CLASE 5 Las ecuaciones de equilibrio pueden reescribirse / φ 0 (1

CLASE 5
Las ecuaciones de equilibrio pueden reescribirse
+ fiB = 0
ij;j
(1)
Considerando un desplazamiento virtual arbitrario ui (nulo en SU ), se tiene
y entonces
Z
(
ij;j
+ fiB ) ui = 0
(2)
(
ij;j
+ fiB ) ui dV = 0
(3)
V
Luego, se llega a la expresión correspondiente al principio de los trabajos
virtuales (ec.(22) clase_4) aplicando el Teorema de la Divergencia en la expresión
anterior (teniendo en cuenta además las condiciones de contorno).y que se tiene,
(
ui );j =
ij
ij;j
ui +
(4)
ui;j
ij
Reemplazando (4) en (3)
R
R
ij;j
V
V
(
+fiB ui dV = 0
ui
R
ui );j dV
ij
V
ij
ui;j dV + fiB ui dV = 0
Aplicando Teo. de la Divergencia,
R
(
S
ui )nj dS
ij
como
S
ij
nj = fi f
Z
V
ij
R
V
ij
en
ui;j dV + fiB ui dV = 0
Sf
ui;j dV =
Z
fiB
ui dV +
Z
S
V
1
S
S
fi f ui f
(5)
(notación: ij = x i = j = 1
i = j = 3) (ver (20) clase4)
i=j =2
y
=
ij
z
ui;j =
ij
=
=
ij
x
)+
("x @u
@x
( @v
)+
@z
yz
xy
( @u
)+
@y
( @w
)+
@x
zx
zy
xz
( @u
)+
@z
( @w
)+
@y
z
yx
@v
( @x
)+
y
@v
( @y
)+
( @w
)
@z
Teniendo en cuenta la simetría de ;
=
x
("x )+
@v
( @u
+ @x
)+
@y
xy
xz
( @u
+ @w
)+
@z
@x
y
("y )+
yz
( @v
+ @w
)+
@z
@y
y
("z )
y de acuerdo la las de…niciones del tensor de deformaciones ((17)-(20), clase
_4)
x
("x ) +
xy
(
xy ) +
xz
(
xz ) +
y
("y ) +
yz
(
yz ) +
y
("z ) = "T
El integrando el lado izquierdo en (5), coincide entonces con (22) clase _4,
que correspone al PTV
2
La formulación del metodo de elementos …nitos para el problema general de
elasticidad, desarrollada corresponde a la formulación del equilibrio estático. En
este equilibrio, las fuerzas aplicadas pueden variar con el tiempo, y los desplazamientos, también
RB =
N
EL
X
(m)
RB
=
m=1
N
EL Z
X
m=1
H (m)T
V
[f B(m)
(m)
H (m) U
k (m) H (m) ]dV (m)
(m)
(6)
son las aceleraciones puntuales (derivadas segundas con respecto al tiempo)
U
(m)
densidad de masa del elemento m
El equilibrio está dado por
M U
(7)
+ CU + KU = R
Donde M es la matriz de masa y C la matriz de ’damping’y es un sistema
de ecuaciones diferenciales ordinarias en el tiempo
b
u(m) (x; y; z) = H (m) (x; y; z)U
b
u (m) (x; y; z) = H (m) (x; y; z)U
u
(m)
b
