cálculo integral y diferencial

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
DERIVADA
Concepto:
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir,
provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El
coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto
(razón de cambio promedio) respecto del eje
de un plano cartesiano de dos
dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la
aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.
La derivada es la "anti derivada" o integral; lo cual ambos están relacionados por el
teorema fundamental del cálculo estos están basados en el concepto de límite, el cual
separa las matemáticas previas, como álgebra, trigonometría o geometría analítica, del
cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del cálculo infinitesimal.
La derivada se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se
produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo
fundamental en los estudios de física, química y biología, o en ciencias sociales como la
economía y la sociología.
La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para
identificar las derivadas de
en el punto a, se escribe:
Para la primera derivada,
Para la segunda derivada,
Para la tercera derivada,
Para la enésima derivada (n > 3).
(También se pueden usar números romanos).
Para la función derivada de
derivada de
se escribe
, se escribe
. De modo parecido, para la segunda
, y así sucesivamente.
La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función
derivada de
, se escribe:
REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN
1. Se sustituye la variable dada por su respectivo incremento y se realiza las
operaciones es decir:

X por X + ∆X

Y por Y + ∆Y

Z por Z + ∆Z
2. Luego se resta el nuevo valor que se encontró menos la función inicial.
3. Se divide el incremento de la función (∆Y) para el incremento de la variable
independiente (∆X).
4. Se encuentra el limite cuando
Ejemplo:
 Y= 2-3x
Y+∆Y= 2-3(X+∆X)
Y+∆Y= 2-3X-3∆X
Y+∆Y= 2-3X-3∆X
-Y
= -2+3X
∆Y=
-3∆Y
∆Y
0
∆Y
= - 3∆X
∆X
∆X
∆Y
= -3
∆X
∆Y
∆X
= -3
0
Derivada Y´= -3
REGLAS DE DERIVACION
1. Derivada de una constante:
La derivada de una función constante es cero. Esto es, si f(x) = c, para alguna
constante, entonces f’(x) = 0.
d (c)
= 0
Su símbolo es:
dx
Ejemplos:
Y= a
Z= 40
Y´= 0
Z´= 0
2. La derivada de una variable con respecto así misma:
Su resultado es la unidad eso quiere decir que es 1.
Su símbolo es:
d (x)
= 1
dx
Ejemplos:
Y=Z
Z=X
Y´= 1
Z´= 1
3. Derivada de una suma algebraica:
Es igual a la derivada de cada uno de los términos:
Su símbolo: Y= U+V+W
Y´= du+ dv + dw
Ejemplo:
Y= 4 + X
X= 60 + Y
Y´=0 + 1
X´= 0 + 1
Y´= 1
X´= 1
4. Derivada de una constante por una variable:
Es igual a la constante por la derivada de la variable.
Su símbolo es:
Y=CX
Y´= Cdx
Ejemplo:
9a
(y)
Z=
b
Z´=
9a
b
9a
Z´=
b
(1)
5. Derivada de una potencia:
Se presentan en dos casos:
1. Cuando la base es un monomio es igual al exponente por la base elevada a
dicha potencia menos uno.
Y= X n
Su símbolo es:
Y´= nx n 1
Ejemplo:
Z= 3 v4
Z´=3*4 v3
Z´=12 v3
2. Cuando la base es un polinomio se aplica lo anterior y se deriva cada término
del polinomio.
Ejemplo.
Y= (3x2  5x  10)2
Y= 3 (3x2  5x  10)2 (6x  5)
6. Derivada de un producto:
Es igual al primer factor por la derivada del segundo mas el segundo factor por la
derivada del primero.
uv = udv +
vdu
Su símbolo es
d
dx
dx
dx
Ejemplo:
Y= (4 x3  5)(2 x2  3)
Y´= (4x3  5)(4x)  (2x2  3)(12x2 )
Y´= 16x4  20x  24x4  36x2
Y´= 40x 4  36x 2  20x
7. Derivada de un cociente:
Es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la
derivada del denominador y todo esto sobre el denominador al cuadrado.
Su símbolo es:
u
vdu  udv
d( ) 
v
v2
Ejemplo:
Y=
2x2  2x  1
x 2  5x
Y´=
( x2  5x)(4x  2)  (2x2  2x  1)(2x  5)
( x2  5x)2
Y´=
4 x3  2 x2  20x2  10x  4 x3  10x2  4 x2  10x  2 x  5
( x2  5x)2
Y´=
8x2  2 x  5
( x2  5x)2
8. Derivada de una función de función:
Es cuando se relacionan 3 o más variables mediante 2 o más funciones.
Es igual a la derivad de la primera variable con respecto a la segunda por la derivada de
la segunda con respecto a la tercera.
dy dy du

