Métodos de Integración

Capı́tulo 1
Antidiferenciación. Métodos de
integración.
1.1.
Antidiferenciación
Definición 1 Sea las funciones f y F definidas en un intervalo I, entonces F es una antiderivada
de f sobre I ssi:
F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ I.
El proceso de encontrar una antiderivada de una función se denomina antidiferenciación.
Ejemplo 1 Si f (x) = 5x4 , entonces F1 (x) = x5 , F2 (x) = x5 +2, F3 (x) = x5 +107, son antiderivadas
de f en R. En efecto, F10 (x) = F20 (x) = F30 (x) = 5x4 , ∀x. Luego si C es una constante, podriamos
decir de F (x) = x5 + C es siempre una antiderivada de f en R.
Teorema 1 Supongamos que las siguientes condiciones son satisfechas:
(a) F es cualquier antiderivada de f sobre I,
(b) C es cualquier constante,
(c) G(x) = F (x) + C, donde x ∈ I
Entonces G es una antiderivada de f sobre I.
Teorema 2 Si F y G son antiderivadas de f sobre un intervalo I entonces existe un número C tal
que:
G(x) = F (x) + C, ∀x ∈ I
Teorema 3 Si H 0 (x) = 0 ∀x ∈ I, entonces H es constante en I.
R
Ahora usaremos el simbolismo f (x)dx para denotar una antiderivada arbitraria de f sobre un
intervalo.
Definición 2 Sea C una constante y f definida sobre I. Entonces:
Z
f (x)dx = F (x) + C, ∀x ∈ I
ssi
F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ I.
1
2
CAPÍTULO 1. ANTIDIFERENCIACIÓN. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.
Teorema 4
(a) Si k es cualquier número, entonces
R
kdx = kx + C
(b) Si k es cualquier número y r ∈ Q − {−1}, entonces
R
kxr dx =
kxr+1
r+1
+C
Ejemplo 2
Z
Z
Z
3x2 dx = 3
6x−3 dx = 6
x3
+ C = x3 + C.
3
−3
x−2
+ C = −3x−2 + C = 2 + C.
−2
x
1
√
1 x /2
1
2 1
√ dx = √ 1
+ C = √ x /2 + C = 2x + C
2x
2 /2
2
Teorema 5 Si k cualquier número y F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces
Z
kf (x)dx = kF (x) + C, ∀x ∈ I.
En conclusión podemos expresar
Z
kf (x)dx = k
Z
f (x)dx.
Teorema 6 Si F1 , F2 , ..., Fn son antiderivadas de f1 , f2 , ..., fn sobre un intervalo I, respectivamente.
Entonces
R
[f1 + f2 + ... + fn ]dx = F1 + F2 + ... + Fn (x) + C, ∀x ∈ I
R
=
f1 (x)dx +
R
f2 (x)dx + ... +
R
fn (x)dx
Ejemplo 3
1 Encontrar
R
(x3 − 4x2 + 10)dx =
R
(x3 − 4x2 + 10)dx =
donde C = C1 + C2 + C3 .
R 2 2
=
2 Encontrar (x 1+4)
/2
R
x3 dx +
R
=
x4
4
+ C1 +
=
x4
4
−
4x3
3
−4x2 dx +
−4x3
3
R
10dx
+ C2 + 10x + C3
+ 10x + C,
x
(x2 +4)2
1
x /2
R
R
7
(x
/2
3
+ 8x
/2
−1
+ 16x
/2
)dx
x4 +8x2 +16
dx
1
x /2
=
R
=
2 9 /2
9x
+ 8 · 25 x
=
2 9 /2
9x
+
5
16 5 /2
5 x
=
/2
1
+ 16 · 2x
1
+ 32x
/2
/2
+C
+C
Teorema 7 (Regla de la cadena para la Antidiferenciación)
Si g es una función diferenciable sobre un intervalo I, y f tiene una antiderivada F sobre I que
contiene todos los números g(x) cuando x ