proyecto final de carrera diseño de capa física para

PROYECTO
DECARRERA
CARRERA
PROJECTEFINAL
FINAL DE
DISEÑO
FÍSICA
TÍTOLDE
DELCAPA
PROJECTE
PARA
(TÍTOL FUTUROS
DEL PROJECTESISTEMAS
EN ANGLÈS)
DE COMUNICACIONES MÓVILES
Estudios: Ingeniería de Telecomunicaciones
Estudis: Enginyeria de Telecomunicació
Autor: David Gómez Castillo
Autor: Nom i Cognoms
Director: Luis García Ordóñez
Director/a: Nom i Cognoms
Ponente: Javier Rodríguez Fonollosa
Any:
Barcelona, Julio 2011
3
Resumen
En este proyecto diseñamos un sistema de transmisión de capa física que pueda
ser integrado en la interfaz de radio de las futuras redes de comunicaciones móviles. El
sistema de comunicaciones MIMO ha de ser reconfigurable y capaz de adaptarse a la
información sobre el estado de canal disponible en transmisión.
Para lograr este objetivo vamos a empezar realizando una presentación de los sistemas MIMO y de sus ventajas en términos de capacidad.
Después presentaremos las tendencias en el desarrollo y diseño de las técnicas de
transmisión en canales MIMO sin conocimiento de canal. Presentaremos el diseño basado
en códigos de traza ortogonal TOD, importante pieza en este proyecto, y posteriormente
realizaremos el diseño con conocimiento de canal, donde nos aparece un canal de feedback y un precodificador lineal.
Finalmente recogemos todas la conclusiones y veremos las líneas de trabajo futuras.
A mis padres, a mis hijos y a Marta
Agradecimientos
Después de tanto tiempo esperando este momento, es hora de decir, ¡por fin! Durante todos estos años, tantas veces ha salido en conversaciones varias este proyecto que
me es muy difícil agradecer a todos aquellos que se han acordado de él y que han hecho
no olvidarme de él, que hubiera sido lo más fácil.
Ya en el siglo pasado, en febrero del 1999 recuerdo que empecé mi primer intento de
proyecto final de carrera, en aquel momento, nunca me imaginé que 12 años después me
encontraría escribiendo estas, las últimas líneas del definitivo. Joan G.H. me decía, no te
preocupes por el proyecto, lo importante es acabar, que razón tenía, pero su marcha poco
me ayudó en su momento. Y tras varios intentos fallidos por retomar el tema, no hubo
manera. Agradecer en aquellos intentos a Jordi y Juan su gran ayuda, que si podríamos
programar aquello o programar lo otro, la verdad es que lo pasamos bien mientras lo
hacíamos aunque es una lástima que sirviera de tan poco a parte de pasar unos buenos
ratos.
Y como no recordar las tantas y tantas veces que he escuchado la pregunta "¿cómo
llevas el proyecto?" y no he sabido bien que contestar, gracias a todos lo que me la han
hecho un día sí, un día también, no diré nombre porque son muchos y no quiero dejarme
a nadie, gracias por recordarme en todo momento que aún tenía algo por acabar.
La verdad es que en todo este tiempo mi vida ha cambiado muchísimo, te compras
un piso, te casas, tienes un primer hijo, te animas, tienes a la segunda y no te das cuenta
que el tiempo va pasando, los niños ya tienen 6 y 4 años y sí, ahora es el momento de
7
8
decirlo: ¡POR FIN! Con esto espero no volver a escuchar a mi madre "tanto esfuerzo y
luego pa ná" y poder darle la satisfacción a ella y a mi padre, de poder decir que por fin y
después de mucho tiempo, ahora sí, tienen un hijo ingeniero.
Y lo podrán decir sobretodo gracias a Luis, que un día, después de mucho insistir,
me presentó a su hijo Luis que me ha llevado en volandas para conseguir lo que durante
mucho tiempo he querido pero no he sido capaz de llevar a cabo. Muchas gracias Luis
padre por ser tan pesado.
Y como no, a ti Luis, por tus explicaciones, por tu gran ayuda para hacerme sentir
estudiante de nuevo, por tus correcciones en rojo que tanto me han ayudado, por todo lo
que has hecho por mi, que no sé si algún día podré llegar a agradecértelo, lo que si tengo
claro es que ya formas parte de mi historia.
MIL GRACIAS.
Índice general
Índice general
9
Índice de figuras
13
1. Introducción
17
2. Sistemas MIMO
21
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2. Ventajas de la Tecnología MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.2.1. Ganancia debida a la Agrupación . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.2.2. Ganancia de Diversidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2.3. Ganancia de Multiplexado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3. Capacidad de Canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3.1. Capacidad en Canales SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.3.2. Capacidad en Canales SIMO/MISO . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.3.3. Capacidad en Canales MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3.3.1.
Sin Conocimiento del Canal en Transmisión . . . . . .
32
2.3.3.2.
Con Conocimiento del Canal en Transmisión . . . . . .
33
2.4. Evaluación de Resultados mediante Simulación . . . . . . . . . . . . . .
34
2.4.1. Método de Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.4.2. Capacidad en Canales SISO/SIMO frente a Capacidad en Canales
MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.4.3. Capacidad en Función de la Potencia Transmitida . . . . . . . . .
37
9
10
ÍNDICE GENERAL
2.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Diseño MIMO sin Conocimiento de Canal
39
41
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.2. Técnicas de Transmisión MIMO sin Conocimiento de Canal . . . . . . .
42
3.2.1. Esquema de Alamouti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.2.2. Códigos Bloque Espacio-Temporales basados en Diseños Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.2.3. Sistemas BLAST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.3. Diseño con Códigos TOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.3.1. Modelo de Señal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.3.2. Códigos Espacio-Tiempo sin Pérdida de Capacidad . . . . . . . .
54
3.3.3. Generación de Matrices de Codificación TOD . . . . . . . . . . .
56
3.3.4. Diseño del Receptor Óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.4. Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.4.1. Medidas de Calidad en un Sistema de Comunicaciones Digital . .
61
3.4.2. Prestaciones del Sistema MIMO TOD . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4. Diseño de un Transmisor/Receptor MIMO con TOD con Conocimiento de
Canal
71
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.2. Técnicas de Transmisión MIMO con Conocimiento de Canal . . . . . . .
72
4.2.1. Modelo de Señal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4.2.1.1.
Restricción de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
4.2.1.2.
Medidas de Calidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.2.2. Formulación del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4.2.3. Receptor Lineal Óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.2.4. Transmisor Lineal Óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
4.2.4.1.
Limitación de Potencia Total . . . . . . . . . . . . . .
78
4.2.4.2.
Limitación de Potencia de Pico . . . . . . . . . . . . .
80
ÍNDICE GENERAL
11
4.2.5. Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4.3. Diseño con Códigos TOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
4.3.1. Modelo de Señal y Problema de Diseño . . . . . . . . . . . . . .
86
4.3.2. Receptor Lineal Óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
4.3.3. Diseño del Transmisor Lineal Óptimo . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.3.3.1.
Limitación de Potencia Total . . . . . . . . . . . . . .
90
4.3.3.2.
Limitación de Potencia de Pico . . . . . . . . . . . . .
91
4.3.4. Adaptación del Número de Substreams . . . . . . . . . . . . . .
92
4.3.5. Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5. Conclusiones y Líneas Futuras
105
5.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2. Esquema de capa física propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2.1. Diseño sin conocimiento de canal . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2.2. Diseño con conocimiento de canal . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3. Líneas de Trabajo Futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Bibliografía
109
Índice de figuras
1.1. Esquema básico MIMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.1. Esquema para la obtención de la matriz de canal. . . . . . . . . . . . . .
30
2.2. Curvas CDF de capacidad para canales MISO / SIMO incorrelados y
SNR=21dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.3. Curvas CDF de capacidad para canales MIMO incorrelados y SNR=21dB. 36
2.4. Curvas CDF de capacidad para canales MIMO (n,n) incorrelados y SNR=21dB. 36
2.5. Capacidad ergódica para canales MIMO incorrelados. . . . . . . . . . . .
38
3.1. Esquema básico MIMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.2. Codificación espacio-temporal en un esquema de transmisión MIMO. . .
43
3.3. Codificación en un esquema de Alamouti. . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.4. Esquema de transmisión y recepción de Alamouti para una antena receptora. 45
3.5. Esquema de transmisión y recepción para sistemas STBC. . . . . . . . .
47
3.6. Esquema de multiplexado espacial con un transmisor de 2 antenas. . . . .
48
3.7. Esquema de transmisión y recepción para sistemas BLAST. . . . . . . . .
48
3.8. BER instantánea exacta, BER instantánea aproximada en (3.60), y BER
instantánea aproximada a alta SNR en (3.61). . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.9. BER promedio utilizando códigos TOD con QPSK, nT = 2 y nR = 2, 3, 4. 64
3.10. BER promedio utilizando códigos TOD con QPSK, nT = 4 y nR = 4, 6, 8. 65
3.11. BER promedio utilizando códigos TOD, con diferentes nR y variando nT
y la modulación para obtener la tasa de R = 8 bps por uso de canal. . . .
13
65
14
ÍNDICE DE FIGURAS
3.12. BER promedio utilizando códigos TOD, con diferentes nR y variando nT
y la modulación para obtener la tasa de R = 16 bps por uso de canal. . . .
66
3.13. BER promedio utilizando códigos TOD y OSTBC, con nR = nT = 2 y
variando la modulación para obtener R = 4 bps en ambos esquemas. . . .
67
3.14. BER promedio utilizando códigos TOD y OSTBC, con nT = 2 y nR = 4
y variando la modulación para obtener R = 4 bps por uso de canal en
ambos esquemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.15. BER promedio utilizando códigos TOD y OSTBC, con nT = 4 y nR =
4, 6, 8 y variando la modulación para obtener R = 4 bps en todas las
configuraciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4.1. Sistema de comunicaciones MIMO general. . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.2. Sistema equipado con un transmisor y un receptor lineal. . . . . . . . . .
73
4.3. Sistema de múltiple beamforming equivalente a un transceptor MIMO
lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.4. Multiplexado espacial en sistemas MIMO con conocimiento de canal
√
(p̃k = pk λk /(1 + pk λk )). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
4.5. BER promedio de un transceptor lineal MIMO con nT = nR = κ = 4,
modulación QPSK, diseñado bajo los criterios: uniforme, mínima suma
de MSE y mínima BER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.6. BER promedio de un transceptor lineal MIMO (uniforme) con nT =
nR = 4, modulación QPSK, y κ = 3 y κ = 4. . . . . . . . . . . . . . . .
84
4.7. BER promedio individual de cada substream k = 1, 2 de un transmisor
lineal MIMO con nT = 2, nR = 4 y modulación QPSK. . . . . . . . . . .
85
4.8. BER promedio individual de cada substream k = 1, 2, 3, 4 de un transmisor lineal MIMO con nT = 4, nR = 4 y modulación QPSK. . . . . . . . .
85
4.9. Diseño del transmisor/receptor TOD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.10. BER promedio de un diseño TOD con precodificador lineal con nT =
nR = κ = 2, nT = κ = 2 y nR = 4, y nT = nR = κ = 4 bajo una
limitación de potencia total y una limitación de potencia de pico. . . . . .
94
ÍNDICE DE FIGURAS
15
4.11. BER promedio de un diseño TOD con precodificador lineal con nT =
nR = 2 usando un precodificador lineal con κ = 1, κ = 2 y adaptando
κ ∈ K = {1, 2} bajo una limitación de potencia de pico (R = 4 bits por
uso de canal). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4.12. BER promedio de un diseño TOD con precodificador lineal con nT =
nR = 4 usando un precodificador lineal con κ = 1, κ = 2, κ = 4 y
adaptando κ ∈ K = {1, 2, 4} bajo una limitación de potencia de pico
(R = 4 bits por uso de canal). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
4.13. BER promedio con nT = 2 y nR = 4 (R = 4 bits por uso de canal). . . .
97
4.14. BER promedio de un diseño TOD con mismo número de antenas nT =
nR = 2 y diferente R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.15. BER promedio de un diseño TOD con mismo número de antenas nT =
nR = 4 y diferente R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.16. BER promedio de un diseño TOD con mismo R = 16. . . . . . . . . . .
99
4.17. BER promedio de un diseño TOD con mismo R = 4. . . . . . . . . . . . 101
4.18. BER promedio de un diseño TOD con mismo R = 4 con CSIT y sin CSIT. 101
4.19. BER promedio de un diseño TOD con mismo R = 4 con CSIT y sin CSIT. 102
4.20. BER promedio de un diseño TOD con mismo número de antenas con
CSIT y sin CSIT y con diferente R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.1. Diseño del transmisor/receptor TOD sin conocimiento de canal . . . . . . 107
5.2. Diseño del transmisor/receptor TOD con conocimiento de canal . . . . . 107
Capítulo 1
Introducción
Durante las dos últimas décadas hemos sido testigos de un enorme crecimiento en
las comunicaciones móviles e inalámbricas, donde el teléfono móvil ha sido el dispositivo
dominante y la voz la aplicación principal. Con la era de Internet entrando en una fase de
madurez y con la creciente penetración de los servicios inalámbricos de datos después de
la puesta en marcha de la tercera generación (3G) y sus servicios de paquetes (HSDPA y
HSUPA) se está desarrollando un nuevo paradigma hacia los servicios orientados a datos.
El crecimiento futuro de las comunicaciones inalámbricas en las próximas décadas
se espera que se centre en una gran variedad de servicios de datos y aplicaciones. Esta
evolución será una realidad gracias a una amplia gama de dispositivos inalámbricos más
allá de la telefonía móvil tradicional tales como ordenadores portátiles tradicionales, netbooks, ebooks, smartphones, tablets, etc. Los futuros sistemas inalámbricos estarán pues
basados en paquetes y destinados a estar siempre conectados a un bajo coste.
De esta manera, aplicaciones en tiempo real tan exigentes como el streaming de
vídeo, hacen necesarias una red de comunicaciones móviles caracterizada por una alta
eficiencia espectral y velocidad de transmisión, así como una baja latencia. Por otra parte, la alta movilidad, la disponibilidad continua en canales de propagación cambiantes y
con variaciones en las condiciones de tráfico, y la coexistencia de una gran variedad de
aplicaciones y tecnologías de acceso, exige el desarrollo de una nueva interfaz de radio.
17
18
Con el fin de conseguir estos objetivos, todo parece indicar que la interfaz de radio
se basará en sistemas de transmisión multiantena (MIMO) con acceso múltiple por división ortogonal en frecuencia (OFDMA). Así lo indican proyectos corporativos tales como
SURFACE [sur09], MASCOT [mas09] y WINNER [win08], así como procesos de estandarización de la 3GPP para UTRAN LTE [Eks06] [Bah07] y de la IEEE para WIMAX
[Bal07].
Este tipo de interfaz de radio está compuesto principalmente por el bloque encargado de la gestión de los recursos de radio (RRM) y el sistema de transmisión de capa física.
La función principal del RRM es la de asegurar que los recursos de radio sean utilizados
de manera eficiente para servir a los usuarios de acuerdo con sus restricciones de calidad
de servicio (QoS). Así pues, un sistema RRM típico está compuesto por un planificador
de paquetes en el dominio del tiempo y la frecuencia y un sistema de adaptación rápida
de enlace. Mientras que el primero asigna unidades de transmisión tiempo-frecuenciales
a los usuarios programados, el segundo controla los parámetros de transmisión (esquema
de codificación y modulación y adaptación MIMO), basándose ambos en el estado del
canal de transmisión.
El objetivo del proyecto es el diseño de un sistema de transmisión de capa física
que pueda ser integrado en una interfaz de radio con las características antes comentadas.
Asumiendo que existe un RRM que fija todos los parámetros de la transmisión, nuestro
objetivo es el diseño del sistema de comunicaciones MIMO reconfigurable y capaz de
adaptarse a la información sobre el estado de canal disponible en transmisión.
TRANSMISOR
Símbolos
de datos
Codificador
espacio-temporal
Precodificador
lineal
Ruido aditivo
Canal MIMO
Receptor lineal
Símbolos de
datos estimados
Canal de feedback
Figura 1.1: Esquema básico MIMO.
Tal y como se muestra en la Figura 1.1, el transmisor está compuesto por un codifi-
1. Introducción
cador espacio-tiempo y un precodificador lineal que cambia de acuerdo el conocimiento
de canal (CSI). El tipo de conocimiento de canal en el transmisor dependerá de la capacidad del sistema de adaptarse a las variaciones del canal mediante la información enviada
por el receptor al transmisor a través del canal de feedback.
Vamos a diseñar el sistema suponiendo los siguientes tipos de CSIT (Channel State
Information at the Transmitter side).
Sin conocimiento de canal (No CSIT): En este caso no se asume canal de feedback.
En esta situación, no es necesario el precodificador lineal.
Con conocimiento perfecto de canal (CSIT Perfecto): Este caso asume un canal
de feedback con un ancho de banda ilimitado de manera que el transmisor tiene
un conocimiento perfecto e instantáneo del canal. En esta situación, el número de
símbolos transmitidos y el precodificador lineal y receptor son diseñados para minimizar la probabilidad de error de bit (BER).
Los casos descritos anteriormente son sólo modelos teóricos, aunque se ajustan perfectamente a las situaciones que se encuentran en un sistema práctico. Cabe comentar que
el caso sin conocimiento del canal sería una hipótesis correcta cuando el canal varía demasiado rápido para poder adaptar el transmisor MIMO a las realizaciones instantáneas del
canal, con lo que la información procedente del canal de feedback estará siempre desactualizada. Por el contrario, el caso de conocimiento perfecto se da cuando el canal varía
tan lentamente que el receptor puede proporcionar al transmisor una estimación perfecta
del valor actual del canal.
El proyecto se estructura como sigue.
En el capítulo 2 se analiza el potencial y las ventajas de los canales MIMO en
términos de capacidad de canal. Además de obtener la expresión general de la capacidad,
se determina como queda afectada dependiendo del conocimiento de canal en transmisión
que se disponga o cuando se modifica el número de antenas a uno u otro lado del enlace.
19
20
En el capítulo 3 se presentan las diferentes tendencias en el desarrollo y diseño de
las técnicas de transmisión en canales MIMO. Primeramente se repasan las principales
técnicas sin conocimiento de canal, y posteriormente se analiza más en profundidad el
diseño basado en códigos de traza ortogonal (TOD). Se considera un sistema de transmisión MIMO basado en códigos de traza ortogonal sin conocimiento de canal, es decir, se
asume que no hay canal de feedback y se propone un receptor capaz de detectar todos los
códigos espacio temporales que puedan representarse mediante un modelo lineal.
En el capítulo 4 se considera un sistema MIMO con conocimiento de canal, donde
sí tenemos un canal de feedback, y se propone un precodificador lineal en el extremo del
transmisor. Primeramente se presenta el diseño conjunto del transmisor y receptor de un
sistema MIMO con conocimiento perfecto de canal. Posteriormente se particulariza este
diseño para el caso en el cual el sistema incluye un codificador TOD.
En el capítulo 5 se recogen, finalmente, todas las conclusiones obtenidas en los
capítulos anteriores y se comentan las líneas futuras de investigación que podrían dar
continuidad a este proyecto.
Capítulo 2
Sistemas MIMO
2.1.
Introducción
La creciente demanda de mayor velocidad de transmisión en sistemas inalámbricos,
donde la potencia y el ancho de banda son recursos escasos, ha suscitado mucho interés en
la investigación de formas para aumentar la eficiencia espectral. En particular, una de las
claves en el diseño de sistemas con mayor eficiencia espectral es la dimensión espacial.
Aunque el uso de la dimensión espacial de los sistemas inalámbricos no es nuevo (sectorización de células y paneles en estaciones base son ejemplos comunes), es realmente el
despliegue simultáneo de elementos multiantena (MIMO) a ambos lados de los enlaces
de comunicación el que nos puede llevar a incrementar notablemente las prestaciones del
sistema de comunicaciones [Loz01].
Los trabajos pioneros de Foschini [Fos98] y Telatar [Tel99], iniciaron una gran
actividad investigadora con el objetivo de caracterizar las propiedades teóricas y prácticas
de los canales inalámbricos MIMO. Independientemente del esquema de modulación y
de la estrategia de codificación que se utilice, el canal de propagación siempre impone
un límite en la máxima velocidad de transmisión que se puede alcanzar, conocido como
capacidad del canal. Desde el punto de vista del diseño, la capacidad del canal físico
proporciona no sólo una manera de evaluar el nivel de calidad del diseño final, sino una
21
2.2. Ventajas de la Tecnología MIMO
22
ayuda inestimable para el desarrollo del diseño.
