A - 2

Unidad 1: Matrices.
¿Cómo deben ser las matrices rectangulares M y N para que puedan
efectuarse las multiplicaciones M.N y N.M?. Razonarlo.
Si el orden de la matriz M es (m,n) y el de la matriz N es (p,q).
Para poder multiplicar M·N , el numero de columnas de M debe ser igual al número de filas de
N, es decir n = p.
De igual forma, para poder multiplicar N·M, el numero de columnas de N debe ser igual al de
filas de M, es decir q = m
Por tanto, para poder multiplicar la M·N y la N·M a la vez, deberá verificarse que el orden de
M sea (m,n) y el orden de N sea (n,m) respectivamente.
Comprobar con las matrices indicadas que:
a) (B+C) ·A= B·A + C·A ; b) (5·A) ·B = 5 · (A · B)
 5 3
 1 2
  4 0
 ; C  
 ; B  

A  
 0 2
  2 1
 1 6
1 3  1 2    5 5 
  
  

a) B  C   A  
1 8    2 1    15 10
 5 3   1 2    1 13
  

  
 0 2   2 1   4 2 
B  A  
  1 13   4  8    5 5 
  
  

B  A  C  A  
  4 2    11 8    15 10
  4 0   1 2    4  8
  
  

C  A  
 1 6    2 1    11 8 
 1 2   5 10
  

b) 5  A  5  
  2 1    10 5 
5  A  B  
5 10  5 3   25
35 
  
  

  10 5   0 2    50  20
7   25
35 
 5
  

5   A  B   5  
  10  4    50  20
1
0
1
 verifica la relación A2 + I = O
Comprobar que la matriz A  
 1 0
 1 0
 0 0
 y O  
 . Obtener una matriz B, distinta de ± A, que
donde: I  
0
1
0
0




también verifique la relación B2 + I = O.
a) Para comprobar A2 + I = O  calculamos A2
 0 1  0 1  1 0 
  
  
 Si le sumamos la matriz I nos queda que:
A2  A  A  
  1 0    1 0   0  1
 1 0   1 0  0 0
  
  

A2  I  
 0  1  0 1   0 0 
 x y
 B2 + I = O  B2 = O - I = - I
b) Si B  
z
t


 x y   x y   1 0 

  
  
 operando el producto e igualando matrices queda:
 z t   z t   0  1
y=0
2
x + yz = -1
xy + yt = 0
zx + tz = 0
zy + t2 = -1


x2 = -1 imposible

t2 = -1 imposible
y (x + t) = 0
x+t=0
z=0
 z (x + t) = 0
x+t=0
x2 + yz = -1
Solo nos queda que x + t = 0  x = - t junto con
t2 + yz = -1
x=-t
De estas dos últimas solo cojo una pues son iguales si x = - t y nos queda
x2 + yz = -1
que nos dan infinitas matrices B
Como pide una matriz B Si x = 1 ; t = - 1
Si y = 1  z = -2
y 12 + yz = - 1  yz = -2
1
 1

B  
  2  1
2
Dada la matriz A, ¿existe una matriz B, tal que el producto A.B, o bien el
B.A, sea una matriz de una sola fila?.
 3 1 4  1


Poner un ejemplo con A   2 0 1 3 
1 2 1 5 


Siendo B de dimensiones (p,q) y A de dimensiones (3,4)
Si multiplicamos A·B será necesario que el nº de filas de B sea igual al nº de columnas de A, es
decir que p = 4
Esto nos indica que no existe ninguna matriz B de una sola fila.
Si multiplicamos B·A será necesario que el nº de columnas de B sea igual al nº de filas de A, es
decir que q = 3 y para que el resultado de B·A tenga una sola fila, será necesario que la matriz B
posea una sola fila, es decir p = 1
En este caso la matriz B tendrá de dimensiones (1,3)
Si tomamos B = (1
3

B  A  1 0 0   2
1

0 0) y multiplicamos B.A nos queda:
1 4  1

0 1
3   3 1 4  1
2  1 3 
0 1 2


Dada la matriz A   0 0 3  calcula las matrices A2, A3, A4 y A5.
0 0 0


Obtén razonadamente la matriz An para n > 5 .
 0 1 2  0 1 2  0 0 3

 
 

A   0 0 3   0 0 3  0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0

 
 

2
 0 0 3  0 1 2  0 0 0

 
 

A   0 0 0   0 0 3   0 0 0  O
 0 0 0  0 0 0  0 0 0

 
 

3
A4 = A3 · A = O · A = O
A5 = A4 · A = O · A = O
Como consecuencia An = O · A = O
3
a a
  0 a) Hallar a y b para que A2 = A
Dada la matriz A  
0 b
1 2
a b 
 y P  
 Hallar P para que
b) Dada la matriz A  
0
1
c
d




A·P= P·A
a a a a a2
  
  
a) A  
0 b 0 b  0
2
a 2  ab

b 2 
a2 = a
a2
A 2  A 
0
 a2 – a = 0; a(a – 1) = 0
a 2  ab  a a 

  a2 + ab = a
b 2   0 b 
b2 = b
02 + 0·b = 0
b=0
No vale A es 0
b2 – b = 0 ; b· (b - 1) = 0
Si a = 0
b2 = b
b=1
 b = 0  12 + 1·0 = 1 Sí
Si a = 1
b = b ; b – b = 0 ; b· (b - 1) = 0
2
2
 b = 1  12 + 1·1  1 No
 0 0

Solo valen A1  
0 1
1 1

A2  
 0 0
 1 2  a b   a b   1 2
 a  2c b  2d   a 2a  b 
  
  
  
  


b) 
d   c 2c  d 
0 1  c d   c d  0 1
 c
a  2c  a  2c  0
b  2d  2a  b
cc
2c = 0  c = 0 a
d  2c  d  2c  0
b + 2d = 2a + b ; 2d = 2a ; a = d  b
a b
 a, b  
P  
0 a
4
0 1
 encontrar una matriz cuadrada X de orden 2 tal
Dada la matriz A  
1
0


que: A + X = A·X + X·A.
a b 

Sea X  
c d 
 0 1  a b   a 1  b
  
  

A  X  
d 
 1 0   c d  1  c
0
A  X  
1
a
X  A  
c
b c d 


d   a b 
1  b a


0   d c 
1  a

0   c
b  0

d   1
Si A+ X = A·X + X·A
a  cb
1 b  a  d
1 c  a  d
d bc
=>
c  d
A  X  X  A  
a  d
 a 1 b  c  b

  
1

c
d

 a  d
d  a

b  c 
d  a
 
b  c 
ad
1  b  2a
 1  b  2a 
 1 b  1 c  b = c
1  c  2a
1 c  a  d
1 + b = 2a  b = 2a – 1
2a  1
 a
 a  
La matriz X  
a 
 2a  1
5
 2 0 1 


Dada P   1 0  2  a) Hallar M = P2 – 2P + 3I
 0 1 1


b) Hallar todas las matrices simétricas de segundo orden, que verifiquen que
A = I, siendo I la matriz unidad.
2
1  3
 2 0 1   2 0 1   4

 
 

a) P   1 0  2    1 0  2     2  2 3 
 0 1  1   0 1  1   1  1  1

 
 

2
 4 0 2 


2P   2 0  4 
 0 2  2


1  3    4 0 2   3 0 0   11 1  5 
 4

 
 
 

M    2  2 3    2 0  4   0 3 0    4 1
7 
 1  1  1  0 2  2  0 0 3  1  3 4 

 
 
 

a c

b) A  
 c b
A2 = I
 a 2  c 2 ac  cb   1 0 


 ca  bc c 2  b 2    0 1 


 
Si c = 0
a2  1
b2  1

a  1
b  1
Si a = - b  b2 + c2 = 1 ;
 a c   a c   1 0

  
  
 ;
 c b  c b 0 1
a2  c2  1
ac  bc  0  c  a  b  0
c2  b2  1
1 0 1 0 

 , 
 ,
 0 1   0 1
c   1  b2
 1 0

 ,
 0 1
 b
A
  1 b2

c0
a  b  0  a  b
 1 0 


 0  1
 1  b 2 
b  [1,1]

b

6
Dada una matriz P , a) ¿existe una matriz Q tal que el producto P·Q, o bien
el producto Q·P sea una matriz de una sola fila?. b) Calcular la matriz
  1 3

 2 1
M = P2 – 3P- 2 I, siendo I la matriz identidad de orden 2 y P = 
a) Pnxm · Qpxq = A1x q
Siempre que m = p y n = 1
P1x m · Qmxq = A1x q
  1 3   1 3
  1 3
 1 0
  
  3  
  2  
 
b) M = P2 – 3P – 2I = P·P – 3P – 2I = 
 2 1  2 1
 2 1
0 1
 7 0   3 9  2 0  8  9
  
  
  

= 
 0 7   6 3  0 2    6 2 
Dadas las matrices
 1 2 3
7
 x


 
 
A   3 2 1  , B   9  y X   y  escriba las tres
1 1 1
 4
z


 
 
ecuaciones del sistema A·X = B y resuélvelo encontrando todas sus soluciones.
 1 2 3  x   7 

    
 3 2 1   y    9 
1 1 1  z   4

    
x + 2y + 3z = 7
y + 2z = 3 
- y – 2z = - 3 e3+e2
x  2 y  3z  7 e2  3e1
3x  2 y  z  9 
x yz 4
e3  e1
x + 2y + 3z = 7
y + 2z = 3
0z = 0
x  2 y  3z  7
 4 y  8 z  12
 y  2 z  3

e3  e 2
sistema compatible indeterminado
y = 3 – 2z
x + 2·(3 – 2z) + 3z = 7  x + 6 – 4z + 3z = 7  x = 1 + z
Las infinitas soluciones
x= 1+λ
y = 3 - 2λ
z= λ
7
2  1
2
1 0 0




Dadas las matrices A    1  1 1  I   0 1 0  Se pide:
1  2 2 
0 0 1




A) calcular la matriz (A – I )2.
B) haciendo uso del apartado anterior, determinar A4
2  1  1
2

 
a) A  I    1  1 1    0
1  2 2  0

 
2  1  1
1

 
2
A  I     1  2 1     1
1  2 1  1

 
b)
0 0  1
2  1
 

1 0   1  2 1 
0 1    1  2 1 
2  1  0 0 0 
 

 2 1   0 0 0
 2 1   0 0 0 
A4 = A2·A2
Calcularemos A2 partiendo de (A – I )2
(A – I )2 = (A – I ) · (A – I) = A2 - A · I – I · A + I2 = A2 – 2A + I
Como (A – I )2 = 0
 A2 – 2A+ I = 0

A2 = 2A– I
A4 = ( 2A– I ) · ( 2A– I ) = 4A2 – 2.A·I – 2·I·A + I2 ;
A4 = 4A2 – 4A + I = 4A · (A – I) + I
2  1  1
2  1  1
2

 
 
A  4  1 1 1   1  2 1   0
1  2 2  1  2 1  0

 
 
8  4 1 0 0  5
8
 4

 
 
   4  8 4   0 1 0    4  7
  4  8 4  0 0 1   4  8

 
 
4
0 0
2  1  1 0 0 
1


 

1 0  4   1  2 1   0 1 0 
 1  2 1  0 0 1
0 1 

 

 4

4 
5 
8
Determinar los valores x, y, z para que se verifique la igualdad:
1
y
1 x
x
x
y x
1

x
y 1

x   y
5 0
=
x   5 0


x   0 5 
0 5
Multiplicamos las dos primeras matrices y queda que
 1  y 2 x  yz   5 0 


 x  yz x 2 y 2    0 5  Igualando los cuatro términos de ambas matrices


 
1 y2  5  y2  4
llegamos a un sistema de ecuaciones. x  y  z  0
y=  2
x2  z2  5
x + 2z = 0  x = - 2z
Para y = 2
x2 + z2 = 5
 4z2 + z2 = 5 ; 5z2 = 5 ; z2 = 1
z = 1  x =  2
x=-2
x=2
y=2 z= 1
y=2
z=-1
x - 2z = 0  x = 2z
Para y = - 2
x2 + z2 = 5
 4z2 + z2 = 5; 5z2 = 5; z2 = 1
z=  1  x=  2
x=2
x=-2
y=-2 z=1
estas son las 4 posibles soluciones que
verifican la igualdad matricial.
y=-2 z=-1
9
Encontrar los valores x, y , u y v que verifican:
 2  3  x y    4 0 

  
  

1
0
u
v
1
3

 
 

 2 x  3u 2 y  3v    4 0 



y   1 3 
 x
2 x  3u  4
2 – 3u = -4  3u = 6  u = 2
x 1
2 y  3v  0
y3
6 – 3v = 0  3v = 6  v = 2
1 2


 2 1
 y B   3 4 
Hallar: Dadas las matrices A  
 3 1
5 6


a) Las dimensiones de X
para que X·A = B. b) Una solución de la ecuación. ¿Es única la solución?
a) Para poder multiplicar Xnxm· A2x2 = B2x3 / m = 2
a

b) X   c
e

b

d
f 
a

c
e

b
1 2
 2a  3b
  2 1 


   3 4    2c  3d
d   
3 1 

 2e  3 f
f  
5 6

2a  3b  1
2a  3b  1
ab  2
 2a  2b  4
2c  3d  3
2c  3d  3
cd 4
 2c  d  8
2e  3 f  5
e f 6
2e  3 f  5
 2e  2 f  12
 5  3


X   9  5
13  7 


y n=3
b = -3
;a=2–b ; a=2+3 ;a=5
d = -5 ; c = 4 – d
f = -7
a  b  1 2
 

c  d   3 4
e  f   5 6 
;e=6–f
; c=4+5 ; c=9
; e = 6 + 7 ; e = 13
y es única
10
1 3 1


Hallar los productos A ∙ B y B ∙ A para las matrices A   2 0 4  y
1 2 3


 2 1 0


B   1 1 2
3 2 1


1 3 1  2 1 0  8 0 7

 
 

A  B   2 0 4    1  1 2   16 10 4 
 1 2 3   3 2 1  13 5 7 

 
 

 2 1 0 1 3 1  4 6 6 

 
 

B  A   1  1 2    2 0 4    1 7  3
 3 2 1   1 2 3   8 11 14 

 
 

 a 1 0


Hallar todas las matrices X de la forma  0 b 1  tales que
0 0 c


1 0 1


2
X   0 b 1
0 0 c


2
 a 1 0  a 1 0  a

 
 
 0 b 1   0 b 1   0
0 0 c 0 0 c  0

 
 

Si
Si
Si
Si
1  a 2  a  1
0  ab
b 2  b;
1 bc
ab
b
2
0
1   1 0 1
 

b  c    0 b 1
c   0 0 c 
b·(b-1) = 0  b = 0, 1
a = 1 y b = 0  0 = 1 + 0 No vale
a = 1 y b = 1  0 = 1 + 1 No vale
a = -1 y b = 0  0 = -1 + 0 No vale
a = -1 y b = 1  0 = - 1 + 1 Si vale y la c = 1 – b = 1 – 1  c = 0
 1 1 0


A   0 1 1
 0 0 0


11
Hallar 𝐗 𝟐 +Y siendo X e Y matrices que verifican:
 2 0

5 X  3Y  

4
15


 1  1

3 X  2Y  
 2 9 
Primero resolvemos el sistema en x e y
0
 2 0
 6
  15X  9Y  

5 X  3Y  
 1 5
  1  5
  4 15
  12 45
  y  

 y  
0 
5 
 1  1
 5
  2 0
2
  15X  10Y  

3 X  2Y  

2
9
10

45




 1  1
 1  5
 3 9
 1 3
1  3 9
  2  
 ; 3X  
  X   
 ; X  

3X  
3   6 9
 2 9 
2 0 
  6 9
  2 3
 1 3  1 3   1  5    5 12   1  5    6 7 
  
  




X 2  Y  
0    8 3   2
0    6 3 
  2 3   2 3  2
Obtén las matrices A y B que verifican el sistema:
 1 2 2

2 A  B  
  2 1 0
  4  3  2

A  3B  
 1 0 1
2A  B  X
2A  B  X
1

 7 B  X  2Y  B   X  2Y 
7
A  3B  Y
 2 A  6 B  2Y
2A  B  X
6 A  3B  3 X

A  3B  Y
A  3B  Y
 7 A  3 X  Y  A  3 X  y 
B
1  1 2 2    8  6  4  1 10 8 6 

  


7   2 1 0    2 0  2  7  0 1 2 
A
1  3 6 6   4  3  2 1  1 3 4 
 
  


7   6 3 0    1 0  1  7   7 3  1
1
7
12
  1 3

2 X  3Y  
 2 5
Resolver el sistema matricial:
 0  3

3 X  Y  
1 2 
  1 3

2 X  3Y  
 2 5
0  9

9 X  3Y  
3
6


 1  6
1  1  6
 X  

11X  
11 5 11 
 5 11 
 0  3
 0  3
1  1  6
  Y  
  3   

3 X  Y  
11  5 11 
1 2 
1 2 
3
 0  3   11
  
Y  
 1 2   15
 11
 18   3
 
11    11
4
3  
  11
 15 

11 
 1 

Sea A la matriz de una sola fila 2 1 5 y sea B la matriz de una
 3
 
sola columna  2  . ¿Se pueden multiplicar A · B y B · A ?
 4
 
A1x3 y B3x1 luego es multiplicable
 3
 
A  B  2 1 5   2   2  3  1  2  5  4  28
 4
 
B3x1 y A1x3 luego son multiplicables
 3
 6 3 15 
 


B  A   2   2 1 5   4 2 10 
 4
 8 4 20
 


A.B  B.A
13
 1 1
 Hallar An , siendo n un número natural arbitrario.
 0 1
Sea A la matriz 
 1 1  1 1  1 2 
  
  

A2  A  A  
 0 1  0 1  0 1 
 1 2   1 1  1 3
  
  

A3  A2  A  
 0 1   0 1  0 1 
 1 3  1 1  1 4 
  
  

A4  A3  A  
 0 1   0 1  0 1 
Se observa fácilmente que el a11 =1 siempre, el a21 = 0 y el a22 = 1 .El único que cambia es el
a12 pero sigue una ley de recurrencia ya que su valor coincide con el exponente de la A.
1 n
 1 5
 Si damos n =5  A5  

An  
0 1
 0 1
 1 4   1 1  1 5 
  
  

Comprobamos que A5  A4  A  
 0 1   0 1  0 1 
Como lo verifica para n= 5, lo verificara para cualquier n
Sea A una matriz cuadrada. Si A2 + 2A+ I = 0, donde I es la matriz
unidad, comprobar que A es invertible.
Una matriz es invertible siempre y cuando A  0
El problema surge de que tenemos que partir de la ecuación matricial A2 + 2A + I = 0
A2 + 2AI + I = 0 ;
A· (A +2I ) + I =0
A · (-1) · (A + 2I ) = (-1) · (-I )
A-1 · A · (- A - 2I ) = A-1 · I ;


I
A-1
A-1 = - A - 2I
A· ( A + 2I ) = - I
;
A · (- A – 2I ) = I multiplicando a la izda por A-1
I · (- A – 2I ) = A-1
La inversa de A se obtiene restándole a la matriz - A, la matriz 2I
14
1 1
 Hallar la ley de formación para las potencias
Sea la matriz A  
0
2


sucesivas de A, calcular An y demostrarlo por inducción.
1
A 2  A  A  
0
1
A3  A 2  A  
0
 1 2 n  1

A n  
n 
0
2


1 1

2   0
3 1

4   0
1 1

2   0
1 1

2   0
3   1 2 2  1


4   0
2 2 
7   1 2 3  1


8   0
2 3 
Comprobación para n = 4
 1 2 4  1

A 4  
4 
0
2


 1 7   1 1   1 15
  
  

A4  A3  A  
 0 8   0 2   0 16
a b b


Sea la matriz A   b a b 
b b a


Hallar a y b para que A2 = I.
2
2
 a b b   a b b   a  2b

 
 
A 2  A  A   b a b    b a b    2ab  b 2
 b b a   b b a   2ab  b 2

 
 
a 2  2b 2  1
a 2  2b 2
2ab  b 2

a2 + 2.02 = 1
a2 = 1
;
Si b = -2a  a2 + 2 (4a2) = 1
;
;
2ab  b 2   1 0 0 
 

2ab  b 2    0 1 0 
a 2  2b 2   0 0 1 
b0
 2ab  b 2  0  b  2a  b  0
2ab  b 2  0
Si b = 0
2ab  b 2
2a  b  0  b  2a
a = ±1
a2 + 8a2 = 1
;
9a2 = 1
;
a2 = 1/9 ;
a = ± 1/3
b  0  a 1
b  0  a  1
Soluciones: a  1  b   2
3
3
1
2
a
b
3
3
 1 / 3  2 / 3  2 / 3


