Universidad de San Carlos de Guatemala

Clave: 103-2-M-2-00-2013
Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Departamento de matemática
Curso:
Matemática Básica 2
Código del curso:
103
Semestre:
Segundo semestre 2013
Tipo de examen:
Segundo Examen Parcial
Nombre de la persona
que resolvió el examen:
Juan Francisco Chajón Villatoro
Catedrático del curso:
Inga. Helen Ramírez
Universidad de San Carlos de Guatemala Departamento de Matemática
Facultad de Ingeniería
Matemática Básica 2
Escuela de Ciencias
Segundo Examen Parcial
Temario L
TEMA 1 (30 puntos)
En los incisos (a) y (b) determine
a)
2
𝑦 = (3𝑥 +
1
5)𝑥 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
; en el inciso (c), valúe el límite.
b) 𝑒
2𝑥𝑦
2
=𝑥 −
3
𝑥𝑦 2
1 tan 𝑥
c) lim+ ( )
𝑥→0
𝑥
TEMA 2 (20 puntos)
Sea:
𝑓(𝑥) =
𝑥2
1
+𝑎
Determine el valor de a para que la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) tenga un punto de inflexión en 𝑥 = 1.Luego,
trace la gráfica de 𝑓(𝑥) indicando dominio, intersecciones con los ejes, asíntotas verticales y
horizontales (si hubiere), intervalos de crecimiento y decrecimiento y concavidad, máximos y
mínimos locales y puntos de inflexión.
TEMA 3 (20 puntos)
Suponga que un triángulo rectángulo tiene hipotenusa de longitud 6 cm y uno de sus catetos
está en posición horizontal. Se hace girar al triángulo tomando como eje de rotación el
cateto vertical; la figura sólida que se forma es un cono circular recto (ver figura).
Determine las dimensiones de los catetos que generan el cono de mayor volumen.
TEMA 4 (20 puntos)
La sección transversal de un tanque de 5 metros de largo es un trapecio isósceles con base menor
de 2 metros, base mayor de 3 metros y altura de 2 metros. El tanque está colocado de manera que
su sección transversal es perpendicular al suelo horizontal, con la base menor del trapecio sobre el
mismo. Se está vertiendo agua al tanque a razón de 1.5 metros cúbicos por minuto, pero hay una
fuga en el fondo y se pierde agua al mismo tiempo que se llena. Si la altura del agua h en el tanque
sube a razón de 5 cm/min cuando ℎ = 1.5 m, ¿Cuál es la tasa de agua (en m3/min) de agua que se
está fugando?
TEMA 5 (10 puntos)
Use la aproximación lineal de 𝑓(𝑥) = log 2 (32 + 𝑥) para estimar log 2 33.
6 cm
TEMA 1:
Ambos enunciados (a y b) se resuelven aplicando la derivación por regla de la cadena, derivación
implícita y derivación de logaritmos.
𝟏
a) 𝒚 = (𝟑𝒙𝟐 + 𝟓)𝒙𝟑
1
ln 𝑦 = ln(3𝑥2 + 5)𝑥3
Utilizando el logaritmo natural (ln) para bajar el exponente:
ln 𝑦 =
1
