TRENES DE ENGRANAJES

Versión 2004
CAPITULO 9
TRENES DE ENGRANAJES, REDUCTORES
PLANETARIOS Y DIFERENCIALES
División 3
Trenes de engranajes. Descripción Cinemática
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan
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1. Descripción General
Introducción
Un tren de engranajes es un mecanismo formado por varios pares de engranajes acoplados de
tal forma que el elemento conducido de uno de ellos es el conductor del siguiente. Suele
denominarse como la cadena cinemática formada por varias ruedas que ruedan sin deslizar
entre sí; o bien como cualquier sistema de ejes y ruedas dentadas que incluya más de dos
ruedas o tandem de ejes y ruedas dentadas. En la Figura 9.45 se muestra un ejemplo genérico
de un sistema de engranaje o tren de engranajes. Generalmente se recurre a ellos porque no es
posible establecer una determinada relación de transmisión entre dos ejes mediante un solo
par de ruedas dentadas; o también porque se desea obtener un mecanismo con relación de
transmisión variable, lo que tampoco es posible con un solo par de ruedas.
Figura 9.45. Ejemplo genérico de Tren de engranajes
Los casos más frecuentes en los que la relación de transmisión “i” no puede ser generada
solamente por dos ruedas son:
- Cuando la relación de transmisión “i” es muy distinta de la unidad: Por un lado, tenemos
el número mínimo de dientes que pueden tallarse sin que se produzca interferencia de
tallado. También existen algunas limitaciones constructivas que establecen el número
máximo de dientes que se pueden tallar en un engranaje. La razón principal es que los
errores cometidos durante el tallado, aunque sean muy pequeños y tal vez no influyan en
el engrane de una determinada pareja de dientes, son acumulativos. Como consecuencia,
el último diente tallado puede quedar excesivamente cerca o lejos del primero falseando
el paso y haciendo que el engranaje no funcione correctamente. De ahí que generalmente
no se suele admitir pasar de 200 dientes en engranajes industriales (reductores de
velocidad de turbinas muy rápidas) y de 100 en mecánica fina de precisión; si bien no se
llega a estos límites más que en casos excepcionales. Por otra parte, se sabe que pueden
construirse ruedas con Z<2/Sen2[ϕ] tallando engranajes corregidos.
-
La relación de transmisión “i” viene definida por una fracción irreducible i = A/B dentro
de los márgenes descritos en el punto anterior, pero tal que A > zmáx y B > zmáx.
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-
-
La relación de transmisión “i” viene definida por un número racional (por ejemplo
i=2.7158.., etc ) que no puede establecerse con la suficiente aproximación mediante un
único par de ruedas de dimensiones limitadas.
La relación de transmisión “i” ha de establecerse entre dos ejes excesivamente alejados
como para establecer la transmisión mediante sólo dos ruedas de dimensiones normales.
En ocasiones, cuando sucede este tipo de problemática, la solución puede estar en buscar
otro tipo de transmisión como correas o cadenas.
Clasificación de los trenes de engranajes
Los trenes de engranajes se pueden clasificar de la siguiente manera:
-
-
-
Trenes ordinarios:
o Trenes ordinarios simples.
o Trenes ordinarios compuestos
Trenes epicicloidales
o Trenes epicicloidales simples
o Trenes de engranajes diferenciales
Trenes mixtos: Corresponden a combinaciones de los otros dos tipos
Existen algunas diferencias entre estos tipos de trenes de engranajes. La diferencia en los
trenes epicicloidales reside en que poseen algún eje que tiene movimiento relativo respecto
de los demás; mientras que en los trenes ordinarios el único movimiento que pueden tener los
ejes es el de giro sobre sí mismos.
2. Trenes de engranajes ordinarios
Trenes de engranajes ordinarios simples
En un tren de engranajes ordinario, las ruedas extremas del tren giran sobre los dos ejes entre
los que ha de establecerse la relación de transmisión deseada. En el tren de engranajes, todos
los ejes de las ruedas que lo componen (tanto extremas como intermedias) apoyan sobre un
mismo soporte fijo, según se puede ver en la Figura 9.46
Figura 9.46. Tren de engranajes ordinario simple
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En esta clase de trenes de engranajes se cumple que:
ω1Z1 = −ωi1Z i1
ωi1Z i1 = −ωi 2 Z i 2
....
ωin Zin = −ω 2 Z 2
(9.68)
donde Z1 y Z2 son los números de dientes de los engranajes en los extremos y ω1 y ω2 sus
correspondientes velocidades de rotación. Mientras que Zi1, Zin, etc son los números de
dientes de los engranajes intermedios y ωi1, etc las correspondientes velocidades de rotación.
Luego se cumple que:
n −1
n
∏ω Z = ∏ω Z
j =1
j
j
j =2
j
j
(9.69)
En consecuencia resulta:
i=
ω 2 Z1
n −1 Z1
±
= ( −1)
ω1 Z 2
Zn
(9.70)
Nótese que el número de dientes de las ruedas intermedias no influye en el valor absoluto de
la relación de transmisión (i). Son las llamadas ruedas “locas” o “intermedias” o “parásitas” y
pueden servir para invertir el sentido de giro final (el signo de la relación de transmisión) o
para modificar la distancia entre los ejes de entrada y salida. Otra posible aplicación de los
trenes ordinarios simples es el caso de que se pretenda tener más de un eje de salida de
movimiento, para una sola entrada.