A    2 / 3 1 / 3  2 / 3
  2 / 3  2 / 3 1/ 3 


0
1 0 0
1 0




A  0 1 0 ; A   0 1 0 
0 0 1
0
0  1



  1/ 3 2 / 3 2 / 3 


A   2 / 3  1/ 3 2 / 3 
 2 / 3 2 / 3  1 / 3


15
Sea la matriz fila X  1 2 3 : a) Hallar Xt. b) Hallar A = Xt.X
c)Comprobar que la matriz A no tiene inversa.
1
 
a) X   2 
 3
 
t
1
 1 2 3




b) A  X t  X   2   1 2 3   2 4 6 
 3
 3 6 9
 


c) A no tiene inversa porque |A| = 0 , ya que tiene las 3 filas proporcionales.
10 2 
 . Encuentra una matriz cuadrada triangular B tal que
Sea A  
 2 4
B · Bt = A. ¿Es única la matriz B?.
 a b
 una matriz triangular de dimensión 2x2
Sea B  
0 c
 a b   a 0  10 2 
 a o
  
  

 Como B · Bt = A  
Su traspuestas será : B t  
 0 c   b c   2 4
b c
a 2  b 2  10
bc  2
 c=±2
c2  4
Si c = 2 ; b = 2 / c = 2 / 2  b = 1 ;
a2 + 12 = 10  a2 = 9 a = ± 3
Si c = - 2 ; b = 2 / -2  b = -1 ;
a2 + (-1)2 = 10  a2 = 9 a = ± 3
 3 1    3 1   3 1
 

 
Hay 4 soluciones diferentes 
 0 2  0 2   0  2
  3 1


 0  2
16
Sea una matriz cuadrada A de orden n tal que A2 = A, sea I la matriz
unidad de orden n y sea B = 2A – I, calcular B2 .
A2  A
B  2A  I
B2 = B · B = (2·A – I) · (2.A – I) = 4 ·A2 – 2·A·I – 2·I·A + I2
B2 = 4·A – 2·A – 2·A + I = I
Sean A, B y C matrices cuadradas de orden n. Si se verifica que 1
A· B = A· C. ¿Se puede concluir que será B = C? Si no es así, mostrarlo con un
ejemplo sencillo.
No se puede asegurar que B = C en cuanto que la matriz A no posea matriz inversa, y esto
sucederá cuando el determinante de A sea cero.
1 0
1 0
1 0 
 B  
 en donde el A  0
 y C  
Sea A  
 0 0
0 1
1 1 
 1 0  1 0   1 0 
  
  

Si multiplicamos A  B  
 0 0  1 1   0 0 
 1 0  1 0  1 0
  
  

Si multiplicamos A  C  
 0 0  0 1  0 0
 1 0

Como podemos observar el A  B  A  C  
 0 0
mientras que B  C
17
 4 0
 1  2

 y B 

1
3
0 


Sean A y B las matrices A  
2
Hallar (A + B) 2 y A2 + 2AB + B2. ¿Se obtiene el mismo resultado?
 1  2  4 0 5  2
  
  

A  B  
 2 0    1 3 1 3 
;
5  2   5  2   23  16
  
  

7 
1 3  1 3   8
 A  B2  
 1  2  1  2   3  2
  
  

A2  
 2 0   2 0   2  4
 1  2  4  0
 6  6  12  12
  
  2  
  

2 A  B  2  
 2 0   1 3 
 8 0  16 0 
 4 0   4 0   16 0 
  
  

B 2  
  1 3   1 3   7 9 
  3  2  12  12  16 0   25  24
  
  
  

A2  2 A  B  B 2  
2

4
16
0

7
9
11
5

 
 
 

Como se puede observar:
(A + B) 2  A2 + 2AB + B2
Se comprueba que:
(A + B) 2 = A2 + A·B + B·A + B2
18
 1 2
6 
3 0
4 
 ; B  

Sean las matrices A  
0
1

4
9
2

3




Hallar a) 3 · A - 2 · B ; b) A - 2 · (A + B) ; c) A – 9 · B ; d) 9 · A – B
 1 2 6 
 3 0 4    3 6 18   6 0 8    9 6 10 
  2  
  
  
  

a) 3  
 0 1  4
 9 2  3  0 3  17 18 4  6    18  1  6 
 1 2 6 
 2 2 10    1 2 6   4 4 20 
  2  
  
  
 
b) A  2   A  B  
 0 1  4
 9 3  7   0 1  4  18 6  14
  5  2  14

 
  18  5 15 
  1 2 6   27 0 36    28 2  30
  
  

c) A  9  B  
0
1

4
81
18

27

81

17
23

 
 

  9 18 54   3 0 4    12 18 50 
  
 = 

d) 9  A  B  
 0 9  36  9 2  3   9 7  33
19
Sean las matrices
 1 2 0
 5 4 3




A   1 3 9 ; B  1 0 8
 1 1 4
  4 1 2




Hallar: a) A∙ B , b) B ∙A , c) A² d) B² , e) (A∙B) ² , f) A² ∙ B² . ¿Se obtiene el
mismo resultado en e) y en f) ?
  1 2 0   5 4 3    7  4 13

 
 

a) A  B   1 3 9     1 0 8     7 13 63
  4 1 2    1 1 4    23  14 4 

 
 

 5 4 3    1 2 0    13 25 42

 
 

b) B  A    1 0 8    1 3 9     31 6 16 
  1 1 4    4 1 2    14 5 17 

 
 

4 18 
 1 2 0  1 2 0   3

 
 

c) A   1 3 9    1 3 9 1    34 20 45
  4 1 2    4 1 2    3  3 13 

 
 

2
5 4 3
5 4
d) 𝐵 2 = (−1 0 8) · (−1 0
−1 1 4
−1 1
−7
e) (𝐴 · 𝐵)2 = ( −7
−23
3
f) 𝐴 · 𝐵 = (−34
−3
2
2
3
18
8) = (−13
−10
4
−4 13
−7
13 63) · ( −7
−14 4
−23
4 18
18
20 45) · (−13
−3 13
−10
23 59
4 29)
0 21
−4 13
−222
13 63) = (−1491
−14 4
351
23 59
−178
4 29) · (−1322
0 21
−145
−206
−685
−146
85
−702
−81
−291
980 )
−1165
671
−481)
9
No se obtiene el mismo resultado, debido a la no conmutatividad de matrices
20
𝟎 𝒂 𝒃
Se considera la matriz 𝑨 = (𝟎 𝟎 𝒄 ) donde a, b y c son tres números
𝟎 𝟎 𝟎
n
reales arbitrarios. Encuentra A para todo numero natural n.
0 a
A2 = (0 0
0 0
0 0
b
0 a b
)
·
(
)
=
(
0 0
c
0 0 c
0 0
0
0 0 0
0 0
A3 = (0 0
0 0
ac
0
0 ) · (0
0
0
0
a b
0 c ) = (0
0
0 0
ac
0)
0
0 0
0 0) = O
0 0
A4 = A3 · O = O
An = O para todo numero natural n
𝟏 𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
Se consideran las matrices 𝑨 = (𝟎 𝟏 𝟏) 𝑩 = (𝟎 𝟎 𝟏)
𝟎 𝟎 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
𝟏 𝟎 𝟎
𝑰 = (𝟎 𝟏 𝟎) Calcular B3 , Calcular A4 haciendo A = B + I
𝟎 𝟎 𝟏
a)
0
B 2 = (0
0
0 1
B = (0 0
0 0
3
1 0
0 1
0 1) · (0 0
0 0
0 0
0
0
1) = (0
0
0
0
0 0 0
0 0
1) · (0 0 1) = (0 0
0
0 0 0
0 0
0 0
0 1)
0 0
0
0) = O;
0
B4 = O
b) A4 = (B + I)4 = B4 + 4.B3.I + 6.B2.I2 + 4.B.I3 + I4 =
0
= 6 · (0
0
0
= (0
0
0 1
1 0
0 0 ) · (0 1
0 0
0 0
0 6
0
0 0 ) + (0
0 0
0
0
0
0) + 4 · (0
1
0
4 0
1
0 4) + (0
0 0
0
1 0
1 0
0 1) · (0 1
0 0
0 0
0
1 0
0) + (0 1
1
0 0
0
0) =
1
0 0
1 4 6
1 0 ) = (0 1 4 )
0 1
0 0 1
21
𝟎
𝟑
𝟕
𝟒
Se sabe que la matriz A = (
−𝟗 −𝟐
𝟐
𝟓
A² = A + I, siendo I la matriz identidad.
𝟐 −𝟏
𝟏 −𝟔
) Verifica la igualdad
𝟏 𝟕
𝟑 −𝟑
Calcular A-1 y A4 .
Partiendo de A² = A + I  A·A = A + I  multiplicamos a la derecha por A-1 los dos miembros
A.A.A-1 = (A + I) · A-1 ; A · I = A · A-1 + I· A-1
I
I
A = I + A-1
 A-1 = A - I
3
 0

4
 7
A-1 = 
9 2

 2
5

2 1 1
 
1  6  0

1 7  0
 
3  3   0
0
1
0
0
0
0
1
0
0  1 3
 
0  7
3


0
9 2
 
1   2
5
2 1

1  6
0 7 

3  4 
A4 = A2 · A2 = (A + I)· (A + I) = (A + I)· A + (A + I) · I=
A ·A + I · A + A · I + I · I = A2 + A + A + I = A + I + 2A + I = 3A + 2I =
3
 0

4
 7
3· 
9 2

 2
5

2 1 1
 
1  6  0
2
1 7  0
 
3  3   0
0
1
0
0
0
0
1
0
0  2
9 6 3 
 

0   21 14 3  18

0    27  6 5 21 
 

1   6
15 9  7 
22
¿Tiene la propiedad conmutativa la multiplicación de matrices cuadradas?.
¿Y la de matrices rectangulares?. Mostrar ejemplos sencillos.
El producto de dos matrices no cumple siempre la propiedad conmutativa.
Si las matrices M y N no son cuadradas, para que se puedan multiplicar M·N y N·M deberán
ser de dimensiones (m,n) y (n,m) y entonces
M·N será de dimensiones (m,m)
N·M será de dimensiones (n,n)
Por tanto la pregunta solo tiene sentido cuando m = n, es decir para matrices cuadradas del
mismo orden.
Ahora bien, si tomamos dos matrices cualesquiera de orden 2, podemos ver que no conmutan.
1 1
0 1
1 2
𝐴·𝐵 =(
)·(
)=(
)
1 1
1 1
2 2
𝐴 · 𝐵 = (1 −1
0
1
𝐵·𝐴=(
1
1 1
1 1
)·(
)=(
)
1
1 1
2 2
−2
−2
0) · ( 3 ) = (−5) 𝐵 · 𝐴 = ( 3 ) · (1 −1
1
1
−2 2 0
0) = ( 3 −3 0)
1 −1 0
23
UNIDAD 2 : Determinantes. Matriz Inversa.
Calcula el siguiente determinante, haciendo previamente ceros en la segunda
𝟓 −𝟏 𝟒 𝟏
𝟐
𝟔 𝟕 𝟗
columna:|
|
−𝟐 − 𝟑 𝟓 𝟔
𝟎 𝟗 𝟏𝟐 𝟕
5 −1 4 1
2
6 7 9
|
|
−2 − 3 5 6
0 9 12 7
f2 + 6f1
=
f3 – 3f1
f4 + 9f1
5
32
|
−17
45
−1 4
1
0 31 1 5
|
0 −7 3
0 48 16
32 31 15
1
31
= (-1)·(-1) ·|−17 −7 3 | = c1 – c2 = |−10 −7
45 48 16
−3 48
1 31
= |0 303
0 141
15
303
153| = 1 · 𝐴11 = |
141
61
= (-1) A12 =
15
3| =
16
f2 + 10f1
=
f3 + 3f1
153 = 18483 - 21573 = - 3090
|
61
Aplico la regla de Chio y en el determinante 2x2 aplico Sarrus
𝟕
𝟕
𝟕
Calcula, en función de a,b y c el valor de: |𝟐𝒂 𝟐𝒃 𝟐𝒄|
𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐
7
|2a
a2
7
2b
b2
7 f1 ∶ 7
1
2c| ==== 7 · 2 · | a
c 2 f2 ∶ 2
a2
(1)
1
b
b2
1
c | = 14 · (b – a) · (c – a) · (c – b)
c2
(2)
(1) Si una línea de un determinante se divide por un numero k, el nuevo determinante viene
multiplicado por dicho numero k
(2) Es un determinante de Van der Monde.
24
Calcula los valores de x para que sea 2 el rango de la matriz
𝟏 𝟏 𝟏
𝟏
𝑨 = (𝟑 𝟎 𝟎 − 𝟏)
𝟏 𝒙 𝒙
𝟏
1
rg (3
1
1 1
1 c =c
1 1
2
3
rg (3 0
0 0 − 1) ====
x x
1
1 x
1 1
 |3 0
1 𝑥
1
−1| = 0
1
1
−1)
1
Para que el rg A = 2
 - 1 + 3x - 3 + x = 0  4x = 4  x = 1
Para x = 1, el menor de orden 3 es nulo  No existe menor principal de orden 3 
rg A = 2
Calcular, en función de n, el valor del determinante
𝒏
𝒏+𝟏 𝒏+𝟐
| 𝒏 + 𝟑 𝒏 + 𝟒 𝒏 + 𝟓|
𝒏+𝟔 𝒏+𝟕 𝒏+𝟖
n
n+1
|n + 3 n + 4
n+6 n+7
n + 2 𝑐2 − 𝑐1
𝑛
n + 5| ==== |𝑛 + 3
n + 8 𝑐3 − 𝑐1 𝑛 + 6
1 2 𝑓2 − 𝑓1 𝑛
1 2| ==== |3
1 2 𝑓3 − 𝑓1 6
1
0
0
2
0| = 0
0
Como puede observarse el determinante vale 0 para cualquier
valor de n.
−𝟏
𝟏
Calcular el determinante |
−𝟏
𝟏
−1
1
|
−1
1
1 −1 1
𝑓2 + 𝑓1 −1
0
1 −1 −1 ====
|
|
0
1 1
1
𝑓3 − 𝑓1
1 1
1
0
(1)
𝟏 −𝟏
𝟏 −𝟏
𝟏 𝟏
𝟏 𝟏
1
2
0
0
−1
−2
2
0
𝟏
−𝟏
|
𝟏
𝟏
1
0
| =8
0
2
(2)
(1) Si cambiamos una línea de un determinante por una combinación lineal de ella con otra
paralela, el nuevo determinante no varia.
(2) El determinante de una matriz triangular vale el producto de los elementos de su diagonal
principal.
25
𝒂+𝟏
𝒂
𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐝𝐞𝐥 𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭𝐞 |
𝒂
𝒂
𝒂
𝒂+𝟏
𝒂
𝒂
𝒂
𝒂
𝒂
𝒂
|
𝒂+𝟏
𝒂
𝒂
𝒂+𝟏
Procedimiento a): Trabajaremos con las filas realizando combinaciones lineales.
a+1
a
a
a
a+1
a
|
a
a
a+1
a
a
a
𝑎+1
−1
=|
−1
−1
𝑎
1
0
0
𝑎
0
1
0
a
a
| f2 – f1  f2 ; f3 – f1  f3 ; f4 – f1  f4 =
a
a+1
𝑎
𝑎 + 1 2𝑎 + 1 𝑎
0
−1
0
0
| c2 + c1  c2 = |
0
−1
−1
1
1
−1
−1
0
2𝑎 + 1
= (-1) (-1) | −1
−1
𝑎
1
0
𝑎
0
| =
0
1
𝑎
2𝑎 + 1 3𝑎 + 1 𝑎
|
c
+
c

