Controlador LQR difuso - U

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CONTROL BASADO
EN MODELOS DE TAKAGI & SUGENO
Los modelos difusos propuestos por Takagi y Sugeno (1985), tienen la
particularidad de que las consecuencias de cada regla son ecuaciones
lineales. Esta característica permite que para cada subespacio lineal o
regla del modelo, se pueda derivar un controlador basado en la teoría de
control lineal. Por lo tanto, se puede obtener un controlador difuso, que
combine las acciones de los controladores lineales de cada regla.
La secuencia de pasos, propuesta por Sugeno y Kang (1986), para
diseñar un controlador basado en modelo difuso consiste en:
a)
Identificar un modelo basado en reglas como el siguiente:
R i : Si Z1 es Fli y … y Zm es Fmi
entonces Yi = pi0 + p1i X1 + … + pik Xk
(*)
Ri : Si Z1 es Fli y … y Zm es Fm i
entonces u i = f i (Yi , X1,..., Xk)
e) Por último, cabe mencionar que para calcular la acción de control
final se utiliza la ponderación de la salida de cada regla por su
respectivo grado de cumplimiento Wi. De esta manera, la acción de
control final u es:
M
M
i =1
i =1
u = ∑ (Wi u i )/(∑ Wi )
donde Wi es el grado de activación de la regla i y M es el número de
reglas del modelo difuso.
D. Sáez, EM727. Apuntes Control Difuso. Dpto. Ing. Eléctrica, U. Chile.
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CONTROLADOR LQR DIFUSO
Control lineal cuadrático (LQR)
El diseño del controlador lineal cuadrático (LQR: "Linear Quadratic
Regulator") se realiza considerando un modelo lineal en variables de
estado del sistema y minimizando la siguiente función de costos (Astrom,
1984):
∞
J = ∫ ( x T Qx + u T Ru ) dt
0
donde x es el vector de variables de estado, u es la variable manipulada.
La solución de este problema se obtiene resolviendo la siguiente
ecuación de Ricatti para la matriz P:
PA + A T P − PBR −1 B T P + Q = 0
donde A y B son las matrices del modelo en variables de estado
linealizado.
De esta manera, el control obtenido está dado por:
u = −Kx
−1 T
donde K = R B P
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Para el diseño del controlador LQR difuso, se considera el siguiente
modelo difuso en variables de estado:
R i : Si z1 es Fli y … y z m es Fmi
entonces x = A i x + Bi u
donde zj son las variables de entrada del modelo difuso y x es el vector
de variables de estado
Por lo tanto, el controlador basado en un modelo difuso consiste en una
base de reglas con la siguiente estructura:
R i : Si z1 es Fli y … y z m es Fmi
entonces u i = f i ( x1 ,…, x n )
donde la ley de control fi corresponde a un controlador lineal cuadrático
obtenido a partir del modelo lineal en variables de estado para cada regla
i del modelo difuso
Entonces,
R i : Si z1 es Fli y … y z m es Fmi
entonces u i = −k1i x1 − … − k in x n
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CONTROLADOR BASADO EN MODELOS DIFUSOS
POR UBICACIÓN DE POLOS
Debido a que las consecuencias de los modelos difusos de Takagi &
Sugeno son sistemas lineales, se puede diseñar controladores en
variables de estado difusos por asignación de polos (Kang y Lee, 1995).
En este caso, se considera el siguiente modelo difuso de Takagi &
Sugeno en variables de estado:
R i : Si z1 es Fli y … y z m es Fmi
entonces x i (k + 1) = A i x (k ) + Bi u (k )
y(k) = Cx(k)
Entonces, el vector en variables de estado a partir del modelo difuso es:
M
∑ w (z)x (k + 1)
i
x (k + 1) =
i
i =1
M
∑ w (z)
i
i =1
El controlador difuso esta compuesto por las premisas del modelo difuso.
Entonces, la base de reglas del controlador está dada por:
R i : Si z1 es Fli y … y z m es Fmi
entonces u i (k ) = −G i x (k )
donde Gi es una matriz de ganancia realimentada en el estado.
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CONTROLADOR BASADO EN MODELOS DIFUSOS
POR UBICACIÓN DE POLOS
Debido a que las consecuencias de los modelos difusos de Takagi &
Sugeno son sistemas lineales, se puede diseñar controladores en
variables de estado difusos por asignación de polos (Kang y Lee, 1995).
En este caso, se considera el siguiente modelo difuso de Takagi &
Sugeno en variables de estado:
Ri : Si z1 es Fl i y … y z m es Fm i
entonces x i (k + 1) = Ai x(k ) + B i u (k )
y i (k) = Cx i (k)
Entonces, el vector en variables de estado a partir del modelo difuso es:
M
∑ w (z)x (k + 1)
i
x (k + 1) =
i
i =1
M
∑ w (z)
i
i =1
El controlador difuso esta compuesto por las premisas del modelo difuso.
