Solución a algunos problemas

Algebra Lineal
Tarea No 3: Aplicaciones de SEL
Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)
1. Determine la función cudrática que pasa por los puntos
P (1, 4), Q(−1, 2), y R(2, 3).
Solución
La forma más general de una cuadrática es:
f (x) = a x2 + b x + c
donde los coeficientes a, b, y c son constantes numéricas. El problema consiste en determinar estos coeficientes. Ası́ pues los parámetros a, b, y c se vuelven ahora
las incógnitas. Y para poderlas determinar requerimos de
ecuaciones o igualdades que deben satisfacer. Para determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos. Para que
la función pase por el punto P (1, 4) se debe cumplir que
f (x = 1) = 4
es decir, se debe cumplir:
a (1)2 + b (1) + c = 4
es decir, se debe cumplir:
a+b+c=4
Procediendo de igual manera con el punto Q(−1, 2): formulamos la ecuación:
2. Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales: cañon, clon, y lenta-pero-segura. Para armar una computadora modelo cañon necesita 12 horas
de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para instalar
sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas.
Y por último, para una lenta-pero-segura requiere 6 para
ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la fábrica dispone en horas por mes de 556 para
ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación
de programas, ¿cuántas computadoras se pueden producir
por mes?
Solución
En nuestro caso las incógnitas el número de cada tipo de
computadora a producir:
a−b+c=2
x =
y =
z =
y para R(2, 3):
número de computadoras cañon
número de computadoras clon
número de computadoras lenta-pero-segura
4a + 2b + c = 3
2
Resumiendo, para que la función f (x) = a x + b x + c pase
por los puntos P , Q, y R deben cumplirse las ecuaciones:
a +
a −
4a +
b +
b +
2b +
c =4
c =2
c =3
Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado, pruebas, e instalación de programas.
Ensamblado
556(total) = 12 x(cañon) + 10 y(clon) + 6 z(lenta)
Pruebas
120(total) = 2.5 x(cañon) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)
La solución a este sistema es:
Instalación de programas
2
11
a = − , b = 1, y c =
3
3
103(total) = 2 x(cañon) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)
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2
Al resolver este sistema obtenemos:
Por tanto, la fórmula para n = 1 debe dar 1. La ecuación
queda:
x = 34, y = 4, z = 18
A 13 + B 12 + C 1 + D = A + B + C + D = 1
Dado lo común de las aplicaciones hacia el área de manufactura, existe una forma simple de construir la matriz del
sistema de ecuaciones que en general se trabaja como una
tabla:
Para n = 2 la suma da:
2
X
i2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5
i=1
En la última columna aparecen los recursos: un
renglón para cada tipo de recursos y en cuya posición final se pone el total de recursos disponibles.
En las primera columnas se colocan los objetos o modelos a ser ensamblados o construidos: en cada posición se coloca el total de recursos que consume en
forma unitaria cada tipo de objeto.
Por tanto, la fórmula para n = 2 debe dar 5. La ecuación
queda:
A 23 + B 22 + C 2 + D = 8 A + 4 B + 2 C + D = 5
Para n = 3 la suma da:
3
X
i2 = 12 + 22 + 32 = 1 + 4 + 9 = 14
i=1
Recurso
Ensamble
Pruebas
Instalación
Recursos requeridos por unidad
Cañon Clon
Lenta
12
2.5
2
10
2
2
Total
6
1.5
1.5
556
120
103
Por tanto, la fórmula para n = 3 debe dar 14. La ecuación
queda:
A 33 + B 32 + C 3 + D = 27 A + 9 B + 3 C + D = 27
Para n = 4 la suma da:
4
X
i2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
i=1
Por tanto, la fórmula para n = 3 debe dar 14. La ecuación
queda:
A 43 + B 42 + C 4 + D = 64 A + 16 B + 4 C + D = 30
Al resolver este sistema de 4 ecuaciones para A, B, C y D
obtenemos:
1
1
1
A= ,B= ,C=
3
2
6
Por tanto, la fórmula de la sumatoria queda:
∀n ∈ N,
n
X
i=1
i2 =
1 3 1 2 1
n + n + n
3
2
6
3. Existe una fórmula para calcular la suma
1 + 4 + 9 + · · · + n2 .