*
dx du dx
Su símbolo es:
Ejemplo:
Y 4
Y´= (u )
1
2
1
Y´= u 1 2
2
Y´=
1
2 u
;
U 
1
x
;
U ´
1
x
;
U´= x 1
;
U´=  x 2
;
U´= 
1
x2
dy
1
1

* 2
dx 2 u
x
dy
1
 2
dx
2x u
9. Derivada de una función implícita:
Es cuando la variable dependiente no se encuentra definida en su totalidad.
Su forma de derivar:
Se aplica las reglas anteriores a conocida resultando la derivación de la variable
dependiente y al final se despeja dicha condición.
Hasta el momento las ecuaciones han sido expresadas en forma explícitas. Esto es, la
ecuación ha sido expresada respecto a una variable en términos de la otra. Por
ejemplo, y = 2x - 3 es una ecuación expresada respecto de y en términos de x.
Pero existen ecuaciones que no están dadas explícitamente. Por ejemplo, las
ecuaciones:
2x + y = 4
X y =1
x2 + y2 = 9
no están dadas en forma explícita. Tales ecuaciones están expresadas en forma
implícita. Para derivar una ecuación implícita no es necesario expresarla en forma
explícita. Se puede utilizar un método conocido por derivación implícita. Es un método
que consiste en derivar cada término por separado en la ecuación dada.
La notación:
Y se lee "la derivada de y respecto a x". Para entender cómo hallar la derivada de y
con respecto a x implícitamente, se debe observar que la derivación se efectúa
respecto de x. Esto es, cuando derivamos términos que contienen sólo a x, se deriva
como de costumbre, pero al derivar términos con y se aplica la regla de la cadena.
Ejemplo:
Y 2  X .Y  0
2y
dy
dy
 ( x *1  y *1)  0
dx
dx
2y
dy xdy

y0
dx dx
2y
dy xdy

y
dx dx
dy
(2 y  x)  y
dx
dy
y

dx 2 y  x
OTRAS REGLAS PARA DERIVAR
Las derivadas de las funciones trigonométricas
Fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.
f(x) = sen(x)
f(x+h) - f(x)
sen(h + x) - sen(x)
=
h
h
cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
=
h
cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
f '(x) =Lim[
] = cos(x)
h
0
h
Hay otras fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas que son:
f(x)= sen(x)
f '(x)= cos(x)
f(x)= cos(x)
f '(x)= -sen(x)
f(x)= tan(x) = sen(x)/cos(x)
f '(x)= sec2(x)
f(x)= cot(x) = cos(x)/sen(x)
f '(x)= -csc2(x)
f(x)= sec(x)
f '(x)= sec(x) tan(x)
La regla de la cadena
Las reglas de derivación que hemos definido hasta ahora no permiten encontrar la
derivada de una función compuesta como (3x + 5)4, a menos que desarrollemos el
binomio y luego se apliquen las reglas ya conocidas. Observa el siguiente ejemplo.
f(x)
= (3x + 5)2
=
9x2 + 30 x + 25
f '(x)
= 18x + 30
=
6(3x + 5)
f(x)
= (3x + 5)3
=
27x3 + 135x2 + 225x + 125
f '(x)
= 81 x2 + 270x + 225
=
9(3x + 5)2
f(x)
= (3x + 5)4 =
81x4 + 540x3 + 1350x2 + 1500x + 625
f '(x)
= 324x3 + 1620x2 + 2700x + 1500 = 12(3x + 5)3
f(x)
= (3x + 5)5
= 243x5 + 2025x4 + 6750x3 + 11250x2 + 9375x + 3125
f '(x) = 1215x4 + 8100x3 + 20250x2 + 22500x + 9375
= 15 (3x + 5)4
DERIVADA LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES
DERIVADAS EXPONENCIALES
La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo
neperiano de la base y por la derivada del exponente.
1. Derivada de la función exponencial de base e
La derivada de la función exponencial de base e: es igual a la misma función por la
derivada del exponente.
Ejemplo:
f ( x)  x3 * e3 x
f ´(x)  3x 2 * e3 x  x3 * (3) * e3 x  3x 2 * e3 x (1  x)
También para derivar una función exponencial de expresión general f (x) = au(x), se
multiplica la propia función por la derivada del exponente, y todo ello multiplicado por
el logaritmo neperiano de la base. Como caso particular, hay que resaltar que la
función y = ex tiene como derivada ella misma (y’ = ex).
f ( x)  au ( x)  f ´(x)  au ( x) * u´(x) * ln a
DERIVADAS LOGARITMICAS
La derivada de una función logarítmica, de fórmula general f (x) = log a u(x), se obtiene
como el cociente de la derivada de u (x) por la propia función u (x) y todo ello
multiplicado por el logaritmo en base a del número e. Esta fórmula se simplifica para
los logaritmos neperianos, ya que loge e = 1.
O también puede ser:
Ejemplos de derivadas logarítmicas y exponenciales:
y  ln x3
y
3x 2
x3
dy 3

dx x
y  ln 9  2 x 2
y
y
e x  e x
y x
e  e x
y´
(e x  e x ) 2  (e x  e x ) 2
(e x  e x )2
e2  2  e2 x  e2 x  2  e2 x
y´
(e x  e x )2
y´
4
(e  e  x ) 2
x
1
9  2x
2
2x
9  2x2
*
 4x
2 9  2x2
INTEGRALES
Es la anti derivada de una función.
Formulas para calcular integrales:
1. ∫(du+dv-dw)= ∫du+∫dv-∫dw
2. ∫adv= a∫dv
3. ∫dx= x+c
v n 1
c
n 1
4. ∫ v n dv 
5. ∫
dv
 ln v  c
v
av
c
ln a
6. ∫ a v dv 
7. ∫ ev dv  ev  c
Ejemplos:

dx

x
=
=
dx
x
1/ 2
=
x
1 / 2
dx
x  1 / 2 1
c
1
 1
2
x1 / 2
c
1
2
= 2x1 / 2  c  2 x  c
y  2 x c
y  2 x1 / 2  6
1
y´ 2( ) x 1 / 2  0
2
1
y´
x
INTEGRACIÓN POR PARTES
La integración por partes se usa cuando el integrando consiste de un producto de
funciones de distinta naturaleza (por ej. una exponencial con una función
trigonométrica, o una exponencial con un polinomio, etc.
Las propiedades de la integral permiten integrar fácilmente sumas y restas de
funciones. Estas propiedades bien pueden llamarse "Integral de una suma" o "Integral
de una diferencia". Pero no existe una propiedad equivalente a "Integral de un
producto" o "Integral de un cociente".
La integración por partes viene a ser esto último, el problema es que no es segura en el
sentido de que no necesariamente te conduce a la solución. Mientras que podemos
decir que "la integral de una suma es la suma de las integrales", "la integral de una
resta es la diferencia de las integrales", no podemos decir algo parecido respecto de la
multiplicación o división de funciones en el integrando. Por eso, salvo contados casos,
la factorización no sirve en la integración y la integración por partes debe verse como
una alternativa para integrar productos y/o cocientes que "mejora o aumenta la
probabilidad de resolver la integral" mas no la asegura.
Su fórmula es:
∫ u dv = uv - ∫ v du
lleva entonces adherida su propia idea: lo que hace es permutar la posición de los
factores ( udv por vdu) y con ello aumenta la probabilidad de que sea resuelta. Es
decir, si la integral no se podía resolver como estaba propuesta, entonces "es posible"
que se pueda invirtiendo la posición de los factores.
Ejemplo:
x n ln x
 u * dv dx
u  xn
dv  ln x * dx
du  nxn 1
v
1
x
1
1
 x n *   * nxn 1dx
x
x
 x n 1  n  x n  2 dx
n * x n 1
c
1
 x n 1  nxn 1  c
 x n 1 
 x n 1 (1  n)  c
INTEGRAL DEFINIDA
La integral sirve para calcular un área/volúmen" da muy poca idea de su real utilidad.
El teorema fundamental del cálculo - cuya expresión matemática se presenta mas
adelante - será utilizado aquí como una herramienta que debe emplearse, al momento
de querer resolver una integral que posea límites, las cuales se conocen como
integrales definidas o de Riemann, por ser éste matemático, uno de los precursores de
este tipo de integral.
El enunciado del mencionado teorema, establece lo siguiente: Sea f una función
continua en [a,b]; entonces:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
La integración definida, utiliza el teorema fundamental del cálculo, para resolver
integrales de la forma:
b
 f ( x ) dx
a
Donde: a = Límite inferior y b = Límite superior.
A diferencia de la integración indefinida, en la integración definida se obtiene un
resultado numérico, que se obtiene al integrar la expresión dada, evaluar los límites y
hacer la sumatoria de los resultados obtenidos luego de la evaluación.
En integración definida se plantean integrales que - por lo general – se resuelven
aplicando los métodos ya expuestos. Por esta razón, es conveniente que el lector haya
estudiado - responsablemente - los cinco métodos anteriores, puesto que en la
solución de los ejemplos de esta parte de la obra, no se incluye una explicación
detallada de esos contenidos.
Ejemplo:
4
2
 4 x dx
2
4
4
2
2
 4 x dx  4  x dx
2
2
4
4
4
4 x3
2
2
 4 x dx  4  x dx 
3
2
2
2
3 
3

4
2dx  4 4   4 2   256  32  224
4
x

3
3
3
 3   3 
2