METODO DE LAS FUERZAS-CAP5
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CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Capítulo 5 Estados básicos de carga, Combinaciones de carga, Estados especiales de carga. 5.1- Estados básicos de carga En esta sección se analizan en primer lugar la definición de los distintos estados básicos de carga que se considerarán en el diseño o verificación de la estructura, y en segunda instancia las combinaciones de dichos estados de carga conformando lo que habitualmente se denominan "Combinaciones de Cargas". Se define como Estado Básico de Carga sobre una estructura al conjunto de todas las cargas de la misma naturaleza física que deben ser consideradas en forma simultánea. Entre los estados de carga básicos se incluye, por ejemplo, a las Cargas Gravitatorias (peso propio de la estructura y de los elementos no estructurales), a las Cargas Útiles o Sobrecargas, Cargas de Viento, Cargas de Sismo, Cargas o Efectos Térmicos, Desplazamientos de Apoyos, y otras cargas específicas que puede ser necesario tener en cuenta según la estructura, tales como Cargas de Frenado en los puentes, Cargas de Muchedumbre en estadios y edificios públicos, etc. Un Estado Básico de Carga se caracteriza por incluir todas las fuerzas exteriores de igual naturaleza. Si bien es habitual aplicar el Principio de Superposición de los Efectos para el cálculo de esfuerzos y deformaciones de estructuras de comportamiento lineal elástico, resulta necesario considerar que, a los efectos de definir la “Capacidad Resistente” de la estructura, los Estados Básicos de Carga deben ser “Combinados”, o sea sumados algebraicamente, teniendo en cuenta la posibilidad de que varios estados de carga básicos actúen simultáneamente. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -1- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Los aspectos a tener en cuenta para caracterizar los estados de carga básicos son los siguientes: 1) Naturaleza física de las cargas En función de este criterio, las cargas pueden ser clasificadas en dos tipos: - Cargas Principales, y - Cargas Secundarias. Las cargas gravitatorias (peso propio de la estructura y de los elementos no estructurales) provienen de un potencial que es el Campo Gravitatorio. Estas cargas son tales que su intensidad y dirección no dependen de las deformaciones que sufre la estructura para resistirlas. Las cargas de este tipo constituyen las que a veces se denominan “Cargas Principales”. Por otro lado están los estados básicos de carga vinculados a deformaciones impuestas (efectos térmicos, retracción de fragüe, cambios de humedad), desplazamientos impuestos (asentamientos diferenciales entre apoyos), o esfuerzos de compatibilidad de deformaciones. Este tipo de cargas se caracteriza por el hecho de que los esfuerzos que ellas producen se anulan si el sistema entra en fluencia o pierde rigidez. Estas cargas suelen denominarse “Cargas Secundarias”. Por lo tanto, si el sistema entra en fluencia por las cargas secundarias el sistema no colapsa, mientras que el colapso puede sobrevenir si las cargas principales superan las condiciones necesarias para llegar a la fluencia. 2) Frecuencia de ocurrencia de las cargas En función de este criterio, las cargas pueden ser clasificadas en: - Cargas Permanentes - Cargas Inusuales - Cargas Extremas Las cargas gravitatorias, o las cargas de flujo inducidas por una corriente de agua sobre una pila de puente son consideradas cargas “Permanentes”. Por el contrario, las cargas de viento de diseño no son permanentes, debido a que su probabilidad de ocurrencia resulta relativamente baja, al menos con los valores de velocidad de viento típicamente adoptados para diseño. Si bien estas cargas pueden ser supuestas como cargas provenientes de un potencial (es decir que no dependen de las deformaciones de la estructura), se distinguen de aquellas (permanentes) en que su valor suele ser muy variable en el tiempo y la intensidad de diseño ocurre con períodos de recurrencia del orden de 20 a 50 años. Las cargas de viento suelen ser consideradas como eventos “Inusuales”. Las acciones sísmicas de diseño corresponden a eventos cuyo período de recurrencia es de 200 a 400 años, y por lo tanto son consideradas cargas de tipo “Extremo”. Además de la diferencia en los períodos de recurrencia del viento y del sismo, las acciones sísmicas no son _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -2- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ estrictamente fuerzas exteriores sino desplazamientos impuestos a través del movimiento de las fundaciones. Estos movimientos son dinámicos, es decir, ocurren con una amplitud y variación en función del tiempo que deben ser definidos no sólo por la amplitud sino también por el “contenido de frecuencias” del sismo. 3) Incertidumbres Las incertidumbres en los valores de las cargas son tenidas en cuenta en el diseño a través de los factores de carga. Las incertidumbres en los valores de las cargas gravitatorias dependen de la variabilidad de la densidad de los materiales (hormigones entre 2.25 y 2.40 t/m3) y de las dimensiones geométricas. Estas variabilidades dependen de la calidad de la construcción y están normalmente consideradas por los Reglamentos de Diseño asignando a cada tipo de carga un Factor de Carga por el cual se debe multiplicar el valor nominal o teórico de la carga (y sus efectos, es decir sus desplazamientos, esfuerzos internos y reacciones). Los factores de carga suelen tomar valores próximos a la unidad, a veces mayores que 1 y otras veces menores, dependiendo de la combinación de carga considerada, y según la naturaleza e incertidumbre de la carga. Por ejemplo, al peso propio de una estructura suele aplicársele un factor de carga de entre 1.15 y 1.40. Los efectos térmicos (como estado básico de carga) suelen estar afectados de un factor de carga próximo o igual a 1. A las cargas útiles de un puente (vehículos carreteros y ferroviarios) suele asignárseles un factor de carga mayor que el peso propio, por ejemplo 1.50, debido a la mayor variabilidad de dichas cargas. Estos factores de carga forman parte de lo que tradicionalmente se designa como “Coeficientes de Seguridad”. Los factores de carga proporcionan una idea del margen de seguridad que se adopta respecto a los valores nominales de las cargas. Sin embargo, los factores de carga representan sólo una parte de los Coeficientes de Seguridad, dado que estos últimos también involucran las reducciones que deben aplicarse por las incertidumbres en la resistencia de los materiales. 5.2- Combinaciones de carga La Tabla 5.1 contiene los factores de carga adoptados en las combinaciones de carga para el diseño del Puente Principal de la Conexión Rosario-Victoria sobre el Río Paraná. El título de esta tabla indica que los factores de carga dados corresponden a las distintas combinaciones de carga a considerar en la “Verificación a Rotura” de las distintas partes de la estructura. El Estado de Rotura se define como el estado de máxima resistencia o de agotamiento de la sección o parte considerada, y suele también ser designado como Estado Límite Último. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -3- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Los estados de carga básicos están definidos en las filas de la tabla, mientras que las combinaciones de carga se indican, junto a los factores de carga, en las columnas de esta tabla. Si no se indica el factor de carga significa que ese estado de carga básico no debe ser incluido en esa combinación de carga. Los factores de carga de la Tabla 5.1 son típicos de la forma actual de realizar los diseños estructurales, en función del Estado Límite Último. El diseño frente a un Estado Límite Último tiene por objeto garantizar la seguridad de la estructura frente al colapso. Si bien este análisis es indispensable, con frecuencia resulta necesario verificar la estructura no sólo en lo relativo a su seguridad frente a la rotura sino también a otros factores como las deformaciones máximas permitidas, el grado de fisuración, etc. Estos estados de deformaciones máximas, fisuración máxima, tensiones máximas de tracción en el hormigón, etc., suelen ser denominados “Estados Límites de Servicio”; ellos tienen por objeto verificar que bajo las cargas normales de servicio no se producen desplazamientos o fisuras excesivas. La Tabla 5.2 contiene los factores de carga para las combinaciones adoptadas para verificar los estados límites de servicio para el Puente Rosario-Victoria. Como se puede apreciar, los factores de carga en esta tabla son iguales o aproximadamente iguales a la unidad. Naturalmente, los factores de carga dependen de los controles que se ejerzan de la calidad de la construcción. En este ejemplo, el factor de carga del peso propio de la estructura es de 1.20 porque se trata de una obra muy controlada. En casos en los que el control de la calidad de la construcción es menos intenso, los factores de carga para el peso propio deben ser mayores a los indicados en las Tablas 5.1 y 5.2. Algunas reglamentaciones no utilizan factores de carga diferentes de la unidad, y Tablas de Combinaciones de cargas similares a las Tablas 5.1 y 5.2 sólo contienen factores de carga iguales a 1 ó 0 según que las cargas deban ser combinadas o no. En estos casos se determina el Coeficiente de Seguridad a Rotura que corresponde a cada sección y tipo de solicitación (flexión, flexo-compresión, flexo-tracción, corte, torsión). En tales casos, el Coeficiente de Seguridad no es sinónimo del Factor de Carga descripto anteriormente y definido en las Tablas 5.1 y 5.2, dado que el Coeficiente de Seguridad tiene en cuenta también las incertidumbres propias de la calidad de los materiales y de la mano de obra, cosa que no contemplan los Factores de Carga, sino que son tenidos en cuenta en Factores de Minoración de Resistencia. Por lo tanto, es de esperar que los Coeficientes de Seguridad sean números más altos que los factores de carga. Típicamente, el coeficiente de seguridad a flexión es igual a 1.75, y a flexión compresión oscila entre 1.75 y 2.10 según la relación entre los términos de flexión y de fuerza normal. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -4- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Actualmente, los reglamentos CIRSOC (Centro de Investigaciones de los Reglamentos Nacionales de Seguridad para Obras Civiles) tienen implementadas combinaciones de cargas con Factores de Cargas. Por ejemplo, para el caso particular de estructuras metálicas, de acuerdo a reglamento CIRSOC 301, las combinaciones son: 1) 1.4 D 2) 1.2 (D + F + T) + 1.6 (L + H) + (f1 Lr ó 0.5 S ó 0.5 R) 3) 1.2 D + 1.6 (Lr ó S ó R) + (f1 L ó 0.8 W) 4) 1.2 D + 1.5 W + f1 L + (f1 L ó 0.5 S ó 0.5 R) 5) 1.2 D + 1.0 E + f1 (L + Lr) + f2 S 6) 0.9 D + 1.5 W ó 1.0 E + 1.6 H donde: f1 = 1 para áreas con concentración de público, áreas donde la sobrecarga sea mayor a 5,0 kN/m2, garajes o playas de estacionamientos, cargas de puentes grúas y monorrieles y otras cargas concentradas mayores a 50 kN. f1 = 0.5 para otras cargas. f2 = 0.7 para configuraciones particulares de techo que no permitan evacuar la nieve. f2 = 0.2 para otras configuraciones de techo. D : Cargas permanentes F : Líquidos de presencia continua y altura definida T : Autotensiones, soldaduras, cedimientos de apoyos Lr : Cargas útiles, de mantenimiento y de montaje de techos o cubiertas L : Cargas útiles, sobrecargas o montajes en pisos S : Carga de nieve W : Carga de viento R : Carga de agua de lluvia o hielo sin considerar efectos de acumulación de agua E : Acción sísmica H : Peso o empuje lateral del suelo _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -5- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Tabla 5.1. Factores de carga para Estado Límite Último (Puente Rosario-Victoria, 1999) Carga fL en combinación 1 1. 2. carga permanente hormigón 1) cargas permanentes secundarias 2 3 4 5 6 7 8 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,0 1,0 1,0 2) carpeta asfáltica 1) 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,0 1,0 1,0 otros elementos 1) 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,0 1,0 1,0 extra espesor (2 cm) carpeta asfáltica 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,0 1,0 1,0 movimiento de agua 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,0 1,0 1,0 3. sobrecarga útil 1,5 1,25 1,25 1,25 - - - 1,0 4. Viento durante la construcción (estático) - 1,1 - - - - - - durante la construcción (dinámico) - 1,0 - - - - - - en comb. con cargas perm. solo - 1,4 - - - - - - en comb. con cargas permanentes, útiles y otras cargas - 1,1 - - - - - - - 1,0 - - - - - - - 1,0 - - - - - - efectos aliviadores viento con efectos dinámicos 5. Temperatura variación de temperatura - - 1,3 - - - - - fricción - - - - 1,3 - - - gradiente de temperatura - - 1,0 - - - - - - - - 1,25 - - - - 1,0 1,0 1,0 6. Frenado 7. Asentamiento 8. Cargas excepcionales 9. 1,20 1,20 1,20 1,20 1,20 sísmo - - - - - 1,0 - - impacto de embarcaciones - - - - - - 1,0 - pérdida de un cable - - - - - - - 1,0 - - - - - Cargas de construcción - 1,15 1,15 Nota: para verificaciones en ELU se aplica un factor general adicional fL = 1,10 excepto para combinaciones 6, 7 y 8, donde se considera fL = 1,0 1) factor intermedio fL = 335·1,15+38,3·1,20/(335+38,3) = 1,155 2) ver nota 1 en ELS _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -6- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Tabla 5.2. Factores de carga para Estados Límites de Servicio (Puente Rosario-Victoria, 1999) fL en combinación Carga 1. 2. Carga permanente hormigón 2 3 4 5 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1) Cargas permanentes secundarias : carpeta asfáltica 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 otros elementos 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 extra espesor (2 cm) carpeta asfáltica 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 movimiento de agua 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 - 3. Sobrecarga útil 4. Viento 5. 1 1,2 2) durante la construcción - 1,0 - - - en combinación con carga útil - 1,0 - - - en combinación con cargas permanentes, útiles y otras cargas - 1,0 - - - efectos aliviadores - 1,0 - - - Temperatura variación de temperatura - - 1,0 - - fricción - - - - 1,0 gradiente de temperatura - - 0,8 - - - - - 1,0 - 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 6. Frenado 7. Asentamiento 8. Cargas excepcionales, sismo, Impacto de embarcaciones, pérdida de obenque 9. Cargas de construcción No se consideran - 1,0 1,0 - - 1) según [11], párrafo 5.2.2.1 se considera un factor fL reducido con la condición de que las cargas permanentes secundarias nunca sobrepasen el valor de cálculo durante la vida útil del puente. El sobreespesor de la carpeta asfáltica se aplica al sistema elástico como una sobrecarga útil. 2) para obenques fl = 1,0 según [17] _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -7- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ 5.3- Esfuerzos y deformaciones en vigas con cables postensados 5.3.1. Introducción El objetivo tanto del pretensado como del postensado consiste en la reducción de las tensiones en las zonas traccionadas de las estructuras de hormigón para compensar la reducida resistencia a la tracción del hormigón. Esto se consigue sometiendo a los elementos estructurales a compresión, mediante una tensión previa, de modo tal que los esfuerzos que actúen en zonas traccionadas deban primero anular estas tensiones de compresión antes de producir tensiones de tracción en el hormigón. Los fenómenos de retracción y fluencia lenta deben ser cuidadosamente considerados dado que producen acortamientos en función del tiempo de las fibras de hormigón a lo largo de los elementos tensores. Por ejemplo, la pérdida de una parte de la deformación previa del acero produce pérdidas de los esfuerzos de tesado entre 5 y 20% para aceros de alta resistencia. El movimiento de los cables de acero dentro de las vainas de deslizamiento origina resistencias de rozamiento que actúan sobre el hormigón en la dirección del tesado. Las principales ventajas del hormigón pretensado son: 1) El pretensado permite cubrir mayores luces y utilizar estructuras más esbeltas con un menor peso propio que el hormigón armado. 2) El pretensado mejora la capacidad de servicio dada una reducción considerable de la fisuración del hormigón que permite aumentar su durabilidad. 3) Las deformaciones se reducen apreciablemente para las estructuras sometidas a cargas de servicio. 