LOS LOGARITMOS

LOS LOGARITMOS
En Matemáticas, el logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente al cual hay que elevar la
base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la
potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo
de logaritmos es la operación inversa a la potenciación de la base del logaritmo.
Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la
base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 3 5=243 luego
= 5.
Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.
FUNCION LOGARITMICA
La función logarítmica de base b se denota por:
= 3 porque 23=8
y se lee logaritmo en base b de x. Para calcular la imagen de cualquier x según esta función, se debe buscar el
numero al cual se debe elevar la base b para obtener x. Esto es:
= 3 porque 23 = 8
= 4 porque 34 = 81
Características:
1) Su dominio son los números reales positivos, es decir, la variable x solo admite valores mayores que cero
(x>0).
2) Es la inversa de la función exponencial osea f(x) = bx
Gráfico de la Función Logarítmica
Ejemplos: Hallar x aplicando la definición de logaritmo.
a)
b)
c)
= 4  x=34=81 x=81
= 5  x5=32  x=2
= -3  (1/3)-3 =x2  x=3
Guía Básica sobre Logaritmos. – JESUS E. BARRIOS P.
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Propiedades de los Logaritmos:
1) No existe el logaritmo de un número con base negativa.
2) No existe el logaritmo de un número negativo.
3) No existe el logaritmo de cero.
4) El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a cero, osea
5) El logaritmo de b en base b es 1, osea
6)
=n
7)
= 1/n
8)
=
9)
=
= 0 ya que b0=1.
= 1 ya que b1=b.
=n
= 1/n
+
-
10) Logaritmo Decimal o de Briggs, es todo logaritmo cuya base es 10 y se indica
=
11) Logaritmo Neperiano o Natural, es todo logaritmo cuya base es el numero ė y se indica
ė
=
12) Cologaritmo de un número es el logaritmo del inverso del número. Cologx = -logx
13) Cambio de Base de un Logaritmo.
/
donde bd es la base deseada, que normalmente
es 10 o ė, presente en las calculadoras científicas.
Ejercicios Resueltos:
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Ecuaciones Exponenciales: son ecuaciones en las que la incógnita aparece como un exponente o formando parte
de el.
Ecuaciones Logarítmicas: son ecuaciones en las que la incógnita está afectada por un Logaritmo
Ejercicios Resueltos:
1.- Resolver la Ecuación Exponencial:
52x+2 = 35x-1
(2x+2) log 5 = (5x–1) log 3
2x log 5 – 5x log 3 = – log 3 – 2log 5
x(2log 5 –5log 3) = – log 3 – 2log 5
x = (log 3 + 2log 5)/(5log 3– 2log 5) = 1,898
x = 1,898
2.- Resolver la Ecuación Logarítmica:
log 2 (3
2x-2
+ 7) = 2+log2 (3
log 2 (3
2x-2
+7) = log
2
x-1
log 2 (9 x-1 + 7) = 2+log
2
(3x-1 + 1)
+ 1)
4 +log 2 (3x-1 + 1)
log 2 (32x-2 +7) = log 2 4 (3x-1 + 1)
(32x-2 +7) = 4 (3x-1 + 1)
3 2(x-1) – 4(3 x-1) + 3 = 0
u = 3 x-1
u 2 – 4u +3 = 0
(u-1) (u-3) = 0
u1 = 1
u2 = 3
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1 = 3 x-1
y
3=3
30=3x-1
x-1
x=2
x=1
3.- Resolver el Sistema de Ecuaciones:
x2 + y
2
= 425
log x + log y =2
Solución:
x2 +y2 = 425
log
10
x·y = 2
x2 + y2 = 425
10log xy = 102
x2 + y2 = 425
xy= 100
x2 + y2 =425
2xy = 200
x2 + 2xy + y2 = 625
x + y = ±25 => y1=25 – x
, y2 = –25 – x
x( 25- x ) = 100
x(-25- x) = 100
25x – x2 =100
-25x – x2 = 100
x2 – 25x + 100 = 0
x = (25± 15)/2
x2 +25x +100 = 0
x=(-25 ±15)/2
Soluciones: (20,5); (5,20); estas soluciones no cumplen (-5,-20); (-20,-5)
4.- Resolver:
6x · 32x +2 = 20
6x · 32x = 18
, luego se aplica logaritmo
log 6x + log 32x = log 18
log 6x + log 32x = log 3 + log 6
x log 6 + 2x log 3 = log 3 + log 2 + log 3
x(log 2 +log 3 + 2 log 3) = 2 log 3 +log 2
x = (2log3+log2)/( 3log3+log2)
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Ejercicios Propuestos:
1.- Determinar logx
a) 4x = 16
b) 10x = 1,48
c) ax = bc/d
d) px = (a+b)/(a-b)
e) (2/3)x = 27/8
2.- Expresa en la forma exponencial las siguientes igualdades
a) log a x = y
b) log 1000 = x
c) log a a2 =2
d) log ½ (1/8) = 3
e) log
p/q
f)
(x-y)
log
(q/p) = -1
(x3-3x2y+3xy2-y3) = 3
3.- Resolver
a) log 4 x = 1
b) log
9/16
x = 3/2
c) log x 27 = 3
d) log x 243 = 5
e) log x ¼ = -2
4.- Desarrollar
a) log
36/25
b) log
64
6/5 = x
x = 5/6
c) log a ac + log p p3 + log b b - log a c =
d) log 0,0001 =
e) log 10-4 +log (1/100) =
5.- Desarrollar aplicando las propiedades
a) log (a5 b4) =
b) log (a4-b4) =
c) log (a2 b3)4 =
d) log (3a/b) =
6.- Resolver las siguientes ecuaciones
a) log(x+3)+log(x-5) = 2 log(x-b)
b) m3x+1/3 =q3/7x+1
c) log (3x-4)-log x+log 5= log (15x+2)-log(x+2)
d) 1/5 log (x+5) = log 2
e) 1/2 log (x+7) + 1/2 log(x+5) = 1/2 log (x2+10x+43)
f)
log3(log3(5x+2)) = 1
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