Fórmulas Para Cuantificar El Arrastre En La Capa De Fondo

"FÓRMULAS PARA CUANTIFICAR EL ARRASTRE EN LA CAPA DE FONDO"
JOSÉ ANTONIO MAZA ÁLVAREZ
Prof., División de Estudios de Posgrado de la Fac. De Ing., UNAM
Gerente de Estudios de Ingeniería Civil, CFE
México, D. F.
RAFAEL VAL SEGURA
Téc Académico, Instituto de Ingeniería, UNAM
México, D. F.
TEMA:
HIDRÁULICA FUNDAMENTAL
RESUMEN
En este trabajo se muestran las principales fórmulas que han sido propuestas
para predecir el arrastre en la capa de fondo.
Todas ellas se presentan
procurando respetar la expresión original del autor, con objeto de que este
escrito sirva también como un prontuario de este tipo de fórmulas. Además se
explica el significado y valor de cada variable; para que las ecuaciones
puedan ser aplicadas.
Por otra parte, se han seleccionado dos parámetros
gBg∆
RS
y τ * = ∆D para mostrar el comportamiento de cada
adimensionales G * =
γ sU3*
expresión y las diferencias más importantes entre los resultados de las
fórmulas presentadas.
1.
INTRODUCCIÓN
En los ríos y canales se transporta agua y sedimentos. Estos se encuentran
en el fondo y orillas o pueden provenir del lavado de las partículas más
finas de la cuenca. Al tener en mente únicamente al material del fondo, se
puede hablar de dos formas de transporte: el que ocurre en la cercanía del
fondo, denominado arrastre en la capa de fondo, y el que es transportado en
suspensión, entre la frontera superior de esa capa y la superficie del agua.
Para cuantificar el transporte del material del fondo, los métodos que se han
propuesto se pueden agrupar de tres formas distintas: en el primero están los
que sólo permiten obtener el transporte en la capa de fondo, denominado gB; en
el segundo los que sirven para valuar el transporte total del fondo,
denominado gBT, separando gB del que es transportado en suspensión y que se
designa como gBS; con lo que se cumple que gBT = gB + gBS; y por último, en el
tercer grupo están los que valuan gBT en conjunto, sin separar sus componentes.
Se ha mencionado que existen varios métodos para calcular los diferentes tipos
de transporte, cuando con una sola ecuación, para cada tipo, sería suficiente.
Ello se debe al carácter eminentemente empírico de la hidráulica fluvial, y a
la falta de precisión de los datos, sobre todo gB; esa falta de precisión
ocurre tanto en el laboratorio como en las mediciones de campo.
En 1950, Einstein estableció que la capa de fondo tiene un espesor igual a dos
veces el diámetro de las partículas.
Posteriormente otros autores han
propuesto espesores diferentes.
De cualquier manera, al tratar con el
arrastre dentro de esa capa, se hace referencia a todas las partículas que
ruedan o se arrastran, aún con pequeños saltos, cerca del fondo.
1
En este trabajo se presentan las ecuaciones de los principales métodos que se
han propuesto para cuantificar unicamente el arrastre en la capa de fondo gB.
El conocer gB es necesario para estimar el tiempo de llenado de presas
derivadoras, estudiar la estabilidad de cauces, o para analizar condiciones de
erosión y sedimentación en tramos de ríos, cuando en ellos la velocidad de la
corriente es baja o el material del fondo es grueso.
A continuación se muestran las principales fórmulas de arrastre en la capa de
fondo que se mencionan en la bibliografía especializada, respetando la forma
en que ellas fueron presentadas por sus autores. Con objeto de que puedan ser
utilizadas, se indica el significado de los parámetros que en ellas
intervienen y su expresión para calcularlos.
2.
FÓRMULAS PARA OBTENER EL ARRASTRE UNITARIO EN LA CAPA DE FONDO
En todas ellas gB se expresa en kgf/s⋅m
a.
