Distribución de Entrelazamiento Energ´ıa-Tiempo Genuino

Universidad de Concepción Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas Programa de Magister Ciencias con Mención en Fı́sica Tı́tulo de Tesis de Grado Distribución de Entrelazamiento Energı́a-Tiempo Genuino en Grandes Distancias Autor: Álvaro Andrés Cuevas Seguel Concepción-Chile Marzo-2014 Supervisor: Dr. Guilherme Barreto Xavier Departamento de Ingenierı́a Eléctrica, Facultad de Ingenierı́a Universidad de Concepción Comisión Evaluadora: Dr. Guilherme B. Xavier Dr. Gustavo Lima M. Dr. Aldo Delgado H. i Dedicatoria Dedico esta tesis a mi familia, mis amigos y mi pareja. A todos aquellos que compartieron mi alegrı́a y ganas por saber más de la existencia y el universo. ii Agradecimientos Este documento y la investigación en la cual se basa no hubieran sido posibles sin la ayuda de Dios a cada instante. Gracias a los infinitos momentos de contemplación que me diste y a las situaciones de la vida. Deseo agradecer también la ayuda y apoyo de mis padres y hermanos, y por sobre todo a mi polola Diana, quien soportó mis dias y noches de estudio. Tampoco puedo dejar de lado a mis compañeros de trabajo y profesor guı́a, con los cuales logré un grán ambiente de cooperación, apoyo y amistad. Agradezco al Centro de Óptica y Fotónica CEFOP de la Universidad de Concepción, por disponer de sus instalaciones en el Laboratorio de Optoelectrónica del Departamento de Ingenierı́a Eléctrica. Y por último, agradezco enormemente al Programa de Becas CONICYT de Magister en Chile, por becarme y financiar los dos años de trabajo, permitiendo preocuparme netamente de mi labor académica y de investigación (Número Folio de Becario: 22121727). iii Índice general 1. Introducción 1 2. Marco Teórico 4 2.1. Postulados de la Mecánica Cuántica para Estados Puros . . . . . . . . . . . 4 2.2. Estados de Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3. Paradoja de Einstein, Podolsky y Rosen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4. Variables Ocultas Locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5. Teorema de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6. Desigualdades de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.7. Violación de las Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.8. Loopholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.9. Revisión de Óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.10. Fibras Ópticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3. Desarrollo Experimental 50 3.1. Entrelazamiento Energı́a-Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2. Experimentos Tipo Franson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3. Propuesta Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4. Metodologı́a 68 4.1. Curvas de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2. Elementos de Medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 iv ÍNDICE GENERAL 0.0 5. Resultados y Análisis 80 5.1. Generación de Fotones Gemelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2. Ajustes Geométrico-Temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.3. Correlación de Fotones Gemelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.4. Estabilización de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.5. Interferencia vs Desbalance con Estabilización . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.6. Control de Fase y Curvas de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.7. Violación de Desigualdad CHSH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6. Conclusión 93 v Capı́tulo 1 Introducción Motivación del Estudio ¿Es la Mecánica Cuántica una teorı́a completa? La pregunta surge a través importantes resultados deductivos e inductivos, que parecen contraponerse a grandes teorı́as como la Relatividad de A. Einstein. Esta teorı́a se fundamenta en principios y consideraciones ideadas para que las leyes del movimientos no cambien dependiendo del sistema de referencia donde se miren, por lo que las coordenadas espacio temporales se vuelven relativas al observador. Aunque parezca extraño el comportamiento de esta teorı́a, ella obedece fuertemente al determinismo y la causalidad de eventos, es decir, que toda acción genera una reacción, total y absolutamente determinada por una estructura de ecuaciones. A diferencia de lo anterior, la Mecánica Cuántica se origina al tratar de explicar el aparente caracter de onda y corpusculo de todas las partı́culas, pero sobre todo al intentar representar la discretización de la energı́a en los sistemas microscópicos. Esto último significa que la cantidad de energı́a que puede manejar un sistema depende de las condiciones de contorno sobre este, pues en ellas se restringen la forma de oscilación, como si fuese una onda estacionaria. No solo en lo anterior se fundamenta la mecánica cuántica, sino que de varios otros fenómenos empı́ricamente comprobados, como la imposibilidad de saber con total certeza la posición y momentum de una partı́cula aislada, ya que en el proceso de medida se modifica el 1 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 1.0 estado de la partı́cula. Dicho lo anterior la mecánica cuántica se desenvuelve en un lenguage de probabilidades, donde cada sistema no toma un estado como en la mecánica clásica, sino mas bien, una superposición simultanea de todos los posibles estados, hasta el momento en que un observador mide dicho estado. Es en este punto donde estas dos grandes teorı́as, o los defensores de ambas, se enfrentan, pues en el mundo conocido... ¿el valor de una Cantidad Fı́sica esta definido inherentemente de antemano o depende de como un observador mida tal cantidad? Al tratar de responder esta pregunta se idearon modelos matemáticos basados en variables desconocidas u ocultas, cuyo comportamiento llevó a la creación de reglas para distinguir entre teorı́as de resultados predictivos o probabilisticos. De esta forma, la idea fué utilizar este tipo de herramientas para testear sistemas cuánticos, y ası́ establecer si realmente pueden reducirse a sistemas clásicos predictivos. Pero la mecánica cuántica puede contemplar un tipo de estados (ó sistemas), que al ser medidos según los protocolos propuestos, violan las expresiones encontradas por los modelos de variables ocultas. A este tipo de estados se les conoce como estados entrelazados, ya que combinan los posibles subestados de dos o más subsistemas en un estado conjunto, de forma tal que los subsistemas no se pueden representar como individuales. Hoy por hoy representan uno de los pilares fundamentales de la teorı́a cuántica, ya que no es posible darles explicación y dinámica desde el punto de vista de la mecánica clásica. Sobre esta idea se plantea el siguiente documento de tesis, el cual abordará la pregunta inicial de esta introducción, implementando un nuevo sistema de medición de partı́culas entrelazadas. Este sistema mide pares de fotones entrelazados mediante un montaje de doble interferómetro Mach-Zehnder único, al cual se le han añadido fibras ópticas largas ideales para extender el canal de comunicaciones entre los dos sistemas de observación en canales de telecomunicaciones. Por lo tanto, también se ha hecho necesario utilizar técnicas activas de control y estabilización de fluctuaciones ambientales. El proceso de medir sobre el flujo de pares de fotones, se lleva a cabo por dos sistemas de observación, denominados Alice y Bob. Se realiza mediante cambios controlados de fase en cada uno de los interferómetros, lo cual modifica el estado conjunto de cada par de fotones 2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 1.0 entrelazado y los posibles resultados de medir (ó salidas de cada interferómetro). Luego, ciertos resultados o eventos conjuntos son registrados y analizados. Ahora bien, una de las expresiones encontradas por los modelos de variables ocultas, cuyo lı́mite debe ser respetado por sistemas clásicos, es la llamada Desigualdad de Bell CHSH. Y este experimento muestra una clara violación del lı́mite impuesto por ella. Pero a diferencia de otros trabajos en los que igualmente se viola este lı́mite, en este trabajo de tesis se muestra como se han evadido errores teórico-experimentales comunes e importantes, de una forma que no se ha hecho antes. El enfasis de trabajar en fibra óptica, se basa en que aunque las pérdidas de luz sean mayores que en espacio libre, la movilidad y versatilidad que presentan las fibras para conectar diferentes puntos de comunicación, la vuelven por mucho la mejor técnica para establecer redes de comunicación cuánticas. Además el experimento aquı́ mostrado codifica información en grados de libertad controlables en fibra, esceptuando el caso extremo de depolarización de haces de luz, lo cual no es apreciable en las señales estudiadas. Los resultados que se presentarán permiten extrapolar con mayor seguridad, pero aún incompleta, el grado de completitud de la teorı́a de la Mecánica Cuántica. Y por último, la propuesta representa un avance de grandes alcances en el área de criptografı́a, aplicada en sistemas de telecomunicaciones actuales o futuros, dada la implementación explicitada en los siguientes capı́tulos. 3 Capı́tulo 2 Marco Teórico 2.1. Postulados de la Mecánica Cuántica para Estados Puros En mecánica cuántica es posible estructurar y ordenar las bases de la teorı́a de diferentes formas, y en esta sección se mostrarán los postulados ortodoxos (no generalizados) necesarios para establecer la visión completa del lenguaje a utilizar en la tesis. Comunmente se presentan cuatro o cinco postulados con ideas que a simple vista no parecen conectadas. Es por esto que no se ocupará la forma compacta, si no más bien una separación de las ideas de los postulados tradicionales [1], [2] y [3]. 1. Postulado de Estados: A cada sistema fı́sico aislado le corresponde un espacio vectorial complejo de estados con producto interior, conocido como el espacio de Hilbert H del sistema. A cada sistema se le asocia un vector de estado unitario |ψi en su espacio de Hilbert, el cual lo describe completamente. Para sistemas que se encuentren en combinación estadı́sica de estados, se utiliza un Operador Densidad denotado por ρ= X pi |ψi i hψi | , (2.1) i donde a un Estado Puro le corresponde un operador de densidad unidimensional con 4 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.1 i = 1. En caso contrario, a un Estado Mixto le corresponde un operador de densidad con i > 1. Los estados puros de sistemas cuánticos de dos niveles (o qubits) pueden representarse gráficamente mediante un diagrama denominado esfera de Bloch, la cual se muestra en la Figura 2.1. Figura 2.1: Esfera de Bloch. Representa estados puros de sistemas cuánticos de dos niveles. La construcción de la esfera indica que los elementos de una base ortonormal deben ubicarse en los polos, mientras que una superposición equiprobable de las bases se debe ubicar en el Ecuador de la esfera. Notese también, que todos los estados con coordenadas opuestas, son ortogonales entre si y representan una nueva base ortonormal para sistemas de dos niveles. Si un sistema se encuentra compuesto por n subsistemas, entonces el estado compuesto se encuentra en el espacio producto-directo de los subespacios de Hilbert, es decir, en H = H1 ⊗ H2 ⊗ . . . ⊗ Hn . 2. Postulado de Observables: A toda cantidad fı́sica u observable A le corresponde un operador lineal Hermı́tico o autoadjunto A actuando en su espacio de Hilbert H. 3. Postulado Espectral: Los únicos posibles resultados de medida de un observable A correspondiente al operador A son los valores del espectro de A, es decir sus autovalores 5 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.1 λi . Supongamos un estado puro de n elementos de base ortonormal |ψi = n X αi |ai i = α1 |a1 i + α2 |a2 i + . . . + αn |an i , (2.2) i=1 donde αi son constantes de proporcionalidad. Supongamos además que se desea medir un observable del operador A= n X λi |λi i hλi | , (2.3) i=1 con |λi i como sus autovectores. Al medir este observable lo que se busca es la presencia de sus autovectores en el estado puro anterior, donde no todos ellos coincidirán con algún elemento de la base |ai i. En los casos donde identifiquemos algún autoestado del observable en el estado puro, el resultado de la medida será una combinación lineal de autovalores del operador de observable. 4. Regla de Born Discreta: Para un sistema en el estado |ψi ∈ H con dimH = N , bajo una medición del observable A (representada por el operador A) de espectro discreto, la probabilidad de obtener un resultado λi con degeneración n-ésima es igual a P rob|ψi (λi ) = | hbi , j|ψi |2 (2.4) = hψ|Pλi |ψi = T r[Pλi ρ], donde Pλi = |λi i hλi | son los operadores de proyección que generan el subespacio en el que se encuentra el autoestado λi , y la traza T r[] de un operador O en terminos de la base |ψi, viene dada por T r[O] = X hψi |O|ψi i = hψ|O|ψi . (2.5) i Luego, el valor de espectación de A en el estado |ψi es igual a hAi|ψi = N X λi | hλi |ψi |2 i=1 = hψ|A|ψi = T r[APλi ]. 6 (2.6) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.2 5. Postulado de Schrödinger: El estado de un sistema cerrado, sobre el cual no se han hecho mediciones durante un cierto intervalo de tiempo, evoluciona de acuerdo a la siguiente transformación: |ψ(t + dt)i = U (t, t + dt) |ψ(t)i = exp[−Hdt/~] |ψ(t)i , donde ~ = h 2π (2.7) es la Constante de Planck Reducida, U (t, t + dt) es el Operador de 2 ~ Evolución Unitario y H = − 2m ∇2 el Operador Hamiltoniano de partı́cula libre (m es la masa de la partı́cula). En la forma infinitesimal esto es igual a la Ecuación de Shrödinger que gobierna la evolución temporal de un estado |ψ(t)i bajo la influencia de un operador Hamiltoniano H. i~ d |ψ(t)i = H |ψ(t)i . dt (2.8) 6. Postulado de Proyección: Si una medida es realizada sobre un sistema fı́sico en el estado |ψi del operador A correspondiente al observable A, y el resultado es el autovalor λi del espectro de A, entonces el estado reducido directamente después de la medición será de la siguiente forma: Pλi |ψi . ||Pλi |ψi || |ψi (2.9) Dependiendo de la degeneración de A (es decir, el número de veces que un autovalor corresponde a más de un autoestado), la proyección de Pλi no necesita ser uni-dimensional. 2.2. Estados de Radiación Consideremos algún tipo de radiación sin especificar, donde podamos distinguir muchos modos de progagación, y en cada uno de ellos una especı́fica cantidad de fotones irradiando. Si cada modo puede discriminarse como un sistema en si mismo, entonces podemos asignarles estados en el sentido cuántico. Entonces, reutilizando la Notación Braket de Dirac tenemos que el Hamiltoniano del sistema de radiación completo forma una base del espacio de estados de radiación, el cual es el producto tensorial de los espacios para cada uno de los modos 7 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.2 normales. Ası́ el estado cuántico de radiación |ψi más general puede ser expandido en la forma [3] ψ= +∞ X +∞ X n1 =0 n2 =0 ... +∞ X . . . Cn1 n2 ...nk ... |n1 , n2 , . . . , nk , . . .i , (2.10) nk donde cada ni representa al número de fotones presentes en el modo. Cn1 n2 ...nk ... son números complejos arbitrarios, y su única restricción aquı́ presente es la condición de normalización hψ|ψi = 1. Cada uno de los ı́ndices nk puede asumir un infinito número de valores, existiendo muchos de esos ı́ndices además. Por ejemplo, si consideremos solo un número finito M de modos. Entonces una radiación clásica será totalmente descrita por M números complejos, lo que nos da un espacio de estados de dimensión M . Por otro, lado una radiación cuantizada restringida a N fotones por modo, tendrá un espacio de estados de dimensión (N + 1)M (por N fotones y 1 campo vacı́o). De esta forma un estado mono-modo es por definición una estado general con todos los números de fotones n1 , n2 , ..., igual a cero excepto por nk , donde k es el modo a considerar. El estado de radiación por lo tanto asume la forma simple |ψi = +∞ X |n1 = 0, . . . , nk−1 = 0, nk , . . . nk+1 = 0, . . .i . (2.11) nk =0 Lo que podemos simplificar como ψ= +∞ X nk |nk i . (2.12) nk =0 2.2.1. Estados No-Factorizables Sabemos que la radiación, segun sus componentes microscópicos llamados fotones, puede representarse mediante estados cuánticos, pero surge la pregunta sobre si es posible representarlos de forma factorizable o no. Un estado factorizable o producto puede ser escrito de la forma |ψi = |ψ1 i ⊗ |ψ2 i ⊗ ... |ψk i ⊗ ..., (2.13) donde |ψk i representa al modo k del estado de radiación, los cuales pueden ser escritos en forma general [4]. Ahora, si tuvieramos una combinación estadı́stica de estados tendriamos ρ = ρ1 ⊗ ρ2 ⊗ ...ρk ⊗, 8 (2.14) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.2 Donde los diferentes ρi corresponden a las matrices densidad de cada combinación estadı́stica, y ρ al conjunto de estados combinados estadı́sticamente. A diferencia de los estados producto, los Estados Entrelazados describen el comportamiento de sistemas cuánticos entrelazados [5]. Estos estados son aquellos que en los que no es posible encontrar una representación individual de los subsistemas que lo componen en el estado total. Consideremos u estado puro para un sistema compuesto de dos subsistemas espacialmente separados, tales que ρ = |ψi hψ| con |ψi = X c(a, b) |ai |bi , (2.15) a,b donde {|ai} y {|bi} son dos conjuntos de vectores ortogonales para los sistemas 1 y 2, respectivamente. Si cada factor complejo c(a,b) no se puede factorizar en un producto de la forma f (a) × g(b), entonces se tiene que el estado no puede factorizarse en un producto de los subsistemas 1 y 2, dando lugar a que ρ 6= ρ1 ⊗ ρ2 (2.16) Al igual que en una representación de estados puros |ψi = 6 |ψ1 i ⊗ |ψ2 i . (2.17) En consecuencia el estado de cada partı́cula no puede representarse como individual, y su estado propio no tiene sentido sin el estado de la partı́cula compañera . Se puede concluir que al medir sobre una partı́cula se altera el estado completo, del que forma parte también la otra partı́cula. Esto permite entonces modificar el estado de una partı́cula operando sobre estado de la otra distante instantaneamente (No-localidad). Volviendo a la representación por modos, supongamos que en un cierto experimento es posible generar un estado bipartito de dos fotones, cada unos de ellos con la opción de estar en dos modos del campo, tal que 1 |ψi = √ (|1l1 i |1l2 i + |1m1 i |1m2 i), 2 (2.18) donde los estados |1l1 i, |1l2 i, |1m1 i y |1m1 i son estados de número mono-modo, que indican la existencia de 1 foton en los modos l1 , l2 , m1 o m2 respectivamente. Los modos l1 9 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.2 y m1 pueden, por ejemplo, corresponder a dos direcciones diferentes o a dos polarizaciones ortogonales diferentes para el foton 1, y de la misma forma l2 y m2 para el fotón 2. En este caso, se mostrará que dicho estado no es factorizable, es decir no se puede escribir como |ψ1 i ⊗ |ψ2 i, donde |ψ1 i es el estado del fotón 1, mientras que |ψ2 i es el estado del fotón 2. El estado factorizable más general para los dos fotones considerados aquı́ puede escribirse como |ψi = (λ1 |1l1 i + µ1 |1m1 i) ⊗ (λ2 |1l2 i + µ2 |1m2 i) (2.19) = λ1 λ2 |1l1 i |1l2 i + λ1 µ2 |1l1 i |1l2 i + µ1 λ2 |1m1 i |1l2 i + µ1 µ2 |1m1 i |1m2 i , donde λ1 , λ2 , µ1 y µ2 son números complejos. Para escribir el estado entrelazado como este estado producto, debemos tener 1 λ1 λ2 = µ1 µ2 = √ 2 λ1 µ2 = λ2 µ1 = 0. (2.20) Sistema que es claramente incomplatible, pues se puede ver que λ1 λ2 µ1 µ2 = 1 2 y al mismo tiempo λ1 λ2 µ1 µ2 = 0. 