1. (J-97)Discutir el sistema según los valores del parámetro a [1,5

⎧ ax − y + z = 0
⎪
1. (J-97)Discutir el sistema ⎨ x + y + az = 3 según los valores del parámetro a [1,5
⎪ −x + y = 1
⎩
puntos]. Resolverlo en los casos en que admita infinitas soluciones [1 punto]
SOLUCIÓN.
⎛ a −1 1 ⎞
Las matrices de los coeficientes, A= ⎜⎜ 1 1 a ⎟⎟
⎜ −1 1 0 ⎟
⎝
⎠
⎛ a −1 1
⎜
La matriz ampliada, A = ⎜ 1 1 a
⎜ −1 1 0
⎝
*
0⎞
⎟
3⎟
1 ⎠⎟
Empecemos estudiando el rango de A según los valores de a:
a
−1 1
1
−1
1
1
a = a + 1 + 1 − a 2 = −a 2 + a + 2 = 0 ⇒ a =
0
−1 ± 1 + 8
−2
=
−1 ± 3
=
−2
−1
2
Discutamos el sistema:
a) Para a ≠ −1 y a ≠ 2 : rg(A) = rg (A ∗ ) = 3 = nº de incógnitas ⇒ SCD.
b) Para a = −1 :
⎛ −1 −1 1 ⎞
⎟
1 − 1 ⎟ Puesto que el menor
⎜ −1 1
0 ⎟⎠
⎝
A= ⎜⎜ 1
⎛ −1 −1 1
⎜
A = ⎜ 1 1 −1
⎜ −1 1 0
⎝
*
1 1
= 2 ≠ 0 ⇒ rg (A) = 2
−1 1
0⎞
⎟
3⎟
1 ⎠⎟
Orlamos el menor con los términos independiente:
−1 −1 0
1
−1
1
1
3 = −1 + 3 + 1 + 3 ≠ 0 ⇒ rg (A∗ ) = 3
1
Como rg A ≠ rg A ∗ ⇒
el sistema es INCOMPATIBLE.
c) Para a = 2 :
⎛ 2 −1 1 ⎞
A= ⎜⎜ 1 1 2 ⎟⎟ Puesto que el menor
⎜ −1 1 0 ⎟
⎝
⎠
2 −1
1
1
= 2 + 1 = 3 ≠ 0 ⇒ rg (A) = 2
⎛ 2 −1 1
⎜
A =⎜ 1 1 2
⎜ −1 1 0
⎝
*
Orlamos
el
2
−1 0
1
−1
1
1
0⎞
⎟
3⎟
1 ⎠⎟
menor
con
los
términos
independientes:
3 = 2 + 3 + 1 − 6 = 0 ⇒ rg (A∗ ) = 2
1
Como
rg (A) = rg (A ∗ ) = 2 < nº de incógnitas ⇒
el
sistema
es
COMPATIBLE
INDETERMINADO.
Debemos resolver el sistema en este último caso, es decir para a = 2 : a la vista del
menor que da rango a la matriz de los coeficientes, la primera y la segunda son
independientes y consideramos x e y como incógnitas principales.. Consideramos z
como un parámetro: z = λ .
⎪⎧ 2x − y + z = 0
⎪⎧ 2x − y = −z ⎪⎧ 2x − y = −λ
⇒⎨
⇒
⎨
⎨
⎩⎪ x + y + 2z = 3
⎩⎪ x + y = 3 − 2z ⎩⎪ x + y = 3 − 2λ
x=
-1
−λ
3 − 2λ 1
2 -1
1 1
2
y=
−λ + 3 − 2λ 3 − 3λ
=
=1−λ
3
3
=
-λ
1 3 − 2λ
2 -1
1 1
=
6 − 4λ + λ 6 − 3λ
=
=2−λ
3
3
⎧x = 1 − λ
⎪
Sol : ⎨ y = 2 − λ
⎪z = λ, λ ∈ \
⎩
2. (J-98)Discutir el sistema
parámetro a
[1 punto]
⎧ x + (a2 − 1) y + az = 1
⎪ 2
⎨ (a − 1) y + (a − 1)z = 0
⎪ x + a2 z = 0
⎩
según sea el valor del
[1,5 puntos]. Hallar, si existe, la solución del mismo cuando a = 0
SOLUCIÓN.
⎛ 1 a2 −1 a ⎞
⎛ 1 a2 −1 a
⎜
⎟
∗ ⎜
2
La matriz de los coeficientes, A= ⎜ 0 a − 1 a − 1⎟ , y ampliada, A = ⎜ 0 a 2 − 1 a − 1
⎜1
⎜1
0
a 2 ⎟⎠
0
a2
⎝
⎝
1⎞
⎟
0⎟
0 ⎠⎟
Estudiemos el rango de la matriz de los coeficientes según los valores de a:
1 a2 −1 a
0 a 2 − 1 a − 1 = a 2 (a 2 − 1) + ( a − 1) (a 2 − 1) − a(a 2 − 1) = a 2 ( a + 1)( a − 1) + ( a − 1)( a + 1)( a − 1) − a ( a + 1)( a − 1) =
1
0
a2
⎧ a = −1
2
2
= ( a + 1)( a − 1) ⎡⎣ a 2 + a − 1 − a ⎤⎦ = ( a + 1)( a − 1) (a 2 − 1) = ( a + 1)( a − 1)( a + 1)( a − 1) = ( a + 1) ( a − 1) = 0 ⇒ ⎨
⎩a = 1
Discutamos el sistema:
1)
Para
a ≠ −1 y a ≠ 1 :
rg (A) = rg (B) = 3 = nº de incógnitas ⇒
el
sistema
es
COMPATIBLE DETERMINADO.
2) Para a = −1 :
⎛ 1 0 −1 ⎞
1 −1
A= ⎜⎜ 0 0 −2 ⎟⎟ Puesto que el menor
= 1 + 1 = 2 ≠ 0 ⇒ rg (A) = 2 .
1 1
⎜
⎟
⎝1 0
1⎠
⎛ 1 0 −1
⎜
A∗ = ⎜ 0 0 −2
⎜1 0
⎝
1
1⎞
⎟
0⎟
0 ⎟⎠
Orlamos este menor con los términos independientes:
1 −1 1
0 −2 0 = 2 ≠ 0
1 1 0
INCOMPATIBLE.
⇒
rg(A∗ ) = 3 . Por tanto:
rg (A) ≠ rg (A ∗ ) ⇒
el sistema es
3) Para a = 1:
⎛1 0 1⎞
A= ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟ Es evidente que rg (A) = 1
⎜1 0 1⎟
⎝
⎠
⎛1 0 1
⎜
A = ⎜0 0 0
⎜1 0 1
⎝
∗
1⎞
⎟
0⎟
0 ⎟⎠
y puesto que el menor de la matriz ampliada
⇒
rg (A) ≠ rg (A ∗ ) ⇒
1 1
1 0
= −1 ≠ 0 ⇒ rg (A ∗ ) = 2 ⇒
El sistema es INCOMPATIBLE
=1
⎧x − y
⎪
Para a = 0 el sistema es ⎨ − y − z = 0 de soluciones:
⎪x
=0
⎩
x = 0 , y = −1 , z = 1
3. (S-98)Hallar los valores del parámetro a para que el sistema de ecuaciones
⎧x + z = 0
⎪
admita infinitas soluciones [1,5 puntos]. Resolverlo en cada uno
⎨ ax + y + z = 0
⎪ x + (a − 1) y + az = 0
⎩
de esos casos [1 punto].
SOLUCIÓN.
El sistema homogéneo tiene infinitas soluciones cuando la matriz de los
coeficientes tenga rango < 3 y para ello:
1
0
1
a
1
1 =0 ⇒
1 a −1 a
1) Para a = 0 :
Como
a + a 2 − a − 1 − a + 1 = 0 ⇒ a 2 − a = 0 ⇒ a ( a − 1) = 0 ⇒
a =0
,
a =1
⎛ 1 0 1⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 1 1⎟
⎜ 1 −1 0 ⎟
⎝
⎠
1 0
=1≠ 0 ⇒
0 1
las dos primeras ecuaciones son independientes y
tomamos las x e y como principales. Considerando z = λ como un parámetro:
⎧⎪ x + z = 0
⎧⎪ x = −z
⎧⎪ x = −λ
⇒⎨
⇒⎨
⇒
⎨
⎪⎩ y + z = 0
⎪⎩ y = −z
⎪⎩ y = −λ
⎧x = −λ
⎪
Sol ⎨ y = −λ
⎪z = λ, λ ∈ \
⎩
⎛ 1 0 1⎞
2) Para a = 1: A = ⎜⎜1 1 1⎟⎟
⎜ 1 0 1⎟
⎝
⎠
como
1 0
1 1
=1≠ 0 ⇒
las dos primeras ecuaciones
son independientes y tomamos las incógnitas x e y como principales.
Considerando z = λ como un parámetro:
⎧⎪ x + z = 0
⎧⎪ x = −z
⎧⎪ x = −λ
⇒
⇒⎨
⇒⎨
⎨
⎩⎪ x + y + z = 0
⎩⎪ x + y = −z
⎩⎪ x + y = −λ
⎧x = −λ
⎪
Sol : ⎨ y = 0
⎪z = λ, λ ∈ \
⎩
⎧ ax + 7 y + 20z = 1
⎪
4. (J-99)Discutir según el valor del parámetro a el sistema lineal ⎨ ax + 8y + 23z = 1
⎪ x − az = 1
⎩
[1,5 puntos] y resolverlo en los casos en que tenga infinitas soluciones [1 punto].
SOLUCIÓN.