DUBOYS Y STRAUB (1879, 1935)
(
g B = 0.01003 γ s − γ
)
2
D
(
1.25
τ * τ * − τ *c
)
Se utiliza D = D50, y se aplica si τ* ≤ 1.30
SHOCKLITSCH (1914, 1950)
b.
g B = 2500
1/3
S
( qS
7/6
− 2.351 x 10−5 ∆5/3 D7/18
)
Utiliza D = D40, y se aplica para cualquier τ*
SHIELDS (1936)
c.
(
)
2
g B = 10 UdS τ o − τ c / D ∆
Utiliza D = D50, y se aplica si τ* ≤ 0.3 para Ca = 19 y τ* ≤ 0.7 para
Ca = 8.5
MEYER-PETER Y MÜLLER (1948)
d.
(
g B = 8 γ s g ∆D
)
3 0.5
[( n'/n)
1.5
[(
g B = γ s U* D f τ / τ o
Utiliza D = D50.
τo /τc
(τ
o
/τc)
(τ
o
/τc)
2.48
f.
c
0.01 0.02
2.27
2.20
2.08 1.87
0.1
0.2
0.40
1.33
1.10
0.80
0.60
0.45 0.40
0.18
4.00
0.16
5.00
0.13
7.00
0.11
9.00 10.00
0.10
0.60
LEVI (1948)
1.53
0.80 1.00
2.00
0.25
0.06
3.00
0.20
]
g B = 0.002γ s U U − U c / g ( d ⋅ D)
Uc es la velocidad crítica de las partículas y vale
3
Utiliza D = Dm.
0.04
1.66
) [
(
)]
vale
2.40
τ / τc
f( τ o / τ c )
( τ /τ )
La función f
0.001 0.002 0.004 0.006
τo /τc
f
1.5
Utiliza con D = Dm, y se aplica para cualquier τ*
KALINSKE (1947)
e.
f
]
τ * − 0.047
2
1.5
0.25
(
) (1 + L
Uc = 1.4 gD D máx / D
g.
1/7
n
d / 7D
)
Sobreestima gB cuando n ≤ 0.025 aproximadamente.
EINSTEIN 1942, EINSTEIN Y BROWN (1950)
g1)
EINSTEIN 1942
g B = 2.151F1γ s ( g∆D3 )
0.5
exp[ −0.391/ τ * ]
Utiliza D = D50, y es válida cuando 0.045 ≥ τ* ≥ 0.19
g2)
EINTEIN-BROWN
g B = 40F1γ sτ *3 ( g∆D3 )
h.
0.5
Utiliza D = D50, y es válida cuando 0.19 ≥ τ* ≥ 1.0
SATO, KIKKAWA Y ASHIDA (1958)
(
gB = U* τ o − τ c
)
Utiliza D = Dm, y es válida cuando n ≥ 0.025
(
i.
(
gB = γ s g∆d
j.
k.
3
3. 5
) [0.1437( D / d) 2/3 + 0.03] [ U / ( g∆d) 0.5 − 1.674( D / d) 2/3 ] 3
0.5
D = Dm. Es la única fórmula en que gB no depende de τ*, bajo
condición crítica de arrastre.
ALBERTSON (1961)
muestra por requerir de una familia de curvas para
U
≤ 15.
aplicación. Es válida cuando 0.018 ≤ τ* ≤ 0.6 y 8 ≤
U*
FRIJLINK (1962)
Utiliza
ninguna
GARDE Y
No se
gB = 5γ s D( µgdS)
1.
)
gB = U* τ o − τ c (1 / 40n)
Es válida cuando 0.025 ≥ n ≥ 0.010
ROTTNER (1959)
0.5
su
exp[0.27/ µτ *]
Utiliza D = D50, y es válida para cualquier τ*
YALIN (1963)
[
(
g B = 0.635S y ⋅ D ⋅ U* ( γ s − γ ) 1 − 1/ ay S y Ln 1 + ay S y
)]
Utiliza D = Dm, y es válida para cualquier τ*
ay = 2.5τ * c ( γ / γ s )
m.
PERNECKER
y VOLLMER (1965)
g B = 25gs ( g∆D3 )
n.