2.2.2. Estado de Fotones Gemelos De la anterior generalización de un estado multimodo, tenemos que un estados bi-modal, es aquel en que solo dos modos (l y l0 ) del campo electromagnético no se encuentran en el estado vacı́o. Lo que se escribe como |ψi = +∞ X +∞ X nl cnl ,nl0 |nl , nl0 i , (2.21) nl0 Dentro de este tipo de estados podemos considerar al estado de fotones gemelos, el cual tiene igual número de fotones en cada unos de sus dos modos, es decir |ψi = +∞ X cn |nl = n, nl0 = 0i = n +∞ X cn |n, ni , (2.22) n donde los coeficientes cn son todos positivos. Es facil ver, que existe una perfecta correlación entre las mediciones de número de fotones en cada unos de los dos modos, por eso que se le atribuya el nombre de fotones gemelos. 10 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.3 Definamos el Operador de Creación â† tal que √ â† |ni = n + 1 |n + 1i . (2.23) Es decir que aumenta el número de cuantos presentes en el modo. Y también el Operador de Aniquilación â tal que â |ni = √ n |n − 1i . (2.24) Es decir que disminuye el número de cuantos presentes en el modo. Con lo que construimos el Operador de Número N̂ = â† â, cuya función es la de entregar el número de cuantos del modo, es decir N̂ |ni = â† â |ni √ † √ p = nâ |n − 1i = n (n − 1) + 1 |ni (2.25) = n |ni , lo que utilizaremos a continuación. Una caracterı́stica interesante de los estados de fotones gemelos es que, tomando los operadores de número N̂l = â†l âl y N̂l0 = â†l0 âl0 podemos hacer lo siguiente: (N̂l − Nˆl0 ) |ψi = |ψi = = +∞ X n +∞ X cn (N̂l − Nˆl0 ) |n, ni (2.26) cn (n − n) |n, ni , n = 0 lo que implica que el estado |ψi es un autoestado de la diferencia de número de fotones, con autovalor cero. Por lo tanto tenemos que ∆(Nl − Nl0 ) = 0, es decir, que aunque exista fluctuación en la detección de fotones en cada modo, la diferencia en los valores instantaneos de cada fotodetección siempre será cero. O en otras palabras, el número de fotones entre modos siempre será igual aunque estos cambien en el tiempo. 2.3. Paradoja de Einstein, Podolsky y Rosen A. Einstein descubre las extrañas propiedades de los estados no-factorizables de dos partı́culas. Más adelante, serı́a Schrödinger quien acuñarı́a el término estado entrelazado 11 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.3 para este tipo de partı́culas. Es entonces, que junto a B. Podolsky y N. Rosen que deciden publicar sus hallazgos el año 1935 en el famoso articulo comúnmente conocido como EPR [6]. En este artı́culo se concluye que la mecánica cuántica debe ser una teorı́a incompleta bajo el realismo fı́sico, es decir, que es necesario introducir más parámetros para una completa descripción de la realidad fı́sica de las partı́culas. De esta manera, serı́a posible recuperar las predicciones de la mecánica cuántica estandar mediante promedios estadı́sticos sobre estas variables escondidas. El artı́culo expone un experimento mental (o gedanken-experiment), donde se tiene una fuente de pares de partı́culas correlacionadas y juntas desde un principio. Estas partı́culas son alejadas entre si, y dejadas sin ninguna interacción entre ellas. Si la correlación entre las partı́culas es fuerte, podemos describir la relación entre sus posiciones y entre sus momenta mediante el estado entrelazado |ψEP R i = X δ(xA − xB + x0 ) |xA i |xB i (2.27) xA ,xB = X δ(pA + pB ) |xA i |xB i , pA ,pB donde A y B representan a las partı́culas en los observadores (sistemas de medición), que llamaremos Alice y Bob, respectivamente. Esta representación del estado implica que el estado existe solo si las partı́culas cumplen con la correlación xA − xB = x0 y pA + pB = 0. (2.28) En otras palabras, que las partı́culas siempre se encuentran separadas por una distancia cuyo valor es x0 , mientras que el momento total debe ser 0, como se ve en la Figura 2.2. Ahora bien, si se utilizan dichas correlaciones, Alice puede medir el momento de su partı́cula en un cierto instante, predeciendo el momentum de la partı́cula de Bob en ese mismo instante. Por otro lado, si Bob mide la posición de su partı́cula en el mismo instante anterior, entonces puede predecir la posición de la partı́cula de Alice en ese instante. De esta forma los valores de posición y momentum las partı́culas libres de interacciones parecen estar totalmente determinados sin la necesidad de medirlos directamente, sino que através de la correlación con su partı́cula hermana. Y no solo eso, sino que se ha obtenido el valor de variables que no conmutan. 12 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.3 Figura 2.2: Representación de particulas entrelazadas, correlacionadas en posición y momentum. En base a este razonamiento, Einstein postula que: Si podemos predecir con certeza el valor de una cantidad fı́sica en un sistema, sin perturbarlo de ninguna forma, entonces debe existir un elemento de realidad fı́sica asociado a esta cantidad fı́sica. La elaboración clásica de la mecanica cuántica conlleva a una Paradoja, ya que el ejemplo dado es inconsistente con el Principio de Incertidumbre de Heisenberg, que nos dice que no es posible saber la posición y momentum de una partı́cula exactamente en un mismo momento. De esta forma, la paradoja se basa en las siguientes dos alternativas excluyentes: La descripción de la realidad dada por la función de onda no es completa Dos observables conjugados no conmutables no pueden tener realidad fı́sica simultaneamente Donde A. Einstein intentó poder asignar una misma realidad fı́sica a los observables de posición y momentum, con lo que la segunda aseveración serı́a falsa, y por consiguiente, la mecánica cuántica serı́a una teorı́a incompleta. Utilizando las premisas impuestas por A. Eintein en su concepción de la realidad, podemos distinguir dos caracterı́sticas escenciales que deberı́a tener la mecánica cuántica, al igual que la clásica: Elemento de Realidad: El valor de una cantidad fı́sica debe estar de alguna forma asignado de antemano al sistema perteneciente. 13 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.3 Localidad: Toda información se transmite espacial y temporalmente por pasos continuos e infinitesimales, y no de forma instantanea a cualquier sitio. Es decir, que una medición sobre un sistema debe ser totalmente independiente de lo que ocurra en otro sistema. Lo que se resumen en el concepto de Realismo Local, que indica que las propiedades son inherente a los subsistemas, independientemente como midamos. Contrario a estas conclusiones, Niels Bohr postula que la idea de Realidad Fı́sica, fundamentada principalmente en razonamientos ligados a la Relatividad, debe replantearse ya que una observación dependiente del sistema de referencia tiene que ser análoga a ambiguedad de posición y momentum de la mecánica cuántica (situación caracterizada por el Principio de Complementariedad) [7]. El concepto de realismo local ha sido replanteado a lo largo de las décadas, cada vez alejandose más de sus raices relativistas, y todavı́a sigue en evolución. 2.3.1. Estado EPR en la Versión de Bohm La primera propuesta experimental para testear la paradoja EPR se fundamenta en el experimento propuesto por Bohm, el cual se basa en utilizar una fuente de electrones correlacionados en spin, posteriormente separadas y enviadas hacia dos observadores alejados entre si, tal que no exista ninguna interacción entre las partı́culas. Los observadores denominados Alice y Bob, cuentan con sistemas de medición en los que seleccionan direcciones perpendiculares a los ejes de transmisión de las partı́culas, las que denotamos por a y b, respectivamente. El estado entrelazado que comparten estas partı́culas es 1 |ψi = √ (|↑a i |↓b i + |↓a i |↑b i), 2 (2.29) donde ↑ se refiere al spin + 12 y ↓ al spin − 21 del par. Es decir, que el spin total debe mantener el siguiente valor Sa + Sb = 0, 14 (2.30) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.3 tal que por la preparación de los electrones, se tenga una conservación del momento angular. Llamaremos Sa al resultado de la medida de Alice del spin de la partı́cula a, y Sb al resultado de la medida de Bob del spin de la partı́cula b. En vista de lo anterior, supongamos la siguiente situación; si Alice registra un resultado Sa = |↑i = + 21 en su partı́cula, esto le permite el valor de spin Sb = |↓i = − 21 en la partı́cula de Bob. De la misma forma si, Bob encuentra registra Sb = |↓i con total seguridad puede predecir el valor Sa = |↑i en Alice. Pero no solo eso, sino que lo anterior es valido para la situación Sa = |↓i y Sb = |↑i. De lo anterior, se tiene que podemos predecir certeramente el estado individual de un partı́cula al medir el estado de su compañera, siempre y cuando compartan un estado entrelazado o fuertemente correlacionado. 2.3.2. Correlación en Pares EPR Aunque la correlación entre partı́culas se puede expresar de forma muy general, la descripción mediante polarización es una intuitiva forma de visualizarla. Polarización En el caso más simple, consideremos una onda plana monocromática de frecuencia ν y frecuencia angular ω = 2πν viajando en la dirección z de un sistema de referencia con velocidad c. En esa condición el campo eléctrico oscila en el plan x − y, y es decrito generalmente como z (z, t) = Re{Aexp[jω(t − )]}, c (2.31) donde el comportamiendo complejo A = Ax x̂ + Ay ŷ, (2.32) es un vector con componentes complejas Ax y Ay [8]. Para describir la polarización de esta onda, se debe mirar cada posición en el vector (z, t) como un punto en función del tiempo. 15 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.3 Polarización Elı́ptica: Expresando Ax y Ay en términos de sus magnitudes y fases, Ax = ax exp(jϕx ) y Ay = ay exp(jϕy ) y sustituyendo en el campo eléctrico, se obtiene (z, t) = x x̂ + y ŷ, (2.33) donde z x = ax exp[ω(t − ) + ϕx ] c z x = ax exp[ω(t − ) + ϕx ] c (2.34) son los componentes x y y del campo eléctrico (z, t). Los componentes x y y son funciones periódicas de t − zc que oscilan a una frecuencia ν. Lo anterior corresponde a las ecuaciones paramétricas de una elipse. 2y 2x x y + − 2cosϕ = sen2 ϕ, 2 2 ax ay ax ay (2.35) donde ϕ = ϕy − ϕx es la diferencia de fase. A una posición z fija, el vector de campo eléctrico rota periódicamente en el eje x − y, trazando una elipse. A un tiempo fijo, el barrido espacial del vector de campo eléctrico genera una superficie elı́ptica cilı́ndrica. Polarización Lineal: Si uno de los componentes a desaparece (digamos que ax ), la luz se vuelve linealmente polarizada en la dirección de la otra componente (dirección y). La polarización también es linealmente polarizada si ϕ = 0 o ϕ = π, ya que en tal condición se obtiene y = ± ay x , ax lo que corresponde a la ecuación de una linea recta con pendiente (2.36) ay . ax En este caso, el eje de oscilación del campo eléctrico es fijo, y pasa de ser un cilindro elipsoidal a un plano, que visto desde el eje z corresponde a la linea recta antes mencionada. Polarización Circular Lineal: Si ϕ = ± π2 y ax = ay = a0 se obtiene x = a0 cos[ω(t − z ) c + ϕx ] y y = ∓a0 cos[ω(t − zc ) + ϕx ], lo que lleva a 2x + 2y = a20 . 16 (2.37) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.3 Ecuación que corresponde a la forma de un circulo. En este regimen, la el vector de campo eléctrico barre un cilindro con corte transversal circular. Tanto de la polarización cicular como de la elı́ptica, se pueden obtener dos sentidos de giro (horario o antihorario). En la práctica, una onda polarizada puede modificarse entre estos tres tipos de polarización, ya que solo se necesita retrasar ciertos componentes del vector respecto a otros, lo que se traduce en cambios de fase. Medición de la Polarización de un Solo Fotón Consideremos dos modos l y l0 del campo electromagnético caracterizados por el mismo vector de onda k (por lo tanto de una misma frecuencia) paralelo al eje OZ, pero con polarizaciones y 0 a lo largo de los ejes OX y OY del plano perpendicular, respectivamente [3]. Estos dos modos generan el espacio Ek de los estados de un fotón con vector de onda k, definidos por la base {|xi ; |yi}. Dicha base {|xi ; |yi} esta asociada con un observable, esto es, la polarización relativa a la dirección OX, la cual puede ser medida usando un dispositivo analizador de polarización. Este dispositivo tiene dos compuertas de salida llamadas +1 y −1, tales que fotones en el estado |xi de llegan siempre al puerto +1, mientras que los fotones en el estado |yi llegan siempre al puerto −1. Para describir este tipo de medición, introducimos el observable Â(0) el cual tiene como autovectores a |xi y |yi, con autovalores +1 y −1, respectivamente. Es ası́ como el operador correspondiente a la base {|xi ; |yi}.   +1 0 . Â(0) =  0 −1 (2.38) El dispositivo analizador puede rotar alrededor del eje OZ, y su orientación se indica por un vector unitario u, o mediante el ángulo θ = (Ox, u) entre u y OX. Una medición de la polarización en la orientación especificada por el ángulo θ, es asociada con polarizaciones lineales a lo largo de θ o θ + π2 . Para continuar utilicemos el hecho que los autovectores del observable Â(θ) son obtenidos 17 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.3 por rotación del observable Â(0), es decir |+θ i = cosθ |xi + senθ |yi (2.39) |−θ i = −senθ |xi + cosθ |yi . De esta forma el observable Â(θ) se puede expresar relativamente a la base {|xi , |yi} como Â(θ) = |+θ i h+θ | − |−θ i h−θ | (2.40) = cos2 θ |xi hx| + senθcosθ |xi hy| + senθcosθ |yi hx| + sen2 θ |yi hy| −sen2 θ |xi hx| + senθcosθ |xi hy| + senθcosθ |yi hx| − cos2 θ |yi hy| = cos2θ |xi hx| + sen2θ |xi hy| + sen2θ |yi hx| − cos2 θ |yi hy|   cos2θ sen2θ . =  sen2θ −cos2θ Lo que implica que Â |±θ i = ± |±θ i. Ahora, si consideramos un fotón incidente linealmente polarizado a lo largo de una dirección formando un ángulo λ respecto OX, su estado puede ser escrito como |ψi = |+λ i = cosλ |xi + senλ |yi . (2.41) De esta forma, una medición hecha por el analizador orientado en la dirección θ dará como resultado +1 o −1 con probabilidades P+ (θ, λ) = | h+θ |+λ i |2 = cos2 (θ − λ) (2.42) P− (θ, λ) = | h−θ |+λ i |2 = sen2 (θ − λ), Donde estas ecuaciones expresan en términos de probabilidad y para un fotón el resultado clásico de las intensidades transmitidas por los puertos +1 y −1 del polarizador para un haz incidente polarizado en la dirección especificada por λ. Consideremos ahora un par de fotones con frecuencias ω1 y ω2 , respectivamente, emitidos simultaneamente hacia los ejes −OZ y OZ de un mismo sistema coordenado, respectivamente. El único grado de libertad no especificado es la polarización de cada fotón. El estado de polarización del par es descrito por un ket en el espacio = 1 ⊗ 2 , 18 (2.43) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.3 el cual es el producto tensorial de los dos espacios bidimensionales 1 y 2 que describen la polarización de los fotones ν1 y ν2 , respectivamente. Por lo que el espacio es 4-dimensional. Una base para este espacio serán los cuatro siguientes estados: = {|x1 , x2 i ; |x1 , y2 i ; |y1 , x2 i ; |y1 , y2 i}. (2.44) Con lo que las propiedades de polarización del par serán descritas por un vector |ψi en este espacio. Utilizando dos polarizadores, I y II, orientados en las direcciones elegidas a y b, haciendo ángulos θa y θb con el eje Ox, las mediciones de polarización sobre cada fotón pueden llevarse a cabo. Una medición conjunta en dos fotones del mismo par puede llevar uno de los cuatro resultados (+1,+1),(+1,-1),(-1,+1),(-1,-1). Las probabilidades correspondientes serán P+1,+1 (a, b) = | h+1a , +1b |ψi |2 (2.45) P+1,−1 (a, b) = | h+1a , −1b |ψi |2 P−1,+1 (a, b) = | h−1a , +1b |ψi |2 P−1,−1 (a, b) = | h−1a , −1b |ψi |2 . Podemos también obtener las probabilidades para mediciones en un fotón. Estas se relacionan con las probabilidades conjuntas de la siguiente forma: P+1 (a) = P+1,+1 (a, b) + P+1,−1 (a, b) = | h+a , +1b |ψi |2 + | h+1a , −1b |ψi |2 (2.46) P−1 (a) = P−1,+1 (a, b) + P−1,−1 (a, b) = | h+a , −1b |ψi |2 + | h−1a , −1b |ψi |2 P+1 (b) = P+1,+1 (a, b) + P−1,+1 (a, b) = | h+a , +1b |ψi |2 + | h−1a , +1b |ψi |2 P−1 (b) = P+1,−1 (a, b) + P−1,−1 (a, b) = | h+a , −1b |ψi |2 + | h−1a , −1b |ψi |2 . Correlación en Pares EPR Una ves comprendido el proceso de medición de fotones, generalicemos lo visto a un proceso que no involucre el concepto de polarización. Consideremos un par de fotones entrelazados y representados por el siguiente estado: 1 |ψEP R i = √ (|Ai |Bi + eiφa,b |A0 i |B 0 i). 2 19 (2.47) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.3 Este estado no puede factorizarse en un producto tensorial de dos términos, uno asociado a cada fotón, lo que es muy diferente a los estados |Ai |Bi y |A0 i |B 0 i por separado, en los que rápidamente se ve el caracter factorizable. Calculemos las probabilidades de deteccion conjuntas esperadas para el estado |ψEP R i, cuando los sistemas de medición I y II seleccionan fijan su selección a y b, respectivamente. Podemos hacer uso las probabilidades calculadas anteriormente, tales que los resultados A(a) = ±1 y B(b) = ±1 de cada fotón sigan siendo excluyentes +1 y −1, y las probabilidades de obtención sean 1 2 1 P [B(b) = +1] = P [B(b) = −1] = . 2 P [A(a) = +1] = P [A(a) = −1] = (2.48) (2.49) Además se tiene que bajo prediccı́ones cuánticas, las probabilidades de resultados conjuntos deben ser 1 P+1,+1 (a, b) = P−1,−1 (a, b) = cos2 (a, b) 2 1 P+1,−1 (a, b) = P−1,+1 (a, b) = sen2 (a, b). 2 (2.50) (2.51) Estas probabilidades dependen exclusivamente de la variable conjunta (a, b) entre los sistemas de medición y no de sus variables individuales absolutas. Para complementar, hay que tener claro que las probabilidades independientes de detección simple ±1, para para los dos fotones en la forma expandida deben ser 1 2 1 P−1 (a) = P−1,+1 (a, b) + P−1,−1 (a, b) = 2 1 P+1 (b) = P+1,+1 (a, b) + P−1,+1 (a, b) = 2 1 P−1 (b) = P+1,−1 (a, b) + P−1,−1 (a, b) = . 2 P+1 (a) = P+1,+1 (a, b) + P+1,−1 (a, b) = (2.52) De esta forma tenemos un comportamiento perfectamente aleatorio, y el promedio estadı́stico de los resultados (denotado por una barra sobre el simbolo) de A(a) es A(a) = 0. 20 (2.53) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.3 Igualmente, el resultados de una medición en analizador II del fotón 2 seleccionando b, es una variable aleatoria B, que puede solo asumir los valores excluyentes +1 y −1, y tiene promedio cero, es decir B(b) = 0. (2.54) Entonces, en el estado EPR, cada fotón tomado separadamente parece tener un modo aleatorio. Sin embargo, debemos ver que los modos de los dos fotones 1 y 2 estan de hecho correlacionados. Para hacer esto, consideramos el coeficiente de correlación entre las variables aleatorias A(a) y B(b), definido por E(a, b) = A(a) · B(b) − A(a) · B(b) 1 1 (|A(a)|2 ) 2 · (|B(b)|2 ) 2 , (2.55) donde el resultado conjunto promedio de una medición será A(a) · B(b) = P−1,−1 (a, b) + P+1,+1 (a, b) − P+1,−1 (a, b) − P−1,+1 (a, b) (2.56) = cos2(a, b). Ahora, tomando en cuenta los promedios estadı́sticos anteriores, y el hecho que A(a)2 = B(b)2 = 1, (2.57) encontramos que la mecánica cuántica predice el siguiente coeficiente de correlación para los modos del estado EPR EQM (a, b) = A(a) · B(b) = cos2(a, b) (2.58) Si la variable compartida entre los analizadores I y II es seleccionada como φa,b = 0, el coeficiente de correlación predicho por la mecánica cuántica vale uno. En otras palabras, tenemos perfecta correlación. Además, si establecemos que la variable conjunta permite escribir cos2(a, b) = cos2(φa − φb ), (2.59) en b = a se obtienen nuevamente una máxima correlación. Esta correlación perfecta puede verse directamente al considerar el valor de las probabilidades conjuntas. Por ejemplo, 21 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.4 tenemos que P+1,+1 (a, a) = 12 . Y recordando que P+1 (a) = 12 , podemos deducir que la probabilidad condicional de encontrar +1 para el fotón 1 en la selección b = a, habiendo encontrado +1 para el fotón 1 en la dirección a, es solo P [B(a) = +1 y A(a) = +1] P [A(a) = +1] P+1,+1 (a, a) = 1. = P+1 P [B(a) = +1|A(a) = +1] = (2.60) Por lo tanto podemos tener certeza que encontraremos al fotón 2 en +1 si encontramos al fotón 2 en +1, cuando los analizadores tiene la misma selección. Igualmente se puede demostrar que si encontramos al fotón 1 en −1, entonces encontraremos al fotón 2 en la salida −1. Esta perfecta correlación es confirmada por el hecho que P+1,−1 (a, a) = P−1,+1 (a, a) = 0, es decir, si encontramos al fotón 1 en +1, nunca encontraremos al fotón 2 en −1, y vice versa. En los siguientes capı́tulos veremos que es posible construir un valor denotado por S = S(a, a0 , b, b0 ), y que limita a todo sistema de medición dicotómico bipartito. . Llamaremos valores crı́ticos a0 , a00 , b0 y b00 a aquellos valores en ambos sistemas de medición, que nos den el mayor valor de S, el que para mecánica cuántica será √ SM C (a0 , a00 , b0 , b00 ) = 2 2 2.4. 2.4.1. (2.61) Variables Ocultas Locales Problema de Completitud Debido a las diferencias que presenta un modelo clásico, surge una pregunta respecto a la mecánica cuántica, la cual se reduce a ¿La Mecánica Cuántica es una teorı́a fı́sica completa?, ó ¿la mecánica cuántica entrega una descripción exhaustiva de los fenómenos fı́sicos? Para plantear de forma más concreta este problema, veamos las tres motivaciones que John Bell [9]describe como Debe haber una representación válida del mundo, no una dicotomı́a entre las teorı́as 22 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.4 clásica y cuántica. Por lo tanto existe la posibilidad de homogeneidad en la visión del mundo. Debe haber una manera de deshacerse de los elementos estadı́sticos del mundo de la cuántica, para poder dar forma al realismo y determinismo en el reino de la fı́sica microscópica. Deben existir ciertas variables, ocultas o no, no especificadas por la mecánica cuántica, que actúen de forma dinámica y bajo alguna ley de conservación, tales que al medir el resultado de un sistema, podamos predecir el resultado de otro sistema alejado, pero sin recurrir a una acción intantanea a distancia [10]. Veamos la lógica en cuestión. La paradoja EPR puede expresarse simbólicamente como QMPredicción =⇒ ¬(LR ∧ CQM ), (2.62) donde QM representa a la Mecánica Cuántica, LR al Realismo Local y CQM a la completitud de la mecánica cuántica. Es decir, que las predicciones cuánticas no toleran la posibilidad de Realismo Local y una teorı́a completa de la Mecánica Cuántica. Por otro lado, los estudios de Bell reducen aun más la expresion, tal que QMPredicción =⇒ ¬LR. (2.63) Lo que veremos más adelante, y cuyo significado aparece naturalmente del Teorema de Bell. 2.4.2. Notacion Básica y Formalismo de Teorı́as de Variable Oculta En esta sección se muestra el formalismo de las teorı́as de variables ocultas (Teorı́as-HV) [1], como son usadas para para resolver el problema de completitud de la mecánica cuántica. Espacio de Estados: Λ, es el lugar donde se representa mediante puntos a los estados puros denotados por variables ocultas λ. La forma exacta no se especifica y no debe restringirse tampoco. 23 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.4 Estados: Una suposición básica es aquella en la que asumimos que el sistema siempre se encontrará en uno de los estados puros λ ∈ Λ, incluso aunque el estado exacto sea desconocido. Por lo tanto suponemos que la variable estado λ determina todas las posibles mediciones. De ahı́ que un estado mixto general tenga una distribución de probabilidad µ(λ) en el espacio Λ de las variables ocultas λ. Es decir, que la probabilidad de encontrar al estado, barriendo todos los posibles valores de la variable oculta vale 1. Z µ(λ)dλ = 1. (2.64) Λ Cantidades Fı́sicas: Para cada λ dado todo observable fı́sico A tendrá un valor preciso denotado por A[λ], el cual será revelado al realizar una medición. Por lo tanto cualquier cantidad fı́sica A puede ser representada por una función de valor real en el espacio Λ de la siguiente forma: A : Λ → R. Se asume que los valores de A[λ] son idénticos a los valores encontrados cuando medimos A. Criterio Cuántico (mediciones ortodoxas): Consiste en que cada cantidad fı́sica representada por la mecánica cuántica de tener una contraparte en la Teorı́a-HV. Esto significa que el conjunto de valores de la función de valores reales A tiene que ser idéntico al espectro completo del operador Â el cual corresponde en mecánica cuántica al observable A. Por lo tanto el valor de espectación de A cuando el sistema esta en el estado µρ (λ), que de acuerdo a la teorı́a-HV corresponde a un estado cuántico ρ debe ser idéntico a la predicción cuántica de este valor de espectación: Z HV Eµρ (A) := A(λ)µρ (λ)dλ = T r[Âρ]. (2.65) Λ Si la Teorı́a-HV elegida utiliza este último criterio entonces todas las posibles probabilidades de la mecánica cuántica del formalismo ortodoxo (las cuales están todas dadas por T r[P ρ] con P en el conjunto de operadores de proyección P) pueden ser representadas por probabilidades-HV simplemente siguiendo las instrucciones de la ecuacion anterior. Más adelante veremos que al considerar este tipo de representación requerimos de ciertas restricciones, como lo es la localidad, por lo que este tipo de teorı́as pasan a llamarse Teorı́as de Variables Ocultas Locales (LHV). 24 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.4 Nota: En esta sección los operadores autoadjuntos que actuan en H son denotados por Â mientras que las funciones de valor positivo en Λ son denotadas por A. 2.4.3. Completitud y un Modelo de Juguete Supongamos que se elige un espacio Λ de variables ocultas suficientemente grande como para poder reproducir todos los posibles resultados y predicciones cuánticas para un sistema [1]. Supongamos también que tenemos una colección de posibles resultados {ai }, {bj }, . . . para medir un conjunto de cantidades A, B, . . . de un cierto sistema en el estado cuántico ρ. Cada resultado ai del posible conjunto de resultados medidos de la cantidad A (del espectro de observable Â) esta dado por una variable oculta independiente λai . El espacio de variables ocultas Λ ⊂ R ahora consiste en todos los puntos λai . En el caso de dos observadores, los resultados ai y bj después de medir las cantidades A y B en el mismo sistema vienen dadas por la variables ocultas λai ,bj , tales que A[λai ,bj ] = ai y B[λai ,bj ] = bj . De esta forma cada posible combinación de resultados esta asociado a un valor único de variables ocultas, puntos que constituyen el nuevo espacio Λ. Este modelo entonces por lo tanto pasa a necesitar una medida de probabilidad µ(λ) normalizada por X µ(λai ,bj ,... ) = 1. (2.66) ai ,bj ,... En este modelo de juguete, una medida correspondiente al estado ρ, es la medida trivial µρ (λai ,bj ,... ) := T r[Pai ρ]T r[Pbj ρ]T r[. . .], (2.67) donde Pai es el operador de proyección para el autovalor ai del operador Â, etc. Este medida reproduce todas las probabilidades de la mecánica cuántica (tales como T r[P ρ] con P ∈ P) y valores de expectación (como T r[Âρ]). Por ejemplo, el valor de expectación del observable A en el modelo la Teorı́a de Variables Ocultas (HV) está dado por Z X HV Eµρ = A[λ]µρ (λ)dλ = A[λai ,bj ,... ]µρ (λai ,bj ,... ) Λ = X i,j,... ai T r[Pai ρ], i lo que de hecho esta de acuerdo con las predicciones de la mecánica cuántica. 25 (2.68) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.4 De lo anterior podemos concluir que se debe un número infinito de variables ocultas para describir completamente el sistema mediante una Teorı́a-HV. Y no solo eso, sino que podemos encontrar tambien resultado que pueden no tener sentido fı́sico, por lo que es necesario restringir el modelo anterior. 2.4.4. Completitud y Modelo Fı́sico Aceptable Como respuesta negativa a la completitud de la mecánica cuántica, el Teorema de Von Neumann demostró preliminarmente que al mantener ciertas relaciones algebraicas de la mecánica cuántica en una teorı́a HV [1]. El proceso conlleva a que no existe una Teorı́a-HV que satisfaga el Criterio-Cuántico, tal que pueda también satisfacer estas relaciones. Von Neumann se basa en que todos los valores de expectación deben ser de caracter lineal, y que para todos los posibles estados ρ debe cumplirse T r[(αÂ + β B̂)ρ] = T r[αÂ] + T r[β B̂ρ], (2.69) pero además añade que esto es válido también para todos los estados de variables ocultas, es decir para λ ∈ Λ (αA + βB)[λ] = αA[λ] + βB[λ], (2.70) lo que en general puede no ocurrir. Por ejemplo, los operadores σy y σx actuando sobre una partı́cula de spin 12 , cuyos autovalores para cada operador son ±1. Mientras que para el √ operador σz + σx actuando sobre la misma partı́cula, los autovalores son ± 2. Por lo que Bell argumenta que este último razonamiento propuesto por Von Neumann no es razonable, dejando la pregunta de completitud nuevamente abierta. Ahora, para comprender mejor el marco en el cual se centra la pregunta de esta sección debemos conocer un teorema que limita a los modelos de variables ocultas deterministas. 26 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.4 Teorema de Kochen-Specker Ninguna asignación de valores (en base a un Teorı́a-HV) puede existir para sistemas con un espacio de Hilbert de dimensión mayor que N > 2, tal que sea capaz de reproducir la Regla Funcional f (A)[λ] = f (A[λ]), (2.71) donde B[λ] = f (A[λ]). Es decir, que no existe una Teorı́a-HV que reproduzca un comportamiento cuantico para sistemas con espacio de Hilbert mayor que N > 2. 2.4.5. Contextualidad Contextualidad se entiende como la forma en la cual interviene el ambiente sobre un sistema, o en como un observador extrae resultados midiendo el sistema. Si los resultados de medir un sistema con variables fijas y determinadas, dependen de como se realice la medida, entonces los resultados cambian de acuerdo al contexto. La Mecánica Cuántica es una teorı́a contextual pues los resultados o estados no estan determinados hasta el momento de medir, proceso que corresponde a imponer un contexto en el colapso de las funciones de onda. Apliquemos algo de esta idea al modelo de juguete. Primero veamos que en la Teorı́a-HV de Juguete el conjunto de variables ocultas en realidad son la colección de datos medidos actual y posible. De esta forma tenemos que las variables ocultas λai ,bj ,... dependen de los resultados ai , bj , . . ., y por lo tanto de los dispositivos de medición (los cuales vienen representados por A, B, . . .). Es este hecho el que nos lleva a una Teoria de Variable Ocultas Contextuales; en la cual las variables ocultas dependen del contexto experimental especı́fico (tales como los observables particulares y los resultados de medida), y no solo de la especificación del estado del sistema a medir. Sin embargo esta suerte de contextual es por mucho llamativa, ya que su forma extrema (es decir, la dependencia de las variables ocultas respectoa alos resultados mismos) implica que la teorı́a no tiene una gran poder predictivo; todas las mediciones futuras no especificadas serán ocultas y no se les podrá dar ninguna predicción. Bell entendió la importancia de considerar alguna clase relación contextual presente en una adecuada Teorı́a-HV, por lo que logró mostrar que todas las Teorı́as-HV que obedezcan 27 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.5 los criterios de la Mecánica Cuántica deben ser de caracter no local (o contextual, ya que no-localidad es una condición suficiente para la condición de contextualidad). Con un mejor entedimiento de la mecánica cuántica y la localidad, se concluyo que los modelos deterministas de variable oculta no son posibles. Además, que las Teorı́as-HV, también llamadas clásicas o locales realistas no pueden estar de acuerdo con la meánica cuántica. 2.5. Teorema de Bell El teorema de Bell [12] expresa en forma compacta que: Ninguna teorı́a determinista y local puede reproducir todos los resultados de la Mecánica Cuántica. Se fundamenta en dos hipótesis: Determinismo: Para especificar el valor de todos los observables se necesita información suplementaria a la contenida por la función de estado ψ. Supongamos que λ representa el conjunto de variables ocultas necesario para especificar el estado de forma completa. Estas variables pueden ser una o muchas, con valores en forma continua y discreta. Consideremos un ensemble de pares de partı́culas preparadas en estados que son completamente especificados por un valor λ ∈ Λ. La única restricción sobre el espacio de estados Λ es que se pueda definir una función de distribución ρ(λ) en el modo usual: dp = p(λ)dλ es la probabilidad de que el estado este en el intervalo [λ, λ + dλ]. La densidad de estados ρ tiene la normalización Z Z ρ(λ)dλ = dρ = 1. Λ (2.72) Λ En este ensemble, el valor medio E(X), de un observable X se obtiene en la forma usual Z E(X) = X(λ)ρ(λ)dλ, (2.73) Λ promediando sobre estados, es decir, sobre los posibles valores de la variable oculta λ que describe cada par de partı́culas emitido por la fuente. El resultado de la medida 28 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.5 depende de la orientación del analizador y de la variable λ. Tomando ~ 2 como unidad de spin, los posibles resultados de las medidas de Alice y Bob son A(a; λ) = ±1, B(b; λ) = ±1 (2.74) Figura 2.3: Esquema general de una medición de correlación de Bell. Sobre partı́culas enviadas hacia los sistemas Alice y Bob. En este esquema de medición de Bell descrito en la Figura 2.3, podemos apreciar todos los elementos básicos, como lo son el canal cuántico de transmisión, los sistemas de medición y el punto de analisis de eventos. Localidad: El producto de ambos observables (necesario para calcular E(AB)) dependerá en general del estado del par y de las orientaciones de ambos aparatos de medida, AB = [AB](a, b; λ). La hipótesis de localidad asumida por Bell, en que el resultado B de la partı́cula 2 es independiente de la elección a, y que el resultado A de la partı́cula 1 es independiente de la elección b, lo que implica que la dependencia de AB es de la forma [AB](a, b; λ) = A(a; λ)B(b; λ). (2.75) En otras palabras el resultado de la medida de Bob, B(b; λ), depende exclusivamente de λ y de la orientación de su analizador, y no de la orientación del analizador de Alice. Esto implica que la correlación entre ambas medidas de spin, es decir, el valor medio del observable conjunto AB, corresponde a Z E(a, b) = A(a, λ)B(b; λ)ρ(λ)dλ. Λ 29 (2.76) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.6 Como Bell mismo observó, no hay nada que prohiba alguna clase de interacción desconocida entre los componentes de medición que permita la influenciar las posiciones de fase entre Alice y Bob [3]. Pero Bell también remarcó que, si un experimento puede realizarse, en el cual las posiciones de los selectores de fase se cambian tan rápido como la propagación de los fotones entre la fuente y los selectores de fase, entonces la causalidad relativista de Einstein puede dar lugar a una prohibición de tal interacción. De hecho, como ninguna interacción puede propagarse más rápido que la luz, la información referente a la posición de fase II en el instante de la medición no podrı́a llegar al selector de fase I a tiempo para influenciar la medición. Es más obvio que, en este tipo de experimentos, el estado inicial de los fotones al momento de su preparación en la fuente no puede depender de la selección de fase que no han adoptado aún, pero si en el instante de medición. En tal configuración, la condiciión de localidad ya no es una nueva hipótesis, sino que se convierte en una consecuencia de la causalidad relativista de Einstein. 2.6. 2.6.1. Desigualdades de Bell Desigualdad Original Se vuelve necesario especificar una forma concreta de correlación entre el par de partı́culas. Supongamos que Alice orienta su aparato de medida en la dirección fija a, mientras que bob puede optar por dos direcciónes alternativas b o b0 . Podemos fabricar la desigualdad Z 0 0 |E(a, b) − E(a, b )| = [A(a; λ)B(b; λ) − A(a; λ)B(b ; λ)]ρ(λ)dλ (2.77) Λ Z ≤ |A(a; λ)B(b; λ)|[1 − B(a; λ)A(b0 ; λ)]ρ(λ)dλ {z } Λ| 1 Z Z = ρ(λ)dλ − B(b; λ)B(b0 ; λ)ρ(λ)dλ Λ Λ Pero si suponemos que el par se prepara en un estado singlete, en el cual las componentes de spin (en cualquier dirección espacial estan perfectamente anti-correlacionadas, veremos que A(b) + B(b) = 0, 30 (2.78) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.6 es decir, que a partir del resultado de la medida de Alice se puede predecir el resultado de la medida de Bob en la misma dirección espacial. De lo anterior podemos escribir la siguiente desigualdad: Z 0 |E(a, b) − E(a, b )| ≤ 1 + A(b; λ)B(b0 ; λ)ρ(λ)dλ. (2.79) Λ Por lo tanto |E(a, b) − E(a, b0 )| ≤ 1 + E(b, b0 ), (2.80) lo que reordenado se expresa como |E(a, b) − E(a, b0 ) − E(b, b0 )| ≤ 1. (2.81) Expresión reconocida como la primera desigualdad propuesta por Bell. 2.6.2. Desigualdad de Bell CHSH Clauser, Horne, Shimony y Holt realizan tres consideraciones significativos para la realización experimental de la paradoja EPR [13], [14]. Mantienen las suposiciones básicas de i) determinismo y ii) localidad, pero no asumen la correlación perfecta. Consideremos la diferencia de correlaciones Z 0 E(a, b) − E(a, b ) = [A(a; λ)B(b0 ; λ) − A(a; λ)B(b0 ; λ)]ρ(λ)dλ. (2.82) Λ Se añade un cero aditivo, que en notación compacta A(a; λ) = Aa es Aa = Aa Bb ± Aa Bb Aa0 Bb0 − Aa Bb0 ∓ Aa Bb Aa0 Bb0 (2.83) = Aa Bb [1 ± Aa0 Bb0 ] − Aa Bb0 [1 ± Aa0 Bb ]. De esta forma, por |AB| ≤ 1 =⇒ 1 ± AB ≥ 0 escribimos Z 0 |E(a, b) − E(a, b )| ≤ |A(a; λ)B(b; λ)|[1 ± A(a0 ; λ)B(b0 ; λ)]ρ(λ)dλ ΛZ + |A(a; λ)B(b0 ; λ)|[1 ± A(a0 ; λ)B(b; λ)]ρ(λ)dλ, (2.84) Λ 0 |E(a, b) − E(a, b )| ≤ Z [1 ± A(a0 ; λ)B(b0 ; λ)]ρ(λ)dλ ΛZ + [1 ± A(a0 ; λ)B(b; λ)]ρ(λ)dλ. Λ 31 (2.85) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.6 De lo anterior, solo queda escribir |E(a, b) − E(a, b0 )| ≤ 2 ± E(a0 , b) − E(a0 , b0 ) (2.86) ≤ 2 − |E(a0 , b) − E(a0 , b0 )| Relación que al reordenarla implica directamente |S| = |E(a, b) − E(a, b0 )| + |E(a0 , b) + E(a0 , b0 )| (2.87) ≤ |E(a, b) − E(a, b0 ) + E(a0 , b) + E(a0 , b0 )| ≤ 2 Expresión conocida como Desigualdad de Bell CHSH. El procedimiento anterior es válido, ya que en su trasfondo utiliza una idea muy sutil pero válida, suponer que existen dos dominios de integración para las variables ocultas. En estos dominios los resultados de medir estarán relacionados por Λ± = {λ/A(a0 ; λ) = ±B(b; λ)} , (2.88) lo que permite trabajar de igual forma mediate modificación de los tramos de integración Z Z Z 0 0 B(b; λ)B(b ; λ)ρ(λ)dλ = B(b; λ)B(b ; λ)ρ(λ)dλ + B(b; λ)B(b0 ; λ)ρ(λ)dλ Λ ZΛ− ZΛ+ A(a0 ; λ)A(b0 ; λ)ρ(λ)dλ. A(a0 ; λ)B(b0 ; λ)ρ(λ)dλ − = Λ− Λ+ Pero Z 0 Z 0 A(a ; λ)B(b ; λ)ρ(λ)dλ = Λ+ A(a0 ; λ)B(b0 ; λ)ρ(λ)dλ Λ Z − A(a0 ; λ)B(b0 ; λ)ρ(λ)dλ, (2.89) Λ− Z =⇒ 0 0 Z A(a0 ; λ)B(b0 ; λ)ρ(λ)dλ (2.90) Λ Z −2 A(a0 ; λ)B(b0 ; λ)ρ(λ)dλ Λ− Z 0 0 = E(a , b ) − 2 A(a0 ; λ)B(b0 ; λ)ρ(λ)dλ ZΛ− 0 0 0 0 ≤ E(a , b ) − 2 A(a ; λ)B(b ; λ)ρ(λ)dλ , B(a ; λ)B(b ; λ)ρ(λ)dλ = Λ Λ− 32 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.6 donde se tiene que Z Z 0 0 |A(a ; λ)B(b ; λ)| ρ(λ)dλ ≥ 2 2 Λ− ρ(λ)dλ = 1 − E(a0 , b), (2.91) Λ− Z =⇒ B(a0 ; λ)B(b0 ; λ)ρ(λ)dλ ≥ E(a0 , b0 ) + E(a0 , b) − 1. (2.92) Λ Luego obtenemos que |E(a, b) − E(a, b0 )| ≤ 2 − E(a0 , b) − E(a0 , b0 ), (2.93) donde se cumple que |E(a, b) − E(a, b0 )| ≥ E(a, b) − E(a, b0 ). (2.94) De esta forma, utilizando estas dos últimas ecuaciones, se obtiene |E(a, b) − E(a, b0 ) + E(a0 , b) + E(a0 , b0 )| ≤ E(a, b) − E(a, b0 ) + E(a0 , b) + E(a0 , b0 ) (2.95) ≤ |E(a, b) − E(a, b0 )| + E(a0 , b) + P (a0 , b0 ) ≤ 2. Lo que nos devuelve a la desigualdad de Bell CHSH. Cuyo resultado es alcanzable si podemos describir estados EPR mediante variables ocultas [15]. 