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GUÍA DE ESTUDIO SEGUNDO DE SECUNDARIA 8 PARCIAL
Recomendaciones generales: Procura prepararte para tu examen con anticipación, resuelve los ejercicios
que se te presentan en esta guía los cuales vienen acompañados de una pequeña explicación, si ésta no es
suficiente, auxíliate de tus apuntes y de tu libro de texto. Cuando tengas alguna duda pide ayuda a tu
maestro, a algún compañero o bien un familiar que pueda apoyarte para aclararla, como recurso extra te
sugiero algunas direcciones electrónicas donde puedes ampliar la información e incluso practicar los
contenidos. Es de suma importancia que entregues esta guía resuelta EN TU LIBRETA el día del
examen.
La ley de los signos de la multiplicación, dice que:
;
(–)(–)=+ ; (+)(–)=– ; (-)(+)=–
El producto de signos iguales será positivo,
y el producto de signos diferentes, será negativo.
(+)(+)=+
La ley de los signos de la división, dice que:
(+)(+)=+ ;
(–)(–)=+ ; (+)(–)=– ; (-)(+)=–
Si los signos son iguales el cociente será positivo,
y en el caso de los signos diferentes, el cociente será negativo
Observa y analiza los siguientes ejemplos.
( + 3 ) ( + 5 ) = + 15
( – 3 ) ( – 4 ) = + 12
( – 3 ) ( + 7 ) = – 21
(+3)(–1)=–3
(+6)(+3)=+2
( – 35 )  ( – 5 ) = + 7
( – 15 )  ( + 5 ) = – 3
( + 56 )  ( – 7 ) = – 8
www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ContMatematicas/Matematicas_Basicas1.htm
1. Cuál será el signo del producto, si se multiplican:
a) Tres factores negativos:_______________
b) Cinco factores negativos:_____________
c) Ocho factores negativos:_____________
d) 320 factores negativos:______________
2. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones:
a) ( – 9 ) ( – 5 ) =
e) ( 12 )  ( – 6 ) =
i) ( – 5 ) ( 0 ) =
b) ( – 72 )  ( – 9 ) =
f) ( – 13.6 ) ( 4.1 ) =
j) ( – 56 )  ( 8 ) =
c) ( 5 ) ( – 4 ) =
g) ( 72 )  ( 9 ) =
k) ( – 3.2 ) ( + 3.2 ) =
d) ( – 48 )  ( – 6 ) =
h) ( 2 ) ( 5 ) ( 4 ) =
l) ( – 49 )  ( 7 ) =
3. Encuentra el número que falta en cada caso.
a) ( – 7 ) ( ) = 56
b) (
c) (
) ( – 1 ) = – 13
) (  1 )   8.2
d) ( 18 ) ÷ (
1
)=–9
LENGUAJE ALGEBRAICO
Algunas de las situaciones comunes se pueden representar algebraicamente, este lenguaje nos permite
plantear y resolver los problemas. Algunos ejemplos son:
Un número cualquiera se puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo:
a = un número cualquiera
m = un número cualquiera
q = un número cualquiera y así sucesivamente.
La suma de dos números cualesquiera: x + y
La diferencia de dos números cualesquiera: a – b
La suma de dos números cualesquiera menos otro número: r + s – t
El producto de dos números cualesquiera: gh
El doble de un número cualquiera: 2a
El cociente de dos números cualesquiera (la división de dos números cualesquiera): d
m
Indica en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes casos:
El área de un cuadrado, siendo que sus lados miden x ______
El doble de un número: _______________________________
El doble del precio de un artículo: _______________________
El precio de un artículo más $ 100: ______________________
Una distancia más 100 kilómetros: ______________________
Una distancia menos 100 kilómetros: ____________________
Tres veces la distancia: _______________________________
Tres veces la distancia más 100 kilómetros: _______________
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS
En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual la
parte literal, es decir, a aquellos términos que tienen igual la o las literales e iguales exponentes. Por
ejemplo:
6a2b3 es término semejante con – 2a2b3 porque ambos términos tienen la misma parte literal (a2b3)
3x5yz es término semejante con 5x5yz porque ambos términos tienen la misma parte literal (x5yz)
0.3a2c no es término semejante con 4ac2 porque los exponentes de las literales no son iguales.
Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión
algebraica, que tengan el misma parte literal.
Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva la
misma parte literal. Ejemplos:
5x – 7x – 2x + 6x = 11x – 9x = 2x
xy3 – 3x2y + 5xy3 – 12 x2y + 6 = 6xy3 – 15x2y + 6
Reduce los siguientes términos semejantes:
2a – 7a =
– 5c – 7c =
– 7m – 8m =
– 8z + 8z =
8x + 9x =
9ab + 6ab =
– 8b – 8b =
– 5xy – 7xy =
12a – 34a =
8d – 5d =
– 2m – 7m =
8mn – 6mn =
7x + 6x =
67v + 66v =
– 4b – 8b =
– 27xyz – 54xyz =
9a – 4a =
9a3b5 – 6a3b5 =
– 9m – 9m =
– 9x2y6 – 9 x2y6 =
2
– 35x8y3 – 34 x8y3 =
– 38d2e6f + 25d2e6f =
67x8y3z + 98 x8y3z =
– 54abc – 32abc =
29g – 23g =
– 7f8 – 9f8 =
– 4q8 + 10q8 =
– 7c9d – 8c9d =
9x2y – 3x2y
– 4m5n7 – 7m5n7 =
ADICIÓN ALGEBRAICA
x+x+x+x = 4x
Se suman algebraicamente los coeficientes de
2x + 3x – x – 8x + 2x = – 2x
los términos semejantes
Cuando se suma de forma horizontal se buscan los términos semejantes y se reducen:
2a + 3a – 2b – 4a – 3b = a – 5b
5mn – 7mn2 – 8m2n – 9mn2 + 3mn + 9m2n = 8mn – 16mn2 + m2n
Cuando se trata de una adición de polinomios, puedes colocar los sumandos uno abajo del otro, procurando
que los términos semejantes queden en columna.
( m4 + 4m3 n – 5n2 ) + ( – 6m4 – 2m3 n + 4n2 ) + ( 3m4 + 3m3 n – 8n2 ) =
m4 + 4m3 n – 5n2
– 6m4 – 2m3 n + 4n2
3m4 + 3m3 n – 8n2
– 2m4 + 5m 3 n – 9n 2
1.
Y se suman algebraicamente los coeficientes
Resuelve las siguientes adiciones:
( 6m6 + 7n5 ) + ( 8m6 – 2n5 ) + ( 7m6 – 4n5 ) =
(2ab + 18c – 32 ) + ( 18ab – 13c + 5d – 123)
(3x + 2) + ( 2x + 1) +( 3x + 2) + (2x + 1) =
( 18a + 3a – 2b) – ( 3a + 5a – 3b)=
e) ( 20a – 3b + 3c ) – ( 18a + 12b – 5c) =
f) ( a2 – 7ab + 6b2 ) + ( – 2a2 – 3ab – 7b2 ) + ( 6a2 + 9ab – 2b2 ) =
g) ( x 2 – 2xy + y2 ) + ( y 2 – 3xy + x2 ) + ( – 2xy – 3x 2 + y2 ) =
a)
b)
c)
d)
2.
3.
Relaciona las dos columnas anotando dentro del paréntesis la letra que corresponda a la respuesta.
( )
5x + 4x
A) 8x 2
(
)
3x + 7x – 5x
B)
12x – 2y
(
)
6x – 8x + 3x
C)
4x + 5y
(
)
4x 2 + 3x 2 + x 2
D)
5x
(
)
E)
– x + 14y
(
)
2 x 2 + 5x 2 – 4x 2
3x + 4x – 9x
F)
9x
(
)
6x + 3y – 2x + 2y
G) 13x + 10y
(
)
8x + 3y + 5x + 7y
H)
x
(
)
4x + 8x – 7y + 5y
I)
– 2x
(
)
9y – 7x + 5y + 6x
J)
3x 2
Obtén el perímetro de las siguientes figuras
P=
P=
P=
3a + 5
4x – 3y
5x - 2
2x – y
2x – 1
2y
3x + 2
2x
4x + 2y
P=
P=
3
P=
SUSTRACCIÓN ALGEBRAICA
Esta operación se efectúa de igual manera que la adición pero sumando a los términos del minuendo el
inverso aditivo de los términos del sustraendo.
Inverso aditivo del
sustraendo
6m –
Inverso aditivo del
sustraendo
( 7m ) = 6m – 7m = – m
– 3m
Minuendo
Minuendo Sustraendo
( 4c2 – 3d2 + cd ) – ( 5c2 – 2d2 – 2cd )
Minuendo
– ( – 9m ) = – 3m + 9m = 6m
Sustraendo
( – 5m7 – 4n3q + 7xy2 ) – ( 5m7 + 7n3q + 2xy2 )
Minuendo
Sustraendo
4c2 – 3d2 + cd
– 5c2 + 2d2 + 2cd Inverso aditivo del sustraendo
– c2 – d2 + 3cd
Sustraendo
– 5m7 – 4n3q + 7xy2
– 5m7 – 7n3q – 2xy2 Inverso aditivo del sustraendo
– 10m7 – 11n3q + 5 xy2
1.
Relaciona las dos columnas anotando dentro del paréntesis la letra que corresponda a la respuesta.
(
) 8m – ( – 5m ) =
A ) – 5m
(
) 2m – ( 7m ) =
B) 9m – 3n
(
) ( 4m + 2n ) – ( 5m + 4n ) =
C) 13m
(
) ( 3m + 2n ) – ( 6m – 4n ) =
D) 12m – 10n
(
) ( 2m – 5n ) – ( – 3m + 2n ) =
E) – m – n
(
) ( 8m – 3n ) – ( 5m – 4n ) =
F) 2m + 8n
(
) ( 2m + 3n ) – ( 3m + 4n ) =
G) 2m
(
) ( 7m – 5n ) – ( – 5m + 5n ) =
H) – 3m + 6n
(
) ( 4m + 3n ) – ( 2m – 5n ) =
I) – m – 2n
(
) ( 6m + 5n ) – ( – 3m + 8n ) =
J) 3m + n
K) 5m – 7n
2.
Resuelve las siguientes sustracciones
a) ( m2 – 7mn + 6n2 ) – ( – 2m2 – 3mn – 7n2 ) =
b) ( a 2 – 2ab + b2 ) – ( b 2 – 3ab + a2 ) =
c) ( 4y2 – 3z2 + yz ) – ( 4y2 – 2z2 – 2yz ) =
d) ( a2 – 7ab + 6b2 ) – ( 6ª2 + 9ab – 2b2 ) =
e) ( x 2 – 2xy + y2 ) – ( y 2 – 3xy + x2 ) =
f) ( 4c2 – 3d2 + cd ) – ( 4c2 – 2d2 – 2cd ) =
g) ( 7ab + 18c – 32 ) – ( 18ab – 8c + 7e – 12)
h) ( 3x + 2m + 2z + 1) – ( 3x + 2z + 5m + 9 ) =
i) ( 18a + 3a3 – 2b) – ( 3a + 5a3 – 3b)=
j) ( 3x + 2y + 5z ) – ( 8x + 2y + 3z) =
LEYES DE EXPONENTES
Producto de potencias de igual base:
( x ) ( x3 ) = x 1 + 3 = x 4
a2b5 ( a4 b3 ) = a2 + 4 b 5 + 3 = a6 b8
Se suman los exponentes de igual base
Potencia de potencia
( x 3 ) 6 = x 3 ( 6 ) = x 18
( a2b5 ) 4 = a 2 ( 4 ) b 5 ( 4 ) = a 8 b 20
Se multiplican los exponentes
4
Cociente de potencias de igual base
x8
= x8–5 = x 3
x5
Se restan los exponentes de igual base
Todo número diferente de cero elevado al exponente cero es igual a 1
0
0
0
3 =1
0
456 = 1
x = 1
0
a
  =1
b
0
( 5x ) = 1
(a+b) =1
Todo número distinto de cero elevado a un exponente negativo, es igual a una fracción cuyo numerador es
la unidad, y el denominador ese mismo número elevado a ese mismo exponente, pero positivo:
m- 8 =
1
m8
r –3 =
1
r3
( a + b ) –6 =
1
( a  b) 6
Resuelve las siguientes operaciones
a –8 =
b5b7b3=
( 56 ) ( 53 ) =
x – 6 y2 z – 3 =
(– x2y3 ) ÷ (xy) =
(xy) (– y3) (– x2y) =
( 2m5 n3 p7 )3 =
( a )( a ) =
( a4 ) ( a6 ) ( a ) =
(a b) =
 ab 6 
 9 3
a b 
0
7
3
7
b7 =
b3
m –5 =
( a 4 b 7 c 3 )2 =
( – 6ª4 b5 c7 )0 =
( 5xyz )0 =
( x4y ) ( y2 ) ( – xy7 ) =
( 32 ) ( 35 ) =
(x ) =
( c3 b5 ) – 4 =
( 23 ) ( 2 ) ( 23 ) =
x =
3
x
b7 =
b3
a8 =
a5
 m6 
 3
m 
7
=
m6 m4 m2 =
5 4
9
8x =
6
2x
5
=
34 =
32
MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA
Multiplicación de monomios:
Se multiplican primero los signos, después los coeficientes y se suman los exponentes de las literales
iguales
Por ejemplo:
( – 3b ) ( 5ab2 ) ( b ) = – 15 ab4
Signos
(–)(+)(+) =–
Coeficientes
( 3 ) ( 5 ) ( 1 ) = 15
Literales iguales ( b ) ( b2 ) ( b ) = b1+2+1 = b4
(la ley de los exponentes para la multiplicación dice que se suman)
La literal a no tiene otra con la que se multiplique por lo que se queda igual, el resultado es – 15 ab4
Multiplicación de polinomio por monomio
( 2x3 – 3bx2 + b3x )( – 4bx ) = – 8bx4 + 12 b2x3 – 4b4x2
Se aplica la propiedad distributiva del término – 4bx
( 2x3 ) ( – 4bx ) = – 8x4b
Se multiplica el primer término por el factor común
( – 3bx2 ) ( – 4bx ) = + 12x3b2
Se multiplica el segundo término por el factor común
( b3x ) ( – 4bx ) = – 4b4x2
Se multiplica el tercer término por el factor común
5
Multiplicación de polinomios
Así como al multiplicar un polinomio por un monomio aplicaste la propiedad distributiva también para
multiplicar polinomios la aplicas, al multiplicar el multiplicando o primer polinomio por cada uno de los
términos del multiplicador, acomodando en columnas los términos semejantes para después reducirlos.
(3a2 – 4b6 + 5c4 ) (7a2 – 8b6 – 6c4 ) =
2o. Multiplicas el primer polinomio por ( - 8b6 ) y
ordenas en columnas los términos semejantes
1o. Multiplicas el primer polinomio
Por ( 7a2 )
3a2 – 4b6 + 5c4
7a2 – 8b6 – 6c4
4
21a – 28a2 b6 + 35a2 c4
3a2 – 4b6 + 5c4
7a2 – 8b6 – 6c4
21a4 – 28a2 b6 + 35a2 c4
– 24a2 b6
+ 32b12 – 40b6 c4
3o. Multiplicas el primer polinomio por (
algebraicamente las columnas.
