Pandeo lateral torsional de vigas de sección doble te cargas

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I N G E N I E R Í A
E S T R U C T U R A L
17 a 21 de Mayo de 2004
Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional de Cuyo.
Mendoza. Argentina.
Jornadas Sud-Americanas de Ingeniería Estructural
PANDEO LATERAL TORSIONAL DE VIGAS DE SECCIÓN DOBLE TE CARGADAS
CON UNA FUERZA CONCENTRADA EN EL CENTRO Y ARRIOSTRADAS EN DOS
SECCIONES SIMÉTRICAMENTE DISPUESTAS
HORACIO REZK, Profesor Titular de la Universidad de Buenos Aires, Argentina
RESUMEN
Se estudia el problema de pandeo lateral torsional de las vigas elásticas de sección doble Te
simplemente apoyadas, cargadas con una fuerza concentrada aplicada en su sección central. La
fuerza se supone aplicada en el centro del ala inferior, en el baricentro de la sección, en el centro del
ala superior y en puntos por encima del ala superior a una altura variable. Las vigas están
arriostradas en dos secciones dispuestas simétricamente respecto del plano de la sección central de
la viga. La distancia entre las secciones arriostradas y el centro toma valores variables.
Se resuelve el problema mediante las ecuaciones diferenciales básicas de la teoría de segundo orden
de las barras elásticas de paredes delgadas. Se encuentra una solución analítica basada en series de
potencias.
Para que los resultados tengan un valor más general, se obtienen las cargas críticas en forma
adimensional y en función de variables adimensionales que representan las propiedades de la viga,
la posición de la carga y de los arriostramientos. Los resultados se presentan mediante tablas y
gráficos.
Con fines comparativos, se encara la resolución del problema mediante las fórmulas aproximadas
indicadas en la norma LRFD del American Institute of Steel Construction. Se analiza la limitación
de las expresiones de esa norma, que no permite tener en cuenta la altura del punto de aplicación de
la carga y, donde es posible su aplicación, se determinan los errores resultantes.
De los resultados obtenidos, se deduce también la posición óptima de los arriostramientos.
-1-
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Introducción
El pandeo lateral torsional en régimen elástico es una posible forma de falla de las vigas de acero.
Por consiguiente, las normas referentes a estas construcciones contienen prescripciones para
facilitar la verificación de la seguridad de las vigas frente a este tipo de falla. El cálculo de los
momentos críticos en régimen elástico se realiza mediante fórmulas aproximadas que se refieren a
distintos casos particulares.
Por otra parte, es bien conocido que un adecuado arriostramiento de las vigas es una medida
constructiva muy eficaz para alejar el peligro de este tipo de falla. Por tal motivo resulta de interés
estudiar casos en los que las vigas están sujetas a algún tipo de arriostramiento y su colocación en la
posición que resulte más eficaz.
El objetivo de este trabajo es ampliar el conocimiento de los casos de pandeo lateral torsional de
vigas arriostradas. Los resultados obtenidos en forma analítica mediante la resolución de las
ecuaciones diferenciales básicas de la teoría general de segundo orden, además de su utilización
práctica directa, permiten analizar los errores de las fórmulas contenidas en la norma LRFD de
American Institute of Steel Construction ref. [1], así como las limitaciones de su aplicación.
También permiten conocer la posición óptima de los arriostramientos.
El Problema Considerado
Se supone una viga elástica prismática de sección doble Te simplemente apoyada, según se muestra
en las figuras 1 y 2, y arriostrada en dos secciones simétricamente dispuestas a una distancia c de la
sección central, de modo que no puedan girar en su propio plano ni desplazarse horizontalmente.
Para estudiar el problema usamos un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales X , Y , Z de
modo que en la configuración inicial de la barra, el eje Z coincide con el eje baricéntrico de la
barra y los ejes X e Y son en cada sección ejes principales de inercia. También usamos un sistema
de coordenadas acompañantes x , y , z , que en la configuración inicial de la barra coinciden con las
cartesianas y que permanecen constantes para cada punto durante la deformación de la misma.
Suponemos que la barra está cargada con una fuerza
P = PeY
(1)
que tiene la dirección del eje Y del sistema de coordenadas cartesianas y está aplicada en la sección
central de la viga. El punto de aplicación de la fuerza es el punto A , cuyas coordenadas
acompañantes son 0, y A , 0 (ver figura 2).
En los tramos 0 < z < c y c < z < L , no hay fuerzas exteriores distribuidas.
P
Z
C
L
C
P
L
Y
Figura 1 -Estado de carga de la viga simplemente apoyada.
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b
t/2
t
s
h
G
x
t
A(0,y A )
t/2
y
Figura 2 - Sección transversal de la viga.
Las Ecuaciones de Equilibrio Interno y los Esfuerzos de la Barra
La estructura y las cargas son simétricas respecto del plano Z = 0 en la configuración inicial. Como
el modo de pandeo lateral torsional es simétrico respecto de dicho plano, consideramos sólo la
mitad de la longitud de la viga cuyas coordenadas z son positivas.
