APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE
LA DERIVADA
Autor: Victor Manuel Castro González
Carrera: Ingeniería Industrial
Instituto: Univa Zamora
Fecha:18/Febrero/2008
Victor Manuel Castro González
MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a
partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese
punto se le conoce como punto critico máximo relativo,
aunque comúnmente se le llama solo máximo.
Por el contrario, si una funcion continua es decreciente en
cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a
ascender, a este punto lo llamamos puntro critico minimo
relativo, o simplemente minimo.
Una funcion puede tener uno, ninguno o varios puntos
criticos.
METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y
MINIMOS DE UNA FUNCION

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION
CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA.

obtener la primera derivada.

igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o
mínimos en la función.



se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable
independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos
pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a
positivo el punto crítico es mínimo.
Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la
precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin
de evitar errores al interpretar los resultados.
sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para
los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas,
corresponde a las coordenadas de un punto crítico


CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más
sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva
es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que
en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda
derivada es positiva.

calcular la primera y segunda derivadas

igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la
segunda derivada.

Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta
negativa, hay un máximo.

Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o
mínimo.

sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original,
para
conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.
TEOREMA DE BOLZANO

El Teorema de Bolzano afirma que si
una función es continua en un intervalo
cerrado y acotado y en los extremos del
mismo ésta toma valores con signos
opuestos, entonces existe al menos una
raíz de la función en el interior del
intervalo
TEOREMA DE BOLZANO


En palabras más simples, lo que viene a decir el
teorema de Bolzano es lo siguiente:
Suponiendo que el eje de abscisas (eje x) fuese
un río, y el segmento (a, b) un camino que
hemos de seguir: si en el punto a, la gráfica está
en un lado del río (tiene valor negativo) y en el
punto b está en el otro lado del río(tiene valor
positivo) y la gráfica es contínua en ese
segmento, lógica y obligatoriamente ha de
cortar por lo menos en un punto con el eje x (el
río).
TEOREMA DE BOLZANO

Demostración

Suponer que f(a) < 0 y f(b) > 0 (en caso contrario se demuestra de
manera análoga)

Sea Z1 = (a + b)/2

Si f(Z1) = 0, ya estaría con c = Z1, sino hay dos posibilidades, f(Z1)
> 0 y f(Z1) < 0

Si f(Z1) > 0, entonces X1 = a e Y1=Z1

Si f(Z1) < 0, entonces X1 = Z1 e Y1 = b
Teorema de Weierstrass

Las funciones continuas en un intervalo cerrado gozan de una
propiedad interesante, recogida en el siguiente teorema:

Hipótesis: Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b]
entonces


Tesis: Hay al menos dos puntos x1,x2 pertenecientes a [a,b] donde
f
alcanza
valores
extremos
absolutos,
es
decir
para cualquier
Corolario: El conjunto imagen de la función f está acotado, es decir:
Imf = f([a,b]) = [f (x1),f (x2)]
donde m=f(x1) simboliza el valor mínimo absoluto y M=f(x2) el valor
máximo absoluto
Teorema de Weierstrass






Demostración:
Por hipótesis, f es continua en [a,b] => por el lema de Weierstrass f está
acotada en [a,b], es decir, existen m y n tales que m <= f(x) <= n para todo
x perteneciente a [a,b].
La demostración se realiza por reducción al absurdo.
Primero demostraremos que f tiene máximo absoluto en [a,b].
Queremos probar que existe x1 perteneciente a [a,b] / f(x1) = n.
Supongamos lo contrario de lo que queremos demostrar, o sea que para todo
x perteneciente a [a,b] f(x) ≠ n, f(x) < n.
Sea g una función auxiliar: g(x)=1/(n - f(x)).
g es continua en [a,b] por ser diferencia y cociente de funciones continuas y n
- f(x) ≠ 0. Por el lema de Weierstrass, g está acotada, es decir, para todo x
perteneciente a [a,b]
Teorema de Rolle y Teorema del Valor
medio




La derivada de una función en un punto es la pendiente de la
recta tangente a la función en ese punto.
La ecuación de la recta tangente a una función en el punto A(
a , f ( a ) ) viene dada por la expresión: y – f ( a ) = f ’ ( a ) [ x
–a]
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
Si en un punto de la gráfica de una función se produce un
cambio brusco de dirección ( “un pico” o “punto anguloso”), la
función no es derivable en dicho punto.
Teorema de Rolle y Teorema del Valor
medio

Si f es una función continua en [ a , b ], derivable
en ( a , b ) y además f ( a ) = f ( b ), entonces
existe al menos un punto c Î ( a , b ) en el que f ’
( c ) = 0.
Interpretación geométrica

Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe
al menos un punto c Î ( a , b ) en el que su
recta tangente es paralela al eje de abscisas (es
decir, es la recta y = f ( c ) ).
Funciones Crecientes y Decrecientes

Sea f una función continua con ecuación
definida
en
un
intervalo
.
La siguiente es la representación gráfica de f en
el intervalo
.

En la representación gráfica anterior puede observarse que
la función f es:

Creciente en los intervalos ,

Decreciente en los intervalos ,

,
,
También se tiene que cuando la pendiente de la recta
tangente es positiva, la función f crece; y cuando la
pendiente de la recta tangente es negativa, la función
decrece.
Note además que en los puntos
y la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es
cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en
cada uno de esos puntos.
PUNTOS DE INFLEXION

Toda función que es una curva en su trazado define dos
regiones: la región cóncava (o simplemente concavidad)
y la región no cóncava. Observe la siguiente situación
donde se describe la concavidad,
PUNTOS DE INFLEXION

Sea f ( x ) una función, no resulta complicado verificar que en la
región donde f ''( x ) > 0 implica que la función primera derivada f '
( x ) es una función creciente y esto significa que la curva en
dicha región es cóncava hacia abajo (como el segundo gráfico). Y
si se cumple que f ''( x ) < 0, significa que la función primera
derivada es decreciente y por lo tanto es cóncava hacia arriba
en dicha región (como en el gráfico de la izquierda anterior)