4) Las estructuras de hormigón pretensado tienen una elevada resistencia a la fatiga dado que las amplitudes de oscilación de las tensiones en aceros de alta resistencia se mantienen muy por debajo de la resistencia a la fatiga. 5) Las estructuras de hormigón pretensado pueden soportar excesos de carga importantes sin sufrir degradaciones permanentes. Existen distintos grados de pretensado: 1) Pretensado total. Para la carga de servicio total no existen en el hormigón tensiones de tracción por flexión según la dirección portante principal. 2) Pretensado limitado. Para la carga de servicio total, las tensiones de tracción en el hormigón no sobrepasan un valor considerado admisible en la dirección portante principal. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -8- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ 3) Pretensado parcial. Para la carga de servicio total, las tensiones de tracción que aparecen en la dirección portante principal no están restringidas. La reducción de fisuras se asegura mediante una armadura de acero convencional. La determinación de los esfuerzos y deformaciones en vigas y pórticos debidas a fuerzas en cables postensados resulta un aspecto de especial importancia en el diseño de estructuras de hormigón armado postensadas. A diferencia de lo que ocurre con cargas que provienen de un campo potencial (peso propio, acciones gravitatorias) las cargas generadas sobre la estructura de hormigón por la fuerza axial en cables postensados son autoequilibradas; es decir, no requieren para su equilibrio de reacciones exteriores. A pesar que no requieren reacciones para garantizar el equilibrio del sistema, en el caso que la estructura sea hiperestática pueden generarse reacciones para cumplir con las condiciones de compatibilidad en los vínculos. Los esfuerzos y deformaciones provocados por la fuerza axial en cables postensados constituyen un estado especial de carga en una estructura. Este tipo de solicitaciones se analiza a veces estableciendo una analogía con los esfuerzos y deformaciones por acciones térmicas, pero esta comparación debe hacerse con cuidado ya que las acciones térmicas no producen esfuerzos si la estructura es isostática, mientras que las fuerzas de postensado producen solicitaciones en todos los casos, cualquiera sea la condición de sustentación o de hiperestaticidad de la estructura. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -9- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Para analizar la mecánica involucrada en la determinación de los esfuerzos en las estructuras de hormigón debidos al postensado en cables, resulta necesario tener en cuenta las condiciones de equilibrio de un cable como se ilustra en la Figura 5.1. Figura 5.1. Posición de un cable dentro de una viga de hormigón. La ecuación diferencial del equilibrio del cable surge de plantear la ecuación de equilibrio de fuerzas en la dirección normal al eje del cable. La premisa básica en esta formulación es que el cable no tiene rigidez flexional apreciable, por lo que los momentos flectores en el cable son nulos en todo su desarrollo, y consecuentemente los esfuerzos de corte en la sección transversal del cable son también nulos. De esto resulta que el equilibrio de fuerzas en la dirección normal al eje del cable es: p = T · (Ec. 5.1) donde T es la fuerza axial de tracción en el cable en la sección considerada, p es la fuerza distribuida normal al eje del cable ejercida por el hormigón sobre el cable y es la curvatura del cable en la sección considerada. En general, la curvatura del cable varía a lo largo de su desarrollo y puede calcularse, en forma analítica o numérica, a partir del trazado que se adopte. Habitualmente, las vigas en las que se colocan cables postensados presentan ciertas relaciones de esbeltez entre la altura de la sección y la luz libre entre apoyos. En vigas simplemente apoyadas, la relación entre la luz y la altura de la sección suele encontrarse entre 15/1 y 20/1. Por este motivo, el ángulo entre el eje longitudinal de la viga y el eje del cable en cualquier sección suele no superar los 15 º y la fuerza distribuida p que el cable ejerce sobre la viga suele aproximarse como una fuerza perpendicular al eje de la viga. Esto implica un error de aproximación normalmente aceptable. En los extremos del cable donde se produce el anclaje del mismo, la fuerza que transmite el cable al hormigón es una fuerza de compresión igual y opuesta a T. Dicha fuerza tendrá en general una componente axial y otra transversal al eje de la viga, además de una cierta excentricidad respecto al eje baricéntrico de la sección transversal de la viga. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -10- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ En una viga postensada, el cable y la viga constituyen dos sistemas que se brindan apoyo mutuo tanto a lo largo del desarrollo como en los extremos. La Figura 5.2 muestra las fuerzas que actúan sobre el cable y las opuestas (reacciones) que transmite el cable a la estructura de hormigón. Fuerzas actuantes sobre el hormigón T T p T Fuerzas actuantes sobre el cable T p Figura 5.2. Fuerzas actuantes sobre la viga de hormigón y el cable. 5.3.2. Esfuerzos debidos a las fuerzas de postensado Sea la viga simplemente apoyada de la Figura 5.3 con un cable postensado con fuerza axial T. En una sección transversal cualquiera, la resultante de todas las fuerzas de interacción entre el cable y la estructura pasa por el eje del cable, y por lo tanto el momento flector en la viga debido al postensado es igual a H · e , donde e es la excentricidad del cable respecto al eje baricéntrico de la sección transversal de la viga, y H es la componente axial de la fuerza T . En general, H es muy próximo a T por la reducida inclinación de esta fuerza (considerar que por razones de visualización las escalas vertical y horizontal de las figuras de las vigas son bastante diferentes). De esta manera, trazando el diagrama de momentos del lado de la fibra comprimida, éste coincide con la excentricidad del cable multiplicada por H, que es la componente horizontal (axial) de la fuerza T. Diagrama de momentos flectores ( H . e ) H H Figura 5.3. Diagrama de momentos flectores de la viga. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -11- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Este momento flector también puede ser determinado tomando momentos de las fuerzas que el cable transmite a la viga a través de las componentes axial y transversal de fuerzas que actúan en los extremos (incluyendo el momento exterior aplicado, igual a H · e0, donde e0 es la excentricidad del cable en los extremos de la viga), más el momento que produce la fuerza distribuida transversal p. El momento flector calculado de esta manera es idéntico al producto de la componente horizontal de la fuerza T por la excentricidad del cable en la sección considerada, momento que se denomina habitualmente Momento Isotático de Pretensado (nótese que se denomina como Pretensado, a pesar que en rigor el esfuerzo se ha aplicado con posterioridad a la construcción de la viga, o sea que se trata de una fuerza de Postensado). Sea ahora el caso de la viga continua indicada en la Figura 5.4. El Momento Isostático de Pretensado en cualquier sección de la viga estará dado por H · e , siempre y cuando la estructura sea transformada en isostática mediante la eliminación de un vínculo interno, por ejemplo introduciendo una articulación, o un vínculo externo (una de las reacciones de apoyo). También se puede aplicar el camino alternativo para calcular el momento flector isostático, es decir considerando las fuerzas ejercidas por el cable sobre la viga, siempre que se haya transformado al sistema en isostático. En la Figura 5.5 se indican las cargas transferidas por el cable sobre la estructura. Si se procede a calcular el momento flector en la configuración hiperestática aplicando los métodos generales de análisis estructural (método de las fuerzas, método de rigidez) se obtiene el Momento Total de Pretensado. Siguiendo esta secuencia de análisis, el Momento Hiperestático de Pretensado se define entonces como la diferencia entre el Momento Total de Pretensado y el Momento Isostático de Pretensado. Figura 5.4. Viga continua de dos tramos. T T p p p Figura 5.5. Fuerzas actuantes sobre el hormigón. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -12- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Los diagramas de distribución de momentos flectores y de esfuerzos de corte debidos a las fuerzas de postensado en el cable se trazan en la Figura 5.6. En esta figura se indican los tres diagramas: Isostático, Total e Hiperestático. Momento Isostático de Pretensado Corte Isostático de Pretensado Momento Hiperestático de Pretensado Corte Hiperestático de Pretensado Momento Total de Pretensado Corte Total de Pretensado Figura 5.6. Esfuerzos producidos por fuerzas de postensado. Para la verificación de las tensiones en el hormigón en estado de servicio son los Esfuerzos Totales de Pretensado (o Postensado) los que interesan. Las tensiones en la cara superior e inferior de la viga en las secciones más críticas se calculan con el momento flector total y el esfuerzo axial, y se verifica que sean iguales o inferiores a las admisibles. Además, se deben verificar las tensiones en el alma de la viga determinando las tensiones principales, incluyendo el efecto de los esfuerzos de corte por las cargas exteriores y las cargas de pretensado. Por otra parte, para la verificación a rotura de las estructuras de hormigón pre o postensado, el coeficiente de seguridad a flexión tendrá en cuenta todas las solicitaciones de las cargas exteriores multiplicadas por los respectivos factores de carga o de mayoración, a los que se les sumará el Momento Total de Pretensado (factor de carga igual a la unidad) o el Momento Isostático de Pretensado, según el que resulte más desfavorable. Para la verificación de la seguridad al corte en rotura se tomarán los esfuerzos de corte debidos a todas las fuerzas exteriores multiplicados por los respectivos factores de mayoración y se le sumará el Corte Total de Pretensado. Esto se justifica considerando la formación de rótulas para las cargas de rotura que convierten a la estructura en isostática en el límite de su capacidad resistente. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -13- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ 5.3.3. Ejercicios de aplicación Ejercicio 5.1. Trazar diagramas de momento flector y corte, y calcular las máximas tensiones que ocurren en la viga simplemente apoyada. 15.00 m T y T x p 0.80 m 0.10 m 0.10 m La carga axial del cable es T = 165 tn. Las dimensiones de la viga son L 15 m Longitud h 0. 80 m Altura d 0. 30 m Ancho A 0. 24 m 2 Area seccional W d h2 0. 032 m 3 6 Momento resistente a) Procedimiento analítico Este procedimiento se aplica cuando la posición del cable se describe en forma analítica. En este caso, se cuenta con una función parabólica a 0. 1 m ex a b x c x 2 b 0. 10667 c 0. 007111 1 m En los extremos el cable presenta una excentricidad respecto al eje baricéntrico de la sección de la viga e 0 |ex | x0 |a| 0. 1 m El ángulo que forma el cable con el eje de la viga en los extremos es relativamente pequeño (considerar que la escala vertical de los gráficos está distorsionada para mayor claridad) y puede calcularse como su pendiente _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -14- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ 0 tan 0 sin 0 |e x | x0 |b| 0. 10667 La curvatura del cable tiene en este caso valor constante a lo largo de la viga y se calcula como x e x 2 c 0.014222 m1 Las cargas que produce el cable sobre el hormigón resultan H o T 165 tn M o T e 0 16.50 tnm V o T 0 17.60 tn p x T x 2.347 M° H° tn m V° p V° M° H° El Momento Isostático de Pretensado puede calcularse aplicando sobre la viga este sistema de cargas autoequilibradas MI x Mo V o x 1 2 p x2 16. 50 17. 60 x 1. 173 x 2 aunque también se verifica que MI x T ex 16. 50 17. 60 x 1. 173 x 2 El Corte Isostático de Pretensado se expresa como QI x V o p x 17. 60 2. 347 x o simplemente QI x T e x 17. 60 2. 347 x _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -15- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ M om ento Isostático d e P retensad o 16.50 tnm 16.50 tnm 49.50 tnm C orte Isostático de P retensado 17.6 0 tn 1 7.60 tn Las tensiones que se calculan a continuación corresponden sólo a las cargas de postensado en el estado de servicio. Las máximas tensiones de compresión ocurren en la sección central o Cmax Mmax H W A tn 1547 2 687 tn2 m m tn 2234 2 m al igual que las máximas tensiones de tracción o Tmax M max H W A tn 1547 2 687 tn2 m m tn 860 2 m Las máximas tensiones cortantes se encuentran en las secciones de los extremos Q max 3 max 2 dh 3 17. 60 2 0. 30 0. 80 110 tn2 m b) Procedimiento numérico Habitualmente, resulta más adecuado describir la posición del cable en forma discreta para coordenadas equidistantes de la viga (primeras 2 columnas de Tabla 5.3). La geometría del i cable puede entonces asumirse como una poligonal con cargas concentradas ( P ) actuando sobre el hormigón en nudos con una separación x . _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -16- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ T Pn T T T T T T P i+1 Pi P i-1 x x La pendiente del cable (3ra columna) se calcula para nudos intermedios como i1 i 1 i 2 e e x Las cargas sobre el hormigón a través de la vaina (4ta columna) se obtienen como la diferencia entre las proyecciones verticales de la fuerza del cable a ambos lados del nudo considerado 1 1 P i T i 2 T i 2 El Corte Isostático de Pretensado (5ta columna) se calcula para nudos intermedios como el producto entre la carga y la pendiente del cable i 1 QI 2 1 T i 2 mientras que el Momento Isostático de Pretensado (6ta columna) resulta de multiplicar la carga y la excentricidad del cable MiI T e i Los diagramas de esfuerzos son casi idénticos a los obtenidos con el procedimiento analítico. Las tensiones máximas se calculan en forma análoga una vez identificadas las secciones críticas. i Notar que realizando el cociente entre P y x se obtiene la carga uniformemente distribuida antes utilizada. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -17- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Tabla 5.3. Cálculo de Esfuerzos de Pretensado en la viga simplemente apoyada. xi ei 0. 00 0. 100 1 i 2 Pi 16.72 0. 1013 0. 75 0. 024 7. 26 1.76 2. 25 0. 104 13. 20 17. 16 1.76 0. 0693 3. 00 0. 156 11. 44 25. 74 1.76 0. 0587 3. 75 0. 200 9. 68 33. 00 1.76 0. 0480 4. 50 0. 236 7. 92 38. 94 1.76 0. 0373 5. 25 0. 264 6. 16 43. 56 1.76 0. 0267 6. 00 0. 284 4. 40 46. 86 1.76 0. 0160 6. 75 0. 296 2. 64 48. 84 1.76 0. 0053 7. 50 0. 300 0. 88 49. 50 1.76 0. 0053 8. 25 0. 296 0. 88 48. 84 1.76 0. 0160 9. 00 0. 284 2. 64 46. 86 1.76 0. 0267 9. 75 0. 264 4. 40 43. 56 1.76 0. 0373 10. 50 0. 236 6. 16 38. 94 1.76 0. 0480 11. 25 0. 200 7. 92 33. 00 1.76 0. 0587 12. 00 0. 156 9. 68 25. 74 1.76 0. 0693 12. 75 0. 104 11. 44 17. 16 1.76 0. 0800 13. 50 0. 044 13. 20 7. 26 1.76 0. 0907 0. 024 14. 96 1.76 0. 1013 0. 100 3. 96 14. 96 0. 0800 15. 00 16. 50 1.76 1. 50 0. 044 M iI 16. 72 0. 0907 14. 25 i 12 QI 3. 96 16. 72 16.72 16. 50 _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -18- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ c) Cálculo de desplazamientos Los siguientes parámetros complementan los datos de la viga E 3 10 6 I tn m2 Módulo de elasticidad longitudinal d h3 0. 0128 m 4 12 Momento de inercia EI 38400 tn. m 2 Rigidez flexional 2. 5 Peso específico tn m3 A 0. 24 m 2 q d A 0. 600 Area seccional tn m Carga distribuida por peso propio A los efectos del cálculo de desplazamientos al centro de la viga se consideran solamente las deformaciones flexionales. Las reacciones y el diagrama de momento flector para peso propio resultan Reacciones 0.600 tn/m 4.5 tn 4.5 tn Diagrama de Momento Flector 16.875 tn.m La expresión analítica del momento flector se obtiene como qp L x 1 qp x 2 2 2 4. 5 x 0. 3 x 2 M d x El cálculo del desplazamiento al centro de la viga requiere el planteo del siguiente Estado Auxiliar _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -19- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Reacciones 1 tn 0.5 tn 0.5 tn Diagrama de Momento Flector 3.75 tnm El momento flector puede expresarse analíticamente como Mx 0. 5 x para 0 x 7. 5 3. 75 0. 5 x 7. 5 para 7. 5 x 15 La flecha producida por el peso propio resulta entonces d 2 EI 0 Md x Mx dx 2 EI 0 4. 5 x 0. 3 x 2 1 EI 0 4. 5 x 2 0. 3 x 3 dx 1 EI 7.5 7.5 7.5 3 4 4. 5 x 0. 3 x 3 4 0. 