Dado que en la sección z = c existe un arriostramiento, a los efectos de resolver el problema,
consideramos separadamente el intervalo 0 < z < c , que llamamos tramo 1 y el intervalo c < z < L ,
que llamamos tramo 2.
Teniendo en cuenta que las fuerzas exteriores distribuidas son nulas, las ecuaciones diferenciales de
equilibrio interno para el tramo 1, de acuerdo con ref. [2] , son
dQ X1
dM X 1
dΘ 1 
 dv
=0
−QY1 +  1 − xC
=0
 N Z1 +
 dz
dz
dz 
dz
dQY1
dM Y1
dΘ1 
 du
=0
QX1 −  1 + yC
=0
(2)
 N Z1 +
 dz
dz
dz 
dz
dN Z1
dM Z1
dv
du
=0
− 1 Q X1 + 1 QY1 +
=0
dz
dz
dz
dz
En estas ecuaciones QX1 , QY1 , NZ 1 , M X 1 , MY1 y M Z 1 son los esfuerzos de la barra en la
configuración deformada referidos a las coordenadas cartesianas fijas X , Y , Z ; u1 y v1 son las
componentes de los desplazamientos de los centros de corte de las secciones en las direcciones de
los ejes X e Y , respectivamente; Θ1 es la rotación de las secciones en su propio plano; x C e yC
son las coordenadas del centro de corte.
Si integramos las ecuaciones (2) y tenemos en cuenta que las coordenadas del centro de corte son
nulas, se obtiene
Q X1 = QX* 1
M X1 = QY*1 z − N Z*1 v1 + M X* 1
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QY1 = QY*1
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M Y1 = −QX* 1 z − N Z* 1 u1 + M Y*1
(3)
N Z1 = N
M Z1 = Q v − Q u1 + M
En forma análoga, se obtiene para el tramo 2
Q X2 = QX* 2
M X 2 = QY*2 z − N Z*2 v2 + M X* 2
*
Z1
QY2 = QY*2
*
X1 1
*
Y1
*
Z1
M Y2 = −Q*X 2 z + N Z* 2 u 2 + M Y*2
(4)
N Z 2 = N Z*2
M Z 2 = Q*X 2 v 2 − QY*2 u2 + M Z*2
En las ecuaciones (3) y (4), las cantidades señaladas con un asterisco (*), forman un conjunto de
doce constantes de integración.
Para determinar estas constantes se han planteado:
a. Las ecuaciones de equilibrio en la configuración deformada de un segmento de barra
comprendido entre dos secciones infinitamente próximas de coordenadas, z = −δ y z = +δ con
δ → 0.
b. Las ecuaciones de equilibrio en la configuración deformada de un segmento de barra
comprendido entre dos secciones infinitamente próximas de coordenadas, z = c − δ y z = c + δ con
δ → 0.
c. Las condiciones de simetría y continuidad.
d. Las condiciones correspondientes al extremo articulado.
e. La ausencia de esfuerzos iniciales en la barra.
Se obtienen los esfuerzos para el tramo 1
QX 1 = 0
M X1 = −
P
2
QY1 = −
NZ 1 = 0
P
P
z+ L
2
2
M Y1 = 0
M Z1 =
(5)
(
P
P
u1 +
y AΘ10 − u10
2
2
)
y para el tramo 2
QX 2 = 0
QY2 = −
MX 2 = −
P
2
P
P
z+ L
2
2
M Y2 = 0
(6)
P
u2
2
También se obtienen las acciones que ejerce el arriostramiento sobre la viga
P
FX* = 0
M Z* =
y AΘ10 − u10
(7)
2
siendo FX* la fuerza en dirección X y M *Z el par que actúa en el plano de la sección arriostrada.
