Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadas e Ingeniería Geotécnica

XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos
e Ingeniería Geotécnica
Sociedad Mexicana de
Ingeniería Geotécnica, A.C.
Noviembre 14 a 16, 2012 – Cancún, Quintana Roo
Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadas
Prediction of deformations in overconsolidated clays
Agustín DEMÉNEGHI1 y Margarita PUEBLA2
1Facultad
2
de Ingeniería. Universidad Nacional Autónoma de México. México
Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional Autónoma de México. México
RESUMEN: Se presenta un procedimiento no lineal para la predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas
preconsolidadas totalmente saturadas. Se considera además la influencia del incremento de esfuerzo desviador en la
magnitud de la compresión de un elemento de suelo. Se utilizan los conceptos anteriores para el cálculo de
asentamientos de estructuras apoyadas sobre arcillas preconsolidadas. Se incluye un ejemplo de aplicación.
ABSTRACT: A non linear procedure for the calculation of long term deformations in fully saturated, overconsolidated
clays, is presented. It also takes into account the influence of deviator stress increment in the amount of deformation in
these soils. These concepts are used to calculate the settlements of structures resting over these soils. An example of
settlement prediction is included.
1 INTRODUCCIÓN
Para el cálculo de la deformación a largo plazo de
un estrato de arcilla preconsolidada, totalmente
saturada, es usual utilizar los resultados de pruebas
de consolidación unidimensional, practicadas sobre
muestras inalteradas extraídas del estrato de suelo.
En ocasiones la estimación de la compresión se
acerca en forma más o menos satisfactoria a la
compresión que sufre el estrato en el campo.
Sin embargo, otras veces ocurre que la
deformación de la arcilla en el campo es menor que
la deformación estimada con los resultados del
ensaye de consolidación unidimensional. Skempton
y Bjerrum (1957) analizaron este fenómeno y
concluyeron que esta diferencia se debe a que el
incremento de esfuerzo desviador in situ no
necesariamente es similar al incremento de esfuerzo
desviador en el laboratorio. Esta discrepancia hace
que el incremento de presión de poro en el campo
sea menor que el incremento de presión de poro en
el consolidómetro, lo que a su vez da lugar a que la
compresión in situ sea menor que la compresión en
el laboratorio.
Por otra parte, una arcilla preconsolidada ha
almacenado energía de deformación por la mayor
carga que tuvo durante su historia geológica; cuando
ocurre en este suelo un incremento de esfuerzo
desviador, se libera parte de esta energía de
deformación. En consecuencia, el incremento de
presión de poro en el campo resulta menor que el
incremento de presión de poro en el odómetro.
Las razones expuestas en los párrafos anteriores
explican el porqué la deformación in situ es menor
que la deformación en el laboratorio, siendo esta
diferencia mayor en arcillas preconsolidadas.
En su forma original, el trabajo de Skempton y
Bjerrum fue presentado de manera gráfica, y lo que
nosotros exponemos en este artículo son
expresiones analíticas derivadas del procedimiento
de estos autores, las cuales se pueden programar
en una calculadora con relativa facilidad.
Previamente a la presentación de estos conceptos,
tratamos un método no lineal para el cálculo de las
deformaciones en arcillas preconsolidadas.
2 ECUACIÓN CONSTITUTIVA PARA EL
CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN ARCILLAS
PRECONSOLIDADAS
2.1 Ecuación constitutiva
Consideremos un elemento de arcilla preconsolidada totalmente saturada, sometida a una
prueba de consolidación unidimensional, como se
muestra en la Figura 1. Denominemos con pveo al
confinamiento inicial vertical y a σz el incremento de
esfuerzo normal vertical sobre el elemento.
El confinamiento inicial vertical pveo está dado por
pveo  pcie  pvo '
(1)
donde pcie es la presión de confinamiento equivalente
a la cementación del suelo (en caso que la hubiera),
y pvo’ es la presión normal vertical efectiva inicial
sobre el elemento.
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA, A.C.
2
Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadas
Debido al incremento de esfuerzo vertical σz sobre
el espécimen de suelo, éste sufre una deformación
vertical Δwf como se indica en la Figura 1.
totalmente saturadas s ≈ 1; reemplazando este valor
en la ecuación (4)
Z, W
σz
d(σz)
Z, W
ΔWf
ΔW
d(ΔW)
ΔWf
pvo'
ΔW < 0
ΔW < 0
ΔZ
ΔZf
ΔZo
ΔZo
ΔZf
x, u
Figura 2. Deformación de un elemento de suelo de
espesor inicial Δzo
x, u
Figura 1. Incremento de esfuerzo normal, σz, sobre un
elemento de suelo de espesor inicial Δzo
d z 
Definamos la diferencial de deformación unitaria
vertical dεz de la siguiente forma
d z  
d w
z