c
=
|
0 2
−1
0
0| =
1
2
1
−1
−1
1
3𝑎 + 1 𝑎
=|
| = 3a + 1 + a = 4a + 1.
−1
1
Procedimiento b):
a+1
a
a
a
a+1
a
|
a
a
a+1
a
a
a
4a + 1
a
4a + 1 a + 1
=|
4a + 1
a
4a + 1
a
1
1
(4a + 1) |
1
1
a
a
| = c1 + c2 + c3 + c4  c1 =
a
a+1
a
a
a
a
| c1 : (4a + 1) =
a+1
a
a
a+1
a
a
a
a+1
a
a
| f2 – f1  f1 ; f3 – f1  f1 ;
a
a+1
a
a
a
a+1
1
0
f4 – f1  f1 = (4a + 1) |
0
0
a a a
1 0 0
| = (4a + 1) · 1 = 4a + 1.
0 1 0
0 0 1
26
𝟐𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟏 𝟐𝟎𝟐
𝟓𝟏
Calcular los determinantes: 𝒂) |𝟐𝟎𝟏 𝟐𝟎𝟐 𝟐𝟎𝟑| 𝒃) |𝟓𝟐
𝟐𝟎𝟐 𝟐𝟎𝟑 𝟐𝟎𝟒
𝟓𝟑
200
a) |201
202
201
202
203
51
𝑏) |52
53
52
53
54
202 c2 − c1 200
203| ==== |201
204 c3 − c1 202
(1)
53 𝑓2 − 𝑓1 51
54| ==== | 1
55 𝑓3 − 𝑓1 2
(1)
52
1
2
𝟓𝟐 𝟓𝟑
𝟓𝟑 𝟓𝟒|
𝟓𝟒 𝟓𝟓
1 2 c −c
3
2
= 0
1 2| ====
1 2
(2)
53
𝑓 = 2𝑓1
=0
1| 3
====
2
(2)
(1) Un determinante no varia si se cambia una línea por una combinación lineal de ella con otra
paralela.
(2) Si en un determinante hay dos líneas paralelas proporcionales, su determinante vale 0
𝒌 𝟏
Calcular para que valores de k la siguiente matriz 𝑨 = (−𝟐 𝟏
𝟑 𝟔
invertible. En esos casos escribir sus matrices inversas.
𝟏
𝟎) es
𝟗
A tendrá matriz inversa cuando el determinante de la matriz no sea cero.
𝑘 1
|−2 1
3 6
Si
1
0| = 9k – 12 – 3 + 18 = 9k + 3
9
A = 0  9k + 3 = 0  9k = - 3  k = - 1 / 3
Para todos los valores de k distintos de – 1 / 3 existirá A-1
9
−18
−15
𝛼𝐴 = ( 3 9𝑘 − 3 6𝑘 − 3)
−1
2
𝑘+2
𝐴−1 =
9
18
𝐴𝑑 (−3 9𝑘 − 3
−1
−2
−15
−6𝑘 + 3)
𝑘+2
9
−3
−1
1
· ( 18
9𝑘 − 3
−2 )
9𝑘 + 3
−15 −6𝑘 + 3 𝑘 + 2
27
𝒂+𝟏 𝒂+𝟐 𝒂+𝟑
𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒔𝒊𝒏 𝒅𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒂𝒓 ∶ | 𝟏
𝟏
𝟏 |
𝟏
𝟐
𝟑
a+1
| 1
1
a+2
1
2
a+3
1
f − af2
= |1
1 | 1
====
3
1
(1)
2 3
1 1| = 0
2 3
(2)
(1) Un determinante no varía si se cambia una línea por una combinación lineal de ella con
otra paralela.
(2) En un determinante con dos líneas paralelas iguales , vale 0
𝐛
𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫 𝐬𝐢𝐧 𝐝𝐞𝐬𝐚𝐫𝐫𝐨𝐥𝐥𝐚𝐫, 𝐞𝐥 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐝𝐞𝐥 𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭𝐞: |𝐚
𝐚
𝑏
|𝑎
𝑎
𝑐
𝑐
𝑏
𝑏+𝑐
𝑏
𝑎 + 𝑐 | = |𝑎
𝑎+𝑏
𝑎
𝑐
𝑐
𝑏
𝑏
𝑏
𝑎| + |𝑎
𝑎
𝑎
(1)
𝑐
𝑐
𝑏
𝐜 𝐛+𝐜
𝐜 𝐚 + 𝐜|
𝐛 𝐚+𝐛
𝑐
𝑐| = 0 + 0 = 0
𝑏
(2)
(1) Si en un determinante existe una línea descompuesta en dos sumandos, se podrá
descomponer en suma de dos determinantes, en donde las líneas no descompuestas se mantendrán
iguales y la línea con dos sumando se descompondrá cada sumando en un determinante.
(2) Si en un determinante existen dos líneas paralelas iguales, el determinante vale cero.
De otra forma:
𝑏
|𝑎
𝑎
𝑐
𝑐
𝑏
𝑏+𝑐
𝑏+𝑐
|
=
|
𝑎+𝑐
𝑎+𝑐
𝑎+𝑏
𝑎+𝑏
(3)
𝑐
𝑐
𝑏
𝑏+𝑐
𝑎 + 𝑐| = 0
𝑎+𝑏
(2)
(3) Si en un determinante intercambiamos una línea por una combinación lineal de ella misma
con otra paralela, el nuevo determinante no varía.
28
𝟏 𝟎 −𝟏
𝐂𝐨𝐧𝐬𝐢𝐝𝐞𝐫𝐚 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐀 = (𝟎 𝐛 𝟑 ) a) Halla para que valores del
𝟒 𝟏 −𝐛
-1
parámetro b existe A . b) Calcula A-1 para b = 2.
a)
Para que exista A-1 el |𝐴| ≠ 0
𝐶𝑜𝑚𝑜 |𝐴| = − b2 + 4b − 3
Buscamos los valores de b para que valga 0
- b2 + 4b - 3 = 0  b2 - 4b + 3 = 0
∀ b ≠ 1, 3
el
3
1
|𝐴| ≠ 0 existe A-1
1 0 −1
Para b = 2 𝐴 = (0 2 3 )
4 º −2
−7 −12
𝛼=( 1
2
2
3
 𝑏= {
−8
1)
2
|𝐴| = - 4 + 8 – 3 = 1
−7 12 −8
𝐴 = (−1 2 −1)
2 −3 2
𝑑
−1
𝐴
−7 −1
= ( 12 2
−8 −1
2
−3)
2
29
Contesta a las siguientes cuestiones:
a) Enuncia dos propiedades de los determinantes.
𝒙 𝟏 𝟏
𝟏 𝒙 𝟏
b) Calcula el siguiente determinante: |
𝟏 𝟏 𝒙
𝟏 𝟏 𝟏
x
1
|
1
1
1
x
1
1
1
1
x
1
1
1
(𝑥 + 3) · |
1
1
𝑥+3
1
𝑥+3
1 f1 + f2 + f3 + f4
|
= |
𝑥+3
1 =========
𝑥+3
x
(1)
1
𝑥
1
1
1
1
𝑥
1
1
1
|
1
𝑥
1
𝑥
1
1
𝑥
1
𝑥
1
𝑓2 − 𝑓1
====
|
| = (𝑥 + 3) · |
𝑓3 − 𝑓1
𝑓4 − 𝑓1
(1)
𝟏
𝟏
|
𝟏
𝒙
1
1 𝑐1 : (𝑥 + 3)
|
=
1 ======
𝑥
(2)
1
1
1
1
0 𝑥−1 0 0
| =
0 0 𝑥−1 0
0 0
0
𝑥−1
= (x + 3) · (x – 1)3
(1) Si cambiamos una línea por una combinación lineal de ella con otras paralelas, el nuevo
determinante no varía.
(2) Si dividimos una línea por un numero o función, el nuevo determinante vendrá multiplicado
por dicho numero.
𝟐 −𝟑
𝐃𝐚𝐝𝐚 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐀 = (
) a) Hallar A-1 . b) Comprobar que
−𝟐 𝟏
se verifica A2 – 3·A – 4·I = O . c) Hallar A-1 a partir de la igualdad anterior
a) 𝐴 = 2 – 6 = - 4
𝐴𝛼 = (
2
−2
b) 𝐴2 − 3𝐴 − 4𝐼 = (
.
1
1 −2
1 2
1 3
) ; 𝐴𝑑 = (
) ; 𝐴−1 = − 4 · (
)
−3 2
3 2
2 2
1
−3
2 −3
2 −3
)·(
)− 3 (
)− 4 (
0
1
−2 1
−2 1
10 −9
6 −9
4
)−(
)−(
−6 7
−6 3
0
= (
0
0
)=(
4
0
0
)=
1
0
)=𝑂
0
c) A·A – 3·I·A - 4·I = O  (A – 3·I) ·A - 4·I = O  (A – 3·I) · A = 4·I
(A – 3·I) · A · A-1 = 4·I · A-1  A – 3·I = 4 · A-1  𝐴−1 =
1
4
(𝐴 − 3𝐼)
30
𝟏 𝟎 −𝟏
𝐃𝐚𝐝𝐚 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐀 = (𝟎 𝛃 𝟑 ) , averiguar para que valores del
𝟒 𝟏 −𝛃
parámetro ß la matriz no tiene inversa. Calcular su inversa cuando
ß = 2.
Para que la matriz A pueda invertirse, debe ser A  0.
|𝐴| = - ß2 + 4ß - 3 Si hago que |𝐴| = 0 resolviendo la ecuación de segundo grado en ß
tenemos que ß = 1 y ß = 3
Cuando ß = 1 o cuando ß = 3 la matriz A no posee inversa.
Calculemos la inversa de A, para ß = 2.
1 0 −1
𝐴 = (0 2 3 )
4 1 −2
−7 −12
𝛼= (1
2
2
3
𝐴−1 =
(𝐴𝑑 )
𝑡
|𝐴|
|𝐴| = - 4 + 8 - 3 = 1
−8
−7 12 −8
𝑑
)
𝐴
=
(
1
−1 2 −1)
2
2 −3 2
−7 −1
𝐴−1 = ( 12 2
−8 −1
2
−3)
2
Para comprobarlo A.A-1 = I
𝟏 𝐜 𝐜
𝐃𝐚𝐝𝐚 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐀 = ( 𝐜 𝟏 𝐜 ) Halla el valor no nulo de c para el cual la
𝐜 𝐜 𝟏
matriz A2 es diagonal . con este valor de c hallar A-1 .
1 c
A = A · A = (c 1
c c
2
1 + 2c 2
( 2c + c 2
2c + c 2
2c + c 2
1 + 2c 2
2c + c 2
𝑥 0
2c + c 2
2 ) = (0 𝑦
2c + c
0 0
1 + 2c 2
1 −2 −2
𝐴 = (−2 1 −2)
−2 −2 1
−3 2
6
𝐴 = ( 2 −3 6 )
6
6 −3
𝑑
c
1 c c
1 + 2c 2
c ) · ( c 1 c ) = ( 2c + c 2
1
c c 1
2c + c 2
2c + c 2
1 + 2c 2
2c + c 2
2c + c 2
2c + c 2 )
1 + 2c 2
0
0)  2c + c2 = 0  c · (2 + c) = 0
𝑧
0
𝑐={
2
|𝐴| = 1 + 8 + 8 - 4 – 4 - 4 = 4
−1
𝐴
1
=4
−3 2
6
( 2 −3 6 )
6
6 −3
31
2
Dada la matriz invertible A = (3
0
t
a) A · A
2 3
Calculo At = (1 2
4 5
t
b) A · A
c) A · A-1
1 4
2 5) hallar :
−1 1
d) A-1 · A
e) At · A-1 f) A-1 · At
0
−1)
1
Calculo A-1:
2 1 4
|A| = 3 2 5
0 −1 1
= 4+ 0 – 12 – 0 – 3 + 10 = –1
7 −3 −3
A = (−5 2
2)
−3 2
1
d
A-1=
1
|𝐴|
7
(Ad) t= −1 (−3
−3
7 −5 −3
(A ) = (−3 2
2)
−3 2
1
d t
−5 −3
−7 5
3
2
2 ) = ( 5 −2 −2)
2
1
3 −2 −1
2 3 0
2 1 4
13 8
a) A · A = (1 2 −1) · (3 2 5) = ( 8
6
4 5 1
0 −1 1
23 13
23
13)
42
2 1 4
2 3 0
21 28
b) A · A = (3 2 5) · (1 2 −1) = (28 38
0 −1 1
4 5 1
3
3
3
3)
2
t
t
2 1 4
2 1
4
1
c) A · A-1 = (3 2 5) · (3 −2 −2) = (0
0 −1 1
3 −2 −1
0
0 0
1 0) = I
0 1
2 1 4
1 0
−7 5
3
d) A-1 · A = ( 3 −2 −2) · (3 2 5) = (0 1
0 −1 1
0 0
3 −2 −1
2 3
e) At · A-1 = (1 2
4 5
0
0) = I
1
0
−7 5
3
−5 4 0
−1) · ( 3 −2 −2) = ( −4 3 0)
1
3 −2 −1
−10 8 1
2 3 0
3
4 −2
−7 5
3
f) A-1 · At = ( 3 −2 −2) · (1 2 −1) = (−4 −5 0 )
4 5 1
0
0
1
3 −2 −1
32
𝟏
|𝟏
𝟏
Demostrar que es nulo, sin desarrollar, el siguiente determinante
𝒙 𝒚+𝒛
𝒚 𝒛 + 𝒙|
𝒛 𝒛+𝒚
1 x
|1 y
1 z
y+z
1 𝑥
c + c2
z + x| 3
= |1 𝑦
====
z+y
1 𝑧
1
= (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) · |1
1
𝑥
𝑦
𝑧
𝑥+𝑦+𝑧
𝑥 + 𝑦 + 𝑧| 𝑐3 : (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) =
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =========
1
𝑐 = 𝑐2
= 0
1| 1
====
1
El determinante de una matriz cuadrada A de orden tres vale 16. Hallar el
determinante de las matrices: a) 5A ; b) –A ; c) -6A ; d) At ; e)At · A ; f)
A · At
𝑆𝑖 |𝐴|3x3 = 16
𝑎) = 53 · |𝐴| = 125 · 16 = 2000
b) |−𝐴| = (−1)3 |𝐴| = - 16
c) |−6𝐴 =|(−6)3 |𝐴| = - 216 · 16 = 3456
d) |𝐴𝑡 | = |𝐴| = 16
e) |𝐴𝑡 · 𝐴| = |𝐴𝑡 | · |𝐴| = 16 · 16 = 256
f) |𝐴 · 𝐴𝑡 | = |𝐴| · |𝐴𝑡 | = 16 · 16 = 256
El determinante de una matriz cuadrada A de orden n vale k. Hallar el
determinante de las matrices 5A ; -A ; At y A · At .
| A |nxn = K.
| 5A |nxn = 5 n · | A | = 5n · K
| - A | = (-1)n · | A | = (-1)n · K
| At | = | A | = K
|A · At| = | A | · | At | = K · K = K2
33
El determinante de una matriz cuadrada A de orden n es k. ¿Qué condición
debe verificar k para que la matriz tenga inversa? ¿Cuánto vale en ese caso
|𝑨−𝟏 |?
|Anxm | = k para que A posea inversa |𝐴| ≠ 0 es decir 𝑘 ≠ 0
1
A−1 = |A| · (Ad )
𝒂
𝟏
|
𝟏
𝟏
a
1
|
1
1
t
1
t
 |A−1 | = |A| · |(Ad ) | =
1
|A|n
1
1
· |Ad | = 𝑘 · 𝑘 𝑛−1 = 𝑘
Encontrar las transformaciones de filas o columnas necesarias para deducir:
𝟏 𝟏 𝟏
𝒂 𝟏 𝟏
| = (𝒂 + 𝟑) · (𝒂 − 𝟏𝟑 )
𝟏 𝒂 𝟏
𝟏 𝟏 𝒂
1
a
1
1
1
1
a
1
1 𝑓 −𝑓
𝑎
1
2
1
1 𝑓 −𝑓
1−𝑎 𝑎−1
|
1 =|
1 3
1−𝑎
0
𝑓4 − 𝑓1
2
a
1−𝑎
1−𝑎
1−𝑎
= 1 • (-1)5 | 1 − 𝑎
1 − 𝑎2
1
0
𝑎−1
1−𝑎
1
0 1 · 𝐴14
|
0 ===
0
1−𝑎
𝑎−1
0
𝑐2 + 𝑐1
|
=
−
|
1−𝑎
0
𝑎−1
====
1 − 𝑎2
1−𝑎 1−𝑎
0
0
1−𝑎
𝑎 − 1|
2
−𝑎 − 𝑎 + 2 1 − 𝑎
1−𝑎
𝑎 − 1 𝑐2 + 𝑐1
− 𝐴11 (1
= − 𝑎)·| 2
|
−𝑎 − 𝑎 + 2 1 − 𝑎 ====
===
1−𝑎
0
= −(1 − 𝑎) · | 2
| = - (1 - a)· (1 - a) · A11
−𝑎 − 𝑎 + 2 −𝑎2 − 2𝑎 + 3
= - (1 - a) · (1 - a) · (- a2 – 2a +3) = (1 - a)2 · (a2 + 2a - 3) = (1 -a)2 · (a - 1) · (a + 3) =
= (- (a - 1) )2 · (a - 1) · (a + 3) = (a - 1)3 • (a + 3)
34
𝟐 𝟑
Escribir la matriz inversa de (
) . Comprobar el resultado
𝟏 𝟏
multiplicándolo por la matriz dada.
Calculemos el |𝐴| = 2 - 3 = - 1  0 con lo que se puede calcular la inversa de A.
Calculemos los adjuntos de la matriz A.
1 −3
)
−1 2
𝐿𝑎 (𝐴𝑑 )𝑡 = (
A11 = 1 ; A12 = - 1 ; A21 = - 3 ; A22 = 2
1 −3
−1 3
)=(
)
−1 2
1 −2
𝐴−1 = − (
Comprobación: 𝐴 · 𝐴−1 = (
2
1
𝐴−1 · 𝐴 = (
3 −1
)·(
1
1
1 0
3
)=(
)
0 1
−2
−1 3
2
)·(
1 −2
1
1
3
)=(
0
1
𝟏
Escribir la matriz inversa de la(
−𝟏
cualquiera que sea el valor de a.
0
)
1
𝒂−𝟑
) y comprobar que existe,
𝟐−𝒂
Para que exista la matriz inversa, el determinante de la matriz deberá ser no nulo.
|𝐴| = | 1 𝑎 − 3| = 2 - a + a - 3 = - 1
−1 2 − 𝑎
Al ser el determinante  0 e independiente del valor de a, la matriz inversa existirá siempre para
todo valor real de a.
2−𝑎 1
2−𝑎
) (𝐴𝑑 )𝑡 = (
−𝑎 + 3 1
1
𝐴𝑑 = (
−𝑎 + 3
𝑎−2 𝑎−3
) 𝐴−1 = (
)
1
−1
−1
Comprovemos que A.A-1 = A-1.A = I
A. A−1 = (
1 𝑎−3
1 0
𝑎−2 𝑎−3
)·(
)=(
)
−1 2 − 𝑎
0 1
−1
−1
1 𝑎−3
1 0
𝑎−2 𝑎−3
)·(
)=(
)
−1 2 − 𝑎
0 1
−1
−1
A−1 · 𝐴 = (
35
𝟏
−𝟑
Halla el rango de la matriz : 𝑨 = (
𝟓
𝟏
𝟐
𝟕
𝟎
𝟏
𝟑
𝟎
𝟎
𝟏
𝟒
𝟎
)
𝟎
𝟏
|A| = |1| ≠ 0 existe menor principal de orden 1
|𝐴´| = | 1 2| = 7 + 6 = 13 ≠ 0 existe menor principal de orden 2
−3 7
1 2 3
|𝐴´´| = |−3 7 0| = - 105 ≠ 0 existe menor principal de orden 3
5 0 0
1
−3
|𝐴´´´| = |
5
1
2 3 4
2
7 0 0 5 · 𝐴13
|
= 5 · |7
0 0 0 ====
1
1 1 1
3 4
3 4
|=
0 0| = 5 · 7 · 𝐴21 = 35 · (−1) · |
1 1
1 1
= - 35 · (3 – 4) = 35 ≠ 0 existe menor principal de orden 4  rg A = 4
36
𝟏
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐚, 𝐛 𝐲 𝐜 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐀 = (𝟎
𝟎
𝟎
√𝟐
√𝟐
1
0
1
𝟏
𝟏
) verifique que su
𝐚 𝐛 𝐜
traspuesta es igual a su inversa. En esos casos hallar A4 .
At = A-1  At · A = A-1 · A  At · A = I
1
0
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝐴𝑡 =
(
1 + 𝑎2
 ( 𝑏𝑎
𝑐𝑎
0
0
1
√2
1
𝑎𝑏
+ 𝑏2
2
1
2
+ 𝑏𝑐
1
𝑏
0
𝑐
√2
1
𝑎
=>
)
(
0
0
1
𝑎
√2
1
√2
𝑎𝑐
1 0
+ 𝑏𝑐) = (0 1
2
1
0 0
+ 𝑐2
2
1
𝑏
𝑐
· (0
a
)
0
1
1 0 0
) = (0 1 0 )
√2 √2
0 0 1
b
c
0
0)
1
1 + a2 = 1  a2 = 0  a = 0 Como a·b = 0 y como a·c = 0  valido para todo b y todo
c perteneciente a los nº reales.
1
½ + b2 = 1  b2 = ½  𝑏 = ±
√2
De las cuatro posibilidades solo son validas
½ + c = 1  c = ½  𝑐 = ±1/√2
2
2
los valores de b y c que tengan signos opuestos, para que al sustituir en ½ + b·c = 0, la verifique,
es decir
Si a = 0 ; 𝑏 =
1
;𝑐 = −
√2
1
0
𝑏) 𝑆𝑖 𝑒𝑙𝑒𝑔𝑖𝑚𝑜𝑠 𝐴 = (
0
1
0
𝐴2 = (
0
0
1
√2
1
√2
0
1
0
0
√2
1
√2
1
1
√2
1
0
√2 ) · (
1
−
0
1
√2
Si a = 0 ; 𝑏 = −
√2
1
√2
;𝑐 =
1
√2
1
−
0
1
√2
1
√2
)
√2
0
1
√2 ) = (0
1
0
−
1
√2
0 0
1 0) = I
0 1
A3 = A2 · A = I · A = A
Las potencias impares dan A y las potencias pares dan I
4
3
A =A ·A=A·A=I
37
Hallar el rango de la siguiente matriz M , según los valores de
𝟓
𝟓
𝟓
𝜷
𝜸 )
α, β y γ: 𝑴 = ( 𝜶
𝜷+𝜸 𝜸+𝜶 𝜶+𝜷
Para calcular el rango utilizaremos la propiedad de que una combinación de filas paralelas no
varía el rango de la nueva matriz.
5
𝑟𝑎𝑔 ( α
β+γ
5
5
β
γ ) 𝑓3 + 𝑓2 => 𝑓3 =
=======
γ+α α+β
5
𝛼
= rag (
𝛼+𝛽+𝛾
5
= 𝑟𝑎𝑔 (𝛼
1
5
𝛽
𝛼+𝛽+𝛾
5
𝛽
1
5
(𝛼
𝛾
) 𝑓3 : + 𝛽 + 𝛾) =
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 ========
(1)
5
1 1 1
𝑓 = 5𝑓3
= 𝑟𝑎𝑔 (
)
𝛾) 1
𝛼 𝛽 𝛾
=====
1
(2)
(1) si divido una fila por una número real el rango no varía
(2) dos filas paralelas proporcionales hacen que el rango disminuya en una fila.
Luego rg M < 3
1
𝑟𝑎𝑔 (
𝛼
1
𝛽
1
)
𝛾
α=β=γ=1
 rg M = 1
∀𝛼≠𝛽≠𝛾
 rg M = 2
α=β≠γ
 rg M = 2
α≠β=γ
 rg M = 2
−𝟐 𝟎
Hallar la inversa de la matriz 𝑨 = ( 𝟏 𝟑
𝟎 𝟏
−2 0
|A| = | 1 3
0 1
3
0 | = 12 + 3 = 15
−2
−6 2
𝐴 = (3 4
−9 3
𝑑
1
2)
−6
;
−1
𝐴
𝟑
𝟎)
−𝟐
1
A−1 = |A| · (Ad )
t
−6 3 −9
= 15 ( 2 4 3 )
1 2 −6
1
38
Hallar la matriz A-1 en función de A sabiendo que existe y que se verifica
A2 + 7A = I.
A2 + 7·A = I  A · A + 7·I· A = I  (A + 7·I) · A = I
(A + 7·I) · A · A-1 = I · A-1  A + 7·I = A-1
Hallar
𝟏
e I = (𝟎
𝟎
𝟎
la matriz inversa de I - A siendo: 𝑨 = (𝟎
𝟎
𝟎 𝟎
𝟏 𝟎)
𝟎 𝟏
1 0 0
0 1
𝐼 − A = (0 1 0 ) − ( 0 0
0 0 1
0 0
1 −1 0
|𝐵| = |0 1 −1| = 1
0 0
1
0
1
1) = (0
0
0
−1 0
1 −1) = B
0
1
1 0 0
𝐵 = (1 1 0 )
1 1 1
1
(𝐵 𝑑 )𝑡 = (0
0
𝑑
𝐵
−1
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏)
𝟎 𝟎
1 1
−1
(𝐼
=
− 𝐴) = (0 1
0 0
𝟏 𝟒
Hallar la matriz inversa de (𝟎 𝟐
𝟎 𝟎
multiplicándola por la matriz dada.
1 1
1 1)
0 1
1
1)
1
𝟒
𝟒) y comprobar el resultado,
𝟏
Si llamamos A a la matriz dada, un método para calcular la matriz inversa A-1 es:
1
A−1 = |A| · (Ad )
t
|𝐴| = 2 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 2  0 luego puedo invertir.
2 0 0
Calculemos los elementos de la matriz adjunta 𝐴 = (−4 1 0)
0 0 2
𝑑
(𝐴𝑑 )𝑡
2 −4 8
= (0 1 −4)
0 0
2
−1
Por último la 𝐴
=
1
2
2 −4
(0 1
0 0
1 −2 4
8
1
−4) = (0 2 −2)
2
0 0
1
Para comprobar el resultado A.A-1 = I
39
Hallar los determinantes de las siguientes matrices
𝟐 −𝟏
𝟑 −𝟏
𝟏 −𝟏 −𝟏 −𝟏
𝟏
𝟏 −𝟐
𝟒
𝟏
𝟏 −𝟏 −𝟏
𝒂) 𝑨 = (
) b) B = (
)
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟑
𝟐 −𝟏
𝟑
𝟏 −𝟏 𝟏 −𝟏
𝟓 −𝟐
𝟏 −𝟐
1 −1 −1 −1 𝑓 − 𝑓
1
2
1
0
1
1 −1 −1 𝑓 − 𝑓
𝑎) |
|= 3
1 =|
0
1
1
1
1
𝑓4 − 𝑓1
1 −1 1 −1
0
−1 −1 −1
2 0
2
0
0
| = 1 · A11 = |2 2
2
2
0
0 2
0
2
0
2 −1 3 −1
2
𝑓2 + 𝑓1
1 1 −2 4
3
𝑏) |
| = 𝑓3 + 2𝑓1 = |
3 2 −1 3
7
𝑓4 − 2𝑓1
5 −2 1 −2
1
3 1 3
−18 −14
𝑓3 − 3𝑓2
= (-1)·(-1)·|7 5 1|
=| 7
5
=====
1 −5 0
1
−5
0
0| = 0
0
−1 3 −1
0
1
3
| = 1 · A12 =
0
5
1
0 −5 0
0
−18
1|= 1· A23 = (-1)· |
1
0
−14
|=
−5
= - (90 + 14) = - 104
Obtén el valor de los siguientes determinantes, utilizando el método del pivote:
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐
−𝟏 𝟑 𝟎 −𝟐
𝟑 𝟎 𝟎 𝟏
𝟎 −𝟐 𝟑 𝟐
𝑨=|
| 𝑩=|
|
𝟎 𝟐 𝟏 𝟎
𝟏
𝟎 𝟒 𝟐
−𝟏 𝟐 𝟑 𝟏
𝟎
𝟏 𝟐 𝟏
1
3
A=|
0
−1
2
0
2
2
1
0
1
3
2
−5
1 𝑐1 − 3𝑐4
0
|
= |
0 =====
0
1
−1
2
0
2
2
1
0
1
3
2
−5
1
| = 1 · 𝐴24 = 1 · | 0
0
−1
1
2 1
2 1| =
2 3
= 1 · ( - 30 – 2 + 0 + 2 + 0 + 10) 20
−1 3
0 −2
B=|
1
0
0
1
0 −2
3 2 𝑓1 + 𝑓3
|
=
4 2 ====
2 1
0 3 4
0 −2 3
|
1 0 4
0 1 2
0
3 4 0
2
| = 1. 𝐴31 = 1 · |−2 3 2| =
2
1 2 1
1
= 1 · ( 9 + 8 – 0 – 0 + 8 – 12) = 13
40
Obtener, simplificando, el desarrollo del determinante
𝒂𝒃𝒄 −𝒂𝒃
𝒂𝟐
|−𝒃𝟐 𝒄 𝟐𝒃𝟐
−𝒂𝒃 |
𝒃𝟐 𝒄𝟐 −𝒃𝟐 𝒄 𝟑𝒂𝒃𝒄
Aaplicam0s las propiedades de los determinantes para no desarrollar por Sarrus.
𝑓1 : 𝑎
𝑏𝑐
abc
−ab
a2
2
2
2
𝑓
:
𝑏
(𝑎
|−b c 2b
=
· 𝑏 · 𝑐) |−𝑏𝑐
−ab | = 2
𝑓3 : 𝑏𝑐
𝑏𝑐
b2 c 2 −b2 c 3abc
(1)
−𝑏
2𝑏
−𝑏
𝑐1 : 𝑏𝑐
𝑎
−𝑎| = 𝑐2 : 𝑏 =
𝑐3 : 𝑐
3𝑎
(1)
1 −1 1 𝑓2 + 𝑓1
1 −1
= 𝑎 ·𝑏 · 𝑐 · |−1 2 −1| ==== = = 𝑎2 ·𝑏 4 · 𝑐 2 · |0 1
1 −1 3 𝑓3 − 𝑓1
0 0
(2)
2
4
2
1
0| = 2· a2 · b4 · c2
2
(3)
1: Si dividimos una línea por un mismo número real distinto de cero, el nuevo determinante queda
multiplicado por dicho número.
2: Si sustituimos una línea por ua combinación lineal de ella con otra paralela, el determinante no
varia.
3: El determinante de una matriz triangular (ceros por debajo de su diagonal principal) vale el
producto de los elementos de la diagonal principal.
𝟏
Probar que |𝟏
𝟏
𝒔𝒆𝒏 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝒂
𝒔𝒆𝒏 𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝒃|= sen (b - c) + sen (c - a) + sen (a - b)
𝒔𝒆𝒏 𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝒄
Si desarrollamos por los elementos de la primera columna
1 sen a cos a
sen b
|1 sen b cos b| = |
sen c
1 sen c cos c
sen a cos a
sen a cos a
cos b
|−|
|+|
|=
sen c cos c
sen b cos b
cos c
= (sen b.cos c - cos b.sen c) + (sen c.cos a - sen a.cos c) +
