Sea el modelo de regresión simple yi = β0 + β1xi + ui, ui N(0,σ2), i

Sea el modelo de regresión simple
yi = β0 + β1 xi + ui ,
N(0, σ 2 ),
ui
i = 1, 2, . . . , n
1. Demostrar que Cov(ȳ, β̂1 ) = 0.
Tenemos que
ȳ =
1
1
1
y1 + y2 + · · · + yn = n1
n
n
n
1
n
···
β̂1 = w1 y1 + w2 y2 + · · · + wn yn = w1 w2

y1
 
T
1  y2 
n · · · = a Y
yn


y1
 y2 
T

· · · wn 
· · · = w Y
yn

Por tanto
E[ȳ] = E[aT Y ] = aT E[Y ]
E[β̂1 ] = E[w T Y ] = w T E[Y ]
Luego
Cov(ȳ, β̂1 ) = E[(ȳ − E[ȳ])(β̂1 − E[β̂1 ])]
= E[(aT Y − aT E[Y ])(w T Y − w T E[Y ])]
= E[aT (Y − E[Y ])w T (Y − E[Y ])]
= E[aT (Y − E[Y ])(Y − E[Y ])T w]
= aT E[(Y − E[Y ])(Y − E[Y ])T ]w
= aT Var[Y ]w
donde

Var[y1 ]
Cov[y1 , y2 ]
 Cov[y2 , y1]
Var[y2 ]
Var[Y ] = 

···
···
Cov[yn , y1 ] Cov[yn , y2 ]
  2
σ
0
· · · Cov[y1 , yn ]


· · · Cov[y2 , yn ]  0 σ 2
 = · · · · · ·
···
···
0
0
···
Var[yn ]

··· 0
··· 0 

· · · · · ·
· · · σ2
Finalmente
n
σ2 X
Cov(ȳ, β̂1 ) = a σ In w = σ a In w = σ a w =
wi = 0
n i=1
T
2
2 T
1
2 T
2. Demostrar que
n
P
(ŷi − ȳ)(yi − ŷi ) = 0.
i=1
Tenemos que los residuos cumplen que:
ei = yi − ŷi
n
X
ei = 0
i=1
n
X
ei xi = 0
i=1
Como ŷi = β̂0 + β̂1 xi
n
X
i=1
n
n
n
n
X
X
X
X
ei = 0
ei xi − ȳ
(ŷi − ȳ)(yi − ŷi ) =
(β̂0 + β̂1 xi − ȳ)ei = β̂0
ei + β̂1
3. Demostrar que
i=1
i=1
VE
σ2
i=1
i=1
χ21 si H0 es cierta (H0 : β1 = 0).
Tenemos que
β̂1
β̂1 − β1
σ2
N β1 , 2 ⇒ q 2
σ
nsx
N(0, 1)
ns2x
Si H0 es cierta (β1 = 0)
β̂1
q
σ2
ns2x
N(0, 1) ⇒
β̂12
σ2
ns2x
N(0, 1)2 ⇒
β̂12 ns2x
σ2
Por otro lado
V E = β̂12 ns2x ⇒
Por tanto
VE
σ2
2
VE
β̂12 ns2x
=
σ2
σ2
χ21
χ21