
4.2
Cálculo dinámico en puentes ...................................................................................... 80
4.3
Modos de vibración. El tiempo característico de las estructura. ................................. 81
4.4
Vibraciones forzadas ................................................................................................... 82
4.5
Descripción estructural del puente sobre el río San Pablo .......................................... 84
4.6
Determinación del modelo matemático de deformaciones por análisis dinámico
vehicular del puente sobre el río San Pablo ............................................................................ 85
viii
4.7
Ecuación del movimiento............................................................................................ 87
4.8
Aplicación del Método de Newmark .......................................................................... 87
4.9
Procedimiento de cálculo ............................................................................................ 89
4.10
Programa Matlab ......................................................................................................... 89
CAPITULO 5 .......................................................................................................................... 91
CÁLCULO DE DEFORMACIONES SEGÚN MODELO DE ANÁLISIS DINÁMICO POR
LA APLICACIÓN DE CARGAS MÓVILES ........................................................................ 91
5.1
Datos del arco de hormigón armado del Puente sobre el río San Pablo ...................... 91
5.2
Carga impulsiva .......................................................................................................... 96
5.3
Resultados ................................................................................................................... 98
CAPITULO 6 ........................................................................................................................ 100
MEDICIÓN IN SITU DE DEFORMACIONES DEL ARCO .............................................. 100
CAPITULO 7 ........................................................................................................................ 111
ANÁLISIS DE RESULTADOS DE LAS DEFORMACIONES POR MÉTODO ESTÁTICO,
DEFORMACIONES POR MÉTODO DINÁMICO Y DEFORMACIONES
DETERMINADAS CON MEDICIONES ............................................................................ 111
CAPITULO 8 ........................................................................................................................ 114
CONCLUSIONES ................................................................................................................ 114
RECOMENDACIONES ....................................................................................................... 115
Glosario ................................................................................................................................. 117
BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................. 119
BIOGRAFIA ......................................................................................................................... 135
ix
LISTADO DE TABLAS
Tabla 1 - Puentes de Arco ........................................................................................... 41
Tabla 2- Determinación de carga permanente............................................................. 45
Tabla 3- Carga muerta del arco ................................................................................... 46
Tabla 4- Cálculo de deformaciones y esfuerzos de un arco biempotrado ................... 46
Tabla 5- Reacciones isostáticas ................................................................................... 47
Tabla 6- Momentos de empotramiento ....................................................................... 47
Tabla 7- Secciones trasnversales de los arcos ............................................................. 47
Tabla 8- Coordenadas de los puntos del arco en análisis ............................................ 47
Tabla 9- Tipo de suelo y factores de sitio Fa .............................................................. 58
Tabla 10- Tipo de suelo y Factores Fd ........................................................................ 59
Tabla 11- Tipo de suelo y Factores de sitio Fs ............................................................ 59
Tabla 12- Acelerograma .............................................................................................. 60
Tabla 13- Requisitos de análisis mínimos para efectos sísmicos ................................ 77
Tabla 14- Requisitos para que un puente sea considerado regular ............................. 77
Tabla 15- Incremento por Carga Dinámica, IM .......................................................... 78
Tabla 16 - Coordenadas de los elementos del arco ..................................................... 91
Tabla 17- Propiedades Geométricas secciones arco ................................................... 93
Tabla 18- Grados de libertad ....................................................................................... 94
Tabla 19- Cargas armónicas ........................................................................................ 97
Tabla 20- Mediciones de cotas en arco de puente San Pablo................................... 101
x
LISTADO DE FIGURAS
Figura 1.- Diagrama esfuerzo-deformación .................................................................. 1
Figura 10. Arco en voladizo con extremo libre unido al centro elástico .................... 25
Figura 11. Arco biempotrado cortado por la clave...................................................... 25
Figura 12. Variante para obtener arcos en voladizo a partir de un arco biempotrado 25
Figura 13. Esfuerzos en una rebanada de arco bajo carga .......................................... 26
Figura 14. Arco en voladizo con arranques a nivel ..................................................... 29
Figura 15. Obtención de M, N y Q en un arco biempotrado ....................................... 29
Figura 16. Deformaciones provocadas por un giro dθ................................................ 30
Figura 17. Ejes elásticos en un arco asimétrico .......................................................... 31
Figura 18. Puente Krk en Croacia ............................................................................... 36
Figura 19. Puente Fiumarella ...................................................................................... 36
Figura 2 Deformación angular o distorsión................................................................... 5
Figura 20. Puente Waxian en China ........................................................................... 37
Figura 21. Puente metálico en la Saquea en Zamora ................................................. 37
Figura 22. Puente catenario de hormigón en la Saquea en la provincia de Zamora .. 38
Figura 23. Puentes metálicos en el Paso Lateral de Babahoyo en la provincia de Los
Ríos .......................................................................................................................... 38
Figura 24. Puentes de hormigón armado en el Acceso Norte de Babahoyo en la
provincia de Los Ríos ............................................................................................. 39
Figura 25. Puente de Parramata en Australia ............................................................. 41
Figura 26. Puente de la Guaira en Venezuela ............................................................ 41
Figura 27. Puente triarticulado ................................................................................... 41
Figura 28. Corrimientos y momentos flectores debidos a desplazamientos
horizontales.............................................................................................................. 43
Figura 29. Esquema del Puente San Pablo ................................................................. 44
Figura 3. Forma de trabajo de un puente con vigas .................................................... 18
Figura 30. Esquema sección transversal .................................................................... 45
Figura 31 Planta del modelo estructural ...................................................................... 54
xi
Figura 32. Espectro de respuesta sísmica para el diseño............................................ 59
Figura 33. Zonificación sísmica NEC 2011 ................................................................ 59
Figura 34. Espectro de diseño de Babahoyo ............................................................... 63
Figura 35. Idealización de Puente San Pablo .............................................................. 66
Figura 36. Esquema en elevación de puente San Pablo .............................................. 66
Figura 37. Sección transversal de puente San Pablo ................................................... 67
Figura 38. Idealización estructural Puente San Pablo ................................................. 67
Figura 39. Deflexiones de Puente San Pablo .............................................................. 72
Figura 4. Distribución de esfuerzos por flexión .......................................................... 18
Figura 40. Deformada del puente San Pablo ............................................................... 73
Figura 41. Deflexiones de la envolvente Puente San Pablo ........................................ 74
Figura 42. Elevación Puente San Pablo ...................................................................... 87
Figura 43. Sección transversal Puente San Pablo ....................................................... 87
Figura 44. Modelo Geométrico de oscilaciones .......................................................... 89
Figura 45. Carga móvil de diseño ............................................................................... 99
Figura 46. Respuesta dinámica de deformaciones .................................................... 101
Figura 47 Prueba de carga Puente San Pablo y nivelación del tablero ..................... 103
Figura 5. Sistemas de puentes de arco......................................................................... 20
Figura 6. Flujo de cargas en el sistema de puentes atirantados ................................... 21
Figura 7. Inscripción en el templete funerario del Puente de Alcántara ..................... 22
Figura 8 Carga vertical, componentes horizontales en las reacciones y esfuerzos
longitudinales de contrarresto en un arco ................................................................ 22
Figura 9. Arco en voladizo obtenido al liberar un apoyo ............................................ 24
xii
LISTADO DE ANEXOS
Anexo No. 1 Código de funciones Matlab.
Anexo No. 2 Autorización de uso Estudios de Puentes de Babahoyo
RESUMEN
DEFORMACIONES DE UN ARCO DE HORMIGÓN ARMADO BIEMPOTRADO DEL PUENTE SOBRE EL RIO SAN PABLO POR MEDIO DE
ANÁLISIS DINÁMICO
El presente trabajo consistió en realizar varios análisis para determinar por
diferentes métodos las deformaciones de un arco de hormigón armado biempotrado
de la estructura del puente sobre el río San Pablo ubicado en el acceso norte a la
ciudad de Babahoyo en la provincia de Los Ríos, cuya configuración estructural es
de dos arcos de hormigón armado que soportan péndolas con cables de acero de alta
resistencia y baja relajación y sostienen el tablero del puente vehicular, utilizando
métodos estáticos, un método dinámico para carga sísmica con el uso del software
SAP2000 y con el desarrollo de un modelo y las respectivas funciones en Matlab
para calcular las deformaciones por un método dinámico por carga móvil. Este tipo
de análisis no se han realizado en nuestro medio y puesto que el diseño y
construcción de importantes estructuras se están realizando y algunas por ser
flexibles requieren ya de diseños con modelos que contemplen las vibraciones que
se van a producir por el paso de cargas móviles sean peatonales y/o vehiculares
según sea el caso a fin de evitar efectos de resonancia. Además en el desarrollo
futuro se prevé que se construyan trenes de velocidades importantes que atravesarán
por puentes será necesario tomar en cuenta consideraciones de análisis dinámico
por los efectos que provocarán sobre los puentes tanto las vibraciones como la fatiga
sobre las estructuras por los continuos procesos de carga y descarga que conllevan
las cargas móviles en general.
DESCRIPTORES:
/ DEFORMACIONES PARA PUENTES / PUENTES TIPO ARCO / MÉTODO
DE DESPLAZAMIENTOS / MÉTODO DINÁMICO SÍSMICO / MODELO
DINÁMICO / CARGA MÓVIL / FUNCIONES MATHLAB / ARCO DE
HORMIGÓN ARMADO /
xiv
ABSTRACT
DEFORMATIONS OF A BI EMBED REINFORCEMENT CONCRETE ARC
OF THE BRIDGE OVER THE RIVER SAN PABLO THROUGH OF
DYNAMIC ANALYSIS
Present paper consisted in solver several analysis that permit to define with
different methods the deformations of a bi-embed concrete arc of support structure
of bridge constructed over San Pablo river in north access to Babahoyo’s City in
the Province Los Ríos. That bridge has two reinforced concrete arcs that support
the steel cables of high resistance and low relaxation that sustain the vehicle deck
of bridge. For this, it have used static and dynamic methods with the use of software
such as SAP2000 and to development a model with some Mathlab functions to
solve the deformations by a dynamic method of moving load. This kind of analysis
has not did in our country.
Now, the bridge design and construction of important structures are being
made in the equatorian cities and some of them are flexible structures and require
of structural designs that observe the vibrations that produce the pedestrian and
vehicle loads to prevent resonance effects. In addition, in the future development
engineering construction will appear trains with high velocity that need to cross
bridges and those designs will have dynamic considerations by dynamic effects
over bridges like high vibrations and fatigue of structures to produce the continuous
process of loading and unloading of moving loads in general way.
Key words:
/ DEFORMATIONS TO BRIDGES/ BRIDGES IN ARC / METHOD OF
DISPLACEMENTS / EARTHQUAKE DYNAMIC METHOD /
DYNAMIC MODEL / MOBILE LOAD / MATHLAB FUNCTIONS /
xv
CERTIFICACIÓN
Yo, SILVIA DAYANA ASTUDILLO RIERA, con cédula de ciudadanía
1722075494, certifico el haber realizado la traducción del resumen de
“DEFORMACIONES DE UN ARCO DE HORMIGÓN ARMADO BIEMPOTRADO DEL PUENTE SOBRE EL RIO SAN PABLO POR MEDIO
DE ANÁLISIS DINÁMICO” elaborado por el señor Ing. SJAIME EDUARDO
JARA LANDÍVAR, alumno de la Maestría en “EN ESTRUCTURAS Y
CIENCIAS DE LOS MATERIALES - I PROMOCIÓN”, previo a la obtención
del título de Magíster.
Atentamente,
SILVIA DAYANA ASTUDILLO RIERA
TRADUCTORA
C.C. 1722075494
xvi
xvii
CAPITULO 1
REVISION BIBLIOGRAFICA SOBRE DEFORMACIONES
INTRODUCCION
1.1.1
Generalidades
La resistencia de un material no es el único criterio que se utiliza al diseñar
estructuras. La rigidez puede tener la misma o mayor importancia. Además se pueden
considerar otras propiedades como la dureza, la tenacidad y la ductilidad que influyen
en la elección de un material. Estas propiedades se determinan mediante ensayos,
comparando los resultados con estándares predefinidos. Por ejemplo si se considera
una probeta de acero sujeta entre las mordazas de una máquina de pruebas de tensión
y se observa simultáneamente la carga y el alargamiento de una determinada longitud
de la misma. (Singer, 1994).
Diagrama de ensayo de acero
Esfuerzo
𝜎=
Esfuerzo último
Punto de ruptura
real
𝑃
𝐴
Punto de ruptura
aparente
Punto de
fluencia
Límite de elasticidad
Límite de
proporcionalidad
Deformación
O
𝜀=
Figura 1.- Diagrama esfuerzo-deformación
𝛿
𝐿
Los resultados se representan en un gráfico en el que en las ordenadas se ponen las
cargas y en las abscisas los correspondientes alargamientos.
1
En la figura 1 que presenta un gráfico de esta clase, se observa que no aparecen
representadas las fuerzas y alargamientos totales, sino las fuerzas unitarias o esfuerzos
y los alargamientos unitarios o deformaciones, pues sólo se pueden comparar las
propiedades de una muestra con las de la otra si se reducen los valores observados a
puntos de referencia comunes.
1.1.2
Deformación
El valor de la deformación (unitaria) ε es el cociente entre el alargamiento,
deformación total, δ, y la longitud L en la que se ha producido. Por lo que,
𝜀=
𝛿
𝐿
𝐸𝑐. 1
La deformación en cualquier punto es:
𝜀=
𝑑𝛿
𝑑𝐿
𝐸𝑐. 2
que determina el valor de la deformación en una longitud muy pequeña, dL, que se
considera constante en dicha longitud. Se supone que la deformación es constante y se
puede aplicar la expresión (Ec. 2). Se tienen premisas como son:
1. El elemento sometido a tensión debe tener una sección transversal o recta
constante.
2. El material debe ser homogéneo.
3. La fuerza o carga debe ser axial a fin de producir un esfuerzo uniforme.
En la figura 1, se observa que, desde el origen O hasta un punto llamado límite
de proporcionalidad, el diagrama esfuerzo-deformación es un segmento recto, de
donde se deduce la relación de proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación,
enunciada en el año 1678 por Robert Hooke1. Hay que resaltar que esta
proporcionalidad no se extiende a todo el diagrama, si no que determina el límite
de proporcionalidad, y más allá de este punto, el esfuerzo deja de ser proporcional
a la deformación. El límite de proporcionalidad tiene mucha importancia en la
1
La célebre ley de Robert Hooke. Ut tensio sic vis, es decir, <<Según la deformación, así es la fuerza>>
que relacionó la deformación total con la fuerza total sin admitir límite alguno a esta proporcionalidad.
2
teoría respecto al comportamiento de los sólidos elásticos que se basa en la
proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones estableciendo un límite superior
al esfuerzo admisible que un material puede soportar.
Se tiene además otros conceptos importantes de este diagrama esfuerzodeformación son:
(1) El límite de elasticidad (o límite elástico) es el esfuerzo más allá del cual el
material no recupera totalmente su forma original al ser descargado, sino que queda
con una deformación residual conocida como deformación permanente.
(2) El punto de fluencia es aquel en el que aparece un considerable alargamiento
o fluencia del material sin el correspondiente aumento de carga que puede disminuir
mientras dura la fluencia.
(3) El límite aparente de proporcionalidad al 0.2% u otro porcentaje está
asociado al punto de fluencia. Se aplica este concepto en materiales que no tienen
un punto de fluencia bien definido, o no lo tienen, a través de un procedimiento de
equiparación con los materiales que sí tienen.
(4) El esfuerzo último, o bien el límite de resistencia, es la máxima ordenada de
la curva esfuerzo-deformación.
(5) El punto de ruptura o esfuerzo en el punto de ruptura. Cercano a la ruptura,
el material se alarga muy rápidamente y al mismo tiempo se estrecha, de manera
que la carga en el instante de la ruptura, se distribuye en una sección mucho más
pequeña.
1.3
Ley de Hooke: deformación axial – distorsión
Considerando el diagrama esfuerzo-deformación y tomando su parte rectilínea,
se tiene que la pendiente de la recta es la relación entre el esfuerzo y la deformación
y se llama módulo de elasticidad representada con la letra E:
𝐸=
𝜎
ó 𝜎 = 𝐸. 𝜀
𝜀
3
(𝐸𝑐. 3)
La ecuación anterior es la ley de Hooke. Hooke enunció la ley de que el esfuerzo
es proporcional a la deformación. Thomas Young, en el año 1807 introdujo la
expresión matemática con una constante de proporcionalidad que se llamó módulo
de Young. Luego, este nombre se sustituyó por el de módulo de elasticidad o
módulo elástico que es una medida de su rigidez.
De la ecuación (3), se observa que las unidades para el módulo de elasticidad E
son idénticas a las unidades para el esfuerzo σ, la deformación ε es una cantidad
adimensional. Así por ejemplo, el módulo de elasticidad para el acero es
aproximadamente 200 x 109 N/m2 (200 x 109 Pa). En el del SI se expresaría como
200 GN/m2 (200 GPa).
Otra forma de la expresión de la ley de Hooke es la que se obtiene al sustituir σ
por su equivalente P/A y ε por δ/L, de modo que la ecuación (3) quedaría:
𝑃
𝛿
=𝐸
𝐴
𝐿
O lo que es igual,
𝛿=
𝑃𝐿 𝜎𝐿
=
𝐴𝐸
𝐸
(𝐸𝑐. 4)
Esta ecuación relaciona la deformación total δ con la fuerza ó carga aplicada P,
la longitud de la barra L, el área de la sección recta A y el módulo de elasticidad E. La
deformación total de obtiene en las mismas unidades que la longitud L, ya que σ y E
tienen las mismas unidades. En la expresión (4) hay que tener en consideración las
siguientes hipótesis:
1. La carga ha de ser axial.
2. La barra debe ser homogénea y de sección constante.
3. El esfuerzo no debe sobrepasar el límite de proporcionalidad.
1.4
Deformación angular (o por cortante) – Distorsión
4
Las fuerzas cortantes producen una deformación angular o distorsión, de la
misma manera que las fuerzas axiales originan deformaciones longitudinales. Un
elemento sometido a tensión experimenta un alargamiento, mientras que un elemento
sometido a una fuerza cortante no varía la longitud de sus lados, notándose un cambio
de forma, de rectángulo a paralelogramo como se indica en la figura 2.
δs
Ps
γ
L
Ps
Figura 2 Deformación angular o distorsión
El proceso puede mencionarse como producido por el desplazamiento
infinitesimal o resbalamiento de capas infinitamente delgadas del elemento unas sobre
otras, siendo la suma de estos infinitos desplazamientos infinitesimales la deformación
total δs en una longitud L.
La deformación angular media se obtiene dividiendo δs para L. Y se tiene que
tan γ = δ/L, figura 2. Como γ es siempre muy pequeño, tan γ = γ y tenemos:
𝛾=
𝛿𝑠
𝐿
(𝐸𝑐. 5)
La distorsión es la variación experimentada por el ángulo entre dos caras
perpendiculares de un elemento diferencial.
Si la ley de Hooke también es válida en el cortante, existe una relación lineal
entre la distorsión y el esfuerzo cortante dada por la ecuación:
𝜏 = 𝐺𝛾
(𝐸𝑐. 6)
5
Donde G es el módulo de elasticidad al cortante. La relación entre la
deformación tangencial total y las fuerzas cortantes aplicadas es
𝛿𝑠 =
𝑉𝐿
𝐴𝑠 𝐺
(𝐸𝑐. 7)
En donde V representa la fuerza cortante que actúa sobre una sección de área
A.
1.5
Relación de Poisson: Estados de deformación biaxial y triaxial
Otro tipo de deformación elástica es la variación de las dimensiones
transversales que acompaña a toda tensión o compresión axial. Se comprueba
experimentalmente que si una barra se alarga por una tensión axial sufre una reducción
de sus dimensiones transversales. Poisson comprobó en el año 1811 que la relación
entre las deformaciones unitarias en estas direcciones es constante, por debajo del
límite de proporcionalidad. En su memoria se ha dado su nombre a esta expresión y se
define como:
𝜈=−
𝜀𝑦
𝜀𝑥
(𝐸𝑐. 8)
Donde εx es la deformación debida solamente a un esfuerzo en la dirección X,
y εy son las deformaciones unitarias que se manifiestan en las direcciones
perpendiculares. El signo menos indica un acortamiento en las dimensiones
transversales cuando εy es positiva como ocurre con un alargamiento producido por
tensión.
La relación de Poisson permite generalizar la aplicación de la ley de Hooke al
caso de esfuerzos biaxiales. Por ejemplo, si un elemento está sometido
simultáneamente a esfuerzos de tensión según los ejes X y Y, la deformación en la
dirección X debida a σx es σx/E pero al mismo tiempo, el esfuerzo σy producirá una
contracción lateral en la dirección X de valor 𝜈 σy/E, por lo que la deformación
resultante en la dirección X estará dada por la ecuación:
𝜀𝑥 =
𝜎𝑥
𝜎𝑦
−𝜈
𝐸
𝐸
6
(𝐸𝑐. 9)
De igual manera, la deformación según la dirección Y es:
𝜀𝑦 =
𝜎𝑦
𝜎𝑥
−𝜈
𝐸
𝐸
(𝐸𝑐. 10)
Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (9) y (10) se obtienen los
esfuerzos en función de las deformaciones:
𝜎𝑥 =
(𝜀𝑥 + 𝜈. 𝜀𝑦)𝐸
(𝜀𝑦 + 𝜈. 𝜀𝑥)𝐸
; 𝜎𝑦 =
2
1−𝜈
1 − 𝜈2
(𝐸𝑐. 11)
Estas expresiones pueden generalizarse para el caso de deformaciones por
tensión triaxiales, obteniéndose:
𝜀𝑥 =
1
[𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)]
𝐸
𝜀𝑦 =
1
[𝜎𝑦 − 𝜈(𝜎𝑧 + 𝜎𝑥)]
𝐸
𝜀𝑧 =
(𝐸𝑐. 12)
1
[𝜎𝑧 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦)]
𝐸
Las expresiones anteriores son válidas cuando uno o varios esfuerzos son de
compresión, hay que aplicar signos positivos a los alargamientos y esfuerzos de tensión
y signos negativos a los acortamientos y esfuerzos de compresión.
Una importante relación entre las constantes E, G y 𝜈 para un material dado es:
𝐺=
𝐸
2(1 + 𝜈)
(𝐸𝑐. 13)
Se utiliza la ecuación (13) para determinar el valor de 𝜈 cuando se conocen las
constantes E y G. Los valores más frecuentes de la relación de Poisson son 0.25 a 0.30
para el acero, 0.33 aproximadamente para otros muchos metales. (Singer, 1994).
A menos que se realicen ensayos físicos, se puede asumir que el coeficiente de
Poisson para el hormigón es igual a 0.20. El efecto del coeficiente de Poisson se puede
7
despreciar en aquellos componentes que se anticipa estarán sujetos a fisuración.2
(AASHTO LRFD, 2012).
1.6
Ecuación Generalizada Lamé-Hooke
1.6.1
Material anisótropo.
La relación lineal entre el tensor de tensiones y el de deformaciones se expresa
así:
𝜎 = 𝐶. 𝜀
(𝐸𝑐. 14)
Descompuesta:
𝜎 𝑖𝑗 = 𝐶 𝑖𝑗𝑘𝑙 . 𝜀𝑘𝑙
(𝐸𝑐. 15)
En esta ecuación, C es un tensor denominado tensor de elasticidades. La simetría de σ
y ε implica las siguientes simetrías de C:
𝐶 𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐶𝑗𝑖𝑘𝑙
𝐶 𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐶𝑗𝑖𝑙𝑘
𝐶 𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐶𝑘𝑙𝑖𝑗
Expresando de manera vectorial tenemos:
𝝈 = 𝑪. 𝜺
(𝐸𝑐. 16)
En esta nueva ecuación, σ es un vector que contiene las seis componentes
independientes del tensor de tensiones:
𝜎 = {𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 }
(𝐸𝑐. 17)
ε es el vector que contiene los alargamientos unitarios en las direcciones
coordenadas y las distorsiones angulares entre ellas:
𝜀 = {𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑧 𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑧 𝛾𝑦𝑧 }
2
(𝐸𝑐. 18)
Especificaciones AASHTO LRFD 2012. 5.4.2.5 Coeficiente de Poisson.
8
Y C es la denominada matriz constitutiva, que es una matriz cuadrada simétrica
de 6 × 6 elementos.
1.6.2
Material isótropo: ecuaciones de Lamé-Hooke
El tensor C debe ser un tensor isótropo. A partir de esta condición y utilizando
sus condiciones de simetría, el número de parámetros independientes en C se reduce a
2, que denominaremos λ y µ, y que la ecuación (Ec.16) se transforma en:
𝜎 = 𝜆 𝑒 𝑰 + 2𝜇 𝜺
(𝐸𝑐. 19)
Expresión que constituye las llamadas ecuaciones de Lamé en la que interviene
la deformación volumétrica. La forma clásica de las ecuaciones de Lamé es:
𝜎𝑥 = 𝜆𝑒 + 2𝜇𝜀𝑥
𝜏𝑥𝑦 = 𝜇𝛾𝑥𝑦
(𝐸𝑐. 20𝑎)
𝜎𝑦 = 𝜆𝑒 + 2𝜇𝜀𝑦
𝜏𝑥𝑧 = 𝜇𝛾𝑥𝑧
(𝐸𝑐. 20𝑏)
𝜎𝑧 = 𝜆𝑒 + 2𝜇𝜀𝑧
𝜏𝑦𝑧 = 𝜇𝛾𝑦𝑧
(𝐸𝑐. 20𝑐)
Y su expresión en la forma: 𝜎 = 𝐶𝜀 es:
𝜎𝑥
𝜆 + 2𝜇
𝜎𝑦
𝜆
𝜎𝑧
𝜆
𝜏𝑥𝑦 = 0
𝜏𝑥𝑧
0
𝜏
{ 𝑦𝑧 } [ 0
𝜆
𝜆
𝜆 + 2𝜇
𝜆
𝜆
𝜆 + 2𝜇
0
0
0
0
0
0
0
0
0
𝜇
0
0
0
0
0
0
𝜇
0
𝜀𝑥
0
0 𝜀𝑦
𝜀𝑧
0
𝛾
𝑥𝑦
0
𝛾
𝑥𝑧
0
𝛾
𝜇 ] { 𝑦𝑧 }
(𝐸𝑐. 21)
Las constantes λ y µ son conocidas como parámetros de Lamé. Es común usar
la notación alternativa G para el parámetro µ.
Sumando las tres ecuaciones de Lamé, que proporcionan las tensiones normales
se obtiene:
𝐼𝜎 = (3𝜆 + 2𝜇)𝑒
(𝐸𝑐. 22)
Sustituyendo en la expresión (Ec.19) se puede despejar la relación inversa, que
resulta:
9
𝜀=
1
𝜆
[𝜎 −
𝐼 𝑰]
2𝜇
3𝜆 + 2𝜇 𝜎
Si se introducen dos nuevos parámetros, E y 𝜈, definidos como:
𝐸=
𝜇(3𝜆 + 2𝜇)
𝜆+𝜇
𝜈=
𝜆
,
2(𝜆 + 𝜇)
(𝐸𝑐. 23)
Con las expresiones inversas
𝜆=
𝜈𝐸
(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)
𝜇=
𝐸
,
2(1 + 𝜈)
(𝐸𝑐. 24)
La expresión anterior se transforma en:
𝜀=
1+𝜈
𝜈
𝜎 − 𝐼𝜎 𝑰
𝐸
𝐸
(𝐸𝑐. 25)
Esta es la expresión compacta de la Ley de Hooke generalizada; en notación
clásica
𝜀𝑥 =
1
(𝜎 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 ))
𝐸 𝑥
𝛾𝑥𝑦 =
2(1 + 𝜈)
𝜏𝑥𝑦
𝐸
(𝐸𝑐. 26𝑎)
𝜀𝑦 =
1
(𝜎 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 ))
𝐸 𝑦
𝛾𝑥𝑧 =
2(1 + 𝜈)
𝜏𝑥𝑧
𝐸
(𝐸𝑐. 26𝑏)
𝜀𝑧 =
1
(𝜎 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ))
𝐸 𝑧
𝛾𝑦𝑧 =
2(1 + 𝜈)
𝜏𝑦𝑧
𝐸
(𝐸𝑐. 26𝑐)
Las constantes E y 𝜈 se denominan módulo de elasticidad y coeficiente de
Poisson respectivamente. La expresión de la ley de Hooke generalizada en la forma
𝜀 = 𝐶 −1 𝜎 es la siguiente:
10
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝜀𝑧
𝛾𝑥𝑦 =
𝛾𝑥𝑧
0
𝛾
{ 𝑦𝑧 }
0
0
1
𝐸
𝜈
−
𝐸
𝜈
−
𝐸
0
0
0
0
0
0
𝜈
𝐸
1
𝐸
𝜈
−
𝐸
−
𝜈
𝐸
𝜈 0
− 0
𝐸 0
1
𝐸
2(1 + 𝜈)
𝐸
[
−
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2(1 + 𝜈)
𝐸
0
0
0
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜎𝑧
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏
{ 𝑦𝑧 }
(𝐸𝑐. 27)
2(1 + 𝜈)
]
𝐸
1.6.3 Interpretación física de las constantes elásticas del material de Hooke
1.6.3.1 Módulo de elasticidad
Si se considera el ensayo de tracción uniaxial, se observar que σy = σz = 0, y
además τxy = τxz = τyz = 0.
Sustituyendo estos valores en la primera ecuación de la Ley de Hooke resulta:
𝜎𝑥 = 𝐸𝜀𝑥
1.6.3.2 Módulo de Poisson
Es posible calcular las deformaciones 𝜀𝑦 y 𝜀𝑧 en el ensayo de tracción uniaxial.
Se tiene:
𝜈
𝜀𝑦 = − 𝜎𝑥
𝐸
𝜀𝑧 = −
𝜈
𝜎,
𝐸 𝑧
Estas expresiones indican que en el ensayo uniaxial de tracción, las dimensiones
de la sección transversal se reducen proporcionalmente al valor del coeficiente de
Poisson.
1.6.3.3 Módulo de elasticidad transversal
A partir del ensayo de corte directo en la dirección X, Z = constante, en el que
la única componente no nula de la tensión es 𝜏𝑥𝑧 se deduce a partir de la ley de
Hooke:
𝜏𝑥𝑧 = 𝜇. 𝛾𝑥𝑧
Que muestra cómo 𝜇 = 𝐺 está relacionado con la rigidez frente a la distorsión
del material.
1.6.3.4 Módulo de deformación volumétrica
11
La ecuación (Ec. 22) establece una relación entre la tensión y la deformación
volumétrica. Teniendo en cuenta que la tensión normal media es un tercio se
tiene:
𝜎𝑚 =
3𝜆 + 2𝜇
𝑒
3
Al factor de la deformación volumétrica se denomina K, módulo de
deformación volumétrica, así:
𝐾=
3𝜆 + 2𝜇
𝐸
=
3
3(1 − 2𝜈)
(𝐸𝑐. 28)
(Mas, 2004).
1.7 Esfuerzos de origen térmico
Es conocido que los cambios de temperatura provocan en los cuerpos
dilataciones o contracciones, de manera que la deformación lineal δT, viene dada por:
𝛿𝑇 = 𝛼𝐿(Δ𝑇) (𝐸𝑐. 29)
En donde α es el coeficiente de dilatación lineal, que se expresa en m/m.oC, o
simplemente (oC)-1, L es la longitud y ΔT es la variación de temperatura en oC. Si no se
impide la deformación debida a la temperatura, como ocurre en los sistemas
estáticamente determinados, no aparecerán esfuerzos en la estructura, pero en la
mayoría de los casos no es posible evitar que las deformaciones térmicas estén total o
parcialmente impedidas. Como resultado de esto aparecen fuerzas internas que
contrarrestan, también parcial o totalmente, estas deformaciones. Los esfuerzos
originados por estas fuerzas internas son esfuerzos térmicos. (Singer, 1994).
El coeficiente de expansión térmica se debería determinar realizando ensayos en
laboratorio sobre la mezcla de hormigón específica a utilizar. En ausencia de datos, el
coeficiente de expansión térmica se puede tomar como:
Para hormigón de densidad normal: 10,8 × 10-6/ºC, y
12
Para hormigón de baja densidad: 9,0 × 10-6/ºC.3 (AASHTO LRFD, 2012).
1.8
Deformaciones en puentes AASHTO 2012
1.8.1
Requisitos Generales
Los puentes se deberían diseñar de manera de evitar los efectos estructurales o
psicológicos no deseados que provocan las deformaciones. A pesar de que, salvo en el
caso de los tableros de placas ortótropas, las limitaciones referidas a deflexiones y
alturas de vigas son optativas, se debería realizar la revisión del diseño para determinar
que el puente se comportará satisfactoriamente.
Si se emplean análisis dinámicos éstos deben cumplir con los principios y
requisitos del Artículo 4.74
Para puentes de vigas de acero oblicuas rectas y puentes de vigas de acero
curvas horizontalmente con o sin apoyos oblicuos, las siguientes investigaciones
adicionales se consideran:
Las deflexiones vertical, lateral y rotacional elástica debido a las combinaciones
de carga aplicable se consideran para asegurar un comportamiento de servicio
satisfactorio de soportes, nudos, estribos integrales y pilas.
Las rotaciones de vigas calculadas en apoyos deberían ser acumuladas sobre la
secuencia de construcción asumida de ingeniería. Las rotaciones calculadas en
apoyos no excedieran la capacidad rotacional especificada de los apoyos para
cargas factoradas acumuladas correspondientes al estado investigado.
Los diagramas de camber satisfarán las provisiones del Artículo 6.7.2 y pueden
reflejar las deflexiones acumuladas calculadas debido a la secuencia de
construcción asumida de ingeniería.
3
Especificaciones AASHTO LRFD 2012. 5.4.2.2 Coeficiente de Expansión Térmica. Tabla C5.4.2.1-1−
Características de las mezclas de hormigón según su Clase.
4
Especificaciones AASHTO LRFD 2012. 2.5.2.6.1 General.
13
1.8.2
Criterios para la Deflexión
Los criterios de esta sección se deben considerar optativos, a excepción de los
siguientes:
Los requisitos para tableros ortótropos se deben considerar obligatorios.
Los requisitos del Artículo 12.14.5.9 para estructuras de hormigón armado
prefabricado que tienen tres lados se deben considerar obligatorios.
Los tableros metálicos reticulados y otros tableros livianos metálicos y de
hormigón deben satisfacer los requisitos de serviciabilidad del Artículo 9.5.2.
Para la aplicación de estos criterios la carga del vehículo debe incluir el
incremento por carga dinámica.
Si un Propietario decide invocar el control de las deflexiones se pueden aplicar los
siguientes principios.
Al investigar la máxima deflexión absoluta, todos los carriles de diseño
deberían estar cargados, y se debería asumir que todos los elementos portantes
se deforman igualmente;
Para sistemas de vigas I y vigas cajón de acero curvas, las deflexiones de cada
viga deberían ser determinadas individualmente basadas en su respuesta como
parte del sistema.
Para el diseño compuesto, el diseño de la sección transversal debería incluir la
totalidad del ancho de la carretera y las porciones estructuralmente continuas
de las barandas, aceras y barreras divisorias;
Al investigar los máximos desplazamientos relativos, el número y posición de
los carriles cargados se deberían seleccionar de manera que se produzca el peor
efecto diferencial;
Se debería utilizar la porción correspondiente a la sobrecarga viva de la
Combinación de Cargas de Servicio I de la Tabla 3.4.1-1, incluyendo el
incremento por carga dinámica, IM;
La sobrecarga viva se debe tomar del Artículo 3.6.1.3.2;
14
Se deberían aplicar los requisitos del Artículo 3.6.1.1.2; y
Para puentes oblicuos se puede usar una sección transversal recta, y para
puentes curvos y puentes curvos oblicuos se puede usar una sección transversal
radial.
En ausencia de otros criterios, para las construcciones de acero, aluminio y/u
hormigón se pueden considerar los siguientes límites de deflexión:
Carga vehicular, general........................................................... Longitud/800,
Cargas vehiculares y/o peatonales............................................ Longitud/1000,
Carga vehicular sobre voladizos............................................... Longitud/300, y
Cargas vehiculares y/o peatonales sobre voladizos.................. Longitud/375
Para las vigas de acero I, y para las vigas de acero tipo cajón y tubulares, se deben
aplicar los requisitos de los Artículos 6.10.4.2 y 6.11.4, respectivamente, referentes al
control de las deflexiones permanentes por medio del control de las tensiones en las
alas. Para puentes peatonales, por ejemplo, puentes cuya función primaria es peatones,
bicicletas, ecuestres y vehículos de mantenimiento livianos, los requisitos de la Sección
5 de las Especificaciones AASHTO LRFD para el Diseño de puentes pedestres se
aplicará.
En ausencia de otros criterios, para las construcciones de madera se pueden
considerar los siguientes límites de deflexión:
Carga vehicular y pedestre …………………………………….Longitud/425, y
Carga vehicular sobre tablones y paneles de madera (máxima deflexión relativa
entre bordes adyacentes) ........................................................................ 2,5 mm
Para los tableros de placas ortótropas se deberán aplicar los siguientes requisitos:
Carga vehicular sobre placa del tablero …………….…………..Longitud/300
Carga vehicular sobre los nervios de un tablero ortótropo metálico
................................................................................................. Longitud/1000, y
15
Carga vehicular sobre los nervios de tableros ortótropos metálicos (máxima
deflexión relativa entre nervios adyacentes) ........................................ 2,5 mm.
1.8.3
Grandes deformaciones en puentes colgantes
En los puentes colgantes las solicitaciones se deberán analizar mediante la teoría
de grandes deformaciones para cargas verticales. Se deberán analizar las solicitaciones
provocadas por las cargas de viento, considerando la tensión de rigidización de los
cables. Al asignar fuerzas a los cables, suspensores y componentes de las cerchas de
rigidización se podrá despreciar la rigidez torsional del tablero.5
En el pasado los puentes colgantes cortos se analizaban mediante teorías de
pequeñas deformaciones convencionales. Para los puentes cortos y de longitud
moderada se han utilizado métodos con factores de corrección para tomar en cuenta el
efecto de la deformación, el cual es particularmente significativo para el cálculo de los
momentos en los sistemas de tablero. Cualquiera de los puentes colgantes
contemporáneos tiene una longitud de tramo tal que se debería utilizar la teoría de las
grandes deformaciones.
Por los mismos motivos de orden económico, el tramo probablemente tendrá una
longitud suficiente como para que la influencia de la rigidez torsional del tablero,
combinada con el efecto relativamente pequeño de la sobrecarga en relación con la
carga permanente, haga que la técnica de la sumatoria de momentos sea adecuada para
asignar cargas a los cables y suspensores y habitualmente aún al sistema de tablero, por
ejemplo, una cercha de rigidización.
5
Especificaciones AASHTO LRFD 2012. 4.6.3.8 Puentes Colgantes.
16
CAPITULO 2
CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN PUENTES TIPO ARCO
2.1
Introducción
Las propiedades del arco como elemento estructural sometido a flexocompresión se indica más adelante con el propósito de indicar su comportamiento que
rige en este elemento, así como las unidades adicionales requeridas para el diseño con
elementos tipo arco, de igual manera se indicará el procedimiento para estimar las
dimensiones de la sección transversal del arco.
2.2
Propiedades de los arcos
2.3
Definición
2.4
Sistemas estructurales básicos usados en puentes
Un sistema estructural es el conjunto ensamblado de elementos para formar un
cuerpo único cuyo objetivo es dar soporte a una obra civil. El tipo de elementos y la
forma que se ensamblen definen el comportamiento de una estructura.
En los puentes se distinguen dos sistemas estructurales principales como son:
la superestructura y la infraestructura. La superestructura se halla constituida por el
tablero que recibe directamente la carga y por un sistema de transmisión de ésta a la
infraestructura la que se encargará de llevarla al suelo.
Los puentes se clasifican de acuerdo con el sistema estructural en: puentes de
vigas longitudinales, puentes en arco, puentes colgantes, puentes atirantados y puentes
en voladizo.
2.4.1
Puentes de vigas
17
Las vigas son elementos que trabajan a flexión y cortante cuando se someten a
cargas perpendiculares a su plano. En los puentes construidos con vigas el flujo de
carga pasa del tablero a unas vigas secundarias transversales y de éstas a las vigas
longitudinales principales que se apoyan en los estribos (Fig. 3)
CARGA
Flujo de carga a través de las vigas
longitudinales principales a los estribos
o pórticos de apoyo
Reacciones en la
misma dirección
de la carga
aplicada
Viga deformada.
Los efectos de flexión producen
tracción abajo y compresión arriba
el centro es la zona crítica para
flexión
Los puntos de apoyo
de la viga
constituyen la zona
crítica para cortante
Figura 3. Forma de trabajo de un puente con vigas
Una vez que la carga es transmitida por las vigas longitudinales principales a
los apoyos, se genera en éstos una reacción igual a la carga aplicada. Los puentes de
vigas constituyen una solución económica para salvar luces pequeñas hasta 30 o 40 m;
para luces mayores se recomienda usar otros sistemas estructurales.
2.4.2
Vigas de alma llena
En este tipo de elementos, el esfuerzo normal por flexión es inversamente
proporcional al momento de inercia de la sección figura 4.
Esfuerzo máximo a
compresión=σc máx
Compresión en cordón
superior, F’c
Momento
Interno
Mmáx
h
Momento
Interno
Mmáx
Tracción en cordón inferior, Ft
Esfuerzo máximo a
tracción=σc f
Ft=Fc=Mmáx/h
σ máx c= σ máx t =Mmáx*h/2 / I
VIGAS EN CELOSIA
VIGAS DE ALMA LLENA
Figura 4. Distribución de esfuerzos por flexión
18
h
El momento de inercia es una propiedad geométrica que expresa qué tan alejada
se encuentra el área de un eje dado. De acuerdo con la distribución de esfuerzos internos
producidos por los efectos de flexión, se recomienda usar inercias mayores para tener
más área en los puntos de mayor esfuerzo. Lo ideal es tener esfuerzos mínimos con la
mínima área posible y esto se logra usando vigas de sección I. Si el esfuerzo nominal
interno por flexión es mayor que el máximo esfuerzo resistido por el material, tanto a
compresión como a tracción, la viga fallará por flexión presentando rotura en la zona
de tracción y aplastamiento en la zona de compresión. Si los esfuerzos internos no
superan la resistencia del material, se podría presentar falla por pandeo de la zona
comprimida. El pandeo depende directamente de la relación de esbeltez, la que se
calcula con la longitud libre del elemento (sin arriostramientos o apoyos laterales) sobre
el radio de giro de la sección transversal (√𝐼⁄𝐴). La forma de controlar el pandeo sería
disminuir la longitud libre o aumentar el radio de giro; en la práctica se usa la primera
opción uniendo la viga al tablero o por medio de elementos rigidizadores de la zona a
compresión.
La distribución del esfuerzo cortante interno es inversamente proporcional al
momento de inercia y al ancho de la sección transversal. Para una sección rectangular
el esfuerzo máximo se presenta en el eje neutro de la sección. Si el esfuerzo interno es
mayor que el esfuerzo resistido por el material a corte, la sección fallará presentando
grietas diagonales.
2.4.3
Vigas en celosía
Las vigas en celosía o en cerchas están compuestas por elementos rectos y
esbeltos unidos entre sí en sus extremos por medio de conexiones tipo articulación. El
ensamblaje es de tal manera que en el interior de la cercha se pueden identificar figuras
estructuralmente estables como triángulos. Debido al tipo de unión de los elementos en
sus extremos, éstos sólo trabajan a carga axial. En este tipo de estructuras, el momento
interno es soportado por el efecto del par de fuerzas entre el cordón superior
(compresión) e inferior (tracción) de la cercha. A mayor distancia entre los dos
cordones, menores serán los esfuerzos axiales en ellos. Los esfuerzos cortantes son
19
soportados por tracción o compresión en las diagonales de la cercha dependiendo de su
inclinación.
La falla más común en vigas en cercha se presenta por las conexiones en los
nudos. Si las conexiones trabajan adecuadamente, la falla se puede presentar por rotura
de los elementos a tracción y pandeo en los elementos a compresión.
2.4.4
Puentes de arco
El sistema estructural principal está constituido por dos arcos laterales o por un
arco central inferior. Según con la posición de la vía se clasifica en puente de vía
superior y puente de vía inferior. En el puente de la vía superior la transmisión de la
carga al arco puede ser por medio de puntales, columnas o muros y en el puente de vía
inferior, por medio de tirantes verticales.
El arco como elemento estructural trabaja netamente a compresión. Las
reacciones en sus apoyos, además se soportar la carga vertical aplicada, deben ejercer
fuerzas horizontales para ayudar al arco a mantener su forma curva. Si los soportes no
pueden brindar esta reacción, se pueden recurrir a un elemento inferior complementario
que actuará como tirante (tracción), figura 5.
Tablero superior soportado
Tablero suspendido
Reacciones de los
soportes
Reacciones de los
soportes
Tensor inferior para compensar
reacciones horizontales
Figura 5. Sistemas de puentes de arco
20
Los arcos pueden ser de sección compacta o de sección no compacta tipo
cercha. Las fallas más comunes en estos puentes son por pandeo a compresión en el
arco o por deslizamiento en sus soportes, lo que ocasiona la rotura del arco. Para evitar
la falla por pandeo se pueden contar con elementos arriostradores.
2.4.5
Puentes atirantados
Compresión en el tablero por la
componente horizontal de la
fuerza ejercida por los tirantes
Tirantes
Pilón con compensación
de cargas a ambos lados
Pilón principal
empotrado en su base
Figura 6. Flujo de cargas en el sistema de puentes atirantados
El sistema estructural de este tipo de puentes consta de un tablero que trabaja a
flexocompresión, unos tirantes que soportan el tablero y transmiten la carga a un pilón
que lleva las cargas hasta la fundación. Como sistema estructural completo, los puentes
atirantados pueden fallar por inestabilidad general causada por rotación del pilón en su
base; por poca resistencia del pilón, ya sea a flexión, compresión o cortante o por falla
del tablero a compresión, ya sea por aplastamiento o por pandeo de los elementos. Otras
fallas locales pueden presentarse. (Duque, 2004).
2.5
El arco
Una definición de arco fue dada por Cayo Julio Lácer, el ingeniero romano que
proyectó el puente de Alcántara en el año 106, y se halla en la piedra del templete
funerario del puente que menciona el mecanismo resistente de estas estructuras: Ars
ubi materia vincitur ipsa sua (En el arco la materia se vence a sí misma).
21
Figura 7. Inscripción en el templete funerario del Puente de Alcántara
El tema de los arcos no es nuevo en la ingeniería, siempre ha habido una gran
atracción por el arco y su fenómeno resistente.
Como cualidad fundamental del arco es su forma curva. Aunque es insuficiente,
ya que si se apoya isostáticamente una barra arqueada sólo se tendrá una viga curva, no
un arco. Hay que considerar las condiciones de sustentación y se encontrará lo esencial
de la estructura arco, la existencia de esfuerzos longitudinales de contrarresto, que son
los que determinan su forma (Fernández Casado, 1955).
Figura 8 Carga vertical, componentes horizontales en las reacciones y esfuerzos
longitudinales de contrarresto en un arco
El arco genera empujes horizontales sobre los apoyos. La existencia de estas
componentes horizontales en las reacciones, pese a que las cargas externas sean
verticales, es un hecho que caracteriza a los arcos y los diferencia de las vigas. Los
22
empujes se deben a la imposibilidad de desplazamiento de los estribos, y no a la forma
curva de la pieza, ya que los empujes bajo cargas verticales no aparecen si faltan los
estribos que impidan la apertura del arco (Argüelles, 1996).
2.6
Métodos de cálculo
Hay varias maneras que se puede abordar el problema del cálculo de los arcos,
como son:
a) Método de los desplazamientos
b) Métodos energéticos
c) Método de los elementos finitos
2.6.1
Método de los desplazamientos
Este método tiene su origen en la aplicación de las fórmulas de Bresse, que
permiten calcular los corrimientos de los puntos de la directriz del arco, así como los
giros experimentados por cualquier sección recta del prisma mecánico.
Al analizar el problema estructural del arco desde el punto de vista de los
desplazamientos y de las deformaciones, se manifiesta que al actuar las solicitaciones
tienden a desplazar a la estructura en bloque, a lo que se oponen las reacciones de
apoyo, que logran el equilibrio del sistema.
Las reacciones se calculan a partir de la teoría de las deformaciones, expresando
analíticamente las condiciones en que han surgido.
Para desarrollar el método de las deformaciones se recurre a la superposición
de dos estados de carga. El primero corresponde a una estructura isostática virtual
obtenida a partir del arco hiperestático original. El segundo estado de carga completa
la estructura isostática con las reacciones hiperestáticas propias del arco inicial.
23
Hay dos problemas al estudiar un arco hiperestático. El primero es la
transformación de la estructura en otra isostática que sirva de punto de partida. El
segundo se refiere al modo de calcular las deformaciones de la estructura auxiliar.