5 x dx 7.5 0 0. 0103 m La expresión analítica del momento flector para el caso del efecto de postensado se reescribe a continuación Mp x 16. 50 17. 60 x 1. 173 x 2 La contraflecha producida por el cable de postensado se obtiene como p 2 EI 0 2 EI 0 16. 50 17. 60 x 1. 173 x 2 1 EI 0 16. 50 x 17. 60 x 2 1. 173 x 3 1 EI 7.5 7.5 7.5 M p x Mx dx 0. 5 x dx 2 3 4 16. 50 x 17. 60 x 1. 173 x 2 3 4 dx 7.5 0 0. 0282 m _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -20- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ De esta forma el desplazamiento total al centro de la viga resulta d p 0. 0103 m 0. 0282 m 0. 0179 m La fuerza en el cable que sería necesaria para compensar el desplazamiento producido por el peso propio en el centro de la viga se calcula de la siguiente forma. La expresión analítica del momento flector producido por una fuerza genérica T del cable de postensado es la siguiente M Tp x T ex T 0. 1 0. 10667 x 0. 007111 x 2 La contraflecha producida por la fuerza T se calcula como Tp 2 EI 0 7.5 2 T EI T EI T EI MTp x Mx dx 0 7.5 0 7.5 0. 1 0. 10667 x 0. 007111 x 2 0. 1 x 0. 10667 x 2 0. 007111 x 3 2 3 4 0. 1 x 0. 10667 x 0. 007111 x 2 3 4 0. 5 x dx dx 7.5 0 0. 0001709 T Imponiendo la condición de que el desplazamiento total sea nulo d Tp 0 0. 0103 0. 0001709 T 0 se obtiene la fuerza de postensado que contrarresta la flecha producida por el peso propio 0. 0103 0. 0001709 60. 27 tn T _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -21- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Ejercicio 5.2. Trazar diagramas de momento flector y corte, y calcular las máximas tensiones que ocurren en la viga con restricción al giro en ambos extremos. Tomar los mismos datos del Ejercicio 5.1. 15.00 m T y T x p 0.80 m 0.10 m 0.10 m H En este caso, los Esfuerzos Hiperestáticos de Pretensado Esf x pueden evaluarse explícitamente recurriendo al Método de las Fuerzas, superponiendo los estados auxiliares escalados con sus respectivas incógnitas hiperestáticas. En casos más complejos, donde no resulta práctico aplicar el Método de las Fuerzas por el elevado número de incógnitas T hiperestáticas, se utiliza el Método de Rigidez para calcular los Esfuerzos Totales Esf x , I mientras que los Esfuerzos Isostáticos Esf x se evaluan directamente con la geometría del cable. Los Esfuerzos Hiperestáticos se computan luego como la diferencia entre los esfuerzos totales y los esfuerzos isostáticos Esf H x Esf T x Esf I x a) Procedimiento analítico A los fines de ilustrar el procedimiento de cálculo por el Método de las Fuerzas se utiliza un enfoque analítico, aunque sería igualmente válido operar en forma numérica tal como se procede más adelante. Se define al Isostático Fundamental tomando las condiciones de borde del Ejercicio 5.1. Por lo tanto, el Estado 0 queda definido con los valores ya calculados. Aprovechando la condición de simetría se plantea un único estado auxiliar (Estado 1) donde la incógnita hiperestática (momento de empotramiento) producirá los Esfuerzos Hiperestáticos de Prestensado. Estado '1' 1 1 _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -22- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ La ecuación de compatibilidad se plantea como 10 M 1 11 0 La incógnita hiperestática se evalúa considerando sólo las deformaciones flexionales 15 10 1 16. 50 17. 60 x 1. 173 x 2 EI 0 1 412. 50 EI 15 2 11 1 1 dx EI 0 1 15. 00 EI 1 dx por lo tanto M1 10 27. 50 tnm 11 H El Momento Hiperestático de Pretensado M x es constante e igual a M 1 . En este caso, no hay Corte Hiperestático de Pretensado. M om ento H iperestático de Pretensado 27.50 tnm 27.50 tnm El Momento Total de Pretensado se calcula entonces como MT x M I x MH x 44. 00 17. 60 x 1. 173 x 2 El Corte Total de Pretensado coincide con el del ejercicio anterior. M om en to Total d e P retensad o 44.00 tnm 44 .00 tn m 22.00 tnm C orte To tal de P retensado 17.60 tn 17.60 tn _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -23- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Las máximas tensiones de compresión ocurren en las secciones extremas o Cmax Mmax H W A 1375 tn2 687 tn2 m m tn 2062 2 m al igual que las máximas tensiones de tracción o Tmax M max H W A tn 1375 2 687 tn2 m m tn 688 2 m Las máximas tensiones cortantes se producen también en las secciones extremas Q max 3 max 3 17. 60 110 tn2 2 dh 2 0. 30 0. 80 m b) Procedimiento numérico El Método de Rigidez estudiado más adelante recurre habitualmente a procedimientos numéricos que se adaptan naturalmente al esquema de discretización propio de este método con fuerzas en los nudos. Aplicando las cargas concentradas calculadas en el Ejercicio 5.1 a la viga con las presentes condiciones de borde se obtienen los Esfuerzos Totales de Pretensado (7ma y 8va columna de Tabla 5.4). Dado que el grado de precisión pretendido requiere una discretización fina, las operaciones se realizan con un programa de cálculo computacional (SAP2000). Los Esfuerzos Hiperestáticos (9na y 10ma columna) se obtienen descontando los esfuerzos isostáticos a los totales. Se observa que el Corte Hiperestático resulta nulo al igual que el obtenido con el procedimiento analítico, y el Momento Hiperestático es también constante y ligeramente inferior debido a efectos de la discretización. Los diagramas presentan iguales características a los obtenidos con el método anterior, mientras que las tensiones máximas casi no difieren a las ya calculadas. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -24- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Tabla 5.4. Cálculo de Esfuerzos de Pretensado en la viga con restricción al giro xi ei 0. 00 0. 100 1 i 2 Pi 0. 024 0. 0693 3. 00 0. 156 0. 0587 3. 75 0. 200 0. 0480 4. 50 0. 236 0. 0373 5. 25 0. 264 0. 0267 6. 00 0. 284 0. 0160 6. 75 0. 296 0. 0053 7. 50 0. 300 0. 0053 8. 25 0. 296 0. 0160 9. 00 0. 284 0. 0267 9. 75 0. 264 0. 0373 10. 50 0. 236 0. 0480 11. 25 0. 200 0. 0587 12. 00 0. 156 12. 75 0. 104 13. 50 0. 044 13. 20 0. 0907 0. 024 1. 76 0. 1013 15. 00 0. 100 10. 23 27. 39 0. 00 20. 13 3. 96 27. 39 0. 00 31. 35 16. 72 16. 50 27. 39 0. 00 14. 96 16. 72 16. 72 0. 00 13. 20 14. 96 27. 39 1. 65 7. 26 1. 76 0. 00 11. 44 17. 16 1. 76 27. 39 5. 61 9. 68 11. 44 0. 0800 0. 00 7. 92 25. 74 1. 76 27. 39 11. 55 33. 00 9. 68 0. 0693 0. 00 6. 16 7. 92 1. 76 27. 39 16. 17 38. 94 1. 76 0. 00 4. 40 6. 16 27. 39 19. 47 43. 56 1. 76 0. 00 2. 64 4. 40 27. 39 21. 45 46. 86 1. 76 0. 00 0. 88 2. 64 27. 39 22. 11 48. 84 1. 76 0. 00 0. 88 0. 88 27. 39 21. 45 49. 50 1. 76 0. 00 2. 64 0. 88 27. 39 19. 47 48. 84 1. 76 0. 00 4. 40 2. 64 27. 39 16. 17 46. 86 1. 76 0. 00 6. 16 4. 40 27. 39 11. 55 43. 56 1. 76 0. 00 7. 92 6. 16 27. 39 5. 61 38. 94 1. 76 0. 00 9. 68 7. 92 27. 39 1. 65 33. 00 1. 76 0. 00 11. 44 9. 68 27. 39 10. 23 25. 74 1. 76 27. 39 0. 00 13. 20 11. 44 27. 39 20. 13 17. 16 M iH 0. 00 14. 96 13. 20 1 31. 35 7. 26 1. 76 i M iT QH 2 43. 89 3. 96 1. 76 2. 25 0. 104 1 2 16. 72 14. 96 0. 0800 i QT 16. 50 1. 76 1. 50 0. 044 M iI 16. 72 0. 0907 14. 25 1 2 16. 72 0. 1013 0. 75 i QI 27. 39 0. 00 43. 89 27. 39 _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -25- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Ejercicio 5.3. Trazar diagramas de momento flector y corte, y calcular las máximas tensiones que ocurren en la viga continua de dos tramos. 0.10 m y T 0.30 m T p x p 0.80 m p 0.30 m 15.00 m 4.75 m 10.25 m La carga axial del cable es T 165 tn y se toman las dimensiones de sección del Ejercicio 5.1. De la posición del cable se conocen algunos puntos de su trayectoria: en el extremo arranca a 10cm sobre el eje de la sección, desciende en forma suave hasta 10cm del borde inferior, corta al eje baricéntrico a 4.75m del apoyo central y pasa sobre éste a 10cm del borde superior. El resto de la trayectoria posee simetría respecto al apoyo central, y por lo tanto es conveniente sólo analizar una mitad de la estructura (se elige la mitad derecha). a) Procedimiento analítico Una alternativa para analizar el problema es trazar parábolas sobre los puntos conocidos de la posición del cable y realizar un tratamiento analítico. En este caso a 1 0. 3 m e 1 x a 1 b 1 x c 1 x 2 x 0 ; 4. 75 b1 0 c 1 0. 013296 1 m a 2 0. 9 m e 2 x a 2 b 2 x c 2 x 2 x 4. 75 ; 15 b 2 0. 25263 c 2 0. 013296 1 m El cable posee en el extremo una excentricidad e 0 |e 2 x | x15 0. 