Sean la matriz de los coeficientes
⎛a
A= ⎜⎜ a
⎜1
⎝
7
8
0
20 ⎞
⎟
23 ⎟ ,
− a ⎟⎠
y la matriz ampliada,
⎛ a 7 20 1⎞
⎜
⎟
A = ⎜ a 8 23 1⎟
⎜ 1 0 −a 1⎟
⎝
⎠
∗
Empecemos
estudiando
el
rango
de
A
según
los
valores
de
a:
a 7 20
a 8 23 = −8a 2 + 161 − 160 + 7 a 2 = −a 2 + 1 = 0 ⇒ a = ±1
1 0 −a
Discutamos el sistema:
a) Si
a ≠ −1 y a ≠ 1 :
rg ( A) = rg ( A*) = 3 = nº de incógnitas ⇒
el sistema es
compatible determinado.
b) Si a = −1 :
⎛ −1 7
A= ⎜⎜ −1 8
⎜1 0
⎝
20 ⎞
⎟
23 ⎟ Puesto que el menor
1 ⎟⎠
−1 7
= −8 + 7 = −1 ≠ 0 ⇒ rg ( A) = 2 .
−1 8
⎛ −1 7 20 1⎞
⎟
⎜
A = ⎜ −1 8 23 1⎟ Orlamos el menor que da rango a A con los términos
⎜ 1 0 1 1⎟
⎝
⎠
−1 7 1
∗
independientes:
−1 8 1 = −8 + 7 − 8 + 7 = −2 ≠ 0 ⇒ rg ( A∗ ) = 3
1 0 1
Como rg ( A) ≠ rg ( A*) ⇒
el sistema es incompatible
c) Si a = 1:
⎛ 1 7 20 ⎞
1 7
⎜
⎟
= 8 − 7 = 1 ≠ 0 ⇒ rg ( A) = 2 .
A = ⎜ 1 8 23 ⎟ puesto que el menor
1 8
⎜ 1 0 −1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 7 20 1⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 1 8 23 1⎟ Orlamos el menor que da rango a A con los términos
⎜ 1 0 −1 1⎟
⎝
⎠
∗
1 7 1
independientes:
1 8 1 = 0 ⇒ rg ( A∗ ) = 2
1 0 1
Puesto que rg ( A) = rg ( A∗ ) = 2 < nº de incógnitas ⇒ el sistema es compatible
indeterminado.
• Resolvamos el sistema en este último supuesto, es decir cuando a = 1:
Como
1 7
1 8
= 8 − 7 = 1 ≠ 0 Utilizaremos las dos primeras ecuaciones, con x e y como
incógnitas principales y z como parámetro ( z = λ )
x + 7 y = 1 − 20λ ⎫
⎬
x + 8 y = 1 − 23λ ⎭
1 − 20λ 7
x=
1 − 23λ 8 8 − 160λ − 7 + 161λ
=
= 1+ λ
1 7
1
1 8
1 1 − 20λ
y=
1 1 − 23λ 1 − 23λ − 1 + 20λ
=
= −3λ
1 7
1
1 8
⎧x = 1+ λ
⎪
Sol : ⎨ y = −3λ
⎪z = λ, λ ∈ \
⎩
5. (S-99)Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B
y C. El primer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo
contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 20 g de A, 40 g de B
y 40 g de C. Queremos elaborar a partir de estos lingotes uno nuevo que contenga
15 g de A, 35 g de B y 50 g de C. ¿Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los
tres lingotes? [2,5 puntos].
SOLUCIÓN.
gramos Metal A Metal B Metal C
er
1 lingote
2º lingote
x
y
20%
10%
20%
40%
60%
50%
3er lingote z
20%
40%
40%
⎧ 0, 2 x + 0,1y + 0, 2 z = 15
⎪
⎨ 0, 2 x + 0, 4 y + 0, 4 z = 35
⎪ 0, 6 x + 0,5 y + 0, 4 z = 50
⎩
Resolvemos el sistema por la regla de Cramer:
0, 2
0,1 0, 2
0, 2 0, 4 0, 4 = 0, 032 + 0, 024 + 0, 02 − 0, 048 − 0, 008 − 0, 04 = −0, 02
0, 6 0,5 0, 4
x=
y=
z=
15 0,1 0, 2
35 0, 4 0, 4
50 0, 5 0, 4
−0, 02
0, 2 15 0, 2
0, 2 35 0, 4
0, 6 50 0, 4
−0, 02
0, 2 0,1 15
0, 2 0, 4 35
0, 6 0,5 50
−0, 02
=
2, 4 + 2 + 3,5 − 4 − 1, 4 − 3 −0,5
=
= 25
−0, 02
−0, 02
=
−1
2,8 + 2 + 3, 6 − 4, 2 − 1, 2 − 4
=
= 50
−0, 02
−0, 02
=
4 + 1,5 + 2,1 − 3, 6 − 1 − 3,5 −0,5
=
= 25
−0, 02
−0, 02
Por tanto, debemos coger 25 grs del primer lingote, 50 grs del segundo y 25 grs
del tercero.
⎧x + z =1
⎪
6. (J-00)Discutir el sistema de ecuaciones ⎨ y + (a − 1)z = 0
⎪ x + (a − 1) y + az = a
⎩
del parámetro a
puntos].
según los valores
[1 punto]. Resolverlo en todos los casos de compatibilidad
[1,5
SOLUCIÓN.
Sean la matriz de los
0
1 ⎞
⎛1
⎜
coeficientes A = ⎜ 0 1 a − 1⎟⎟ y
⎜ 1 a −1 a ⎟
⎝
⎠
la matriz ampliada
1⎞
⎟
0⎟
a ⎟⎠
⎛1
0
1
⎜
1
A = ⎜0
a −1
⎜ 1 a −1 a
⎝
∗
Estudiemos el rango de la matriz A
1
0
1
A = 0
1
a − 1 = a − 1 − (a − 1)2 = a − 1 − a 2 + 2a − 1 = −a 2 + 3a − 2 = 0 ⇒ a =
1 a −1 a
− 3 ± 9 − 8 − 3 ±1
=
⇒
−2
−2
⎧⎪ a = 1
⇒⎨
⎪⎩ a = 2
Si
•
a ≠1 y a ≠ 2 :
el sistema es
rg ( A) = rg ( A∗ ) = 3 = n º de incógnitas ⇒
compatible determinado. Aplicamos la regla de Cramer:
x=
1
0
1
0
1
a −1
a
a −1
a
1
y=
z=
a
a
− ( a − 1 )( a − 2 )
1
0
− ( a − 1 )( a − 2 )
=
− ( a − 1 )( a − 2 )
=
a −1
a −2
=
a − 1 − a ⋅ ( a − 1)
− ( a − 1 )( a − 2 )
=
a − 1 − a2 + a
− ( a − 1 )( a − 2 )
=
− a2 + 2a − 1
− ( a − 1 )( a − 2 )
− ( a − 1)
2
=
− ( a − 1 )( a − 2 )
1
0
1
0
1 a −1 a
− ( a − 1 )( a − 2 )
•
=
2
1
0 0 a −1
1
− ( a − 1)
2
−(a − 1) ⋅ (a − 2)
1
a − a − ( a − 1)
=
a −1
− ( a − 1 )( a − 2 )
=−
1
a −2
Si a = 1 :
⎛1 0 1⎞
⎜
⎟
A = ⎜0 1 0⎟
⎜1 0 1⎟
⎝
⎠
Puesto que el menor
1 0
=1≠ 0
0 1
rg(A) = 2
=
a −1
a −2
⎛1 0 1
⎜
A = ⎜0 1 0
⎜1 0 1
⎝
∗
1⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
Orlando
el
menor
anterior
con
los
términos
1 0 1
independientes:
Por tanto:
0 1 0 = 1−1 = 0
1 0 1
⇒
rg ( A) = rg ( A∗ ) = 2 < n º de incógnitas
rg( A∗ ) = 2
⇒
el sistema es compatible
indeterminado.
Resolución:
las dos ecuaciones independientes son la primera y la segunda y
utilizando z como parámetro, z=λ:
⎧⎪ x + z = 1
⎧⎪ x = 1 − z
⎧⎪ x = 1 − λ
⇒⎨
⇒⎨
⎨
⎩⎪ y = 0
⎩⎪ y = 0
⎩⎪ y = 0
⎧x = 1 − λ
⎪
Sol: ⎨ y = 0
⎪z = λ, λ ∈ \
⎩
•
Si a = 2 :
⎛1 0 1⎞
1 0
⎟
⎜
A = ⎜ 0 1 1 ⎟ Puesto que el menor
=1≠ 0
0 1
⎜1 1 2⎟
⎝
⎠
⎛1 0 1
⎜
A = ⎜0 1 1
⎜1 1 2
⎝
∗
1⎞
⎟
0⎟
2 ⎟⎠
Orlando
el
menor
rg(A) = 2
anterior
con
los
términos
independientes:
1 0 1
0 1 0 = 2 −1 = 1 ≠ 0
1 1 2
⇒
rg (A∗ ) = 3 . Por tanto, el sistema es incompatible.
7. (S-01)Dado
el
sistema
de
ecuaciones
dependiente
del
parámetro
a:
⎧ x + 2y + z = a
⎪
⎨ x + y − az = a , se pide:
⎪ 2 x + 3y + z = a
⎩
1) Discusión del mismo en función del parámetro a. [1 punto]
2) Resolución en los casos de compatibilidad. [1,5 puntos]
SOLUCIÓN
⎛1 2 1 ⎞
1 2 1
1) La matriz de los coeficientes es A= ⎜⎜ 1 1 − a ⎟⎟ , y la ampliada, A*= 1 1
⎜2 3 1 ⎟
2 3 1
⎝
⎠
1 2
Como el menor
= −1 ≠ 0 , el rango de ambas matrices es, como mínimo, 2.
