Centro de Matemática Facultad de Ciencias Universidad de la República Cálculo I–Curso 2016 Práctico 4 §1. En los siguientes ejercicios calcular los límites, justificando los cálculos: 1 x→3 x2 lı́m lı́m 1− x→0 √ 1 − x2 x2 x7/3 x→+∞ x2 lı́m lı́m 25x3 + 2 x→0 75x7 − 2 (t + h)2 − t2 h→0 h x→a x2 sen 2x x→0 x sen x − sen a x→0 x−a 1 − cos x x→0 x2 lı́m lı́m x→−∞ sen 2x x lı́m lı́m lı́m x sen x→0 1 x lı́m x2 − a2 , a 6= 0 + 2ax + a2 lı́m lı́m x→+∞ 1 − cos x x2 §2. Supongamos que lı́mx→a f (x) = b, y que la función g : (b − , b + ) → R es continua en b. Mostrar que lı́mx→a g ◦ f (x) = g(b). §3. Mostrar que, si f : [a, b] → R es monótona y c ∈ [a, b), entonces existe lı́mx→c+ f (x), y que también existe lı́mx→d− f (x), ∀d ∈ (a, b]. ( 1 si x ∈ Q §4. a) Sea D : R → R la función de Dirichlet, es decir: D(x) = . Probar que D es 0 si x ∈ /Q discontinua en todo punto. ¿Y qué ocurre con la continuidad de la función x 7→ xD(x)? x si x ∈ Q b) Sea g : R → R tal que g(x) = . Estudiar la continuidad de g. 1 − x si x 6∈ Q x sen x si x 6= 0 c) Sea f : R → R tal que f (x) = . Hallar α para que f sea continua α si x = 0 en todo R. Esbozar el gráfico de f . §5. Sean f y g funciones reales y sea c ∈ R. a) Demostrar que si f es discontinua en c y g es continua en c entonces f +g es discontinua en c. ¿Qué sucede si ambas funciones son discontinuas en c? b) ¿Qué se puede afirmar con respecto al producto de las funciones? −4 si x ≤ 0 c) Supongamos ahora que f (x) = x2 y g(x) = . Estudiar la conti|4 − x| si x > 0 nuidad en 0 de f , g, f ◦ g y g ◦ f . d ) Definir f y g para que f sea discontinua en c, g sea discontinua en f (c) y g ◦ f sea continua en c. §6. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una función continua. Demostrar que f tiene algún punto fijo, es decir, que existe c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c. §7. Sea f : R \ {0} → R dada por f (x) = sen x1 . Mostrar que f no puede definirse en 0 de manera que la función obtenida sea continua en ese punto. Probar que, sin embargo, existen infinitas maneras de definirla en 0 de forma que la función resultante satisfaga la conclusión del teorema del valor intermedio en cualquier intervalo cerrado y acotado. 1 §8. Sea f : R → R una función continua tal que lı́m f (x) = lı́m f (x) = 0. Probar que f x→+∞ x→−∞ está acotada y que tiene máximo o mínimo. §9. Sean a, b, c, d ∈ R tales que a < b y c < d. Bosquejar, si es posible, funciones reales que cumplan: a) f es continua en (a, b) y f ((a, b)) = (c, d). b) f es continua en (a, b) y f ((a, b)) = [c, d]. c) f es continua en (a, b) y f ((a, b)) = (c, d]. d ) f es continua en [a, b] y f ([a, b]) = (c, d). e) f es continua en [a, b] y f ([a, b]) = [c, d]. §10. a) Sean f y g funciones uniformemente continuas en el intervalo (a, b). Probar que f y g son acotadas en (a, b), y que f + g y f g también son uniformemente continuas en (a, b). b) Estudiar la continuidad uniforme de las siguientes funciones en los intervalos indicados: x 4−x2 en [−1, 1]. √ f (x) = x en [1, +∞). f (x) = ex cos( x1 ) en (0, 1). f (x) = x2 en (−a, a), a ∈ R y en R. f (x) = x + sen(x) en R. 1) f (x) = 2) 3) 4) 5) c) Demostrar que si f es uniformemente continua en [a, c] y en [c, d], entonces es uniformemente continua en [a, b]. d ) Mostrar que f (x) = | sen(x)| , con x 6= 0 es uniformemente continua en (−1, 0) y en x (0, 1). ¿Es uniformemente continua en (−1, 0) ∪ (0, 1)?. §11. Una función f : X → R, con X ⊆ R, se dice Lipschitziana si existe K > 0 tal que si x, y ∈ X se cumple que |f (x) − f (y)| ≤ K|x − y|. a) Probar que si f es Lipschitziana en X entonces es uniformemente continua en X. √ b) Probar que el recíproco es falso: mostrar que f : [0, 1] → R tal que f (x) = x es uniformemente continua pero no es Lipschitziana. √ c) Sea g : [0, +∞) → R, g(x) = x. Probar que g es uniformemente continua. Otros ejercicios (fuera del práctico) §12. a) Sea f : (a, b) → R tal que ∀ε > 0 existe un conjunto finito F que verifica que |f (x)| < ε, ∀x ∈ (a, b)\F . Probar que f es continua en c ∈ (a, b) si y sólo si f (c) = 0. 0 si x 6∈ Q b) Sea f : R+ → R tal que f (x) = . Usar la parte an1 si x = pq con mcd(p, q) = 1 q terior para probar que f es discontinua en cada racional y continua en cada irracional. La función f se conoce bajo diversos nombres, entre ellos como función de Riemann o función de Thomae. §13. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una función monótona. Probar que f tiene un punto fijo. 2