1 - TESIUAMI

UNIVERSIDAD AUTóNOMA METROPOLITANA
UNIDAD IZTAPALAPA
Casa abierta al tiempo
DIVISIóN DE CIENCIASBÁSICAS E INGENIERÍA
TESIS PROFESIONAL
LICENCIATURA EN MATEMATICAS APLICADAS
PRESENTA
JUAN VILLEGAS CORTEZ
ASESOR
DR. FELIPE PEREDO RODRÍGUEZ
MÉXICO, D.F. 1996
Salmo 127 ( 1 26)
Tabla de contenido.
Introducción.
Capítulo 1
Fenómeno tipo Poisson.
Capítulo 2
Implementación de SLAM System.
SLAMSystem.
Comencemos.
Estableciendo el proyecto.
Estableciendo el escenario.
Construyendo el modelo.
Construyendo el archivo de control.
Asociando con el escenario.
Documentando la red de trabajo.
Simulación de la red.
Observando los resultados de la simulación.
Capítulo 3
Aplicación a inventarios.
Elementos de un sistema de inventarios.
Simulación aplicada a control de inventarios.
USOde lIAD-WI-II.
Listado de I-IAD-WHI en Turbo Pascal.
Simulación aplicada a control de inventarios con
demanda estocástica de distribución normal.
Aplicación de CMOM.
Simulación aplicada a líneas de espera.
Introducción a líneas de espera.
Implementación.
Uso de LINESP.
Algoritmos de “una cola - un servidor - población finita”
& “una cola - servidores en paralelo - población infinita”.
Una cola - un servidor - población finita .
Una cola - servidores en paralelo - población infinita.
Capítulo 4
Simulación aplicada a economía
Uso de TSP para regresión multilineal.
Uso de mínimos cuadrados en dos etapas.
Proyecto sobre las operaciones financieras mediante un
modelo de dos ecuaciones en diferencias lineales y estocá sticas.
Anexo 1.
Anexo 2.
Anexo 3.
Láminas.
Bibliografía.
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89
L
a aplicación de la simulación matemática es hoy endíaunarealidadenlaindustria
y
empresa,por lo cual es necesarioprofundizaren su estudio y desarrollo. Cuando se
habla del desarrollo de la simulación se habla también (en segundo termino) del uso de
las computadoras como herramienta para alcanzar su objetivo; y es por demás mencionar los
beneficios que trae la simulación misma para las empresas que la aplican, el principal de ellos es
laplaneación de recursos económicos y humanos, así como la predicciónfimdamentada de
desarrollos de intereses para el buen desempeño de las empresas.
Unservidor
ha tenidoexperiencia enel
manejo de lasimulaciónparanlodelos
matemáticos (continuos y discretos) deterministas; pero estos tienen su lugar en los fenómenos
de lafisicanewtoniana
y enlascienciasbiológicas
dentro de fenómenosqueinvolucran
aspectos relativos a la fisica. Recordemos que un modelo matemático de carácter continuo está
dado por un conjunto dcecuacioncsdifcrcnciales(lascualesse
procura scan ordinarias),
mientras que cn un sistcma discreto las ccuacioncs son en diferencias. A raíz de las cxpcricncias
anteriores me surgió el deseo de continuarcon este estudio, peroahoraanalizando
los
fenómenos involucrados con la economía y las finanzas, pues algunos de estos no tienen un
carácter determinista,sino másbien aleatorio, ¡.e. lasvariables a considerar dentro de la
simulación toman valores al azar, cumpliendo con determinadas características sefíaladas por la
teoría de la probabilidad; es así que se decidió tomar para el presente seminario el estudio del
mencionado tema.
Como meta principal me he planteado dos objetivos:
1. tener un conocimientomejor acerca de la aplicación de estarama de las
matemáticas a los fenómenos cotidianos dentro de la economía y lasfinanzas
para brindar soluciones fkndamentadasa las necesidades que así lo requieran,
2. brindar al futuro lector del presente trabajo las herramientas necesarias para que
éI laspuedaaplicar,tcniendo
et1 clarolosconocimientospreliminares
de una
formación matemitica.
Así pues, si ve alcanzaran ambos objetivoscreeré que mi labor h e fecunda.
1
Tgcnicns de Simulación Matenláticn
Capítulo 1
Fenómeno tipo Poisson.
Esta primera parte está dada por el desarrollo del siguiente problema, el cual es
dentro de las empresas que tienen su propia planta de vehículos repartidores.
muy común
Problema:
Una empresa transportista h a encontrado que las descomposturas diarias d e
sus camiones sigue una distribución de Poisson de parhmetro
h = 0.2
El númerodedíasrequeridosporunmechnicopararepararuncami6n
descompuesto tiene una distribución normal con media = 6 días, y desviación
esthndar = 1día.
El costo diario por cami6n descompuesto es d e N$ 1500.00, y el salario d e u n
mechnico es de N$180.00 diarios, y lo recibe independientemente de que este
haciendo reparación o este d e ocioso.
Simuleelfuncionamientodelsistemadurante10días
y estimeelcosto
mediano diario de las descomposturas. Suponga que se tiene a u n mec6nico
por descompostura.
Desarrollo.
Para la simulación del problema notemos que de entrada se nos proporciona el dato de
que el fenómeno del ruítnero de desconpostwas diarias sigue una distribución de Poisson con
parámetro h = 0.2, y también se nos indica que los días requeridos por ut1 nlechico para
de 6 días, etc. Así, como primer
realizar la reparaciótl cumple con una distribución normal
paso de la simulación hay que generar aleatoriamente números de descomposturas diarias para
un intervalo de 10 días, pero estos números deben cumplir con una distribución de Poisson con
el parámetro h indicado, i.e. no es válido generarlos sin apego a lascaracterísticasdel
fenómeno; una vez hecho esto se procede a generar para cada una de las descomposturas un
número aleatorio de tiempo (I) enelcualseharála
reparación, de lamisma forma, estos
números t, deben ser generados de tal forma que cumplan con una distribución normal con la
media y la desviaciónestándarrequeridas;
después de lo anterior ya se puedenrealizar los
cálculos de costos, que abarcan: costo por paro de vehículo y sueldo del mecánico; dicha suma
dará el costo total por reparación de una sola unidad.
Se aclara que cuando un vehículo es reparado antes del medio día (o hasta el medio día)
se supone que entrará en operación inmediatamente, representando para la empresa solo medio
día de pérdida (N$ 750.00), y para el mecánico, si este trabajó aunque sea una fracción del día,
2
Ticnicas de Sinlulacibn Matenldlica
se le pagará el día entero, i.e. para un tiempo 1 = 1.3, se considera un redondeo a 1.5 para el
calculo de costo por paro de vehictrlo, y de 2 para el srreldo del mechico.
Para simular una distribución de Poissoncon
parámetro X, nospodemosservir
ventajosamente de la relación conocida entre las distribuciones exponenciales y de Poisson. Se
puede justificar quesi
I ) el número total de eventos que ocurren durante un intervalo de tiempo dado es
independiente del número de eventos que ya han ocurrido previamente aliniciodel
intervalo,
2) la
probabilidad
de que un evento ocurra en
el
intervalo de t a !+At es
aproximadamente hAf para todos los valores de t, entonces:
a) la función de densidaddelintervalo
t entre lasocurrencias de eventos
consecutivos esf(Q
b) la probabilidad de que ocurran x eventos durante el tiempo i es
f (x) = c - A l
(1r )"
X!
Un método para generar valores de variablealeatoriacondistribución
de Poisson
deberá considerar la generación de intervalos tl, tL ..., distribuidos en forma exponencial con
un valor esperado igual a 1. Una vez generados estos intervalos aleatorios, se acumulan hasta
que su suma exceda al valor de h.
En términos matemáticos el valor de Poisson para x se determina haciendo uso de
siguiente desigualdad:
<A<Cf,
X4
¡=O
la
1
(x=O,1,2 ,...)
i=O
donde los valores de la variable aleatoria ti se generan por mediode la fórmula
ti = - Log r,
con una media unitaria. Un método más rápido para generar los valores poisonianos x es el que
consiste en reformular la ecuación ( l . 1) de la manera sibwiente:
i=O
¡=O
Este proceso se codifica en el siguiente seudocódigo:
1.
- Inicializar X:=O, TR:=l, P:=h.
2. - Calcular B:=e
.'
3
Técnicas de Simulncihn Matenráticn
3.
- Generar aleatoriamente R.
4. - Calcular TR:=TR*R.
5. - Si TR-B 2 O entonces X:= x+l y saltar a instrucción (3).
Si TR-B < O entonces N:=X (se obtiene el primernúmero aleatorio
condistribución de Poissonconparámetro
X).
El programa para este seudocódigo ha sido elaborado en lenguaje Turbo Pascal Versión
6.0, dentro del mismo la variable h es representada por P. El listado del programa se presenta a
continuación:
Program GeneraNumPoisson;
( $N+ 1
uses crt, printer;
(Programa para generar nfrneros aleatorios con distribucicn de Poisson]
Var k , X, j : integer;
prom, cont, TR, P, R ,B:
resp, respl: char;
DFXIN
real;
[prllrcipal)
clrscr;
randomize;
write('1nqrese la cantidad d e n m e r o s a l ~ ~ l t ~ f - ai ogenerar:=
s
readln(k);
write (
" 1 J . z a r - impresora S / N ?
rendln(resp1);
cont ::-O;
if respl='s' then
begin
writeln(lst, 'k
#'I;
writeln(lst,'-----------' 1 ;
end
ELSE
begin
writeln ( ' k
# I ) ;
writeln("""""""
1;
end;
for j :=1 to k do
BEGIN
x:=O;
( PASO 1 )
TR:=l;
I ) ;
');
I
P:=O.2;
U:=E%P(-P);
R:=random;
{PASO TR:=TR*R;
while ('I'R-B)>=O do
begin
[VAI.oR DE 1 . A ~ I l ' ~ l l A )
( PASo 2 )
{ PASO 3 1
4)
( PASO 5 )
X:=Xtl;
R:=random;
TR:=TR*R;
(
(
PASO 3)
PASO 4 1
end;
if respl='s' then
begin
writeln(lst,j,'
end
else
writeln(j,'
',x);
',:J.);
(PASO 6 )
cont:=contiX;
END;
prom:=cont/k;
write ( '
O.Para
k.
resp:=readkey;
end.{principal)
continuar pulse una
tecla...');
4
Técnicas de Simulacicin hlatenrática
Dado que se pideunasimulacióndelproblemapara
10 días entonces se lepide
programa que genere los 10 números aleatorios. En la siguienteilustraciónsemuestra
corrida del programa anterior así como los diez números obtenidos en la pantalla.
I n g r e s el ac a n t i d a dd en ú m e r o sa l e a l n r i o s
k
al
la
a q e n e r a r := 10
; U s a ri m p r e s o r a
S/N? n
#
"
"
"
"
"
"
1
2
3
4
5
6
7
B
9
10
1
O
O
1
1
2
O
O
O
O
O.
k.
cPoanr tai n u a r
pulse una t e c l a . .
.
Por lo tanto los dieznúmeros generados mostrados enla ilustraciónde la pantalla
pasada son los que se usarán. Según éstos, en los diez días hay un total de 5 descomposturas,
una en el primero, cuarto y quinto día; y dos en el día sexto.
Nuestro siguientepasoes
la generación de los tiempos de reparacióndecada
descompostura, esto se hace apegándonos a la teoría de la variable aleatoria con distribución
normal, corno nos lo afirma la información dcl problema.
A continuación se explica el desarrollo de la teoría del generador de números aleatorios
con distribución normal.
La función de densidad de distribución normal está dada por
para generar números aleatorios distribuidos de acuerdo af('),
p y desviación estándar G por la transformación:
se deriva la variable x con media
El método de aproximación más usado es el que se toma sumiendo que los números
aleatorios generados por la computadora tienen una distribución uniformes, a estos números
generados así se les determina ri , se toman una colección de estos para formar uno solo de
acuerdo a la fórmula
Técnicas de Sintulación Matemática
Pero por definición, z es un valor de variable aleatoria con distribución normal estándar
que se puede escribir en la forma sugerida por (1.3), donde x es un valor de variable aleatoria
distribuido enla forma normal que se va a simular, con media p y varianza d.Igualando las
ecuaciones (1.3) y (1.4) a z, obtenemos:
y resolviendo para x, se tienc que
x=
)+-;
p
(1 .S)
Por lo tanto, mediante la ecuación (1.5) se puede proporcionar una formulación muy
simplepara generar valores de variablealcatorianormalmentedistribuidos,cuyamcdiasea
igual a p y la varianza 02.Veamos que para generar un solo valor de x (un valor de variable
k números aleatorios definidos enel
aleatoria condistribuciónnormal)bastaráconsumar
intcrvalo O a 1 . Sustituycntlo cI1 valor dc cstn s u m ctl la ecuación (1,5), así co111otarlhidn los
valores de p y cs para la distribución deseada, encontraremos que se ha determinado un valor
particular de x. Se puede apreciar que el proceso se puede repetir tantas veces como valores de
variable aleatoria normalmente distribuidos se requieran.
El valor de k que debe aplicarse a la fórmula usualmente se determina al establecer las
condiciones de balance entre eficiencia de computo y precisión. Al considerar la convergencia
asintótica implicada por el procedimiento del límite central, es deseable que k corresponda a un
número muy grande. Considerando el tiempoquecomprende
la generación de k valores
uniformes por cada valor de variable aleatoria normal, sería preferible que k estuviera asociada
a un número muy chico. Según algunos autores, el valormenor deseado para k es 10 enla
ya que enla
práctica. Sinembargo,con k = 12 selograunaciertaventajacomputacional,
ecuación (1.5) se puede evitar una multiplicación constante. No obstante este valor de k trunca
la distribución a los límites +6, y además se ha encontrado que no es confiable para valores de x
mayores que tres de la desviación estándar, aunque pese a lo anterior, la experiencia muestra
que este criterio conduce a programas de razonablerapidez. Con el fin de obtener mayor
precisión se deben considerar valores mayores para k (del orden k =’24). Cabe aclarar que la
técnicaaquí mostrada no es la única existente paracalcularvalores
de variablealeatori
distribuida normalmente, existen otros los cuales pueden ser consultados en mayor detalle en el
libro de Naylor mencionado en la bibliografia.
Tkcnicas de Sinlulación hfatembtico
A continuación se muestra el programa elaborado en Turbo Pascal Versión 6.0 enel
cual se implementa esta subrutina para generar los valores deseados con K := l i m := 24.
'rograrnGeneradorNum;
SR+I
$N+
I
g e n r a d o rd en f m e r o sa l e a t o r i o sc o nd i s t r i b u c i C nn o r m a l
= M, y d e s v i a c i C ne s t a n d a r
= D)
onmedia
ses c r t , p r i n t e r ;
ar
D, k, i , lirn : INTEGER;
suma,
prom,
cont
: real;
r e s p c: h a r ;
X : a r r a y [ 1 . . 2 1 1 of r e a l ;
(ellimitedelarray
es hast.a el v a l o r d e 1,114)
M,
V,
EGIN
randomize;
clrscr;
suir13: = O ;
cont :=O;
prom: = O ;
lim:=24; I a q u is ed e c l a r ae lv a l o rd e
K para l a proximacion)
f o r i : = 1 t o l i m do
. bcyln
x[i]:-0
end;
{ i n g r e s od el am e d i a ( M )
y Desv.Est.(D))
D:=l;
M:=G;
w r i t e ( ' 1 n q r e s e 1 3 c a n t i d q d d v nfmoros a l - l t ~ i - i o . 9a 3 ~ n e r a r : readln ( k ) ;
wri teln;
writ.eln('
II 1 , '
V I ) ;
w r i t e l " ( ~""""""""""""~"l
);
€or k:=l t o k do
begin
for i : = l t o l i m do
begin
X [ i ] :=random;
end;
f o r i:=l t o l i r n do
begin
suma:=sumatx[i]
end;
{ ac o n t i n u a c i o ns ec a l c u l a
I ) ;
e l numero g e n e r a d o )
V:=D1(12/litn)+(sunln-(l~m/?))+M;
Writeln ( '
',k,'
',V:l:l);
c o n t : =cont.l v;
suma : = O
end;
pruin:
=cotll./k;
write (
resp:=readkey
O. k .
. . . pc ao rnat l npuual sr e
una t e c l a ' ) ;
:ND.
Los números así generados fueron 5, pues heron 5 el número total de descomposturas
generadas para los 10 días por el generador de números con distribución de Poisson. Estos se
muestran en la corrida muestra del programa a continuación:
7
'IYcnicasde
I n g r e s e l a cantidad d e números aleatorio5 a r l - n p r a r
Sintulncidn hífatemdtica
5
:=
#
V
"-""""""""""""
1
5.1
2
6.3
3
4
5
5.8
6.7
6.0
...p ara continuarpulseuna
O. k .
tecla
Los cálculos de los costos se muestran en la tabla siguiente
I
3 1 0 1
4
5
1
1
d2
d3
I
I
6.3
6
6.5
7
C
97x
6
6
9ooc
I
11010
1o080
8
Técnicas de
Simulacidn Akternática
Capítulo 2
Implementación de Slamsystem
Hoy en día dado el avance en el área de la simulación matemática, se han desarrollado varios
programas de computo (soffrvnre) paralaimplementación
de los mismosenproblemasya
definidosenbaseasuestructuraciónmodeladapreviamente.Cuandoelproblemaasimular
resulta ser un sistema de ecuaciones en diferencias o de ecuaciones diferenciales (sistemas de
ecuaciones
diferenciales,
sistemas
dinámicos)
tradicionalmente
lo quese
analiza
en
la
simulación es el comportamiento de las trayectorias de cada una de las variables que entran en
la simulación con respecto del tiempo, dado que no siempre se puede dar una solución explícita
del modelo, esto dado a su complejidad, baste saber como ejemplo el modelo matemático de un
reactor atómico (fisión nuclear) que trabaje con presión de vapor de agua’, en el cual se tiene
un sistema de treinta y cinco ecuaciones diferenciales más diez de relación que hacen un total
de cuarenta y cincoecuaciones;obviamente el resolverexplícitamente un sistema como el
mencionado resultaría prácticamente imposible, pero con la ayuda de un software adecuado se
puede analizar en detalle su comportamiento con laprecisióndeseada,siempre
y cuando se
cuente con el equipo de computo necesario.
AI hablar de un equipo de computo adecuado me refiero a contar como mínimo con una
computadora personal2 (PC) de compatibilidad IBM o Apple-Machintosh, la más común por
costo económico es IBM, esta debe tener para trabajar óptimamente con
un procesador tipo
80286 o 80386 DX (Le. con coprocesador matemático integrado), dos megabytes de memoria
RAM (comomínimo),monitorVGA(en
color de preferencia),disco
duro con veinte
megabytes disponibles y mouse (ratón); esto es como configuración mínima recomendable, se
aclara por supuesto que de contar con u n nlcjor equipo se tome en cuenta, pues esto redituará
en menor consumo de tiempo y comodidad para el manejo de los resultados.
Para quc cl Icctor pucda tcncr una mejor visualizacirin de la utilidad dcl sollwarc, por
ejemplo en el problcma dcl reactor
lo que sc persigue observar como resultado principal es la
cantidad de potencia de energíageneradapor el mismo,si se sabe que de acuerdo con las
características de construcción el reactor se planea para la generación de 20 M w de energía,
soportando un máximo de 35 Mw, sienlasimulación
se pide visualizar en la pantalla
de la
computadora la variable / J I . ~ s ¡obteniéndose
~H,
que a un tiempo determinado, por ejemplo 1=5
seg., que la presión es mayor a 35 entonces lo que se interpreta es que el reactor trabajando con
las condiciones de arranque tomadas explotaría a los cinco segundos del arranque.
Si desea analizar con detalle este problema del reactor y st1 simulación, el mismo fue desarrollado por un servidor como
parte de un curso de Simulación en la UAM - I, por si desea usted realizar una consulta el-mismo está a su disposición
con elautor.
I’ersonnl ~ o ~ n p u t :cITr .
9
Técnicas de Sin~ulaciónAfaatemática
Para problemas en los cuales la modelación tiene una
estructura como la mencionada
(de ecuaciones en diferencias o diferenciales) se cuenta con programas tales como Phase? y
~Inlnon~.
En el presente capítulo se procederá a implementar el problema abordado en el capítulo
uno, pero ahora con la ayuda de la herramienta de un software diseñado específicamente para
Slan~.systenr5versión 2.1 para Windows, este
realizarsimulaciones deeste tipollamado
programa esta disefíado para abordar diversos tipos de modelos, entre ellos los que se modelan
en base a una redde servicio (manufacturas, ensambladoras,etc.), dada la estructura de nuestro
problema, este se puede representar de acuerdo a la figura 2. l .
I
I
.
-
L
___,
Llegada dc carnioncs
-
U
Taller de
reparaci6n
Unidadcs
rcpnrndw
I
Figura 2.1. Esquema de funcionamiento del problema de reparaciones de camiones repartidores
del capítulo l . Aquí podemos considerar al taller de reparaciones como una estación de trabajo
(Work Station).
Antes de continuar es válido mencionar los pasos fundamentales para la rnodelación de
una red para un problema específico, a su vez también se pasa como consecuencia a la primera
fase de utilización del programa Slannsystem.
Pasos a seguir para la modelación de la red de trabajo (network):
l. ldentificar las identidades' a ser modeladas;
2. construir un modelo gráfico del flujo de las identidades a través del sistema;
3. transcribir el modelográficocon
los comandos de representacióndelprograma
Slamsystem.
7écnica.s de Sin~ulaciór~
Matemática
Analizando el dibujo de l a figura 2.1 ., podemos considerar al taller de reparación como
una estación de trabajo (del ingles Work Station), así tenemos al problema planteado en una red
de trabajo, la primera etapa es la llegada de las unidades descompuestas que cumple con una
distribución de Poisson de parámetro h=0.2 ; la segunda es la primera estación de trabajo (en
este problema es la única existente) en la cual un mecánico repara a cada unidad en un número
de días que cumplen una distribución normal con media de seis días y desviación estándar de un
día. Así queda estructurado gráficamente nuestro sistema a simular.
En base a lo anterior se desprende el hecho de que la variables-identidades a observar
son:
1. el número de unidades descompuestas en el periodo a simular; y
2. la utilización de la estación de trabajo (taller - tiempo de reparación, promedio total).
Todo lo anterior para poder estimar costos en un lapso de 10 días que es el periodo a
considerar en la simulación.
Antes de continuarharcnlos un brcveparéntesisparahablaracerca
estructurado el programa Slamsystem y corno trabaja.
de cómo está
Slamsystem.