Tras estos trabajos iniciales, los sistemas MIMO durante la última década han ganado en popularidad, quedando demostrado su potente rendimiento y mejora en términos
de capacidad.
En este capítulo presentamos las ventajas de los sistemas MIMO frente a los sistemas convencionales con una única antena o SISO (single-input single-output), así como
un análisis de capacidad.
2.2.
Ventajas de la Tecnología MIMO
La utilización de múltiples antenas simultáneamente en transmisión y en recepción
aporta una serie de beneficios frente a los sistemas SISO tradicionales, algunos de las
cuales existen también en las configuraciones con múltiples antenas en un único lado
del enlace (SIMO/MISO), mientras que otros son exclusivos de los canales MIMO. A
continuación se exponen las ventajas más importantes de estos últimos. En general, puede
que no sea posible explotar simultáneamente todas las ventajas descritas en esta sección,
debido a las limitaciones de la dimensión espacial, sin embargo, podemos utilizar una
combinación de éstas y así mejorar las prestaciones de un sistema de transmisión MIMO.
2.2.1.
Ganancia debida a la Agrupación
La ganancia debida a la agrupación se define como la mejora en la relación señal
a ruido (SNR) obtenida al combinar coherentemente las señales recibidas. En un sistema SIMO se reciben múltiples versiones de la señal transmitida con amplitudes y fases
diferentes determinadas por las condiciones de propagación. Si se conoce el canal en
recepción, se pueden combinar estas réplicas coherentemente mediante el procesado de
señal adecuado y así aumentar la potencia de la señal recibida, consiguiendo mejorar la
2. Sistemas MIMO
calidad de ésta.
La ganancia debida a la agrupación puede explotarse también en sistemas MISO
utilizando técnicas de conformación de haz, que requieren el conocimiento del canal para
poder procesar óptimamente la señal antes de transmitirla.
2.2.2.
Ganancia de Diversidad
La potencia recibida en un enlace de radiocomunicaciones fluctúa en las dimensiones temporal, frecuencial y espacial. La técnica conocida como diversidad se utiliza
para combatir estos desvanecimientos, proporcionando al receptor varias versiones de la
señal transmitida a través de enlaces o ramas independientes. Se denomina orden de la
diversidad al número disponible de estas réplicas y al aumentarlo, se incrementa también
la probabilidad de que, en un determinado instante de tiempo, la señal se reciba correctamente, lo cual ayuda a estabilizar la comunicación.
En los sistemas SISO esto puede conseguirse en forma de diversidad temporal o
frecuencial. Desafortunadamente estas técnicas implican una penalización en cuanto a
velocidad de transmisión, debido a la utilización de tiempo o ancho de banda adicional
para incluir la redundancia. En los canales MIMO, en cambio, la diversidad se introduce
en la dimensión espacial, lo cual evita reducir la tasa de transmisión respecto al sistema
SISO.
En sistemas SIMO la diversidad se aplica en recepción, aprovechando las diferentes
versiones de la señal transmitida obtenidas de las múltiples antenas receptoras. La diversidad en transmisión asociada a los sistemas MISO es más difícil de explotar que la anterior,
puesto que se requiere el diseño de sistemas de codificación y modulación específicos. En
ambos casos el orden de la diversidad se corresponde, en la mejor de las situaciones, con
el número de antenas.
La utilización de diversidad en sistemas MIMO requiere la combinación de las téc-
23
2.3. Capacidad de Canal
24
nicas de diversidad en transmisión y recepción mencionadas anteriormente. Un sistema
MIMO contiene tantos enlaces SISO como el mínimo número de antenas transmisoras
o receptoras. Si todos estos enlaces sufren desvanecimientos independientes y se utiliza
una técnica de transmisión adecuada cada uno de estos enlaces dispone de una diversidad
igual al número máximo de antenas transmisoras o receptoras. En consecuencia, el orden
de la diversidad en un sistema MIMO coincide en el mejor de los casos con el producto
del número de antenas transmisoras y receptoras.
2.2.3.
Ganancia de Multiplexado
La característica más importante que diferencia a los sistemas MIMO de los sistemas SIMO o MISO es la denominada ganancia de multiplexado, que determina el incremento de la tasa de transmisión que se puede conseguir sin consumo adicional de
potencia. Mientras que la ganancia debida a la agrupación y la ganancia de diversidad
pueden obtenerse en sistemas con múltiples antenas sólo en un extremo del enlace, la ganancia de multiplexado requiere la existencia de varias antenas tanto en transmisión como
en recepción. En esta situación, se forman subcanales paralelos que pueden utilizarse para la transmisión simultánea de flujos de datos independientes, y conseguir así el citado
aumento de la velocidad de transmisión.
2.3.
Capacidad de Canal
La capacidad de Shannon de un canal MIMO, que no varía en el tiempo, se define
como la máxima información mutua entre el canal de entrada y salida y nos da la máxima velocidad de transmisión de datos que puede soportar un canal con una probabilidad
de error arbitrariamente pequeña. Cuando el canal es variable en el tiempo, la capacidad
tiene múltiples definiciones, dependiendo del conocimiento del estado del canal o de su
distribución en el transmisor y/o receptor, así como de la escala de variación temporal
del canal aleatorio. Si el canal es ergódico, es decir, si tomando una muestra temporal
2. Sistemas MIMO
suficientemente larga obtenemos una distribución similar a la distribución estadística del
canal, la capacidad se define como la máxima información mutua promediada sobre los
posibles estados del canal. Así pues, la capacidad ergódica tiene sentido siempre que el
canal varíe rápidamente en la escala temporal de interés o la transmisión sea lo suficientemente larga como para experimentar todos los estados del canal. En cambio, cuando el
canal es casi-estático, es decir, cuando sólo experimentamos uno (o varios) estados del
canal por transmisión, la medida apropiada es la capacidad con outage, definida como la
máxima tasa de transmisión que puede alcanzarse con una cierta probabilidad de outage
[Gol03].
Además de las condiciones del canal y el grado de información de los canales disponibles en el transmisor y/o el receptor, la capacidad de un sistema MIMO depende también
en gran medida de otros factores adicionales, que llamamos restricciones de señal, como
son:
Restricción de potencia media que se aplica a cada una de las antenas de transmisión
o como media de todas las antenas de transmisión.
• Restricción de potencia a corto plazo: el promedio es de un solo bloque de
código de transmisión.
• Restricción de potencia a largo plazo: el promedio se realiza de varios bloques.
Restricciones de potencia de pico o de amplitud son prácticas comunes en análisis
basados en la teoría de la información, ya que reflejan con mayor precisión las
limitaciones de los sistemas de comunicación práctica [Shi97].
El ancho de banda juega un papel importante en el conjunto de restricciones aplicadas en el análisis de la teoría de la información. Las limitaciones de ancho de banda
se pueden dar en términos de una distribución definiendo el porcentaje de tiempo
que un cierto ancho de banda se asigna al sistema.
Restricciones de retardo suponen una limitación para cualquier sistema práctico.
25
2.3. Capacidad de Canal
26
Las restricciones de retardo dan lugar a nuevas expresiones de la teoría de la información como la capacidad frente al outage y la capacidad con límites de retardo.
2.3.1.
Capacidad en Canales SISO
En esta sección se revisa la definición de capacidad de canal y se utiliza para derivar la conocida fórmula de Shannon para canales con ruido Gaussiano aditivo y blanco
(AWGN, additive white Gaussian noise).
La capacidad teórica del canal es una medida de la tasa máxima de transmisión de
información que se puede conseguir con una probabilidad de error de bit arbitrariamente
pequeña. Puesto que la capacidad es función de la realización del canal aleatorio de la que
se dispone, ésta debe tratarse también como una variable aleatoria. Es necesario señalar
también que los cálculos de capacidad no asumen ninguna técnica de transmisión en particular y, por lo tanto, simplemente facilitan una cota superior para la tasa que se puede
alcanzar con un canal determinado.
Si en un sistema de comunicaciones sin memoria se representa la entrada y la salida
del canal como x e y, respectivamente, su capacidad se define como
C = máx I(x; y)
p(x)≤P
(2.1)
donde I(x; y) denota la información mutua entre x e y que debe maximizarse sobre todas
las posibles distribuciones de probabilidad p(x) de la señal transmitida que cumplan la
restricción de potencia. La información mutua entre dos variables aleatorias es una medida de cuanta información contiene una variable sobre la otra. Utilizando el concepto de
entropía, denotado por H(·), la información mutua I(x; y) puede escribirse como
I(x; y) = H(y) − H(y/x).
(2.2)
La entropía de una variable aleatoria es una medida de la información media requerida
para describirla o, dicho de otra forma, una medida de la incertidumbre de ésta. De esta manera, según la ecuación (2.2), la información mutua puede interpretarse como la
2. Sistemas MIMO
27
reducción de la incertidumbre de una variable aleatoria que implica el conocimiento de
otra.
Para un sistema dotado de una única antena tanto en transmisión como en recepción,
denominado sistema SISO, el modelo de la señal recibida cuando el canal es AWGN viene
dado por
y(t) = h · x(t) + w(t)
(2.3)
siendo h la atenuación compleja introducida por el canal y w(t) el ruido complejo, Gaussiano, de media nula, blanco e independiente de la señal transmitida. Además se considera
que la potencia transmitida está limitada de forma que E{x(t)x(t)∗ } ≤ P , donde la esperanza se toma sobre la distribución de la señal de entrada.
En este caso, utilizando (2.2), la fórmula de capacidad (2.1) puede reescribirse como
C =
máx I(x; y) = máx {H(y) − H(y/x)}
p(x)≤P
=
p(x)≤P
máx {H(y) − H(h · x + w/x)}
p(x)≤P
=
máx {H(y) − H(w/x)}
p(x)≤P
=
máx {H(y)} − H(w),
p(x)≤P
(2.4)
por lo que debemos maximizar la entropía H(y) sobre todas las posibles distribuciones
de probabilidad p(x) de la señal transmitida. Para una señal que está limitada a tener una
cierta potencia media, la maximización de H(y) con y = h · x + w se obtiene cuando
y sigue una distribución Gaussiana de potencia Py = σy2 , lo cual implica que x debe ser
también Gaussiana. En consecuencia, puesto que H(a) = log2 (πeσa2 ) siempre que a sea
compleja y Gaussiana con varianza σa2 , tenemos que
C = log2 (πeσy2 ) − log2 (πeσw2 )
= log2 (πe(|h|2 σx2 + σw2 )) − log2 (πe(σw2 ))
2
2 σx
= log2 1 + |h| 2
σw
2 P
= log2 1 + |h| 2 bits/simbolo.
σw
(2.5)
Es interesante expresar la capacidad, en lugar de en bits por símbolo o por uso de
2.3. Capacidad de Canal
28
canal, en bits por segundo o, como se hará en el resto del capítulo, en bits por segundo
y por Hz, normalizando por el ancho de banda1 . Si tenemos en cuenta que, según el criterio de Nyquist [Pro01], la máxima tasa de transmisión es 2BW símbolos por segundo,
obtenemos finalmente la conocida fórmula de la capacidad de Shannon [Sha48].
2 P
C = 2BW log2 1 + |h| 2 bps
σw
2
= log2 1 + |h| snr bps/Hz.
donde snr =
P
2
σw
(2.6)
denota la relación señal a ruido.
El comportamiento asintótico de la capacidad, obtenida en (2.6), cuando la relación
señal a ruido (SNR) crece ilimitadamente, viene dado por
lı́m log2 1 + |h|2 snr
snr→∞
= lı́m log2 |h|2 snr
snr→∞
= log2 |h|2 + lı́m log2 (snr) ,
lı́m C(snr) =
snr→∞
snr→∞
(2.7)
lo cual nos asegura un comportamiento logarítmico con la SNR, es decir, un incremento
de ésta en 3 dB nos aporta 1 bps/Hz más de capacidad.
2.3.2.
Capacidad en Canales SIMO/MISO
En esta sección, como paso previo a la obtención de la capacidad en canales MIMO
(Multiple-Input Multiple-Output), se presentan sin demostración las fórmulas de capacidad para canales SIMO (Single-Input Multiple-Output) y MISO (Multiple-Input SingleOutput). Éstas nos serán muy útiles para poder realizar comparaciones y así percibir las
notables ventajas que supone la utilización de sistemas MIMO frente a los anteriores.
Cuando se despliegan nR antenas receptoras manteniendo una única antena en transmisión, tenemos un sistema SIMO y su capacidad viene dada por [Fos98]
!
nR
X
2
C = log2 1 + snr
|hi |
bps/Hz
i=1
1
El ancho de banda del equivalente pasobajo de una señal de ancho de banda BW es 2BW .
(2.8)
2. Sistemas MIMO
29
donde hi es la atenuación compleja del canal que ve la antena i-ésima. Es interesante
destacar que al aumentar el número de antenas en recepción, tan sólo se consigue un incremento logarítmico de la capacidad. De forma similar, si se opta por utilizar nT antenas
transmisoras, tenemos un sistema MISO, cuya capacidad, cuando el transmisor no conoce
el canal, es [Fos98]
n
C = log2
T
snr X
|hi |2
1+
nT i=1
!
bps/Hz
(2.9)
donde la normalización por nT garantiza que se mantenga la potencia total transmitida.
Este factor determina, además, la ausencia de ganancia de capacidad debida a la agrupación de antenas, al contrario de lo que ocurre en (2.8), donde la potencia recibida por los
diferentes subcanales puede combinarse coherentemente. De nuevo, la capacidad posee
una relación logarítmica con la SNR.
2.3.3.
Capacidad en Canales MIMO
La presente sección es la parte principal del capítulo, puesto que en ella se obtiene
la expresión de la capacidad para canales MIMO y se estudia sus propiedades en función
de diferentes parámetros y suposiciones
A continuación se demuestra que un canal con nT entradas o antenas transmisoras
y nR salidas o antenas receptoras se compone de mı́n(nT , nR ) subcanales paralelos o
modos propios. En consecuencia, la capacidad puede entenderse como la suma de las
capacidades individuales de estos subcanales. Dependiendo del conocimiento sobre el
estado del canal que se disponga en transmisión, se pueden utilizar diferentes técnicas de
asignación de potencia que suponen también capacidades diferentes.
El modelo de la señal recibida en el caso de un canal MIMO no selectivo en frecuencia con nT antenas transmisoras y nR antenas receptoras viene dado por
y = Hx + w
(2.10)
donde x ∈ CnT ×1 es el vector transmitido, y ∈ CnR ×1 el vector recibido, w ∈ CnR ×1
es un vector de ruido complejo, Gaussiano, de media nula y con partes real e imaginaria
2.3. Capacidad de Canal
30
independientes y de igual varianza y H ∈ CnR ×nT es la matriz del canal. El canal MIMO
en un instante determinado está representado por la siguiente matriz:


h11 h12 h13 · · · h1nT



 h
 21 h22 h23 · · · h2nT 



H=
h
h
h
·
·
·
h
31
32
33
3n
T 

 .
..
..
.. 
..
 ..
.
.
.
. 


(2.11)
hnR 1 hnR 2 hnR 3 · · · hnR nT
donde hi,j es la ganancia del canal SISO entre cada antena receptora i-ésima y cada antena
transmisora j-ésima (ver Figura 2.1):
h11
Tx1
Tx2
h12
h13
Tx3
TxnT
Rx1
Rx2
Rx3
h1nR
RxnR
Figura 2.1: Esquema para la obtención de la matriz de canal.
El transmisor está limitado de forma que la potencia total trasmitida debe ser menor
que P
E{xH x} ≤ P
(2.12)
H
o, de forma equivalente, dado que xH x = tr(xx ),
tr(E{xxH }) ≤ P.
(2.13)
Asumimos, también, que la comunicación se lleva a cabo usando paquetes, cuya
duración es lo suficientemente corta para que el canal se pueda considerar fijo durante la
transmisión de uno de ellos. En este escenario casi-estático es lógico asociar la capacidad
del canal a una determinada realización de éste sin ser necesario promediar temporalmente.
2. Sistemas MIMO
31
Vamos a obtener la expresión general de capacidad para canales MIMO no selectivos en frecuencia bajo las suposiciones realizadas anteriormente.
De forma análoga al caso del canal SISO la capacidad se define como
C =
=
máx
I(x; y)
máx
{H(y)} − H(w).
p(x),tr(E{xxH })≤P
p(x),tr(E{xxH })≤P
(2.14)
Como la entropía del vector de ruido H(w) no depende de la señal transmitida, maximi-
zar I(x; y) es equivalente a maximizar H(y). La entropía de cualquier vector complejo,
aleatorio y de media nula v ∈ Cn con E{vvH } = Cvv cumple que
H(v) ≤ log2 (det(πeCvv )),
(2.15)
dándose la igualdad sólo en el caso de que v sea Gaussiano y circularmente simétrico. Un
vector complejo v ∈ Cn es Gaussiano y circularmente simétrico cuando el vector real v̂ ∈
T
R2n formado por las partes reales e imaginarias de v tal que v̂ = <e(v)T =m(v)T es
Gaussiano y su matriz de covarianza esté estructurada como


<e(Cvv ) −=m(Cvv )
1
.
E{(v̂ − E{v̂}) (v̂ − E{v̂})T } = 
2 =m(Cvv ) <e(Cvv )
(2.16)
Teniendo en cuenta lo anterior, la entropía H(y) queda maximizada siempre que
y sea un vector complejo, Gaussiano, circularmente simétrico y con matriz de covarianza Cyy . Dado que una transformación lineal no modifica la condición de Gaussiano y
circularmente simétrico, el vector transmitido x debe serlo también necesariamente.
Asumiendo la distribución Gaussiana óptima para el vector x, la matriz de covarianza de y resulta ser
E{yyH } = E{(Hx + w)(Hx + w)H }
= HE{xxH }HH + E{wwH }
= HCxx HH + Cww = Cyy .
(2.17)
2.3. Capacidad de Canal
32
La información mutua máxima y, por consiguiente, la capacidad queda entonces
como
C = log2 (det(πeCyy )) − log2 (det(πeCww ))
= log2 (det(πeHCxx HH + Cww )) − log2 (det(πeCww ))
= log2 det (HCxx HH + Cww )(Cww )−1
= log2 det (HCxx HH )(Cww )−1 + I .
(2.18)
Finalmente, sustituyendo Cww = σw2 I, debido a que el ruido es temporal y espacialmente blanco y utilizando la igualdad det(I + AB) = det(I + BA) se obtiene la
expresión de la capacidad para un canal MIMO [Tel95]
1
H
C = log2 det InT + 2 Cxx H H
.
σw
(2.19)
Al contrario que en el caso de un canal SISO o SIMO, en el cual tan sólo se dispone de una antena transmisora, cuando nos encontramos ante un canal MIMO o MISO,
la potencia disponible puede repartirse entre las antenas transmisoras según diferentes
estrategias. La asignación de potencia depende del conocimiento del canal.
2.3.3.1.
Sin Conocimiento del Canal en Transmisión
Cuando el canal se desconoce totalmente en transmisión la mejor opción es distribuir la potencia disponible uniformemente, con lo que la matriz de covarianza de la señal
transmitida es Cxx = P/nT I. La capacidad para un canal MIMO con distribución uniforme de potencia, también conocida como capacidad en lazo abierto, queda entonces como
[Tel95]
C = log2
snr H
det InT +
H H
nT
donde se ha definido la SNR como snr =
P
2 .
σw
(2.20)
2. Sistemas MIMO
2.3.3.2.
33
Con Conocimiento del Canal en Transmisión
Cuando se conoce perfectamente el canal en transmisión, el reparto de potencia entre las antenas puede hacerse de forma óptima. Esta suposición cobra sentido si el canal
cambia muy lentamente y puede ser seguido mediante la información de feedback obtenida del receptor. La maximización de la capacidad resulta en una técnica de distribución
de potencia conocida como waterfilling, que se describe a continuación.
Tomando como punto de partida la expresión general de capacidad para canales
MIMO (2.19), debemos obtener la matriz de covarianza de la señal transmitida Cxx que
la maximice bajo la restricción tr(Cxx ) ≤ P y que no sea definida negativa. Como HH H
es hermítica puede diagonalizarse, quedando
HH H = UH ΛU
(2.21)
con U ∈ CnR ×nR unitaria y Λ = diag(λ1 , λ2 , . . . , λnR ) ∈ RnR ×nR . Si se aplica la igualdad
det(I + AB) = det(I + BA) tenemos
det(InR + HCxx HH ) = det(InR + Λ1/2 UCxx UH Λ1/2 ).