Entonces, la base de reglas del controlador está dada por:
R i : Si z1 es Fli y … y z m es Fmi
entonces u i (k ) = −G i x (k )
donde Gi es una matriz de ganancia realimentada en el estado.
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En este método, la ganancia Gi debe ser obtenida tal que el sistema
difuso con el controlador difuso tenga los polos deseados. Para esto, se
formula el siguiente teorema.
Teorema
Se considera que el vector de ganancia Gi satisface:
φ = A i − Bi G i
donde φ es la matriz de transición de estados que tiene los polos
deseados. Además, se considera que la acción de control debe ser
obtenida a partir de la relación:
M
M
∑ w (z)B u (k ) = ∑ w (z)B u (k ) (*)
i
i
i
i =1
i
i
i =1
M
∑ w (z)B u (k )
i
u (k ) =
i
i
i =1
M
∑ w (z)B
i
i
i =1
Entonces, la matriz de transición del sistema difuso con controlador
difuso es φ y tiene los polos deseados.
Demostración
Se considera que u(k) obtenido de la ecuación (*) es usado como entrada
al sistema, entonces las variables de estado del modelo difuso son:
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M
∑ w (z)x (k + 1)
i
x (k + 1) =
i
i =1
M
∑ w (z)
i
i =1
∑ w (z)(A x (k ) + B u (k ))
M
i
x (k + 1) =
i
i
i =1
M
∑ w (z)
i
i =1
M
∑ w (z)A x (k ) + w (z)B u (k )
i
x (k + 1) =
i
i
i
i
i =1
M
∑ w (z)
i
i =1
M
∑ w (z)A x (k ) − w (z)B G x (k )
i
x (k + 1) =
i
i
i
i =1
M
∑ w (z)
i
i =1
∑ w (z)(A
M
i
x (k + 1) =
i
)
− Bi G i x ( k )
i =1
M
∑ w (z)
i
i =1
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i
8
M
∑ w (z)φx (k )
i
x (k + 1) =
i =1
M
∑ w (z)
= φx (k )
i
i =1
Por lo tanto, el sistema en lazo cerrado tiene los polos deseados.
Ejemplo
Diseñar un controlador difuso en variables de estado para el siguiente
sistema difuso, talque los polos en lazo cerrado sean 0.4±0.4j:
R 1 : Si y(k) es S1
1⎤
⎡ 0
⎡0⎤
entonces x1 (k + 1) = ⎢
x
(
k
)
+
⎥
⎢1.2⎥ u (k )
−
0
.
6
1
.
6
⎣
⎦
⎣ ⎦
y(k) = [0 1]x(k)
R 2 : Si y(k) es S2
1⎤
⎡ 0
⎡0⎤
entonces x 2 (k + 1) = ⎢
x
(
k
)
+
⎥
⎢1.4⎥ u (k )
−
0
.
9
1
.
8
⎣
⎦
⎣ ⎦
y(k) = [0 1]x(k)
En la siguiente figura se presentan las funciones de pertenencia para las
premisas:
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9
µ
1
S1
S2
0
-1
0.8
1
Entonces, el controlador difuso está dado por:
R 1 : Si y(k) es S1
entonces u1 (k + 1) = − [− 0.233 0.667]x(k)
R 2 : Si y(k) es S2
entonces u 2 (k + 1) = − [− 0.4143 0.7143]x(k)
Por lo tanto, la acción de control está dada por:
1.2w1u1 (k ) + 1.4w 2 u 2 (k )
u (k ) =
1.2w1 + 1.4w 2
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CONTROLADOR LQR DIFUSO
PARA UN PENDULO INVERTIDO
.
Sensor angular
α
Péndulo
.
Motor .
Sensor lineal
F
d
Riel
.
El péndulo invertido está compuesto por una viga montada sobre un
carro que desliza sobre un riel. El motor de corriente continua permite
ejercer la fuerza sobre el sistema y un pontenciómetro acoplado a él por
un mecanismo de engranaje mide la posición del carro. Además, un
potenciómetro montado en el eje de rotación permite medir el ángulo del
péndulo con respecto a la vertical.
Se considera como variables de entrada al controlador o variables
controladas el ángulo y la velocidad angular del péndulo, y la variable de
salida o manipulada es la fuerza aplicada al motor. No se considera el
control de la posición del carro.
