α π π π π - prof.usb.ve. - Universidad Simón Bolívar

Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
αe
θ
Nr X
π
Ne
2
X
g = 2 mm ; r =10 cm ; l =15 cm
N e = 200 vueltas ; N r = 150 vueltas
Re =1 Ω ; Rr = 2 Ω
3
ker = 0.85
ve = 2 ⋅ 50 ⋅ sen(377t ) ; vr = 0
X
αr
Ne
2
En base a los datos de la figura anterior, determine:
a.
b.
c.
Las inductancias propias y mutuas de las bobinas del rotor y estator del convertidor (5)
Las ecuaciones de tensión y par eléctrico en coordenadas primitivas (5)
Las ecuaciones de tensión y par eléctrico de la máquina si se transforma la bobina del rotor a
ejes solidarios con el estator (5)
d. Las ecuaciones de tensión y par eléctrico de la máquina si se transforma la bobina del estator a
ejes solidarios con el rotor (5)
e. El par eléctrico y la corriente por el rotor de la máquina en régimen permanente, cuando la
velocidad del convertidor es de 3500 rpm (5+5)
Solución:
a. Cálculo de las inductancias:
1. Inductancia de la bobina del estator:
El estator está constituido por dos bobinas concentradas cuyos ejes
magnéticos se encuentran desfasados π 3 . Cada bobina concentrada produce
una FMM sinusoidal de primera armónica cuya magnitud es:
4
FMM = Ni
π
Como las dos bobinas están separadas π 3 , la FMM resultante será:
4 Ne
4 Ne π
4 Ne
FMM e =
ie − π6 +
ie 6 = 3
ie 0
π 2
π 2
π 2
La distribución de la FMM en el entrehierro de la máquina producida por
la excitación de las dos bobinas del estator será entonces:
-1-
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
FMM e (θ , ie ) = 3
2
π
N eie cos θ
Conocida la FMM se puede calcular el enlace de flujo sobre cada uno de
los grupos de bobinas del estator:
1
Be (θ , ie ) = 3
N eie µ0 cos θ
πg
N π3
3
λe1 = e ∫ 2π Be (θ , ie ) ds =
N e2 µ0 rlie
−
2 3
2π g
N 23π
3
λe 2 = e ∫ π Be (θ , ie ) ds =
N e2 µ0 rlie
−
2 3
2π g
Como los dos grupos de bobinas del estator están en serie, la inductancia
del estator es:
3 2
Le =
N e µ0 rl = 0.36 H
πg
2. Inductancia de la bobina rotórica:
El rotor está constituido por una bobina concentrada. Esta bobina
concentrada produce una FMM sinusoidal de primera armónica cuya
magnitud es:
4
FMM = Ni
π
La distribución de la FMM en el entrehierro de la máquina producida por
la excitación de bobina del rotor en la posición θ = 0 será entonces:
4
FMM e (θ , ie ) = N eie cos θ
π
Conocida la FMM se puede calcular el enlace de flujo sobre la bobina del
rotor:
2
Br (θ , ir ) =
N r ir µ0 cos θ
πg
π
4 2
2
λr = N r ∫ π Br (θ , ir ) ds =
N r µ0 rlir
−2
πg
Como los dos grupos de bobinas del estator están en serie, la inductancia
del estator es:
4 2
Lr =
N r µ0 rl = 0.27 H
πg
3. Inductancia mutua estator-rotor:
Como los dos grupos de bobinas del estator están en serie, la inductancia
del estator es:
Ler = ker Le ⋅ Lr = 0.265 H
-2-
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
b. Modelo de la máquina en coordenadas primitivas:
⎡ ve ⎤ ⎡ Re
⎢v ⎥ = ⎢ 0
⎣ r⎦ ⎣
0 ⎤ ⎡ie ⎤ ⎡ Le
+
Rr ⎥⎦ ⎢⎣ir ⎥⎦ ⎢⎣ Ler cos θ
1 ⎡i ⎤
Te = ⎢ e ⎥
2 ⎣ir ⎦
t
0
⎡
⎢ − L senθ
⎣ er
Ler cos θ ⎤ ⎡ie ⎤ & ⎡
0
p ⎢ ⎥ +θ ⎢
⎥
Lr ⎦ ⎣ir ⎦
⎣ − Ler senθ
− Ler senθ ⎤ ⎡ie ⎤
⎥ ⎢i ⎥
0
⎦⎣ r⎦
− Ler senθ ⎤ ⎡ie ⎤
⎥ ⎢i ⎥ = − Ler senθ ⋅ ie ⋅ ir
0
⎦⎣ r⎦
c. Modelo de la máquina si se transforma la bobina del rotor a ejes solidarios con el estator:
⎡ ve ⎤ ⎡ Re + Le p
Ler p
0 ⎤ ⎡ ie ⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥
ω Lr ⎥⎥ ⎢idr ⎥
Rr + Lr p
⎢ vdr ⎥ = ⎢ Ler p
⎢ vqr ⎥ ⎢⎣ −ω Ler
Rr + Lr p ⎥⎦ ⎢⎣iqr ⎥⎦
−ω Lr
⎣ ⎦
Te = − Ler ⋅ ie ⋅ iqr
d. Modelo de la máquina si se transforma la bobina del estator a ejes solidarios con el rotor:
−ω Le
Ler p ⎤ ⎡ide ⎤
⎡ vde ⎤ ⎡ Re + Le p
⎢v ⎥ = ⎢ ω L
Re + Le p
ω Ler ⎥⎥ ⎢⎢iqe ⎥⎥
e
⎢ qe ⎥ ⎢
⎢⎣ vr ⎥⎦ ⎢⎣ Ler p
0
Rr + Lr p ⎥⎦ ⎢⎣ ir ⎥⎦
Te = Ler ⋅ iqe ⋅ ir
e. El par eléctrico y la corriente por el rotor de la máquina en régimen permanente, cuando la
velocidad del convertidor es de 3500 rpm:
El modelo desarrollado en el punto c. de este problema se adapta bien para la
solución numérica del problema planteado. Convirtiendo las ecuaciones a
fasores obtenemos:
0
jLerωe
⎡ Ve ⎤ ⎡ Re + jLeωe
⎤ ⎡ Ie ⎤
⎢ ⎥
⎢ 0 ⎥ = ⎢ jL ω
Rr + jLrωe
ω Lr ⎥⎥ ⎢I dr ⎥
er e
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ −ω Ler
Rr + jLrωe ⎥⎦ ⎢⎣I qr ⎥⎦
−ω Lr
Reduciendo por Kron las ecuaciones del rotor se obtiene:
−1
⎡
ω Lr ⎤ ⎡ jLerωe ⎤ ⎤
⎡ Rr + jLrωe
⎥ [Ie ]
[ Ve ] = ⎢ Re + jLeωe − [ jLerωe 0] ⎢ −ω L
Rr + jLrωe ⎥⎦ ⎢⎣ −ω Ler ⎥⎦ ⎥
r
⎣
⎣⎢
⎦
I e = 0.3493 − j 0.7668 = 0.8426 −65.5° A
⎡ I dr ⎤
⎡ Rr + jLrωe
⎢I ⎥ = − ⎢
⎣ −ω Lr
⎣ qr ⎦
-3-
ω Lr
−1
⎤ ⎡ jLerωe ⎤
[Ie ]
Rr + jLrωe ⎥⎦ ⎢⎣ −ω Ler ⎥⎦
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
⎡ I dr ⎤ ⎡ −0.4668 + j 0.5447 ⎤
⎢I ⎥ = ⎢
⎥ A
⎣ qr ⎦ ⎣ −0.2044 + j 0.1165⎦
I r = I dr2 + I qr2 = 0.2353 A
Te = − Ler ⋅ ie ⋅ iqr =
= −0.265 ⋅ 2 ⋅ 0.8426 ⋅ cos(377t − 1.1432) ⋅ 2 ⋅ 0.2353 cos(377t − 2.623) =
1
= −0.1051⋅ (cos(2 * 377t − 3.7662) + cos(2.623) ) =
2
= −0.05255 ⋅ (cos(574t − 3.7662) − 0.869)
⇒
Te =
1
2π
2π
∫ Te (θ )dθ = + 0.0457 Nm
0
-4-