ln(3𝑥2 + 5)
𝑥3
Derivar utilizando la regla de la cadena:
dy
dy 1
ln 𝑦 =
ln(3𝑥2 + 5)
dx
dx 𝑥 3
Utilizando la regla del producto:
1
6𝑥
1
−3
y´ =
∗ 3 + 4 ∗ ln(3𝑥2 + 5)
2
(3𝑥 + 5) 𝑥
𝑦
𝑥
dy
Despejando en términos de dx:
𝟏
𝐝𝐲
𝟔𝒙
𝟏 −𝟑
= 𝐥𝐧(𝟑𝒙𝟐 + 𝟓)𝒙𝟑 ∗ (
∗
+
∗ 𝐥𝐧(𝟑𝒙𝟐 + 𝟓))
𝐝𝐱
(𝟑𝒙𝟐 + 𝟓) 𝒙𝟑 𝒙𝟒
𝟑
b) 𝒆𝟐𝒙𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝒚𝟐
3
ln(𝑒 2𝑥𝑦 ) = ln(𝑥 2 − 𝑥𝑦 2 )
Utilizando el logaritmo natural (ln) para bajar el exponente:
3
2𝑥𝑦 = ln(𝑥 2 − 𝑥𝑦 2 )
Derivar utilizando la regla del producto y derivación implícita:
3
3 12
𝑥𝑦 𝑦´
2𝑥 − 𝑦 2
2𝑦 + 2𝑥𝑦´ =
− 2
3
𝑥 2 − 𝑥𝑦 2
3
𝑥 2 − 𝑥𝑦 2
Factorizando los términos que contienen a y´:
3
3 12
𝑥𝑦
2𝑥 − 𝑦 2
2
𝑦´(2𝑥 +
3) =
3 − 2𝑦
𝑥 2 − 𝑥𝑦 2
𝑥 2 − 𝑥𝑦 2
Despejando para y´:
𝟑
𝟐𝒙 − 𝒚𝟐
𝟑 − 𝟐𝒚
𝒙𝟐 − 𝒙𝒚𝟐
𝒚´ =
𝟑 𝟏𝟐
𝒙𝒚
𝟐𝒙 + 𝟐
𝟑
𝒙𝟐 − 𝒙𝒚𝟐
c)
𝟏
𝐥𝐢𝐦 (𝒙)𝐭𝐚𝐧 𝒙
𝒙→∞+
Utilizando el logaritmo natural (ln) para bajar el exponente:
1
ln(𝑦) = lim tan 𝑥 ∗ ln( )
𝑥→∞+
𝑥
Arreglar la función de tal manera que se pueda expresar como indeterminada al valuar el
límite:
1
ln (𝑥) ∞
ln(𝑦) = lim
=
𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎
1
𝑥→∞+
∞
tan 𝑥
Aplicando L´Hospital:
1
( 1 ) (−1)(𝑥 −2 )
𝑥
ln(𝑦) = lim
= lim
𝑥→∞+ (−1)(tan 𝑥)−2 (sec 𝑥)2
𝑥→∞+
𝑥
𝑥2
(sec 𝑥)2
−
(tan 𝑥)2
−
Reescribir la ecuación para buscar otra forma indeterminada:
1
1
𝑥
𝑥
ln(𝑦) = lim
= lim
1
1
𝑥→∞+
𝑥→∞+ (cos 𝑥)2
1
∗
2 ∗ (cos 𝑥)2
2
(sin
𝑥)
(cos
𝑥)2
sin 𝑥
(cos 𝑥)
Reescribir la ecuación para buscar otra forma indeterminada:
1
1
𝑥
𝑥
ln(𝑦) = lim
= lim
1
1
𝑥→∞+
𝑥→∞+ (cos 𝑥)2
1
∗
2 ∗ (cos 𝑥)2
2
(sin 𝑥) (cos 𝑥)2
sin 𝑥
(cos 𝑥)
Reescribir la ecuación para buscar otra forma indeterminada:
(sin 𝑥)2 0
ln(𝑦) = lim
= 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑥→∞+
𝑥
0
Aplicando nuevamente L´Hospital:
2 sin 𝑥 cos 𝑥 0
= =0
𝑥→∞+
1
1
ln(𝑦) = lim
Despejando para encontrar el valor del límite:
ln(𝑦) = 0
eln(𝑦) = 𝑒 0
𝟏
𝐥𝐢𝐦 ( )𝐭𝐚𝐧 𝒙 = 𝟏
𝒙→∞+ 𝒙
TEMA 2:
Para que exista un punto de inflexión en x=1, la segunda derivada de la función 𝑓´´ (1) = 0,
Primero se buscan las tres funciones que definen la gráfica: la función original, la primera
derivada y la segunda derivada.
1
𝑓 (x) = 2
𝑥 +𝑎
𝑓´ (x) =
𝑓´´ (x) =
−2𝑥
(𝑥 2 + 𝑎)2
−2(𝑎 − 3𝑥 2 )
(𝑥 2 + 𝑎)3
Encontrar el valor de “a” para que 𝑓´´ (1) = 0:
0=
−2(𝑎 − 3𝑥 2 )
(𝑥 2 + 𝑎)3
0 = −2(𝑎 − 3𝑥 2 ) = −2𝑎 + 6𝑥 2
2𝑎 = 6𝑥 2
𝑎
3
𝑥 = ±√
𝑎
(1)2 = (√ )2
3
𝑎
=1
3
𝒂=𝟑
Cuando 𝒂 = 𝟑 se tiene un punto de inflexión en 𝒙 = ±𝟏
Encontrar los valores críticos de la gráfica 𝑓´ (x) = 0:
0=
−2𝑥
(𝑥 2 + 𝑎)2
0 = −2𝑥
𝐱=𝟎
Cuando 𝑓´ (x) = 0 se tiene un mínimo o un máximo local.
