FUNCIONES

FUNCIONES
CONCEPTO:Sea A y B, dos conjuntos; ninguno de ellos vacíos. Se denomina
𝐹
función de A en B, denotado 𝐹: 𝐴 → 𝐵ó𝐴 → 𝐵, a toda relación que asigna a cada
elemento de A un solo elemento de B
Una función puede darse por medio de:
I.
II.
III.
IV.
Una ecuación
Un diagrama sagital
Un diagrama cartesiano (gráfica)
Pares ordenados
EJEMPLO:
1.𝐹(𝑥) = 𝑦 = 3𝑥 2 − 5𝑥 − 7
1.
1
3
5
7
2
5
5
2.
a
b
c
d
e
f
g
B
g
f
e
d
c
b
a
A
1
3
5
7
25
3. 𝐹: 𝐴 → 𝐵 = {(1, 𝑏), (3, 𝑐), (5, 𝑑)(7, 𝑒), (25, 𝑒)}
Se debe tener en cuenta que para que haya función en cada forma, se cumplan
las siguientes condiciones:
En el Diagrama Sagital: De cada elemento del primer conjunto (A) debe
salir una sola flecha
En los pares ordenados: No pueden existir dos elementos con la primera
componente igual y las segundas componentes diferentes.
En el Diagrama Cartesiano ó Gráfica: Al trazar una recta vertical sólo
puede haber un punto en cada una de ellas ó cortar la curva una sola vez.
EJERCICIO PROPUESTO N°5
Conteste Verdadero (V)ó Falso (F)en cada una de las siguientes premisas:
Justifique sus respuestas.
1.
2.
3.
4.
5.
Toda recta es una función (
)
Toda parábola cóncava hacia arriba ó hacia abajo representa una función( )
Toda circunferencia es una función (
)
Toda elipse es una función (
)
Algunas hipérbolas son funciones (
)
FUNCIÓN REAL:
Es aquella función en la cual tanto el Dominio como el Rango, son los números
reales ó un subconjunto de ellos.
Cuando se da una función y no se especifica su tipología, se asume que es una
función real.
DOMINIO:Se denomina Dominio de una función
F: A → B, denotado por
Dom (F)ó D(F) a todos los elementos del conjunto A.
Para hallar el dominio de una función 𝑦 = 𝐹(𝑥), se debe en cuenta lo siguiente:
1. Despejar “y” en términos de “x”
2. Considerar:
A. Si hay una raíz con índice par, se hace el radicando mayor ó igual a
cero, es decir:
2𝑛
𝑦 = √𝑄(𝑥) ⇒ 𝑄(𝑋) ≥ 0
B. Si se obtiene una fracción, se hace el denominador diferente de
cero, es decir:
𝑦=
𝑃(𝑥)
⇒ 𝑅(𝑋) ≠ 0
𝑅(𝑥)
RANGO:Se llama Rango o recorrido ó conjunto imagen de una función F: A →
B, denotado por: R (F)ó I (F) al conjunto de elementos que están en B y son
imagen ó están relacionadas con algún elemento de A.
Para hallar el rango de una función y = F(X):
Se despeja “x” en términos de “y” y se tiene en cuenta las condiciones a) ∧ b)del
Dominio.
EJEMPLOS
Hallar el dominio y el rango en cada una de las funciones dadas
1. 𝐹(𝑥) = √3𝑥 2 + 𝑥 − 2
A. 𝐃𝐨𝐦 (𝐅)
Como en este caso hay una raíz con índice par, hacemos el radicando mayor
ó igual a cero, es decir:
3𝑥 2 + 𝑥 − 2 ≥ 0
Factorando tenemos:
(3𝑥 − 2)(𝑥 + 1) ≥ 0
Resolviendo la inecuación, se tiene:
3𝑥 − 2 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥
2
3
𝑥 + 1 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ −1
----------------- +++
2
−∞
∞
3
------+++++++ +++
−∞
−1
∞
+
−
+
Por tanto, se concluye que:
𝟐
𝐃𝐨𝐦 (𝐅) = (−∞, −𝟏] ∪ [ , ∞)
𝟑
B. 𝐑(𝐅)
Debemos despejar “X” en la ecuación
y = √3x 2 + x − 2 ⇒ y 2 = 3x 2 + x − 2
Igualando a cero, por ser una ecuación cuadrática, tenemos:
3x 2 + x − 2 − y 2 = 0
En este caso, 𝒂 = 𝟑, 𝒃 = 𝟏, 𝒄 = −𝟐 − 𝒚𝟐 ,en la fórmula general.
x=
−b ± √b 2 − 4ac
2a
Reemplazando, se tiene:
x=
−1 ± √1 − 12(−2 − y 2 )
6
−1 ± √1 + 24 + 12𝑦 2
𝑥=
6
𝑥=
−1 ± √12𝑦 2 + 25
6
Como se obtuvo un radical con índice par, se debe cumplir en el rango que:
12𝑦 2 + 25 ≥ 0, esto se cumple para cualquier valor real (suma de números reales
positivos). Lo anterior implica que la solución serían todos los reales, pero como
en la función dada hay una raíz par “Y” sólo puede tomar valores mayores o
iguales a cero, por esto:
𝐑(𝐅) = [𝟎, ∞)
NOTA: Siempre que al despejar “Y” se obtiene una raíz par; para hallar el rango,
se intercepta la solución obtenida con [0, ∞) si el radical es positivo, ó (−∞,0]
cuando el radical es negativo.
