Aplicación del teorema del valor medio a funciones integrales

CÓMO APLICAR EL
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
A
FUNCIONES
INTEGRALES
En este artículo, entenderás fácilmente el concepto del Teorema del Valor Medio
relacionandolo con su significado gráfico. Esto te permitirá tener una imagen
clara en la mente para que nunca se te olvide el concepto.
Nuestro cerebro recuerda más facilmente las imágenes, es por eso que te presentaré una gráfica que engloba el concepto de Teorema de Valor Medio, relacionando la simbología matemática del Teorema con el área de un rectángulo y
la función para la cual se desea conocer su valor medio.
Valor Promedio de una funcion y el Teorema del
Valor medio para una función integral
En el artículo Teorema del Valor Medio, vimos dos fórmulas importantes que
esencialemente representan lo mismo:
Valor promedio de una función
El valor promedio ȳ de la función y = f (x) para x en el intervalo [a, b], es:
Z b
1
ȳ =
(1)
f (x)dx
b−a a
2
Suponiendo que f es integrable en el intervalo [a, b].
Teorema del Valor Medio
Si f es contínua en [a, b], entonces:
Z b
1
f (x)dx
f (x̄) =
(2)
b−a a
para algún número x̄ en [a, b].
El concepto matemático que estas fórmulas representan se puede entender fácilmente si vemos su representación gráfica. Para esto necesitamos primero despejar
las integrales de la manera siguiente:
Al despejar la integral de la fórmula (1), tenemos:
Z b
f (x)dx = ȳ∗(b − a)
(3)
a
Si realizamos el mismo procedimiento para la fórmaula (2), tenemos:
Z b
f (x)dx = f (x̄)∗(b − a)
a
3
(4)
Alejandro Vivas Riverol
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Analizando las fórmulas (3) y (4), vemos que los dos lados izquierdos de cada
una fórmula, son idénticos, y sus dos lados derechos solo varían en los términos
ȳ y f (x̄), que de hecho representan lo mismo. Es decir, si analizamos la Figura
1, veremos que, y¯ = f (x̄), y que ambas represental la altura de un rectángulo.
Si f tiene valores positivos en [a, b], las ecuaciónes (3) y (4) implican que el área
bajo y = f (x) sobre el intervalo [a, b] es igual al área de un rectángulo cuya base
tiene longitud b − a y altura ȳ(o altura f (x̄)), vea la Figura 1:
Figura 1. Significado Geométrico del Teorema del Valor medio.
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Una vez, visualizado el concepto, aplicamos el Teorema del Valor Medio a una
función para verificar lo que sabemos.
Para verificar lo que hemos aprendido, simplemente encontraremos el valor medio
de la función:
f (x) = x2
(5)
cuando x se mueve en el intervalo [0, 2], utilizando la fórmula (1) para después
coorroborar que el punto (x̄, ȳ) sobre la función f (x) = x2, determina la altura
del rectangulo gris el cual a su vez, tiene la misma área que existe bajo la curva
y = f (x) y el eje horizontal de la x dentro del intervalo [0, 2]. Notar que: a = 0,
b = 2.
Ejemplo:
Encontrar el valor promedio de la función f (x) = x2, cuando x está en el intervalo
cerrado [0, 2]:
Respuesta:
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Utilizando la fórmula (1), tenemos :
El Valor Medio ȳ de la Función f (x) = x2, en el intervalo [0, 2] es:
1
ȳ =
2−0
Z
0
2
2
1
1
4
x2dx =
x3 =
2 3
3
0
4
Es decir, el valor medio para la función f (x) = x2 es 3 , ahora para encontrar x̄,
bastará con resolver la ecuación (5) igualándola al valor promedio obtenido, es
decir a 4/3, como sigue:
x2 = 4/3
Entonces, despejando x, tenemos:
x2 = 4/3
p
x = ± 4/3
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x1 = +1.1547
x2 = −1.1547
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Considerando solo el valor de x que se encuentra dentro del intervalo estudiado
[0, 2], el valor de x̄ buscado es:
x̄ = 1.1547
Ahora, comprobamos que el rectángulo de longitud b − a (=2 − 0 = 2) y de altura
ȳ = 4/3, tiene la misma área que la que existe bajo la curva f (x) = x2, cuando
x va desde 0 hasta 2. Para esto utilizamos la fórmula (3); tomamos su parte
derecha y calculamos:
ȳ∗(b − a) = 4/3∗2=8/3
El área del rectángulo gris es de 8/3.
El paso final es corroborar que el área bajo la curva f (x) = x2 en el intervalo
cerrado [0, 2] sobre x es igual al área hallada del rectángulo. Para ello utilizamos la
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definición de INTEGRAL DEFINIDA, que es un concepto utilizado para encontrar
el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Entonces, la integral definida
para la función f (x) = x2, en el intervalo [0, 2] es:
Z
2
x2dx =
0
=
=
=
=
2
1
(x2+1)
2+1
0
3 2
x
3
30
(2) − (0)3
3
3
2
3
8
3
Con lo que comprobamos que el área bajo la curva es la misma que el área del
rectángulo gris.
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Por último, graficando la función f (x) = x2 junto con el punto (x̄, ȳ) que delimita
su valor medio, tenemos:
Figura 2. Representación gráfica del Valor Medio de la función f (x) = x2.
Con la gráfica podemos comprobar fácilmente los cálculos realizados, utilizando
las fórmulas (3) y/o (4) y sustituyendo los valores para ȳ y x̄ respectivamente,
así como calculando el área del rectángulo gris de base b − a = 2 y altura
ȳ = f (x̄) = 4/3.
El código en MATHEMATICA para graficar la Figura 2, es:
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Algoritmo 1
Clear["Global‘*"]
f[x_] = x^2;
valorPromedio = y[x_] = (1/2)*Integrate[x^2, {x, 0, 2}];
p1 = Plot[f[x], {x, 0, 2}, AxesLabel -> {x, "f[x]"},
PlotStyle -> {{Thickness[.005], Brown}}];
g1 = Graphics[{Opacity[0.2], Rectangle[{0, 0}, {2, y[x]}]}];
s1 = Solve[f[x] == 4/3, x];
punto = Graphics[{Black, PointSize[0.02],
Point[{s1[[2, 1, 2]], f[x] /. x -> s1[[2, 1, 2]]}]}];
Show[p1, g1, punto,
Prolog -> {{Red, Dashed, Line[{{0, f[x] /. x -> 1.1547}, {1.1547, f[x] /.
x -> 1.1547}}]}},
Epilog -> {{Red, Dashed, Line[{{1.1547, 0}, {1.1547, f[x] /. x ->
1.1547}}]}},
Ticks -> {{{0.03, "a"}, 0.5, 1.0, {1.1547, "x"}, 1.5, {2, "b"}}, {0, 1,
{1.333, "y"}, 2, 3, 4}},
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AxesStyle ->
Directive[Blue]]
Directive[Black,
FontSize
->
16],
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TicksStyle
->
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de Teorema de Valor Medio para Integrales mediante el desarrollo de
un ejemplo
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