N Z2 = 0
M Z2 =
(
)
En las ecuaciones (5), (6) y (7) se usa la notación
Θ10 = (Θ1 )z = 0
u10 = (u1 )z = 0
Las Relaciones entre Esfuerzos y Deformaciones
Las relaciones entre esfuerzos y deformaciones, según se indican en ref. [2], son
-4-
(8)
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d 2v
du
dv
dΘ
+ ( yC QX − M Z ) + yC QY
+ ( yC QX − xC QY − M Z ) yC
+ MYΘ + M X = 0
2
dz
dz
dz
dz
d 2u
dv
du
dΘ
EI y 2 + ( xC QY + M Z ) + xC QX
+ ( yC QX − xC QY − M Z ) xC
+ M X Θ − MY = 0
(9)
dz
dz
dz
dz
d 3Θ
du
dv
dΘ
EIω 3 + ( − yC N Z + M X ) + ( xC N Z + MY ) − GI T + i C2 N Z + rx M X − ry M Y
+ MZ = 0
dz
dz
dz
dz
En estas ecuaciones, I x , I y son los momentos principales de inercia baricéntricos de la sección; I ω
es su momento de inercia sectorial; I T es la constante de torsión libre; iC es su radio de giro polar
respecto del centro de corte; y rx , ry son dos constantes geométricas de la sección definidas por las
expresiones
y x 2 + y 2 dxdy
x x 2 + y 2 dxdy
∫∫
∫∫
A
A
rx =
− 2 yC
ry =
− 2 xC
Ix
Iy
Si en las ecuaciones (9) introducimos los esfuerzos expresados por las ecuaciones (5) y se tienen en
cuenta las condiciones de simetría del perfil doble Te ( rx = ry = xC = y C = 0 ), se tiene para el
tramo 1,
d 2v P
P
EIx 21 − z + L = 0
dz
2
2
2
d u P
EI y 21 + ( L − z )Θ1 = 0
(10)
dz
2
d 3Θ1 P
du
dΘ1 P
P
EIω
+ ( L − z ) 1 − GIT
+ u1 + Θ10 y A − u10 = 0
3
dz
2
dz
dz
2
2
Después de derivar la última ecuación (10) una vez respecto de z , resulta
d 4 Θ1 P
d 2u1
d 2 Θ1
EIω
+ (L − z ) 2 − GIT
=0
(11)
dz 4
2
dz
dz 2
Si procedemos en forma análoga para el tramo 2, obtenemos
d 2v P
EIx 22 + ( L − z ) = 0
dz
2
2
d u
P
EI y 22 + (L − z )Θ2 = 0
(12)
dz
2
d 3 Θ2 P
du
dΘ2 P
EIω
+ (L − z ) 2 − GI T
+ u2 = 0
3
dz
2
dz
dz
2
Después de derivar la última ecuación (12) una vez respecto de z , se tiene
d 4Θ 2 P
d 2u2
d 2 Θ2
EIω
+
(
L
−
z
)
−
GI
=0
(13)
T
dz 4
2
dz 2
dz 2
La primera ecuación (10) y la primera ecuación (12) permiten obtener la deflexión de la viga en su
plano de simetría Y , Z . Para analizar el problema de pandeo lateral debemos considerar el sistema
de ecuaciones homogéneas formado por la segunda ecuación (10), (11), la segunda ecuación (12) y
(13).
EIx
(
(
)
)
(
(
De la segunda ecuación (10), obtenemos
d 2u1
P( L − z )
=−
Θ1
2
dz
2 EI y
que, reemplazada en la ecuación (11), nos da
-5-
)
)
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d 4Θ1 GIT d 2Θ1 P 2 (L − z )
−
−
Θ =0
dz 4
EIω dz 2
4 EIω EI y 1
Si definimos los adimensionales
EIy
z
c
GI L2
PL2
ξ=
κ=
α= T
β=
γ =
L
L
EIω
GIT
2 EI y GIT
2
(14)
(15)
la ecuación (14) puede escribirse en la forma
d 4Θ1
d 2Θ1
−
α
− γ 2αξ 2Θ1 = 0
(16)
4
2
dξ
dξ
Si procedemos en forma análoga con la segunda ecuación (12) y la ecuación (13), se obtiene
2
d 4Θ 2 GIT d 2Θ2 P 2 (L − z )
−
−
Θ =0
(17)
dz 4
EIω dz 2
4 EIω EI y 2
y si introducimos los adimensionales definidos por las ecuaciones (15), resulta
d 4 Θ2
d 2Θ 2
−
α
− γ 2αξ 2Θ2 = 0
(18)
4
2
dξ
dξ
Las ecuaciones diferenciales (16) y (18) deben satisfacer las siguientes condiciones de borde y
continuidad
 dΘ1 
 dΘ1 
 dΘ 

 = 0
(Θ1 )ξ =1−κ = 0


=  2 
 dξ ξ =1
 dξ ξ =1−κ  dξ ξ =1−κ
(19)
2
2
2
 d Θ1 
 d Θ2 
 d Θ2 


= 

(Θ2 )ξ =1− κ = 0
(Θ2 )ξ =0 = 0

 =0
2 
2 
2 
 dξ ξ =1− κ  dξ ξ =1−κ
 dξ ξ =0
Asimismo, deben cumplir una condición adicional que se obtiene de la tercera ecuación (10),
poniendo en ella z = 0 y teniendo en cuenta
 du1 
 dΘ1 

 =0

 =0
 dz  z= 0
 dz  z =0
resulta
 d 3Θ1 
P
EIω  3  + y A (Θ1 )z = 0 = 0
(20)
 dz  z= 0 2
Esta ecuación puede ponerse en términos de los adimensionales definidos por las ecuaciones (15).
Si además tenemos en cuenta que en el caso de perfiles doble Te, como el indicado en la figura 2, es
tb 3
2bt 3 + hs 3
b3h 2t
Iy =
IT =
Iω =
(21)
3
24
6
y si introducimos estas expresiones en la tercera y cuarta ecuación (15), se obtiene
16t 2 L2 G 
hs 3 
1 Eb
1
1 +

α= 2 2
β=
(22)
3 
b h E  2bt 
2 G t
hs 3
1+
2bt 3
con lo que resulta entonces
y
αβ A = α ε
(23)
L
En la ecuación (23), ε es un adimensional definido por la expresión
2y
ε= A
(24)
h
Teniendo en cuenta las ecuaciones (15), y (23), la ecuación (20) queda en la forma
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 d 3Θ1 
− 
 + γ α ε (Θ1 )ξ =1 = 0
(25)
3 
 dξ ξ =1
La ecuación (25) y las siete ecuaciones (19) son las condiciones que deben satisfacer las ecuaciones
diferenciales (16) y (18).
La Solución de las Ecuaciones Diferenciales del Problema
La solución general de las ecuaciones diferenciales (16) y (18) puede encontrase proponiendo una
serie de potencias de la forma
Θi = ξ m a0, m + a1, mξ + a2, mξ 2 + a3, mξ 3 + ...
(26)
donde i = 1, 2 y m es una constante.
(
)
Si introducimos la ecuación (26) en la ecuación diferencial (16) o (18), se obtiene una serie de
potencias de ξ donde la menor potencia es ξ m− 4 . Si anulamos el coeficiente de esa potencia en la
serie, se obtiene
a0, m m (m − 1)(m − 2)(m − 3) = 0
(27)
Esta ecuación se satisface cuando
0
1

m =
(28)
2
3
y adoptamos arbitrariamente a0, m = 1 .
Si anulamos todos los demás coeficientes de la serie de potencias resultante, se obtienen los
coeficientes a j , m de cuatro series de potencias de la forma (26) que son solución de la ecuación
diferencial y que se corresponden con los valores de m consignados en la ecuación (28).
Entonces, las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales (16) y (18), pueden expresarse
como la suma de cuatro series multiplicadas por sendas constantes arbitrarias, o sea
3
3
Θ1 = ∑ Am f m
Θ 2 = ∑ Bm f m
m= 0
(29)
m =0
donde A0 , A1 , A2 , A3 , B0 , B1 , B2 y B3 son ocho constantes y las series son
fm =
∞
∑a
j = 0 , 2 , 4 ,...
ξ m+ j
j, m
m = 0, 1, 2, 3
Los coeficientes de las series en la expresión (30) son
α
α
a 0,m = 1
a2 , m =
a0, m
a 4, m
a
(m + 2 )(m + 1)
(m + 4)(m + 3) 2 , m
α
γ 2α
a j ,m =
a j − 2, m +
a
,
(m + j)(m + j − 1)
(m + j )(m + j − 1)(m + j − 2 )(m + j − 3) j− 6, m
para j = 6, 8, 10,..., ∞ .
En las expresiones (31), m toma los valores (28).
Las derivadas primera, segunda y tercera de las series (30) son
-7-
(30)
(31)
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df m
=
dξ
f m' =
2
∞
j = 0, 2, 4,
d fm
=
dξ 2
f m'' =
∑ a (m + j )ξ
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m + j −1
j, m
∞
∑ a (m + j )(m + j − 1)ξ
j= 0, 2, 4,
m + j −2
(32)
j ,m
∞
d 3 fm
f =
=
a j, m (m + j )(m + j − 1)(m + j − 2)ξ m+ j − 3
∑
3
dξ
j = 0, 2, 4,
Si introducimos la segunda ecuación (29) en las dos últimas ecuaciones (19), se obtiene
B0 = 0
B2 = 0
(33)
con lo que la segunda ecuación (29) se reduce a
Θ 2 = B1 f1 + B3 f 3
(34)
Si se plantean las restantes condiciones (19) y la ecuación (25), mediante las expresiones (30) y
(32), se obtiene un sistema de seis ecuaciones lineales algebraicas homogéneas en A0 , A1 , A2 , A3 ,
B1 y B3 . La condición para que este sistema tenga soluciones distintas de la trivial es que se anule
el determinante de la matriz de los coeficientes, de donde resulta la ecuación (35)
'''
m
(f )
'
0 ξ =1
( )+ γ
− f
'' '
0
(f )
(f )
'
0 ξ =1−κ
''
0 ξ =1−κ
'
1 ξ =1
( )+ γ
α ε ( f0 )ξ =1 − f
( f0 )ξ =1− κ
(f )
'''
1
'
2 ξ =1
( )+γ
α ε ( f1 )ξ =1 − f
( f1 )ξ =1−κ
(f )
' ''
2
(f )
(f )
0
0
1 ξ =1−κ
''
1 ξ =1−κ
0
'
2 ξ =1−κ
''
2 ξ =1−κ
'
3 ξ =1
( )+γ
α ε ( f2 )ξ = 1 − f
( f2 )ξ =1−κ
(f )
(f )
'
(f )
'' '
3
α ε ( f3 )ξ =1
( f3 )ξ =1−κ
(f )
(f )
'
3 ξ =1−κ
''
3 ξ =1−κ
0
0
0
0
0
0
0
( )
( )
− f1' ξ =1− κ
− f1' ' ξ =1−κ
( f1 )ξ =1−κ
( )
( )
− f3' ξ =1−κ
− f3' ' ξ =1−κ
( f3 )ξ =1− κ
=0
(35)
Los elementos del determinante de la ecuación (35) se calculan con las expresiones (30) y (32).
La ecuación (35) es una función de la forma
F (α , κ , ε , γ ) = 0
(36)
donde el adimensional α depende de las propiedades geométricas y mecánicas de la viga, κ define
la posición de los arriostramientos en la longitud de la viga, ε caracteriza a la ubicación del punto
de aplicación de las cargas en el plano de la sección y γ es un adimensional que representa a la
magnitud de las cargas con relación a las propiedades de la viga.
