010 - UNNE

Determinación y análisis de las principales deficiencias en la identificación de
números pertenecientes a los distintos conjuntos numéricos: N, Z, Q, I o R, en
alumnos ingresantes a FACENA en 2001. I. Análisis por celda.
Porcel, Eduardo - Ramírez Arballo, María Gloria
Facultad de Cs. Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE.
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ANTECEDENTES
En el presente trabajo se desarrolla un estudio preliminar acerca de las principales deficiencias y dificultades de
alumnos ingresantes en la identificación de números pertenecientes a los distintos conjuntos numéricos: N, Z, Q, I o R.
Es parte del proyecto “Análisis de factores que inciden en el rendimiento académico y desgranamiento de alumnos de
FACENA” ( Secyt-Unne Pid 506), dado que uno de los factores que inciden en el bajo rendimiento es la falta de los
conocimientos matemáticos necesarios para cursar las materias de la carrera seleccionada, especialmente las de primer
cuatrimestre de primer año, momento de mayor desgranamiento en todas las carreras de la Facultad.
MATERIALES Y METODOS
En la prueba de diagnóstico de conocimientos previos que se tomó en marzo de 2001 a los alumnos que ingresaron ese
año a la FACENA- (U.N.N.E.) (pretest) se incluyó el siguiente ejercicio con el objetivo de observar la identificación de
elementos de R y de sus distintos subconjuntos numéricos por parte de los alumnos:
Dada la siguiente tabla, coloca una cruz en él o los casilleros correspondientes a todos los conjuntos numéricos a
los cuales pertenece cada uno de los números dados:
3
3
-2
-1,5 − 49
2
2
−
2
4
N (Naturales)
Z (Enteros)
Q (Racionales)
I (Irracionales)
R (Reales)
La forma de recolección de información por medio de una tabla de doble entrada, permite plantear el análisis y la
interpretación de la matriz de datos, al menos desde los siguientes puntos de vista: I) Análisis de las 35 variables
dicotómicas que constituyen el vector que se generó por cada alumno, es decir, la descripción e interpretación de los
datos del cuadro por celda. II) Análisis por columnas de los datos contenidos en la tabla de doble entrada, es decir,
centrando la atención en el reconocimiento de cada número, de acuerdo con los distintos tipos propuestos. III) Análisis
por filas de los datos de la misma tabla, lo cual equivale a decir centrar la atención en los conocimientos acerca de los
conjuntos numéricos: N, Z, Q, I y R. En el presente trabajo, desarrollaremos el análisis por celda. La matriz de datos
originales obtenidos se recodificó de manera que se asignó un 1(uno) a la presencia de error en la respuesta y 0 (cero)
cuando la respuesta era correcta. Cada celda se identifica por su ubicación en fila y columna. En el análisis estadístico
de los resultados se utilizaron técnicas de estadística descriptiva y el análisis de conglomerados (cluster).
La realización de la tarea de señalar los números pertenecientes a los distintos conjuntos numéricos que se pidió en el
ejercicio, implicó la ejecución por parte de los alumnos del proceso cognitivo de identificar, proceso que H. Hernández
[1989, 1990, 1993] y C. Delgado Rubí [1995] incluyen entre las habilidades conceptuales, es decir, aquéllas que operan
directamente con los conceptos, al describir el sistema básico de las habilidades que consideran imprescindibles para el
quehacer matemático. Estos autores definen la identificación como el proceso de “distinguir el objeto de estudio
matemático sobre la base de sus rasgos escenciales; determinar si el objeto pertenece a una determinada clase de
objetos que presentan ciertas características distintivas”. Sostienen que esta habilidad matemática posibilita un
dominio adecuado de los conceptos y disminuye la comisión de errores en el quehacer matemático de los estudiantes y
que la formación de esta habilidad complementa al sujeto de un recurso teórico insustibuible para la toma de decisiones
y la resolución de problemas contribuyendo, por lo tanto, a la formación de un pensamiento matemático riguroso,
reflexivo y profundo. Asimismo, consideran que el proceso de identificar es, en cierto modo, el proceso inverso del de
definir que definen como establecer mediante una proposición las características necesarias y suficientes del objeto de
estudio. Sostienen que este proceso, presupone precisar el objeto a definir y referir los atributos que lo caracterizan y
contribuye a la formación de la habilidad de identificar. Desde este punto de vista resulta pertinente conocer la
capacidad de los alumnos de identificar números naturales, enteros, racionales, irracionales o reales, por cuanto estaría
vinculada a su posterior rendimiento académico.
