Pi (Fe en el Caos) - Sociedad Castellano Manchega de Profesores

Pi (Fe en el Caos). Darren Aronofsky, USA, 1998.
Ficha Técnica
Título Original: Pi (Faith in Chaos). Nacionalidad: Estados Unidos, 1998.
Director: Darren Aronofsky. Guión: Darren Aronofsky, según un argumento
de Darren Aronofsky, Sean Gullette, y Eric Watson. Producción: Eric
Watson para Protozoa Pictures, Truth & Soul, Harvest Filmworks y Plantain
Films. Fotografía: Matthew Libatique. Montaje: Oren Sarch. Diseño de Producción:
Matthew Maraffi. Música: Clint Mansell. Maquillaje y Efectos Especiales: Ariyela WaldCohain. Productores Ejecutivos: Randy Simon, David Godbout, Jonah Smith, Tyler
Brodie. Departamento de Sonido: Brian Emrich. Gráficos generados por ordenador
Jeremy Dawson, Dan Schrecker y Sean Gullette.
Intérpretes: Sean Gullette (Maximillian Cohen), Mark Margolis (Sol Robeson), Ben
Shenkman (Lenny Meyer), Pamela Hart (Marcy Dawson), Stephen Pearlman (Rabbi Cohen),
Samia Shoaib (Devi), Ajay Naidu (Farrouhk), Kristyn Mae-Anne Lao (Jenna), Espher Lao
Nieves (Madre de Jenna), Joanne Gordon (Mrs. Ovadia), Lauren Fox (Jenny Robeson),
Stanley Herman (Hombre sin bigote), Clint Mansell (Fotógrafo), Tom Tumminello (Ephraim),
Ari Handel, Oren Sarch, Richard "Izzi" Lifschutz, David Strahlberg (Cabalistas), Peter
Cheyenne (Brad), David Tawil (Jake), J.C. Islander (Hombre mostrando la maleta), Abraham
Aronofsky (Hombre entregando la maleta), Ray Seiden (Policia de tránsito), Scott Franklin
(Voz del policia de tránsito), Chris Johnson (Limo Driver), Sal Monte (Rey Neptuno).
Duración: 84 minutos. Premios: Mejor Dirección en el Festival de Sundance de 1998.
Argumento: Max Cohen es un brillante matemático que ha construido en su apartamento
un gran ordenador (Euclides) a partir de piezas recicladas y materiales de diversa
procedencia. Lo utiliza con un único fin: ha llegado al convencimiento de que cualquier
sistema complejo está determinado por un mismo patrón numérico universal. En concreto,
lleva tiempo tratando de descubrir ese modelo a partir de las fluctuaciones del mercado de
valores de la Bolsa. Una vez encontrado, le permitiría conocer la pauta que rige todo el
universo, desde las hojas de los árboles hasta la más lejana galaxia, pasando por la propia
existencia humana. Sin embargo para Max esta búsqueda no es nada sencilla, ya que
además de padecer insoportables dolores de cabeza cada vez más frecuentes y duraderos,
está siendo acosado, por un lado por un grupo de financieros de Wall Street que pretenden
obtener esa fórmula genial que les haga apostar sobre seguro, y por otro, por los miembros
de la secta judía Hasidica que a través del estudio cabalístico de la Torah (libro sagrado de
los judios) tratan de llegar a Dios. La medicación no le alivia demasiado y tampoco su
antiguo profesor de matemáticas que trata de hacerle comprender lo absurdo de su trabajo.
Para colmo, Euclides le suministra una coincidencia numérica, justo antes de estropearse.
Estamos ante una muestra de cine independiente que no deja indiferente al espectador: o
despierta odios o es considerada magnífica. No se trata en todo caso de una película "de
consumo", ni fácil de ver, tanto en lo que respecta a su argumento como a su realización y
puesta en escena. Los guionistas han mezclado hábilmente concepciones muy diferentes
del universo humano para ilustrar la teoría del caos. Así, nos muestran la fe absoluta de la
religión (mediante una secta judía en este caso), la vida materialista de los corredores de
bolsa de Wall Street, las limitaciones razonables de las matemáticas y la antigua
idealización japonesa de la existencia reflejada en el juego del Go. Por una u otra razón,
todo ello bajo el denominador común de los números y el personaje de Max. Por el camino
se nos plantean algunas cuestiones para la reflexión: ¿es lo mismo genialidad y
locura?¿existe ese patrón universal que rige cualquier actividad dentro del cosmos?¿cuál es
el límite al que debe llegarse en el estudio antes de caer en la obsesión, en lo paranoico?.
