tema 5-Recta de Simson

RECTA DE SIMSON
Reseña sobre Robert Simson
Matemático escocés. Escribió un tratado sobre las cónicas titulado
Sectiones conicae (1735), en el que expuso las teorías de
Desargues y de Pascal. También es autor de Elementos de Euclides
(1756) y de una reconstrucción de un tratado perdido de Euclides
sobre los porismas, publicada en 1776.
Rectas de Simson
Estas rectas reciben su nombre en honor a Robert Simson (1687-1768) aunque los
historiadores de matemáticas no han encontrado evidencia de su autoría. Dado que la primera
publicación conocida en la que aparecen estas rectas, fechada en 1797 y perteneciente a
William Wallace, en ocasiones se denomina a estas rectas como rectas de Wallace-Simson.
Una recta de Simson en un triángulo es cualquier recta que une los pies de las perpendiculares
a los lados del triángulo, trazadas desde un punto de la circunferencia circunscrita.
TEOREMA DE SIMSON
“Si desde un punto P se trazan perpendiculares a los lados de un triángulo o a sus
prolongaciones, los respectivos pies de las perpendiculares estarán alineados si y sólo si el
punto P pertenece a la circunferencia circunscripta del triángulo”.
Mauricio Palermo – Macarena Sosa
6ºFM1 2015
Página 1
DEMOSTRACIÓN (sólo demostraremos el teorema Directo)
De acuerdo con el diagrama, sean ABC
los vértices del triángulo, X, Y, Z los pies
de las perpendiculares respectivas
sobre las rectas que contienen los lados
AB, CA y BC. Supongamos P en el arco
AC de la circunferencia circunscrita que
no contiene a B.
*<PXC = <PYC = 90º  PYXC es
cuadrilátero cíclico  <CYX = <CPX por
abarcar la misma cuerda [CX].
*<PYA = <PZA = 90º  PYAZ es
cuadrilátero cíclico  <AYZ = <APZ
*<PXB = <PZB = 90º  PXBZ es
cuadrilátero cíclico  <ABX y <XPZ son
suplementarios.
*Por construcción PABC es cuadrilátero cíclico  <ABC y <CPA son suplementarios.
Dado que los ángulos <ABX y <ABC, se deduce que <XPZ y <CPA son iguales. Restando a
ambos el valor del ángulo <XPA resulta:
<CPX = <CPA - <XPA = <XPZ - <XPA = <APZ
Y por tanto. <CYX = <CPX = <APZ = <AYZ.
Así, siendo <CYX = <AYZ y
compartiendo AC como recta sostén
de un lado de cada ángulo, deben
ser opuestos por el vértice y por
tanto X, Y y Z están alineados.
Observación:
Las distintas configuraciones que
aparecen dependiendo de la
posición relativa de P respecto a la
posición de A, B, C se pueden
reducir a la prueba anterior
renombrando
los
puntos
involucrados.
Mauricio Palermo – Macarena Sosa
6ºFM1 2015
Página 2
PROPIEDADES:
1)  La línea de Simson de un vértice del triángulo es recta que incluye la altura del triángulo
trazada desde ese mismo vértice.
Dem: Como P y C son el mismo punto
(vértice) los pies de las perpendiculares a
los lados adyacentes coinciden con C,
entonces la recta de Simson incluye hc.
2)  La línea de Simson de un punto diametralmente opuesto a un vértice es el lado formado
por los otros dos vértices.
Dem: Al ser Q diametralmente opuesto a C,
los pies de las perpendiculares a [AC] y [BC]
serán A y B respectivamente. Por lo tanto la
recta de Simson es AB.
Mauricio Palermo – Macarena Sosa
6ºFM1 2015
Página 3
3)  El ángulo formado entre las rectas de Simson de dos puntos P, Q es exactamente igual a
la mitad del ángulo central del arco PQ.
4)  La línea de Simson de un punto P pasa por el punto medio del segmento PH, donde H
representa el ortocentro del triángulo.
Mauricio Palermo – Macarena Sosa
6ºFM1 2015
Página 4
TRIÁNGULO PEDAL
Para formar la recta de Simson es necesario que el punto P pertenezca a la circunferencia
circunscripta, dado que de ser P un punto exterior o interior a la circunferencia en lugar de
formarse la recta de Simson se formaría lo que se conoce como el triángulo pedal.
Bibliografía:
 http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_de_Simson
 http://en.wikipedia.org/wiki/Robert_Simson
 http://biografias.netsaber.com/biografia-32552/vida-y-biografia-de-robert-simson
Mauricio Palermo – Macarena Sosa
6ºFM1 2015
Página 5