+ (sen a.cos b - sen b.cos a) = sen (b - c) + sen (c - a) + sen (a - b)
41
𝟏
𝟏
𝟏
Probar que: |𝟏 𝟏 + 𝒂
𝟏 |=𝒂·𝒃
𝟏
𝟏
𝟏+𝒃
1
|1
1
1
1+a
1
𝑓2 − 𝑓1 1
1
1 | ==== |0
1 + b 𝑓3 − 𝑓1 0
(1)
1
𝑎
0
1
0| = 𝑎 · 𝑏
𝑏
(2)
(1) Si cambiamos una línea de un determinante por una combinación lineal de ella con otra
paralela, el nuevo determinante no varia.
(2) El determinante de una matriz triangular se calcula multiplicando los elementos de la
diagonal principal.
𝒂 𝟏 𝟏
Prueba que |𝟏 𝒂 𝟏| = (𝒂 + 𝟐) · (𝒂 − 𝟏)𝟐
𝟏 𝟏 𝒂
a
|1
1
=|
1 1 𝑐1 − 𝑎𝑐3
0
====
= |1−𝑎
a 1|
1 a 𝑐2 − 𝑐3
1 − 𝑎2
0
1−𝑎 +1−𝑎
2
0
𝑎−1
1−𝑎
1
1−𝑎
1| = 1 · 𝐴13 = 1· |
1 − 𝑎2
𝑎
𝑎 − 1 𝑐1 + 𝑐2
|
=
1 − 𝑎 ====
𝑎−1
| = - (a – 1) · (- a2 – a + 2) = (a – 1) · (a2 + a – 2 ) =
1−𝑎
= (a – 1)2 · (a + 2)
42
𝟏
Resolver la ecuación |𝟑
𝟑
𝟏
𝐱
𝐱𝟐
𝐱𝟑
𝟐𝐱 + 𝟏 𝐱 𝟐 + 𝟐𝐱 𝟑𝐱 𝟐 | = 0
𝐱+𝟐
𝟐𝐱 + 𝟏 𝟑𝐱
𝟏
𝟏
𝟏
Apliquemos las propiedades de los determinantes para rebajar el orden y poder calcular su valor.
Luego lo igualaremos a 0 para resolver la ecuación.
1
𝑥
𝑥2
2
|3 2𝑥 + 1 𝑥 + 2𝑥
3 𝑥+2
2𝑥 + 1
1
1
1
𝑥3
1 𝑥−1
𝑥2 − 1
𝑥3 − 1
2
2 c2 – c1
3 2𝑥 − 2 𝑥 + 2𝑥 − 3 3𝑥 2 − 3| =
3𝑥 |
𝑐3 − 𝑐1 = |
3 𝑥−1
2𝑥 − 2
3𝑥 − 3
3𝑥
𝑐4 − 𝑐1
1
1
0
0
0
(1)
(2)
𝑥−1
𝑥2 − 1
2
= -1 · |2(𝑥 − 1) 𝑥 + 2𝑥 − 3
𝑥−1
2𝑥 − 2
𝑥3 − 1
𝑐 : (𝑥 − 1)
=
3𝑥 2 − 3| 1
======
3𝑥 − 3
1
𝑥2 − 1
𝑥 3 − 1 𝑓2 − 2𝑓1
= - (x - 1) |2 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 3𝑥 2 − 3| ===== =
1
2𝑥 − 2
3𝑥 − 3 𝑓3 − 𝑓1
1
𝑥2 − 1
= - (x - 1) |0 −𝑥 2 + 2𝑥 − 1
0 2𝑥 − 𝑥 2 − 1
2
= - (x - 1) · 1 |−𝑥 2 + 2𝑥 − 1
−𝑥 + 2𝑥 − 1
𝑥3 − 1
3𝑥 2 − 2𝑥 3 − 1| =
3𝑥 − 𝑥 3 − 2
−2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 1| 𝑓2 − 𝑓º =
−𝑥 3 + 3𝑥 − 2 ====
2
−2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 1 | =
= - (x - 1) |−𝑥 + 2𝑥 − 1
0
𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3𝑥 − 1
= - (x - 1) (-x2 + 2x - 1) (x3 - 3x2 + 3x - 1) = = - (x – 1) · [- (x – 1)2] · (x – 1)3 =
= + (x – 1)6
Para resolver la ecuación (x – 1)6 = 0  x = 1
No olvidar explicar las propiedades (1) y (2).
43
𝒂
𝟏
−𝟕
𝟐
𝟎 𝒂−𝟏
𝟓
𝟕
Resolver la ecuación: |
|= 0
𝟎
𝟎
𝒂+𝟑 𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
𝟐𝒂
a
1
−7
0 a−1
5
|
0
0
a+3
0
0
0
2
7
| = a · (a - 1) · (a + 3) · 2a = 2 a2 ·(a - 1)·(a +3)
1
2a
2a2 = 0;
2 a2· (a - 1) · (a + 3) = 0
a=0
a-1=0;
a=1
a + 3 = 0;
a = -3
En un determinante de una matriz triangular, su resultado es el producto de los elementos de la
diagonal principal.
𝒙 −𝟏 −𝟏 𝟎
𝒙 −𝟏 −𝟏
−𝒙 𝒙 −𝟏 𝟏
Resolver las ecuaciones: a) |
| = 𝟎 𝒃) |−𝒙 𝒙 −𝟏|
𝟏 −𝟏 𝒙 𝟏
𝟏 −𝟏 𝒙
𝟏 −𝟏 𝟎 𝒙
a)
= -
x -1 -1 0
-x x -1 1
1 -1 x 1
1 -1 0 x
c2 + c1
=======
c4 – xc1
x
-x
1
1
-1 + x -1
0
-1
0
x
0
0
- x2
1 + x2 =1 · A41 =
1-x
0
-1+x -1
-x2
-1 1+x2
2
0
-1 1+ x = - (-1+x) A11 = (1-x)
= (1- x)[ - (1-x) – x (1+x2)]=
0
x 1- x
x 1 -x
= (1 - x) · (-1 + x – x – x3) = (1 - x) · (-1- x3)
1-x=0; x=1
(1-x) · (-1- x3) = 0
- 1 - x3 = 0 ; x3 = -1 ; x = 3√-1 = -1
b)
x -1 -1 c2 +c1
-x x -1 ======
1 -1 x c3 –xc1
x x+1
-x
0
1
0
-1 - x2
-1 + x
2
-1 + x =1 · A13 = 1
0
0
-1 - x2
=
-1 + x2
-1 + x= 0 ; x = 1
2
2
=(-1 + x) · (-1 + x ) ; (- 1 + x) · (-1 + x ) =0
-1+ x2 = 0 ; x2 = 1 ; x =  1
44
𝟐 −𝟏
𝟏 𝟏
Resolver las ecuaciones: a) |
𝟑 −𝟐
𝟐 −𝟏
2 −1 1
a) |1 1 1
3 −2 −1
2 −1 2
𝟏
𝟏
−𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟐
𝟏
| = 𝟎 b) |
𝟒
𝟎
𝟑
𝟎
𝟏 𝟎
𝟎 𝟎
𝟏 𝒙
𝟏 𝟎
𝟎
𝟏
|=0
𝟎
𝒙
x 𝑐 −𝑐
2 −3 −1 𝑥 − 4
2
1
2 𝑐 −𝑐
1 0
0
0
| 3
|= 1 · A21 =
1 = |
4 𝑐 − 2𝑐
3 −5 −4
−2
4
1
3
2 −3 0
−1
(1)
(2)
−3 −1 𝑥 − 4
−3 −1
𝑥−4
𝑓 − 4𝑓1
= 1 · (-1) · |−5 −4
= (−1) · | 7
−2 | 2
0 −4𝑥 + 14|= (-1) · A12
=====
−3 0
−1
−3 0
−1
(1)
(2)
7 −4𝑥 + 14
= (-1) · (-1) · (-1) · |
| = (-1) · (-7 – 12x + 42) = - 35 + 12x
−3
−1
e igualandolo a cero queda  12x = 35  x = 35 / 12
1
1
b) |
0
0
1
0
1
1
0 0
1 1 0
0 1 𝑓2 − 𝑓1
0 −1 0
|
=|
x 0 ==== 0 1 𝑥
0 x
0 1 0
(1)
0
−1 0
1
| = 1 · A11 = | 1 𝑥
0
1 0
𝑥
(2)
Si igualamos a cero  - x2 – x = 0  -x · (x + 1) = 0
1
0| = - x 2 - x
𝑥
𝑥=0
{
𝑥 = −1
(1) Si cambiamos una línea de un determinante por una combinación lineal de ella con otra
paralela, el nuevo determinante no varia.
(2) Desarrollamos por los elementos de una línea.
45
𝟏
Resolver las ecuaciones: 𝒂) | 𝒙
𝒙𝟐
1
a) | x
x2
1 1 c2 − c1 1
2 3| ==== | x
4 9 c3 − c1 x 2
2−𝑥
|
(2 + 𝑥) · (2 − 𝑥)
0
2−x
4 − x2
𝟏
𝟐
𝟒
𝟏
𝟏 𝟏
𝟑| = 𝟎 , 𝒃) |−𝟏 𝟑
𝟗
𝟏 𝟗
0
2−x
3 − x | = 1 · A11 = |
4
− x2
9 − x2
𝟏
𝒛|
𝒛𝟐
3−x
|=
9 − x2
𝑐1 : (2 − 𝑥)
3−𝑥
| ====== =
(3 + 𝑥) · (3 − 𝑥)
𝑐2 : (3 − 𝑥)
1
= (2 – x) · (3 – x) · |
2+x
1
|= (2 – x) · (3 – x) · [3 + x – 2 – x] = (2 – x) · (3 – x)
3+x
2−𝑥 =0
Como debe valer cero (2 – x) · (3 – x) = 0  {
3−𝑥 =0
Sale tambien por Van der Monde.
1
𝑏) |−1
1
1 1
3 𝑧 | = [3 – (-1)] · [z – (-1)] · (z – 3) = 4 · (z + 1) · (z – 3)
9 𝑧2
(1)
𝑧 = −1
Como debe de valer cero  4 · (z + 1) · (z – 3) = 0 {
𝑧=3
(1) Aplicando el determinante de Van der Monde.
46
𝟏 𝟏
𝟐 −𝟏
Resolver las ecuaciones siguientes: 𝒂) |
𝒙 𝟏
𝒙 𝟏
𝒂 𝟏
𝒃) |𝟎 −𝒂
𝒂 𝟏
1 1
1
2 −1 1
a) |
x 1
3
x 1 −7
𝒂
𝟐 𝟏
−𝟏| = 𝟎 𝒄) |𝟎 𝟐
−𝒂
𝟐 𝟑
1
𝑓2 + 𝑓1 1
2
3
| = 𝑓3 − 𝑓1 |
4
𝑥−1
𝑓4 − 𝑓1
3
𝑥−1
𝑓3 − 𝑓1
3
==== = − | 𝑥 − 4
𝑓4 − 4𝑓1
𝑥 + 11
𝟏
𝟏
𝟑
−𝟕
𝟏
𝟐
|=𝟎
𝟒
𝟑
−𝟏 −𝒙 −𝒙
𝟓
𝟏
𝟏 |=𝟐
𝟐 | = 𝟎 𝒅) | 𝒙
𝟐
𝟐
𝟎
𝟏
𝒌
1 1
0 2
0 2
0 −8
1
3
3
| = 1 · 𝐴12 = (−1)3 · |𝑥 − 1
3
𝑥−1
2
2 3
2 3|
−8 2
2 3
𝑥−4
0
| = 2 · 14 (𝑥 – 4) =
0 0 | = −2 · 𝐴12 = (−2)(−1)3 |
𝑥 + 11 14
0 14
= 28 · (x – 4) = 0 ; x = 4
𝑎
𝑏) |0
𝑎
1
−𝑎
1
𝑎
𝑎
𝑓3 − 𝑓1
= |0
−1|
====
−𝑎
0
2
𝑐) |0
2
1 5
2 1
𝑓3 − 𝑓1
|0 2
2 2|
====
3 𝑘2
0 2
1
−𝑎
0
𝑎
−1 | = a · (−a) · (−2a) = 2a3 ; 2a3 = 0 ; a3 = 0 ; a = 0
−2𝑎
5
2
2 | = 2 · 𝐴11 = 2 · |
2
𝑘2 − 5
2
2
2
𝑓 − 𝑓1
| 3
= 2·|
|
𝑘 2 − 5 ====
0 𝑘2 − 7
= 2 · 2 (k2 – 7) = 4 (k2 – 7); k2 – 7 = 0; k2 = 7; k = ±√7
1
𝑑) |𝑥
2
−𝑥
1
0
−𝑥 𝑐 − 𝑐
1 + 2𝑥
1
3
1 | ==== = | 𝑥 − 2
1
0
−𝑥
1
0
−𝑥
1 + 2𝑥
1 | = 1 · 𝐴33 = |
𝑥−2
1
−𝑥
|=
1
= 1 + 2x + x (x – 2) = 1 + 2x + x2 – 2x = 1 + x2; 1 + x2= 2; x2-1 = 0; x2 = 1 ; x =
47
𝐚 𝐛 𝐜
𝑺𝒂𝒃𝒊𝐞𝐧𝐝𝐨 𝐜𝐮𝐚𝐥 𝐞𝐬 𝐞𝐥 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐝𝐞𝐥 𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭𝐞 |𝐩 𝐪 𝐫 | ¿ 𝐂𝐮𝐚𝐥 𝐞𝐬 𝐞𝐥 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐝𝐞𝐥
𝐮 𝐯 𝐰
𝐚 𝐜 −𝐛
|𝐩 𝐫 −𝐪|?. ¿Por que?.
𝐮 𝐰 −𝐯
Para llegar al segundo determinante a partir del valor del primero, habrá que realizar dos
transformaciones.
a
|p
u
c
r
w
−b
𝑎
(−1)
𝑐
·
3
= −1 · |𝑝
−q|
=====
−v
𝑢
𝑐
𝑟
𝑤
𝑏 𝑐 ↔𝑐
𝑎
2
3
𝑞 | ==== = (−1) · (−1) · |𝑝
𝑣
𝑢
𝑏
𝑞
𝑣
𝑐
𝑎
𝑟 | = |𝑝
𝑤
𝑢
𝑏
𝑞
𝑣
𝑐
𝑟|
𝑤
𝐚 𝐛 𝐜
𝐒𝐚𝐛𝐢𝐞𝐧𝐝𝐨 𝐪𝐮𝐞 𝐞𝐥 𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭𝐞 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 𝐀 (𝐝 𝐞 𝐟 ) 𝐯𝐚𝐥𝐞 𝐧, averigua
𝐠 𝐡 𝐢
el valor del determinante de las siguientes matrices:
𝒅+𝒇 𝒆 𝒇+𝒆
𝟔𝒅 𝟒𝒆 𝟐𝒇
𝑩 = (𝟑𝒈 𝟐𝒉 𝒊 ) ; 𝑪 = ( 𝒂 + 𝒄 𝒃 𝒄 + 𝒃)
𝒈+𝒊 𝒉 𝒊+𝒉
𝟗𝒂 𝟔𝒃 𝟑𝒄
6d
𝐵 = |3g
9a
2𝑑
4e 2f
2h i | = 3 · 2 · | 𝑔
6b 3c
3𝑎
𝑎
−36 · (−1) · |𝑑
𝑔
d+f
𝐶 = |a + c
g+i
𝑏
𝑒
ℎ
2𝑒
ℎ
3𝑏
2𝑓
𝑑
𝑖 | = 6 · 2 · 3 · |𝑔
36
𝑎
𝑒
ℎ
𝑏
𝑎
𝑓
𝑖 | = 36 · (−1) · |𝑔
𝑑
𝑐
𝑏
ℎ
𝑒
𝑐
𝑖| =
𝑓
𝑐
𝑓 | = 36 𝑛
𝑖
𝑑+𝑓
e f+e
b c + b| =| 𝑎 + 𝑐
h i+h
𝑔+𝑖
𝑒
𝑏
ℎ
𝑓
𝑑
𝑐 | = |𝑎
𝑖
𝑔
𝑒
𝑏
ℎ
𝑓
𝑎
𝑐 | = (−1) · |𝑑
𝑖
𝑔
𝑏
𝑒
ℎ
𝑐
𝑓| = − 𝑛
𝑖
48
𝐚
𝐒𝐢 𝐞𝐥 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐝𝐞𝐥 𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭𝐞 |𝐩
𝐮
𝟐𝒂 𝟐𝒄 𝟐𝒃
valor de |𝟐𝒖 𝟐𝒘 𝟐𝒗|
𝟐𝒑 𝟐𝒓 𝟐𝒒
2a
|2u
2p
2c
2w
2r
2b
a c
2v| = 2 · 2 · 2 · |u w
2q
p r
𝐛 𝐜
𝐪 𝐫 | es 25, calcular razonadamente el
𝐯 𝐰
b
a
v| = 8 · (−1) · |u
q
p
b c
a
v w| = −8 · (−1) · |p
q r
u
b c
q r| =
v w
= 8·25 = 200
𝟐
𝟐
𝟐
𝐒𝐞𝐠ú𝐧 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐚, 𝐛 𝐲 𝐜 , 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚 𝐞𝐥 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐝𝐞: | 𝐚
𝐛
𝐜 |
𝐛+𝐜 𝐜+𝐚 𝐚+𝐛
2
2
| a
b
b+c c+a
𝑏−𝑎
=2·|
𝑎−𝑏
2
1
1
1
1
0
0
c |=2·| a
b
c |= 2·| a
b − a c − a| = 2 · A11 =
a+b
b+c c+a a+b
b+c a−b a−c
𝑐−𝑎
|= 2·0= 0
𝑎−𝑐
49
𝟎
𝟎
𝑺𝒊 𝑨 = (
𝟎
𝟎
matriz A12
0
0
𝒓𝒂𝒈 (
0
0
1
0
0
0
𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
0
1
0
0
𝟎
𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
𝟎
) Se pide: a) Calcular el rango de A. b) Hallar la
𝟏
𝟎
0
0 1 0
0
) = 𝒓𝒂𝒈 (0 0 1
1
0 0 0
0
0
1
0) = 𝑟𝑎𝑔 (0
1
0
0 0
1 0
0 1
0
0) = 3
0
rg A = 3 pues una vez hechos los ceros por debajo de la diagonal principal, me quedan 3 líneas
linealmente independientes
0
0
𝐴2 = (
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
)·(
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
)=(
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
0
0
0
0
𝐴3 = 𝐴2 · 𝐴 = (
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
)·(
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
)=(
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
)
0
0
0
0
𝐴4 = 𝐴3 · 𝐴 = (
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
)·(
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
)=(
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
0
0
Siguiendo y como a partir de ahora habrá que multiplicar por la matriz nula, nos quedara que
𝐴12
0
0
=(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
0
0
50
𝐒𝐢𝐦𝐩𝐥𝐢𝐟𝐢𝐜𝐚𝐫 𝐬𝐢𝐧 𝐝𝐞𝐬𝐚𝐫𝐫𝐨𝐥𝐥𝐚𝐫: |
|
2a
2c
3a − b
2𝑎
|=|
2𝑐
3c + b
(1)
3𝑎
2𝑎
|+|
3𝑐
2𝑐
𝟐𝐚 𝟑𝐚 − 𝐛
|
𝟐𝐜 𝟑𝐜 + 𝐛
−𝑏
2𝑎
|= 0+|
𝑏
2𝑐
(2)
𝑎
−𝑏
| = 2𝑏 · |
𝑐
𝑏
(3)
−1
| = 2 · 𝑏 · (𝑎 + 𝑐)
1
(1) Si en un determinante hay una línea descompuesta en dos sumandos, se descompondrá en
dos determinantes en las que las filas no descompuestas, aparecerán tal cual en cada determinante
y los primeros sumandos de la descompuesta irán al primer determinante y los segundos
sumandos irán al segundo determinante.
(2) Si en un determinante existen dos líneas paralelas proporcionales, su valor es cero.
(3) Si dividimos una línea por un mismo número, el determinante vendrá multiplicado por
dicho número.
𝐱−𝟐
𝐒𝐞𝐚 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐳 ( 𝟎
𝟎
valores de x.
x−2
𝑟𝑎𝑔 ( 0
0
0
x−1
0
𝟎
𝟏
𝐱 − 𝟏 𝟎) Estudiar su rango según los diferentes
𝟎
𝐱
1
0)
x
Los valores que discutimos son x = 0, x = 1, x = 2 y los distintos de 0,1 y 2
Si x = 0
−2 0 1
rag ( 0 −1 0) = 2
0
0 0
Si x = 1
−1 0 1
rag ( 0 0 0) = 2
0 0 1
Si x = 2
0 0
rag (0 1
0 0
1
0) = 2
2
≠0
0
1
Si x  0, 1, 2 rag ( 0
≠0
0 )=3
0
0
≠0
51
UNIDAD 3: Estudio general de sistemas de ecuaciones lineales.
El camino entre dos ciudades A y B, tiene un tramo de subida a la salida de A
y uno de bajada a la llegada de B. La distancia entre las dos ciudades es de 60
Km. Un ciclista tarda de ir de A a B 3 horas, y de ir de B a A tarda 4 horas y
media. Sabiendo que la velocidad de bajada es cuatro veces la velocidad de
subida, determinar ambas velocidades y el punto donde se encuentra la cima
de la montaña que separa A de B.
Sea x la distancia desde A a la cima
Sea ta el tiempo de subida
Sea y la distancia de la cima hasta B
Sea tb el tiempo de bajada
Vayamos de A hasta B pasando por la cima C
ta + tb = 3 ==> x / va + y / vb = 3
Vayamos de B hasta A pasando por la cima C
ta + tb = 4,5 ==> y / va + x / vb = 4,5
Además el camino recorrido x + y = 60
𝑥
𝑣𝑎
𝑦
𝑦
+𝑣 =3
𝑥
𝑥
𝑏
+ 𝑣 = 4,5  𝑣 = 4 · 𝑣
𝑏
𝑎
𝑏
𝑥 + 𝑦 = 60
{ 𝑣𝑏 = 4 · 𝑣𝑎
𝑣𝑎
4𝑥 + 𝑦 = 12 · 𝑣𝑎
{4𝑦 + 𝑥 = 18 · 𝑣𝑎
𝑥 + 𝑦 = 60
{
y la vb = 4 · va
𝑦
4𝑥 + 𝑦
𝑥⁄ + 𝑦⁄ = 3
=3
𝑣
𝑣
𝑣𝑎
4𝑣𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
𝑦
𝑥
+ 𝑣 = 4,5  {𝑦⁄𝑣𝑎 + 𝑥⁄𝑣𝑏 = 4,5  4𝑦+ 𝑥 = 4,5
𝑣𝑎
4𝑣𝑎
𝑏
𝑥 + 𝑦 = 60
{ 𝑥 + 𝑦 = 60
{𝑥 + 𝑦 = 60
+𝑣 =3
==> x = 60 – y ==>
240 − 4𝑦 + 𝑦 = 12 · 𝑣𝑎 => 240 − 3𝑦 = 12 · 𝑣𝑎 => 80 − 𝑦 = 4 · 𝑣𝑎
⊕ 100 = 10 · 𝑣𝑎
4𝑦 + 60 − 𝑦 = 18 · 𝑣𝑎 => 60 + 3𝑦 = 18 · 𝑣𝑎 =>
20 + 𝑦 = 6 · 𝑣𝑎
va = 10 Km/h
vb = 4 · va ==> vb = 40 Km/h
20 + y = 6 · 10 ==> y = 60 - 20 ==> y = 40 Km
x = 60 - y ==> x = 60 - 40 ==>
x = 20 Km
52
El empleo en el sector servicios en el 1987 representaba aproximadamente el
53% del empleo total, en el sector industrial el 35% y en el sector agrícola el
12%. Si el empleo total del año fue de 11593900. Calcular los empleos del
sector.
Llamamos x a los empleos del sector servicio
Llamamos y a los empleos del sector industrial
Llamamos z a los empleos del sector agrícola
Llamamos t a los empleos totales
x = 0,53t
y = 0,35t
z = 0,12t
x = 6144767 empleos sector servicio
y = 4057865 empleos industriales
z = 1391268 empleos agrícolas
En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas, en rollos
o aceros especiales. Estos productos requieren chatarra, carbón y aleaciones en
las cantidades que se indican en la tabla, por unidad de producto fabricado:
A. en laminas
A. en rollos
A. especiales
Chatarra
8
6
6
Carbón
6
6
4
Aleaciones
2
1
3
Si se disponen de 34 unidades de chatarra, 28 de carbón y 9 aleaciones,
¿Cuántas unidades de cada tipo de acero se podrán fabricar con estos
materiales?
8𝑥 + 6𝑦 + 6𝑧 = 34
𝑥 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛 láminas ; y acero en rollos ; z aceros especiales {6𝑥 + 6𝑦 + 4𝑧 = 28 =>
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 9
4𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 17
{3𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 14
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 9
4
= 𝑟𝑎𝑔 (0
0
{
3
3
3 −1
−1 3
4𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 17
3𝑦 − 𝑧 = 5
8𝑧 = 8
3y – (1) = 5 ; 3y = 6 ;
4
Por Gauss 𝑟𝑎𝑔 (3
2
3 3
3 2
1 3
⋮ 17
4 3
3𝑓 + 𝑓2
= 𝑟𝑎𝑔 (0 3
⋮ 5) 3
=====
⋮ 1
0 0
2𝑓3 − 𝑓1
⋮ 17
======
=
⋮ 14)
4𝑓2 − 3𝑓1
⋮ 9
3
−1
8
⋮ 17
⋮ 5 ) =>
⋮ 8
8𝑧 = 8 ; 𝑧 = 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑎𝑙
y = 2 unidades de acero en rollos
4x + 3 · (2) + 3 ·(1) = 17 ; 4x = 8 ; x = 2 unidades de acero en laminas
53
En una granja se venden pollo, pavos y perdices a razón de 2, 1,50 y 4
euros/kg, respectivamente. En una semana, los ingresos totales de la granja
ascendieron a 5700 €. Si se sabe que la cantidad de pollo vendida es superior en
100kg a la de pavo, y que se vendió de perdiz la mitad que de pavo:
a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad vendida de
cada tipo de carne. b) Expresa matricialmente el problema.
c) ¿Cuántos kilos se vendieron de cada tipo?
x pollos
a 2€/kg
y pavos
a 15€/kg
z perdices
a 4€/kg
2𝑥 + 1′ 5𝑦 + 4𝑧 = 5700
4𝑥 + 3𝑦 + 8𝑧 = 11400
𝑥
=
𝑦
+
100
𝑥 − 𝑦 = 100
{
=> {
=> 𝑦 = 2𝑧 =>
1
𝑦 = 2𝑧
𝑧=2 𝑦
=> {
4𝑥 + 3 · 2𝑧 + 8𝑧 = 11400
=> 𝑥 = 2𝑧 + 100 => 4 · 2𝑧 + 400 + 6𝑧 + 8𝑧 = 11400
𝑥 − 2𝑧 = 100
=> 22𝑧 = 11000 => z = 𝟓𝟎𝟎𝐤𝐠 𝐝𝐞 𝐩𝐞𝐫𝐝𝐢𝐜𝐞𝐬.
y = 2z ;
y = 1000kg de pavos.
x= 100 + y ;
x = 1100kg de pollos
Fulano de Tal quiere hacer una gran fiesta e invitar a sus amigos a unas
tortillas, así que va de tienda y compra una docena de huevos, una bolsa de
patatas y una botella de aceite. Dado el éxito obtenido, decide repetir la fiesta y
vuelve a comprar una docena de huevos y dos botellas de aceite. Cuando llega
a casa, se acuerda que no tiene patatas. Vuelve a la tienda para comprar una
bolsa de pata-tas y decide comprar también otra docena de huevos. En la
primera ocasión gasto 6 euros; en la segunda ocasión gasto 6,5 euros y en la
ultima 3,5 euros. Calcular si es posible, el precio de los huevos, las patatas y el
aceite.
x precio de los huevos ; y precio de las patatas ; z precio del aceite
𝑥+𝑦+𝑧=6
𝑥 + 3,5 − 𝑥 + 𝑧 = 6
{ 𝑥 + 2𝑧 = 6,5 => 𝑦 = 3,5 − 𝑥 => {
=> 𝑧 = 6 − 3,5 = 2,5
𝑥 + 2𝑧 = 6,5
𝑦 + 𝑥 = 3,5
z = 2,5 €
=>
x = 6,5 – 2·2,5 = 1,5 €
=> y = 3,5 -1,5 = 2 €
54
Hace tres años la edad del padre era el triple de la de su hijo. Dentro de
nueve años la edad del hijo será la mitad de la del padre. Hallar las edades
actuales de ambos.
Edad actual del padre: x
Edad actual del hijo: y
Hace tres años
==> x - 3 = 3· (y - 3)
Dentro de nueve años ==> y + 9 = (x + 9) / 2
Resolvamos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas {
{
𝑥 − 3 = 3𝑦 − 9
𝑦+9=
𝑥+9
=>
2
𝑥 − 3𝑦 = −6
𝑥 − 3𝑦 = −6 𝑝𝑜𝑟 1
𝑥 − 3𝑦 = −6
=> {
=> {
⊕ − 𝑦 = −15
2𝑦 + 18 = 𝑥 + 9
𝑥 − 2𝑦 = 9 𝑝𝑜𝑟 − 1
−𝑥 + 2𝑦 = −9
y = 15 años
x = - 6 + 3 · 15 ==> x = - 6 + 45
==> x = 42 años
Los alumnos de los tres cursos de un centro suman 260. La relación entre los
de cuarto de ESO y primero es de 19/18, y la relación de primero y segundo es
de 6/5. ¿Cuántos alumnos hay en cada curso?. ¿Cuántos grupos de cada curso
hay, en el supuesto de que cada grupo tenga 35 alumnos como máximo?.
x serán los alumnos de 4º ESO
y serán los alumnos de 1º
z serán los alumnos de 2º
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 260
𝑥
{
𝑦
𝑦
19
= 18
Despejamos de la 2ª y 3ª ecuación, la x y la z en función de y.
6
=5
𝑧
19 𝑦
𝑥 = 18
{
5𝑦 y lo sustituimos en la 1ª ecuación =>