Fijados, α , κ y ε , se obtiene γ K como la menor raíz real positiva de la función (36), lo que
permite calcular la carga crítica en régimen elástico mediante la expresión
2 EIy GIT
PK = γ K
(37)
L2
Los Resultados Obtenidos
Se realizaron los cálculos de γ K tomando para α valores en el intervalo 0,1 ≤ α ≤ 100 , que
coinciden con los considerados por Timoshenko en el problema de pandeo lateral de una viga de
sección doble Te bajo la acción de una fuerza concentrada en el centro, según puede verse en la
tabla 6-5 de ref. [3].
Los valores de κ se tomaron entre 0,1 y 0,9 , variando en intervalos de 0,1 .
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Los valores considerados para ε son 1,0 (cargas aplicadas en el centro del ala inferior), 0,0 (cargas
aplicadas en el baricentro), − 1,0 (cargas aplicadas en el centro del ala superior) y valores − 1,2 ,
− 1,4 y − 1,6 , que corresponden a posiciones de las cargas por encima del ala superior.
Para realizar los cálculos se desarrolló un programa de computación en lenguaje Fortran en el que
se usó doble precisión. Las series fueron evaluadas mediante la suma de sus cien primeros términos
( j = 0, 2,..., 200 ), después de comprobar que los resultados no experimentaban cambio con
cantidades de términos menores que la adoptada.
Los resultados obtenidos se consignan en las tablas 1 a 6
Tabla 1. Valores de γ K para ε = 1,0
α
0,1
1
2
4
6
8
12
16
20
24
40
60
80
100
κ=0,1
115,0
37,09
26,79
19,70
16,68
14,93
12,95
11,83
11,10
10,57
9,426
8,773
8,415
8,186
κ=0,2
139,5
44,98
32,46
23,86
20,19
18,07
15,67
14,30
13,42
12,79
11,41
10,63
10,21
9,944
κ=0,3
128,8
41,37
29,74
21,70
18,23
16,21
13,89
12,55
11,66
11,02
9,568
8,698
8,200
7,871
κ=0,4
90,80
29,16
20,97
15,30
12,86
11,44
9,817
8,885
8,269
7,828
6,840
6,264
5,942
5,733
κ=0,5
67,23
21,64
15,59
11,42
9,634
8,601
7,421
6,749
6,309
5,996
5,301
4,902
4,682
4,540
κ=0,6
53,13
17,14
12,38
9,106
7,711
6,906
5,992
5,474
5,137
4,897
4,370
4,071
3,907
3,802
κ=0,7
44,11
14,26
10,33
7,629
6,483
5,824
5,077
4,657
4,383
4,189
3,763
3,523
3,391
3,307
κ=0,8
37,97
12,31
8,936
6,629
5,653
5,093
4,460
4,103
3,871
3,707
3,347
3,142
3,030
2,958
κ=0,9
33,59
10,92
7,947
5,922
5,067
4,578
4,025
3,715
3,513
3,369
3,054
2,873
2,773
2,708
κ=0,7
35,65
11,60
8,449
6,309
5,410
4,900
4,329
4,012
3,810
3,668
3,366
3,202
3,115
3,061
κ=0,8
29,93
9,778
7,153
5,379
4,638
4,220
3,754
3,497
3,332
3,218
2,974
2,842
2,772
2,728
κ=0,9
25,84
8,481
6,232
4,721
4,094
3,741
3,350
3,135
2,999
2,903
2,698
2,587
2,527
2,490
Tabla 2. Valores de γ K para ε = 0,0
α
0,1
1
2
4
6
8
12
16
20
24
40
60
80
100
κ=0,1
114,9
37,05
26,75
19,68
16,66
14,92
12,94
11,82
11,08
10,56
9,417
8,765
8,408
8,180
κ=0,2
137,1
44,20
31,91
23,46
19,86
17,78
15,42
14,09
13,22
12,60
11,25
10,50
10,09
9,825
κ=0,3
117,9
37,91
27,28
19,93
16,77
14,94
12,83
11,62
10,82
10,24
8,942
8,173
7,738
7,454
κ=0,4
79,74
25,67
18,50
13,55
11,43
10,20
8,804
8,006
7,483
7,110
6,283
5,809
5,549
5,381
κ=0,5
57,31
18,51
13,38
9,859
8,362
7,501
6,525
5,976
5,619
5,367
4,817
4,509
4,343
4,238
-9-
κ=0,6
44,08
14,28
10,36
7,687
6,556
5,910
5,183
4,777
4,516
4,332
3,937
3,721
3,606
3,533
X X X I
J O R N A D A S
S U D - A M E R I C A N A S
D E
I N G E N I E R Í A
E S T R U C T U R A L
Tabla 3. Valores de γ K para ε = −1,0
α
0,1
1
2
4
6
8
12
16
20
24
40
60
80
100
κ=0,1
114,7
37,00
26,72
19,65
16,64
14,90
12,92
11,80
11,07
10,55
9,408
8,758
8,401
8,173
κ=0,2
134,5
43,36
31,31
23,03
19,50
17,46
15,15
13,85
13,00
12,39
11,08
10,34
9,939
