D x

REGLAS PARA ENCONTRAR DERIVADAS
El proceso para encontrar la derivada de una función de manera directa a partir de
la definición de derivada, esto es, estableciendo el cociente de diferencias
𝑓(𝑥 + 𝑐) − 𝑓(𝑐)
ℎ
Y evaluando su límite, puede consumir tiempo y ser tedioso. Vamos a desarrollar
herramientas que nos permitan acortar este largo proceso - de hecho, nos
permitirá encontrar derivadas de las funciones más complicadas que se vean.
Recuerda que la derivada de una función f es otra función f ‘. Cuando
tomamos la derivada de f, decimos que estamos derivando a f . La derivada opera
sobre f para producir f ‘. Con frecuencia utilizamos el símbolo Dx para indicar la
operación de la derivación. El símbolo Dx indica que estamos tomando la derivada
(con respecto a la variable x) de lo que sigue. Así, escribimos Dx (x3 + 2x) = 3x2 +7.
Esta Dx es un ejemplo de un operador. Como sugiere la siguiente figura, un operador
es una función cuya entrada es una función y cuya salida es otra función.
Si y = f(x), podemos denotar la derivada de f por medio de
𝒇′ (𝒙)
También utilizaremos la notación
Dx.
𝑫𝒙
o
𝑑
𝑑𝑥
o
𝒅𝒚
𝒅𝒙
para querer decir lo mismo que el operador
Operación
Dx
Entrada
Salida
Un operador
Teorema A Regla para la función constante
Si f (x) = k, donde k es una constante, entonces para cualquier x, f ‘(x) = 0; esto
es,
Dx (k) = 0
Teorema B Regla para la función identidad
Si f (x) = x, entonces f ‘(x) = 1; esto es,
Dx (x) = 1
Teorema C
Regla para la potencia
Si f (x) = 𝑥 𝑛 , donde n es un entero positivo, entonces f ‘(x) = 𝑛𝑥 𝑛−1 ; esto es,
Dx (xn) = nxn-1
Teorema D
Regla del múltiplo constante
Si k es una constante f es una función derivable, entonces (k f )’(x) = k• f ‘(x); esto
es
Dx [k• f(x)] = k•Dx f (x)
En palabras, una constante k, que multiplica, puede “sacarse” del operador Dx.
Teorema E
Regla para la suma
Si f y g son funciones derivables, entonces (f + g)’ (x) = f ‘(x) + g(x)’; esto es,
Dx [f (x) + g (x)] = Dx f (x) + Dx g (x)
En palabras, la derivada de una suma es la suma de las derivadas
Teorema F
Regla para la diferencia
Si f y g son funciones derivables, entonces ( f – g ) ‘ (x) = f ‘ (x) – g ‘ (x); esto es,
Dx [ f ‘ (x) – g ‘ (x) ] = Dx f (x) - Dx g (x)
Teorema G
Regla para el producto
Si f y g son funciones derivables, entonces
(f • g)’ (x) = f (x) g ’(x) + g(x) f ‘(x)
Esto es,
Dx [ f (x) • g(x) ] = f (x) Dx g(x) + g(x) Dx f (x)
Teorema H
Regla para el cociente
Sean f y g funciones derivables con g(x) ≠ 0. Entonces
𝑓 ′
𝑔(𝑥)𝑓 ′ (𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′ (𝑥)
( ) (𝑥) =
𝑔
𝑔2 (𝑥)
Te recomendamos ampliamente que memorices esta regla en palabras como
sigue: la derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del
numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido
entre el cuadrado del denominador.