Método simplex Datei

MÉTODO SIMPLEX
PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO
[email protected]
3. MÉTODO SIMPLEX
Desarrollado por George Dantzig en 1947
Es un método de resolución algebraico, iterativo que busca
progresivamente la solución óptima.
Está basado en la mejora de la función objetivo, partiendo
de un vértice del espacio factible y “saltando” a vértices
adyacentes que mejoren la función objetivo.
Para aplicarlo se requiere que el modelo este en la forma
estándar.
1
3.2 Método Simplex Tabular
Punto
Factibles
Puntos
Adyacente
s
Valor Z en
el Punto
Valor Z en los Adyacentes
P1
P2 y P8
Z=0
P2 (Z = -30) y P8 (Z = -12)
P2
P1 y P5
Z = -30
P1 (Z = 0) y P5 (Z = -36)
P5
P2 y P6
Z = -36
P2 (Z = -30) y P6 (Z = -27)
P6
P5 y P8
Z = - 27
P5 (Z = -36) y P8 (Z = -12)
P8
P1 y P6
Z = -12
P1 (Z = 0) y P6 (Z = -27)
•P
5
P2
•P
6
•P
8
P1
El Método Simplex inicia explorando uno de los puntos, usualmente el origen (en este
caso P1), y saltará a un punto adyacente sólo si éste salto mejora el valor de Z.
Si estando en un punto se determina que ninguno de los adyacentes a él mejora el valor
de Z, entonces se ha encontrado el óptimo.
En este caso el óptimo es el punto P5, y se encuentra en 3 iteraciones (P1
P2
P5).
3.2 Método Simplex Tabular
Maximizar Z = 3x1 + 5x2
Sujeto a: x1 + S1 = 4
El Método Simplex inicia en el punto P1, que corresponde a la
Tabla 1. Punto que representa una solución básica inicial
factible, con una base inicial asociada, la cual, en general, es la
matriz idéntica de orden m.
2x2 + S2 = 12
3x1 + 2x2 + S3 = 18
x1 , x2 , S1, S2, S3 ≥ 0
Tabla 1
P1
x1
x2
s1
s2
s3
0
0
4
12
18
Variables
No Básicas
Variables
Básicas
Variables
Básicas
Coeficientes en la
Función Objetivo
(Cj)
x1
x2
S1
S2
S3
S1
0
1
0
1
0
0
4
S2
0
0
2
0
1
0
12
S3
0
3
2
0
0
1
18
-3
-5
0
0
0
0
Zj - Cj
Coeficientes de las
restricciones
Solución
(R.H.S.)
Valor Objetivo
2
3.2 Método Simplex Tabular
Variables
Básicas
Coeficientes en la
Función Objetivo
(Cj)
x1
x2
S1
S2
S3
S1
0
1
0
1
0
0
4
S2
0
0
2
0
1
0
12
S3
0
3
2
0
0
1
18
-3
-5
0
0
0
0
Zj - Cj
Solució
n
(R.H.S.)
CRITERIO DE OPTIMALIDAD
Para maximización se observa en el renglón Zj-Cj el valor
más negativo de las variables no básicas. Si no es existe
entonces la tabla actual es óptima
Si es minimización se observa el más positivo de las
variables no básicas. Si no es posible entonces la tabla
actual es óptima.
3.2 Método Simplex Tabular
Maximización - Si todos los valores del renglón Zj-Cj > 0 la
tabla es óptima. CRITERIO DE OPTIMALIDAD
De lo contrario, es decir, si en el renglón Zj-Cj existe al
menos un coeficiente < 0, entonces existe una variable no
básica que aporta al crecimiento de la función objetivo.
CRITERIO DE ENTRADA
Variables
Básicas
Coeficientes en la
Función Objetivo
(Cj)
x1
x2
S1
S2
S3
S1
0
1
0
1
0
0
4
S2
0
0
2
0
1
0
12
S3
0
3
2
0
0
1
18
-3
-5
0
0
0
0
Zj - Cj
Solució
n
(R.H.S.)
3
3.2 Método Simplex Tabular
Para maximización
(Zj – Cj) <0 la inclusión mejora la función objetivo.
(Zj – Cj) >0 la inclusión empeora la función objetivo.
(Zj – Cj)=0 la inclusión no genera cambio en la función objetivo.
Para minimización
(Zj – Cj) >0 la inclusión mejora la función objetivo.
(Zj – Cj) <0 la inclusión empeora la función objetivo.
(Zj – Cj)=0 la inclusión no genera cambio en la función objetivo.
Si existe una variable no básica que puede mejorar la función
objetivo, esta debe reemplazar una variable básica.
Método Simplex Tabular
El CRITERIO DE SALIDA corresponde a la razón mínima del
lado derecho y el elemento de la columna entrante
correspondiente. Se tienen en cuenta solo las razones
positivas, y la variable básica que sale es la que tiene la
menor razón.
Variables
Básicas
Coeficientes en la
Función Objetivo
(Cj)
x1
x2
S1
S2
S3
S1
0
1
0
1
0
0
4
-
S2
0
0
2
0
1
0
12
12/2 = 6
3
2
0
0
1
18
18/2 = 9
-3
-5
0
0
0
0
S3
0
Zj - Cj
Solución
(R.H.S.)
Razón
Mínima
(θ)
Sale de la base la variable S2 y entra X2
4
Método Simplex Tabular
Variables
Básicas
Coeficientes en la
Función Objetivo
(Cj)
x1
x2
S1
S2
S3
S1
0
1
0
1
0
0
4
-
S2
0
0
2
0
1
0
12
12/2 = 6
S3
0
3
2
0
0
1
18
18/2 = 9
-3
-5
0
0
0
0
Zj - Cj
0
1
0
2

