Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Escuela de

Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Física
Electricidad y Magnetismo (2406)
http://fisica.ciens.ucv.ve/~svincenz/electricidadymagnetismo.html
Tarea 1
Análisis Vectorial
http://fisica.ciens.ucv.ve/~svincenz/electricidadymagnetismo(t1).pdf
1 ) Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación A = B + C e interpretando el resultado
geométricamente, pruebe la ley de los cosenos.
2 ) (a) Muestre que los siguientes vectores en el plano x y son unitarios y hacen ángulos ,
con el eje x:
A=^
{ cos( ) + |^sin( ); B = ^
{ cos( ) + |^sin( ):
(2.1)
(b) Por medio de un producto escalar, obtenga la fórmula para cos(
).
3 ) Si A es un vector constante y r es el vector que va desde el origen al punto (x; y; z), muestre
que la siguiente es la ecuación de un plano:
(r
A) A = 0:
(3.1)
4 ) Con A y r de…nidos como en el problema anterior, muestre que la siguiente es la ecuación
de una esfera:
(r A) r = 0:
(4.1)
5 ) Pruebe la ley de los senos para un triángulo usando el producto vectorial con A + C = B.
6 ) Veri…que por sustitución directa que la expresión
X=
C A
+ kA
A A
(donde k es un escalar arbitrario) es una solución de la ecuación C = A
ecuación implica que C es perpendicular a A.
(6.1)
X. Note que esta última
7 ) Muestre que A, B y C no son linealmente independientes si se cumple la relación
C = 0:
A B
(7.1)
8 ) (a) Muestre que el vector unitario normal a la super…cie '(r) = const es
n
^=
r'
:
j r' j
(b) Encuentre n
^ para el elipsoide ' = ax2 + by 2 + cz 2 .
3
(8.1)
9 ) Encuentre el gradiente de ' en coordenadas cilíndricas sabiendo que ds = a
^r dr + a
^ rd +
a
^z dz. Note que, en coordenadas esféricas r es la magnitud del radio vector desde el origen, y es el
ángulo polar. En coordenadas cilíndricas, r es la distancia perpendicular desde el eje del cilindro,
y es el ángulo azimutal alrededor de este eje.
10 ) Obtenga una expresión para r F en coordenadas cilíndricas.
11 ) ¿Es r
su respuesta.
F necesariamente perpendicular a F para toda función vectorial F ? Justi…que
12 ) Para dos funciones escalares cualesquiera ' y
, demuestre que
r2 (' ) = 'r2 + r2 ' + 2r' r :
(12.1)
13 ) Si r es el vector que va desde el origen al punto (x; y; z), pruebe las fórmulas
r r = 3;
r
r = 0;
(u r)r = u:
(13.1)
Aquí u es cualquier vector.
14 ) Si A es un vector constante, muestre que
r(A r) = A:
(14.1)
15 ) Pruebe la siguiente identidad
r
('F ) = (r')
F + 'r
F:
(15.1)
16 ) Si r es la magnitud del vector que va desde el origen al punto (x; y; z), y '(r) es una función
arbitraria de r, pruebe que
r d'
r'(r) =
; r ['(r)r] = 0:
(16.1)
r dr
17 ) Pruebe que
r F (r) =
18 ) Si
r dF
:
r dr
(17.1)
d'
:
d
(18.1)
= A r, pruebe que
r'( ) = A
19 ) Veri…que la siguiente ecuación en coordenadas rectangulares
r
(r
F ) = r(r F )
r2 F ;
(19.1)
donde el laplaciano de F es el vector cuyas componentes rectangulares son los laplacianos de las
componentes rectangulares de F .
4
20 ) Pruebe las identidades
I
Z
3
d r r' = ' dS;
V
S
Z
V
3
d r (r G + G r)F =
I
F (G dS):
(20.1)
S
Ayuda: use el teorema de la divergencia y una o dos identidades vectoriales.
21 ) Sea r el vector que va desde el origen al punto (x; y; z), y r su magnitud (o módulo). (a)
Evalúe las siguiente expresión:
1
r
:
(21.1)
r
(b) Demuestre la siguiente identidad vectorial:
r ('F ) = (r') F + 'r F ;
(21.2)
donde ' es cualquier función y F es cualquier función vectorial. (c) Use el resultado obtenido en
(b) para evaluar la siguiente expresión:
r
r
:
(21.3)
r3
Nótese que el resultado que ha obtenido en (c) es válido solo cuando r 6= 0. (d) Para estimar el
valor de (21.3) en r = 0, integre la expresión obtenida en (c) en una pequeña esfera de radio R
centrada en el origen. Es decir, calcule la siguiente integral:
Z
r
d3 r r
:
(21.4)
r3
V
Ayuda: use el teorema de la divergencia para calcular la integral en (21.4). (e) Use la siguiente
propiedad de la delta de Dirac:
Z
d3 r
3
(r) = 1;
(21.5)
R3
y obtenga …nalmente el resultado
r
= 4 3 (r):
(21.6)
r3
(f) Use el resultado obtenido en (a) y la fórmula (21.6) para evaluar la siguiente expresión:
r
r2
1
r
:
(21.7)
22 ) Como usted sabe, la ley de Gauss en forma integral se escribe así:
I
E dS = 4 k Q;
(22.1)
S
donde k = 1 en el sistema de unidades Gaussiano, y k = 1=4
Z
d3 r (r)
Q=
0
en el sistema MKS (o SI); además
(22.2)
V
es la carga total dentro de V limitada por S. (a) Use el teorema de la divergencia para escribir la
ley de Gauss en forma diferencial. Ayuda: aquí tiene la respuesta:
r E(r) = 4 k (r):
5
(22.3)
(b) Si se sustituye en (22.3) el campo eléctrico debido a una carga puntual y su correspondiente
densidad volumétrica de carga (vea la fórmula (22.2)) ¿Que resultado se obtiene?
23 ) (a) Tome la función
'(r) = p
y calcule r2 ', es decir,
r2 ' =
r2
1
+ a2
1 d2
d2 ' 2 d'
(r') = 2 +
2
r dr
dr
r dr
(23.1)
g:
(23.2)
Demuestre que en el límite a ! 0, g tiende a 4 3 (r). Es decir, demuestre que: (i ) para r = 0,
g ! 1 para a ! 0, (ii ) para cualquier r > 0, g ! 0 para a ! 0,
Z
Z 1
3a2 r2
3
=4 :
(23.3)
dr
(iii ) d r g(r) = 4
0
(r2 + a2 )5=2
Por lo tanto, para a ! 0, g ! 4 3 (r) y se tiene que r2 (1=r) =
en dos dimensiones? Pues bien, en este caso tome la función
'(r) = ln
por lo tanto
r2 ' =
4
3
(r). (b) ¿Cómo es todo esto
p
1
r2 + a2 = ln r2 + a2 ;
2
2a2
11 d d
r ln r2 + a2 = 2
2 r dr dr
(r + a2 )2
(23.4)
g:
(23.5)
Pruebe ahora que g es proporcional a la delta de Dirac en el límite a ! 0: (i ) de nuevo g ! 1
para r = 0 con a ! 0. (ii ) g ! 0 para r > 0 con a ! 0,
Z
Z 1
2a2 r
2
(iii ) d r g(r) = 2
dr 2
=2 :
(23.6)
(r + a2 )2
0
Por lo tanto, g ! 2
2
(r) para a ! 0.
6