z f
zo
d z 
1  z d z
 
z
A 0 pveo   z
z  zo  w
Es decir
d z   d zo   d w  d w
z f
 p z 

  veo
zo  pveo 
Reemplazando en la ecuación (2)
d z  
d z 
z
1
d z 
A  p   s
z
 veo

p
a



1
A
(6)
Por otra parte, de acuerdo con la Figura 2
(3)
Demos ahora un incremento de esfuerzo diferencial
dσz como se indica en la Figura 2. Proponemos la
siguiente ecuación constitutiva para el cálculo de la
deformación unitaria en compresión no confinada
d z
pa
(5)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (5), e
integrando
(2)
De acuerdo con la Figura 2
1 d z
A pveo   z
(4)
z f  zo  wf
z f
zo
 1
w f
zo
 z

w f   f  1zo
 z o

Reemplazando la ecuación (6) en la ecuación (7)
donde pa = presión atmosférica = 101.3 kPa, A es un
coeficiente que mide la rigidez del material, y s es un
exponente que depende del tipo de suelo. En arcillas
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA, A.C.
(7)
DEMÉNEGHI A. et al.
1



A


p



veo
z
  1 zo
w f  
 pveo 



(8)
 p '
log vf 
 pvo ' 
A
1 ef 

log
 1  eo 
3
(12)
De acuerdo con la convención de signos de la
Figura 2, el valor de Δwf dado por la ecuación (8) da
siempre negativo. Para tener una magnitud positiva
de la deformación del elemento, hagamos ΔδP=- Δwf,
donde ΔδP es la deformación al término de la
consolidación primaria del elemento de suelo. La
expresión (8) queda
La expresión (12) se puede utilizar para determinar
el módulo de rigidez en la rama de recompresión,
As’. En efecto, sean P1(pv1’, e1) y P2(pv2’, e2) dos
puntos en dicha rama (pv2’ > pv1’), entonces

 p z 

 P  1   veo
  pveo 

 p '
log v 2 
 pv1 ' 
As '  
 1  e2 

log
 1  e1 

1
A

 z
 o

(9)
La ecuación (9) permite calcular la deformación ΔδP,
en compresión confinada, de un elemento de suelo
de espesor inicial Δzo, sometido a un incremento de
esfuerzo vertical σz.
2.2 Determinación del módulo de rigidez A
El módulo de rigidez A lo obtenemos despejándolo
de la ecuación (9)
 p  z 

log veo
pveo 

A
  
log1  P 
z o 

(10)
donde log x = log10 x
Por otra parte, es usual calcular la relación de vacíos
en una prueba de consolidación. El módulo A se
puede obtener en función de dicha relación de
vacíos, de la siguiente forma
 P 1  e f