0.5
0.4
; Sy = τ * c
τ *1.5 (τ * − 0.04)
Utiliza D = Dm, y es válida para τ* ≤ 1.0
INGLIS Y LACEY (1968)
g B = 0.562γ U5 ν 1/3 / ( ωdg5/3 )
Utiliza D = Dm, y se aplica para τ* ≤ 0.1 para Ca = 19 y τ**≤ 7.0 para
= 8.5
o.
BOGARDI (1979)
gB = 2199γ sU* ( g∆D3 ) τ *
Utiliza D = Dm, y se aplica cuando τ* ≤ 1.0
3
3.
SIGNIFICADO DE LAS VARIABLES
3
0.5
4.121
Ca
γ, peso específico del agua, en kgf/m3; γs, peso específico de las partículas,
en kgf/m3; ∆, densidad relativa de las partículas sumergidas (se obtiene de la
relación ∆ = (γs - γ)/γ); ν, viscosidad cinemática del agua, en m2/s; S,
pendiente de la pérdida de carga; d, tirante o profundidad del flujo, en m; U,
velocidad media de la corriente, en m/s; q, gasto unitario líquido, en m3/s.m
(se obtiene de la relación q = Ud); g, aceleración debida a la gravedad, en
m/s2; D, diámetro de las partículas, en m; Dm, diámetro medio del conjunto de
partículas, en m( se obtiene de la relación Dm = 0.01 ∑(Di pi); Di, diámetro de
las partículas tal que el i% de la muestra es menor que ese tamaño, en m; pi
fracción, con respecto al total de la muestra de partículas, con diámetro Di,
se expresa en forma decimal; Dmáx, diámetro máximo en el material del fondo, en
m; ω, velocidad de caída de las partículas, en m/s (se obtiene de la reacción
ω = F1 (g∆D)0.5); F1, coeficiente de Rubey que se utiliza en su fórmula de la
0.5
 2 36v 2 
velocidad de caída (se obtiene de la relación F1 =  +

 3 g∆D3 
0.5
 36v 2 
−

 g∆D3 
; τo,
esfuerzo cortante critico que el flujo ejerce en el fondo, en kgf/m2 (se
obtiene de la relación
(
)
τ o = γ dS ; τ * , número adimensional de Shields asociado
a τo (se obtiene de la relación τ * = dS/∆D); τ *c , número adimensional de Shields
para
la
condición
crítica
(se
obtiene
de
la
relación
τ *c =
0.2196
D*
  30.35 0.563 
 ;
+ 0.077exp  − 

  D* 

cuando
2.15 ≤ D* ≤ 333.
Para
D* ≥ 333,
τ*c = 0.06; D*, número adimensional de la partícula (se obtiene de la relación
D* = D
[ g∆ /v 2 ] 1/3
) ; τc esfuerzo cortante crítico en el fondo para iniciar el
movimiento de las
partículas
(se
obtiene
de la relación τc = (γc - γ)D
de
rugosidad
según
Manning
(se
obtiene
de
la
τ*c)n, coeficiente
relación n = d2/3 S1/2 /U); n', coeficiente de rugosidad según Manning asociado
1/6
a las partículas (se obtiene de la relación n' = D90 / 26 ); µ, coeficiente que
relaciona coeficientes de rugosidad (se obtiene de la relación µ = C'/C); C,
coeficiente de rugosidad según Chezy, en m1/2/s, (se obtiene de la relación
C = dS / U );C' coeficiente de rugosidad según Chezy asociado a las partículas,
en m1/2/s, (se obtiene de la relación C = 18 log (12d/D90); Ca, coeficiente
adimensional de Chezy (se obtiene de la relación Ca = C g ).
En todas las
fórmulas gB es el arrastre unitario en la capa de fondo, en kgf/s⋅m.
4.
ANÁLISIS DE LOS MÉTODOS
Para visualizar las tendencias de los diferentes métodos descritos y mostrar
las discrepancias que hay entre ellos, todas las fórmulas presentadas se
convirtieron a una relación, cuando menos, entre los siguientes números
adimensionales.