1 1
Estudiemos para qué valores de a el rango es 3:
1 2
1
1 1 − a = 1 + 3 − 4a − 2 − 2 + 3a = −a = 0 ⇒ a = 0
2 3
1
a Para a ≠ 0 :
⎛1 2 1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 1 1 −a ⎟
⎜2 3 1 ⎟
⎝
⎠
rg ( A) = rg ( A∗ ) = 3 = n º de incógnitas ⇒ SCD
b Para a = 0:
⎛1 2 1⎞
1 2
⎜
⎟
A = ⎜ 1 1 0 ⎟ Como
= −1 ≠ 0 , el r(A)= 2
1 1
⎜2 3 1⎟
⎝
⎠
1
A*= 1
2
2
1
3
10
0 0 Orlando el menor anterior con los términos independientes
10
1 2 0
1 1 0 =0
2 3 0
⇒
rg( A∗ ) = 2 y entonces: rg ( A) =rg ( A *) =2 < nº de incógnitas ⇒ el
sistema es compatible indeterminado.
2) a)Para a ≠ 0 el sistema es compatible determinado. Para resolverlo, aplicamos la
regla de Cramer:
x=
y=
z=
a 2 1
a 1 −a
a 3 1
−a
1 a 1
1 a −a
2 a 1
−a
1 2 a
1 1 a
2 3 a
−a
=
=
a + 3a − 2a 2 − a − 2a + 3a 2 a 2 + a
=
= −a − 1
−a
−a
=
a + a − 2a 2 − 2a − a + a 2 − a 2 − a
=
= a +1
−a
−a
a + 3a + 4a − 2a − 3a − 2a
a
=
= −1
−a
−a
b)Para a = 0 : las dos primeras ecuaciones son independientes para las incógnitas x e
y. Considerando z = λ , como un parámetro, el sistema a resolver es:
⎪⎧ x + 2y + z = 0 ⎪⎧ x + 2y = −λ
⎨
⎨
⎩⎪ x + y = 0
⎩⎪ x + y = 0
x=
−λ 2
0 1
1 2
=
−λ
=λ
−1
1 1
1 −λ
y=
1
0
1 2
=
λ
= −λ
−1
1 1
⎧x = λ
⎪
Sol ⎨ y = −λ
⎪z = λ, λ ∈ \
⎩
⇒
⎧ (a 2 − 1) x + (a − 1) y = 0
⎪⎪
8. (J-02)a) Discute el sistema ⎨ a 2 y + z = 0
según el valor del parámetro a.
⎪ 2
⎪⎩ (a − 1) x + ay + z = 1
[1,3 puntos]
b) Halla, si existe, la solución cuando a = 4. [1,2 puntos]
SOLUCIÓN.
a) Comparemos los rangos de las matrices de los coeficientes A y ampliada A∗ :
⎛ a2 − 1 a − 1 0 ⎞
⎜
⎟
A=⎜ 0
a2
1⎟
⎜ a2 − 1
a
1 ⎟⎠
⎝
⎛ a2 − 1 a − 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
A* = ⎜ 0
a2
1 0⎟
⎜ a2 − 1
a
1 1⎟
⎝
⎠
En la matriz de los coeficientes, el máximo rango posible es 3:
a2 − 1 a − 1 0
2± 4−4
⎪⎧ a = 1
0
a2
1 = a 4 − a2 + a3 − a2 − a + 1 − a3 + a = a 4 − 2a2 + 1 = 0 ⇒ a2 =
= 1 ⇒ a2 = 1 ⇒ ⎨
2
⎪⎩ a = −1
a2 − 1
a
1
1) Para
a ≠ −1 y a ≠ 1 :
rg (A)=rg( A∗ )=3= nº de incógnitas
⇒
el sistema es
compatible determinado.
2) Para a = −1
⎛ 0 −2 0 ⎞
−2 0
⎜
⎟
A = ⎜ 0 1 1 ⎟ como
= −2 ≠ 0 ⇒ rg(A) = 2
1 1
⎜ 0 −1 1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 0 −2 0 0 ⎞
.
⎜
⎟
A* = ⎜ 0 1 1 0 ⎟ orlamos el menor con la columna de los términos independientes
⎜ 0 −1 1 1 ⎟
⎝
⎠
−2 0 0
1 1 0 = −2 ≠ 0 ⇒ rg(A*) = 3
−1 1 1
rg A
rg A*
sistema es incompatible
3)Para a = 1 ,
⎛0 0 0⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 1 1 ⎟ tiene dos filas iguales y la otra de ceros ⇒ rg(A) = 1
⎜0 1 1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 0 0 0 0⎞
⎜
⎟
1 0
A* = ⎜ 0 1 1 0 ⎟ como
= 1 ≠ 0 ⇒ rg(A*) = 2
1 1
⎜0 1 1 1⎟
⎝
⎠
rg (A) =1 , rg ( A∗ )= 2
⇒ el sistema es incompatible.
b) Para a = 4, el sistema es compatible determinado:
Aplicamos la regla de Cramer:
0 3 0
0 16 1
x=
1
z=
1
15 3 0
0 16 1
15
y=
4
4
3
3
1
=
=
;
240 + 45 − 60 225 75
1
15 0 0
0 0 1
15 1 1
225
15 3 0
0 16 0
15 4 1
225
=
=
=
1
− 15
=− ;
225
15
240 16
=
225 15
⎧ 15x + 3y = 0
⎪
.
⎨ 16 y + z = 0
⎪ 15x + 4 y + z = 1
⎩
⎧ 2x + y − z = 0
⎪
9. (S-02)a) Discute el sistema de ecuaciones ⎨ ax − y − z = a − 1 según el valor del
⎪ 3x − 2az = a − 1
⎩
parámetro a. [1,5 puntos]
b) Halla, si existe, la solución cuando a = 0. [1 punto]
SOLUCIÓN.
a)Las matrices de los coeficientes, A, y ampliada, A∗ , son:
⎛2 1
−1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ a −1 − 1 ⎟
⎜ 3 0 −2a ⎟
⎝
⎠
⎛2 1
0 ⎞
−1
⎜
⎟
A*= ⎜ a −1 −1 a − 1 ⎟
⎜ 3 0 −2a a − 1 ⎟
⎝
⎠
a) Estudiemos para qué valores de a el rango es 3:
2
1
−1
a − 1 − 1 = 4a − 3 − 3 + 2a = 2a + 4a − 6 = 0 ⇔ a + 2a − 3 = 0 ⇒ a =
3 0 − 2a
2
1) Para a ≠ −3 y a ≠ 1 :
2
2
rg ( A) = rg ( A∗ ) = 3 = n º de incógnitas
⇒
−2±
4 + 12
2
−2±4
=
=
2
el sistema es
compatible determinado.
2) Para a = −3 :
2
1
rg A = 2 y como
0
−3 −1 −4 = 8 − 12 − 12 ≠ 0 ⇒ rg ( A∗ ) = 3 ⇒ rg ( A) ≠ rg ( A∗ ) ⇒ sistema es incompatible.
3 0 −4
3) Para a = 1 :
⎛ 2 1 −1 ⎞
2 1
⎜
⎟
A = ⎜ 1 −1 −1 ⎟ Como
= −2 − 1 = −3 ≠ 0 ⇒ rg(A) = 2
1 −1
⎜ 3 0 −2 ⎟
⎝
⎠
⎛ 2 1 −1 0 ⎞
⎜
⎟
A*= ⎜ 1 −1 −1 0 ⎟ Como hemos añadido una columna de ceros rg(A*)=2
⎜ 3 0 −2 0 ⎟
⎝
⎠
rg(A)=rg(A*)=2< nº de incógnitas el sistema es compatible indeterminado.
b) Para a = 0 el sistema es compatible determinado:
⎧ 2x + y − z = 0
⎪
⎨ − y − z = −1 .
⎪ 3x
= −1
⎩
−3
1
0
x=
−1
− 1 − 1 −1
−1 0 0
2
1
1
−1
0 −1 − 1
3 0 0
⎧
1
⎪x = −
3
⎪
5
⎪
Sol : ⎨ y =
6
⎪
1
⎪
⎪z = 6
⎩
2
=
1+1
2
1
=
=− ,y=
3
− 3 − 3 −6
0
−1
0 − 1 −1
3 −1 0
−6
2
=
−3 − 2 −5 5
=
= ,z=
−6
−6 6
1
0
0 −1 −1
3 0 −1
−6
=
2−3 1
=
6
−6
10.
(J-03)Luis, Juan y Óscar son tres amigos. Luis le dice a Juan: Si yo te doy
la tercera parte del dinero que tengo, los tres tendremos la misma cantidad.
Calcular lo que tiene cada uno de ellos sabiendo que entre los tres reunen 60 euros.
[2,5 puntos]
SOLUCIÓN.
x el dinero que tiene Luis
y el que tiene Juan
z el de Óscar.
⎧
⎪x+
⎪
⎪
⎨x−
⎪
⎪
⎪x−
⎩
y + z = 60
x = 30
⎧ x + y + z = 60
⎧ x + y + z = 60
⎧ x + y + z = 60
x
x
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨ x − 3y
= 0 ⇔ ⎨ − 4 y − z = −60
⇔ ⎨ 4 y + z = 60 ⇒ y = 10
=y+
3
3
⎪ 2x
⎪ − 2 y − 5 z = −120
⎪
−
3
=
0
9 z = 180
z
z = 20
⎩
⎩
⎩
x
=z
3
Es decir, Luis tiene 30 euros, Juan 10 euros y Óscar 20 euros.
⎧ ax + y − z = 1
⎪
11. (S-03)Discutir el sistema de ecuaciones ⎨ x + 2 y − az = 2 según los valores del
⎪ −x + y − z = a − 1
⎩
parámetro a [1,5 puntos]. Entre los valores de a que hacen el sistema compatible
elegir uno en particular y resolver el sistema que resulte al reemplazar a por el
valor elegido [1 punto].
SOLUCIÓN.
Las matrices de los coeficientes, A, y ampliada, A∗ , son:
⎛ a 1 −1
⎛ a 1 −1 ⎞
1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 1 2 − a ⎟ A*= ⎜ 1 2 − a
2 ⎟
⎜ −1 1 −1 a − 1 ⎟
⎜ −1 1 −1 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Veamos para qué valores de a el rango es 3:
a
1
−1
1 2 − a = −2a + a − 1 − 2 + 1 + a = a − a − 2 = 0 ⇒ a =
−1 1 −1
2
1) Para a ≠ −1
y
a ≠ 2:
2
1± 1+ 8
2
1± 3
=
=
2
rg ( A) = rg ( A ) = 3 = nº de incógnitas ⇒
∗
−1
2
compatible
determinado.