2.6.3. Segunda Desigualdad de Bell En esta sección mostraremos de forma superficial otra expresión derivada del Teorema de Bell principal y propuesta en 1971 [12], la cual tienen por finalidad encontrar la mejor forma de testear experimentalmente sistemas probabilisticos deterministas. Si se toma en cuenta que el estado de los aparatos de medida podrı́a influenciar las correlaciones, este se incluye en la descripción del sistema mediante variables ocultas. Esto implica que el valor medio, tomado sobre las variables λ de las partı́culas, se redefine en términos de Ā, B̄, las observaciones promediadas en los grados de libertad ocultos de los instrumentos. Estas variables Ā, B̄ ya no son binarias, sino que cumplirán −1 ≤ Ā ≤ 1 y −1 ≤ B̄ ≤ 1. 33 (2.96) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.7 Fuera de estos cambios el resto de los cálculos será análogo al caso CHSH. Al igual que lo visto anteriormente existen otras desigualdades, más o menos restrictivas en términos de representatividad de los sistemas fı́sicos, y solo algunas son prácticas a la hora de evaluarlas por medio de un experimento. Es una generalización del forma original, pero para completarse, basta mostrar que en algún caso las correlaciones cuánticas violan la desigualdad. Se puede comprobar que en este modelo la correlación cuántica es EM C (a, b) = cos θab . Supongamos que las direcciones de Alice â, â0 y las de Bob b̂, b̂0 son coplanares y ortogonales entre si y que el sistema de Bob esta rotado un ángulo φ ∈ [0, 2π] en relación al de Alice. En este caso la predicción cuántica para el parámetro de Bell será SM C (φ) = cos(3φ) − 3 cos(φ). (2.97) Habrá una amplia gama de valores de φ ∈ [0, 2π] que resultan en |S| > 2, pero los ángulos para los cuales la violación de la desigualdad correspondiente es máxima, son √ φ = 45◦ , 315◦ =⇒ S = −2 2 < −2 √ φ = 135◦ , 225◦ =⇒ S = −2 > 2 > 2 (2.98) La segunda desigualdad de Bell, es una generalización importante con respecto a la primera, ya que se aplica a toda teorı́a realista local. Se ha abandonado la exigencia de una correlación perfecta, se aparta del determinismo y se da un paso en dirección al laboratorio, incluyendo la posibilidad de una falla del detector (conteo nulo). Sin embargo, su verificación directa requiere un esquema de detección de dos canales que, como ya mencionamos, no se realizó hasta 1982. 2.7. Violación de las Desigualdades A partir de la desigualdad CHSH fué posible el evaluar experimentalmente la estadı́stica presente en la mecánica cuántica. Pero los resultados fueron abrumadores, todo experimento controlado bajo los términos de la mecánica cuántica violaban esta desigualdad [16], [17], en especial con sistemas de distribución de fotones en fibras largas [18]. 34 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.7 Como lo vimos anteriormente el testeo de las desigualdades se realiza manipulando en las Bases de medición a y b en dos observadores Alice y Bob. Los resultados almacenados A y B son posteriormente procesados para verificar ciertas condiciones de filtraje de datos y ası́ evaluar una desigualdad de Bell con los restantes. Intrépidas investigaciones han planteado violar las desigualdades siguiendo estrı́ctamente las condiciones de localidad de Einstein [19], mientras que otros han buscado probar la no existencia de variables ocultas que pudieran existir en lo profundo de la mecánica cuántica [20]. 2.7.1. Violación de Desigualdad CHSH Original Para completar el teorema de Bell resta mostrar como se comporta la mecánica cuántica frente a la desigualdad de Bell. Veamos que ocurre en el caso de la desiguadad de Bell original. PM C (â, b̂) = hψ| Sa ⊗ Sb |ψi = −â · b̂ = − cos θab (2.99) Esta correlación cuántica depende solo de las orientación relativa θab = |θa − θb | de ambos analizadores. Eligiendo tres orientaciones a, b, b0 coplanares, formando ángulos entre si de π/3, se obtienen las correlaciones EM C (a, b) = EM C (b, b0 ) = − 1 y EM C (a, b0 ) = 1. 2 (2.100) 3 >1 2 (2.101) =⇒ |EM C (a, b) − EM C (a, b0 )| − EM C (b, b0 ) = Violando la desigualdad de Bell original, lo que puede extenderse a las demás desigualdades vistas anteriormente, incluso para aquellas no mostradas en este documento [14]. Es decir, que la Mecanica cuántica viola este método de evaluación de determinismo y localidad. 2.7.2. Violación de la Desigualdad CHSH Estandar Si utilizamos el resultado anterior para un coeficiente de correlación EQM (a, b) = A(a) · B(b) = cos2(a, b). 35 (2.102) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.8 Dicho resultado lo podemos extender a los demás coeficientes de correlación, con lo que obtenemos el factor de Bell √ SQM (a, b, a0 , b0 ) = cos2(a, b) + cos2(a, b0 ) + cos2(a0 , b) − cos2(a0 , b0 ) = 2 2. (2.103) Valor que es mayor al lı́mite impuesto para teorı́as clásicas locales y deterministas. La importancia del resultado de Bell radica en colocar por primera vez la disyuntiva filosófica planteada por la paradoja EPR, en términos cuantitativos suceptibles, al menos en principio, de verificación experimental. Al demostrar que las teorı́as locales, deterministas de variables ocultas y la Mecánica Cuántica no comparten el mismo conjunto de predicciones, se abre la puerta a la posibilidad de decidir experimentalmente entre ambos tipos de teorı́a. Sin embargo, la última desigualdad requiere de una correlación perfecta, lo cual es muy restrictivo y nunca fue testeada experimentalmente. En ves de eso se toman ciertas consideraciones y condiciones que nos alejan del caso más general. Por ejemplo, los experimentos basados en la desigualdad CHSH reducen el universo de mediciones que son evaluadas en la expresión de correlación, considerando que un grupo de mediciones representa el comportamiento completo del sistema de partı́culas. A esto se le conoce como Fair Sampling. Se han estudiado diferentes métodos para establecer sistemas de codificación de clave cuántica, pero para que sean válidos debemos asegurar que nos encontramos en el marco adecuado, esto es, a escala no determinista. Y esto solo es posible evaluando las desigualdades Bell en la configuración que desea ocuparse para comunicación, pero esto no basta, ya que la propia violación de las desigualdades depende integramente de seguir ciertas condiciones. Una desigualdad de Bell será válidamente violadada solo si aseguramos no tener ambiguedades en la descripción de los dispositivos que se ocupan para medirla, pero más importante, no encontrarnos bajo Loopholes, pues esto permitirı́a describir, mediante variables ocultas los resultados predichos por la mecánica cuántica. 36 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.8. 2.9 Loopholes En el camino a verificar la veracidad de la mecánica cuántica y realizar implementaciones comunicacionales nos enfrentamos a los llamados Quantum Loopholes, que corresponden a fallas o brechas en la estudio e implementación de la Mecánica Cuántica. Los principales loopholes son los siguientes: Detección: Problema que se refiere a la falla en la detección de partı́culas (fotones) o en la señal de respuesta electrónica asociada a éstas. Es de caracter instrumental, y depende de la calidad tecnológica empleada como de los fundamentos presentes en el sistema de detección. Si la calidad de la detección es deficiente, entonces la muestra no tendrá representativa de la situación real en el experimento. Actualemente se han realizado importantes avances para lograr cerrar este loophole, como los logrados por el grupo de investigacion de D. J. Wineland [21]. Post-selección: Los sistemas de medicion de Bell, comunmente hace uso y abuso del descarte cuentas, debido a algun fenómeno no deseado en la configuración de detección de coincidencias o cuentas simples. El problema con esto es que al descartar cuentas, también descartamos junto con ellas los valores de medida que aplicaron los observadores, y si nos vamos mas a fondo, los posibles valores de variables ocultas de los eventos en cuestion. Si es asi, tenemos que los registros restantes no eliminados, no estan representados por todo el universo de variables, sino que mas bien por una fracción del espacio de posibles configuraciones, lo que da lugar a posibles conclusiones erradas de los resultados [22]. Localidad: Un evento es no-local si un cambio en la función de onda |Ψi que describe a un sistema compuesto ocurre para cada una de sus partes de manera instantánea, sin importar la separación espacial de las partes. Dado que las partı́culas entrelazadas parecen comunicarse, un experimento de medición bipartito de Bell debe independizar las medidas y resultados. Se logra si se impide que alguna señal comunique a los sistemas de medicion antes de realizar los registros [23]. 37 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.9. 2.9.1. 2.9 Revisión de Óptica Coherencia La coherencia de un haz corresponde al grado de semejanza que este tenga en un momento y lugar respecto a otro momento y lugar del espacio. De la misma forma sirve para comparar las fases entre dos ondas diferentes, como se ve en la Figura 2.4. Figura 2.4: Coherencia entre dos ondas. (a) Dos ondas armónicas con el mismo periódo experimentan una coherencia infinita entre ellas. (b) Dos ondas estcionarias con periódos ligéramente diferentes dejan de ser coherentes despues de un numero de ciclo. A nivel cuántico, la coherencia de un fotón es el grado de semajanza que tiene su paquete de onda en un momento y lugar, respecto a otro momento y lugar del espacio [4]. Una forma de estudiar esta cualidad, es definiendo una cantidad que denominaremos longitud de coherencia Lcoh . Esta entidad nos definirá cuanto tarda en cambiar el estado de un haz o fotón a lo largo de su vuelo. Consideremos un haz de fotones, del cual se selecciona una muestra transversal en un tiempo ti , y luego otra muestra transversal en un tiempo tf , entonces la distancia recorrida entre esos dos tiempos será x = c · (tf − ti ). Si se superponen las funciones de onda de los fotones que componen el haz, entre estos dos puntos del espacio, entonces es posible apreciar 38 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.9 un efecto de interferencia producto de la diferencia de sus fases. Si esta interferencia que se manifiesta en potencia óptica, tiene máxima visibilidad, podemos decir que el haz tiene el mismo grado de coherencia entre los dos puntos x1 y x2 . Pero si la interferencia no ocurre entonces, podemos decir que el haz perdió completamente su coherencia en el punto x1 , al viajar hasta el punto x2 . Esta caracterı́stica no debe ser confundida con la perdida o aumento de interferencia por polarización relativa entre haces. De lo anterior formulamos el siguiente criterio óptico para encontrar la longitud de coherencia de un fotón. Supongamos que dos haces de fotones generados desde una misma fuente, toman dos caminos de distinta longitud, los cuales difieren en x = x1 − x2 . Luego estos haces son guiados hasta interferir entre ellos en un cierto punto. Si de alguna forma podemos controlar la variable x, entonces podremos apreciar como varı́a la amplitud de interferencia óptica entre los haces, pasando por un punto de máxima interferencia has un punto de nula interferencia. Tomando lo anterior, definimos la longitud de coherencia como la distancia para la cual la interferencia cae desde un valor máximo de visibilidad en x = 0 hasta un medio del máximo en x = L, lo que idealmente en comunicaciones ópticas se calcula como Lcoh = 2ln(2) λ2 πn ∆λ (2.104) Donde λ es la longitud de onda central de un haz de espectro Gaussiano, n es el ı́ndice de refracción del medio y ∆λ es el ancho de altura media del espectro. La coherencia entre dos haces podemos asociarla principalmente a la similitud en la forma de los frentes de onda y a la similitud en la composición espectral de frecuencias. La coherencia de un solo haz esta ligada a la evolución temporal de todas las caracteristicas que lo componen, pues si estas cambian muy rápidamente, entonces la longitud de coherencia será pequeña, o en caso contrario, será grande. 39 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.9.2. 2.9 Interferómetro Mach-Zehnder Un interferómetro tipo Mach-Zenhner, corresponde a una configuración de elementos ópticos que permite generar efectos de interferencia al separar uno o dos haces de luz en dos nuevos haces, los cuales son distribuidos por caminos diferentes, y finalmente recombinados. La estructura más general comienza con la incidencia de un haz de luz sobre un separador de haces (o beam splitter). Si la transmitancia y reflectancia de este componente son idealmente de 50 % cada una, entonces los haces de salida de este componente serán perpendiculares e igualmente potentes. Luego de una cierta distancia, frente a cada haz se sitúa un espejo a 45 grados. Las reflexiones producidas en estos espejos harán que los haces se crucen de forma perpendicular en un cierto punto, donde se sitúa un segundo beam splitter. En cada salida de este segundo beam splitter, se obtendrá una combinación de los haces entrantes. Existe una modificación de esta configuración, la cual es llamada Interferómetro MachZenhder Desbalanceado [24], y que corresponde basicamente a quitar el espejo de uno de los dos caminos de la forma original, para luego agregarlo al otro camino. En este caso se logran dos caminos con diferentes dimensiones. En la siguiente imagen se puede apreciar la nueva forma rectangular y los distintos caminos ópticos, representados por notación de Dirac Figura 2.5: Interferómetro óptico tipo Mach-Zehnder, con brazos desbalanceados. Notemos que sobre el primer beam splitter de la Figura 2.5, BS1 , se tienen dos posibles entradas, una llamada |0i y la otra |00 i. Como el BS es semireflector, llevará el estado de los fotones |0i a una combinación de caminos largo |Li y corto |Si dada por i |Li + |Si. Esto 40 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.9 ocurre pues la transmisión no agrega una fase a la proyección, pero una reflexión si lo hace. De la misma forma el BS1 llevará el estado de entrada |00 i al nuevo estado |Li + i |Si. De esta forma podemos asociar un operador unitario a la transformación que realiza el BS, la que vendrá dada por UBS1 = (i |Li + |Si) h0| + (|Li + i |Si) h00 | , (2.105) donde vemos que los viejos y nuevos estados deben ser ortogonales, es decir h0|00 i = 0 (2.106) (−i hL| + hS|)(|Li + i |Si) = −i + i = 0. Como se dijo anteriormente, cada espejo agrega una fase imaginaria a los fotones reflejados por el, por lo que los operadores unitarios de cada espejo deberán ser UM1 = UM2 = i |Li hL| . (2.107) De esta forma el estado del camino largo tendrá un factor (−i)2 = −1 extra, es decir − |Li. Mientras que el camino corto seguirá siendo |Si. A lo anterior debemos agregar un factor de fase relativa por diferencia de longitud entre los caminos. Este efecto se representará mediante un eiφ sobre el camino largo, es decir eiφ |Li. El efecto del segundo beam splitter BS2 tiene que ser similar al de BS1 , llevando |Li a i |+1i + |−1i y llevando |Si a |+1i + i |−1i. De esta forma el operador unitario asociado a este componente debe ser UBS2 = (i |+1i + |−1i) hL| + (|+1i + i |−1i) hS| . (2.108) Considerando lo anterior, un estado inicial |ψ0 i = |0i se transformará como |ψi −→ UBS1 |0i = i |Li + |Si (2.109) −→ UM2 UM2 (i |Li + |Si) = −i |Li − |Si −→ −ieiφ |Li − |Si −→ UBS2 (−ieiφ |Li − |Si) = −ieiφ (i |+1i + |−1i) − (|+1i + i |−1i) = (eiφ − 1) |+1i − i(eiφ + 1) |−1i 41 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.9 Notemos que el estado no se encuentra normalizado, por lo que debemos dividir por p |eiφ − 1|2 + |eiφ + 1|2 p = (eiφ − 1)(e−iφ − 1) + (eiφ + 1)(e−iφ + 1) p 1 − eiφ − e−iφ + 1 + 1 + eiφ + e−iφ + 1 = √ = 4 = 2, N = (2.110) de esta forma el estado final corresponde a 1 |ψi = [(eiφ − 1) |+1i − i(eiφ + 1) |−1i]. 2 (2.111) Si situamos un detector de fotones en cada una de las salidas del interferómetro, entonces las probabilidades de detectar a los fotones en las salidas |+1i y/o |−1i vienen dadas por los modulos cuadrados de los factores complejos de la expresión anterior. 2.9.3. Interferómetro Mach-Zehnder Doble Supongamos que contamos con un sistema de interferencia compuesto por dos interferómetros Mach-Zenhder, puestos de forma que hagamos circulas por cada uno de ellos un fotón. Estudiemos entonces como se comporta el estado conjunto de dos fotones al pasar por toda la configuración. El estado conjunto inicial, justo antes de que cualquiera de los dos fotones ingrese a los primeros BS será |ψ0 i = |0a i |0b i, donde a y b se refieren al primer y segundo fotón. Si cada fotón del par ingresa a su interferómetro por la entrada |0i, entonces podemos transformar los estados individuales hasta obtener 1 |ψa i = [(eiφa − 1) |+1a i − i(eiφa + 1) |−1a i] 2 1 |ψb i = [(eiφb − 1) |+1b i − i(eiφb + 1) |−1b i]. 2 42 (2.112) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.10 Figura 2.6: Interferómetro óptico de doble Mach-Zehnder, con brazos desbalanceados. Cada fotón es distribuido en uno de los interferómetros solamente. De la Figura 2.6 anterior vemos que en principio se puede representar el estado total del par de fotones mediante la siguiente expresión |ψi = |ψa i |ψb i (2.113) 1 iφa = [(e − 1) |+1a i − i(eiφa + 1) |−1a i][(eiφb − 1) |+1b i − i(eiφb + 1) |−1b i] 4 1 i(φa +φb ) = [(e − eiφa − eiφb + 1) |+1a i |+1b i 4 −i(ei(φa +φb ) + eiφa − eiφb − 1) |+1a i |−1b i −i(ei(φa +φb ) − eiφa + eiφb − 1) |−1a i |+1b i −(ei(φa +φb ) + eiφa + eiφb + 1) |−1a i |−1b i]. Más adelante veremos que este estado en realidad debe ser reducido, en caso de que la detección conjunta de los fotones se realice en ciertos intervalos de tiempo o si existe correlación entre los fotones que recorren los interferómetros. 2.10. Fibras Ópticas Una fibra óptica es una guı́a de onda dieléctrica cilı́ndrica hecha a base de materiales de poca pérdida lumı́nica [8]. Tiene un núcleo (o core) central por el cual la luz es guiada, cubierto por un revestimiento o cubierta (o cladding) con indice de refracción ligeramente inferior. Los haces de luz incidentes en la frontera nucleo-cubierta, a ángulos mayores que un 43 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.10 cierto ángulo crı́tico, se mantienen dentro del núcleo por reflexión interna total, y son guiados sin refractar hacia la cubierta. Los haces que lleguen al núcleo, con grandes ángulos de inclinación respecto al eje de la fibra, perderán parte de su potencia dentro de la fibra con cada reflexión y no serán guiados, como se ve en la Figura 2.7. Figura 2.7: a) Representación de una fibra en la cuál se puede ver la reflexión interna tolal y la refracción de un rayo en la frontera núcleo-cubierta. b) Forma en la cual los haces de reflejan dentro de la fibra. La cantidad de haces independientes dentro de un núcleo de fibra representa el número de modos que se pueden transmitir por la misma. Dichos modos pueden tener diferentes origenes, externos a la fibra o producto de la misma geometrı́a de la fibra. Por lo que en principio cada Modo no está sujeto a seguir la misma trayectoria que los otros modos presentes dentro de la fibra. Cualquier haz incidente en la fibra será guiado, si bajo la refracción del núcleo, forma un ángulo θ con el eje de la fibra que sea menor que un ángulo crı́tico θc . Si se aplica la ley de Snell en la fontera aire-núcleo, a los ángulos θa del aire y θc (complemento del ángulo crı́tico) del núcleo, se obtiene de 1 · sen(θa ) = n1 · sen(θc ), lo que lleva a r q q n2 2 2 sen(θa = n1 1 − cos (θc ) = n1 1 − = n21 − n22 . n1 (2.114) Por lo que el ángulo de inclinación aceptable para cualquier rayo de un haz será θa = arcsen(N A) 44 (2.115) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.10 Donde N A es la llamada Apertura Numérica que viene dada por NA = q √ n21 − n22 ≈ n1 2∆, (2.116) cantidad con la que se determina si un cono de luz es aceptable o no para su transmisión en la fibra. El parámetro ∆ lo definiremos en las siguientes lineas 2.10.1. Clasificación de Fibras Según Tamaño de Núcleo Mono-modo: Si el diametro del núcleo de la fibra es pequeño, entonces solo un modo será soportado por la fibra. Multi-modo: Si el diámetro del núcleo de la fibra es amplio, entonces es posible que transporte más de un modo distinguible de otro. Según Índices de Refracción Índice de Paso: El ı́ndice de refracción de núcleo es constante al igual que el del revestimiento, y se relacionan mediante la siguiente parámetro de comparación: n1 − n2 n21 − n22 ≈ 1 ∆= 2 2n1 n1 (2.117) Donde n1 y n2 corresponden a los ı́ndices de refracción del núcleo y revestimiento, respectivamente. Índice Gradual: El ı́ndice de refracción del núcleo disminuye grdualmente desde su centro hasta llegar revestimiento, el cual posee un ı́ndice constante. Cumplen con la misma expresión anterior, salvo que ahora el ı́ndice de refracción del núcleo puede representarse como n2 (r) = n21 [1 − 2 r p a ∆], r≤a (2.118) Donde a es el radio del núcleo y p es la potencia que controla la disminución del indice nuclear, desde n1 hasta n2 . 