(2.22)
e xx = UCxx UH no es definida negativa siempre y cuando Cxx no
Se puede observar que C
lo sea, por lo que la maximización sobre Cxx puede llevarse a cabo de la misma manera
e xx . Como toda matriz A no definida negativa cumple que det A ≤ Q [A]
sobre C
i
ii
resulta
e xx Λ1/2 ) ≤
det(InR + Λ1/2 C
Y
e xx ]ii )
(1 + λi [C
(2.23)
i
e xx sea diagonal. Así se puede concluir que la capacidad se
dándose la igualdad cuando C
e xx es diagonal y sus valores vienen dados por el principio de waterfimaximiza cuando C
lling
e xx ]ii = (µ − λ−1 )+
Pi = [C
i
i = 1, 2, . . . , n
(2.24)
donde a+ denota máx(0, a), n es el rango de la matriz del canal, n = rank(H) ≤
mı́n(nR , nT ), y µ debe elegirse para satisfacer la condición
n
X
i=1
e xx ]ii =
[C
n
X
(µ − λ−1
i ) = P.
i=1
(2.25)
2.4. Evaluación de Resultados mediante Simulación
34
En este caso la capacidad, denominada capacidad en lazo cerrado, viene dada por [Tel95]
C=
n
X
log2 (1 + Pi λi ) =
i=1
n
X
log2 (µλi )+ .
(2.26)
i=1
Intuitivamente, la ecuación anterior sugiere que el canal original puede descomponerse en n subcanales paralelos e independientes y que se asigna más potencia a los
canales con SNR más alta. Cada uno de estos subcanales contribuye a la capacidad total
con log 2 (µλi )+ . Si se cumple que
λi µ 1
(2.27)
decimos que este subcanal proporciona un modo efectivo de transmisión y que λi es modo
propio dominante. Además, si todos los valores propios cumplen (2.27), la distribución
de potencia es prácticamente uniforme y la capacidad, la suma de n términos de igual
magnitud.
El comportamiento asintótico de la capacidad, obtenida en (2.20) y (2.26), cuando
la SNR crece ilimitadamente, viene dado por
lı́m C(snr) =
snr→∞
=
=
lı́m
snr→∞
lı́m
snr→∞
n
X
n
X
i=1
n
X
log2 (1 + Pi λi )
log2 (1 +
i=1
log2
i=1
λ i
nT
snr
λi )
nT
+ n lı́m log2 (snr).
snr→∞
(2.28)
(2.29)
(2.30)
lo cual nos asegura que un incremento de la SNR en 3dB nos aporta n bps/Hz más de
capacidad siendo n el rango de la matriz H.
2.4.
Evaluación de Resultados mediante Simulación
En esta sección se recopilan todos los resultados obtenidos anteriormente y se vali-
dan mediante simulación.
2. Sistemas MIMO
2.4.1.
35
Método de Simulación
Los resultados de capacidad han sido obtenido mediante simulaciones de Monte
Carlo basadas en 10000 realizaciones aleatorias del canal, cuya matriz se construye a partir de nT ·nR variables aleatorias complejas, Gaussianas, de media nula, y varianza unidad.
Esto se corresponde con un modelo de canal Rayleigh e incorrelado. Las diferentes configuraciones dependen de varios factores, tales como el número de antenas transmisoras
y receptoras (nR , nT ), la potencia transmitida, el conocimiento del canal en transmisión o
la correlación entre las antenas.
Los resultados se presentan, dependiendo del caso, como funciones de distribución
(CDF), o también en función de la capacidad ergódica.
2.4.2.
Capacidad en Canales SISO/SIMO frente a Capacidad en Canales MIMO
1
0.9
Probabilidad (Capacidad > abcisa)
SISO
0.8
MISO 2x1 distrib. uniforme
MISO 2x1 distrib. óptima
0.7
0.6
MISO 4x1 distrib. uniforme
MISO 4x1 distrib. óptima
0.5
0.4
SIMO 1x2
0.3
SIMO 1x4
0.2
0.1
0
0
2
4
6
Capacidad [bps/Hz]
8
10
12
Figura 2.2: Curvas CDF de capacidad para canales MISO / SIMO incorrelados y
SNR=21dB.
2.4. Evaluación de Resultados mediante Simulación
36
1
0.9
Probabilidad (Capacidad > abcisa)
SISO
MIMO 2x2
0.8
MIMO 3x3
MIMO 4x4
0.7
0.6
MIMO 4x2
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
_______ Distribución uniforme de potencia
__ __ __ Distribución óptima de potencia
0
5
10
15
20
Capacidad [bps/Hz]
25
30
Figura 2.3: Curvas CDF de capacidad para canales MIMO incorrelados y SNR=21dB.
1
MIMO (n,n), n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Probabilidad (Capacidad > abscisa)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
Capacidad [bps/Hz]
50
60
Figura 2.4: Curvas CDF de capacidad para canales MIMO (n,n) incorrelados y
SNR=21dB.
2. Sistemas MIMO
Como puede observarse en la Figura 2.2, donde aparecen las curvas de capacidad
para diferentes configuraciones de canales SIMO y MISO con desvanecimientos Rayleigh
no selectivos en frecuencia, la capacidad crece cuando se aumenta el número de antenas
transmisoras o bien el de receptoras. No obstante, como muestra la Figura 2.3, cuando
se despliegan agrupaciones de varias antenas en transmisión y en recepción simultáneamente, es decir, en presencia de canales MIMO, la capacidad experimenta un crecimiento
mucho mayor, debido a la existencia de subcanales paralelos, que en el caso de canales
SIMO/MISO no existían. En la Figura 2.4 se muestran las curvas de capacidad para canales MIMO (n, n) incorrelados, demostrando que la capacidad aumenta aproximadamente
en un factor n.
2.4.3.
Capacidad en Función de la Potencia Transmitida
En la Figura 2.5 se han representado las curvas de capacidad ergódica para diferentes configuraciones en función de la relación señal a ruido. En ambos casos, cuando la
SNR es alta, queda patente un crecimiento de la capacidad del canal SISO de 1 bps/Hz
cuando se incrementa la SNR en 3 dB, mientras que en los casos MIMO (nT , nR ) la capacidad aumenta n = mı́n(nT , nR ) bps/Hz. También comentar que la asignación de potencia
óptima que se hace cuando se conoce el canal sólo nos proporciona ventajas a baja SNR,
cuando nT > nR , mientras que la capacidad es superior en todo el rango de SNRs en caso
contrario.
37
2.4. Evaluación de Resultados mediante Simulación
38
30
_______ Distribución uniforme de potencia
__ _ __ _ Distribución óptima de potencia
25
Capacidad [bps/Hz]
MIMO 4x4
20
15
MIMO 3x2
MIMO 2x2
10
MISO 2x1
5
SISO
0
0
5
10
15
20
25
SNR [dB]
120
100
Capacidad [bps/Hz]
MIMO
6x6
80
MIMO
4x4
60
MIMO
3x3
40
MIMO
2x2
20
SISO
0
0
10
20
30
SNR [dB]
40
50
60
Figura 2.5: Capacidad ergódica para canales MIMO incorrelados.
2. Sistemas MIMO
2.5.
Conclusiones
Independientemente del esquema de modulación y de la estrategia de codificación
que se utilice, el canal de propagación siempre impone un límite en la máxima velocidad
de transmisión que se puede alcanzar. Esta situación es crítica en los sistemas de comunicaciones móviles actuales, en los cuales se está incrementando sucesivamente la demanda
por parte de los usuarios de tasas de transmisión cada vez más altas. En este capítulo se
ha visto que una posible solución a este problema puede basarse en la utilización de arquitecturas con múltiples antenas tanto en transmisión como en recepción, denominadas
MIMO.
Se ha demostrado que un canal MIMO con nT antenas transmisoras y nR antenas
receptoras supone eficiencias espectrales superiores, ya que se compone de mı́n(nT , nR )
subcanales SISO paralelos y, en consecuencia, la capacidad de canal está formada por la
suma de las capacidades individuales de estos subcanales. Si además se conoce el canal
perfectamente en transmisión, esta información puede emplearse para asignar la potencia de forma óptima, ajustándola a las condiciones de propagación de estos subcanales
mediante la técnica denominada waterfilling.
Se ha obtenido la expresión de capacidad tanto para un sistema SISO como para
un sistema SIMO/MISO y finalmente para un sistema MIMO. Con las simulaciones se
ha corroborado el incremento de capacidad que supone la utilización de sistemas MIMO
frente a los esquemas tradicionales que únicamente incorporan una antena en transmisión
y recepción.
39
Capítulo 3
Diseño MIMO sin Conocimiento de
Canal
3.1.
Introducción
Transmisor
Entrada
de bits
Codificador y
intercalador
Mapeado de
símbolos
(modulador)
Codificador
espacio-temporal
Transmisor lineal
x
Receptor lineal
y
Receptor
Salida
de bits
Desintercalador y
decodificador
Demapeado de
símbolos
(demodulador)
Decodificador
espacio-temporal
Figura 3.1: Esquema básico MIMO.
La Figura 3.1 muestra un esquema de bloques básico que compone un sistema de
comunicaciones MIMO. Los bits de información son codificados y intercalados y posteriormente transformados en símbolos (usando por ejemplo una modulación QAM) por el
modulador. Estos símbolos se envían al codificador espacio-temporal que los transforma
en uno o varios paquetes de datos. Los flujos de datos espaciales se convierten en los
símbolos que se transmitirán simultáneamente por cada una de las antenas por el precodi41
3.2. Técnicas de Transmisión MIMO sin Conocimiento de Canal
42
ficador espacio-temporal. Las señales transmitidas se propagan a través del canal y llegan
a la agrupación de antenas receptoras. El receptor recoge todas las señales de cada antena
receptora y realiza el proceso inverso con el objetivo de detectar los datos: procesado en
recepción espacio-temporal, seguido de decodificación espacio-temporal, demodulación,
deintercalación y decodificación. Para realizar un diseño eficiente de los algoritmos de
comunicación para sistemas MIMO y entender sus limitaciones de comportamiento, es
importante entender la naturaleza de un canal MIMO.
En este apartado vamos a ver las diferentes tendencias en el desarrollo y diseño de
las técnicas de transmisión en canales MIMO. Primeramente repasaremos las principales
técnicas generales que no requieren de conocimiento de canal, también llamadas técnicas
en lazo abierto y posteriormente nos dedicaremos a estudiar más en profundidad el diseño de traza-ortogonal TOD (Trace-Orthogonal Design), debido a su importancia en este
proyecto.
3.2.
Técnicas de Transmisión MIMO sin Conocimiento
de Canal
Los sistemas de transmisión MIMO en lazo abierto pueden subdividirse en dos
categorías: los que maximizan la tasa de transmisión de datos y los que maximizan la
diversidad, aunque recientemente se han hecho algunos esfuerzos para unificar ambos
criterios de diseño al quedar demostrado que no son independientes [Zhe03]. La primera
clase se centra en mejorar el comportamiento de la capacidad media, por lo que se realiza
una multiplexación espacial para conseguir tasas más altas. En un caso extremo, se envían
tantas señales independientes como antenas transmisoras se disponen. Normalmente, sin
embargo, los diferentes flujos se suelen codificar conjuntamente con el fin de proteger la
transmisión contra errores debidos a los desvanecimientos del canal o a la presencia de
ruido e interferencias. Ésto nos conduce a la segunda clase, en la cual se maximiza la diversidad, o, equivalentemente, se minimiza la probabilidad de outage en el canal. Cuando
3. Diseño MIMO sin Conocimiento de Canal
43
se incrementa el nivel de redundancia entre los flujos transmitidos mediante codificación
conjunta, se puede llegar al caso en que la tasa degenere en la de un sistema SISO. En esta
situación, cada antena transmisora envía una versión diferente pero totalmente redundante
de la misma señal, por lo que las múltiples antenas tan sólo se utilizan como una fuente
de diversidad espacial y no para incrementar la tasa, o, al menos, no directamente.
ANT TX 1
Bits de
información de
entrada
CODIFICADOR
ANT RX 1
ANT TX 2
S (K)
CANAL
H
ANT RX 2
H S (K)
RECEPTOR
ESPACIO-TEMPORAL
ANT TX M
ANT RX N
Figura 3.2: Codificación espacio-temporal en un esquema de transmisión MIMO.
El sistema encargado de realizar la codificación conjunta y generar los símbolos
que se envían simultáneamente por cada una de las antenas transmisoras se denomina
codificador espacio-temporal y los símbolos, códigos espacio-tiempo (STC, Space-Time
Codes). Éstos tienen una estructura determinada para maximizar un cierto criterio de diseño como, por ejemplo, la ganancia de diversidad y/o multiplexado. La Figura 3.2 muestra
un codificador espacio-temporal en un sistema de transmisión MIMO.
El primer intento de desarrollar los STCs se presentó en [Ses94], aunque la clave fue
la aparición de los denominados códigos trellis espacio-temporales (STTC, Space-Time
Trellis Codes) en [Tar98]. La popularidad de éstos decreció notablemente con el descubrimiento de los códigos bloque espacio-temporales (STBC, Space-Time Block Codes)
con diseños ortogonales en [Ala98] y [Tar99], debido a que los STBC, por construcción,
pueden decodificarse fácilmente mediante procesado lineal de señal, al contrario que los
STTC que requieren un decodificador de Viterbi vectorial.
También cabe destacar el sistema práctico desarrollado por Bell Labs en [Gol99] y
[Fos99], denominado V-BLAST (Vertical Bell Labs Layered Space-Time) por su simplicidad y su capacidad para conseguir tasas altas. Posteriormente, B. Hassibi y B. Hochwald presentaron en [Has02] los códigos de dispersión lineal, que representan un marco
3.2. Técnicas de Transmisión MIMO sin Conocimiento de Canal
44
unificado para el diseño de códigos espacio tiempo con estructura lineal, puesto que su
formulación es tan general que incluye a V-BLAST y a los STBCs como casos especiales.
3.2.1.
Esquema de Alamouti
El esquema de Alamouti [Ala98] es una técnica de transmisión para 2 antenas que
alcanza la diversidad máxima y permite la detección de máxima verosimilitud (ML) basándose sólo en procesado lineal en el receptor. La estrategia de transmisión para esta
técnica se muestra en la Figura 3.3.
Símbolo de
entrada
Símbolo
en 2i+1
Símbolo
en 2i
x*
x 2i
2i+1
xi
CODIFICADOR
- x *2i
ALAMOUTI
x 2i+1
Figura 3.3: Codificación en un esquema de Alamouti.
s1
h1
Asumiendo que queremos-s*transmitir
los símbolos x0 y x1 , el esquema de Alamouti
^
s
h
ESTIMADOR DE
CANAL
1
h2
ANTENA TX 1
1
DETECTOR ML
2
realiza el siguiente procedimiento. En un primer período
se transmiten
los símbolos x0
h
h
1
2
^2
~
n n
s
y x1 desde la primera y la segunda antena transmisora
respectivamente,
seguidoss de x∗1
s2
h2
0
1
RUIDO +
INTERFERENCIA
1
COMBINADOR
~
s2
*
y −x∗0 en el segundo período. sDe
esta manera, la tasa de transmisión efectiva es de un
1
ANTENA TX 2
símbolo por uso de canal. Además, con el procesado apropiado en el receptor, la matriz del
canal se convierte en un escalar para cada símbolo con la relación entrada-salida siguiente,
r
Ex
ỹi =
kHkF xi + ñi ,
i = 0, 1
(3.1)
2
donde ỹi es la señal recibida procesada (escalar) y ñi es ruido blanco equivalente y
p
kHkF = tr(HHH ) es la norma de frobenius de la matriz H.
La Figura 3.4 muestra una representación del esquema de transmisión de Alamouti,
también conocido con el nombre de STTD (Space Time Transmit Diversity), para una
única antena receptora que corresponde con el caso que vamos a analizar. El canal de
propagación en el instante t puede modelarse como un factor de distorsión complejo hi (t),
entrada
xi
CODIFICADOR
- x *2i
ALAMOUTI
x 2i+1
3. Diseño MIMO sin Conocimiento de Canal
h1
ESTIMADOR DE
CANAL
h1
ANTENA TX 1
h1
s2
s*1
h2
h2
~
s1
n0 n1
RUIDO +
INTERFERENCIA
COMBINADOR
^
s1
h2
DETECTOR ML
s1
-s*2
45
^
s2
~
s2
ANTENA TX 2
Figura 3.4: Esquema de transmisión y recepción de Alamouti para una antena receptora.
siendo h1 (t) el canal correspondiente a la antena 1 y h2 (t) el correspondiente a la 2. Si
asumimos que dichos canales se mantienen constantes al menos durante dos periodos de
símbolo de duración T, tenemos que
h1 (t) = h1 (t + T ) = h1 = α1 ejφ1
h2 (t) = h2 (t + T ) = h2 = α2 ejφ2
(3.2)
y podemos expresar la señales recibidas en los instantes de tiempo t y t + T como
r0 = r(t) = h1 s1 + h2 s2 + n0
r1 = r(t + Ts ) = −h1 s∗2 + h2 s∗1 + n1
(3.3)
donde n0 y n1 son las variables aleatorias complejas que representan el ruido y las interferencias recibidas. Estas señales se combinan en recepción de la siguiente manera
s˜1 = h∗1 r0 + h2 r1∗
s˜2 = h∗2 r0 − h1 r1∗
(3.4)
Sustituyendo (3.2) y (3.3) en (3.4) se obtiene la expresión de la señales combinadas en
función de los símbolos transmitidos
s˜1 = (α12 + α22 )s1 + h∗1 n0 + h2 n1
(3.5)
s˜2 = (α12 + α22 )s2 − h1 n∗1 + h∗2 n0
(3.6)
que se envían al detector de máxima verosimilitud, el cual puede trabajar sobre los símbolos individualmente, puesto que éstos ya han quedado desacoplados en el combinador.
3.2. Técnicas de Transmisión MIMO sin Conocimiento de Canal
46
Aunque el esquema de Alamouti se ha presentado para el caso de una única antena, su generalización a nR antenas receptoras resulta trivial. En este caso el orden de la
diversidad que se alcanza es de 2nR .
3.2.2.
Códigos Bloque Espacio-Temporales basados en Diseños Ortogonales
Tarokh, Jafarkhani y Calderbank, motivados por el esquema de Alamouti, propusieron en [Tar99] una generalización de éste para cualquier número de antenas transmisoras
que, mediante diseños ortogonales, consigue mantener las propiedades de diversidad y
simplicidad de decodificación.
Existen dos clases de códigos bloque espacio-temporales con diseños ortogonales.
La primera está destinada a constelaciones reales tales como PAM. Este tipo de códigos
están bien desarrollados, pues existen construcciones sistemáticas que mantienen la tasa
del símbolo por uso de canal para cualquier número de antenas [Tar99]. El segundo grupo
es el correspondiente a los diseños ortogonales para constelaciones complejas tales como
QAM o PSK. En este caso no es posible conseguir la tasa máxima de codificación en
arquitecturas con más de dos antenas transmisoras.
El proceso de codificación espacio temporal en los STBC está orientado a bloques
de M símbolos, donde M coincide con el número de antenas transmisoras. A partir de
estos símbolos s1 , s2 , ..., sM se construye una matriz ortogonal de dimensiones M ×M . La
fila m-ésima de esta matriz contiene los símbolos que se deben transmitir por cada una de
las M antenas durante la m-ésima ranura de tiempo de las M que dura la transmisión del
bloque completo. Esta estructura ortogonal permite desacoplar fácilmente los M símbolos
transmitidos en recepción y así poder utilizar reglas de decisión más simples basadas en
los símbolos individuales.
La desventaja del esquema presentado anteriormente es que no puede aplicarse a
cualquier número de antenas. En caso de símbolos reales, la existencia de diseños ortogo-
3. Diseño MIMO sin Conocimiento de Canal
ANT RX N
DECODIFICACIÓN
ANT TX M
ANT RX 2
DEMODULACIÓN
ANT TX 2
ANT RX 1
DESAGRUPACIÓN
AGRUPACIÓN
EN BLOQUES
MODULACIÓN
BITS IN
CODIFICACIÓN
ANT TX 1
47
BITS OUT
Figura 3.5: Esquema de transmisión y recepción para sistemas STBC.
nales se conoce en la literatura matemática como problema de Hurwitz-Radon [Ger79],
y quedó totalmente resuelto por Radon en otro contexto cuando demostró que estos diseños existen si y sólo si M = 2, 4 o 8 [Tar99]. Sin embargo, como la simplicidad del
esquema de detección radica en la ortogonalidad de las columnas de la matriz, es posible
generalizar los diseños para matrices que no sean necesariamente cuadradas. Éstas se forman a partir de bloques de nS símbolos y son de dimensión M × Q siendo M > Q, lo
que significa que se emplean Q usos de canal para transmitir cada uno de los bloques. La
tasa de codificación se define entonces como R = nS /Q. Gracias a esta generalización
se consiguen completar los diseños reales existentes para cualquier número de antenas
transmisoras, manteniendo la tasa de codificación unidad, aunque en [Tar99] sólo se proporcionan las matrices para los casos en que M ≤ 8.