Para lograr el isostatismo se puede reducir el arco a viga curva o a voladizo.
Para tener la viga curva a partir del arco hiperestático basta liberar un apoyo de las
restricciones superabundantes: el empuje en los arcos biarticulados y el empuje y el
momento de empotramiento en los arcos biempotrados. El arco en voladizo puede
conseguirse por cuatro caminos6 (Fernández Casado, 1955):
1) Liberando una de las extremidades (Figura 9).
Figura 9. Arco en voladizo obtenido al liberar un apoyo
2) Complementando la transformación anterior mediante la prolongación del
arco con una barra de rigidez infinita que termina en el centro elástico (Fig.
10).
Figura 10. Arco en voladizo con extremo libre unido al centro elástico
6
Se expresan todas las modalidades posibles de conversión de la estructura hiperestática para hacer ver que el
método es extensivo a todo tipo de arco hiperestático, y no sólo a los arcos biarticulados y biempotrados objeto de
este estudio.
24
3) Cortando el arco por la clave (en general por una sección cualquiera), con
lo que se obtienen dos voladizos (Fig. 11).
Figura 11. Arco biempotrado cortado por la clave
4) Cada uno de los voladizos se enlaza al centro elástico del arco por una
barra de rigidez infinita. (Fig. 12).
Figura 12. Variante para obtener arcos en voladizo a partir de un arco
biempotrado
Una vez que se tiene el arco isostático, se calculan las reacciones mediante las
ecuaciones que proporciona la Estática. Después se somete a esta estructura virtual a la
reacción de las acciones hiperestáticas que se encargan de anular las deformaciones
incompatibles con las condiciones de apoyo.
25
En los arcos hiperestáticos las incógnitas son siempre más de tres, seis en el
caso del arco biempotrado. Por consiguiente, se necesitan otras ecuaciones que
expresen las condiciones de indeformabilidad debidas al sistema de apoyo.
a) La primera de estas condiciones es la invariabilidad de la luz, que es
suficiente en el caso del arco de dos articulaciones (sólo cuatro incógnitas).
𝛿𝐵 = 0
b) La segunda condición es la ausencia de desnivelación entre apoyos, junto
con la anterior, resuelve el problema del arco de una sola articulación, donde
las incógnitas son cinco.
𝛿𝐵 = 0
∆𝐵 = 0
c) La tercera condición es que el giro relativo de las dos secciones extremas
es nulo, y con ella se obtienen las tres ecuaciones complementarias para
resolver el problema general del arco empotrado.
𝛿𝐵 = 0
∆𝐵 = 0
𝜃𝐵 = 0
Al conocer las estructuras isostáticas que sirven de arranque para el análisis del
arco hiperestático, el segundo problema básico para el estudio de un arco es el cálculo
de las deformaciones, y concretando más, de las deformaciones de una extremidad con
respecto a la otra.
Figura 13. Esfuerzos en una rebanada de arco bajo carga
26
La continuidad geométrica del arco permite el análisis diferencial de una
rebanada aislada (Fig. 13), en cuyas secciones transversales infinitamente próximas se
producen los esfuerzos M, N y Q. Si se estudia por separado la deformación que
produce cada fuerza de sección, se tiene que el momento flector M produce un giro de
la sección, el esfuerzo normal N ocasiona una translación o desplazamiento
longitudinal y el esfuerzo cortante Q un corrimiento o desplazamiento transversal de la
sección.
La acción conjunta de estas deformaciones elementales, al superponerse,
permite obtener la deformación de un punto cualquiera de la directriz, que será una
etapa intermedia para conocer las deformaciones relativas de un extremo del arco con
respecto al otro, definidas por las expresiones:
𝑙
𝛿=∫
0
𝑙
∆= ∫
0
𝑙
𝑙
𝑁
𝑄
𝑀
𝑑𝑥 + ∫ 𝛼
𝑑𝑧 + ∫
𝑧 𝑑𝑠
𝐴. 𝐸
𝐴. 𝐺
0
0 𝐸. 𝐼.
𝑙
𝑙
𝑁
𝑄
𝑀
𝑑𝑧 − ∫ 𝛼
𝑑𝑥 − ∫
𝑥 𝑑𝑠
𝐴. 𝐸
𝐴. 𝐺
0
0 𝐸. 𝐼.
𝑙
𝜃=∫
0
𝑀
𝑑𝑠
𝐸. 𝐼
E es el módulo de elasticidad del material, G es el módulo de elasticidad
transversal del material, A es el área de la sección transversal, I el momento de inercia
de la sección transversal y α el factor de forma de la sección transversal.
2.6.1.1
ARCO BIEMPOTRADO
El arco doblemente empotrado es un sistema hiperestático con tres reacciones
superabundantes. Como las reacciones vienen definidas por seis valores diferentes, se
precisan tres ecuaciones para complementar las tres que nos da la Estática. Estas
27
expresiones han de considerar las condiciones de deformabilidad debidas al sistema de
apoyo o sea las ecuaciones de deformación ligadas a los extremos empotrados.
Las condiciones derivadas de los extremos empotrados son tres:
a) invariabilidad de la longitud,
b) ausencia de desniveles entre apoyos y
c) que el giro relativo de las dos secciones extremas sea nulo.
Para analizar el arco hiperestático se recurre al arco en voladizo, que se deja
deformar libremente por la actuación de fuerzas y causas exteriores. Luego se lleva la
extremidad libre a su posición verdadera mediante la aplicación de las reacciones de
apoyo correspondientes a dicho extremo.
Para calcular se puede realizar de dos maneras, pero con el mismo resultado. En
primer lugar se calcularían las deformaciones del voladizo debidas a las acciones
exteriores. Posteriormente se obtendrían los corrimientos originados por las reacciones,
suponiendo que fueran acciones externas sobre el extremo virtualmente liberado. Por
último se establecerían las ecuaciones complementarias, igualando dos a dos las
deformaciones obtenidas.
Un método alternativo sería considerar como causa deformadora las fuerzas
externas y las reacciones, igualando a cero las tres deformaciones totales.
Al operar de esta manera se obtendría el sistema [2.6.1.1], que representan un
sistema de ecuaciones, anulando sus primeros miembros. Si se utilizan los ejes elásticos
genéricos representados en la figura 17 se llega al sistema [2.6.1.2].
28
Figura 14. Arco en voladizo con arranques a nivel
Figura 15. Obtención de M, N y Q en un arco biempotrado
SISTEMA [2.1.6.1]
29
Figura 16. Deformaciones provocadas por un giro 𝑑𝜃.
1
𝑥
𝑧
𝑀𝑖
𝐸. 𝜃 = 𝑀1 . ∫ . 𝑑𝑠 + 𝑉1 ∫ . 𝑑𝑠 − 𝐻1 ∫ . 𝑑𝑠 + ∫ . 𝑑𝑠
𝐼
𝐼
𝐼
𝐼
𝑥
𝑥2
𝑠𝑒𝑛2 𝛼
𝐸
𝑥. 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
𝐸. ∆= − 𝑀1 . ∫ . 𝑑𝑠 + 𝑉1 . [− ∫ . 𝑑𝑠 + ∫
. 𝑑𝑠 − . ∫
. 𝑑𝑠] +
𝐼
𝐼
𝐴
𝐺
𝐴
+𝐻1 . [∫
𝑥. 𝑧
𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝐸
𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛼
. 𝑑𝑠 + ∫
. 𝑑𝑠 + . ∫
. 𝑑𝑠] +
𝐼
𝐴
𝐺
𝐴
−∫
𝑀𝑖 . 𝑥
𝑁𝑖
𝐸 𝑥. 𝑄𝑖
. 𝑑𝑠 + ∫ . 𝑑𝑧 − ∫
. 𝑑𝑥
𝐼
𝐴
𝐺
𝐴
𝑧
𝑥. 𝑧
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝐸
𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝐸. 𝛿 = 𝑀1 . ∫ . 𝑑𝑠 + 𝑉1 . [− ∫
. 𝑑𝑠 + ∫
. 𝑑𝑠 + . ∫
. 𝑑𝑠] +
𝐼
𝐼
𝐴
𝐺
𝐴
+𝐻1 . [− ∫
𝑧2
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
𝐸
𝑥. 𝑠𝑒𝑛2 𝛼
. 𝑑𝑠 + ∫
. 𝑑𝑠 − . ∫
. 𝑑𝑠] +
𝐼
𝐴
𝐺
𝐴
+∫
𝑀𝑖 . 𝑧
𝑁𝑖
𝐸 𝑥. 𝑄𝑖
. 𝑑𝑠 + ∫ . 𝑑𝑥 + ∫
. 𝑑𝑧
𝐼
𝐴
𝐺
𝐴
SISTEMA [2.1.6.2]
30
Figura 17. Ejes elásticos en un arco asimétrico.
1
𝑀𝑖
𝐸. 𝜃0 = 𝑀0 . ∫ . 𝑑𝑠 + ∫ . 𝑑𝑠
𝐼
𝐼
𝐸. ∆0 = 𝑉0 . [− ∫
𝑥 ′2
𝑠𝑒𝑛2 𝛼′
𝐸
𝑥. 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼′
. 𝑑𝑠 + ∫
. 𝑑𝑠 − . ∫
. 𝑑𝑠] +
𝐼
𝐴
𝐺
𝐴
𝑀𝑖 . 𝑥 ′
𝑁𝑖
𝐸 𝑥. 𝑄𝑖
−∫
. 𝑑𝑠 + ∫ . 𝑑𝑧 ′ − ∫
. 𝑑𝑥′
𝐼
𝐴
𝐺
𝐴
𝑧′2
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼′
𝐸
𝑥. 𝑠𝑒𝑛2 𝛼′
𝐸. 𝛿0 = 𝐻0 . [− ∫
. 𝑑𝑠 + ∫
. 𝑑𝑠 − . ∫
. 𝑑𝑠] +
𝐼
𝐴
𝐺
𝐴
+∫
𝑀𝑖 . 𝑧′
𝑁𝑖
𝐸 𝑥. 𝑄𝑖
. 𝑑𝑠 + ∫ . 𝑑𝑥′ + ∫
. 𝑑𝑧′
𝐼
𝐴
𝐺
𝐴
Luego con los primeros miembros de las ecuaciones anulados en los apoyos, lo que
permitiría despejar explícitamente las reacciones H0, V0, M0, tendríamos:
𝑀
∫ 𝐼 𝑖 . 𝑑𝑠
𝑀0 = −
1
∫ 𝐼 . 𝑑𝑠
𝑀𝑖 . 𝑥 ′
𝑁
𝐸 𝑥. 𝑄
. 𝑑𝑠 + ∫ 𝐴𝑖 . 𝑑𝑧 ′ − 𝐺 ∫ 𝐴 𝑖 . 𝑑𝑥′
𝐼
𝑉0 =
𝑥 ′2
𝑠𝑒𝑛2 𝛼′
𝐸 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼′
[− ∫ 𝐼 . 𝑑𝑠 + ∫ 𝐴 . 𝑑𝑠 − 𝐺 . ∫
. 𝑑𝑠]
𝐴
∫
31
𝑀𝑖 . 𝑧′
𝑁𝑖
𝐸 𝑥. 𝑄𝑖
.
𝑑𝑠
+
.
𝑑𝑥′
+
∫
𝐼
𝐴
𝐺 ∫ 𝐴 . 𝑑𝑧′]
𝐻0 =
𝑧′2
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼′
𝐸 𝑥. 𝑠𝑒𝑛2 𝛼′
[− ∫ 𝐼 . 𝑑𝑠 + ∫ 𝐴 . 𝑑𝑠 − 𝐺 . ∫
. 𝑑𝑠]
𝐴
− [∫
En estas fracciones que definen las reacciones en el centro elástico los
coeficientes fijos se encuentran en los denominadores, mientras que los coeficientes de
carga constituyen los numeradores.
2.6.2
Métodos energéticos
Mediante la aplicación de teoremas muy utilizados en el cálculo de estructuras,
existen una serie de modos de calcular arcos estáticamente indeterminados y que usan
entidades intangibles como son la energía de deformación o el trabajo elástico. Entre
los principios o teoremas de puede indicar el segundo teorema de Castigliano, el
teorema del mínimo trabajo, el principio de los trabajos virtuales o el teorema de
Maxwell-Betti o de la reciprocidad de los trabajos.
Si se analiza un elemento diferencial de arco, en el que se denomina M, N y Q
los esfuerzos de cualquier sección transversal, con los sentidos positivos que se indican
en la figura 13, siendo h la altura de la sección transversal pequeña respecto al radio de
curvatura r de la directriz del arco, se puede determinar la energía de deformación por
flexión Uf como:
𝑠
𝑈𝑓 = ∫
0
𝑀2 . 𝑑𝑠
2. 𝐸. 𝐼
Esta expresión es semejante a la que se usa en vigas rectas pero con la variable
s, que representa la longitud de la directriz del arco.
Del mismo modo se puede determinar la energía de deformación por cortante
Uc
como:
𝑠
𝑄 2 . 𝑑𝑠
𝑈𝑐 = ∫ 𝛼
2. 𝐺. 𝐴
0
32
Si los arcos son esbeltos, esta magnitud es pequeña comparada con la debida a
la flexión, por lo que es común despreciarla.
Para la energía de deformación por compresión directa Ut se tiene:
𝑠
𝑈𝑡 = ∫
0
𝑁 2 . 𝑑𝑠
2. 𝐸. 𝐴
Así la energía de deformación total del arco queda definida por:
𝑠
𝑈=∫
0
𝑠
𝑠 2
𝑀2 . 𝑑𝑠
𝑄 2 . 𝑑𝑠
𝑁 . 𝑑𝑠
+∫ 𝛼
+∫
2. 𝐸. 𝐼
2. 𝐺. 𝐴
0
0 2. 𝐸. 𝐴
Si además se toman en cuenta los efectos de temperatura tenemos:
𝑠
𝑈=∫
0
𝑠
𝑠 2
𝑠
𝑠
𝑀2 . 𝑑𝑠
𝑄 2 . 𝑑𝑠
𝑁 . 𝑑𝑠
∆𝑡
+∫ 𝛼
+∫
+ ∫ 𝑁. 𝛼𝑡 . 𝑡. 𝑑𝑠 + ∫ 𝑀. 𝛼𝑡 . . 𝑑𝑠
2. 𝐸. 𝐼
2. 𝐺. 𝐴
ℎ
0
0 2. 𝐸. 𝐴
0
0
Donde: 𝛼 t es el coeficiente de dilatación térmica, ∆𝑡 es el incremento de
temperatura respecto a una situación de referencia y
∆𝑡
ℎ
representa el gradiente de
temperatura entre trasdós e intradós.
2.6.3
Método de los elementos finitos
Este método determina el comportamiento de una estructura sometida a
acciones exteriores, sustituyendo la solución continua y exacta de las ecuaciones
diferenciales que expresan el equilibrio de un elemento diferencial genérico por una
solución discontinua o discreta y por tanto aproximada.
Salvo las estructuras reticulares, la mayor parte de las estructuras en ingeniería
son de naturaleza continua y su comportamiento no se puede expresar en forma precisa
en función de un número pequeño de variables discretas. Por eso, la exactitud de los
resultados sólo podrá tenerse en estructuras de barras.
33
Sin embargo de que las estructuras continuas son tridimensionales, el algunos
casos, su comportamiento se puede describir con modelo matemáticos uni o
bidimensionales, siempre que se pueda hacer uso de hipótesis simplificadas.
Para el análisis de un arco por el método de los elementos finitos a partir de su
geometría, apoyos y cargas que actúan, es necesario definir un modelo matemático
apropiado para describir su comportamiento. Por ejemplo un modelo que se basa en la
teoría de la flexión de vigas de Timoshenko y un modelo que se basa en la teoría clásica
de Euler-Bernoulli.
En la primera fase de aplicación del modelo es necesario determinar con detalle
las características del material de la estructura.
En segundo lugar se procede a discretizar la estructura en partes que no
intersecten entre sí, que se denominan <<elementos finitos>>. Dependiendo del
problema, el elemento finito será uni, bi o tridimensional, y estará constituido de un
número discreto de <<nodos>>. En general la malla de elementos finitos puede estar
constituida por elementos de diferente geometría.
La norma general de nombrar un elemento en función del tipo de problema y
del tipo de modelo matemático empleado, la forma de discretizar un arco también
puede ser influyente al momento de denominar el elemento en cuestión. Por ejemplo si
se decide discretizar el arco plano en elementos curvos, se acepta el nombre de
elemento de viga curvado.
Una manera más sencilla de discretizar un arco plano consiste en hacerlo
mediante elementos rectos. De esta manera, cuando el elemento finito es una barra recta
sometida a cargas externas que provocan, una situación conjunta de compresión y
flexión (compresión compuesta o flexión compuesta, según el predominio de una u
otra). Existe la tendencia de designar al elemento finito como elemento de Timoshenko
o elemento de viga de Timoshenko, solicitado únicamente a flexión, acoplando el
efecto de la compresión mediante un elemento de barra.
El elemento de pórtico plano puede basarse en el modelo de Timoshenko o en
el de Euler-Bernoulli, obteniéndose formulaciones distintas.
34
En tercer lugar a partir de la expresión de los trabajos virtuales o el principio de
la energía potencial total se obtienen las matrices de rigidez y el vector de cargas para
cada elemento finito (matrices y vectores locales, referida al sistema de coordenadas
asociado al elemento).
Luego se procede al ensamblaje de las matrices de rigidez y el vector de cargas
equivalentes de todos los elementos de la malla, obteniéndose las matrices globales,
referidas al sistema de coordenadas general del arco. Así, se obtiene el sistema de
ecuaciones del arco,
[𝐾]. {𝑎} = {𝑓}
Donde: [𝐾] es la matriz de rigidez global del arco, {𝑎} el vector de
desplazamientos de los nodos y {𝑓} el vector de cargas de la estructura.
Una vez establecida la ecuación matricial de la estructura, se resuelve el sistema
de ecuaciones; calculados los movimientos nodales {𝑎} se pueden calcular las
deformaciones y luego, las tensiones de cada elemento, así como las reacciones en los
nodos.
El gran número de ecuaciones que genera el método solo puede ser resuelto con
métodos matriciales, haciendo uso de los computadores.
2.7
El puente arco
La aparición del pretensado ha posibilitado la construcción de puentes rectos de
gran luz y luego el puente atirantado, que cubre con longitudes de 200 m a 500 m y que
puede llegar a los 1.000 m. El uso de grandes cerchas constituía la dificultad más
relevante que presentaba la ejecución de esos puentes, ubicadas, generalmente, en
zonas de difícil acceso, grandes valles o cursos de agua importantes. Sin embargo la
aplicación a los arcos del método de construcción en avance en voladizo, reavivó la
presencia de este tipo de puentes de hormigón o metálicos con longitudes que oscilan
entre los 100 y los 400 m como el puente del Krk, Croacia, L = 390,00 m, para el caso
del hormigón ó hasta los 518,5 m, en el caso de puentes metálicos.
35
Figura 18. Puente Krk en Croacia
Junto con el avance en voladizo, está presente, el abatimiento, por giro, de arcos
construidos en posición vertical, método que puso a punto R. Morandi en la pasarela
de la Fiumarella.
Figura 19. Puente Fiumarella
El puente de Waxian sobre el Yangtze, China, 420 m de longitud y de hormigón
se ha construido con autocimbra como los puentes de hormigón armado de Ribera o de
Torroja.
Figura 20. Puente Waxian en China
36
El puente la Saquea que es un puente de arcos metálicos de una longitud de 110
m y dos carriles sobre el río del mismo nombre en la provincia de Zamora Chinchipe.
Figura 21. Puente metálico en la Saquea en Zamora Chinchipe
El puente la Saquea aguas arriba del anterior, siendo un puente de hormigón
armado con un arco catenario de un solo carril en la provincia de Zamora Chinchipe.
Figura 22. Puente catenario de hormigón en la Saquea en la provincia de Zamora Chinchipe
Los puentes Gemelos en el Paso Lateral de Babahoyo de una longitud de 100
m, siendo un par de puentes metálicos sobre el río Babahoyo de dos carriles cada uno.
37
Figura 23. Puentes metálicos en el Paso Lateral de Babahoyo en la provincia de Los Ríos
Los puentes en arco de hormigón armado en el Acceso Norte a la ciudad de
Babahoyo el puente sobre el río San Pablo de 110 m y el puente sobre el río Catarama
de 132 m de longitud.
Figura 24. Puentes de hormigón armado en el Acceso Norte de Babahoyo en la provincia de
Los Ríos
2.7.1
Clasificación de los puentes arco
Desde el punto de vista de su forma, el puente arco se divide en tres clases:
Puente arco con tablero superior
Puente arco con tablero intermedio
Puente arco con tablero inferior
La situación relativa entre arco y tablero viene dada por la relación flecha-luz.
A partir de valores de esta relación inferiores a 1/10, los problemas derivados de
38
las deformaciones de temperatura, fluencia y retracción, en los arcos de hormigón,
o en los apoyos, son cada vez mayores. El arco con tablero intermedio o el arco con
tablero inferior, son la respuesta a aquellos casos en los que la distancia entre el
apoyo del arco y su coronación resulta muy pequeña.
2.7.1.1
Arco con tablero superior
Los parámetros desde los que puede controlarse las distintas variantes de esa
tipología.
Material. Acero, hormigón y construcción mixta para el arco, las pilas y el
dintel.
Articulaciones. Arco biempotrado, arco bi-articulado, arco triarticulado.
Sección transversal del arco. Sección cajón, de una o varias celdas. Sección
rectangular maciza, secciones tubulares, celosías, etc.
Sección del tablero. Secciones cajón. Losa maciza o aligerada, vigas “T” o
doble “T”.
Relación arco tablero. Pilares, tímpanos, etc.
Distribución de rigideces entre arco y tablero. Arco rígido – tablero flexible,
arco flexible – tablero rígido.
2.7.1.2
Directriz en planta del arco. Arco plano y espacial.
Puentes de hormigón con tablero superior
a) Articulaciones
Un arco con tablero superior es un puente bi-empotrado, Fig. 15. Las articulaciones
son elementos costosos y plantea dudas de conservación. Deben evitarse siempre que
sea posible. Introducen una gran deformabilidad en el arco y sólo son obligatorias en
el caso de que se esperen grandes giros en la cimentación, situación difícil de encontrar,
dado que el arco debe estar situado en terrenos de buena resistencia. En el puente de
Guaira, Fig. 16, Freyssinet construye un arco biarticulado, tanto por exigencias de la
cimentación de una de las laderas, como por el hecho, más importante, de ser el primer
puente que se construye en avance en voladizo atirantado y se deseaba tener
39
deformabilidad en los arranques durante el proceso de construcción. Esta precaución
no se suele adoptar hoy en día, pues los procesos constructivos en avance en voladizo
pueden controlarse adecuadamente bien en arcos biempotrados.
La biarticulación se ha empleado, también en puentes arco como el puente de
Hokawazu de 170 m de longitud en el Japón (1978) ó en el puente de Linganeau sobre
el Brégenzerach de 210 m de longitud en Austria (1967).
El arco triarticulado, fig. 17, prácticamente no se construye hoy en día por su
gran deformabilidad. Convierte el arco en isostático y por tanto muy apetecible en
circunstancias de posibilidades de cálculo limitadas. Los puentes de Veundre y
Boutiron de Freyssinet están triarticulados y, debieron bloquearse las articulaciones de
clave para reducir su deformabilidad. Una gran parte de los puentes de Maillart son
triarticulados.
Figura 25. Puente de Parramata en Australia
Figura 26. Puente de la Guaira en Venezuela
40
Figura 27. Puente triarticulado
b) Puentes arco clásicos
En Tabla No. 1 se establecen las características más importantes de los que se
pueden llamar, puentes arco clásicos, los mismos que se construyen desde los años
1930 hasta la actualidad.
Tabla 1 - Puentes de Arco
NO.