zo 1  eo
Un procedimiento similar se usa para obtener el
módulo de rigidez en la rama virgen, A’.
3 CRITERIO DE SKEMPTON Y BJERRUM PARA
EL CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN
ARCILLAS PRECONSOLIDADAS
Como señalamos antes, Skempton y Bjerrum (1957)
señalan que las magnitudes de las deformaciones
obtenidas a partir de resultados de una prueba de
consolidación unidimensional pueden ser diferentes
a los valores de las deformaciones sufridas por una
obra en el sitio, dependiendo esta diferencia de la
relación entre el incremento de esfuerzo desviador
en el campo y el incremento de esfuerzo desviador
en el consolidómetro. Veamos a continuación la
forma de estimar esta diferencia.
La deformación en consolidación unidimensional
vale
 Pcon  mv zo  z
siendo mv el coeficiente de compresibilidad
volumétrica del suelo. En el consolidómetro el
incremento de presión de poro, en el momento de
aplicar la carga, ΔuWcon = σz, por lo que
e e
e
 P 
zo  o f zo
1  eo
1  eo
1
(13)
(11)
Si, como es común, en arcillas preconsolidadas la
presión equivalente debida a la cementación entre
partículas es cercana a cero: pcie ≈ 0, la presión pveo ≈
pvo’. Tomando en cuenta además la ecuación (11) en
la ecuación (10), el módulo A queda
 Pcon  mv zo uWcon 
(14)
Por otra parte, el incremento de presión de poro en
el campo es función del incremento de esfuerzo
desviador, es decir
uWcpo 
x  y
2
  y 


 ASke  z  x
2 

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA, A.C.
(15)
4
Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadas
donde ASke es el coeficiente de presión de poro de
Skempton (1953), cuyos valores, para condiciones
de trabajo, se exhiben en la Tabla 1.
Tabla 1. Valores del coeficiente ASke en condiciones de
trabajo (Skempton y Bjerrum, 1957)
Tipo de arcilla
Arcilla blanda muy sensitiva
Arcilla normalmente consolidada
Arcilla preconsolidada
Arcilla arenosa fuertemente preconsolidada
Aske
>1
½a1
¼a½
0a¼
b) Se realiza una prueba de consolidación
unidimensional en una probeta labrada de la
muestra inalterada
c) Con los resultados de la prueba de
consolidación, se obtienen el coeficiente de
consolidación cv del suelo (empleando los
procedimientos usuales de la geotecnia), y
el módulo de rigidez As’ en el tramo de
recompresión, usando la ecuación (13)
 p '
log v 2 
 pv1 ' 
As '  
 1  e2 

log
 1  e1 
Skempton y Bjerrum consideran que el asentamiento
en el campo se puede calcular con la ecuación (14),
sustituyendo el incremento de presión de poro en el
sitio, es decir
 Pcpo  mv zo uWcpo 
(16)
Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones (14) y
(16)
 Pcpo
 Pcon


d) Se calcula la deformación del estrato para
compresión unidimensional, al término de la
consolidación
primaria,
utilizando
la
ecuación (19)
1



A


pveo   z s ' 


 Pcon  1  
z
  pveo   o


uWcpo
uWcon
ASke z 
1  ASke  x   y 
z
2
  1
(17)
(13)
e) Se obtiene la deformación del estrato en
campo, al término de la consolidación
primaria, con la ecuación (18)
 Pcpo   Pcon 
O sea
 Pcpo   Pcon 
(18)
(18)
donde, de acuerdo con la expresión (17)17
donde
1



As '


p



veo
z
  z
 Pcon  1  
  pveo   o


(19)

ASke z 
1  ASke  x   y 
z
2
1
(17)
(19)
f)
La deformación del estrato para un tiempo, t,
se determina
 Pcpo,t   PcpoU
4 PREDICCIÓN DE DEFORMACIONES A LARGO
PLAZO EN ARCILLAS PRECONSOLIDADAS
De acuerdo con lo tratado en los incisos anteriores,
el cómputo de la deformación a largo plazo en un
estrato de arcilla preconsolidada, totalmente
saturada, se puede llevar a cabo con los siguientes
pasos
a) Se extrae una muestra inalterada del suelo,
de preferencia a la mitad del estrato
(20)
donde U es el grado de consolidación primaria,
que es función del factor tiempo T
T
cv t
ze 2
(21)
Las magnitudes de U se muestran en la
Tabla 2.
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA, A.C.
5
DEMÉNEGHI A. et al.
Hicimos una comparación de los asentamientos de
estructuras, tomados de Skempton y Bjerrum (1957),
empleando el método de estos autores y el
procedimiento que planteamos en este artículo. Los
resultados se exhiben en la Tabla 3; vemos que los
valores de coeficiente μ son prácticamente los
mismos.