Valores Críticos {-3, -1, 0, 1, 3}
Se evalúa el límite de la función para encontrar asíntotas horizontales:
1
1
2
0
𝑥
lim 2
= lim 2
=
=0
𝑥→∞ 𝑥 + 𝑎
𝑥→∞ 𝑥
3
1+0
+
𝑥2 𝑥2
La función 𝑓 (x) tiene una asíntota horizontal en 𝑓 (x) = 0
A continuación se realiza una evaluación de valores en los intervalos adecuados para hallar el
comportamiento de la gráfica:
INTERVALO
−𝟐𝒙
−𝟐𝒂 + 𝟔𝒙𝟐
𝒙𝟐 + 𝟑
𝑥 < −3
𝑥 = −1
−1 < 𝑥 < 0
𝑥=0
0<𝑥<0
𝑥=1
3<𝑥
+
+
+
0
-
+
0
0
+
+
+
+
+
+
+
+
Analizando el comportamiento se concluye que la función 𝒇 (𝐱), posee un dominio de
{−∞, ∞ }, tiene 2 puntos de inflexión, un máximo absoluto, una asíntota horizontal, es
cóncava hacia arriba en 𝒙 < −𝟑 y 𝟑 < 𝒙, es cóncava hacia abajo en −𝟏 < 𝒙 < 𝟏.
TEMA 3:
6 cm
Se expresa el radio del cono en función de la altura, utilizando el teorema de Pitágoras:
62 = 𝑅 2 + ℎ2
𝑅 2 = 62 − ℎ2
𝑅 2 = 36 − ℎ2
Se modela el volumen del cono en función de la altura:
1
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 = 𝜋𝑅 2 ℎ
3
1
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 = 𝜋(36 − ℎ2 )ℎ
3
1
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 = 𝜋(36ℎ − ℎ3 )
3
Se deriva la función para maximizar el volumen y se iguala a cero:
1
0 = 𝜋(36 − 3ℎ2 )
3
0 = 36 − 3ℎ2
3ℎ2 = 36
ℎ2 = 12
ℎ = ±√12 ≈ 3.46𝑐𝑚
Para encontrar el radio, se despeja de la ecuación de Pitágoras:
𝑅 2 = 36 − ℎ2
𝑅 2 = 36 − (√12)2
√𝑅 2 = √24
𝑅 = ±√24 ≈ 4.89𝑐𝑚
Las dimensiones que maximizan el volumen del cono son un radio de 4.89cm y una altura
de 3.46cm.
TEMA 4:
Se modela el volumen del tanque como:
𝑉𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 = (𝐴𝑟𝑒𝑎𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 + 2 ∗ 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 ) ∗ 𝑃𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑
1
𝑉𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 = (2ℎ + 2 ∗ ( 𝑟ℎ)) ∗ 5
2
Se expresa r en función de h con semejanza de triangulos:
𝑟 0.5
=
ℎ
2
𝑟=
0.5
ℎ
2
Se sustituye el valor de r en la función del volumen:
1
5
𝑉𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 = (2ℎ + 𝑟ℎ2 )) ∗ 5 = 10ℎ + ℎ2
4
4
La diferencia de volumen es igual a:
𝑑𝑉𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑉𝑠𝑎𝑙𝑒
𝑑ℎ 5 𝑑ℎ
−
= 10
+ 2ℎ
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡 4
𝑑𝑡
𝑑𝑉𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑉𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
𝑑ℎ 5 𝑑ℎ
=
− 10
− 2ℎ
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡 4
𝑑𝑡
Sustituyendo las variables con las condiciones iniciales:
𝑑𝑉𝑠𝑎𝑙𝑒 1.5𝑚3
0.05𝑚 5
0.05𝑚
=
− 10
− 2(1.5)
𝑑𝑡
𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
4
𝑚𝑖𝑛
𝒅𝑽𝒔𝒂𝒍𝒆 𝟎. 𝟖𝟏𝟐𝟓𝒎𝟑
=
𝒅𝒕
𝒎𝒊𝒏
TEMA 5:
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓´(𝑎)(𝑥 − 𝑎)
𝑎=0
log 𝑏 𝑥 =
𝑦
𝑥=1
log 𝑎 𝑥 ln(32 + 𝑥)
=
log 𝑎 𝑏
ln(2)
1
(1)
1
1
(32 + 𝑥)
𝑓´(𝑥) =
=
∗
ln(2)
ln(2) (32 + 𝑥)
𝑓´(0) =
1
1
1
∗
=
ln(2) (32) (32)ln(2)
𝑓(1) = log 2 32 +
𝑓(1) = 5 +
1
(1 − 0)
(32) ln(2)
1
(1 − 0)
(32) ln(2)
𝒇(𝟏) = 𝟓 + 𝟎. 𝟎𝟒𝟓𝟏 = 𝟓. 𝟎𝟒𝟓𝟏