NOMBRE
AÑO
L
f/L
Ec /
L
Ea /
L
1/60
CARACTERISTICA
1
KRK
1980
390.00
1/6.5
1/60
2
PARRAMATA
1965
304.79
1/7.46
1/71
3
FOZ IGUAZU
1965
290.00
1/5.47
1/90
1/60
CERCHAS
4
BLOUKRANS
1983
272.00
1/4.4
1/75
1/48
AVANCE EN VOLADIZO ARCO
5
ARRABIDA
1963
270.00
1/5.19
1/90
1/60
CERCHAS
6
SANDO
1943
264.00
1/6.6
1/91
7
CHATEAUBRIAND
1991
261.00
1/8.1
1/62
AVANCE EN VOLADIZO ARCO
8
SHIBENIK
1966
246.10
1/8
1/84
1/66.6 AVANCE EN VOLADIZO ARCO
9
RKR II
1980
244.00
1/5.14
1/61
1/61
AVANCE EN VOLADIZO ARCO
10
FIUMARELLA
1961
231.00
1/3.5
1/11.5
1/35
CERCHAS
11
MARTIN GIL
1942
200.00
1/3.35
12
REGENTA
1996
194.00
1/3.8
1/80
1/46
CERCHAS
AVANCE EN VOLADIZO ARCO Y
DINTEL
13
PLOUGASTEL
1930
3x186
1/6.5
1/37.9
14
TRANEBERG
1934
181.00
1/6.8
1/61
15
VALLE GROSSE MUHL
1991
170.00
1/3.43
1/68
1/56
16
HOKAWAZU
1974
170.00
1/6.4
1/70
1/56
17
NECKARBURG
154.00
1/3.1
1/51
1/51
*
41
AVANCE EN VOLADIZO ARCO
1/43.5 CERCHAS
1/52.8 CERCHAS
CERCHAS
1/36.2 CERCHAS
AVANCE EN VOLADIZO ARCO
AVANCE EN VOLADIZO ARCO
18
PODALSKO
150.80
1/3.5
1/56
1/32
19
PUDDELFORD
150.10
1/6
1/108
1/61
20
LA GUAIRA
1952
150.00
1/4.75
1/50
1/50
AVANCE EN VOLADIZO ARCO
21
ARGENTOBEL
1987
143.00
1/4.8
1/55
1/34
GIRADO
22
BERNA
150.00
1/46
1/46
1/30
23
VIADUCTO LA PEÑA
1995
148.50
1/3.28
1/70
1/41
24
TENFEKSTAL
1938
138.00
1/5.3
1/106
1/49
25
ECHELSBACK
1930
130.00
1/4.1
1/61
1/40
26
G. WESTINGHAUSE
125.00
1/2.61
1/62
1/41
27
SERRIERES-SUR-AIN
1960
124.20
1/4.17
28
1979
124.00
1/4
1/82
1/52
29
KRUMMBACH
JUAN DE AUSTRIA
(VALLADOLID)
1986
120.00
1/9.13
1/66
1/100 CERCHAS
30
NIEDENBACH
1973
120.00
1/3.3
1/48
1/48
31
REVIN E ORZY
*
120.00
1/12
1/56
1/64
32
CONFLANS FIN D'OISE
**
101.00
1/10.6
1/72
1/101 CERCHAS
33
RIO STORM
100.00
1/5
1/83
1/40
34
VALLE DEL CROTTA
90.00
1/4.7
35
NUEVA REPUBLICA
90.00
1/11.7
1/90
1/39
36
KERISPER
86.00
1/6.25
1/77
1/51.8
37
TIEFE-TAL
77.68
1/6.16
L = LUZ DEL
ARCO
f = FLECHA DEL
ARCO
1/64
* ARCO BIARTICULADO
** ARCO TRIARTICULADO
-
*
1950
1986
AVANCE EN VOLADIZO ARCO Y
DINTEL
AUTOCIMBRADO
1/51.7 1/51.7 CERCHAS
AVANCE EN VOLADIZO ARCO
AVANCE EN VOLADIZO ARCO
GIRADO
1/69.2 1/62.9 AVANCE EN VOLADIZO ARCO
CERCHAS
Ec = ESPESOR EN CLAVE
Ea = ESPESOR EN ARRANQUES
Condiciones de borde. Son arcos generalmente biempotrados. Las
configuraciones bi-articuladas no se emplean. Los arcos triarticulados no se
emplean.
-
Directriz y flechas del arco. La directriz del arco debe seguir la curva
antifunicular de las cargas permanentes del puente, arco + tablero + pilares, lo
que lleva a curvas próximas a la parábola de 2º grado. La flecha a utilizar
debería ser, en principio, la mayor posible, con el fin de minimizar los esfuerzos
sobre el hormigón y las cargas sobre el cimiento, además de controlar dentro de
42
límites aceptables, los efectos producidos por las deformaciones impuestas y
los asientos de los apoyos. Fig. 18. (Manterola, 2006)
Figura 28. Corrimientos y momentos flectores debidos a desplazamientos horizontales
2.8
CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN EL ARCO DEL PUENTE
SOBRE EL RÍO SAN PABLO POR EL MÉTODO DE DESPLAZAMIENTOS
El cálculo general de los efectos que se producen en un arco bi empotrado por
el efecto de la aplicación de las cargas que se hallan sobre él, sean éstas: las cargas
muertas, las cargas permanentes y las cargas móviles se indica a continuación para
cargas permanentes:
DATOS PARA CALCULO DEL ARCO
PUENTE SOBRE RIO SAN PABLO
GEOMETRIA:
Figura 29. Esquema del Puente San Pablo
43
Flecha:
23.44 m
Radio:
73.01 m
Flecha del arco
Radio circular del
arco
107.23 m
Longitud del arco
Longitud:
SECCION TRANSVERSAL:
Figura 30. Esquema sección
transversal
Área:
7.45 m2
VIGA PRETENSADA
Sección de viga pretensada:
h vp
0.50 m
Altura de viga pretensada
b vp:
0.20 m
Base de viga pretensada
Area:
0.10 m2
Area de viga pretensada
Long:
10.50 m2
Núm. Vigas:
Longitud de viga
72
ASFALTO:
e=
0.05 m
Espesor de la capa de
asfalto
Área =
0.45 m2
Área de la capa de asfalto
L=
112.55 m
DADOS DE ACERO
Peso =
200 lbs
Longitud de capa de asfalto
Aparato de sujeción superior de péndola
90.68 kg
0.09 ton
# dados/arco
CABLES DE
PENDOLAS
Diámetro:
25
2.75 pulg
44
0.07 m
Área:
0.0038 m2
# péndolas/arc
25
Long péndola
L total cable
5.57 m
1
7.07 m
2
8.41 m
3
9.60 m
4
10.67 m
5
11.56 m
6
12.34 m
7
13.00 m
8
13.52 m
9
13.93 m
10
14.22 m
11
14.38 m
12
14.47 m
13
283.01 m
Tabla 2- Determinación de carga permanente
Elementos
Area
(m2)
P.Horm.(ton/m3)
Peso
(ton)
#
Peso (ton)
Peso
(ton/m)
Vigas y losa
7.45
2.40
1
0.5
8.94
8.94
Asfalto
Vigas
pretensada
0.45
2.20
1
0.5
0.50
0.50
0.10
2.40
10.50
36
90.72
0.85
0.0038
7.85
283.01
1
8.51
0.08
1
1.00
0.09
25
2.27
0.02
ton/m
10.38
kN/m
103.82
Péndolas
Dados
Total:
Ec =12000*(f'c)^0.5
f'c =
240
(f'c)^0.5 =
15.49
Ec =
185,903.20
Módulo elástico del hormigón
kg/cm2
Esfuerzo de compresión del hormigón
kg/cm2
Módulo elástico del hormigón
45
Ec =
G=
E/[2(1+v)
v horm =
G=
E/[2(1+v)
G=
E/[2(1+v)
1,859,032.01 ton/m2
Módulo elástico del hormigón
0.20
77,459.67
kg/cm2
774,596.67
ton/m2
Módulo al cortante del hormigón
Tabla 3- Carga muerta del arco
Tramo
b
h
bm
hm
Area
(m)
(m)
(m)
(m)
(m2)
1
1.85
3.00
1.78
2.74
4.85
2
1.70
2.47
1.63
2.20
3.58
3
1.55
1.93
1.48
1.67
2.46
4
1.40
1.40
Tramo
Area
Peso horm.
Peso arco
Long. Arco
Peso arco
(m2)
t/m3
(t/m)
(m)
(ton)
1
4.85
2.40
11.65
18.95
220.79
2
3.58
2.40
8.58
24.69
211.84
3
2.46
2.40
5.89
17.36
102.32
Σ=
534.95
Tabla 4- Cálculo de deformaciones y esfuerzos de un arco biempotrado
METODO:
DE
DEFORMACIONES
Carga w (ton/m)
10.38
Tramo
ton/m
1
22.03
2
18.96
3
16.28
Tramo
L arc
α
α
sen α
46
cos α
w
(Q)=w.cos
α
w
(N)=w.sen
α
(m)
(grados)
(rad)
(ton/m)
(ton/m)
1
18.95
46.251
0.80723
0.72238
0.69150
15.24
15.92
2
24.69
32.602
0.56901
0.53880
0.84243
15.97
10.22
3
17.36
13.466
0.23503
0.23287
0.97251
15.83
3.79
Tabla 5- Reacciones isostáticas
Tra Qi=w.La Qi=w.La Ni=w.La Ni=w.La Hi(Qi)=Qi Vi(Qi)=Qi Hi(Ni)=Ni Vi(Ni)=Ni
mo
rc/2
rc/2
rc/2
rc/2
.senα
.cosα
.senα
.cosα
(ton)
(ton)
(ton)
(ton)
(ton)
(ton)
(ton)
(ton)
1
144.36
144.36
150.80
150.80
104.28
99.82
108.94
104.28
2
197.20
197.20
126.12
126.12
106.25
166.13
67.95
106.25
3
137.39
137.39
32.90
32.90
31.99
133.61
7.66
31.99
∑
478.94
478.94
309.82
309.82
242.52
399.56
184.55
242.52
H1=
242.52
184.55
427.08
V1=
399.56
242.52
642.08
Tabla 6- Momentos de empotramiento
Tramo
Hi
Vi
x
z
1
2
3
∑
M1 =
(ton)
426.43
348.41
79.31
854.15
7,548.24
(ton)
408.21
544.75
331.21
1284.17
(m)
7.13
11.17
8.51
(m)
5.80
4.92
1.00
Hi*zi
Vi*xi
-2,474.02
-1,712.47
-79.62
-4,266.10
2,910.88
6,085.39
2,818.07
11,814.34
Mi
(ton-m)
436.87
4,372.92
2,738.46
Tabla 7- Secciones transversales de los arcos
Tramo
b
h
bm
hm
Area
I
(m)
(m)
(m)
(m)
(m2)
(m4)
1
1.85
3.00
1.78
2.74
4.85
3.02614
2
1.70
2.47
1.63
2.20
3.58
1.44192
3
1.55
1.93
1.48
1.67
2.46
0.56735
4
1.40
1.40
Tabla 8- Coordenadas de los puntos del arco en análisis
X
Z
θ (grados)
θ (rad)
L arc= R.θ
x
z
14.262
11.603
14.629
0.25532
18.641
14.26
11.603
36.604
21.434
19.136
0.33399
24.384
22.34
9.830
53.621
23.441
13.474
0.23517
17.169
17.02
2.008
R=
73.010
m
47
M1
1/I
ds
V1
x/I
H1
z/I
Mi/I
7,548.24
0.330
18.95
642.08
4.71287
427.08
3.83436
144.36
7,548.24
0.694
24.69
642.08
15.49458
427.08
6.81745
3,032.71
7,548.24
1.763
17.36
642.08
29.99331
427.08
3.53889
4,826.72
Términos de la Integral
1
2
3
4
6.26
89.31
72.66
2,735.69
17.12
382.56
168.32
74,877.68
30.60
520.68
61.44
83,791.89
53.98
992.55
302.42
161,405.26
Término
Valor
1
407,479.43
2
637,303.38
3
129,155.89
4
161,405.26
Eθ =
1,077,032.18
E.θ =
E=
1,077,032.18
1,859,032.01 ton/m2
θ=
0.57935
θ=
33.19
M1
rad
grados
1/I
ds
x
7,548.24
0.330
18.95
14.26
4.71287
89.31
7,548.24
0.694
24.69
22.34
15.49458
382.56
7,548.24
1.763
17.36
17.02
29.99331
520.68
Σ=
x/I
x/I .ds
992.55
48
A
-7,492,036.04
V1
x^2/I
x^2/I .ds
sen^2 a / A
(sen^2a/A).ds
xcos^2a/A
(xcos^2a/A)ds
642.08
67.21
1,273.70
0.10749
2.03695
1.40476
26.62
642.08
346.18
8,547.15
0.08120
2.00494
7.26642
179.41
642.08
510.39
8,860.37
0.02208
0.38332
20.64958
358.48
Σ=
18,681.22
E=
1,859,032.01 ton/m2
G=
774,596.67 ton/m2
E/G =
2.40
1
-18,681.22
2
4.43
3
-1,354.81
Σ=
-20,031.61
4.42521
564.50
B
-12,861,983.39
H1
x.z/I
(x.z/I).ds
sen a.cos
a/A
sen a.cos
a/A.ds
x.sen a.cos
a/A
x.sen a.cos
a/A.ds
427.08
54.68
1,036.28
0.10290
1.94989
1.46749
27.81
427.08
544.10
13,433.80
0.12697
3.13479
2.83666
70.04
427.08
2,215.44
38,459.96
0.09221
1.60084
4.94457
Σ=
52,930.04
1
52,930.04
2
6.69
3
183.68
E=
1,859,032.01
ton/m2
G=
774,596.67
ton/m2
6.68551
3
440.84
C
22,796,269.11
Tramo
Mi
Qi
Ni
(ton-m)
(ton)
(ton)
1
436.87
144.36
150.80
2
4,372.92
197.20
126.12
49
85.84
183.68
3
2,738.46
137.39
32.90
Tramo
Mi.x/I
Mi.x/I.(ds)
dz
dx
Ni/A (dz)
x.Qi/A.(dx)
1
1,029.44
19,507.96
11.60
14.26
360.44
6,048.28
2
33,878.28
836,454.80
9.83
22.34
346.80
45,109.70
3
41,067.68
712,934.92
2.01
17.02
26.90
51,045.12
734.14
102,203.10
E/G*
245,287.45
Σ=
1,568,897.68
1
-1,568,897.68
2
734.14
3
-245,287.45
D
-1,813,450.99
A
-7,492,036.04
B
-12,861,983.39
C
22,796,269.11
D
-1,813,450.99
E.Δ =
E=
Δ=
628,798.68
1,859,032.01
0.34
m
M1
7,548.24
7,548.24
7,548.24
z
11.603
9.830
2.008
x
14.262
22.342
17.017
M1
z/I (ds)
x.z/I . ds
7,548.24
7,548.24
7,548.24
72.66
168.32
61.44
89.31
382.56
520.68
ds
18.95
24.69
17.36
A
4.85
3.58
2.46
sen a/A
.ds
2.82
3.72
1.65
x.sen a.cos
a/A .ds
27.81
70.04
27.24
50
sen a
0.72238
0.53880
0.23287
z^2 ds/I
843.11
1,654.65
123.35
cos a
0.69150
0.84243
0.97251
I
3.02614
1.44192
0.56735
cos^2a.ds/A x.sen^2a.ds/A
1.87
4.90
6.69
29.05
44.79
6.52
Σ=
302.42
992.55
8.19
125.09
2,621.11
13.45
Términos de la Integral
1
2,282,731.91
2
-917.63
2
-589,193.07
3
-2,800.53
3
-1,196,040.55
Mi
Mi.z/I. ds
Ni
Ni/A .dx
Qi
x.Qi.dz/A
436.87
31,743.08
150.80
443.02
144.36
2,058.79
4,372.92
736,062.55
126.12
788.20
197.20
7,218.15
2,738.46
168,237.36
32.90
227.95
137.39
7,366.86
Σ
936,042.98
1,459.18
Términos de la Integral
4
936,042.98
5
1,459.18
6
39,945.14
E. δ =
δ=
1,474,945.59
0.79
m
θ=
33.19
grados
Δ=
0.338
m
δ=
0.793
m
RESUMEN:
51
16,643.81
80.37
CAPITULO 3
CÁLCULO DE DEFORMACIONES MEDIANTE MÉTODOS
COMPUTACIONALES COMO EL SAP2000
3.1
Introducción
Se ha modelado el puente sobre el río San Pablo como una estructura tridimensional
que va ser sometido a distintos tipos de carga.
Como se puede ver en la figura, se tiene un puente en arco, de 112 m de longitud.
La estructura es principalmente hormigón armado, pero tiene además elementos
pretensados en el tablero. Se utiliza además cables de acero, para transmitir las cargas
del tablero a los arcos. Los cimientos son unas zapatas de hormigón armado que se
apoyan en pilotes.
Figura 31 Planta del modelo estructural
Los cálculos se realizaron utilizando el programa de cálculo estructural SAP2000,
versión 16. En el caso de los modelos realizados en dicho programa de cálculo
estructural, la geometría y la introducción de datos se realizan de forma gráfica. Los
resultados, el programa se presentan en forma gráfica y el proceso de diseño requiere
que el trabajo se realice de manera iterativa e interactiva.
52
3.1.1
Solicitaciones y Combinaciones de carga
Las cargas consideradas en el cálculo de este puente se presentan a continuación.
3.1.1.1 Carga muerta o peso propio (CM)
Esta carga es el peso de toda la estructura, instalaciones y acabados, la misma
que es permanente. El tablero de puente la carga muerta es principalmente el peso de
la losa de hormigón de 22 cm y una carpeta asfáltica de 5cm.
Como la longitud de la estructura que es de 112 m es importante, la carga muerta
es quizá la solicitación más importante de la estructura.
3.1.1.1.1
Sobre carga vehicular e impacto (CV + I)
La sobrecarga vehicular utilizada es la del camión HL-93, que es una
combinación de Camión de diseño y carga de carril de diseño.
3.1.1.3
Sobrecarga vehicular HL-93
La carga HL-93 establece la colocación de una carga de 950 kg/m por carril.
La normativa AASHTO establece un factor de presencia múltiple, para el caso de 2
carriles dicho factor es de 1.0 (AASHTO LRFD, 2012) (3.6.1.1.2).
En el puente sobre el río San Pablo la carga del tablero se determinó sobre la
base de las siguientes consideraciones: el tablero tiene 2 carriles por lo que el diseño
contempla que en cada uno puede existir una carga de 950 kg/m, se consideró además
la carga peatonal de 500 kg/m2 de vereda.
A esta carga se le añadió la del camión de diseño, el cual se encuentra
especificado en la normativa con los siguientes valores: eje delantero 3.500 kg, eje
53
intermedio 14.500 kg y eje trasero 14.500 kg. La separación entre ejes delantero e
intermedio y la separación entre eje intermedio y trasero es de 4.5 m. A esta carga se
le afectó por el factor dinámico que es 33% adicional. A continuación se presenta un
cuadro indicativo de la sobrecarga vehicular HL-93.
HL-93
Carga
carril
de
950
Número de carriles
kg/m
2
Carga del camión de diseño
Eje
kg
Eje 1
3.500
0
Eje 2
14.500
4.5
m (desde el origen)
Eje 3
14.500
9.0
m (desde el origen)
Factor de presencia múlt. =
Distancia
1
m (origen)
(para 2 carriles)
El incremento por carga dinámica de la carga viva es del 33%, dicho incremento
se aplica solo a la carga del camión de diseño, no a la carga del carril.
El factor de presencia múltiple como el del impacto corresponde al diseño
LRFD. El factor de presencia múltiple cargado dos carriles es de 1.00.
3.1.1.4
Fuerza de frenado
La fuerza de frenado de acuerdo a la normativa AASHTO, establece que se deberá
tomar como el mayor valor entre:
Fuerza de frenado 1.- El 25% de los pesos por eje del camión de diseño.
Fuerza de frenado 2.- El 5% del camión de diseño más la carga del carril de
diseño.
En este caso se analizó para el segundo valor (5%), por ser la carga de mayor valor.
54
Fuerza frenado 1
Eje
Carga (kg)
25%xCarga
Eje 1
3500
875 kg
Eje 2
14500
3625 kg
Eje 3
14500
3625 kg
Fuerza frenado 2
Eje
Carga (kg)
5%xCarga
Eje 1
3500
175 kg
Eje 2
14500
725 kg
Eje 3
14500
725 kg
Carga distribuida =
950 kg/m
Longitud del puente =
112 m
F. de frenado distrib. (5%)=
5320 kg/m
Aproximadamente 50 kg/m de carril (16 kg/m2) a lo largo de los 112 m de
longitud del puente.
En el modelo se consideró dos cargas, frenado-1 y frenado-2, puesto que existe
dos carriles. Estas cargas son en dirección contraria, por lo que el caso más desfavorable
es cuando actúa una a la vez.
3.1.1.5
Fuerza del viento
La carga del viento se calcula en la estructura y en los vehículos. La norma
menciona que se debe considerar una velocidad básica del viento de 160 km/h. Salvo
que se disponga de otros valores que señalen la velocidad de viento con mayor
precisión.
El cálculo de la carga del viento para el puente San Pablo de acuerdo a las
especificaciones del AASHTO.
3.1.1.6
Presión del viento sobre los vehículos (Viento-1)
La presión del viento sobre los vehículos se representa con 150 kg/m actuando
perpendicularmente a la calzada. Esta carga se basa en considerar una larga fila de
vehículos en secuencia aleatoria, expuesta a la velocidad de viento de diseño de 90
km/h. Esta carga se transmite al tablero a través de los neumáticos de los vehículos.
55
3.1.1.7
Presión del viento sobre la estructura (Viento-2)
Para el cálculo de la carga se requiere el alto del puente expuesto donde da el
viento, en este caso corresponde al alto de la viga lateral en el tablero (para el cálculo
se consideró 1.70 m).
Sobre la superestructura:
Velocidad básica de diseño =
160
km/h
Presión del viento en las Vigas
0,0024
MPa (N/mm2) Barlovento
0,0012
MPa (N/mm2) Sotavento
Alto de viento
1,70
m
Barlovento
416,33
kg/m
Sotavento
208,16
kg/m
4,4
N/mm
Barlovento
448,98
kg/m
2,2
N/mm
Sotavento
224,49
kg/m
Pero no menor a:
Se consideró una carga de viento en los arcos y en el tablero de 450 kg/m para
barlovento y 225 kg/m para sotavento.
3.1.1.8
Carga sísmica (EQ)
Para la carga sísmica se realizará mediante un cálculo dinámico por la
definición del espectro de respuesta, definido por la Norma Ecuatoriana de la
Construcción NEC-11.
56
Figura 32. Espectro de respuesta sísmica para el diseño
Los valores a ser considerados para establecer el espectro de respuesta son los
siguientes.
Babahoyo se encuentra en una zona sísmica cuyo valor de Z es de 0.30 (Comité
Ejecutivo de la Norma Ecuatoriana de la Construcción, 2011).
Figura 33. Zonificación sísmica NEC 2011
Con respecto al factor de Importancia se consideró como un puente especial por
las dimensiones del puente y porque se espera que en un sismo el puente esté abierto
para vehículos de emergencia. Por lo que se colocó un factor de importancia de 1.5.
57
Con respecto al efecto del tipo de suelo en el sitio de implantación se obtuvo
del estudio geotécnico que el suelo al nivel de la cimentación es de tipo depósitos de
arena, con una potencia de 40 m, luego material consolidados; de aquí que el tipo de
suelo se le consideró en la categoría E, con lo cual se establece los valores de Fa, Fd y
Fs.
Donde, Fa es el factor que amplifica las ordenadas del espectro de respuesta
elástico de aceleraciones para diseño en roca (Comité Ejecutivo de la Norma
Ecuatoriana de la Construcción, 2011).
Tabla 9- Tipo de suelo y factores de sitio Fa
Tipo de
perfil del
subsuelo
A
B
C
D
E
F
Zona sísmica
I
II
III
IV
V
VI
Valor Z
(aceleración
esperada en
roca, g)
0.15
0.25
0.30
0.35
0.40
>=0.5
0.90
1.00
1.40
1.60
1.80
Ver nota
0.90
1.00
1.30
1.40
1.50
Ver nota
0.90
1.00
1.25
1.30
1.40
Ver nota
0.90
1.00
1.23
1.25
1.28
Ver nota
0.90
1.00
1.20
1.20
1.15
Ver nota
0.90
1.00
1.18
1.15
1.05
Ver nota
El factor Fd representa un amplificador de las ordenadas del espectro elástico
de respuesta de desplazamientos para diseño en roca (Comité Ejecutivo de la Norma
Ecuatoriana de la Construcción, 2011).
58
Tabla 10- Tipo de suelo y Factores Fd
Zona sísmica
I
II
III
IV
V
VI
Valor Z
(aceleración
esperada en
roca, g)
0.15
0.25
0.30
0.35
0.40
>=0.5
A
0.90
0.90
0.90
0.90
0.90
0.90
B
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
C
1.60
1.50
1.40
1.35
1.30
1.25
D
1.90
1.70
1.60
1.50
1.40
1.30
E
2.10
1.75
1.70
1.65
1.60
1.50
F
Ver nota
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Ver nota
Ver nota
Ver nota
El factor Fs que considera el comportamiento no lineal de los suelos, la
degradación del período del sitio que depende de la intensidad y contenido de
frecuencias de la excitación sísmica y los desplazamientos relativos del suelo, para los
espectros de aceleración y desplazamientos (Comité Ejecutivo de la Norma
Ecuatoriana de la Construcción, 2011).