9,686
κ=0,3
107,7
34,65
24,95
18,27
15,40
13,73
11,82
10,73
10,01
9,499
8,344
7,671
7,296
7,053
κ=0,4
69,93
22,55
16,29
11,98
10,14
9,086
7,884
7,205
6,763
6,450
5,765
5,382
5,176
5,047
κ=0,5
48,76
15,80
11,46
8,495
7,244
6,530
5,728
5,282
4,996
4,796
4,370
4,142
4,024
3,952
κ=0,6
36,47
11,87
8,654
6,473
5,561
5,045
4,472
4,159
3,961
3,824
3,540
3,395
3,322
3,280
κ=0,7
28,72
9,401
6,890
5,201
4,502
4,110
3,680
3,448
3,303
3,204
3,003
2,904
2,857
2,830
κ=0,8
23,50
7,737
5,704
4,348
3,793
3,484
3,149
2,970
2,860
2,785
2,636
2,565
2,531
2,512
κ=0,9
19,78
6,559
4,866
3,748
3,295
3,046
2,778
2,637
2,551
2,493
2,378
2,324
2,299
2,285
κ=0,8
22,41
7,390
5,456
4,169
3,645
3,354
3,041
2,876
2,774
2,706
2,573
2,512
2,485
2,471
κ=0,9
18,78
6,237
4,636
3,581
3,157
2,924
2,676
2,548
2,470
2,418
2,319
2,274
2,255
2,246
κ=0,8
21,38
7,061
5,221
3,999
3,503
3,230
2,937
2,784
2,691
2,630
2,512
2,461
2,440
2,430
κ=0,9
17,84
5,936
4,420
3,424
3,026
2,809
2,579
2,462
2,392
2,346
2,261
2,226
2,213
2,207
Tabla 4. Valores de γ K para ε = −1,2
α
0,1
1
2
4
6
8
12
16
20
24
40
60
80
100
κ=0,1
114,7
36,99
26,72
19,65
16,63
14,90
12,92
11,80
11,07
10,55
9,406
8,756
8,400
8,172
κ=0,2
133,9
43,19
31,19
22,94
19,42
17,39
15,09
13,79
12,95
12,35
11,04
10,30
9,907
9,656
κ=0,3
105,7
34,02
24,51
17,95
15,13
13,50
11,63
10,56
9,860
9,356
8,229
7,574
7,210
6,975
κ=0,4
68,12
21,98
15,88
11,69
9,905
8,878
7,712
7,055
6,627
6,325
5,666
5,300
5,105
4,982
κ=0,5
47,22
15,31
11,11
8,247
7,040
6,352
5,581
5,153
4,880
4,689
4,286
4,072
3,963
3,897
κ=0,6
35,13
11,45
8,351
6,256
5,382
4,889
4,343
4,046
3,859
3,730
3,466
3,333
3,268
3,231
κ=0,7
27,53
9,019
6,618
5,006
4,341
3,969
3,563
3,345
3,210
3,119
2,936
2,848
2,807
2,785
Tabla 5. Valores de γ K para ε = −1,4
α
0,1
1
2
4
6
8
12
16
20
24
40
60
80
100
κ=0,1
114,7
36,99
26,71
19,64
16,63
14,89
12,92
11,80
11,07
10,55
9,404
8,754
8,399
8,171
κ=0,2
133,3
43,01
31,06
22,84
19,34
17,33
15,04
13,74
12,90
12,30
11,00
10,27
9,874
9,624
κ=0,3
103,8
33,40
24,07
17,63
14,87
13,27
11,44
10,40
9,707
9,215
8,115
7,478
7,124
6,897
κ=0,4
66,36
21,42
15,48
11,41
9,672
8,674
7,544
6,907
6,494
6,203
5,569
5,219
5,034
4,919
κ=0,5
45,74
14,83
10,77
8,007
6,842
6,179
5,438
5,028
4,767
4,585
4,203
4,004
3,903
3,842
- 10 -
κ=0,6
33,85
11,04
8,059
6,047
5,209
4,738
4,218
3,936
3,759
3,638
3,393
3,272
3,215
3,182
κ=0,7
26,39
8,656
6,359
4,820
4,186
3,834
3,450
3,246
3,120
3,036
2,869
2,793
2,759
2,741
X X X I
J O R N A D A S
S U D - A M E R I C A N A S
D E
I N G E N I E R Í A
E S T R U C T U R A L
Tabla 6. Valores de γ K para ε = −1,6
α
0,1
1
2
4
6
8
12
16
20
24
40
60
80
100
κ=0,1
114,6
36,98
26,70
19,64
16,63
14,89
12,91
11,80
11,06
10,55
9,402
8,753
8,397
8,170
κ=0,2
132,8
42,83
30,93
22,75
19,26
17,26
14,98
13,69
12,85
12,26
10,96
10,23
9,840
9,592
κ=0,3
101,9
32,80
23,64
17,32
14,61
13,05
11,25
10,23
9,556
9,075
8,002
7,383
7,040
6,821
κ=0,4
64,65
20,88
15,10
11,13
9,445
8,476
7,380
6,764
6,364
6,083
5,474
5,140
4,964
4,855
κ=0,5
44,31
14,38
10,45
7,775
6,651
6,012
5,299
4,906
4,656
4,483
4,122
3,936
3,843
3,789
κ=0,6
32,62
10,65
7,780
5,847
5,043
4,592
4,096
3,829
3,662
3,549
3,321
3,212
3,162
3,135
κ=0,7
25,31
8,312
6,112
4,642
4,039
3,704
3,341
3,150
3,033
2,955
2,805
2,738
2,711
2,698
κ=0,8
20,42
6,751
4,998
3,838
3,369
3,112
2,838
2,696
2,611
2,555
2,452
2,411
2,396
2,390
κ=0,9
16,97
5,653
4,216
3,276
2,901
2,699
2,487
2,379
2,316
2,276
2,204
2,178
2,171
2,169
Su correspondiente representación gráfica se muestra en las figuras 3 a 8.