El programa Slamsystem es un sistema de sirnulación el cual da soporte a la construcción de
modelos7, análisisde los rnodelos usando l a sirnulaci6n y la presentación de los resultados de la
simulación.Slamsystem se desarrollaen el ambienteMicrosoft'Windowspara
PC's, esto
simplifica e1 trabajo de ingreso de la formación gráfica y textual que conforma al modelo mismo
en sus datos y estructura dedatos, así conlo proyectos de información. Un nmrtlenedor.
(asisten/e) de proyecto (proyect maintainer) automáticamente realiza las tareas requeridas para
analizar el sistema usando la simulación. Las capacidades de presentación de los resultados del
programa incluyen la animación para visualizar
la dinámica, estructura y control logic0 de un
modclotalcornolasgrhlicas
y losreportes lo Ilacenparapresentarcuarltitativarllclltc
el
desempeiio de la silnulaci6n de uno o más escenarios.
Es claro por lo anterior dicho,
dado que elprograma es bajoambienteWindows,el
usuario tiene grandes ventajas en el uso del programa, pues el trabajo principalmente se reduce
a saber usar la interface9 gráfica, la cual tiene u n manejo muy similar en todas las aplicaciones
'Entiéndase por esto a n/oddosnrafenlriticos.
* Microsoll cs U I I ~n l m x rcgistrocla Jc Microsoll Corp.
hlterface (interfaz): Una conexión e interacción entre hardware, soltware y usuario . Las interfaces de hardware son los
conectores, z6calos y cables que transportan las sefinles elkctricas en un orden prescrito. Las interfaces de software son
los lenguajes, ccidigos y mcnsajcs que utilizan los programas pnra comunicarse unos con otros, tal como un programa de
aplicaciOn y e1 sislclno opcrativo (DOS: Disk Opcrating System - Sistema Operativo de Disco). Las inlerfaces dc usutlrio
so11los teclados, ratones, dihlogos, lcnguajes dc co1nando y mcnús empleados para la conwnicacibn entre el usuario y a
l
7kcnicas de Sinrulncidn Afntemáticn
que son para trabajo bajo este ambiente de cornputadoras personales. Esto es con respecto a l a
operación de los comandos (las ordenes) para el programa. Así Slamsystem está implementado
usando Microsoft Windows (versión 2.3 o superior) e incorpora el lenguaje Slam 11 (versión 4,
5, 6). Podemos decir entonces apoyándonos en lo anterior dicho, que Slamsystem provee un
soporte total para un proyecto de simulación.
Una
característica
de Slamsystem
es
que permite
múltiples
proyectos
para
ser
desarrolladosconsecuentemente.Slamsystemtrabaja
bajo el soporte de una estructura para
desarrollar cada proyecto.
Un proyecto es una colección de escetlnrios. Un escenario incluye:
0
0
0
unmodelo,
resultados de la simulación y
notas de documentación.
El modelo describe al sistema a simular de interés. El lenguaje Slam I1 provee de una
representación matetn~ltica-lógica del usode un sistema usando una representación en rcd y un
control, asícornoopcionalmenteinsercionesdelusuario
y datos delmismopararecrearel
patrón de comportamiento de l a operacióndelsistema.
La red de flujo delsistema y las
inserciones del usuario son desarrolladas desde una construcción de modelación por parte de
espccifica
las rncdicias de función
para
el desempefío,
análisis,
Slam 11. Un control
procedimientos y las condiciones bajo las cualcs se harán las corridas del sistema. Los datos del
usuario caracterizan los objetos, patrones y rasgos de un sistema y es típicamente retomado
desde las operaciones del sistema. Estos datos son entrados al modelo con una inserción del
usuario.
L a animacióngráficamuestra
los cambiosenelsistemarespectodeltiempo.
La
facilidad del diagrama describe al sistema con figuras elementales y es la pantalla de fondo para
la animación. El llamado Scripf dice que tanto los eventos de la simulación son animados por
los cambios y movimientos sobre la misma facilidad del diagrama. En el presente trabajo no se
desarrolla por falta de tiempo la parte de descripción detallada de esta herramienta.
El nombre dcl escenario darct’crencia de los resultados producidos por la sitnulacicin del
modelo. Estos resultadosincluyenobservaciones
de valoresindividuales de las variables y
resúmenes estadísticos de estos mismos. Los reportes, gráficas y animación son tres maneras de
presentar los resultados para proyectar y personalizar el control del sistema dado. Las notas
para
documentación,
describiendo
cualquier
aspecto de un escenario,
son
entradas y
mantenidas usando el propio Slamsystem.
computadora. EIl discfio y conslrucci611 de intclI:,lccs constituye U I M parte principal del trabajo de los ingellieros,
programadores y consultorcs. Los usuarios “dialogan” con cl sohvare. E 1 soRware “dialoga” con otro hardware, así corno
con otro soltwarc. El hardware “dialoga” con otro hard\vare; y todo este “dialogo” no es lnhs que el uso de interfaces.
Dcbcn scr disefiadas, dcsnrrollatlas, probadas y rcdisefindas, y con cada encarnación nace una nueva eslxcikción que
puede convertirse c111111 cstrirdar, de hecho o rcgulodo.
12
Técnicm de Simulacidn Mdenrblicn
Slamsystem soporta unavia de modelación iterativa, dando un ambiente para definir,
desarrollar, refinar, actualizar, modificar y extender los modelos. El proyec! mnir~tninerde
Slamsystem desarrolla las tareas requeridas para cada
iteración. Así, cada modelo ya existente
sirven como una base para el desarrollo de modelos futuros. Slamsystem brinda la capacidad
para construir en lenguaje Slam I1 redes interactivas y gráficas. Los datos del usuario, tan bien
como los eventos discretos del lenguaje Slam I1 y los modelos continuos son ingresados como
texto. La información para el control es ingresada en una serie de formas las cuales son de fácil
acceso y son dadas en los mismoscampos de uso de los comandos dentro delambiente
Windows.
Las gráficas y reportes de losresultados de l a simulaciónsonseleccionadospor
el
usuario. Por medio del mismo programa se pueden seleccionar diversos resúmenes estadísticos
o histogramas del reporte
general,así
como series de tiempo de valoresindividuales
recolectados por los comandos Record y Vnr. Hago la aclaración de que en el presente capítulo
por medio del programa mencionado se analiza la simulación tomando resultados generales, i.e.
se hace una evaluación general del tiempo empleado en la reparación
de unidades, diferencia
de como se expuso en el capítulo anterior en el
que se detallaba cada número generado para
cada caso.
A partir de lo anteriorpodemosdecir
que sabemos lo necesarioparacomenzara
trabajar con el programa Slamsystem".
Comencemos.
Una vez que el usuario tenga instalado el programa es muy sencillo comenzar a usarlo, si aún
no está dentro del ambiente Windows ingrese escribiendo en el prompt delDOS:
WIN J
Una vez dentro del ambiente Windows en la ventana de Ayficaciorles busque el icono
al programa; si se
titulado Sim? System Z'ri/skw, seleccione" y de dobleclickparaactivar
encuentraen el caso de no contar con el icono creado dentro de dichaventana entonces
proceda a la ventana Pritlcipf y active el Admitlistrodor de Archivos, busque en el árbol de
directorios el subdirectorio S'/m~~sys\/Ji~~
y de doble click en el nombre de archivo Sfn~n.exe,
así
obtendrá la entrada al sistema.
Cuando se activa el programaaparece la leyenda de los derechos reservados, de u n
click en el botón de OK, a continuación tendrá en frente a la ventana ejecutiva de Slamsystem.
13
Esta es similar a la de todas las aplicaciones Windows, cuenta con una barra de título, barra de
menú, botones de maxirnización y mininlización de ventanas, etc. La barra de menús cuenta con
las opciones de I<i‘lc( ~ ~ t d ~ i vBuild
o ) , (cotls/txit~,
Sitnuldc (sintular),Animate ( ~ w i t m r )I-3qmrt
,
(reporte), Graph (grc$fico.s), Optioru (opcioues), Ulilities (rrtilerías) y Help (ayda); éstas son
las knciones delprograma.
El espacio(lacaja)
enmediodela
ventanamuestra
los
componentes de los cualescomprenden un escenario. Esto se muestra enla figura 2.2
siguiente12.
Current Scenario
eatltF”dr%:
&.m&*
Figura 2.2. Ventana ejecutiva de Slamsystem.
€stab/eciendo el proyecto.
Corno prinner paso a seguir es dar nombre a nucstro proyecto con el cual vamos a trabajar
A continuación se danlos pasos a seguir:
1. Seleccione File de la barra de menú y escoja en selección la opción New.
2, Por defecto, el prompt aparecerá enel apartado listo para escribir el nuevo nombre,
en caso de no ser así seleccione usted mismo la misma caja.
3. Teclee el nombre del proyecto, es este caso para ejemplificar escriba S-1 .
4. Selecciones el botón New.
Estableciendo e/ escenario.
A menudo, un proyecto de simulación evalúa alternativas del sistema. El programa Slamsystem
llama a cada unade estas alternativas un escetmio. Para el presente ejemplo, sólo será
analizado un escenario. El siguiente paso es nombrar al escenario.
I’
Hago la aclaracihn de que l a ventana aquí mostrada difiere de la que usted tendrá por el detalle en la barra dc título en la
esquina dcrecha a l mostrar la hora en cual file capturada, esta característica dentro del sistema está dada por el programa
Clock Man de Graphical 1)ynarnics Inc., cstc es un shareware disponible c11l a compra de libros especiali7ados sobre l a
operación dcl alnbielltc Windows.
i’ecnicns de Sintulaci6n hfatemálica
1, Dentro de la ventana, seleccione Scerlnrio.
2. Por defecto, el apartado bajo “ S C ~ J K estará
I ~ ~ Oseleccionado,
”
de no ser asíhágalo
usted mismo.
3. Teclee el nombre del escenario, en este caso: E’en~plo.
4. Selecciones el botón New.
Construyendo el modelo.
Paso siguiente, construyamos nuestra red de trabajo para nuestro sistema de una estación de
trabajo. La gráfica completa de la red terminada se muestra en la figura 2.3. Los comandos de
red, los cuales son automáticamente %eneradospor Slamsystem, son mostrados bajo el modelo
gráfico. Los campos de los comandos de red de izquierda a derecha correspondientes con los
campos sobre las formas de entrada para los símbolos de la red. Las unidades a ser procesadas
por la estación de trabajo entran al sistema generadas por el nodo CZZATE. El nodo QUEUE
nombrado WSZ (Work Station 1 := Estación de Trabajo 1) y la línea de servicio ACTZJWY que
sale de éI modelan a nuestro problema representado por solo una estación de trabajo. El nodo
COLCII’ rotulado C’I observa el tiempo enel
sistemaparalasunidadesterrninadas
(¡.e.
reparadas).
RNORM[G.I). I
@
Figura 2.3. Gráfica de lared
,
,+
INT(1)
TIEMPO TALLER
INF
U
de trabajo y los comandosde linea correspondientes que se
CREATE,NPSSN(0.2),,1;
ACTIVITY;
WS1 QUEUE(l).,.;
AC‘~lVl’rY(SO)/l,f~NOf~M((,,
1);
COLCT,lNT( l),TlEMPO TALLER;
ACTIVITY;
TERMINATE;
END;
elaboranautomáticamentedesde Slam 11, peroque
hechos por el Project Mcrintnirrer.
enel
ambiente de interface gráfica son
Para construir la red síganse los siguientes pasos:
l . Seleccione Network de la lista que esta dentro de la ventana.
2. Seleccione el botón New para ingresar al asistente (constructor) de redes (Network
BuiIdctj.
Dentro delasistente de red se ingresará la redparanuestromodelo
en Slam 11. El
primer nodo del modelo es un nodo tipo CZUiAYE el cual se ingresa de la siguiente manera:
l . Seleccione CI(I;;A772 dentro de la lista.
2. Seleccione el botón OK.
3. Seleccione laposiciónparael
nodo enlatablillapunteada
de fondo, esta será su
posición dentro de la red.
4. Dé alnodo CREAIE parámetrosen la plantilladesplegada. EL cursorvertical
parpadeante en líneaindica el campo enelcualel
respectivo dato-parámetro será
ingresado. Los caracteres con ingresados a la izquierda del cursor, si se comete algún
la tecla de retroceso (hack space).
error estese puederemediarborrandocon
Pulsando latecla
TAB se cambia al siguientecampo
de la plantilla o bien
seleccionando el campo deseado con el ratón. Para el nodo CZEAIE en el campo
“Timebetween”escriba
NZ1SS‘(0.2),con esto activa un generador de números
aleatorios con distribución de Poisson con parámetro h = 0.2, después en el campo
“Marking attrib” escriba I , y los campos restantes tómelos con sus valores por
defecto.
5. Cuando todos los valores de los campossoningresados o tomados pordefecto,
seleccione el botón OK o bien pulse la tecla ENTER (-I).
Si por alguna causa se quiere editar un campo, ya sea por mal ingreso de un dato o por
simplemente querer verificarenlaplantilla,simplementeseleccione
el respectivo nodo con
doble
click
y activará
en
pantalla
la
respectiva
plantilla
con
los
valores
ingresados;
posteriormente pulse nuevamente la tecla ENTER.
A continuación,repita de manerasimilar los pasos anterioresparaingresarun nodo
QUEUE con sus respectivos parámetros, después una al nodo C I E A I E con una flecha-nodo
ACTIVI7Y.
l . Seleccione ACUVZTY de la lista.
2. Seleccione OK.
3. Localiceelinicio de AC77VIZY tornando un punto en el nodo C I E A I E y unala
parte final (de la flecha) al nodo QUIIUE.
4. Dé a ACII(VZ7’Y parámetros en la plantilla resultante, en este caso tome los
parámetros por defecto.
5. Una vez ingresado los datos seleccione OK.
Los nodosrestantes y actividadessoningresadas
de manerasimilar. Para asistencia
respectoa los campos de los respectivos nodos puede consultar la ayudapresentadaen
~antalla’~.
La red debe quedar al finalizar como la mostrada en la figura 2.3.
Técnicas de Sintulacidn Afatenthtica
Hago la observación de que en la presente simulación se considera que se cuenta con un
número de 50 mecánicos disponibles para realizar las reparaciones, es por esto que en la línea
de ACTIVIIY de la red se seiialan 50 servidores (Le. cada servidor de la estación de trabajo es
quien realiza la tarea representada con la duración estipulada, aquí cada servidor es igual a un
mecánico, se da por hecho de que todos los servidores son idénticos)
Unavezconcluida
la construcción de la red, esta debe ser salvada y salirnosdel
asistente de red. Para esto siga los siguientes pasos:
1. Selecciones File de l a barra de menú del constructor de red y escoja la opción Save
as.
2. Por defecto estará el prompt dentro del apartado para el nombre de la red construida.
De no ser así, hágalo usted mismo.
3. Teclee el nombre de la red, en este caso IELII, en el apartado Save as.
4. Seleccione OK.
5. Seleccione File de l a barra de menú y escoja Exit de las opciones resultantes.
Construyendo el archivo de Control.
El archivo de control brindalainformaciónnecesariapara
el proceso de simulación en la
simulación del modclo. lJn control consiste en 1111 conjunto de comandos en lenguaje Slam I I .
Cada comando consiste de un conjunto de campos a los cuales se ingresan datos por medio de
una plantilla desde el asistente de control (control builder). El control completo es mostrado en
la figura 2.4.
GEN,JUAN VILLEGAS CORTEZ,REPARACIONES,7/27/1995,1,Y,Y,YN,Y,Y/1,72;
LIMITS,I ,2,400;
NETWORK;
MONTR,TRACE;
INITIALIZE,,IO,Y;
FIN;
Figura 2.4. Archivo de control para el modelo.
Construir el archivo de control es nuestro siguiente paso:
l.Seleccione COIVIROL en la ventana.
2. Seleccione New para ingresar al asistente de control.
Una vez que se ha entrado al asistente, los comandos requeridos GEN,LIMITS y FIN
son mostrados en su estructura dada por defecto. Para nuestro ejemplo, los campos de GEN y
LIMITS se cambiarán y los comandos NLY'WUXK, MON7R e INIT se agregarán. El comando
GEN proporciona información general acerca del modelo con el que se está trabajando, y el
comando LIMITS dice cuantas identidades de Slam I1 son necesarias. El comando NETWORK
relaciona a la red compuesta dentro del control. El comando INIT proporciona el tiempo final
17
Técnicos de Simulacibn Matemítico
de la simulación y el comando MUNU( con la opción 77¿4CZ< es usada para grabar (escribir)
cada evento de la simulación. El comando I2IA4I7'Sse edita de la siguiente forma:
l.De doble click en el listado de pantalla sobre la palabra I,IMZTS.
2. En pantalla aparecerá la plantilla para el ingreso de parámetros para el comando con
valores dados por defecto. Ingrese el respectivo valor para cada campo de manera
similar a como lo hizo con la plantilla para el asistente de red. En este caso en el
campo lfi'lesescriba 2, en At/ibutes escriba 4, y en Entities escriba 400.
3. Una vez que haya terminado seleccione OK.
El comando GEN se edita de la misma manera. Para el nombre (Name), el proyecto
(Prujecr),y fecha (%/e), escriba su nombre (en este caso tome si gusta como ejemplo el mio J~mnVillegas Curtez - para que le
sirva
como referenciaparacompararresultados),
Reparacioms y la fechaactual 07/27/1995 respectivamente.En un principio se haráuna
corrida, posteriormente realizaremos 10 corridas (recordemos que cada una comprende de 10
días), esto con la finalidad de realizar un promedio de comportamiento general.
Paso siguiente, editemos al comando INI'l'de l a siguiente forma:
I . Seleccione la línea de comando I<IN.
2. De la barra de menú seleccione Ellit y escoja Itrsert.
3. En la caja de dialogo resultante seleccione lNIUALZZf<de la lista.
4. Seleccione OK.
5. De valores en la plantilla resultante. En este caso, seleccione el campo Ltlditlg tinre,
y escriba 10 pues haremos l a simulación del problema para 10 unidades de tiempo,
aquí cada unidad de tiemporepresenta un día.Deje los campos restantesconsus
valores dados por defecto. *
6. Seleccione OK.
Así usted
puedeingresar
el comando NII7'CVOf<K de lanlisnlaforma.Primero
seleccionelalinea de comando INIT y después inserte como se hizoconlasinstrucciones
anteriores el comando NI~7W'ORK.Deje todos los valores de la plantillacon los dados por
defecto. De forma sindar ingrese el comando MON'lX. Unavezmás,seleccioneprimero
la
línea de comando INIT, en la plantilla resultante especifique 1K4CE en el campo de Option,
deje con los valores por defecto a todos los dernás campos de la plantilla.
Paso siguiente, salve el archivo de control recien elaborado y salga del asistente. Si tiene
duda de como hacerlo guiase de los siguientes pasos:
1. De la barra de menú seleccione File, y escoja la opción Save as del menú resultante.
2. Por defecto, el prompt estará dentro del campo para dar nombre al nuevo archivo, de
no ser así seleccione usted mismo dicho campo.
3. Escriba dentro del campo el notnbre para el archivo, en este caso escriba W S E D .
4. Seleccione OK.
5. Seleccione de la barra de menú f;i'lc.y la opción Exit del menú resultante.
18
Técnicas de Simulación hlaternática
Asociando con el escenario.
La red de trabajo y el archivo de control recien elaborado deben de asociarse con el escenario
EJEi'dPLO. Para hacerlo aquí le digo como:
l . Seleccione la opción NE7'WOZK de la ventana de Slamsystem.
2. De la lista que aparecerá, seleccione I X D f .
3. Seleccione el botón de Set Clrrretlt.
4. Seleccione OK.
5. Seleccione la opción CONIROL de la ventana de Slamsystem.
6. De la lista que aparecerá, seleccione WSZED.
7. Seleccione el botón de Set C~rrrerlt.
8. Seleccione OK.
Documentando la red de trabajo(Network).
Respecto a la documentación, al igual que cuando se programa en un lenguaje al cual se esté
acostumbrado a operar Slamsystem no es la excepción. Es por el usuario bien sabidolas
ventajas de poner notas a los listados de nuestros programas para que en una ocasión futura
que serecurra a ellos,pormedio
de las notas,recordemosrápidamenteconreferencias
concretas la operación del mismo. En este caso lo que nos interesa documentar es el significado
de los atributos de las identidadesusadas, las cuales se grabaran enuna nota, tal como se
muestra en la figura 2.5. Tome los siguientes pasos.
l.Seleccione la opción Noles de la ventana de Slamsystem.
2. Seleccione la opción New en la ventana que aparece.
3. En el asistente de notas, escriba la documentación requerida tal como aparece en la
figura 2.5.
4. Seleccione I?/e de la barra de nnenú y escoja la opción Save as.
5. Por dcfecto el prompt estará en la caja de dialogo para el nombre de la nota, de no
ser así, hágalo usted mismo.
6. Escriba el nonlbre de la nota, en este casa JVSA I N .
7. Seleccione OK.
8. Seleccione File de la barra de menli, y escoja Exit.
9. Seleccione Noks en la ventana de Slamsystem.
10.Seleccione WSA7'XZ en la lista que aparece de lado derecho de la lista.
1 1.Seleccione el botón Add
12.Seleccione OK.
19
Simulacidn de la red.
Una de las características de la ventana ejecutiva del Slamsystem es que integra la función de
simularelproyectobasadoenel
estatusde componentes dado porelescenario.Unavez
simulado el escenario, la salida de resultados por medio de reportes es seleccionada. L a ventana
ejecutiva determinará cuales pasos serán necesarios para desplegar
los reportes seleccionados
que reflejen los componentes del escenario en turno.
Los pasos para la simulación son:
1, Construya y asocie un archivo de control con el escenario actual.
2. Construya y asocie una red de trabajo con el escenario actual (opcional en el sentido
de construir, pudo haber sido construida con anterioridad).
3. Traslade el control y la red (esto lo hace de forma automática Slamsystem en esta
versión).
4. Construya y asocie inserciones del usuario (como notas) con el modelo (opcional).
5. Compile y depure las inserciones del usuario, por si hubiera algún error durante l a
simulación.
6. Simule el modelo (esto se hace desde l a ventana ejecutiva de Slamsystem).
7. Presentc los rcsultados obtc~~idos
de forma gráfica o textual,
Los pasosanteriormente dados son hechospor l a ventanaejecutiva de Slamsystem
basado en los componentes que integran el escenario. Estos pasos pueden hacerse de forma
manua~'~.
antigua version de Slam, que file desarro~~ada
para DOS todo se Ilacia de roma ~ n a n u a esta
~ ; es tula gran ventaja
que ofrecell los progl-mas inlcgrados a una interface gr:ifica con~ol a de Microson Windows, pucs nllorran
siglliticaliv~uncnteticnlpo en la elaboración de ordeneslargas disminuyendo la posibilidad de errores en l a elaboracion de
las ordenes y la ejccuci6n de varias fhcioncs al mismo tienyo (esto ultimo en DOS es imposible de hacer). Es de aclarar
que Windows no es la hita interface gr6fica para PC basada en compatibilidad IBM operada bajo DOS, pero si es l a m6s
famosa en uso por SII versatilidad y sencillez de opcraci6n; hoy en día la scgunda en uso es la OSNOS de JBM, ambas
son 100% colnpatibles CII operaciOn cn sus ultimas versiones dada la conqxtcncia en el mercado.