Tabla 11- Tipo de suelo y Factores de sitio Fs
Zona sísmica
I
II
III
IV
V
VI
0.15
0.25
0.30
0.35
0.40
>=0.5
A
B
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
C
D
1.00
1.20
1.10
1.25
1.20
1.30
1.25
1.40
1.30
1.50
1.45
1.65
E
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
2.00
Tipo de
perfil del
subsuelo
Valor Z
(aceleración
esperada en
roca, g)
F
Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota
Nota: Para los suelos tipo F no se proporcionan valores de Fa, Fd, debido a que requieren un estudio
especial, conforme lo estipula la sección 2.5.4.9
.
59
Se utilizó el cálculo dinámico para sismo mediante la introducción de un
espectro de respuesta, definido por la Norma Ecuatoriana de la Construcción;
Z=
0.3
Factor de zona
Fa =
1.4
Fd =
1.7
Fs =
1.7
ϕp =
1.0
Factor por irregularidad en elevación
ϕe =
0.9
Factor por irregularidad en planta
η=
1.8
Relación de amplificación espectral (S a/Z)
r=
1.5
Depende del tipo de suelo (A, B y C =1; D y E =1.5)
R=
3.0
Coeficiente de reducción de respuesta estructural
I=
1.5
Factor de importancia
Fa, Fd, Fs: Coeficientes de amplificación dinámica
Se consideró que el puente no tiene irregularidad en planta; si en elevación. Para
la relación ŋ el NEC-11 indica para las provincias de la costa 1.8. Se consideró un factor
de respuesta sísmica de 3, puesto que se dota a los elementos estructurales cierta
ductilidad en las conexiones.
A continuación se presenta los valores del espectro obtenido:
Tabla 12- Acelerograma
#
T (seg)
Sa (g)
#
T (seg)
Sa (g)
1
0.206429
0.420000
36
1.956429
0.185674
2
0.256429
0.420000
37
2.006429
0.178777
3
0.306429
0.420000
38
2.056429
0.172297
4
0.356429
0.420000
39
2.106429
0.166199
5
0.406429
0.420000
40
2.156429
0.160452
6
0.456429
0.420000
41
2.206429
0.155029
7
0.506429
0.420000
42
2.256429
0.149905
8
0.556429
0.420000
43
2.306429
0.145057
9
0.606429
0.420000
44
2.356429
0.140465
10
0.656429
0.420000
45
2.406429
0.13611
11
0.706429
0.420000
46
2.456429
0.131975
12
0.756429
0.420000
47
2.506429
0.128046
13
0.806429
0.420000
48
2.556429
0.124308
60
14
0.856429
0.420000
49
2.606429
0.120748
15
0.906429
0.420000
50
2.656429
0.117355
16
0.956429
0.420000
51
2.706429
0.114118
17
1.006429
0.420000
52
2.756429
0.111027
18
1.056429
0.420000
53
2.806429
0.108073
19
1.106429
0.420000
54
2.856429
0.105248
20
1.156429
0.408573
55
2.906429
0.102544
21
1.206429
0.383438
56
2.956429
0.099953
22
1.256429
0.360779
57
3.006429
0.09747
23
1.306429
0.340267
58
3.056429
0.095088
24
1.356429
0.321627
59
3.106429
0.092802
25
1.406429
0.304269
60
3.156429
0.090605
26
1.456429
0.289077
61
3.206429
0.088494
27
1.506429
0.274805
62
3.256429
0.086464
28
1.556429
0.261670
63
3.306429
0.08451
29
1.606429
0.249549
64
3.356429
0.082629
30
1.656429
0.238336
65
3.406429
0.080816
31
1.706429
0.227938
66
3.456429
0.079069
32
1.756429
0.218274
67
3.506429
0.077384
33
1.806429
0.209275
68
3.556429
0.075758
34
1.856429
0.200877
69
3.606429
0.074188
35
1.906429
0.193027
70
3.656429
0.072671
ESPECTRO DE DISEÑO
0,45
0,40
0,35
SA(G)
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
T (SEG)
Figura 34. Espectro de diseño de Babahoyo
61
3,50
4,00
Los períodos de vibración de la estructura, con el modelo de cálculo
tridimensional se determinan directamente. De acuerdo a la normativa es suficiente
utilizar los 25 primeros modos de vibración de la estructura.
3.1.1.9
Combinaciones de carga y factores de mayoración
La normativa AASHTO establece las combinaciones de resistencia y servicio
que se debe analizar, así como los factores de mayoración que se considera para cada
una de dichas cargas. Se describen cada una de las combinaciones utilizadas, las cuales
corresponde a diseño a última resistencia (LRFD).
RESISTENCIA I: Combinación de carga básica que se relaciona con el uso del puente
por parte de vehículos normales.
Estado límite => Carga = 1.25 CM + 1.75 (CV+I) + 1.75 F frend
RESISTENCIA II: Combinación de cargas que se relaciona con el uso del puente por
parte de vehículos de diseño especiales especificados por el propietario, sin viento.
Estado límite => Carga = 1.25 CM + 1.35 (CV+I) + 1.35 F frend
RESISTENCIA III: Combinación de cargas para el puente expuesto a vientos de
velocidades superiores a 90 km/h.
Estado límite =>
Carga = 1.25 CM + 1.40 West.
RESISTENCIA IV: Combinación de cargas para relaciones elevadas entre las
solicitaciones provocadas por las cargas permanentes y las provocadas por las
sobrecargas.
Estado límite => Carga = 1.50 CM.
RESISTENCIA V: Combinación de cargas que se relaciona con el uso del puente por
parte de vehículos normales con una velocidad del viento de 90 km/h.
Estado límite => Carga = 1.25 CM + 1.35 (CV+I) + 1.35 Ffrend + 0.4 West + W veh
EVENTO EXTREMO I: Combinación de cargas que incluye sismos.
Estado límite => Carga = 1.25 CM + 0.50 CV + EQ
62
SERVICIO I: Combinación de carga que se relaciona con la operación normal del
puente con un viento de 90 km/h, tomando todas las cargas a sus valores nominales.
Diseño a última resistencia
Estado límite => Carga = CM + (CV+I) + F frend + 0.3 West+ W veh.
SERVICIO II: Combinación de carga cuyo objetivo es controlar la fluencia de las
estructuras de acero y el resbalamiento provocado por la sobrecarga vehicular en las
conexiones de resbalamiento crítico.
Estado límite-> Carga = CM + 1.30 (CV+I) +1.30 F frand.
FATIGA: Combinación de cargas de fatiga y fractura relacionada con la sobrecarga
gravitatoria vehicular y repetitiva y las respuestas dinámicas bajo un único camión de
diseño.
Estado límite-> Carga = 0.75 (CV+I)
3.1.1.10
Diseño geométrico
El cálculo estructural del puente se realizó un modelo tridimensional, con el
software de SAP2000 V16.
Se ha propuesto un puente en arco de hormigón, con péndolas de acero para
apoyar el tablero. En este caso el puente diseñado es de aproximadamente de 112 m.
La cimentación es una cimentación profunda hasta un estrato más resistente y se han
utilizado pilotes presforzados de 0.60 x 0.60 m.
63
Figura 35. Idealización de Puente San Pablo
Figura 36. Esquema en elevación de puente San Pablo
El tablero del puente es de 2 carriles vehiculares, carril para bicicletas y
circulación peatonal a cada lado del puente.
64
Figura 37. Sección transversal de puente San Pablo
3.1.1.11
Idealización estructural
El puente se apoya en estribos a cada lado y éstos a su vez en pilotes
presforzados. De los estribos surgen dos arcos que sostienen al tablero a través de
cables de acero que constituyen las péndolas.
Figura 38. Idealización estructural Puente San Pablo
65
Los arcos, columnas, vigas y losa son de hormigón armado; las péndolas son
cables de acero. En el modelo se los caracteriza los arcos columnas y vigas con
elementos tipo “frame”, mientras que la losa del tablero se caracteriza con elementos
tipo “shell”.
El tablero está formado por una losa de calzada soportada por vigas perpendiculares
al tráfico cada 1.50 m. A estas vigas que son secundarias están unidas en su parte central
por una viga diafragma. Las vigas secundarias se apoyan en dos vigas principales, las
que se localizan a cada lado del tablero en la intersección con el plano del arco. Estas
vigas forman una barrera que impide que los vehículos puedan caer al río. Los arcos y
péndolas sujetan dichas vigas principales.
3.1.1.11.1
Condiciones de apoyo
La estructura que soporta el puente son los arcos que se encuentran a cada lado
del tablero. Estos arcos se empotran en los cimientos y los cimientos a su vez se apoyan
en el suelo a través de pilotes presforzados.
3.1.1.11.2
Cargas y combinaciones de cargas del modelo
Las cargas introducidas en el modelo son:
3.1.1.11.2.1
Cargas introducidas:
Dead: Carga muerta de la estructura.
Distribuida-1, Distribuida-2: Carga distribuida del carril en los diferentes partes
del tablero. Para considerar el caso más desfavorable se consideró la posibilidad
de cargar totalmente o cargar parcialmente el tablero, esto es la mitad izquierda
o la mitad derecha.
Vehiculo-1, Vehiculo-2: Carga correspondiente a las cargas puntuales de un
tren de cargas del vehículo de diseño. Se cargan los 2 carriles.
Veredas: Carga de peatones en las aceras del puente.
Frenado-1, Frenado-2: Carga de frenado, en dirección longitudinal al puente y
depende del carril.
Vien-Est: Carga de viento sobre la estructura.
66
Vien-Veh: Carga de viento sobre vehículos. Se considera como una carga
horizontal transversal al tablero.
Sismo-X: Carga sísmica en dirección longitudinal.
Sismo-Y: Carga sísmica en dirección transversal.
Sismo-Z: Carga sísmica en dirección vertical.
3.1.1.11.2.2
Combinaciones de carga:
REST-I: 1.25 x CM + 1.75 x (CV + I) + 1.75 x Ff rend
REST-I-Tren: Carga muerta, carga de vehículos en todo el puente, carga
peatonal en las aceras.
Carga
Factor de mayoración
Dead:
1.25
Vehículo-Izq:
2.85 -> (1.75x1.25x1.3)
Vehículo-Der:
2.85 -> (1.75x1.25x1.3)
Peatonal:
1.75
REST-I-Tren-Izq: Carga muerta, carga de vehículos en el lado izquierdo, carga
peatonal en las aceras.
Carga
Factor de mayoración
Dead;
1.25
Vehiculo-Izq;
2.85 -> (1.75x1.25x1.3)
Peatonal;
1.75
REST-I-Tren-Der: Carga muerta, carga de vehículos en el lado derecho, carga
peatonal en las aceras.
Carga
Factor de mayoración
Dead;
1.25
Vehículo-Izq;
2.85 -> (1.75x1.25x1.3)
Peatonal;
1.75
67
REST-I-HL93: Carga muerta, Carga viva distribuida en todo el puente, carga
del vehículo de diseño en el centro, carga peatonal en las aceras, carga de
frenado en uno de los carriles.
Carga
Factor de mayoración
Dead;
Distribuida-1; 1.75
Distribuida-2; 1.75
Vehículo Diseño;
2.33
Peatonal;
1.75
Frenado-1;
1.75
1.25
REST-III: 1.25CM+1.40West.
REST-III-1: Carga muerta, Carga viento en los vehículos.
Carga
Factor de mayoración
Dead;
1.25
Viento-1;
1.40
REST-III-2: Carga muerta, Carga viento en la estructura.
Carga;
Factor de mayoración)
Dead;
1.25
Viento-2;
1.40
REST-IV: 1.50 CM
REST-IV: Carga muerta.
Carga
Factor de mayoración
Dead;
1.50
RES-V: 1.25CM+1.35(CV+I)+1.35Ffrend+0.4West+Wveh.
REST-V-1: Carga muerta, Carga viva distribuida en todo el puente, carga de
vehículos en diferentes lugares del puente, carga peatonal, carga de frenado en
uno de los carriles, carga de viento en la estructura y los vehículos.
Carga
Factor de mayoración
68
Dead;
1.25
Distribuida-1;
1.35
Distribuida-2;
1.35
Vehiculo-1;
1.80
Vehiculo-2;
1.80
Peatonal;
1.35
Frenado-2;
1.35
Viento-2;
0.40
Viento-1;
1.00
EV-EXT-X: 1.25CM + 0.50 (CV) + EQX
Para las combinaciones de carga sísmica, se considera que la carga actúa el 100%
del sismo en una sola dirección y un 20% en las otras direcciones ortogonales. Es decir,
una combinación de carga tiene 100% con carga sísmica en X, y 20% con carga sísmica
en Y y en Z. Otra 100% con la carga sísmica en Y y 20% con carga sísmica en X y Z.
La normativa solo considera carga sísmica en X o en Y, este caso se consideró
importante agregar un 20% de carga sísmica en Z por la amplitud de los vanos. También
se consideró una combinación donde la carga principal es en Z, pero en este caso se
limitó al 75% de dicha carga.
EV-EXT-X: Carga muerta, Carga viva parcial distribuida en todo el puente,
carga sísmica en dirección longitudinal al puente y carga parcial sísmica en las
otras dos direcciones perpendiculares.
Carga
Factor de mayoración
Dead;
1.25
Distribuida-1;
0.50
Distribuida-2;
0.50
Sismo-X;
1.00
Sismo-Y;
0.20
Sismo-Z;
0.20
69
EV-EXT-Y: 1.25CM + 0.50 (CV) + 0.30EQX + 1.0EQY
EV-EXT-Y: Carga muerta, Carga viva parcial distribuida en todo el puente,
carga sísmica en dirección transversal al puente y carga parcial sísmica en las
otras dos direcciones perpendiculares.
Carga
3.1.1.12
3.1.1.121
Factor de mayoración
Dead;
1.25
Distribuida-1;
0.50
Distribuida-2;
0.50
Sismo-Y;
1.00
Sismo-X;
0.20
Sismo-Z;
0.20
Resultados del Modelo SAP2000
Deflexiones en el puente
Las deflexiones que se generan en el puente se han determinado y los valores
máximos de flecha generados por carga la carga muerta o permanente es
aproximadamente en las vigas longitudinales de 50.7 mm. Esta flecha se genera en la
zona central de las vigas principales y de 44.6 mm que corresponde a las partes
centrales de los arcos. En la siguiente figura, se presenta el gráfico de deflexiones.
Figura 39. Deflexiones de Puente San Pablo
70
La deflexión por carga muerta debe ser contrarrestada mediante la contra flecha
calculada como el producto entre la deflexión de carga muerta por un factor que puede
ser 1.5 a 2.
La deflexiones en la combinación de la carga REST-I-HL93, en donde se halla
toda la estructura cargada con la carga permanente y la carga de uso afectados por los
coeficientes de mayoración, se presenta en la siguiente figura. La deformación máxima
en el arco es de 86.5 mm y en la zona central de las vigas principales es de 99.1 mm.
Figura 40. Deformada del puente San Pablo
Las deflexiones con la envolvente se presentan en la siguiente figura. La
deformación máxima en el arco es de 50.5 mm y en la zona central de las vigas
principales es de 99.1 mm.
71
Figura 41. Deflexiones de la envolvente Puente San Pablo
Para que las vibraciones de un puente no representen un problema, la normativa
limita la deflexión a L/800 = 140 mm, considerando únicamente la carga viva más la
carga dinámica. En este caso, si se considera el tramo del tablero entre los apoyos de
los arcos tenemos L=96,00m, en consecuencia la deflexión está limitada a 120 mm.
La establecida por el modelo es menor a la combinación de carga de resistencia
que considera la carga muerta y los factores de mayoración, por lo que no se tendría
problemas de vibraciones.
72
CAPITULO 4
CÁLCULO DE DEFORMACIONES MEDIANTE UN MODELO DE
ANÁLISIS DINÁMICO PARA CARGA MOVIL EN LOS ARCOS DE
HORMIGÓN PARA EL PUENTE EN ARCO SOBRE EL RÍO SAN PABLO
4.1
Análisis dinámico
4.1.1
Requisitos básicos de la dinámica estructural
4.1.2
Requisitos Generales
Para analizar el comportamiento dinámico de un puente se deberán modelar las
características de rigidez, masa y amortiguamiento de los componentes estructurales.
El número mínimo de grados de libertad incluido en el análisis se deberá basar
en el número de frecuencias naturales a obtener y en la confiabilidad de las formas
modales supuestas. El modelo deberá ser compatible con la precisión del método
utilizado para resolverlo. Los modelos dinámicos deberán incluir los aspectos
relevantes de la estructura y la excitación.
Los aspectos importantes de la estructura pueden incluir:
La distribución de la masa,
La distribución de la rigidez, y
Las características de amortiguamiento.
Los aspectos importantes de la excitación pueden incluir:
La frecuencia de la función excitatriz,
La duración de la aplicación, y
La dirección de aplicación.
En el diseño de un puente no es necesario considerar un análisis de las vibraciones
inducidas por los vehículos ni por el viento. Aunque un vehículo cruzando sobre el
puente no constituye una situación estática, el puente se analiza colocando el vehículo
de forma estática en diferentes ubicaciones a lo largo del puente y aplicando un
incremento por carga dinámica, como se especifica en el Artículo 3.6.2, para considerar
las respuestas dinámicas provocadas por el vehículo en movimiento. Sin embargo, en
73
los puentes flexibles y en los componentes largos y esbeltos de puentes que pueden ser
excitados por el movimiento del puente, las solicitaciones dinámicas pueden ser
mayores que el incremento por carga dinámica especificado en el Artículo 3.6.2. En la
mayoría de los puentes en los cuales se han observado problemas de vibración el
amortiguamiento natural de la estructura era muy bajo. Los puentes continuos flexibles
pueden ser particularmente susceptibles a las vibraciones. Estos casos pueden requerir
un análisis para sobrecarga móvil.
Si el número de grados de libertad del modelo es mayor que el número de grados
de libertad dinámicos utilizado, se puede emplear un procedimiento de condensación
estándar.
Se pueden utilizar procedimientos de condensación para reducir el número de
grados de libertad antes de efectuar el análisis dinámico. Sin embargo, la condensación
puede comprometer la precisión de los modos más elevados. Si se requieren modos
más elevados, tales procedimientos se deberían aplicar con precaución.
El número de frecuencias y formas modales necesarias para completar el
análisis dinámico se deberían estimar de antemano, o se deberían determinar como una
aproximación de múltiples pasos. Habiendo determinado este número, el modelo se
debería desarrollar de manera que posea un mayor número de grados de libertad
aplicables.
Se deberían incluir suficientes grados de libertad para representar las formas
modales relevantes para la respuesta que se desea obtener. Una regla práctica es que el
número de grados de libertad debería ser igual al doble del número de frecuencias
requeridas.
El número de grados de libertad y las masas asociadas se deberían seleccionar
de manera de aproximar la verdadera naturaleza distributiva de la masa. El número de
74
frecuencias requeridas también depende del contenido de frecuencias de la función
excitatriz.
4.1.3
Distribución de Masas
La masa se deberá modelar considerando el grado de discretización en el
modelo y los movimientos anticipados.
La distribución de la rigidez y la masa se debería modelar en un análisis
dinámico. La discretización del modelo debería tomar en cuenta las variaciones
geométricas y las variaciones de la rigidez y masa de los materiales.
Elegir entre un modelo de masa continua y un modelo de masa discontinuo
depende del sistema y de la respuesta investigada y resulta difícil de generalizar. Para
los sistemas de masa distributiva modelados con funciones de formas polinómicas en
las cuales la masa está asociada con la rigidez distributiva, como por ejemplo una viga,
se recomienda utilizar un modelo de masa continua. En lugar de una formulación
continua, se puede utilizar un modelo discretizado en los grados de libertad
traslacionales, de manera de aproximar la naturaleza distributiva de la masa.
Para sistemas con masa distributiva asociada con mayor rigidez, como por
ejemplo la rigidez en el plano del tablero de un puente, la masa se puede modelar
adecuadamente mediante un modelo distributivo. Si fueran significativos, se deberán
incluir los efectos de la inercia rotacional.
En el análisis sísmico se deberían considerar los efectos no lineales, tales como
la deformación inelástica y la fisuración, ya que estos efectos disminuyen la rigidez.
4.1.4
Rigidez
El puente se deberá modelar de manera consistente con los grados de libertad
seleccionados para representar los modos y frecuencias de vibración naturales. La
75
rigidez de los elementos del modelo se deberá definir de manera que sea consistente
con el puente modelado.
4.1.5 Amortiguamiento
Se puede utilizar amortiguamiento viscoso equivalente para representar la
disipación de energía.
El amortiguamiento se puede despreciar en el cálculo de las frecuencias
naturales y desplazamientos nodales asociados. Los efectos del amortiguamiento se
deberían considerar si se busca una respuesta transitoria.
Se pueden obtener valores de amortiguamiento adecuados midiendo
vibraciones libres inducidas in situ o bien realizando ensayos de vibración forzada. En
lugar de realizar mediciones, para el coeficiente de amortiguamiento viscoso
equivalente se pueden utilizar los siguientes valores:
Construcciones de hormigón: ............................................................ 2%
Construcciones de acero soldadas y abulonadas: .............................. 1%
Madera: ............................................................................................. 5%
4.1.6 Frecuencias Naturales
Para los propósitos del Artículo 4.7.2, [“Respuestas Dinámicas Elásticas.
4.7.2.1 Vibración inducida por los vehículos. Si se requiere un análisis de la interacción
dinámica entre un puente y la sobrecarga, el Propietario deberá especificar y/o aprobar
la rugosidad superficial, velocidad y características dinámicas de los vehículos a
emplear en el análisis. El impacto se deberá determinar como una relación entre la
solicitación dinámica extrema y la solicitación estática equivalente. En ningún caso el
incremento por carga dinámica utilizado en el diseño deberá ser menor que 50% del
incremento por carga dinámica especificado en la Tabla 3.6.2-1, excepto que no se
permitirá ninguna reducción para las juntas del tablero”] y a menos que el Propietario
especifique lo contrario, se deberán utilizar modos y frecuencias de vibración naturales
elásticos no amortiguados. Para los propósitos de los Artículos 4.7.4 y 4.7.5 se deberán
76
considerar todos los modos y frecuencias amortiguados relevantes. [Art. 4.7.4 Análisis
para Cargas Sísmicas. 4.7.4.1 Requisitos Generales. Los requisitos mínimos de análisis
para los efectos sísmicos serán como se especifica en la Tabla 4.7.4.3.1-1.
Tabla 13- Requisitos de análisis mínimos para efectos sísmicos
(Tabla 4.7.4.3.1-1 AASHTO)
Puentes de un
Zona sísmica
solo tramo
Otros Puentes
Regular
Irregular
Regular
Irregular
Regular
Irregular
*
*
*
*
*
*
SM/UL
SM
SM/UL
MM
MM
MM
SM/UL
MM
MM
MM
MM
TH
SM/UL
MM
MM
MM
TH
TH
1
2
3
No se requiere
análisis
sísmico
4
Puentes de múltiples tramos
Puentes
Puentes esenciales
críticos
* = no se requiere análisis sísmico
UL = método elástico de carga uniforme
SM = método elástico unimodal
MM = método elástico multimodal
TH = método de historia de tiempo
Tabla 14- Requisitos para que un puente sea considerado regular
(Tabla (4.7.4.3.1-2 AASHTO)
Parámetro
Valor
Número de tramos
2
3
4
5
6
Máximo ángulo subtendido para un puente curvo
90
90
90
90
90
Máxima relación de longitudes entre tramo y tramo
3
2
2
1.5
1.5
Máxima relación de rigidez caballete/pila entre tramo y tramo,
excluyendo estribos
-
4
4
3
2
Los puentes curvos compuestos por múltiples tramos simples se deberán
considerar “irregulares” el ángulo subtendido en planta es mayor que 20o. Estos puentes
77
se deberán analizar ya sea mediante el método elástico multimodal o bien mediante el
método de historia de tiempo.
Un puente curvo de vigas continuas se puede analizar como si fuera recto,
siempre y cuando se satisfagan todos los requisitos siguientes:
El puente es regular de acuerdo con definido en la Tabla 2, excepto que para un
puente de dos tramos la máxima relación de longitudes entre tramo y tramo no
debe ser mayor que 2.
Las longitudes de tramo del puente recto equivalente son iguales a las
longitudes de arco del puente curvo.
Si estos requisitos no se satisfacen el puente curvo de vigas continuas se deberá analizar
utilizando su geometría curva real.]
