Solución

CRITERIOS DE EVALUACIÓN GENERALES:
Si el alumno responde a dos de las cuestiones del mismo bloque sólo se valorará la que
aparezca primero en el examen.
Los errores simples de cálculo restarán entre 0.25 y 0.5 Puntos.
Los errores importantes de cálculo o errores simples reiterados pueden llevar a puntuar
igual a 0 en ese apartado.
Si un error simple ha llevado a un problema más sencillo se disminuirá la puntuación.
Se valorará el correcto uso del vocabulario y de la notación así como el planteamiento
inicial del problema.
Las preguntas contestadas correctamente sin incluir el desarrollo necesario para llegar a
su resolución serán valoradas con 0 puntos.
Si el ejercicio especifica que se resuelva utilizando un método concreto y el alumno opta
por resolverlo de otra forma se considerará que el problema es incorrecto y la valoración
del mismo será de 0 puntos.
Si no se indica método o procedimiento específico para realizar la cuestión el alumno
puede escoger el método que estime oportuno.
1
CRITERIOS DE CORRECCIÓN ESPECÍFICOS PARA LA PRUEBA:
BLOQUE 1:
• Cuestión 1.A. Transformaciones elementales necesarias para el cálculo del rango de
la matriz (1.5 puntos). Clasificación correcta del problema una vez realizadas las
trasnformaciones elementales necesarias. (1 punto).
• Cuestión 1.B. Obtención del rango máximo de la matriz (2.5 puntos) restando los
errores en función de la importancia de estos (-0.25 ó -0.5 puntos).
BLOQUE 2:
• Cuestión 2.A. Obtención del vector director de la recta  (0.5 puntos). Obtención del
vector director de la recta  (1 punto). Obtención del vector perpendicular a ambos
(1 punto).
• Cuestión 2.B. Comprobar que el punto dado es exterior a la recta (0.5 puntos).
Obtener los vectores directores del plano (1.5 puntos). Obtener el plano (0.5 puntos).
BLOQUE 3:
• Cuestión 3.A. La puntuación indicada en cada apartado restando los posibles errores
en función de la importancia de estos.
• Cuestión 3.B.
◦ Apartado a). Cada límite lateral (0.5 puntos). Determinar el valor del parámetro
para que la función sea continua (0.5 puntos).
◦ Apartado b). Cálculo de ´(−1) (0.5 puntos). Ecuación de la recta tangente (0.5
puntos).
BLOQUE 4:
• Cuestión 4.A. Planteamiento del problema (0.5 puntos). Determinar los límites de
integración (1 punto). Resolver calculando la integral y utilizando la regla de Barrow
(1 punto).
• Cuestión 4.B. Obtención de la primitiva (2.5 puntos) restando los errores en función
de la importancia de estos (-0.25 ó -0.5 puntos).
2
SOLUCIONES
Bloque 1. [2.5 Puntos]
• Cuestión 1.A Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
⎧
⎨  + 2 +  = 12
− +  −  = 8
⎩
2 −  +  = 8
a) Determinar para qué valores del parámetro  el sistema anterior es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. (1.5 puntos)
b) Resolver dicho sistema para  = 0, utilizando el método que estime más adecuado.
(1 punto)
Correspondencia con el programa oficial:
ALGEBRA: Clasificación de los sistemas (compatibles, incompatibles e indeterminados).
Solución:
a) En primer lugar, construiremos la matriz de los coeficientes junto con la ampliada:
¯
⎞
⎛
1
2
1 ¯¯ 12
⎝ −1  −1 ¯ 8 ⎠
¯
2 −1  ¯ 8
Con el fin de discutir el sistema propuesto, estudiaremos el rango de la matriz de coeficientes
y la ampliada. Para ello realizaremos transformaciones elementales sobre las filas:
¯
¯
⎞
⎛
⎞
⎛
1
2
1 ¯¯ 12 −−−−−−−−−−−−→
1
2
1 ¯¯ 12
⎝ −1  −1 ¯ 8 ⎠ 2 → 2 + 1 ⎝ 0  + 2
0 ¯¯ 20 ⎠
¯

→

−
2
3
3
1
2 −1  ¯ 8
0 −5  − 2 ¯ −16
¯
⎞
⎛
−−−−−−−−−−−
−−→
1
2
1 ¯¯ 12
5
3 → 3 + +2 2 ⎝
0 +2
0 ¯¯ 20 ⎠
( 6= −2)
0
0
 − 2 ¯ 68−16
+2
Analicemos ahora las distintas opciones:
Si  = −2 obtendremos que el rango de la matriz de los coeficientes es 2 tras la primera
transformación (la segunda fila es toda de ceros) y la de la ampliada 3, por tanto el
sistema es incompatible.
Si  = 2 obtendremos que el rango de la matriz de los coeficientes es 2 (la tercera fila es
toda de ceros) y la de la ampliada 3, por tanto el sistema es incompatible.
3
Si  6= ±2 el rango de la matriz de los coeficientes y de la ampliada es 3. Por tanto el
sistema será compatible determinado, es decir, tendrá solución única para cada valor de
 6= ±2
b) Una opción es usar el resultado
⎛
1
2
1
⎝ 0 +2
0
0
0
−2
obtenido en el apartado a).
¯
⎧
⎞
¯ 12
⎨  + 2 +  = 12
¯
¯ 20 ⎠ ⇒
2
= 20
¯ 68−16
⎩
¯
−2
= 34
+2
Otra opción es resolverlo directamente. Veamos esta última opción para que este apartado
resulte independiente del anterior. Como nos piden resolver para  = 0, el sistema se transforma
en:
⎧
⎧
⎨  + 2 +  = 12 −−−−−−−−−−−−−−→ ⎨  + 2 +  = 12
2
= 20
− − 
= 8 2 → 1 + 2
⎩
⎩
2 − 
=8
2 − 
=8
⎧
⎧
⎨  = −17
−−−−−−−−−−−→ ⎨  +  = −8
 = 10
 = 10
2 →  = 10
→
⎩
⎩
2 = 18
=9
4
• Cuestión 1.B Consideremos la siguiente
⎛
1
⎝
1
=
0
matriz:
⎞
0 2 3
2 a 2 ⎠
1 3 2
Determinar el rango de la matriz  en función de los distintos valores del parámetro
 ∈ R(2.5 puntos)
Correspondencia con el programa oficial:
ALGEBRA: Rango de una matriz.
Solución:
Al tratarse de una matriz 3 × 4, el rango máximo de la matriz  será 3. Con el fin de
determinar si la matriz A alcanza el rango máximo, será suficiente con encontrar un menor de
orden 3 con determinante no nulo.
En este caso, si tomamos el menor formado por aquellas columnas que no dependen del
parámetro (columnas 1, 2 y 4) obtenemos:
¯
¯
¯ 1 0 3 ¯
¯
¯
¯ 1 2 2 ¯ = 5 6= 0
¯
¯
¯ 0 1 2 ¯
Por tanto la matriz A tendrá rango 3 para cualquier valor del parámetro a.
() = 3 ∀ ∈ R
5
Bloque 2. [2.5 Puntos]
½
− =4
,
• Cuestión 2.A Dadas las rectas  : (  ) = (1 0 −1) + (1 1 −2) y  :
2 −  = 7
→
obtener un vector −
 que sea perpendicular a los vectores directores de ambas rectas.
.
(2.5 puntos)
Correspondencia con el programa oficial:
Geometría: Ecuaciones de rectas y planos en el espacio. Producto escalar de
vectores. Producto vectorial.
Solución:
Para dar respuesta a esta cuestión, en primer lugar necesitamos el vector director de la
recta  Para ello calculamos el producto vectorial de los vectores normales a los dos planos
que determinan la recta  (estos vienen determinados por los coeficientes de la ecuación del
plano). Por otro lado, es sabido que el producto vectorial de dos vectores proporciona un vector
perpendicular a ambos.
→
Así, si denotamos por −
 al vector director de la recta  tenemos:
¯
¯
¯
¯  

¯
¯
→
¯ 1 0 −1 ¯ = − − 2 −  ⇒ −
 = (−1 −2 −1)
¯
¯
¯ 2 −1 0 ¯
→
Por tanto, utlizando el mismo razonamiento anterior, el vector −
 solicitado, vendrá dado
→
→
por el producto vectorial entre −
 (vector director de la recta ) y −
 :
¯
¯
¯
¯ 