3a2 –
7a2 –
21a4 –
–
21a4
- 6c4 ) y ordenas en columnas los términos semejantes y sumas
4b6 + 5c4
8b6 – 6c4
28a2 b6 + 35a2 c4
24a2 b6
+ 32b12 – 40b6 c4
2 4
– 18a c
+ 24b6 c4 – 30c8
2 6
2 4
12
– 52a b + 17a c + 32b – 16b6 c4 – 30c8
Resuelve las siguientes multiplicaciones algebraicas:
( – 3ab2 ) ( – 2a2b4c ) =
( – 3x2y2z ) ( 6xyz3 ) =
( – 5mn ) ( – 6a2b ) =
( 2x2 ) ( – 5xy ) =
( 4x3 ) ( 2x4 ) =
( 6b4 ) ( 5b5 ) =
( – m2n ) ( –3m2 ) ( – 5mn3 ) =
( – 4x2 ) ( 5x ) ( – 6x5 ) ( – 3x3 ) =
( 4cx – 5c + 2c2x2 ) ( – 2cx3 ) =
( – 0.75 x4 ) ( – 2.1xy 2 ) ( – 2xy ) =
( 14w – 2qw + 7q2r3 ) ( 2qwr – 4q2r6w3 ) =
( a2 + b2 + 2ab ) ( a + b – 3 ) =
( 3d3 – 5f2 + 2d3 ) ( 2d3 – 3f2 + 9d3 ) =
( – x2 + 10x – 22 )( x2 + 3x – 5 ) =
( – 4x2 + 5x – 6 ) ( – 3x3 ) =
( 3df – 5f + 2d)(2d – 3f ) =
( – 7d2 + 4e – 6f3 )( d2 + 3e + 3f3 ) =
( 4ab – 9ac + 8ad ) ( – 6ab + 2ac – 7ad ) =
DIVISIÓN ALGEBRAICA
La división de polinomio entre un monomio la puedes encontrar en esta forma:
5h6
10h6 m – 35h9 + 95a2 h10
Para poderla resolver divides cada término del dividendo entre el término del divisor:
2m 5h6
7h3 + 19a2 h4
10h6 m – 35h9 + 95a2 h10
– 10h6 m
0
– 35h9
+ 35h9
0 + 95a2 h10
– 95a2 h10
0
6
Resuelve las siguientes divisiones:
10h6 m – 35h9 + 95a2 h10
5h6
13m5
91m9 + 117m6 – 78m5
– 2x4
10x2 y7
8x5 – 16x9 + 24x4
– 80x3 y7 z9 + 40x2 y10 – 20x2 y7
1) ( 72x3 – 18 x2 + 36 x ) ÷ ( 18x ) =
4) ( 4x3 – 8x2 + 6x ) ÷ (2x2 – 5x) =
2) ( 12y3 + 15yz – 18y5 ) ÷ ( - 3y2) =
5) ( x2 – 5x – 6 ) ÷ ( x – 3 ) =
3) ( – 50r4s + 10r2s2 + 5rs ) ÷ ( – 5rs ) =
6) ( x2 – 9xy + 20y2 ) ÷ ( x – 5y ) =
JERARQUÍA DE OPERACIONES
La jerarquía de las operaciones es el orden que se debe seguir para resolver una operación y garantizar que
el resultado es el correcto, dicho orden es:
1º se resuelven potencias y raíces
2º se resuelven multiplicaciones y divisiones
3º se resuelven adiciones y sustracciones
Los paréntesis se cuentan independientes de la jerarquización pero si la expresión los contiene se deben
resolver primero independientemente de las operaciones indicadas en el ( indistintamente del tipo de
paréntesis que se usen ( ) redondos, [ ] corchetes o { } llaves, matemáticamente se les da el mismo uso ) y
posteriormente se seguirá el orden mencionado anteriormente. Por ejemplo:
4( 3 ) + 52 - √36 + 8
4( 3 ) + 25 – 6 + 8
12 + 25 – 6 + 8
45 – 6 = 39
14( 2 ) – 40 ÷ 5 – ( 2 + 18 – 5 ) + 32
Primero lo del paréntesis
14( 2 ) – 40 ÷ 5 – ( 15 ) + 32 =
Quita paréntesis
14( 2 ) – 40 ÷ 5 – 15 + 32 =
Se aplica la jerarquía de operaciones
14( 2 ) – 40  5 – 15 + 9
28 – 8 – 15 + 9 = 14
Ejercicio
Resuelve las siguientes operaciones:
a) 20 + 5( 38 ) =
b) 240 – 68  4 =
c) 250  5( 25 ) =
d) 120 + 84 – 3( 10 ) =
e) 230 – 4( 52 ) + 14 =
f)(3+4)5=
g) ( 5 – 2 ) ( 3 + 4 ) =
h) 2( 3 + 4 – 5 ) =
i) ( 5 • 4 )  2 + 4 =
k) 3[ – ( 7 • 3 ) ] =
l)

m)
20 – ( 8 – 3 )

(3+4)5
–(9–4)=
–5+(2•5)=
n) [ ( – 5 ) ( 9 ) ] [ ( – 5 ) ( 2 ) ] =
ñ) – 3[ – 4 – 3( 50 – 3 ) ] [ 2( 2 – 4 ) ] =
o) – { – 7 + 11 – [ – 5 – ( – 2 + 3 – 5 + 4) ] } =
7
5x –  – 3y + ( 2x + y ) – 3x  – 5y
5x –  – 3y + 2x + y – 3x  – 5y
5x + 3y – 2x – y + 3x – 5y
6x – 3y
p) – 4 – 3 – { – 6 + 4 +[ – ( – 3 + 5 ) ] } + 3 – 2 =
q) – 4 – 5 – { – 4 + 6 + 7 – [ – 5 + 3 + ( 3 – 5 + 8 ) – 4 ] + 5 + 7 + 4 } =
Coloca en cada caso, los paréntesis en los lugares adecuados para que se cumplan las siguientes
igualdades:
a) 3 • 4 + 5 + 6 = 23
b) 16 – 8 – 3 = 11
c) 1 + 2 – 3 • 4 + 5 = 9
d) 6² – 5 – 2² = 35
e) 3 + 9 • 2 – 5 = 19
f) 25 – 9 • 2 = 7
g) ( 23 – 5 )  4 = 4.5
h)

2 + (15 – 8 )
3=3
Resuelve las siguientes operaciones:
4a + ( 3b – 2a ) =
5x – ( 2y – 3x ) + 2y =
( 3x + 2y – 5z ) + 2x – ( 5x – 2y + 6z ) =
– ( 4m + 3n ) – ( 5m – 2n ) + ( 7m – 5n ) – 3n =
6m +  2m – ( 3m + 4n ) + ( 5m – 7n ) – 3n  – 2n =
 – 5x + ( 3x + 2y ) – ( 5x – 3y ) + 7y  – 8x =
 2c + ( 4c + 3d ) – 5d  + 3c –  – 6c – ( 2c + 3d )  + 7d =
ECUACIONES LINEALES DE LA FORMA ax + bx + c = dx + ex + f
Ecuación, igualdad condicionada al valor de una incógnita.
Incógnita, es la literal de la expresión que representa una cantidad desconocida, ésto nos permite resolver
problemas y encontrar un o unos datos desconocidos. Observa el ejemplo y para ampliar tu información
consulta la siguiente página electrónica
www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/contenidos/098-100n Ecuaciones_lineales_una_incognita.pdf
Ecuaciones de la forma ax + bx + c = dx + ex + f
3x + x + 8 = 2x + x + 6
1) Se agrupan los términos semejantes en un miembro
de la ecuación y los independientes en el otro
3x + x – 2x – x = + 6 – 8
4x – 3x = – 2
2) Se hace una reducción de términos en ambos miembros
x=–2
3) Se despeja la incógnita para encontrar el valor de x
x= –2
3( – 2 ) + ( – 2 ) + 8 = 2( – 2 ) + ( – 2 ) + 6
–6 –2+8 =–4–2+6
0 = 0
4) Se comprueba el resultado
8
Ejercicio:
1) 3x + 4x + 30 = 84 + x + 2x
2) – 2y – 4 = – x – 1
3) 5x + 5 = 3x + 27
4) 8 + 3x – 4x = – x – 3x + 29
5) 3m = 5m + 6
6) 200 + 7x = 100 – 2x
ECUACIONES CON PARÉNTESIS.