1022 m El ángulo del cable en el extremo puede calcularse como su pendiente 0 |e 2 x | x15 b2 2 c2 x x15 0. 14625 _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -26- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ La curvatura del cable se calcula como 1 x 0 ; 4.75 m 1 2 x 2 c2 0.026592 x 4.75 ; 15 m 1 x 2 c1 0.026592 Las cargas actuantes sobre el hormigón resultan H o T 165 tn M o T e0 16.85 tnm V o T 0 24.133 tn tn x 0 ; 4.75 m tn p2 x T 2 x 4.388 x 4.75 ; 15 m p1 x T 1 x 4.388 M° H° V° y p p x V° M° H° p Los Esfuerzos Isostáticos de Pretensado (Estado 0) se obtienen resolviendo la viga con este sistema de cargas y removiendo cualquiera de los apoyos, ya que las fuerzas de postensado son autoequilibradas y no generan reacciones en los apoyos remanentes. El Momento Isostático de Pretensado debe calcularse por tramos. M I x T ex 49. 50 2. 194 x 2 x 0 ; 4. 75 148. 50 41. 68 x 2. 194 x 2 x 4. 75 ; 15 Alternativamente, para x 0 ; 4. 75 M I x M o V o 15 x p 10. 25 5. 125 4. 75 x 1 4. 75 x 2 2 2 49. 50 2. 194 x para x 4. 75 ; 15 M I x M o V o 15 x 1 p 15 x 2 2 148. 50 41. 68 x 2. 194 x 2 _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -27- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ El Corte Isostático de Pretensado también se calcula por tramos. QI x T e x 4. 388 x x 0 ; 4. 75 41. 68 4. 388 x x 4. 75 ; 15 Alternativamente, para x 0 ; 4. 75 QI x V o p 4. 75 x 10. 25 4. 388 x para x 4. 75 ; 15 QI x V o p 15 x 41. 68 4. 388 x Momento Isostático de Pretensado 49.50 tnm 16.85 tnm 49.50 tnm Corte Isostático de Pretensado 24.13 tn 20.84 tn Eligiendo como incógnita hiperestática la reacción del apoyo central se plantea el Estado 1, que comprende en este caso los Esfuerzos Hiperestáticos de Pretensado. Las expresiones de corte y momento flector para la mitad derecha resultan Q1 x 0. 50 M1 x 7. 50 0. 50 x Estado '1' 7.50 tnm 1 _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -28- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ La ecuación de compatibilidad se plantea como 10 R1 11 0 Considerando sólo las deformaciones flexionales a los efectos de evaluar la incógnita hiperestática se encuentra 4.75 49.50 2.194 x 2 7.50 0.5 x dx 2 0 10 15 2 EI 4.75 148.50 41.68 x 2.194 x 7.50 0.5 x dx 2 175.72 EI 2 15 2 11 7.50 0.5 x dx EI 0 2 281.25 EI por lo tanto R1 10 0. 625 tn 11 El Corte y el Momento Hiperestático de Pretensado resultan QH x R1 Q 1 x 0. 312 MH x R1 M 1 x 4. 69 0. 312 x Momento Hiperestático de Pretensado 4.69 tnm Corte Hiperestático de Pretensado 0.312 tn 0.312 tn Sumando los esfuerzos isostáticos y los hiperestáticos se obtienen el Corte y el Momento Total de Pretensado. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -29- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ para x 0 ; 4. 75 QT x 0. 312 4. 388 x MT x 44. 81 0. 312 x 2. 194 x 2 para x 4. 75 ; 15 QT x 41. 37 4. 388 x MT x 143. 81 41. 37 x 2. 194 x 2 Momento Total de Pretensado 44.81 tnm 16.85 tnm 51.20 tnm Corte Total de Pretensado 24.45 tn 0.312 tn 20.53 tn Las máximas tensiones normales de compresión resultan o Cmax Mmax H W A 1600 tn2 687 tn2 m m 2287 tn2 m Las máximas tensiones normales de tracción resultan o Tmax M max H W A 1600 tn2 687 tn2 m m 913 tn2 m Las máximas tensiones cortantes (extremo) resultan Q max 3 max 2 dh 3 24. 45 2 0. 30 0. 80 153 tn2 m _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -30- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ b) Procedimiento numérico La posición del cable se describe en forma discreta para nudos separados x 0. 75m . En primer término, se calculan la pendiente entre nudos y las cargas concentradas aplicadas en los nudos. Luego se computan los Esfuerzos Isostáticos en función de la pendiente (Corte) y la excentricidad (Momento) del cable, mientras que los Esfuerzos Totales de Pretensado se obtienen utilizando alguna implementación computacional del Método de Rigidez. Los Esfuerzos Hiperestáticos resultan de descontar los esfuerzos isostáticos a los totales. Se observa que el Corte Hiperestático resulta constante mientras que el Momento Hiperestático varía linealmente. Para comparar los resultados con los obtenidos con el Método de las Fuerzas deben valuarse las expresiones analíticas de momento en las coordenadas de los nudos y las fórmulas de corte en coordenadas intermedias. Por tal motivo, no es estrictamente posible conseguir los valores de corte en los extremos para ser comparados con los calculados analíticamente. Sin embargo, para una adecuada discretización esta cuestión no resulta relevante. Los diagramas presentan iguales características a los obtenidos con el método anterior, mientras que las tensiones máximas casi no difieren a las ya calculadas. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -31- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Tabla 5.5. Cálculo de Esfuerzos de Pretensado en la viga continua de dos tramos. xi ei 0. 00 0. 300 1 i 2 Pi 2. 25 0. 0698 3. 00 0. 0897 3. 75 0. 1097 4. 50 0. 1208 5. 25 0. 060 0. 1031 6. 00 0. 137 0. 0831 6. 75 0. 199 0. 0632 7. 50 0. 247 0. 0432 8. 25 0. 279 0. 0233 9. 00 0. 297 0. 0033 9. 75 0. 299 0. 0166 10. 50 0. 287 0. 0366 11. 25 0. 259 0. 0565 12. 00 0. 217 12. 75 0. 160 13. 50 0. 087 15. 90 0. 1163 14. 25 0. 000 3. 29 0. 1363 15. 00 0. 102 27. 03 0. 70 0. 31 14. 87 0. 46 0. 30 0. 24 0. 00 22. 79 16. 85 0. 93 0. 31 19. 50 22. 49 22. 49 0. 31 16. 21 19. 20 1. 15 36. 72 14. 41 3. 29 0. 31 12. 92 26. 33 3. 29 1. 38 43. 94 9. 63 12. 61 0. 0964 0. 31 6. 34 35. 79 3. 29 1. 61 48. 69 42. 79 9. 32 0. 0764 0. 31 3. 05 6. 03 1. 85 50. 98 47. 31 3. 29 0. 31 0. 24 2. 74 2. 09 50. 80 49. 37 3. 29 0. 31 3. 53 0. 55 2. 31 48. 16 48. 95 3. 29 0. 31 6. 82 3. 84 2. 55 43. 04 46. 07 3. 29 0. 31 10. 11 7. 13 2. 78 35. 46 40. 73 3. 29 0. 31 13. 40 10. 42 3. 02 25. 41 32. 91 3. 29 0. 31 16. 69 13. 71 3. 25 12. 89 22. 63 3. 29 0. 31 19. 62 17. 00 3. 49 1. 82 9. 87 3. 29 0. 31 17. 79 19. 93 3. 72 15. 16 5. 07 2. 93 0. 31 14. 50 18. 10 3. 94 26. 04 18. 65 1. 83 0. 031 0. 31 11. 21 14. 81 4. 17 34. 45 29. 76 3. 29 0. 113 0. 31 7. 92 11. 52 4. 41 40. 39 38. 39 3. 29 0. 180 0. 31 4. 63 8. 23 M iH 4. 64 43. 86 44. 56 3. 29 0. 233 1. 34 4. 94 0. 0499 i 1 M iT QH 2 44. 86 48. 27 3. 29 0. 270 i 12 QT 49. 50 3. 29 0. 293 M iI 1. 65 0. 0299 1. 50 1 2 1. 65 0. 0100 0. 75 i QI 0. 24 0. 30 16. 85 0. 00 _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -32- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ 5.4- Líneas de Influencia En el curso de Estática se utiliza el Principio de Trabajos Virtuales (PTV) para determinar las líneas de influencia de sistemas isostáticos. En esta sección se desarrolla un planteo similar aplicando el Teorema de Reciprocidad, visto en la sección 3.5 del capítulo 3, y se extiende el concepto de líneas de influencia al caso de estructuras deformables. Se comienza determinando las líneas de influencia de desplazamientos y giros, y se continúa con las líneas de influencia de reacciones y esfuerzos internos en sistemas hiperestáticos. 5.4.1. Introducción El concepto de la línea de influencia resulta útil para establecer las condiciones más desfavorables de solicitación en estructuras que presentan un comportamiento lineal y soportan cargas móviles. En el caso de puentes, una aplicación corriente consiste en el uso de líneas de influencia cualitativas para la identificación de los tramos donde deben colocarse (o no) las sobrecargas que estipulan los reglamentos que rigen la verificación de estas estructuras. A medida que un automóvil se mueve de un lado a otro del puente reticulado mostrado en la Figura 5.7, los esfuerzos en los miembros de la estructura varían con la posición x de aquél. El diseño estructural de cada miembro debe basarse en los esfuerzos máximos que se desarrolla en ese miembro a medida que un vehículo de referencia se mueve de un lado a otro del puente. Por lo tanto, el análisis de la estructura comprende la determinación de la posición del vehículo para la que los esfuerzos de cada elemento estructural se hacen máximos y, a continuación, el cálculo del valor de estos esfuerzos máximos. Figura 5.7. Esquema de un puente simple Los casos analizados para la definición de los conceptos básicos son vigas simplemente apoyadas y vigas continuas, que una vez asimilados pueden extenderse sin dificultad a otros tipos de estructuras. Debe destacarse que durante la construcción de líneas de influencia no se consideran los efectos dinámicos de las cargas móviles que, por ejemplo, suelen ser relevantes en puentes de tramos cortos con camiones circulando a velocidades normales. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -33- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Una carga móvil produce en la estructura sobre la cual actúa distintos efectos tales como: desplazamientos, reacciones, esfuerzos internos (Mf, Mt, N, Q), etc. El efecto considerado en cada caso se designa incógnita X y varía de acuerdo a la posición de la carga. En el caso lineal resulta suficiente determinar el valor i(x) de la misma para una carga unitaria 1(x) actuando en la posición genérica definida por la coordenada x, de forma que el valor de la incógnita producida por una carga móvil P actuando en x se obtenga como: X x P ix # (Ec. 5.2) donde: X(x): valor de la incógnita X producido por la carga P acutuando en x. i(x): coeficiente de influencia que depende de la coordenada x. Se denomina línea de influencia η(x) de una incógnita X a un diagrama cuyas ordenadas en una cierta escala representan al coeficiente de influencia i(x) definido en la Ec. (5.2). La línea de influencia η(x) se obtiene habitualmente a través del cálculo de una elástica de la estructura, y su forma (variación respecto a x) es idéntica a la de i(x) y X(x). Por lo tanto, la única diferencia entre estas 3 variables radica en el factor de escala. 5.4.2. Líneas de Influencia para desplazamientos En la viga simplemente apoyada de la Figura 5.8 interesa determinar el coeficiente de influencia i(x) del descenso del punto central C. P A B x C P Estado I δC 1 Estado II η(x) Figura 5.8. Determinación de la línea de influencia de un desplazamiento Siguiendo el esquema del Teorema de Reciprocidad, el Estado I corresponde a la carga P colocada en la posición genérica x. El Estado II se plantea con una carga unitaria en el punto para _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -34- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ el cual interesa determinar la línea de influencia del desplazamiento. Supóngase conocida, por cualquier procedimiento de cálculo, la elástica η(x) correspondiente al Estado II. El Teorema de Reciprocidad establece que: 1 c P x (Ec. 5.3) La incógnita, que en este caso es el desplazamiento en la sección central C, se define como: X x c P i x (Ec. 5.4) por lo que, para este caso, el coeficiente de influencia coincide con la línea de influencia: i x x (Ec. 5.5) En definitiva, la línea de influencia del desplazamiento de un punto coincide con la elástica asociada a una carga unitaria aplicada en dicho punto. 5.4.3. Líneas de Influencia para reacciones (estructuras hiperestáticas) El procedimiento de cálculo de la línea de influencia de una reacción se desarrolla para la viga continua de 3 tramos de la Figura 5.9. La obtención de la línea de influencia de la reacción del apoyo A en base al Método de las Fuerzas se realiza eligiendo una estructura isostática equivalente que posea como una de sus incógnitas hiperestáticas a esta reacción. En el caso particular de esta viga con dos grados de hiperestaticidad, es necesario agregar un “corte” adicional a los efectos de transformarla en isostática. Una alternativa intuitivamente simple sería eliminar alguno de los restantes apoyos (B, C ó D). Estado I A B RA C P D x Estado II 1 δ A II η(x) Figura 5.9. Determinación de la línea de influencia de una reacción A los efectos de aplicar el Teorema de Reciprocidad, se define un Estado I que consiste en una estructura isostática equivalente con la carga P aplicada en una sección genérica x. El Estado II consiste en la misma estructura isostática equivalente, pero relajando la condición de _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -35- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ compatibilidad de desplazamiento nulo en correspondencia con el apoyo A, donde se coloca una fuerza unitaria en el sentido positivo (hacia arriba). De esta forma: RA AII P x 1 AI II I P P I II (Ec. 5.6) Téngase en cuenta que las demás incógnitas hiperestáticas (en este caso sólo una) no producen trabajo dado que en ambos estados se satisfacen las restantes condiciones de compatibilidad. A los efectos de satisfacer compatibilidad en la estructura isostática equivalente del Estado I debe verificarse que δA I = 0, por lo que el segundo miembro de la Ec. (5.6) se anula, obteniéndose: RA P x AII (Ec. 5.7) En este caso, el coeficiente de influencia resulta: i x x AII (Ec. 5.8) siendo la inversa del desplazamiento en el denominador un factor de escala. En definitiva, la línea de influencia de la reacción RA resulta igual a la elástica de la viga η(x) en el Estado II producida por una fuerza unitaria aplicada en correspondencia con dicha reacción donde se ha suprimido este vínculo. 5.4.4. Líneas de Influencia para esfuerzos (estructuras hiperestáticas) La determinación de la línea de influencia de un momento flector se explica utilizando la misma viga continua de 3 tramos de la sección anterior. En la Figura 5.10 se desarrolla el procedimiento para obtener la línea de influencia del momento flector en el centro del tramo AB (tramo de la izquierda), donde se elige una estructura isostática equivalente con una articulación en la sección E ubicada en el centro de dicho tramo. De esta forma, el momento flector para el cual se desea obtener la línea de influencia se define explícitamente como una incógnita hiperestática. En el caso particular de esta viga continua, que posee dos grados de hiperestaticidad, es necesario agregar un “corte” adicional a los efectos de transformarla en isostática. La alternativa operativamente más conveniente sería articular la viga sobre el apoyo C. Luego se define un Estado I que consiste en una estructura isostática equivalente con la carga P aplicada en una sección genérica x. El Estado II consiste en la misma estructura isostática equivalente, pero relajando la condición de compatibilidad respecto a la continuidad de los giros en la articulación introducida en la sección E, donde se colocan dos momentos unitarios iguales y opuestos. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -36- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ Estado I ME A B C E P D x 1 Estado II θi II θd II η(x) Figura 5.10. Determinación de la línea de influencia de un momento flector De esta forma: M E iII dII P x 1 iI dI PII I PI II (Ec. 5.9) donde los giros se consideran positivos cuando poseen sentido anti-horario. Obsérvese que la restante incógnita hiperestática no produce trabajo debido a que en ambos estados se sigue satisfaciendo la condición de compatibilidad asociada a dicha incógnita. A los efectos de satisfacer compatibilidad en la estructura isostática equivalente del Estado I debe verificarse que θi I = θd I, por lo que el segundo miembro de la Ec. (5.9) se anula, obteniéndose: ME P x iII dII (Ec. 5.10) El coeficiente de influencia resulta entonces: i x x dII II i (Ec. 5.11) siendo la inversa del giro relativo en el denominador un factor de escala. En definitiva, la línea de influencia del momento flector ME resulta igual a la elástica de la viga η(x) en el Estado II producida por momentos unitarios aplicados a ambos lados de la articulación introducida en la sección de interés. El signo positivo de los momentos flectores (tracción en la fibra inferior) coincide con el signo positivo de dicha elástica. Desde el punto de vista operativo sólo es necesario entonces determinar la elástica η(x), dado que las deformaciones correspondientes al Estado I se cancelan durante la aplicación del Teorema de Reciprocidad. Obsérvese que imponiendo un giro relativo unitario sobre la articulación introducida en el Estado II, en lugar de colocar momentos unitarios y opuestos, tanto el coeficiente de influencia _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -37- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ i(x) como la línea de influencia η(x) del momento flector ME serían directamente igual a la elástica producida para este estado de carga alternativo. A su vez, recordando que la impocisión de un desplazamiento generalizado (en este caso, un giro relativo) equivale a agregar una