Geometría Analítica U 3.3
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Los estampidos supersónicos Pues bien; un hombre, y un hombre real, que quiere ser o que quiera no ser, es un símbolo, y un símbolo puede hacerse hombre. Y hasta un concepto. Un concepto puede llegar a hacerse persona. Yo creo que la rama de una hipérbola quiere--¡así, quiere!--llegar a tocar a su asíntota y no lo logra, y que el geómetra que sintiera ese querer desesperado de la unión de la hipérbola con su asíntota nos crearía a esa hipérbola como a una persona, y persona trágica. Miguel de Unamuno En 1953, el vuelo de un avión supersónico sobre una base aérea estadounidense provocó daños en todos sus edificios. Al estudiar el fenómeno se descubrió que cuando un avión se desplaza a una velocidad mayor que la del sonido, genera una onda de choque que tiene la forma de un cono y que al intersecar el terreno, forma una hipérbola. La onda “golpea” todo punto que se encuentre sobre esa curva, de modo que todas las personas que se encuentran ubicadas sobre el “trazo” de la curva podrán escuchar el mismo sonido al mismo tiempo. Como el avión continúa avanzando, la curva hiperbólica se desplaza con él y ellos es lo que provoca que sea escuchado por todas las personas que se hallan en su camino. Este fenómeno se conoce como “curva del estampido supersónico” y en la siguiente imagen puedes darte una idea más clara de lo que ocurre: Para entender mejor este fenómeno acústico, en esta página encontrarás una animación muy explicativa, así como otros ejemplos de hipérbolas. Ahora trata de observar el mismo cono, pero en una foto real: http://www.coolmath.com/algebra/Algebra2/08Conics/04_hyperbolas-intro.htm http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/doppler/mach1.html La foto corresponde a un avión F/A-18 Hornet de la Fuerza Aérea de Estados Unidos, traspasando la barrera del sonido. Las condiciones de humedad, densidad y temperatura produjeron una condición inigualable para captar el efecto. La foto fue tomada el 7 de julio de 1999 por el oficial de Marina John Gay, quien viajaba en el portaviones USS Constallation. Como seguro te imaginas, modelar la curva de estampido supersónico que produce cada modelo de avión supersónico y analizar sus efectos es una tarea muy importante que implica salvaguardar la integridad de las construcciones cercanas a la ruta de vuelo de un avión. De otro modo, pueden verse seriamente afectadas, como ocurrió en los inicios de la era supersónica. Aunque el modelo con el que trabajaremos en esta sección, la hipérbola, no es de aplicación tan generalizada como la circunferencia, la elipse o la parábola, no deja de estar presente en situaciones tan delicadas como la que acabamos de comentar. Otra situación en la que este modelo cobra gran importancia es en el diseño de una estructura fundamental para una planta de generación eléctrica: la torre de enfriamiento. Las torres de enfriamiento Las torres de enfriamiento que se utilizan en las plantas de energía nuclear sirven para reducir la temperatura del agua que se emplea en los procesos de generación de energía eléctrica. El objetivo es lograr que la temperatura del agua alcance niveles adecuados para poder recircularla, reutilizarla o descargarla en algún río o laguna cercana a la planta. En el diseño de estas torres, los ingenieros enfrentan generalmente dos grandes problemas: • La estructura debe ser capaz de resistir fuertes vientos. • El diseño debe optimizar el uso de los recursos en su construcción, es decir, hay que construir usando la menor cantidad posible de materiales. http://www.nucleartourist.com/systems/ct.htm Las torres construidas con secciones hiperbólicas (hiperboloides) han resultado la mejor solución, de modo que prácticamente se han adoptado como la solución estandarizada. Por una parte, su forma hace que se requiera una menor cantidad de materiales para su construcción que con cualquier otro de los diseños viables, especialmente en lo que se refiere al espesor de las paredes. Por otra parte, el comportamiento ante el empuje de viento resulta mucho más eficiente con esta sección. Siendo las torres de enfriamiento estructuras de suma importancia dentro de un complejo de generación de energía eléctrica, te imaginarás que antes de construirlas el diseño debe probarse ante diversas condiciones en un simulador. Para alimentarlo, naturalmente, se requiere introducir las ecuaciones de las hipérbolas y las características geométricas de la torre, que puedes ver en la imagen de la izquierda. Una vez realizado el análisis, el simulador despliega la torre y los resultados del análisis