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Controlador LQR difuso
En este caso, para diseñar el controlador difuso para la estabilización
angular de un péndulo invertido se deriva el siguiente modelo difuso del
proceso:
Ri: Si x1 es Ai y x2 es Bi
⎡ x 1 ⎤ ⎡ a 11
entonces ⎢ x ⎥ = ⎢a
⎣ 2 ⎦ ⎣ 12
a 21 ⎤ ⎡ x 1 ⎤ ⎡ b1 ⎤
⎡ c1 ⎤
+
u
+
⎢c ⎥
a 22 ⎥⎦ ⎢⎣ x 2 ⎥⎦ ⎢⎣b 2 ⎥⎦
⎣ 2⎦
donde x1 y x2 son las variables de estado del proceso α y α , u es la
variable manipulada F. Además, Ai y Bi son los conjuntos difusos para
x1 y x2 respectivamente.
En este caso, debido a que el proceso es inestable y no es posible la
obtención de datos en lazo abierto, en vez de realizar una identificación
del modelo por alguno de los métodos descritos anteriormente, los
coeficientes aij, bj y cj son determinados a partir de la linealización de la
siguiente ecuación fenomenológica del proceso en torno a diferentes
puntos de operación.
α=
m 2
α senα cosα
2
2(M + m)
m cos 2 α
−
3
2
(M + m)g senα - Fcosα -
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Por lo tanto, el controlador basado en un modelo difuso consiste en una
base de reglas con la siguiente estructura:
Ri: Si α es Ai y α es Bi entonces Fi = -k1i α - k2i α' + koi
donde kji son los coeficientes de la regla i para la variable de estado j, (j
=1,2) y koi es un sesgo dado por la diferencia entre el punto de operación
utilizado para la linealización correspondiente a la regla i y el estado de
equilibrio (α = 0, α = 0).
Los puntos de operación para la linealización se presentan en la siguiente
tabla.
Regla
1
2
3
4
α (rad)
-0.6981
(-40º )
-0.6981
(-40º )
0.6981
(40º )
0.6981
(40º )
α
(rad/seg)
-1.7453
(-100º/seg)
1.7453
(100º/seg)
-1.7453
(-100º/seg)
1.7453
(100º/seg )
Los parámetros de las funciones de pertenencia (ver figura) han sido
determinados mediante un procedimiento de prueba y error, y sus valores
se presentan en la siguiente tabla.
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u
1
A1
A2
0
L1
L2
Funciones de pertenencia
Parámetros de las premisas
L1
-0.3491 (-20º)
-0.8727 (-50º/seg.)
α (rad)
α (rad/seg.)
L2
0.3491 (20º)
0.8727 (50º/seg.)
Los coeficientes de las consecuencias, correspondientes a los de un
controlador LQR para cada regla, se presentan a continuación.
Coeficientes de las consecuencias
Regla
1
2
3
4
k1
-20.2443
-20.2443
-20.2441
-20.2441
k2
-5.9888
-6.2131
-6.2131
-5.9887
ko
-2.0787
-2.0787
2.0787
2.0787
En las siguientes figuras, se presentan los resultados del LQR difuso para
el péndulo invertido.
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A ngulo (rad)
0.2
0.1
0
0.5
1
1.5
Tiempo (seg)
2
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tiempo (seg)
2
0
0.5
1
1.5
Tiempo (seg)
2
10
0.5
8
Fuerza (N)
V elocidad angular (rad/s eg)
0
V eloc idad angular (rad/seg)
14
0
6
4
2
0
-2
-0.5
0
0.1
Angulo (rad)
0.2
0.2
0
V eloc idad angular (rad/s eg)
0
0.5
1
1.5
Tiempo (seg)
2
1
0.5
0
-0.5
-1
1
15
0.5
10
Fuerz a (N)
A ngulo (rad)
0.4
V eloc idad angular (rad/s eg)
Condiciones iniciales: α0 = (10°) 0.1745 rad, α 0 = 0. Verde :LQR, Azul: LQR difuso.
0
-0.5
-1
0
0.5
1
1.5
Tiempo (seg)
2
0
0.5
1
1.5
Tiempo (seg)
2
5
0
-5
0
0.2
Angulo (rad)
0.4
Condiciones iniciales: α0 = (20°) 0.349 rad, α 0 = (40°/seg) 0.6981. Verde :LQR, Azul:
LQR difuso.
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En la siguiente tabla se presentan los valores de la función de costos del
regulador LQR, para todas las pruebas realizadas con diferentes
condiciones iniciales.
Valores de la función de costos.
α0
(rad) 0.1745 (10º) 0.1745 (10º) 0.2618 (15º) 0.3490 (20º)
0
0.3490
0.5216
0.6981
α 0 (rad/seg)
(20º/seg)
(30º/seg)
(40º/seg)
LQR
4956
8437
19574
37240
LQR difuso
4578
7747
17805
34635
Finalmente, tomando en cuenta las figuras y los valores de la función de
costos podemos decir que el controlador lineal cuadrático difuso (LQR
difuso) presenta el mejor desempeño en las pruebas por simulación.
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