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Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Lugares
Geométricos
en C
Departamento
de
Matemáticas
Distancia
Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a:
Lugares Geométricos en C
Discos
Rectas
Semiplanos
Departamento de Matemáticas
Ejercicios
MA3002
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Lugares
Geométricos
en C
Departamento
de
Matemáticas
Distancia
Distancia
√
Si z = a + b i es cualquier complejo, |z| = a2 + b 2 es la
distancia del origen a z (visto z como el punto (a, b) en el plano
complejo). Si w = c + d i es otro número complejo, entonces
|z − w | = p
|(a − c) + (b − d) i|
(a − c)2 + (b − d)2
=
Discos
Rectas
es la distancia entre z y w en el plano complejo.
Semiplanos
y
Ejercicios
z
|z − w |
|z|
x
w
Matemáticas
Avanzadas
para
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Lugares
Geométricos
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Matemáticas
Distancia
Discos
Cı́rculos
Si zo es un número complejo y r es un número positivo, la
ecuación
|z − zo | = r
representa aquellos puntos z cuya distancia a zo es r . El lugar
geométrico de los puntos z que satisfacen esta condición es el
cı́rculo de radio r con centro en el punto zo .
Rectas
Semiplanos
Ejercicios
y
|z − zo | = r
zo
r
x
Matemáticas
Avanzadas
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Geométricos
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de
Matemáticas
Distancia
Discos
Rectas
Semiplanos
Interior de un disco
Si zo es un número complejo y r es un número positivo, la
ecuación
|z − zo | < r
representa aquellos puntos z cuya distancia a zo es menor que
r . El lugar geométrico de los puntos z que satisfacen esta
condición es el interior del cı́rculo de radio r con centro en el
punto zo .
y
Ejercicios
|z − zo | < r
zo
r
x
Matemáticas
Avanzadas
para
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Lugares
Geométricos
en C
Departamento
de
Matemáticas
Distancia
Discos
Rectas
Semiplanos
Disco
Si zo es un número complejo y r es un número positivo, la
ecuación
|z − zo | ≤ r
representa aquellos puntos z cuya distancia a zo es menor o
igual que r . El lugar geométrico de los puntos z que satisfacen
esta condición es el interior del cı́rculo de radio r con centro en
el punto zo incluyendo el cı́rculo mismo.
y
Ejercicios
|z − zo | ≤ r
zo
r
x
Matemáticas
Avanzadas
para
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Lugares
Geométricos
en C
Departamento
de
Matemáticas
Distancia
Discos
Rectas
Rectas
Si z1 y z2 son dos números complejos diferentes, la ecuación
|z − z1 | = |z − z2 |
expresa que la distancia de z a z1 es igual a la distancia de z a
z2 . Como lo indica, esto siginifica que z está en la bisectriz del
segmento que conecta a z1 con z2 . Ası́ la ecuación
|z − z1 | = |z − z2 | representa la ecuación de tal recta.
Semiplanos
Ejercicios
|z − z1 | = |z − z2 |
y
z1
z2
x
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Lugares
Geométricos
en C
Departamento
de
Matemáticas
Distancia
Discos
Rectas
Semiplanos
Si z1 y z2 son dos números complejos diferentes, la ecuación
|z − z1 | < |z − z2 |
expresa que la distancia de z a z1 es menor que la distancia de
z a z2 . Como lo indica, esto siginifica que z está en el lado
donde está z1 de la bisectriz del segmento que conecta a z1 con
z2 .
Semiplanos
Ejercicios
|z − z1 | < |z − z2 |
y
z1
z2
x
Matemáticas
Avanzadas
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Geométricos
en C
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Matemáticas
Ejercicios
Bosqueje la gráfica de la ecuación indicada:
• Im(z) = −2
• Im(z − i) = Re(z + 4 − 3 i)
Distancia
Discos
• |2 z + 1| = 4
Rectas
• |z + 2 + 2 i| = 2
Semiplanos
• |Re(z)| > 2
Ejercicios
• Im(z − i) < 5
• −1 ≤ Im(z) < 4
• |z − i| > 0
• 1 ≤ |z − 1 − i| < 2
• |z + 1| = |z − i|
• |z − i| + |z + i| = 1