3
2

− 3 − 5
0
1
0
1

3
2

− 3 − 5
1 0 0 4
r = r2 / 2
0 1 0 12 2
0 0 1 18

0 0 0 0
1
0

3

− 3
4
6 
6

0 0 5 / 2 0 30
0 1
0
Solución
(R.H.S.)
1 0 0 4
0 1 / 2 0 6 
0 0 1 18

0 0 0 0
r3 = r3 - 2*r2
0
1
0
1

3
0

−
3
−
5

0
1 0 1/ 2 0
0 0 −1 1
r4 = r4 + 5*r2
Razón
Mínima
(θ)
0 0 4
0 1 / 2 0 6 
0 − 1 1 6

0 0 0 0
1
Método Simplex Tabular
0
1
0
2

3
2

−
3
−
5

1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1

3
2

−
3
−
5

0 4
r = r2 / 2
0 12 2
1 18

0 0
1
0

3

− 3
4
1 0 1 / 2 0 6 
0 0 −1 1 6 

0 0 5 / 2 0 30
0 1
0
1
0
0
0
0
0
r4 = r4 + 5*r2
Coeficientes en la
Función Objetivo
(Cj)
x1
x2
S1
S1
0
1
0
X2
0
0
1
S3
0
3
-3
Zj - Cj
r3 = r3 - 2*r2
0
1
0
1

