resolución de la ficha de ejercicios.

CURSO 2013/2014
FICHA BLOQUE 2. VECTORES
1.
Dos vectores u y v cumplen que u  5, v  2 y
u, v   45. Calcula:
 v 
 2u   3v  u 
a) u
b)
Solución:
 
a) u  v   u v   u  v  cos u, v  5  2  cos 45  10 
b)
 2u   3v  u    2u  3v    2u 
2
 5 2
2


2
u  6u v  2u u  6 5 2  2  u  cos 0 
1
 30 2  2  5  30 2  50  92,43
2
2.
Dados los vectores a  4,  1 y b  2,  3  calcula un vector u perpendicular a b tal
que a u  10.
Solución:
Llamamos x, y a las coordenadas del vector u.
Por ser u y b perpendiculares, su producto escalar es cero:
u b  0   x, y   2,  3   0  2x  3y  0
Además a u  10   4,  1  x, y   10  4x  y  10
Resolvemos el sistema:
2x  3y  0 
   4 x  6y  0
4 x  y  10 
4 x  y  10
5 y  10  y  2
4x  y  10  4x  2  10  4x  12  x  3
El vector u tiene como coordenadas x  3, y  2  u  3, 2.
José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es
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3.
Dados los vectores a  3, 5  y b  4,  2  calcula un vector de la misma dirección que b
y cuyo módulo sea igual a la proyección de a sobre b.
Solución:
Un vector de la misma dirección que b  4,  2  será de la forma v   b   4 ,  2 
siendo  
 0.
Calculamos la proyección de a sobre b :
proy b  a  
a b
b

 3, 5   4,  2 12  10


2
20
42   2 
2
20

2
2 5

1
5

5
5
Entonces:
v  proy b a 
 4 
2
  2   16 2  4 2  20 2 
2
5
5
1
 2 5 2 
 
5
5
10
 4 2 
 2 1
Así: v1  ,
 v1  , 

 10 10 
5 5 
 4 2 
 2 1 
v2  ,
  v2  5 , 5 
10
10




4. Resuelve
a) Calcula m de modo que el producto escalar de a  3,  2  y b  m, 5  sea igual a 5.
b) Calcula la proyección de a sobre c , siendo c  1,  3 .
Solución:
a) a b  5   3,  2  m, 5   5  3m   2  5  5  3m  10  5  3m  15  m  5
b) proy c  a  
a c  3,  2 1,  3  3  1   2  3  3  6
9
9 10





c
10
1 9
10
10
10
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5.
1

Si a  ,  3  y b  4, 2  , calcula:
4

a) Un vector unitario con la misma dirección y sentido que b.
b) El ángulo formado por a y b.
Solución:
a) Hallamos el módulo de b :
b  42  22  16  4  20
El vector unitario con la misma dirección y sentido que b será:
 4
2   4
2   2 1 
,
,
,




 20 20   2 5 2 5   5 5 
1

 4 ,  3   4, 2 
a b


b) cos a , b 


1
ab
 9  20
16
 

6.
5
5 29
2

2
29
1 6
145
 20
16

5
145
2 5
4

5
52  29
2

 
 0,371  a, b  111,8
Considera dos vectores x  a, 3  e y  1, b  . Halla los valores de a y b para que x e y
sean perpendiculares y que x  5.
Solución:
1.) Para que x e y sean perpendiculares, su producto escalar ha de ser cero, es decir :
x y   a, 3   1, b   a  3b  0

b
a
3
2.) Hallamos el módulo de x e igualamos a 5 :
x  a2  32  a2  9  5
 a  25  9  16
2

 a2  9  25 
4

a4  b


3
a   16  
a  4  b   4

3

Por tanto, hay dos posibilidades:
a1  4, b1 
4
4
; a2  4, b2  
3
3
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Sabiendo que u  3 y u  5v calcula u v . (Recuerda que el ángulo entre u y v es de 180º)
7.
Solución:
Puesto que u  5v , u y v son vectores que tienen la misma dirección pero sentido


opuesto  u, v  180
u v  u  v  cos 180   u  v  3 v 

1
   3 v  5 v
2

u  5v  u v   5v  v  5 v

2

 5 v  3 v  0  v 5 v  3  0  5 v  3  0  v 
2
3
5
v  0 puesto que u  3  0 y u  5v
Por tanto: u v  3 v  3 
8.
3 9

5
5
2
2
2
Prueba que si a es perpendicular a b entonces a  b  a  b .
Solución:
2

ab  ab
 a  b   a
2
a  2a b  b b  a  2a b  b
2
Por ser a  b, el producto escalar de a y b es cero  a b  0
2
2
2
2
2
Por tanto, a  b  a  2  0  b  a  b .
9.
4

Dados los vectores u  1,  y v  2,  3  , calcula u , v y
3


u, v  .
Solución:
u 
 1
2
2
16
4
    1

3
9
 
25 5

9
3
v  22   3   4  9  13
2
Para calcular el ángulo que forman u y v aplicamos la definición de producto escalar:
 
u v  u  v  cos u, v
4

 1, 3   2,  3 
u v

 cos u, v 


5
u v
 13
3
 
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CURSO 2013/2014

4
  3 
2  4
6
18
18 13 18 13
3





 0,998
5
5
5
5  13
65
5
13
13
13
13
3
3
3
 1  2 
u, v   176,82.
Luego
Dados los vectores a y b tales que a  2, b  6 y el ángulo que forman a y b es de
10.
60. Halla a  b y a  b .
Solución:

2
ab  ab
 a  b   a
a b  a  b  cos 60  2  6 
2
a  2a b  b b  a  2a b  b
2
1
6
2
Luego:
2
a  b  22  2  6  62  4  12  36  52  a  b  52
Análogamente:
2

ab  ab
 a  b   a
2
2
a  2a b  b b  a  2a b  b 
 22  2  6  62  4  12  36  28  a  b  28  2 7
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