El siguiente paso consiste en extender los diseños ortogonales para trabajar con
constelaciones de símbolos complejos. En este caso se ha demostrado que sólo existen
diseños ortogonales cuando M = 2, que se corresponde precisamente con el esquema de
Alamouti [Tar99]. Al igual que en el caso de símbolos reales, cuando se tienen más de 2
antenas, se puede recurrir a los diseños generalizados, aunque debe sacrificarse la tasa de
codificación. La opción más sencilla en esta situación es construir los diseños ortogonales
complejos generalizados a partir de los reales, simplemente utilizando el esquema de
codificación dos veces, una para los símbolos y otra para los símbolos conjugados, lo que
supone una tasa de codificación de 1/2. De todos modos se han encontrado diseños con
tasa de codificación 3/4 en determinados casos como para M = 3 y M = 4.
3.2. Técnicas de Transmisión MIMO sin Conocimiento de Canal
48
3.2.3.
Sistemas BLAST
En las secciones anteriores hemos visto esquemas de codificación espacio tiempo
que utilizan la dimensión espacial para obtener diversidad, puesto que entienden el canal
como una fuente de aleatoriedad que debe combatirse. No obstante, el canal MIMO puede
ser beneficioso al incrementar los grados de libertad para la comunicación. Los esquemas
que explotan este fenómeno se les conoce como sistemas de multiplexado espacial (ver
ejemplo en la Figura 3.6).
x 2i
Símbolo de
entrada
xi
MULTIPLEXADOR
ESPACIAL
x 2i+1
Figura 3.6: Esquema de multiplexado espacial con un transmisor de 2 antenas.
ANT RX 1
SEPARACIÓN
SUBTRACCIÓN
ESPACIAL
DECODIFICADOR 1
BITS IN
DeMUX
Uno de los primeros sistemas que aparecieron ANT
deTXeste
tipo
fue
D-BLAST (Diago2
ANT RX
2
CODIFICADOR 2
DECODIFICADOR 2
nal Bell Labs Layered Space-Time) propuesto por Foschini en [Fos96]. Éste consigue,
CODIFICADOR M
x 2i
ANT TX M
ANT RX N
DECODIFICADOR M
mediante una
diagonal, velocidades de transmisión que representan una proSímbolocodificación
de
entrada
xi
MULTIPLEXADOR
ESPACIAL
porción muy alta de la capacidad
teóricax del canal. Sin embargo, debido a su complejidad,
2i+1
no era demasiado apropiado para una implementación inicial, así que se propuso un nuevo
sistema en [Gol99] denominado V-BLAST (Vertical Bell Labs Layered Space-Time).
ANT RX 1
CODIFICADOR 2
CODIFICADOR M
ANT TX M
ANT RX 2
ANT RX N
DECODIFICADOR 1
DECODIFICADOR 2
MUX
DeMUX
BITS IN
ANT TX 2
SEPARACIÓN
SUBTRACCIÓN
ESPACIAL
ANT TX 1
CODIFICADOR 1
BITS OUT
DECODIFICADOR M
Figura 3.7: Esquema de transmisión y recepción para sistemas BLAST.
En la Figura 3.7 se muestra el diagrama de bloques de un sistema BLAST general.
Como puede observarse, el flujo de datos se divide en un número de subflujos igual al número de antenas, que son codificados, modulados, y transmitidos independientemente. El
MUX
ANT TX 1
CODIFICADOR 1
BITS OUT
3. Diseño MIMO sin Conocimiento de Canal
proceso de codificación no se especifica en la figura, puesto que en él reside precisamente
la diferencia entre D-BLAST y V-BLAST. En D-BLAST se introduce una cierta redundancia entre los diferentes subflujos mediante códigos dispersos a lo largo de diagonales
en espacio-tiempo. En V-BLAST, en cambio, no se realiza ningún tipo de codificación
entre los diferentes subflujos. Por ello, se hace necesario que el receptor disponga de más
antenas que el transmisor para poder separar los diferentes subflujos paralelos. En este
sentido, V-BLAST es un claro ejemplo de sistema de codificación espacio-temporal que
se beneficia de la ganancia de multiplexado presente en los canales MIMO para conseguir
tasas más altas.
3.3.
Diseño con Códigos TOD
Como hemos visto anteriormente, los sistemas MIMO recientemente se han estu-
diado en detalle debido a su gran potencial para incrementar la eficiencia espectral sobre
un canal inalámbrico con dispersión [Tel99]. También hemos visto en la sección anterior,
que una manera de explotar este potencial es mediante el multiplexado espacial, utilizando por ejemplo, la técnica V-BLAST. No obstante, un inconveniente de este diseño es que
no podemos aprovechar la diversidad espacial, la cual es una de las importantes ganancias
ofrecidas por los sistemas MIMO. Para explotar la diversidad tenemos que recurrir necesariamente a codificación espacio-temporal, la cual, sin embargo, puede causar grandes
pérdidas en términos de velocidad de transmisión.
Los códigos bloque espacio-temporales basados en diseños ortogonales (OSTBC)
presentados en las Secciones 3.2.1 y 3.2.2 son un ejemplo de codificación de máxima
diversidad, pero que incurren en graves pérdidas de capacidad [San00]. Un avance hacia la maximización de la velocidad de transmisión la realizaron Hassibi y Hochwald
en [Has02]. Proponían un método general para el diseño de códigos de dispersión lineal
(LDC), donde los símbolos de transmisión se encuentran dispersos en el espacio y tiempo
mediante matrices de codificación, que se diseñan numéricamente con el fin de maximizar la capacidad ergódica del sistema MIMO, sujeto a una limitación de potencia. Sin
49
3.3. Diseño con Códigos TOD
50
embargo, debido a la no convexidad del problema, las soluciones no son únicas y no está
garantizada su optimalidad. Además, dado que los LDC optimizan la capacidad ergódica, su probabilidad de error no está garantizada para las transmisiones de bloques finitos.
Para solucionar este problema, Heath and Paulraj en [Hea02] propusieron un algoritmo
numérico para construir LDC con la intención de minimizar la probabilidad de error, sin
pérdidas en términos de capacidad. Sin embargo, una vez más, debido a las dificultades
del problema, el diseño no garantiza llegar a una solución óptima.
En el esfuerzo por diseñar códigos que garantizaran un buen comportamiento en términos de velocidad de transmisión y probabilidad de error, Ma and Giannakis en [Ma03]
y El Gamal y Damen en [Gam03] proponían métodos generales para la construcción de
códigos capaces de minimizar las pérdidas de tasa y garantizar al mismo tiempo máxima
diversidad.
Este esfuerzo está motivado por el hecho de que la codificación espacio-temporal
es la herramienta necesaria para lograr máxima diversidad, pero la eficiencia espectral
es una de las principales motivaciones para usar sistemas MIMO. Por lo tanto, cualquier
proceso que lleve a pérdida de velocidad de transmisión debe evitarse. De esta manera
alcanzaremos el potencial de MIMO sin incurrir en pérdidas de capacidad.
Respecto a esto, [Hea02], establece una condición suficiente para que los LDCs
obtengan la tasa de transmisión máxima, es decir, se transmitan nS = nT · Q, donde nS es
el número de símbolos transmitidos, nT es el número de antenas transmisoras y Q es el
número de usos de canal, cuando el canal MIMO sigue un modelo Rayleight incorrelado.
Con las mismas hipótesis que en [Hea02], en [Liu04] se demostró que esta condición es
también necesaria para alcanzar la capacidad ergódica y es equivalente al requerimiento
de ortogonalidad en traza de las matrices de codificación correspondientes.
Sin embargo, en las transmisiones de paquetes con restricción de retardo, especialmente en las que la duración del bloque de codificación es más corta que el tiempo de
coherencia del canal, la capacidad ergódica pierde su significado. En tal caso, la capacidad con outage es un parámetro más significativo. Su cálculo requiere del conocimiento
3. Diseño MIMO sin Conocimiento de Canal
51
de las estadísticas del canal, lo cual no es siempre una hipótesis válida. En este contexto,
es necesaria la caracterización de las propiedades estructurales de los códigos espaciotemporales, independientemente de la estadística del canal, garantizando que no haya
pérdida de velocidad de transmisión para cada posible realización del canal. Esto es, por
ejemplo, el planteamiento seguido en [Bar05b] y [Bar05a], donde se dan condiciones suficientes y necesarias para la transmisión sin pérdidas de tasa, cualquiera que sea el modelo
de canal.
Estos modelos preliminares dan lugar a los códigos de traza ortogonal (TOD) en
[Fas08]. Puesto que ésta es la técnica de codificación espacio-temporal que hemos adoptado en nuestro esquema de transmisión MIMO, la trataremos a continuación en más
detalle.
3.3.1.
Modelo de Señal
Consideramos un sistema MIMO con nT antenas transmisoras y nR antenas receptoras. Después del filtrado y del muestreo de símbolos, la relación entrada-salida la
podemos definir como
y = Hx + w
(3.7)
donde y ∈ CnR ×1 es el vector recibido, H ∈ CnR ×nT es la matriz que define al canal, x ∈
CnT ×1 es el vector de símbolos transmitidos, y w ∈ CnR ×1 el vector de ruido complejo,
Gaussiano, de media nula y con matriz de covarianza InR . Asumiendo el canal constante
para Q usos de canal, y agrupando los vectores transmitidos y recibidos en matrices,
obtenemos la siguiente relación:
Y = HX + W
(3.8)
donde Y ∈ CnR ×Q es la matriz recibida, H ∈ CnR ×nT es la matriz del canal, como
anteriormente, X ∈ CnT ×Q es la matriz de códigos espacio-tiempo transmitida y W ∈
CnR ×Q es la matriz de ruido recibida. Consideramos también que la potencia transmitida
3.3. Diseño con Códigos TOD
52
está limitada de forma que
1
E{kXk2F } ≤ snr
Q
donde snr es la SNR media por antena receptora.
(3.9)
Estamos interesados en la caracterización de estrategias que garanticen la codificación sin pérdidas en la tasa de transferencia de información. Con este fin, consideramos
una codificación lineal en espacio-tiempo. En este caso, el codificador espacio-temporal
genera una matriz de códigos X a partir de nS símbolos complejos, incorrelados, de media
nula y potencia unidad:
r
X=
n
S
snr X
Ak s k
nT k=1
(3.10)
donde Ak (k = 1, . . . , nS ) son las nT × Q matrices complejas que definen el código. En
(3.10) se muestran los códigos complejos puros [Kir04] de dispersión lineal (LD) espaciotemporal introducidos en [Has02]. Originalmente, los códigos de dispersión lineal estaban
basados en una modulación lineal independiente de símbolos complejos y sus conjugados,
o lo que es lo mismo, una codificación por separado de la parte real y imaginaria de los
símbolos, como el esquema de Alamouti (ver Sección 3.2.1) o los códigos bloque espaciotemporales basados en diseños ortogonales (OSTBC) (ver Sección 3.2.2).
Sin embargo, en [Hea02] se afirma que los códigos espacio-tiempo no-ortogonales,
no tienen diferencias significativas en su rendimiento si el código espacio-temporal es
construido como una función lineal de símbolos complejos. Esta observación es corroborada más adelante al demostrar que la estructura (3.10) no tiene pérdidas de tasa de
información. Por otra parte, (3.10) permite una fácil caracterización de la codificación de
las matrices que garantizan que no se pierda velocidad de transmisión.
Aplicando el operador vec(·) en (3.10) obtenemos
r
r
nS
snr X
snr
vec(X) =
vec(Ak )sk =
Fs
nT k=1
nT
(3.11)
donde F es la matriz cuya k-ésima columna es vec(Ak ) y s = [s1 , s2 , . . . , snS ]T . Esto
nos lleva a que un código espacio-temporal es no singular si la función (3.10) (o de forma equivalente (3.11)) es inyectiva, es decir, si y sólo si F tiene columnas linealmente
3. Diseño MIMO sin Conocimiento de Canal
53
independientes. Por tanto, para tener códigos no singulares, una condición necesaria es
que
nS ≤ Q · nT .
(3.12)
La desigualdad (3.12) es un primer ejemplo de la relación entre las propiedades del
código y la estructura de F. Como se aclara más adelante, la matriz F tiene un papel
fundamental en la caracterización de las propiedades del código y, a su vez, en la solución
adoptada para las matrices de codificación Ak . En este sentido, es fácil comprobar que
un código es no singular si y sólo si las matrices de codificación Ak son linealmente
independientes.
Ahora, vamos a introducir algunas definiciones que se utilizan posteriormente y
que definen el diseño que vamos a realizar de nuestro sistema de codificación espaciotemporal.
La primera definición sería que un código lineal en espacio-tiempo lo podemos definir como un diseño de traza ortogonal (Trace-Orthogonal Design (TOD)) si las matrices
A1 , . . . , AnS de (3.10) cumplen la siguiente relación:
tr(AH
k Aj ) = δkj
k, j ∈ {1, . . . , nS }
(3.13)
donde δkj denota la delta de Kronecker.
Un diseño de traza ortogonal se caracteriza por el hecho de que la codificación de
las matrices es ortonormal respecto al producto escalar en el espacio vectorial de nT × Q
matrices complejas
hΨ, Υi = tr(ΨH Υ),
(3.14)
donde Ψ, Υ ∈ CnT ×Q . Puesto que la ortogonalidad implica independencia lineal, en un
esquema basado en TOD el código correspondiente es no singular y cumple la relación
(3.12). Si además, nS = Q · nT , decimos que el código es "full-rate", puesto que, en
definitiva, transmitimos un símbolo por cada uso de canal y antena utilizada. Como explicaremos más adelante en la Sección 3.3.3, existen TODs para cualquier valor de nT y
Q.
3.3. Diseño con Códigos TOD
54
Además decimos que el diseño TOD es unitario (UTOD) si las matrices A1 , . . . , AnS
de (3.10) constituyen un diseño TOD y además, satisfacen la relación
Ai A H
i =
1
In ,
nT T
i ∈ {1, . . . , nS },
(3.15)
Demostraremos en la Sección 3.3.3 que existen UTODs para cualquier valor de nT y Q,
siempre que Q ≥ nT . Los UTODs que cumplen nS = Q · nT se denominan "full-rate
UTOD". Un ejemplo de diseño práctico de "full-rate UTOD"se propone en [Bar04].
3.3.2.
Códigos Espacio-Tiempo sin Pérdida de Capacidad
El objetivo de esta sección es proporcionar condiciones necesarias y suficientes en
las matrices de codificación Ak (k = 1, . . . , nS ) de modo que se garantice la transferencia
de información sin pérdidas de capacidad. Asumiendo que tenemos conocimiento del
canal en el lado de receptor (CSIR) y no en el transmisor (CSIT), el sistema MIMO en
(3.7) puede ser caracterizado por su capacidad instantánea [Lar03]. Si el transmisor está
limitado en potencia a snr y el ruido tiene potencia unidad, la capacidad instantánea, es
decir, la capacidad para una realización de canal, vendría dada por la siguiente expresión
(ver Sección 2.3.3):
snr H
snr
H
HH
= log2 det InR +
H H
.
CH = log2 det InR +
nT
nT
(3.16)
Decir, que a pesar de su nombre, (3.16) no es la capacidad en el sentido de Shannon,
sino que es la máxima información mutua entre la entrada y la salida en (3.7) para una
realización de canal dada y asumiendo que el vector de entrada x ha de tener la matriz de
covarianza (snr/nT )InT . Por lo tanto, CH es función de la realización de canal H y así, en
el caso de tener canales con desvanecimientos, es una variable aleatoria.
En general, el sistema codificado (3.8) puede experimentar pérdidas de capacidad dependiendo de las matrices de codificación Ak empleadas. Este es el caso de los
OSTBCs presentados en la Sección 3.2.2. Nos interesan, en consecuencia, las estrategias
de codificación espacio-tiempo que no afecten a la capacidad instantánea. Si garantizamos
3. Diseño MIMO sin Conocimiento de Canal
55
lo anterior para cada realización de canal, su optimalidad se mantendrá independiente de
la estadística del canal. Esto nos motiva a diseñar un código TOD garantizando que el
sistema codificado en 3.8 tenga la misma capacidad instantánea que antes de codificar en
3.7.
Con este fin, volvemos a escribir (3.8) de forma equivalente en forma de vector.
Aplicando el operador1 vec(·) en (3.8), y usando (3.10) y (3.11), obtenemos
r
snr
(IQ ⊗ H)Fs + w
y = vec(HX) + vec(W) =
nT
(3.17)
donde w = vec(W), y el resto tal y como se han definido anteriormente.
La capacidad instantánea del sistema codificado (3.17), para una realización de canal H dada es
cod
CH
snr
1
H
H
log2 det IQnR +
(IQ ⊗ H) FF IQ ⊗ H
=
Q
nT
(3.18)
donde el factor 1/Q cuenta los Q usos de canal. Asumiendo que FFH = IQnT tenemos
snr
1
H
cod
log2 det IQnR +
(IQ ⊗ H) IQ ⊗ H
.
(3.19)
CH =
Q
nT
Usando la propiedad (A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC ⊗ BD) [Mag99, Sec. 3.2], (3.19) se
convierte en
cod
CH
snr
1
H
log2 det IQnR +
IQ ⊗ HH
=
Q
nT
1
snr
H
log2 det IQ ⊗ InR +
HH
=
Q
nT
snr
H
HH
= log2 det InR +
= CH
nT
(3.20)
(3.21)
(3.22)
donde hemos usado la identidad det (In ⊗ M) = det (M)n [Mag99, Sec. 3.3]. Tener en
cuenta que (3.22) es cierto para cada realización del canal H ∈ CnR ×nT .
Esto prueba que el sistema codificado (3.8) tiene la misma capacidad instantánea
que el sistema sin codificar (3.7), por cada realización de canal H ∈ CnR ×nT , siempre que
FFH = IQnT .
1
(3.23)
Dadas las matrices A(r × t), X(t × p) y B(p × s), se cumple que vec(AXB) = (BT ⊗ A)vec(X),
donde ⊗ es el producto de Kronecker. [Mag99, Sec. 3.4]
3.3. Diseño con Códigos TOD
56
En esta sección sólo se demuestra la suficiencia mientras que la necesidad queda demostrada en [Fas08].
3.3.3.
Generación de Matrices de Codificación TOD
Con la conclusión final de la sección anterior, hemos visto que un sistema full-rate
TOD garantiza que no haya pérdidas de capacidad en un sistema MIMO. En esta sección
proporcionamos un procedimiento general para generar una amplia clase de matrices de
codificación TOD unitarias.
Antes de seguir, comenzamos recordando la noción de rectángulo Latino que será
útil en las derivaciones siguientes. Un rectángulo Latino Lk×n es una matriz k × n (con
k ≤ n) en que cada uno de los números 1, 2, . . . , n ocurre exactamente una vez en cada
fila y a lo sumo una vez en cada columna. Cuando k = n, es el caso especial de cuadrado
Latino. Para cada dimensión, existen diferentes maneras de generar un rectángulo Latino.
Un ejemplo de rectángulo Latino 3 × 4 puede ser construido como L3×4 (i, j) = (j − i)
mod 4 + 1 para i = 1, . . . , 3, y j = 1, . . . , 4, dando como resultado


1 2 3 4



L3×4 = 
4
1
2
3


3 4 1 2
(3.24)
Es útil comentar que en un rectángulo latino los elementos de dos columnas cualesquiera
con el mismo índice de fila son diferentes. Esta característica será explotada en la construcción de la codificación de matrices.
Recuerda que las matrices de codificación Ak (k = 1, . . . , Q · nT ) con dimensiones
nT × Q que componen el diseño UTOD satisfacen que
Ak AH
k =
1
In ,
nT T
k = 1, . . . , Q · nT
(3.25)
que se cumple sólo si Q ≥ nT . La suficiencia es una consecuencia de la existencia de
un procedimiento para la generación de matrices Ak cuando Q ≥ nT . A continuación
mostraremos un procedimiento para obtener estas matrices.
3. Diseño MIMO sin Conocimiento de Canal
57
Por simplicidad, es útil referirse a las matrices de codificación mediante una notación con doble índice Ai,j , con i = 1, . . . , nT , y j = 1, . . . , Q. Lo que hasta ahora hemos
llamado Ak con k = 1, . . . , Q · nT , lo vamos a reflejar con la siguiente relación
A(i−1)·Q+j = Ai,j
(3.26)
donde i = 1, 2, . . . , nT , y j = 1, 2, . . . , Q.
