1ra Parte

Problema Nº 1: Cinemática y Cinética del Cuerpo Rígido
Enunciado:
El rotor de una turbina de avión pesa 860 N y gira sobre su eje de simetría AB a n = 12.000 rpm
en la dirección indicada en la figura a). El radio de giro de la masa con respecto al eje de rotación es
de 22,9 cm.
Determinar:
1.-Invariantes escalar, vectorial y tipo de movimiento del rotor cuando el avión en el que está
montada la turbina efectúa un giro horizontal ψ a la izquierda con un radio de 1.220 m y una
velocidad v = 772,3 km/h.
2.-Velocidad y aceleración de un punto “P” de la periferia con R = 35 cm. Utilizar los conceptos
de movimiento relativo y movimiento absoluto. Comparar resultados.
3.-Aceleración angular de la turbina girando con θ´ y ψ´.
4.-Energía cinética de la turbina.
5.-Reacciones estáticas, dinámicas y totales, indicadas en la figura b).
1
Resolución:
Observaciones:
•
•
•
El punto de aplicación del radio de giro del avión sobre la turbina dependerá de la
ubicación de la misma en el avión y de la aplicación de este sobre el mismo, y dada la
diferencia de dimensiones entre los radios puede despreciarse esta diferencia. A los fines
de realizar los cálculos se supone el radio de giro del avión aplicado en el centro de éste y
a su vez la turbina también centrada en el mismo.
Asimismo, dado que los datos del problema no aportan el radio menor del troncocono, se
tomará al mismo como un cilindro hueco con el centro de gravedad en la mitad de su
longitud. Se supondrá P en el plano horizontal xz.
Nomenclatura: a) vectores en negrilla; b) versores; i, j, k; c) ( )’ = d ( )/dt
Vav = ωav ^ rgc → 21452,78 cm/s k = ωav ^ (-122000 m) i →
ωav = 0,18 rad/s j
ωrot = 12000 rpm = 1256,64 rad/s
Vav = Vg = 772,3 km/h = 214,53 m/s
ωav = 0,18 rad/s j
ωrot = 1256,64 rad/s k
Vg = 214,53 m/s k
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1.- Cálculo de invariantes y tipo de movimiento.
-Invariante vectorial
ωt = Σ ωi = ωav + ωrot
ωt = 0,18 rad/s j + 1256,64 rad/s k
ω2 = 1.579.144 rad/seg2
-Invariante escalar
μ = Vg . ω = Vg k . (0,18 rad/s j + 1256,64 rad/s k) / 1256,64 rad/s
μ = 214,53 m/seg
-Tipo de movimiento
μ = Vg → movimiento helicoidal
2.- Cálculo de Vp y ap por métodos absoluto y relativo
a) Método absoluto:
Tomando G = g como centro de reducción (terna móvil en G) y utilizando la ley impropia de
distribución de velocidades:
Vp = Vg + ωt ^ rgp
Vp = 214,53 m/s k + (0,18 rad/s j + 1256,64 rad/s k) ^ (0,35 m i – 0,5 m k)
Vp = 214,53 m/s k – 0,06 m/s k + 439,82 m/s j - 0,09 m/s i
Vp = - 0,09 m/s i + 439,82 m/s j + 214,47 m/s k
Aplicando la forma impropia de la ley de distribución de aceleraciones:
ap = ag + γ ^ rgp + ωt ^ (ωt ^ rgp)
ag = ωav² rgc i
ag = (0,18 rad/s)² . 1220 m (1220 m i / 1220 m)
ag = 39,53 m/s² i
3
γ = ωt´
γ = 0,18 rad/s (0,18 rad/s j ^ j) + 0 j + 1256,64 rad/s (0,18 rad/s j ^ k)+ 0 k