 z  q 1 

2
z

2 3/ 2



Incremento de esfuerzo radial horizontal (Yoder,
1959)
Tabla 2. Relación teórica U-T
U (%)
T
0
0
10
0.008
15
0.018
20
0.031
25
0.049
30
0.071
35
0.096
40
0.126
45
0.159
50
0.197
55
0.238
60
0.287
65
0.342
70
0.405
75
0.477
80
0.565
85
0.684
90
0.848
95
1.127
100
≈ 2.0
(Tomada de Juárez Badillo y Rico, 1976)
a
z3
r 
q
21   z
z3
1

2




1/ 2
2 
a2  z 2
a2  z 2




3/ 2



Rectángulo cargado
Los incrementos de esfuerzo bajo la esquina de un
rectángulo cargado están dados por (Figura 3)
Incremento de esfuerzo normal vertical (Damy,
1985)
z 
q
2
 1
1  xyz
xy 

 2
 tan1 
 2
2
2 
y z  B
zB 
 x  z
q
y
Tabla 3. Magnitudes del coeficiente μ
Obra
Tanque de
almacenamiento
Arcilla de Chicago
Arcilla de Londres
Arcilla de Oxford
Valores del coeficiente μ
Skempton y
Este artículo
Bjerrum
x
z
0.80
0.80
0.90
0.50
0.55
0.90
0.49
0.55
σz
σy
σx
5 FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE LOS
INCREMENTOS DE ESFUERZO
Los incrementos de esfuerzo normal ocasionados
por un cimiento cargado se pueden valuar con las
siguientes expresiones, válidas para un medio
homogéneo, isótropo y linealmente elástico (con una
relación de Poisson ), con carga repartida q
aplicada sobre la superficie de un medio seminfinito
(Deméneghi y Puebla, 2012)
Círculo cargado
Los incrementos de esfuerzo bajo el centro de un
círculo cargado están dados por
Figura 3. Incrementos de esfuerzo bajo la esquina de un
rectángulo cargado
Incrementos de esfuerzo normal horizontal (Dashkó
y Kagán, 1980)

xyz
1 zB
 2  y 2  z 2 B  tan xy


x
xB 

 1  2  tan1  tan1
y
yz 

x 
q
2

Incremento de esfuerzo normal vertical
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA, A.C.

6
y 
Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadas
q
2

xyz
1 zB
 2  x 2  z 2 B  t an xy



pveo = pvo’ =(18-9.81)(0.6)+(16-9.81)(0.3)= 6.771 kPa
K o  1  sen OCR 
sen
y
yB 

 1  2  t an1  t an1

x
xz 



 1  sen29 2

6 EJEMPLO
Calcular el asentamiento bajo el centro de la losa de
cimentación de la estructura de la Figura 4, para
tiempos de 6 meses y 5 años después de terminada
la construcción. La losa tiene 8 por 16 m en planta, y
transmite al terreno un incremento de presión media
de 80 kPa.
Se practicó además una prueba de consolidación
sobre una muestra inalterada extraída del estrato de
arcilla preconsolidada. Las coordenadas de dos
puntos de la curva de compresibilidad en la rama de
recompresión son: P1 (0.281 kg/cm2, 1.061), P2
(1.217 kg/cm2, 1.024); cv= 0.000046 cm2/s. En esta
arcilla el fenómeno de consolidación secundaria es
pequeño y se puede despreciar para fines prácticos.
Considerar en la arcilla ’= 29°, pcie= 0, una
relación de preconsolidación OCR = 2 y un
coeficiente de Skempton Aske= 1/3
sen 29
 0.721
Ko
0.721

 0.419
1  K o 1  0.721
A la mitad del estrato, los incrementos de esfuerzo
valen
σz = 79.61 kPa
σx = 57.36 kPa
σy = 54.27 kPa
Utilizamos la ecuación (19)
1



80.9
6
.
771

79
.
61



 0.6  0.0186m
 Pcon  1  

 