4.1.7 Respuestas Dinámicas Elásticas
4.1.7.1 Vibración Inducida por los Vehículos
Si se requiere un análisis de la interacción dinámica entre un puente y la
sobrecarga, el propietario deberá especificar y/o aprobar la rugosidad superficial,
velocidad y características dinámicas de los vehículos a emplear en el análisis. El
impacto se deberá determinar como una relación entre la solicitación dinámica extrema
y la solicitación estática equivalente.
En ningún caso el incremento por carga dinámica utilizado en el diseño deberá
ser menor que 50% del incremento por carga dinámica especificado en la Tabla 3.6.2.11, excepto que no se permitirá ninguna reducción para las juntas del tablero.
(Tabla AASHTO 3.6.2.1-1)
Tabla 15- Incremento por Carga Dinámica, IM
Componente
IM
Juntas del tablero – Todos los Estados Límites
75%
Todos los demás componentes
Estado Límite de fatiga y fractura
Todos los demás Estados Límites
15%
33%
78
La limitación impuesta al incremento por carga dinámica refleja el hecho de
que la rugosidad superficial es un factor que afecta fuertemente la interacción vehículo/
puente, y que durante la etapa de diseño resulta difícil estimar cómo el deterioro del
tablero a largo plazo afectará dicha rugosidad.
La correcta aplicación del requisito sobre reducción del incremento por carga
dinámica es la siguiente:
IMCALC ≥ 0,5 IMTabla 3.6
y no:
(1 +
4.1.8
𝐼𝑀
𝐼𝑀
)
≥ 0.5 (1 +
)
100 𝐶𝐴𝐿𝐶
100
Vibración Inducida por el Viento
4.1.8.1 Velocidades del Viento
Para estructuras importantes, las cuales se puede anticipar serán sensibles a los
efectos del viento, la ubicación y magnitud de los valores extremos de presión y succión
se deberán establecer mediante ensayos de simulación en túnel de viento.
4.1.9
Efectos Dinámicos
En las estructuras sensibles al viento se deberán analizar los efectos dinámicos,
tales como los provocados por vientos turbulentos o ráfagas, además de las
interacciones viento-estructura inestables, tales como los fenómenos de “galloping” y
“flutter.” En las estructuras esbeltas o torsionalmente flexibles se deberá analizar el
pandeo lateral, empuje excesivo y divergencia.
79
4.1.10 Consideraciones de Diseño
Se deberán evitar deformaciones oscilatorias bajo carga de viento que pudieran
provocar niveles de tensión excesivos, fatiga estructural e inconvenientes o
incomodidad para los usuarios. Los tableros de puentes, tirantes y suspensores deberán
estar protegidos contra oscilaciones excesivas provocadas por vórtices, lluvia o viento.
Siempre que resulte factible, se deberá considerar el uso de amortiguadores para
controlar las respuestas dinámicas excesivas. Si no resulta posible disponer
amortiguadores ni modificar la geometría, se deberá modificar el sistema estructural
para lograr este control.
4.1.11 Respuestas Dinámicas Inelásticas
4.1.11.1 Requisitos Generales
Durante un sismo mayor o colisión de una embarcación se puede disipar energía
mediante uno o más de los siguientes mecanismos:
Deformación elástica e inelástica del objeto que impacta contra la estructura,
Deformación inelástica de la estructura y sus accesorios,
Desplazamiento permanente de las masas de la estructura y sus accesorios, y
Deformación inelástica de disipadores mecánicos de energía especialmente
dispuestos para tal fin. (AASHTO LRFD, 2012)
4.2
Cálculo dinámico en puentes
El cálculo dinámico de los puentes proporciona la respuesta de la estructura
frente a las acciones variables en el tiempo, sean cargas o aceleraciones.
El puente se pone en movimiento y se generan fuerzas de inercia, producto de
la masa por la aceleración que intervienen junto a las fuerzas de amortiguamiento, en
la ecuación:
80
𝑑2 𝑢
𝑑𝑢
𝑚 2 +𝑐
+ 𝑘𝑢 = 𝑝(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Donde m es la matriz de masas, c es la matriz de amortiguamiento y k es la
matriz de rigidez del puente. Las cargas variables en el tiempo es el vector p(t). Estos
son los datos del problema, las incógnitas son los desplazamientos, u, las velocidades
du/dt y las aceleraciones d2u/dt2 del puente.
La naturaleza de las acciones manifiesta la diversidad de las escalas temporales
involucradas (segundos, horas, días o años) que se hallan relacionadas con la
importancia de la respuesta dinámica de la estructura. Se puede decir, en primera
instancia, que la importancia de la respuesta dinámica de una estructura depende de la
comparación entre el tiempo característico de la acción y el tiempo característico de
la estructura. El tiempo característico de la acción está relacionado con la duración de
la misma, bien en el proceso de puesta en carga o bien la duración de la carga impulsiva
o también el período para situaciones de carga cíclicas o asimilables a ellas. El tiempo
característico de la estructura, es un tiempo que se puede identificar con el período
propio de la estructura. (Manterola, 2006).
4.3
Modos de vibración. El tiempo característico de las estructura.
El cálculo dinámico de un puente se inicia por la determinación de los modos
de vibración del puente. Se parte del modelo de cálculo de barras que se utiliza para
obtener la respuesta estática de la estructura. En este modelo hay que proporcionar en
cada barra las áreas e inercias reales de la parte de puente que se discretiza ya que sirven
para definir la matriz de masas. Además hay que proporcionar las masas inertes de la
carga muerta del puente ya que intervienen en la matriz de masas, una forma normal
de dar dicha información es concentrar la masa de la carga muerta en los nudos del
modelo.
El cálculo de los modos de vibración se hace sin amortiguamiento y para
vibraciones libres, es decir se trata de calcular la siguiente ecuación:
81
𝑑2𝑢
𝑚 2 + 𝑘𝑢 = 0
𝑑𝑡
Como el movimiento libre es simplemente armónico se puede suponer que
𝑑𝑢
𝑑𝑡
𝑑𝑢
𝑑𝑡
=
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃)
La ecuación anterior se reduce a:
(𝒌 − 𝜔2 𝒎)𝑤
̂=0
Donde ω son los autovalores y 𝑤
̂ los autovectores que definen la forma en la que el
puente va a vibrar. Los autovalores son las frecuencias propias de vibración del puente,
la más pequeña en cada dirección se denomina la frecuencia propia principal de
vibración del puente en dirección transversal, longitudinal o vertical. Por eso conviene
tratar con modelos tridimensionales que incluyan tanto el tablero como las pilas.
Para obtener buenos resultados en los análisis posteriores es conveniente
obtener un buen número de autovalores, del orden de 8 por vano. Es decir en un puente
recto de 3 vanos es conveniente buscar los 25 autovalores más pequeños. Hay que
tomar en cuenta que los últimos modos de vibración que se obtengan muevan más del
80% de la masa total del puente en cada dirección.
La determinación de cada modo principal de vibración se realiza observando la
forma de los autovectores que realmente es una representación de la deformada de la
estructura completa para cada frecuencia. El primer modo es el que produce un
desplazamiento en un solo sentido, con un seno por vano en el caso de vibración
vertical, y un solo seno en sentido transversal del tablero. Si el puente tiene pilas altas
los primeros modos pueden ser los de vibración de las pilas, sin apenas efecto en el
dintel, esto se aprecia además porque la masa movilizada es pequeña, la
correspondiente a las pilas.
4.4
Vibraciones forzadas
El análisis del comportamiento dinámico de un puente con el paso de una carga
móvil se puede realizar de dos maneras. La primera es utilizando la integral de Duhamel
82
que consiste en hacer una integración numérica en el tiempo, desarrollando en serie de
Fourier las cargas aplicadas, es el denominado análisis en el dominio del tiempo. La
segunda, y más utilizada, es el análisis en el domino de la frecuencia que aprovecha el
trabajo realizado en la determinación de los principales modos de vibración del puente
y se conoce como método de superposición de modos.
Consiste fundamentalmente en utilizar los autovectores como coordenadas
generalizadas de tal forma que transformando la matriz de masas y el vector de cargas
en las componentes de los autovectores se obtienen ecuaciones independientes para
cada modo de vibración tanto en vibraciones libres como forzadas. De esta forma se
obtienen los desplazamientos generalizados que hay que transformar de nuevo para dar
la solución de coordenadas geométricas.
Para realizar el cálculo dinámico se debe discretizar la carga móvil a lo largo
del tiempo. Normalmente se divide el paso del convoy en milisegundos, de cinco a
diez, y en cada intervalo de tiempo se da la carga aplicada y la posición de la misma.
La carga puede ser fija en el tiempo si no se considera amortiguamiento propio del
vehículo, en otro caso se trata de una carga pulsante con el período de la suspensión.
El siguiente parámetro a considerar es amortiguamiento propio del puente ya
que interviene en la ecuación general del movimiento. Este valor se conoce
empíricamente, es decir ensayando una estructura real con cargas calibradas y
obteniendo su respuesta. Por tanto para el cálculo de un modelo es necesario utilizar
valores medios. En general para puentes metálicos es del 1%, para los mixtos es del
3% y para los de hormigón 5% del amortiguamiento crítico para los modos principales
de vibración. (Manterola, 2006).
En el análisis dinámico de un puente por el paso de una carga se obtiene gran
cantidad de resultados, los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de todos los
nudos del modelo en las tres direcciones del espacio si el modelo es tridimensional. Por
eso la interpretación de resultados se hace más visible mediante gráficos que
representan la variación de una determinada magnitud en un nudo concreto del modelo
y en una dirección con el paso del convoy.
83
Normalmente se analizan las aceleraciones en los centros de los vanos
producidas por el paso de un determinado convoy de carga. Se puede analizar si dichas
aceleraciones son superiores a un umbral que provoca malestar a los usuarios del
puente, peatones u otros.
En el cálculo dinámico de un puente los movimientos que se obtienen son
relativos a los desplazamientos estáticos, es decir para conocer el valor absoluto del
movimiento de un punto hay que sumar la respuesta estática de la carga aplicada con
la respuesta dinámica a lo largo del tiempo. (Manterola, 2006).
4.5
Descripción estructural del puente sobre el río San Pablo
El puente sobre el río San Pablo es un puente de 2 arcos de hormigón armado,
cuya longitud es de 112 m y 18.20 m de ancho de tablero intermedio. Con 25 péndolas
por arco de 1 ¾” de diámetro colocadas cada 3 metros que sustentan 2 vigas
longitudinales de hormigón armado. A su vez las péndolas cuelgan del arco de
hormigón armado. El arco de hormigón armado tiene embedido un núcleo de acero
interiormente y se apoya sobre dos estribos cuya cimentación es profunda por los
pilotes que tiene, como se esquematiza en los gráficos siguientes:
Figura 42. Elevación Puente San Pablo
84
Figura 43. Sección transversal Puente San Pablo
El arco de hormigón se ha subdivido en 30 elementos donde se conforman los 31 nudos
desde donde cuelgan las 25 péndolas en los 25 nudos centrales del arco.
4.6
Determinación del modelo matemático de deformaciones por análisis
dinámico vehicular del puente sobre el río San Pablo
A fin de definir el modelo matemático que nos permitirá realizar el cálculo de
deformaciones por medio de un análisis dinámico debido al paso de la carga móvil
sobre el puente sobre el río San Pablo, se toma la estructura discretizada de tal manera
que se suponen concentradas las masas y rigideces en los nodos donde se hallan las
péndolas a través de las cuales se transmitirán las fuerzas de excitación vertical de la
carga móvil que atraviesa a lo largo de la estructura como se indica en la siguiente
figura:
85
Figura 44. Modelo Geométrico de oscilaciones
86
Tenemos por tanto un sistema de múltiples grados de libertad, en este caso de
87 grados de libertad ya que se tienen 3 grados de libertad por nudo pero los nudos de
apoyo se consideran empotrados existiendo restricciones por lo que no existen grados
de libertad en los apoyos.
4.7
Ecuación del movimiento
La ecuación diferencial del movimiento ante las acciones producidas por la
carga móvil a lo largo del puente sobre el río San Pablo es:
𝑑2𝑢
𝑑𝑢
𝑚 2 +𝑐
+ 𝑘𝑢 = 𝑝(𝑡) = −𝑚 𝑎(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Si cambiamos de nomenclatura
𝑑2 𝑢
𝑑𝑢
𝑚 2 = 𝑚𝑞̈ ; 𝑐
= 𝑐 𝑞̇ ; 𝑘𝑢 = 𝑘𝑞; 𝑝(𝑡) = 𝑓(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Luego:
𝑚𝑞̈ + 𝑐𝑞̇ + 𝑘𝑞 = 𝑓(𝑡) = −𝑚 𝑎(𝑡)
4.8
Aplicación del Método de Newmark
Podríamos expresar el sistema de ecuaciones diferenciales matricialmente con
la definición de la ecuación:
𝑀𝑞̈ + 𝐶𝑞̇ + 𝐾𝑞 = −𝑀. 𝐽. 𝑎(𝑡)
𝐸𝑐. 4.8.1
Donde: M, C, K son las matrices de Masa, Amortiguamiento y Rigidez del
sistema.
La solución de este sistema se realizará con el Método de Newmark.
Se consideran constantes para análisis lineal 𝑞̈ , 𝑞̇ , 𝑞 y son los vectores de
aceleración, velocidad y desplazamiento, respectivamente. J es un vector que contiene
unos para el caso plano y depende del modelo numérico de análisis, a(t) es la
aceleración de movimiento de la carga móvil.
87
Para el tiempo discreto ti+1, la ecuación 4.8.1 es:
𝑀𝑞𝑖+1
̈ + 𝐶𝑞𝑖+1
̇ + 𝐾𝑞𝑖+1 = −𝑀. 𝐽. 𝑎𝑖+1
𝐸𝑐. 4.8.2
El vector de desplazamientos en forma incremental es:
𝑞𝑖+1 = ∆𝑞𝑖+1 + 𝑞𝑖
𝐸𝑐. 4.8.3
Se tienen además las ecuaciones siguientes:
1
1
[𝑞𝑖+1 − 𝑞𝑖 − 𝑞𝑖+1̇ ∆𝑡] − ( − 1) 𝑞𝑖̈
𝐸𝑐. 4.8.47
𝛽∆𝑡
2𝛽
𝛾
𝛾
𝛾
(𝑞𝑖+1 − 𝑞𝑖 ) + (1 − ) 𝑞𝑖̇ + (1 − ) ∆𝑡. 𝑞𝑖̈
=
𝐸𝑐. 4.8.58
𝛽∆𝑡
𝛽
2𝛽
𝑞𝑖+1
̈ =
𝑞𝑖+1
̇
Las ecuaciones anteriores 4.8.4 y 4.8.5 en función de Δ son:
1
1
1
∆𝑞
−
𝑞
̇
−
(
− 1) 𝑞𝑖̈
𝑖+1
𝑖
𝛽∆𝑡 2
𝛽∆𝑡
2𝛽
𝛾
𝛾
𝛾
=
∆𝑞𝑖+1 + (1 − ) 𝑞𝑖̇ + (1 − ) ∆𝑡. 𝑞𝑖̈
𝛽∆𝑡
𝛽
2𝛽
𝑞𝑖+1
̈ =
𝐸𝑐. 4.8.6
𝑞𝑖+1
̇
𝐸𝑐. 4.8.7
Al reemplazar las ecuaciones 4.8.7, 4.8.6 y 4.8.3 en 4.8.2, se obtiene luego de
agrupar términos:
̂ ∆𝑞𝑖+1 = 𝐹𝑖+1
𝐾
𝐸𝑐. 4.8.8
Siendo:
̂=𝐾+
𝐾
1
𝛾
𝑀
+
𝐶
𝛽∆𝑡 2
𝛽∆𝑡
𝐹𝑖+1 = −𝑀 𝐽 𝑎𝑖+1 + 𝑀 [
− 𝐾𝑞𝑖
𝐸𝑐. 4.8.9
1
1
𝛾
𝛾
𝑞𝑖̇ + ( − 1) 𝑞𝑖̈ ] − 𝐶 [(1 − ) 𝑞𝑖̇ + (1 − ) ∆𝑡𝑞𝑖̈ ]
𝛽∆𝑡
2𝛽
𝛽
2𝛽
𝐸𝑐. 4.8.10
̂ como la matriz efectiva, que es una matriz constante para
Se denomina a 𝐾
análisis lineal y a Fi+1 el vector de cargas efectivas, que es variable en cada instante de
tiempo.
7
8
Dinámica de Estructuras con CEINCI-LAB. Roberto Aguiar Falconí. Pág 286.
Dinámica de Estructuras con CEINCI-LAB. Roberto Aguiar Falconí. Pág 287.
88
4.9
Procedimiento de cálculo
El procedimiento de cálculo, para el análisis lineal, utilizando el método β de
Newmark es el siguiente:
a) Determinar la matriz de rigidez efectiva
̂=𝐾+
𝐾
1
𝛾
𝑀+
𝐶
2
𝛽∆𝑡
𝛽∆𝑡
b) Para el instante de tiempo i+1 determinar el vector de cargas efectivo
1
1
𝛾
𝛾
𝐹𝑖+1 = −𝑀 𝐽 𝑎𝑖+1 + 𝑀 [
𝑞̇ + ( − 1) 𝑞𝑖̈ ] − 𝐶 [(1 − ) 𝑞𝑖̇ + (1 − ) ∆𝑡𝑞𝑖̈ ] − 𝐾𝑞𝑖
𝛽∆𝑡 𝑖
2𝛽
𝛽
2𝛽
c) Se obtiene el incremento de desplazamiento para el tiempo i+1, para lo que se
debe resolver el sistema de ecuaciones lineales:
̂ ∆𝑞𝑖+1 = 𝐹𝑖+1
𝐾
d) Se calculan la aceleración, velocidad y desplazamiento en el incremento de
tiempo i+1.
1
1
1
∆𝑞𝑖+1 −
𝑞𝑖̇ − ( − 1) 𝑞𝑖̈
2
𝛽∆𝑡
𝛽∆𝑡
2𝛽
𝛾
𝛾
𝛾
=
∆𝑞𝑖+1 + (1 − ) 𝑞𝑖̇ + (1 − ) ∆𝑡. 𝑞𝑖̈
𝛽∆𝑡
𝛽
2𝛽
𝑞𝑖+1
̈ =
𝑞𝑖+1
̇
𝑞𝑖+1 = ∆𝑞𝑖+1 + 𝑞𝑖
e) Se actualizan desplazamientos, velocidades y aceleraciones y se pasa al
próximo punto desde el paso b).
𝑞𝑖 = 𝑞𝑖+1
𝑞𝑖̇ = 𝑞𝑖+1
̇
𝑞𝑖̈ = 𝑞𝑖+1
̈
(Aguiar, 2012).
4.10
Programa Matlab
Para el cálculo de desplazamientos se han desarrollado varias funciones Matlab:
a) Cálculo de la Matriz de rigidez de los elementos de un arco (krigidez).
b) Función para encontrar el vector de colocación de los elementos del arco
orientado al cálculo de la matriz de rigidez (vc).
89
c) Función para hallar las coordenadas generalizadas (CG).
d) Función para encontrar la matriz de rigidez de un elemento de arco (kelemarco).
e) Función con la matriz de masas.
f) Función para determinar la matriz de amortiguamiento con el algoritmo de
Wilson y Penzien y finalmente
g) Función que determina los desplazamientos (Newmarlineal).
Las funciones indicadas se hallan en Anexo 1.
90
CAPITULO 5
CÁLCULO DE DEFORMACIONES SEGÚN MODELO DE ANÁLISIS
DINÁMICO POR LA APLICACIÓN DE CARGAS MÓVILES
A fin de proceder con el cálculo indicado en el capítulo anterior es necesario que
se establezca la información que de acuerdo al modelo indicado se requiere, la misma
que se indica a continuación.
5.1
Datos del arco de hormigón armado del Puente sobre el río San Pablo
Los datos para calcular los desplazamientos dinámicos de acuerdo a las
funciones de Matlab requeridas se presentan en las siguientes tablas:
Tabla 16 - Coordenadas de los elementos del arco
MODELO DINAMICO DE OSCILACIONES DEL ARCO SAN PABLO
NUMERO
NODO
GDL
COORDENADAS
x1
x2
x3
X
Y
Z
1
1
0
0
0
-53.61
0.00
2
2
1
2
3
-42.00
10.73
3
3
4
5
6
-39.00
12.80
4
4
7
8
9
-36.00
14.70
5
5
10
11
12
-33.00
16.35
6
6
13
14
15
-30.00
17.84
7
7
16
17
18
-27.00
19.15
8
8
19
20
21
-24.00
20.30
91
9
9
22
23
24
-21.00
21.31
10
10
25
26
27
-18.00
22.18
11
11
28
29
30
-15.00
22.88
12
12
31
32
33
-12.00
23.46
13
13
34
35
36
-9.00
23.91
14
14
37
38
39
-6.00
24.23
15
15
40
41
42
-3.00
24.46
16
16
43
44
45
0.00
24.48
17
17
46
47
48
3.00
24.46
18
18
49
50
51
6.00
24.23
19
19
52
53
54
9.00
23.91
20
20
55
56
57
12.00
23.46
21
21
58
59
60
15.00
22.88
22
22
61
62
63
18.00
22.18
23
23
64
65
66
21.00
21.31
24
24
67
68
69
24.00
20.30
25
25
70
71
72
27.00
19.15
26
26
73
74
75
30.00
17.84
27
27
76
77
78
33.00
16.35
28
28
79
80
81
36.00
14.70
29
29
82
83
84
39.00
12.80
30
30
85
86
87
42.00
10.73
31
31
0
0
0
53.61
0.00
92
Tabla 17- Propiedades Geométricas secciones arco
GEOMETRIA Y PROPIEDADES DE LAS SECCIONES DEL ARCO PUENTE SAN PABLO
ELEMENTO
NODO
I
NODO
J
L
(m)
Angulo
(°)
bi
(m)
hi
(m)
bf
(m)
hf
(m)
bm
(m)
hm
(m)
A
(m2)
Inercia
(m4)
MASA
(tons2/m)
1
1
2
13.82
42.67
1.85
3.00
1.73
2.35
1.788
2.675
4.782
2.851
1.171
2
2
3
5.31
34.93
1.73
2.35
1.70
2.31
1.713
2.330
3.990
1.805
0.977
3
3
4
3.93
32.44
1.70
2.31
1.68
2.04
1.688
2.175
3.670
1.447
0.899
4
4
5
3.50
28.55
1.68
2.04
1.65
1.93
1.663
1.985
3.300
1.084
0.808
5
5
6
3.40
26.35
1.65
1.93
1.63
1.84
1.638
1.885
3.087
0.914
0.756
6
6
7
3.32
23.68
1.63
1.84
1.60
1.75
1.613
1.795
2.894
0.777
0.709
7
7
8
3.26
21.05
1.60
1.75
1.58
1.67
1.588
1.710
2.715
0.661
0.665
8
8
9
3.20
18.48
1.58
1.67
1.55
1.61
1.563
1.640
2.563
0.574
0.628
9
9
10
3.15
15.94
1.55
1.61
1.53
1.55
1.538
1.580
2.429
0.505
0.595
10
10
11
3.11
13.43
1.53
1.55
1.50
1.50
1.513
1.525
2.307
0.447
0.565
11
11
12
3.08
10.95
1.50
1.50
1.48
1.46
1.488
1.480
2.202
0.402
0.539
12
12
13
3.05
8.49
1.48
1.46
1.45
1.43
1.463
1.445
2.113
0.368
0.518
13
13
14
3.03
6.05
1.45
1.43
1.43
1.41
1.438
1.420
2.041
0.343
0.500
14
14
15
3.02
3.62
1.43
1.41
1.40
1.40
1.413
1.405
1.985
0.326
0.486
15
15
16
3.00
1.19
1.40
1.40
1.40
1.40
1.400
1.400
1.960
0.320
0.480
16
16
17
3.00
-1.19
1.40
1.40
1.40
1.40
1.400
1.400
1.960
0.320
0.480
17
17
18
3.00
-3.62
1.40
1.40
1.40
1.40
1.400
1.400
1.960
0.320
0.480
18
18
19
3.00
-6.05
1.40
1.40
1.43
1.40
1.413
1.400
1.978
0.323
0.484
19
19
20
3.02
-8.49
1.43
1.40
1.45
1.41
1.438
1.405
2.020
0.332
0.495
20
20
21
3.03
-10.95
1.45
1.41
1.48
1.46
1.463
1.435
2.099
0.360
0.514
21
21
22
3.05
-13.43
1.48
1.46
1.50
1.50
1.488
1.480
2.202
0.402
0.539
93
22
22
23
3.08
-15.94
1.50
1.50
1.53
1.55
1.513
1.525
2.307
0.447
0.565
23
23
24
3.11
-18.48
1.53
1.55
1.55
1.61
1.538
1.580
2.429
0.505
0.595
24
24
25
3.15
-21.05
1.55
1.61
1.58
1.67
1.563
1.640
2.563
0.574
0.628
25
25
26
3.20
-23.68
1.58
1.67
1.60
1.75
1.588
1.710
2.715
0.661
0.665
26
26
27
3.26
-26.35
1.60
1.75
1.63
1.84
1.613
1.795
2.894
0.777
0.709
27
27
28
3.40
-28.55
1.63
1.84
1.65
1.93
1.638
1.885
3.087
0.914
0.756
28
28
29
3.50
-32.44
1.65
1.93
1.68
2.04
1.663
1.985
3.300
1.084
0.808
29
29
30
5.31
-34.93
1.68
2.04
1.70
2.31
1.688
2.175
3.670
1.447
0.899
30
30
31
13.82
-42.67
1.70
2.31
1.73
2.35
1.713
2.330
3.990
1.805
0.977
Tabla 18- Grados de libertad
GRADOS DE
LIBERTAD
MASAS EN
EL NUDO
(ton.s^2/m^2)
1
30
31
1.074
3
2
32
33
0.938
3
4
3
34
35
0.854
4
5
4
36
37
0.782
5
6
5
38
39
0.732
6
7
6
40
41
0.687
7
8
7
42
43
0.646
8
9
8
44
45
0.611
9
10
9
46
47
0.580
10
11
10
48
49
0.552
11
12
11
50
51
0.528
12
13
12
52
53
0.509
13
14
13
54
55
0.493
No.
