GUIA N 1 FUNCIONES.

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
CÁTEDRA: MATEMÁTICA
GUÍA Nº 1
FUNCIONES
En años anteriores se han estudiado algunos aspectos relacionados con
funciones, específicamente, función afín y función cuadrática. A cada una de
ellas se les hallaban su dominio, su rango y hacían la gráfica correspondiente. A
continuación vamos a hacer un breve repaso para poder hacer análisis de
funciones nuevas. Comencemos con el concepto de función.
FUNCIÓN: Una función f : A
B es una relación que asigna a cada elemento “x”
de partida A , un único elemento “ y” o imagen del conjunto de llegada B.
A Conjunto de partida
f
1
3
4
2
B conjunto de llegada
IMÁGENES:
a
b
c
d
f(1) = a Cada elemento de A tiene una
f(2) = b imagen en B
f(3) = c
f(4) = c
DOMINIO DE UNA FUNCIÖN
El conjunto de partida constituye el dominio de una función y se denota Dom f.
En el diagrama anterior el dominio es Domf= A
RANGO DE UNA FUNCIÓN
El rango, imagen o recorrido de una función es el subconjunto del conjunto de
llegada o codominio, formado por las imágenes de los elementos del dominio. y
se denota Rgo f.
En el diagrama anterior el rango de la función es Rgo f =
a, b, c
Vamos a recordar estos conceptos con el siguiente ejemplo:
Dados los conjuntos A = 1, 2, 3, 4
B= 1, 2, 3, 5, 7
la función f: A
definida
Y = f(x) = 2x - 1
Hallar: a) Imágenes
b)Dominio y Rango
c)Diagrama‘
B,
FUNCIÓN REAL DE UNA VARIABLE REAL
Dado un conjunto A cualquiera, se denomina función real a aquella cuyo
dominio es A y cuyo rango es un subconjunto de R. y se denota
f: A
R
Si , en particular, A es un subconjunto de R, la función f es una función real de una
variable real y se denota:
f: R
R
En este último caso, tanto el dominio como el rango son subconjuntos de R .
Cuando no se especifique lo contrario, tanto A como B se consideraran que son
subconjuntos de los números reales.
El ejemplo anterior es una función real de variable real, ya que, tanto el dominio
como el rango son subconjuntos de R.
DOMINIO DE UNA FUNCIÖN DEFINIDA POR UNA FUNCIÓN NUMÉRICA
Es el conjunto formado por los valores de la “x” que hacen que ” y” tome valores
reales.
Para hallar el dominio de una función se despeja la y ( si no la dan ya despejada)
y se establecen los valores de x que hacen real a y.
Ejemplos:
1) Y = 4x
Si a “x” le damos cualquier valor real, “y” resulta un valor real. Por lo tanto, el
dominio ( los valores que puede tomar la x) son todos los reales.
Por ejemplo:
x= 1
y= 4.1 = 4 real positivo
x= 0
y= 4.0 = 0 real
x= -1/4 y = 4.(-1/4)= -1 real negativo.
2) y = 1 ¿ Puede x tomar cualquier valor real?
x
Vamos a darle algunos valores:
x= 1
y = 1 = 1 real positivo
1
x= -2
y= 1
-2
x =0
y = 1 = ? Es un absurdo ya que la división por cero no está definida en el
0
conjunto de los números reales. Por lo tanto, se puede decir que
x puede tomar cualquier valor real con excepción del cero y se
denota: Dom f = R - 0
3) y =
5__
x+3
real negativo
Como se vio en el en el ejemplo anterior, el denominador no puede
ser igual a cero. Entonces x + 3 tiene que ser diferente de cero para
y sea un número real, por lo tanto, x ≠ -3.
Luego Dom f = R - -3
4) y = √2𝑥 + 1 Cuando aparecen radicales de índice par, debemos descartar los
valores de x que hacen que la cantidad subradical sea negativa,
ya que las raíces con índice par de números negativos no están
definidas en los reales. Por lo tanto, hay que buscar los valores que
la hacen positiva, planteando y resolviendo la inecuación
2x + 1> 0
x > -1/2
Luego el dominio son todos los reales mayores o iguales que -1/2
Domf =
x ϵ R / x > -1/2 =
-1/2 , ∞ )
RANGO DE UNA FUNCIÓN
El rango de una función ( Rgo ) es el conjunto de valores que, dependiendo de
los valores de la variable independiente, puede tomar la función.