2) Para a = −1 :
⎛ −1
⎜
A=⎜ 1
⎜ −1
⎝
⎛ −1
⎜
A*= ⎜ 1
⎜ −1
⎝
1 −1 ⎞
-1 1
⎟
2 1 ⎟ Como
= −2 − 1 = −3 ≠ 0 ⇒ rg(A) = 2
1 2
1 −1 ⎟⎠
1 −1 1 ⎞
⎟
2 1 2 ⎟ Orlamos el menor con la columna de los términos independientes
1 −1 −2 ⎟⎠
-1 1 1
1 2 2 = 4 + 1 − 2 + 2 + 2 + 2 = 9 ≠ 0 ⇒ rg(A*) = 3
-1 1 -2
( )
rg ( A) ≠ rg A∗ ⇒ el sistema es incompatible.
3) Para a = 2 :
⎛ 2 1 −1 ⎞
2 1
⎜
⎟
A = ⎜ 1 2 −2 ⎟ Como
= 4 − 1 = 3 ≠ 0 ⇒ rg(A) = 2
1 2
⎜ −1 1 −1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 2 1 −1 1 ⎞
⎜
⎟
A*= ⎜ 1 2 −2 2 ⎟ Orlamos el menor con la columna de los términos independientes
⎜ −1 1 −1 1 ⎟
⎝
⎠
2 1 1
1 2 2 = 0 porque tiene dos columnas iguales ⇒ rg(A*)=2
−1 1 1
rg(A) = rg(A*)=2 < nº de incógnitas ⇒ el sistema es compatible indeterminado.
Para la segunda parte del ejercicio tomamos a=0 (podría ser cualquier valor
distinto de -1)
⎧y − z = 1
⎪
⎨ x + 2y = 2
⎪ −x + y − z = −1
⎩
1
2
x=
0 −1
2 0
−1 1
0 0 −1
1 2 0
− 1 1 −1
0
y=
1
=
−3
0 1
2 2
−1 1
−3
⎧x = 2
⎪
Sol : ⎨ y = 0
⎪z = −1
⎩
−2 − 2 − 2 −6
=
= 2,
−1 − 2
−3
−1
1 2 0
−1 −1 −1
0
1
z=
−1
−1
=
=
1−2+1
= 0,
−3
1+2
= −1
−3
12.
(J-04)Cuando el año 1800 Beethoven escribe su primera Sinfonía, su edad
es diez veces mayor que la del jovencito Franz Schubert. Pasa el tiempo y es
Schubert quien compone su célebre Sinfonía Incompleta. Entonces la suma de las
edades de ambos músicos es igual a 77 años. Cinco años después muere Beethoven
y en ese momento Schubert tiene los mismos años que tenía Beethoven cuando
compuso su primera Sinfonía.
Determinar el año de nacimiento de cada uno de estos dos compositores. [2,5
puntos]
Nota: Solamente se calificarán los resultados obtenidos matemáticamente, no
los derivados de los conocimientos histórico-musicales del examinando.
SOLUCIÓN.
En 1800 Pasan y años Pasan 5 años más
Beethoven 10x
10x + y
10x + y + 5
Schubert
x
x+y
x+ y+5
⎧⎪11x + 2y = 77
⎪⎧10x + y + x + y = 77
⎪⎧11x + 2y = 77
⇒⎨
⇒⎨
⇒
⎨
⎩⎪x + y + 5 = 10x
⎩⎪−9x + y = −5
⎩⎪18x − 2y = 10
Sumando amba s ecuaciones ⇒ 29x = 87 ⇒ x = 3 e y=22
En 1800 Beethoven tenía 30 años, así que nació en 1770
En 1800 Beethoven tenía 3 años, así que nació en 1797
13.
⎧ x + 3y + z = 5
⎪
(J-04)Sea el sistema ⎨ ax + 2 z = 0 .
⎪ ay + z = a
⎩
Se pide clasificarlo según los valores del parámetro a [1,5 puntos] y resolverlo si
en algún caso es compatible indeterminado [1 punto]
SOLUCIÓN.
Las matrices de los coeficientes y ampliada son:
⎛1 3 1
⎛1 3 1⎞
⎜
⎜
⎟
A = ⎜ a 0 2 ⎟ A*= ⎜ a 0 2
⎜0 a 1
⎜0 a 1 ⎟
⎝
⎠
⎝
5⎞
⎟
0⎟
a ⎟⎠
Estudiemos los rangos de ambas matrices:
1 3 1
a 0 2 = a 2 − 3a − 2a = a 2 − 5a = 0 ⇒ a = 0 , a = 5
0 a 1
1) Para a ≠ 0 y a ≠ 5 : rg(A) = rg( A∗ ) = 3 = nº de incógnitas ⇒ el sistema es
compatible determinado.
2) Para a = 0
⎛1
⎜
A = ⎜0
⎜0
⎝
⎛1
⎜
A* = ⎜ 0
⎜0
⎝
3 1⎞
3 1
⎟
0 2 ⎟ Como
= 6 ⇒ rg(A) = 2
0 2
0 1 ⎟⎠
3 1
5⎞
⎟
0 2
0 ⎟ Orlamos el menor con la columna de los términos independientes
0 1
0 ⎟⎠
3 1 5
0 2 0 = 0 ⇒ rg(A*) = 2
0 1 0
rg(A) = rg(A*) = 2 < nº de incógnitas el sistema es compatible indeterminado.
⎪⎧ x + 3y + z = 5
2z = 0
⎪⎩
El sistema ⎨
⇒
⎧x = 5 − 3λ
⎪
⎨ y = λ, λ ∈ \
⎪z = 0
⎩
3) Para a = 5 :
⎛1
⎜
A = ⎜5
⎜0
⎝
⎛1
⎜
A*= ⎜ 5
⎜0
⎝
3 1⎞
1 3
⎟
= −15 ≠ 0 ⇒ rg(A) = 2
0 2 ⎟ Como
5
0
5 1 ⎟⎠
3 1
5⎞
⎟
0 2
0 ⎟ Orlamos el menor con la columna de los términos independientes
5 1
5 ⎟⎠
1 3 5
5 0 0 = 125 − 75 = 50 ≠ 0 ⇒ rg(A*) = 3
0 5 5
rg(A) rg(A*) el sistema es incompatible.
⎧ x + y − 2z = 0
⎪
(S-04)Sea el sistema homogéneo de ecuaciones ⎨ ax − y + z = 0
⎪ x + 2ay − z = 0
⎩
14.
a) Determinar el valor o valores del parámetro a para que el sistema tenga
soluciones distintas de la nula [1,5 puntos]
b) Resolver el sistema para el valor o valores de a hallados en el apartado anterior
[1 punto]
SOLUCIÓN.
a) Para que el sistema tenga soluciones distintas de la nula el rango de la matriz de
los coeficientes debe ser menor que tres, y para ello el único menor de orden tres
debe ser nulo:
−2
1
1
a
−1
1
1
2a
−1
a=0
= 0 ⇔ 1 + 1 − 4a − 2 + a − 2a = 0 ⇔ − 4a − a = 0 ⇔ a ⋅ (− 4a − 1) = 0 ⇒
2
2
a=−
b)
⎛ 1 1 −2 ⎞
⎜
⎟
1) Para a = 0 , la matriz de los coeficientes ⎜ 0 − 1 1 ⎟ tiene rango 2. Como el
⎜ 1 0 −1 ⎟
⎝
⎠
1 1
menor
≠ 0 las dos ecuaciones primeras son independientes respecto a las
0 −1
incógnitas x e y. Utilizando z = λ como parámetro, el sistema es:
⎧⎪ x + y = 2λ
⎨
⎪⎩ − y = −λ
⇒
⎧x = λ
⎪
Sol: ⎨ y = λ
⎪z = λ, λ ∈ \
⎩
⎛
⎜ 1
⎜
1
1
2) Para a = − , la matriz de los coeficientes ⎜ ⎜
4
4
⎜
⎜ 1
⎝
el menor
1
-
⎞
-2 ⎟
⎟
-1 1 ⎟
⎟
⎟
1
-1 ⎟
⎠
2
1
tiene rango 2 y como
1
≠ 0 las dos primeras ecuaciones son independientes respecto a x e
1
-1
4
y. Utilizando z = λ como parámetro, el sistema a resolver es:
2λ 1
⎧ x + y = 2λ
4λ 4
⎧⎪ x + y = 2λ
8λ − 4λ 4λ
⎪
⇒ ⎨
⇒x=
=
=
⎨ 1
4 −1
3
x
4y
4
+
=
λ
1 1
⎪⎩
⎪ − x − y = −λ
⎩ 4
1 4
⎧
4λ
⎪x =
3
⎪
2λ
⎪
Sol : ⎨ y =
3
⎪
⎪z = λ, λ ∈ \
⎪
⎩
; y=
1 2λ
1 4λ
3
=
4λ − 2λ 2λ
=
3
3
1
4
15.
(J-05)Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a
leer el Quijote este verano. Cada una por separado y en función del tiempo del que
dispone, decide leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar la obra.
Eva leerá diariamente 5 páginas más que Marta y ésta 6 páginas más que Susana.
Por ello Eva terminará la obra dos semanas antes que Marta y ésta 30 días antes
que Susana. Se pregunta cuál es el total de páginas que tiene la versión de la
inmortal obra cervantina que leen estas amigas.
[2,5 puntos]
SOLUCIÓN.