Trenes de engranajes ordinarios compuestos
Por otra parte, se dice que un tren ordinario es compuesto cuando, al menos, uno de los ejes es
común a varias ruedas, según se ve en la Figura 9.45. El caso más sencillo posible es el que se
puede apreciar en la Figura 9.47. Las relaciones que se plantean son:
ω1Z1 = −ω 2 Z 2
ω 2 = ω3
ω3 Z3 = −ω 4 Z 4
(9.71)
Pero se pueden establecer las siguientes relaciones de las velocidades de entrada y de salida
ω entrada = ω1 = −ω 2 Z 2 / Z1
ω salida = ω 4 = −ω3 Z3 / Z 4
(9.72)
en consecuencia la relación de transmisión de velocidades es:
i=
ω salida ω 4
ZZ
=
=± 1 3
ω entrada ω1
Z2Z4
(9.73)
La relación (9.73) sería la misma aun cuando entre las ruedas (1) y (2), o entre (3) y (4=,
existieran varias ruedas intermedias; ya que cada grupo se comporta como un tren ordinario
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simple y, por lo tanto, el razón de velocidades “i” depende únicamente de las ruedas
extremas. Si separamos el tren de engranajes en parejas de ruedas engranando, tendremos dos
grupos. En el primer grupo, el movimiento “entra” por (1) y “sale” por (2) (rueda conductora
y conducida, respectivamente). Análogamente, en el segundo grupo, el movimiento “entra”
por (3) y “sale” por (4). Si hubiera más grupos o pares de ruedas el esquema se repetiría. En
tal caso, observando la expresión (9.73) se deduce:
i=
ω salida
∏ Zconductoras
=±
ω entrada
∏ Zconducidas
(9.74)
en cuanto al signo, el procedimiento más adecuado es obtenerlo observando directamente la
figura que representa esquemáticamente el tren.
Figura 9.47. Tren de engranajes ordinario compuesto. Forma elemental
Si en un tren de engranajes ordinario simple es necesario que todas las ruedas tengan el
mismo módulo, no sucede lo mismo en el caso del tren ordinario compuesto. En el caso de la
Figura 9.47, si R3 < R2, para transmitir la misma potencia de giro (H = Ti·ω = Wt·Ri·ω) es
preciso una fuerza mayor (es decir, la componente tangencial a la circunferencia primitiva de
funcionamiento, Wt del esfuerzo de contacto entre dientes es mayor: Wt12 > Wt34), por lo tanto,
los dientes de las ruedas del grupo (3)-(4) están más solicitadas que las del grupo (1)-(2) y
deberían ser construidas con un módulo mayor.
Trenes de engranajes ordinarios compuestos recurrentes
Un tren de engranajes ordinario compuesto se llama recurrente cuando el eje de salida (S) y el
de entrada (E) son coaxiales como se ve en la Figura 9.47. En estos trenes de engranajes se
verifica que:
R1 + R2 = R2 + R4 ⇒ m12 ( Z1 + Z 2 ) = m34 ( Z 3 + Z 4 )
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(9.75)
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siendo m12 y m34 los módulos de cada parte. Si las ruedas no están corregidas, los módulos
habrán de cumplir que:
m12 Z 4 + Z 3
=
m34 Z 2 + Z1
(9.76)
Y si existen N12 ruedas intermedias entre las ruedas (1) y (2), y N34 entre (3) y (4) se tiene
N 34
m12
=
m34
Z 4 + Z 3 + 2∑ Z j
j =1
N12
Z 2 + Z1 + 2∑ Z j
(9.77)
j =1
Trenes de engranajes ordinarios compuestos NO recurrentes
En la Figura 9.48 se muestran trenes ordinarios compuestos no recurrentes con excentricidad
“e” entre el eje de entrada y el de salida, la condición a cumplir será:
R1 + R2 + e = R2 + R4
(9.78)
donde se cumple que
N34
m12
=
m34
Z 4 + Z 3 + 2∑ Z j
j =1
N12
e
+ 2∑ Z j
Z 2 + Z1 +
m12
j =1
(9.79)
Figura 9.48. Tren de engranajes ordinario compuesto No recurrente
Las expresiones anteriores son válidas para el caso de engranajes cilíndricos de dientes rectos.
Potencias y pares transmitidos
Si se desprecia el rozamiento, todas las fuerzas que intervienen en un tren de engranajes son
las mismas si el tren está quieto, si el tren se mueve con velocidades uniformes en un sentido
o si se mueve en sentido contrario. Aquello es una consecuencia de que todas las fuerzas de
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inercia quedan equilibradas. Por ejemplo, en la Figura 9.49.a los sentidos de giro son
contrarios a los de la figura 9.49.b, pero las fuerzas que intervienen son las mismas. La
diferencia estriba en que en el segundo caso M1 actúa en el mismo sentido que ω1 y, por lo
tanto, es un par motor que introduce trabajo en el sistema; mientras que M2 es un par
resistente que saca trabajo del sistema. Sin embargo, en el primer caso, M1 es el resistente y
M2 el motor.