45 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.10.2. 2.10 Transmisión de Rayos Los rayos que componen un haz dentro del núcleo de una fibra son transportados mediante reflexión interna total, por lo tanto podemos encontrar los siguientes dos comportamientos para ellos. Movimiento Meridional: Si las continuas reflexiones de un rayo, vistas desde el eje de la fibra, forma un plano de transmisión. Movimiento Desviado: Si las continuas reflexiones de un rayo, vistas desde el eje de la fibra, forma un patrón de transmisión tipo estrella. 2.10.3. Efectos de Atenuación y Dispersión en Fibras Absorción: Cada material, por muy transparente que aparente ser siempre tiene bandas de absorción y transmisión denotadas por los elementos que lo componen. En particular, la transmisión de luz en fibras hechas de silicio en su forma SiO2 es fuertemente dependiente de la longitud de onda de luz. Este material tiene dos bandas de fuerte absorción: una en el infrarojo medio resultante de las transiciones de vibración, y otra en el infrarojo lejano producto de las transiciones electrónicas y moleculares. Estas zonas de absorción dejan tres zonas de poca absorción, las cuales se denominan Ventanas de Transmisión. La Figura 2.8 muestra claramente las tres bandas o ventanas principales de transmisión, cada una localizada entorno a los 850[nm], 1300[nm] y 1550-1650[nm]. Pero debemos notar que a nivel comercial, ultimamente se subdivide la tercera ventana en dos bandas denotadas por C y L. Buena parte de este efecto tiene que ver también con las impurezas que se encuentran a lo largo del material. Si las impurezas son molecularmente muy grandes, solo haces de longitud de onda grande pueden transmirse al verse bloqueados por estas impurezas. Por el contrario, haces de baja longitud de onda serán absorvidos por las impurezas, 46 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.10 disipando la energı́a en forma termica. A este efecto se le llama Esparcimiento de Rayleigh. Figura 2.8: Ventanas de transmisión en una fibra óptica común de Silicio (Si). Cambio de Polarización y Depolarización Cambio de polarización: Condición en la que un haz incidente en una fibra, originalmente con polarización definida fija cambia a otra debido reflexiones no simetricas en la frontera núcleo-revestimiento. Supongamos que un haz de luz ingresa con polarización horizontal a una fibra, y que este haz después de algunas reflexiones sufre una curvatura en su polarización, generano una polarización elı́ptica. Depolarización: Si un haz de luz que ingresa a una fibra con polarización definida fija, experimenta reflexiones completamente aleatorias y distintas en cada uno de los rayos componentes, entonces despues de un cierto tramo el haz habrá perdido todo su grado de polaridad, quedando completamente depolarizado. En la Figura 2.9 podemos ver como un rayo de luz es transmitido por el núcleo de una fibra en la dirección Z. Como el campo eléctrico de la luz es perpendicular a la transmisión es facil apreciar como cambia la dirección de oscilación de este con cada reflexión. 47 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.10 Figura 2.9: Corte transversal de una fibra óptica, en el cual se aprecia el efecto de cambio de polaización con cada reflexión no-coplanar. Dispersión Modal: En una fibra multi-modo, cada uno de los modos puede transmitirse de forma diferente en el núcleo, ya que las reflexiones que experimenta cada uno de ellos no son iguales a las reflexiones de los otros modos [8]. En consecuencia, un modo que experimente un gran número de reflexiones en un cierto tramo del eje de la fibra, recorrerá una mayor distancia efectiva que otro modo que experimente pocas reflexiones. Dado lo anterior, es posible que algunos modos lleguen retrasados respecto a otros, con lo que tendremos una dispersión temporal entre modos. Cromática: Al igual que todo material transparente, el vidrio que compone la fibra óptica no tiene un ı́ndice de refracción fijo, sino más bien, dependiente de la longitud de onda que transmite. De esta forma es posible tener diferentes velocidades de transmisión en la fibra, dependiendo del color de luz que se desee utilizar. Por angosto que sea el espectro cromático de un ház, siempre tendrá una colección continua de diferentes longitudes de ondas en su composición. Por lo que la longitud de onda más baja que lo compone tendrá una velocidad de transmisión diferente de la 48 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO 2.10 longitud de onda más alta, apreciandose una dispersión temporal entre las diferentes longitudes de onda. Modos Polarizados: En condiciones reales, una fibra óptica no exhibe ı́ndices de refracción perfectamente isótropos y homogeneos, por lo que se puede manifestar un efecto de birrefringencia. Este efecto consiste en tener dos ı́ndices de refracción diferentes para polarizaciones ortogonales en el plano tranversal a la fibra. Si se tiene un haz de polarización diagonal, es decir, vertical más horizontal, estas componentes pueden transmitirse a diferentes velocidades. Efectos Mecánicos Derdidas Por Curvatura: Si una fibra óptica se somete a grandes curvaturas, es posible que el efecto de reflexión interna total se pierda, ya que aumenta el ángulo de impacto de un haz en la frontera núcleo-revestimiento. De esta forma se puede experimentar una pérdida en la potencia del haz transmitido. Perdidas Por Conexión: Para extender canalas de fibra óptica muchas veces se opta por utilizar conectores mecánicos. Estos conectores unen dos fibras ópticas solapando muy cercanamente los terminales revestidos de porcelana. Si la alineación entre núcleo no es buena, entonces el cono de luz saliente de una fibra no alcanza a penetrar correctamente en la otra fibra. Por otro lado, si los extremos de las fibras estan sucios, es posible que los haces sean dispersados angularmente, absorbidos o reflejados en ese punto, con lo que no habrá transmisión a una segunda fibra. Perdidas Por Fusión: Otra forma de extender canales de fibra óptica es fusionando directamente dos fibras ópticas. Este proceso se realiza juntando y alineación micrométricamente dos fibras, para luego pegar los cortes transversales fundidos por un arco eléctrico. En este caso las pérdidas de potencia son inferiores a las vistas en conectores, y se basan principalmente en la presencia de impurezas y en desperfectos geométricos de la fusión. 49 Capı́tulo 3 Desarrollo Experimental 3.1. Entrelazamiento Energı́a-Tiempo El entrelazamiento energı́a-tiempo se encuentra en sistemas de partı́culas que por algún proceso de generación, con conservación de energı́a, se pueda correlacionar el tiempo de origen de cada una de las partı́culas [25], [26]. El proceso óptico de conversión paramétrica, donde se generan pares de fotones por cada fotón indicente sobre un cristal no-lineal, permite que dichos pares queden entrelazados en energı́a-tiempo. 3.1.1. Conversión Paramétrica Espontanea Descendente La Conversión Paramétrica Espontanea Descendente (o SPDC por sus siglas en inglés), es un proceso no-lineal de generación y distribución de pares de fotones gemelos [27], [28]. En este proceso un potente haz de fotones debe incidir sobre un cristal no-lineal, tal que con cierta probabilidad cada uno de estos fotones incidentes se convierta en un par de fotones salientes, distintos al fotón inicial. A nivel atómico, los fotones incidentes sobre el cristal elevan los electrones libres hasta un nivel excitado. Luego estos electrones decaen a su nivel original no excitado mediante un nivel intermedio. En la primera caida se genera un fotón, y en la segunda caida se produce el 50 CAPÍTULO 3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 3.1 compañero. Entre cada uno de los fotones de cada par transcurre un tiempo muy pequeño, del orden de los pocos femto-segundos, por lo que podemos con seguridad correlacionar los tiempos de generación y vuelo de cada fotón del par [29]. Al ser un proceso no-lineal, la probabilidad de generar pares de fotones por cada fotón incidente aumenta a medida que aumentamos la intensidad del haz de impacto. Si no existen discipaciones térmicas de energı́a, entonces el proceso es de caracter elástico, y toda la energia de los fotones incidentes es transmitida a los fotones salientes, lo que se denomina conservación de la energı́a. Esta condición se puede resumir mediante el concepto de Phase Matching, dado por las siguientes ecuaciones ωp = ωs + ωi =⇒ ~kp = 1 1 1 = + λp λs λi ~ks + ~ki , (3.1) donde ω, λ y k denotan la frecuencia, la longitud de onda y el vector de onda de los fotones. p denota al fotón de bombeo (o pump), y s e i denotan al fotón señal (o signal) y compañero (o idler) del par saliente, respectivamente. En este sentido, se pueden fabricar pares de fotones con diferentes configuraciones de longitud de onda, o el caso particular de fotones degenerados (igual energı́a o longitud de onda). Debemos notar que solo la primera de las ecuaciones anteriores expresa la conservación de la energı́a, mientras que la segunda añade la convervación de momentum en el proceso. Mediante esta segunda ecuación es posible dar una construcción geométrica a las posibles trayectorias de los fotones en el proceso. El proceso y tasa de fotones generados se ajusta mediante inclinación o enfoque del haz indicente respecto al cristal, como tambien con la temperatura del cristal, ya que con esta se pueden expandir o contraer las dimensiones del cristal, modificanfo el los indices de refracción de este. Ópticamente, el phase-matching es el punto donde todos los pares generados en cada punto del cristal adquieren adquieren un mayor grado de fase conjunta y no interfieren entre si. 51 CAPÍTULO 3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 3.1.2. 3.1 Conversión Paramétrica Espontanea Descendente Tipo-II Existen diferentes configuraciones cristalográficas que otorgan diferentes resultados geométricos al proceso. Un cristal no-lineal, es de carácter birrefringente si presenta al menos dos ı́ndices de refracción diferentes en direcciones distintas, dos de ellos en el plano transversal al eje óptico de dicho cristal. Si se generan pares de fotones mediante este tipo de cristales, entonces un fotón de cada par tendrá polarización vertical V , mientras que su compañero tendrá polarización horizontal H. A este proceso se le denomina SPDC Tipo-II. Por otro lado se pueden tener estructuras cristalográficas especiales, como es el caso de los cristales polarización periódica, los cuales posee capas de conversión paramétrica Tipo-II alternadas periódicamente y grabadas por campo eléctrico al momento de su fabricación. Este tipo de cristales, a diferencia del tipo tradicional donde se busca un adecuado phasematching, se construye para funcionar mediante Quasi-Phase-Matching. Esta nueva condición, permite tener una gran tasa de generación de pares, dado que las fases de onda de los fotones en cada sección periódica tienen un mayor grado de acople y no sufren interferencia destructiva a la salida del cristal. Figura 3.1: a) Phase matching ideal, en el cual todos los frentes de onda suman a la señal. b) Quasi-phase-matching, en el que se impiden frentes de onda con componentes reales negativas. c) Situación en la que todos los frentes se anulan, por fases opuestas. 52 CAPÍTULO 3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 3.1 Si enfocamos el haz indidente dentro del cristal, la generación de fotones ocurre principalmente a lo largo de todos los puntos de una pequeña zona efectiva dentro de la cintura del haz. Por lo tanto, con cristales tradicionales vamos a generar fotones con todo tipo de fases. Pero si utilizamos cristales de polarización periódica se puede evitar, por ejemplo, la generación de fotones con componentes de fase negativas, lo que puede apreciarse en la Figura 3.1 A los pares de fotones podemos asociarles la siguiente estado conjunto |ψi = |Hi |V i , (3.2) donde |Hi y |V i corresponden a los vectores de estado de polarización de cada fotón de un par. De lo anterior podemos establecer que, el quasi-phase matching debe en principio obedecer también a la conservación de la energı́a y de momentum. De ahı́ que las zonas probables de emisión tendrán forma de cono, uno para los fotones polarizados verticalmente y otro para los polarizados horizontalmente. Cada uno de esos conos tendrá origen en la superficie de salida del cristal, encontrandose inclinados en ángulos θH y θV respecto al eje óptico por el que pasa el haz de bombeo. Y si el phase-matching es logrado, esas inclinaciones deberán ser simétricas (θH = θV ). Figura 3.2: Representación de los conos probables de emisión en SPDC Tipo-II, por cristal no-lineal birrefringente. Además el cristal puede ser fabricado, tal que el la inclinación de los conos lleva a un 53 CAPÍTULO 3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 3.2 solo punto de intersección. Entonces, en esta zona de emisión tendremos tanto fotones de polarización H como V , lo que se denomina como generación colineal, ya que esta trayectoria coindice con el haz incidente, como se ve en la Figura 3.2 En la Figura 3.3 se puede ver el caso ideal en el cual un haz de bombeo con perfil transversal Gaussiano, genera un haz de conversión con perfil igualmente Gaussiano. Y como el proceso es de caracter probabilistico, dependiendo de la potencia de entrada, siempre se obtiene un flujo de salida de fotones originales y convertido (siempre y cuando la generación con la que se trabaje sea colineal). Figura 3.3: Representación longitudinal de conversión de haces Gaussianos. El haz de bombeo está representado con color azul, mientras que el haz de fotones generados por conversión está representado por color rojo. Donde la combinación de lentes esta pensada para una correcta colimación de los fotones convertidos, pero no para una correcta colimación del haz horiginal, por lo que se obtiene una haz de mayor ancho transversal y con cierta divergencia angular respecto al eje óptico. 3.2. Experimentos Tipo Franson Se tiene una fuente de pares de fotones generados conjuntamente y correlacionados dentro de sus tiempos de coherencia. Estos fotones son enviados a dos interferometro Mach-Zehnder igualmente desbalanceados, a los cuales denominaremos como Alice y Bob, y que representan a todos los dispositivos participantes del proceso de medición de cada fotón [30], [31]. Esta configuración es mostrada en la Figura 3.4. 54 CAPÍTULO 3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 3.2 Figura 3.4: Esquema del interferómetro mostrado por Franson. Aqui se aprecia el Setup básico, las coincidencias simples SA SB o LA LB , el conteo de coincidencias según tiempo de llegada a los detectores y su desfase para coincidencias SA LB o LA SB . por último el comportamiento sinusoidal de las coincidencias entre detectores al variar la fase relativa entre los campos que interactúan. La diferencia entre de los caminos de los interferómetros, ∆L, satisface la relación ∆L cTcoh , donde c es la velocidad de la luz y Tcoh es el tiempo de coherencia de los fotones. Esas diferencias de camino óptico prohiben cualquier interferencia de un solo fotón. Por lo que la probabilidad de que el fotón 1 tome una de las salidas l = +1, −1 del interferómetro de Alice es P (l|φa ) = 1 2 y la probabilidad de que el fotón 2 tome una de las dos salidas m = +1, −1 del interferómetro de Bob es P (m|φb ) = 21 . Para el 50 % de los eventos coincidentes entre dos fotones, uno no puede distinguir si los dos fotones tomaron los caminos largos o si los dos fotones tomaron los caminos cortos, por lo tanto la interferencia en fotones ocurre con probabilidad 1 P (l; m(coincidencias)|φ, ψ) = [1 + lmcos(φ + ψ)]. 8 (3.3) Para la otra mitad de los eventos de dos fotones, una fotón toma el camino corto y el otro toma el camino largo, ası́ que los tiempos de registro difieren por ∆TL|S = ∆L . c Consecuentemente no hay interferencia, porque los eventos son distinguibles. Uno tiene P (lL ; mS |φa , φb ) = P (lS ; mL |φa , φb ) = 1 , 16 donde S denota la detección temprana dada por el camino corto, L denota la detección tardı́a dada por el camino largo, y los subı́ndices a y b, indican si pertenece al sistema Alice o al Bob, respectivamente. 55 CAPÍTULO 3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 3.2 Las selecciones de fase locales que aparecen en la fórmulas, se hacen presentes cuando un fotón en los caminos largos, pasa a través del selector de fase tφa o tφb ,y el tiempo que tarda el fotón en llegar desde este punto al momento de detección td , le llamamos tiempo de retraso tret . Luego se impone la condición usual de localidad, es decir, que la selección de fase en uno de los lado no afecte al resultado de una medición en el otro lado, esto es, que las selecciones de fase sean completamente independientes entre si, manteniendo el hecho que sean aleatorias. Experimentalmente esto se logra cambiando la selecciones de fase locales a una escala de tiempo ∆Tφa ,φb ≈ D , c donde D es la distancia desde la fuente hasta el interferómetro. Asumimos que D ∆L. De esta forma, a la salida de cada interferómetro se registran los resultados ±1, los tiempos de detección y los valores apropiados de las selecciones de fase locales. Despues de que el experimento esta terminado se realiza un análisis de postselección sobre los datos guardados, rechazando todos los pares de eventos cuyos tiempos de registro difieran por ∆TL|S 3.2.1. Fallas del Esquema Experimental A pesar de lo minucioso que puedan sonar los aspectos técnicos y geométricos del esquema de Franson, lo cierto es que es posible construir un modelo de Variables Ocultas Locales (LHV por sus siglas en inglés) válido que prediga las probabilidades de detección de cada fotón en el sistema [32]. Es decir que es posible recrear los resultados cuánticos de mediciones conjuntas por medio de un modelo clásico y no único [22]. Hay algunas caracterı́sticas generales que un modelo LHV del experimento debe tener, como contener todos los elementos de realidad que se puedan asociar al esquema de medición y respetar las simetrı́as probabilı́sticas. El tiempo de medición debe ser una de las variables, porque si por ejemplo, se retiran los separadores de haces en el interferómetro de Bob, los fotones deberian ser detectados unicamente por los detectores +1 y el tiempo de detección temprano tS indicarı́a el momento de emisión. En este caso, para cualquier configuración local de la fase φ, las detecciones detras del interferómetro de Alice serı́an coincidentes con las deteccones del lado de Bob en el tiempo 56 CAPÍTULO 3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 3.2 tS , o retrasadas a un tiempo tL = tS + ∆L . Esto debe estar determinado por el modelo LHV. c La mitad de los eventos en el interferometro de Alice son claramente tempranos S y la otra mitad tardios L. Ahora, con los interferómetro correctamente dispuesto nuevamente, tempranos en Alice y tardios en Bob (CL), en Bob, y 1 2 1 4 1 4 de los eventos serán de los eventos serán tardios en Alice y tempranos serán coincidentes. Estos eventos coindidentes deben consistir en partes iguales de eventos temprano-temprano (SS) y tardı́o-tardı́o (LL), sin distinción alguna en mecánica cuántica, ya que en realidad cada par de fotones toma ambas opciones en vez de solo una. En el modelo que se mostrará, las variables ocultas son elegidas para ser una coordenada angular θ ∈ [0, 2π] y una coordenada modular r ∈ [0, 1]. El ensemble (o conjunto universo) de las variables ocultas es elegido tal que exista una distribución uniforme en el espacio rectangular (θ, r); cada par de partı́cuas es descrito como un punto definido en ese espacio, definido en la fuente al momendo de la emisión. En los detectores de Alice, el resultado de la medición es decidido por las variables ocultas (θ, r) y la selección de fase local φa . Cuando un fotón llega a la estación de detección, si el interferómetro funciona correctamente, la variable θ cambia por la fase local del selector para conservar cierto resultado de medición. Esto es porque se pueden restringir los valores en el espacio por la relación θ0 = θ − φa . En la estación de detección de Bob se sigue un proceso similar, salvo que por por simetrı́a se opta por una relación θ00 = θ + φb , lo que se ve en la siguiente Figura 3.5. Figura 3.5: Modelo gráfico de Variables Ocultas. Donde el tamaño de las áreas representa la probabilidad de cada una de las elecciones hechas por los fotones. Esta imagen fue tomada del artı́culo [32]. 57 CAPÍTULO 3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 3.2 Las probabilidades de detección de partı́culas individuales siguen sin rodeos las predicciones cuánticas, donde las áreas totales correspondientes a los resultados +1C , −1C , +1L y −1L son todos iguales. Cada partı́cula puede igualmente llegar tarde o temprano al detector, y puede igualmente resultar en las salidas +1 o −1 del interferómetro. Figura 3.6: Intersección de los espacios de variables ocultas entre Alice y Bob Entonces las probabilidades de coincidencia quedan determinadas al superponer las dos figuras con su correspondiente desplazamiento como en la Figura 3.6. Por ejemplo, la probabilidad de tener l = +1C y m = −1C simultaneamente es el área indicada en la anterior, dividida por 2π (para normalizar), puesto que el área total es de 2π mientras que la probabilidad total es de 1. De esta forma la probabilidad de coincidencia es P (+1; −1(Coin.)φa |φb ) = P (+1S ; −1S |φa , φb ) + P (+1L ; −1L |φa , φb ) Z φa +φb 2 π = senθdθ 2π 0 8 1 = [1 − cos(φa + φb )]. 8 (3.4) Y podrı́amos seguir probando para los diferentes resultados, con lo que verificariamos que el modelo entrega una predicción correcta de los eventos de detección coincidente. Extraordinariamente, la construcción anterior implica que el experimento de Franson no viola y no puede violar realismo local si uno hace caso omiso al hecho que los interferómetros Mach-Zehnder son objetos extendidos. La razón de que esta construcción sea posible es que el procedimiento post-selección de 50 % explicado anteriormente puede llevar a un ensemble 58 CAPÍTULO 3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 3.2 de pares detectados que dependan de la selección de fase, lo que volverı́a inutil el testeo de desigualdades de Bell, pues no serı́a representativa de la situación. Lo anterior se entiende al considerar lo siguiente; el ensemble completo de fases producto de la combinación de las fases φa y φb nos lleva a todo el ensemble de resultados ±1 de Alice y Bob, lo que se aprecia en detecciones en diferentes salidas de cada interferómetro. Es decir, que para cualquier combinación de fases φa φb se tiene igual probabilidad de detección en cualquier salida de los interferómetros. Por ejemplo, para tener una coincidencia SS en los detectores +1, +1 se necesitarı́a 1 16 del universo completo de fases al igual que para el resto de posibles resultados. Pero si post-seleccionamos (rechazamos) las cuentas SL y LS, también estamos descartando las fases presentes al momento que los fotones pasaron por brazos “equivocados” y dieron algún resultado de medición. No podemos asegurar que las fases y resultados ahi presentes son representativas del ensemble total, pues aunque sean aleatorias, podrian ubicarse consentradas en una pequeña zona del ensemble y no distribuidas en sobre todo el espacio de fases, como lo muestra la Figura 3.7. Eso es ası́ porque la elección de fase ocurre luego de la elección de camino, por lo que sucesivos descartes de cuentas podrı́an tener asociados puntos de fase iguales o al menos muy similares, lo que darı́a resultados de medición igualmente parecidos y no distribuidos entre todos los posibles resultados. Figura 3.7: a) Espacio de Variables Ocultas de Alice y Bob en el que cualquier muestra de los resultados es representativa del total. b) Situación en la que la muestra tomada solo representa una parte de todo el espacio de combinaciones. En ambas imagenes ∆a y ∆b representan a todas las variables ocultas que podria asociarse unicamente al sistema de Alice o de Bob, mientras que el espacio es la combinación de variables ocultas que de alguna forma conectan a ambos sistemas. 59 CAPÍTULO 3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 3.3 Este hecho nos permite idear una geometrı́a de resultados asociando ciertas fases a ciertos resultados, manteniendo las proporciones estadı́sticas y considerando como elementos de realidad a los resultados de medición y a los tiempos de detección, que estan cláramente presentes en la descripción gráfica. Una última e interesante caracterı́stica del esquema es que ninguna selección de fase después de tS − tret puede afectar causalmente la elección S/L. La elección ±1 también esta basada en variables locales y en la selección de fase correcta del interferómetro en cuestión, pero esta elección debe ser hecha a más tardar en el tiempo de detección td = tS (para eventos tempranos) o td = tL = tS + ∆L c (para eventos tardios). Por lo tanto, para una detección tardı́a, la elección S/L y la elección ±1 pueden hacerse en momentos diferentes (ts y tL respectivamente), basadas posiblemente en selecciones de fase diferentes. 3.3. 3.3.1. Propuesta Experimental Entrelazamiento Energı́a-Tiempo Genuino Basicamente consiste en utilizar un estado entrelazado en energı́a-tiempo, obtenido de forma pura, sin haberlo transformado a partir de ninguna forma de entrelazamiento previo. Como se ha explicado anteriormente, el entrelazamiento energı́a-tiempo permite correlacionar las trayectorias de los fotones, por lo que también es llamado Entrelazamiento de Camino. Si en principio las trayectorias vienen definidos por otras variables, tales como polarización o momento angular, para luego asociarles caminos, entonces estamos hablando de entrelazamiento energı́a-tiempo no-genuino. Mientras que si entrelazamos directamente en camino desde la fuente, tendremos entrelazamiento energı́a-tiempo genuino. 3.3.2. Experimento de Brazos Cruzados Originalmente propuesto por P. Mataloni y A. Cabello [33]. Consiste en un interferómetro Mach-Zehnder doble desbalanceado, tal que los caminos largos terminan en el interferómetro contrario, como se ve en la Figura 3.8 60 CAPÍTULO 3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 3.3 Figura 3.8: Esquema precursos del cierre del loophole de Post-Selección, basado en una modificación de un doble interferómetro Mach-Zehnder. En esta propuesta experimental, la geometrı́a permite generar un estado entrelazado que no depende del tamaño de la ventana de coincidencias entre Alice y Bob. Aquı́ el sistema imposibilita eventos coincidentes entre un brazo corto en Alice y un brazo largo en Bob, o vice versa, pues esos eventos recaen en un mismo observador, dejando se ser coincidentes Luego de la formulación de esta propuesta, el trabajo de Gustavo Lima [34] demostró la posibilidad de su implementación y funcionamiento en forma práctica. En base a los dos trabajos anteriores, en este documento e investigación se muestra la construcción de un equipamiento aún más elaborado [35]. Consistente en utilizar la geometrı́a de brazos cruzados, más una extensión de brazos por fibra óptica (para separar a los obervadores Alice y Bob) y un sistema de estabilización y control de perturbaciones y señales. Como fuente de fotones gemelos se utiliza la montura de la Figura 3.9 Donde se utiliza un laser continuo de 40mW de potencia y de espectro centrado en λp = 403[nm], que al impactar el cristal no-lineal de polarización periódica PPKTP genera pares de fotones gemelos entrelazados en energı́a-tiempo a una longitud de onda λs = λi = 806nm. El laser de bombeo es enfocado por un telescopio con lente anterior de 150[mm] y lente posterior 50[mm], y además filtraje en modos espaciales transversales (para mantener un haz gaussiano), mediante un pinhole y su telescopio de lente anterior de 100[mm] y lente posterior de 100[mm]. Como solo se pretende trabajar con un haz de fotones gemelos, el último dicroico de la 61 CAPÍTULO 3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 3.3 Figura 3.9: Diagrama de Fuente de Fotones Gemelos fuente es un elemento importante para su filtraje. A lo anterior se le suma el ingreso de un laser de control de λC = 805[nm] en forma colineal, a través del espejo dicroico señalado. Estos pares de fotones generados luego serán separados por polarización mediante un PBS, el cual marca el fin de la fuente. Luego de salir de la fuente, cada uno de los fotones ya separados, son distribuidos en el sistema de la Figura 3.10 Primeramente cada uno de los fotones se encontrarán con un BS, el cuál reflejará o transmitirá fotones con una tasa del 50 %. Estos caminos o brazos se extenderán en espacio libre por una distancia no superior a 1, 5[m], y posteriormente terminaran con extremos de fibra óptica en unos nuevos BS’s. Al momento de pasar a fibra óptica, se utilizan lente asféricos con apertura numérica N A ≤ 0,11, tal que cada haz pueda acoplarse de buena forma en una fibra mono-modo especificada para 780[nm]. En Alice, el camino de fibra largo es 2[m] más largo que el camino corto, lo que sumado a la diferencia de espacio libre 25[cm] nos deja La − Sa ≈ 25[cm] + 1, 45 ∗ 200[cm] = 313[cm]. Después de esto el interferómetro se cierra, para dar lugar las dos salidas dicotómicas o resultados de medición. Esta parte del esquema cuenta con un sistema de filtraje especı́fico que más adelante se explicará. En Bob, los camino de fibra son mucho mas largos, tanto que las fibras tienen un tamaño de 1[km]. En este contexto, la distribución de fotones entrelazados ya ha sido estudiada y comprobada por trabajamos hechos por el Zeilinger [36], [37], [38]. 62 CAPÍTULO 3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 3.3 Figura 3.10: Diagrama completo del experimento. Representando a Alice y Bob en la forma de brazos cruzados, pero separados mediante fibra óptica y con estabilización de señales. La diferencia entre los caminos es controlable entorno a Lb − Sb ≈= 313[cm], mediante una linea de retraso, que mueve un sistema de espejos para ajustar el tamaño del camino largo respecto al corto (el que se indica con una flecha de doble sentido. El acople en fibra mono-modo es idéntico al utilizado en Alice y el cierre de este segundo interferómetro lleva igualmente a dos salidas, que representan los resutados de medición. Como se ve en el esquema de montura general, cada observador cuenta con un elemento para medir el estado de los fotones. Esta medición ocurre imponiendo valores de fase relativas entre los caminos largo-corto de cada observador, por lo que es necesario un sistema de harware electrónico de control de fase. Pero como estas fases se ven rápidamente perturabadas por factores ambientales, es necesario un sistema de estabilización primario. 63 CAPÍTULO 3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 3.3 Como se hizo necesario un estudio de la calidad de generación de fotones, de acople en fibra, de atenuación, y de control, se utilizaron diversar placas de cuarto de onda QW P y de media onda HW P , como se puede apreciar en el esquema. Volviendo al tema de los caminos, por simple geometrı́a y podemos ver que únicamente fotones que tomen caminos largo-largo o corto-corto pueden ser detectados como coincidentes, mientras que el resto es descartado, ya que una coincidencia ocurre entre Alice-Bob, no entre dos detectores de Alice o de Bob, como podrian ocurrir estos eventos. En resumen, la elección de caminos de cada fotón sigue siendo 1 2 1 P (BL ) = P (BS ) = . 2 P (AL ) = P (AS ) = (3.5) Lo que nos entrega las siguientes probabilidades combinadas entre ambos fotones: 1 4 1 P (AL |BS ) = P (AS |BL ) = , 4 P (AL |BL ) = P (AS |BS ) = (3.6) donde ya hemos explicado que el sistema por si solo evitará resudirá las 16 combinaciones de resultados a solo 8, l = ±1, m = ±1 para largo-largo (LL) y corto-corto (SS). Este experimento utiliza básicamente el mismo diseño que los trabajos anteriores hechos con sistema de brazos cruzados, pero acá se intenta implementar un aumento en el tamaño de los interferómetros. Lo que sumado cambios de fases locales rápidos, evitará que ocurra una comunicación clásica suficientemente rápida entre Alice y Bob. Con lo que se asegurará el caracter aleatorio e independiente de las mediciones bipartitas. Y por último, esta instalación en fibra permitirá extender el sistema a fibras de telecomunicaciones tradicionales, para un posterior estudio de la no localidad de la Mecanica Cuántica. Aplicaciones Debemos establecer que las desigualdades de Bell solo son una herramienta para comprobar el caracter cuántico del sistema, pero ¿cuál es la finalidad de esta? 64 CAPÍTULO 3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 3.3 Principalmente para implementar Criptografı́a Cuántica ([39], [40]) mediante interferometrı́a ópica, para lograr establecer un canal de comunicación seguro no susceptible a espionaje entre los dos observadores Alice y Bob. Ekert [41] formuló uno de los primeros sistemas funcionales cuánticos, pero no se utilizaron partı́culas entrelazadas hasta el protocolo propuesto por Bennet y Brassard en 1984 (BB84) [42]. Al proceso previo en el cual se comprueba la calidad y seguridad del canal se le denomina Distribución de LLave Cuántica, y consiste en establecer valores de fase entre los interlocutores de forma aleatoria e independiente. Proceso demostrado para entrelazamiento energı́a-tiempo [43]. Una vez registradas las bases lógicas o diagonales tanto para Alice y Bob, se descartan los registros en que las bases no coinciden, pues el bit de información compartido queda ambiguamente definido. De esta forma los datos restantes permiten predecir el bit de información estableciendose na cadena de datos. Si alguien interviniera esa cadena de datos, tiene 50 % de probabilidades de capturar la información y repetirla en la base correcta, sin considerar otras alteraciones que puede llegara efectuar. Por lo que el espionaje serı́a evidente en tal proceso. La importancia de esta propuesta radica en lo práctica que puede llegar a ser para diferentes estudios. Es posible testear diferentes desigualdades de Bell operando mas de dos valores de fase para Alice y Bob [22], como también manejar estados de más de dos dimensiones entre Alice y Bob, dando lugar a un conjuntos de qudis [44]. Otra gran aplicación importante que puede implementarse en el esquema, utilizarlo en forma modificada para trabajos en Teleportación de estados, lo que actualmente se ha logrado por transmisión en espacio libre y con otro tipo de entrelazamiento [45]. 3.3.3. Correcciones al Experimento Original En el esquema tradicional no se hace mucho incapié en las sutilezas, como lo es el proceso de detección. Un sistema correctamente construido debe realizar sus mediciones (con φa y φb ) lo más cerca posible de la seleción de salida de los interferómetros, como se muestra en 65 CAPÍTULO 3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 3.3 la Figura 3.11 Figura 3.11: Diagrama temporal en que se muestra como debe suceder el proceso de detección. De lo contrario, la selección de fase asociada a un camino largo (ó selección tardı́a) podrı́a ubicarse antes que la posible detección por camino corto (ó detección temprana). Esto significarı́a que una detección temprana (por lo tanto una medición temprana) de un par podrı́a ser afectada por las fases de medición asociadas al par anterior. El experimento mostrado aquı́ toma en cuenta tal configuración a la hora de implementar el control de fases, y las dimensiones de los caminos. Elementos de Realidad En este experimento, podemos asegurar que todas las elecciones que toma cada uno de los fotones son un elemento de realidad Caminos: En el esquema de Franson el estado de cada par de fotones gemelos no se encuentra entrelazado en una forma ideal, ya que si la ventana decoincidencias entre Alice y Bob es muy grande, todas no solo las poryecciones SS y LL serian detectadas, sino que también SL y LS. En cambioen el nuevo sistema, si un fotón en Alice toma un camino, de inmediado sabemos que el otro fotón tomó el mismo camino en Bob, y vice versa. Ya no existe una condición externa para obtener tal resultado, solo la geometrı́a del experimento. Tiempo de Emisión: Como viene directamente ligado al tiempo de detección, si este tiempo es temprano entonces esta asociado a un camino corto, y si el tardı́o entonces esta asociado a un camino largo. Por lo tanto es posible predecir el momento de origen de un fotón si es que detectamos un fotón del par, pues su gemelo debe obedecer al estado entrelazado. 66 CAPÍTULO 3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 3.3 Se debe aclarar que, como la elección de fases es algo manipulado por los observadores, esto no representa un elemento de realidad, ası́ como los resultados asociados a ellas. Cierre de Loopholes Como se ha explicado anteriormente, en este trabajo se montará un sistema para evaluar la Desigualdad de Bell CHSH en pares de fotones gemelos, utilizando una geometria interferométrica novedosa. Post-Selección: Si se logra una violación de la Desigualdad de Bell CHSH, entonces el loophole de post-selección quedará completamente cerrado, ya que al no descartar cuentas, no cabe la posibilidad de una interpretación por modelo de variables ocultas del sistema. Podremos asegurar que quedan menos factores sin elementos de realidad asociados. Ahora el tiempo de emisión de los fotones y los caminos, tienen elementos de realidad asociados, es decir son predecibles. Localidad: Si se montan y controlan correctamente los interferómetros extendidos de fibra, el sistema que a un paso de cerrar el loophole de localidad. Solo harı́a falta asegurar que los conos de luz de los selectores de fase, no alcanzar a comunicarse dentro de los momentos de selección de fase, dada la gran separación entre los dispositivos y a una rápida cambio de fases locales [46], [47]. Además, si se cierra el loophole de localidad también, se podrı́a implementar de forma más concreta un sistema de distribucipon de llave cuántica. La forma en la cual fué ideado ese esquema lo convierten en una buena herramienta para para establecer sistema de comunicación cuántica basados en distribución de fotones entrelazados. Cuya capacidad de llevar más información que un solo bit por partı́cula es escencial para el futuro tecnológico [48]. 67 Capı́tulo 4 Metodologı́a 4.1. Curvas de Bell Del análisis interferómetrico tenemos que, un par de fotones en el interferómetro de Franson puede describirse mediante un estado compuesto, que antes del cierre de cada interferómetro viene dado por 1 (|Sa i + eiφa |La i) × (|Sb i + eiφb |Lb i) 2 1 = |Sa i |Sb i + eiφb |Sa i |Lb i + eiφa |La i |Sb i + ei(φa +φb ) |La i |Lb i , 2 |ψi = (4.1) donde las fases relativas a las reflexiones las hemos ingresado directamente como parte de las fases relativas φa y φb . En esa particular propuesta se utilizó la post-selección como herramienta, siendo este procedimiento el que en realidad permite reestructurar el estado como un estado entrelazado, ya que descartamos los eventos SL y LS porque no coinciden dentro de una pequeña ventana de tiempo. Ası́, al seguir su razonamiento, tenemos que el estado combinado antes del cierre de los interferómetros queda como un estado entrelazado en caminos 1 |ψi = √ |Sa i |Sb i + ei(φa +φb ) |La i |Lib . 2 (4.2) Pero en la nueva propuesta, se puede ver que en las expresiones no es necesaria la postselección. Si se dispone del mismo par de fotones que en caso anterior, pero ahora recorriendo 68 CAPÍTULO 4. METODOLOGÍA 4.1 la nueva propuesta interferométrica, entonces su estado compuesto viene dado por 1 (4.3) (|Sa i + eiφb |Lb i)1 × (|Sb i + eiφa |La i)2 2 1 = |Sa i1 |Sb i2 + eiφa |Sa i1 |La i2 + eiφb |Lb i1 |Sb i2 + ei(φa +φb ) |Lb i1 |La i2 2 |ψi = Donde los subı́ndices 1 y 2 denotan a cada fotón. Las proyecciones de estado no existen hasta que sean medidas, por lo tanto una coincidencia que no puede ser medida, inmediatamente indica que aquella proyección que le corresponde realmente no existe como parte del estado. En base a esto es posible eliminar del estados las coincidencias |Sa i1 |La i2 y |Lb i1 |Lb i2 , ya que solo existe coincidencias entre los extremos a y b de Alice y Bob, respectivamente. De esta manera, posteriormente tenemos el efecto de los BS2 , los cuales transforman de la siguiente forma 1 |Si −→ √ (|+1i + i |−1i) |Li −→ 2 √1 (i |+1i 2 + |−1i), (4.4) donde por simpleza hemos eliminamos los nuevos sub-ı́ndices. Ası́, el estado final dl par queda como |ψi = 1 {(1 + ei(φa +φb ) ) |+1a i |+1b i + (1 − ei(φa +φb ) ) |+1a i |−1b i 4 +(1 − ei(φa +φb ) ) |−1a i |+1b i − (1 + ei(φa +φb ) ) |−1a i |−1b i}, (4.5) donde el módulo cuadrado de cada proyección de este estado en las posibles salidas de los interferómetros, nos entrega las probabilidades de detección coincidente 1 + V+1,+1 cos(φa + φb ) 4 1 + V−1,−1 cos(φa + φb ) P−1,−1 (φa + φb ) = 4 1 − V+1,−1 cos(φa + φb ) P+1,−1 (φa + φb ) = 4 1 − V−1,+1 cos(φa + φb ) P−1,+1 (φa + φb ) = . 4 P+1,+1 (φa + φb ) = (4.6) Expresiones conocidas como Curvas de Bell. Donde V corresponde a la visibilidad de interferencia del estado conjunto, es decir en la detección de coincidencias. Esta visibilidad 69 CAPÍTULO 4. METODOLOGÍA 4.2 de interferencia esta directamente relacionada con un valor de simetrı́a en las dimensiones del sistema, el cual llamaremos ∆L. Este factor corresponde a la diferencia en los desfases de cada interferómetro, es decir ∆L = ∆La − ∆Lb = (La − Sa ) − (Lb − Sb ). (4.7) Esta diferencia en desfases limita las mediciones de estado del par de partı́culas. La medición que se busca solo será válida si presenta la mayor visibilidad posible, lo cual se logra con ∆L < LCoh , (4.8) donde LCoh es la longitud de coherencia de los fotones gemelos, y que en este experimento corresponde a ≈ 1[mm]. 4.1.1. Violación de Desigualdad Para barrer los ciclos de una curva de Bell se opta por fijar la fase relativa de Bob φb mediante un control activo, y con un segundo control se varı́a linealmente la fase relativa de Alice φb . Para violar la Desigualdad CHSH debemos encontrar empı́ricamente los coeficientes de correlación de Bell E(φa , φb ) = P+1,+1 (φa , φb ) + P−1,−1 (φa , φb ) − P1,−1 (φa , φb ) − P−1,1 (φa , φb ). (4.9) Los que experimentalmente corresponden a Ci,j (φa , φb ) Pi,j (φa , φb ) = P , i,j Ci,j (φa , φb ) (4.10) donde Ci,j (φa , φb ) es el número promedio de coincidencias entre las salidas i, j para los valores de fase φa y φb . Como se ha explicado, las coincidencias son puntos que deben extrarse directamente de las curvas, ya que ello es lo que uno modifica al variar las fases. Ahora, no cualquier valor de fases nos lleva a una violación de Bell, sino que solo algunas combinaciones periódicas. Estas selecciones locales que anteriormente denominamos como a0 , a00 , b0 y b00 , para pares fotones corresponderán a los siguientes valores crı́ticos de fase: φa = π , 4 φb = 0, π φ0a = − , 4 70 φ0b = π . 2 (4.11) CAPÍTULO 4. METODOLOGÍA 4.2. 4.2.1. 4.2 Elementos de Medición Estabilización y Control de Fase Para barrer los valores de fase necesarios en la reproducción de curvas de Bell, necesitamos primero estabilizar las cuentas coincidentes entre ciertos detectores. Esto es porque las perturbaciones ambientales provocan una interferencia de dos fotones entre ambos interferómetros. Como no podemos controlar la fase mirando las coincidencias entre diferentes detectores APD’s (resultados de medición), dada la rapidez de algunos dispositivos, es necesario obtener una señal de interferencia clásica que nos entregue información de que cambios de fase están ocurriendo en cada interferómetro. Junto con el laser de bombeo de λp = 403nm, en el sistema se inyecta un segundo laser de λc = 850nm, el que recorrerá completamente cada interferómetro hasta una salida óptica de cada uno de ello, para luego ser separado del haz de fotones convertidos λs = λi = 2λp = 806nm mediante filtros (despues de los BS’s pero antes que los APD’s) [49]. Como el esquema esta ideado para que no ocurra interferencia de un fotón, debemos asegurar entonces, que el laser de control tenga una longitud de coherencia mayor que la diferencia La − Sa y Lb − Sb para poder ver las pertubaciones ambientales, las cuales serán detectadas como un patrón de interferencia por un foto-sensor clásico. La señal electrica de este sensor será registrada en amplitud voltaje. Los dispositivos que compensarás las fases serás y un Espejo con Piezo-Eléctrico en Alice y un Stretcher de Fibra óptica en Bob. El espejo con piezo eléctrico es basicamente un espejo normal de cobertura de plata, adherido a un soporte metálico con una base-membrana piezo-eléctrica conectada por una señal de voltaje al hardware de control. Mientras que el Stretcher, es una caja que contiene una fibra óptica enrollada en espiras con sus extremos libres para conexion óptica. Esta fibra interna se encuentra adherida a una montura con membrana piezo-electrica igualmente conectada a una señal de voltate del hardware de control, como el espejo. 71 CAPÍTULO 4. METODOLOGÍA 4.2 Figura 4.1: Representación gráfica de control por señal espejo. Una señal eléctrica gatilla una respuesta invertida, para lograr fijar cierto valor de fase. El funcionamiento de ambos equipos es similar, porque comprimen o expanden el camino óptico de los brazos largos de cada interferómetro buscando un punto fijo de interferencia en el laser de control, lo que se reflejará en la estabilización del valor de coincidencia entorno a un cierto valor, entre diferentes salidas (Figura 4.1). Una vez hecho ese paso, sobre la señal eléctrica que manipula a los controladores de fase, se imprime una segunda función del tipo V = sen2 (t). 4.2.2. Sistema Electrónico de Control de Fase El control de fase toma las señales eléctricas analógicas dadas por los receptores ópticos del laser de control, para luego responder a cada interferómetro para manipular independientemente φa = φ0a + φca y φb = φ0b + φcb , donde la comilla representa las perturbaciones ambientales y c denota a la fase de estabilización o control [50]. Si se desea mantener fija la fase de Alice φa , el sistema responde con una señal eléctrica “pseudo-espejo” que imprime al sistema una fase φca = −φ0a + Fa , 72 (4.12) CAPÍTULO 4. METODOLOGÍA 4.2 donde Ca es una fase constante, de esta forma la fase total queda simplemente como φa = Fa . (4.13) Y de la misma forma para el interferómetro de Bob con φb . Cada perturbación ambiental puede llevar a desfases de varias longitudes de onda de un momento a otro, entre los brazos de cada interferómetro. Por lo que esos desfases se compensan con un espejo con piezo-eléctrico en el caso de Alice, y un stretcher (o rollo de fibra con fiezo-eléctrico) en el caso de Bob. Y su respuesta eléctrica es relativamente rápida, al igual que el sistema de procesamiento por FPGA. Por otro lado los niveles de voltaje que maneja el hardware de procesamiento (FPGA) son tan bajos (del orden de 3[V ]), que aunque amplifiquemos la señal de salida (o alimentación de los dispositivos de control), estas no son suficientes como para compensar cambios defase de varias longitudes de onda. Figura 4.2: Diente de sierra en el control limitado ideal. Para producir un barrido de varios periodos en la interferencia por desfase. Debido a lo anterior, los dispositivos de control por expansión o contracción quedan limitados a pequeños tramos, donde es posible barrer solo algunos ciclos de fase (o longitudes de onda), aumentando o disminuyendo el voltaje linealmente entre dos valores lı́mite Vmin y 73 CAPÍTULO 4. METODOLOGÍA 4.2 Vmax . De esta forma, el barrido de varias longitudes de onda se reduce a barrer solo pocas longitudes de onda, en forma ciclica, como los dientes de sierra, los cuales se muestran en la gráfica ideal de la Figura 4.2 Ahora, para barrer continuamente el valor de fase total φa debemos modificar el control, cambiando la respuesta a φca = −φ0a + Fa (t). (4.14) De esta forma la fase total queda simplemente como φa = Fa (t) = at, (4.15) donde a es una constante. Este método se repite para la fase de Bob φb . Por lo tanto, en conjunto podemos controlar la combinación de fases entre Alice y Bob. Otra razón por la cual es necesario el control de fase se debe a que si contamos con una red de comunicación, cada estación de repetición introduce alguna clase de ruido en fase, lo que debe ser compensado en cada tramo [51]. 4.2.3. Detección de Eventos En el sistema de coincidencias debemos distinguir los siguientes elementos electrónicos Cuentas Simples Reales: Representan una estimativa de la cantidad de fotones de un haz, detectados en por el detector APD, según la potencia de llegada al sensor del dispositivo. Cuentas Simples Oscuras: Representan la reacción no controlada de señales dentro del detector APD, y se origina principalmente por perturbaciones térmicas en la electrónica del dispositivo. Ventana de Coincidencia: Intervalo de tiempo en el cual se evalúa la coincidencia de pulsos digitales producto de fotones detectados entre dos o más APD’s. Tiempo Muerto: Tiempo en el cual se mantiene inactiva la venta de coincidencia. 74 CAPÍTULO 4. METODOLOGÍA 4.2 Tiempo de Muestreo: Corresponde al tiempo en el cual se promedia la cantidad de cuentas por segundo. Cuentas Coincidentes: Si un fotón es detectado por un APD, este responde con un pulso digital dirigido hasta una caja de análisis de datos, la cual habilita la apertura de la ventana de coincidencias de t[ns]. Si otro APD detecta un fotón y envı́a su pulso correspondiente a la misma caja de análisis antes de que la ventana de detección se cierre, este evento es registrado como una coincidencia dentro de la ventana de tiempo. Cuentas Coincidentes Accidentales: Como la ventana de detección es controlada electrónicamente, es posible que su activación sea paulatina, es decir, que tome un cierto tiempo hasta que quede completamente activa, y lo mismo para su desactivación. En esos lapsos de activación o desactivación, las cuentas coincidentes pueden ser o no ser detectadas correctamente, lo que se traduce en un registro de coincidencias que no estan totalmente correlacionadas en tiempo. Su valor viene dado por la expresión: Acc = 1, 2 · D1 D2 τ , TM (4.16) donde D1 y D2 son las detecciones simples en dos detectores especı́ficos, τ es la ventana de coincidencias y T M el tiempo de muestreo. Cabe destacar, que el factor 1, 2 corresponde a un ajuste estadı́stico poissoniano. Retrazo Temporal: Si la señal de un APD llega a la caja de análisis antes que otra señal que sabemos que se encuentran correlaciondas en tiempo, entonces la activación de la ventana de coincidencias es retrazada un tiempo fijo controlado por el experimentador. Exceso: Representa cuantas cuentas coincidentes hay respecto a las cuentas coincidentes accidentales, y su valor viene dado por Exc = donde C es el número de coincidencias. 75 C − Acc , Acc (4.17) CAPÍTULO 4. METODOLOGÍA 4.2 En la Figura 4.3 se muestra como debe funcionar un sistema ideal de digitalización de coincidencias. Donde los tiempos de emisión de cada par se encuentran entre paréntesis y su selección de caminos como SS y LL. Se aprecia como un par generado en T = 0 da origen solo a una coincidencia en SS en t = 0, lo que impide su coincidencia LL en t = 0, 5. De forma análoga ocurre lo mismo para otros tiempos de emisión y detección. Figura 4.3: Diagrama de coincidencias, por pulsos temporales. Notemos que, ninguna detección LL generada en un tiempo T llega antes que una detección SS generada en un tiempo T + 1, con lo que se evita un solapamiento de pulsos. Y además se debe ver que el valor ∆T es ajustable con la diferencia L − S entre los caminos de cada interferómetro. Para un mejor entendimiento del proceso microscópico y electrónico de detección la referencia [52] es un buen documento. Junto al correcto funcionamiento de los sistemas analógicos y digitales es necesario un buen funcionamiento de la fuente de fotones gemelos. Esta fuente se maneja protocolarmente de la siguiente forma. Mediante control de perfiles transversales y longitudinales de los haces, temperatura e inclinación de componentes se debe lograr “Phase-Matching” en el cristal. Busqueda del mejor Brillo Espectral (pares de fotones por potencia de bombeo por segundo SB = C ). Ppump T 76 CAPÍTULO 4. METODOLOGÍA 4.2 Se prosigue con estudios de transmisibilidad para cada componente óptico, buscando la mejor configuración. Al instalar las fibras ópticas y se realizan estudios de acople, para fotones individuales y correlación de pares. Se estudia el hecho de disminución de entrelazamiento cuando aumenta el acople de fotones individuales. Lo que depende del enfoque de los fotones,como del núcleo de fibra. Utilizando instrumentos de corte y fusión de fibras, logramos las extensiones necesarias. Medición bruta se realiza con reflectómetro óptico (OTDR), y ajuste micrométrico con una linea de retraso espacial, buscando ∆ = La − Sa − (Lb − Sb ) = 0. Se instala un sistema de conteo de coincidencias, directamente conectado a los cuatro detectores. Con ajustes de retraso para diferentes brazos entre Alice y Bob. Una vez encontrada la interferencia se procede a estabilizar sus oscilaciones producto de fases entre los fotones de distintos caminos. Mediante los mismos controladores (espejo con piezo eléctrico y stretcher de fibra), sobreponemos modulaciones de fase para barrer todos los valores necesarios. 4.2.4. Control de Polarización Recordemos que el control de polarización tiene como única función mantener una polarización relativa fija entre los caminos de los fotones. Al igual que en la interferencia de un fotón, que no esta presente en este experimento, la interferencia de dos fotones solo ocurre entre iguales proyecciones de polarización, ya que los campos con vectores ortogonales no manifiestan interacción. Sabemos que la fuente de fotones gemelos produce un fotón en polarización vertical y el otro en polarización horizontal, colineales entre si. Estos son separados mediante un PBS, reflectando el fotón vertical directamente hacia Alice y transmitiendo el fotón horizontal 77 CAPÍTULO 4. METODOLOGÍA 4.2 directamente hacia Bob. Los fotones con polarización horizontal son rotados a polariación vertical, mediante una placa de media onda HWP (o λ2 ) puesta a 45◦ . De esta forma cada uno de los fotones de un par, sale de la fuente con polarización vertical, volviendo indistinguible al fotón 1 del fotón dos. Despues de la fuente los fotones ingresan a cada interferómetro, y al cabo de un cierto tramo son acoplados en fibra óptica. Los caminos de fibra óptica en Alice son pequeños, ≈ 2[m] antes de cerrar el interferómetro en un BS de fibra óptica, pero los caminos en Bob son mucho más grandes, ≈ 1000[m] antes de cerrar el interferómetro en un BS de fibra. Debido a la gran tamaño que adquiere el interferómetro de Bob, se aprecian cambios de polarización en los fotones que circulan por sus brazos, y la única forma de contrarrestarlos es aplicando torción mecánica fija sobre las fibras de cada brazo de Bob. Los dispositivos que logran esto, se llaman Controladores de Polarización en Fibra, y son tres espiras de fibra óptica ubicadas en serie, las cuales se pueden torcer manualmente. Para lograr un adecuado ajuste se debe asegurar que los haces de fotones en cada uno de los caminos llegan con la misma polarización a los BS’s de fibra de sus respectivos interferómetros. Al momento de desacoplar las salidas del BS de cierre del interferómetro de Bob, se monta un PBS. Si se tuercen las espiras de los controladores de polarización hasta maximizar la transmisión de fotones por ese PBS, damos mayor polarización horizontal a cada haz, y como cada uno de los haces recorre el mismo tramo de salida del BS de fibra mono-modo, podemos decir que las polarizaciones de cada haz, en el punto de interferencia dentro del BS son muy parecidas. Solo en esta condición se puede apreciar interferencia entre fotones. Para el interferómetro de Alice ocurre algo muy parecido, salvo que en vez de utilizar controladores de polarización, se añade una placa de media onda HWP y una cuarto de onda QWP a cada brazo, para ajustar las mejores polarizaciones. 4.2.5. Control de Ruido Óptico Aunque la sensibilidad de los detectores de fotones es de ≈ 10 %, basta para detectar fuentes de luz no deseada en el ambiente. Si no se aisla correctamente puede detectarse luz proveniente de cualquier sitio, no solo de la fuente en estudio, lo que dará resultados sucios 78 CAPÍTULO 4. METODOLOGÍA 4.2 y de foca fidelidad. incluso, es posible que la luz no deseada ingrese indirectamente a los detectores, a traves de un acople en fibra. Debido a esto, en el experimento se optó por sellar la mesa óptica con poliestireno expandido (o plumavit) para aislar fuentes de radiación térmica, cambios de temperatura, y luz visible. En cambio, para retirar la tasa de fotones no convertidos, se utilizó un espejo dicroico con 90 % de transmisión perpendicular al eje óptico, justo despues del cristal. Posteriormente se dispuso de un filtro de 806 ± 10[nm] en el interior de cada detector, junto a un filtro de 808 ± 1[nm] en el exterior de cada uno de ellos, inclinado a ≈ 15◦ . Por último, para retirar el laser de control, se montaron espejos dicroicos de 90 % de tranmisión a 45◦ , inmediatamente después de los PBS ubicados antes de los detectores. 79 Capı́tulo 5 Resultados y Análisis 5.1. Generación de Fotones Gemelos La tasa de fotones gemelos generados depende de como se ajuste el Quasi-Phase-Matching, y esta condición se controla principalmente mediante la temperatura del cristal, la calidad de enfoque en el cristal , el perfil de bombeo y la inclinación del cristal. Sin considerar los aspectos de filtraje posteriores. 5.1.1. Visibilidad de Interferencia vs Potencia de Bombeo Del análisis teórico de curvas de Bell, introduciremos una forma resumida para las probabilidades de detección de coincidencia, la cual es Pi,j (φa + φb ) = 1 − (−1)δij Vi,j cos(φa + φb ) , 4 (5.1) donde i, j = ±1 son los detectores seleccionados entre Alice y Bob. Definiremos dos visibilidades de interferencia; primero la Visibilidad Simple o Bruta como aquella que establece la amplitud de interferencia tomando en cuenta todas las coincidencias presentes en una curva: V = C max − C min . C max + C min (5.2) Con C max como el valor máximo de coincidencias promedio y con C min como el valor mı́nimo de coincidencias promedio en un curva. 