(x; y; z) = H (m) (x; y; z)U
M=
N
EL
X
M
(m)
=
m=1
C=
N
EL
X
m=1
N
EL Z
X
V
m=1
C
(m)
=
H (m)T
N
EL Z
X
m=1
H (m) dV (m)
(8)
H (m)T k (m) H (m) dV (m)
(9)
(m)
(m)
V (m)
Para un análisis dinámico se derán hallar M C
3
y K:
Elementos Finitos para la ec. del calor 2D
Z
@T
@
@T
@
(k
)+
(k
) Wi dxdy +
@x
@x
@y
@y
D
donde,
=
T
+
Z
QWi dxdy +
D
Z
(k
q
@T
@n
qn )W i d
(10)
q
Z
@2T
@2T
)Wi dxdy +
k( 2 +
@x
@y 2
D
Z
QWi dxdy +
D
Z
(k
q
Aplicamos Teorema de la Divergencia
Z
Z
divF dxdy =
F nd
@T
@n
qn )W i d
(11)
(12)
D
F = (F1 ; F2 )
div F =
@F1
@x
+
@F2
@y
F1 y F2 con derivadas parciales continuas y
n = (n1 ; n2 ) es el vector normal exterior a
orientada de la región del plano D)
(curva frontera positivamente
Para F = (uv; 0)
Z
@v
@u
v + u dxdy =
@x
@x
Z
uvn1 d
(13)
Z
@u
@v
v + u dxdy =
@y
@y
Z
uvn2 d
(14)
D
Para F = (0; uv)
D
4
Reemplazando v
R
R
( @u @v
D @x @x
@v
@x
por
2
@ v
+ u @x
2 )dxdy =
2
@ v
( @u @v + u @y
2 )dxdy =
D @y @y
2
D
k( @@xT2 +
R
R
Para v = T; y u = Wi
(11),
R
en (13) y v
por
@v
@y
en (14) queda
@v
n1 d
u @x
@v
u @y
n2 d
reemplazando el primer término de la integral en
@2T
)Wi dxdy
@y 2
se obtiene
Z
@Wi @T
@Wi @T
(
k
+
k
)dxdy +
@x
@y @y
D @x
+
Z
Wi Qdxdy +
D
Wi = 0
Z
T
Z
@T
(k
@n
q
Wi =
Wi
@Wi @T
@Wi @T
(
k
+
k
)dxdy
@x
@y @y
D @x
Z
kWi (
@T
@T
n1 +
n2 )d +
@x
@y
(15)
qn )W i d = 0
en
Z
q
Wi Qdxdy
D
Z
Te(r; s) = h1 Tb1 + h2 Tb2 + h3 Tb3 + :::::::::::::::::: + hN TbN
donde ahora hi son las funciones de forma 2D
5
W i qn d = 0
(16)
Utilizando Galerkin el sistema algebraico a resolver es
(Wi = hi )
K Tb = R;
donde,
Z
(
@hi @hj @hi @hj
k
+
k
)dxdy
@x @x
@y @y
Ri =
Z
Z
Kij =
D
hi Qdxdy +
D
hi qn d
q
La formulación matricial ( conveniente para la implementación computacional) es
Te = H Tb
2
"
@ Te
@x
@ Te
@y
#
=
"
@h1
@x
@h1
@y
@h2
@x
@h2
@y
@h3
@x
@h3
@y
@h4
@x
@h4
@y
::: ::: ::: :: :: ::
:: :: :: :: :: ::
K Tb = QB + QS
6
@hN
@x
@hN
@y
1
1
@hN
@x
@hN
@y
6
6
6
6
6
6
#6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
Tb1
Tb2
Tb3
Tb4
::
::
::
::
::
TbN 1
TbN
(17)
(18)
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7 = B Tb
7
7
7
7
7
7
7
5
Para el elemento (1), por ejemplo la matriz elemental es
2
3
b
T
1
" e #