3
0

− 3 − 5
0
Variables
Básicas
P2
4
6 
1 18

0 0
0
0 1/ 2 0
0 4
0 1 / 2 0 6 
0 − 1 1 6

0 0 0 0
1
0
S2
S3
Solución
(R.H.S.)
1
0
0
4
0
1/2
0
6
0
0
-1
1
6
0
0
5/2
0
30
x1
x2
s1
s2
s3
0
6
4
0
6
Fact
5
3.2 Método Simplex Tabular
Hacer eliminación Gauss Jordán.
Variables
Básicas
Coeficientes en la
Función Objetivo (Cj)
X1
X2
S1
S1
0
1
0
1
x2
5
0
1
0
3
0
0
-1
1
6
-3
0
0
5/2
0
30
S3
0
Zj – Cj
S2
S3
Solución
(R.H.S.)
0
0
4
1/2
0
6
Es la tabla óptima?
Volver a empezar el procedimiento.
3.2 Método Simplex Tabular
Variables
Básicas
x1
Coeficientes en la
Función Objetivo (Cj)
X2
S1
S2
S3
Solución
(R.H.S.)
Razón
θ
4/1 =4
S1
0
1
0
1
0
0
4
x2
5
0
1
0
1/2
0
6
-
S3
0
3
0
0
-1
1
6
6/3 =2
-3
0
0
5/2
0
30
Zj - Cj
Variables
Básicas
Coeficientes en la
Función Objetivo (Cj)
x1
X2
S1
S2
S3
Solución
(R.H.S.)
S1
0
0
0
1
1/3
-1/3
2
x2
5
0
1
0
1/2
0
6
x1
3
1
0
0
-1/3
1/3
2
0
0
0
3/2
1
36
Zj - Cj
Es la tabla óptima?
P5
x1
x2
s1
s2
s3
2
6
2
0
0
Fact
6
3.2 Método Simplex Tabular
Variables
Básicas
Coeficientes en la
Función Objetivo
(Cj)
x1
x2
S1
S2
S3
S1
0
1
0
1
0
0
4
-
S2
0
0
2
0
1
0
12
12/2 = 6
S3
0
3
2
0
0
1
18
18/2 = 9
-5
0
0
0
0
Zj - Cj
-3
Solución
(R.H.S.)
Razón
Mínima
(θ)
LA VARIABLE A INGRESAR
TOMA EL VALOR DE LA
RAZÓN MÍNIMA
Variables
Básicas
Coeficientes en la
Función Objetivo
(Cj)
x1
x2
S1
S1
0
1
0
X2
0
0
1
S3
0
3
-3
Zj - Cj
S2
S3
Solución
(R.H.S.)
1
0
0
4
0
1/2
0
6
0
0
-1
1
6
0
0
5/2
0
30
3.2 Método Simplex Tabular
Variables
Básicas
Coeficientes en la
Función Objetivo (Cj)
x1
X2
S1
S2
S3
Solución
(R.H.S.)
Razón
θ
4/1 =4
S1
0
1
0
1
0
0
4
x2
5
0
1
0
1/2
0
6
-
S3
0
3
0
0
-1
1
6
6/3 =2
-3
0
0
5/2
0
30
Zj - Cj
Mejoramiento en el valor objetivo por cada
unidad de la variable. Ejemplo 3*2 = 6 luego la
FO mejora de 30 a 30 + 6
Variables
Básicas
Coeficientes en la
Función Objetivo (Cj)
x1
X2
S1
S2
S3
Solución
(R.H.S.)
S1
0
0
0
1
1/3
-1/3
2
x2
5
0
1
0
1/2
0
6
x1
3
1
0
0
-1/3
1/3
2
0
0
0
3/2
1
36
Zj - Cj
7
3.2 Método Simplex Tabular
Variables
Básicas
Coeficientes en la Función
Objetivo (Cj)
x1
X2
S1
S2
S3
Solución
(R.H.S.)
S1
0
0
0
1
1/3
-1/3
2
x2
5
0
1
0
1/2
0
6
x1
3
1
0
0
-1/3
1/3
2
0
0
0
3/2
1
36
Zj - Cj
Costo Reducido: incremento
necesario en el coeficiente de
la variable en la función
objetivo para que la variable
sea básica
Valor de la
Función
Objetivo
Precio Sombra: es el cambio en
el valor óptimo de la función
objetivo
por
unidad
incrementada en el valor del
lado derecho de una restricción,
con todo lo demás constante.
3.2 Método Simplex Tabular
Ejercicio en Clase
Solucionar el siguiente modelo mediante el método simplex
tabular
Maximizar Z = 5X1 + 4,5X 2 + 6X 3
Maximizar Z = 5X1 + 4,5X 2 + 6X 3
sujeto a :
6X1 + 5X 2 + 8X 3 ≤ 60
sujeto a :
6X1 + 5X 2 + 8X 3 + S1 = 60
10X1 + 20X 2 + 10X 3 ≤ 150
10X1 + 20X 2 + 10X 3 + S 2 = 150
X1 ≤ 8
X1 + S 3 = 8