Valores de gamma crítico para eps=1
160
140
120
Gamma crítico
100
80
60
40
20
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Kappa
alfa=0,1
alfa=40
alfa=1
alfa=60
alfa=2
alfa=80
alfa=4
alfa=100
alfa=6
alfa=8
alfa=12
alfa=16
Figura 3. Valores de γ K para ε = 1,0
- 11 -
alfa=20
alfa=24
X X X I
J O R N A D A S
S U D - A M E R I C A N A S
D E
I N G E N I E R Í A
E S T R U C T U R A L
Valores de gamma crítico para eps=0
160
140
120
Gamma crítico
100
80
60
40
20
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Kappa
alfa=0,1
alfa=40
alfa=1
alfa=60
alfa=2
alfa=80
alfa=4
alfa=100
alfa=6
alfa=8
alfa=12
alfa=16
alfa=20
alfa=24
Figura 4. Valores de γ K para ε = 0,0
Valores de gamma crítico para eps=-1
160
140
120
Gamma crítico
100
80
60
40
20
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Kappa
alfa=0,1
alfa=40
alfa=1
alfa=60
alfa=2
alfa=80
alfa=4
alfa=100
alfa=6
alfa=8
alfa=12
alfa=16
alfa=20
Figura 5. Valores de γ K para ε = −1,0
- 12 -
alfa=24
X X X I
J O R N A D A S
S U D - A M E R I C A N A S
D E
I N G E N I E R Í A
E S T R U C T U R A L
Valores de gamma crítico para eps=-1,2
160
140
120
Gamma crítico
100
80
60
40
20
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Kappa
alfa=0,1
alfa=40
alfa=1
alfa=60
alfa=2
alfa=80
alfa=4
alfa=100
alfa=6
alfa=8
alfa=12
alfa=16
alfa=20
alfa=24
Figura 6. Valores de γ K para ε = −1,2
Valores de gamma crítico para eps=-1,4
160
140
120
Gamma crítico
100
80
60
40
20
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Kappa
alfa=0,1
alfa=40
alfa=1
alfa=60
alfa=2
alfa=80
alfa=4
alfa=100
alfa=6
alfa=8
alfa=12
alfa=16
alfa=20
Figura 7. Valores de γ K para ε = −1,4
- 13 -
alfa=24
X X X I
J O R N A D A S
S U D - A M E R I C A N A S
D E
I N G E N I E R Í A
E S T R U C T U R A L
Valores de gamma crítico para eps=-1,6
140
120
Gamma crítico
100
80
60
40
20
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Kappa
alfa=0,1
alfa=40
alfa=1
alfa=60
alfa=2
alfa=80
alfa=4
alfa=100
alfa=6
alfa=8
alfa=12
alfa=16
alfa=20
alfa=24
Figura 8. Valores de γ K para ε = −1,6
Cálculo de las Cargas Críticas mediante el Eurocode 3
La norma europea Eurocode 3 (ref. [4]) contiene una fórmula general para el cálculo de momentos
flexores críticos en régimen elástico que permite tener en cuenta la altura de aplicación de las
cargas, pero la norma no trae los valores de los coeficientes necesarios para realizar los cálculos
correspondientes a este caso, por lo que no puede aplicarse.
Cálculo de las Cargas Críticas mediante la Norma LRFD del AISC
En la norma del American Institute of Steel Construction, "Load and Resistance Factor Design
Specification for Structural Steel Buildings", December 27, 1999 (ref. [1]), el cálculo del momento
crítico de pandeo lateral torsional de vigas está considerado en el caso en que las cargas estén
aplicadas a lo largo del eje baricéntrico.
En el régimen elástico, el momento crítico en barras de sección doble Te está dado por la fórmula
(F1-13)
2
 πE 
EI y GJ +   I y Cw
(38)
 Lb 
donde J es la constante de torsión libre de la sección, Lb es la longitud libre sin arriostramientos y
C w es el momento de inercia sectorial y Cb es un coeficiente adimensional que se calcula con la
expresión
12,5 M max
Cb =
(39)
2,5 M max + 3 M A + 4 M B + 3 M C
π
M cr = Cb
Lb
- 14 -
X X X I
J O R N A D A S
S U D - A M E R I C A N A S
D E
I N G E N I E R Í A
E S T R U C T U R A L
donde M máx es el valor absoluto del momento flexor máximo en el tramo no arriostrado
considerado, M B es el valor absoluto del momento flexor en el centro y M A y M C los valores
absolutos de los momentos flexores en los cuartos de la longitud del tramo.
Si aplicamos las expresiones (38) y (39) al tramo central de longitud 2c comprendido entre los dos
arriostramientos y usamos los adimensionales definidos por las ecuaciones (15), se obtiene
π
π2
(γ K )a =
1
+
(40)
2κ − 0,48 κ 2
4ακ 2
Si aplicamos las expresiones (38) y (39) al tramo de longitud L − c entre una sección arriostrada y
el apoyo, resulta
π
π2
1
+
3 (1 − κ )2
(1 − κ )2 α
(γ K )a = 5
(41)
El menor de los dos valores (γ K ) a calculados con las expresiones (40) y (41) es el valor crítico del
adimensional definido por la quinta ecuación (15), calculado mediante la norma americana.
Por cuanto en la norma americana, las cargas se suponen aplicadas en el eje baricéntrico de la viga,
comparamos (γ K ) a con los valores obtenidos en el presente trabajo para ε = 0,0 consignados en la
tabla 5. Si tomamos a estos últimos como valores exactos, se pueden calcularon en cada caso los
errores relativos porcentuales
γ − (γ K )a
Ea = K
100%
(γ K )a
que se consignan en la tabla 7.
Tabla 7. Valores de Ea para ε = 0,0 .
α
0,1
1
2
4
6
8
12
16
20
24
40
60
80
100
κ=0,1
60,4
57,8
55,4
51,4
48,0
45,3
41,0
37,8
35,1
33,0
27,5
23,6
21,2
19,5
κ=0,2
34,5
33,3
32,2
30,1
28,5
27,0
24,7
22,9
21,4
20,2
16,8
14,5
12,9
11,8
κ=0,3
26,0
26,0
26,1
26,0
25,9
25,8
25,5
25,0
24,5
24,0
22,1
20,0
18,4
17,0
κ=0,4
47,3
45,8
44,3
41,6
39,3
37,2
34,1
31,5
29,4
27,7
22,9
19,3
17,0
15,3
κ=0,5
60,8
57,3
53,8
48,3
44,0
40,6
35,4
31,6
28,8
26,6
20,8
17,0
14,8
13,3
κ=0,6
72,8
66,6
61,0
52,6
46,5
41,8
35,2
30,7
27,4
24,9
18,9
15,3
13,2
11,8
κ=0,7
84,4
75,1
67,0
55,6
47,9
42,3
34,7
29,7
26,3
23,6
17,6
14,0
12,0
10,7
κ=0,8
95,8
82,6
72,0
58,0
48,9
42,7
34,4
29,2
25,5
22,9
16,9
13,4
11,4
10,2
κ=0,9
106,9
89,4
76,2
59,8
49,8
43,0
34,4
29,1
25,5
22,8
16,8
13,4
11,4
10,2
Conclusiones
Los valores críticos de las cargas que producen el pandeo lateral torsional en régimen elástico en el
caso estudiado, pueden calcularse mediante las tablas 1 a 6.
- 15 -
X X X I
J O R N A D A S
S U D - A M E R I C A N A S
D E
I N G E N I E R Í A
E S T R U C T U R A L
En todos los casos se observa que la posición óptima de los arriostramientos es la que corresponde a
un valor de κ ≈ 0,2 .
La fórmula aproximada de la norma americana LRFD se refiere al caso en la carga está aplicada a la
altura de eje de la viga. Sus errores son grandes, según puede apreciarse en la tabla 8.1, pero están
del lado de la seguridad. Debido a que los resultados son decididamente conservadores, aún en el
caso en que la carga esté aplicada en el baricentro del ala superior, o sea con ε = −1,0 , la fórmula da
valores de carga críticas inferiores a las obtenidas en este trabajo. Cuando las cargas están aplicadas
en puntos más elevados ( ε < −1.0 ), en algunos casos la fórmula da errores del lado de la
inseguridad, pero relativamente pequeños.
Referencias Bibliográficas
[1] American Institute of Steel Construction, "Load and Resistance Factor Design Specification for
Structural Steel Buildings", December 27, 1999.
[2] Rezk H., "Teoría de segundo orden de las barras elásticas prismáticas de sección abierta y
paredes delgadas”. Ed. Fac. de Ing. de la Univ. de Buenos Aires, 1981.
[3] Timoshenko S. P. y Gere J. M., "Theory of Elastic Stability". Ed. McGraw-Hill, 1961.
[4] Comité Européen de Normalisation, "Eurocode 3, Calcul des structures en acier et Document
d'Application National. Partie 1: Règles générales et règles pour les bâtiments". Association
Française de Normalisation, 1992.
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