DISCUSI0N DE RESULTADOS
En primer lugar hay que mencionar que sólo 3 de los 778 alumnos, es decir, el 0,4 % de la población en análisis
completó correctamente todas las celdas del cuadro. (Tabla 1).
Tabla 1: Error en la identificación de números pertenecientes a N, Z, Q, I o R. (Cifras porcentuales).
Total
-1,5
2
3/2
-3/4
-2
− 49
2
N (Naturales)
Z (Enteros)
Q (Racionales)
I (Irracionales)
R (Reales)
Total
12,6
35,9
88,2
3,2
55,0
92,8
15,3
14,8
39,5
8,3
62,9
82,6
7,3
12,5
51,0
23,1
69,7
86,1
27,2
44,3
85,7
10,8
60,5
94,8
8,3
6,0
26,2
55,7
64,7
74,0
13,8
18,1
68,3
20,7
63,4
90,4
6,6
87,5
79,0
44,2
65,3
82,0
45,6
95,6
97,9
86,2
83,4
99,6
Asimismo, si atendemos a los menores porcentajes de error ( inferiores al 10%), se infiere que en la población en
estudio el 90% o más no tienen dificultades en reconocer que las siguientes proposiciones son verdaderas:
2 ∉ I (3,2%)
3/2 ∉ I (8,3%)
-3/4 ∉ N (7,3%)
2 ∉ N (8,3%)
2 ∉ Z (6,0%)
- 49 ∉ N (6,6%)
En cambio, se registran muy altos porcentajes de error en las casillas en las que debían señalar que:
2 ∈ Q (88,2%)
-2 ∈ Q (85,7)%
- 49 ∈ Z (87,5%)
- 49 ∈ Q (79,0)%
Coincidentemente con la ubicación de estas casillas con marcadas dificultades de los alumnos para identificar estos
números correctamente, advertimos que: a) las cuatro pertenecen a las dos filas en las que se han registrado los niveles
más altos de error por filas: la que corresponde a los números enteros – 95,6 % de error-, y la de los racionales - 97,9%
de error. b) dos de ellas se ubican en dos de las tres columnas con niveles de error superiores al 90%: las que
corresponden a la identificación del 2 (92,8% de error) - y el –2 ( 94,8% de error). A propósito de estas tres columnas
con muy altos niveles de error, cabe mencionar que la restante en este grupo es la que corresponde a la identificación
del número -1.5, con el 90,4% de error, en la que las mayores dificultades aparecen en reconocer que son verdaderas:
-1,5 ∈ Q (68,3% de error )
–1,5 ∈ R (63,4% de error)
En cuanto a la identificación de números reales, presenta elevados porcentajes de error que varían entre 55,0 y 69,7 %
para todos los números en estudio, los que denotan notorias dificultades en la realización correcta de este proceso.
En el análisis de conglomerados, se observa que los errores por casilla pueden agruparse en dos grandes grupos,
conformando dos patrones bien definidos: Un grupo está formado por las casillas correspondientes a las filas de R y Q,
a excepción de la celda C35 ( 2 como elemento de Q), junto con aquellas celdas en que se registraron mayores errores,
es decir, no señalar a 2 como irracional (C45), y a − 49 ni –2 como enteros(C27 y C24, respectivamente). En
resumen, podemos decir que este grupo incluye a las casillas con mayores porcentajes de error. El otro grupo incluye a
las casillas de la fila
correspondiente a N, y
las restantes celdas de
las filas de Z, I y Q , que
presentan
menores
porcentajes de error.