Entre las referencias matemáticas que se citan en la película se encuentran la sucesión de
Fibonacci, la espiral de Arquímedes (presente en conchas marinas, en los girasoles, en
nuestro ADN, en el humo de un cigarrillo, en nuestras huellas dactilares o en la forma de la
Vía Láctea), la razón áurea (modelo durante siglos de la proporción y canon de la belleza),
la representación de objetos de la naturaleza mediante fractales, la conocida historia del
descubrimiento del teorema de Arquímedes, la construcción de los primeros computadores,
y por supuesto el omnipresente número pi. También se describen aspectos
seudomatemáticos como la numerología, que incomprensiblemente aún hoy tiene sus
adeptos. La numerología es una práctica muy antigua (fue empleada por los griegos y las
religiones judía, cristiana y musulmana), que consiste en asignar valores numéricos a las
letras y de dichos valores inferir interpretaciones esotéricas o adivinatorias. Los rabinos
judíos creen que la Torah, su libro sagrado, encierra codificada la propia esencia de Dios, y
tratan de llegar a ella estudiando la enorme cadena numérica a que da lugar. Aparte del
absurdo de su propia esencia, se puede elegir el sistema asignado a cada letra de acuerdo
a lo que se desee obtener.
Por otra parte la película refleja muy bien los desordenes físicos y psicológicos que sufren
las personas afectadas por la migraña, la paranoia y la manía persecutoria, que unidos al
stress pueden llevarnos a la locura. En todos estos aspectos la película está bien
documentada y estructurada, basándose en casos reales. Como ejemplo del celo puesto en
cada detalle del film, los actores Sean Gullette y Mark Margolis dedicaron muchas horas en
el Club de Go de Brooklyn a practicar este juego para dar una visión lo más realista posible
del mismo.
En cuanto a la realización del film, el director utiliza una fotografía en blanco y negro no muy
corriente en la que juega continuamente con el grano y una cierta saturación expositiva.
Esto junto a la reiteración de primeros planos y movimientos rápidos de cámara tratan de
crear una atmósfera agobiante a la que se une una banda sonora totalmente electrónica
(generada únicamente por sintetizadores y computadores, sin la intervención de instrumento
musical alguno), que pueden provocar el rechazo del espectador en algunos momentos. En
definitiva, una película innovadora y bien llevada aunque quizá demasiado pretenciosa.
El joven director, Darren Aronofsky, debuta en el largometraje con esta película de muy bajo
presupuesto (60.000 $, puestos a escote por todo el equipo técnico y artístico y algunos
familiares de éstos). El prestigioso director Ridley Scott ha manifestado su interés por
trabajar con él en una película de ciencia-ficción. En cuanto al actor principal, Sean Gullette,
es un experto informático que ha diseñado y creado la pagina web oficial de la película
(http://www.pithemovie.com) en la que pueden encontrarse más datos sobre el rodaje y el
sentido de la película, junto a fotos y trailers de la misma. Como curiosidad final,
comentaremos que seguramente sea la primera película en la historia del cine en incluir en
los agradecimientos a Leonardo da Vinci.
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PI, FE EN EL CAOS.- ACTIVIDADES
1.- Sobre la película
1.- ¿Qué te ha parecido la película?
2.- ¿Qué aspectos relacionados con las matemáticas has encontrado?
3.- ¿Qué te ha llamado más la atención?¿Cambiarias algo?¿Por qué?
4.- ¿Crees posible, como el protagonista, que hay un orden oculto que gobierna toda
la existencia del cosmos, o estás más de acuerdo con la opinión de su profesor de
que las repeticiones numéricas son fruto de la casualidad?
5.- La obsesión por algo, aunque sea de carácter científico, ¿puede llevarnos a la
locura? ¿Es negativo para una persona dedicar demasiado tiempo a la
investigación? Expresa argumentos a favor y en contra.
2.- Referencias presentes en la película
a) Además de las comentadas en el siguiente apartado, aparecen referencias a la
teoría del caos, la numerología, la cábala, el juego del go, la Bolsa, la migraña, la paranoia.
Trata de buscar alguna información adicional sobre estos u otros temas que te hayan
llamado la atención en la película y juzga si fueron fielmente utilizadas.
b) El protagonista ha construido en su casa un potente ordenador a partir de piezas
en desuso. ¿Crees que esto es factible? Busca información sobre el origen de los
ordenadores modernos y cómo eran las primeras computadoras. En particular trata de
averiguar algo sobre el ingeniero alemán Konrad Zuse y su creación: la primera máquina
programable, llamada Z3, construida en 1941 en el cuarto de estar de la casa de sus padres
en Berlín.
3.- Actividad matemática.- Sucesión de Fibonacci
Entre los matemáticos europeos de la Edad Media, el más importante fue sin duda
Leonardo de Pisa (1170-1250), conocido por Fibonacci (el hijo de Bonaccio, un rico
comerciante italiano). Fue uno de los precursores de la introducción en Europa del sistema
de numeración árabe, el que utilizamos en la actualidad. Su obra más importante, el Liber
Abaci, contiene toda la aritmética conocida hasta entonces.