5(x + 3) + 9 + 3x = 20
1) Se eliminan los paréntesis realizando las operaciones
indicadas en cada caso. (en este caso multiplicando)
5x + 15 + 9 + 3x = 20
5x + 3x = 20 – 9 – 15
2) Se agrupan las incógnitas en un miembro de la ecuación
Y en el otro las constantes
3) Se realizan las operaciones indicadas en cada miembro
8x = – 4
4) Se despeja la variable, si el resultado es fraccionario se
Simplifica al máximo.
x = –4
8
x = – 0.5
5( – 0.5 ) + 15 + 9 + 3( – 0.5) = 20
5) Se comprueba el resultado
– 2.5 + 24 – 1.5 = 20
– 4 + 24 = 20
20 = 20
Ejercicio:
1) x + 3(x + 2) = 18
2) 7( x – 3 ) = 5 ( x + 7 )
3) 3 + 5( x – 7 ) = 3( x + 6 )
4) x + 4(x + 3) = 28
5) 12z – ( 3z – 1 ) – ( 2z – 35 ) = z + 58
6) 4 ( b + 1 ) + 9 = 2( 3b – 4 ) + b
SISTEMAS DE ECUACIONES
Hay varios métodos para poder resolver los sistemas de ecuaciones simultáneas:
1.- Por el método de sustitución.
2.- Por el método de reducción.
3.- Por el método de igualación.
4.- Por el método gráfico
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
a + b = 18 ……….. ( 1 )
a – b = 6 ……….. ( 2 )
1.- Se despeja una de las incógnitas en cualquiera de las ecuaciones.
a = 18 – b ……….. ( 1 )
2. Se sustituye ese valor en la otra ecuación y se resuelve la ecuación.
a – b = 6 ………..( 2 )
18 – b – b = 6
Ecuación con una sola incógnita
18 – 2b = 6
18 – 18 – 2b = 6 – 18
– 2b = – 12
 2b =  12
2
2
b = 6
Primer valor
3.- Este primer valor se sustituye en alguna de las ecuaciones y se resuelve.
a + b = 18 ………. ( 1 )
a + 6 = 18
a + 6 – 6 = 18 – 6
a = 12
Segundo valor
4.- Se comprueban los valores hallados, en ambas ecuaciones
a + b = 18
a – b = 6
12 + 6 = 18
12 – 6 = 6
18 = 18
6 = 6
Si quedan identidades ( valores iguales en ambos miembros ) los valores encontrados son correctos.
9
Ejercicio:
7x + 4y = 13
5x – 2y = 19
5x + 6y = 10
4x – 3y = – 23
x+y=2
x–y=6
x + 2y = 3
5x – 3y = – 11
MÉTODO POR REDUCCIÓN
x  2 y  8......(1)
x  5 y  20.....(2)
Se restan ambas ecuaciones.
x + 2y = 8
– x – 5y = – 20
– 3y = – 12
y=
12
3
y= 4
Se sustituyen el valor de “y” en cualquiera de las 2 ecuaciones
Lo haremos en la (1)
x + 2y = 8 …… ( 1 )
x + 2(4 ) = 8
x+8=8
x=0
Respuesta:
x=0
y=4
Ejercicios
Ahora desarrolla y comprueba los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción:
x– y=2
2x + 3y = 19
2x – 2y = – 5
3x + 4y = – 11
5x + 3y = 13
x – y = – 11
MÉTODO POR IGUALACIÓN
3x  5 y  10....(1)
4 x  y  25.....(2)
Se despeja “x” en (1) y en (2)
(1)
(2)
x
 10  5 y
....(3)
3
x
25  y
.....(4)
4
Se igualan (3) y (4) y se sustituye el valor de “y” en la
 10  5 y 25  y

3
4
Se resuelve la ecuación
 40  20y  75  3 y
20y  3 y  75  40
23y  115
23y
23
=
115
23
y=5
En ecuación (2) se sustituye el valor obtenido de “ y ”
4 x  y  25
4 x  5  25
4 x  20
20
x
4
x5
Respuesta:
x=5
y=5
10
2x + y = 8
3x – y = 7
Ejercicio
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas.
3x + 2y = 24
4x + y = 22
3x – 4y = 41
11x + 6y = 47
x + 3y = 8
x– y=4
6x + 2y = 18
3x + y = 9
MÉTODO GRÁFICO
Cada ecuación representa una recta y el lugar en donde se cruzan las dos rectas es el punto que representa
la solución de las ecuaciones, porque los valores de ese punto son los valores que resuelven las dos
ecuaciones.
Observa cómo se resuelve de manera gráfica el siguiente sistema de ecuaciones:
x+ y=9
10x + 5y = 60
Para graficar una ecuación se recomienda despejar una de las dos variables, y asignarle algunos valores a
la que no se despejó. A esto se le llama tabulación.
x+y=9
---- ( 1 )
10x + 5y = 60 ---- ( 2 )
Se despeja y en ambas ecuaciones:
y=9–x
y=
60  10x
5
y = 12 – 2x
Tabulamos ambos despejes:
y=9–x
Puntos
x
A
0
B
1
C
2
D
–1
E
–2
y
9
8
7
10
11
y=9–0
y=9–1
y=9–2
y=9+1
y=9+2
y = 12 – 2x
Puntos
x
M
0
N
1
O
2
P
–1
Q
–2
=9
=8
=7
= 10
= 11
y
12
10
8
14
16
y = 12 – 2( 0 ) = 12 – 0 = 12
y = 12 – 2( 1 ) = 12 – 2 = 10
y = 12 – 2( 2 ) = 12 – 4 = 8
y = 12 – 2( – 1 ) = 12 + 2 = 14
y = 12 – 2( – 2 ) = 12 + 4 = 16
Se localiza en el plano cartesiano las coordenadas de los puntos:
Q
P
M
E
N
D
A
O
B
C
Solución
( 3, 6 )
El punto de intersección de las dos rectas trazadas es la solución del sistema:
x=3
y=6
11
Ejercicios
Ahora grafica los siguientes sistemas de ecuaciones:
x+y=5
2x – y = 4
2x – y = 2
x+y=4
2x + 3y = 13
5x – 2y = 4
x+y=–5
– 3x + y = 1
SUCESIONES NUMÉRICAS.
El conjunto de varios números ordenados con base en una determinada regla constituye una sucesión
numérica.
Por ejemplo:
múltiplos de 3 menores de 30
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27
Para descubrir la generalización, fórmula o patrón de una sucesión se tienen que calcular las diferencias que
hay entre las cantidades, este se escribirá como el factor constante de la expresión:
Por ejemplo: 3, 8. 13, 18, 23, 28, ____ , _____
a) El incremento de posición a posición
en este caso es 5 como se observa
3
8
+5
+5
b) Se integra el incremento como factor con “n”
recuerda que “n” es la posición
13
+5
18
+5
23
28
+5
5n
Posteriormente se multiplica el factor encontrado por uno que es la primera posición y se revisa si falta o
sobra para obtener el primer número de la sucesión.
Si “n” es 1 entonces 5( 1 ) = 5
c) Posición uno
entonces el patrón será 5n – 2
d) Como en la primera posición hay 3 sobran 2
Si el número que ocupa la posición “n” es 25
entonces:
5( 25 ) – 2 = 125 – 2 = 143
El número que ocupa la posición 25 en la
sucesión es 48
e) Si se va a calcular otra posición que no esté en
la secuencia se sustituye en el patrón dicho
valor.
Ejercicio
Encuentra la generalización de cada una de las siguientes sucesiones.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Sucesión
– 6, – 9, – 12, – 15, – 18, …
4, 2, 0, – 2, – 4, – 6, …
36, 31, 26, 21, 16, 11, …
– 7, – 1, 5, 11, 17, 23, 29, …
– 13, – 19, – 25, – 31, – 37, – 43, – 49,,…
– 3.5, – 7.5, – 11.5, – 15.5, – 19.5, – 23.5, – 27.5, …
– 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, …
20, 18, 16, 14, 12, 10, …
Generalización
Encuentra los 8 primeros términos de la sucesión de cada una de las siguientes generalizaciones:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
4n – 7
n – 13
2n – 2
– 3n + 15
2n – 7
– 5n + 1
3n – 6
12n – 4
12
PROPORCIONALIDAD
Una proporción tiene cuatro términos. Siempre que se conocen tres de los cuatro términos de la proporción,
se puede encontrar el valor del término desconocido.
