1 UNIDAD II. PROGRAMACIÓN LINEAL OBJETIVO DE

Universidad Autónoma de Guadalajara
UNIDAD II. PROGRAMACIÓN LINEAL
OBJETIVO DE APRENDIZAJE: El alumno identificará y analizará
problemas de optimización de funciones y recursos para mejorar la
operación de una organización.
2.1 Método Gráfico
La programación lineal es una técnica matemática ampliamente
utilizada, diseñada para ayudar a los administradores, en la planeación
y toma de decisiones relativas a la negociación necesaria para asignar
recursos.
Requisitos para formular un problema de programación lineal
Introducción a la unidad
La programación lineal la podemos definir como un procedimiento o
algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema
indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando
la función objetivo, también lineal.
Busca optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, llamada
función objetivo, manipulando las variables de dicha función las cuales
estén sujetas a una serie de restricciones que se expresan en forma de
inecuaciones.
Todos los modelos de programación lineal deben tener:
•
Variables
•
Función objetivo
•
Restricciones
•
No negatividad
A continuación veremos un problema, el cual se coloca en un taller de
EXCEL con su respectivo video explicativo.
El primer método a estudiar es el método gráfico.
Formular el problema
La primera actividad que se debe realizar es el estudio del sistema
relevante y el desarrollo de un resumen bien definido del problema que
se va a analizar. Esto incluye:
•
Determinar los objetivos apropiados
•
Las restricciones
•
Las interrelaciones
•
Los diferentes cursos de acción
•
Límites de tiempo para tomar una decisión.
Construcción de un modelo matemático
Los modelos matemáticos también son representaciones idealizadas,
pero están expresadas en términos de símbolos y expresiones
matemáticas. El modelo matemático de un problema industrial es el
sistema de ecuaciones y expresiones matemáticas relacionadas que
describen la esencia del problema
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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Tema 2.1. Método gráfico.
El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL,
representando geométricamente a las restricciones, condiciones
técnicas y el objetivo.
El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos
variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es
impráctico o imposible.
Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el
método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan
las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.
Los pasos recomendados son:
1. Graficar las soluciones factibles, incluyendo las
restricciones de no negatividad.
2. El espacio encerrado por las restricciones restantes se
determinan sustituyendo en primer término <= por (=)
para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación
de una línea recta.
3. Cada punto contenido o situado en la frontera del
espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y
por consiguiente, representa un punto factible.
4. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en
el espacio de soluciones, la solución óptima puede
determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la
función objetivo.
5. Las líneas paralelas que representan la función objetivo
se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a
fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual
crece o decrece el valor de la función objetivo.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
2.1 Método Gráfico
Considera el siguiente problema de programación lineal y será resuelto
por el método gráfico.
Ejemplo 1: Un negocio se dedica a la fabricación de “sillas” y
“mesas”; fabricar cada uno consume una determinada cantidad de
tiempo (en horas) de los departamentos “corte” y “ensamble”.
Los departamentos tienen disponibles una limitada cantidad de horas
de trabajo: 120 horas para corte y 90 horas para ensamble.
Cada uno de los productos ofrecen a la empresa la siguiente
contribución: $50 USD para las mesas y $80 USD para las sillas.
La información anterior, más los consumos de tiempo de cada
producto se resumen en la siguiente tabla:
Proceso
Corte
Ensamble
Contribución
del producto
Consumo de tiempo por cada
unidad de producto, horas
Mesas
Sillas
1
1
$50
2
1
$80
Tiempo disponible
en cada
departamento,
horas
120
90
Solución: Primero debemos definir el objetivo del problema:
MAXIMIZAR LAS GANANCIAS.
A continuación debemos darnos cuenta que hay dos variables de
decisión (cuantas mesas y sillas producir), que podemos manipular
para lograr el objetivo de MAXIMIZAR LAS GANANCIAS.
Entonces las variables de decisión son:
x1 = mesas a producir
x2 = sillas a producir
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Ahora debemos encontrar la función objetivo, si el objetivo es
MAXIMIZAR LAS GANANCIAS, la función objetivo debe
representar las ganancias.
Ganancia total (z) = ganancia mesas + ganancia sillas
Ganancia total (z) =
$50x1
+
$80x 2
Entonces queda la siguiente FUNCIÓN OBJETIVO:
z = $50x1+80x2
Si el dueño del negocio pudiera aumentaría las ganancias al infinito y
más allá; pero no puede ¿Por qué? Lo detendrá algo que se conoce
como RESTRICCIONES.
En este problema ¿cuáles son las restricciones? Hay recursos limitados
y es la cantidad de tiempo disponible para cada departamento.
Es decir:
Recursos consumidos ≤ Recursos TOTALES disponibles
Tiempo consumido en corte ≤ Tiempo disponible en corte
Tiempo consumido en ensamble ≤ Tiempo disponible en ensamble
Dado que tenemos los consumos unitarios de cada unidad de producto
fabricada x1 = mesas, x2 = sillas.