En dicho libro aparece descrita la famosa sucesión de Fibonacci, que surge del
siguiente problema: Supongamos un par de conejos adultos, macho y hembra, encerrados
en un cercado, donde pueden anidar y criar. Los conejos empiezan a procrear a los dos
meses de su nacimiento, engendrando siempre un único par macho-hembra, y a partir de
ese momento cada mes tienen un par más de similares características. Admitiendo que no
muriese ninguno de los conejitos, ¿cuántos contendría el cercado al cabo de un año?
Cuestiones
1. Comprueba que el número de parejas de conejos por mes sigue la sucesión 1, 1, 3, 5, 8,
13, .... (sucesión de Fibonacci). Un esquema gráfico puede ayudarte a ver mejor la
situación. Responde a la cuestión planteada en el enunciado del problema: ¿cuántos
pares de conejos contendría el cercado al cabo de un año?
3
2. A la vista de los términos de la sucesión, ¿podrías obtener una relación sencilla entre los
mismos que describa la sucesión?
3. Comprueba con los primeros términos que una expresión general para la sucesión de
Fibonacci viene dada por
Fn =
n
n
⎡
⎛ 1− 5⎞ ⎤
1 ⎢⎛ 1 + 5 ⎞
⎟⎟ ⎥
⎜⎜
⎟⎟ − ⎜⎜
5 ⎢⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠ ⎥
⎣
⎦
4. - ¿Cuál es la razón entre un término y el siguiente? En otras palabras, calcula el
lim
n→∞
Fn +1
. El valor del límite obtenido se conoce como razón áurea o divina proporción.
Fn
5. La sucesión de Fibonacci y la razón áurea aparecen frecuentemente tanto en la
Naturaleza como en realizaciones humanas. La razón áurea fue estudiada por los
griegos en un contexto geométrico. Se trataba de dividir un segmento AB por un punto P
de forma que se cumpliera la relación
AP AB
=
PB AP
(1)
Llamando a AP / PB = ϕ, y teniendo en cuenta que AP + PB = AB, demuestra que la
igualdad (1) nos lleva a la ecuación ϕ2 − ϕ − 1 = 0. Resuelve la ecuación para obtener ϕ en
modo exacto. Aproxima ese valor con 6 decimales.
6. Curiosamente, ϕ es también la razón entre el lado de un pentágono regular y su
diagonal, lo que hace posible construir ese polígono con regla y compás. Trata de
verificar la primera afirmación a partir de la construcción geométrica del pentágono
regular conocido el lado.
7. En la película, el protagonista, Max Cohen, indica cómo se
construye la espiral logarítmica a partir de la sucesión de
Fibonacci del siguiente modo: comenzando con un
cuadrado de 1 cm. de lado, añadimos otro cuadrado
idéntico para obtener un rectángulo 2 x 1. Añade a este
rectángulo un cuadrado 2 x 2 por el lado más largo para
formar un rectángulo 3 x 2. A éste se le añade un cuadrado
3 x 3, obteniéndose un rectángulo 5 x 3, y así
sucesivamente. Uniendo los extremos opuestos mediante arcos de circunferencia como
se ve en la gráfica, se obtiene la “espiral dorada”.
Realiza esta construcción en papel milimetrado, llegando hasta donde te permita el
tamaño de la hoja y dibuja luego la espiral. ¿Dónde se encuentra la sucesión de Fibonacci
en esta construcción?¿Y la razón áurea?
8. La construcción de la espiral dorada se le atribuye a Pitágoras que la consideraba
poseedora de propiedades místicas. Observa en la cnostrucción descrita en el apartado
anterior que todos los rectángulos que surgen están divididos por la razón áurea. Ningún
otro rectángulo tiene esta propiedad. la espiral logarítimica aparece en la Naturaleza
frecuentemente: conchas de caracolas de mar, la forma que toma la leche en una taza
de café tras darle vueltas, el desplazamiento del humo de un cigarrillo en el aire, la
disposición de las pipas en la cara de un girasol, en nuestras huellas dactilares, en el
ADN, en la forma de la Vía Láctea y otras galaxias, etc.. ¿Recuerdas alguno de estos
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objetos en la película? Comenta a partir de todo esto la siguiente cuestión planteada en
la película:
“my new hypothesis: if we’re built from Spirals while living in a giant Spiral, then is it
possible that everything we put our hands to is infused with the Spiral?”