3
G * = gB g∆ / γ sU*
y
τ * = dS / ∆D
Al efectuar dicho cambio de variables, algunos de los métodos requirieron de
otro número adimensional adicional como: n'/n, Ca o S. Para tomar en cuenta
ese tercer parámetro adimensional se seleccionaron dos coeficiente de
rugosidad de Manning n = 0.018 y n 0 = 0.040. En la fig 1a se muestran las
4
curvas obtenidas para τ* - G* y n = 0.018 y en la fig 1b, τ* contra G* para
n = 0.04. En dichas figuras sólo se encuentran algunos de los métodos.
Del análisis efectuado y en las figuras señalas se observa que los diferentes
métodos se pueden agrupar de la siguiente manera:
Cumplen esta
a) Métodos en que G*, y por tanto gB, sólo es función de τ*.
condición los de Duboys y Straub, Kalinske, Einstein (1942), Einstein y
Brown (1950), Sato et al (cuando n > 0.025), Yalin, Pernecker y Vollmer, y
Bogardi. Dada la geometría de la sección, pendiente y las propiedades del
agua y de los sedimentos del fondo, el arrastre en la capa de fondo es
independiente de la rugosidad total del cauce y por ende de la velocidad.
Esta limitación hace que los métodos se apliquen con reservas.
b) Métodos en que G* es función de τ* y Ca. Dentro de este grupo están los de
Shields, Meyer-Peter y Müller (en función de Cá/Ca), Sato et al (cuando
n > 0.025), y Frijlink (en función de Cá/Ca).
c) Métodos en que G* es función de τ*, Ca y d/D.
de Levi e Inglis Lacey.
Caen dentro de este grupo los
d) Métodos en los que G* es función de τ*, Ca y S.
únicamente el método de Shocklitsch.
Cumple con esta condición
e) Por último, métodos en que G* no es función de τ*.
Dentro de este grupo
solo está el método de Rottner; en él, G* es solo función de Ca. Puesto que
además subvalua a gB es un método que no se recomienda utilizar.
Por otra parte, cuando τ* > 0.8. se presenta régimen superior y los métodos
se pueden agrupar de cuatro formas distintas.
1) Aquellos en que G* ≅ Aτ* ≅ BU5 (A y B son constantes para el material y el
agua). Estos métodos dan el transporte total del fondo y no el arrastre en
la capa del fondo, y por tanto, no se pueden usar para este propósito.
Dentro de este grupo se encuentran los de: DuBoys, Shields (para τ* > 0.3),
Pernecker y Vollmer, Inglis y Lacey, y Bogardi.
2) Aquellos en que G* ya no depende de τ*; es decir G* ≅ A ≅ BU3. Son válidos
para obtener el arrastre en la capa de fondo. Dentro de este grupo están
los de: Meyer-Peter y Müller, Sato et al, Kikkawa y Ashida, Rottner, y
Yalin.
−1
3) Aquellos en que G* ≅ A τ * ≅ BU. También son válidos para obtener gB, aunque
dan valores menores que los del segundo grupo.
Esa diferencia es tanto
Caen dentro de este grupo los de: Kalinske y
mayor cuanto mayor es τ*,
Frijlink.
4) Los que no siguen alguna de las condiciones señaladas; ellos son:
Shocklitsch, Levi (sobrevalúa cuando n es reducida, n < 0.25), y Einstein y
Brown (solo aplica si τ* < 1.0)
5
Por último se pueden mencionar aquellos métodos en que no se limita el
transporte de sedimentos por debajo de la condición crítica de arrastre; es
decir, que indican transporte de sedimentos para cualquier velocidad del
flujo, por reducida que ella sea. Los métodos que tienen esta limitación son
los de Rottner, Inglis y Bogardi. Al utilizar estos métodos primero se debe
conocer la condición crítica de arrastre.
1
1
2
3
4
5
2
6
3
4
5
6
Gx
2 Inglis y Lacey
3 Shields
7
8
4 Pernecker y Vollmer
9
6 Yalin
7
Gx
1 Bogardi
5 DuBoys y Straub
8
7 Sato , Kikkawa y Ashida
9
8 Frijlink
9 Rottner
a)
Fig 1
b)
Representación gráfica de algunas ecuaciones de arrastre en la capa de
fondo, en el plano G* - τ*, y dos valores del coeficiente de rugosidad
de Manning.
6