NUDO
1
2
2
94
14
15
14
56
57
0.483
15
16
15
58
59
0.480
16
17
16
60
61
0.480
17
18
17
62
63
0.482
18
19
18
64
65
0.489
19
20
19
66
67
0.504
20
21
20
68
69
0.527
21
22
21
70
71
0.552
22
23
22
72
73
0.580
23
24
23
74
75
0.611
24
25
24
76
77
0.646
25
26
25
78
79
0.687
26
27
26
80
81
0.732
27
28
27
82
83
0.782
28
29
28
84
85
0.854
29
30
29
86
87
0.938
30
1.074
95
5.2
Carga impulsiva
CARGA MO VIL DE DISEÑO (CARGA EXCITATIVA)
m
Distancia entre péndolas
pies
Distancia entre ejes
4.27
m
Distancia entre ejes
8.0
kip
1
kip
dp =
3.00
de =
14
de =
p1 =
0.4464
ton
Figura 45. Carga móvil de diseño
La carga móvil que se ha utilizado en el diseño es la de la norma AASHTO
LRFD 2012.
Se ha considerado que el vehículo de diseño circula a una velocidad de 30 km/h,
pero esta velocidad se puede modificar en más o en menos en el programa a fin de
realizar pruebas de sensibilidad.
v=
30.00
km/h
Velocidad del vehículo
v=
8.33
m/seg
Velocidad del vehículo
L=
100.00
m
Luz del puente
t=
12.00
seg
Tiempo de cruce del puente
96
e=
3.00
m
t1 =
0.36
seg
Espacio entre péndolas
Tiempo de cruce entre péndola y
péndola
T=
0.36
seg
Período
w=
2.78
1/seg
frecuencia
Tabla 19- Cargas armónicas
FUERZA EXCITATIVA (TON)
#
T (seg)
P0 (ton)
wt
seno (wt)
p(t)=Po sen(wt)
1
1
16.35
2.778
0.35584
5.82
2
2
16.35
5.556
0.66510
10.87
3
3
16.35
8.333
0.88729
14.51
4
4
16.35
11.111
0.99333
16.24
5
5
16.35
13.889
0.96934
15.85
6
6
16.35
16.667
0.81845
13.38
7
7
16.35
19.444
0.56042
9.16
8
8
16.35
22.222
0.22902
3.74
9
9
16.35
25.000
0.13235
2.16
10
10
16.35
27.778
0.47640
7.79
11
11
16.35
30.556
0.75808
12.39
12
12
16.35
33.333
0.94053
15.38
97
5.3
Resultados
Una vez que se han corrido los programas computacionales con las funciones de
cálculo con los datos ingresados en las funciones Matlab de acuerdo al modelo de
análisis dinámico desarrollado por la aplicación de las cargas móviles que atraviesan el
puente sobre el río San Pablo, se obtienen los siguientes resultados:
La deformación máxima calculada por el paso de una carga excitativa móvil que
atraviesa el puente San Pablo a una velocidad promedio de 30 km/h considerando que
la vibración del mismo se inicia desde que la carga dinámica incide de manera directa
sobre la primera péndola hasta la última lo que limita la longitud del puente a 100 m,
produce una deformación máxima de 46.6 mm como se puede apreciar en el gráfico de
deformaciones adjunto:
Figura 46. Respuesta dinámica de deformaciones
98
Es posible con este modelo realizar análisis de sensibilidad que permitan
observar las deformaciones que se producen por el paso de la carga móvil a
distintas velocidades y con distintos valores de carga.
La deformación por carga dinámica móvil que atraviesa el Puente San
Pablo debe ser añadida a la deformación por carga estática calculada por las
cargas muertas de la estructura y las cargas permanentes para tener un criterio
más definido de la contraflecha que se aplicará en la fase constructiva.
99
CAPITULO 6
MEDICIÓN IN SITU DE DEFORMACIONES DEL ARCO
Una vez que el puente sobre el río San Pablo terminó su construcción, se
realizaron varias mediciones con topografía para observar su comportamiento antes de
su puesta en servicio. De igual manera se realizó una prueba de carga estática con varios
vehículos pesados que fueron colocados en los dos carriles del puente, como se observa
en las fotos (Fig. 35) que permanecieron por lapso de 2 horas, el día martes 25 de
febrero del 2014 y se tomaron datos de nivelación del puente antes de que se colocada
la carga como después de que fuera desalojada en donde se observó la recuperación de
la deformación que fue en el eje del tablero del puente de 50 mm en la mitad de la luz.
Figura 47 Prueba de carga Puente San Pablo y nivelación del tablero
100
Los datos de las mediciones que se realizaron en el arco del río San Pablo se presentan
a continuación donde se observa una deflexión de 37 mm.
Tabla 20- Mediciones de cotas en arco de puente San Pablo
08 DE ENERO 2014
26 DE FEBRERO 2014
NUM.
NORTE
ESTE
COTA
NORTE
ESTE
COTA
DEFLEXION (mm)
1
90,416.680
60,026.512
6.562
90,416.692
60,026.524
6.525
1
37
2
90,361.779
59,973.377
6.623
90,361.791
59,973.389
6.586
2
37
3
90,415.945
59,978.874
6.673
90,415.957
59,978.886
6.636
3
37
4
90,437.123
60,002.755
6.811
90,437.135
60,002.767
6.774
4
37
5
90,361.803
59,976.000
6.818
90,361.815
59,976.012
6.781
5
37
6
90,361.485
59,977.094
6.840
90,361.497
59,977.106
6.803
6
37
7
90,431.304
59,971.409
6.863
90,431.316
59,971.421
6.826
7
37
8
90,401.926
60,007.328
6.891
90,401.938
60,007.340
6.854
8
37
9
90,433.441
59,974.086
6.983
90,433.453
59,974.098
6.946
9
37
10
90,389.059
59,976.797
6.984
90,389.071
59,976.809
6.947
10
37
11
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295
90,192.374
60,002.863
24.712
90,192.386
60,002.875
24.675
295
37
296
90,216.250
59,994.871
24.713
90,216.262
59,994.883
24.676
296
37
297
90,192.248
59,994.841
24.716
90,192.260
59,994.853
24.679
297
37
298
90,216.658
60,002.161
24.733
90,216.670
60,002.173
24.696
298
37
299
90,216.444
59,994.068
24.739
90,216.456
59,994.080
24.702
299
37
300
90,192.362
60,003.528
24.758
90,192.374
60,003.540
24.721
300
37
301
90,216.615
60,002.810
24.766
90,216.627
60,002.822
24.729
301
37
302
90,192.325
59,994.133
24.775
90,192.337
59,994.145
24.738
302
37
303
90,216.405
59,993.435
24.796
90,216.417
59,993.447
24.759
303
37
304
90,194.320
59,995.492
24.979
90,194.332
59,995.504
24.942
304
37
305
90,214.519
60,001.501
24.985
90,214.531
60,001.513
24.948
305
37
306
90,194.461
60,002.107
24.991
90,194.473
60,002.119
24.954
306
37
307
90,194.365
60,002.775
25.026
90,194.377
60,002.787
24.989
307
37
308
90,214.590
60,002.099
25.027
90,214.602
60,002.111
24.990
308
37
309
90,213.807
59,994.957
25.029
90,213.819
59,994.969
24.992
309
37
310
90,194.332
59,994.796
25.035
90,194.344
59,994.808
24.998
310
37
311
90,214.537
60,002.786
25.056
90,214.549
60,002.798
25.019
311
37
312
90,194.466
60,003.451
25.075
90,194.478
60,003.463
25.038
312
37
313
90,213.929
59,994.164
25.080
90,213.941
59,994.176
25.043
313
37
108
314
90,194.453
59,994.109
25.109
90,194.465
59,994.121
25.072
314
37
315
90,213.884
59,993.536
25.127
90,213.896
59,993.548
25.090
315
37
316
90,195.983
59,995.456
25.171
90,195.995
59,995.468
25.134
316
37
317
90,212.461
60,001.511
25.212
90,212.473
60,001.523
25.175
317
37
318
90,196.454
60,001.997
25.244
90,196.466
60,002.009
25.207
318
37
319
90,212.555
60,002.167
25.246
90,212.567
60,002.179
25.209
319
37
320
90,195.953
59,994.703
25.247
90,195.965
59,994.715
25.210
320
37
321
90,196.408
60,002.642
25.261
90,196.420
60,002.654
25.224
321
37
322
90,211.925
59,995.023
25.265
90,211.937
59,995.035
25.228
322
37
323
90,212.028
59,994.275
25.281
90,212.040
59,994.287
25.244
323
37
324
90,212.565
60,002.993
25.286
90,212.577
60,003.005
25.249
324
37
325
90,211.957
59,993.618
25.298
90,211.969
59,993.630
25.261
325
37
326
90,196.624
60,003.337
25.313
90,196.636
60,003.349
25.276
326
37
327
90,196.006
59,994.082
25.320
90,196.018
59,994.094
25.283
327
37
328
90,210.495
60,001.505
25.367
90,210.507
60,001.517
25.330
328
37
329
90,210.251
59,994.364
25.413
90,210.263
59,994.376
25.376
329
37
330
90,208.556
59,995.175
25.428
90,208.568
59,995.187
25.391
330
37
331
90,198.597
60,001.914
25.437
90,198.609
60,001.926
25.400
331
37
332
90,210.493
60,002.172
25.437
90,210.505
60,002.184
25.400
332
37
333
90,198.557
59,995.408
25.438
90,198.569
59,995.420
25.401
333
37
334
90,210.222
59,993.684
25.446
90,210.234
59,993.696
25.409
334
37
335
90,198.456
60,002.526
25.464
90,198.468
60,002.538
25.427
335
37
336
90,210.488
60,002.912
25.469
90,210.500
60,002.924
25.432
336
37
337
90,208.540
60,001.583
25.473
90,208.552
60,001.595
25.436
337
37
338
90,208.541
59,994.337
25.481
90,208.553
59,994.349
25.444
338
37
339
90,206.514
59,995.166
25.495
90,206.526
59,995.178
25.458
339
37
340
90,198.519
59,994.671
25.511
90,198.531
59,994.683
25.474
340
37
341
90,198.466
60,003.287
25.514
90,198.478
60,003.299
25.477
341
37
342
90,200.433
60,001.850
25.518
90,200.445
60,001.862
25.481
342
37
343
90,208.531
60,002.205
25.527
90,208.543
60,002.217
25.490
343
37
344
90,208.475
59,993.761
25.527
90,208.487
59,993.773
25.490
344
37
345
90,200.422
59,995.357
25.535
90,200.434
59,995.369
25.498
345
37
346
90,206.499
60,001.643
25.539
90,206.511
60,001.655
25.502
346
37
347
90,200.373
60,002.462
25.552
90,200.385
60,002.474
25.515
347
37
348
90,206.566
59,994.406
25.552
90,206.578
59,994.418
25.515
348
37
349
90,198.579
59,994.017
25.558
90,198.591
59,994.029
25.521
349
37
350
90,202.329
59,995.279
25.569
90,202.341
59,995.291
25.532
350
37
351
90,208.574
60,002.983
25.572
90,208.586
60,002.995
25.535
351
37
352
90,206.561
60,002.274
25.581
90,206.573
60,002.286
25.544
352
37
353
90,204.324
59,995.262
25.582
90,204.336
59,995.274
25.545
353
37
109
354
90,202.473
60,001.714
25.587
90,202.485
60,001.726
25.550
354
37
355
90,206.564
59,993.802
25.592
90,206.576
59,993.814
25.555
355
37
356
90,204.464
60,001.680
25.595
90,204.476
60,001.692
25.558
356
37
357
90,200.386
59,994.572
25.598
90,200.398
59,994.584
25.561
357
37
358
90,200.357
60,003.209
25.603
90,200.369
60,003.221
25.566
358
37
359
90,202.385
60,002.349
25.612
90,202.397
60,002.361
25.575
359
37
360
90,202.298
59,994.524
25.627
90,202.310
59,994.536
25.590
360
37
361
90,204.376
59,994.472
25.632
90,204.388
59,994.484
25.595
361
37
362
90,206.557
60,002.991
25.635
90,206.569
60,003.003
25.598
362
37
363
90,204.449
60,002.196
25.645
90,204.461
60,002.208
25.608
363
37
364
90,200.502
59,993.945
25.647
90,200.514
59,993.957
25.610
364
37
365
90,202.440
60,003.023
25.664
90,202.452
60,003.035
25.627
365
37
366
90,204.404
59,993.838
25.670
90,204.416
59,993.850
25.633
366
37
367
90,202.288
59,993.928
25.680
90,202.300
59,993.940
25.643
367
37
368
90,204.411
60,003.031
25.699
90,204.423
60,003.043
25.662
368
37
110
CAPITULO 7
ANÁLISIS DE RESULTADOS DE LAS DEFORMACIONES POR
MÉTODO ESTÁTICO, DEFORMACIONES POR MÉTODO DINÁMICO
Y DEFORMACIONES DETERMINADAS CON MEDICIONES
Una vez que se han obtenido los resultados de las deformaciones del arco de
hormigón armado del Puente sobre el río San Pablo se puede observar lo siguiente:
El resultado de la deflexión vertical del centro del arco por el método de los
desplazamientos fue de 340.0 mm.
Las deflexiones que se generan en el puente se han determinado y los valores
máximos de flecha generados por carga la carga muerta en el centro del arco por medio
del SAP2000 es de 44.6 mm.
La deflexión máxima en el arco en la combinación de la carga REST-I-HL93,
en donde se halla toda la estructura cargada con la carga permanente y la carga de uso
afectados por los coeficientes de mayoración, por medio del SAP2000 es de 86.5 mm.
La deflexión máxima en el arco determinada por medio del modelo de análisis
dinámico por carga móvil con el uso de Matlab es de 46.6 mm.
El resultado de la deflexión medida con instrumentos de topografía en el arco
del puente San Pablo fue de 37.0 mm.
De los resultados que se han obtenido podemos mencionar que en el primer
caso, esto es, con el método de los desplazamientos arroja un resultado no comparable
con los otros métodos por lo que se desecha esa deformación.
Los valores de deformaciones por medio del SAP2000 con la combinación de
carga REST-I-HL93, arroja un resultado que fue calculado con análisis dinámico por
sismo ya que se introdujo el espectro de respuestas de aceleración, pero no utiliza el
análisis dinámico por carga móvil si no que usa el factor de amplificación por carga
dinámica de acuerdo a la Norma AASHTO, que es de 33% de la carga móvil. Es
111
necesario tomar en cuenta que este porcentaje proviene de un criterio de diseño como
se indica a continuación:
Un aspecto importante a analizar en los puentes es la amplificación dinámica de la
respuesta de sus elementos debida a la acción móvil de los vehículos que circulan, como
por ejemplo la amplificación dinámica de la flexión en las vigas que produce momentos
flexionantes mayores a los que serían de un análisis estático. La amplificación dinámica
de la respuesta estructural de los puentes se evalúa por medio del coeficiente de carga
dinámica permitida (Schwarz, 2001).
𝑅𝐷𝐼𝑁 − 𝑅𝐸𝑆𝑇
𝐶𝐷𝑃 = (
) . 100%
𝑅𝐸𝑆𝑇
Donde: RDIN = máxima respuesta dinámica
REST = máxima respuesta estática
La amplificación dinámica de la respuesta estructural de los puentes es un
problema complejo que conlleva varias variables como son: el peso, número de ejes,
velocidad, y características mecánicas de los vehículos como presión de llantas,
suspensión y amortiguamiento, el estado de la superficie de rodadura (rugosidad), la
interacción suelo-estructura y las características dinámicas del puente como
frecuencias, amortiguamientos y formas modales, las cuales se ven afectadas por la
presencia de elementos no estructurales como parapetos que dificultan una estimación
realista de las propiedades dinámicas.
La mayoría de los códigos y especificaciones de diseño estiman los efectos
dinámicos de las cargas vivas bajo un enfoque seudo-estático, en el que los esfuerzos
y deformaciones de la estructura se calculan colocando estáticamente las cargas
asociadas a un camión de diseño en una posición que garantice la máxima respuesta de
interés para el elemento de que se estudie (ejemplo: líneas de influencia) con el fin de
tomar en consideración la naturaleza dinámica de las cargas vivas.
Las normas AASHTO toman en cuenta la amplificación dinámica por medio
del factor de impacto I, que es análogo al CDP (I=CDP/100) y se calcula de la siguiente
manera:
112
𝐼=
Donde:
50
≤ 0.30
𝐿 + 125
L = es la longitud del vano en pies. La ecuación anterior ha sido usada
por más de 60 años sin ninguna modificación desde que apareció en 1931. Las normas
AASHTO para el diseño por factores de carga y resistencia especifican valores de
diseño para el CDP (coeficiente de carga dinámica permitida) de 25%, el cual se
multiplica por 4/3 para tomar en cuenta la carga de carril y llegar a un valor del 33%.
Se puede observar que el criterio de las normas AASHTO es muy general, ya
que solo toma en cuenta una sola variable (L).
El valor de deflexión calculada con el método de análisis dinámico por carga
móvil que se ha desarrollado en este trabajo permite tomar en consideración no sólo la
longitud del puente si no que se realiza un análisis de mayor aproximación al
comportamiento de la estructura por el paso de una carga móvil al tomar en cuenta la
ecuación del movimiento.
113
CAPITULO 8
CONCLUSIONES
En el diseño de puentes puede resultar insuficiente una estimación confiable del
peso de la carga viva que circula sobre los mismos con el fin de garantizar un
adecuado comportamiento, además se hace necesario una estimación confiable
de los efectos dinámicos que produciría. En el presente trabajo se ha obtenido
el peso de la carga viva y su efecto dinámico sobre la estructura lo que permitió
determinar la carga impulsiva que produjo una deflexión de 46.6 mm que por
medio de análisis convencional no se habría considerado.
Se reconoce la importancia de la vibración inducida del vehículo en movimiento
con relación a la respuesta y vida de servicio de un puente y el rol de la respuesta
dinámica en el deterioro y daño por fatiga que en el caso de la presente
investigación se observa que los cables de las péndolas siendo elementos de
acero entran en el proceso de ciclos de carga y descarga.
Al diseñar puentes muy flexibles, por ejemplo, los puentes colgantes o
atirantados, se pueden presentar problemas de resonancia por la carga móvil.
En el caso analizado del puente sobre el río San Pablo y por la conformación
de la geometría de los arcos, su estructuración se puede considerar como un
puente rígido.
En el diseño de puentes colgantes, en nuestro medio, no se consideran cargas
dinámicas producidas por la carga viva móvil. En el cálculo realizado sobre el
puente San Pablo al haberse realizado el análisis dinámico por carga móvil,
observa que la deformación producida por este tipo de carga, si bien, no alcanza
un valor importante, por ser una estructura rígida, es necesario determinarlo
para el respectivo diseño y comprobación de control de deflexiones que en esta
caso particular no excede la deflexión permisible por el código AASHTO que
es de L/800 = 140 mm.
Los métodos de valoración del impacto dinámico clásicos para puentes no
toman en consideración la posibilidad de que exista resonancia, en vista de que
114
se asume solo un incremento de hasta el 33% del incremento de la carga viva y
el cálculo considera los efectos de la carga de camión de diseño por un método
estático de ubicación de esta carga a través del método de las líneas de
influencia, hasta obtener un máximo, mientras que en el análisis realizado si se
calculó el impacto dinámico.
RECOMENDACIONES
Se recomienda añadir a la deflexión estática los efectos calculados por la carga
viva y su efecto dinámico sobre la estructura, que en este caso específico
produjo una deflexión de 46.6 mm, al respectivo análisis de control de
deflexiones.
Con la finalidad de registrar el proceso de ciclos de carga y descarga para los
elementos de acero de la estructura y en general de elementos de hormigón de
los puentes ya construidos, se deberían instrumentar los mismos, especialmente
aquellos de gran importancia. Se ha recomendado al MTOP la realización del
rating del puente para realizar el respectivo mantenimiento y disponer de
registros de cada elemento del puente sobre el río San Pablo.
En los puentes muy flexibles, se debería realizar el análisis dinámico por carga
móvil, además de su comportamiento estático, y si se presentaran problemas de
resonancia se evitarían cambiando el valor de la frecuencia natural variando la
masa y/o la rigidez o amortiguando la estructura. En el presente análisis
dinámico por carga viva móvil, el puente sobre el río San Pablo no es un puente
flexible.
En el diseño de puentes colgantes, en nuestro medio, se deberían considerar las
cargas dinámicas producidas por la carga viva móvil a fin de evitar problemas
de resonancia que podría colapsar a la estructura o incidir en mayor o menor
grado en la fatiga de los materiales y por tanto en su vida útil. En el análisis del
puente San Pablo se recomienda realizar el rating del puente por parte del
MTOP.
115
El estudio dinámico por cargas móviles en puentes flexibles debe ser
considerado ya que permitirá visualizar posibles problemas de vibraciones que
afectarían a las estructuras en su etapa constructiva y de puesta en
funcionamiento.
Se deberían realizar estudios sobre puentes existentes a fin de valorar y calibrar
a nuestro medio la determinación de la carga dinámica de impacto de los
vehículos sobre los puentes, pues los métodos actuales de análisis y diseño
podrían subestimar los efectos de las cargas dinámicas en las estructuras. Se
podría utilizar la metodología desarrollada con el software anexado en el
presente trabajo y utilizarlo en estructuras de puentes ya existentes para calibrar
para futuros diseños de estructuras de puentes.
Se recomienda la realización de estudios experimentales en los cuales se analice
detalladamente un número importante de puentes con diferentes propiedades de
respuesta dinámica con diferencias tanto de estructuración, geometría y
materiales. De la misma manera se pueden analizar distintos tipos de carga
móvil que se conozcan sus características como peso, separación entre ejes,
velocidad, rigidez y amortiguamiento de la suspensión y otras que se consideren
importantes. En el trabajo desarrollado se han dejado planteado algunas bases
para cálculo de análisis dinámico por carga viva móvil y de esta manera se
pueden aplicar los resultados de los estudios experimentales a fin de aportar en
una investigación específica a nuestro medio.
Se recomienda realizar estudios analíticos que permitan interpretar y entender
de mejor manera los resultados experimentales.