9. La sucesión de Fibonacci se aplican en botánica en el estudio de la disposición de las
hojas, la filotaxia. Los brotes y hojas de los árboles surgen a diferentes ángulos. Se ha
verificado que en el manzano y el roble, por ejemplo, una espiral trazada en torno a la
rama pasa por 5 brotes cada 2 vueltas completas, en el álamo y el peral, una espiral de
3 vueltas pasa por 8 brotes. Las escamas de una piña de pino están dispuestas en 5
hileras que corren hacia arriba y a la derecha y 8 que lo hacen a la izquierda. Las
cabezas de las margaritas y los girasoles suelen tener 21 espirales creciendo en una
dirección y 34 en la otra (Puedes consultar sobre este asunto el capítulo 11 del libro
Fundamentos de geometría de H.S.M. Coxeter). Desde este punto de vista, observa
algunas plantas, cactus o árboles y trata de verificar la existencia de estas espirales y la
presencia de la sucesión de Fibonacci.
No sólo en la Naturaleza están la sucesión de Fibonacci, la razón áurea o las
espirales presentes. Los psicólogos han comprobado experimentalmente que la gente
encuentran más agradable las formas geométricas en proporción áurea que en cualquier
otra relación. Arquitectos y artistas la han utilizado desde la época clásica. En la disposición
de muchos edificios clásicos o en las proporciones del canon de belleza del cuerpo humano
(en la película aparecen varias veces dibujos de Leonardo da Vinci a este respecto) están
presentes. En el libro La geometría en el arte de Dan Pedoe puedes encontrar abundante
información sobre la razón áurea en arquitectura, pintura y escultura.
También aparece en la estructura de los mercados financieros. Por ejemplo, cuando
un valor de bolsa ha empezado a cambiar su tendencia después de algunos días subiendo o
bajando de forma clara, se puede prever que la corrección será del 61.8 % (observa los
decimales de 1/ ϕ y comparalos con los de ϕ . ¿Qué observas?) o del 38.2% (1 − ϕ ). Son
las llamadas líneas de Fibonacci, tenidas muy en cuenta por los analistas de mercados
financieros. También se aplican para tratar de identificar cambios en las tendencias de
mercado y se dibujan en periodos de tiempo proporcionales a 5, 8, 13, 21, .... Como puede
observarse, la película está bastante documentada a este respecto.
10. Finalmente, sobre el número π que da título al film, indicaremos que se haya también
presente en todas partes, de la astronomía a la física, pasando por campos tan
aparentemente dispares como la literatura, el arte o la poesía. A lo largo de la Historia se
han ido calculando aproximaciones por diferentes métodos tratando de alcanzar su valor
exacto, hasta que en 1882 el matemático Ferdinand Lindemann probó algebraicamente
que es un número trascendente, por lo que su expresión decimal es infinita y no es
construible geométricamente. Aun así, muchas personas dedican sus esfuerzos a buscar
aproximaciones gráficas a su valor cada vez más exactas. Una de ellas, propuesta en
1913 por el matemático hindú Srinivasa Ramanujan, es como sigue:
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A partir del círculo de radio unidad, se
consideran M, punto medio de OA, y T tal que
OT = 2 3 OB. Se toman los puntos P sobre la
circunferencia de modo que TP sea
perpendicular a AB, y Q verificando que BQ =
TP. Tomamos a continuación S como punto
medio de AQ y D tal que AD=AS. Los
segmentos TR, BQ y OS deben ser paralelos.
Considera la recta tangente a la circunferencia
por A y obtén C de modo que AC = RS.
Finalmente, BE = BM y G cumpliendo que EG
sea paralelo a CD. ¿Qué relación existe entre
BG y π ? Puedes resolver la cuestión
empleando
coordenadas
mediante
los
conceptos estudiados en bachillerato de Geometría Analítica.
Existen muchas construcciones geométricas similares que aproximan el valor de π.
En el libro Prácticas de Matemáticas de Bachillerato con DERIVE para Windows de la
editorial Ra-Ma puedes encontrar ésta y otras aproximaciones tanto geométricas como
numéricas. Con la ayuda del programa DERIVE (no importa que versión del programa
utilices, todo el contenido del libro se puede hacer sin problemas con todas las versiones)
para realizar los cálculos, podrás fácilmente obtener cientos de decimales de π.
En la actualidad hay muchos grupos de personas que programan sus ordenadores
para alcanzar un nuevo record de decimales de π. En 1995, el equipo del japonés
Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokyo logró 6.442.450.938 decimales. Estos
cálculos no son tan inútiles como pudiera pensarse; son un test para localizar errores en los
cada vez más potentes microprocesadores. Así fue como se detectó el famoso error del
primer Intel Pentium hace unos años. Una dirección de internet en castellano en la que
puedes encontrar diversas curiosidades sobre π es http:// webs.adam.es/ rllorens /
pidoc.html.
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