anexo 2 - Universidad Nacional de Mar del Plata

Cálculo de Potencia Media en señales periódicas
Comencemos por definir una señal periódica ya sea cuando es periódica para todo ´t´ o cuasi
periódica (periódica para t > to ) como una suma de las siguientes funciones, que valen 0 para
t<0 y t>T:
xT(t)
t
T
0
∞
f (t ) =
∑ XT (t − nT )
n =0
, señal periódica para t > 0
f(t)
0
T
3T
2T
4T
t
nT
Si queremos obtener la potencia media de esta señal f(t), debemos hacer:
Pm =
Energía de la señal
Tiempo donde está aplicada la señal
Y como la longitud de esta señal es infinita, para calcular este cociente, debemos emplear un límite:
1
Pm = Lim
L→∞
L
1
Pm = Lim
L→∞
L
∫
L
∫
L
0
0
1
f (t ) dt = Lim
L→ ∞
L
2
L
∞
2
∫ n∑=0 XT (t − nT )
0
dt
( XT (t ) + XT (t − T ) + XT (t − 2T ) + XT (t − 3T ) + .... + XT (t − nT ) )
2
dt
Al desarrollar la suma de funciones al cuadrado tenemos:
Pm = Lim
L→∞
1
L
∫
L
0
[ X 2T ( t ) + X 2T ( t − T ) + X 2T (t − 2T ) + .... + X 2T (t − nT ) + 2( XT ( t ) XT (t − T ) +
XT ( t ) XT ( t − 2T ) + ......) ] dt
Es decir, están todos los productos de la función consigo misma más todos los productos cruzados,
localizados en el doble producto. Estos productos cruzados son cero pues cuando una función vale
distinto de cero , la otra vale cero, para todo t.
xT(t)
xT(t-2T)
0
Ej: xT(t) xT(t-2T) = 0 para todo t
T
2T
Autor: Ing. Jorge Calcagno - JTP Matemática Avanzada
Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata - Argentina
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Luego nos quedan sólo los productos de las xT(t-nT) consigo mismas, entonces:
Pm = Lim
1
L
Pm = Lim
2T
3T
L
1 T
[ ∫ X 2T ( t ) dt + ∫ X 2T ( t − T ) dt + ∫ X 2T (t − T ) dt + .... + ∫ X 2T ( t − T ) dt ]
0
T
2
T
nT
L
L→∞
L→ ∞
∫
L
0
[ X 2T ( t ) + X 2T ( t − T ) + X 2T (t − 2T ) + .... + X 2T (t − nT )] dt
Donde cada integral entre nT y (n+1)T representa la energía de la señal xT(t), que llamaremos E1
exepto la última (entre nT y L) que determinará una porción de la energía total E1, la cual llamaremos
E2, donde E2 < E1.
Pm = Lim
L→∞
1
1
[ E1 + E1 + E1 + ....... + E1 + E 2] = Lim
[ nE1 + E 2]
L→ ∞
L
L
n veces E1
El valor “L” puede caer justo en un número entero del tiempo T o en un lugar cualquiera, que es el
caso más general. Representamos esta situación suponiendo que el valor de L esta a una intervalo ∆t
de la última xT(t) que estamos integrando. Tomando 0 < ∆t < T
f2(t)
0
T
E1
3T
2T
E1
E1
4T
E1
nT
L
(n+1)T
∆t
Además notemos que nT y L se relacionan con el ∆t de la siguiente manera: L = nT + ∆t de donde
podemos despejar n en función de ∆t y L : n =
L − ∆t
, luego si reemplazamos esto último en la
T
expresión anterior de la potencia media obtenemos:
0
Pm = Lim
L→ ∞
1 L − ∆t
1 L
∆t
E1
1 ∆t
E1
[(
) E1 + E 2] = Lim
[ E 1 − E 1 + E 2] =
+ Lim [ −
E 1 + E 2] =
L→∞
L
T
L T
T
T L→ ∞ L T
T
Luego vemos que calcular la potencia media de una onda periódica de longitud infinita es lo mismo
que calcular la potencia media en un solo período.
Pm =
E1 Energía en un período
=
T
Período
Autor: Ing. Jorge Calcagno - JTP Matemática Avanzada
Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata - Argentina
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