Sabiendo que la fórmula es un polinomio de grado tres
en la variable n, encuentre dicha fórmula. Sugerencia:
Proponga como fórmula
F (n) = A n3 + B n2 + C n + D
donde A, B, C y D son incógnitas. Dando los valores n =
1, n = 2, n = 3 y n = 4 y conociendo los resultados que
dan esas sumas, plantea y resuelve el sistema.
Solución
Para n = 1 la suma da:
1
X
i=1
i2 = 12 = 1
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3
4. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos
P (1, 1, 2), Q(1, 2, 0) y R(3, 6, 1) Sugerencia. Supón que la
ecuación del plano tiene la forma :
ax + by + cz = 1
Recordemos que una expresión polinomial en una variable es idénticamente cero si y sólo si todas sus derivadas
evaluadas en la variable igual a cero son iguales cero. De
aquı́ obtendremos las ecuaciones para A, B y C. En la
imagen siguiente los cálculos se realizan en la TI.
donde las constantes a, b y c son constantes desconocidas.
Plantea y resuelve el sistema adecuado para ellas. Reporta
el coeficiente de x.
Solución
La solución es una aplicación directa del sistemas de ecuaciones lineales. Usando la TI es directo plantear el modelo,
sustituir los puntos en él para obtener las ecuaciones, y resolverlas. Note que la forma de invocar
solve({e1,e2,e3},{a,b,c})
sólo aplicar cuando el sistema operativo de su calculadora
está actualizado, en otro caso deberá usar la notación
solve(e1 and e2 and e3,{a,b,c})
6. Determine los valores de A, B y C para que
yp = A x2 + B x + C e3 x
sea solución a la ecuación diferencial
y 00 + 6 y 0 + 9 y = 2 + x + 2 x2 e3 x
Como respuesta, sólo reporte el valor de C.
Solución
5. Determine los valores de A, B y C para que
yp = A x2 + B x + C
trabajaremos con
sea solución a la ecuación diferencial
5 y 00 + 4 y 0 + 2 y = 6 + 2 x + 5 x2
Como respuesta, sólo reporte el valor de C.
Solución
En nuestro problema las incógnitas son A, B y C. Para
determinarlas, obtengamos ecuaciones. Para trabajar más
convenientemente, en lugar de la expresión
f = y 00 + 6 y 0 + 9 y − 2 + x + 2 x2 e3 x = 0
sustituiremos yp = A x2 + B x + C e3 x en lugar de y en
f para obtener:


(33 a − 2) x2 +
 e3 x = 0
g=
(24 a + 33 b − 1) x+
(2 a + 12 b + 33 c − 2)
Como la función exponencial no se hace cero en ningún
valor de x, entonces su coeficiente es el que debe ser cero:
5 y 00 + 4 y 0 + 2 y = 6 + 2 x + 5 x2
trabajaremos con
f = 5 y 00 + 4 y 0 + 2 y − 6 + 2 x + 5 x
En nuestro problema las incógnitas son A, B y C. Para
determinarlas, obtengamos ecuaciones. Para trabajar más
convenientemente, en lugar de la expresión
y 00 + 6 y 0 + 9 y = 2 + x + 2 x2 e3 x
(33 a − 2) x2 + (24 a + 33 b − 1) x + (2 a + 12 b + 33 c − 2) = 0
2
=0
sustituirremos yp = A x2 +B x+C en lugar de y en f para
obtener:
f = (2 a − 5) x2 + (8 a + 2 b − 2) x + (10 a + 4 b + 2 c − 6)
Recordemos que una expresión polinomial en una variable es idénticamente cero si y sólo si todas sus derivadas
evaluadas en la variable igual a cero son iguales cero. De
aquı́ obtendremos las ecuaciones para A, B y C. En la
imagen siguiente los cálculos se realizan en la TI.
