El Algortimo de Elgamal

MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INFORMACIÓN Y LAS COMUNICACIONES
MEMORIAS DE SEMINARIO
EL ALGORTIMO DE ELGAMAL
LUIS ALBERTO PERALTA AMAYA
UNIVERSIDAD DISTRITAL “FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS”
MARZO 2004
“A pocos podremos convencer de que no es nada fácil inventar un método de
escritura secreta que resista investigación cuidadosa. No obstante, puede
afirmarse rotundamente que el ingenio humano es incapaz de preparar una clave
que el ingenio humano no pueda resolver”
Edgar Allan Poe.
Introducción
La información en la era de los computadores se ha convertido paulatinamente en
una fuente de poder invaluable, desde tiempos remotos los secretos más
importantes se guardaban y transmitían con el mayor celo, especialmente los
secretos militares permitieron un auge sin precedentes de las técnicas
criptográficas. El aumento en el poder de cómputo de los computadores actuales
ha obligado a manejar la información confidencial de manera cada vez más
segura, implicando el uso de algoritmos de cifrado cada vez más complejos. Aquí
trataré de exponer de la manera más sencilla posible uno de los algoritmos de
clave pública más conocidos, el algoritmo de ElGamal, basado en el algoritmo de
cambio de clave de los profesores W. Diffie y M. Hellman.
PRELIMINARES
Qué es la Criptografía?
La humanidad desde tiempos remotos ha tratado de proteger sus secretos,
guardándolos celosamente en sus escritos, según referencia David Khan en su libro
The Codebreakers, se conoce el uso de cifras para ocultar información desde 1900
A.C. en Egipto, 1500 A.C en Mesopotamia y 500 A.C. en la Biblia.
Uno de las cifras antiguas más conocidas es la atribuida a Julio César, que se basa
en la rotación fija de las letras del alfabeto.
Según el Diccionario de la Real Academia de la Lengua, la palabra Criptografía
proviene de las raices griegas kriptos que significa oculto, y graphos, que significa
escritura, que al unirse traducirían algo como escritura oculta y que en nuestros
días puede traducirse como el arte de escribir mensajes en clave o secretos, sin
embargo cabe anotar que actualmente con los grandes avances tecnológicos y
teóricos impulsados inicialmente por Shannon y posteriormente por Diffie-Hellman,
el concepto fue revaluado, y se pasó de una criptografía vista como arte, a
considerarse como una ciencia aplicada donde convergen varias ciencias como la
estadística, las matemáticas, la teoría de la información, etc.
Actualmente puede definirse como el estudio de los protocolos y algoritmos que
permiten proteger de “intrusos” los mensajes durante su transmisión y
almacenamiento, y es aplicable también a los archivos, los objetos serializados o a
cualquier secuencia de bytes. Adicionalmente existen otros usos para la
criptografía como son: conservar la integridad de los datos, probar la identidad de
alguien y demostrar que un mensaje proviene de una fuente con una identidad
determinada.
Cita de un artículo de Martin Gardner cuando se presentó en 1977 el criptosistema
RSA:
“Los computadores y la teoría de complejidad están llevando a la criptografía a una
etapa excitante, que quizás adquiera tintes tristes. Repartidos por todo el mundo
se encuentran hombres y mujeres de gran inteligencia, algunos de ellos geniales,
que han dedicado sus vidas al dominio del análisis criptográfico moderno. A partir
de la Segunda Guerra Mundial, incluso aquellas claves gubernamentales y militares
que no son de uso único se han hecho tan difíciles de descifrar que el talento de
estos expertos va siendo cada vez menos útil. Estas personas se encuentran ahora
encima de trampillas a punto de abrirse y sumirlos en las profundidades del
olvido."
Qué es el Criptoanálisis?
Si se requiere que la comunicación sea secreta, es porque se teme que un
enemigo intercepte y descifre el mensaje transmitido. Si este enemigo realmente
existe, utilizará todos los medios que tenga a su alcance para descifrar esos
mensajes secretos, utilizando un conjunto de técnicas y métodos, al que
llamaremos criptoanálisis.
En pocas palabras, criptoanálisis es el estudio de las revelaciones de los protocolos
y algoritmos criptográficos.
Qué es la Criptología?
Es la ciencia que reune la criptografía y el criptoanálisis, en otras palabras estudia
tanto las claves (criptografía) como sus debilidades (criptoanálisis) .