6 b 7
@h2
@h3
@h4
@h1
@T
6 T 7
@x
@x
@x
@x
@x
= @h1 @h2 @h3 @h4 6 b2 7 = B (1) Tb(1)
@ Te
4 T3 5
@y
@y
@y
@y
@y
Tb4
(19)
N
EL Z
X
(20)
K=
N
EL
X
K
(m)
=
m=1
QB =
m=1
N
EL
X
(m)
QB
=
QS =
m=1
(m)
QS
N
EL Z
X
V
m=1
m=1
N
EL
X
V
B (m)T C (m) B (m) dV (m)
(m)
=
N
EL Z
X
(m)
Sf
m=1
Elemento Isoparamétrico Bidimensional
7
QH (m)T
dV (m)
(21)
qn H S(m)T
dS (m)
(22)
(m)
b
X = x1 h1 + x2 h2 + x3 h3 + x4 h4 = H X
Y = y1 h1 + y2 h2 + y3 h3 + y4 h4 = H Yb
2
6
6
e
b
T = H T = [h1 ; h2 ; h3 ; h4 ] 6
4
Tb1
Tb2
Tb3
Tb4
(1 + r)(1 + s)
4
(1 r)(1 + s)
h2 (r; s) =
4
(1 r)(1 s)
h3 (r; s) =
4
(1 + r)(1 s)
h4 (r; s) =
4
h1 (r; s) =
8
3
7
7
7
5
(23)
(24)
(25)
@ Te
@ Te @r @ Te @s
=
+
@x
@r @x
@s @x
e
e
@T
@ T @r @ Te @s
=
+
@y
@r @y
@s @y
@ Te
@r
Se disponen de las derivadas
"
"
@ Te
@x
@ Te
@y
#
=J
1
K
@ Te
@r
@ Te
@s
"
(m)
@ Te
@r
@ Te
@s
=
#
#
Z
=J
1
1
Q(m)
B
Q(m)
S
Z
=
=
@h1
@r
@h1
@s
1
@ Te
;
@s
"
@y
@r
@y
@s
@x
@r
@x
@s
=
y
entonces,
@ Te
@x
@ Te
@y
@h2
@r
@h2
@s
(26)
#
=J
@h3
@r
@h3
@s
"
@ Te
@x
@ Te
@y
2
6
6
6
4
@h4
@r
@h4
@s
1
B (m)T C (m) B (m)
#
(27)
Tb1
Tb2
Tb3
Tb4
3
7
7
7
5
J (m) drds
(28)
1
Z
Z
1
1
Z
1
J (m) drds
QH
(29)
1
1
qn H S(m)T
(m)
Jl
(30)
ds
1
Por ejemplo, si el borde corresponde a r = 1; X = X(s) e Y = Y (s)
q
(m)
dl = ( @x
)2 + ( @y
)2 ds = Jl
ds
@s
@s
y, H S(m)T
= H S(m)T
Teniendo en cuenta las derivadas de las funciones de forma
9
cr=1
(1 + s)
4
(1 + s)
=
4
(1 s)
=
4
(1 s)
=
4
@h1
@r
@h2
@r
@h3
@r
@h4
@r
=
(1 + r)
4
(1 r)
=
4
(1 r)
=
4
(1 + r)
=
4
@h1
@s
@h2
@s
@h3
@s
@h4
@s
=
Para un elemento con nodos de coordenadas (2; 2)(0; 1)(0; 0)(2; 0);
@x
@r
=
(1+s)
2
4
(1+s)
0
4
(1 s)
0
4
+
(1 s)
2
4
10
=1
(31)
(32)
@y
@r
=
(1+s)
2
4
@x
@s
=
(1+r)
2
4
@y
@s
=
(1+r)
2
4
J=
1
4
jJj =
(1+s)
1
4
(1 s)
0
4
(1 s)
0
4
=
+
(1 r)
0
4
(1 r)
0
4
(1+r)
2
4
=0
+
(1 r)
1
4
(1 r)
0
4
(1+r)
0
4
=
+
1+s
4
3+r
4
1 1+s
0 3+r
3+r
4
Matriz de rigidez B para un elemento rectangular de 4 nodos (elasticidad
2D; tensión plana)
u = h1 u
b1 + h2 u
b2 + h3 u
b3 + h4 u
b4
v = h1 vb1 + h2 vb2 + h3 vb3 + h4 vb4
"T = "x ; "y ;
(33)
xy
(34)
@v
;
@y
(35)
donde
"x =
@u
;
@x
xy
@
@x
@
@y
=J
r=ri ;s=sj
1
@
@r
@
@s
"y =
=
@u @v
+
@y @x
r=ri ;s=sj
11
(36)
2
@u