¯
¯
→
¯ −1 −2 −1 ¯ = 5 − 3 +  ⇒ −
 = (5 −3 1)
¯
¯
¯
¯ 1
1 −2
→
Para verificar que el vector −
 es perpendicular a los vectores directores de ambas rectas,
→
→
→
podemos calcular el producto escalar entre −
 y cada uno de los vectores directores ( −
 y −
 ).
El resultado de ambos productos debe ser 0 ya que:
−
→
→
→
→
 ·−
 = |−
 | · |−
 | · cos 
En nuestro caso
→
−
→
 = (1 1 −2) · (5 −3 1) = 5 − 3 − 2 = 0
 · −
→
−
→
−
 ·  = (−1 −2 −1) · (5 −3 1) = −5 + 6 − 1 = 0
6
• Cuestión 2.B Obtener la ecuación del plano  determinado por el punto  (1 3 0) y la
recta , siendo:
½
 + 2 − 3 = 0
:
(2.5 puntos)
3 +  − 5 = 0
Correspondencia con el programa oficial:
Geometría: Ecuaciones de rectas y planos en el espacio. Producto vectorial.
Solución:
Para determinar la ecuación del plano, bastará con tener un punto del mismo y dos vectores
directores. El punto nos lo proporcionan en el enunciado  (1 3 0). A la hora de obtener los
dos vectores directores tenemos varias opciones:
Podemos usar un vector director de la recta, y para el segundo vector tomar un punto
−→
de la recta, digamos  y construir el vector   (observese que el punto  (1 3 0) no
pertenece a la recta, lo que garantiza que este segundo vector director será distinto al
primero). Para obtener el vector de la recta, utilizaríamos el producto vectorial como en
el ejercicio 2.A
Podemos tomar dos puntos distintos de la recta, digamos 1 y 2 , y a partir de ellos
−−−→ −−→ −−→
−−→ −−−→ −−→
construir dos vectores, por ejemplo 1 2 y  2 ( 1 y  2 o 1 2 y  1 también
serían válidos). En esta resolución optaremos por esta última opción.
Un punto cualesquiera  = (0  0  0 ) pertenecerá a la recta  si sus coordenadas verifican
las ecuaciones que la determinan la recta. Para ello, podemos fijar una de las coordenadas y
obtener las restantes a partir de las ecuaciones. Por ejemplo:
Si  = −1 ⇒1 2 − 4 = 0 ⇒  = 2 ⇒2  = 5 − 3 · 2 = −1
1 = (−1 2 −1)
Si  = 3 ⇒1 2 = 0 ⇒  = 0 ⇒2  = 5
2 = (3 0 5)
A partir de estos puntos obtenemos dos vectores directores del plano. Por ejemplo:
−−−→
1 2 = (3 0 5) − (−1 2 −1) = (4 −2 6)
−−→
 2 = (3 0 5) − (1 3 0) = (2 −3 5)
Por tanto, el plano buscado vendrá dado por (ecuación vectorial):
 : (  ) = (1 3 0) + (4 −2 6) + (2 −3 5)
7
Bloque 3. [2.5 Puntos]
• Cuestión 3.A Sea la función racional:
() =
22
( − 1)2
a) Determinar el dominio de definición de la función  ()(0.25 puntos)
b) Calcular los límites laterales lı́m→1+ () y lı́m→1−  ()(0.5 puntos)
c) Calcular lı́m→+∞ () y lı́m→−∞ () (0.25 puntos)
d) Calcular  0 ()(0.5 puntos)
e) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de  ()(0.5 puntos)
f ) Esbozar la representación aproximada de la gráfica. (0.5 puntos)
Correspondencia con el programa oficial:
Análisis: Límite de una función en un punto y en el infinito. Cálculo de
límites de funciones. Derivada de una función en un punto. Función derivada.
Aplicación de la derivada al estudio de funciones: crecimiento, decrecimiento,
máximos y mínimos. Representación gráfica de funciones sencillas.
Solución:
a) Al tratarse de una función racional, su dominio estará formado por todos aquellos
números reales en los que el denominador sea no nulo. Por tanto () = R − {1}
¡  ¢2
22
b) Como se observa, esta función verifica siempre que () = (−1)
≥ 0 Por
2 = 2 −1
tanto:
¶2
µ
22