Pág. que lee al día Días que tarda en leer
EVA
MARTA
x+5
x
y − 14
y
SUSANA x − 6
y + 30
⎪⎧ (x + 5)(y − 14) = xy
⎪⎧ xy − 14x + 5y − 70 = xy
⎪⎧ −14x + 5y = 70
⎪⎧ −14x + 5y = 70
⇒⎨
⇒⎨
⇒⎨
⇒
⎨
5x − y = 30
⎪⎩(x − 6)(y + 30) = xy
⎪⎩xy + 30x − 6y − 180 = xy
⎪⎩ 30x − 6y = 180
⎪⎩
⎧⎪−14x + 5y = 70
⇒ Sumando ambas ecuaciones: 11x=220 ⇒ x=20 y=70
⎨
⎪⎩ 25x − 5y = 150
Es decir, la versión elegida de el Quijote tiene x·y=20·70=1400 páginas.
16.
(J-05)La terna (0 , 0 , 0) es siempre solución del sistema
⎧ x + 2 y − az = 0
⎪
⎨ ax − y + z = 0
⎪ 2ax + y − z = 0
⎩
independientemente del valor del parámetro a.
a) Indicar para qué valores del parámetro la citada terna es la única solución del
sistema.
[1,5 puntos]
b) Indicar algún valor del parámetro, si existe, para el cual el sistema tenga
algunas soluciones distintas de la nula y mostrar estas soluciones. (Nota: si se
encuentran varios valores del parámetro cumpliendo la condición pedida, para
responder a esta cuestión basta tomar uno solo de ellos).
[1 punto]
SOLUCIÓN.
2 − a⎞
⎛1
⎜
⎟
a) Sea A = ⎜ a − 1 1 ⎟ la matriz de los coeficientes.
⎜ 2a 1 − 1 ⎟
⎝
⎠
El sistema tiene una solución única (la solución trivial) cuando rg(A)=3
1
2
-a
a -1 1 = 1 − a2 + 4a − 2a2 + 2a − 1 = −3a2 + 6a = 0 ⇒ -3a ( a − 2 ) = 0 ⇒ a = 0 , a = 2
2a 1 -1
es decir, cuando a ≠ 0 y a ≠ 2 el rg(A)=3 y por tanto el sistema tiene como única
solución x = y = z = 0
b) Para que el sistema tenga otras soluciones (compatible indeterminado) debe
ser rg A < 3 y esto ocurre cuando a = 0 y a = 2 :
1)Para a=0
⎧ x + 2y = 0 ⎛ 1 2 0 0 ⎞ ⎛ 1 2 0 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎪
⎪⎧ x + 2y = 0
⎨ − y + z = 0 ⇒ ⎜ 0 −1 1 0 ⎟ ⇒ ⎜ 0 −1 1 0 ⎟ ⇒ ⎨
⎪⎩ − y + z = 0
⎪
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎩y − z = 0
⎝ 0 1 −1 0 ⎠ ⎝ 0 0 0 0 ⎠
⎪⎧ x + 2y = 0
⎨
⎩⎪ − y = −λ
⇔
⎪⎧ x + 2y = 0
⎨
y=λ
⎩⎪
Tomamos z=λ
⎧x = −2λ
⎪
⎪⎧x = −2λ
⇒⎨
⇒ Sol : ⎨ y = λ
⎩⎪ y = λ
⎪z = λ
⎩
2)Para a = 2:
⎛ 1 2 −2 0 ⎞ ⎛ 1 2 −2 0 ⎞ ⎛ 1 2 −2 0 ⎞
⎧ x + 2y − 2z = 0
⎧⎪ x + 2y = 2λ
⎧⎪x = 0
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎪
⇒⎨
⇒
⎨ 2x − y + z = 0 ⇒ ⎜ 2 −1 1 0 ⎟ ⇒ ⎜ 0 −5 5 0 ⎟ ⇒ ⎜ 0 −1 1 0 ⎟ ⇔ ⎨
− y = −λ
⎪⎩
⎪⎩ y = λ
⎪ 4x + y − z = 0
⎜ 4 1 −1 0 ⎟ ⎜ 0 −7 7 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟
⎩
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
⎧x = 0
⎪
Sol: ⎨ y = λ
⎪z = λ, λ ∈ \
⎩
17.
(S-05)A, B y C son tres ciudades que forman un triángulo de manera que
entre cada dos de ellas hay una carretera recta que las une. Se sabe que si se va
de A a B dando la vuelta por C se hace un recorrido tres veces mayor que si se va
directamente de A a B. Asimismo si para ir de A a C se da la vuelta por B el
recorrido es el doble que si se va directamente de A a C.
Calcular las distancias entre las tres ciudades sabiendo que la suma de las tres
distancias es igual a 120 kilómetros. [2,5 puntos]
SOLUCIÓN.
⎧ y + z = 3x
⎧ 3x − y − z = 0
⎪
⎪
⇔ ⎨ x − 2y + z = 0
⎨ x + z = 2y
⎪ x + y + z = 120
⎪ x + y + z = 120
⎩
⎩
A
y
x
B
C
z
Resolvemos el sistema por la regla de Cramer:
0
0
x=
120
1
1
=
3 −1 −1
1 −2 1
1
3
y=
−1 −1
−2 1
1
0
1 0
1 120
− 12
Por tanto:
− 120 − 240
− 360
=
= 30
− 6 − 1 − 1 − 2 + 1 − 3 − 12
1
−1
3 −1
1
1
1 −2 0
1 1 120
=
− 120 − 360 − 480
=
= 40
− 12
− 12
;
z=
− 12
0
=
− 720 + 120 − 600
=
= 50
− 12
− 12
d (A , B ) = 30 kms , d (A , C ) = 40 kms , d (B , C ) = 50 kms
18.
(S-05)Estudiar según el valor del parámetro λ , el sistema de ecuaciones
⎧ λx + y + z = 1
⎪
⎨ x + λy + z = λ
⎪
2
⎩x+ y + z =λ
y resolverlo si en algún caso es compatible indeterminado.
[2,5
puntos]
SOLUCIÓN.
La matriz de los coeficientes, A, y la matriz ampliada, A∗ , son:
⎛λ 1 1⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 1 λ 1⎟
⎜ 1 1 1⎟
⎝
⎠
⎛λ 1 1 1 ⎞
⎜
⎟
A*= ⎜ 1 λ 1 λ ⎟
⎜ 1 1 1 λ2 ⎟
⎠
⎝
Estudiemos sus rangos, según los valores de λ :
El único menor de orden 3 en la matriz
λ 1 1
1 λ 1 = λ2 + 1 + 1 − λ − λ − 1 = λ2 − 2λ + 1
1
los
coeficientes
es:
1 1
λ2 − 2λ + 1 = 0 ⇒ λ =
1)Si
de
2±
4−4
2
=1
λ ≠ 1: rg (A) = rg(A*)=3= nº de incógnitas
⇒
el
sistema
es
determinado
2)Si λ = 1
⎛1 1 1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 1 1 1 ⎟ ⇒ rg(A) = 1
⎜1 1 1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 1 1 1⎞
⎜
⎟
A* = ⎜ 1 1 1 1 ⎟ ⇒ rg(A*) = 1
⎜ 1 1 1 1⎟
⎝
⎠
rg(A) = rg(A*) = 1 < nº de incógnitas ⇒ Sistema compatible indeterminado
Solo hay una ecuación independiente: x+y+z=1
Para resolverla tomamos z=λ e y=μ
⎧x = 1 − λ − μ
⎪
Sol: ⎨ y = μ, μ ∈ \
⎪z = λ, λ ∈ \
⎩
compatible
⎛ 1 3⎞
⎜
⎟
λ⎞
⎛1 2
⎟⎟ y B = ⎜ λ 0 ⎟ donde λ es
(J-06)Se consideran las matrices A = ⎜⎜
⎝1 − 1 − 1⎠
⎜ 0 2⎟
⎝
⎠
19.
un número real.
a) Encontrar los valores de λ para los que la matriz AB tiene inversa.
[1,5 puntos]
b) Dados a y b números reales cualesquiera, ¿puede ser el sistema
compatible determinado con A la matriz del enunciado?.
⎛x⎞
⎜ ⎟ ⎛a⎞
A ⎜ y ⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎜ z ⎟ ⎝b⎠
⎝ ⎠
[1 punto]
SOLUCIÓN.
⎛ 1 3⎞
⎟ ⎛1 + 2λ 3 + 2λ ⎞
⎛1 2 λ ⎞ ⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜ λ 0 ⎟ = ⎜⎜
⎟.
a) A ⋅ B = ⎜⎜
1 ⎟⎠
⎝1 − 1 − 1⎠ ⎜ 0 2 ⎟ ⎝ 1 − λ
⎝
⎠
A ⋅ B tiene inversa cuando A ⋅ B ≠ 0 :
1 + 2λ
1− λ
3 + 2λ
= 1 + 2λ − 3 − 2λ + 3λ + 2λ2 = 2λ2 + 3λ − 2 = 0 ⇒
1
− 3 ± 9 + 16 − 3 ± 5
1
=
⇒ λ = , λ = −2 .
4
4
2
1
para λ ≠ y − 2
2
λ=
Luego la matriz A ⋅ B tiene inversa
b) No puede serlo. La matriz A tiene un rango máximo de 2 y el número de
incógnitas es de 3.
20.
(S-06)La liga de fútbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble
vuelta. Este año, los partidos ganados valían 3 puntos, los empatados 1 punto y los
perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón de liga obtuvo 70
puntos. Hasta el año pasado los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual.
Con el sistema antiguo, el actual campeón hubiera obtenido 50 puntos. ¿Cuántos
partidos ganó, empató y perdió el equipo campeón?
[2,5 puntos]
SOLUCIÓN.
x el número de partidos ganados,
y el número de partidos empatados
z el número de partidos perdidos.
