1 Ecuaciones diferenciales exactas . E: y2 cosx 3x 2y 2x dx C 2y

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Ecuaciones diferenciales exactas .
E: y 2 cos x 3x 2 y 2x dx C 2y sen x
x 3 C ln y dy D 0;
con y.0/ D e:
D: H Verifiquemos primero si la ED es exacta:
@M
@ 2
D
y cos x
@y
@y
3x y
@
@N
D
Œ2y sen x
@x
@x
x 3 C ln y D 2y cos x
2
2x D 2y cos x
3x
3x 2
2
…
) la ED es exacta.
Entonces la solución de la ED es f .x; y/ D C , donde f .x; y/ satisface:
Z x
@f
@f
2
2
DM )
D y cos x 3x y 2x ) f D
.y 2 cos x 3x 2 y
@y
@x
) f D y 2 sen x x 3 y x 2 C k.y/:
2x/dx C k.y/ )
(1)
Derivando f con respecto a y e igualando a N :
@f
D 2y sen x
@y
x 3 C k 0.y/ D 2y sen x x 3 C ln y )
Z
0
) k .y/ D ln y ) k.y/ D ln y dy D y ln.y/ y:
Sustituyendo k.y/ en (1) e igualando a C , obtenemos la solución general de la ED:
y 2 sen x
x3 y
x 2 C y ln.y/
y D C:
Entonces
y.0/ D e ) 0
0
0 C e ln.e/
e D C ) C D 0:
La solución del PVI es
y 2 sen x C y ln y D x 3 y C x 2 C y:
17. canek.azc.uam.mx: 23/ 11/ 2010