Análisis de Fourier para tiempo discreto

CAPITULO
4
Análisis de Fourier para tiempo discreto
El análisis de Fourier en tiempo continuo tratado durante el cursado de la materia, es de gran utilidad para
su comprensión y cálculo en forma teórica, pero su implementación en las computadoras requiere de un
análisis desde el punto de vista discreto. En este capítulo, se deducirán las ecuaciones convencionales
para calcular la transformada y la transformada inversa, y en el siguiente se analizarán algoritmos para
aplicar éstas en forma mucho más eficiente en una computadora. La Transformada de Fourier en Tiempo
Discreto (DTFT), similar a la de tiempo continuo, nos devuelve un espectro continuo de frecuencias, y
como ya se vio en al comienzo del trabajo, es imposible aplicarlo a las computadoras digitales, por esta
razón, esta Transformada no será analizada en el presente trabajo. En cambio, la Transformada Discreta
de Fourier (DFT), si nos devuelve un espectro discreto de frecuencias que pueden ser procesadas por la
computadora. Esta DFT, se basa exclusivamente en la Series de Fourier de Tiempo Discreto, que se
analizará a lo largo del capítulo.
La respuesta de los sistemas LTI de tiempo discreto a las
exponenciales complejas
La motivación para desarrollar una representación en el caso de tiempo discreto (es decir, para
expresar secuencias generales como combinaciones lineales de exponenciales complejas) es
idéntica a la del caso de tiempo continuo. En particular, las secuencias de exponenciales
complejas son funciones características de sistemas LTI de tiempo discreto. Esto es, suponga
que un sistema LTI con respuesta al impulso h[n] tiene como entrada la señal
x[n ] = z n
donde z es un número complejo. La salida del sistema puede determinarse a partir de la suma
de convolución como
y[n ] = h[ n ] ∗ x[n ] =
∞
∑ h[k] ⋅ x[n − k ]
k = −∞
=
∞
∑
∞
h[k ] ⋅ z n − k = z n
k = −∞
∑ h[k] ⋅ z
−k
k = −∞
De esta expresión vemos que si la entrada x[n] es una exponencial compleja dada por la
ecuación anterior, entonces la salida es la misma exponencial compleja multiplicada por una
constante que depende del valor de z, esto es,
y[n ] = H( z) ⋅ z n
(ec.1)
donde
H ( z) =
∞
∑ h[k] ⋅ z
−k
k = −∞
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Aquí H(z) es el valor característico asociado con la función característica zn. En general, vemos
que la ecuación 1, junto con la propiedad de superposición, implica que la representación de
señales en términos de exponenciales complejas conduce a una expresión conveniente para la
respuesta de un sistema LTI. Es decir, si la entrada a un sistema LTI de tiempo discreto se
representa como una combinación lineal de exponenciales complejas, esto es, si
x[n ] =
∑a
n
kzk
k
entonces la salida y[n] será
∑a
y[n ] =
n
k H(z k )z k
k
En otras palabras, la salida puede también representarse como una combinación lineal de las
mismas señales exponenciales complejas y cada coeficiente en esta representación de la salida
se obtiene como el producto del correspondiente a k de la entrada y el valor característico H( z k )
del sistema asociado con la función característica z nk .
En la sección siguiente, se limitará el análisis a exponenciales complejas de la forma e iΩn , para
el análisis de Fourier de señales periódicas mediante las Series de Fourier.
La serie de Fourier de Tiempo Discreto
Combinaciones lineales de exponenciales complejas armónicamente relacionadas
Una señal de tiempo discreto x[n] es periódica, si para algún valor positivo de N, x[n] = x[n+N].
Por ejemplo, la exponencial compleja e i ( 2 π / N )n es periódica con período N. Además, el conjunto
de todas las señales exponenciales complejas de tiempo discreto que son periódicas con período
N, está dado por
φ k [n ] = e ik (2 π / N )n , k=0, ±1, ±2, ...
Todas estas señales tienen frecuencias que son múltiplos de la misma frecuencia fundamental,
2π/N, y por lo tanto están relacionadas con armonía. Ahora se desea considerar la
representación de secuencias periódicas generales en términos de combinaciones lineales de
exponenciales complejas. Tal combinación tiene la forma
x[n ] =
∑a
ke
ik (2 π / N )n
(ec.2)
k
Ya que estas secuencias son distintas solo en el rango de N valores sucesivos de k, la sumatoria
de la ecuación anterior necesita incluir sólo términos sobre este rango. Entonces esta sumatoria
es en k, conforme k varía sobre un rango de N enteros sucesivos, y por conveniencia indicamos
esto expresando los límites de la sumatoria como k=<N>. Esto es,
x[n ] =
∑a
ke
ik ( 2 π / N )n
k= N
Por ejemplo, k podría tomar valores k=0,1,...,N-1 o k=3,4,...,N+2. En cualquier caso, en virtud
de la periodicidad de las exponenciales, el mismo conjunto de secuencias aparecen en la
sumatoria del lado derecho de la ecuación anterior. Esta ecuación será conocida como La Serie
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de Fourier de Tiempo Discreto y los coeficientes ak como los Coeficientes de la serie de
Fourier. Como se puede ver en la ecuación, en tiempo discreto, es una serie finita (a diferencia
de la serie de tiempo continuo que es infinita), como consecuencia directa de la periodicidad de
las exponenciales (vista en el capítulo 3).
Determinación de la representación de una señal periódica mediante Series de Fourier
Supongamos ahora que se tiene una secuencia x[n] la cual es periódica con período N. Se desea
determinar si existe una representación de x[n] de la forma dada en la ultima ecuación, y si es
así, cuales son los valores de los coeficientes ak. Esta pregunta se expresa con el fin de encontrar
una solución para un conjunto de ecuaciones lineales. En particular, si evaluamos esta ecuación
para valores sucesivos de n, obtenemos
x[0] =
∑a
k
k= N
x[1] =
∑a
ke
∑a
ke
i 2 πk / N
k= N
M
x[ N − 1] =
i 2 πk ( N −1) / N
k= N
Esta ecuación representa un conjunto de N ecuaciones lineales para los N coeficientes
desconocidos ak conforme k varía sobre un conjunto de N enteros sucesivos. Se puede
demostrar que este conjunto de N ecuaciones es de forma lineal independiente y por
consiguiente, puede resolverse para obtener los coeficientes ak en términos de los valores dados
de x[n]. Sin embargo, es posible obtener una expresión general para obtener los coeficientes ak ,
en términos de la secuencia de valores de x[n]. Para determinar esta relación es útil demostrar
primero que
N −1
∑e
n =0
ik (2 π / N )n
N, k = 0,± N,±2 N,...
=
c.o.c.
 0,
(ec.3)
La interpretación de esta ecuación es que la suma sobre un período de los valores de una
exponencial compleja periódica sea 0, a menos que la exponencial compleja sea constante. Es
decir, que esta ecuación es solo la contraparte en tiempo discreto
∫
T
0
T, k = 0
e ik (2 π / T )t dt = 
 0, c.o.c.
Para deducir la ecuación 3, note primero que el lado izquierdo de ésta es la suma de un número
finito de términos de una serie geométrica. Esto es, es de la forma
N −1
∑α
n
n =0
Con α = e ik (2 π / N ) . Esta suma, puede considerarse en forma cerrada como
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 N,