Debemos, en primer lugar, diferenciar entre repartir en partes iguales y repartir en partes proporcionales; por
ejemplo si tengo 50 libros y dos grupos de estudiantes, puedo dar a cada grupo 25 libros; en este caso he
repartido en partes iguales.
Pero si conozco que el primer grupo está formado por 15 estudiantes y el segundo grupo por 10 estudiantes
y decido que al primer grupo le doy más libros porque hay más alumnos y al segundo grupo le doy menos
libros porque son menos alumnos; en este caso he repartido en partes proporcionales.
Para hacer repartos proporcionales debo hacer repartos exactos. No se trata de repartir al azar, por ejemplo
si al grupo de 15 alumnos le doy 36 libros y al grupo de 10 alumnos le doy 14 libros, el reparto no es
proporcional. En cambio, si al grupo de 15 alumnos le doy 30 libros y al segundo grupo le doy 20 libros, el
reparto es proporcionalmente directo. Observemos como se realizan los repartos proporcionales:
El total de estudiantes que hay es 25 y el total de libros es 50. Con estos dos valores planteamos la primera
razón
El primer grupo tiene 15 estudiantes y se necesita conocer el número de libros que le corresponde, Con
estos dos valores planteamos la segunda razón.
Primera razón
25
50
Segunda razón
15
x
Con estas dos razones planteamos la proporción y resolvemos.
25 15

50
x
x
(50 )(15)
 30
25
Acabamos de averiguar que al grupo de 15 alumnos le corresponde 30 libros. La diferencia entre 50 y 30 es
20, por tanto al grupo de 10 alumnos le corresponde 20 libros.
Calcula el término desconocido de las siguientes proporciones:
4 = x
10
60
9 = 12
12
x
8 = 2
x
32
x = 24
6
8
x = ___________
x = ___________
x = ___________
x = ___________
3 = x
9 12
x = ___________
PROPORCIONALIDAD MÚLTIPLE
Es una serie de tres o más razones iguales, a estas se le llama proporcionalidad múltiple.
Ejemplo:
Si 25 obreros, trabajan durante 8 horas, pintan 4 km de carretera, ¿cuántos obreros, trabajando 10 horas, se
necesitarían para pintar 15 km?
Obreros
25
x
Horas
8
10
Kilómetros
4
15
25 = 10 x 4
x
8
15
Inversa
25 = 40
x
120
Directa
25 x 120
3 000
=
= 75
40
40
Se necesitan 75 obreros para pintar
13
Ejercicio
1. Una familia de 6 personas ha pagado por 7 días de vacaciones $ 15 540. Si una familia ha estado de
vacaciones 5 días y pagado $ 5 550. ¿ Cuántas personas tiene la familia ?
Personas
Dinero
15 540
5 550
6
x
Días
6 = 15 540 x
x
7
7
5
Directa
6 = 77 700
x
Inversa
6x
77 700
La familia consta de
=
6 233 100
=
personas
2. Si para transportar 1 480 toneladas de tierra hacen falta 4 camiones durante 10 días. Si tenemos que
transportar 2 368 toneladas de tierra, durante 8 días. ¿ Cuántos camiones necesitamos ?
Camiones
Días
10
8
4
x
Toneladas
1 480
2 368
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE
Para ver la clasificación de ángulos, consulta la siguiente página
www.geoka.net/geometria/angulos.html
De la intersección de dos paralelas y una secante se forman 8 ángulos cuatro internos y cuatro externos, por
la posición que guardan las paralelas respecto a la secante se establecen diversas relaciones de igualdad
entre ellos, así podemos encontrar:
Ángulos opuestos por el vértice, ángulos formados por la prolongación de las mismas rectas, por lo que
son iguales, pero se encuentran a ambos lados del vértice.
Ángulos suplementarios son los ángulos que al sumarlos dan 180º y pueden encontrarse juntos o
separados.
Ángulos adyacentes, son los ángulos que comparten el mismo vértice y uno de sus lados
Ángulos correspondientes son ángulos iguales localizados en el mismo lado de la secante, en diferentes
paralelas, uno es interno y otro externo.
Ángulos alternos, pueden ser internos o externos, son iguales y se localizan en la parte interna o externa
de las paralelas uno de un lado y otro lado de la secante.
Ángulos colaterales, pueden ser internos o externos son suplementarios y se encuentran en el mismo lado
de la secante.
Algunos de los ángulos que se han mencionado anteriormente los podemos distinguir a continuación.
Si l1 ll l2
m
1
2
3 4
7 8
5 6
l1
a) cuatro ángulos internos 2, 3, 6 y 7
b) cuatro ángulos externos 1, 5, 4, 8
c) por su posición  1 es opuesto por el vértice de  6
d) por su posición  1 es correspondiente de  3
e)  5 es alterno externo de  4
f)  6 es colateral interno de  7
g)  2 es alterno interno de  7
l2
Ángulos
correspondientes
1=3
2= 4
5= 7
6= 8
Ángulos
alternos internos
2=7
6=3
Ángulos
Ángulos
Ángulos
alternos externos colaterales internos colaterales externos
1=8
 2 +  3 = 180°
 1 +  4 = 180°
5=4
 6 +  7 = 180°
 5 +  8 = 180°
14
Ejercicio
Considera que las rectas PQ y RS son paralelas, calcula y anota las medidas de ángulos que hacen falta.
∢a = __________
∢b = __________
∢c = __________
R
∢d = __________
112º
∢e = __________
∢f = ___________
∢g =___________
47º
∢h = __________
115º
Q
S
¿Cuánto miden los ángulos internos a, c y e del triángulo que aparece en la siguiente ilustración, si el
ángulo b’ mide 45° y el ángulo d’ mide 60°?
a’
b
a
 a = __________
e’
c
 c = __________
d
 e = __________
a
e
d’
b’
SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO
B
Como sabes, la suma de los ángulos interiores de un triángulo
es 180º
 A +  B + c = 180º
A
C
Un cuadrilátero, puede descomponerse en dos triángulos.
La suma de sus ángulos interiores es
180º( 2 ) = 360º
A
B
D
C
A
De forma similar un pentágono se descompone en tres triángulos.
La suma de sus ángulos interiores es
180º( 3 ) = 540º.
B
E
D
C
A
El polígono tiene 9 lados
180°( 7 ) = 1 260°
Un polígono de n lados puede triangularse, ( n – 2 ) triángulos.
Por tanto:
La suma ángulos interiores = 180º( n – 2 )
Donde n es el número de lados
15
B
I
H
C
G
F
E
D
Ejercicio
Contesta las siguientes preguntas sobre los ángulos internos de distintos polígonos convexos
Número de lados
del polígono
Número de triángulos en
los que quedó dividido
Suma de los ángulos
internos del polígono
Triángulo
3
1
180°
Cuadrilátero
4
Pentágono
5
Hexágono
6
Heptágono
7
5
900°
Octágono
8
Eneágono
9
Decágono
10
Endecágono
11
Dodecágono
12
Icoságono
20
Polígono
Fígura
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Las figuras que son iguales, es decir que tienen igual forma y tamaño se llaman figuras congruentes.
Hay tres formas que nos sirven para determinar si dos triángulos son congruentes, es decir iguales.
Criterio LLL ( lado, lado, lado )
Si cada uno de los lados de un triángulos miden
lo mismo que los correspondientes del otro
Criterio LLAL ( lado, ángulo, lado )
Si dos lados de un triángulo y el ángulo formado
por estos lados tiene la misma medida que los
correspondientes del otro
Criterio ALA ( ángulo, lado, ángulo )
Si dos ángulos de un triángulos y el lado comprendido
entre ellos tienen la misma medida que los
correspondientes del otro
Ejercicio
Di qué triángulos son congruentes, indicando el criterio.