𝑧= 6
19 𝑦
18
+𝑦+
5𝑦
6
= 260 =>
19y + 18y + 15y = 260 · 18 ==> 52y = 4680 ==> y = 90 alumnos
x = 19 · (90 / 18) ==> x = 95 alumno;
z = 5 · (90 / 6)
==> z = 75 alumnos
Para calcular los grupos por curso, dividiremos los alumnos de cada curso por 35 alumnos como
máximo.
De 4º serán: 95 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.
De 1º serán: 90 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.
De 2º serán: 72 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.
55
Mikel sale con un montón de cromos y vuelve a casa sin ninguno. Su
madre le pregunta que ha hecho con los cromos, a lo que Mikel responde: A
cada amigo que encontré le di la mitad de los cromos que tenía en ese momento
más uno. Su madre le pregunta que con cuantos amigos se ha encontrado, a lo
que Mikel contesta que con cinco. ¿Cuántos cromos tenia Mikel al salir de
casa? Razona la respuesta.
x cromos al salir de casa
Al primer amigo le da x/2 + 1 = (x + 2) / 2 y le queda x – (x + 2) / 2 = (x – 2) / 2
Al segundo amigo le da [(x - 2) / 2] / 2 + 1 = (x – 2) / 4 + 1 = (x + 2) / 4 y le
queda (x – 2) / 2 - (x + 2) / 4 = (2x – 4 – x – 2) / 4 = (x – 6) / 4
Al tercer amigo le da [(x – 6) / 4] / 2 + 1 = (x – 6) / 8 + 1 = (x + 2) / 8 y le
queda (x – 6) / 4 - (x + 2) / 8 = (2x – 12 – x – 2 ) / 8 = (x – 14) / 8
Al cuarto amigo le da [(x – 14) / 8] / 2 + 1 = (x – 14) / 16 + 1 = (x + 2) / 16 y le
queda (x – 14) / 8 – (x + 2) / 16 = (2x – 28 – x – 2) / 16 = (x – 30) / 16
Por último al quinto amigo le da [(x – 30) / 16] / 2 + 1 = (x – 30) / 32 + 1 =
= (x + 2) / 32 y le queda (x – 30) / 16 – (x + 2) / 32 = (2x – 60 – x – 2) / 32 =
= (x – 62) / 32 Como al final no le quedan cromos  x – 62 = 0  x = 62 cromos
56
Se desea confeccionar una dieta de tres clases de alimentos: A, B, C. El
alimento del tipo A tiene 10cal. por cada 100gr., el de tipo B tiene 30cal. por
cada 100gr., y el C tiene 40cal. por cada 100gr. Si la dieta consta de 400gr. de
alimento por cada día, si ducha dieta está restringida a 840cal., y si la cantidad
de alimento del tipo A ingerido debe ser el doble en peso que la cantidad de
alimento C. Hallar las cantidades que debe ingerir de cada uno de los alimentos.
A= X B=Y
C=Z
X + Y + Z = 4000
{(10/100) · X + (30/100) · Y + (40/100) · Z = 840 =>
X = 2Z
X + Y + Z = 4000
(X + Y + Z = 4000) · (−3)
{(0,1X + 0,3Y + 0,4Z = 840) · 10 => {
=>
X + 3Y + 4Z = 8400
X – 2Z = 0
−3X – 3Y – 3Z = − 1200
(−2X + Z = − 3600) · 2
{ X + 3Y + 4Z = 8400 => {
=>
X – 2Z = 0
−2X + Z = − 3600
{
−4X + 2Z = − 7200
⊕ −3X = − 7200 => X = 2400gr. de alimento de tipo A
X – 2Z = 0
X – 2Z = 0 => 2400 – 2Z = 0 => −2Z = −2400; Z= 1200gr. de alimento de tipo C
X + Y + Z = 4000 => 2400 + Y + 1200 = 4000 ;
Y = 400gr. de alimento de tipo B
57
Se tienen tres tipos de café: el de clase A, que cuesta 980 pts/kg; el de clase
B, que cuesta 875 pts/kg, y el de clase C, que cuesta 950 pts/kg. Se desea hacer
una mezcla para vender 1050 kg a 940 pts/kg. ¿Cuántos kg de cada clase se
deben de poner si del tercer tipo debe entrar el doble de los otros dos juntos?.
x kg de café A a 980 pts/kg
y kg de café B a 875 pts/kg
z kg de café C a 950 pts/kg
1050 kg de mezcla a 940 pts/kg
x + y + z = 1050
x + y + z = 1050
2x + 2y – z = 0
z = 2 · (x + y)
{
=> {
196x + 175y + 190z = 197400
980 · x + 875 · y + 950 · z = 1050 · 940
x + y + z = 1050
𝑒2 − 2𝑒1
Resolviendo por Gauss ====== => { − 3z = − 2100
𝑒3 − 196𝑒1
− 21y – 6z = − 8400
 z = 700 kg de café C
- 21y – 6·700 = - 8400 ; -21 y = - 4200  y = 210 kg de café B
x + 210 + 700 = 1050  x = 140 kg de café A
58
Según RENFE, el nº de viajeros que utilizaron el tren en Enero ascendió a
275700, en Febrero descendió en 25200 viajeros.
Las dos categorías que existen son de 1ª y 2ª. Si la relación para el mes de
Enero ha sido de un 30% de 1ª más en Enero que en Febrero y la 2ª clase en
Enero representa el 60% del total. ¿Cuántos pasajeros de 1ª y de 2ª han
utilizado el servicio?.
Llamamos x a los pasajeros de 1ª ;
Llamamos y a los pasajeros de 2ª
Llamamos x1 a los de 1ª en Enero y x2 a los de 1ª en Febrero
Llamamos y1 a los de 2ª en Enero y y2 a los de 2ª en Febrero
x1 + y1 = 275700
x2 + y2 = 275700 - 25200 = 250500
x1 = x2 + 0,3x2
y1 = 0,6 · (x1 + y1)
==> x1 = 275700 - y1
x2 + y2 = 250500
275700 - y1 = 1,3x2
y1 = 0,6 ·(275700 - y1) + 0,6y1 ==> y1 = 165420 viajeros
275700 - 165420 = 1,3 · x2 ==> x2 = 110280 / 1,3 ==> x2 = 84831
y2 = 250500 - x2 = 250500 - 84831 = 165669 viajeros
x1 = 275700 - 165420 = 110280 viajeros
Los pasajeros de 1ª seran x = x1 + x2 = 110280 + 84831 ; x = 195111 viajeros.
Los pasajeros de 2ª seran y = y1 + y2 = 165420 + 165669 ; y = 331089 viajeros.
59
Sumando los años de antigüedad de tres empleados A, B y C, se obtienen 50
años. Además, el doble de las antigüedades de B y de C es igual al triple de la
antigüedad de A, y la diferencia de antigüedad entre B y C es igual al 30 % de
la antigüedad de A. Determina los años de antigüedad de cada empleado.
x años el A, y años el B, z años el C
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 50
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 50
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 50
(𝑦
2
·
+
𝑧)
=
3𝑥
{
=> { 3𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 0 => { −5𝑦 − 5𝑧 = −150
30
3𝑥 − 10𝑦 + 10𝑧 = 0
−13𝑦 + 7𝑧 = −150
𝑦 − 𝑧 = 100 · 𝑥
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 50
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 50
𝑦 + 𝑧 = 30
{
=> { 𝑦 + 𝑧 = 30
=> z = 240 / 20  z = 12
−13𝑦 + 7𝑧 = −150
20𝑧 = 240
y + 12 = 30  y = 18
x + 18 + 12 = 50  x = 20
20 años de antigüedad el empleado A, 18 años de antigüedad el empleado B y
12 años de antigüedad el empleado C.
60
Tres amigos, Marcos, Luisa y Miguel, son aficionados a la música. Entre los
tres poseen un total de CD comprendido entre 16 y 22 unida-des. Marcos
presta 4 CD a Miguel, Luisa presta 1 CD a Marcos y Miguel presta 2 CD a
Luisa, con lo cual los tres amigos tienen al final el mismo número de CD.
¿Cuántos CD pueden tener en total?.
Marcos tiene x CD, Luisa tiene y CD y Miguel tiene z CD
16 ≤ x + y + z ≤ 22
Marcos se queda con x – 4 + 1 = x – 3 CD
Luisa se queda con y – 1 + 2 = y + 1 CD
Miguel se queda con z + 4 – 2 = z + 2 CD
Como los tres deben de acabar con el mismo número de CD
x–3=y+1
x–3=z+2
x–y=4
x–z=6
y=x-4
z=x–5
𝑥=𝜆
Llamando {𝑦 = 𝜆 − 4 Para que x, y ,z sean positivos λ ≥ 6
𝑧 =𝜆−5
λ=6
λ=7
λ=8
λ=9
λ = 10
λ = 12
x = 6;
x = 7;
x = 8;
x = 9;
x = 10;
x = 11;
y = 2;
y = 3;
y = 4;
y = 5;
y = 6;
y = 7;
z=1
z=2
z=3
z=4
z=5
z=6
x+y+z=9
x + y + z = 12
x + y + z = 15
x + y + z = 18
x + y + z = 21
x + y + z = 24
no vale
no vale
no vale
si vale
si vale
no vale
Marcos 9 CD, Luisa 5 CD y Miguel 4 CD
Las soluciones son dos
Marcos 10 CD, Luisa 6 CD y Miguel 5 CD
61
Un número capicúa tiene cinco cifras. La suma de las cifras es 9. La cifra
de las centenas es la suma de las cifras de las unidades y las decenas. Si se
intercambian las cifras de las unidades y decenas, el número que resulta
disminuye en 9. Hallar el número.
El numero es xyzyx 
Al cambiar el numero xyzxy disminuye en 9 unidades
x + y + z + y + x = 9
{z = y + x
10000x + 1000y + 100z + 10x + y = 10000x + 1000y + 100z + 10y + x – 9
2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 9
2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 9
{ 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 => { 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
9𝑥 − 9𝑦 = 0
𝑥 − 𝑦 = −1
2 2
1
𝑟𝑎𝑔 (1 1 −1
1 −1 0
3z = 9 ; z = 3
9
2
)
=
𝑟𝑎𝑔
(
0
0
−1
0
2 1
−2 1
4 1
9
2 2 1
)
=
(
−1
0 −2 1
11
0 0 3
9
−1)
9
-2y+z = -1 ; -2y+3 = -1 ; -2y = -4 ; y = 2
2x+2y+z = 9 ; 2x+4+3 = 9 ; 2x = 2 ; x = 1
El número es 12321
Una compañía de transportes tiene tres camiones diferentes, P, Q y R, en los
que caben exactamente un cierto número de contenedores de tres tipos A, B y
𝑨 𝑩 𝑪
𝐂, 𝐝𝐞 𝐚𝐜𝐮𝐞𝐫𝐝𝐨 𝐜𝐨𝐧 𝐥𝐚 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐭𝐚𝐛𝐥𝐚: 𝑷 𝟓 𝟑 𝟒 Si se han de trans𝑸 𝟐 𝟓 𝟓
𝑹 𝟒 𝟑 𝟔
portar 45 contenedores de tipo A, 44 de tipo B y 58 de tipo C, ¿cuántos viajes
ha de hacer cada camión si todos los viajes lo hacen totalmente llenos?. (PAU).
x nº de viajes el P ; y nº de viajes el Q ; z nº de viajes el R
Contenedor A: 5x + 2y + 4z = 45 5x + 2y + 4z = 45
5x + 2y + 4z = 45
{Contenedor B: 3x + 5y + 35 = 44 { 19𝑦 + 3𝑧 = 85
=> { 19𝑦 + 3𝑧 = 85
17𝑦 + 14𝑧 = 110
Contenedor C: 4x + 5y + 6z = 58
215𝑧 = 645
 z=3
19y + 3·3 = 85  19y = 76  y = 4
5x + 2·4 + 4·3 = 45  5x = 25  x = 5
3 viajes realizo el camión R
4 viajes realizo el camión Q
5 viajes realizo el camión P
62
Una compañía fabrica tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para
la fabricación de cada uno de estos muebles se necesitaron unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la tabla. Si la compañía tenía en
existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades
de aluminio, y utilizo todas sus existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás
𝑴𝒂𝒅𝒆𝒓𝒂 𝑷𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝑨𝒍𝒖𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐
𝑺𝒊𝒍𝒍𝒂𝒔
𝟏
𝟏
𝟐
𝒇𝒂𝒃𝒓𝒊𝒄ó? (
)
𝑴𝒆𝒄𝒆𝒅𝒐𝒓𝒂𝒔
𝟏
𝟏
𝟑
𝑺𝒐𝒇𝒂𝒔
𝟏
𝟐
𝟓
x sillas
y mecedoras
z sofás
madera ∶
x + y + z = 400
x + y + z = 400
x + y + 2z = 600
𝑧 = 200
{ plastico ∶
==> {
𝑦 + 3𝑧 = 700
aluminio ∶ 2x + 3y + 5z = 1500
y + 600 = 700  y = 100 ;
x + 100 + 200 = 400  x = 100
Hay 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás.
Un autobús universitario transporta en hora punta 80 viajeros de tres tipos:
viajeros que pagan el billete entero, que vale 75 céntimos, viajeros con bono de
des-cuento del 20% y estudiantes con bono de descuento del 40%. Si la
recaudación del autobús en ese viaje fue de 39,75 euros, calcula el número de
viajeros de cada clase sabiendo que el número de estudiantes era el triple que
el del resto de viajeros.
x es el nº de viajeros sin descuento.
y es el nº de viajeros con el 20% de descuento.
z es el nº de viajeros con el 40% de descuento.
3x + 3y + 3z = 240
x + y + z = 80
z = 3 · (x + y)
{
=> {
𝑒2 − 𝑒1
3x + 3y – z = 0
75x + 0,8 · 75 y + 0,6 · 75 z = 3975
x + 0,8 y + 0,6 z = 53
{
3𝑥 + 3𝑦 = 60
4𝑧 = 240
=> 𝑧 = 60 => {
=> x = 20 - y
x + 0,8 y + 0,6 z = 53
𝑥 + 0,8𝑦 + 0,6 · 60 = 53
20 – y + 0,8y + 36 = 53 ==> - 0,2y = - 3 => y = 15
x = 20 – y = 20 – 15 = 5  x = 5
5 viajeros sin descuento, 15 viajeros con el 20% de descuento y 60 estudiantes.
63
Una empresa produce un bien, cuya función de oferta es Qo = - 50 + 30p y
su función de demanda viene dada por Qd = 100 - 20p. ¿Cuales son el precio y
la cantidad en el punto de equilibrio Qo = Qd?.
Si Qo = Qd ;
- 50 + 30p = 100 - 20p es decir una ecuación con una sola incógnita.
30p + 20p = 100 + 50 ==> 50p = 150 ==> p = 3
Qo = - 50 + 30.3 = - 50 + 90 ==> Qo = 40 pts sera el precio
En el equilibrio
Qd = 100 - 20.3 = 100 - 60 ==> Qd = 40 bienes demandados
Una multinacional de seguros tiene delegaciones en Madrid, Barcelona y
Valencia. El número total de ejecutivos de las tres delegaciones asciende a 31.
Para que el número de ejecutivos de la delegación de Barcelona fuese igual al
de Madrid, tendrían que trasladarse tres de ellos de Madrid a Barcelona.
Además, el número de los ejecutivos de Madrid excede en uno a la suma de los
destinados en las otras dos ciudades. ¿Cuántos ejecutivos están destinados en
cada ciudad?
x ejecutivos en Madrid
y ejecutivos en Barcelona
z ejecutivos en Valencia
x + y + z = 31
x + y + z = 31
x + y + z = 31
{ x = y + z + 1 ==> { 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 1 ==> {
⊕ 2𝑥 = 32
𝑥−𝑦−𝑧 =1
𝑥−𝑦 =6
x– 3 = y + 3
x = 16 ejecutivos en Madrid.
16 – y = 6; y = 10 ejecutivos en Barcelona.
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 1 => 16 – 10 – z = 1 ; z = 5 ejecutivos en Valencia.
64
Una tienda vende una clase de calcetines a 12€ el par. Al llegar las rebajas,
realiza durante el primer mes un 30% de descuento sobre el precio inicial y en
el segundo mes hace un 40% también sobre el precio inicial. Sabiendo que
vende un total de 600 pares de calcetines por 5976€ y que durante las rebajas
ha vendido la mitad de dicho total, ¿a cuántos pares de calcetines se les ha
aplicado el descuento del 40%? .
X calcetines a 12€ .
Y calcetines al 30% de 12€ ;
Z calcetines al 40% de 12€ ;
30/100 · 12 = 3´6 ;
40/100 · 12 = 4´8 ;
12 - 3´6 = 8´4 € .
12 – 4´8 = 7´2 € .
X + Y + Z = 600
X + Y + Z = 600
{12 X + 8`4 Y + 7`2 Z = 5976 ==> {
Y + Z = 300
Y + Z = 300
120X + 84 Y + 72 Z = 59760
Por Gauss
1
𝑟𝑎𝑔 ( 0
30
1
= 𝑟𝑎𝑔 (0
0
1
1
1
1
21 18
1
1
1
1
−3 −4
⋮
600
1
⋮
300 ) = 𝑟𝑎𝑔 ( 0
⋮ 14940
10
⋮
⋮
⋮
600
1
300 ) = 𝑟𝑎𝑔 (0
−1020
0
1 1
1 1
7 6
⋮ 600
⋮ 300 ) =
⋮ 4980
1 1
1 1
0 −1
⋮ 600
⋮ 300 )
⋮ −120
X + Y + Z = 600
==> { Y + Z = 300
==> Z = 120 pares al 40%
−𝑍 = −120
Y = 300 – 120 = 180 pares al 30%
X = 600 – 180 – 120 ==> X = 300 pares sin rebaja.
65
𝐱 + 𝟐𝐲 + 𝟑𝐳 = −𝟏
𝐂𝐨𝐧𝐬𝐢𝐝é𝐫𝐞𝐬𝐞 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 {𝟐𝐱 + 𝟓𝐲 + 𝟒𝐳 = − 𝟐 Discutir el
𝐱 + 𝟑𝐲 + 𝛌𝟐 𝐳 = l
sistema según los valores del parámetrol. Resolver el sistema en el caso de
tener infinitas soluciones.
1 2
|𝐶| = |2 5
1 3
3
4 |= 5 λ2 + 8 + 18 – 15 - 12 - 4 λ2 = λ2 – 1
𝜆2
|𝐶| = 0 => λ2 − 1 = 0 ==> 𝜆 = ± 1 No existe menor de orden 3 en C  rg C < 3
1
Si λ = 1 ==> |C´| = |
2
1 2
|𝐴| = |2 5
1 3
2
| = 5 – 4 = 1 existe menor de orden 2 en C  rg C = 2
5
−1
−2| = 5 – 4 – 6 + 5 – 4 + 6 ≠ 0 existe menor de orden 3 en A y rg A = 3
1
Si rg C = 2 y rg A = 3  Sistema incompatible, no existen soluciones.
1 2
Si λ = − 1 ==> |C´| = |
| = 5 – 4 = 1 ∃ menor de orden 2 en C  rg C = 2
2 5
1
Si λ = - 1
= 5 – 4 = 1 existe menor de orden 2 en C  rg C = 2
2
1
|𝐴| = |2
1
2
│C´│ =
5
2 −1
5 −2| = −5 – 4 – 6 + 5 + 4 + 6 = 0 ∄ menor de orden 3 en A y rg A = 2
3 −1
Si rg C = 2 = rg A < nº de ecuaciones  Sistema compatible indeterminado, ∃ ∞ soluciones.
Si λ ≠ ±1
|𝐶| ≠ 0
∃ menor de orden 3 en C 
rg C = rg A = 3 = nº ecuaciones. ==>
Sistema compatible determinado. La solución es única para cada λ distinto del ±1 .
b) Calculemos las infinitas soluciones para λ = -1 eliminando una de las ecuaciones
{
x + 2y = −1 – 3z
x + 2y + 3z = −1
|𝐶´| = |1 2| = 3 − 2 = 1
==> {
x + 3y + z = −1
1 3
x + 3y = −1 – z
66
𝑥=
𝑦=
|
|
−1− 3𝑧
−1− 𝑧
|𝐶´|
2
|
3
1 −1− 3𝑧
|
1 −1− 𝑧
|𝐶´|
=
− 3 – 9z + 2 + 2z
=
− 1 – z + 1 + 3z
1
1
= −1 − 7𝑧
= 2𝑧
𝑥 = −1 − 7𝜆
{ 𝑦 = 2𝜆
∀𝝀 ∈𝑹
𝑧=𝜆
67
𝐱 – 𝐲 + ( + 𝟏)𝐳 = 
Dado el sistema: {𝐱 +
demuestra que es compatible
𝐳 = 𝟏
𝐱 −
𝐳 =  − 𝟑
determinado para cualquier valor de  . Hallar su solución para  = 1.
1 −1
|C| = |1 0
1 0
α−1
1 | = − 1 − 1 = − 2 ≠ 0 ∀a => existe menor principal de
−1
orden 3  rg C = 3
Como ∀ α , sea lo que sea la ampliada, no existe menor de orden 4 en A  rg A = 3
Si rg C = rg A = 3 = nº de incógnitas
cada valor de α real
Sistema compatible determinado, solución única para
x – y + 2z = 1
Resolviendo para α = 1 => { x
+ z = 1
x
− z = −2
1 −1 2
Resolviendo por Cramer: |𝐶| = |1 0
1 | = −1 − 1 = −2
1 0 −1
𝑥=
𝑦=
𝑧=
1 −1
|1
0
−2 0
|𝐶|
2
1|
−1
1 1
2
|1 1
1|
1 −2 −1
|𝐶|
1
|1
1
−1 1
0
1|
0 −2
|𝐶|
=
2−1
−2
= −
1
2
=
−1+1−4−2+1+2
=
−1−2
−2
−2
=
=
3
2
3
2
68
𝟐𝐱 + 𝐲 – 𝟐𝐳 = 𝟐
𝐃𝐢𝐬𝐜𝐮𝐭𝐞 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 { 𝟐𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟏 en
𝟐𝐱 + 𝐚𝟐 𝐲 + 𝐳 = 𝐚
función del parámetro a. Resuélvelo cuando sea posible.
2 1
|𝐶| = |2 1
2 𝑎2
−2
1 | = 2 + 2 − 4𝑎2 + 4 − 2 − 2𝑎2 = −6𝑎2 + 6
1
|𝐶| = 0 => −6𝑎2 + 6 = 0 => 6 · (−𝑎2 + 1) = 0 => 𝑎2 = 1 => 𝑎 = ±1
|𝐶| = 0 ∄ menor principal de orden 3
𝑎=1
|𝐶´| = |2 −2| = 2 + 4 = 6 
2 1
rango C = 2
2 −2 2
|𝐴| = |2 1 1| = 2 + 4 – 4 − 4 + 4 − 2 = 0; ∄ menor de orden 3 en A y rg A = 2
2 1 1
Si rg C = 2 = rg A < nº de ecuaciones  Sistema compatible indeterminado, ∃ ∞ soluciones.
{
2𝑥 − 2𝑧 = 2 − 𝑦
2𝑥 + 𝑧 = 1 − 𝑦
{
2𝑥 − 2𝑧 = 2 − 𝑦
2
1
⊕ 6𝑥 = 4 − 3𝑦 => 𝑥 = 3 − 2 𝑦
4𝑥 + 2𝑧 = 2 − 2𝑦
2
{
⊖ −3𝑧 = 1 =>
1
𝑧 = −3
1
𝑥 = 3− 2𝑦
𝑦=𝜆
∀𝝀 ∈ 𝑹
1
𝑧 = −3
𝑎 = −1
|𝐶| = 0 ∄ menor principal de orden 3 en C
|𝐶´| = |2 −2| = 2 + 4 = 6 ≠ 0 
2 1
rango C = 2
2 −2 2
|𝐴| = |2 1
1 | = −2 − 4 + 4 − 4 − 4 − 2 ≠ 0; ∃ menor de orden 3 en A y rg A = 3
2 1 −1
Si rango C = 2