α n = 1 − α N
n =0
 1 − α
N −1
∑
α =1
α ≠1
También se sabe que e ik (2 π / N ) = 1 cuando k es múltiplo de N. Por lo que, al aplicar la ecuación
anterior con α = e ik ( 2 π / N ) obtenemos
N,
k = 0,± N,±2 N,...


e ik (2 π / N )n = 1 − e ik (2 π / N )N
c.o.c.
n =0
 1 − e ik ( 2 π / N ) = 0
N −1
∑
Ahora se considera la representación en serie de Fourier de la ecuación (2). Al multiplicar
ambos lados por e − ir ( 2 π / N )n y sumar los N términos obtenemos
∑ x[n ] ⋅ e
− ir ( 2 π / N )n
=
n= N
∑ ∑a
ke
i (k − r )( 2 π / N )n
n= N k= N
Al intercambiar el orden de la sumatoria del lado derecho de la ecuación tenemos
∑ x[n] ⋅ e
− ir ( 2 π / N )n
=
n= N
∑ a ∑e (
i k − r )( 2 π / N )n
k
k= N
(ec.4)
n= N
A partir de la identidad de la ecuación 3 la suma anterior en n en el lado derecho es cero a
menos que k-r sea cero o múltiplo entero de N. Por tanto, si escogemos valores de r sobre el
mismo rango sobre el cual k varía en la sumatoria exterior, la suma interior en el lado derecho
de la ecuación 4 es igual a N si k=r y cero si k≠r. Entonces, el lado derecho de la ecuación 4 se
reduce a N⋅ar y tenemos
ar =
1
x[n ]e −ik (2 π / N )n
N n= N
∑
Esto proporciona una expresión genérica para obtener los coeficientes de la serie de Fourier, y
tenemos el par de la Serie de Fourier de tiempo discreto el cual resumimos en las siguientes
dos ecuaciones:
x[n ] =
∑a
ke
ik (2 π / N )n
n= N
∑
(ec.5 y ec.6)
1
ak =
x[n ] ⋅ e −ik (2 π / N )n
N n= N
Que representan las ecuaciones de síntesis y de análisis, respectivamente. Los coeficientes de la
Serie de Fourier ak a menudo se denominan como los coeficientes espectrales de x[n]. Estos
coeficientes especifican una descomposición de x[n] en una suma de N exponenciales
complejas relacionadas armónicamente.
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Asignando k sobre cualquier conjunto de N enteros consecutivos y considerando la propiedad
de periodicidad de las exponenciales, podemos establecer que
a k = a k+N
Esto es, si consideramos mas de N valores secuenciales de k, los valores de ak se repetirán en
forma periódica con período N. Es importante interpretar este hecho con cuidado. En particular,
ya que existen solo N distintas exponenciales complejas que son periódicas con período N, la
representación en serie de Fourier de tiempo discreto es una serie finita con N términos. Por lo
tanto si fijamos los N valores consecutivos de k sobre los cuales definimos la serie de Fourier en
la ecuación de síntesis (ecuación 5), se obtiene un conjunto de N coeficientes de Fourier a partir
de la ecuación de análisis (ecuación 6). Por otro lado, en algunas ocasiones será conveniente
usar conjuntos de N valores de k y como consecuencia es de utilidad considerar la ecuación 5
como una suma sobre cualquier conjunto arbitrario de N valores sucesivos de k. Por esta razón,
es conveniente pensar algunas veces en ak como una secuencia definida para todos los valores
de k, donde solamente N elementos sucesivos en esta secuencia serán utilizados en la
representación mediante serie de Fourier.
La Transformada Discreta de Fourier (DFT)