16
Cuerpo
Nombre
Aristas
Vértices
Fórmula del volumen
12
8
V=ℓ
Cubo
Lado =
Prisma
rectangular
12
9
6
18
bh
(a)
2
b = base
h = altura de la base
a = altura del prisma
V=
Prisma
hexagonal
ℓ
V= bah
b = Largo de la base
a = Ancho de la base
h = altura del prisma
8
V=
Prisma
triangular
3
12
P ap
(a)
2
P = perímetro
ap = apotema
a = altura
Generalizando el volumen de los prismas es:
Superficie de la base por altura
V=
Pirámide
triangular
6
4
área de la base x h
3
Área de la base = bh
2
h = altura de la pirámide
V=
Pirámide
hexagonal
12
7
área de la base x h
3
Área de la base =
P  ap
2
h = altura de la pirámide
Pirámide
cuadrangular
V=
8
5
área de la base x h
3
Área de la base = ℓ
h = altura de la pirámide
2
Generalizando el volumen de las pirámides es:
17
Desarrollo plano
Superficie de la base por altura entre tres
Completa la tabla siguiente.
Cuerpo
Prisma cuadrangular
Prisma cuadrangular
Prisma rectangular
Prisma rectangular
Pirámide rectangular
Pirámide cuadrangular
Cuerpo
Prisma pentagonal
Pirámide hexagonal
Prisma octagonal
Cuerpo
Prisma triangular
Pirámide triangular
Pirámide triangular
Datos de la base
Largo (cm)
Ancho (cm)
9
4
8
2
2
5
3
5
Datos de la base
Lado (cm) Apotema (cm)
5
3
6
4
6
Datos de la base
Base (cm)
Altura (cm)
4
5
9
4
6
Altura del
cuerpo (cm)
10
Volumen
(cm3)
240
5
20
180
180
10
Altura del
cuerpo (cm)
12
Volumen
(cm3)
360
240
20
Altura del
cuerpo (cm)
12
10
Volumen
(cm3)
168
40
PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
CIRCUNCENTRO
1. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en el punto medio.
2. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos con O, y que recibe el
nombre de CIRCUNCENTRO.
3. El punto de corte de las tres mediatrices es el CENTRO de una circunferencia que pasa por los tres vértices del
triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita.
A
A
Ma
Mb
Mc
o
o
Mb
C
B
Ma
A
Mc
o
Mc
C
B
Ma
Mb
B
C
INCENTRO
1. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.
2. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por I, y que recibe el
nombre de INCENTRO.
3. El punto de corte de las tres bisectrices es el CENTRO de un circunferencia tangente a los tres lados del
triángulo, que llamaremos circunferencia inscrita.
18
BARICENTRO
1. Se llama mediana de un triángulo al segmento que une un vértice con el punto medio del lado
opuesto.
2. Las tres medianas de un triángulo, se cortan en un ÚNICO punto, que recibe el nombre de
BARICENTRO, y que denotaremos con G.
3.
El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de cada vértice que del
punto medio de su lado opuesto
ORTOCENTRO
1. La altura de un triángulo es el segmento que une un vértice con el lado opuesto o su prolongación
formando ángulo recto.
2. Las alturas de cualquier triángulo se cortan en un único punto, que llamaremos ORTOCENTRO, y
que denotaremos por H.
Puedes consultar la siguiente página electrónica: http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/trian1.htm
Ejercicio
Marca con una  el punto que corresponda a la característica descrita
Circuncentro
Características
(mediatrices)
Las líneas son perpendiculares a los lados del triángulo
o a la prolongación de éstos
Las líneas pasan por un vértice del triángulo
Las líneas cortan los lados del triángulo en los puntos
medios
Las líneas dividen a la mitad los ángulos del triángulo
Las líneas se cortan en un punto
Las líneas son paralelas a los lados del triángulo
Las líneas cortan los lados del triángulo en una razón
de 2 a 1
19
Baricentro
(medianas)
Ortocentro
(alturas)
Incentro
(bisectrices)
SIMETRÍA
Dos figuras pueden ser simétricas con respecto a un punto (simetría central) o con respecto a una recta
(simetría axial).
SIMETRÍA CENTRAL
Una simetría central, es un movimiento del plano con el que a cada punto P le corresponde otro punto P´,
siendo O el punto medio del segmento PP’, y la distancia de los puntos simétricos al centro de la simetría es
la misma, y ambos están alineados con este centro.
SIMETRÍA AXIAL
La simetría axial de eje es un movimiento que conserva la forma y el tamaño de las figuras, pero cambia el
sentido. Es un movimiento inverso, por tanto a todo punto P del plano le corresponde otro punto P’ también
del plano, de manera que el eje sea la mediatriz del segmento AA’
A
A’
B’
B
C’
C
D’
D
L
TRASLACIÓN
La traslación es un movimiento en el plano consistente en desplazar cada punto de una figura según una
dirección, sentido y distancia fija dados. Estos tres datos conforman el denominado vector de la traslación.
Este movimiento conserva la forma, el tamaño y el sentido de las figuras.
Las figuras inicial y final guardan relación de igualdad.
Ejercicio
2. Rotación de 180° con respecto al punto C
1. Traslación
20
C
3. Simetría respecto a la recta
GRÁFICAS DE LA FORMA y = mx + b
En la vida diaria se usan magnitudes que están una en función de otra. Las funciones pueden representarse
mediante un texto, una tabla de valores, una expresión algebraica o una gráfica.
La función y = mx + b es una función lineal donde m es la pendiente, b es el punto donde la recta corta al
eje de las ordenadas.
En la función la variable independiente es x y a ella se le asignan diferentes valores.
y es la variable dependiente porque su valor está en función de x.
Algunas veces al leer la información representada en las gráficas sólo se presenta la gráfica y no la función,
para obtenerla es necesario calcular la pendiente y después localizar el punto b en donde la recta corta el
eje de las ordenadas. Con estos datos se puede formar la función.
Ejemplo:
y
1) Dada la gráfica se calcula la pendiente m
m =
y=4
x´
x
x=2
y
x
m = 4
2
m = 2
2) El punto b es donde la recta corta el eje de las
ordenadas, b = 4
3) Tomando la forma de la función y = mx + b
4) Se sustituye los dos valores encontrados:
y = 2x + 4 que es la función
y´
Ejercicios:
21
1) Encuentra la función de las siguientes gráficas:
y
R1
y
-x
x
-x
x
R1
R2
R3
-y
-y
y=
y=
y=
y
y
-x
x
-x
x
R1
R1
R2
R2
R3
-y
-y
y=
y=
y=
y=
y=
y=
3) En la siguiente gráfica, elige la opción que corresponda a la familia de rectas representada.
a)
y=–x+2
1
y=– x+2
2
1
y=
x+2
2
b) y = 2x + 2
c) y = 2x + 1
y=x+2
y = 2x + 2
y=–x+2
y = 2x – 1
4) Relaciona las gráficas siguientes con sus respectivas ecuaciones:
22
d) y = 2x – 1
1
2
1
y = 2x +
2
y = 2x –
a) y = 3x – 4
b) y = 2x
d) y = – 3x – 4
c) y = x
e) y = – 2x
f) y = 3x + 4
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-4
-4
-4
(
(
)
)
(
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-4
-4
-4
(
)
(
)
2
3
4
)
4
-4 -3 -2 -1
-1
1
(
1
2
3
4
)
INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS
En los medios la información aparece de distintas formas, una de ellas es la gráfica, que permite identificar
de manera rápida y sencilla los datos. Para ello debes tomar en cuenta que los datos se distribuyen en el eje
de las abscisas los datos constantes y en el eje de las ordenadas los datos variables, para interpretar los
datos contenidos en una tabla debes tomar en cuenta el valor en la abscisa y posteriormente el de la
ordenada.