Síntesis de codificación de matrices UTOD con dimensiones nT × Q (nT ≤ Q)
1. Generamos los elementos de un rectángulo Latino LnT ×Q .
2. Construimos las Q matrices Sk (k = 1, . . . , Q) con dimensiones nT × Q según la
regla
Sk (i, j) = IQ (LnT ×Q (i, k), j),
i = 1, . . . , nT , j = 1, . . . , Q.
(3.27)
En otras palabras, Sk se construye recogiendo las nT filas IQ con índices que pertenecen a la columna k-ésima de un rectángulo Latino LnT ×Q .
3. Generamos Q matrices unitarias Mk (k = 1, . . . , Q) con dimensiones nT × nT ,
y con el módulo de los elementos constante (el módulo ha de ser necesariamente
p
1/nT ), y dónde Mk (j)(j = 1, . . . , nT ) es la j-ésima columna de Mk .
4. Generamos una nT × nT matriz unitaria U.
5. Generamos una Q × Q matriz unitaria R.
6. Sintetizamos las matrices de codificación Aj,k , para j = 1, . . . , nT y k = 1, . . . , Q
según la relación
Aj,k = Udiag{Mk (j)}Sk R
(3.28)
donde diag{Mk (j)} denota la matriz diagonal donde los elementos diagonales son
los componentes de Mk (j). Si Q = nT , entonces las matrices de codificación pueden ser realizadas también según
Aj,k = USk diag{Mk (j)}R.
(3.29)
3.3. Diseño con Códigos TOD
58
Para demostrar que este procedimiento genera un Diseño Unitario de Traza Ortogonal, es útil comentar algunas propiedades de la matriz Sk , introducida en (3.27):
1. Sk SH
k = InT
2. Sk SH
j con k 6= j, tiene todas las entradas en la diagonal principal igual a cero.
Cuando Q = nT , esto mismo es válido para SH
k Sj .
Ahora vamos a comprobar que (3.28) y (3.29) constituyen diseños UTOD. Por simplicidad, vamos a probar de momento sólo (3.28) y posteriormente con argumentos muy
similares, podemos demostrar los mismos resultados para (3.29). Empezaremos demostrando que Aj,k en (3.28) satisface (3.25).
H H
H H
Aj,k AH
j,k = Udiag{Mk (j)}Sk RR Sk diag{Mk (j)} U
= Udiag{Mk (j)}diag{Mk (j)}H UH
1
1
UUH =
In
=
nT
nT T
1
aplicando diag{Mk (j)}diag{Mk (j)}H =
In .
nT T
(3.30)
(3.31)
(3.32)
Para comprobar su ortonormalidad, vamos a considerar los siguientes casos para los
índices de las matrices Aj1 ,k1 y Aj2 ,k2 :
k1 6= k2 . En este caso:
H H
H
tr(Aj1 ,k1 AH
j2 ,k2 ) = tr(diag{Mk1 (j1 )}Sk1 RR Sk2 diag{Mk2 (j2 )}
= tr(Sk1 Sk2H ) = 0
(3.33)
(3.34)
donde Sk1 Sk2H con k1 6= k2 es una matriz con los elementos de la diagonal nulos y
la multiplicación por cualquier otra matriz diagonal no cambia esta característica.
k1 = k2 y j1 6= j2 . En este caso, Sk1 Sk2H = InT y entonces
H
tr(Aj1 ,k1 AH
j2 ,k2 ) = tr(diag{Mk1 (j1 )}diag{Mk1 (j2 )}
= [Mk1 (j2 )]H [Mk1 (j1 )] = 0
porque dos columnas distintas de Mk1 = Mk2 son ortogonales.
(3.35)
(3.36)
3. Diseño MIMO sin Conocimiento de Canal
59
k1 = k2 y j1 = j2 . En este caso, de (3.32) tenemos
tr(Aj1 ,k1 AH
j2 ,k2 ) = 1
(3.37)
El procedimiento propuesto permite la generación de un gran número de UTODS debido a los grados de libertad que tenemos a la hora de elegir el diseño de las matrices
R, Mk (k = 1, . . . , Q), U, y el rectángulo Latino LnT ×Q . Esto nos permite introducir criterios de diseño adicionales.
Además cabe destacar que (3.28) y (3.29) pueden utilizarse para generar otros códigos en espacio-tiempo sin pérdidas de capacidad propuestos en la literatura, tales como,
[Bar04], [Ma03], [Gam03] y [Liu06].
3.3.4.
Diseño del Receptor Óptimo
En esta sección abordamos el diseño de un receptor para códigos TOD. Puesto que
asumimos que los símbolos de datos son equiprobables, lo óptimo en términos de probabilidad de error sería utilizar un receptor basado en el principio de máxima verosimilitud.
No obstante, dado la alta complejidad que conlleva esta clase de receptores, consideramos
el diseño de un receptor lineal de mínimo error cuadrático medio (MMSE) como un buen
compromiso entre complejidad y prestaciones. Además, como veremos más adelante, el
receptor MMSE cuando utilizamos diseños TOD full-rate resulta en detector escalar muy
simple.
Así pues, consideramos que el vector de símbolos es estimado a partir del vector
recibido y en (3.17) usando un receptor lineal como
ŝ = GH y
(3.38)
donde G es la matriz de recepción que queremos diseñar. Teniendo en cuenta un criterio
de MMSE, la matriz de recepción G se obtiene para minimizar el MSE:
mse(G) = E{(s − ŝ)H (s − ŝ)} = tr (E(G))
(3.39)
3.3. Diseño con Códigos TOD
60
donde E(G) denota la matriz de MSE definida como
E(G) = E{(s − ŝ)(s − ŝ)H }
snr H
= InS +
G (IQ ⊗ H)FFH (IQ ⊗ HH )G
n
r T
snr
<{GH (IQ ⊗ H)F} + GH G.
−2
nT
(3.40)
(3.41)
(3.42)
Entonces, imponiendo que ∇GH mse(G) = 0 se obtiene que
r
snr
snr
H
H
(IQ ⊗ H)FF (IQ ⊗ H )G −
(IQ ⊗ H)F + G = 0
nT
nT
y, de esta manera, el receptor óptimo es
−1
r
snr snr
H
H
(IQ ⊗ H)FF (IQ ⊗ H ) + IQnR
G=
(IQ ⊗ H)F.
nT nT
(3.43)
(3.44)
Además, cuando el diseño es full-rate, es decir FFH = IQnT , el receptor queda como
−1
snr snr
H
(IQ ⊗ H)(IQ ⊗ H ) + (IQ ⊗ InR )
(IQ ⊗ H)F
G=
nT nT
r
−1 snr
snr
H
=
HH + InR
H F
IQ ⊗
nT
nT
r
(3.45)
(3.46)
y la matriz de MSE es
snr H snr
H
HHH + InR
nT
nT
−1
snr H
H
= F
IQ ⊗
H H F + InS
.
nT
E = InS − FH
−1
IQ ⊗
!
H F
(3.47)
(3.48)
El receptor lineal MMSE en (3.46) se descompone en la siguiente expresión para el símbolo estimado k-ésimo (k = 1, . . . , nS ):
r
snr H
H
nT
snr
HHH + InR
ŝk = ek T ŝ = vec(Ak )H IQ ⊗
nT
−1 !
r
snr
snr
= vec(Ak )H vec
HH
HHH + InR
Y
nT
nT
−1 !
r
snr
snr
H
=
tr AH
HHH + InR
Y
k H
nT
nT
−1 !
vec(Y)
(3.49)
(3.50)
(3.51)
3. Diseño MIMO sin Conocimiento de Canal
61
donde ek es un vector de dimensiones nS con el k-ésimo elemento igual a uno y el resto
cero, y hemos utilizado que (I ⊗ A)vec(B) = vec(AB) y vec(A)H vec(B) = tr AH B
[Mag99, Sec. 2.4]. El MSE para el símbolo estimado k-ésimo es entonces:
msek = [E]kk
(3.52)
−1
snr
snr
H
HAk
tr AH
HHH + InR
k H
nT
nT
1
nT −1
H
H
=1−
tr H HH +
In
H
nT
snr R
1
nT −1
H
H
=
H
tr InT − H HH +
In
nT
snr R
−1 !
1
snr H
=
tr
H H + InT
nT
nT
=1−
!
(3.53)
(3.54)
(3.55)
(3.56)
lo que demuestra que los nS símbolos de datos transmitidos son estimados con el mismo
MSE.
3.4.
Simulaciones
3.4.1.
Medidas de Calidad en un Sistema de Comunicaciones Digital
Las prestaciones de un sistema de comunicaciones digitales se mide en términos de
la probabilidad de error de símbolos o tasa de error de símbolo (SER), que se define como
la fracción de los símbolos de error, o en términos de probabilidad de error de bit o BER,
definida como la fracción de bits con error.
En presencia de ruido aditivo blanco Gaussiano, la SER instantánea de un sistema
de comunicaciones digitales (con detección coherente y para muchos formatos de modulación) puede aproximarse analíticamente como2 [Lu99, Sec. III] [Sim02, Sec. 8.1.1]
γ
p
X
SER(ρ) ' α
Q
β(i)ρ
(3.57)
i=1
2
Ver la expresión exacta de las constelaciones QAM en [Cho02] y para constelaciones PSK en [Las03].
3.4. Simulaciones
62
Modulación α
M -PAM
M -QAM
M -PSK
β(i)
2 1−
4 1−
1
6
M 2 −1
M
√1
M
3
M −1
(2i−1)π M
(2i − 1)2
2 sin2
2
β
γ
6
M 2 −1
3
M −1
2
1
√
2 sin
π
M
M /2
máx(M/4, 1)
Tabla 3.1: Parámetros de constelación para M -PAM, M -QAM, y M -PSK modulaciones.
donde ρ denota la SNR instantánea, Q(·) es la función Q Gaussiana definida como
[Sim02, eq. (4.1)]
1
Q(x) = √
2π
Z
∞
2 /2
e−t
dt
(3.58)
x
y los parámetros α , α(M ), β(i) , β(i, M ), y γ , γ(M ) dependerán de la M -aria
modulación utilizada para asignar los bits de origen a los símbolos. Cuando este proceso
de modulación incluye una codificación Gray, que tiene la propiedad de que en la transición de un símbolo a otro símbolo adyacente de la constelación sólo cambia uno de los
log2 M bits de datos que forman el símbolo [Gra53][Ben99, Sec. 5.1.3], la BER instantánea puede ser obtenida aproximadamente a partir de la SER instantánea como [Sim02,
eq. (8.7)]
BER(ρ) '
SER(ρ)
log2 M
(3.59)
ya que para una SNR relativamente elevada, los únicos errores significativos de símbolo se
producen cuando la decisión es en favor de los símbolos adyacentes. Combinando (3.57)
y (3.59), podemos expresar la BER instantánea como
BER(ρ) '
γ
α X p
Q
β(i)ρ .
log2 M i=1
(3.60)
Si nos centramos sólo en SNR moderadamente alta, se puede aproximar (3.60) por el
primer término de la suma, puesto que β(i) es estrictamente creciente en i y, por tanto,
domina la BER instantánea:
BER(ρ) '
p α
Q
βρ
log2 M
(3.61)
donde hemos definido β , β(1). Las expresiones de BER general en (3.60) y (3.61) se
3. Diseño MIMO sin Conocimiento de Canal
0
63
0
10
10
Exacta
Aproximación
Aproximación alta SNR
BER
BER
Exacta
Aproximación
Aproximación a alta SNR
−1
10
−2
10
−1
10
−2
−2
0
2
4
6
SNR (dB)
8
10
12
14
(a) 16-QAM
10
0
5
10
SNR (dB)
15
20
(b) 64-QAM
Figura 3.8: BER instantánea exacta, BER instantánea aproximada en (3.60), y BER instantánea aproximada a alta SNR en (3.61).
particularizan en la Tabla 3.1 para los formatos más comunes de modulaciones digitales
(ver [Sim02, Sec. 8.1] para otras modulaciones o estrategias de detección no coherentes).
En la Figura 3.8 se representa el comportamiento exacto de la BER instantánea en función
de la SNR instantánea, junto con las aproximaciones correspondientes en (3.60) y (3.61)
cuando se utilizan constelaciones 16-QAM y 64-QAM. Como era de esperar, las curvas
de BER aproximada predicen con gran precisión el comportamiento exacto en la región
de interés de BER (BER(ρ) >> 10−1 ).
Cuando nos encontramos ante un canal con desvanecimientos, las medidas de rendimiento instantáneo3 son cantidades aleatorias y no nos proporcionan ninguna idea sobre
el comportamiento del sistema. Todas las realizaciones posibles del canal deben tenerse
en cuenta, dando lugar a las medidas de prestaciones medias y de probabilidad outage. La
SNR media y la SER/BER media proporcionan la SNR y la SER/BER promediada en los
diferentes estados del canal, mientras que la probabilidad de outage es la probabilidad de
que la SNR del sistema sea inferior a la de un umbral aceptable dado.
3
la noción de instantaneidad es con respecto al canal, es decir, el rendimiento instantáneo denota el
rendimiento para un determinado uso de canal, pero promediando sobre la señal transmitida y el ruido.
3.4. Simulaciones
64
3.4.2.
Prestaciones del Sistema MIMO TOD
En esta sección se proporcionan simulaciones numéricas para mostrar el comportamiento de la BER promedio de un sistema MIMO con códigos TOD. En las Figuras 3.9
y 3.10 representamos la BER promedio utilizando códigos TOD con modulación QPSK,
con 2 y 4 antenas transmisoras y variando el número de antenas en recepción. Como la
diversidad del sistema TOD viene dada por (nR −nT +1), se observa un aumento de diversidad con el aumento de las antenas receptoras. En la Figura 3.9 con nT = 2 obtenemos
diversidades de 1, 2 y 3 mientras que en la Figura 3.10 con nT = 4 obtenemos diversidades de 1, 3 y 5. Esto queda lejos de la máxima diversidad del canal nR · nR , que podría
conseguirse con un detector de máxima verosimilitud (ML). No obstante, la complejidad
de este último resulta prohibitiva. En el Capítulo 4 veremos como alcanzar la diversidad
máxima explotando el conocimiento de canal en transmisión y manteniendo el receptor
lineal.
0
10
nT=2
−1
10
−2
BER Promedio
10
nR = 2
−3
10
nR = 3
0
10
nR = 4
nT=2
−4
10
−1
10
−5
−2
10
BER Promedio
−6
10
−10
10
nR = 2
−3
nR = 3
10
0
10
20
SNR (dB)
30
40
50
nR = 4
−4
10
Figura 3.9: BER promedio utilizando códigos TOD con QPSK, nT = 2 y nR = 2, 3, 4.
−5
10
En la Figura 3.11 representamos la BER promedio variando el número de antenas y
−6
10
−10
0
10
20
30
40
50
la modulación para conseguir mantenerSNR
fija(dB)
la tasa de R = 8 bps por uso de canal. Aunque
observamos la misma diversidad en los casos 2x2 y 4x4 (diversidad 1) y en los casos 2x4
3. Diseño MIMO sin Conocimiento de Canal
65
0
10
n =4
T
−1
10
−2
BER Promedio
10
nR = 4
−3
nR = 6
10
nR = 8
0
10
−4
10
nT=4
−1
10
−5
10
−2
BER Promedio
10
−6
10
−10
0
nR = 4
−3
10
10
20
SNR (dB)
30
40
nR = 6
50
nR = 8
−4
10
Figura 3.10: BER promedio utilizando códigos TOD con QPSK, nT = 4 y nR = 4, 6, 8.
−5
10
−6
10
−10
0
10
0
10
20
SNR (dB)
30
40
50
−1
10
2 × 2, 16 − QAM
−2
BER Promedio
10
2 × 4, 16 − QAM
0
10
2 × 8, 16 − QAM
−3
10
4 × 4, QPSK
−1
10
4 × 6, QPSK
−4
10
4 × 8, QPSK
2 × 2, 16 − QAM
−2
−5
10
−6
10
−10
BER Promedio
10
2 × 4, 16 − QAM
2 × 8, 16 − QAM
−3
10
−4
10 0
4 × 4, QPSK
10
20
SNR (dB)
30
40
50
4 × 6, QPSK
4 × 8, QPSK
−5
10
Figura 3.11: BER promedio utilizando códigos TOD, con diferentes nR y variando nT y
−6
10
la modulación para
−10 obtener
0 la tasa10de R =208 bps por
30 uso de
40 canal.50
SNR (dB)
y 4x6 (diversidad 3), el desplazamiento horizontal de la curva de BER es mayor cuanto
mayor es el orden de la modulación, y por lo tanto, obtenemos una BER promedio peor
3.4. Simulaciones
66
0
10
−1
10
−2
BER Promedio
10
2 × 4, 256 − QAM
4 × 4, 16 − QAM
−3
10
2 × 2, 256 − QAM
0
8 × 8, QPSK
10
−4
10
−1
10
−5
10
−2
−6
10
−10
0
BER Promedio
10
2 × 4, 256 − QAM
4 × 4, 16 − QAM
−3
10
10
−4
10
20
SNR (dB)
30
40
50
2 × 2, 256 − QAM
8 × 8, QPSK
−5
10
Figura 3.12: BER promedio
utilizando códigos TOD, con diferentes nR y variando nT y
la modulación para obtener
la tasa0 de R10= 16 20bps por30 uso de
canal.
10
−10
40
50
−6
SNR (dB)
en los casos con menor número de antenas. Observamos este mismo efecto en la Figura
3.12 donde hemos variado nT , nR y la modulación para mantener fija la tasa de R = 16
bps por uso de canal. En los casos en que nT = nR dónde obtenemos diversidad 1, se
aprecia claramente el desplazamiento de la gráfica debido al incremento en el orden de la
modulación.
En las Figuras 3.13, 3.14 y 3.15 comparamos la BER promedio del sistema utilizando códigos TOD con la de un sistema basado en OSTBC cuando variamos la modulación
para obtener la misma tasa. En el caso del TOD obtenemos una tasa de nT log2 M mientras
que en el caso del OSTBC con nT = 2 donde Alamouti es el esquema óptimo obtenemos
una tasa de log2 M , para nT = 4 tenemos una penalización de 1/2, obteniendo una tasa
de 1/2 log2 M , donde M es el número de símbolos de la constelación QAM.
Con un sistema basado en OSTBC al obtener máxima diversidad siempre acabará
teniendo una menor BER cuando SNR se incrementa ilimitadamente, pero siendo prácticos podemos llegar a la conclusión que el sistema basado en TOD tiene mejores presta-
3. Diseño MIMO sin Conocimiento de Canal
67
0
10
n =2, n =2
−1
T
10
R
BP SK, T OD
−2
BER Promedio
10
QPSK, OST BC
QPSK, TOD
−3
10
0
10
16 − QAM, OST BC
nT=2, nR=2
−1
10
−4
10
256 − QAM, OST BC
BP SK, T OD
−2
10
BER Promedio
−5
10
−6
10
−10
16 − QAM, T OD
0
QPSK, OST BC
QPSK, TOD
−3
10
−4
10
16 − QAM, OST BC
10
20
SNR (dB)
30
40
50
16 − QAM, T OD
256 − QAM, OST BC
−5
10
Figura 3.13: BER promedio utilizando códigos TOD y OSTBC, con nR = nT = 2 y
−6
10
0
20
30
40
50
variando la modulación−10para obtener
R10 = 4SNRbps
en ambos
esquemas.
(dB)
ciones para tasas de transmisión altas a valores de SNR prácticos. Para nT = 2, como ya
hemos comentado anteriormente, Alamouti es el esquema óptimo pero cuando aumentamos nT nos encontramos con el problema de que ya no existen códigos OSTBC con rate
1, con lo que obtendremos la penalización de tasa correspondiente como en el caso mostrado en la Figura 3.15 con nT = 4 donde obtenemos una penalización de 1/2. Como se
observa en la Figura esta penalización hace que el sistema TOD consiga una mejor BER.
3.4. Simulaciones
68
0
10
nT=2, nR=4
−1
10
BP SK, T OD
−2
BER Promedio
10
QPSK, OST BC
QPSK, TOD
0
−3
10
10
16 − QAM, OST BC
10
−4
16 − QAM, T OD
nT=2, nR=4
−1
10
256 − QAM, OST BC
BP SK, T OD
−2
BER Promedio
10
−5
10
−6
10
−10
0
QPSK, OST BC
QPSK, TOD
−3
10
−4
10
16 − QAM, OST BC
10
20
SNR (dB)
30
40
16 − QAM, T OD
50
256 − QAM, OST BC
−5
10
Figura 3.14: BER promedio utilizando códigos TOD y OSTBC, con nT = 2 y nR = 4 y
−6
10
0
10
20
50
variando la modulación−10para obtener
R
= 4SNRbps
por30uso de40canal en
ambos esquemas.