solicitado. ¡Imagínate la importancia de alimentar correctamente un software como éste! Los elementos gráficos de la hipérbola Lee con mucha atención la definición de la hipérbola: La hipérbola es el lugar geométrico de todos aquellos puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. ¿Te suena familiar? ¿Ya la hemos usado antes? ¿Qué sucede? En realidad es la primera vez que trabajamos con esta definición, sin embargo, es muy probable que a tu mente haya venido esta otra: Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos llamados focos se mantiene siempre constante. ¿Te das cuenta? La elipse y la hipérbola tienen definiciones que difieren en la operación que relaciona las distancias de un punto a los focos. Si llamamos nuevamente F1 y F2 a los focos y P al punto que irá formando la gráfica, podríamos decir que: Si SUMAMOS en cambio, y , tendremos una ELIPSE: si RESTAMOS y , tendremos una HIPÉRBOLA: (Las rectas verticales nos indican que usamos el valor absoluto, esto es la distancia sin signo). Veamos esta diferencia gráficamente con la ayuda de la siguiente aplicación interactiva. Aprovechemos tres medidas que el applet nos proporciona: • La longitud del semieje mayor, es decir, a • La suma (o resta) de distancias a los focos, que es constante y que representamos con la expresión 2a • La distancia entre focos, a la que hemos simbolizado como 2c. Puedes hacerla variar moviendo alguno de los focos, o ambos ¡Interactúa! Procedamos a construir conocimiento con el uso de esta herramienta: 1. Elige una longitud a para el semieje mayor moviendo el punto que se encuentra sobre la recta roja “semieje mayor” (extremo inferior derecho del applet). 2. Comprueba que la suma/resta de distancias a los focos es el doble del valor que elegiste, es decir, 2a. 3. Ahora mueve el foco F1 hacia la derecha. ¿Te fijas cómo se reduce el valor de la distancia entre focos (2c) a medida que F1 se acerca a F2? ¿Puedes predecir qué pasará si continúas moviendo el foco hacia la derecha? ¿A qué valor se acercará 2c? ¿Qué le pasará a la elipse? Intenta responder sin interactuar con el applet. Ya que tengas una respuesta, compruébala o corrígela usando el applet. Finalmente, detente un momento para asegurar que la información que guardaste en tu memoria de largo plazo es precisa y correcta. Los elementos gráficos de la hipérbola En efecto, la excentricidad es un parámetro que nos será muy útil para establecer la frontera entre la hipérbola y la elipse. Como recordarás, la definimos como: Donde c es el semieje focal y a es el semieje mayor. Por otra parte, estarás de acuerdo en que: Lo que significa que también podemos calcularla si dividimos la distancia focal 2c entre la longitud del eje mayor 2a. Como recordarás, en una elipse la suma de distancias de un punto a los focos es y como dijimos en la pantalla anterior, en una hipérbola la diferencia de distancias entre el punto y los focos es . Por tanto, podríamos calcular la excentricidad de las elipses e hipérbolas que vamos generando en el applet si dividimos el valor desplegado en “Distancia Focos” entre el valor desplegado en “Suma o Diferencia”. ¿Estás de acuerdo? Con ello en mente, analicemos cómo cambia la excentricidad entre una elipse y una hipérbola: http://www.bunam.unam.mx/moodle/file.php/14/Geom_Ana/Unidad_3/applet/elhiper/elhiper01.html 1. Mueve nuevamente el foco F1 hacia la derecha hasta que la distancia entre los focos sea cero, y por tanto la gráfica en pantalla sea una circunferencia. 2. Anota en el primer renglón de la siguiente tabla el valor desplegado en “Distancia Focos” y en “Suma o Diferencia”, y calcula la excentricidad dividiendo ambas cantidades (redondea a dos cifras). 3. Desliza ahora F1 hacia la izquierda (como los focos están superpuestos, en el applet aparecerá un recuadro para que elijas si deseas mover F1 o F2: elige F1). Mueve F1 un poco y anota en la tabla los datos para calcular la excentricidad de la elipse que estás viendo. 4. Repite la operación anterior dos veces más, moviendo F1 cada vez más hacia la izquierda, sin que deje de ser una elipse. 5. A continuación mueve el foco F1 a una ubicación en la que la gráfica que visualices sea una hipérbola y calcula su excentricidad. Repite dos veces más con otras tantas hipérbolas para completar la siguiente tabla: Ahora observa la columna Excentricidad e: compara la excentricidad de las elipses y de las hipérbolas. ¿Notas algo? Cuando tengas una hipótesis, puedes probarla en el applet. Luego, completa lo siguiente: (oprime aquí si necesitas una pista). En cada renglón hay que usar uno de estos símbolos >, <, = Con el trabajo que hemos realizado hasta ahora habrás notado que algunos elementos gráficos de la hipérbola coinciden con los de la elipse, aunque naturalmente necesitamos especificar algunos ajustes. Nos detendremos un poco entonces en los elementos gráficos de la hipérbola. Los elementos gráficos de la hipérbola Empecemos entonces por reconocer los elementos que nos son familiares: los focos, el centro, y los vértices, ¿los identificas en la siguiente gráfica? En cuanto a los segmentos, aunque en la hipérbola también trabajamos con ejes, en vez de eje mayor tenemos el eje transversal, que es el segmento que une los vértices y cuya medida es 2a, (por tanto el semieje transversal mide a). En lugar de eje menor se usa el eje conjugado, cuya medida es 2b (así que el semieje conjugado mide b). La distancia entre los focos se sigue llamando distancia focal o eje focal y su medida es 2c. (NOTA: Toma en cuenta que en algunos textos, al eje transversal se le llama eje real, en tanto que al eje conjugado se le conoce como eje imaginario). Al igual que en la elipse, en la hipérbola podemos establecer una relación entre los semiejes a, b y c, al construir el siguiente triángulo: Si sobre el triángulo aplicamos el Teorema de Pitágoras, puedes ver que se cumple la relación: c2=a2+b2 Donde a es la longitud del semieje transversal, b es la longitud del semieje conjugado y c es la longitud del semieje focal. Y ahora introduzcamos dos elementos nuevos: las asíntotas. Como recordarás, una asíntota es una recta a la que se acerca la gráfica de una ecuación (en este caso la hipérbola) pero sin llegar nunca a tocarla. Las hipérbolas tienen dos asíntotas, y como son rectas, las identificamos mediante sus ecuaciones. Para trazarlas nos ayudaremos del siguiente rectángulo, cuyos lados tienen las dimensiones de los ejes transversal y conjugado: O mejor dicho, nos ayudaremos de las diagonales de este rectángulo, pues si las prolongamos en ambos sentidos se convierten en las asíntotas de la hipérbola: Finalmente, en la hipérbola también podemos calcular el lado recto, que es un segmento perpendicular al eje transversal y que pasa por el foco. Naturalmente, la hipérbola tiene dos lados rectos porque tiene dos focos. ¿Te acuerdas de la expresión para determinar su longitud total? Aquí la tienes: Con esta información, que puedes encontrar en el formulario, estamos listos para determinar los elementos de la siguiente hipérbola. Encontremos los elementos en la gráfica de una hipérbola Aplica lo que sabes para determinar la información que te da la gráfica y completar los espacios en blanco. En donde sea necesario, redondea a un decimal: a=4 b=2 c=4.5 Lr= 2 e=1.1 C(0,0) V1 (0,-4),V2 (0,4) (las respuestas también pueden ser V1 (0,4),V2 (0,-4) F1 (0,-4.5),F1 (0,4.5) (Las respuestas también pueden ser F1 (0,4.5),F1 (0,-4.5) m1= -2, b1=0, -2,0 m2= 2, b2=0, 2,0 Esta es la solución Resolvamos este reto juntos: El eje transverso mide lo mismo que el lado mayor del rectángulo. Si cuentas en la gráfica verás que su longitud es de 8 unidades. Como nos piden el semieje transverso a, lo dividimos entre dos y tenemos a=4. El eje conjugado y el lado corto del rectángulo miden lo mismo: 4 unidades, así que el semieje mide b=2. Podemos ver que el valor de c no es un entero así que, para no tener que usar una aproximación visual, podemos aprovechar la relación c2=a2+b2. Por ello: En cuanto a la longitud del lado recto, tenemos que: Podemos calcular la excentricidad así: Ahora trabajemos con las coordenadas de los puntos. Podemos distinguir el centro, entre otras características, por ser el punto donde se cruzan las asíntotas. En este caso, el centro está en C(0,0). En cuanto a los vértices, que son los puntos donde cada una de las ramas de la hipérbola cambian su curvatura, puedes ver que se encuentran en V1 (0,-4) y V2(0,4). Puedes verificar entonces el valor de a, que es la distancia entre el centro y el vértice. Los focos se encuentran en F1(0,-4.5) y F2 (0,4.5). Puedes verificarlo si recuerdas que la distancia c vale precisamente 4.5. Para obtener las ecuaciones de las asíntotas necesitamos dos parámetros, la pendiente y la ordenada al origen. Como recuerdas, para determinar la pendiente necesitamos determinar el desplazamiento horizontal y vertical entre dos puntos de la recta. Por ejemplo para llegar de (-2,4) a (-1,2) nos desplazamos 2 unidades hacia abajo (lo representamos así: ( ), por lo que: ) y una unidad a la derecha En este caso, la ordenada al origen es b1=0 porque para esta recta, las coordenadas del punto de intersección con el eje y son (0,0). Así , la asíntota 1 tiene la siguiente ecuación: Análogamente para la