I4EII la
20
Ticnicas de Simulación Matembtica
Observando los resultados de la simulacibn.
Los resultados de la simulaciónpueden observarse gráficamenteusandográficasdepae,
histogramas, barras, y puntos así como textualmente en un reporte general(resumen) de la
simulación.
El reporte resumen de la simulación (Sumary) es examinado en
se muestra en la figura 2.6.
11
el Text Browser como
I
S L A M I t S U M M A R YR E P O R T
SIMULATION
PROJECT
REPARACIONES
BY
JUAN
VILLEGAS
CORTE
NUMBER
DATERUN
712711995
1 OF
1
CURRENTTIME.1000E+02
STATISTICAL ARRAYS CLEARED AT TIME .0000E+00
"STATISTICS FOR VARIABLES BASED ON OBSERVATION'*
MEANSTANDARDCOEFF.OFMINIMUMMAXIMUMNO.OF
VALUE
DEVIATION
VARIATION
VALUE
VALUE
OBS
. 471E+01
.733E+01
25
TIEMPO
TALLER
.616E+01
.671E+00
.109E+00
"FILE STATISTICS"
AVERAGE
STANDARD
FILEMAXIMUM
CURRENT
AVERAGE
NUMBER LABELTYPE
1
30.91
CALENDAR2
W S l QUEUE
LENGTH
DEVIATION
LENGTH
LENGTH
,000
,000
51O 13.852
WAITTIME
O
,000
1.241
O
50
"SERVICE ACTIVITY STATISTICS"
ACT ACT LABEL OR SER AVERAGE
NUMSTARTNODE CAP
UTlL
1
1 WS1 QUEUE
50
29.910
13.85
STD CUR AVERAGE MAX IOL MAX BSY ENT
DEVUTlLBLOCK
TMUSER TMUSER CNT
49
.00
50.00
50.00
1
25
Figura 2.6. Reporte general de la simulación en el Text Browser.
A continuación se danlos pasos a seguir:
l . Seleccione Repurl de la barra de menú y escoja Outpuf del menú resultante.
2. Seleccione Szrntnry (resumen). Slamsystem presentará una ventana como se muestra
en la figura 2.7. Esta fimción requerirá hacer la traslación del archivo de control y de
la red, y simular el escenario antes de ver el reporte. Seleccione OK pararealizar
estas tareas.
3. Sinosehallaron
errores es los pasosanteriores, el ReportBrowser aparecerá en
pantallaconteniendo enlaventanael
reporte resumen.Maximicela ventanapara
tener una mejor visión del mismo.
21
Técnicas de Simulnciótl Matemática
~,~T~
-Required Updates:
ranslation
.... . .
. .. . . ... . .o
... f .... network
. . . . .. . . .. . . ...and
... ..
..controls;
. ... . . . .. . .... .......
, ,
,
oCornpi LE! t1:ier i.nsor%s
-0p t ions :
@Update Scenario
OContinue without updating scenario
Figura 2.7.
Si fueron hallados errores durante la traslación o la simulación, estos tienen que
ser corregidos antes de continuar.
a) Si en l a traslacióndel control y la red(Le. Simclufe / 7rcr1rsh,e) se tienen
errores, seleccione la opción Echo en l a lista de reportes y analice los errores en
éste mismo.
b) Si en la simulación o en la ani~nación’~
ocurre un error del tipo “run-time error”
(Le. Simukrte / Rwl), seleccione la opción Iflfermediafey analiceen éste el
posible error.
Después de dctectarse la(s) f’uente(s) del error, seleccione la opción Cirrlcefen la
lista, rcgresc al asistente apropiado y haga los canlbios necesarios para corregir
los errores y vuelva al paso l.
4. Para salirdel I < e p r f Hrowser, seleccione de la barra de menú la opción File y
después l h i f .
Interpretando la infornlación del reporte vemos que se tuvo u n total de 25
observaciones, aquí representan 25 días totales empleados en la reparación de las unidades,
Is
Esta característica avanzada de Slalnsystem no scrh tomada
consulte la guía dc rcl‘crencia dcl progralna.
en el
prescntc trabajo, pero si tiene interés en la nlistna
22
esto se ve muy claro en el renglón de TIEMPO TALLER, además se obtuvo un valor medio de
6.16 con una desviación estándar de 0.671, y el mínimo tiempo de reparación fue de 4.7 1 y el
máximo de 7 . 3 3 días; así también de la planta con 50 mecánicos disponibles se tuvo que se
mantuvo ocupada un 29.91 %.
La utilización de cualquier actividad de servicio puede visualizarse en una gráfica de pae
como se muestra en la figura 2.8, en este caso la actividad a visualizarse es el porcentaje de uso
del total de los 50 mecánicos que se tienen para realizar las reparaciones,
esto se hace de la
siguiente forma:
l.Seleccione Graph de la barra de menú y escoja Olrtpt del menú resultante.
2. Seleccione el botón con la opción Pie Clmrt.
3. Seleccione el número de servicio de la actividad de interés de la lista resultante.
J. Seleccione OK.
5. Para salir de la gráfica, seleccione OK.
U T I L . OF FICTIUITY:
1
BUSY( 609.)
IDLE( 40%)
Figura 2.8. Gráfica de pae.
Como comentario podemos ver, a partir de la información de la gráfica, que se mantuvo
en un 40% ocupada la planta de 50 mecánicos (podríamos decir que puede darse un recorte de
personal al 50%, esto tiene que fkndamentarse aún más con otras corridas de la simulación).
El número promedio de espera en la cola de la estación de trabajo en esta ocasión es
cero (como lo marca el reporte general), lo que nos interesa observar es el número de unidades
de tiempo (en este caso cada unidad de tiempo es un día), recordemos que para nuestro caso la
estación de trabajo representa al taller, se muestra en una gráfica de barras como se muestra en
la figura 2.9, de la siguiente forma:
l.Seleccione el botón Bar Chart de la misma lista de opciones.
2. Seleccione UbserwdMenn de la lista resultante.
23
Técnicos de Simulacih Matenrcitico
3. Seleccione OK.
4. Seleccione 77EMPO TALLER, así se asociará esta a la barra 1.
5. Seleccione OK para dibujar la gráfica.
6. Para salir seleccione OK.
7. Para dar por terminada la generación de gráficas seleccione Cancel.
Obserued
Mean
6.164
4.931
M
3.698
Q
1.233
o.O00
I
TIEMPOTALLER
S T A T I S T I C LABEL
Figura 2.9. Gráfica de barras para la media observada de la única actividad dentro de nuestro
problema (recordemos que es l a actividad del taller).
De esta forma he mostrado los pasos a seguirparahacer
lasimulación dentro de
Slamsystem, espero haya quedado claro el procedimiento, es de aclarar que la ayuda en línea
presentada dentro del programa es escasa en relación a las actuales aplicaciones para Windows;
pero tomemos en cuenta de que este es un programa de 1990 año en el cual apenas estaba en
boga la versión 3.0 de Windows, en ésta aim 110 estaba disponible el modo 386 mejorado y
otras herramientas que se añadieron y otras quesemejoraroncon
laversión
3.1, y
posteriormente se refinaron en la versión 3.1 I para trabajo en grupo16.
L o que a continuación se realiza es la sinlulación(corno ya se habíamencionado
párrafos anteriores) de lasimulación de 10 corridas, cada una de 10 días,para así poder
formular criterios en base a un mayor número de observaciones.
Para realizar lo que nos proponemos ábrase el archivo de control (seleccione C o m d en
la ventana de Slamsystem), y seleccione el comando GEN,en este enlaopción de plantilla
Number of runs escriba 10. Guarde el archivo y vuelva a la ventana de Slamsystem, pida
Mago la observación del hecho de quc el prcscllte trabajo, dcstlc la simulaci6n y la redacción del presente reporte se
elaboró en una nxiquina con procesador 80486 DX con la vcrsi6n 3.1 1 de Windows, en estos momentos esta en espera el
lanzamiento a l mercado de l a versión 95’, dentro de la cual se hnbr6 superado las famosas “caídas de sistema” que son
muy conlunes cualdo ~ n aplicación
a
sc sale de lo prcdisprlcsto e11cantidad de recursos del sistema para su operaci611,
tenidndose conlo consecuencia que se “aborta” hacia 110s pcrcliCndose toda l a infomlación de las aplicaciones existentes
a l momento de la falla.
nuevamente la opción Ikporí, Output, Swmry, etc. Ahora en el listado tendrá el resumen de las
diezcorridas.Ustedpuedevisualizarunaaunamaximizando
la ventana o bienparamayor
comodidad imprima los resultados.
He resumido los resultados obtenidos, así como los cálculos de promedios generales en
las siguientes páginasque presento junto con las respectivas gráficas.
Resumen de corridas
40 T
5""""""""""""""".""""""""".
O
I
I
1
2
3
I
I
4
6
I
1
I
5
7
I
I
0
9
1
0
Coridas
Valor medio de reparación
6.4 T
6.2
6
5.4
5 1
1
I
2
3
I
I
4
5
6
I
I
0
7
8
1
I
9
1
0
Días
25
Olas de reparacl6n-promedio plunldad
Prom Min
' b Max. gral.
I)I I
Promedlo de uso de personal con 60 rnec.
J)
m%
25 0 0 %
20 00%
15 00%
10 0 0 %
5 00%
o m%
2
1
3
5
6
corridas
7
8
9
1O
11
Técnicas de Sinwlnción Alatermitica
Costo Prom
N$
p/paro vehlculo =
Costo Prom
plpago mecbrllco = N$
Costo Prom Total-= N$
35.550 O0
4.266 O0
39.816 O0
27
Técnicas de Sintulación A Iatentátich
Capítulo 3
Aplicación a Inventarios.
Elementos de,un sistema de inventarios.
Se comprende por inventario cornoun conjunto de recursos litifes que se encuentran ociosos en
algún momento. Podemos ver como ejemplo el llamado slock que se maneja en almacen como
reservaparadeterminado fin (mercados,tiendasdepartamentales, etc...). El objetivo en los
problemas de inventarios consiste enminimizar los costos (totales o esperados) delsistema,
sujeto a la restricción de que se debe satisfaceruna demanda (conocida o aleatoria).
Existen dos cuestiones fundamentales al controlar el inventario de un producto, o grupo
de productos:
i. ¿Cuanto ordeno o produzco?
ii. ¿Qué tan frecuente ordeno o produzco?
Con el fin de que queden más claros los componentes de un sistema de inventarios, en
la siguiente página se muestraun cuadro sinoptico (figura 3.1).
La teoría de inventario se dividede acuerdo a la combinación de los siguientes factores:
a) Detelminística o estocástica, según el tipo de demanda.
b) Demarlda comtallte o variable según el tiempo.
c) De u11producto, t~tr~ltiprodr~ctos
o productos s~rbstitutos,
productos perecederos.
d) Con tiempos de et1ftvga dctermi~~isticos
o estocásficos.
e) Con tienpos de elltrega irlstarltáneoso no itlstautáueos.
í) Con costos pemles o sin costos p e d e s .
g) Con costosjijos o sir1 coslosjijos.
h) Con costos litleales o 110 lineales (discontímos, concavos o convexos).
Aún más, la teoría de inventarios puede dividirse en función de la forma como se toma
una decisión. Existen decisiones a partir de revisiones coiltimras o revisiolles periodicas del
inventario.
En el primer caso se toma una decisión (cuánto comprar o producir) cuando el nivel del
inventario alcanza un cierto valor; en el segundo, se toma cuando ha transcurrido un periodo de
tiempo prefijado.
Los sistemas de inventarios pueden clasificarse teóricamente en función al número de
periodos de tiempo que se van a analizar, siendo este un núrnero3finito o inJrlito. Finalmente
los inventarios se puedenclasificar en función al número de nivelesrelacionadoscon
10s
28
.
Técnicas de Simulncidn A4ntenralicn
posibles puntos de almacenamiento de un producto. En este caso el sistema de inventarios se
llama multinivel, cuando se trata de un solo nivel no recibe un nombre especial. En el presente
reporte se aborda el tema de Sim~lrl~~cicir~
nplicadu a Control de Inventarias.
Figura 3 . l . Cuadro sinoptico.
* costos de
* hlantcnirniento
* Penales
* Fijos
* de Producción o
Rcordcn
*
*
*
acarreo (csliba,
carga, descarga)
de
almaccnan~iento
administrativos
seguros.
costos
Dcnlanda
Componentes
dcl sistema de
inventarios
0
0
* Corlstantc o Estática
* V;lriable o Ditlrlmica
* Sustitutos
* por unidac
Productos
* p o r lote
varios
* pereccderc
* duradero
Tiempo de entrega y
* divisible
producción
* indivisible
Horizontes de
planeación
Simulación aplicada a Control de lnventarios.
Aqui se toma una extensión para el modelo del lote económico para el caso estocástico, se
considera que la demanda es estocástica, se tiene una distribución de probabilidad conocida, y
las desiciones de producción y reorden se hacen en forma corrlirara, entiendase esto último, en
función de nivel de inventario (no en forma periódica).
Considerando que se decide producir u ordenar Y unidades cada vez que elnivel de
inventario alcanza un punto crítico R,el modelo ideado por Hadley y Whitin, calcula los valores
optimos de Y y X que minimizan el costo total esperado del inventario por unidad de tiempo
(día, mes, año, etc...).
Se define como ciclo al intervalodetiempo que transcurre entre la llegada dedos
órdenes consecutivas. Como el tiempo de entrega es a su vezunavariable
aleatoria con
distribución de probabilidad conocida", la medida de los ciclos es diferente; además, se pueden
tener varios ciclos por unidad de tiempo. Se supone que la demanda insatisfecha se difiere al
futuro, a un costo penal determinado, que la distribución de la demanda durante u n tiempo de
entrega es independiente delperiodo en que esto ocurre y que el valor esperado de la demanda,
durante el tiempo de entrega, nunca es mayor a X, con objeto de no tener varias órdenes
diferidas de demanda insatisfecha.
El costo total esperado para este modeloincluye
esperado de mantenimiento y costo esperado penal.
al costo fijo promedio, el costo
Uso de HAD- WHI.
Usando el programa HAD-WI-lI'* se resuelven los siguientes tres problemas de inventarios con
demanda estocástica, distribuciones de probabilidad uniforme o exponencial y revisión
continua.
3 . l.Un comerciante vendepiezas de cerámicapara uso industrialcuyademandamensual
(promedio) es de 240 unidades al mes,el costo fijo de ordenar es de $150, el costo de
mantenimiento mensual es de $3 por pieza, y la demanda durante el tiempo de entrega es
unavariable aleatoria con distribuciónuniforme cuyo rango es el intervalo de O a 24
(piezas). Si el costo penal por unidad es de $20. ¿Cuál es el tamaño del lote y el punto de
reorden que minimizanel costo total del inventario de este producto?, ¿cuál es el costo
esperado mensual?.
Técnicas de Simulación hdatemálica
PROGRAMA DE CALCULO
DEL
TAMARO DEI, LOTE PARA IN'JEIITARIO DE U N PRODUCTO CON
DEMANDA ESTOCASTICA Y REVISTOH CONTIHIJA
(t4ODELO
DE HADLEY-WHITIN)
D i s t r i b u c i 6 n d e l a d e m a n d a e n u n tiempo d e e n t r e g a :U n i f o r m e
20
penal
T a s a d e d e m a n d a d e l p r o d u c t o2 4 0
( p i e z a s / Mes)
C o s t o f i j o de r e o r d e n
150
(
$
C o s t o de m a n t e n i m i e n t o
3
(
$ / p i e z a s Mes
1
(
$
/ p i e z a s Mes
)
Costo
L i m i t e i n f e r i o r del i n t e r v a l o de d e m a n d a 0
(piezas)
L i m i t e s u p e r i o r d e l i n t e r v a l o d e d e m a n d2 a4
(piezas1
~ I J Cc
I n d i q u e e l M a r g e n d e a p r o x i m a c i S (nm a y o r
~ r o )deseado
0.0001
E s c p a r a i r a preg a n t
1LIST
2RUNU
3LOAD"
ISAVE"
SCOH'I'II
fj,"l,F"I'1
'I'1'RONU
8'l'ROF'm
9KEY
OSCREEN
Figura 3.2. Ejemplo de pantalla de captura para el programa HAD-WHI para el primer
problema.
A continuación se muestran los datos obtenidos de la corrida del programa:
"""""""""~""""""""""""""""""""""""""!
!"""""""""""""""""""""""""""""""""""!
I
TASA DE DEMANDA
!"""""""""""""""""""""""""""""""""""I
!
cos'ro FIJO DE REORDEN
DATOS DF:I. P!IOBL,EMA
I
/ Mes)
( p i e z a 2s 4 0
I
150
(
3
(
$ /
20
(
$
$
!
I
I
"""""""""""""""""""""""""""""""""""I
!
COSTO DE MANTENIMIENTO
p i e z a s Mes )
"""""""""""""""""""""""""""""""""""I
I PENAL
COSTO
/ p i e z a s Mes
)
!
1
!
l"""""""""""""""""""""""""""""""""""1
!
I
I
D I S T R I B U C I O NENDE LA DEMANDA
U N 1 FORME
!
O (piezas)
I
!
U N T I E M P O DE ENTREGA
I"""""""""""""""""""""""""""""""""""1
INFERIOR
I
I
LIMITE
DE L A
D I S T R I B U C I O N DE LA DEMANDA
1"""""""""""""""""""""""""""""""""""l
SUPERIOR
I
!
LIMITE
DE L A
U I S T R I B U C I O N DE LA DEMAllI3A
!
21 ( [ ~ i e z ~ l s ]
....................................
I
VALOR ESPERADO DE LA DEMANDA
!
I
!
....................................
....................................
I
!
SOLUCION
I
1"""""""""""""""""""""""""""""""""""
LOTE
!
TAMANO DEL
156.1 ( p i e z a s )
I
(piezas)
!
I"""""""""""""""""""""""""""""""""""!
!
PUNTO DE REOKDEN
21.7
"""""""""""""""""""""""""""""""""""I
ESPERADO
I TOTAL
COSTO
I """"""""""""""""""""""""""""""""""" [
I
NUMERO ESPERADO DE ORDENES
!
POR Mes
497.26
(
$
/ Mes )
I
!
1.54
I
!
o. 0001
I
I-----------------------------------"""""""""""""""""-l
!
MARGEN DE APROXIMACION
"""""""""""""""""""""""""""~""""""""-
31
7écnicas de Sintulacidn Matem6lico
De este listadotenemoslosoptimosque
minimizan que el costo total del inventario
para el tamaíío del lote es de 156.1 piezas y del punto de reorden de 21.7 piezas, y el costo
esperado mensual es de $497.26, estos datos con una aproximación de
3.2. Resuelva el problema anterior suponiendo que la demanda durante el tiempo de entrega
tiene distribución exponencial con media12 manteniendo los demás datos iguales, compare
los resultados de ambos ejercicios para indicar cuálde los dos requiere de un lote mayor de
inventario, Les esta la solución más costosa de las 2?
lngresando los datos como se marca se obtiene el siguiente listado:
"""""""""""""""""""""""""""""""~""""-
I
DATOS DEL PROBLEMA
!
1"""""""""""""""""""""""""""""""""""l
!
TASA DE DEMANDA
2 4 0 ( p i e z a s / Mes)
I
150 I
!
I
!
I"""""""""""""""""""""""""""""""""""1
I
COSTO FIJO DE REORDEN
!"""""""""""""""""""""""""""""""""""
I
COSTO DE MANTENIMIENTO
3 ( $ / p i e z a s Mes )
"""""""""""""""""""""""""""""""I
I
)
2 0 I $ / piezas Mes
COSTO PENAL
!
I
1"""""""""""""""""""""""""""""""""""I
r
I
!
INFERIOR
D I S T R I R U C I O N DE LA DEMANDA
EN
UN TIEMPO DE ENTREGA
I""""""""""""""""""
!
LIMITE
DE L A
!
D I S T R I B U C I O N DE LA DEMAHDA
LXW~!~l~tJ~.~IAL
!
I
!
"""""""""""""""""""""""""""""""""""I
!
!
"""""""""""""""""""""""""""""""""I
I
L I M I TS EU P E R I O R
DE LA
D I S T R I B U C I O N DE LA DEMANDA
VALOR ESPERADO
DL: LA IIEMAIIIJA
!
I
!
12
!
I
I
(FiC'Z;IZ)
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
I
!
I
SOLUCION
"""""""""""""""""""""""""""""""""I
LOTE
TAMANO DEL
I G7.4
I
I
(pimz.3~)
!
~
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
PUNTO DE REORDEN
?7.1
!
(pipzas)
1"""""""""""""""""""""""""""""""""""l
!
COSTO
TOTAL
ESPERADO
547.42
(
$ / Mes
I
!
)
~
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
I
" " " " " " " " " " " " "~" " "~" " " " " " " " " " " " " " " " " " I
!
NUMERO ESPERADO ORDENE:;
DE
POR Mes
1.43
MARGEN DE APROXIMACION
o. OUOl
!
I
I
I
....................................
De acuerdo a este illtinlo listado, los optimos que minimizan el costo total del inventario
para el tamarlo del lote es de 167.4 piezas y del punto de reorden de 27.1 piezas, y el costo
esperado mensual es de $547.42 , estos datos con una aproximación de
Comnarando.
-.~~
156.1
167.4
21.7
27.1
497.26
547.42
1.54
1.43
De aqui que para el 3.2. se requiera de un lote mayor de inventario pero generando un
costo total esperado minim0 mayor en $49.84 con referencia al primero, y el punto de reorden
como era de esperarse esmayor para el 3.2. En resumen como vemos hay una aumento
32
Técnicas de Sirwlncion A fntertlirticn
sustancial en el Coslo t o l d e.spcrcrdo y el t l r i n w o esperado de arderles por tnes no aumenta,
teniendo que este segundo caso resulta ser mas costoso
3.3. Regresando al enunciado del problema 3. l . y considerando la demanda durante el tiempo
de entrega con distribución uniforme (como ahí se indica), suponga que una mejora en los
procedimientos administrativos de la empresa permite reducir en un 20% los costos fijos de
las ordenes (pedidos), calcule la nueva solución (i.e. tamaño del lote y punto de reorden)
que minimizan el costo del inventario. ¿En cuanto se reduce el costo mensual del inventario
con respecto a la solución anterior?
Aquí tenemos queahora
software obtenemos:
el costo fijo de ordenar es igual a $120, así aplicando el
"""""""""""""""""""""""~""""""~"""""-DATOS DE:L
!
!""""""""""""""""""I
! DEMANDA
TASA DE
PROBLEElA
!
240 (ptrz,ls / MES)
I
I
120 ( $
I
I
)"""""""""""~"""""""-
F I !J O
C OREORDEN
STO
DE
I"""""""""""""""""""""""""""""""""""
!
3 ( C. / p i r z a s Mes )
COSTO DE MANTENIMIENTO
I
I
~
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
I
COS'I'O PENAL
!"""""""""""""""""""""""""""""""""""
!
D I S T R I B U C I O N DE LA DEMANDA
EN
I
UN TIEMPO DE ENTREGA
70
(
$
/ ['i
f'Z;\s M e 3
1
I
I
I
I
UN1 FORI,IE
!"""""""""""""""""""""""""""""""""""I
!
!
L I M I TI N
E FERIOR
DE LA
D I S T R I B U C I O N DE LA DEMANDA
I
O (piezas)
I
(piezas)
!
!
("""""""""""""""""""""""""""""""""""I
!
!
L I MSI T
UEP E R I O R
DE LA
D I S T R I B U C I O N DE LA DEMANDA
24
I
~""""""""""""""""""""~"""""""""""""l
!
I
VALOR ESPERADO DE L A DEMANDA
.....................................
I
[email protected]
!
l"""""""""""""""""""""""""""""""""""1
LOTE
!
TAMANO DEL
139.6
(piezas)
21.9
(piezas)
I
I
I
I
I"""""""""""""""""""""""""""""""""""
!
PUNTO DE REORDEN
"""""""""""""""""""""""""""""""""""l
4 4 8 . 5 6 ( $ / Mes )
ESPERADO
! TOTAL
COSTO
I
1"""""""""""""""""""""""""""""""""""I
I
!
NUMERO ESPERADO DE ORDENES
POR Mes
l"""""""""""""""""""""""""""""""""""
DE
!
MARGEN
APHOXIMACION
1 .72
I
I
o . noel
I
I
ComDarando:
156.1
1.54
139.6
21.7
21.9
497.26
448.56
1.72
Como vemos el nuevo coslo lofa1 esperado disminuye $48.7 con respecto al primero,
pero aumenta a 1.72 el ruínlero de órderles por mes lo que significa que cada tres meses se
harían un poco más de dos órdenes para volver a poner el tamaño del lote del inventrario a su
punto optimo de 139.6 piezas, lo que se compensa con la baja del costo total esperado.
33
Listado de HAD-WHI en Turbo Pascal.
'
Complementando se hizo la traducción delprogramaoriginal
deBASICa
Pascal" , el listado en el nuevo código se muestra en las siguientes líneas".
lenguaje Turbo
1
program HAD-WHI;
I Sn+ I
USES CRT, PRINTER;
var A, B, X, H, P, Dl K, LM, TOL,, YO, RO :real;
CT, NP, Y, R, EO, E l . , AUX :real;
TD2, uni, peri :st.ring[l2];
Resp, resp2, r e s p 3 :char;
T D :byte;
[""------"--Aqui
se ingresan las funciones .....................
FUNCTION E(x:real) : real;
begin
[E:=-LM*Ln(H*X/(P*D));
primera funcitrl)
E:=LM*Ln( D+P*EXP(k/LM)/( H*X*EEXP(k/LM)+DCP ) ;
end;
FUNCTION U(X:real) : real;
begin
U:=B-(H*X*(B-A))/(P*D);
end;
("""""""""""""""""""-"""""""""""""""""
1
1
PROCEDURE UNIE'ORME;
(este es el procedimiento para cuando se tiene " 1 " 1
BEGIN (inicio del procedure1
write( 'L,imite inferior del intervalo de demanda (',uni,') := ) ;
readln(A);
write('Lirnite superior del intervalo de demanda ( ' , u n i , ' ) := I ) ;
readln(B);
write(' Indique l a TOLERANCIA:= I ) ;
readln(T0L);
writeln('Se1eccione el dispositiv9 en que s e listaran los resultados:');
write('(1) Pantalla o (2) Impresora :=
readln(resp1;
I ) ;
IF (P*D/H < SQRT(2*D*(KtP*(AtB)/2)/ti))and (A<=B)
THEN
BEGIN
writeln('E1 algoritmo de Hadley-Whitin NO ES APLICABLE A ESTE PROGRAMA');
write1n;writeln;writeln;
writeln('Para continuar pulse cualquier tecla...');
END
ELSE
BEGIN
YO:=sqrt(2+D*K/II);
RO:=U(YO);
Y:=SQRT(2*D*(KtP*SQR(B-RO)/(2*(B-A)))/H);
R:=U(Y);
WHILE (ABS(Y-YO)>TOL) AHD (ABS(R-RO)>TOL) W
BEGIN
YO:=Y;
RO: =R;
Y:=SQRT(2+D1(KtP*SQR(B-RO)/(2'(B-A))
R:=U(Y);
END;
END; (del else]
END;[del procedure)
(""""""""""""""""""""""""""""-""""""""
1
Versión 6 de Borland.
Obscrvnción: la instrucción ($N+} indica el uso dcl co-procesndor matemático (i.e se redirecciolmn las operaciones
aritmkticas involucradas con los calculos a nivcl hardwarc).
lécnicas de Simulación Matematicn
PROCEDURE EXPONENCIAL;
(este es el procedimiento para cuando se tiene " T D - 2 " )
BEGIN
write( I Valor esperado de l a DE:MAtJDA:= I ) ;
readln(LM);
write(' Indique la TOLERAtICIA:= ' 1 ;
readln(T0L);
writeln('Se1eccione el dispositivo en que s e listaran los resultados:');
write('(1) Pantalla o ( 2 ) Impresora :-= ' 1 ;
readln(resp);
AUX:=LM-(LMtK)*EXP(-K/LM);
IF P+D/H < SQR~(2*D*(KtPtAUX)/H)
THEN
BEGIN
writeln('E1 alqoritmo de Hadley-Whitin NO ES APLICABLE A ESTE PROGRAMA');
write1n;writeln;writeln;
writeln('Para continuar pulse cualquier tecla...');
END
ELSE
BEGIN
YO:=sqrt (2*DfK/H);
RO:=E(YO);
Y:=SQRT(2*Df(KtP*LM*EXP(-RO/Lf.l) )/HI;
(verificar que la formula este correcta)
R:=E(Y);
WHILE (ABS(Y-YO)>TOL) AND (ABS(R-RO)>TOL) Do
BEGIN
YO:=Y;
RO :=R;
Y:=SQR'I(2*D+(Kt(PtLM*E%P(-RO/LM)))/H);
R:=E(Y);
END;
END; (del ELSE)
END; (del procedure]
(""""""""""""""""""-
I
[ PRINCIPAL]
BEGIN
resp2:='l';
WHILE RESPP='l' DO
BEGIN
clrscr;
writeln('Programa del c lculo del tamaoo del lote para inventario de un');
writeln('
producto con demanda estoc s t i c a y revisiCn continua'):
writeln( '
"MODELO DE HADLEY-WHITIN" ' ) ;
writeln; writeln;
writeln(' Indique las UNIDADES del producto en inventario');
write ( I
e . g . piezas, cajas,
. . := ' ) ;
readln(uni);
writeln(' Indique la unidad de tiempo para un PERIOW');
:= ' 1;
write ( ' e.g. minuto, hora, semana, dia, mes,
readln(peri);
writeln(' Indique l a TASA DE DEMANDA d e l producto (',uni,' / ',peri.')');
write ( '
:= I ) ; read([));
:= ' 1;
write ( ' Indique el COSTO FIJO DE REORDEN ( S )
readln(K);
writeln(' Indique el COSTO DE MANTENIMIENTO ( S /',uni,' ',peril' ) ' ) ;
write ( '
:= I ) ; read(H);
writeln(' Indique el COSTO E'ENAI, ( S /',u~li,' ',perí,')');
write ( I
:= I ) ; read(P);
writeln('Se1eccione la DistribUci.Cn de la demanda en un tiempo de entrega:');
writeln ( '
1 . UNIFORME');
writeln( '
2
EXPONENCIAL');
write ('pulse el n€mero acorde a la selecciCn : I ) ;
readln (TD);
.
.. .
.
IF TD=1 THEN UNIFORME;
TD=2 THEN EXPONENCIAL;
IF
NP:=D/Y;
IF TD=1 THEN
BEGIN
EO:=(AtB)/2;
El:=(sqr(B-R))/(2'(B-A));
CT:=NP~Kttl'(Y/2IR-Eil)tP*NF*i~:l;
END
35
Técnicas de Sinrulacibn Matemdtica
ELSE
BEGIN
EO:=LM;
El:=L,M*EXP(-R/I,M);
CT:=NPtKtH*(Y/2tR-EO)t€"NP'El;
END;
IF RESP='l' THEN (Resultados en Pantalla}
BEGIN
clrscr;
writeln( '
DATOS DEL PROBLEMA' ) ;
w r i t e l n ( ' ~ A DE
~ ~ DEMANDA ......................
',D:8:1,' (',UNI,' / ',PERI,')');
writeln('COST0 FIJO DE REORDEIJ . . . . . . . . . . . . . . . . ' , K : 8 : 1 , '
($1');
writeln('COST0 DE MANTENIMIEIITO ............... ',H:8:1,' (',UNI,' / ',PERI,'l');
writeln('C0~~0PENAL ..........................
',P:E:l,' (',UNI,'
/ ',PERI,')');
writeln( 'DISTRIBUCION DE
L A DEMANDA EN' ) ;
write ('UN TIEMPO DE ENTREGA .................
I ) ;
IF TD=1 then writelnl 'UNIFORME')ELSE writeln( 'EXPONENCIAL');
IF TD=1 THEN
BEGIN
writeln( 'LIMITE INFERIOR DE LA' ) ;
writeln('DISTRIBUCIOt1 DE LA DEMANDA. .......... ' , A : 8 : 1 , ' ',UNI);
writeln('LIM1TE SUPERIOR DE L A ' ) ;
writeln ( 'DISTRIBUCIOIJ DE LA DEMAI4DA..
', B: 8: 1, ' ' ,UN11 ;
END;
IF TD=2THEN
BEGIN
writeln('VAL0R ESPERADO DE LA DEtW4DA ......... ',LM:8:1);
END;
writeln;
writcln( '
S o I , II c I o N');
writeln('I'AMAY0 DEL LO'I'E ................
' , Y : 8 : ? , ' (',\JNI,')'
writeln('PUNT0 DE REORDEN
' , R : 8 : 2 , ' (',UNI,')'
writeln('COST0 TOTAL ESPERADO ...........
' ,CT:8:2,' ($/',PERI,
writeln('NUMER0 ESPERADO DE ORDENES . . . . . ' ,NP:8:2,' POR ',UN11
writeln("ARGEN DE APROX. (Tolerancia)..
' ,TOL: ) ;1
writeln('
+*'I;
write('"Quiere volver a usar el p r o g r a m a : S.i=1, no=2 : I ) ;
readln(resp2);
END; (del RESP='l']
.........
...............
+ +
+
+
IF RESP='Z' THEN
(Resultados en Impresora)
BEGIN
(clrscr;1
writeln(' . . . prepare la impresora!');
writeln( 'PULSE CUALQUIER TECLA PARA IMFRIMIR.. ' ) ;
resp3:=readkey;
DATOS DEL PROBLEMA t ) ;
writeln(lst, '
writeln (lst,'TASA DE DEMANDA.. ......... . . . . . . . . . . ',D:8:1,' (',UNI,' / ',PERI,')');
($)'I;
writeln(lst, 'COSTO FIJO DE RE0RDF:N.. . . . .......... ' , K : 8 : 1 , '
/ ',PERl,')');
writeln(lst, 'COSTO DE MANTEIIIMIENTO.. . . .......... ',H:8:1,'(',UNI,'
',P:8:1,' (',UNI,' / ' , P E R I , ' ) ' ) ;
writeln(lst, 'COSTO PEIJAL... . . . . . . . . . . . . ..........
writeln( lst, 'DISTRIBUCION DE LADEMANIIA Et1 ' ) ;
write (lst,'UN TIEMPO DE ENTREGA...... .......... ' 1 ;
IF TD=1 then writeln(lst,'UNIFOKME') E 1,SE writeln(lst,'EXPONENCIAL');
IF TD-1 TllEN
BEGIN
X
I
I A ' ) ;
writrlrr(lst, ql,IMl'I'k; IIII.'E:KIOR
',A:8:1,' ',UNI);
writeln(lst,'DISTRIBUCION DE LA UEl.lAfJDA
writeln(lst,'LIMITE SUPERIOR DE LA');
writeln(lst,'DISTRIBUCION DE LA DEMANDA ........... ' , B : 8 : 1 , '
',UNI);
END;
IF T W 2 THEN
BEGIN
writeln(lst,'VALOR ESPERADO DE LA DEMANDA ......... ',LM:8:1);
END;
writeln (1stI ;
writeln(lst, '
S O L U C I O N');
wrj tell\( I s C , 'TAMAYO l ) C I , I,CYl'l<. . . . . . . . . . . . . . . . ., Y : O : I ,
( ,UEII, ) ) ;
writeln(lst,'PUNTO DE I<EORDt,:PJ
. . . . . . . . . . . . . . . ',R:8:1, (',UNI,')');
writeln(lst,'COSTO TOTAL ESPERADO . . . . . . . . . . .
',CT:8:1,' ($/',PERI,')');
writeln(lst,'NUMERO ESPERADO DE ORDEPIES. . . . . ',NP:8:1,' POR ',UNI);
writeln(lst,'MARGEN DE APROX. (Tolerancia).. ',TOL:2);
writeln(lst,
**
*C.
* + I ) ;
writeln; writeln;
write('"Quiere volver a U B ~ Kel proqram,l: si=l, no=2 : I ) ;
.
...........
.. . . .
36
Técnicas de Sinwlaciórl Alatemrjtica
readln(resp2);
END; ( d e l R E S P = ' 2 ' ]
END; ( d e l W h i l e ]
I FR E S P 2 = ' 2 '
THEN
BEGIN
writeln;
writeln('
writeln( '
END;
END. ( P R I N C I P A L ]
t
t ,
*
1;
...............
ok!');
I
Este programa se probó usando el problema 3. l . obteniéndose los siguientes resultados:
DATOS
DEL
PROBLEMA
TASA DEMANDA
DE
COSTO F I J O DE REORDEN ................
COSTO DE M A N T E N I M I E N T O . . . . . . . . . . . . . . .
COSTOPENAL
D I S T R I B U C I O N DE LA DEMANDA
EN
U N T I E M P O DE ENTREGA.,
L I M I T EI N F E R I O R
DE LA
D I S T R I B U C I O N DE LA DEMANDA
L I M I T ES U P E R I O R
DE LA
D I S T R I B U C I O N DE LA DEMANDA
......................
..........................
................
...........
...........
S O L U C I O N
TAMARO DEI, L O T E . .
PlJNTO DE REORDEN..
COSTOTOTALESPERADO
NUMERO ESPERADO DE O R D E N E S . . . .
MARGEN
DE
APROX. ( T o l e r a n c i a ) . .
..............
.............
...........
.
**
**
**
2 4 0 . 0 ( p i e z a s / mes)
150.0 ( S )
3.0 ( p i e z a s / mes)
/ mes)
2 0 . 0( p i e z a s
U t 4 1 FORNE
0.0 p i e z a s
2 4 .p0i e z a s
1 5 6 . 0 9 (pl<,:n:;)
21.G6 (pieza:;)
4 9 7 . 2 6 ($/mes)
1 . 5 4 POR p i e z a s
1.OE-0004
¿ Q u i e r e v o l v e r a u s a r e l p r o q r a r n ~ : si'l,
no=2 :
Como vemos los resultados son iguales a la corrida con el sistema original, salvo que
aqui se muestran las cantidades con 2 cifas decimalesy se tiene una mejor aproximación.
Al final se muestra el diagrama de flujo del algoritmo de HAD-WHI en la lámina 1
Simulación aplicada a Control de Inventarios con
demanda estocástica de distribución normal.
Aplicaci&n de CMOM.
A partir del uso delprogramaparaSistemas
de Inventario CMOM (Computer Models for
Operation Management) se trata el siguiente problema.
3.11.1. Jack Burton, el gerente de producción de la compañia impresora Ajax, estima que l a
demanda del próximo aÍio de papel bond será de 12000 cajas. El precio de cada caja es de
$IO.= y el costo de colocar y procesar una orden es de $IO.=. Jack estima que los costos
de mantenimiento del inventario son del 2% de precio unitario por cada caja y por cada
mes. Debido a la incertidumbre que existe en la demanda de servicios de impresión, el Sr.
Burton considera que la demanda durante el tiempo de reorden (i.e. mientras se hace, se
37
lkcnicas de Sinlulación Maatenuitico
envía y se surte un pedido) es de 20 cajas en promedio con una desviación estándarde 4.5 .
Además el costo de penalización por falta de producto (Shortage cost) es de $1 por caja
por mes. El tiempo que se tarda en entregar un pedido es de 3 días. Se desea encontrar el
nivel optimo de reorden y la cantidad de cajas en cada pedido que minimicen el costo total
del inventario.
LOSdatos del problema se ingresan en la pantalla de edición de 10s mismos según se
muestra a continuación:
f i l08-21-1996
e:
input
SEM2-22.IDD
21:19:38
I n d e p e n d e n t Dprnand I n v e n t o r yS y s t e m s
S t o c h a s t i c Demand
D a t aE n t e r e d
Demand
per
100
10
Cost
per,
unit
C o s tH o l d i n g
Time Lead
Time
2
( % of period)
1
20
LDemand
ead
over
S t a n dD
ae
rd
v i a toL
ivoTeeniarm
de
per
C o sSt h o r t a g e
:
unit
4.5000
1
Obteniéndose la siguiente solución:
I n d e p e n d e n t Demand I n v e n t o r yS y s t e m s
S t o c h a s t i c Dem3nd
Solution
O p t i m a lO r d e rQ u a n t i t y
R e o r d e rL e v e l
S a f e t yS t o c k
S t o c k o upt sP
e re r i o d
O r d e r i n gC o s t s
H o l d i n gC o s t s
S a f e t yS t o c kC o s t s
S h o r t a g eC o s t s
T o t aIln v e n t o r C
y osts
:
:
:
31.6228
1
-1 9
59.9220
31.6228
31.6228
-38
59.9220
85.1676
Ahora nuestro objetivo es resolver el problema usando la técnica del método de Had-Whi que
se usó previamente enel
reporte pasado, pero ahora implementandounasubrutinaque
involucre el calculo de la función de distribución normal.
38
Técnicas de Sintulncidn Afnfenlcitica
La aproximación de la fbnción de distribución normal se hace con el método de regla de
Simpson, considerándose una partición de 100 para asegurar tener una tolerancia de 5 cifras
decimales, que creo es bastante, misma que seusaparalasaproximacionesnuméricas
de la
esperanza E[s(E)].
Con diferencia a lo hechoanteriormente, enel pasadoalgoritmo,ahorasesolicita
ademáslosvalores de p y o respectivos que involucra la demanda;conla característica
especial de que se necesita tener cuidado al implementar el cálculo de los valores de /(I a partir
de
con I?/ > O. Para hacer este cálculo se consideró lo siguiente: veamos que
En el programa lo que se busca es encontrar el respectivo X I para el cual el valor de la función
de distribución normal sea el valor constante (Cte.) ya conocido. En un primer intento se trata
de usar algo similar al método de bisección para hallar raíces de funciones; más no se puede
usar directamente dado que el intervalo es abierto a la derecha, por lo tanto se procede a partir
de un valor para el límite superior de la ultima integral muy próximo a cero, incrementándose
consecutivamente con un 6 hasta obtener una aproximación con cierta tolerancia (sea de
de
momento), la variación de 6 se hace dentro de un intervalo asignado de [B +-a]; y una vez
que esta se alcance entonces se considera a la cota superior como el valor de XI,es así que este
proceso se repite en cada iteración.
Con respecto al diagrama de flujo, este no tiene variante relevante con respecto al de la
actividadpasada, puesto queaqui ahora ya de entrada se supone que el fenómenotiene
distribución de tipo normal (recuerdese que anteriormente se escogía entre tipo exponencial o
uniforme), así ahora adicionalmente se piden los valores para p y 0. Hago la observación de
que cuando secalculanlasinicializaciones
de R; sehacenimplementando la subrutinadel
calculo inverso para la función de distribución normal, la cual aparece en el anexo 2. Al final en
la lámina 2 se muestra el mismo.
39
Técnicas de Sinrulncion hfafembfico
Simulación aplicada a Lineas de Espera
Los modelos de líneas de espera permiten discernir un buen balance que equilibra por un lado el
costo social de la espera y por otro el costo del servicio.
Infroducci6n a h e a s de espera.
A continuación se muestran los conceptos que se usan en la simulación matemática aplicada al
fenómeno de las líneas de espera.
Sistema: Conjunto de clientes que están formados en un área de espera para ser atendidos por
uno o más servidores. Un sistema de variosservidorestiene estructura en paralelo
cuando los clientespuedenrecibir su servicio de cualquierservidorindistintamente;
tiene estructura en serie cuando cada cliente debe recibir el servicio de cada servidor
en una cierta secuencia; o puede tener una estructura combinada o mixta.
Periodo: Lapso deduracióndefinida en que ocurre la llegada de clientes y la prestacihn de
servicios.
Servidor: Componente delsistemaqueefectua
l a prestación de serviciosatendiendo a una
cierta política, con tiempos aleatorios de servicio regidos por una cierta distribución, a
la que se asociará una tasa de servicio esperda por periodo.
Población: Es el conjunto de clientes que pueden llegar a requerir un servicio en el sistema. La
población se considerafinitacuando
su tamaño es conocido y cadacliente es
fácilmenteidentificable*' . Enalgunossistemas de líneas de espera lapoblaciónse
subdivide enfuncióndeltipo
de servicio (más o menos urgente) que requieren
diversos grupos de clientes, y la política de atención se modifica para dar prioridad a
los clientes que requieren el servicio con mayor urgencia.
Políticas de servicio: Reglas arbitrarias pero aceptadas que determinan el orden de atención a la
clientela. La política puede ser: primero en formarse, primero en atenderse o último en
formarse, primero en atenderse; de acuerdo con la prioridad del cliente puede ser o no
abortivd2 .
Paramétrico: Rango de análisis de un sistema de líneas de espera según un número mínimo y un
número máximo de servidores.
21 Una población
se puedeconsiderar infinita cuando su tamafio, a pesar de serfinito, no es conocido, y cada cliente no es
por l o general fácilmente identificable.
22
Política no abortiva significa que la llcgada de un clientc con prioridad más alta no implica que se suspenda el servicio al
que cstá atendiendo.
Técnicas de Sindacidn Matemática
Factor de utilización: Es el cociente de la ttrscl p u m t i i o de llegada entre la fusapro11m.h de
servicio para el caso de un solo servidor. Los modelos de líneas de espera requieren
que este factor sea menor a uno, por lo que la fosa de llegadas debe ser menor que la
tasa de servicio. Para el caso de servidores múltiplesenparalelo,
este factor es el
cociente que resulta de dividir la tasa promedio de llegadas entre una tasa global de
servicio, esta ultima definida como el yroducto de la tasa de servicio por el mintero
de servidores.
Implementacibn.
Problema 3.111 :
Una compañía aerea tiene cuatro aviones tipo 747, se ha observado que el número de
aviones que presentanfallas enla turbina es unavariable aleatoria condistribución
Poisson corn media 1 (i.e. un promedio de falla al año). El tiempo promedio de revisión
y compostura de una turbina es de 72 días. Só10 hay un equipo de mecánicos para hacer
las reparaciones y se dan servicioa los aparatos en el orden que llegan.
La dirección de la conlpaíiia está considerando la posibilidad de reemplazar el equipo de
laboratorio parareparación de lasturbinas,perono
se conoce con certeza cómo
afectará el tiempo requerido para dar servicio a un avión con el nuevo equipo, por lo
cual se harán tres estimaciones, una optimista de 36 días, una conservadora de 45 días y
una pesimista de 60 dias.
Para calcular el costo de estar un avión en espera de ser reparado seconsidera lo
siguiente:
El ingreso generado por avión y por hora de vuelo es de $20, OOO.=
El costo ahorrado en combustible y mantenimiento si el avión no vuela es de
$ 2,000.= por hora y pór avión.
El número de horas de vuelo promedio al día es de 18.
Uso de LINESP.
Ejecutar el programa LINESP para obtener los valores esperados de tiempos perdidos mientras
son atendidos los aviones (para c/u de los tres casos mencionados), y en c/u de ellos calcular el
costo estimado anual de espera.
Solución:
Este problema es del tipo z l t m cola - 11t1 servidor - poblrció~~Jj~~ita,
dado que se considera al
laboratorio como el servidor. El periodo que se considera es de un año, dado que un mes se
toma como 30 días, por lo tanto en la presente simulación se considerará a 360 días = 1 aíio
(i.e. 12 * 30), así:
41
Tdcnicns de Simulacidn
Aíatemálicn
Como vemos la tasa de llegada es de 1 cliente por ario (aviódaño), la tasa de servicio
es 5 y el tamaño de la población es finito (m).La corrida del programa es la siguiente23:
Una cola, un servidor, poblacion infinita
Una cola, un servidor, poblacion finita
Una cola, servidores multiples en paralelo, poblacion infinita
Tasa de llegada
1
(Clientes/AUo)
Tasa de servicio
5
(Servicios/A#o)
Tamaho de la poblacihn
4
(Clientes)
Seleccione el dispositivo e n que se listar6n l o s resultados
Pantalla
Impresora
O
Utilice O o O para sehalar; Return para seleccionar
""""""""""""""""~""""""""""""""""""""""DATOS DEI, PROBLEMA LIE
Una cola, un servidor, poblacion finita
!
!
!
I
(""~"""""""""""""""""-~
!
TASA DE LLEGADA
1.00
!
(Clientes/A#o)
I"""""""""""""""""""
I
!
5.00
TASA LIE SERVICIO
(Sr-rvir,lc~::/A#o)
1
.......................................
I
TAMANO DE LA POBLACION
I
I
(Clientes)
4
........................................
~
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
~
DESCRIPCION DEL sIzrEtm
I
I
.......................................
I
I
I-NO.
CLTES
PROB HALLAR
I CLIENTES
PROB tIALLAR ! I=NO.
t [?E I CL,TS ! CLTESI
PROB HALLAR
CLIENTES
I
PROB HALLAR I
t DE ICLTS
I
!
!
!
O
!
2
!
4
3983
0.1912
O. 0153
O.
!
!
0.6017
!
!
!
0.0918
-.o000
I
1
3
0.3187
0.0765
O . 2830
O. 0153
!
I
!
!
!
1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l
!
VALOR ESPERADO DE OCUPACION DEL SISTEMA
0.99
(Clientes)
VALOR ESPERADO DE LONGITUD DE LA COLA
0.39
(Clientes)
VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN EL SISTEMA
O
"""""""""""""""""""I
!
" " " " " " " " " " " " " " " " " " l
!
A#o
3.9 Mes
I
!
!
!
!
I
~
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
VALOR ESPERADO DE TIEMPO El4 L A COLA
O Ano
1.5 Mes
I
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
Interpretando, la probabilidad de que no se encuentre ningún avión en el sistema de compostura
es de 39.83% en el tiempo t . Similarmente la probabilidad de que se encuentre un avión en
mantenimiento y otro en espera es de 19.12% y la probabilidad de tener los cuatro aviones en el
sistema es de 1.53% (es minima). El número promedio de aviones que esperan servicio de 1
año es de 0.39 aviones, mientras que el número promedio de aviones en el sistema (eseprando
en la cola y en el taller) es de 0.99 aviones. El tientpo promedio de espera en la cola para
recibir el servicio es de 1.5 meses (i.e. 45 días), y el tientpo promedio en el sislenla es de 3.9
meses (i.e. 175.5 días, casi 4 meses).
'' esta corrida es para un día, para cada
u110 de
los casos propuestos en el enunciado se necesitan cuatro corridas del
programa.
42
Técnicas de Simulación híatentbtica
Haciendo las conversiones a años para los cálculos de las estimaciones, como el número
de horas promedio de vuelo por día por avión esde 18 entonces
dias
( 1 año
)("-)1 diahrs
365
18
elvuela,
avión
= 6570
como 1 año= 8760 horas entonces 8760 - 6570 = 2190 hrs/año está parado el avión en tierra,
es así que el costo total atlrtalyor nvih es de
(6570 hrs. vuelo/ailo)(20000 pesos/hr.vuelo) +
135.78 millones de pesodaAo-avi6n
i(2190 hr.tierra/ailo)(2000 pesos/hr.tierra)=
(explícitamente, éste sería el costo del tiempo que está parado), por lo tanto, si un avión esta
parado 36 días (0.09863 año) enel sistemade compostura, el costo asociado a esetiempo
muerto es:
(135.78 millones $/ailo-avi6n)(0.09863 ailo)
=
13.392 millones gavi6n.
si para 45 días (O. 12328 año) el costo asociado es:
(135.78 millones $/aiio-avi6n)(O. 12328 ailo) = 16.74 millones Qavi6n.
si para 60 días (O. 1643 año) el costo asociado es:
(135.78 millones $/ailo-avi6n)(0.1643 aAo) = 22.32 millones Qevi6n.
. .
...... .
.e
,..... . ........... ..
Problema 3.IV :
En un cruce fronterizo entre dos países con un tráfico intenso, la carretera se bifurca en 5
garitas de inspección migratoria y aduana, suponga que las llegadas de automoviles tienen
unadistribución de Poissonconmedia
de 15 automóvilesporhora,mientrasque
el
número de servicios tiene una distribución exponencial negativa conun valor esperado de
8 servicios por hora. Por razones legales las garitas proporcionan servicio en cuanto se
desocupan y se atienden a los automóviles en el orden en que llegan. Se han estimado los
costos de operación de cada garita por hora en $ 800.= , y el costo promedio de espera
de cada automóvil por hora en $ 1200.=. Se desea averiguar si hay un número de garitas
(entre 2 y 7 ) que minimice el costo total ( = costo de operación + costo de espera), para
determinarlo ejecute el programa LINESP connúmero de servidores de 2 a 7 (con
opción de análisis paramétrico).
Solución:
Este es un problema de tipo cola - servidores et] paralelo - poblaciotl ilfinita. La
corrida con los datos respectivos se lista a continuación:
Técnicas de Sirnulacion Matentajlica
I
Una cola, un servidor, poblacion infinita
Una cola,
servidores
multiples
paralclo,
enpoblacion
infinita
An6lisis pararnetrico de la descripci6n del s i s t respecto al número de serv
Tasa de llegada
15
(Clientes/Hora)
Tasa de servicio
8
(Servicios/Hora)
2
7
Número minim0 de servidores
Número msximo de servidores
I
I
Seleccione el dispositivo en que se listar6n los resultados
O
Pantalla
Impresora
Utilice O o O para sehalar; Return para seleccionar
""""""""""""""""""""""~""""""""""""""""!
DEL
DE DATOS
PROBLEMA
!
Una cola, servidores multiples
en
paralelo, poblacion
infinita
!
!
!
!
"""""""""""""""""""I
15.00
LLEGADA
!
TASA DE
(Clientes/tlora)
........................................
!
8.00
TASA DE SERVICIO
!
!
(Servicios/Hora)
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
........................................
DESCRIPCION D E L SISTEMA CON
!
I
2 SERVIWRES
l""""""""""""""""""""""""""""""""""""""~
!
!
I=NO.
CLTES
PROB
HALLAR
PROB
I CLIENTES
HALIAR ! I = N O .
! CLTES
+ DE ICLTS
PROB
HALLAR
PROB
HALLAR
!
I CLIENTES
+ DE I CLTS !
l"""""""""""""""""""f""""""""""""""""""-l
I
!
!
O
2
!
4
!
6
!
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
41
46
48
50
52
54
56
58
60
62
!
0 . 4 4 6 10 . 0 2 9 7!
!
!
!
0 . 2 6 6 20 . 0 1 7 7!
0.2340 .0156
!
!
0 . 1 8 0 70 . 0 1 2 0!
0 . 1 5 08 .80 1!0 6
!
I
!
I
!
0 . 0 7 3 20 . 0 0 4 !9
0 . 0 0!4 3
!
!
0 . 0 4 03 .70 0!2 9
!
!
!
0 . 0 2 6 10 . 0 0 1 7!
!
!
!
!
!
64
66
0 . 9 6O 7. 70 3 2 3
O . 0567
0.74760.0498
0.65700.0438
0.5O
7 .7 05 3 8 5
0 . 5 0O7. 50 3 3 8
0 . 3 9O2. 10 2 6 1
0 . 3 4O4. 60 2 3 0
0 . 3 0o2.90 2 0 2
0 . 2 0 5 60 . 0 1 3 7
0 . 1O3. 9060 9 3
0 . 1o2 .2 07 0 8 2
O . 0072
O. 0063
0 . 0O8. 30 30 5 6
0 .O0. 506063 8
0 . 0O4.9070 3 3
0 . 0O3. 8040 2 6
0 . 0 3o3.70 0 2 2
0 . 0 2o9 .7 O 0 2 0
O . 0015
0 . 0O2. 0010 1 3
0 . 0 1o7 .70 0 1 2
0 . 0 105.60 0 1 0
o . O009
!
O . 8506
!
!
1
3
5
7
9
!
11
0.4182
0 . 0 2 7 9!
13
0 . 3 607.60 2 4!5 1 5
!
17
0 . 2 803. 90 1 8!9 1 9
!
21
0 . 2 1 9 03 . 0 1 4 6 !
23
0 . 1 9 2 08 . 0 1 2 9!
25
! 27
!
29
! 31
!
33
0.10'18
! 35
0.094B
! 37
! 39
0 . 0 6 8 60 . 0 0 4 6 !
41
0.0644
!
43
!
45
!
47
!
49
!
51
!
53
0 . 0 2 07 .80 0 1I9 5 5
!
57
0 .00,20220
91.50 0 1!4 5 9
!
61
0 . 0 1 06 .60 0 1!1 6 3
!
65
0.0137
!
67
!
!
!
!
!
0.90
O 7. 03 6 0 5
0 . 7O9. 7045 3 2
0.7008 0.0467
0.61600.0411
0 . 5 4O1. 40 3 6 1
0.470
5 .80 3 1 7
!
!
!
!
!
!
I
!
0 . 3 203.10 2 1 5
!
0 . 2 4 905. 0 1 6 6
!
!
!
0 . 1 6 9 04 . 0 1 1 3
0 . 1 4O8. 90 0 9 9
0 . 1O3.0090 8 7
0 . 1O1. 5000 7 7
O . 0067
0 . 0O8. 8090 5 9
0 . 0O7. 8010 5 2
0.0040
O. 0035
0 . 0O4. 6060 3 1
0 . 0 4 O1 .0 0 0 2 7
0 . 0O3.6000 2 4
0.0021
!
!
I
0.1011
O. 0603
O. 0530
!
!
!
!
!
I
I
!
!
!
0.0316
0 . 0 2 4 40 . 0 0 1 6
O. 0 0 1 3
0.0189
0 . 0010
o . O009
0.0146
0.0128
!
I
I
!
!
!
!
I
~""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l
!
VALOR
ESPERADO
!""""""""""""""""""""""""""""""""""""""~
!
OCUPACION
DE
DEL
VALOR ESPERADO DE LONGITUD LA
DE
SISTEMA
COLA
15.48
(Clientes)
!
13.61
(Clientes)
!
I
~""""""""""""""~""""""""""""""""""""""l
!
VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN EL SISTEMA
1 Hor
1 . 9 Min
!
Técnicas de Simulacibn hfatenratica
~"""~"""""""""""""""""""""""""""""""-------~
!
VALOR
ESPERADO
O Hor
DE TIEMPO EN LA COLA
54.4
Min
!
.......................................
""""""""""""""""""""""""""""""""""""--"-DESCRIPCION DEL S I S T E M A COI4
!
3 SERVIDORES
!
~------""""""""""""""""""l
!
!
I=NO.
PROB
CLTES
HALLAR
I CLIENTES
PROB HALLAR ! I=NO.
t DE I C L T S ! C L T E S
PROB
HALLAR
PROB
HALLAR
I CLIENTES
t DE I C L T S
!
!
I"""""""""""""""""""I""""""""""""""---------~
!
!
!
!
!
O
!
!
!
!
!
!
!
!
2
4
6
8
10
12
14
0 . 8 6 7 80 . 1 3 2 2
0.3874 0.2324
0.1O
5 .1 03 9 0 8
0.0O
5 9. 01 3 5 5
0 . 0 2 301. 0 1 3 9
0 . O0 .0 09 0 5 4
0 . 0o0. 3050 2 1
o . O008
1
3
!
!
!
!
I
!
!
!
!
0.0014
5
7
9
11
13
0 . 6 1 9 80 . 2 4 7 9
0 . 2 4 2 10 . 1 4 5 3
0 . 0 9O4. 60 5 6 7
0 . 0 3o 6. 90 2 2 2
O . 0087
O . 0034
0.0013
!
0.0144
O. 0056
o. 0022
!
!
!
!
!
!
I
.........................................
!
ESPERADO
VALOR
DE OCUPACION
DEL
SISTEMA
2.52
(Clientes)
!
0.65
(Clíentes)
!
1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l
I
ESPERADO
VALOR
DE LONGITUD DE LA COLA
!""""""""""""""""""""""""""""""""""""""I
!
VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN
S I SE
TL
EMA
O Hor
10.0 M i n
!
O Hor
2.5 Min
!
1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l
!
VALOR
ESPERADO
DE TIEMPO EN LA COLA
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
I
DESCRIPCION DEL
Coli SISTEMA
'1 SERVIDORES
!
!
HALLAR !
t DE I C L T S !
.......................................
!
!
I=NO.
CLTES
PROB HALLAR
PROB
I CLIENTES
HALLAR
t DE I C L T S
! I=P.IO.
! CLTES
PROB
HALLAR
PROB
I CLIENTES
I"""""""""""""""""""I""""""""""""""""""-l
!
!
!
!
!
!
!
O
2
4
6
8
10
0.8500 0.1492
0 . 3 0 0O6. 2 6 2 3
0 . 0 6 708. 0 7 6 9
0.01490.0169
0 . 0 0 3O3. 0 0 3 7
O. 0008
!""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
!
ESPERADO
VALOR
!
!
!
!
!
7
9
!
O . 0007
DE OCUPACION
DEL
!
1
3
5
0.57090.2798
0 . 1 4 407. 1 6 4 0
0 . 0 3 1O 8. 0 3 6 0
0 . 0 0 7 00 . 0 0 7 9
0 . 0 0 105. 0 0 1 7
!
!
I
!
!
!
!
SISTEMA
2.00
(Clientes)
I
I
0.13
(Clientes)
!
1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l
!
ESPERADO
VALOR
DE LONGITUD DE LA COLA
!""""""""""""""""""""""""""""""""""""""I
I
VALOR
ESPERADO
O Hor
DE TIEMPO EN
SIST
EE
LM A
8.0 M i n
1L---------------------------------------------------------------------------
!
O Hor
DE TIEMPO EN LA COLA
VALOR
ESPERADO
0 . 5 Min
!
I
I
........................................
.......................................
!
l""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
!
!
I=NO.
CLTES
DESCRIPCION DEL S I S T E M A CON
PROB
HALLAR
I CLIENTES
PROD tWJ,I.AR ! I = t J O .
t D'Z I CL.1'S ! C L T E S
5 SERVIDORES
FROB HALLAR
PROB
HALLAR
I CLIENTES
~"""""""""l"""""""""~"
!
I
!
!
O
2
4
!
6
!
8
""""""""""""""""""""""""""""""""""" !
!
0 . 8O4.7155 2 5
0 . 2O9. 3236 8 1
0.0471
0.0786
0.0110
O. 0016
I
!
0.0066
o . O009
!
!
!
!
ESPERADO
VALOR
DE OCUPACION
DEL
ESPERADO
VALOR
DE LONGITUD DE LA COLA
1
3
5
7
9
SISTEMA
!
O. 2860
O. 1676
0.0295
0.0041
O . 0006
!
!
+ DE I C L T S !
I
0.5614
0.1257
0.0177
O. 0025
O. 0003
I
!
!
!
!
!
1.90
(Clientes)
!
0.03
(Clientes)
!
1"""""""l
!
1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l
!
VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN E L S I S T E M A
O Hor
7 . 6 Min
I
VALOR
ESPERADO
O Hor
0.1 Min
!
~""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l
!
DE TIEMPO COLA
EN LA
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
~
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
~
!
DESCRIPCION DEL S I S T E M A COH
I""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
6 SERVINRES
!
!
Técnicas de Sirnulacidn hfatenlaticn
!
!
- """""""""""""""""" I """"""""""""""""""" !
I=NO.
CLTES
PROB
HALLAR
I CLIENTES
PROB
HALLAR
DE I C L T S
t
! I=NO.
! CLTES
PROB
HALLAR
t DE I C L T S
O
2
!
4
!
!
I
6
8
0.8468 0.1532
0 . 2 9 0O2. 2 6 9 3
0 . 0 4 300. 0 7 8 9
0 . 0 0 4O.2 0 0 9 2
o. O009
!
!
!
!
I
!
O . 0004
"""""""""""""""""""""""""""""""I
ESPERADO
VALOR
DE OCUPACION
DEL
ESPERADO
VALOR
1
3
5
7
9
SISTEMA
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
PROB
HALLAR
I CLIENTES
0.5595 0.2873
0 . 1 2 109. 1 6 8 3
0 . 0 1 3O.
4 0296
0 . 0 0 103. 0 0 2 9
O. 0 0 0 3
o.
0001
!
!
I
!
!
1.88
(Clientes)
!
DE LONGITUD DE LA COLA
0.01
(Clientes)
!
VALOR
ESPERADO
DE TIEMPO EN
S I S TEELM A
O Hor
7 . 5 Min
!
VALOR
ESPERADO
DE TIEMPO EN LA COLA
O Hor
0.0 Min
!
1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""I
!
1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""I
!
1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""I
!
.......................................
S I S T E I G DDEESLC R I P C I O N
!
COll
7 SERVIDORES
!
1"""""""""""""""""""l
!
!
I =PNH
ROO
X. B
LAR
CLTES
I CLIENTES
PROB
HALLAR
! I=HO.
PROB
DE I C L T S I C L T E S
t
HALLAR
PROB
I CLIENTES
+
HALLAR !
DE I C L T S !
~-"--""""""""l"""""""""~"
!
!
!
!
I
I
O
2
0 . 044 2 2
6
8
!
!
!
!
0 . 8 4 6O.
7 1533
0.28
O.9 1
2695
90
O. 0 7
O. 0093
O. 0 0 0 7
o. 0 0 3 1
!
!
O.OOO?
1
3
5
7
!
!
0 . 5 5 90
2. 2 8 7 5
0 . 1 O.
2 11
26 8 5
0 . 0 102. 6
0296
0.0025
!
0.0009
!
I
I
I""""""""""""""""""""""""""""""""""""""1
!
VALOR ESPERADO DE OCUPACION
DEL
SISTEMA
1.88
(Clientes)
!
0.00
(Clientes)
!
I""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l
!
ESPERADO
VALOR
DE LONGITUD DE LA COLA
VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN
SIST
EE
LM A
O Hor
1 . 5 Min
!
!
VALOR
ESPERADO
O Hor
0 . 0 Min
!
.......................................
!
"I""""""""""""""""""1
!
I"""""""""""""""""""!
DE TIEMPO EN LA COLA
Resumiendo el listado:
No garitas
i
2
3
esp. de
Val. esp. de Val.
Val. esp. de
ocupaci6n del tiempo
en ladecola
tiempo en
longitud
la cola
el
sistema (clientes)
61.9
2.52
5
1.9
6
1.88
7
1.88
O. 65
O. 03
0.01
O
7.6
7.5
7.5
Val. esp. de
(min)
sistema
(min.)
(clientes)
13.61 54.4
15.48
2.5 10
0.5 8 0.13
o. 1
O
O
Analizando el costo total (costo de operación + costo de espera), el costo deoyeracicin se
calculamultiplicando el tiempodel Valor de eJperade tiempo en el sistema convertido de
minutos en horas por el costo de operncih por garita por hora ($ SOO), analogamente para el
costo de espera, se obtiene multiplicando el valor esperado de tientyo en la cola por el costo
prontedio deesperadecada
ntrtonu3vil por hora ($ 1200); ambos productos, cada uno se
multiplica por el número de garitas.
46
2
4
Técnicas de Simulocicin Matenrdtica
Veamos gráficamente los valores del costo total:
3500
3UlO
#
2M0
~3 Cost. Operaah
1500
m Cost. E spera
0 Cost. TOTAL
I(XI0
500
2
3
4
5
6
7
Garita3
De acuerdo a lo resumido podemos ver que con 4 garitas obtenemos un mínimo costo
de operación y por ende un bajo costo total que es (por una minima diferencia) aun menor a la
operación con 5 garitas, por lo tanto nos quedamos con la operación de 4 modulos de servicio.
47
Tkcnicas de Simulación Mdembtica
Algoritmos de “Una cola - un servidor - población
finita” & “Una cola - servidores en paralelo población infinita”
En el presente escrito se explicará como fkncionan los mencionados algoritmos.
A continuación se muestra la notación usada:
:Número promedio de llegadas ai sistema por unidad de tiempo.
:Número promedio de servicios por unidadde tiempo.
:Factor de utilización del sistema con un servidor.
:Número de servidores en el sistema.
:Factor de utilización de un sistema con servidores múltiples.
:Esperanza (valor esperado) del tiempo de espera para que se proporcione
servicio a la última llegada de la cola.
:Esperanza del tiempo de espera para que la última llegada de la cola abandone
el sistema una vez quese le haya proporcionado el servicio.
:Tiempo promedio que transcurre entre dos llegadas consecutivas.
:Tiempo promedio de servicio de un cliente.
:Número esperado de llegadas de nuevos clientes por unidadde tiempo, cuando
ya existen n en el sistema.
:Número esperado de servicios por unidad de tiempo, cuando existen II clientes
en el sistema. Representa la tasa combinada de servicios a la cual trabajan todos
los servidores ocupados.
:Valor esperado del número de gentes formadas en la cola.
:Valor esperado del número de gentes en el sistema, (i.e. esperando en la cola y
recibiendo un servicio).
:Probabilidad de que en el momcnto f dc arribo a la cola se encuentren m
personas en el sistema, S recibiendo servicio, en el caso de S (S 2 I) servidores,
y m-S formados en la cola.
:Probabilidad de que en el momento f dc arribo a la cola, el sistema se encuentre
vacío.
:Número esperado de clientes que no requieren de un servicio en el momento de
arribar al sistema (esto sólo tiene sentido para el caso de población finita).
:Utilización promediode cada uno de los S servidores (S 2 I), dada en
porcentaje del tiempo.
Técnicas de Sirnulncidn Alaterncitica
-
Una cola Un s,ervidor - Población finita
Para podercomprender el hncionamiento y el razonamientodelalgoritmo
tma cola - t o 1
sewidor - yoblacih jhlita, primeroseexplicará
el algoritmo cuando se considera que la
población es infinita, i.e. se supone que el número de clientes que requieren el servicio en una
periodo de tiempo determinado en infinito, obviamente este caso no corresponde a la realidad
ya que una población es por regla finita. La disciplina de la cola es “primero que llega primero
que se le proporciona el servicio”.
Se supone una población finita y una sala de espera de capacidad ilimitada. El tiempo de
llegada tiene una distribución de Poisson, con media I/h.Esto quiere decir que si, por ejemplo,
llegan 5 clientes en promedio cada minuto (h=5), lamedia de la distribución es 0.2 minutos
(lA), es decir 12 segundos24.Lamedia representa el tiempopromedio que transcurre entre
llegadas. El tiempo de servicio tiene una distribución exponencial negativa con tiempo medio de
servicio25l/p,
Analíticamente lo anterior quieredecir que si A([) es el número de llegadas en u n
intervalo de tiempo t, con una distribución de Poisson, entonces la probabilidad de que A(I) sea
igual a k llegadas está dada por:
Z’(A(t) = k } = e-&(&)‘
mientrasque si Z representa el tiempo aleatorio de servicio,condistribuciónexponencial
negativa, la probabilidad de que este tiempo sea mayor a I unidades está dado por:
ahora se derivan las fórmulas generales de este sistema.
Se inicia con el desarrollo de la fórmula general para P,,,(z), la probabilidad de que en el
momento de arribo a la cola (tiempo t ) se encuentren m personas (m 2 U) enel sistema ( 1
recibiendo servicio, y ni-Z formadas).
Se escoge un intervalodetiempo
At
U bastantepequeño
y sesuponeque
la
probabilidad de más de unallegadaen At es prácticamente nula, así se tienenlassiguientes
expresiones:
a) Probabilidad de que no lleguen clientes en At
=
1-hAt
(3.1.1)
b) Probabilidad de no requerir servicio en At= 1- p A t
24
Probabilidad de x llegadas por unidadde tiempo = (h”e-’) 1 x!
” Probabilidad
de que se sirvanx clientes por unidadde tiempo = p e”“
(3.1.2)
Técnicas deSinrulacidn Matenrática
Con esta información la probabilidad de tener m personas enel sistema en cualquier
tiempo t + At, denotada por P, (t + A t), es la suma de las probabilidades asociadas a eventos
independientes específicos
ABC + DBE + I;GC + AGE
(3.1.3)
donde los términos A, B,C, D,E,F y G significan respectivamente lo siguiente:
pm (0
: Probabilidad de que existan m personas en
el
sistema en
el
tiempo t, una
recibiendo servicio y m-1 formadas (A).
(I - h A I) : Explicada en (3.1.1) (B).
(I - p A 1) : Explicada en (3.1.2) (C).
Pmt,(o
: Probabilidad de que existan m - I personas en
el
sistemaen el tiempo 1, 1
recibiendo servicio y m formadas (U).
p A( t)
: Complemento de (3.1.2), i.e. probabilidad de un servicio enel tiempo A t, (E).
P,.,(t)
: Probabilidad de que
existan
m-1 personas en
el
sistema
en
el tiempo t, 1
recibiendo servicio y m-2 formadas (F).
hAt
: Complemento de (3.l.
l), i.e. probabilidad de unallegadaen el tiempo At (G).
Por lo tanto 3.1.3 queda explicitamente como:
que desarrollada conduce a
si a esta última expresión se le resta
tiene:
cuando At
lo que:
+ O, la última
/’,,,(I) en ambos términos y se divide entre
At (A I >,O), se
parte de la expresibn anterior tiende a cero, y ]’,,,(I)= P,,,(t~i I), por
Técnicas de Sinrulacibn Matentálica
La expresión (3.1.4) se analiza por inducción. Para n1=0 (no existe nadie en el sistema),
la expresión queda:
sin embargo, pPo(t)=O;
nadie y
porque no habiendo gente enelsistemano
se puededarservicio
a
que finalmente queda como:
(3.1.5)
Para m = l , la expresión (3.1.4) se convierte en:
(3.1.6)
sustituyendo (3.1.5) en (3.1.6) se obtiene:
(3.1.7)
En forma análoga, para m=2 se obtiene:
y para el caso general:
Técnicas de Sinlulncidn hlatenrática
(3.1.8)
De la teoría de probabilidad sabemos que la suma de todas ellas:
por lo que
(3.1.9)
o lo que es lo mismo:
acorde con lo que se sabe de series, la serieinfinita dentro delparéntesis de (3.1.9) es una
progresión geomdtrica de la forma:
1
1+ a + a'+ ...+am+...= 1-a
tal que
a<1
así (3.1.9) queda de la forma:
(3.1.10)
entonces (3. l . 1O) genera en (3. l .8)
(3.1.11)
Desarrollando la fómula para W, el número esperado de personas en el sistema (en cola
y en servicio).
Por definición de valor esperado se tiene:
m
w =Po(t)(0)+I:(t)(l)+P,(t)(2)+...+P,( t ) ( k ) +...= CPm(l).(m)(3.1.12)
m=O
52
TPcnicas de Simulación Afa!enrtj!ica
de (3.1.11) se obtiene en (3.1.12)
m
W=Cpm(l-p)*~=(1-p)(p++
23
p ~2~ + . . . ) = ( 1 - ~ ) p ( l + 2 p + 3 p ~ + . . . )
m=O
como ya sabemos, tenemos que:
m
siempre que p < 1
por lo que
(3.1.13)
El número esperado de gente en la cola, L, se define como:
m
...=C(
m-l)P,(r)
L = l P , ( t ) + 2 P , ( i ) t 3 P , ( r ) + . . . + ~ ~r)+
~+,(
(3.1.14)
m
-2
Usando (3. l . 12) y (3. l . 14) en la expresión W-L se obtiene:
m
Por definición,
CPm(t)= 1, así la expresión (3.1.15) es igual a 1-Po(O,por 10 que:
m
-O
w - L = l-&(t)
L=W-l+P,(f)
(3.1.16)
Usando (3.1.10) y (3.1.13) se obtiene, en (3.1.16)
53
Técnicas de Simulación hlatemática
Por último, el tiempo esperado enla cola antes de recibir el servicio, I;, y el tiempo
esperado para abandonar el sistema, Tw, se obtienen a partir del siguiente razonamiento:
Po(f) es la probabilidad de que nadie esté enel sistemaen el tiempo f ; I-Po(t) es la
probabilidad de que nlgrrten esté en el sistema recibiendo un servicio. Entonces:
(3.1.18)
donde B,,es el número esperado de personas a las cuales se les proporciona servicio en una
unidad de tiempo. Si al tamaño esperado de la cola, L, se le divide por el producto del número
promedio de servicios por unidad de tiempo y por B, se obtiene T,, es decir:
R2
Con esta expresión se concluye que si un individuo debe esperar enpromedio 7;
unidades de tiempo antes de recibir un servicio que dura, en promedio, 1/p unidades de tiempo,
entonces T, , el tiempo total esperado en el sistema, es:
1
T, = 7j + -
(3.1.20)
P
Todas las expresiones anteriores permiten calcular:
a) La probabilidad de que el número de gentes en el sistema, W , sea mayor a Z:
b) La probabilidad de que la espera total en la cola, Ts, sea mayor a g unidades de tiempo:
c) La probabilidad de que la espera total en el sistema T,, sea mayor a h unidades de tiempo:
Técnicos de Sinwlación Motenlático
Ahora a continuaciónse aborda el caso que nosinteresa,cuando la poblaciónseconsidera
finita. Suponiendo que una población finita de m elementos (O<nt<a) requiera servicios de un
sistema similar al anteriormente explicado, ahora las series infinitas resultantes en el análisis se
convierten en seriesJij1ita.sy generan de manera análoga los siguientes resultados.
Si n? es la población que pudiera requerir un servicio determinado y 11 ( r K n 1 ) elementos
de esa población piden ese servicio, entonces
se calcula mediante el uso simultáneo de las
expresiones (3.1.20) y (3.1.21) definidas a continuación26:
PO(u
(3.1.20)
(3.1.21)
Una vez conocida P&
se calcula L, W, T,,T, de:
L = m - - a - (1 - 1
; (9)
(3.1.22)
1
/t
W=L+(l-P,(t))
L
T,=
d l - Po 1
T,=T,+-
1
(3.1.23)
(3.1.24)
(3.1.25)
lu
Obviamente, conocida Po(t) se calcula P,,(t) de (3.1.20), de la siguiente manera:
(3.1.26)
Técnicas de Simulación Matematica
-
-
Una cola Servidores en paralelo Poblacidn infinita.
Se supone un sistema con una cola, a la cual pueden llegar un número infinito de clientes en
espera de recibir un mismo servicio por parte de S ( S > f ) servidores en paralelo. La política del
sistema es que se sirve a los clientes en el orden de su llegada; el servicio lo proporciona el
primer servidor que se haya desocupado. Todos los servidores están desocupados al principio y
se irán ocupando en forma progresiva (primero el servidor 1, después el 2 y así sucesivamente)
en la medida en que vayan llegando los clientes.
El número promedio de llegadas por unidad de tiempo es h.y se supone que este tiene
una distribución de Poisson.
El número promedio de servicios de cada servidor por unidad de tiempo es el mismo y
se denota por p. Se supone que este número tiene una distribución exponencial negativa.
Se observa que cuando el número de elementos enla cola y en lasestaciones de
servicio, nt, esmayor que el númerode servidores, S, (rn>S), la probabilidad de quealgún
clienteabandone el sistema (después de recibirsuservicio) enel intervalodetiempo At es
SpAt. En caso contrario (Dm), dicha probabilidad es m,uAt.
Esta observación incorporada a la expresión (3.1.3)
origina:
It,( t + Al) = Zk ( I ) (1 - , U t ) ( 1 - S/rAt)
+ ~ m J w P A ~ ) ( lU- t )
+PWl
(t)(AAt)(l- SpAt)-t- Zi(Z)(A,At)(SpAt)
En la expresión anterior P,,,-,(o no tienesentidocuando
agrupados los términos se obtiene:
m = O , por lo queunavez
Restando en ambos lados ZJo(o y dividiendo entre At, se tiene:
Po(t+ A t ) - Po(t)
= -P, (I)A - P,(t)Sp + P,(t)SpAA/
At
Tomando el límite cuando At +O genera:
(3.1.27)
7écnica.s de Sirnulacidn Afatenráticn
por lo que
;1
4 ( 0 = y,( W + -1
(3.1.28)
SP
El límite cuando At +O de la expresión general (3.1.27) para m = Z , genera
e ( t + A t ) - e ( t ) - dP(I)
-"-=o
Al-10
Af
df
lim
(3.1.29)
sustituyendo (3.1.28) en (3.1.29)
(3.1.30)
L
Generalizando (3.1.30) para un valor m - Z cualquiera se obtiene
que se puede reescribir:
(3.1.31)
Para el caso en que m<S, se sigue el mismo razonamiento cambiando el término SpAt
de (3.1.27) por nzpAt, para obtener
(3.1.32)
m
Una fórwula explícita de Po(t) se genera despejando este término de z P m ( t )= 1,
nr= O
arrojando la expresión:
S7
Ticnicm de Simulacidn hialenrálica
(3.1.33)
Combinando (3.1.33) con (3.1.3 1) y (3.1.32) y tomando el límite cuando nt
construye la expresión final para P0(Q dada por
-+
00
se
(3.1.34)
El largo de la cola L, lo dará la expresión
UI
Z( m
L=
-
s)r;(t)
m=S+I
que una vez desarrollada, utilizando(3.1.31) y agrupando términos27, generala fórn~ula
(3.1.35)
El número de elementos en el sistema W, es igual a
1
W =L+-
P
(3.1.36)
El tiempo de espera en la cola, T, , es:
(3.1.37)
mientras que el tiempo de espera en el sistema, T,
qv= Ts +-1
P
n-l
l7
an-1
nk = -
recuerdcse que
k=O
a-1
con a # 1
(3.1.38)
Técnicas de Sirrrulacibn hiatenráticn
;1
Así como en’el caso de un servidor se supone que - < 1 (para que no se formen colas
P
de tamaño infinito), en el caso de servidores múltiples se requiere que se cumpla la condición
A
A
- < 1, la cual se puede reescribir como
-< S .
SP
P
Se puede desmostrar que
donde
Z’{ 2; = o} =
Y
c
S-]
1;
Tdcnicas de Sirnulación A!íaternáfica
La gráfica de los residuos:
r 90
-BO
-
70
-
60
- 50
50
- 40
/
25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O
”.,,.
30
- 20
A.,
.......$<
.‘I.
-25
-
’%>.. . . . . . .
1% (’ ”%.,,.,”.”
/
$
. . I , . . . . . . . . . . . . . . . . . .,L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
j
l/
/
‘4
-50
.......... RESIDUAL “.-ACTUAL
(TI-Type (PI-Print (S)-Sa!e(O)-Options(F)-Plotter
.“FITTED
8,
HPCL (R)”Redew
(XI-eXi’
Grci/ica 4 - 1
Acorde con los resultados los coeficientes son:
=
-33.197854,
p
2 =
0.0193303, P j =15.479647, p4
=
0.8101972
y se tiene que el coeficiente de correlación de Neyman-Pearson R2=0.2747 el cual no es muy
próximo a I por lo cual a partir de esto se puede decir que la regresión no es muy buena, es
decir, no existe una fuerte relación lineal entre las variables independientes (el irlb.re.sofcrtnilitrr
protmw’io, el tanttrZo nledio de la fatnilia y In tcrsa de tlesenlpleo) con respecto a la variable
dependiente (elyorceutnje en Iafitcrza de ttanOtrjo de las familias como participacicin).
El estadístico de la prueba de Durbin-Watson da 2.404697 de lo cual podemos decir a
partir de que como valor de esta prueba (d)
toma valores O < d < 4; consultando en tablas el
límite superior e inferior de margencon 11=15 observaciones y k ’ = 4 número de variables
explicativasincluyendo la constante: dt-0.685 y du=1.977,a un nivel de significancia de 95% .
Esquematizando los intervalos parala prueba:
62
Técnicas de Simulación Matemática
Capítulo 4
Simulación aplicada a Economía
Antes de aplicar dicho modelo para la simulación de varios escenarios propuestos, es necesaria
la estimación estadística de los coeficientes en las ecuaciones.
Uso de TSP para regresidn multilineal.
El problema siguiente se resuelve usando el software TSP versión 6 .
Problema:
Para estudiar la participación de la herza de trabajo de familias pobres urbanas, se
obtuvieron a partir del censo de población de 1970 las cifras que aparecen a
continuación :
Participación de la fuerza de trabajo, familias pobres urbanas:
áreas del censo, ciudad de Nueva York, 1970
Area No % en la fuerzadeIngreso
familiarTamailomedio
Tasa
de
'x1
= % de la fierza de trabajo civil dcscmplcada.
Fuente: Census Tracts: New York, Bureau o f ff~eCcnsus, U.S. Department of commerce, 1970.
a) Utilizando un modelo de regresión lineal:
y=
P,+ P z x 2 ( I ) +
P3x3(1)
+P 4 X 4 ( 0 +40
Técnicas de Sintulacidn Matenldtica
obtenga una estimación de los coeficientes e interprete las estadísticas R,t's y de
Durbin-Watson del reporte de TSP.
b) Obtenga intervalos de confianza con un nivel de confiabilidad de 95% para los cuatro
coeficientes estimados (en base a los resultados de la regresión).
c) ¿Cuales son los signos "a priori" (desde el punto de vista de la economía) de los
coeficientes de la regresión?, Len la estimación efectuada por computadora se
obtuvieron los signos correctos de dichos coeficientes?
Resultados:
Se ingresaron los valores de la tabla mostradaa TSP y se obtuvo el siguiente listado:
I
I
Variable
LS / / Dependent
is Y
Date: 9-16-1996 / Time: 23:39
SMPL range:
1
15
Number of observations: 15
-
..................................
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
VARIABLE
COEFFICIENT
STD.
ERROR
T-STAT.
2-TAIL
SIG.
__P=_PPP_P_P___P3P___=====~==~~=====*====P======-=================="-
-33.197
854
0.0193304
15.479647
0.8101972
C
x2
x3
x4
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
48.750098
0.0192793
9.4755912
1.9116215
"
"
-0.6809803
l. 0026508
1.6336339
0.4238272
"
"
0.510
O . 338
O. 131
O. 680
"
0.274726dependent
of
Mean
var
0.076924
S.D. of
dependent
var
18.39159
Sum
of
squared
resid
2.404697
F-statistic
-62.63632
R-squared
Adjusted
R-squared
S.E. of
regression
Durbin-Watson
stat
likelihood
Log
"
~
~
~
63.64667
19.14258
3720.756
1.388893
..................................
..................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Coefficient Covariance Matrix
..................................
..................................
c ,c
c ,x3
C , X2
C,X4
X2,X3
X3,
X4,X4
2376.572
-309.6027
0.000372
O . 0051
X391
0.978492
x2,x2
X2,X4
x3,x4
-0.583732
-31.18092
-0.022569
89.78683
3.654297
P===PP___I=P==_EPPP==*=============================================~
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
obs RESIDUAL
ACTUAL
FITTED
Residual
Plot
- 3 P P " P P P P I P P P P P P - P ~ - = = ~ ~ = ~ = ~ ~ ~ ~ ~ = * ~ = ~ = = = = ~ = = = = = = = ~ = = = = ~ = = = = = ~ = ~ = ~ ~ ~
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
*
*
*
:
*
:
*
I
* I
I
I
I
I *
*
:
*
:
* :
I
1
I
2
I
3
I
4
I
5
15.3570
I
6
I
7
I
8
I
9
I
10
11
I
I
12
I
*
:
- *
I
I
I
I
*I
I
*
:
I
I
----"""-"""""""""""""""""""""""""""~~~
I
I
I
I*
I
I
9.83915
1.67829
-36.2173
10.9892
-0.03635
64.3000
45.4000
26.6000
87.5000
71.3000
82.4000
-29.1223 26.3000
3.88030 61.6000
-7.05745 52.9000
-4.40323 64.7000
-9.79031 64.9000
10.1142 70.5000
13 26.9883 87.2000
14 -1.7529181.2000
15 9.53348 67.9000
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
54.4609
43.7217
62.8173
76.5108
71.3364
67.0430
55.4223
57.7197
59.9575
69.1032
74.6903
60.3858
60.2117
82.9529
58.3665
I
~
Técnicas deSirnulncidn Afaalenráticn
Zonn de
Ilcchnznr 1-10
indecisibn
Evidencia de
autocorrelación
positiva
O
dL=O. 685
&=l. 9 77
Ho : No hay autocorrelacibn positiva.
13; : NO hay autocorrelación negativa.
Aceptar I IO o I I{
o ambas
2
Zona dc
indecisibn
4- d"= 2.023
Ilccllazclr I IO
Evidencia de
autocorrelacibn
positiva
4- dl.=3.315
Como el valor obtenido nocae dentro de este intervalo,sino que sesitúa enla
indecisión no podemos aseverar que no exista autocorrelación positiva.
4
zona de
Interpretando el estadístico T para los coeficientes PI,..., P 4 con ayuda de la prueba que
aparece a un lado (2-Tail Sig), la cual calcula la probabilidad de que el coeficiente sea muy
próximo a cero, y este es para /?4, es así que en una posterior regresión nos podemos justificar
en esta prueba para quitar este cociente de nuestro modelo de regresión.
para
Obteniendo los intervalos de confianza
confiabilidad, estos están dados por
los coeficientes con el 95% de
donde
y cii es el coeficiente de la matriz (X'X)" con X acorde a la estructura matricial del modelo
lineal general: Y=X,O+&,explícitamente:
lamisma queda de 15x4 (15: el tamaño de la muestra, 4: el número de coeficientes). Aclaro
que este procedimiento es para el caso donde el modelo es de regresión lineal simple, pero aquí
estamos tratando una regresión multilineal, el proceso es similar, sólo que cambia la estructura
de la matriz, pues aquí tenemos tres variables independientes. Para obtener los respectivos cii
me auxilie de la corrida de lamisma regresión dentro delprograma NCSS2*, lamisma se
muestra en el anexo, de esta se toman los respectivos valores para i=2,3,4.
28
Number Cruncher Statistical System Version 5.03 9/92. Ver [7].
Tecnicas de Sir?lulacit>n Alatenrtjtica
Considerando el listado, con los valores de los errores estátdar respectivos podemos
calcular respectivamente tambiénlos intervalos de confianza de acuerdo a la fórmulaz9:
p, rfi tl-%
n-(&+I)
es$,)
con
es(),): error estandar de
b,
el error estándar aparece a un lado de la aproximación del coeficiente respectivo en el listado.
En tablas para la t con a=0.05 se tiene: t:b75 = 2.199, así:
Interpretando estos resultados (con una confianza del 95%), tenemos para PZ que en el
largo
plazo
en
95 de cada 100 casos intervalos como (-0.02306687,0.06172771)
contendrán el verdadero p2, pero no podemos decir que existe una probabilidad del 95% de que
este intervalo específico contenga el verdadero valor de p2 porque este intervalo es ahora fijo,
dejando por lo tanto, de ser aleatorio; en consecuencia, p 2 está o no está enel intervalo: la
probabilidad de que el intervalo fijo que se especifique contenga el verdadero valor de pz es,
por tanto, 1 ó O. Análogamente para los demás coeficientes. Podemos analizar los valores de Y
entre el valor calculado y el real en la gráfica 5-1 de la página 3.
Puedo concluir que a partir de los estadísticos de prueba R, T y Drrrbin- Wcrfsm no se
obtuvieron unos coeficientes “buenos” en la regresión, y con respecto al signo, para PI el signo
pegativono tiene unainterpretaciónqueserefleje
enlarealidad,
o a lo más creo que lo
pudiéramos interpretar que cuando es nulo el ingreso familiar promedio, el tamaíio de la familia
y la tasa de desempleo hay pérdida con un porcentaje de 33.2% , , p i la tasa de desempleo es
nula?,buenoaquíno
hay coherencia (para cuando hay valores cero enlas
variables).
Analizando la ecuación resultante de la regresihn se tiene que la contribución más significativa
para el porcentaje a calcular, es el ttrwrt7o n7edio t k la firmilia (contribuye con u n índice de
15.47), y que el irgresofiwzilicrrpro/?wclio no es muy preponderante (pues contribuye con un
índice 0.0 19).
Nota: Consultar anexo 3 para ver la solución del problema con el uso de NCSS.
29
Ver: [5]. Cnp.5.
Tdcnicns de Simulacidn A~aiemática
Uso de Mínimos Cuadrados en Dos Etapas.
Continuandocon los antecedentes al últimotema, se considera el siguientenlodelo de dos
ecuaciones simultáneas:
o + PIM, + P 2 K + u,,
Y, = a , + a,& + a21,+ uzr
R, = P
donde:
R : tasa de interés,
Y : nivel de ingreso,
M : oferta monetaria (variable exógena"),
I : Irn~ersión(variable exógena),
u l , 212 : perturbaciones estocásticas.
Esto representa un modelo tasa de irrterés - Nivel de irlgreso, el cual se trabaja a continuaciim
utilizando los datos de la tabla 4.2, se estiman los coeficientes del modelo usando regresión por
dos etapas. Acorde con los rótulos de la tabla tenemos las siguientes equivalencias:
X=&,
Y=Y, , M=Y2, I=X,
En las siguientes líneas se muestrael desarrollo analítico de la regresión en dos etapas.
Primera etapa: aplicamos la regresión considerando las variablesexógenas.
R, = ir,,+
ir,,^, + fiI2lf
+e,,
if
= i r l O + f I I I M ,+ fi,21,
A
R, = R, +e,,
Segunda etapa, ahora reemplazamos
y así aplicamos la regresión a la ecuación resultante (4.4)
~~
6 predetcnninada del sistema.
(4.3)
Tkcnicas de Sinlulacidn Matemática
N"
Y1
( P W
y2
X1
(ofertn de dtnero)
(gnstos de
x2
(gastos de
x3
(YOtasa de hlterks)
y3
(PNU rrzngado)
Datos macroccon6micos sclcccionados, Estados Unidos, 1970-1984.
Todas las cifras excepto X3 están en millones de dólares y X3 es un porcentaje.
Fttente: Economic Renort of the President. 1986.
Tabla 4.2
La regresión la aplicamos en base a TSP bajo la siguiente línea de comando3':
TSLS Y1 C X3 @ Y2 C X1
el comando TSLS ordena a TSP hacer la regresión en dos etapas.
El listado resultante se muestra a continuación:
ITSLS / / Dependent Variable is Y1
Date: 10-16-1996 / Time: 23:24
SMPL range:
1 16
Number of observations: 16
Instrument list: C Y2 X1
VARIABLE
COEFFICIENT
STD. ERROR
C
' -2023.1821
941.08518
x3
480.09363
102.700'13
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Durbin-Watson stat
Log likelihood
0.382266
0.338142
799.3885
Sum
0.895504
-128.5763
T-STAT.
-2.1498396
4.6746859
2-TAIL SIG.
0.050
o. O00
Mean of dependent var
2275.756
S . D . of dependent var
982.5971
of squared resid
8946307.
F-statistic
8.663470
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coefficient Covariance Matrix
885641.3
c,c
x3,x3
10547.44
C,X 3
-94445.73
66
í'ecnicas de Simulncidn hlatenlática
Residual P l o t
I
I
. *
I
I
I
1
*
,
,
I
.
I
* I
t
f
I
I
I
I
,
.
$
*
9
f
I
I
I
I
I
I
f
obs R E S 1 DUAL
+
* .
+I
*
I
I *
*
1
1
f
* .
1
f
1
1
f
f
f
* *.
.
I
I
I
I *
I*
I
ACTUAL
1
.
.
*
1
f
f
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
FITTED
-461.200
413.353
489.847
45.8315
-258.350
25.6810
555.748
801.856
292.906
-130.327
-789.899
-1856.77
-1013.63
407.804
89.5686
1387.58
1015.50
1102.70
1212.80
1359.30
1472.80
1598.40
1782.80
1990.50
2249.70
2508.20
2732.00
3052.60
3166.00
3401.60
3774.70
3992.50
1476.70
689.347
722.953
1313.47
1731.15
1572.72
1227.05
1188.64
1956.79
2638.53
3521.90
4909.37
4179.63
2993.80
3685.13
2604.92
La gráfica de los residuos resultantes es:
RESIDUAL -ACI'UAL
-FITTED1
Es de verse a partirdelcoeficiente de regresión ( 0.3822) que lamisma no es muy
buena, agregado a que la misma gráfica de los residuos muestra como es que estos se disparan,
i.e. que la aproximaciónobtenida no satisfacefavorablemente, los residuos como podemos
apreciar estan dentro de labanda de -2000 a 1400 aproximadamente; ¿por qué?, bueno,
consideremos que el fenómenoconsiste de másvariables
de entorno, no sólo lasaqui
contempladas, por un lado, por otro, el tamaño de la muestra que estamos considerando es muy
pequeño en relación a la magnitud de lo que pretendemos alcanzar. Consideremos que también
el obtener más datos paralamuestramuchasveces,
si no es que casisiempre,resulta
demasiado constoso en tiempo y dinero.
Este ejercicio es un ensayo para la siguiente actividad, en la cual ya contemplaremos un
mayor número de variables y por ende la regresión en dos etapas será más detallada.
67
Técnicas de Sinrulación Matematicn
Proyecto sobre las operaciones financieras3*
mediante un modelo de dos ecuacionesen
diferencias lineales y estocásticas.
Continuando, ahora se examinan los datos de la cartera del Banco WellsFargo, se trabaja la
estimación por mínimos cuadrados en dos etapas y l a solución de modelos simultáneos.
Se tienen los datos anualesdelbancocomenzandoen
1963 y terminando en 1983.
También se tienen algunos datos económicos de California para ese periodo. Las series que se
usan son:
SEW
LOAN
RSECU
RLOAN
SALES
RCPGM
CONTR
TREND
Valorcs dc scguridad dcl banco, en milloncs dc dólarcs.
Los valores de prkstamos.
Porcentaje obtcnido por el banco sobrc valores.
Porccnhjc obtcnido sobrc prdslamos.
Mínimo dc vcntas en California, cn ntillollcs dc d6larcs.
Tasa de intcrés sobre títulos (papeles comerciales) a 6 meses (%).
Valor de contratos de construcción en California, en millones de dólares.
Tiempo de tendcncia, comenzando con 1 en 1963.
Tubla 4.3
El archivo creado paratrabajar los datos en TSP es “A”, lasbasesyageneradas
se
hallanenarchivos de texto (conextensión *.db). A partir de los datos de lasseriesarriba
expuestas, mismas que aparecen en la Tabla 4.3, se generan las nuevas variables:
32
Manejo de una “cartera” de prestamos y acciones.
68
Tgcnicas de Sinrulncicin hintenrálico
PORT = LOAN + SECU
SPREAD = RLOAN + RCPGM
LOARAT = LOAN / PORT
LOASAL = LOAN/SALES
CONSAL = CONTR/SALES
TatnaiIo total de la cartera del banco.
Extensión del porcentaje entre el inter& obtenido sobre préstamos
y los títulos conlcrcialcs a 6 nicscs.
Proporción dc la cartera en prkstamos.
Radio de los préstamos del banco para ventas en el estado.
Radio de construcción para ventas minilnas.
Lo que se pretende alcanzar es entender la determinación de la tasa que el banco gana sobre sus
préstamos y la proporción de su cartera que asigna para los mismos (los préstamos). Así
tenemos en consideración estas dos variables, para las cuales hay que tomar la relación entre las
mismas a partir de lo siguiente:
1. Lo más que el banco gana sobre los préstamos en relación a los valores, lo más de su cartera
que se gustara asignar para prestamos. La oferta de préstamos, en otras palabras, depende
positivamente de la tasa de interés de los préstamos.
2. A fin de tener más clientes que soliciten más prestado, el banco tendrá que hacer que la tasa
de interés de los mismos sea más atractiva en relación a tasas alternativas, tales como las
La
demanda
de préstamos
depende
tasas de interés para los títulos de inversión.
negativamente de la tasa de interés de los mismos.
Nuestro objetivo es ordenar ambas consideraciones y esto es lo que hace el método de
ntininlos cuadrados en dos erapas. Una involucra una relación positiva entre los préstamos y la
tasa de interés de los mismos, y la otra involucra una relación negativa. De esto rápidamente
vemos que no podemos hacer regresión sobre la tasa de interés de préstamos en alguna medida
sobre el volumen de los préstamos.Yasea que el coeficiente de regresiónseapositivo
o
negativo, esto nonosdiráseparadamente
el coeficientepositivo de la oferta o bienel
coeficiente negativo.
A menosquesepamosalgomás
acerca delproblema,nohaymanera
de separar el
comportamiento de oferta y de la demanda. Pero setieneunainformaciónadicional.
Específicamente sabemos que el mercado de la demanda de oferta está hertemente influenciado
por la actividad de la construcción. Los constructores, desarrolladores y propietarios de casasIlabitación típicamente no tienen acceso al mercado de títulos de inversión. Cuando la actividad
de la construcción es fuerte, se esperaría que la tasa de interés sobre préstamos fuera alta en
relación a otras tasas. Por otro lado, no hay razón obvia para el porqué el banco cambiase su
cartera tan solo porque pase algo en el mercado de la construcción. Por supuesto que cuando la
tasa de interés sobre préstamos se alza en relación a otras tasas, el banco cambiase su cartera en
relación a préstamos,pero
esto es asíenconsecuencia
a la tasa de interés, no como
consecuencia directa del boom dela construcción.
Nuestra experiencia respecto de la demandadelmercado
de prestamosnosdauna
referencia respecto a la oferta. Cuando el mercado de los préstamos se robustece por el boom
de la construcción, esperamos ver una más alta tasa de interés y esperamos que el banco cambie
su cartera hacia los préstamos. Más aún el monto del cambio revela la magnitud de la respuesta
de la oferta de la cual nosotros estamos interesados. Si aislásemos los cambios enla tasa del
Tkcnicas de Sinlulación Maatenrcitica
préstamo que son causadas por las altas y bajas de la industria de la construccih, y entonces
hacemosregresión
de lavariable
de préstamo sobre la versión de la tasa deinterés,
esperaríanlos encontrar un coeficiente que mida la respuesta de la oferta.
El método de mínimos cuadrados en dos etapas toma
una
variable
como la
coratmcción, consideradaexógena al mercado de préstamos, y lausapara
encontrar la
componente de otra variable, la tasa de interés del préstamo en este caso, esto es atribuible a la
variable exógena. Este proceso es la primera etapa de la regresión. Entonces se corre una
segunda regresión de la variable de interés, la proporción de la cartera del banco que asignará
para préstamos en este caso, sobre la componente aislada de la primera etapa.
Recordemos que el banco desea hacer préstamos sin que dependa mucho sobre el nivel
absoluto de la tasa de interés de préstamo como sobre la relación de la tasa de préstamo a la
tasa de interés sobre valores. Es así que se incluye la tasa de interés sobre valores con la tasa de
préstamo enla ecuación. Se considera la tasa sobre valores como una variable exógena y la
usamos como una instrumental. Además el banco no se puede mover muy rápidamente cuando
los cambios en las tasas sugieren un movimientohacia dentro o íüera de los préstamos.
Algunos préstamos son conciliados este año del año pasado. Se puede considerar a cuenta esta
consideración incluyendo la proporción del último año de préstamos enla cartera como una
variableenlaecuación
y como unainstrumental. Así tambiénexisten otros factores en
comparación alnivel de actividaddelaconstrucciónquesoninfluenciasexógenas
sobre el
mercado de préstamos. Lasúnicasvariablesqueincluimos
como instrumentalesson PORT,
tamaíío total de la cartera del banco, SALES, mínimo de ventas en California, y TREND, el
periodo.
Dados los valores de latabla 4.2, consideramos la muestra de 1964 a 1983. La
regresión en dos etapas que se aplica en TSP es:
TSLS LOARAT C RLOAN RSECU
LOARAT(-1) @ C RSECU LOARAT(-1)
LOASAL(-I) CONSALPORT SALES TREND
de aquí se desprende el modelo:
LOARAT = a. + al RLOAN + a2 RSECU + a3 LOARAT(-1)
LOARAT = bo + b l RSECU + b2 LOARAT(-1) + b3 LOASAL(-I)
+ b4 CONSAL + bg PORT + bs SALES + b7 TREND.
70
Técnicas de Sirwlación Matentálica
Z1 listado de resultados aquí se muestra:
PSLS / / D e p e n d e n tV a r i a b l e
i s LOARAT
Date: 1 0 - 0 3 - 1 9 9 6 / Time: 2 0 : 4 0
SMPL r a n g e : 1964 - 1 9 8 3
Number of o b s e r v a t i o n s : 2 0
I n s t r u m e n t l i s t : C RSECU LOARAT(-l) LOASAL(-l) COPJSAL PORT SALES TREND
VARIABLE
COEFFICIENT
STD.
ERROR
T-STAT.
2-TAIL
SIC.
C
RLOAN
RSECU
LOARAT(-l)
0.2463987
0.0278675
-0.0273581
0.6360296
R-squared
Adjusted
R-squared
S.E. of r e g r e s s i o n
Durbin-Watson s t a t
Log l i k e l i h n n d
0.1029943
O . 0086550
0.0110880
O . 1667083
0.916910
0.901331
0.023326
1.961604
49.01621
2.3923534
3.2198186
-2.4673574
3.8152246
Mean of d e pveanrd e n t
S.D. of d e p e n dveanrt
Sum of s q u a r e sdi d
F-statistic
0.029
O . 005
O . 025
o.
002
0.782730
0.074260
0.008706
58.85402
La ecuación con coeficientes numéricos resultante es:
LOARAT = 0.2463 + 0.0278 * RLOAN - 0.0273 * RSECU
+ 0.6360 * LOARAT(-1)
Notemos que el coeficiente de la tasa de interés es positivo, como se esperaba,
mientras que prácticamente en la misma magnitud lo es, pero negativo, el de la tasa de interés
de los valores. Sólo la diferencia entre las dos tasas de interés actualmente importa para la
decisión que tome el banco respecto a la asignación de su cartera. Para cada punto porcentual
para el que la tasa de interés de préstamo se elevehaciala
tasa de valores, el banco
intercambiará cerca de 2.7% de su cartera para préstamos. Esta ecuación se salva en disco para
incorporarle adelante en un modelo más completo con el nombre de “SUPPLY”.
Ahora veamos el caso de la demanda del mercado de préstamos. Nuevamente queremos
encontrar influencias de otras fkentes que causen el declive de la tasa de interés de préstamo tal
que sea necesario obtener más clientes que pidan préstamos adicionales. Un factor obvio es el
tamaño de la cartera del banco. Cuando el banco cuenta con más dinero en cuenta, se tendrá
una ligera baja en sus tasas de interés (de préstamos) a fin de que los clientes adquieran más
préstamos. Si pudiésemos aislar una componente del volumen de prestamos que esta asociado
con el tamaíio de la cartera, podremos Ilaccr rcgresi6n de la tasa de interés de p r é s ~ a n ~ osobre
s
esa cornpoaente a fin de encontrar que tallto la tasatiende a declinarpara adaptar mis
prestamos.
Es conveniente en este caso asumir que importante es la diferencia entre la tasa de
préstamo y otras mayores, la tasa de títulos comerciales. La diferencia es la serie SPREAD. Las
variables a considerar en la siguiente ecuación son LOASAL, el retraso del valor de LOASAL,
CONSAL y TREND. Las variablesinstrumentales son LOASAL(-]), CONSAL y TREND,
además RSECU, SALES y PORT.
Nuestra regresión queda en TSP como:
71
Técnicas de Sinlulaciór? Matemática
TSLS SPREAD C TREND LOASAL LOASAL(-I) CONSAL
@ RSECU
LOARAT(-I) LOASAL(-I) CONSAL PORT SALES TREND
los resultados son:
TSLS / / Dependent Variable is SPREAD
Date: 10-03-1996 / Time: 23:46
- 1983
SMPLrange:1964
Number of observations: 20
Instrument list: C RSECU LOARAT(-l) LOASAL(-1) CONSAL PORTSALES TREND
VARIABLE
C
TREND
LOASAL
LOASAL(-1)
CONSAL
COEFFICIENT
-4.2774769
0.1052452
-112.24961
103.59053
20.451396
R-squared
0.736807
Mean
Adjusted
R-squared
0.666622
S.E. of regression
0.581478
Sum
F-statistic
2.252218
10.49811
Durbin-Watson
stat
likelihood
-14.65832
Log
STD. ERROR
3.8759064
0.0587144
24.107582
31.657386
6.9567454
T-STAT.
2 - T A I LS I G .
O . 287
O . 093
o . O00
O . 005
-1.1036069
1.7924946
-4.6561953
3.2722387
2.9397
937
o . 010
of dependent
1.664186
var
S.D. of dependent
var
1.007083
of squared
resid
5.071757
La ecuación resultante es:
SPREAD = -4.2774 + 0.1052 *TREND - 112.2496 * LOASAL
+ 103.59 * LOASAL(-I) + 20.4513 * CONSAL
Como se esperaba, la tasa de interés de préstamos cae cuando el banco pone fondos
extras para préstamos. El coeficiente -112 significa que cuando el banco alcanza sus préstamos
totales del 10% de ventas a1 1% sus tasas de préstamosdeclinan en l . 12porcentual en
relación a los títulos comerciales. Veamos que el radio de ventas de construcción, CONSAL,
tiene un importante efecto positivo sobre las tasas de interés de prestamos, tal como la teoría lo
había sugerido. Sila construcciónseeleva de 30% de ventas a 31%, la tasa de interés de
préstamo se elevaenbase de 20 puntos (0.2 puntos porcentuales). La ecuación se salva
en
disco con el nombre de “DEMAND”.
En resumen hasta aquí tenemos que la primera ecuación nos dice como el banco toma
sus decisiones sobre su cartera basado sobre las tasas de interés de los prestamos y los valores,
la segunda ecuación nos dice como los clientes del banco se les necesita ofrecer una tasa más
baja en orden de quc ellos pidan mhs prestado.
Ahorasenecesitaresolverlasecuacionesconjuntamente
en orden de encontrar que
nivel de préstamos y tasas de interés de prestamos prevalecerán bajo condicionesdadas.
En TSP ensamblamosen un archivomodelopararesolver
el modelo planteado. El
archivo contiene las ecuaciones del modelo y toda la información necesaria para resolverlo (los
valores de lasvariables,ecuaciones,
etc.) . Tres tipos de sentenciasaparecen enel mismo.
Primero ASSIGN que agrega conveniencia al proceso de la solución, pero no es esencial; con
esta sentencia se colocan los valores resueltos para una serie dentro de una serie con diferente
nombre, de esta manera no revolvemos con los anteriores valores originales. Los ASSIGN se
designan generalmente poniendouna “P” como prefijo a los nombre originales de las series.
72
Técnicas de Sirrlulaciórt Adatenrritica
El segundo tipo de sentencia es la identidad. No todo modelo tendrá identidades, pero
generalmenteseagregan a la convenienciadel proceso. En nuestro caso lasidentidadesson
importantes. Estas nos informan el proceso de solución que la variable LOAN es el producto de
las variables LOARAT y PORT, y que la variable LOASAL es el radio de LOAN para SALES.
Estas tambiénnosdicenque
RLOAN puede ser calculada como lasuma de SPREAD y
RCP6M.
El tercer tipo de sentencia es l a ecuación estimada. Estas se colocan dentro del archivo
de las ecuaciones que se almacenaron en las pasadas
corridas (las salvadas bajo el comando
STOREQ.
El archivo a editar queda como:
ASSIGN LOARAT PLORAT LOAN PLOAN SPREAD PSPRED
ASSIGN RLOAN PRLOAN LOASAL PLOASA
LOAN=LOARAT*PORT
RLOAN=SPREAD+RCPGM
LOASAL=LOAN/SALES
LOARAT= 0.2463987 +0.0278675*RLOAN -0.0273581 *RSECU +0.6360296*
LOARAT(-1)
SPREAD = -4.2774769 +O. 1052452TREND -1 12.24961 *LOASAL
+ I 03.59053*LOASAL(-I) +20.451396*CONSAL
elmismo se edita en TSP con el comando EDlT LOAN, setranscribe como tal, pero al
momento de escribir las ecuaciones de LOART y SPREAD, dado que ya están salvadas enel
disco entonces laspodemosmandar a llamarconel
comando " .F '' y despuésescribir el
respectivo nombre con el cual se grabaron (.F SUPPLY, .F DEMAND). Se sale del editor con
el comando " .X , Así nuestro archivo modelo queda salvado bajoel nombre de LOAN.
"
Como primer tarea se creará una solución base. Para esta solución se usarán los actuales
datos históricos para las variables exógenas. Los valores resueltos para las variables endógenas
(LOAN y RLOAN, y lasvariablesderivadas de ellas)sinembargo,noseránexactamente
igualcs a los valores históricos. N o hay modelo que fije los datos precisamente. Las diferencias
entre los valores resueltos y los actuales de las variables endógenas son llamadas los residuos
estructurales.
