Solución Numérica de Ecuaciones No Lineales Método de Newton

Solución Numérica de Ecuaciones No Lineales
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA FUNCIONES CON SOLUCIONES COMPLEJAS
Sea la función f ( z ) la cual tiene como solución Z r si f ( zr ) 0 donde Z r es de la forma
( x yi) ( x, y) proponiendo una condición inicial zi ; Podemos encontrar las aproximaciones
mediante la ecuación siguiente:
zi
1
zi -
f ( zi )
f '( zi )
y evaluando el error de la forma:
Si
zi
zi
1
zi
Er
zi 1 es la solucion
1
Si "no " zi
zi
1
Algoritmo
1.- Datos
Función f ( z )
La derivada de la función f ( z )
Condición inicial zi
Iteraciones n
Margen de error Er
2.- Calcular
zi
1
f ( zi )
f '( zi )
zi
3.- Evaluar
Si
zi
zi
1
zi
Er
zi
1
es la raíz
1
Si “no” zi
zi
1
4.- Repetir n iteraciones de 2 y 3.
Método de Newton para raíces Complejas
Solución Numérica de Ecuaciones No Lineales
NUMEROS COMPLEJOS
CONJUNTO DE NUMEROS
Veamos en primer lugar todos los tipos de números que conocemos y por qué se han ido ampliando.
N: Números Naturales: {0, 1, 2, 3, ...}
Z: Números Enteros: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}= N + negativos
Q: Números Racionales:
...,
23
, 3,
2
R: Números Reales: ..., 23 , 2 , 3,
2
C: Números Complejos:
7
, 2, 1,
3
,
5
10 ,
23
...,
2
10 ,
7
, 2,
3
1
3
5
, ...
1
, 0,
9
=Z + fraccionarios
2
2 7 1
5
, ,0, ,1, 2 ,2, e, ,... = Q + irracionales
5 9 3
2
, 1,
, 1,
,1, 2,
3
7
, 2,
2
, 0,
9
7
, 2 ,
7
5
, 1,
2 , 2, e ,
3
1
, ..., 2
2
3i ,
i , ...
=R + imaginarios
2
UNIDAD IMAGINARIA
La unidad imaginaria se obtiene al resolver la ecuación x 2 1 0
x
1 de aquí que i
1
POTENCIAS DE i
i1
1
i2
1
i3
i 2 .i
i4
i 2 .i 2
i
2
1
1.i
i
1. 1
1
i5
i 4 .i 1.i
i6
i 4 .i 2
1.i 2
i2
1
i7
i 4 .i 3
1.i 3
i3
i
i8
i 4 .i 4
1.i 4
i4
i
1
Se repiten cada 4.
Si queremos saber una potencia cualquiera de i, se divide el exponente entre 4, quedando el resto de la
división como nuevo exponente, o sea i
n
i
residuo de
n
4
Método de Newton para raíces Complejas
Solución Numérica de Ecuaciones No Lineales
Ejemplo: i
43
i
4.10 3
.
i
4 10
.i
3
i
3
i Al dividir 43 entre 4 nos da 10 de cociente y 3 de resto.
NÚMEROS COMPLEJOS
Son los que tienen la forma z
a bi , siendo a y b números reales.
Forma Binómica
Parte Im aginaria
z
a
bi
Parte Re al
si a
0, el número bi se llama imaginario puro
si b
0, el número a es real puro
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Se representan en el plano complejo, el eje horizontal es el EJE REAL y el vertical el EJE
IMAGINARIO.
90º
Punto afijo del
Numero Complejo
180º
z=a+bi
b
90º
180º
0º
-90º
a
-90º
Dado el complejo z
a bi
- El opuesto de z es z
- a - bi
- El conjugado z es z*
a - bi
Ejemplo:
Sea el numero complejo z
5 4i representarlo como z, z , z*, en el plano complejo.
z
z
5 4i
5 4i
z* 5 4i
Método de Newton para raíces Complejas
Solución Numérica de Ecuaciones No Lineales
TRANSFORMACIONES
DE RECTANGULAR z
a bi A POLAR
z
r
Representándolo en el plano complejo tenemos:
De acuerdo a la representacion y aplicando trigonometria tenemos :
r
z=a+bi
b
z
a 2 b2
&
b
a
tan
tan -1
r
b
a
a 2 +b 2
z=r
a


FORMA POLAR z
r
A RECTANGULAR z
tan -1
b
a
a bi
Representándolo en el plano complejo tenemos:
z
r
b
r
De acuerdo a la representacion y aplicando trigonometria tenemos :
a
Donde :
cos
a r cos
r
r Es el modulo
b
sin
b r sin
Es el argumento
r
z
a
z
a bi
r cos
r (cos a
r sin i
i sin a )
Método de Newton para raíces Complejas
Solución Numérica de Ecuaciones No Lineales
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
EN FORMA RECTANGULAR
La suma, resta y multiplicación de números complejos, se realizan siguiendo las reglas de las
operaciones con números reales y teniendo en cuenta que i 2 -1 .
Para dividir, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador.
OPERACIONES
Sea z1
a bi
SUMA
z1 + z 2
RESTA
z1 - z 2
y
z2
z1
MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
z1
a
z2
c
RESULTADOS
c di
a bi
c
di
(b d )i
( a - c)
(b - d )i
(ac - bd )
z2
bi
( a c)
di
(ad bc)i
c di
ac bd
c di
c
2
d
2
bc ad
c
2
d
2
i
EN FORMA POLAR
No se usa esta forma para sumar ni para restar.
OPERACIONES
RESULTADO
Sea z1
r1
y
z2
r2
MULTIPLICACIÓN
r2
z1 z 2 = r1
DIVISIÓN
z1
=
z2
n
POTENCIA
z1
r1 r2
r1
r2
r1
r1
r2
n
n
r1
n
Método de Newton para raíces Complejas