Cada equipo juega con los otros 20 equipos 2 partidos(ida y vuelta), en total 40
partidos
Se tiene:
⎧ x + y + z = 40
⎪
⎨ 3x + y = 70
⎪ 2x + y = 50
⎩
Resolviendo el sistema por la regla de Cramer:
40 1 1
70 1 0
x=
50 1 0
1 1 1
3 1 0
=
70 − 50 20
=
= 20
3−2
1
=
150 − 140
= 10
1
2 1 0
1 40 1
3 70 0
y=
2 50 0
1
1 1 40
z=
3 1 70
2 1 50
1
= 50 + 120 + 140 − 80 − 150 − 70 = 10
es decir, ganó 20 partidos, empató 10 y perdió otros 10 partidos.
21.
(J-07)Considerar
el
sistema
lineal
de
ecuaciones
en
x,
y
y
z:
⎧ x + 3y + z = 5
⎪
⎨ mx + 2z = 0
⎪ my − z = m
⎩
a) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene solución
única. Calcular dicha solución para m = 1.
[1 punto]
b) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene infinitas
soluciones. Calcular dichas soluciones.
[1 punto]
c) Estudiar si existe algún valor de m para el cual el sistema no tiene solución.
[0,5 puntos]
SOLUCIÓN.
a)
El sistema es compatible determinado (tiene una solución única) cuando
∗
rg ( A ) = rg ( A∗ ) = 3 siendo A la matriz de los coeficientes y A la matriz ampliada:
⎛1 3 1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜m 0 2 ⎟
⎜ 0 m −1⎟
⎝
⎠
⎛1 3 1
⎜
A*= ⎜ m 0 2
⎜ 0 m −1
⎝
5⎞
⎟
0⎟
m ⎟⎠
Veamos para qué valores del parámetro el rango es máximo:
1
3
1
m 0 2 = m 2 + 3m − 2m = m 2 + m = 0 ⇒ m ( m + 1) = 0 ⇒ m = 0 , m = −1
0 m −1
Por tanto, el sistema tiene una solución única para m ≠ 0 y m ≠ −1 .
Para m = 1, las soluciones las encontramos con la regla de Cramer:
5 3
0 0
x=
1
2
1 5
1 0
1 1 −1
6 − 10
−4
=
=
= −2
1 3 1
1+ 3 − 2 2
1 0 2
0 1 −1
;
y=
1
2
0 1 −1
2
1 3 5
1 0 0
=
1+ 5 − 2 4
= =2
2
2
;
z=
0 1 1
2
b) Para que el sistema sea compatible indeterminado (tenga infinitas soluciones)
debe ser: rg ( A) = rg ( A∗ ) < 3 y esto sucederá para m = 0 o m = −1 .
1) Para m = 0:
⎛1 3 1 ⎞
3 1
⎜
⎟
A = ⎜ 0 0 2 ⎟ ⇒ rg ( A) = 2 pues el menor
=6≠0
0 2
⎜ 0 0 −1 ⎟
⎝
⎠
=
5−3
=1
2
⎛1 3 1
⎜
A*= ⎜ 0 0 2
⎜ 0 0 −1
⎝
3
1
5⎞
⎟
0 ⎟ Orlemos el menor de orden 2 con los términos independientes:
0 ⎟⎠
5
0 2 0 =0
0 −1 0
⇒
rg ( A∗ ) = 2
Por lo tanto, para m = 0:
rg ( A ) = rg ( A *) = 2 < nº de incógnitas ⇒
el sistema es
compatible indeterminado.
Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor que da rango a las matrices,
utilizamos las dos primeras ecuaciones y las incógnitas “y” y “z” como incógnitas
principales y “x” como secundaria. Consideremos x = λ como un parámetro:
3y + z = 5 − λ ⎫
⎬ ⇒
2z = 0
⎭
z=0 ,
y=
5−λ
3
⎧x = λ, λ ∈ \
⎪
5−λ
⎪
Sol : ⎨ y =
3
⎪
⎪⎩ z = 0
c) El sistema sólo puede ser incompatible (no tiene solución) para m = −1 y lo será
si para dicho valor: rg ( A) ≠ rg ( A∗ )
Comprobemos cuáles son los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz
ampliada:
⎛1 3 1⎞
1 3
⎜
⎟
=
= 3 ≠ 0 ⇒ rg(A) = 2
A ⎜ -1 0 2 ⎟ Como
-1
0
⎜ 0 -1 -1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 3 1 5⎞
⎜
⎟
A*= ⎜ -1 0 2 0 ⎟ Orlando este menor con los términos independientes
⎜ 0 -1 -1 -1 ⎟
⎝
⎠
1 3 5
−1 0 0 = 5 − 3 = 2 ≠ 0
0 − 1 −1
⇒
Por tanto, para m = −1 rg (A)
rg(A∗ ) = 3
rg (A*)
el sistema es incompatible.
22.
(J-07)Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 euros y un
total almacenado de 2000 euros. Si el número total de billetes de 10 euros es el
doble que el número de billetes de 20, averiguar cuántos billetes de cada tipo hay.
SOLUCIÓN.
x el nº de billetes de 10 €
y el de billetes de 20 €
z el de 50 €
Se tiene:
x + y + z = 95
⎫
⎪
10 x + 20 y + 50 z = 2000 ⎬ ⇔
⎪
x = 2y
⎭
x + y + z = 95 ⎫
⎪
x + 2 y + 5 z = 200 ⎬
⎪
x − 2y = 0
⎭
Resolviendo el sistema por la regla de Cramer:
95
200
−2 0
−400 + 950
550
=
=
= 50
1 1
−2 + 5 − 2 + 10 11
1 2 5
1 −2 0
1
95
1
1 200 5
1 0 0
11
1
1
y=
1
5
0
1
x=
y=
1
2
1
2
1 −2
11
=
475 − 200 275
=
= 25
11
11
=
−190 + 200 − 190 + 400 220
=
= 20
11
11
95
200
0
Por tanto, hay 50 billetes de 10 €, 25 billetes de de 20 € y 20 billetes de 50 €.
23.
(J-08)(2,5 puntos)
⎧ x + 3y − az = 4
⎪
⎪ −ax + y + az = 0
Dado el sistema ⎨
⎪− x + 2ay = a + 2
⎩⎪ 2x − y − 2z = 0
Discutirlo según los valores de a, y resolverlo cuando sea compatible.
SOLUCIÓN.
Las matrices de los coeficientes y ampliada son:
⎛ 1 3 −a
⎛ 1 3 −a ⎞
⎜
⎜
⎟
−a 1 a ⎟
−a 1 a
A=⎜
A*= ⎜
⎜ −1 2a 0
⎜ −1 2a 0 ⎟
⎜⎜
⎜
⎟
⎝ 2 −1 −2 ⎠
⎝ 2 −1 −2
4 ⎞
⎟
0 ⎟
.
a + 2⎟
⎟
0 ⎠
La matriz de los coeficientes A tiene un rango máximo de 3 mientras que la matriz
ampliada A∗ puede tener rango 4.
Empecemos estudiando para qué valores del parámetro a la matriz ampliada tiene
rango 4:
−a
1
3 −a
4
1
3
4
1 + 3a a − a 2
4a
2
(1)
−a 1 a
+
−
0
0 1 3a a a
4a
a+6 =
=
= 2a + 3
−a
0 2a + 3
a+6
−1 2a 0 a + 2
−a
2a − 2
−7
−8
2 − 1 −2
0
0
−7
−2 + 2a
−8
(1)
aF1 + F2 → F2
F1 + F3 → F3
−2F1 + F4 → F4
= 8a (1 + 3a ) + 4a ( 2a + 3)( 2a − 2 ) − 7 ( a − a 2 ) ( a + 6 ) − 28a 2 + 8 ( 2a + 3) ( a − a 2 ) − (1 + 3a )( 2a − 2 )( a + 6 ) =
= 8a + 24a 2 + 16a 3 − 16a 2 + 24a 2 − 24a − 7a 2 − 42a + 7a 3 + 42a 2 − 28a 2 + 16a 2 − 16a 3 + 24a − 24a 2 − 2a 2 − 10a + 12 −
⎧a = 2
−6a 3 − 3a 2 + 36a = a 3 − a 2 + 8a + 12 = 0 ⇒ (a − 2) 2 (a + 3) = 0 ⇒ ⎨
⎩ a = −3
1) Si a ≠ 2 y a ≠ −3 :
rg A∗ = 4 y rg A ≤ 3 ⇒ el sistema es incompatible.
2) Si a = 2 : las matrices de los coeficientes:
⎛ 1 3 −2 ⎞
⎜
⎟
−2 1 2 ⎟
A=⎜
⎜ −1 4 0 ⎟
⎜
⎟
⎝ 2 −1 −2 ⎠
⎛ 1 3 −2
⎜
−2 1 2
A*= ⎜
⎜ −1 4 0
⎜⎜
⎝ 2 −1 −2
4⎞
⎟
0⎟
4⎟
⎟
0⎠
Como la cuarta fila es proporcional a la segunda, la podemos eliminar para el
estudio del rango y en su caso para la resolución del sistema.
1
El menor
3
=7≠0 ⇒
−2 1
el rango de A y de A* es como mínimo 2. Orlamos el
menor:
3 −2
1
−2 1
−1 4
2 = 16 − 6 − 2 − 8 = 0 ⇒ rg A = 2
0
⇒ rg A = rg A ∗ = 2 < nº incógnitas ⇒
1
3 4
−2 1 0 = 4 − 32 + 4 + 24 = 0 ⇒ rg A∗ = 2
−1 4 4
El sistema es compatible indeterminado
Para resolverlo consideremos solo las dos primeras ecuaciones (son linealmente
independientes) y la incógnita z = λ como un parámetro:
⎧⎪x + 3y = 4 + 2λ
⎨
⎪⎩ −2x + y = −2λ
4 + 2λ 3
−2λ
x=
1 3
−2 1
1
=
4 + 2λ + 6λ 4 + 8λ
=
7
7
y=
1
4 + 2λ
−2
−2λ
1 3
−2 1
=
−2λ + 8 + 4λ 8 + 2λ
=
7
7
⎧
4 + 8λ
⎪x =
7
⎪
8 + 2λ
⎪
Sol: ⎨ y =
7
⎪
z
λ,
λ∈\
=
⎪
⎪
⎩
3) Si a = −3 : las matrices de los coeficientes y ampliada son:
⎛1 3 3⎞
⎜
⎟
3 1 −3 ⎟
⎜
A=
⎜ −1 −6 0 ⎟
⎜
⎟
⎝ 2 −1 −2 ⎠
1 3
≠ 0 ⇒ rg(A) ≥ 2
3 1
1
3
3
1
-1 -6
3
-3 =-54+9+3-18=-60 ≠ 0 ⇒ rg(A)=3
0
⎛1 3 3
⎜
3 1 −3
A*= ⎜
⎜ −1 −6 0
⎜⎜
⎝ 2 −1 −2
rg(A*) = 3
4⎞
⎟
0⎟
−1⎟
⎟
0⎠
Sistema compatible determinado.