(dB)
0
10
nT=4
−1
10
nR = 4, BPSK, TOD
−2
BER Promedio
10
nR = 4, 256 − QAM, OST BC
nR = 6, BPSK, TOD
−3
10
nR = 6, 256 − QAM, OST BC
nR = 8, BPSK, TOD
0
10
−4
10
nR = 8, 256 − QAM, OST BC
nT=4
−1
10
−5
0
10
BER Promedio
10
−6
10
−10
nR = 4, BPSK, TOD
−2
10
nR = 4, 256 − QAM, OST BC
nR = 6, BPSK, TOD
−3
10
nR = 6, 256 − QAM, OST BC
20
10
SNR (dB)
−4
30
40
nR = 8, BPSK, TOD
50
nR = 8, 256 − QAM, OST BC
−5
10
Figura 3.15: BER promedio utilizando códigos TOD y OSTBC, con nT = 4 y nR = 4, 6, 8
−6
10
−10
0
10
20
SNR (dB)
30
40
50
y variando la modulación para obtener R = 4 bps en todas las configuraciones.
3. Diseño MIMO sin Conocimiento de Canal
3.5.
Conclusiones
En este capítulo se han presentado, a modo de introducción, los esquemas básicos
de transmisión MIMO cuando no se posee conocimiento del canal en transmisión. Posteriormente, y como objetivo principal de este capítulo, se ha abordado el diseño de un
sistema MIMO con códigos TOD.
Se ha demostrado que tanto el esquema de Alamouti como su posterior generalización, los STBC basados en diseños ortogonales, alcanzan el orden de diversidad máximo
del sistema. No obstante, se ha comprobado que estos códigos no son, en principio, demasiado adecuados para las comunicaciones de alta velocidad, puesto que la tasa máxima
de transmisión que consiguen supone tan sólo un pequeño porcentaje de la capacidad del
canal. V-BLAST, en cambio, explota la ganancia de multiplexado asociada a los canales
MIMO alcanzando la capacidad total del canal, pero el orden de diversidad es únicamente
igual al número de antenas receptoras.
Posteriormente se ha adoptado por una solución con codificación TOD. Se ha demostrado que esta codificación no tiene pérdidas en términos de capacidad y se ha proporcionado un procedimiento para la obtención de una amplia clase de matrices de codificación TOD unitarias. Para el diseño del receptor se ha considerado un receptor lineal
de MMSE como un buen compromiso entre complejidad y prestaciones.
Finalmente se han evaluado las prestaciones del sistema en términos de BER promediada, ya que al tratarse de un canal con desvanecimientos las medidas de rendimiento
instantáneo son cantidades aleatorias. Se ha visto que con el aumento de antenas receptoras conseguimos un aumento de diversidad importante en un sistema TOD. También
hemos observado que para tasas de transmisión altas y para SNR prácticas un sistema basado en códigos TOD es más adecuado que un sistema basado en OSTBC. Más concretamente, para el caso de nT = 2 el sistema óptimo es de Alamouti pero cuando aumentamos
nT al sufrir una penalización por no disponer de códigos OSTBC con rate 1 un sistema
TOD consigue una mejor BER a SNRs prácticas.
69
Capítulo 4
Diseño de un Transmisor/Receptor
MIMO con TOD con Conocimiento de
Canal
4.1.
Introducción
En un sistema con conocimiento de canal perfecto, la transmisión puede adaptarse
a cada realización de canal usando técnicas de procesado de señal.
Un enfoque de baja complejidad pero con un alto potencial es el uso de transmisores
y receptores MIMO lineales, compuestos por un precodificador lineal en transmisión y un
ecualizador lineal en recepción. El diseño de transceptores lineales MIMO conlleva la
utilización de varios substreams explotando la propiedad de multiplexado espacial del
canal MIMO. Precisamente, la existencia de varios substreams, cada uno de ellos con su
propio rendimiento, hace que la definición de una medida global de la calidad del sistema
no sea trivial, y como consecuencia, se han estudiado una amplia gama de criterios de
diseño diferentes (véase una perspectiva histórica en [Pal07]).
En efecto, el diseño de transceptores lineales MIMO se ha abordado basándose en
71
4.2. Técnicas de Transmisión MIMO con Conocimiento de Canal
72
w
x
/nT
H
nR × nT
⊕
?
/
y
nR
Figura 4.1: Sistema de comunicaciones MIMO general.
diferentes medidas de la calidad del sistema. Los estudios clásicos tratan la minimización
de la suma del error cuadrático medio (MSE) de todos los subcanales o, equivalentemente, la traza de la matriz de MSE [Yan94b],[Sca99]. Otros resultados consideran la
minimización de la traza ponderada de la matriz de MSE [Sam01] y la minimización del
determinante de la matriz de MSE [Yan94a].
Palomar desarrolla en [Pal03] un marco general para la unificación del diseño del
transceptor lineal MIMO que abarca una amplia gama de criterios de diseño diferentes. En
particular, la solución óptima fue obtenida por la familia de las funciones de coste Schurcóncavas y Schur-convexas, las cuales diagonalizan el canal (posiblemente después de
una rotación de los símbolos) y explotan la propiedad de multiplexado espacial de los
canales MIMO para establecer varios substreams de datos independientes a través de los
modos propios del canal. La potencia de transmisión disponible se distribuye entre los
substreams establecidos de acuerdo con el criterio de diseño específico.
4.2.
Técnicas de Transmisión MIMO con Conocimiento
de Canal
En esta apartado presentamos el diseño del transceptor lineal MIMO bajo una va-
riedad de funciones de coste derivadas de [Pal03]. Primero introducimos la formulación
general del problema de diseño de transceptor lineal MIMO y luego presentamos el transmisor y el receptor lineal óptimo. Finalmente, consideramos varios ejemplos ilustrativos
4. Diseño de un Transmisor/Receptor MIMO con TOD con Conocimiento de Canal
w
x
sκ
/-
Bκ
κ
nT × κ
/
nT
y
H
⊕
?
nR × nT
/
nR
GH
κ
/- ŝκ
κ
κ × nR
Figura 4.2: Sistema equipado con un transmisor y un receptor lineal.
de esquemas de transmisión prácticos y proporcionamos el comportamiento correspondiente de la BER obtenido por simulaciones numéricas.
4.2.1.
Modelo de Señal
En esta sección presentamos el modelo de señal para un sistema MIMO general para
estudiar después el caso en que el sistema MIMO está equipado con un transmisor lineal y
un receptor lineal. Este esquema conduce a interpretar que la transmisión está organizada
en varios substreams, con prestaciones individuales diferentes e interrelacionadas entre
sí. En consecuencia, en esta sección definimos también formalmente las medidas más
importantes de calidad (MSE, SNR y BER), así como la relación que mantienen entre sí.
El modelo de señal correspondiente a una transmisión por un canal MIMO con nT
antenas transmisoras y nR antenas receptoras es (Figura 4.1)
y = Hx + w
(4.1)
donde x ∈ CnT ×1 es el vector transmitido, H ∈ CnR ×nT es la matriz del canal, y ∈ CnR ×1
es el vector recibido, y w ∈ CnR ×1 es el vector de ruido espacialmente blanco de media
nula circular simétrico complejo Gaussiano, normalizado de modo que E{wwH } = InR .
La matriz de canal H contiene las ganancias complejas [H]ij entre cada transmisión y
recepción de un par de antenas normalizadas tal que E{[H]ij } = 0 y E{| [H]ij |2 } = 1.
Supongamos ahora que el sistema de comunicaciones MIMO está equipado con un
transmisor lineal y un receptor lineal (el transceptor lineal), como el mostrado en la Figura
73
4.2. Técnicas de Transmisión MIMO con Conocimiento de Canal
74
4.2, donde el vector transmitido viene dado por
x = Bκ sκ
(4.2)
donde Bκ ∈ CnT ×κ es la matriz de precodificación y el vector de datos sκ ∈ Cκ×1
reúne los κ ≤ mı́n{nT , nR } símbolos de datos de media cero, con energía unitaria e
incorrelados, es decir, E{sκ sH
κ } = Iκ . Cada símbolo sk se extrae de una constelación de
dimensión Mk (posiblemente diferente para cada substream k = 1, . . . , κ) de manera que
la tasa de transmisión total R sea independiente del número de símbolos transmitidos por
uso de canal κ,
R=
κ
X
k=1
Rk =
κ
X
log2 Mk
(4.3)
k=1
donde Rk = log2 Mk es el rate en bits por uso de canal del substream k-ésimo. El vector
de datos estimados en el receptor es
H
ŝκ = GH
κ y = Gκ (HBκ sκ + w)
(4.4)
κ×nR
es la matriz de recepción (ecualizador). Es interesante observar que
donde GH
κ ∈ C
la k-ésima columna de Bκ y de Gκ , denotadas por bk y gk , pueden ser interpretadas como
los beamforming vectors (vectores de conformación de haz) del transmisor y del receptor,
respectivamente, asociados al k-ésimo símbolo transmitido sk
ŝk = gkH (Hbk sk + wk )
donde wk =
Pκ
j6=k
k = 1, . . . , κ
(4.5)
Hbj sj + w es el término de ruido más interferencia visto por el
substream k-ésimo. Esta es la razón por la cual el sistema de comunicaciones MIMO con
un transceptor lineal se denomina también sistema de beamforming múltiple (ver Figura
4.3).
4.2.1.1.
Restricción de Potencia
La potencia transmitida se limita comúnmente como
E{kxk2 } ≤ snr
(4.6)
4. Diseño de un Transmisor/Receptor MIMO con TOD con Conocimiento de Canal
s1
w
- b1
nT × 1
..
.
..
.
@
R
@
⊕ /nT
H
nR × nT
⊕
?
..
.
/
nR
- ŝ1
1 × nR
y
x
@
sκ
g1H
@
..
.
@
@
@
@
- bκ
nT × 1
H
gκ
- ŝκ
1 × nR
Figura 4.3: Sistema de múltiple beamforming equivalente a un transceptor MIMO lineal.
donde snr es la SNR media por antena receptora. Esto impone la siguiente restricción
sobre la matriz de precodificación lineal Bκ :
E{kxk2 } = tr{Bκ BH
κ } ≤ snr
(4.7)
Si bien (4.6) o (4.7) es la clásica restricción de potencia en el diseño de transceptores lineales ([Yan94b],[Sca99],[Sam01],[Pal03]), (4.6) limita la potencia total transmitida
en cada uso de canal pero no impone ninguna restricción individual sobre las potencias
elementales E{|xi |2 } (i = 1, . . . , nT ) transmitidas por cada una de las nT antenas. Dado
que E{|xi |2 } ≤ λmáx {xxH }, las potencias elementales se controlan normalmente imponiendo una restricción de pico de la forma [Sto02]
λmáx {xxH } = λmáx {Bκ BH
κ } ≤ snr/κ
4.2.1.2.
(4.8)
Medidas de Calidad
La calidad individual del substream k-ésimo para un determinado uso de canal se
mide normalmente en términos de MSE (msek ), SNR (ρk ), o BER (BERk ) definidos,
respectivamente, como
msek = E{|ŝk − sk |2 } = |gkH Hbk − 1|2 + gkH gk
|gkH Hbk |2
ρk =
gkH gk
BERk = ϕk (ρk )
(4.9)
(4.10)
(4.11)
75
4.2. Técnicas de Transmisión MIMO con Conocimiento de Canal
76
donde ϕk (·) es una función que relaciona la BER con la SNR del k-ésimo substream.
Por ejemplo, en presencia de ruido aditivo blanco Gaussiano, la BER del substream késimo (asumiendo una modulación lineal) puede ser analíticamente aproximada como
(ver Sección 3.4)
BERk (ρk ) =
p
αk
Q
βk ρk
log2 Mk
donde Q(·) es la función Q-Gaussiana definida como
Z ∞
1
2
e−t /2 dt
Q(x) = √
2π x
(4.12)
(4.13)
y los parámetros αk y βk dependen de la constelación Mk -dimensional (ver Tabla 3.1).
Es importante señalar que la expresión de BER en (4.12) supone implícitamente que los
diferentes substreams son detectados de forma independiente después del procesado lineal
con el receptor lineal Gκ (ver Figura 4.3). Esto reduce drásticamente la complejidad en
comparación con una detección de máxima verosimilitud (ML) y de hecho es la principal
ventaja de utilizar el receptor lineal Gκ .
4.2.2.
Formulación del Problema
Consideramos el modelo de señal de transceptor lineal MIMO mostrado en la Figura
4.2. El problema de diseñar el transceptor lineal óptimo MIMO (matrices Gκ y Bκ ),
cuando tenemos conocimiento perfecto del canal en ambos lados del enlace, podemos
formularlo como la minimización de una función de coste f0 de los MSEs1 [Pal03], que
miden la calidad del sistema, sujeta a una restricción de potencia total:
{Gκ , Bκ } = arg mı́n
Gκ ,Bκ
cumpliendo que
f0 ({msek }κk=1 )
(4.14)
tr Bκ BH
≤ snr
κ
donde f0 (·) define el diseño de la función de coste y msek es el k-ésimo elemento diago
nal de la matriz de los MSEs, Eκ = E (ŝκ − sκ )(ŝκ − sκ )H .
1
Otras medidas de calidad basadas en las SNRs o las BERs individuales, pueden escribirse en función
de los MSEs como se ha demostrado en la Sección 4.2.1.2
4. Diseño de un Transmisor/Receptor MIMO con TOD con Conocimiento de Canal
Si por otra parte, imponemos una restricción de potencia de pico, podemos formular el
problema de diseño como
{Gκ , Bκ } = arg mı́n
Gκ ,Bκ
cumpliendo que
f0 ({msek }κk=1 )
(4.15)
≤ snr/κ.
λmáx Bκ BH
κ
La función de coste f0 (·) es un indicador de la calidad del sistema y debe ser elegida
adecuadamente. En principio, cualquier función puede ser usada para medir la calidad del
sistema siempre que sea estrictamente creciente (continua y derivable) en cada argumento.
4.2.3.
Receptor Lineal Óptimo
La matriz de recepción Gκ puede ser fácilmente optimizada considerando que la
matriz de transmisión Bκ permanece fija. En principio, la matriz de recepción óptima podría depender de la elección de la función de coste f0 . Sin embargo, la solución óptima
resulta ser independiente de f0 (ver [Pal03], [Pal04] para más detalles). La minimización
del MSE de un substream en (4.10) con respecto a la matriz en recepción Gκ (para una
matriz en transmisión Bκ fija) no incurrirá en ninguna penalización en el resto de substreams. En otras palabras, msek es sólo función de gk y no depende del resto de columnas
de Gκ . Por lo tanto, es posible minimizar al mismo tiempo todas las MSEs individuales y así es, precisamente, como se obtiene el conocido receptor lineal de MSE mínimo
(MMSE), también denominado filtro de Wiener. La matriz receptora Gκ óptima, para una
matriz transmisora Bκ dada, viene dada por
H
Gκ = HBκ BH
κ H + InR
−1
HBκ
(4.16)
Dada la matriz en recepción óptima en (4.16), la matriz MSE viene definida por
Eκ = E (ŝκ − sκ )(ŝκ − sκ )H
−1
H
= Iκ + BH
κ H HBκ
(4.17)
(4.18)
77
4.2. Técnicas de Transmisión MIMO con Conocimiento de Canal
78
Por lo tanto, el MSE del k-ésimo substream introducido en (4.10) puede ser reescrito
como
msek =
h
H
Iκ + BH
κ H HBκ
−1 i
(4.19)
kk
Resumiendo, el receptor MMSE se ha obtenido como la solución óptima al minimizar los
errores cuadráticos medios MSEs.
4.2.4.
Transmisor Lineal Óptimo
Particularizando los problemas de optimización en (4.14) y (4.15) para el receptor
linear óptimo obtenido en la Sección 4.2.3, se obtiene que
nh
−1 i o
H H
mı́n f0
Iκ + Bκ H HBκ
Bκ
cumpliendo que
tr Bκ BH
≤ snr
κ
para el caso con una limitación de potencia total, y
nh
−1 i o
H H
mı́n f0
Iκ + Bκ H HBκ
Bκ
cumpliendo que
(4.20)
kk
(4.21)
kk
λmáx Bκ BH
≤ snr/κ
κ
para el caso con una limitación de potencia de pico.
4.2.4.1.
Limitación de Potencia Total
El problema de optimización en (4.20) ha sido solucionado en [Pal03] para una
amplia familia de criterios, más concretamente, para funciones de coste Schur-cóncavas y
Schur-convexas. Los conjuntos de funciones Schur-cóncavas y Schur-convexas no forman
una partición del conjunto de todas las funciones y, por lo tanto, puede haber funciones de
coste que no son ni Schur-cóncavas, ni Schur-convexas. Por otro lado, hay funciones que
son tanto Schur-cóncavas como Schur-convexas. En ambos casos la matriz transmisora
óptima tiene la siguiente forma:
Bκ = Uκ
p
P κ Qκ
(4.22)
4. Diseño de un Transmisor/Receptor MIMO con TOD con Conocimiento de Canal
donde Uκ ∈ CnT ×κ tiene como columnas los vectores propios de HH H correspondientes
a los κ mayores valores propios no nulos, Qκ ∈ Cκ×κ es una matriz unitaria, y Pκ ∈ Cκ×κ
es una matriz diagonal con los valores de su diagonal iguales a {pk ∈ R+ }k=1,...,κ , que
depende de la función de coste elegida y representa la potencia asignada a cada substream
establecido. Debido a la limitación de potencia, las potencias {pk }k=1,...,κ satisfacen
κ
X
k=1
pk ≤ snr
(4.23)
para la restricción de potencia total y
pk ≤ snr/κ
k = 1, . . . , κ
(4.24)
para la restricción de potencia de pico. Para funciones de coste Schur-cóncavas (ver ejemplos en Tabla 4.1), Qκ = Iκ y el proceso de comunicación global incluyendo el pre- y
el post-procesado es totalmente diagonal (ver Figura 4.4). Para funciones de coste Schurconvexas (ver ejemplos en Tabla 4.2), sin embargo, Qκ es una matriz unitaria que fuerza
H
−1
que Eκ = (Iκ + BH
tenga los elementos de la diagonal idénticos, es decir,
κ H HBκ )
que todos los substreams tengan el mismo MSE individual (ver [Pal03] para detalles). En
este caso, el proceso de comunicación es diagonalizado excepto por una rotación muy
específica de los símbolos de datos (ver Figura 4.4).
Dado el transmisor en (4.22) y el receptor en (4.16), los componentes de la señal
estimada son iguales a (posiblemente con un pre- y post-procesado adicional de los símbolos sk )
√
pk λk
pk λk
sk +
nk
ŝk =
1 + pk λk
1 + pk λk
con una SNR instántanea dada por
ρk = λk pk
k = 1, . . . , κ
k = 1, . . . , κ
(4.25)
(4.26)
donde {λk ∈ R+ }k=1,...,κ son los κ mayores valores propios no nulos de HH H en or-
den decreciente y el vector complejo κ-dimensional n = [n1 , · · · , nκ ] es el vector ruido
Gaussiano equivalente.
En resumen, los transceptores lineales MIMO bajo una limitación de potencia total
transforman el canal MIMO en κ canales SISO, en los cuales cada componente de señal
79
4.2. Técnicas de Transmisión MIMO con Conocimiento de Canal
80
w1
s1
-
√
p1
√
λ1
..
.
⊕
?
- ŝ1
p̃1
..
.
wκ
sκ
-
√
pκ
√
λκ
⊕
?
- ŝκ
p̃κ
(a) Diseño Schur-cóncavo (Transmisión diagonal).
w1
√
p1
s1 ..
.
sκ -
√
λ1
Qκ
⊕
?
p̃1
QH
κ
wκ
√
pκ
√
λκ
⊕
?
- ŝ1
p̃κ
..
.
- ŝκ
(b) Diseño Schur-convexo (Transmisión no diagonal).
Figura 4.4: Multiplexado espacial en sistemas MIMO con conocimiento de canal (p̃k =
√
pk λk /(1 + pk λk )).
(posiblemente después una rotación) corresponde a un substream diferente transmitido en
paralelo a través de un modo propio diferente del canal.
4.2.4.2.
Limitación de Potencia de Pico
La solución óptima para el problema de optimización con limitación de potencia de
pico en (4.21) puede ser directamente obtenido de la solución al problema con limitación
de potencia total en (4.20). La limitación de potencia de pico no modifica la estructura de los vectores propios del precodificador óptimo pero tiene un efecto significativo
sobre la asignación de potencia a cada substream {pk }k=1,...,κ . La limitación de potencia total resulta generalmente en precodificadores óptimos con diferentes asignaciones de
potencia que incluyen mecanismos de waterfilling. En cambio, cuando se utiliza una limitación sobre el valor propio máximo como en (4.21), aplicando diferentes potencias sólo
se consigue reducir el total de la potencia de transmisión y, en consecuencia, la matriz de
precodificación debe estar diseñada para tener valores singulares tan grandes como sea
4. Diseño de un Transmisor/Receptor MIMO con TOD con Conocimiento de Canal
Criterios de diseño y de asignación óptima de potencia
pk = snr si ωk λk es
Máx. suma ponderada de SNRs [Pal03]
máximo y 0 en otro caso
Máx. producto de SNRs [Pal03]
pk = snr/κ
Máx. producto ponderado de SNRs [Pal03]
pk = snrωk /
pk =
Máx. suma de los MSEs
Pκ
−1/2
(µλk
i=1 ωi
+
− λ−1
k )
[Lee76, Sal85, Yan94b, Sca99, Pal03]
1/2 −1/2
pk = (µωk λk
Mín. suma ponderada de los MSEs
+
− λ−1
k )
[Lee76, Sam01, Pal03]
+
pk = (µ − λ−1
k )
Mín. producto de MSEs [Yan94a, Pal03]
+
pk = (µωk − λ−1
k )
Mín. producto ponderado de MSEs [Pal03]
+
pk = (µ − λ−1
k )
Máx. información mutua [Cov91]
Tabla 4.1: Ejemplos de esquemas diagonales con distribución de potencia no fija.
posible [Lov05].
Por lo tanto, la solución óptima para (4.21) se puede obtener a partir de la solución
en (4.22) pero imponiendo que los valores propios de la matriz de transmisión resultante
cumplan la limitación de potencia de pico, es decir
λk {Bκ BH
κ } = snr/κ
k = 1, 2, . . . , nκ
(4.27)
Entonces, el transmisor lineal óptimo bajo una limitación de potencia de pico viene dado
por
Bκ =
p
snr/κUκ Qκ
(4.28)
donde Uκ ∈ CnT ×κ tiene como columnas los vectores propios de HH H correspondientes
a los κ valores propios no nulos mayores y Qκ ∈ Cκ×κ es una matriz unitaria. Como
anteriormente, Qκ = Iκ para funciones de coste Schur-cóncavas y Qκ es una matriz
H
−1
unitaria tal que Eκ = (Iκ + BH
tenga los elementos de la diagonal idénticos
κ H HBκ )
para funciones de coste Schur-convexas.
Dado el transmisor en (4.28) y el receptor en (4.16), los componentes de la señal
81
4.2. Técnicas de Transmisión MIMO con Conocimiento de Canal
82
Criterios de diseño y de asignación óptima de potencia
Mín. máximo de los MSEs [Pal03]
Máx. mínimo de las SNRs [Pal03]
−1/2
pk = (µλk
Máx. media armónica de las SNRs [Pal03]
+
−λ−1
k )
Mín. promedio de la BER [Din03, Pal03]
(igual constelaciones)
Mín. máximo de las BERs [Pal03]
Tabla 4.2: Ejemplos de esquemas no diagonales con distribución de potencia no fija.
estimada sˆκ son iguales a (posiblemente con un pre- y post-procesado adicional de los
símbolos sk )
p
λk snr/κ
λk snr/κ
ŝk =
sk +
nk
1 + λk snr/κ
1 + λk snr/κ
k = 1, . . . , κ
(4.29)
con SNR instántanea dada por
ρk = λk snr/κ
k = 1, . . . , κ
(4.30)
En resumen, los transceptores lineales MIMO bajo una limitación de potencia de
pico, de la misma manera que con una restricción de potencia total, transforman el canal
MIMO en κ canales SISO, en los cuales cada componente de señal (posiblemente después
de una rotación) es transmitida, en este caso, con igual potencia a través de un modo
propio diferente.
4.2.5.
Simulaciones
En esta sección se comparan los resultados de la BER promedio en el diseño práctico del transmisor lineal MIMO obtenido en la Sección 4.2.4.
Con fines ilustrativos en la Figura 4.5 han sido simulados tres métodos diferentes
para observar la influencia del criterio de diseño. Se muestra el diseño que minimiza la
4. Diseño de un Transmisor/Receptor MIMO con TOD con Conocimiento de Canal
0
10
nT=4, nR=4, κ=4, QPSK
−1
BER Promedio Global
10
mín.BER
−2
10
mín.
suma−MSE
−3
10
uniforme
−4
10
−5
10
−6
10
0
5
10
15
20
25
30
SNR (dB)
35
40
45
50
55
Figura 4.5: BER promedio de un transceptor lineal MIMO con nT = nR = κ = 4,
modulación QPSK, diseñado bajo los criterios: uniforme, mínima suma de MSE y mínima
BER.
suma de los MSEs (mín suma-MSE), el diseño que minimiza el promedio de las BERs
sobre los substreams activos (mín BER) y como referencia, el diseño diagonal con una
distribución de potencia uniforme (uniforme). Hemos de tener en cuenta que el método
de mínima suma de MSEs pertenece al conjunto de funciones de coste Schur-cóncavas
mientras que el método de mínima BER pertenece al conjunto de funciones de coste
Schur-convexas. La transmisión diagonal con potencia uniforme a través del substream
activo es la óptima para el diseño del transceptor MIMO con una función de coste Schurcóncava bajo una restricción de potencia de pico.
En la Figura 4.5 la BER promedio de los tres métodos diferentes ha sido simulada
con la configuración siguiente: nT = 4, nR = 4, substreams activos κ = 4 y usando una modulación QPSK. Como era de esperar, los métodos basados en funciones de
coste Schur-convexas (mín BER) ofrecen mejores resultados que los basados en Schurcóncavas (mín suma-MSE y uniforme). La razón es que los métodos de Schur-cóncava
transmiten los símbolos de forma paralela por los modos propios del canal (estructura
diagonal), con la consiguiente falta de robustez en los desvanecimientos de algunos de los
83
4.2. Técnicas de Transmisión MIMO con Conocimiento de Canal
84
modos propios del canal, mientras que los métodos Schur-convexa siempre transmiten los
símbolos distribuidos a través de los modos propios del canal (estructura no diagonal).
0
10
nT=4, nR=4, QPSK
−1
10
−2
BER Promedio Global
10
−3
10
κ=4
−4
10
−5
10
κ=3
−6
10
−7
10
−8
10
0
5
10
15
20
25
30
SNR (dB)
35
40
45
50
55
Figura 4.6: BER promedio de un transceptor lineal MIMO (uniforme) con nT = nR = 4,
modulación QPSK, y κ = 3 y κ = 4.
En la Figura 4.6 realizamos la comparación de la BER promedio para diferentes
substreams activos con una configuración con nT = nT = 4 y con modulación QPSK. No
es una comparación justa ya que se consiguen tasas diferentes, pero nos permite observar
que para una asignación de potencia uniforme si reducimos el número de substreams
activos κ conseguimos que se aumente la diversidad, ya que la diversidad del sistema
global viene dada por la diversidad del peor modo propio del canal utilizado. Para observar
mejor este comportamiento veremos en las Figuras 4.7 y 4.8 las BERs individuales de
cada substream κ.
En las Figuras 4.7 y 4.8 se observan las diferentes BERs promedio individuales para
cada substream, en la primera para un sistema con 2 antenas transmisoras (k = 1, 2) y
en la segunda para 4 antenas transmisoras (k = 1, 2, 3, 4). Como la diversidad para un
sistema MIMO viene dada por (nT − k + 1)(nR − k + 1) obtenemos diversidades desde
nT · nR para el caso k = 1 hasta diversidades de (m − n + 1) donde m = máx{nT , nR } y
n = mı́n{nT , nR }.
4. Diseño de un Transmisor/Receptor MIMO con TOD con Conocimiento de Canal
0
10
nT=2, nR=4, κ=2, QPSK
−1
10
−2
BER Promedio Individual
10
−3
10
−4
10
k =2
−5
10
k =1
−6
10
−7
10
−8
10
−5
0
5
10
15
SNR (dB)
20
25
30
Figura 4.7: BER promedio individual de cada substream k = 1, 2 de un transmisor lineal
MIMO con nT = 2, nR = 4 y modulación QPSK.
0
10
nT=4, nR=4, QPSK
−1
10
k =4
−2
BER Promedio Individual
10
k =3
−3
10
k =2
−4
10
k =1
−5
10
−6
10
−7
10
−8
10
−5
0
5
10
15
20
SNR (dB)
25
30
35
40
Figura 4.8: BER promedio individual de cada substream k = 1, 2, 3, 4 de un transmisor
lineal MIMO con nT = 4, nR = 4 y modulación QPSK.
85
4.3. Diseño con Códigos TOD
86
4.3.
Diseño con Códigos TOD
En esta sección presentamos un esquema MIMO que combina las técnicas de preco-
dificación lineal con los códigos TOD introducidos en la Sección 3.3, con el fin de obtener
un sistema de comunicaciones MIMO capaz de adaptarse al conocimiento de canal que
se disponga en transmisión, objetivo principal de este proyecto.
4.3.1.
Modelo de Señal y Problema de Diseño
Consideramos un sistema MIMO con nT antenas transmisoras y nR antenas receptoras equipado con un codificador TOD y un precodificador lineal. Como en la Sección
3.3.1, asumimos que el canal se mantiene constante durante Q usos, de manera que podemos agrupar el bloque de símbolos transmitidos en la matriz X ∈ CnT ×Q que viene dada
por
X = Bκ
nS
X
Ak s k
(4.31)
k=1
nT ×κ
donde Bκ ∈ C
es el precodificador lineal, {sk }k=1,...,nS son los nS = κQ símbolos
de datos transmitidos y {Ak ∈ Cκ×Q }k=1,...,nS que satisfacen (ver Sección 3.3.1 para más
detalles)
tr(AH
i Aj ) = δij
1
A i AH
Iκ
i =
κ
i, j ∈ {1, . . . , nS }
(4.32)
i ∈ {1, . . . , nS }
(4.33)
La matriz de precodificación lineal se diseñará distinguiendo entre una restricción de potencia total y una restricción de potencia de pico (ver Sección 4.2.1.1):
Restricción de potencia total: La matriz transmisora está normalizada tal que
1
tr{E{vec(X)vec(X)H }} ≤ snr
Q
(4.34)
1
H
tr{Fκ FH
κ (IQ ⊗ Bκ Bκ } ≤ snr
Q
(4.35)
o, de forma equivalente
4. Diseño de un Transmisor/Receptor MIMO con TOD con Conocimiento de Canal
donde hemos usado que
vec(X) =
nS
X
k=1
(IQ ⊗ Bκ )vec(Ak )sk = (IQ ⊗ Bκ )Fκ snS
(4.36)
donde Fκ = [vec(A1 ) · · · vec(AnS )] ∈ CκQ×nS (FFH = InS ) y snS = [s1 · · · snS ]T
(E{snS sH
nS } = InS ). Finalmente, el diseño del precodificador lineal con una restricción de potencia total puede ser expresado con la siguiente restricción
tr(BH
κ Bκ ) ≤ snr
(4.37)
Restricción de potencia de pico: La matriz transmisora está normalizada tal que
1
λmáx {E{vec(X)vec(X)H }} ≤ snr/κ
Q
(4.38)
o, de forma equivalente
1
H
λmáx {(IQ ⊗ Bκ )Fκ FH
κ (IQ ⊗ Bκ )} ≤ snr/κ
Q
(4.39)
Finalmente, el diseño del precodificador lineal con una restricción de potencia de
pico puede ser expresado con la siguiente restricción
λmáx (Bκ BH
κ ) ≤ snr/κ
(4.40)
La matriz recibida Y ∈ CnR ×Q viene dada por
Y = HX + W
(4.41)
donde W ∈ CnR ×Q es la matriz de ruido aditivo Gaussiano. De forma equivalente,
usando (4.36), podemos reescribir (4.41) en forma de vector como
y = vec(Y) = (IQ ⊗ H)vec(X) + vec(W) = (IQ ⊗ HBκ )Fκ snS + w
(4.42)
donde y ∈ CnR Q×1 es el vector recibido y w ∈ CnR Q×1 es el vector de ruido
Gaussiano aditivo, normalizado tal que E{wwH } = InR Q .
A continuación nos centraremos en el diseño del transmisor y del receptor lineal
cuando el sistema MIMO incluye codificación TOD full-rate, es decir nS = κQ (ver
87
4.3. Diseño con Códigos TOD
88
Figura 4.9). Dado que el rendimiento final de un sistema de comunicaciones se mide en
términos de la probabilidad de error de bit, sólo consideramos el diseño del transceptor
lineal que minimiza la BER media sobre los símbolos de datos transmitidos:
κQ
1 X
BER(msek )
{Gκ , Bκ } = arg mı́n
Gκ ,Bκ κQ
k=1
(4.43)
bajo la restricción de potencia total en (4.37) o de potencia de pico en (4.40).
4.3.2.
Receptor Lineal Óptimo
El objetivo de esta sección es diseñar el receptor lineal que estima los símbolos
como
ŝκQ = Gκ y
(4.44)
donde Gκ ∈ CκQ×nR Q y el vector recibido y está definido en (4.42). Como ocurría en la
Sección 4.2.3 el receptor lineal Gκ puede diseñarse fijando la matriz de transmisión Bκ y
minimizando los MSEs asociados a cada símbolo o, de forma equivalente, la traza de la
matriz de MSE definida como
EκQ (Gκ ) = E{(s − ŝ)(s − ŝ)H }
H
H H
= Ins + GH
κ (IQ ⊗ HBκ )Fκ Fκ (IQ ⊗ Bκ H )Gκ
H
− 2<{GH
κ (IQ ⊗ HBκ )Fκ } + Gκ Gκ .
(4.45)
(4.46)
(4.47)
Siguiendo los mismos pasos que en la Sección 3.3.4, el receptor óptimo viene dado por
−1 H H
Gκ = IQ ⊗ HBκ Bκ H + InR
H F
(4.48)
y la matriz de MSE es
−1
H H
EκQ = FH
.
κ IQ ⊗ Bκ H HBκ Fκ + IκQ
(4.49)
El receptor lineal MMSE en (4.48) se descompone en la siguiente expresión para
estimar el símbolo k-ésimo (k = 1, . . . , κQ):
r
−1 snr H H H
H
tr Ak Bκ H HBκ BH
H
+
I
Y
ŝk =
n
κ
R
nT
(4.50)
4. Diseño de un Transmisor/Receptor MIMO con TOD con Conocimiento de Canal
W
X
T(s)
sκ
/-
nS = κQ
F
/-
Bκ
κ×Q
nT × κ
Y
H
/
nT × Q
⊕
?
nR × nT
/
nR × Q
GH
κ
/- ŝκ
κ × nT
6
Canal de feedback
Figura 4.9: Diseño del transmisor/receptor TOD.
incurriendo en un MSE dado por
msek = [EκQ ]kk =
−1 1 H H
tr Bκ H HBκ + Iκ
κ
(4.51)
lo que demuestra que los nS = κQ símbolos de datos transmitidos son estimados con el
mismo MSE.
4.3.3.
Diseño del Transmisor Lineal Óptimo
En esta sección nos centraremos en el diseño del transmisor lineal cuando el sistema
MIMO incluye codificación TOD y el receptor es el que hemos obtenido en la Sección
4.3.2. Como se ha demostrado en la sección anterior, utilizando codificación TOD, los
símbolos son estimados con el mismo MSE independientemente del precodificador lineal.
Así, el transmisor lineal óptimo, cuando tenemos conocimiento perfecto de canal en el
transmisor, es obtenido como la solución al siguiente problema de optimización (bajo una
restricción de potencia):
κQ
1 X
Bκ = arg mı́n
BER(msek )
Bκ κQ
k=1
= arg mı́n msek
Bκ
−1 1 H
H
HB
+
I
= arg mı́n tr BH
κ
κ
κ
Bκ κ
donde la primera igualdad viene del hecho de que todos los MSE son iguales.
(4.52)
(4.53)
(4.54)
89
4.3. Diseño con Códigos TOD
90
4.3.3.1.
Limitación de Potencia Total
El problema de optimización en (4.54) es equivalente al obtenido en la Sección
4.2.4.1 cuando minimizamos la suma de las MSEs. Por lo tanto, usando los resultados
de dicha sección, el precodificador lineal óptimo bajo una limitación de potencia total es
[Pal03]
Bκ = Uκ
p
Pκ
(4.55)
donde Uκ ∈ CnT ×κ contiene los κ vectores propios asociados con los κ valores propios
máximos de HH H, {λk }k=1,...,κ , y Pκ ∈ Rκ×κ es la matriz diagonal con los elementos de
la diagonal positivos dada por
pk =
y µ es tal que
Pκ
k=1
−1/2
µλk
−
λ−1
k
+
k = 1, . . . , κ
(4.56)
pk = snr. Usando el precodificador lineal óptimo en (4.55), el esti-
mador lineal MMSE para el k-ésimo símbolo viene dado por
n
o
p
H H
−1
ŝk = tr AH
P
U
H
(P
Λ
+
I
)
Y
κ
κ
κ
n
k
κ
T
k = 1, . . . , κQ
(4.57)
donde Λκ ∈ Rκ×κ es la matriz diagonal que contiene los κ valores propios máximos de
HH H, y el MSE
κ
1X
mseκ =
(1 + pi λi )−1
κ i=1
k = 1, . . . , κQ
(4.58)
La SNR instantánea, dada por ρk , es entonces
ρκ = mse−1
κ −1 = κ
κ
X
i=1
!−1
(1 + pi λi )−1
−1
(4.59)
que es exactamente el mismo resultado que se obtiene con el diseño de BER mínima presentado en la Sección 4.2.4.1. Esto demuestra, que el precodificador lineal que minimiza
la suma de los MSEs es el precodificador lineal de mínima BER cuando usamos códigos
de espacio-tiempo de traza ortogonal.
4. Diseño de un Transmisor/Receptor MIMO con TOD con Conocimiento de Canal
4.3.3.2.
Limitación de Potencia de Pico
Bajo la limitación de potencia de pico el precodificador lineal óptimo se particulariza como (ver Sección 4.2.4.2 para detalles)
r
Bκ =
snr
Uκ
κ
(4.60)
Entonces, usando el precodificador lineal óptimo en (4.60), el estimador lineal MMSE
para el k-ésimo símbolo viene dado por
r
ŝk =
o
snr n H H H snr
−1
tr Ak Uκ H ( Λκ + Iκ ) Y
κ
κ
k = 1, . . . , κQ
(4.61)
donde Λκ ∈ Rκ×κ es la matriz diagonal que contiene los κ valores propios máximos de
HH H, y el MSE
κ
1X
snr −1
mseκ =
λi )
(1 +
κ i=1
κ
k = 1, . . . , κQ
(4.62)
La SNR instantánea, dada por ρκ , es entonces
ρκ = mse−1
k −1 = κ
κ
X
snr −1
λi )
(1 +
κ
i=1
!−1
−1
(4.63)
En el caso en que κ = nT no hay ninguna ganancia de la adaptación del TOD a las
condiciones del canal por medio de un precodificador lineal, ya que
msek
snr
In
nT T
−1 )
snr H
H H + InT
nT
( )
−1
1
snr H
=
tr U
H H + InT
UH
nT
nT
(
−1 )
1
snr
=
tr
Λ + InT
nT
nT
1
=
tr
nT
(
= msek (Bκ ).
(4.64)
(4.65)
(4.66)
(4.67)
91
4.3. Diseño con Códigos TOD
92
4.3.4.
Adaptación del Número de Substreams
Las técnicas de precodificación lineal consideradas en las Secciones anteriores suponían que el número de substreams era fijo para todas las realizaciones de canal. Partiendo del diseño obtenido en la sección anterior en el cual combinábamos un codificador
TOD con un precodificador lineal, consideramos ahora la adaptación del número de substreams transmitidos por el precodificador lineal en cada bloque de codificación TOD.