asíntota 2 puedes verificar que su pendiente es m2=2 y su ordenada al origen es b2=0, por lo que la ecuación de esta recta es y=2x. Nuestra gráfica con todos sus elementos se ve así: La ecuación de una hipérbola Te habrás dado cuenta de que según la posición de sus vértices, focos y eje transversal, una hipérbola puede ser horizontal o vertical. Para obtener su ecuación ordinaria (también se le llama ecuación canónica) es necesario partir de la definición de hipérbola: el conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a los focos es constante: Ello implica calcular las distancias , , obtener la diferencia y simplificar mediante trabajo algebraico, llegando finalmente a las siguientes ecuaciones: Para una hipérbola horizontal: Para una hipérbola vertical: Donde: a= longitud del semieje transverso b= longitud del semieje conjugado (h, k): coordenadas del centro de la hipérbola Para seguir paso a paso el desarrollo matemático que lleva a estas ecuaciones, oprime aquí. http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/La_Hiperbola.html ¿Te fijas? Estas ecuaciones también son muy parecidas a las de las elipses horizontales y verticales. ¿Puedes distinguir las diferencias? Elipses horizontales y verticales Ecuación de la elipse horizontal . . Ecuación de la elipse vertical: Obtengamos la ecuación de la hipérbola de nuestro ejemplo: Para empezar la gráfica no deja dudas respecto al tipo de hipérbola: es vertical. En cuanto a los parámetros que necesitamos, puedes verificar en la gráfica que a=4,b=2 y C(0,0), así que sustituiremos estos valores en: Realizamos la suma de fracciones obteniendo un denominador común: Multiplicamos ambos lados por (64) para que los coeficientes sean enteros: Ordenamos la ecuación: Recuerda que en las ecuaciones los coeficientes nos dan toda la información que necesitamos para construir la gráfica, así que aprovecha este ejemplo para observar y contestarte: ¿qué relación hay entre los coeficientes de esta ecuación y los elementos de la gráfica? Encontremos la ecuación de una hipérbolas La siguiente torre de enfriamiento forma parte de una planta nuclear para generación de energía eléctrica. El diseño (dimensiones y forma) deben poblarse usando un simulador para determinar su comportamiento ante diversas solicitaciones. (Condiciones a que se ve sujeta una estructura como su peso propio, el efecto de sismos, viento, y otras.). El primer paso es introducir sus características geométricas por medio de su ecuación. ¿Puedes obtenerla, tomando como sistema de referencia el que se muestra a continuación? Encuentra también las coordenadas de los focos, la longitud del lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas. Considera que la altura de la torre y la longitud del eje conjugado son iguales. Te sugerimos que tengas a la mano lápiz y papel para trabajar este problema, y cuando tengas tus resultados, los anotes en los siguientes espacios. En los casos de las ecuaciones (de la hipérbola y asíntotas), anota los coeficientes CON SU SIGNO. Recuerda que si necesitas usar decimales, debes redondear los resultados a una cifra. ¡CUIDADO! La ecuación que acabas de completar describe todo el desarrollo de la hipérbola. Sin embargo, la torre tiene límites muy definidos, y para indicarlo es necesario acotar el dominio y el rango, ¿te acuerdas? Para escribir el intervalo de valores que forma el dominio, ¡Completa lo siguiente!: Encontremos la ecuación para la torre de enfriamiento Recuerda que para poder obtener la ecuación de una hipérbola, los parámetros que necesitamos son las longitudes de los ejes transverso y conjugado, así como las coordenadas del centro. Al observar la gráfica del problema puedes ver que prácticamente tenemos todo: Por tanto: • La longitud del semieje transverso es a=5 • La longitud del semieje conjugado es b=8 • Las coordenadas del centro (punto donde se cortan ambos ejes) son C(4,3) Como la hipérbola es horizontal, usaremos la fórmula. En cuanto al acotamiento, la gráfica te permite ver que los valores de x que se usan en este problema van de -3 a 11, por lo que el dominio es , en tanto que los valores que abarca la gráfica en y van de -5 a 11, y entonces . Obtengamos ahora los demás elementos geométricos que nos pidieron: Leamos los coeficientes de la ecuación de la hipérbola Revisemos la ecuación anterior, expresada en forma general: Y recordemos que: • La longitud del semieje transverso es a=5 • La longitud del semieje conjugado es b=8 • Las coordenadas del centro (punto donde se cortan ambos ejes) son C(4,3) En esta ecuación ocurre algo similar a la elipse. Lee el siguiente párrafo y completalo:
