Aplicaciones lineales. Programaci´on lineal Cap´ıtulo 3

Capı́tulo 3
Aplicaciones lineales. Programación
lineal
En lo sucesivo, y salvo mención expresa, trabajaremos con los conjuntos de los números reales
R y el conjunto de vectores en el plano R2 . Se suponen conocidas las operaciones habituales de
suma y producto de números reales, de suma de vectores y de producto de un número real por un
vector, ası́ como sus propiedades básicas.
3.1
Funciones elementales
Dedicaremos este capı́tulo al estudio de las funciones reales de variable real f : R −→ R.
Emplearemos la notación y = f (x) para referirnos a la imagen por f del punto x. Ası́, x será la
variable independiente e y la variable dependiente.
3.1.1
Funciones elementales
Analizaremos, en primer lugar, las funciones reales de variable real más sencillas ilustrándolas
con algunos ejemplos cotidianos.
Funciones constantes
y ✻
y=k
✲
x
Figura 3.1: Gráfica de la función constante y = f (x) = k
22
Capı́tulo 3. Aplicaciones lineales. Programación lineal
Una función f : R −→ R es constante si existe k ∈ R tal que f (x) = k para todo x ∈ R. La
gráfica de la función constante y = f (x) = k, representada en la figura 3.1, es la recta horizontal
y = k. Estas funciones ni son inyectivas ni sobreyectivas, de hecho, Im(f ) = {k}.
Ejemplo 3.1 Sea E la edad de un consumidor y p el precio de un kilo de naranjas. Naturalmente,
el precio de las naranjas es independiente de la edad del comprador, por lo tanto, p = f (E) =
cte.
Funciones constantes a trozos
y ✻
✲
x
Figura 3.2: Gráfica de una función constante a trozos
Una función f : R −→ R es constante a trozos si existe una partición finita del conjunto R,
esto es, una colección {A1 , . . . , Am } de conjuntos disjuntos cuya unión sea todo R, y m números
reales k1 , . . . , km tales que f (x) = kj si x ∈ Aj . Una gráfica tı́pica de una función constante a
trozos se recoge en la figura 3.2. Las funciones constantes a trozos (también llamadas escalonadas)
no son inyectivas ni sobreyectivas, de hecho, Im(f ) = {k1 , . . . , km }.
Ejemplo 3.2 El precio a pagar en un aparcamiento es una función escalonada del tiempo de
estacionamiento. El precio de una llamada telefónica es una función escalonada del número de
pasos consumidos. El precio de un billete de autobús es una función constante a trozos de la edad
del viajero.
3.2
Ecuación de una recta en el plano
Una recta r en el plano queda determinada al conocer un punto por el que pasa p = (x0 , y0 )
y un vector director v = (v1 , v2 ) = (0, 0). Ası́, el punto (x, y) ∈ R2 pertenecerá a la recta r si
existe t ∈ R tal que (x, y) = p + tv = (x0 + tv1 , y0 + tv2 ). De este modo,
x = x0 + tv1
(x, y) ∈ r ⇐⇒
y = y0 + tv2
0
0
Si v1 =
0 y v2 = 0 entonces t = x−x
= y−y
v1
v2 y, consecuentemente, (x, y) ∈ r si y sólo si
y−y0
x−x0
= v2 o, equivalentemente, v2 (x − x0 ) = v1 (y − y0 ). Dado que esta última igualdad
v1
también es válida si alguna de las coordenadas del vector v es nula llegamos a que,
(x, y) ∈ r ⇐⇒ v2 x − v1 y + (v1 y0 − v2 x0 ) = 0.
(3.1)
3.3 Funciones lineales
23
y ✻
y0
r
r
α
v1
v2
x0
✲
x
Figura 3.3: Una recta en el plano
Esta ecuación tiene la forma ax + by − c = 0, con a = v2 , b = −v1 y c = v1 y0 − v2 x0 , y se
denomina la ecuación general de la recta r.
Siempre que b = v1 = 0, podemos despejar la variable y en la ecuación general para obtener
la llamada ecuación explı́cita de la recta r,
a
c
y =− x+ .
b
b
Esta ecuación tiene la forma y = mx + n, siendo m = − ab y n = cb . El número m se denomina
la pendiente de la recta r. De todo lo anterior se deduce que m = − ab = vv21 . Por tanto, si
denotamos por α el ángulo que forma la recta r con el eje de las abscisas, véase la figura 3.3,
entonces m = tg(α). En definitiva, la pendiente de la recta r es la tangente del ángulo que ésta
forma con el eje OX. Por otra parte, el valor n es la ordenada del punto de corte de la recta r con
el eje OY , es decir, el punto (0, n) ∈ r.
Si v1 = 0 de la ecuación (3.1) se deduce que y−y0 = vv21 (x−x0 ). Ası́ pues, y−y0 = m(x−x0 )
es la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por el punto (x0 , y0 ).
Cualquier recta ax + by + c = 0 en el plano determina dos semiplanos denominados el
semiplano positivo y el semiplano negativo dados por
H + = {(x, y) ∈ R2 : ax + by + c ≥ 0}
H − = {(x, y) ∈ R2 : ax + by + c ≤ 0}
3.3
Funciones lineales
Las aplicaciones lineales de R en R se corresponden con el concepto de proporcionalidad.
Una función lineal f : R −→ R es de la forma f (x) = mx, con m ∈ R. Si m = 0, f es la función
constante nula.
Si m = 0, la gráfica de f es una recta de pendiente m que pasa por el origen. Luego, f es una
1
aplicación biyectiva. Su inversa es la función lineal x = f −1 (y) = m
y.
Las aplicación lineales f : R −→ R verifican las siguientes propiedades:
1. f (x + x ) = f (x) + f (x ), para todo x, x ∈ R.
2. f (ax) = af (x), para todo a, x ∈ R.
24
Capı́tulo 3. Aplicaciones lineales. Programación lineal
Ejemplo 3.3 Si e representa el precio de un artı́culo en euros y p el correspondiente precio en
pesetas, la función que relaciona ambas variables viene dada por p = f (e) = 166.386e, que es
una aplicación lineal. La pendiente m = 166.386 es el tipo de cambio de euros a pesetas. La
función inversa e = f −1 (p) = 0.006p nos da el cambio de pesetas a euros.
Funciones afines
Una aplicación f : R −→ R se dice afı́n si es de la forma f (x) = mx + n, con m, n ∈ R.
Claramente, si m = 0, f es la función constante f (x) = n. Si n = 0, f es la aplicación lineal
f (x) = mx. En cualquier caso, la gráfica de f es la recta de pendiente m que pasa por el punto
(0, n). Si m = 0, la función afı́n f es biyectiva y su inversa es también una función afı́n dada por
1
n
x = f −1 (y) = m
y−m
.
Ejemplo 3.4 Denotemos por F la temperatura en grados Farenheit y por C la temperatura en
grados Celsius. La función que expresa la temperatura en grados Farenheit a partir de la temperatura centı́grada es F = f (C) = 95 C + 32. La inversa de f nos permite expresar la temperatura
Farenheit en grados Celsius, C = f −1 (F ) = 59 F − 160
9 .
Funciones lineales a trozos
Dada una partición finita {A1 , . . . , Am } del conjunto R, una función f : R −→ R que sea afı́n
en cada subconjunto Aj se denomina lineal a trozos.
Ejemplo 3.5 Denotemos por B la base liquidable en el impuesto de la renta de las personas
fı́sicas y por I la cuota ı́ntegra estatal. La función I = f (B) es una función lineal a trozos. La
pendiente de la recta en cada “tramo” se corresponde con el tipo aplicable en dicho “tramo”.
3.4
Programación lineal
La programación lineal es el conjunto de técnicas matemáticas que facilitan la solución de
problemas de planificación económica o social. Su objetivo básico es encontrar la solución óptima
en un conjunto de recursos limitados. La forma tı́pica de un problema de programación lineal en
dos variables es la siguiente:
Max (Min) ax
 + by
a1 x + b1 y ≤ c1



a2 x + b2 y ≤ c2
sujeto a:
···



am x + bm y ≤ cm
(P )
La función f : R2 −→ R, f (x, y) = ax + by, se llama función objetivo. Las funciones g1 (x, y) =
a1 x+b1 y −c1 , . . . , gm (x, y) = am x+bm y −cm , se conocen como las restricciones del problema.
El conjunto
S = {(x, y) ∈ R2 : a1 x + b1 y ≤ c1 , a2 x + b2 y ≤ c2 , · · · , am x + bm y ≤ cm }
3.4 Programación lineal
25
se denomina conjunto de soluciones factible. En un problema de programación lineal en dos
variables, S será una región del plano limitada por las rectas asociadas a las restricciones.
Una solución factible (x0 , y0 ) ∈ S es un máximo (mı́nimo) del problema (P ) si f (x0 , y0 ) ≥
f (x, y) (f (x0 , y0 ) ≤ f (x, y)) para todo (x, y) ∈ S. Las soluciones óptimas del problema (P ), si
existen, se encuentran siempre en la frontera de S, es decir, son un vértice o punto extremo de S.
Llamaremos conjuntos de nivel de la función objetivo a las rectas de ecuación ax + by = c,
c ∈ R. La recta de nivel c ∈ R está formada por todos los puntos donde la función objetivo f toma
el valor c. El nivel de la función f aumenta o disminuye desplazando paralelamente las rectas de
nivel.
Si el conjunto de soluciones factibles S es acotado y no es vacı́o entonces el problema (P )
tiene máximo y mı́nimo. Nada se puede afirmar en general de la existencia de solución si S no es
acotado. La unicidad de solución está relacionada con la existencia o no de restricciones paralelas
a la función objetivo. Los siguientes cuadros presentan ejemplos de todas las situaciones que
pueden presentarse en problemas de programación lineal en dos variables.
Solución única
x
+ y
0≤y≤1
sujeto a:
0≤x≤1
Max
x
+ y
0≤y≤1
sujeto a:
0≤x≤1
Min
Solución única
x
+ y
y≤1
sujeto a:
x≤1
Max
x
+ y
y≥0
sujeto a:
x≥0
Min
S acotado
Infinitas soluciones
Max
x
+ y
 x+y ≤1
x≥0
sujeto a:

y≥0
Min
x
+
 y
x+y ≤2



x+y ≥1
sujeto a:
 x≥0


y≥0
S no acotado
Infinitas soluciones
Max
x
+ y
 x+y ≤3
x≤2
sujeto a:

y≤2
Min
x
+
 y
 x+y ≥1
x≥0
sujeto a:

y≥0
No hay solución
Imposible
Imposible
No hay solución
x
+ y
x≥0
sujeto a:
y≥0
Max
x
+ y
x≤0
sujeto a:
y≤0
Min