Resolvamos el sistema
x=
4
3
3
0
1
−3
−1 −6
1
3
y=
−60
4 3
0
−1 −1
1
0
9 + 3 − 72
= 1
−60
=
−9 + 12 − 3
= 0
−60
=
−1 − 72 + 4 + 9 −60
=
=1
−60
−60
0
−1 −6 −1
−60
=
−3
−60
1 3 4
3
z=
0
x + 3y + 3z = 4 ⎫
⎪
3x + y − 3z = 0 ⎬
− x − 6y = −1 ⎭⎪
por la regla de Cramer:
24.
(S-08)
b)
(1,5 puntos)
Hallar la solución del sistema de ecuaciones
⎧ x + 2y + 3z = 0
que además satisface que la suma de los valores correspondientes a
⎨
⎩ x + 4y + 9z = 2
cada una de las incógnitas es 4.
SOLUCIÓN.
b)
Se debe añadir a las dos ecuaciones dadas la ecuación
x+ y+z = 4:
⎧ x + 2y + 3z = 0
⎪
⎨ x + 4y + 9z = 2
⎪
⎩ x+y+z = 4
Para resolverlo, aplicamos la regla de Cramer:
1 0 3
0 2 3
2 4 9
x=
4 1 1
6 + 72 − 48 − 4
26
=
=
= 13
1 2 3
4 + 3 + 18 − 12 − 2 − 9 2
1 4 9
1 1 1
y=
1 2 9
1 4 1
2
=
2 + 12 − 6 − 36 −28
=
= −14
2
2
1 2 0
z=
1 4 2
1 1 4
2
=
16 + 4 − 2 − 8 10
=
=5
2
2
Por tanto:
x = 13 , y = −14 , z = 5
25.
(J-09).
a) (1,5 puntos) Discutir y resolver en función de los valores del parámetro
⎧
x+ y+z =1
⎪
m el sistema lineal ⎨ mx + m2 y + m2z = 1
⎪ mx + my + m2z = 1
⎩
SOLUCIÓN.
⎛1
a) Las matrices de los coeficientes, A= ⎜⎜ m
⎜m
⎝
⎛1 1
⎜
A = ⎜ m m2
⎜m m
⎝
∗
1
m2
m2
1
2
m
m
1 ⎞
⎟
m 2 ⎟ y ampliada,
m 2 ⎟⎠
1⎞
⎟
1⎟
1⎟⎠
Estudiemos el rango de A según los valores de a:
1
1
2
m m
m m
1
m 2 = m 4 + m 2 + m3 − m3 − m3 − m3 = m 4 − 2m3 + m 2 = m 2 (m 2 − 2m + 1) = m 2 (m − 1) 2
m2
⎧m = 0
m 2 (m − 1) 2 = 0 ⇒ ⎨
⎩m = 1
1) Para m ≠ 0 y m ≠ 1: rg (A) =rg(A*)=3 =nº de incógnitas ⇒ el sistema es
compatible determinado.
Para resolverlo, utilizamos la regla de Cramer:
1 1
1
2
1 m m2
1 m m2
m 4 + m + m 2 − m 2 − m3 − m 2 m 4 − m3 − m 2 + m m(m + 1)(m − 1) 2 m + 1
x=
=
=
=
=
1 1
1
m 2 (m − 1) 2
m 2 (m − 1) 2
m 2 (m − 1) 2
m
2
2
m m m
m m m2
1
m
m
y=
1
m
m
1 1
1 m2
1 m2
m 2 + m + m3 − m − m 2 − m3
0
=
= 2
= 0 ( el determinante tiene 2
2
2
1
1
m (m − 1)
m (m − 1) 2
m2 m2
m m2
filas iguales.
1 1 1
m m2 1
m m 1
m 2 + m 2 + m − m3 − m − m −m3 + 2m 2 − m − m(m 2 − 2m + 1) − m(m − 1) 2
1
z=
=
=
=
= 2
=−
1 1
1
m
m 2 (m − 1) 2
m 2 (m − 1) 2
m 2 (m − 1) 2
m (m − 1) 2
m m2 m2
m
m
m2
⎛1 1 1
⎛1 1 1⎞
∗ ⎜
⎟
⎜
2) Para m =0 : A= ⎜ 0 0 0 ⎟ y ampliada, A = ⎜ 0 0 0
⎜0 0 0⎟
⎜0 0 0
⎝
⎠
⎝
1⎞
⎟
1⎟
1⎠⎟
⎧ rg (A) = 1
⇒⎨
⇒ rg (A) ≠ rg (A ∗ ) ⇒ el sistema es incompatible
∗
rg
(A
)
=2
⎩
⎛1 1 1
⎛ 1 1 1⎞
∗ ⎜
⎟
⎜
3) Para m =1: A= ⎜ 1 1 1⎟ y ampliada, A = ⎜1 1 1
⎜ 1 1 1⎟
⎜1 1 1
⎝
⎠
⎝
1⎞
⎟
1⎟ ⇒
1⎟⎠
⎧⎪rg ( A) =1
⇒⎨
⇒rg ( A) = rg ( A∗ )
∗
⎪⎩rg ( A ) =1
el sistema es compatible indeterminado
Resolución: x+y+z=1 utilizando las incógnitas “y” y “z” como parámetros:
⎧x = 1 − λ − μ
⎪
∀λ, μ ∈ \
⎨y = λ
⎪z = μ
⎩
26.
(J-09) b) [1,25 puntos] Estudiar para qué valores del parámetro α ∈ \ ,
existe un único polinomio P(x)=a+bx+cx2 que satisface P(0)= α , P (1)=0 , P (-1)=0 .
SOLUCIÓN.
b) P(0)= α ⇒ a= α
P(1)=0 ⇒ a+b+c=0
P(-1)=0 ⇒ a-b+c=0
Es un sistema donde las incógnitas son a, b y c y α el parámetro
Para que haya un único polinomio, el sistema tiene que ser compatible determinado
y no ser homogéneo (pues en este caso se tendrá a=b=c=0 )
⎛1 0 0
0⎞
⎟ y ampliada A*= ⎜ 1 1 1
1 1⎟
⎜
⎜ 1 −1 1 ⎟
⎜ 1 −1 1
⎝
⎠
⎝
⎛1
La matriz de los coeficientes A= ⎜⎜ 1
1
0
0
0
α⎞
⎟
0⎟
0 ⎟⎠
⎧ rg (A) = 3
⇒ rg (A) = rg (A*) ⇒ el sistema es
1 = 1+1 = 2 ≠ 0 ⇒ ⎨
⎩ rg (A*) =3
1 −1 1
. Puesto que 1
1
compatible determinado ∀α
Y para que el sistema no sea homogéneo, debe ser α ≠ 0 .
Es decir, existe un único polinomio P (x) , ∀α ≠ 0 .
Si nos pidieran calcularlo lo resolveríamos por Cramer
27.
(J-10) Dos hermanos de tercero y cuarto de primaria iban camino del
colegio con sus mochilas cargadas de libros todos del mismo peso. Uno de ellos se
lamentaba del peso que transportaba y el otro le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te
cogiera un libro, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio si te diera un libro,
tu carga igualaría a la mía” ¿Cuántos libros llevaba cada hermano? (1 punto)
SOLUCIÓN.
Sea x el número de libros que lleva uno de los hermanos
Sea y el número de libros que lleva el otro hermano
⎧⎪x − 2y = −3 ⎧⎪x = 7
⎪⎧(x + 1) = 2(y − 1)
⇒⎨
⇒⎨
⎨
⎪⎩ y = 5
⎩⎪x − 1 = y + 1
⎩⎪x − y = 2
Sol: Uno de los hermano lleva 7 libros y el otro, 5
28.
⎛ cos α
senα
0⎞
0
β ⎟⎠
(S-10) Dada la matriz A= ⎜⎜ −senα cos α 0 ⎟⎟
⎜
⎝
0
a) Estudiar si existen valores de α y β para los cuales la matriz A sea
simétrica. ¿Será la matriz B = A AT igual a la matriz identidad en algún
caso? (1 punto)
b) Razonar cuál es la relación entre el determinante de A y el de B. (0,75
puntos)
c)
⎛ x ⎞ ⎛1⎞
Discutir y resolver cuando sea posible el sistema B ⎜⎜ y ⎟⎟ = ⎜⎜ 1⎟⎟
⎜ z ⎟ ⎜1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
SOLUCIÓN.
⎛ x ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛ x ⎞ ⎛1⎞ ⎧ x = 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪
B ⎜ y ⎟ = ⎜1⎟ ⇒ ⎜ 0 1 0 ⎟⎜ y ⎟ = ⎜1⎟ ⇒ ⎨ y = 1
⎜ z ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 0 0 β2 ⎟⎜ z ⎟ ⎜1⎟ ⎪β2 z = 1
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩
Discutamos este sistema:
1) Si β2=0, es decir, si β=0 La tercera ecuación quedaría 0z=1, así que el
sistema es incompatible
2) Si β2 0, es decir, si β 0 El sistema es compatible determinado y
⎧
⎪x = 1
⎪⎪
Sol ⎨ y = 1
⎪
1
⎪z = 2 ,β ∈ \
β
⎪⎩
29.
⎧ ax + y + z = 1
⎪
(J-12) Sean a un número real y el sistema lineal ⎨ x + ay + z = a
⎪ x + y + az = a2
⎩
a. (1,5 puntos) Calcule el determinante de la matriz de los coeficientes
y determine para qué valores de a el sistema anterior es
incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado.
b. (1 punto) Resuelva el sistema anterior en el caso a=0
SOLUCIÓN.
a Sean A la matriz de los coeficientes y A* la matriz ampliada
⎛a 1 1⎞
⎜
⎟
A = ⎜1 a 1⎟
⎜1 1 a⎟
⎝
⎠
⎛a 1 1
⎜
A* = ⎜ 1 a 1
⎜1 1 a
⎝
1 ⎞
⎟
a⎟
a2 ⎟⎠
Estudiamos el rango:
a 1 1
⎪⎧a = 1
A = 1 a 1 = a3 + 1 + 1 − a − a − a = a3 − 3a + 2 = (a − 1)2 (a + 2) = 0 ⇒ ⎨
⎪⎩a = −2
1 1 a
1) Si a 1 y a -2 rg(A)=rg(A*)=3=nº de incógnitas SCD
2) Si a=1
⎛1 1 1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜1 1 1 ⎟
⎜1 1 1 ⎟
⎝
⎠
⎛1 1 1 1 ⎞
⎜
⎟
A*= ⎜ 1 1 1 1 ⎟
⎜1 1 1 1 ⎟
⎝
⎠
rg(A)=rg(A*)=1 SCI
3) Si a=-2
⎛ −2 1
1 ⎞
−2 1
⎜
⎟
A = ⎜ 1 −2 1 ⎟ Como
= 3 ⇒ rg(A) = 2
1 −2
⎜ 1
⎟
1 −2 ⎠
⎝
⎛ −2 1
1 1 ⎞
⎜
⎟
A* = ⎜ 1 −2 1 −2 ⎟ Orlando el menor con los términos independientes
⎜ 1
1 −2 4 ⎟⎠
⎝
−2 1
1
1 −2 −2 = 16 + 1 − 2 + 2 − 4 − 4 = 9 ≠ 0 ⇒ rg(A*) = 3
1
1
4
rg(A) rg(A*) SI
b.Si a=0 El sistema es
⎛0 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 0 0⎞ ⎛ 1 1 0 0⎞ ⎛ 1 1 0 0⎞
⎧y + z = 1
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎪
⎨ x + z = 0 ⇒ ⎜ 1 0 1 0 ⎟ ⇒ ⎜ 1 0 1 0 ⎟ ⇒ ⎜ 0 −1 1 0 ⎟ ⇒ ⎜ 0 −1 1 0 ⎟ ⇒
⎪x + y = 0 ⎜ 1 1 0 0⎟ ⎜ 0 1 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 1 1 ⎟ ⎜ 0 0 2 1 ⎟
⎩
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
⎧
1
⎪x = −
2
⎧x + y = 0
⎪
1
⎪
⎪
⇒ ⎨− y + z = 0 ⇒ ⎨ y =
2
⎪2z = 1
⎪
⎩
1
⎪
⎪z = 2
⎩
30.
(S-12)(1,5 puntos) Determine para qué valores de m el siguiente sistema de
⎧ mx + 2y + 6z = 0
⎪
⎨ 2x + my + 4z = 2
⎪ 2x + my + 6z = m − 1
⎩
ecuaciones:
es
compatible
determinado,
compatible
indeterminado o incompatible.
SOLUCIÓN.
⎛m 2 6 0 ⎞
⎛m 2 6⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
Sea A= ⎜ 2 m 4 ⎟ y sea A*= ⎜ 2 m 4 2 ⎟
⎜ 2 m 6 m − 1⎟
⎜ 2 m 6⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Estudiemos el rango :
m 2
6
A = 2 m 4 = 6m2 + 12m + 16 − 12m − 4m2 − 24 = 2m2 − 8 = 2(m2 − 4) = 2(m − 2)(m + 2) = 0 ⇒ m = ±2
2 m 6
1) Si m≠2 y m≠-2
rg(A)=rg(A*)=3=nº de incógnitas SCD
2) Si m=2
⎛2 2 6 ⎞
⎜
⎟
A= ⎜ 2 2 4 ⎟
⎜2 2 6 ⎟
⎝
⎠
⎛2 2 6
⎜
A*= ⎜ 2 2 4
⎜2 2 6
⎝
Como
2 4
= 12 − 8 = 4 ≠ 0 ⇒ rg(A) = 2
2 6
0⎞
⎟
2 ⎟ Orlamos el menor con la comuna de los términos independientes:
1 ⎟⎠
2 6 0
2 4 2 = 8 + 24 − 24 − 12 = −4 ≠ 0 ⇒ rg(A*) = 3
2 6 1
Como rg(A) rg(A*) SI
3) Si m=-2
⎛ −2 2 6 ⎞
2 6
⎜
⎟
= −8 + 12 = 4 ≠ 0 ⇒ rg(A) = 2
A= ⎜ 2 −2 4 ⎟ Como
−2 4
⎜ 2 −2 6 ⎟
⎝
⎠
⎛ −2 2 6 0 ⎞
⎜
⎟
A*= ⎜ 2 −2 4 2 ⎟ Orlamos el menor con la columna de los términos independientes
⎜ 2 −2 6 −3 ⎟
⎝
⎠
2 6
-2 4
0
2 = −24 − 24 + 24 + 36 = 12 ≠ 0 ⇒ rg(A*) = 3
-2 6 -3
Como rg(A) rg(A*) SI
31.
⎛ 5 −m 3 ⎞
⎜
⎟
(J-13)Sea A la matriz: A = ⎜ 1 −1 0 ⎟
⎜ 1 1 m⎟
⎝
⎠
a) (1,5 pts)Discuta el sistema que aparece a continuación, para cada uno de los
valores de m y resuélvalo para los valores de m siguientes: m = -1 y m = 2.
⎛0⎞
⎛x⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
AX = ⎜ 0 ⎟ donde X= ⎜ y ⎟
⎜0⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
SOLUCIÓN.
⎛ 5 −m 3 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎧5x − my + 3z = 0
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎪
x−y =0
⎜ 1 −1 0 ⎟⎜ y ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⇒ ⎨
⎪ x + y + mz = 0
⎜ 1 1 m ⎟⎜ z ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝
⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎩
⎧⎪si A ≠ 0 ⇒ SCD ⇒ Solución trivial
Como el sistema es homogéneo ⎨
⎪⎩si A = 0 ⇒ SCI
5 −m 3
A = 1
1
−1
1
⎧⎪m = 2
0 = −5m + 3 + 3 + m2 = m2 − 5m + 6 = (m − 2)(m − 3) = 0 ⇒ ⎨
⎪⎩m = 3
m
1) Si m 2 y m 3 SCD
⎧x = 0
⎪
⎨y = 0 ⎪z = 0
⎩
Solución trivial
2) Si m=2, rg(A)=2 SCI
3) Si m=3 rg(A)=2 SCI
Hay que resolverlo para m=-1
Según acabamos de ver, solución trivial
⎧x = 0
⎪
⎨y = 0 ⎪z = 0
⎩
Para m=2
⎧5x − 2y + 3z = 0
⎧⎪5x − 2y + 3z = 0
⎧⎪5x − 2y = −3λ
⎪
x−y =0⇒ ⎨
⇒⎨
⇒
⎨
x−y =0
⎩⎪
⎩⎪ x − y = 0
⎪ x + y + 2z = 0
⎩
5 −3λ
−3λ −2
x=
0
−1
5 −2
1 −1
=
3λ
= −λ
−5 + 2
⎧x = −λ
⎪
Sol : ⎨ y = −λ
⎪z = λ, λ ∈ \
⎩
y=
1
0
5 −2
1 −1
=
3λ
= −λ
−3
32.
⎧ λx + 4y + 12z = 0
⎪
(S-13) Considere el siguiente sistema de ecuaciones: ⎨ 2x + y + 4z = λ
⎪ λx + y + 6z = 0
⎩
a.
(1 punto) Determine los valores de
ecuaciones tiene solución única.
para los que el sistema de
b. (1,5 puntos) Resuelva el sistema, si es posible, cuando =4 y cuando
=0.
SOLUCIÓN.
a. Sea
⎛ λ 4 12 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜2 1 4 ⎟
⎜λ 1 6 ⎟
⎝
⎠
λ 4 12
A = 2 1
λ 1
⎛ λ 4 12 0 ⎞
⎜
⎟
y A*= ⎜ 2 1 4 λ ⎟
⎜λ 1 6 0⎟
⎝
⎠
4 = 6λ + 24 + 16λ − 12λ − 4λ − 48 = 6λ − 24 = 0 ⇒ λ = 4
6
Si λ 4 rg(A)=rg(A*)=3=nº de incógnitas SCD
b. Si λ 4
⎧4x + 4y + 12z = 0
⎪
⎨ 2x + y + 4z = 4
⎪ 4x + y + 6z = 0
⎩
⎛4
⎜
A = ⎜2
⎜4
⎝
⎛4
⎜
A* = ⎜ 2
⎜4
⎝
4 12 ⎞
4 4
⎟
1 4 ⎟ como
≠ 0 ⇒ rg(A) = 2
2
1
1 6 ⎟⎠
4 12 0 ⎞
⎟
1 4 4 ⎟ Orlamos el menor con la columna de los términos independientes
1 6 0 ⎟⎠
4 4 0
2 1 4 = 64 − 16 ≠ 0 ⇒ rg(A*) = 3 ⇒ SI
4 1 0
Si λ=0 SCD
⎧ 0x + 4y + 12z = 0
⎪
⎨ 2x + y + 4z = 0
⎪ 0x + y + 6z = 0
⎩
Como el Sistema es homogéneo y SCD, la única
solución posible es la solución trivial x=0, y=0, z=0