Ejercicio
1) La siguiente gráfica registra las temperaturas de un día en dos ciudades diferentes, denominadas A y B,
analízalas y responde a lo que se indica.
a) ¿En qué ciudad se registro la mayor temperatura del día?, ¿De cuántos grados fue?
b) ¿Cuál fue la temperatura más baja del día en la ciudad A?
c) ¿En qué ciudad hacia más calor a las 9 a.m.
2) Los alumnos de segundo A fueron de paseo a las Lagunas de Zempoala y el recorrido que hicieron en el
autobús se puede representar en la siguiente gráfica.
23
Paseo a Zempoala
180
K 160
I 140
ó 120
m
100
e
80
t
60
r
o
40
s
20
0
a)
b)
c)
d)
e)
20
40
60
80
120 140
Tiempo en minutos
160 180
100
200
¿Cuánto tiempo tardaron en llegar?____________________________________________________
¿Cuántos kilómetros recorrieron?____________________________________________
Antes de llegar pararon a desayunar, ¿cuánto tiempo se tardaron?____________________________
Después del desayuno ¿qué distancia les faltaba por recorrer?_______________________________
¿Cómo identificas en la gráfica el tiempo que utilizaron para desayunar?_________________________
3) Analiza la información de las siguientes gráficas:
Bibliotecas
B
i
b
l
i
o
t
e
c
a
s
13000
12500
12 311
12000
11500
11000
10 841
10500
10000
9500
_2000
V
o
l
ú
m
e
n
e
s
11 952
11 723
11 493
12 549
_2001
_2002
_2003
Años
_2004
_2005
Acervo bibliotecario
(millones de volúmenes)
70
65
60
64.7
58.4
55
55.1
55.4
65.8
56.4
50
45
_2000
_2001
_2002
_2003
Años
_2004
_2005
Responde las siguientes preguntas:
a) ¿En qué año se incrementó más el número de bibliotecas? ______________
b) ¿En qué año el incremento de libros fue menor? ___________________
c) ¿Cuál fue el promedio de libros por biblioteca en el año 2000? __________
d) ¿En qué año el incremento de bibliotecas fue menor?______________
e) ¿Cuántas bibliotecas se abrieron en el periodo 2000 – 2005? ____________
f) ¿Cuál es el promedio de libros en las bibliotecas en el periodo 2000 – 2005? _______
24
TÉCNICAS DE CONTEO
DIAGRAMA DE ÁRBOL
Un diagrama de árbol es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de
una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades.
Construcción del diagrama de árbol
Sean: A = { 2, 6, 0 } y B = { 3, 7 }
1) Fijar un punto inicial ( Un punto situado a la izquierda, representa la raíz del árbol );
2) Abrir a partir del mismo, tantas ramas como elementos tenga el conjunto A;
3) Abrir a partir de cada una de estas, tantas ramas como elementos tenga el conjunto B;
4) Leer el conjunto ordenado resultante sobre cada secuencia de ramas.
Ejemplo:
En cuántas maneras se pueden combinar los números mencionados arriba
3
2
7
3
6
7
3
0
7
De 6 maneras se pueden combinar
ARREGLO RECTANGULAR
Es una tabla simple donde se ponen todos los posibles resultados. En el encabezado de las columnas se
ponen los valores de una variable y en el de los renglones se colocan los valores de la otra variable, en el
resto la combinación de las columnas y renglones.
Ejemplo
2
3
0
3
( 2, 3 )
( 3, 3 )
( 0, 3 )
7
( 2, 7 )
( 3, 7 )
( 0, 7 )
TÉCNICA DE LA MULTIPLICACIÓN
La técnica de la multiplicación: Si hay “m” formas de hacer una cosa y hay “n” formas de hacer otra cosa,
hay ( m ) ( n ) formas da hacer ambas cosas.
Ejemplo:
Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta:
auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar.
¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?
m es el número de modelos = 3
n es el número de tipos de rin = 2
Número total de arreglos: 3 x 2
Hay 6 opciones
Ejercicio
Contesta lo que se te pide
1. Con las letras de la palabra libro, ¿ cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen
por vocal ?
De cuántas maneras se pueden combinar los siguientes platillos y construye un diagrama de árbol y
un arreglo rectangular
Sopa: lentejas, arroz y fideo
Guisado: carne, pollo y pescado
Postre: gelatina, flan y pastel
2. Toño tiene 4 chamarras y 3 pantalones. ¿ De cuántas maneras puede combinar su vestuario ?
3. Construye un diagrama de árbol y un arreglo rectangular sobre el siguiente problema.
Lupita va a la nevería a comprar un helado de tres sabores diferentes. ¿ De cuántas formas
diferentes puede combinar los 3 sabores ?.
4. Un lugar turístico tiene 6 ríos. Si en cada río navegan 4 lanchas y en cada lancha viajan
10 pasajeros, ¿ cuál es el total de pasajeros que transportan en su primer viaje ?
5. De cuántas maneras se pueden combinar los números 1, 2, y 3 con las letras A, B, C
25
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MODA
La moda es el valor que cuenta con una mayor frecuencia en una distribución de datos
Se representa con Mo
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia se dice que la distribución es bimodal
o multimodal es decir tiene varias modas.
Ejemplos
2 , 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5
Mo = 4
1 , 1, 1 , 4, 4, 5, 5, 5 , 7 , 8 , 9 , 9 , 9
Mo = 1, 5, 9
M E D I AN A
La mediana es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando están ordenados de menor a
mayor.
Se representa con Me
Ejemplos
4, 4, 6, 7, 9
Me = 6
2, 3, 3, 4, 4, 4 , 5, 5
Me = 4
1, 1, 1 , 4, 4, 5, 5, 6, 7 , 8 , 9, 9, 9 , 1 0
Me =
56
= 5. 5
2
MEDIA
La media es el valor obtenido de sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número de datos. Es
conocida también como promedio o media aritmética.
Se representa con x
Ejemplos
2 , 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5
2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 =
30 = 3 . 7 5
8
x = 3. 7 5
1 , 1, 1, 4, 4, 5, 5, 6 , 7 , 8 , 9 , 9 , 9 , 1 0
1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 9 + 9 + 1 0 = 79 = 5 . 6 4
14
x = 5. 6 4
Ejercicio
En cada caso obtén la moda, mediana y media
1, 1, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 8, 8
Mo =
Me =
x =
8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 12, 13, 14, 15, 15, 15, 17, 17, 18
Mo =
Me =
x =
5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 108
Mo =
Me =
x =
26
PROBLEMARIO
1.
11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 m de ancho en 6 días. ¿ Cuántos
obreros serán necesarios para labrar otro campo parecido de 300 m de largo por 56 m de ancho
en 5 días ?
2.
El pasado invierno, la temperatura en el patio de la escuela, era de – 2° C, en el salón de clase había
C ° 20 . ¿ Cuál era la diferencia entre el interior y el exterior ?.
3.
Eduardo tiene 27 estampas ,Oscar tiene 13 más que Juan .¿ Cuantos cromos tiene cada uno si Juan
tiene 3 estampas menos que Eduardo ?.
4.
La suma de dos números enteros consecutivos es 53. Calcula esos números.
5.
Cuál es el perímetro de la siguiente figura
6.
Escribe con lenguaje algebraico:
El perímetro de un triángulo equilátero de lado x
El perímetro de un rectángulo de base x cuya altura mide 1 cm menos que su base.
El área de un rectángulo de base x cuya altura mide 6 cm menos que su base.
7.
La medida de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es el quíntuplo del otro. Halla la
medida de dichos ángulos.
8.
Juan tiene 12 años, Pedro 14 y Miguel 20. ¿ Cuántos años hace que la suma de las edades de Juan
y de Pedro era igual a la edad de Miguel ?
9.
Rosario , María y Teresa tienen ahorrados $ 900 , $ 620 y $ 735, respectivamente. Si Rosario va
a gastar
2
3
de lo que tiene ahorrado, María la mitad y Teresa
2
. ¿ Cuánto gastará cada una ?