= lı́m+ 2
= +∞
lı́m () = lı́m+
→1+
→1 ( − 1)2
→1
−1
¶2
µ
22

lı́m  () = lı́m−
= lı́m− 2
= +∞
→1−
→1 ( − 1)2
→1
−1
c) Usando un razonamiento análogo al anterior, tenemos:
µ
µ
¶2
¶2
1

lı́m () = lı́m 2
= 2 · lı́m 1 +
=2
→+∞
→+∞
→+∞
−1
−1
µ
¶2
¶2
µ
1

lı́m () = lı́m 2
= 2 · lı́m 1 +
=2
→−∞
→−∞
→−∞
−1
−1
d) Nos piden ahora la derivada de la función  (). Ésta vendrá dada por:
4 · ( − 1)2 − 22 · 2 · ( − 1)
4( − 1)(( − 1) − )
=
=
4
( − 1)
( − 1)4
−4
=
( − 1)3
 0 () =
8
e) Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento debemos estudiar el signo de
la función  0 () En este caso como:
 0 () =
−4
( − 1)3
tenemos tres regiones:

(−∞ 0) (0 1) (1 ∞)
0
  ()
−
+
−
Luego la función () será creciente en el intervalo (0 1) y decreciente en el resto.
f) Una representación gráfica aproximada vendrá dada por:
() =
22
( − 1)2
y 14
12
10
8
6
4
2
-10
-8
-6
-4
-2
0
9
2
4
6
8
10
x
• Cuestión 3.B Dada la función:
() =
½
22 + 1
3 + 
1

≥1
a) Estudiar la continuidad de la función () en el punto  = 1 (1 punto)
b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la función () en el punto  = −1
.
(1.5 puntos)
Correspondencia con el programa oficial:
Análisis: Continuidad de funciones definidas a trozos. Derivada de una función
en un punto. Interpretación geométrica.
Solución:
a) Sabemos que la condición de continuidad en el punto  = 1 viene dada por:
lı́m  () = lı́m−  () = (1)
→1+
→1
En nuestro caso:
lı́m () = (1) = 3 · 1 +  = 3 + 
→1+
lı́m () = 2 · 12 + 1 = 3
→1−
Por tanto, para que sea continua se debe verificar:  = 0
b) Es conocido que la ecuación de la recta tangente a la función () en el punto  = 0
viene dada por:
 − (0 ) =  0 ( )( − 0 )
siendo  0 (0 ) el valor de la derivada de la función  () en el punto  = 0  Por tanto, la
ecuación pedida vendrá dada por:
 − 3 = −4( − (−1)) ⇒  = −4 − 1
ya que:
(−1) = 2 · (−1)2 + 1 = 3
 0 () = 4 (siempre que   1) ⇒  0 (−1) = −4
10
Bloque 4. [2.5 Puntos]
• Cuestión 4.A Determinar el área de la región encerrada por las gráficas de las funciones
 () = 2 y () = 2 (2.5 puntos)
Correspondencia con el programa oficial:
Análisis: Integrales inmediatas. Regla de Barrow. Aplicación de la integral
definida al cálculo de áreas de recintos sencillos.
Solución:
Sabemos que el área encerrada por dos curvas  () y () y las rectas  =  y  =  puede
obtenerse mediante:
Z 
|() − ()| 

En nuestro caso,  y  serán los puntos en los que se cortan ambas funciones, y por tanto
serán solución de la ecuación:
½
=0
2
2
 () = () ⇒  = 2 ⇒  − 2 = 0 ⇒
=2
½
=0
⇒
=2
Por otro lado, para  ∈ [0 2] se verifica que:
() = 2 ≥ () = 2 ⇒ | () − ()| = () −  () = 2 − 2 
luego debemos calcular:
Z
0
2
∙
22 3
−
(2 −  ) =
2
3
2
¸2
0
=
4
8 8
− =
2 3
3
Por tanto el área solicitada valdrá 43 2 (donde 2 representa las unidades de medida que se
estén utilizando al cuadrado).
11
• Cuestión 4.B Calcular la primitiva
Z
 · () 
(2.5 puntos)
Correspondencia con el programa oficial:
Análisis: Integración mediante cambios de variables sencillos. Integración por
partes y de fracciones variables sencillas.
Solución:
Este es un ejemplo típico de aplicación de la técnica conocida como "integración por partes".
En este caso:
=
 = () · 
 = 
 = − cos()
Por tanto:
Z
 · ()  = − · cos() +
Luego:
siendo  ∈ R.
Z
Z
cos() = − · cos() + ()
 · ()  = () −  · cos() + 
12