γ = 226,20 rad/s² i
γ ^ rgp = ( 226,20 rad/s² i) ^ (0,35 m i - 0,5 m k)
γ ^ rgp = 113,10 m/s² j
ωt ^ (ωt ^ rgp) = (0,18 rad/s j + 1256,64 rad/s k) ^ ((0,18 rad/s j +
1256,64 rad/s k) ^ (0,35 m i - 0,5 m k))
= (0,18 rad/s j + 1256,64 rad/s k) ^ (– 0,06 m/s k + 439,82 m/s j –
0,09 m/s i)
= - 0,01 m/s² i – 552700,43 m/s² i + 0,02 m/s² k – 113,10 m/s² j
= -552700,43 m/s² i – 113,10 m/s² j + 0,02 m/s² k
ap = 39,53 m/s² i + 113,10 m/s² j + (-552700,43 m/s² i – 113,10 m/s² j + 0,02 m/s² k)
ap = - 552660,90 m/s² i + 0,02 m/s² k
b) Método relativo:
Vp = Varrp + Vrelp
Varrp = Vg + Ω ^ rgp
Varrp = 214,53 m/s k + (0,18 rad/s j) ^ (0,35 m i + 0,5 m k)
= 214,53 m/s k – 0,06 m/s k – 0,09 m/s i
= – 0,09 m/s i + 214,47 m/s k
Vrelp = ωrot ^ rgp
= 1256,64 rad/s k ^ (0,35 m i + 0,5 m k)
= 439,82 m/s j
4
Vp = (– 0,09 m/s i + 214,47 m/s k) + 439,82 m/s j
Vp = – 0,09 m/s i + 439,82 m/s j + 214,47 m/s k
ap = arelp + aarrp + acorp
arelp = (e´´ - e θ´) e + 2 e´ θ´ + e θ´´) θ + z´´ k (coordenadas cilíndricas)
θ
j
k
k
e
i
G
P
0,35
m
0,5 m
arelp = (e´´ - e θ´) e + (2 e´ θ´ + e θ´´) θ + z´´ k
= 0,35 m (1256,64 rad/s)² e
= - 552700,43 i (retomo nuevamente coordenadas cartesianas; -e = i)
aarrp = ag + γav ^ rgp + ωav ^ (ωav ^ rgp)
= 39,53 m/s² i + 0,18 rad/s ^ ((0,18 rad/s ^ (0,35 m i + 0,5 m k)
= 39,53 m/s² i + 0,18 rad/s ^ (-0,06 m/s k – 0,09 m/s i)
= 39,53 m/s² i - 0,01 m/s² i – 0,02 m/s² k
= 39,52 m/s² i – 0,02 m/s² k
5
acorp = 2 ωav ^ Vrel
acorp = 2 0,18 rad/s j ^ 439,82 m/s j
acorp = 0
ap = - 552700,43 m/s² i + (39,52 m/s² i – 0,02 m/s² k) + 0
ap = -552660,90 m/s² i - 0,02 m/s² k
Si se comparan los resultados obtenidos por ambos métodos, se verifica que se obtienen iguales
valores de velocidad y aceleración.
3.-Aceleración angular de la turbina
θ´ = 0,18 rad/s j (nutación)
ψ´ = 1256,64 rad/s k (presesión)
→ γ = d(ωt)/dt = d(θ´ + ψ´)/dt
γ = 0,18 rad/s (0,18 rad/s j ^ j) + 0 j + 1256,64 rad/s (0,18 rad/s j ^ k) + 0 k
γ = 226,2 rad/s² i
4.-Energía cinética de la turbina
e = ½ m V01 + ½ Iωω01 ω² + m V01 . (ω ^ rg)
Tomando G como centro de reducción,
e1 = energía cinética de arrastre = ½ m Vg² = ½ 87,76 kg (214,53 m/s)² = 4038763,67 kg m²/s²
½ m Vg² = 4038763,67 kg m²/s² (J)
e2 = energía cinética de rotación = ½ Iωωg ω²
ωt = 0,18 rad/s j + 1256,64 rad/s k
6
j
ω
k
φ
tgφ = ωav / ωrot = 0,000143 → φ = 8,21º
Momento de inercia del cilindro hueco (sacado de tabla correspondiente a uno de paredes
delgadas):
Izz = m/8 (do² + di²) = m/8 (2 d²) = m/8 (2 . 4 . r²) = m r²
= 87,76 kg (0,229m)² = 4,60 kg m²
También, del radio de giro, dato, Izz = k2 m = 0,2292 m = 4,6 kg m²
Ixx = Iyy = m/48 (3 do² + 3di² + 4 L²) = m/48 (6 . 4 r² + 4 L²) = m/12 (6 r² + L²)
Iyy = Ixx = 87,76/12 kg (6 . 0,229² m² + 1 m²) = 9,61 kg m²
Matríz de inercia del cilindro hueco:
Ig(K) =
9,61 0
0
0 9,61 0
0
0 4,6
(kg m²)
Cωi = cos (90º) = 0