condición de vínculo, esto permitiría extender el cálculo de la línea de influencia del momento para el caso de estructuras isostáticas ya que se recuperaría la estabilidad perdida al introducir la articulación. La Figura 5.11 presenta un procedimiento análogo para la determinación de la línea de influencia del esfuerzo de corte en la sección E, ubicada en el centro del tramo AB, de la misma viga contínua de 3 tramos. En este caso, la estructura isostática fundamental debe tener como una de sus incógnitas hiperestáticas al esfuerzo de corte en la sección elegida. Esta condición se materializa a través de un vínculo deslizante que permite que los extremos de las barras que concurren al mismo posean diferentes desplazamientos pero manteniendo el mismo giro. QE Estado I A B E C P D x 1 Estado II δd II η(x) δi II 1 Figura 5.11. Determinación de la línea de influencia de un esfuerzo de corte El Estado I se define como una estructura isostática equivalente cuyas incógnitas hiperestáticas satisfacen todas las condiciones de compatibilidad para una carga P aplicada en una sección genérica x. El Estado II consiste en la misma estructura isostática equivalente, pero relajando la condición de compatibilidad respecto a la continuidad de los desplazamientos en el vínculo deslizante introducido en la sección E, donde se colocan dos fuerzas unitarias iguales y opuestas. De esta forma: QE dII iII P x 1 dI iI PI II PII I (Ec. 5.12) donde los desplazamientos se consideran positivos hacia arriba. Recuérdese que las demás incógnitas hiperestáticas (en este caso sólo una) no producen trabajo dado que en ambos estados _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -38- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ se siguen satisfaciendo las restantes condiciones de compatibilidad. A los efectos de satisfacer compatibilidad en la estructura isostática equivalente del Estado I debe verificarse que δd I = δi I, por lo que el segundo miembro de la Ec. (5.12) se anula, obteniéndose: QE P x iII II d (Ec. 5.13) En este caso, el coeficiente de influencia resulta: i x x iII II d (Ec. 5.14) siendo la inversa del desplazamiento relativo en el denominador un factor de escala. La línea de influencia del esfuerzo de corte QE resulta igual a la elástica de la viga η(x) en el Estado II producida por fuerzas unitarias aplicadas a ambos lados del vínculo deslizante introducido en la sección de interés. 5.4.5. Líneas Cualitativas de Influencia En muchas aplicaciones prácticas, como durante el diseño de vigas continuas o pórticos de edificios sujetos a sobrecargas uniformemente distribuidas, suele resultar suficiente trazar sólo líneas “cualitativas” de influencia para decidir dónde colocar las sobrecargas a fin de maximizar las funciones de respuesta que interesan. En esencia, el procedimiento comprende: a) la eliminación en la estructura dada de la restricción correspondiente a la función de respuesta que interesa para obtener la estructura liberada, b) la aplicación de un desplazamiento (o giro) a la estructura liberada en el lugar y en la dirección positiva de la función de respuesta, y c) el trazado de la deformada de la estructura liberada, coherente con sus condiciones de apoyo y de continuidad (en general, las líneas de influencia para estructuras hiperestáticas resultan curvas). En la viga contínua de 4 tramos que se muestra en la Figura 5.12 (a) interesa trazar las líneas cualitativas de influencia para las reacciones verticales en los apoyos A y B, el momento flector en el punto B, y la fuerza cortante y el momento flector en el punto C. Luego se buscan las disposiciones de una carga viva hacia abajo, wl, uniformemente distribuida, que causan las máximas reacciones positivas en los apoyos A y B, el máximo momento flector negativo en B, la máxima fuerza cortante negativa en C y el máximo momento flector positivo en C. La determinación de la línea cualitativa de influencia para la reacción vertical Ay en el apoyo A requiere la eliminación de la restricción vertical en A de la viga real y, a la viga liberada, la imposición de un desplazamiento en la dirección positiva de la propia Ay. La deformada _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -39- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ obtenida de este modo (Figura 5.12 (b)) debe resultar consistente con las condiciones de apoyo de la viga liberada: los puntos B, D, E y F no se desplazan. A los efectos de maximizar el valor positivo de Ay, la carga viva wl se coloca sólo sobre los tramos AB y DE de la viga, donde las ordenadas de la línea de influencia para Ay son positivas. La línea cualitativa de influencia para By así como la disposición de la carga viva para obtener el valor máximo positivo de esta By se determinan de forma análoga y se muestran en la Figura 5.12 (c). Figura 5.12. Determinación de líneas cualitativas de influencia de reacciones La determinación de la línea cualitativa de influencia para el momento flector en B (MB) requiere la introducción de una articulación en la sección correspondiente de la viga real y, a la viga liberada, la imposición un giro en la dirección positiva de MB, girando la parte a la izquierda _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -40- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ de B en sentido antihorario y la parte a la derecha del mismo punto en sentido horario, tal como se indica en la Figura 5.13 (a). El máximo momento flector negativo en B (tracción en la fibra superior) se produce colocando la carga viva wl sobre los tramos AB, BD y EF de la viga, donde las ordenadas de la línea de influencia para MB son negativas. Figura 5.13. Determinación de líneas cualitativas de influencia de esfuerzos La línea cualitativa de influencia para el esfuerzo de corte SC se determina cortando la viga real en C y dando a la viga liberada un desplazamiento relativo en la dirección de la propia SC, moviendo el extremo C de la parte izquierda de la viga hacia abajo y el extremo C de la parte derecha hacia arriba, como se ilustra en la Figura 5.13 (b). La máxima fuerza cortante negativa en C (de acuerdo a la convención de signos adoptada para la elástica) se obtiene colocando la _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -41- CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________ carga viva sobre el tramo DE, y sobre la parte BC del tramo BD de la viga, donde las ordenadas de la línea de influencia para SC son negativas. La línea cualitativa de influencia para el momento flector en C, así como la disposición de la carga viva para obtener el valor máximo positivo de MC, se muestran en la Figura 5.13 (c). 5.4.6. Comentarios finales La propia definición del coeficiente de influencia proporciona una forma simple de calcularlo. Reescribiendo la expresión (5.2): X x P ix # se observa que para una carga unitaria P el coeficiente de influencia es igual al valor de la incógnita. Por lo tanto, la colocación de una carga unitaria P = 1 en una posición genérica x permite obtener el valor de la incógnita por cualquier método (trabajos virtuales, tres momentos, Castigliano, etc.). El método basado en la elástica (Teorema de Reciprocidad) tiene una importancia conceptual relevante ya que permite anticipar sin ningún cálculo y en forma aproximada donde debe actuar una carga para producir la máxima influencia. Sin embargo, el uso de programas computacionales de cálculo permite automatizar la obtención de líneas de influencia. En el caso de un reticulado para el que resulta necesario trazar una línea de influencia para cada barra, se puede utilizar un programa para determinar el esfuerzo en todas las barras para varias posiciones de la carga móvil y finalmente seleccionar la máxima solicitación en cada barra. En el caso de una viga continua, el programa puede calcular el momento flector y el corte en el centro de cada tramo y sobre los apoyos para varias posiciones de la carga, y luego determinar los valores máximos de las solicitaciones en los puntos prefijados listándolos con los resultados finales. El cálculo manual de las líneas de influencia requiere un trazado para cada incógnita de interés mientras que un programa de cálculo puede proporcionar simultáneamente todas las incógnitas prefijadas. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -42-
