Departamento de Estadística y Econometría. UMA. EJERCICIOS DE

Departamento de Estadística y Econometría. UMA.
EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA EMPRESA II. L.A.D.E.
TEMA 1
1) Muestre gráficamente la interrelación entre α y β al realizar un contraste unilateral para la
media de una distribución normal con variancia conocida. Haga uso del ejemplo H0: µ = 2 frente
a H1: µ = 4 cuando X es normal de media µ y variancia 4, donde se define la región critica x > 3
para una sola observación muestral. Si la nueva región crítica fuera x > 3’5, ¿cómo cambiarían α
y β?. Responda numérica y gráficamente.
(Solución: Región Crítica x > 3: α = 0’3085, β = 0’3085; Región Crítica x > 3’5: α = 0’2266, β = 0’4013).
2) La producción por hora de cierto componente para ordenador posee una distribución normal con
desviación típica de 16. Se extrae de dicha población una muestra de tamaño 81 para contrastar la
hipótesis de que la producción media por hora del citado componente es 100. Al nivel de
significación del 5%.
a) Si la hipótesis alternativa es 105, indique cuál será la probabilidad del error de tipo II.
b) Si se mantuviera el nivel de significación al 5%, ¿cuál debería ser el tamaño muestral
para que P(error de tipo II) = 0’05?.
c) ¿Cuál sería la potencia del contraste?.
(Solución: a) probabilidad del error de tipo II = 0’1210; b) Tamaño muestral = 111; c) potencia del
contraste: 0’95).
3) Dadas X~N(µX , σX2 = 100) e Y~N(µY , σY2 = 225), ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra, que
ha de ser igual para X e Y, que debe tomarse de X e Y para hacer α = 0´05 y β = 0´20 si la región
crítica para verificar H0: µX = µY frente a H1: µX = µY+5 es de la forma x − y > c ?.
(Solución: Tamaño de la muestra = 81).
4) Al verificar H0: µ = 20 para una variable normal, ¿cuál es la probabilidad de que aceptemos H0
cuando la media está, de hecho, σ/3 unidades por encima de 20, si se toma una muestra de
tamaño 16 y se elige como región crítica el 5% del extremo derecho de la distribución de la
media muestral?.
(Solución: Probabilidad de aceptar H0 = 0’6217).
5) Se quiere contrastar la hipótesis nula H 0 : θ = 1 , frente a la hipótesis alternativa H 1 : θ = 3 en una
población que se distribuye según una N (θ ,1) , utilizando muestras de tamaño dos, cuyos
resultados han sido x1 = 2 , x 2 = 3. Determinar la mejor región crítica de tamaño α = 0´05 para
efectuar el contraste y llevarlo a cabo.
(Solución: mejor región crítica: x ≥ K ; se rechaza la hipótesis nula).
6) Supongamos que estamos verificando la hipótesis nula H0: µ = 3 frente a la hipótesis alternativa
H1: µ = 2 para la distribución de Poisson mediante una muestra de tamaño 2. Indique mediante
un gráfico en el espacio muestral x1, x2 la parte del espacio que elegiría como región crítica.
Razone su elección.
(Solución: mejor región crítica:( x1 + x2 ) ≤ C ).
7) Se nos da la densidad f(x, θ) = θx (1-θ)1-x, siendo x = 0, 1 y cero en el resto. Sean H0: θ = 0’1 y
H1: θ < 0’1. Si se toma una muestra lo suficientemente grande (n = 100) como para justificar la
utilización del teorema central del límite, ¿qué región crítica de tamaño 0´05 se seleccionaría para
este test?.
(Solución: región crítica: Σ xi ≤ C ; C = 5’065).
8) Emplear el Teorema de Neyman-Pearson para determinar la naturaleza de una región crítica
óptima basada en una muestra de tamaño n para verificar la hipótesis nula H0: θ = θ0 frente a la
hipótesis alternativa H1: θ = θ1 siendo θ1 < θ0, si es f(x,θ) = (1+θ) xθ, 0<x<1, θ > 0.
n
(Solución:
∑ ln x
i =1
i
≤ K ).
9) Construir un test de la razón de verosimilitudes para verificar H0: θ = 1 dado que
f(x, θ) = (1/θ) e-(x/θ), x > 0. Proseguir la solución hasta conseguir obtener λ como una función de
la media muestral. Realice el correspondiente contraste, con α = 0’05, si con una muestra de
tamaño 100 la media muestral es 1’7.
(Solución: λ = x n e n (1− x ) . El contraste lleva a rechazar H0, al ser 33´88 > 3´84, donde 3´84 es el valor
crítico del test).
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
10) Designemos por X el número de éxitos que ocurren en un proceso de Poisson durante un periodo
de 5 minutos. Calcular α y β si deseamos verificar la hipótesis nula H0: µ = 2 frente a la
hipótesis alternativa H1: µ = 3, siendo µ la media para un periodo de 5 minutos, y si se utiliza
como región critica X ≥ 4.
(Solución: α = 0´1429 , β = 0´6472).
11) Emplear el Teorema de Neyman-Pearson para determinar la naturaleza de una región crítica
óptima basada en una muestra de tamaño n de una distribución exponencial, para realizar el
contraste H0: β = β0 frente a H1:β = β1 siendo β1 < β0.
(Solución: región crítica: Σ xi ≤ C ).
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12) Determinar el tamaño del error de Tipo II si el error de Tipo I se elige para que sea α = 0’16, si
estamos verificando la hipótesis H0: µ = 6 frente a la hipótesis H1: µ = 5 para una variable normal
con σ = 2, mediante una muestra de tamaño 25 y si se emplea la cola apropiada de la distribución
de la media muestral como región crítica.
(Solución: β = 0´0655).
13) Construir un test de la razón de verosimilitudes para realizar el contraste H 0 : θ = 1/3 frente a
H 1 : θ ≠ 1/3 si la población se distribuye de acuerdo con la siguiente función de densidad:
f(x, θ) = θ (1-θ)(x-1) sabiendo que de una muestra de tamaño 120 se ha obtenido una media igual a
4. Utilizar un nivel de significación del 1%.
(Solución: se rechaza la hipótesis nula).
14) Se cree que los errores en las pesadas de un tipo de báscula siguen una distribución N (0 , 1). Se
desea contrastar la afirmación realizada sobre la varianza frente a la alternativa de que es igual a
4. Para ello se han realizado cinco pesadas en las que el error cometido ha sido: 1 , 0’9, -0’2, 1’4
y – 0’7. Para un nivel de significación del 5 % se pide:
a) Obtener la mejor región crítica.
b) Indicar qué hipótesis ha resultado aceptada.
c) Obtener la potencia del contraste.
(Solución: a) Σ x2i ≥ 11’07; b) H0 ; c) 0’74) .
15) Sea H0: µ = 80 la hipótesis nula acerca de la media de una población N (µ , σ2 = 144). Sea
H1: µ = 83’95, la hipótesis alternativa. Se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 64.
Calcular la potencia del contraste, a un nivel de significación del 5%.
(Solución: Potencia del contraste: 0’8389).
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