El rango se puede analíticamente y por inspección del gráfico de la función.
Para determinarlo analíticamente se despeja la variable independiente en la
ecuación y se hace el mismo estudio que se hizo para determinar el dominio.
Ejemplos:
Determinar el rango a cada una de las siguientes funciones:
1) f(x)= 5x – 3.
Para mayor comodidad utilizaremos en lugar de f(x), la letra y
y = 5x – 3.
Despejamos la variable independiente que es la x
x = y + 3_
5
Como la y no está en el denominador ni en la cantidad subradical de una raíz de
índice par, puede tomar cualquier valor real, por lo tanto el rango son todos los
números reales. Rgo f = R.
2) g(x) =
2___
3x - 5
Sustituimos y por g(x)
y=
2___
3x - 5
Despejamos la variable independiente que es la x
x= 2 +5
3y 3
Como la y está en el denominador, esta debe ser diferente a cero y ≠ 0 por lo
tanto el rango son todos los números reales menos el cero Rgo g = R – { 0 }
3) f(x) =
5___ + 3
x–4
Sustituimos y por f(x)
y =
5___ + 3
x–4
Despejamos la variable independiente que es la x
x=
5___ + 4
y-3
Como la y está en el denominador, éste debe ser diferente de cero
y–3≠0
y ≠ 3 luego el rango de la función son todos los números reales
diferentes de 3.
Rgo f= R – { 3 }
4) g(x) = x3 + 5
Sustituimos y por g(x)
y = x3 + 5
Despejamos la variable independiente que es la x
3
x = √𝑦 − 5
Como la y está en la cantidad subradical de una raíz de índice impar, puede
tomar cualquier valor real, por lo tanto el rango son todos los números reales.
Rgo f = R.
5) f(x) =
x3
1__
+2
Sustituimos y por f(x)
y=
x3
1__
+2
Despejamos la variable independiente que es la x
3
1
x = √𝑦 − 2
Como la y está en el denominador, esta debe ser diferente a cero y ≠ 0 por lo
tanto el rango son todos los números reales menos el cero Rgo g = R – { 0 }
5) f(x)= + √𝑥 + 5
En este caso podemos determinar el rango de la función por simple
razonamiento, sin necesidad de despejar la variable x, el signo + que precede al
radical, significa que sólo se toman las raíces positivas de esa expresión, Por lo
tanto el rango son todos los reales mayores o iguales a cero.
_Rgo f = [ 0, ∞ )
6) f(x) = 3x -2 + 4
Este caso es parecido al anterior. La expresión de valor absoluto sólo puede valer
cero o un número positivo, cuando es cero la función valdrá 4, y cuando sea un
número positivo la función valdrá mayor que 4. Por lo tanto, el rango son los
valores mayores o iguales que 4.
Rgo f = [ 4, ∞ )
Ejercicios:
I) Hallar el dominio a cada una de las siguientes funciones reales:
1) f(x)= X2 – 2x + 1
2) f(x) = - 5x + 7
3
3
3) g(x)= √4𝑥 − 1
4) h(x)=
4 __
2x-5
5) f(x) =
x2
3x + 5____
+ 7x - 18
6) g(x) =
4x + 2 ___
+x+7
4
7) r(t)= √5 − 2𝑖
x2
8) g (x)=
9) g(x)=
√𝑥 + 5__
x-9
1 ___
2√𝑥 − 7
3
10) g(x)= √𝑥 − 3
II) Hallar el dominio y el rango a cada una de las siguientes funciones:
1) f(x)= 2x + 4
2) g(x) = -5x - 11
3) f(x) = 4x + 7
3
4) f(x) = 9__
3x + 5
5) f(x) =
4__ + 5
x-3
6) f(x) = 2x - 3
x+1
7) f(x) = 5 - 9x
4x + 1
8) g(x) = x2 + 9
9) f(x) = x3 + 5
10) g(x) = 5x5 - 7