Esta simulación sólo tomará la ultima parte de los valores de la muestra, de 1976 a
1983. Esto se hace en TSP de la siguiente manera:
SMPL 76 83
SOLVE LOAN
a continuación se crean la siguiente serie adicional:
73
Técnicas de Sirttulnción Matemática
GENR PSECU = PORT - PLOAN
y entonces creamos una tabla para comparar las soluciones base (con los nombres iniciando con
"P") a los datos históricos:
SHOW LOAN PLOAN SECU PSECU RLOAN PRLOAN
obteniéndose la siguiente tabla:
- - - - - "_
"""_
"
obs
LOAN
---
"_
---
"
.
. - -. - -
"
PLOAN
PSECU
"
SECU
- - -- -- - --- ----
- -.----
"
"
PRLOAN
- - - .. .. - . ..- -
"
-
"
RLOAN
.........................................
1976
1977
1978
1979
1 3 3 1 01. 90 80 0
1 4 5 3 51. 0
90
81
1982
1983
5 85 491 5081 .9780.20.8025.7.0804. 60786 015 43 1 4
6 760929511.59098.7051.8.0
8070.7.7
40841029535482 2
8779.000
8863.005
11374.00
11547.64
13342.26
15172.00
1 51 351 81213501.12310.3.30805..801910297 032 30 2
1 61 151470192541.79810.0.2
009..407030656082 51 1
2018.000
1986.000
1781.000
1757.000
------"""""""""""""""""""""""""""""""""""~"""
"
"
1933.995
1812.360
1748.740
1120.000
10.06967
11.58872
12.88082
14.87114
10.19654
11.94053
12.57904
14.91955
~
Excepto paraalgunosmovimientosdevalores
en 1981 y 1983, el modelohace u n
trabajo razonable de registro en historial en esta solución base, veamos que es aquí donde hay
mayores residuos.
A continuaciónsepide
al modelo que simule el mercado de préstamosse
la
construcción ha sido 10% más alta de 1976 a 1983. Temporalmentesecambia
la serie
CONSAL:
GENR CONSAL = l.l*CONSAL
Volvemos a usar EDIT para editar un archivo modelo idéntico que LOAN, excepto que
la sentencia ASSIGN llevará "S" en lugar de "P" al inicio de los nombres de las series. De esta
manera podemos comparar las simulaciones de l a solución base. El nuevo modelo se guarda en
un archivo llamado S I M L N . Se resuelve indicando en la línea de comando de forma igual:
SOLVE SIMLN
y también generamos la nueva serie:
GENR SSECU = PORT - SLOAN
74
Tdcnicas de Simulacibn Afatenrdtictl
obteniéndose la siguiente tabla:
~~~~~~~~~
~~
~
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PLOAN
obs
PSECU
SLOW
SSECU
PRLOAN
SR LOAN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5909.286
6955.177
8863.005
11547.64
13342.26
15172.00
15451.88
15727.24
5909.286
6955.177
8863.005
11547.64
13342.26
15172.00
15451.88
15727.24
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
8.465414
8.415422
10.19654
11.94053
12.57984
14.91955
13.17282
12.36244
8.465414
8.415422
10.19654
11.94053
12.57984
14.91955
13.17282
12.36244
1807.714
1950.823
1933.995
1812.360
1748.740
1119.999
1133.120
1480.760
1807.714
1950.823
1933.995
1812.360
1748.740
1120.000
1133.120
1480.760
.......................................
Recordemos,que la íüerte construcción significa más demanda de préstamo. Ambos, el
volumen de préstamos y la tasa de interés sobre préstamos son más altas en la simulación que
en la solución base.
Antes de continuar con otras simulaciones, restauremos el valor de la variable CONSAL
a sus valores originales conel comando:
GENR CONSAL = CONSAUI .I
Nuestra siguientesimulaciónbusca
el impactodelcambio
de oferta enel
mercado de
préstamos. Ahora nos interesa como se verían las cosas si la cartera del banco íüera 10% más
klta, esto se hace en la línea de comando como:
GENR PORT = PORT * 1.I
Una vez más resolvemos la versión del archivo
SlMLN, pero ahora cambiamos a las
variables en lugar de una "S" alinicio de los nombre le ponemos una
"Q", y lellamamosal
archivo SIMLN2. Análogamente pedimos resolver el nuevo modelo y generamos la nueva serie
QSECU.
Obteni6ndose la siguiente tabla:
~
~
obs
"_"""""""""
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
~
~
P
P
P
PLOAN
*
~
~
~
~
~
~
3
~
PSECU
6242.584
7292.281
9273.850
12064.43
13949.71
15915.71
16239.58
16534.23
1 8 0 7 . 114
1950.823
1933.995
1812.360
1748.740
1120.000
1133.120
1480.760
-
5909.286
6955.177
8863.005
11547.64
13342.26
15172.00
15451.88
15727.24
1
QLOAN
~
3
~
~
~
~
~
~
~
QSECU
FRLOAN
2246.116
2504.319
2602.851
2631.570
2650.390
2005.489
2003.920
2394.570
8.465414
8.415422
10.19654
11.94053
12.57984
14.91955
13.17282
12.36244
~
~ " -
~
~
~
~
~
~
~
~
~
Ql<l.OAlr
~
.
~
~
..
7.373594
7.800468
9.591562
11.29753
12.00061
14.37209
12.66713
11.85525
Como vemos una más alta oferta hace que el volumen de préstamos elevarse (comparar
QLOAN con PLOAN) pero provoca una caídaen la tasa de interés de préstamo.
75
~
-
~
.
-
~
Técnicas de Sirnulaciórl Malenralicn
Esta última simulación supuso que la tasa sobre valores y títulos comerciales había sido
en base 50 puntos más alta
GENR RSECU = RSECU + 0.50
GENR RCPGM = RCPGM + 0.50
los resultados son:
.......................................
obs
QLOAN
PLOAN
QSECU
PSECU
PRLOAN
QRL0AI.J
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
"
"
"
5691202848192072.9.44
7.2.73
656
.867.856113414515944
6791252998
155572.9004.17482.1778.08573201413129628
1978
1 97 9
1980
1981
1982
1 5 7 2 71.92843
""-
"
"
"
8 89 6213792.3510.3090.2.5915.090955115 46 7
1 1 125201151571324. 1
6.1. 934.. 245639070'50135 3
1 31 31 4972 2461.985212.0.2575. 14370 090 08 46 1
15172.00
15915.71
15451.88
16239.58
16534.23
1120.000
1133.120
1480.760
~
.
-
2005.489
2003.920
2394.570
.
""
14.91955
13.17282
12.35244
14.37209
12.66713
11.85525
~._ .
~
~
Técnicas de Sintulación A4atemáfica
Anexo l.
Hasta aquí se ha explicado el proceso de la simulación para este problema, pero nuestro trabajo
no para aquí, cuando se hace una simulación lo que se persigue es poder predecir en base a
varios casos de la misma, i.e. para los casos extremos e intermedios hablando de número de
descomposturas y en total del monto promedio de estas durante el tiempo trabajado enel
proceso, para este caso se trabajó para 10 días.
Basándomeenlo anterior se ha procedido a realizar otras simulacionesdel proceso
obteniéndose los resultados condensados en la tabla que aparece al final de la sección presente.
A continuación se muestra en resumen lo obtenido:
I
Descomposturas
O
2
3
5
I Costo Promedio (N$)I
O
11,385
9.270
10.452 I
Como puede verse en el ejemplo muestra del capítulo sucedió el caso extrenlo en que
ocurrieron cinco descomposturas, mientras que en otras corridas se tuvieron cero, dos y tres;
pero el caso extremo en costo promedio se obtuvo para el caso de dos descomposturas. Así
entonces podemos hacer la recomendación - tomando la cota máxima de costo - al encargado
de dicha área de que cuente con la cantidad de N$ 11400 para poder hacer frente a esta
situaci6n en el caso extremo.
77
Anexo 2.
Algoritmo para el cálculo de tablas de valores de la función
de distribución de la variable aleatoria normal estándar.
El algoritmo permite calcularla fhción de distribución a partir de la hnción de densidad, tal
como muestran las ecuaciones:
@(E)
=
j‘ #(E)JE
= 0.5 + r # ( ~ ) d ~ ,
-m
O
P = 1- @ ( E ) .
Para la aproximación numérica de las integrales se usa el método de Simpson con una partición
de N=80 para asegurar una buena aproximación.
Dada la simetría de la distribución normal respecto al origen, sólo se considera la mitad
de la misma, los cálculos se realizan en tres pasos fundamentales:
l . Los valores de q$ son calculados de acuerdo a los correspondientes q =jh para
j=O,1,2,... ,H.
2. Los valores son
obtenidos en los puntos alternosj=O, 2, 4, ...,II donde u es par,
por repetidas iteraciones de la regla de Simpson
3. El valor de cP correspondiente a I), ¡.e. para @=l-Z’ se encuentra por interpelación
lineal para E entre dos consecutivos valores de 0.
El diagrama de flujo para el algoritmo se presenta a continuación.
78
Tdcnicm de Simulncidn hlatemdticn
..................................................................
v
' PI.PAh,...S,
n, q.
j=O, 1,
+ El t j h
...,n
...................................................................................................
+I
.
I
h
+4mj-,+@,I
<Dl
j=2,4, ..,n
1
2
<Do t -
..............................................................
v
t
j=O. 2,..., n
'Yk
m, ' Y &
A
.....................................................................
\
El programa elaborado en lenguaje Turbo Pascal es el siguiente:
I
lprogram dist-normal;
(programa para el c a l c u l o d e l a funcion de Distribucion del a
variable aleatoria Normal)
uses crt, printer;
type VECTORl-array[O..lOO]
VECTORZ=array[l..20]
var
of real;
of real;
N, k , NPROBS, j
sigma, mu, DXI, R
CAPPHI, PHI, XI
PROB, X, Y
resp
m,
: integer;
: real;
: VECTOR1;
: VECTORZ;
:char;
BEGIN 1 PRINCIPAL)
clrscr;
sigma : =1;
(varianza , media)
mu:-O;
R:=l/(sigma+sqrt(2+pi));
N:-80;
(particien
Simpson's
para rule)
79
Tkcnicns de Sintulocidn Motentdtico
DXI:=0.05;
[tamaoo
del
paso
"h"1
[a continuacicn se piden los datos de entradal
PROGRAMA PARA EL CALCULO DE LA EWNCION DE DISTRIBUCION');
VARIABLA
UNA
DE ALEATORIA
NORMAL');
writeln( '
writeln( '
writeln;
writeln ( '
Se considera para la
aproximacien num,rica');
writeln ( '
un Tamaoo de paso h-0.05 y una particien de n-80');
write1n;writeln;
writeln('1ngrese los datos siguientes: ' ) ;
write('Tamaoo de la muestra: '1;
readln(NPROBS1;
FOR k:-1 to NPROBS DO
begin
write('Muestra ',k,' : '1;
readln(PROB(k1);
end;
FOR j:=O to N DO
begin
XI[j] :=j*DXI;
PHI[j]:=R*exp(-sqr( XIIj1-mu )/(2*sqr(sigma)));
end ;
CAPPHI[Ol:-0.5;
FOR j:-1 to 40 DO [Termina hasta la mitad de la particicn N-801
begin
C A P P H I [ 2 r j ] : = C A P P H I [ 2 * j - 2 1 + D X I * ( P H I [ 2 * j - 2 ] t 4 * F H I [ ~ * ~ - l ~ t P H )/3;
~[~*j~
end;
FOR k:-1 to NPROBS DO
begin
Y[kJ:~l-PROB[k];
rn:=O;
while (rn<=40) DO
[del while)
begin
j :=2+rn;
IF CAPPHI(j1 > Y[kl
THEN
begin
X[k]:=XI[j-Z]t2~DXI+(Y[k]-CAPPHI(J-2])/(CAPFHI[j~-CAPPHI[j-2l~;
m:=41;
end
ELSE
BEGIN
rn:=mtl;
END;
end;
end;
writeln('A continuacicn se mostraran los resultados.');
I
[a continuacicn se listan los resultados1
writeln('V.N.E.
FunciCn
de
FunciCn de ' 1 ;
writeln(' (Xi)
densidad
distribuciCn');
FOR j:-O to 40 DO
begin
writeln(XI[2+jl:l:3,'
',PHI(2*jI:l:5,'
',CAPPHI[Z+JI:1:5);
i f (j=15) or (j-30) then
begin
writeln('pu1se una tecla para continuar...');
resp:=readkey; resp:=readkey;
end;
end;
writeln;
writeln ( ' PROB
XI');
FOR k:=l to NPROBS DO
begin
',X[kJ:1:4);
writeln(PROB[kj : 1 : 4 , '
end;
END. { PRINCIPAL]
I
Como ejemplo se corrió el programa con seis valores de probabilidad: 0.2, O. 1, 0.05,
0.02, 0.01, 0.005, 0.002, 0.001; obteniendose la siguiente corrida:
80
Tdcnicas de Simulacidn h~atembtica
'ROGRAMA PARA EL CALCULO DE LA FUNCION DE DlSTRlBUClON
DE UNA VARIABLAALEATORIA NORMAL
Se considera para la aproximaci6n nurnbrica
un TamaAo de pasoh=0.05 y una partici6n den=80
Ingrese los datos siguientes:
TqmaAo de la muestra: 8
Muestra 1 : 0.2
Muestra 2 : 0.1
Muestra 3 : 0.05
Muestra 4 : 0.02
Muestra 5 : 0.01
Muestra 6 : 0.005
Muestra 7 : 0.002
Muestra 8 : 0.001
A continuaci6n se mostraranlos resultados.
2
3
0.0010
V.N.E. Funcl6n de
(XI)
densidad
0.OOO
0.39894
2.700
0.39695
0.100
2.800
2.900
0.200
0.391O4
0.38139
0.300
791
0.400 0.36827
3.100
0.500
0.35207
0.33322
0.600
3.300
0.700
0.31
225
3.400
0.28969
0.800
0.900
0.26609
3.600
1.o00
0.24197
0.21785
1.100
1.2000.1941
9
3.900
0.17137
1.300
4.000
1.W
0.14973
1.500
0.1
2952
1.S00
0.11092
0.1
.
1.700
0.09405
0.07895
1.800
1.900
0.06562
28
0.05399
2.000
0.04398
2.100
0.03547
2.200
0.02833
2.300
0.02239
2.$00
Funcidn de
distrlbucl6n
0.5oooO
0.53983
0.57926
0.61
0.65542
0.69146
0.72575
0.75804
0.78814
0.81594
0.84134
0.86433
0.88493
0.90320
0.91924
0.93319
0.94520
0.95543
0.96407
0.971
0.97725
0.98214
0.98610
0.98928
0.99180
0.99379
0.01753
2.500
0.99534 2.600
0.01358
0.99653
3.000
0.00595 0.99813
0.00443 0.99865
3.200
0.00238
0,99977
3.500
0.00087
0.99989
0.99993
3.700
3.800
0.00042
0.00029
O.OOO20
PROB
0.99931
0.99995
XI
0.2OoO 0.8427
1.2825
000
0.05oO 1.6469
2.0563
2.3287
O.OO50 2.5781
0.0020 2.8805
0.0200
0.0100
81
Tkcnicas de Sirttulacih Matem6tica
Anexo 3.
Tambitn se implement6 el programa NCSS para comparar la aproximaci6n y obtener los intervalos de
confianza para los padmetros, el listado generado p o r el mismo se presenta a continuacibn,los valores se
resumen al final:
I "_""--""""_"-"~"-"'.
I
Multiple Regression------------------------------
Date/Time
09-17-1996
00:05:32
Data Base Name C:\MATE\NCSS\SEMIZ-S
Description
Data base created at 23:44:48 on 09-16-1996
Descriptive Statistics
Co 1 umn
Mean
1732.467
3.828667
5.046667
63.64667
x2
x3
x4
Y
Standard Deviation
259.8183
.5241301
2.604081
19.14258
Correlations
x2
0.1327
x2
1.0000
X3
x4
Y-
-0,1489
O . 3022
x3
0.1327
1.0000
-0.072J
0.4506
x4
-0.1489
-0.0727
l. O000
0.0403
Y
O. 3022
0.4506
0.0403
1.0000
Multiple Regression Report
Dependent Variable: Y
Independent
Parameter Stndized Standard t-value
Variable
Estimate Estimate Error
(b=O)
Intercept
-33.19785
0 . 0 0 0 0 48.7501
-0.68
x2
.1933E-01
0.2624 .1928E-01
1.00
x3
15.47965
0.4238 9.475592
1.63
x4
.E10197
O. 1102 1.911621
0.42
Prob.
Seq.
Level
R-Sqr
0.5100
0.3376 0.0913
0.1306 0.2629
0.6799 0.2747
Simple
R-Sqr
0.0913
0.2031
0.0016
Analysis of Variance Report
Dependent Variable: Y
Source
Constant
Mode 1
Error
Total
df
1
3
11
14
Sums of Squares
(Sequential)
60763.47
1409.381
3720.756
5130.137
Mean Square
F-Ratio
60763.47
469.7938
338.2506
366.4
304
1.39
Root Mean
Square
Error
Mean of Dependent Variable
Coefficient of Variation
18.39159
63.64667
.2889639
R Squared
Adjusted R Squared
0.2747
0.0769
Prob.Level
0.298
82
Tkcnicas de Sinrulacibn Aídenrálicn
Individual Regressor Report
Dependent Variable:
Independent Variable:
Y
X2
1.933042202472733D-02
Parameter Estimate
6.172771E-02
(t =
-2.306687E-02
95% Conf. Int. for b
Std. Parameter Estimate .2623678
Standard Error
1.927932E-02 Variance of Parameter
Prob. Level
T for Parameter = O
1.002651
2.199)
3.716922E-04
0.3376
Simple Correlation
Partial Correlation
O . 3022
0.2894
Simple R Squared
Partial R Squared
Sequential R Squared
Overall U Squared
0.0913
O . 0837
0.0913
0.2747
Sequential Sum Squares
Last Squares
Sum
468.4688
340.0461
Model Sum of Squares
Total Sum of Squares
1409.381
5130.137
Mean
Standard Deviation
Diagonal of
Inverse
1732.467
259.8183
1.098867E-06
R Squared with other
Variance Inflation
Tolerance
Xs 0.0371
1.038514
O . 9629
Individual Regressor Report
Dependent Variable:
Independent Variable:
Y
X3
Parameter Estimate
15.47964801857494
95% Conf. Int. for b
-5.358191
36.31749
(t *
2.199)
Std. Parameter Estimate .4238378
Standard Error
9.475592
Variance of Parameter
89.78684
T for Parameter = O
1.633634
Prob.
Level
O . 1306
Simple Correlation
Partial Correlation
0.4506
0.4419
Simple R Squared
Partial R Squared
Sequential R Squared
Overall R Squared
O . 2031
0.1952
0.2629
0.2747
Sequential Sum Squares
Last Sum Squares
880.1528
902.7095
Model Sum of Squares
Total Sun of Squares
1409.381
5130.137
Mean
Standard Deviation
Diagonal of Inverse
3.828667
.5241301
.2654448
R Squared with other Xs 0.0205
Variance Inflation
1.020893
Tolerance
O . 9795
Individual Regressor Report
Dependent Variable:
Independent Variable:
Y
x4
-
Parameter Estimate
.8101969718550184
Conf. lnt. for b
-3.393663
5.014057
(1
2.199)
Std. Parameter Estimate .110216
Standard Error
1.911621
Variance of Parameter
3.654297
T for Parameter = O
.4238271
Prob. Level
0.6799
q!)H
Simple Correlation
Partial Correlation
0.0403
0.1268
Simple R Squared
Partial R Squared
Sequential R Squared
Overall R Squared
0.0016
0.0161
0.2747
0.2747
Sequential Sum Squares 60.75975
Last Sum Squares
60.75975
Model Sum of Squares
Total S u m of Squares
1409.381
5130.137
Mean
Standard Deviation
Diagonal of Inverse
R Squared with other Xs 0.0250
Variance Inflation
1.025657
Tolerance
O . 9750
5.04 6667
2.604081
1.080352E-02
83
Tdcnicns de Simulación Matenrdticn
Residual Analysis
Predicted
Value
Actual
Row
Std E r r
of Pred
11.2783
1 64.3
54.46085
2 45.4
43.72171
13.82452
9.49375
62.81733
3 26.6
8.955902
76.51078
4 87.5
71.33636
9.405558
5 71.3
67.04303
5.287903
6 82.4
55.42228
6.986746
7 26.3
57.7197
7.395299
8 61.6
59.95745
14.60645
9 52.9
7.074633
69.10323
10 64.7
74.69031
10.2189
1 1 64.9
6.339139
60.38582
12 70.5
60.21171
6.377019
13 87.2
12.61393
14 81.2
82.9529
58.36652
6.052013
15 67.9
Durbin
Watson Statistic 2.404697
Y
-
Influence
Row
1
2
Residual
Rstudent
9.83915
0.6597
1.678291
0.1320
3
-36.21733
-3.0418*
4
10.98922
0.6666
5
-.364E-01
-0.0022
6
15.35697
0.8615
7
-29.12228
-1.9055
8
3.880299
0.2202
9
-7.057449
-0.6133
10
-4.403229
-0.2481
11
-9.790306
-0.6222
12
10.11418
0.5675
13
26.98829
1.6917
14
-1.752907
-0.1250
15
9.533478
0.5307
Press 6159.405
Hat Diag
Lower95%
Upper95%
Mean
Mean
9.83915
1.678291
-36.21733
10.98922
-.364E-01
15.35697
-29.12228
3.880299
-7.057449
-4.403229
-9.790306
10.11418
26.98829
-1.752907
9.533478
Analysis
Cov Ratio
.3760530
.5650169*
.2664631
.2371265
.2615355
.O826663
.1443150
.1616862
.6307407*'
,1479685
.3087237
.1188015
.1202256
.4703942
.lo82832
79.26305
74.12331
83.69511
96.20577
92.02019
78.67169
70.78688
73.98276
92.0786
84.6611
97.16277
74.32626
74.23545
110.6923
71.67555
29.65866
13.32012
41.93956
56.8158
50.65253
55.41436
40.05768
41.45665
27.8363
53.54 535
52.21785
46.44537
46.18796
55.21353
45.0575
Residual
1.9789
3.3425
0.1453
1.6128
1.9826
1.1986
0.4956
1.7130
3.4205
1.6767
1.8195
1.4636
0.6081
2.7473
1.4692
Dfflts
.5121156
.1504833
-1.833346*
.3716462
-.131E-02
.2586273
-.7825583
.9672E-01
-.EO15755
-.lo33753
-.4157773
.2083701
.6253731
-.117777
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Técnicas de Sinrulocicin Alatenrdica
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Técnicas de Sinlulaciórl hiatenlátictl
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Técnicas de Sinlulncibn hfntenraticn
Láminas.
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1
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I
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1I
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Lámina 1.
87
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Lámina 2.
88
Técnicas de Simulación Aídemiticn
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