rango A = 3
sistema incompatible
∄ soluciones
69
 a 1, -1
|𝐶|  0
 menor principal de orden 3 en C => rag C =3
∄ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 4 𝑒𝑛 𝐴 => 𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 3
 rango C = 3 = rango A = nº incógnitas  Sistema compatible determinado  solución única
2x + y − 2z = 2
2x + y − 2z = 2
Resuélvelo para a = 0 { 2x + y + z = 1 => {
⊖ => −3𝑧 = 1 =>
2x + y + z = 1
2x + z = 0
1
z = −3
1
1
𝐶𝑜𝑚𝑜 2𝑥 = −𝑧 => 𝑥 = − 2 𝑧 => 𝑥 = 6
1
1
1
1
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑦 = 1 − 2𝑥 − 𝑧 => 𝑦 = 1 − 2 · 6 − (− 3) => 𝑦 = 1 − 3 + 3 => 𝑦 = 1
70
𝐱 + 𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝐚
𝐃𝐢𝐬𝐜𝐮𝐭𝐞 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 {𝐱 + 𝟐𝐲 + 𝐚𝐳 = 𝟏 𝐞𝐧 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧
𝐱 + 𝐚𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝟏
𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐚𝐫á𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨 𝐚. 𝐑𝐞𝐬𝐮é𝐥𝐯𝐞𝐥𝐨 𝐜𝐮𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐬𝐞𝐚 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐛𝐥𝐞.
1 1
|𝐶| = |1 2
1 𝑎
2
𝑎| =4 + a + 2a – 4 – 2 – a2 = - a2 + 3a - 2
2
|𝐶| = 0 => −𝑎2 + 3𝑎 − 2 = 0 => 𝑎2 − 3𝑎 + 2 = 0 => 𝑎 =
𝑎=1
3 ± √9−8
2
=
3±1
2
𝑥=2
= {
𝑥=1
|𝐶| = 0 ∄ menor principal de orden 3
|𝐶´| = |1 1| = 2 - 1 = 1 
1 2
1 1
|𝐴| = |1 2
1 1
existe menor de orden 2 en C => rag C = 2
1
1| = 2 + 1 + 1 − 2 − 1 − 1 = 0; ∄ menor de orden 3 en A y rg A = 2
1
Si rg C = 2 = rg A < nº de ecuaciones  Sistema compatible indeterminado, ∃ ∞ soluciones.
{
x + y + 2z = 1
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1
⊖ −𝑦 + 𝑧 = 0 =>
𝑦= 𝑧
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1 => 𝑥 = 1 − 2𝑧 − 𝑧 => 𝑥 = 1 − 3𝑧
𝑥 = 1 − 3𝜆
{ 𝑦=𝜆
𝑧= 𝜆
𝑎=2
∀𝝀 ∈ 𝑹
|𝐶| = 0 ∄ menor principal de orden 3 en C
|𝐶´| = |1 1| = 2 - 1 = 1 ≠ 0 
1 2
1 1
|𝐴| = |1 2
1 1
1
1| = 4 + 1 + 1 − 2 − 1 − 2 = 1 ≠ 0; ∃ menor de orden 3 en A y rg A = 3
2
Si rango C = 2 y rango A = 3
 a 1, 2
existe menor de orden 2 en C rango C = 2
|𝐶|  0
sistema incompatible
∄ soluciones
 menor principal de orden 3 en C => rag C =3
∄ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 4 𝑒𝑛 𝐴 => 𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 3
 rango C = 3 = rango A = nº incógnitas  Sistema compatible determinado  solución única
71
𝟐𝐱 + 𝐲 − 𝐳 = 𝟏
𝐃𝐢𝐬𝐜𝐮𝐭𝐞 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 { 𝐱 − 𝟐𝐲 + 𝐳 = 𝟑 en función
𝟓𝐱 − 𝟓𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝛂
del parámetro . Resuélvelo, si es posible, para  = 10.
2 1 −1
|C| = |1 −2 1 | = −8 + 5 + 5 − 10 − 2 + 10 = 0 ∀α
5 −5 2
 No existe menor de orden 3 en C  rg C < 3
2 1
Si |C´| = |
| = −5 ≠ 0 => ∃ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2 𝑒𝑛 𝐶 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 2
1 −2
∀𝛼
2 1 1
|𝐴| = |1 −2 3 | = − 4𝛼 + 15 − 5 + 10 + 30 − 𝛼 = − 5𝛼 + 50
5 −5 𝛼
Si |𝐴| = 0  - 5α + 50 = 0  α = 10
∀ menor de orden 3 en A
y rg A = 2
Para α = 10  rg C = rg A = 2 < nº de incógnitas Sistema compatible indeterminado,
existen ∞ soluciones
Para α ≠ 10  rg C = 2 y rg A = 3 Sistema incompatible, no existe solución
Para resolverlo para el valor α = 10
{
eliminando una de las tres ecuaciones
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1
2𝑥 + 𝑦 = 1 + 𝑧
4𝑥 + 2𝑦 = 2 + 2𝑧
=> {
=> {
⊕ => 5𝑥 = 5 + 𝑧
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 3
𝑥 − 2𝑦 = 3 − 𝑧
𝑥 − 2𝑦 = 3 − 𝑧
1
𝑥 = 1+5 𝑧
1
2
2𝑥 + 𝑦 = 1 + 𝑧 ; 𝑦 = 1 + 𝑧 − 2 · (1 + 5 𝑧) => 1 + 𝑧 − 2 − 5 𝑧
3
𝑦 = −1 + 5 𝑧
1
𝑥 =1+5 𝜆
{𝑦 = −1 + 3 𝜆 ∀𝝀 ∈ 𝑹
𝑧=𝜆
5
72
𝐃𝐢𝐬𝐜𝐮𝐭𝐞, 𝐬𝐞𝐠ú𝐧 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐚𝐫á𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨
𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬
𝒙 + 𝝀𝒚 + 𝒛 = 𝝀 + 𝟐
𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐥𝐞𝐬: {𝒙 + 𝒚 + 𝝀𝒛 = −𝟐𝝀 − 𝟐 𝐑𝐞𝐬𝐮é𝐥𝐯𝐞𝐥𝐨 𝐞𝐧 𝐞𝐥 𝐜𝐚𝐬𝐨 𝐝𝐞 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞𝐚
𝝀𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝝀
𝐜𝐨𝐦𝐩𝐚𝐭𝐢𝐛𝐥𝐞 𝐢𝐧𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐝𝐨.
1 λ
|C| = |1 1
λ 1
1
λ | = 1 + λ3 + 1 − λ − λ − λ = λ3 − 3λ + 2
1
|C| = 0 ; λ3 − 3λ + 2 = 0 => {