“En toda comunicación secreta se presenta una lucha entre criptógrafos y
criptoanalistas. Un éxito de unos es el fracaso de los otros”.[PIN96]
El Concepto de Cifra
El texto plano se convierte a texto en clave por medio de algoritmos criptográficos,
llamados cifras(ciphers).
Encriptación y Desencriptación
La encriptación es el proceso de transformar texto plano a texto clave, mientras
que la desencriptación es el proceso inverso, es decir tomar texto en clave y
transformarlo en el texto plano original. Ambos procesos están controlados por
claves, que son los valores que hacen variar la representación de texto plano a
texto clave.
En la criptografía basada en claves, los algoritmos de encriptación y
desencriptación podrían ser bien conocidos. Sin embargo, la clave de
desencriptación, y a veces, la clave de encriptación están muy bien protegidas.
Una vez que se crea el texto plano con una determinada clave, el texto cifrado que
se crea sólo puede ser desencriptado con la clve de desencriptación que esté
asociada a la clave de encriptación.
A continuación expondremos las ideas principales de los dos sistemas
criptográficos más comunes, a saber: Criptografia de clave secreta y Criptografia
de clave pública.
Criptografía de Clave Secreta (Simétrica)
En algunos algoritmos de encriptación, las claves de encriptación y desencriptación
son las mismas, o la clave de desencriptación se puede calcular a través de la
clave de encriptación en una unidad de tiempo útil. Estos algoritmos se conocen
como algoritmo de clave secreta, algoritmo de clave privada o algoritmo simétricos
y se caracterizan por ser altamente eficientes ( en relación al tamaño de su clave)
y robustos. Estos algoritmos exigen que la clave se mantenga en secreto, como
también que el remitente y el destinatario coordinen el uso de las claves secretas.
En otras palabras:
Llamemos M al conjunto de todos los mensajes que pueden enviarse dos usuarios,
A y B; C , al conjunto de todos los textos encriptados, y K a de todas las posibles
claves que pueden utilizar. Un criptosistema de clave secreta es una familia de
pares de funciones (Ek, Dk ) (Ek, Dk ) para cada clave k de K definidas como sigue:
Ek: M C y Dk: C M, de modo que para cada mensaje m de M se verifique
que: Dk (Ek (m)) = m.
Para utilizar este criptosistema, los usuarios A y B se ponen de acuerdo y eligen
secretamente un clave k de K. Si A desea enviar un mensaje m de M a B, encripta
el mensaje por medio de la función Ek, Ek(m) = c, y envia el resultado c a B. Para
recuperar el mensaje original, B desencripta el texto encripatado que ha recibido,
c,por medio de la función Dk (c) = Dk (Ek(m)) = m.
Los pares de funciones (Ek, Dk ) deben ser “fáciles” de computar para los usuarios,
y deberian se “difíciles” de computar para un escucha que conociera c, de modo
que no pudiera recuperar ni m ni k. En criptografia se suele utilizar el término
“fácil” para indicar que el cómputo se puede llevar a cabo en un corto espacio de
tiempo, mientra que el témino “difícil” o “intratable” se utiliza para indicar que no
puede computarse en un tiempo aceptable utilizando el mejor algoritmo conocido
ni la mejor tecnología disponible.
Estos son algunos de los criptosistemas de clave secreta más conocidos y sus
vulnerabilidades:
DES(Data Encription Standard) es un algoritmo diseñado por IBM y utilizado
habitualmente desde los años 70. Es un método de cifrado altamente
resistente frente a ataques criptoanalíticos diferenciales. Por desgracia, su
tamaño de clave (56 bits) la hace vulnerable a ataques de fuerza bruta. Un
reciente ataque, "patrocinado" por la empresa de seguridad RSA Data
Security Inc. contra un mensaje con cifrado DES requirió el uso de cientos
de ordenadores durante 140 días. Sin embargo, hay diseños de máquinas
que, con un costo de un millón de dólares, podrían descifrar mensajes DES
en cuestión de minutos. Quizá por eso el gobierno de EEUU lo utiliza
solamente para cifrar datos no clasificados. En la actualidad ofrece
protección contra el pirata informático habitual, pero no contra un esfuerzo
masivo por parte de un usuario con grandes recursos.
Tiene varios modos de funcionamiento, ECB (Electronic Codebook), CBC
(Cipher Block Chaining), CFB (Cipher Feedback), OFB (Output Feedback),
DESede.
Blowfish fue creado por Bruce Schneier, autor del libro Applied
Criptography (considerado por muchos como la "biblia" en cuestiones de
criptografía). Utiliza claves de hasta 448 bits y, hasta el momento, ha
resistido con éxito todos los ataques. Por ello y por su estructura se le
considera uno de los algoritmos más seguros, a pesar de lo cual no se utiliza
masivamente. Tal vez se deba a su relativa juventud (la del algoritmo, no la
de Schneier). Su autor no ha patentado el método para que pueda ser
empleado
sin
limitaciones.
CAST (Carlisle Adams y Stafford Tavares) tiene estructura similar a la de
Blowfish. Parece ser un buen algoritmo, aunque tampoco lleva el tiempo
suficiente como para haber sido atacado hasta la saciedad. De momento,
sus posibilidades son buenas. Se conocen ataques criptoanalíticos contra la
versión de clave 64 bits, aunque distan mucho de ser eficaces (requieren
2^17 textos sin cifrar y 2^48 cálculos diferentes). No se conocen ataques
contra la versión de 128 bits. Ha sido patentado por Entrust Technologies,
quienes
permiten
el
uso
libre
de
este
algoritmo.
IDEA (International Data Encription Algorithm) ha sido desarrollado por
Xuejia Lay y James Massey. A pesar de que solamente lleva unos años en
uso, es probablemente el mejor algoritmo de bloques existente. Utiliza clave
de 128 bits y se cree que es resistente al criptoanálisis. Se encuentra bajo
patente de Ascom-Tech, aunque se permite su uso gratuito para
aplicaciones
no
comerciales.
RC2 es un cógido protegido bajo secreto comercial (aunque no patentado)
por RSA Data Security Inc. Existen ataques criptoanalíticos que, aunque
requieren de gran cantidad de texto cifrado, muestran las vulnerabilidades
de RC-2. Existen versiones mejoradas, y hoy día RC2 tiende a utilizarse cada
vez menos en el beneficio de su “hermano mayor” RC4.
RC4 es un intento de reemplazar RC2 por un algoritmo más sólido.
También es un secreto comercial, aunque (al igual que RC2) su código
fuente ha sido publicado en grupos de discusión. No se conocen ataques
contra él. Forma una parte vital del sistema de cifrado en capas SSL,
ampliamente utilizado en navegadores de Internet tales como Netscape
Navigator y Microsoft Internet Explorer. Por desgracia, la versión exportable
de RC4 tiene una clave de solamente 40 bits, lo que lo hace altamente
vulnerable a ataques de fuerza bruta. La versión EEUU, con clave de 128
bits.
RC5 fue diseñado por Ron Rivest y se encuentra bajo patente de RSA Data
Security Inc. Es relativamente nuevo, y se conocen ciertos tipos de ataques
contra él. Asimismo existe un cierto número (pequeño) de claves débiles
que no deben utilizarse.A pesar de ello, se le considera un sistema seguro.
SAFER es un algoritmo diseñado por Robert Massey (uno de los creadores
de IDEA). Tiene claves de hasta 128 bits y, a pesar de algunas debilidades
en la primera versión y de ciertos ataques, parece un algoritmo seguro. Este
programa fue desarrollado para la empresa Cylink, que algunos ligan a la no
muy querida Agencia de Seguridad Nacional norteamericana (NSA); por ello,
hay quien no se fía.
Inconvenientes en la Criptografía de Clave Secreta
1. Distribución de claves
Dos usuarios tienen que seleccionar un clave en secreto antes de empesar a
comunicarse, lo que deberán hacer bien personalmente o por medio de un
canal inseguro.
2. Manejo de claves
En una red de n usuarios, cada pareja debe tener su clave secreta particular, lo
que hace un total de n(n-1)/2 claves para esa red.
3. Sin firma digital
Una firma digital es lo análogo a una firma manual o rubrica, pero en un red de
comunicaciones. En los criptosistemas de clave secreta, no hay posibilidad, en
general, de firmar digitalmente los mensajes, con lo que el receptor del mismo
no puede estar seguro de que quien dice que le envia el mensaje sea
realmente quien lo ha hecho.
Cambio de Clave de Diffie-Hellman
Con objeto de evitar los tres problemas que se acaban de mensionar, DiffieHellman describieron un protocolo por medio del cual dos personas pueden
intercambiarse pequeñas informaciones secretas por un canal inseguro. Este
protocolo se conoce como el cambio de clave de Diffie-Hellman, y es el siguiente:
1. Los dos usuarios, A y B, seleccionan públicamente un grupo multiplicativo
finito, G de ordenn y un elemento α de G.
2. A genera un número aleatorio a, calcula αa en G y transmite este elemento
a B.