116
Glosario
Amortiguamiento
Disipación de energía
Antifunicularidad
Consideración estructural contraria a la catenaria
Arriostramiento
Apoyos o restricciones al desplazamiento
Biemportrado
Con doble empotramiento
camber
Flecha o deflexión por flexión
CDP
Coeficiente de carga dinámica permitida
Cercha
Estructura compuesta de elementos que conforman un emparrillado
de acuerdo a geometría requerida
Deformación
Es el cociente entre el alargamiento y la longitud
Discretizar
Obtención de nodos en un medio continuo
Distorsión
Deformación angular producida por fuerzas cortantes
Esfuerzo de ruptura
Es el límite donde el material se alarga rápidamente y es el punto de
ruptura
Esfuerzo último
Es conocido también como el límite de resistencia y es la máxima
ordenada de la curva esfuerzo-deformación
Función excitatriz
Función que define la fuerza impulsiva en una estructura
Ley de Hooke
La relación de proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación
siendo la constante de proporcionalidad el módulo elástico
Límite de elasticidad
Es el esfuerzo más allá del cual el material no recupera totalmente su
forma original al ser descargado
Es el punto hasta donde los esfuerzos son proporcionales a las
Limite de proporcionalidad deformaciones
Material anisótropo
Material que ofrece distintas propiedades cuando se examina o
ensaya en direcciones diferentes
NEC-11
Norma Ecuatoriana de la Construcción 2011
Péndola
Elemento de sujeción de una estructura colgante puede un cable o
varilla
Placas ortotrópas
Un material es ortotrópico cuando sus propiedades mecánicas o
térmicas son únicas e independientes en tres direcciones
perpendiculares entre sí
117
Punto de fluencia
Es aquel en el que aparece un considerable alargamiento o fluencia
del material sin el correspondiente aumento de carga
Relación de Poisson
Es la relación entre la deformación transversal y la deformación
longitudinal
118
BIBLIOGRAFIA
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SPECIFICATIONS. Washington DC: AASHTO Publications Staff.
DESIGN
AASHTO, A. A. (2002). Standard specifications for highway bridges. Washington D.
C.: AASHTO.
Aguiar, F. R. (2012). Dinámica de Estructuras con CEINCI-LAB. Quito: Centro de
Investigaciones Científicas Escuela Politécnica del Ejército.
Billing, J. R. (1984). Dynamic loading and testing of bridges in Ontario. Can J. Civ.
Engrg. 11, No. 4, 833-843.
Cantieni, R. (1983). Dynamic load tests on highway bridges in Switzerland: 60 years
of experience of EMPA. Switzerland: Swiss Federal Laboratories for Materials
and Testing.
Cebon, D. (1989). Vehicle-generated road damage: a review. Vehicle system
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Comité Ejecutivo de la Norma Ecuatoriana de la Construcción. (2011). Norma
Ecuatoriana de la Construcción. Quito: Convenio MIDUVI Cámara de la
Construcción.
Duque, M. d. (2004). Lecciones del Concurso de Puentes Escuela de Ingeneniería de
Antioquía. Revista EIA. ISSN 1704-1237, 10-18.
Green, M. F. (1995). Effects of vehicle suspension design on dynamics of highway
bridges. J. Struct. Engr, ASCE 121, No. 2, 272-282.
López, J. P. (2003). Modelo de elementos finitos para el cálculo de arcos. Validación
en estructuras agroindustriales de acero. Cuenca: Ediciones de la Universidad
de Castilla-La Mancha.
Manterola, J. (2006). PUENTES Apuntes para su diseño, cálculo y construcción.
Madrid: Lerko Print, S.A.
Mas, R. I. (2004). Mecánica de Medios Continuos Para Ingenieros Geólogos.
Alicante: Publicaciones de la Universidad de Alicante.
Schwarz, M. y. (2001). Response of prestressed concrete I-girder bridges to live load.
ASCE 6, No. 1, 1-8.
Singer, F. L. (1994). Resistencia de materiales. México: Harper & Row Publishers,
Inc.
119
ANEXO 1
Funciones Matlab
function [KRA]=krigidez(E)
%
% Programa para encontrar la matriz de rigidez de los elementos de un arco
%
% Autor: Jaime Jara Landívar
% UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
%
% -----------------------------------------------------------------------% [KRA]=krigidez(E)
% -----------------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% VC Vector de colocación
% FPC Esfuerzo de compresión del hormigón (kg/cm2)
% SS Matriz de rigidez de la estructura
% b: base la sección transversal (m)
% h: altura de la sección transversal (m)
% long: Longitud del elemento (m)
% angulo: angulo de inclinacion del elemento (rad)
%
nod=input('\n Número de nudos: ');
nr= input('Número de nudos restringidos: ');
nudos=nod-nr;
ngl=nudos*3;
[CG]=cg(nod,nr);
mbr=input('\n\n Número de miembros: ');
[VC]=vc(mbr,CG);
%
fprintf('\n Nudos Totales
%d',nod);
fprintf('\n Nudos restringidos %d',nr);
fprintf('\n Nudos de Cálculo %d',nudos);
fprintf('\n Grados de libertad %d',ngl);
fprintf('\n Número de miembros %d',mbr);
%
fc=input('\n Esfuerzo de hormigón: ');
E=12000*(fc)^0.5;
%
% for i=1:mbr
% fprint('\n elemento %d:',i);
% B(i)=input('\n Base:');H(i)=input('Altura:');L(i)=input('Luz libre:');
% end
%
B( 1)=1.788;H( 1)=2.675;L( 1)=13.82;ANG( 1)=0.74473;
120
B( 2)=1.713;H( 2)=2.330;L( 2)= 5.31;ANG( 2)=0.60964;
B( 3)=1.688;H( 3)=2.175;L( 3)= 3.93;ANG( 3)=0.56618;
B( 4)=1.663;H( 4)=1.985;L( 4)= 3.50;ANG( 4)=0.49829;
B( 5)=1.638;H( 5)=1.885;L( 5)= 3.40;ANG( 5)=0.45989;
B( 6)=1.613;H( 6)=1.795;L( 6)= 3.32;ANG( 6)=0.41329;
B( 7)=1.588;H( 7)=1.710;L( 7)= 3.26;ANG( 7)=0.36739;
B( 8)=1.563;H( 8)=1.640;L( 8)= 3.20;ANG( 8)=0.32254;
B( 9)=1.538;H( 9)=1.580;L( 9)= 3.15;ANG( 9)=0.27821;
B(10)=1.513;H(10)=1.525;L(10)= 3.11;ANG(10)=0.23440;
B(11)=1.488;H(11)=1.480;L(11)= 3.08;ANG(11)=0.19111;
B(12)=1.463;H(12)=1.445;L(12)= 3.05;ANG(12)=0.14818;
B(13)=1.438;H(13)=1.420;L(13)= 3.03;ANG(13)=0.10559;
B(14)=1.413;H(14)=1.405;L(14)= 3.02;ANG(14)=0.06318;
B(15)=1.400;H(15)=1.400;L(15)= 3.00;ANG(15)=0.02077;
B(16)=1.400;H(16)=1.400;L(16)= 3.00;ANG(16)=-0.02077;
B(17)=1.400;H(17)=1.400;L(17)= 3.00;ANG(17)=-0.06318;
B(18)=1.400;H(18)=1.400;L(18)= 3.00;ANG(18)=-0.10559;
B(19)=1.438;H(19)=1.405;L(19)= 3.02;ANG(19)=-0.14818;
B(20)=1.463;H(20)=1.435;L(20)= 3.03;ANG(20)=-0.19111;
B(21)=1.488;H(21)=1.480;L(21)= 3.05;ANG(21)=-0.23440;
B(22)=1.513;H(22)=1.525;L(22)= 3.08;ANG(22)=-0.27821;
B(23)=1.538;H(23)=1.580;L(23)= 3.11;ANG(23)=-0.32254;
B(24)=1.563;H(24)=1.640;L(24)= 3.15;ANG(24)=-0.36739;
B(25)=1.588;H(25)=1.710;L(25)= 3.20;ANG(25)=-0.41329;
B(26)=1.613;H(26)=1.795;L(26)= 3.26;ANG(26)=-0.45989;
B(27)=1.638;H(27)=1.885;L(27)= 3.40;ANG(27)=-0.49829;
B(28)=1.663;H(28)=1.985;L(28)= 3.50;ANG(28)=-0.56618;
B(29)=1.688;H(29)=2.175;L(29)= 5.31;ANG(29)=-0.60964;
B(30)=1.713;H(30)=2.330;L(30)=13.82;ANG(30)=-0.74473;
%
% Cálculo de la matriz de rigidez de la estructura
% Dimensión de la matriz de rigidez de la estructura
% ngl x ngl
SS=zeros(ngl,ngl);
for i=1:mbr
fprintf('\n ELEMENTO DE ARCO: %5d',i);
b=B(i);h=H(i);long=L(i);angulo=ANG(i);
fprintf('\n
b(m)
h (m)
L (m)
(rad)')
fprintf('\n')
fprintf('%15.2f', b,h,long,angulo)
fprintf('\n')
[k]=kelemarco(b,h,long,E,angulo);
for j=1:6
jj=VC(i,j);
if jj==0
121
continue
end
for m=1:6
mm=VC(i,m)
if mm==0
continue
end
SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m);
end
end
end
%
zeda=0.05;
nmas=nudos*3;
[maz]=masas(ngl,nudos);
[C]=amortig(SS,maz,zeda,mbr,ngl);
%
pause;
%
fprintf('%\n Matriz Rigidez Coord. Glob. function krigidez \n');
for i=1:ngl
fprintf('%\n')
for j=1:ngl
fprintf('% 15.2f',SS(i,j))
end
end
fprintf('\n FIN krigidez \n')
%========================================
% DATOS:
% Datos para obtener el incremento de tiempo dt
%
% veloc = Velocidad del vehículo (km/h)
veloc=60.0;
veloc=veloc*1000/3600; % (m/s)
% luzpuente = Luz del puente San Pablo (m)
luzpuente=100;
% tiempo de cruce del camión (seg)
tiemp=luzpuente/veloc;
fprintf('\n % 10.2f',veloc,luzpuente,tiemp);
%
dt=tiemp/12.0
%
% Datos para la carga impulsiva p(t)
%
% p(t)=P0 seno(wt)
% p( 1)=5.82;
122
% p( 2)=10.87;
% p( 3)=14.51;
% p( 4)=16.24;
% p( 5)=15.85;
% p( 6)=13.38;
% p( 7)=9.16;
% p( 8)=3.74;
% p( 9)=2.16;
% p(10)=7.79;
% p(11)=12.39;
% p(12)=15.38;
%
% p(t)=P0
carga=20.00;
p( 1)=carga;
p( 2)=carga;
p( 3)=carga;
p( 4)=carga;
p( 5)=carga;
p( 6)=carga;
p( 7)=carga;
p( 8)=carga;
p( 9)=carga;
p(10)=carga;
p(11)=carga;
p(12)=carga;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
[ymax]=Newmarklineal(p,maz,C,SS,dt)
%========================================
end
%
function [VC]=vc(mbr,CG)
%
% Programa para encontrar el vector de colocación de elementos del arco
% orientado al cálculo de la matriz de rigidez
%
% --------------------------------------------------------------------% [VC]=vc(mbr,CG)
% --------------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% VC Vector de colocación
% mbr Número de miembros
%
% Información de elementos
for i=1:mbr
123
% fprintf('\n ELEMENTO DE ARCO
%5d:',i);
% ini(i)=input('\nNúm Nodo Inicial:..........');
ini(i)=i;
% fin(i)=input( 'Núm Nodo Final: .......... ');
fin(i)=i+1;
end
% Arreglo VC, Vectores de colocación
for i=1:mbr
for k=1:3
VC(i,k) =CG(ini(i),k);
VC(i,k+3)=CG(fin(i),k);
end
end
fprintf('\n VECTORES DE COLOCACION DE ELEMENTOS \n')
for i=1:mbr
for k=1:6
fprintf('%7d',VC(i,k))
end
fprintf('\n')
end
pause;
end
% ---fin--function [CG]=cg(nod,nr)
%
% Programa para encontrar las coordenadas generalizadas
% orientado al cálculo de la matriz de rigidez
%
% ------------------------------------------------------------------% [CG]=cg(nod,nr)
% ------------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% nod Número de nodos
% nr Número de nudos restringidos
%
ngl=0;CG=ones(nod,3);
% Análisis de restricciones
for i=1:nr
nudres=input('\n Número del nudo restringido:')
X1=input('Desplazamiento en X, si/no (s/n):','s');
if X1=='n'
CG(nudres,1)=0;
else
ngl=ngl+1;CG(nudres,1)=ngl;
end
Y1=input('Desplazamiento en Y, si/no (s/n):','s');
124
if Y1=='n'
CG(nudres,2)=0;
else
ngl=ngl+1;CG(nudres,2)=ngl;
end
R1=input('Rotación, en Z,
si/no (s/n):','s');
if R1=='n'
CG(nudres,3)=0;
else
ngl=ngl+1;CG(nudres,3)=ngl;
end
end
% =======================================
% grados de libertad
ngl=0;
for i=1:nod
for j=1:3
if CG(i,j)~=0
ngl=ngl+1;CG(i,j)=ngl;
else
end
end
end
% ======================================
for i=1:nod
for j=1:3
fprintf('\n %7d',CG(i,j))
end
end
% ======================================
end
% ---fin--function [k]=kelemarco(b,h,L,E,angulo)
%
% Matriz de rigidez de un elemento del arco
%
% ------------------------------------------------------------------% [k]=kelemarco(b,h,L,E,angulo)
% ------------------------------------------------------------------% b: base de la sección transversal
% h: altura de la sección transversal
% L: longitud del elemento
% E: módulo de elasticidad del material
% angulo: ángulo de inclinación de cada elemento
% beta: factor de forma se considera 1.2
125
G=0.4*E;beta=1.2;
inercia=b*h^3/12;
area=b*h;
fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L);
kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi));
a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi));
% ==========================
%
a=(E*area)/L;
b=((12*E*inercia)/(L*L*L));
c=(6*E*inercia)/(L*L);
d=(4*E*inercia)/L;
e=(2*E*inercia)/L;
%
% =========================
k=zeros(6,6);
k(1,1)=a;
k(1,4)=-a;
k(2,2)=b;
k(2,3)=c;
k(2,5)=-b;
k(2,6)=c;
k(3,2)=c;
k(3,3)=d;
k(3,5)=-c;
k(3,6)=e;
k(4,1)=-a;
k(4,4)=a;
k(5,2)=-b;
k(5,3)=-c;
k(5,5)=b;
k(5,6)=-c;
k(6,2)=c;
k(6,3)=e;
k(6,5)=-c;
k(6,6)=d;
% =========================
r=zeros(6,6);
rt=zeros(6,6);
coseno=cos(angulo);
seno=sin(angulo);
r(1,1)=coseno;
r(1,2)=seno;
r(2,1)=-seno;
r(2,2)=coseno;
126
r(3,3)=1;
r(4,4)=coseno;
r(4,5)=seno;
r(5,4)=-seno;
r(5,5)=coseno;
r(6,6)=1;
rt(1,1)=r(1,1);
rt(1,2)=r(2,1);
rt(2,1)=r(1,2);
rt(2,2)=r(2,2);
rt(3,3)=r(3,3);
rt(4,4)=r(4,4);
rt(4,5)=r(5,4);
rt(5,4)=r(4,5);
rt(5,5)=r(5,5);
rt(6,6)=r(6,6);
%==================================
fprintf('\n MATRIZ DE ROTACION TRASPUESTA DEL ELEMENTO \n')
for i=1:6
for j=1:6
fprintf('% 15.2f',rt(i,j))
end
fprintf('\n')
end
%==================================
fprintf('\n MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO \n')
for i=1:6
for j=1:6
fprintf('% 15.2f',k(i,j))
end
fprintf('\n')
end
%===================================
fprintf('\n MATRIZ DE ROTACION DEL ELEMENTO \n')
for i=1:6
for j=1:6
fprintf('% 15.2f',r(i,j))
end
fprintf('\n')
end
%===================================
fprintf('\n')
k=rt*k*r;
for i=1:3;
for j=i+1:4;
127
k(j,i)=k(i,j);
end
end
fprintf('\n MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO DE ARCO: \n\n')
for i=1:6
for j=1:6
fprintf('% 15.2f',k(i,j))
end
fprintf('\n')
end
end
% ---fin--function [maz]=masas(ngl,nudos)
%
% Matriz de Masas
%
% ------------------------------------------------------------------% [mas]=masas(ngl,nudos)
% ------------------------------------------------------------------%
% maz = Matriz de masas
%
% for i=1:nudos
% fprint('\n elemento %d:',i);
% mas(i)=input('\n Masa (ton.s^2/m):');
% end
[maz]=zeros(ngl,ngl);
mas( 1)=1.074;
mas( 2)=0.938;
mas( 3)=0.854;
mas( 4)=0.782;
mas( 5)=0.732;
mas( 6)=0.687;
mas( 7)=0.646;
mas( 8)=0.611;
mas( 9)=0.580;
mas(10)=0.552;
mas(11)=0.528;
mas(12)=0.509;
mas(13)=0.493;
mas(14)=0.483;
mas(15)=0.480;
mas(16)=0.480;
mas(17)=0.482;
128
mas(18)=0.489;
mas(19)=0.504;
mas(20)=0.527;
mas(21)=0.552;
mas(22)=0.580;
mas(23)=0.611;
mas(24)=0.646;
mas(25)=0.687;
mas(26)=0.732;
mas(27)=0.782;
mas(28)=0.854;
mas(29)=0.938;
mas(30)=1.074;
for i=1:nudos
j=i*3-2
maz(j,j)=mas(i);
maz(j+1,j+1)=mas(i);
maz(j+2,j+2)=mas(i);
end
end function [C]=amortig(SS,maz,zeda,mbr,ngl)
%
% Matriz de Amortiguamiento
% Cálculo de la matriz de amortiguamiento
% Algoritmo de Wilson y Penzien
% ------------------------------------------------------------------% [C]=amortig(SS,maz,zeda,mbr,ngl)
% ------------------------------------------------------------------%
% C = Matriz de amortiguamiento
% SS = Matriz de rigideces
% maz = Matriz de masas
% zeda = Vector que contiene los factores de amortiguamiento
% mbr = Número de elementos de la estructura
zeda=0.05;
for i=1:ngl
zed(i)=zeda;
end
C = zeros(ngl,ngl);
fprintf('\n NUMERO DE ELEMENTOS (amortig)');
fprintf('\n %7d',ngl);
%=================================
fprintf('\n Matriz de rigideces \n')
for i=1:ngl
for j=1:ngl
129
fprintf('% 15.2f',SS(i,j))
end
fprintf('\n');
end
%=================================
fprintf('\n Matriz de masas \n')
for i=1:ngl
for j=1:ngl
fprintf('% 15.2f',maz(i,j));
end
fprintf('\n');
end
%==================================
[V,D]=eig(SS,maz);
Wn=sqrt(D);
W=diag(Wn);
for i=1:ngl
fi=V(:,i);
mi=fi'*maz*fi;
aux=2*zed(i)*W(i)/mi;
C=C+aux.*maz*fi*fi'*maz
end
for i=1:ngl
for j=1:ngl
fprintf('% 15.2f',C(i,j))
end
fprintf('\n ')
end
fprintf('\n FIN Programa de Amortiguamiento \n' )
end
%=============================================
function [ymax]=Newmarklineal(p,maz,C,SS,dt)
%
% Respuesta en el tiempo de un sistema de múltiples grados de libertad
% por el Método de Newmark, ante una carga móvil que se desplaza a lo
% largo de la estructura, definido por un sistema de cargas armónicas
%
%=============================================
% [ymax]=Newmarklineal(p,maz,C,SS,JJ,dt)
%=============================================
% p: Vector que contiene los registros de la carga vehicular (n)
% maz: Matriz de masas del sistema (ngl x ngl)
% C: Matriz de amortiguamiento del sistema (ngl x ngl)
% SS: Matriz de rigidez del sistema (ngl x ngl)
% JJ: Q=-maz J a(t) es vector unitario para caso plano (ngl x 1)
130
% dt: incremento de tiempo con el cual se calcula la respuesta
% beta: 1/4 para aceleración constante y 1/6 para aceleración lineal
% gamma: =0.5
% d, v, a: desplazamiento, velocidad y aceleración de la respuesta
%
%===========================================================
========
%
n=length(p);
tmax=dt*n;
t=linspace(0,tmax,n)';
beta=0.25;
gamma=0.5;
ngl=length(SS);
% Cambio de cm/s2 a m/s2 en la carga vertical
%for i=1:n
% p(i)=p(i)/100;
%end
%==================================
% Constantes auxiliares de cálculo
%==================================
fac1=1/(beta*dt);
fac2=gamma/(beta*dt);
fac3=1/(beta*dt*dt);
fac4=(1/(2*beta))-1;
fac5=1-(gamma/beta);
fac6=1-(gamma/(2*beta));
%==================================
% Cálculo de K sombrero
%==================================
Ks=SS+fac3*maz+fac2*C;
%==================================
% Condiciones iniciales
%==================================
for i=1:ngl
JJ(i)=1;
end
for i=1:ngl
d(i)=0;
v(i)=0;
a(i)=0;
end
d=d';
v=v';
a=a';
%========================
131
% Respuesta en el tiempo
%========================
for i=1:n-1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fprintf('\n n = %10d' ,n);
fprintf('\n i = %10d' ,i);
fprintf('\n i+1 = %10d' ,i+1);
fprintf('\n fac1 = %10.2f',fac1);
fprintf('\n fac2 = %10.2f',fac2);
fprintf('\n fac3 = %10.2f',fac3);
fprintf('\n fac4 = %10.2f',fac4);
fprintf('\n fac5 = %10.2f',fac5);
fprintf('\n fac6 = %10.2f',fac6);
fprintf('\n dt = %10.2f',dt);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
pause
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%F1=-maz*JJ*p(i+1);
fprintf('\n length(maz) = %10.2f',length(maz));
fprintf('\n length(JJ) = %10d',length(JJ));
fprintf('\n
i = %10d',i);
fprintf('\n p(i+1)
= %10.2f',p(i+1));
%%%%
F1=-maz*JJ';
% pause
F1=F1*p(i+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% F1=0;
F2=maz*(fac1*v+fac4*a);
F3=-C*(fac5*v+fac6*dt*a);
F4=-SS*d;
F=F1+F2+F3+F4;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
dq=Ks\F;
aa=fac3*dq-fac1*v-fac4*a;
vv=fac2*dq+fac5*v+fac6*dt*a;
dd=dq+d;
y(i)=dd(ngl);
tt(i)=dt*i;
d=dd;
v=vv;
a=aa;
end
plot(tt,y)
ylabel('Desplazamiento');
132
xlabel('Tiempo s')
ymax=max(y)
fprintf('\n Máximo desplazamiento \n')
fprintf('% 15.2f',ymax)
fprintf('\n Mínimo desplazamiento \n')
ymin=min(y)
fprintf('% 15.2f',ymin)
% fin
end
133
ANEXO No. 2
134
BIOGRAFIA
Nací en la ciudad de Quito el 21 de enero de 1957, en una familia de 7
hermanos donde fui el tercero. Mi padre provenía de un pueblo pequeño
llamado Calpi cerca de la ciudad de Riobamba y mi madre nacida en la ciudad
de Loja. Ellos, con su ejemplo y apoyo nos inculcaron y motivaron a
prepararnos en el estudio.
Mis primeros 3 años de estudio primario los realicé en la Escuela San
Pedro Pascual y los 3 años siguientes en la Escuela Alfonso del Hierro de la
ciudad de Quito.
Posteriormente mi educación secundaria la realicé en el Instituto
Nacional Mejía, con especialización Físico-matemático-químico-biólogo,
donde el 24 de julio año de 1975 obtuve el título de Bachiller en Humanidades
Modernas.
Mis estudios superiores los realicé en la Universidad Central del
Ecuador en la Facultad de Ingeniería y el 5 de enero de 1.983 obtuve el título
de Ingeniero Civil.
Realicé un stage desde el 15 de mayo al 15 de junio de 1.991 en el
Instituto de Investigaciones Camineras de Bruselas.
En abril de 1.999 seguí un curso de Programación Lógica y Auditoría
de Sistemas en la Universidad de la Rioja, y asistí al III Congreso
Internacional de (Tele) Informática Educativa y II Foro Regional de
Tecnología en la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Santa
Fe en Argentina.
135
Fui Ayudante Ad-Honorem de la Cátedra de Computación en la
Facultad de Ingeniería en el año de 1.978, así como Profesor Auxiliar de
Programación y Métodos Numéricos en la Facultad de Ingeniería de la
Universidad Central en el año de 1.984.
He realizado diseños de estudios estructurales de edificaciones,
viviendas, puentes, alcantarillas abovedadas y de cajón y análisis estructural
de otros tipos de elementos estructurales como muros, pilotes de hormigón
armado prebarrenado, pilotes de hormigón presforzado, etc. con las
consultoras Francisco Fernández, Promanvial, Rodrigo del Salto y
Tecnosuelos en las ciudades de Quito y Loja.
Trabajé en el Ministerio de Obras Públicas desde el año de 1.980 hasta
el 2.011, en las Direcciones de Planificación, Informática, Construcciones,
Concesiones y Estudios en el Departamento de Estructuras con
especialización en Puentes.
He trabajado en Fiscalización estructural de Edificios y Puentes con las
Consultoras Ing. Pedro Freire e IPHc Consultora en las ciudades de Santa
Clara, Quito, Isla Baltra, Babahoyo y Loja, donde trabajo actualmente.
136