𝜆 = 1; 

|C| = 0 => |𝐶´| = |1
1
𝜆=1
𝜆2 + 𝜆 − 2 = 0 => 𝜆 =
−1 ±√1+8
2
𝜆 = −2
= {
𝜆=1
1
| = 0 => |𝐶´´| = 1 ≠ 0 ∃ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 1 =>
1

𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 1

|𝐴| = |1 3 | = −4 − 3 = −7 ≠ 0 => ∃ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2 => 𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 2 
1 −4

si rg C < rg A sistema incompatible
∄soluciones
𝜆 = −2; 

|C| = 0 => |𝐶´| = |1 −2| = 3 ≠ 0 => ∃ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2 =>𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 2
1 1

1 −2 0
|𝐴| = | 1
1
2 | = −2 + 8 − 2 − 4 = 0 => ∄ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3 𝑒𝑛 𝐴
−2 1 −2

∃ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2 => 𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 2 

Si rg A = rg C = 2 < nº incógnitas ; Sistema compatible indeterminado ; ∞ soluc.
{
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 − 2𝑦 = −𝑧
=> {
⊖ −3𝑦 = −2 − 3𝑧
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 2
𝑥 + 𝑦 = 2 + 2𝑧
2
𝑦 =3+𝑧
2
2
𝑥 + 3 + 𝑧 = 2 + 2𝑧 => 𝑥 = 2 − 3 + 2𝑧 − 𝑧
4
𝑥 =3+𝑧
73
4
𝑥 = +𝜆
3
{𝑦 = 2 + 𝜆
3
∀𝜆 ∈𝑅
𝑧= 𝜆


l≠ 1, -2 |𝐶| ≠ 0
 menor principal 3 en C rgC = rgA = 3 = nº incógnitas
sistema compatible determinado -> solucion unica.
74
(𝐚 + 𝟏)𝐱 + 𝐲 + 𝟐𝐳 = −𝟐
𝐃𝐢𝐬𝐜𝐮𝐭𝐢𝐫 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 { 𝟐𝐱 + 𝐲 + (𝐚 + 𝟏)𝐳 = 𝟑 para los diferentes
𝐱 + (𝐚 + 𝟏)𝐲 + 𝟐𝐳 = −𝟐
valores de a y resolverlo para a = 0
Calculamos los valores de a que anulen el |𝐶|
𝑎+1
1
2
|𝐶| = | 2
1
𝑎 + 1| = 2 · (𝑎 + 1) + 𝑎 + 1 + 4 · (𝑎 + 1) − 2 − 4 − (𝑎 + 1)3 =
1
𝑎+1
2
= 7 · (𝑎 + 1) − 6 − (𝑎3 +3𝑎2 + 3𝑎 + 1) = 7𝑎 + 7 − 6 − 𝑎3 − 3𝑎2 − 3𝑎 − 1 =
= −𝑎3 − 3𝑎2 + 4𝑎 = −𝑎 · (𝑎2 + 3𝑎 − 4)
−𝑎 = 0 ;
𝑎=0
|𝐶| = 0 ==> −𝑎 · (𝑎2 + 3𝑎 − 4) = 0 => {𝑎2 + 3𝑎 − 4 = 0 => 𝑎 = −3 ± √9 + 16 =>
2
=> 𝑎 =
−3 ± 5
𝑎=1
= {
𝑎 = −4
2
𝑎=0
|𝐶| = 0 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 < 3 ; |𝐶´| = |1 1| ≠ 0 => ∃ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 2
2 1
1 1
|𝐴| = |2 1
1 1
−2
3 | = −2 − 4 + 3 + 2 + 4 − 3 = 0 => ∄ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 => 𝑟𝑎𝑔 𝐴 < 3
−2
existe en A el mismo menor principal de orden 2  rg A = 2
Si rg C = rg A < nº de incógnitas  Sistema compatible indeterminado  existen ∞ soluciones
{
𝑥 + 𝑦 = −2 − 2𝑧
⊖ −𝑥 = −5 − 𝑧 => 𝑥 = 5 + 𝑧
2𝑥 + 𝑦 = 3 − 𝑧
𝑦 = 3 − 𝑧 − 2 · (5 + 𝑧) = 3 − 𝑧 − 10 − 2𝑧 = −7 − 3𝑧
𝑥 = 5+𝜆
{𝑦 = −7 − 3𝜆
𝑧=𝜆
∀𝝀 ∈ 𝑹
75
𝑎=1
|𝐶| = 0 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 < 3 ; |𝐶´| = |2 1| ≠ 0 => ∃ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 2
1 2
2 1
|𝐴| = |2 1
1 1
−2
3 | = −4 − 8 + 3 + 2 + 4 − 12 ≠ 0 => ∃ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 => 𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 3
−2
Si rg C ≠ rg A  Sistema incompatible  No existen soluciones
𝑎 = −4
|𝐶| = 0 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 < 3 ; |𝐶´| = |−3 1| ≠ 0 => ∃ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 2
2 1
−3 1 −2
|𝐴| = | 2
1
3 | = −6 + 3 + 12 + 2 − 27 + 4 = 0 = ∄ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 =>
1 −3 −2
existe en A el mismo menor principal de orden 2  rg A = 2
Si rg C = rg A < nº de incógnitas  Sistema compatible indeterminado  existen ∞ soluciones
∀ a ≠ 0, 1, -4  │C │ ≠ 0  rg C = 3
El rg A = 3 pues no puede ser mayor al no existir menores de orden 4
Si rg C = rg A = nº de incógnitas  Sistema compatible determinado  solución única para
cada valor de a distinto de 0, 1 y -4.
76
(𝟐 − 𝛌) · 𝐱 − 𝐲 = 𝟏
𝐃𝐢𝐬𝐜𝐮𝐭𝐢𝐫 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 {𝐱 + (𝟏 − 𝛌) · 𝐲 = 𝟏 según los valores de λ, y
−𝐱 + 𝐲 = −𝛌
resolverlo cuando sea posible.
Al tener más ecuaciones que incógnitas empezamos discutiendo la matriz ampliada
Hallemos los valores de λ que hacen que |𝐴| = 0
2−𝜆
|𝐴| = | 1
−1
−1
1−𝜆
1
1
1 | = −λ · (2 − 3λ + λ2 ) + 3 − 2λ − 2 + λ =
−𝜆
−2λ + 3λ2 − λ3 + 3 − 2λ − 2 + λ = −λ3 + 3λ2 − 3λ + 1
|𝐴| = 0 ; - λ3 + 3λ2 - 3λ +1 = 0 ; λ3 - 3λ2 + 3λ - 1 = 0
1
-3
1
3
-2
-1
1
1
-2
1
0
1
|𝐴| = 0
λ=1
rag A
λ=1
𝑥−𝑦 =1
El sistema me queda {
𝑥=1
1 −1
|
| ≠ 0 => ∃ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 => 𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 2
1 0
Si rg C = rg A = nº incognitas
λ
Sistema compatible determinado
solución única.
|𝐴| ≠ 0 ∃ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3 => rag A = 3
Si rg C solo puede ser 2 o 1 pues no hay una tercera columna en C 
rg C  rg A , el sistema es por tanto incompatible   solucion real
Resolvamos para λ = 1 el sistema {
𝑥=1
𝑥=1
=> {
𝑥−𝑦 =1
1 − 𝑦 = 1 => 𝑦 = 0
77
𝐦𝐱 + 𝐲 + 𝐦𝐳 = 𝐦
𝐃𝐢𝐬𝐜𝐮𝐭𝐢𝐫 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 { 𝐱 + 𝟐𝐲 + 𝐳 = 𝐦 , 𝐬𝐞𝐠ú𝐧 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐦,
−𝐱 + 𝐲 − 𝐳 = 𝐦𝟐
𝐲 𝐫𝐞𝐬𝐨𝐥𝐯𝐞𝐫𝐥𝐨 𝐜𝐮𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐬𝐞𝐚 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐛𝐥𝐞
Calculemos los valores de m que anulan el determinante de la matriz de coeficiente.
𝑚 1 𝑚
|𝐶| = | 1 2 1 | = −2𝑚 + 𝑚 − 1 + 2𝑚 − 𝑚 + 1 = 0
∀𝑚 ∈𝑅
−1 1 −1
1 2
Si |𝐶| = 0 rg C < 3 ; como  |
| = 1 + 2 ≠ 0 => ∃ 𝑒𝑛 𝐶 𝑢𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2
−1 1
rag C = 2
∀𝑚 ∈𝑅
En las dos primeras columnas de C ampliamos con los términos independientes y calculamos los
valores de m que anulan |𝐴|
𝑚 1 𝑚
|𝐴| = | 1 2 𝑚 | = 2𝑚3 − 𝑚 + 𝑚 + 2𝑚 − 𝑚2 − 𝑚2 = 2𝑚3 − 2𝑚2 + 2𝑚
−1 1 𝑚2
|𝐴| = 0 => 2𝑚3 − 2𝑚2 + 2𝑚 = 0 => 2𝑚 · (m2 − 𝑚 + 1) = 0
2𝑚 = 0 => 𝑚 = 0
1 ± √1 − 4
{ 2
m − 𝑚 + 1 = 0 => 𝑚 =
∄ 𝑚 𝑟𝑒𝑎𝑙
2
Si m = 0
rg A < 3 pues no existe menor principal de orden 3.
1 2
Si en A elijo el menor |
| ≠ 0 => rag A = 2 para m = 0
−1 1
Como rag C = 2 y rag A = 2 => rag C = rag A < nº incógnitas
Sistema compatible indeterminado =>   soluciones.
Si m  0,
rg A = 3 pues si existe el menor principal de orden 3 ya que |𝐴|  0
∀ m  0 rag C = 2; rag A = 3
=>
sistema incompatible, no tiene solución
y=0
x+z=0
Resolvemos por m = 0 => { x + 2y + z = 0 => {
=> 𝑥 = − z
−x − z = 0
−x + y − z = 0
𝑥 = −𝜆
{𝑦=0
𝑧=𝜆
∀𝜆 ∈ 𝑅
78
𝟐𝐱 + 𝐲 − 𝐳 = 𝟎
𝐃𝐢𝐬𝐜𝐮𝐭𝐢𝐫 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 {𝐚𝐱 − 𝐲 − 𝐳 = 𝐚 − 𝟏 según los valores de a
𝟑𝐱 − 𝟐𝐚𝐳 = 𝐚 − 𝟏
Hallemos los valores de a que anulen el |𝐶 |
2
|𝐶| = |𝑎
3
|𝐶| = 0
==>
1
−1
−1 −1 | = 4𝑎 − 3 − 3 + 2𝑎2 = 2𝑎2 + 4𝑎 − 6
0 −2𝑎
2a2 + 4a - 6 = 0 ==> a2 + 2a - 3 = 0 ; 𝑎 =
−2 ± √4+12
2
=
−2 ±4
2
1
= { 
−3
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎 = 1 => { 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0 sistema homogéneo con |𝐶| = 0 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 < 3
3𝑥 − 2𝑧 = 0
2
∃|
1
1
| ≠ 0 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 2 < 𝑛º 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 =>
−1
Sistema compatible indeterminado;  ∞ soluciones.
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎 = −3 => {−3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −4
3𝑥 + 6𝑧 = −4
2
∃|
−3
|𝐶| = 0 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 < 3
1
| ≠ 0 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 2 =>
−1
Ampliamos el menor de orden 2 con los términos independientes
2
1
0
|𝐴| = |−3 −1 −4| = 8 − 12 − 12 ≠ 0 => ∃ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 => 𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 3
3
0 −4
Si
rgC ≠ rgA ==> sistema incompatible ==> ∄solución.
a ≠ 1, -3 rag C = 3 pues |𝐶| ≠ 0 y el ragA = 3 pues ∄menores de orden 4
Si rag C = rag A = nº de incógnitas ==> Sistema compatible determinado ==>
==> solución única para cada valor de a
79
𝛌𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟏
𝐃𝐢𝐬𝐜𝐮𝐭𝐢𝐫 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 {𝐱 + 𝛌𝐲 + 𝐳 = 𝛌 𝐲 𝐫𝐞𝐬𝐨𝐥𝐯𝐞𝐫𝐥𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝛌 = 𝟎
𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝛌𝟐
λ 1
|C| = |1 λ
1 1
1
1| = λ3 + 1 + 1 − λ − λ − λ = λ3 − 3λ + 2 = 0 (λ − 1)2 · (λ + 2)
λ
|𝐶| = 0 => λ3 − 3λ + 2 = 0
{
λ=1
λ=1
λ2 + λ − 2 = 0 => 𝜆 =
|𝐶| = 0
−1 ±√1+8
2
=
−1±3
2
λ=1
={
λ = −2
m.p. orden 3 en C y como todos los menores de orden 2 son nulos =>
m.p. orden 2 en C
∃ |1|
0
∃ m.p. orden 1 en C => rg. C = 1
1 1
En la matriz A ampliamos el C´´ => |
| = 0 => ∄ m. p. orden 2 en A => 𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 1
1 1
Como rag. C = rag. A = 1 < nº incógnitas=>
λ = - 2 |𝐶| = 0
|
Sist. Comp. Indeterminado
∃ ∞ soluciones.
m.p. orden 3 en C y como
−2 1
| = 4 − 1 = 3 ≠ 0 => ∃ 𝑚. 𝑝 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 2
1 −2
−2 1
1
|𝐴| = | 1 −2 −2| = 16 − 2 + 1 + 2 − 4 − 4 = 9 ≠ 0 => ∃ 𝑚. 𝑝 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3 𝑒𝑛 𝐴
1
1
4
=> 𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 3
Si rag.C