Recordando que un bloque de codificación TOD transmite nS = κQ símbolos utilizando
Q usos de canal, se obtiene que el rate es
R = κ log2 Mκ
bits por uso de canal
(4.68)
donde hemos supuesto (por simplicidad) que todos los símbolos se extraen de una misma
constelación de dimensión Mκ . De esta manera, si queremos mantener el rate constante,
debemos adaptar conjuntamente el número de substreams y la modulación utilizada.2
Así pues, en esta sección adaptamos el número de substreams κ y las constelaciones
de dimensiones Mκ a las condiciones instantáneas del canal con el objetivo de minimizar
la BER permitiendo que κ varíe entre 1 y n = mı́n(nT , nR ) a la vez que el rate en (4.68)
se mantiene constante. Normalmente sólo un subconjunto K de los n posibles valores de
κ es factible, puesto que el número de bits por símbolo R/κ tiene que ser entero (ver
ejemplo en Tabla 4.3). En resumen, el problema tratado en esta sección es el siguiente:
κQ
{κ, Gκ , Bκ } = arg
mı́n
κ∈K,Gκ ,Bκ
1 X
BER(ρk )
κQ k=1
(4.69)
donde Bκ satisface una restricción de potencia total como en (4.34) o de pico como en
(4.38).
El transceptor óptimo cuando κ es fija se ha obtenido en las Secciones 4.3.3.1 y
4.3.3.2 respectivamente. En ambos casos, la solución óptima establece los κ substreams
por los κ mayores modos propios del canal de manera que la SNR equivalente ρκ es la
2
Cabe observar que un proceso de optimización más complejo adaptaría el número de substreams y las
constelaciones sin la restricción de que éstas sean iguales.
4. Diseño de un Transmisor/Receptor MIMO con TOD con Conocimiento de Canal
R
κ=1
κ=2
κ=3
κ=4
1
BPSK
?
?
?
2
QPSK
BPSK
?
?
3
8-QAM
?
?
?
4
16-QAM
QPSK
?
BPSK
6
64-QAM
8-QAM
QPSK
?
8
256-QAM
16-QAM
?
QPSK
Tabla 4.3: Ejemplos del números de substreams κ activos soportados y sus modulaciones
correspondientes dependiendo del rate deseado (en bits por uso de canal).
misma para los κQ símbolos de datos transmitidos durante un bloque de codificación
TOD. De esta manera, la BER media sobre los símbolos de datos transmitidos queda
como
κQ
1 X
BER(ρκ ) = BER(ρκ )
κQ k=1
p
ακ
=
Q
βκ ρκ
log2 Mκ
(4.70)
(4.71)
donde ρκ viene dada por (4.59) bajo una restricción de potencia total y por (4.63) bajo
una restricción de potencia de pico y en (4.71) hemos utilizado la expresión de la BER
introducida en la Sección 3.4.1. Por lo tanto, el problema de optimización en (4.69) se
reduce a seleccionar κ como
κ = arg mı́n
κ∈K
p
ακ
Q
βκ ρκ
log2 Mκ
(4.72)
o, despreciando la contribución de ακ /log2 Mκ puesto que no aparece en el argumento de
la función Q, como
κ = arg mı́n βκ ρκ
κ∈K
(4.73)
Este procedimiento garantiza que se obtenga siempre la máxima diversidad y ofrece
las mejores prestaciones a moderadas SNRs donde κ = 1 deja de ser óptima con probabilidad alta.
93
4.3. Diseño con Códigos TOD
94
4.3.5.
Simulaciones
En esta sección se proporcionan simulaciones numéricas para mostrar el comportamiento de la BER promedio en diseños TOD cuando se dispone de conocimiento de
canal. En la Figura 4.10 se compara el comportamiento de la BER promedio de un TOD
con una restricción de potencia total con un mismo diseño pero bajo una restricción de
potencia de pico para diferentes números de antenas y diferentes configuraciones del TOD
(nT = nR = κ = 2, nT = κ = 2 y nR = 4, y nT = nR = κ = 4). Bajo la restricción
de potencia de pico, el precodificador lineal asigna la misma potencia a los κ substreams
codificados, mientras que con la restricción de potencia total se optimiza la distribución
de potencia, hecho que explica el mejor comportamiento de la BER promedio.
0
10
Restricción de potencia total
Restricción de potencia de pico
−1
10
BER Promedio
nT=nR=κ=4, QPSK, R=8
nT=nR=κ=4, QPSK, R=8
−2
10
nT=nR=κ=2, QPSK, R=4
nT=nR=κ=2, QPSK, R=4
−3
10
nT=κ=2, nR=4, QPSK, R=4
nT=κ=2, nR=4, QPSK, R=4
−4
10
0
5
10
15
SNR (dB)
20
25
30
Figura 4.10: BER promedio de un diseño TOD con precodificador lineal con nT = nR =
κ = 2, nT = κ = 2 y nR = 4, y nT = nR = κ = 4 bajo una limitación de potencia total y
una limitación de potencia de pico.
4. Diseño de un Transmisor/Receptor MIMO con TOD con Conocimiento de Canal
En las Figuras 4.11 y 4.12 comparamos el comportamiento de la BER para una tasa
de transmisión de R = 4 bits por uso de canal cuando utilizamos códigos TOD y un
precodificador lineal con el número de substreams fijo y cuando adaptamos el número de
substreams para cada realización de canal. En este caso, consideramos sólo el diseño con
restricción de potencia de pico. La asignación de potencia de manera uniforme entre los
substreams codificados en traza ortogonal incurre en un déficit de rendimiento importante
para el diseño TOD con precodificador lineal, donde el número de símbolos de datos κ
codificados está fijado arbritariamente (ver Figura 4.10). Sin embargo, cuando el número
de símbolos de datos codificados κ también se adapta, esta diferencia de rendimiento es
insignificante (ver Figura 4.13). También es importante tener en cuenta, como se señala
en la Sección 4.3.3.2, que la adición de un precodificación lineal para el sistema TOD no
proporciona ninguna ventaja, cuando no se descartan substreams espacialmente, es decir,
κ = mı́n(nT , nR ) y la potencia es uniformemente repartida entre estos substreams. Esto
puede verse comparando las Figuras 4.11 y 4.12 con las Figuras 3.13 y 3.15 del capítulo
anterior.
0
10
adaptando κ
κ fija
−1
10
−2
BER Promedio
10
κ=2
−3
10
κ=1
−4
10
−5
10
nT=2, nR=2, R=4
−6
10
−10
0
10
20
SNR (dB)
30
40
50
Figura 4.11: BER promedio de un diseño TOD con precodificador lineal con nT = nR = 2
usando un precodificador lineal con κ = 1, κ = 2 y adaptando κ ∈ K = {1, 2} bajo una
limitación de potencia de pico (R = 4 bits por uso de canal).
95
4.3. Diseño con Códigos TOD
96
0
10
adaptando κ
κ fija
−1
10
−2
BER Promedio
10
−3
10
κ=2
−4
10
κ=1
−5
10
−6
10
−10
κ=4
nT=4, nR=4, R=4
0
10
20
SNR (dB)
30
40
50
Figura 4.12: BER promedio de un diseño TOD con precodificador lineal con nT = nR = 4
usando un precodificador lineal con κ = 1, κ = 2, κ = 4 y adaptando κ ∈ K = {1, 2, 4}
bajo una limitación de potencia de pico (R = 4 bits por uso de canal).
Por último, las simulaciones numéricas muestran, como era de esperar, que el TOD
adaptando la κ supera a los diseños con precodificador lineal (para todos los valores de
κ), ya que instantáneamente selecciona el mejor diseño del precodificador en función
del estado del canal. Todos estos resultados se han obtenido con la función de selección
aproximada en (4.73).
En la Figura 4.13 podemos observar que el comportamiento del diseño usando la
función de selección óptima y la función de selección aproximada definidas en (4.72)
y (4.73) es el mismo a excepción de una casi inapreciable mejora en el caso de SNR
muy bajas, con lo que podemos concluir que la aproximación realizada nos garantiza la
máxima diversidad y nos minimiza la complejidad del problema de diseño.
4. Diseño de un Transmisor/Receptor MIMO con TOD con Conocimiento de Canal
0
10
BER (Pot. de pico)
min BER (Pot. de pico)
BER (Pot. Total)
min BER (Pot. Total)
−1
10
−2
BER Promedio
10
−3
10
−4
10
−5
10
nT=2, nR=4, R=4
−6
10
−10
0
10
20
SNR (dB)
30
40
50
0
10
BER (Pot. de pico)
min BER (Pot. de pico)
BER (Pot. Total)
min BER (Pot. Total)
−1
10
−2
BER Promedio
10
−3
10
−4
10
−5
10
nT=2, nR=4, R=4
−6
10
−10
0
10
20
SNR (dB)
30
40
50
Figura 4.13: BER promedio con nT = 2 y nR = 4 (R = 4 bits por uso de canal).
97
4.3. Diseño con Códigos TOD
98
En las Figuras 4.14, 4.15 y 4.16 comparamos el comportamiento de la BER promedio utilizando el precodificador TOD con las diferentes asignaciones de potencia. Observamos que para tasas de transmisión altas (R = 16) si hay una mejora en el caso de
asignación de potencia uniforme.
0
10
Pot. total
Pot. de pico
−1
10
−2
BER Promedio
10
−3
10
nT=2, nR=2, R=16
−4
10
nT=2, nR=2, R=4
−5
10
−6
10
−10
0
10
20
SNR (dB)
30
40
50
Figura 4.14: BER promedio de un diseño TOD con mismo número de antenas nT = nR =
2 y diferente R.
4. Diseño de un Transmisor/Receptor MIMO con TOD con Conocimiento de Canal
0
10
Pot. total
Pot. de pico
−1
10
−2
BER Promedio
10
nT=4, nR=4, R=4
−3
10
−4
nT=4, nR=4, R=2
10
−5
10
−6
10
−10
0
10
20
SNR (dB)
30
40
50
Figura 4.15: BER promedio de un diseño TOD con mismo número de antenas nT = nR =
4 y diferente R.
0
10
Pot. total
Pot. de pico
−1
10
nT=2, nR=2
−2
BER Promedio
10
−3
10
nT=2, nR=4
−4
10
−5
10
−6
10
−10
0
10
20
SNR (dB)
30
40
50
Figura 4.16: BER promedio de un diseño TOD con mismo R = 16.
99
4.3. Diseño con Códigos TOD
100
En la Figura 4.17 representamos la BER promedio para diseños TOD con diferentes
número de antenas transmisoras y receptores y manteniendo siempre el mismo rate (R =
4). Hay una mejora importante con el aumento de nT .
El sistema TOD propuesto utiliza la información de canal disponible en transmisión
para adaptar el número de substreams y la modulación utilizada, así como la matriz de
covarianza de la señal transmitida a cada realización de canal. De esta manera se consigue
una mejor BER promedio, así como la máxima diversidad del canal, aunque el receptor
utilizado sea un receptor lineal de baja complejidad. Esto se observa claramente en las
Figuras 4.18 y 4.19 donde se compara el comportamiento de la BER promedio para los
diseños con conocimiento de canal con el mismo diseño sin conocimiento de canal cuando
la tasa está fija y se varía el número de antenas, y en la Figura 4.20 donde el número de
antenas está fijado y se varía la tasa de transmisión.
4. Diseño de un Transmisor/Receptor MIMO con TOD con Conocimiento de Canal
0
10
nT=2,nR=2
nT=2,nR=4
−1
10
nT=4,nR=4
nT=4,nR=6
−2
BER Promedio
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
−10
0
10
20
SNR (dB)
30
40
50
Figura 4.17: BER promedio de un diseño TOD con mismo R = 4.
0
10
nT=2,nR=2, R=4, CSIT
nT=2,nR=4, R=4, CSIT
−1
10
nT=2,nR=2, R=4, NO CSIT
nT=2,nR=4, R=4, NO CSIT
−2
BER Promedio
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
−10
0
10
20
SNR (dB)
30
40
50
Figura 4.18: BER promedio de un diseño TOD con mismo R = 4 con CSIT y sin CSIT.
101
4.3. Diseño con Códigos TOD
102
0
10
nT=4,nR=4, R=4, CSIT
nT=4,nR=6, R=4, CSIT
−1
10
nT=4,nR=4, R=4, NO CSIT
nT=4,nR=6, R=4, NO CSIT
−2
BER Promedio
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
−10
0
10
20
SNR (dB)
30
40
50
Figura 4.19: BER promedio de un diseño TOD con mismo R = 4 con CSIT y sin CSIT.
0
10
CSIT Perfecto
NO CSIT
−1
10
−2
BER Promedio
10
R=4
−3
10
R=16
−4
10
−5
10
nT=2, nR=2
−6
10
−10
0
10
20
SNR (dB)
30
40
50
Figura 4.20: BER promedio de un diseño TOD con mismo número de antenas con CSIT
y sin CSIT y con diferente R.
4. Diseño de un Transmisor/Receptor MIMO con TOD con Conocimiento de Canal
4.4.
Conclusiones
En este capítulo se asume conocimiento de canal perfecto en el transmisor, con lo
que la transmisión puede adaptarse a cada realización de canal. Primeramente se han presentado las técnicas de transmisión lineal más comunes en esta situación. Posteriormente
se ha diseñado un esquema que combina la precodificación lineal con los códigos TOD,
de manera que obtenemos un sistema capaz de adaptarse al conocimiento de canal que se
disponga en transmisión explotando las ventajas en términos de capacidad de los códigos
TOD.
El diseño conjunto de un transmisor y receptor lineales óptimos desarrollados por
Palomar en [Pal03] diagonaliza el canal (posiblemente después de una rotación de los
símbolos), explotando así la propiedad de multiplexado espacial de los canales MIMO. De
esta manera el transmisor establece varios substreams de datos independientes a través de
los modos propios del canal y así la potencia de transmisión disponible se distribuye entre
los substreams de acuerdo con el criterio de diseño específico. El receptor lineal óptimo
es el receptor lineal de MSE mínimo (MMSE), también conocido como filtro de Wiener,
el cual minimiza al mismo tiempo todas las MSEs individuales de cada substream.
Utilizando codificación TOD, los símbolos son estimados con el mismo MSE independientemente del precodificador lineal. Cuando el número de substreams transmitidos
es igual a nT , la ganancia de la adaptación del TOD a las condiciones del canal a través
del precodificador lineal es tan sólo marginal.
En consecuencia, hemos considerado también la adaptación del número de susbstreams transmitidos por el precodificador lineal en cada bloque de codificación TOD. Para
mantener la tasa de transmisión constante, adaptamos conjuntamente el número de substreams κ y la modulación utilizada. Con el procedimiento planteado se garantiza obtener
siempre la máxima diversidad y ofrecer las mejores prestaciones.
Finalmente se han evaluado las prestaciones del sistema en términos de BER prome-
103
104
4.4. Conclusiones
dio para diseños TOD cuando se dispone de conocimiento de canal. Se ha visto un mejor
comportamiento de la BER bajo una restricción de potencia total debido a su optimización
de la distribución de potencia. También se ha visto como el diseño con TOD adaptando
el número de substreams supera en rendimiento a los diseños con precodificador lineal ya
que instantáneamente selecciona el mejor diseño del precodificador en función del estado
del canal. Finalmente hemos comparado el comportamiento de la BER promedio para el
sistema con conocimiento de canal frente al sistema sin conocimiento de canal.
Capítulo 5
Conclusiones y Líneas Futuras
5.1.
Conclusiones
Las comunicaciones móviles, ya que van asociadas a cada individuo, vaya donde
vaya, tienen un gran futuro por delante. Ya han experimentado una de las revoluciones
más importantes, con los teléfonos móviles en todo el mundo, con acceso a Internet y
comunicaciones flexibles a los dispositivos móviles. La voz dejará de ser el servicio básico, mientras que los datos ocuparán su posición, y aparecerá un enorme conjunto de
servicios para hacer la vida y las tareas cotidianas más fáciles, sencillas y cómodas, y
desde cualquier lugar. Actualmente ya existe una amplia oferta de dispositivos móviles
en el mercado y los fabricantes distribuyen nuevos modelos constantemente y el éxito
del mercado de las aplicaciones móviles requiere que los usuarios obtengan servicios y
contenidos de una forma independiente del momento y del lugar en que se encuentren.
Todo esto nos obliga a disponer de una red de comunicaciones móviles caracterizada por una alta eficiencia espectral y velocidad de transmisión, así como una baja latencia.
En este proyecto hemos diseñado un sistema de transmisión de capa física que podría ser
integrado en una interfaz de radio de los sistemas de comunicaciones móviles actuales y
futuros. Se trata de un sistema de comunicaciones MIMO reconfigurable y capaz de adaptarse a la información sobre el estado del canal disponible en transmisión. En particular
105
5.1. Conclusiones
106
nos hemos centrado en el diseño y la evaluación del comportamiento del sistema MIMO
para dos escenarios diferentes: sin conocimiento de canal y con conocimiento perfecto de
canal.
Cuando no se dispone de conocimiento de canal, se ha realizado el diseño de un
sistema MIMO con códigos TOD con el objetivo de obtener una transmisión sin pérdidas
de tasa cualquiera que sea el canal de realización. Una vez demostrado que un sistema de
codificación TOD lineal en espacio tiempo no tiene pérdidas en términos de capacidad se
ha considerado que el receptor con mejor compromiso entre complejidad y prestaciones
es el receptor lineal de MSE mínimo.
Teniendo conocimiento de canal perfecto en transmisión podemos adaptar la transmisión a cada realización de canal. De esta forma, combinando un precodificador lineal
con el sistema TOD, hemos obtenido un sistema capaz de adaptarse al conocimiento de
canal que se disponga en transmisión explotando las ventajas en términos de capacidad
de los códigos TOD. El receptor lineal óptimo obtenido es el conocido receptor lineal
de MSE mínimo (MMSE), también conocido como filtro de Wiener, el cual minimiza al
mismo tiempo todas las MSEs individuales de cada substream, mientras que el transmisor transforma el canal MIMO en κ canales SISO. Finalmente se ha tratado la adaptación
del número de los substreams transmitidos por el precodificador lineal en cada bloque de
codificación TOD, siendo ésta una aportación muy importante del proyecto ya que hemos
visto que estos diseños superan en rendimiento a los que no realizan la adaptación ya que
instantáneamente seleccionan el mejor diseño del precodificador en función del estado
del canal.
5. Conclusiones y Líneas Futuras
107
5.2.
Esquema de capa física propuesto
5.2.1.
Diseño sin conocimiento de canal
Transmisor: se propone un codificador espacio-temporal con códigos de traza ortogonal
(TOD) que garantizan la transferencia de información sin pérdidas de capacidad.
Receptor: un buen resultado entre complejidad y rendimiento nos lo ofrece un receptor
lineal de mínimo error cuadrático medio (MMSE).
Ruido aditivo
'
Símbolos
de datos
-
$
TRANSMISOR
Codificador
espacio-temporal
Canal
MIMO
&
%
⊕
?
Receptor
lineal
-
Símbolos de
datos estimados
Figura 5.1: Diseño del transmisor/receptor TOD sin conocimiento de canal
5.2.2.
Diseño con conocimiento de canal
Ruido aditivo
'
Símbolos
de datos
-
Codificador
espacio-temporal
&
$
TRANSMISOR
-
Precodificador
lineal
6
Canal
MIMO
%
⊕
?
Receptor
lineal
-
Símbolos de
datos estimados
Canal de feedback
Figura 5.2: Diseño del transmisor/receptor TOD con conocimiento de canal
Transmisor: Compuesto por el mismo codificador de espacio-tiempo que cuando no disponíamos de conocimiento de canal y un precodificador lineal que minimiza la suma de
las MSEs. Dicho precodificador es el de mínima BER. Adicionalmente se incluye un
sistema que adapta el número de substreams transmitidos manteniendo la rate constante.
5.3. Líneas de Trabajo Futuras
108
Receptor: un buen resultado entre complejidad y rendimiento nos lo ofrece un receptor
lineal de mínimo error cuadrático medio (MMSE).
5.3.
Líneas de Trabajo Futuras
Para un futuro se plantea el problema de la optimización de un sistema MIMO con
conocimiento perfecto de canal en el receptor y el transmisor es informado utilizando un
canal de feedback con rate limitado. Este caso se corresponde con la situación intermedia
entre los dos diseños propuestos en este proyecto.
Cuando tenemos conocimiento perfecto de canal, la matriz de precodificación está
diseñada en el transmisor en función de las condiciones de canal instantáneo para minimizar alguna medida de rendimiento como se ha visto en el Capítulo 4. Sin embargo, cuando
el canal no puede ser estimado en el transmisor y el canal de información es de capacidad
limitada (b = log2 N bits por uso de canal), la matriz de precodificación es elegida por
una función de selección de f : CnR ×nR −→ B = {B1 , B2 , . . . , BN } de un codebook (diseñado offline) de N elementos en el receptor y el índice de la matriz de precodificación
correspondiente es informado al transmisor utilizando el canal de feedback.
En resumen, el diseño y la implementación de un sistema MIMO con un canal
de feedback limitado requiere resolver dos problemas principales: (i) la selección del
precodificador óptimo B del codebook B para una determinada realización de canal y (ii)
el diseño del codebook óptimo B.
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