3. B genera un número aleatorio b, calcula αb en G y transmite este elemento
a A.
4. A recibe αb y calcula (αb )a en G.
5. B recibe αa y calcula (αa )b en G.
Ahora A y B poseen un elemento común y secreto del grupo G αab . Un
escucha(espía), S, podría conocer G, n, αa y αb y debería poder calcular el
elemento αab , lo que hasta ahora es un problema intratable.
Criptografía de Clave Pública (Asimétrica)
De acuerdo a lo anteriormente expuesto, la criptografía de clave pública o
asimétrica, contrasta con la de clave privada en el sentido que usa dos claves
distintas una para el encriptado y otra para el desencriptado, eliminando de paso
uno de los inconvenientes de la clave secreta: como hacer llegar al remitente la
clave de desencriptado. En los algoritmos utilizados en este tipo de criptografía se
usa una clave pública para encriptar y una clave privada para desencriptar, de
hecho el conocimiento de la clave pública no es suficiente para descifrar el
mensaje. Este sistema tiene un precio, las claves tienden a tener un mayor tamaño
que las de los sistemas simétricos, son más lentos y los mensajes cifrados son de
mayor extensión.
De esta forma todo lo que se requiere para iniciar una conversación secreta es que
el remitente consiga una copia de la clave pública del destinatario, que puede ser
usada por cualquier persona que desee comunicarse con su propietario,
necesitándose solo n pares de claves por cada n personas que deseen comunicarse
entre sí.
Actualmente la criptografía asimétrica tiene dos aplicaciones principales, el
intercambio de claves privadas y la firma digital que acompaña a un archivo digital.
Bases de la Criptografía de clave pública
Los sistemas de cifrado de clave pública se basan en funciones-trampa de un sólo
sentido que aprovechan propiedades particulares, por ejemplo de los números
primos. Una función de un sólo sentido es aquélla cuya computación es fácil,
mientras que el cálculo de su inversa resulta extremádamente difícil (es
computacionalmente intratable). Por ejemplo, es fácil multiplicar dos números
primos juntos para obtener uno compuesto, pero es difícil factorizar uno
compuesto en sus componentes primos. Una función-trampa de un sentido es algo
parecido, pero tiene una "trampa". Esto quiere decir que si se conociera alguna
pieza de la información, sería fácil computar el inverso. Por ejemplo, si tenemos un
número compuesto por dos factores primarios y conocemos uno de los factores, es
fácil computar el segundo.
Teniendo en cuenta lo anterior pueden identificarse tres familias según el
problema matemático en que se basa la seguridad el criptosistema. La primera
familia basa su seguridad en el Problema de Factorización Entera PFE, siendo los
más conocidos, RSA, y el de Rabin-Williams. La segunda familia basa su seguridad
en el Problema del Logaritmo Discreto PLD, a esta pertenecen el sistema de DiffieHellman de intercambio de claves, el sistema DSA de firma digital y el sistema de
ElGamal. La tercera familia basa su seguridad en el Problema del Logaritmo
Discreto Elíptico PLDE, pertenecen a esta DHE (Diffie-Hellman Elíptico), DSAE,
NRE(Nyberg-Rueppel), ElGamal Elíptico, etc.
Logaritmo Discreto
Dado un elemento b Є Zn, N un natural positivo, y otro entero x, es “fácil” calcular
bx = a mod N. Pero dado a y b, el recuperar x, es un problema difícil, o sea, no
existen métodos rápidos que sirvan en cualquier caso, tales que recuperen x. Este
es el problema del logaritmo discreto o del índice. El énfasis puesto en la frase
“que sirvan en cualquier caso” se debe a que en algunas circunstancias es posible
resolver con rapidez el problema del logaritmo discreto.
Si se cumple que bx = a diremos que x es un logaritmo discreto de a en la base b y
lo escribiremos x = ld ba Planteamos el ejemplo en Zn, pero en realidad los
sistemas criptográficos basados en el logaritmo discreto utilizan cuerpos finitos
como base, en particular, Zn es un cuerpo si y solo si N es un número primo.
Recordamos que en un cuerpo F esta definida una suma, +, y un producto,*, al
igual que ocurre en Zn, pero exigimos que para cada elemento a Є F, a ≠ 0 exista
un elemento a−1, llamado el inverso de a, tal que a * (a−1) = (a−1) * a = 1, donde
1 es el neutro de la multiplicación, o sea el elemento que cumple a * 1 = 1 * a = a
para todo a Є F.