𝛌 ≠ 1, -2
rag.A
=>
sistema Incompatible => ∄ solución
rag C = 3 pues |𝐶| ≠ 0 y el ragA = 3 pues ∄menores de orden 4
Si rag C = rag A = nº de incógnitas ==> Sistema compatible determinado ==>
==> solución única para cada valor de a
80
𝑦+𝑧 =1
𝑥 − 𝑦 = −1
1
𝑦+𝑧 =1
Resolver para λ = 0 { 𝑥 + 𝑧 = 0 => {
⊖{
⊕ 2𝑥 = −1 => 𝑥 = − 2
𝑥+𝑦 =0
𝑥
+
𝑧
=
0
𝑥+𝑦 =0
1
Como y = - x ==> 𝑦 = 2
𝑥 = −1/2
{ 𝑦 = 1/2 ∀ µ ∈ 𝑅
𝑧=µ
81
𝐱 + 𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝟐
𝐃𝐢𝐬𝐜𝐮𝐭𝐢𝐫 𝐬𝐞𝐠ú𝐧 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐦 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 {−𝟑𝐱 + 𝟐𝐲 + 𝟑𝐳 = −𝟐
𝟐𝐱 + 𝐦𝐲 − 𝟓𝐳 = −𝟒
Calculemos los valores de m que hacen |𝐶| = 0
1
1
2
|−3 2
3 | = −10 + 6 − 6m − 8 − 5 − 3m = −9m − 27
2 m −5
– 9 m – 27 = 0 ==> 9 m = – 27; m = – 3
Si m = - 3
No existe menor principal de orden 3 ==> rg C < 3
∃ |
1 1
| = 2 + 3 ≠ 0 menor principal de orden 2 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 2
−3 2
A partir de él ampliamos con los términos independientes.
1
1
2
|𝐴| = |−3 2 −2| = −8 + 18 − 4 − 8 − 12 − 6 = −20 ≠ 0 ∃ m. p de orden 3
2 −3 −4
rg A = 3 ; Si rg C ≠ rg A ==> sistema incompatible  no existe solución real
∀ 𝑚 ≠ −3
| C | ≠ 0 existe menor principal de orden 3 ==> rg C = 3
Si rg A = 3 ya que no existen menores de orden 4. Si rg C = rg A = 3 = nº de incógnitas ==>
sistema compatible determinado ==> existe solución única.
82
𝐱 − 𝟐𝐲 + 𝐳 = 𝟑
𝐃𝐢𝐬𝐜𝐮𝐭𝐢𝐫, 𝐬𝐞𝐠ú𝐧 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐦, 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 {𝟓𝐱 − 𝟓𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝐦 . 𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐯𝐞𝐫𝐥𝐨,
𝟐𝐱 + 𝐲 − 𝐳 = 𝟏
𝐚𝐝𝐞𝐦á𝐬, 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐦 = 𝟏𝟎.
1 −2 1
|C| = |5 −5 2 | = 5 − 8 + 5 + 10 − 10 − 2 = 0
2 1 −1
|𝐶| = 0 
∀m
No existe menor de orden 3 en C  rg C < 3
|𝐶| = |1 −2| = −5 + 10 ≠ 0 => ∃ 𝑚. 𝑝 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2 𝑒𝑛 𝐶 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 2
5 −5
1 −2 3
|𝐴| = |5 −5 𝑚| = −5 − 4𝑚 + 15 + 30 + 10 − 𝑚 = −5𝑚 + 50
2 1
1
Si - 5m + 50 = 0  m = 10 |𝐴| = 0 ∄ menor de orden 3 en A y rg A < 3  rg A = 2
Si m = 10  rg C = rg A = 2 < nº de incógnitas, sistema compatible indeterminado con ∞
soluciones
∀ m ≠ 10  rg C = 2 y rg A = 3 ya que |𝐴| ≠ 0 , sistema incompatible, no existe solución
Si lo resolvemos para el valor de m = 10, eliminamos una de las tres ecuaciones.
{
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 3
𝑥 − 2𝑦 = 3 − 𝑧
𝑥 − 2𝑦 = 3 − 𝑧
1
=> {
=> {
⊕ 5𝑥 = 5 + 𝑧 => 𝑥 = 1 + 5 𝑧
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1
2𝑥 + 𝑦 = 1 + 𝑧
4𝑥 + 2𝑦 = 2 + 2𝑧
1
2
3
𝑦 = 1 + 𝑧 − 2 · (1 + 5 𝑧) => 𝑦 = 1 + 𝑧 − 2 − 5 𝑧 => 𝑦 = −1 + 5 𝑧
x = 1 + 1/5 λ
y = -1 + 3/5 λ
z=
λ
∀λ∈ R
83
(𝛌 − 𝟒)𝐱 + 𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝟎
𝐃𝐢𝐬𝐜𝐮𝐭𝐢𝐫 𝐲 𝐫𝐞𝐬𝐨𝐥𝐯𝐞𝐫, 𝐬𝐞𝐠ú𝐧 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞 l, 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 { −𝟑𝐱 + 𝛌𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝟎
−𝟓𝐱 + 𝐲 + (𝛌 + 𝟑)𝐳 = 𝟎
El sistema es homogéneo por lo que basta con trabajar con la matriz de coeficientes
𝜆−4
|𝐶| = | −3
−5
1
2
𝜆
2 | = λ · (λ − 4) · (λ − 3) − 10 − 6 + 10λ + 3 · (λ − 3) − 2 · (λ − 4) =
1 𝜆+3
= l· (l2 - l - 12) – 16 + 10 l + 3l - 9 - 2l + 8 = λ3 - λ2 - 12λ - 16 + 10 λ + 3 λ – 9 - 2 λ + 8 =
= λ3 - λ2 - λ + 1
|𝐶| = 0  λ3 - λ2 - λ + 1 = 0
Para
𝜆=1
Por Ruffini ={ 2
𝜆 − 1 = 0 => 𝜆2 = 1 => 𝜆 = ±1
λ= 1
|𝐶| = 0 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 < 3 => |𝐶´| = |−3 1| = −3 + 5 ≠ 0 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 2
−5 1
Si rg C < nº de incognitas  sistema compatible indeterminado con ∞ soluciones.
Eliminamos la primera ecuación: {
−3x + y + 2z = 0
y + 2z = 3x
=> {
⊖ −2z = −2x
−5x + y + 4z = 0
y + 4z = 5x
𝑥=𝜆
𝑧 = 𝑥 => 𝑦 + 2𝑥 = 3𝑥 => 𝑦 = 𝑥 => {𝑦 = 𝜆 ∀𝝀 ∈ 𝑹
𝑧=𝜆
Para
λ= -1
|𝐶| = 0 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 < 3 => |𝐶´| = |−5 1 | = 3 + 5 ≠ 0 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 2
−3 −1
Si rg C < nº de incognitas  sistema compatible indeterminado con ∞ soluciones.
Eliminamos la tercera ecuación: {
−5x + y + 2z = 0
y + 2z = 5x
=> {
⊖ 2y = 2x
−3x − y + 2z = 0
−y + 2z = 3x
𝑦 = 𝑥 => 𝑥 + 2𝑧 = 5𝑥 => 2𝑧 = 4𝑥 => 𝑧 = 2𝑥
𝑥=𝜆
=> { 𝑦 = 𝜆 ∀𝝀 ∈ 𝑹
𝑧 = 2𝜆
84
∀ l ≠ 1,-1 
|𝐶| ≠ 0  rg C = 3
 rg C = ra A = 3 = nº de incognitas
|A | ≠ 0  rg A = 3
Sistema compatible con solución trivial x= 0 ; y = 0; z = 0
85
Encuentra los valores del parámetro α que hacen que el sistema:
𝒙
𝟏 𝜶 𝟑
𝟏
(𝟏 𝟐 𝜶) · (𝒚) = (𝟒) 𝐭𝐞𝐧𝐠𝐚 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧. 𝐑𝐞𝐬𝐮é𝐥𝐯𝐞𝐥𝐨 𝐞𝐧 𝐞𝐥 𝐜𝐚𝐬𝐨, 𝐨 𝐜𝐚𝐬𝐨𝐬,
𝒛
𝟏 𝟒 𝟑
𝟏
𝐞𝐧 𝐪𝐮𝐞 𝐞𝐬𝐞 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐬𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐚𝐭𝐢𝐛𝐥𝐞 𝐢𝐧𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐝𝐨.
𝑥 + 𝛼𝑦 + 3𝑧 = 1
1
{𝑥 + 2𝑦 + 𝛼𝑧 = 4 => |𝐶| = |1
𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 1
1
𝛼
2
4
3
𝛼 | = 6 + 𝛼 2 + 12 − 6 − 3𝛼 − 4𝛼 = 𝛼 2 − 7𝛼 + 12
3
|𝐶| = 0 => 𝛼 2 − 7𝛼 + 12 = 0 => 𝑎 =
7 ± √49−48
2
=
7±1
2
4
= {
3
𝛼=3
|𝐶| = 0 => ∄ 𝑚. 𝑝 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3 𝑒𝑛 𝐶. |𝐶´| = |1
1
1 3
|𝐴| = |1 2
1 4
3
| ≠ 0 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 2
2
1
4| = 2 + 12 + 4 − 2 − 3 − 16 = −3 ≠ 0 =>
1
∃ 𝑚. 𝑝 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3 𝑒𝑛 𝐴 => 𝑟𝑔𝐴 = 3
Si rg C < rg A =>
∄ solución
Sistema incompatible
α=4
|𝐶| = 0 => ∄ 𝑚. 𝑝 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3 𝑒𝑛 𝐶. |𝐶´| = |1
1
1 4
|𝐴| = |1 2
1 4
4
| ≠ 0 => 𝑟𝑎𝑔 𝐶 = 2
2
1
4| = 2 + 16 + 4 − 2 − 4 − 16 = 0 => ∄ 𝑚. 𝑝 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3 𝑒𝑛 𝐴 => 𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 2
1
Si rg A = rg C = 2 < número de incógnitas => Sistema Compatible Indeterminado =>
𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 1
𝑥 + 4𝑦 = 1 − 3𝑧
 ∃ ∞ 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 => {
=> {
⊖ 2𝑦 = −3 + 𝑧
𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 4
𝑥 + 2𝑦 = 4 − 4𝑧
3
1
3
1
𝑦 = − 2 + 2 𝑧 => 𝑥 = 4 − 4𝑧 − 2 · (− 2 + 2 𝑧) =>
𝑥 = 4 − 4𝑧 + 3 − 𝑧 => 𝑥 = 7 − 5𝑧
𝑥 = 7 − 5𝜆
3
1
{𝑦 = − 2 + 2 𝑧 ∀λ ∈ R
𝑧=𝜆
 α ≠ 3, 4 C ≠ 0  menor principal orden 3 en C
rg C = 3
Si rg C = rg A = 3 = nº incógnitas  Sistema compatible determinado 
 solución única
86
𝐱+𝐲+𝐳=𝟎
𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝛌 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 { 𝟑𝐱 + 𝟒𝐲 + 𝛌𝐳 = 𝟎 𝐭𝐞𝐧𝐠𝐚 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
𝟗𝐱 + 𝟏𝟔𝐲 + 𝛌𝟐 𝐳 = 𝟎
distinta de la trivial. Resolverlo en esos casos.
Para que un sistema homogéneo tenga solución ≠ de (0,0,0) => el rg C = 2 ó 1 pero siempre
menor que el nº incógnitas
1
|𝐶| = |3
9
1 1
4 𝜆 | = 4λ² + 9λ + 48 – 36 − 3λ² − 16λ = λ² − 7λ + 12
16 𝜆2
Si rg C = 2 es que  menor principal de orden 3 en C, es decir |𝐶| = 0
λ² − 7λ + 12 = 0 => 𝛌 =
l=3ó4
𝟐
=
𝟕±𝟏
𝟐
𝟒
={
𝟑
 rg C = 2 < nº incógnitas y el sistema tiene ∞ soluciones
l = 3
{
{
𝟕±√𝟒𝟗−𝟒𝟖
x+y=−z
x+y+z=0
=> {
=>
3x + 4y = −3z
3x + 4y + 3z = 0
−3x − 3y = 3z
⊕ y=0
3x + 4y = −3z
l = 4
{
𝑥 = −𝜆
−3𝑥 = 3𝑧 => 𝑥 = −𝑧 => { 𝑦 = 0 ∀𝝀 ∈ 𝑹
𝑧=𝜆
x+y=−z
x+y+z=0
=> {
=>
3x
+ 4y = −4z
3x + 4y + 4z = 0
−3x − 3y = 3z
{
⊕ y = −z
3x + 4y = −4z
𝑥=0
−3𝑥 = 3𝑧 − 3𝑧 => 𝑥 = 0 => {𝑦 = −𝜆 ∀𝝀 ∈ 𝑹
𝑧=𝜆
87
𝐱 − 𝐲 + 𝐚𝐳 = 𝟎
𝐈𝐧𝐝𝐢𝐜𝐚𝐫 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐚 𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 ú𝐧𝐢𝐜𝐚 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 { 𝐲 + 𝐚𝐳 = 𝟏
𝐱 + 𝐚𝐲 − 𝐳 = 𝟐
y resolverlo para a=2
Hallaremos los valores de a que hacen que |𝐶| = 0
1 −1 𝑎
|𝐶| = |0 1
𝑎 | = −1 − 𝑎 − 𝑎 − 𝑎2 = −𝑎2 − 2𝑎 − 1 ; - a2 – 2a - 1 = 0
1 𝑎 −1
a2 + 2a + 1 = 0 => 𝑎 =
a=-1
|C| = 0
−2± √4−4
=>
2
= −1
rg C < 3
No existe menor de orden 3 en C
|𝐶´| = |1 −1| ≠ 0 => rg C = 2 existe menor de orden 2 en C
0 1
Ampliamos con los términos independientes
1 −1 0
|𝐴| = |0 1
1 |=- 2–1+1≠0
1 −1 −2
Como rg C ≠ rg A
rg A = 3 existe menor de orden 3 en A
sistema incompatible no existe solución
∀a ≠ -1 |𝐶| ≠ 0 => rg C= 3 , Como rg A = 3 por no existir menores principales de orden 4
Si rg C = rg A =nº de incógnitas. Según Rouche el sistema será compatible determinado. Existe
solución única
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0
Para resolverlo para a= 2 el sistema queda: { 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 2
3 incógnitas y |C| ≠ 0. Es un sistema de Cramer
1
|0
1
𝑥=
−1 2
1
2 | = −9 𝑥 =
2 −1
1 0
2
|0 1
2|
1 −2 −1
|𝐶|
=
−1–2+4
−9
0 −1 2
|1
1
2|
−2 2 −1
|𝐶|
1
1
= −9 = − 9
=
4+4+4−1
−9
𝑥=
sistema con 3 ecuaciones y
11
= −9 = −
1 −1 0
|0 1
1|
1 2 −2
|𝐶|
=
11
9
−2–1−2
−9
−5
5
= −9 = 9
88
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐯𝐞𝐫 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐜𝐮𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐭𝐞𝐧𝐠𝐚 𝐦á𝐬 𝐝𝐞 𝐮𝐧𝐚 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧:
𝒂𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟎
{ 𝟐𝒙 + 𝒂𝒚 = 𝟐
−𝒙 + 𝒛 = 𝟏
Calculemos los valores de a para que |𝐶| = 0
𝑎
|𝐶| = | 2
−1
𝑎=
a= 2
1 ± √1+8
2
1
𝑎
0
=
−1
0 | = a2 – a – 2  a2 – a – 2 = 0
1
1±3
2
𝑎=2
=> {
𝑎 = −1
|𝐶| = 0  rg C < 3 pues no existe menor principal de orden 3
2 1 −1
2 1
| 2 2 0 | = 0 => |𝐶´| = |
|=4–2 0
2 2
−1 0 1
orden 2.
rg C = 2 existe menor principal de
A partir de él ampliamos con los términos independientes.
2 1 0
|𝐴| = | 2 2 2| = 4 – 2 - 2 = 0 no existe menor principal de orden 3  rg A = 2
−1 0 1
si rg C = rg A = 2 < nº incógnitas  sist. Compatible indeterminado 
 existen ∞ soluciones. Para este valor hay que resolver el sistema:
Eliminamos una de las tres ecuaciones por ser combinación lineal de las otras,
2𝑥 + 2𝑦 = 2
x + y = 1
𝑦 = 1−𝑥
(elimino la 1ª ) {
=> {
=> {
−𝑥 + 𝑧 = 1
x = −1 + z
𝑧 =1+𝑥
Si llamamos x = λ
𝑥=𝜆
obtenemos las ∞ soluciones. {𝑦 = 1 − 𝜆 ∀𝝀 ∈ 𝑹
𝑧 =1+𝜆
89
para a = -1
|𝐶| = 0  rg C < 3 pues no existe menor principal de orden 3
−1 1 −1
−1 1
| 2 −1 0 | = 0 => |𝐶´| = |
|=1–2 0
2 −1
−1 0
1
de orden 2.
rg C = 2 existe menor principal
A partir de él ampliamos con los términos independientes.
−1 1 0
|𝐴| = | 2 −1 2| = 1 – 2 - 2 ≠ 0 existe menor principal de orden 3  rg A = 3
−1 0 1
si rg C ≠ rg A = 2  sistema incompatible
∀ a  2 , -1 rg C = rg A = 3  sistema compatible determinado, existe solución única
para esos valores de a.
90
𝟓𝐱 − 𝟐𝐲 − 𝐩𝐳 = 𝟑
𝐒𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐢𝐝𝐞𝐫𝐚 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 { −𝐲 + 𝐳 = 𝟏
y se pide: a) Discutir el
𝐱−𝐲+𝐳=𝐩
sistema según los valores de p. b) Resolverlo para p = 2
5 −2 −𝑝
|𝐶| = |0 −1 1 |= - 5 – 2 – p + 5 = - 2 - p
1 −1 1
|C| = 0 => - 2 - p = 0  p = - 2 No existe menor de orden 3 en C  rg C < 3
5 −2
Si p = - 2 => |𝐶´| = |
|= -5 ≠0
0 −1
existe menor de orden 2 en C  rg C = 2
5 −2 3
|𝐴| = |0 −1 1 | = 10 – 2 + 3 + 5 ≠ 0 existe menor de orden 3 en A y rg A = 3
1 −1 −2
rg C = 2 y rg A = 3 Sistema incompatible, no existe solución
Si p ≠ -2 rg C = rg A = 3 = nº de incógnitas Sistema compatible determinado, solución única
para cada valor de p distinto del -2
Para resolverlo para el valor p = 2
5𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 3
{ −𝑦 + 𝑧 = 1
=>
𝑥−𝑦+𝑧=2
5 −2 −2
|𝐶| = |0 −1 1 | = − 5 – 2 – 2 + 5 = − 4
1 −1 1
𝑥=
𝑥=
𝑦=
𝑧=
3 −2 −2
|1 −1 1 |
2 −1 1
|𝐶|
3 −2 −2
|1 −1 1 |
2 −1 1
|𝐶|
5 3 −2
|0 1 1 |
1 2 1
|𝐶|
5 −2 3
|0 −1 1|
1 −1 2
|𝐶|
=
−3–4+2–4+2+3
=
−3–4+2–4+2+3
−4
−4
=
5 + 3 + 2 − 10
=
− 10 – 2 + 3 + 5
−4
−4
=1
=1
=0
=1
Como se puede observar la solución es la terna (1,0,1)
91
𝟕𝐱 + 𝟗𝐲 + 𝟗𝐳 = 𝟎
𝐒𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐢𝐝𝐞𝐫𝐚 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 {𝟑𝐱 + 𝟐𝐲 + 𝐦𝐳 = 𝟎 a) Discutir el sistema según
𝐱 + 𝐦𝐲 − 𝐳 = 𝟎
los valores de m; b) Resolverlo para m = 5
El sistema es homogéneo con lo que bastará con discutir el rango de coeficientes según los
valores de m ya que el rango de la ampliada será el mismo.
7
𝐶 = (3
1
9
2
𝑚
9
𝑚 ) Calculemos |C| | = 14 + 9m + 27m – 18 + 27 − 7m2 + 36m – 5 =
−1
= −7𝑚2 + 36𝑚 − 5
Si |𝐶| = 0 ===> rgC < 3 ya que el menor de orden 3 no es principal
para valer 0
-7 m² +36m – 5 =0 ===> m = 𝑥 =
−36±√362 −4(−7)(−5)
2(−7)
=
−36±√362 −140
−14
= {
1/7
5
m = 1/ 7
|𝐶| = 0 y como |7 9| = 14 − 27 ≠ 0 Existe un menor principal de orden 2 ≠ 0
3 2
 rg C = 2 < nº incógnitas ===> Sistema es compatible con ∞ soluciones según Ronche
m=5
|𝐶| = 0 y puedo escoger el mismo menor de orden 2 que antes , distinto de cero
 rg C = 2 < nº incógnitas ===> Sistema es compatible con ∞ soluciones según Ronche
m ≠ 1/7, 5 ===> |𝐶| ≠ 0 existen menor principal orden 3 ===> rg C = 3 = nº incógnitas
===> Sistema con solución trivial x = 0 , y = 0 , z = 0 Según Ronche
b) Resuelve para m=5
Al ser |𝐶| = 0 puedo eliminar uno de las 3 ecuaciones por ser Combinación lineal y el
sistema queda
92
3 −5𝑧
|
3𝑧+5𝑧
8𝑧
8
| 1 3 2𝑧 | = 15−2 = 13 = 13 𝑧
|
|
1 5
−5𝑧 2
|
|
−25𝑧−2𝑧
−27𝑧
27
| 3𝑧 2 5 | = 15−2 = 13 = − 13 𝑧
{ |1 5|
|
Resuelva el sistema en x , y por Cramer
8
λ
13
Las infinitas soluciones serán
27 ∀𝛌 ∈ 𝐑
y=−
λ
13
{ z=λ
x=
93
𝐒𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐢𝐝𝐞𝐫𝐚 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐞𝐧 𝐥𝐚𝐬 𝐢𝐧𝐜ó𝐠𝐧𝐢𝐭𝐚𝐬 𝐱, 𝐲, 𝐳, 𝐭.
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟎
{ 𝒚 + 𝟐𝒛 + 𝒕 = 𝟎 a) Encuentra los valores de λ para que el rango de la
𝟐𝒙 + 𝟐𝝀𝒚 − 𝒕 = 𝟎
matriz de los coeficientes del sistema sea 2.
b) Resuelve el sistema anterior para λ=0
Como hay solo 3 ecuaciones para 4 incógnitas homogéneo , habría que buscar un rag C = rag A
Para no hacer todos los determinantes 3x3 en función de 𝛌, hacemos Gauss
1 2
𝑟𝑎𝑔 (0 1
2 2𝜆
1
2
0
1 0
1
𝑟𝑎𝑔 (0 1
2
0 −1 −2
2λ-3=0 ;
0 𝑐 ↔𝑐
1 0 1
2
4
= 𝑟𝑎𝑔 (0 1 2
1 ) =====
−1
2 −1 0
2
1
𝑓 + 𝑓2
= 𝑟𝑎𝑔 (0
1 ) 3
====
2𝜆 − 4
0
λ = 3/2
rg C = 2
2
𝑓 − 2𝑓1
=
1) 3
=====
2𝜆
0 1
1 2
0 0
2
1 )
2𝜆 − 3
y el rg A = 2 pues es homogéneo
y existen ∞ soluciones al ser menor que el numero de incógnitas.
Para λ  3/2
rg C = 3 y el rg A = 3 pues es homogéneo
También existen ∞ soluciones al ser menor que el numero de incógnitas.
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0
Resolvámoslo para λ = 0  { 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 0
2𝑥 − 𝑡 = 0
t = 2x  {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑦 + 𝑧 = −𝑥
−4𝑦 − 2𝑧 = 2𝑥
 {
 {
⊕ y=0
𝑦 + 2𝑧 + 2𝑥 = 0
𝑦 + 2𝑧 = −2𝑥
𝑦 + 2𝑧 = −2𝑥
z = - x y llamando x = 𝛌 nos queda
𝑥=𝜆
𝑦=0
{
∀𝝀 ∈ 𝑹
𝑧 = −𝜆
𝑡 = 2𝜆
94
Si el rango de la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con
tres incógnitas es igual a dos, ¿puede ser compatible el sistema?. ¿Puede ser
compatible y determinado?. ¿Puede ser incompatible?.
Llamamos C a la matriz de coeficientes y A a la matriz ampliada con la columna de los
términos independientes.
Si el rango C = 2, el sistema será compatible en cuanto el rango A = 2.
Ahora bien, como en este caso el rango es menor que el número de incógnitas, el sistema tendrá
infinitas soluciones, por lo que el sistema nunca podrá ser compatible y determinado.
Se puede observar que una de las tres ecuaciones es combinación lineal de las otras dos, por lo
que puede ser suprimida.
Nos queda pues, un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, una de las cuales se pasa al
segundo miembro, y para cada valor que se le de a esa incógnita, obtendremos una de las infinitas
soluciones.
Si el rango A = 3, entonces el sistema será incompatible, ya que entonces rg C  rg A.
Un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas, ¿puede ser incompatible?. En caso afirmativo mostrarlo con un ejemplo.
Un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas si que puede ser incompatible, es decir,
puede no tener solución.
Esto ocurrirá cuando el rango de la matriz de coeficientes sea distinto del rango de la matriz
ampliada.
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 1
Por ejemplo: {
2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 + 2𝑡 = 3
1 2
2 4
1 1
1 2 1
) 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 𝑆𝑒𝑎 𝐴 = (
2 2
2 4 2
𝑆𝑒𝑎 𝐶 = (
1
2
1
) la matriz
3
ampliada
1 2
2 4
1 2
1 1 𝑓2 − 2𝑓1
)
= 𝑟𝑎𝑔 (
0 0
2 2 =====
1 2
2 4
1
2
𝑟𝑎𝑔 (
𝑟𝑎𝑔 (
1
2
1 𝑓2 − 2𝑓1
1
)
= 𝑟𝑎𝑔 (
3 =====
0
1 1
)=1
0 0
2 1
0 0
1
0
1
)=2
1
95
Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿puede ser
compatible y determinado?. En caso afirmativo, poner un ejemplo.
Para que el sistema sea compatible y determinado, deberá verificarse que el rango de la matriz
de coeficientes deberá ser igual al rango de la matriz ampliada e igual a 2, que es el número de
incógnitas.
Para construir un sistema así, basta con partir de un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas y añadir una combinación lineal de ambas ecuaciones.
𝑥+𝑦 =8
𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: { 𝑥 + 2𝑦 = 10
2𝑥 + 3𝑦 = 18
1 1
𝑟𝑎𝑔 (1 2
2 3
⋮
⋮
⋮
𝑓2 − 𝑓1
8
1 1
=====
)
=
𝑟𝑎𝑔
(
10
0 1
18 𝑓3 − 2𝑓1
0 1
⋮
⋮
⋮
8
1
𝑓 = 𝑓2
= 𝑟𝑎𝑔 (
2) 3
0
====
2
1 ⋮ 8
)=2
1 ⋮ 2
rg C = rg A = 2 = nº de incógnitas ==> solución única
y = 2 ; x + y = 8 ===> x = 8 - 2 ==> x = 6
Escriba aquí la ecuación.
96
97