Series de Fourier

E.T. Nº 17 - Brig. Gral.
Don Cornelio Saavedra
Distrito Escolar XIII
Región V
Apunte teórico 3
5º Año
Área Electrónica
Prof. Ing. Alejandro Demolli
TEORÍA DE LOS CIRCUITOS II
SERIES DE FOURIER
INDICE
Página
Introducción
2
Aplicación al desarrollo de señales periódicas no senoidales
3
Serie trigonométrica de Fourier
3
Dominios de tiempo y de frecuencia
4
Tipos de simetrías de algunas señales periódicas
6
Serie de Fourier en función de senos solamente
7
Ejemplo de aplicación
8
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Introducción:
Fourier demostró que se puede expresar cualquier función f(t) como suma de otras funciones gi(t),
siempre que éstas sean mutuamente ortogonales entre sí, en un intervalo de 2π rad ó T.
Para que dos funciones sean ortogonales deben verificar que:
0

∫to gm(t ) . gn(t ) dt = 
K

to +T
si
m ≠n
si
m = n
Tal como ocurre con vectores ortogonales:
A
A
A . B = A . B . cos θ = 0
θ= 90º
A . A = A2 = cte
B
Entonces, la serie (suma de funciones) sería:
f(t) = C1 . g1 (t) + C2 . g2 (t) + _ _ _ _ + Ci . g1 (t) + _ _ _ _ +
ó f (t ) =
∞
∑ Ci . gi (t )
Representación de f (t) según la Serie generalizada de Fourier
i= 1
Siendo:
to +
Ci =
2π
Wo
to +
∫ f (t ) . gi (t ) dt
Ci =
to
2π
to +
Wo
∫ gi
2
(t ) dt
2π
Wo
∫ f (t ) . gi (t ) dt
to
Ki
Para que el error sea mín.:
Ki
n
to
error = f(t) -
∑Ci . gi (t)
i=1
Un ejemplo de funciones ortogonales lo constituye el siguiente conjunto:
{sen wot, sen 2wot, sen 3wot, . . . . . . . sen nwot}
Pero este no es un conjunto completo ya que las funciones cos nwot, también son ortogonales a las
anteriores.
Se puede demostrar que todas las funciones sen nwot y cos nwot (con n = 0,1,2,_ _ _ , ∞ ), forman un
conjunto ortogonal completo.
Por lo que la serie será:
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f(t) = A0 + A1 . cos wot + A2 . cos 2wot + . . . . . . . . . + An . cos nwot +
+ B1 . sen wot + B2 . sen 2wot + . . . . . . . . . + Bn . sen nwot
ó f (t ) = Ao +
∞
∑ ( An. cos nw t + Bn. sennw t )
o
para
o
to < t < to + T
n =1
Esta expresión representa a la Serie trigonométrica de Fourier de f(t)
Siendo:
to +T
to +T
∫ f (t ) . cos nw t dt
An =
to
Bn =
y
to +T
∫ cos
2
∫ f (t ) . sen n w t dt
o
o
to
to +T
∫ sen nw t dt
2
nwot dt
o
to
to
Si n = 0:
Ao =
1
T
to +T
∫ f (t ) . dt
Valor medio o componente continua de la señal
to
Además:
to +T
to +T
2
∫ cos nwot dt =
∫ sen nw t dt =
2
to
∴
o
to
to +T
2
An =
T
Bn =
T
2
1
θ 0 + 2π
∫ f (t ) . cosn w t dt = π θ∫ f (t ) . cosn w t dwt
o
o
to
o
to +T
2
T
1
θ 0 + 2π
∫ f (t ) . sen nw t dt = π θ∫ f (t ) . sen nw t. dwt
o
to
o
0
También se puede demostrar que el conjunto de funciones: e jnWot (con n = - ∞ , ..…, -2, -1, 0, 1, 2,
……, ∞ ), es ortogonal y completo en un período. Por lo tanto podemos representar a f(t) mediante:
f (t ) = Fo + F 1.e JW0 t + F 2.e J 2W0 t + ........ + Fn.e JnW0 t + F−1 .e − JW0 t + F− 2 .e − J 2W0 t + .....
ó f (t ) =
∞
∑ Fn.e
JnW0 t
n = −∞
para el intervalo: t 0 < t < t 0 + T
Y si f(t) es periódica, para todo el intervalo: − ∞ < t < ∞
Esta función representa a la Serie exponencial de Fourier
Siendo: Fn =
1
T
∫
t 0 +T
t0
f (t ).e − jnW0 t dt
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Serie de Fourier (trigonométrica) - Aplicación al desarrollo de señales periódicas no senoidales