Como ya hemos mencionado, una de las razones del tremendo incremento en el empleo de los
métodos de tiempo discreto para el análisis y síntesis de señales y sistemas fue el desarrollo de
herramientas muy eficientes para realizar el análisis de Fourier de tiempo discreto. En el centro
de estos métodos existe una técnica que está muy relacionada con la serie antes descripta, que es
adecuada para utilizarse en una computadora digital o para su implantación en hardware digital.
Esa técnica es la transformada discreta de Fourier (que no ha de confundirse con la
Transformada de Fourier en Tiempo Discreto) para señales de duración finita. Su deducción es
trivial a partir de la serie de Fourier.
Sea x[n] una señal de duración finita, esto es, hay un entero N1 tal que
x[n ] = 0 , fuera del intervalo 0 ≤ n ≤ N1-1
Al igual que en la sección anterior podemos construir una señal periódica ~
x[ n ] que sea igual a
~
x[n] en un período. Sea N ≥ N1 un entero dado, y sea x[ n ] periódica con periodo N tal que
~
x[ n ] = x[ n ] , 0 ≤ n ≤ N-1
los coeficientes de la serie de Fourier para ~
x[ n ] están dados por
ak =
∑
1
~
x[n ] ⋅ e −ik (2 π / N )n
N n= N
seleccionando el intervalo de la sumatoria en el que ~
x[ n ] = x[ n ] , obtenemos
ak =
1 N −1
x[ n ] ⋅ e −ik ( 2 π / N )n
N n =0
∑
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El conjunto de los coeficientes definidos por esta ecuación comprende la DFT de x[n], que
usualmente se denota por X[Ω] y se define como
X[Ω] = a Ω N =
N −1
∑ x[n]⋅ e
−iΩ ( 2 π / N )n
, k=0, 1, ...., N-1
n =0
La importancia de la DFT radica en varios hechos. Primero, note que la señal original de
duración finita puede recuperarse a partir de su DFT. En particular, la ecuación de síntesis
x[ n ] a
(ecuación 5) para la representación en serie de Fourier de ~
x[ n ] nos permite calcular ~
partir de ak. Entonces usando la ecuación anterior, tenemos
x[n ] =
1 N −1
X[Ω]⋅ e iΩ (2 π / N )n , N=0, 1, ..., N-1
N Ω= 0
∑
Por consiguiente, puede considerarse que la señal de duración finita está especificada por un
conjunto finito de valores diferentes de cero, o bien por un conjunto finito de valores de X[Ω]
en su DFT. Una segunda característica importante de la DFT es que para su cálculo hay un
algoritmo muy rápido llamado Transformada Rápida de Fourier (FFT), que se verá en el
próximo capítulo. También debido a su estrecha relación con la serie de Fourier en tiempo
discreto, la DFT hereda algunas de sus propiedades importantes, por ejemplo la propiedad de
convolución que nos da una forma muy rápida de calcular convoluciones de dos secuencias de
duración finita (convolución por FFT que se verá más adelante).
Propiedades de la DFT
Como ya se mencionó, muchas de las propiedades que son de la serie de Fourier de tiempo
discreto también lo son de la DFT y se resumen en la siguiente tabla:
Señal
x[n]
y[n]
A⋅x[n]+B⋅y[n]
x[n-n0]
x[n ] ⋅ e iΩ 0 ( 2 π / N )n
x*[n]
x[-n]
∑ x[r] ⋅ y[n − r]
r= N
x[n]⋅y[n]
x[n] real
xe[n]=Ev{x[n]} (x[n] real)
xo[n]=Od{x[n]} (x[n] real)
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DFT
X[Ω]
Y[Ω]
A⋅X[Ω]+B⋅Y[Ω]
X[Ω] ⋅ e − iΩ (2 π / N )n 0
X[Ω-Ω0]
X*[- Ω]
X[-Ω]
N⋅X[Ω]⋅Y[Ω]
∑ X[r] ⋅ Y[Ω − r ]
r= N

X[Ω] = X * [−Ω]

 Re{X[Ω]} = Re{X[−Ω]}

 Im{X[Ω]} = Im{− X[ −Ω]}

X[Ω] = X[ −Ω]

arg(X[Ω]) = − arg(X[−Ω])
Re{X[Ω]}
i⋅Im{X[Ω]}
Como estas propiedades son análogas a las de la transformada de Fourier de tiempo continuo, se
omitirán las demostraciones excepto la de convolución y dualidad que se detallan a
continuación.
Propiedad de Convolución
Una de las propiedades que hace al análisis de Fourier una herramienta tan útil es la propiedad
de convolución que nos dice que convolucionar en el dominio del tiempo, es equivalente a
multiplicar en el dominio de frecuencia. Esto es,
∑ x[r] ⋅ y[n − r ] ↔ X[Ω] ⋅ Y[Ω]
r= N
Para demostrarlo, consideremos un sistema LTI con respuesta al impulso h[n], salida y[n] y
entrada x[n], de manera que
y[n ] =
∑ x[k] ⋅ h[n − k]
k= N
Se desea conocer Y[Ω], que es
Y[Ω] = F{y[n]} =
∑ ∑ [x[k] ⋅ h[n − k]] ⋅ e
−in (2 π / N )Ω
n= N k= N
Intercambiando el orden de la sumatoria y notando que x[k] no depende de n, tenemos
Y[Ω] =

∑ x[k] ⋅  ∑ h[n − k] ⋅ e
− in ( 2 π / N )Ω
n = N
k= N



Por la propiedad de desplazamiento, la sumatoria dentro del corchete es simplemente
e −iΩk H[Ω] . Sustituyendo en la ecuación anterior, tenemos.
Y[Ω] = H[Ω] ⋅
∑ x[k] ⋅ e
− ik (2 π / N )Ω
k= N
La sumatoria es X[Ω], y en consecuencia
Y[Ω] = H[Ω] ⋅ X[Ω]
Como se puede ver, esta propiedad simplifica mucho el calculo de respuestas de sistemas LTI.
Propiedad de dualidad
Consideremos la secuencia de N elementos g[n], y su transformada f[m];
f [ m] =
∑ g[n] ⋅ e
− in ( 2 π / N )m
= F{g[n]}
(ec. 7)
n= N
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Si hacemos la sustitución n = k y m = Ω, tenemos,
f [Ω] =
∑ g[k] ⋅ e
−ik ( 2 π / N )m
r= N
que indica que f[Ω] es la transformada de Fourier de g[k]. Si realizamos la sustitución de n = -Ω
y m = k en la ecuación (7) tenemos ahora,
f [k] =
∑ g[−Ω] ⋅ e
r= N
iΩ ( 2 π / N )k
=
∑
1
N ⋅ g[−Ω] ⋅ e iΩ (2 π / N )k
N r= N
Entonces, el término dentro de la sumatoria en el último miembro, N⋅g[-Ω], debe ser, la
transformada de Fourier de f[k]. En términos de pares de transformadas, tenemos,
g[ k ] ↔ f [Ω]
f [ k ] ↔ N ⋅ g[ −Ω]
Esta propiedad se aplica en el calculo de la transformada rápida de Fourier inversa, ya que el
mismo algoritmo de la transformada directa es usado para calcular la inversa, con las señaladas
modificaciones.
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