6.771 


Usando la ecuación (17)
79.61 1  1 / 357.36  54.27

2
 3
 0.801
79.61
La deformación en campo, al término de la
consolidación primaria vale [ecuación (18)]
NAF
 Pcpo  0.8010.0186  0.0149m
a) Tiempo = 6 meses
Arena compacta
0.6 m
Gamma = 18 kN/m3
Arcilla preconsolidada, OCR = 2, pcie = 0
0.6 m
Gamma = 16 kN/m3
t = 6(30)(86400) = 15,552,000 s
T
0.00004615,552,000
 0.795
302
Roca
U = 88.4%
Figura 4. Ejemplo
 P6meses  0.8840.0149  0.0132m
Solución
El módulo As’ lo obtenemos con la ecuación (13)
 1.217 
log

0.281

As '  
 80.9
 1  1.024
log

 1  1.061
b) Tiempo = 5 años
t = 5(365.25)(86400) = 157,788,000 s
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DEMÉNEGHI A. et al.
T
0.000046157,788,000
 8.06  2
302
U = 100%
 P5años  10.0149  0.0149m
(Arcilla preconsolidada. Ejemplo 5 años)
7 VALORES ESTADÍSTICOS
Para fines preliminares de análisis se pueden usar
las siguientes magnitudes obtenidas a partir de
datos estadísticos
2491.5
As ' 
IP  12.12  25.16t 1.00885
IP  34.4692
31027
7
suelo disminuye con el esfuerzo normal
vertical efectivo sobre el suelo
b) La deformación de un estrato de arcilla
preconsolidada, totalmente saturada, resulta
en el campo menor o igual que la
deformación calculada a partir de resultados
de pruebas de consolidación unidimensional
c) La diferencia entre el incremento de
esfuerzo desviador en el campo y el
incremento de esfuerzo desviador en el
consolidómetro da lugar a que el aumento
de presión de poro in situ sea menor que el
aumento de presión de poro en el
laboratorio, lo que conduce a que la
deformación unitaria de un estrato en campo
sea menor a la deformación unitaria de una
probeta en el odómetro
d) En este artículo se
presentó
un
procedimiento analítico para tomar en
cuenta el efecto del esfuerzo desviador in
situ, siguiendo los conceptos presentados
por Skempton y Bjerrum. La solución que
exponemos se puede programar en una
computadora con relativa facilidad
757.3
A' 
IP  28.79  23.43t 1.00637
IP  35.0992
54414
donde IP es el índice plástico, en porciento, y t α es
una variable t de Student, cuyos valores en función
del nivel de confianza α aparecen en la Tabla 4.
Para fines preliminares se puede usar 15% ≤ α ≤
30%.
Tabla 4. Magnitudes de la variable aleatoria tα
Nivel de
confianza α
%
2.5
5
10
15
20
25
30
40
50
Módulo As’
Módulo A’
Variable aleatoria tα
1.982
1.975
1.659
1.654
1.289
1.287
1.041
1.040
0.845
0.844
0.677
0.676
0.526
0.526
0.254
0.254
0
0
REFERENCIAS
Damy J. (1985). “Integración de las ecuaciones de
Boussinesq, Westergaard y Fröhlich, sobre superficies poligonales de cualquier forma, cargadas
con fuerzas verticales uniformemente repartidas”,
Rev Ingeniería, Vol LV, N° 1: 82-86
Dashkó R.E., Kagán A.A. (1980). Mecánica de
Suelos en la Práctica de la Geología Aplicada a la
Ingeniería, Cap 2, MIR, Moscú
Deméneghi A., Puebla M. (2012). “Incrementos de
esfuerzo en la masa de suelo”, Apuntes de
Comportamiento de Suelos, Facultad de
Ingeniería, UNAM, México, D F
Juárez-Badillo E., Rico A. (1976). Mecánica de
Suelos, Limusa, México, D F
Skempton A.W. (1954). “The pore pressure
coefficients A and B”, Géotechnique, 4: 143-147
Skempton A.W., Bjerrum L. (1957). “A contribution to
the settlement analysis of foundations in clay”,
Géotechnique, 7(4): 168-178
Yoder E.J. (1959). Principles of Pavement Design,
Wiley
8 CONCLUSIONES
De acuerdo con lo tratado en los incisos anteriores,
se concluye lo siguiente:
a) La compresión de un elemento de arcilla
preconsolidada se puede predecir usando
un método no lineal de deformación,
considerando que la compresibilidad del
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