Ma1019, Tarea No 3: Aplicaciones de SEL
4
Al resolverlo obtenemos:
A=2
B = −4
7. Calcule las constantes A, B, C y D que cumplen:
5 + 12 x + x2 − 2 x3
2
(1 + x) (−3 + x2 )
=
A
Cx + D
B
+ 2
+
(x + 1)2
x+1
x −3
Solución
Al sumar las fracciones en el lado derecho tenemos:
A
B
Cx + D
+
+ 2
(x + 1)2
x+1
x −3
=
A (x2 − 3) + B (x + 1) (x2 − 3) + (Cx + D)(x + 1)2
(x + 1)2 (x2 − 3)
Al desarrollar productos y agrupar respecto a x en el numerador del lado derecho:
A (x2 − 3) + B (x + 1) (x2 − 3) + (Cx + D)(x + 1)2
(x + 1)2 (x2 − 3)
=
(B+C) x3 +(A+B+2 C+D) x2 +(−3 B+C+2 D) x+(−3 A−3 B+D)
(x+1)2 (x2 −3)
Por lo tanto
5 + 12 x + x2 − 2 x3
C=2
D = −1 8. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de café:
mezcla económica, mezcla especial y mezcla gourmet. Estas
mezclas se obtienen combinando grano mexicano, grano
colombiano y grano jamaquino. Para una bolsa de mezcla
económica requiere 300 g de mexicano y 200 g de colombiano. Para una bolsa de mezcla especial requiere 200 g de
mexicano, 200 g de colombiano y 100 g de jamaquino. Para
una bolsa de mezcla gourmet requiere 100 g de mexicano,
300 g de colombiano y 100 g de jamaquino. El comerciante
dispone de 27 kg de grano mexicano, 26 kg de grano colombiano, y 7 kg de grano jamaquino. Determina cuántas
bolsas de cada mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse todo el grano disponible. Reporta sólo las bolsas de
la mezcla gourmet. Sugerencia: Primero maneje todo en
gramos y después divida las ecuaciones entre 100 antes de
resolver.
Solución
Tenemos una situación de insumo-producto. Tememos tres
productos: las mezclas de café. Y tenemos tres insumos:
los tipos de grano. La matriz con cantidades en kilogramos
nos queda:
2
(1 + x) (−3 + x2 )
=
(B+C) x3 +(A+B+2 C+D) x2 +(−3 B+C+2 D) x+(−3 A−3 B+D)
(x+1)2 (x2 −3)
De donde las constantes deben complir:
B+C
A + B + 2C + D
−3 B + C + 2 D
−3 A − 3 B + D
= −2
= 1
= 12
= 5
Insumos
Económica
Mexicano
Colombiano
Jamaiquino
0.3
0.2
0.0
Productos
Especial
0.2
0.2
0.1
Gourmet
Total
Insumo
0.1
0.3
0.1
27
26
7
Al reducir esta matriz, obtenemos la cantidad de cada producto de manera que se consuma el total de recursos:
Ma1019, Tarea No 3: Aplicaciones de SEL
5
nemos tres insumos los recursos económicos para papel,
ilustraciones y pastas. La matriz nos queda:
Mezcla Económica: 50
Insumos
Rústica
Papel
Ilustraciones
Pastas
2
5
2
Productos
P. Dura E. Piel
2
8
9
Mezcla Gourmet: 20 Edición Rústica:34
Solución
Tenemos una situación de insumo-producto. Tenemos tres
productos: los libros en sus tres diferentes ediciones. Y te-
152
506
635
Al reducir esta matriz, obtenemos la cantidad de cada producto de manera que se consuma el total de recursos:
Mezcla Especial: 50
9. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: edición rústica, pasta dura, y empastados en piel. Para los
rústicos, la empresa gasta en promedio $2 en papel, $5 en
ilustraciones, y $2 en las pastas. Para los de pasta dura,
gasta $2 en papel, $8 en ilustraciones, y $9 en pastas. Y
para los empastados en piel, gasta $3 en papel, $12 en
ilustraciones, y $27 en pastas. Si el presupuesto permite
gastar $152 en papel, $506 en ilustraciones, y $635 en pastas. ¿Cuántos libros de cada categorı́a pueden producirse?
Sólo como comprobación reporte el número de libros rústicos a producirse.
3
12
27
Total
Insumos
Edición Pasta Dura: 21
Edición Empastado en Piel: 14