Criptosistema de ElGamal
En 1984 Taher ElGamal propuso un esquema de clave pública basado en la
exponenciación discreta sobre el grupo multiplicativo de un cuerpo finito Zp . No
obstante, aquí presentaremos un protocolo más general al propuesto por ElGamal
sobre un cuerpo finito G.
Suponemos, en primer lugar que los mensajes son elementos de G y que el
usuario A desea enviar un mensaje m al usuario B. El protocolo a seguir es el
siguiente:
1. Se selecciona un grupo finito G y un elemento α de G.
2. Cada usuario A elige un núemro aleatorio a, que será su clave
privada, y calcula αa en G, que será su clave pública.
Para que un usuario A envíe un mensaje m, a otro usuario B, suponiendo que los
mensajes son elementos de G, realiza las siguientes operaciones:
1. A genera un número aleatorio v y calcula αv en G.
2. A mira la clave pública de B, αb , y calcula (αb)v y m * αbv en G.
3. A envía la pareja (αv , m*αbv) a B.
Para recuperar el mensaje original:
1. B calcula (αv)b en G.
2. B obtiene m solo con calcular m*αvb / αvb
Por seguridad y eficacia, el grupo G y el elemento α deberían elegirse de modo
que verificaran las siguientes condiciones:
• Por eficacia, la operación en G debería ser “fácil” de aplicar.
•
Por seguridad, el problema del logaritmo discreto en el subgrupo
cíclico de G generado por α, <α>, debería ser “difícil”.
Para simplificar el protocolo anterior, podemos suponer, tal y como fue descrito por
ElGamal, que el grupo sobre el que se llevan a cabo las operaciones mencionadas en el
protocolo anterior es el grupo multiplicativo del cuerpo Zp ; de esta forma, las potencias y
productos anteriores se efectúan módulo un número primo p.
Ejemplo. Consideremos el grupo Z*15485863, con p=15485863 primo y un generador α =7.
A y B eligen las siguientes claves: a=28236, b=21702.
αa=728236≅12506884(mod 15485863) y αb=721702≅8890431(mod 15485863), que
son las claves privadas y públicas de A y B, respectivamente.
Supongamos que A quiere mandar a B el mensaje m=”HIJO”.
Entonces, codificamos m:
m = “HIJO” = 7.263+8.262+9.26+14 = 128688
A elige el número v = 480 y calcula αv= 7480=12001315(mod 154885863). A
continuación A calcula (αv)b = 8890431480 ≅ 9846598(mod 15485863), el de
m*αvb=128688*9846598 ≅ 8263449(mod 15485863) y decodifica el par formado
por: (αv, m*αvb) = (12001315,8263449), que es el mensaje encriptado:
αv= 12001315 = 1.265+0.264+6.233+21.262+11.26+1=BAGVLB
m*αvb = 8263449 = 18.264+2.263+4.262+0.26+1= SCEAZ
Por tanto el mensaje a enviar a B, es (BAGVLB,SCEAZ).
Veamos como recupera B el mensaje recibido.
En primer lugar, B codifica en base 26 la pareja recibida:
BAGVLB = 1.265+0.264+6.233+21.262+11.26+1=12001315= α
SCEAZ = 18.264+2.263+4.262+0.26+25 = 8263449 = m*αvb
A continuación B calcula (αv)b = 1200131521702= 9846598(mod 154885863) y
luego tiene que calcular
m*αvb / αvb
Para ello debe determinar el inverso de αvb mod 15485863. La determinación de
este inverso se lleva a cabo por medio del algoritmo de Euclides Extendido, es
decir, como
- 662582 * αvb + 421299 * p = 1
Resulta que 1/αvb ≅ - 662582 ≅ 14823281 (mod 15485863)
Por tanto,
m*αvb / αvb = 8263449/98466598 = 8263449*14823281 = 128688 = m
Y recupera el mensaje original:
M = 128688 = 7.263+8.262+9.26+14 = HIJO.
Ataque al Criptosistema de ElGamal
Un escucha, S, que quisiera romper el protocolo anterior, conocería G, n, αa , αb ,
αv y m*αvb y debería calcular m. Este problema se conoce como el problema de
ElGamal(ElGamal Problem, EGP). Es fácil ver que la seguridad de este
criptosistema es equivalente a del cambio de clave de Diffie-Hellman; por tanto, la
seguridad del criptosistema de ElGamal está basada en la dificultad del logaritmo
discreto.
Baste decir que el ataque contra este sistema, hoy por hoy, se considera
intratable, dado que los mejores tiempos de computación para calcular algoritmos
discretos son de tipo subexponencial.
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