2. 𝑦 = −√
3𝑥−5
4𝑥+7
A. 𝐃𝐨𝐦 (𝐅)
Como existe un radical con índice par:
3𝑥 − 5
≥0
4𝑥 + 7
Resolviendo la inecuación, se tiene:
3𝑥 − 5 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥
5
3
5
3
−∞
7
4𝑥 + 7 > 0 ⇒ 𝑥 > − 4
7
−∞
−4
+
Luego:
𝟕
𝟓
𝐃𝐨𝐦 (𝐅) = (−∞, − ) ∪ [ , ∞))
𝟒
𝟑
∞
∞
−
+
B. RANGO(F)
Se debe despejar “X” de la ecuación:
3𝑥 − 5
3𝑥 − 5
𝑦 = −√
⇒ 𝑦2 =
4𝑥 + 7
4𝑥 + 7
4𝑥𝑦 2 + 7𝑦 2 = 3𝑥 − 5 ⇒ 3𝑥 − 4𝑥𝑦 2 = 5 + 7𝑦 2
𝑥(3 − 4𝑦 2 ) = 7𝑦 2 + 5 ⇒ 𝑥
=
7𝑦 2 + 5
3 − 4𝑦 2
Como al despejar “X” se obtuvo una fracción, se debe considerar que:
3 − 4y 2 ≠ 0 ⇒ y 2 ≠
y≠±
3
3
⇒ y ≠ ±√
4
4
√3
2
En este caso “Y” no puede tomar los valores
√𝟑
𝟐
ni −
√𝟑
.
𝟐
Para hallar el Rango se debe tener en cuenta la nota anterior. Realizando la
intersección, se tiene:
]
−∞
−
√3
2
0
Por lo tanto:
𝐑(𝐅) = (−∞, −
√𝟑
)
𝟐
∪ (−
√𝟑
,𝟎
𝟐
]
√3
2
∞
3. 𝑓(𝑥) =
4𝑥+3
2𝑥 2 +3𝑥−2
A. 𝐃𝐨𝐦 (𝐅)
Como se tiene una fracción, el denominador se hace diferente de cero:
2𝑥 2 + 3𝑥 − 2 ≠ 0 ⇒ (2𝑥 − 1)(𝑥 + 2) ≠ 0
2𝑥 − 1 ≠ 0 ∧ 𝑥 + 2 ≠ 0
𝑥≠
1
∧ 𝑥 ≠ −2
2
Luego, se concluye que:
1
Dom (F) = ℝ − { , −2}
2
B. 𝐑(𝐅)
Se despeja “X” de la ecuación:
𝑦=
4𝑥 + 3
⇒ 2𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 − 2𝑦 = 4𝑥 + 3
+ 3𝑥 − 2
2𝑥 2
Igualando a “cero” por ser cuadrática y organizando la ecuación, se tiene:
2𝑥 2 𝑦 + (3𝑦 − 4)𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0
En este caso: 𝑎 = 2𝑦, 𝑏 = 3𝑦 − 4, 𝑐 = −2𝑦 − 3
Aplicando la fórmula general, se obtiene:
𝑥=
−(3𝑦 − 4) ± √9𝑦 2 − 24𝑦 + 16 + 16𝑦 2 + 24𝑦
4𝑦
𝑥=
−(3𝑦 − 4) ± √25𝑦 2 + 16
4𝑦
En este caso hay dos condiciones:
25𝑦 2 + 16 ≥ 0, ∀ 𝑦 𝜖 ℝ, 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟
∧
4𝑦 ≠ 0 ⇒ 𝑦 ≠ 0, 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟
Luego, la única condición para “Y” es que sea diferente de “0”( 𝑦 ≠ 0)
Se concluye que:
R(F) = ℝ − {0}
EJERCICIO PROPUESTO N°6
Hallar el dominio y el rango de las siguientes funciones:
1. 𝐹 (𝑥 ) = −√5𝑥 2 − 7𝑥 + 3
2. 𝐹 (𝑥 ) = √9𝑥 2 − 16
3. 𝐹 (𝑥 ) = −√25 − 4𝑥 2
4. 𝐹 (𝑥 ) =
5. 𝐹 (𝑥 ) =
5𝑥−3
6𝑥 2 +5𝑥−6
7𝑥+4
2𝑥 2 +3𝑥+2
6. 𝐹 (𝑥 ) = √
3𝑥−5
2𝑥 2 −3𝑥−2
7. 𝐹 (𝑥 ) =
11𝑥 2 −9
4𝑥 2 −25
8. 𝐹 (𝑥 ) = √3𝑥 2 + 5𝑥 − 2
9. 𝐹 (𝑥 ) =
10. 𝐹 (𝑥 ) =
𝑥
√5𝑥 2 +3𝑥−2
7𝑥 2 −8
4𝑥 2 +15𝑥−4
11. 𝐹 (𝑥 ) = −
12. 𝐹 (𝑥 ) =
3𝑥−2
√2𝑥 2 +𝑥+3
3𝑥 2 −5
2𝑥 2 −3𝑥+10