80 CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y ANÁLISIS 5.1 Y en segundo lugar la Visibilidad Ajustada, a la cual se le extrae el promedio de cuentas accidentales registradas por la electrónica: C max − Acc − (C min − Acc) C max − Acc + (C min − Acc) C max − C min = C max + C min − 2Acc VAjustada = (5.3) (5.4) En la Figura 5.1 se aprecia un test de optimización de cuentas. Experimento en el cual se observó la interferencia en coincidencias entre dos detectores fijos, un de Alice y otro Bob. Y como resultado se monitorizaron las visibilidades ambas visibilidades de interferencia vs la potencia del laser de bombeo sobre el cristal no-lineal. Lo cual se realizó atenuando mediante filtros neutros discreto. Figura 5.1: Visibilidad de Interferencia, atenuando la potencia de bombeo sobre el cristal La tendencia de la gráfica se explica debido a que al aumentar la potencia existe un mayor ruido óptico y a la aparición leve de modos extraños, ajenos a la Gaussiana principal de bombeo. Esta información esta resaldada por los estudios [53], [54]. Aunque parece tentativo trabajar en una condición con alta atenuación y mucha visibilidad de interferencia, esto no es bueno, ya que las cuentas coincidentes en ese régimen son 81 CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y ANÁLISIS 5.1 tan bajas que la señal de control es capaz de sobreponerse a los fotones gemelos, con lo que los detectores no detectarian fotones gemelos, sino que ruido indeseable. Debido a aquello, se optó inicialmente por trabajar entorno a una potencia de 7[mW ]. Aunque parezca que este punto es de baja visibilidad, más adelante se compensará la visibilidad con un mejor ajuste de temperatura en el cristal. 5.1.2. Cuentas Simples y Coincidentes vs Temperatura del Cristal Las pruebas hechas en el experimento testeando diferentes configuraciones de acople en fibra mono-modo, dan lugar al siguiente registro de eventos entre Alice y Bob Figura 5.2: Cuentas Simples y Coincidentes Normalizadas vs Temperatura del Cristal PPKTP Esta gráfica de la Figura 5.2 representa la tasa de fotones acoplados en fibra mono-modo según temperatura del cristal. Podemos distinguir tres peaks importantes, donde se marca un gran número de cuentas en los detectores de Alice y Bob, pero solo en el peak central en el que las coincidencias llegan a un máximo. Este resultado lo podemos explicar si recordamos que nuestro cristal está fabricado para producir fotones colinealmente (con solo una intersección entre los conos). Es decir, que el 82 CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y ANÁLISIS 5.3 Quasi-Phase-Matching real ocurre solo cuando se logra emitir fotones en el mismo modo central [55]. Los máximos izquierdo y derecho de la gráfica, en realidad son un punto donde las cuentas simples parecen máximas debido a que se genera una gran cantidad de fotones, pero estos no son dirijidos correctamente al mismo modo convertido. Por lo tanto, cuando los detectores marcan, no lo hacen entre pares correspondientes, sino que entre fotones de pares diferentes. En vista de lo anterior, en el experimento ubicamos la fuente en el punto central, donde si se detecta cada fotón de un mismo par. 5.2. Ajustes Geométrico-Temporales Dimensiones Geométricas: Para no tener interferencia de un fotón debemos mantener la relación L − S ≥ Lcoh , por lo que este experimento cuenta con La − Sa = Lb − Sb =≈ 315[cm]. Dicha exactitud se logra utilizando una linea de retraso montada en el brazo largo del interferómetro de Bob, lo que permite buscar el mejor ajuste micrométrico. El máximo de desplazamiento de real es 15[cm] en ambos sentidos, es decir que permite acortar o alargar el camino largo de Bob en 15[cm]. Para busquedas del punto de interferencia La − Sa = Lb − Sb , la linea es configurable para moverse hasta pasos de 0,001[mm]. Retrazo: Como las coincidencias ocurren entre detectores ubicados a diferentes distancia respecto de la fuente, tenemos que la diferencia en dimensiones, ≈ 1000[m] se manifiesta como un retraso de ∆T = 1, 45 · 1000 ≈ 4833[µs], c (5.5) el cual debe realizarse de forma electrónica entre caja de coincidencias y un repetidor de señales electricas (gracias a un Generador de Funciones). 83 CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y ANÁLISIS 5.3. 5.3.1. 5.3 Correlación de Fotones Gemelos Hong-Ou-Mandel Previo a la distribución de los fotones, debemos asegurar que la generación esta suficientemente correlacionada como para generar pares de fotones degenerados y con el mismo grado de coherencia. Por ello, C. K.Hong, Z. Y Ou y L. Mandel propusieron un efecto óptico cuántico [56]. Si dos fotones con función de onda idéntica entran en un BS 50:50, uno por cada entrada, entonces ambos fotones colapsan en una sola de las salidas del BS. Por otro lado, si son ligeramente diferentes, cada uno toma una de las salidas del BS. Lo anterior se mide registrando las coincidencias entre dos detectores ubicados a las salidas del un único BS. Si no se registran coincidencias, entonces los fotones son idénticos o gemelos, mientras que si se detectan coincidencias, los fotones no son gemelos. En este experimento se verificó lo idéntico que son los pares de fotones gemelos, obeniendo el siguiente resultado. Figura 5.3: a) Cuentas Simples Constantes. b) Decaimiento de Coincidencias por efecto HongOu-Mandel De la Figura 5.3 es evidente el efecto de descenso en las cuentas coincidentes cuando los fotones calzan en el mismo grado de coherencia, ya que cada par toma una misma salida. Por otro lado, las cuentas simples permanecen constantes y no pueden caer, ya que debe mantenerse el 50 % reflexión y transmisión en el BS que determina a los dos detectores, es 84 CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y ANÁLISIS 5.4 decir, que debe haber ≈ 50 % de fotones en cada detector. El cristal utilizado, esta fabricado para producir fotones gemelos con longitudes de onda iguales, lo que les entrega un estado energético degenerado. En este sentido, la prueba también permite establece que tan similares son los fotones producidos, ya que si estos tuvieran una longitud de onda diferente, su coherencia conjunta seria muy baja, y no podrı́a verse la depresión de Hong-Ou-Mandel. Al analizar la gráfica podemos concluir que la visibilidad promedio de la depresión es de Vdip = Cmax − Cmin ≈ 67 % Cmax + Cmin (5.6) Valor suficiente para establecer que se cuenta con pares de fotones muy cercanos en longitud de onda, lo que los convierte en fotones gemelos. 5.4. Estabilización de Fase En la Figura 5.4 se aprecia la respuesta eléctrica de un fotosensor de control a la salida de uno de los interferómetros. Figura 5.4: Patrón de interferencia de óptica clásica en laser de control 850[nm] en uno de los dos interferómetros. En el segmento izquierdo hay una modulación de fase de tipo triangular, mientras que en el segmento derecho se desactiva el control. Este resultado és logrado al modificar la posición del espejo con piezo-eléctrico a nivel 85 CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y ANÁLISIS 5.4 nanométrico, con el cual incluso es posible fijar valores de fase en cualquier punto de la interferencia, ya que podemos barrer todos sus puntos. De este resultado y el adecuado análisis se ha encontrado que el sistema posee una frecuencia de oscilación predominante en 20[Hz]. Como los fotones gemelos circulan por el mismo sistema que el laser de control, ellos ven las mismas perturaciones ambientales por cada interferómetro. Por lo tanto al monitorear la interferencia en coincidencia con control se obtiene lo que muestra la Figura 5.5 Figura 5.5: Detección de interferencia en coincidencias. En la sección izquierda puede verse un patrón de interferencia aleatorio ya que el control está desactivado. Y en la sección derecha puede verse el patrón de interferencia estabilizado en un valor fijo. Las fluctuaciones en interferencia son producto de las fluctuaciones conjuntas del interferómetro de Alice y Bob, dadas por φa y φb respectivamente. Y su control se logra al estabilizar conjuntamente ambos interferómetros, monitoreando activamente el laser de control visto en la figura anterior. En la zona control sigue habiendo una ligera dispersión, lo que se debe a que aún hay luz indeseable que es detectada como laser de control, o ruido óptico. Lo que ha sido ajustado de mejor forma para la obtención de curvas de Bell. Como resultado se tiene que, la estabilización y control de fase en fotones gemelos se logra 86 CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y ANÁLISIS 5.5 mediante la estabilización y control de fase en un laser colineal extra, distribuido a través del esquema experimental. 5.5. Interferencia vs Desbalance con Estabilización Para apreciar interferencia en coincidencias, el sistema el desbalance variable debe ajustarse hasta dejar totalmente simétricas ambas diferencias de camino entre los interferómetros, lo cual se hace desplazando la linea de retrazo. En esta busqueda, el número de cuentas coincidentes oscilará con máxima visibilidad si es que las dimensiones del sistemas son precisas, mientras que lo harán con poca visibilidad si los desbalances de brazos son diferentes, como lo muestra la Figura 5.6 Figura 5.6: Diagrama de interferencia óptica por coincidencias. Se aprecia el aumento y posterior caida en la visibilidad producto de la diferencia entre las dimensiones de los interferómetros. Según este comportamiento es facil encontrar la longitud de coherencia de los haces involucrados, lo cual está representado en la imagen, y explicado en las secciones previas. 87 CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y ANÁLISIS 5.5 Para encontrar el punto en que los interferómetros se encuentran igualmente desbalanceados, debemos barrer la linea de retraso de Bob hasta ver que las fluctuaciones de coincidencias llegan desde un valor cero hasta el doble de la media en coincidencias. El problema de esta busqueda es que en al mover la linea de retraso se producen perturbaciones muy rápidas como para que el contador registre sus variaciones, con lo que todas las perturbaciones se reducen a la media común y corriente. Figura 5.7: a) Estabilización de interferencia con linea de retraso en movimiento. b) Estabilización de Interferencia deficiente con linea de retraso en movimiento. c) Movimiento de linea de retraso sin estabilización de interferencia. 88 CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y ANÁLISIS 5.5 De esta forma se vuelve necesario que el control se encuentre activado, pues es el único medio de ver las perturbaciones de fase en los interferómetros. En la siguente imagen se puede ver como la reacción de control, al intentar ajustar valores de fase, logra barrer valores de fase suficientemente lentos para que la detección coincidente pueda ver la interferencia. En el caso b) de la Figura 5.7 anterior, tenemos que el control deficiente se debe principalmente a un inapropiado ajuste de parámetros de respuesta, los cuales vienen dados por un registro de las potencias del laser de control en los brazos de cada interferómetro. Si por alguna razón, la potencia del laser de control oscilara en el tiempo, tendrı́amos un efecto de oscilación de potencia en la recombinación de luz, lo que es diferente a un patrón de interferencia. Entonces, si no somos capaces de identificar tales fluctuaciones de potencias individuales, el sistema, por más que responda cambiando fases par ajustar, no estabilizará nunca. No se puede controlar potencia con un simple control de fase. Finalmente vemos que el control funciona, ya que se ha encontrado un punto de ajuste (o de mayor visibilidad de interferencia). Y si extendemos este patrón en forma lineal hasta los extremos ideales, tenemos que longitud de coherencia de los fotones corresponde efectivamente a Lcoh < 500[µm]. 89 CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y ANÁLISIS 5.6. 5.6 Control de Fase y Curvas de Bell Es bueno hacer la diferencia arbitraria entre los conceptos de estabilización y control, pues con estabilización nos referimos a fijar valores de fase φa = Fa y φb = Fb , mientras que con control hablamos de una busqueda continua en tiempo real de distintos valores de fase φa = Fa (t) y φb = Fb (t). Entonces, barrer una curva de Bell corresponde a controlar la señal de interferencia mediantelos dos componentes de control, tanto en Alice como en Bob, dejando fija la fase de Bob y variando lentamente la fase en Alice [57]. En primera instancia tenemos la Figura 5.8 con los resultados de φb = 0 Figura 5.8: a) Curvas de Bell entre los detectores +1 de Alice y +1 de Bob, y entre +1 de Alice y -1 de Bob con φb = cte = 0. b) Curvas de Bell entre los detectores -1 de Alice y -1 de Bob, y entre -1 de Alice y +1 de Bob con φb = cte = 0 Podemos ver rápidamente que estas curvas tienen un caracter inverso. Esto es, por ejemplo, que cuando suben las coincidencias entre los detectores +1 y +1, necesariamente deben bajar las coincidencias entre los detectores +1 y -1, ya que una coincidencia entre +1 y +1 impide la existencia de una coincidencia entre +1 y -1. Lo anterior se debe a que por cada generación solo hay un par, con un fotón para cada observador, por lo tanto un resultado para cada observador. 90 CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y ANÁLISIS En segunda instancia tenemos la Figura 5.9 con los resultados de φb = 5.6 π 2 Figura 5.9: a) Curvas de Bell entre los detectores +1 de Alice y +1 de Bob, y entre +1 de Alice y -1 de Bob con φb = cte = π2 . b) Curvas de Bell entre los detectores -1 de Alice y -1 de Bob, y entre -1 de Alice y +1 de Bob con φb = cte = π2 . Los puntos, representan los datos recolectados, mientras que las lineas sólidas al ajuste predicho por a teorı́a. Estas curvas de coincidencia representan al resto de combinaciones entre detecotores, y su comportamiento es análogo al de las curvas con φb = 0. Otra apreciación importante es que debe haber una conservación de coincidencia totales, lo que es basicamente la respuesta al comportamiento inverso de las curvas. El mejor ajuste de Visibilidad se logró con un promedio de detección de 100 coincidencias (≈ 50 coincidencias entre caminos corto-corto y ≈ 50 coincidencias enter caminos largo-largo). Mientras que las cuentas simples fueron ≈ 74000 y ≈ 54000 para Alice y Bob, donde el menor número de cuentas en Bob se explica por la atenuación experimentada en el kilometro de fibra que posee. Finalmente las curvas de Bell se lograron modulando con el espejo piezo-eléctrico en con periódo de ≈ 30[s], registrando cada punto de las curvas con un tiempo de integración de 1[s]. La Visibilidad simple promedio entre las 8 curvas fue de V = (84, 36 ± 0, 47) %, y cuando se restan las coincidencias accidentales (valores cuya cantidad es indeseable) se obtiene una visibilidad de VAjustada = (95, 12 ± 0, 20) %. 91 CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y ANÁLISIS 5.7. 5.7 Violación de Desigualdad CHSH Como se explicó en la teorı́a, las funciones de correlación se obtienen mediante los siguientes pasos 1. Buscar los valores crı́ticos φa = π4 , φ0a = − π4 y φb = 0, φ0b = π 2 en las curvas de Bell. 2. Para encontrar las probabilidades de la teorı́a, se debe tomar el valor de cuentas no normalizado de cada punto en cuestion y dividirlo por el numero total e coincidencia. 3. Reemplazar las probabilidades en las expresiones de funciones de correlación, cuya representación gráfica se muestra en la Figura 5.10. Figura 5.10: Funciones de Correlación y su combinación con resultado de violación de Bell Lo que nos entrega los siguientes valores de Bell √ S = 2,39 ± 0, 12 ≈ 2 2V √ SAjustada = 2, 69 ± 0, 05 ≈ 2 2VAjustada nonumber (5.7) (5.8) donde el valor que realmente importa es aquel que ocurre a nivel experimental, considerando todas las imperfecciones, es decir, el valor simple. Esta cantidad resulta ser superior al lı́mite clásico de SCM = 2 por 3.25 desviaciones estandar, e inferior al lı́mite cuántico de √ SQM = 2 2, indicando claramente que el sistema contiene partı́culas con comportamiento de estado entrelazado, es decir que nos encontramos dentro del marco de la mecánica cuántica. Pero no podemos asegurar aún que el experimento se encuentra cerrado [35]. 92 Capı́tulo 6 Conclusión En este trabajo se ha logrado construir un nuevo esquema de medición de larga distancia para sistemas bipartı́tos entrelazados en energı́a-tiempo. La configuración geométrica de recombinación de interferómetros utilizada, crea estados entrelazados imposibles de describir mediante predicciónes clásicas por modelos de variables ocultas. En el sistema se utilizó una fuente de fotones gemelos, los cuales fueron distribuidos por dos interferómetros Mach-Zehnder modificados y extendidos con fibras óptica. Se logró obtener curvas de interferencia en coincidencia con gran visibilidad V = (84, 36 ± 0, 47) %, las cuales no hubieran sido posibles sin un sistema de control activo retroalimentado que presenciará todas las fluctuaciones de fase en cada interferómetro. Realizando el análisis adecuado sobre las curvas de Bell producidas, se logró llegar a √ funciones de correlación cuyo valor conjunto de Bell fué S = (2,39 ± 0, 12) ≈ 2 2V , lo que indica que el sistema comprueba ser de caracter no-clásico. El haber implementado un sistema basado en fibra óptica abre paso a futuros tests y modificaciones escenciales para continuar cerrando loopholes, y ası́ contar con un equipamiento adecuado a la hora de estudiar y medir estados entrelazados. En particular, el esquema actual puede modificarse para que las fibras ópticas extendidas separen de forma efectiva a los observadores, tal que se impida algún tipo de comunicación clásica entre ellos. En ese sentido, pueden independisarse las mediciónes y los resultados locales, cerrandose el loophole de localidad. Además, trabajar con fibras ópticas permite trabajar en nuevas áreas como lo 93 CAPÍTULO 6. CONCLUSIÓN 6.0 son las redes de telecomunicaciones cuánticas. El exito de este trabajo de tesis pone las bases experimentales para futuras implementaciones de distribución de llave cuántica por codificación en fase. Por lo tanto, sus cualidades lo vuelven una herramienta única para criptografı́a cuántica en redes. El experimento es más que la simple suma de sus partes; un interferómetro doble recombinado, una separación entre Alice y Bob por fibras largas, y un sistema de control. Con el es posible medir sistemas de partı́culas entrelazadas en energı́a-tiempo y distribuidas en fibras de forma relativamente simple, ya que un sistema basado en entrelazamiento de polarización en fibra, necesita muchos mas recursos que el experimento aquı́ expuesto. Concluimos que aunque en este trabajo se haya cerrado correctamente el loophole de Post-Selección, es necesario continuar trabajando para cerrar los demás loopholes que se presentan en este tipo de sistemas. De no seguir esta busqueda, lo que consideramos como universo visible e interactuante en este y otros experimentos, será en realidad una mala aproximación de la totalidad de factores y variables presentes. Entonces, un alcance al lı́mite √ cuántico de Bell S = 2 2 no será producto de un sistema cuántico entrelazado bipartito, sino que de factores externos que producirán una falsa violación [58]. Finalmente se vuelve evidente que, la busqueda de un sistema para testear la completitud de la mecanica cuántica, parece alejarse de la simpleza para buscar una forma sutil pero certeramente estructurada. 94 Bibliografı́a [1] Michiel Seevinck. Entanglement, Local Hidden Variables and Bell-inequalities. University of Utrecht, (2002). [2] Michael Nielsen and Isaac Chuang. 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