Figura 9.49. Direcciones de torque y distribución de fuerzas
Se denominan fuerzas activas a aquéllas que introducen o sacan trabajo en el sistema. Esto
excluye las reacciones en los apoyos y los empujes mutuos entre dientes. Así, las únicas
fuerzas activas que hay que considerar en un tren de engranajes son los pares exteriores que
actúan sobre las piezas giratorias en su plano de giro. Para analizar los pares activos basta con
aplicar de forma sistemática el teorema de las potencias virtuales: en un sistema en equilibrio
pero que puede moverse (o se mueve), en cualquier movimiento posible la suma de las
potencias que entran al sistema es nula. Observando la Figura 9.50 se puede deducir:
M 1ω1 + M 2ω 2 = 0
(9.80)
M1
ω
= − 2 = −i
M2
ω1
(9.81)
de donde se obtiene:
Figura 9.50. tren de engranajes con las acciones o solicitaciones
En la figura se observa que si ω1 tiene realmente el sentido dibujado, ω2 debe tener el sentido
contrario. Esto significa que “i” tendrá un valor negativo, luego de (9.81) M1 y M2 tendrán el
mismo signo. En un tren de engranajes, los pares activos sobre los ejes se transmiten de un eje
al otro por medio de fuerzas tangenciales sobre los contornos de las ruedas (sobre las
circunferencias primitivas de funcionamiento). Como se vio, la acción mutua entre dos ruedas
es una fuerza. perpendicular a la superficie del diente; de modo que, en general, esta fuerza
tendrá una componente tangencial (Wt), otra axial (Wa) paralela al eje, y otra radial (Wr)
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perpendicular al eje. De todas ellas, la única que daba momento respecto al eje era la
tangencial.
3. Trenes de engranajes epicicloidales
En la Figura 9.51 se muestra un tren epicicloidal. Los trenes epicicloidales son aquellos trenes
de engranajes en los cuales alguna rueda gira en torno a un eje que no es fijo, sino que gira en
el espacio. Al brazo (3) que gira se le llama portasatélites. A la rueda (4) que gira alrededor de
dicho eje se la denomina satélite. El sistema, de esta manera, tiene dos grados de libertad que
se restringen a uno haciendo girar al satélite alrededor de una rueda fija o central (2). En el
caso de los trenes epicicloidales, también cabe hablar de trenes recurrentes o no recurrentes,
según que los ejes de entrada y salida sean o no coaxiales.
Figura 9.51. tren de engranajes epicicloidales
Figura 9.52. tren de engranajes planetarios
En la Figura 9.52 se muestra un tren de engranajes planetarios con la nomenclatura y
distinción de los componentes.
Para resolver el problema cinemático se procede de los engranajes planetarios:
- Nos situamos sobre el brazo portasatélites, para estudiar el movimiento relativo respecto del
mismo (es decir lo convertimos en el eslabón de referencia). Desde el punto de vista analítico,
ello equivale a introducir una velocidad –ω3 (siendo ω3 la velocidad de giro del brazo
portasatélites) al conjunto del sistema.
- El brazo, de esta forma, se queda fijo, la rueda fija gira con velocidad –ω3 y la rueda satélite
(4) con velocidad ω4 – ω3.
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- El resultado es, por tanto, un simple caso de un par de ruedas o tren ordinario (si existen
ruedas intermedias):
R fija
Z fija
Z fija
ω 4 − ω 3 R2
ω satelite
=
=
=
⇒
−1 =
ω3
ω portasatelite
R4 Rsatelite Z satelite
Z satelite
(9.82)
de donde se tiene:
ω satelite =
Z fija + Z satelite
Z satelite
ω portasatelite
(9.83)
Figura 9.53. tren de engranajes planetarios, epicicloidal
Para obtener el movimiento de salida, se coloca una segunda rueda central o corona (4), como
se ve en la Figura 9.53. Ahora bien, si nos ubicamos el portasatélites (1):
ω 41 ω 4 − ω1
Z
=
=− 2
ω 21 ω 2 − ω1
Z4
(9.84)
luego como ω2 =0 se tiene:
ω 4 − ω1 =
ω
Z2
Z
ω1 ⇒ 4 = 1 + 2
ω1
Z4
Z4
(9.85)
2. Bibliografía
[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002
[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000
[3] M.F. Spotts y T.E. Shoup, “Elementos de Máquinas”, Prentice Hall 1999
[4] A.H. Erdman y G.N. Sandor, “Diseño de Mecanismos” Prentice Hall 1998
[5] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000
[6] M.J.T Lewis “Gearing in the ancient world”
[7] Editorial. “Lifting Boats, measuring gears”. Gear Technology. May-June 2003, 9-11.
[8] D.P. Townsend “Dudley´s gear handbook” McGraw Hill 1992
[9] R. Lipp, “Avoiding Tooth interference in Gears”. Machine Design 54(1) 122-124 (1982)
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