5
10. Una caja tiene 18 bolsas de dulces, cada una con 20 dulces, ¿ cuántos dulces hay en 15 cajas ?
11. ¿ Qué cantidad de papel se necesita para elaborar un periódico mural de forma hexagonal de 32 dm
de lado y 22 dm de apotema ?
12. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda 8 veces, siempre caiga sol?
13. ¿ En cuántos años la edad de Juan será el triple de la de su hijo, si en la actualidad Juan tiene
50 años y su hijo 12 ?
14. Se colocan 15 cajas cúbicas iguales una tras otra formando un rectángulo cuyo largo mide 7.5 m
¿Cuánto mide el ancho de cada caja?
15. Entre sus recipientes doña Juanita tiene uno en forma de cubo sólo sabe que uno de sus lados mide
8 centímetros. ¿qué capacidad tendrá el recipiente para guardar aceite?
16. Mónica compró 3 paletas y 2 refrescos por $ 16.00; Carlos compró 2 paletas y 5 refrescos por
$ 29.00, ¿ Cuánto cuesta cada paleta y cada refresco ?
17. Juan le dijo a María: “ Tengo el triple de dinero que tú pero si te doy $ 20, tu tendrás el triple que yo”.
¿ De cuánto dinero disponen Juan y María ?
18. En un triángulo el  A = 2x,  B = x y el  C =
x . ¿ Cuánto mide cada ángulo ?
2
19. El volumen de una caja con forma de prisma rectangular es de 60 cm 3 , si sabemos que el área de
la base es de 15 cm 2 , ¿cuánto medirá la altura ?
20. Ceci compró 3 paletas y 2 dulces por $ 11.00; Héctor 2 paletas y 5 dulces por $ 11.00, ¿ Cuánto cuesta
cada paleta y cada dulce ?
27
21. Calcula el volumen de un cubo que mide 4.5 cm de cada arista.
22. El número de kilowatios-hora consumidos en una casa es de 300; si el importe del consumo de la
electricidad fue de $ 45.00 ¿ Cuál será el importe de consumo de electricidad por 120, 180, 230, 300,
450 y 520 kilowatios ?
23. Si la base de una pirámide pentagonal tiene de lado 2 metros y de apotema 1.5 metros y una
altura de 10 metros; y se quiere transformar en un prisma, qué altura debe tener éste para que su
volumen sea el doble.
24. Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila y el
número 5 ?
25. Calcula el volumen de un depósito en forma de prisma pentagonal regular cuya altura mide 2.5 cm y
el área de la base 80 cm2.
26. La pirámide de Keops tiene una altura de 146 m y su base de forma cuadrada mide 230 m por arista.
Calcula su volumen.
27. Seis albañiles hicieron una barda de 180 m2 durante 12 días. ¿ Cuántos días necesitaran 5 albañiles
para levantar una barda de 100 m2 ?
28. Por dos camisas y dos pantalones pagué $ 430. Mi amigo pagó $ 350 por dos camisas y un
pantalón. ¿ Cuánto cuestan la camisa y el pantalón ?
29. Se tiene un rectángulo que mide de base 8 cm y de altura 5 cm. Construye otro rectángulo bajo un
factor de proporcionalidad de 5 .
4
30. El costo de cinco discos compactos de música de igual precio menos $ 120 es igual al costo de tres
discos compactos más $ 128. ¿ Cuánto cuesta cada disco compacto ?
31. Un albañil cobra $ 2 500 por construir un muro de 15m2. ¿ Cuánto cobrará por construir un muro de
45m2 ?
32. ¿ Cuál es el volumen de la siguiente pirámide ?
3.6 cm
2 cm
2 cm
33. La siguiente gráfica registra las temperaturas de un día en dos ciudades diferentes, denominadas A y
B. Analízala y responde a lo que se indica
35
Grados centígrados (° C)
30
25
20
Ciudad A
15
Ciudad B
10
5
0
6 a. m.
9 a. m.
12 a. m.
3 p. m.
6 p. m.
9 p. m.
12 p. m.
¿ En qué ciudad se registró la mayor temperatura del día ?
¿ De cuántos grados fue ?
¿ Cuál fue la temperatura más baja del día en la ciudad A ?
¿ En qué ciudad hacía más calor a las 9 a. m.?
34. Con base en la información que aparece en las siguientes gráficas, contesta las preguntas que
aparecen después.
28
No. de alumnos
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
grupo A
grupo B
5
6
7
8
9
10
calificaciones
¿ Cuál es la calificación que más se repite en el grupo A ?
¿ En cuál grupo hay mayor número de reprobados ?
¿ Cuántos alumnos hay en cada grupo ?
¿ En cuál grupo existe mayor cantidad de alumnos con calificaciones mayores o iguales que 8 ?
35. Las edades de de 6 amigos son las siguientes, 13, 15, 12, 14, 16 y 18, calcula la media aritmética.
36. La maestra Rosita, dibujó la siguiente figura en el pizarrón
Si m y n son paralelas, ¿cuál es el valor del ángulo x?
37. Observa la figura de abajo, ¿cuánto vale el área sombreada?
38. ¿Cuál es el volumen de una pirámide cuadrangular si la arista de la base mide 12 centímetros y de
altura 35 centímetros?
39. ¿Con cuál de los siguientes desarrollos planos se puede armar una pirámide pentagonal?
40. Juan dice que su edad es 5 veces la diferencia de un número menos 4 y Lupe dice que su edad es el
cuádruple de ese mismo número menos dos. Si ambos tienen la misma edad, ¿cuántos años tienen?
41. Por dos pares de calcetines y dos pares de calcetas del uniforme pagué $130. Un compañero pagó
$100 por dos pares de calcetines y un par de calcetas. ¿Cuánto cuesta el par de calcetines?
29
42. Se extraen tres canicas sucesivamente de una bolsa que contiene 8 rojas, 6 blancas y 7 azules.
Encuentra la probabilidad que se extraigan en el orden roja blanca y azul.
43. Juan tiene para entrenar atletismo, 6 pants y 2 pares de tenis, ¿cuántas combinaciones distintas
puede hacer Juan para vestirse y entrenar atletismo?
44. Observa los siguientes triángulos.
¿En cuál de estos triángulos se marcaron sus medianas para encontrar el baricentro del mismo?
45. Determina el perímetro y el área de las siguientes figuras
a)
b)
4b
2x + 1
2x + 1
2
5a
2x
5
4x + 4
3p + 1
c)
d)
10p
2p
2p
a
3p + 5
b
46. De acuerdo con las siguientes figuras, ¿ a qué expresión algebraica equivale ?
1
+
x
x
1
1
1
1
1
1
47. ¿Cuál será el valor de x en la siguiente ecuación? 4 + 2 ( x + 6 ) = 20
48. ¿ Qué cantidad de agua le cabría a una alberca cuya altura mide 5cm y el área del fondo 30m2 ?
49. Una mezcla contiene 21 litros de anticongelante y 31 litros de agua. ¿Cuál sería la mezcla total?
2
4
50. ¿Cuál es la generalización de la siguiente sucesión? – 7 , – 4 , - 1 , 2
51. ¿Cuál es el área de un rectángulo, cuya base mide x + 5m y de altura mide 3m ?
30
52. Encuentra dos números que tengan 65 por suma y 1 050 por producto.
53. Encuentra dos números que tengan 432 por producto y 3 por cociente.
54. Cuatro alumnos son enviados al director del colegio por alborotar en la clase. Para esperar su
castigo, tienen que alinearse en fila ante la puerta del despacho del director, ninguno quiere ser el
primero desde luego. Supongamos que los niños se llamaban Andrés, Benito, Carlos y Daniel ( los
llamaremos A,B,C y D). Queremos escribir todos los órdenes posibles en que podrían alinearse. Por
ejemplo: un orden es ABCD. ¿ Cuántas formas diferentes hay en total ?.
Recuerda que eres EXCELENTE y tú puedes ser
mejor solamente estudia, administra tu tiempo y
triunfarás.
31