(X1 , X 2 , X 3 ) ≥ 0
(X1 , X 2 , X 3 ) ≥ 0
8
3.2 Método Simplex Tabular
Coeficientes en la
Variables Básicas Función Objetivo
(Cj)
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Solución
(R.H.S.) o Xb
Razón θ
S1
0
6
5
8
1
0
0
60
60/8 = 7,5
S2
0
10
20
10
0
1
0
150
150/10 = 15
-
S3
0
Zj - Cj
1
0
0
0
0
1
8
-5
-4,5
-6
0
0
0
0
LA VARIABLE A INGRESAR
TOMA EL VALOR DE LA
RAZÓN MÍNIMA
GAUSS…
Coeficientes en la
Variables Básicas Función Objetivo
(Cj)
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Solución
(R.H.S.) o Xb
Razón θ
X3
6
0,75
0,63
1
0,13
0
0
7,5
12
S2
0
2,5
13,8
0
-1,25
1
0
75
5,45455
-
S3
0
Zj - Cj
1
0
0
0
0
1
8
-0,5
-0,75
0
0,75
0
0
45
3.2 Método Simplex Tabular
Coeficientes en la
Variables Básicas Función Objetivo
(Cj)
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Solución
(R.H.S.) o Xb
Razón θ
1
0
0
60
60/8 = 7,5
S1
0
6
5
8
S2
0
10
20
10
0
1
0
150
150/10 = 15
S3
0
1
0
0
0
0
1
8
-
-5
-4,5
-6
0
0
0
0
Zj - Cj
Mejoramiento en el valor objetivo por cada
unidad de la variable. Ejemplo 6*7,5 = 45
luego la FO mejora de 0 a 0 + 45
GAUSS…
Coeficientes en la
Variables Básicas Función Objetivo
(Cj)
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Solución
(R.H.S.) o Xb
Razón θ
X3
6
0,75
0,63
1
0,13
0
0
7,5
12
S2
0
2,5
13,8
0
-1,25
1
0
75
5,45455
S3
0
1
0
0
0
0
1
8
-
-0,5
-0,75
0
0,75
0
0
45
Zj - Cj
9
3.2 Método Simplex Tabular
Coeficientes en la
Variables Básicas Función Objetivo
(Cj)
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Solución
(R.H.S.)
Razón θ
X3
6
0,64
0
1
0,18
-0,05
0
4,0909091
6,42857
X2
4,5
0,18
1
0
-0,09
0,07
0
5,4545455
30
S3
0
1
0
0
0
0
1
8
8
-0,36
0
0
0,68
0,05
0
49,090909
Zj - Cj
GAUSS…
Coeficientes en la
Variables Básicas Función Objetivo
(Cj)
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Solución
(R.H.S.)
6,43
X1
5
1
0
1,57
0,29
-0,07
0
X2
4,5
0
1
-0,29
-0,14
0,09
0
4,29
S3
0
0
0
-1,57
-0,29
0,07
1
1,57
0
0
0,57
0,79
0,03
0
51,43
Zj - Cj
3.2 Método Simplex Tabular
Coeficientes
Variables
en la Función X1
Básicas
Objetivo (Cj)
X1
5
1
X2
4,5
0
S3
0
0
Zj - Cj
0
Costo Reducido: incremento
necesario en el coeficiente de
la variable en la función
objetivo para que la variable
sea básica
X2
X3
S1
S2
0 1,57 0,29 -0,07
1 -0,29 -0,14 0,09
0 -1,57 -0,29 0,07
0 0,57 0,79 0,03
S3
Solución
(R.H.S.)
0
0
1
0
6,43
4,29
1,57
51,43
Valor de la
Función
Objetivo
Precio Sombra: es el cambio en
el valor óptimo de la función
objetivo
por
unidad
incrementada en el valor del
lado derecho de una restricción,
con todo lo demás constante.
10
FUENTES:
1. Vidal, Carlos Julio (2005). Introducción A La
Modelación Matemática Y Optimización.
2. Bravo, Juan José. Notas de Clase: Método
Simplex.
3. Ramírez, Luis Felipe (2009). Notas de Clase:
Método Simplex.
4. Toro, Héctor Hernán. Notas de Clase. Método
Simplex
11