@x
@u
@y
=J
@h1
@r
@h1
@s
1
r=ri ;s=sj
0
0
@h2
@r
@h2
@s
0
0
@h3
@r
@h3
@s
0
0
@h4
@r
@h4
@s
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
0
0
2
@v
@x
@v
@y
2
4
2
4
@u
@y
=J
0
0
1
r=ri ;s=sj
@u
@x
@v
@y
+
@v
@x
3
5
@h1
@r
@h1
@s
@h2
@r
@h2
@s
0
0
0
0
@h3
@r
@h3
@s
0
0
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
@h4
@r
@h4
@s
1
4
=
u
b1
vb1
u
b2
vb2
u
b3
vb3
u
b4
vb4
u
b1
vb1
u
b2
vb2
u
b3
vb3
u
b4
vb4
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
r=ri; s=sj
1 + sj
0
0
1 + ri
1 + ri 1 + sj
2
(1 + sj )
0
1 ri
0
1 ri
(1 + sj )
(1
sj )
0
(1
ri )
0
(1
(1
1
ri )
sj )
sj
0
(1 + ri )
dV = J (m) drds
K
(m)
=
Z
1
1
Z
1
B (m)T C (m) B (m)
1
Elemento rectangular de 9 nodos
12
J (m) drds
(37)
6
6
36
6
0
6
5
(1 + ri ) 6
6
6
1 sj
6
6
4
u
b1
vb1
u
b2
vb2
u
b3
vb3
u
b4
vb4
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
Integración Numérica 2D
Para una integral 2D, en un rectángulo, se aplica la integración numérica 1D
en cada dirección
I=
=
R1 R1
1
F (r; s)drds =
1
R1 R1
( 1 F (r; s)dr)ds =
1
R1 P
P P
( i F (ri ; s)wi )ds = j i F (ri ; sj )wi wj
1
XX
I=
F (ri ; sj )wi wj
j
(38)
i
Elementos triangulares
En algunas geometrías resulta más conveniente la utilización de elementos
triangulares.
Se pueden hallar las funciones de forma a partir de distorsionar un elemento
cuadrilétro (ver TP2)
13
Otra forma de obtener las funciones de forma es utilizar las coordenadas
naturales
h1 = 1
h2 = r
h3 = s
r
s
Si se quiere, por ejemplo, hallar la matriz B de la relación deformacióndesplazamiento para un elemento triangular de 3 nodos
(elasticidad 2D; tensión plana)
(x1 ; y1 ) = (0; 0); (x2 ; y2 ) = (4; 0)
J=
@x
@r
@x
@s
@y
@r
@y
@s
y
(x3 ; y3 ) = (1; 3)
u = h1 u
b1 + h2 u
b2 + h3 u
b3
v = h1 vb1 + h2 vb2 + h3 vb3
=
4 0
1 3
14
(39)
@u
@x
@u
@y
@v
@x
@v
@y
=J
1 0 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0
1
r=ri ;s=sj
=J
1
r=ri ;s=sj
Se obtiene
2 …nalmente,
3 0
3
1 4
0
3 0
B = 12
3
3
1
0
0
1 0 1 0 0
1 0 0 0 1
3
0 0 0
1 0 4 5
3 0 4
2
6
6
6
6
6
6
4
2
6
6
6
6
6
6
4
u
b1
vb1
u
b2
vb2
u
b3
vb3
u
b1
vb1
u
b2
vb2
u
b3
vb3
3
7
7
7
7
7
7
5
3
7
7
7
7
7
7
5
Buscar en la bibliografía Integración numérica en triángulos
15