Cωj = cos (270 + 8,21º) = 0,1428
Cωk = cos (8,21) = 0,9898
→ Ig(ω) = 0,1428 . 9,61 kg m² + 0,9898 . 4,60 kg m² = 5,93 kg m²
ω² = (0,18 rad/s)² + (1256,64 rad/s)² = 1579144,12 rad/s²
½ Iωωg ω² = ½ 5,93 kg m² . 1579144,12 rad/s²
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½ Iωωg ω² = 4.682.162,3 kg m²/s²
e3 = fuerza viva compuesta = m Vg . (ω ^ rg) = 0
e = (4.038.763 kg m²/s² + 4.682.162 kg m²/s²) joule
e = 8.720.925 joule
5.-Reacciones de vínculo:
Por una cuestión de conveniencia gráfica y de representación, giro la terna 90º sobre el eje Z
→ ωx = θ´; ωy = 0; ωz = φ´
ME(G) = [d K(G)/ dt]rel + Ω ^ KG + Vg ^ Q
K(G) = IG ω =
9,61 0
0
0 9,61 0
0
0 4,6
0,18
0
1256,64
(kg m²/s)
K(G) = 1,73 kg m²/s i + 0 j + 5780,54 kg m²/s k
8
Por ser θ´y φ´ constantes, K(G) = cte
/
Vg ^ Q = Vg ^ m Vg = 0
→ ME(G) = Ω ^ KG = 0,18 rad/s i ^ (1,73 kg m²/s i + 5780,54 kg m²/s k)
ME(G) = - 1040,5 j N m
Este es el momento giroscópico Mx = Izz . θ’. φ´
FE = [d Q/ dt]rel + ω ^ Q
Q = m Vg = 87,76 kg . 214,53 m/s k = 1882,7 kg m/s k = cte
→ [d Q/ dt]rel = 0
FE = ω ^ Q = (0,18 rad/s i + 0 j + 1256,64 rad/s k) ^ 1882,7 kg m/s k
FE = -3388,89 N j
5.1. Cálculo de reacciones de vínculo estáticas
En i
By + A y – 860 N = 0
a)
Ax . 0,5 m – Bx . 0,5 m = 0
d)
9
En j
- Bx – Ax = 0
b)
Ay . 0,5 m – By . 0,5 m = 0
En k
0=0
c)
0=0
Nm
e)
f)
De a) y e)
860 N . 0,5 m – By . 0,5 m – By . 0,5 m = 0
By = 860 N / 2
By = 430 N
De a)
Ay = 860 N – 430 N
Ay = 430 N
De b) y d)
Ax = Bx
Bx .0,5 m+ Bx . 0,5 m = 0
Bx = 0
Ax = 0
Nota: al haber supuesto un cilindro, el peso se reparte por igual en ambos cojinetes.
5.2. Cálculo de reacciones de vínculo dinámicas
En i
By + A y = 0
a)
En j
- Bx – Ax = -3388,87 N b)
En k
0=0
c)
Ax . 0,5 m – Bx . 0,5 m = 0
d)
Ay . 0,5 m – By . 0,5 m = - 1040,5 N m e)
0=0
f)
De b) y d)
3388,87 N . 0,5 m – Bx . 0,5 m – Bx . 0,5 m = 0
10
Bx = 3388,87 N / 2
Bx = 1694,44 N
De b)
Ax = 3388,87 N – 1694,44 N
Ax = 1694,44 N
Nota: los cojinetes A y B soportan por igual la fuerza centrífuga horizontal m ag = m ωav² rgc
De a) y e)
By = -Ay
-By . 0,5 m – By . 0,5 m = - 1040,5 N m
By = 1040,5 N
Ay = -1040,5 N
Nota: los cojinetes A y B soportan el momento giroscópico que tiende a bajar la punta A y subir la
punta B de la turbina. Por ello, el cojinete A responde con una fuerza hacia arriba, mientras que en B
ocurre lo contrario.
5.3. Cálculo de reacciones de vínculo totales
En i
By + A y – 860 N = 0
a)
En j
- Bx – Ax = 3388,87 N b)
Ay . 0,5 m – By . 0,5 m = - 1040,5 N m e)
En k
0=0
0=0
c)
Ax . 0,5 m – Bx . 0,5 m = 0
d)
f)
De a) y e)
Ay = 860 N – By
860 N . 0,5 m – By . 0,5 m – By . 0,5 m = - 1040,5 N m
By = 1470,5 N
Ay = - 610,5 N
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De b) y d)
Ax = 3388,87 N – Bx
3388,87 N . 0,5 m – Bx . 0,5 m – Bx . 0,5 m = 0
Bx = 1694,44 N
Ax = 1694,44 N
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