•
La serie de trigonométrica de Fourier permite descomponer una señal periódica (que reúna
ciertas condiciones), en función de senos y cosenos. Dichas condiciones (denominadas de
¨DIRICHLET¨ ) son:
1. La función que representa a la señal, debe ser periódica.
2. Debe poseer un n° finito de discontinuidades de 1er orden en el intervalo T.
3. Debe poseer un n° finito de puntos extremos (máximos y mínimos) en el intervalo T.
•
La finalidad de esta descomposición es la de permitir hallar la respuesta de un circuito dado, a
cada uno de los componentes elementales de la excitación (señal no senoidal) y luego obtener
la respuesta total por aplicación del principio de superposición.
Dominios de tiempo y de frecuencia:
Hasta ahora, graficábamos una señal senoidal como: s(t) = Sm .sen (wt + Өi), tomando como variable
independiente al tiempo y obteníamos:
s(t)
Siendo:
θi
ti =
W0
Sm
t
y W0 =
2π
T0
GRAFICA EN
EL DOMINIO
DEL TIEMPO
ti
T0
La información que suministra es la de los valores: Sm, ti y T0.
Pero si en lugar de t, tomamos a w como variable independiente, obtendremos una representación
gráfica en el dominio de la frecuencia angular (w):
θi (w)
Smi (w)
W0
W
ESPECTRO DE AMPLITUD
W0
W
REPRESENTACION
EN EL DOMINIO
DE LA FRECUENCIA
ESPECTRO DE FASE
Esta representación, como vemos, suministra la misma información que la representación temporal.
Para una señal más compleja, como por ejemplo una de tipo diente de sierra, tendremos:
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Smi (w)
s(t)
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Sm1
Sm2
Sm3
Sme
θi (w)
Sm4
W0
2W0 3W0 4W0
θ1
θ2
θ3
ESPECTRO DE AMPLITUDES
W
θ4
t
ESPECTRO DE FASES
W0
2W0 3W0 4W0
W
•
En este caso, los espectros frecuenciales de amplitud y fase, tienen varias componentes para
cada una de las frecuencias múltiplos de Wo denominada fundamental o 1era armónica. Las
demás componentes, denominadas 2da, 3ra, 4ta, ….. armónica, son de frecuencias múltiplos
enteros de Wo.
• La herramienta matemática que permite pasar del dominio temporal al dominio frecuencial es
justamente la Serie de Fourier.
• El espectro que se obtiene es discreto (no continuo).
w→
0 lo que se obtendría un espectro continuo, existiendo
• Si T → ∞ (señal aperiódica):
, con
componentes para todo el espectro de frecuencias. Esto se analiza mediante la Integral de
Fourier.
Serie de Fourier en función de Senos y Cosenos:
Puede expresarse matemáticamente como:
∞
s (t ) = A0 + ∑ ( An . cos nwt + Bm . sen nwt )
n =1
1
n = orden de la armónica
Donde:
Bn = coeficiente de la componente senoidal de orden n
An = coeficiente de la componente cosenoidal de orden n
Integrales a utilizarse en el desarrollo:
Se puede demostrar que:
∫
2π
0
∫
2π
0
∫
2π
0
cos nwot dwot = 0
sen n wot dwot = 0
sen nwo t . cos nwot dwot = 0
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∫
2π
0
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sen nwt. sen mwt. dwt
0
para n ≠ m
π
para n = m
=
∫
2π
0
cos nwt. cos mwt. dwt
Coeficientes de la serie:
Integrando ambos miembros de la ecuación
∫
2π
0
∞
A0 =
1
2π
∫
2π
=0
=0
s (t ). dwt ≡ Sme = Valor medio de la señal
0
Si ahora, multiplicamos a la ecuación 1
∫
0
∫
2π
0
:
2π
2π
2π
s (t ).dwt = ∫ A0 dwt + ∑  ∫ An cos nwt dwt + ∫ Bn. sen nwt dwt 
0