Si se producen por ejemplo 2 mesas y 1 silla, el departamento de corte
habría consumido:
Proceso
Consumo de tiempo
Tiempo
consumido
Mesas
Sillas
Corte
1(2) +
2(1)
=
4 horas
2.1 Método Gráfico
Por lo tanto las restricciones son:
Departamento
Consumido
Corte
Ensamble
x1+2x2
x1+ x2
Es menor
o igual
<=
<=
Disponible
120
90
Entonces las RESTRICCIONES formuladas como desigualdades son:
x1+2x2 <= 120
x1+ x2 <= 90
El modelo completo queda:
VARIABLES DE DECISIÓN:
x1 = mesas
x2 = sillas
FUNCIÓN OBJETIVO:
z = $50x1+80x2
RESTRICCIONES:
x1+2x2 <= 120
x1+ x2 <= 90
PLANTEAR ECUACIONES: Como complemento al problema
anterior puedes repasar este video, indica como plantear ecuaciones en
un modelo de programación lineal:
http://www.youtube.com/watch?v=F_dAUYBjsLQ
Para aprender a hacer el método gráfico de forma manual puedes ver
los siguientes dos videos:
http://youtu.be/KknaTtKVGaQ
http://youtu.be/vzwtc1yS9b0
Puedes descargar el siguiente taller para reforzar el tema:
http://marcelrzm.comxa.com/MaestriaINVDEOPER/21MetodoGrafico.xls
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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Ahora para hacerlo con software sigue los siguientes pasos:
1.- Plantea o ten disponible las ecuaciones que representan este
modelo, debe cumplir con tener variables de decisión, función objetivo
y restricciones.
2.- Descarga el paquete WIN QSB (es un freeware), puedes buscar la
descarga
en
Google
o
usar
la
siguiente
liga:
http://winqsb.softonic.com/
Alternativa: También puedes aprender a usar el
software
en
línea
PHP
Simplex:
http://www.phpsimplex.com/simplex/simplex.htm?l=es
3.- A continuación puedes revisar el siguiente taller de
EXCEL para el método gráfico
http://www.youtube.com/watch?v=ZcjA9Uj6DSo
4.- Sigue los mismos pasos del video para resolver el problema.
Ejercicios adicionales:
1.- Un agricultor dispone de 150 acres de tierra fértil para los cultivos
A y B. El costo de A es de $40 el acre, mientras que el cultivo de B
cuesta $60 el acre. El agricultor tiene un máximo de $7400 disponibles
para trabajar la tierra. Cada acre del cultivo A necesita 20 horas de
trabajo y cada acre del cultivo B, 25. El agricultor dispone de un
máximo de 3300 horas de trabajo. Si espera lograr una ganancia de
$150 por acre del cultivo A y $200 por acre del cultivo B, ¿cuántos
acres de cada cultivo debe plantar para maximizar su ganancia?
2.- La compañía financiera Madison tiene un total de $20 millones
asignados a préstamos para adquisición de casas y automóviles. En
promedio, la tasa anual de recuperación para los primeros es del 10% y
del 12% para los segundos. La gerencia ha estipulado que la cantidad
total de préstamos hipotecarios tiene que ser mayor o igual a 4 veces la
cantidad total de préstamos para autos. ¿Cuál es la cantidad total de los
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
2.1 Método Gráfico
préstamos de cada tipo que debe realizar Madison para maximizar el
monto de recuperación?
Actividad 2.1. Método gráfico. Resolver el siguiente ejercicio usando
el método gráfico por WINQSB o PHP:
Sidneyville fabrica muebles de oficina y para el hogar. La División
Oficina produce dos escritorios, el de tapa corrediza o de cierre y el
normal. Los fabrica en su planta en las afueras de Medford, Oregon,
usando una selección de maderas. Éstas se cortan a un espesor
uniforme de 1 pulgada. Por esta razón, la madera se mide en metros
cuadrados. Un escritorio de cierre requiere 10 metros cuadrados de
pino, 4 de cedro y 15 de arce. Para un escritorio normal se requieren 20
metros cuadrados de pino, 15 de cedro y 10 de arce. Los escritorios
producen ganancias respectivas de 115 dólares y 90 dólares por venta.
En la actualidad, la empresa dispone de 200 metros cuadrados de pino,
128 de cedro y 220 de arce. Han recabado pedidos para ambos
escritorios y les gustaría producir una cantidad de piezas con cierre y
normales que maximice su ganancia.
Determine:
1.- ¿Cuántos escritorios deben producir de cada uno?
2.- ¿Cuál es la ganancia máxima obtenida con dicha decisión de
producción?
Elabore un REPORTE siguiendo las rúbricas indicadas en la siguiente
liga:
http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm
Enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes
direcciones:
[email protected];
[email protected]; [email protected] y
[email protected]
Colocar en ASUNTO: “Actividad 2.1. Método gráfico”.
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2.1 Método Gráfico
NOTAS TÉCNICAS UTILES PARALAS TAREAS:
Para capturar una imagen de pantalla: FN + IMP PNT
Después se le coloca CTRL + V para pegarla en WORD o EXCEL
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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