(Figura 1).
Un análisis similar, pero agrupando los alumnos, dio como resultado la presencia de tres grupos de estudiantes, los
cuales se representan en la Figura 2. Un primer grupo (G1), formado por 544 alumnos ( 69,9 %), que caracterizan al
promedio y que difieren del mismo en cometer mayores errores en la fila que corresonde a los números reales. Un
segundo grupo (G2) formado por 194 alumnos (24,9 %) que se caracterizan, fundamentalmente, por identificar
correctamente a los elementos de R y a los racionales expresados como fracciones y por distinguir que 2 no es
racional. El tercer grupo (G3) formado por 31 alumnos ( 3,9 %) se caracteriza fundamentalmente por serias falencias en
la identificación de números naturales. (Fig. 2)
1,0
PROPORCIÓN
0,8
0,6
0,4
0,2
G1
G2
G3
C11
C12
C13
C14
C15
C16
C17
C21
C22
C23
C24
C25
C26
C27
C31
C32
C33
C34
C35
C36
C37
C41
C42
C43
C44
C45
C46
C47
C51
C52
C53
C54
C55
C56
C57
0,0
PROMEDIO
Figura 2: Perfiles de errores de Grupos de alumnos
CONCLUSIONES
De no deberse a dificultades en la comprensión de la consigna, del análisis se concluye que:
Errores mas frecuentes:
1. Casi la totalidad de la población en estudio (99,6%) comete algún error en la identificación de números.
2. Más del 80 % denotan marcadas dificultades para reconocer que 2 y –2 son racionales y que − 49 es entero y
racional. Las casillas en las que se observa la realización de estos procesos corresponden a:
a) Las filas de los números enteros y de los números racionales en las que se han registrado los niveles más altos de
errores por filas.
b) Dos de las tres columnas con los mayores niveles de error por columna (superiores al 90%): las que corresponden a
los números 2 y –2, siendo la tercera columna en este grupo la del número -1,5, en la que los mayores niveles de error
se registran al tener que reconocer que es un número racional y real.
Estas cuestiones aportan un indicio de que habría una marcada dificultad en reconocer como racionales a números que
son naturales y/o enteros.
3. Entre el 55 y el 70 % de la población denota dificultad para reconocer a los números del cuadro como reales.
4. Los errores por casilla pueden agruparse en dos grandes grupos con patrones bien definidos:
i) uno conformado por las casillas de las filas correspondientes a R y a Q , a excepción de la celda C35 ( 2 como
elemento de Q), junto con las casillas en las que se registran mayores niveles de error por celda (C45: 2 como
elemento de I; C27: - 49 y C24: -2 como enteros.
ii) otro que incluye a las casillas de la fila correspondiente a N y a las restantes celdas de las filas de Z, I y Q que son las
que presentan menores porcentajes de error.
Errores menos frecuentes:
Es bajo el nivel de error al reconocer que 2 y 3/2 no son irracionales, -3/4, 2 y - 49 no son naturales, y que 2 no
es entero. (Menos del 10%).
BIBLIOGRAFIA
* Hernández, H. 1990 “Saltar a la vista lo evidente” , Revista Cubana de Educación Superior, Vol. X, Nº1, La Habana, Cuba.
* Hernández, H. 1993 “Estructurando el conocimiento matemático”, Didáctica de la Matemática, Artículos para el debate. E.P.N.
Quito, Ecuador.
* Hernández, H. (1993) “Sistema Básico de Habilidades Matemáticas”, Didáctica de la Matemática, Artículos para el debate, E.P.N.,
Quito Ecuador.
* Delgado, J.C. (1995) “Un sistema de habilidades para la enseñanza de la Matemática” –Memorias de la IX Reunión
Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa – La Habana – Cuba