0
0
n =1 
Ao.2π
2π
1
por sen nwt e integramos:
∞
2π
2π
s (t ).sen nwt dwt = ∫ Ao. sennwt.dwt + ∑  ∫ Bn. sen nwt . sen nwt dwt + ∫ An. cos nwt. sen nwt dwt 
0

0
n =1 
∞
∞
n =1
n =1
s (t ).sen nwt dwt = ∑ Bn.π = π .∑ Bn
∴Bn =
1
π∫
2π
0
s (t ). sen n wt dwt
Si análogamente, se multiplica a la ecuación 1
An =
1
π∫
2π
0
por cos nwt y se integra, obtendremos:
s (t ). cos n wt dwt
Tipos de simetrías de algunas señales periódicas:
PAR
s(t)
Si s(t) = s(-t)
(reflejo en “y”)
se demuestra que los términos
con coeficientes Bn de la serie,
son nulos.
t
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IMPAR
s(t)
Si s(t) = - s(-t)
(reflejo en
“y” e inversión en “x”)
los términos con coeficientes An
de la serie, son nulos.
t
ALTERNA
s(t)
T
t
T/2
Si s(t) = - s(t + T/2)
(desplazamiento
en T/2 e inversión en “x”)
los términos con coeficientes An y Bn de
la serie con n = par, son nulos.
A veces, el tipo de simetría depende del instante en que se define a la señal:
Impar
y
alterna
Serie de Fourier en función de senos solamente:
∞
s (t ) = C 0 + ∑ Cn..sen (nwt + θn )
n =1
Dado que: sen(α + β ) = senα . cos β + senβ . cos α
∞
s (t ) = C 0 + ∑ (Cn.sen nwt. cos θn + Cn.senθn. cos nwt )
n =1
Comparando con la ecuación
:
1
C 0 = A0
a
b
Bn = Cn. cosθn
An = Cn.sen θn
(
Elevándolas al cuadrado y sumando:
Bn 2 + An 2 = Cn 2 . cos 2 θn + sen 2θn
)
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Par
y
alterna
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∴Cn = Bn 2 + An 2
Haciendo b a :
An
= tgθn
Bn
∴
θn = arc tg
An
Bn
Ejemplo de aplicación:
v(t)
10v
π
2π
-10v
10v
∀ 0 < wt < π
-10v
∀ π < wt < 2π
v(t) =
wt
∞
v(t ) = V0 + ∑ Vn..sen(nwt + θn )
n =1
Por ser una señal de valor medio nulo: A0 = C 0 = V0 = 0
Por simetrías impar y alterna = An = 0 y B2 = B4 = B6 = ...... = 0
Bn =
2π
1 π
10v sen nwt dwt + ∫ (− 10v ).sen nwt dwt 
∫


π
0
π
10  cos nwt 
Bn =  −
π 
n 
π
0
2π
 cos nwt  
+

 n  π 
Bn =
10
[− (cos nπ − cos 0) + (cos n2π − cos nπ )]
nπ
Bn =
10
(2 − 2 cos nπ ) = 20 (1 − cos nπ )
nπ
nπ
B1 =
20
B2 =
20
(1 − 1) = 0
2π
π
(1 + 1) = 12,73
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B3 =
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20
(1 + 1) = 4,24
3π
B4 = 0
B5 =
20
(1 + 1) = 2,54
5π
Cn = Bn 2 + An 2 = Bn = Vn
A1
0
= arc tg
=0
(+ )
B1
A3
0
θ 3 = arc tg
= arc tg
=0
(+ )
B3
θ 2 = θ 4 = θ 6 = ....... = 0
θ 1 = arc tg
v(t ) = V0 + V1 sen(1wot + θ1 ) + V2 sen(2wot + θ 2 ) + V3 sen(3wot + θ 3) + ..................
∴v(t ) = 12,73 sen w t + 4,24 sen 3w t + 2,54 sen 5w t + ............[V ]
o
o
o
Representación frecuencial
Representación temporal
Vn [V]
V1
12,73
ESPECTRO DE AMPLITUDES
Resultante de v1(t)+v3(t)
V3
4,24
v1(t)
V5
2,54
v3(t)
w0
2w0
3w0
4w0
5w0
w
t
θn [rad]
ESPECTRO DE FASES
θ1
θ3
.
w0
θ5
.
.
2w0
3w0
4w0
5w0
w
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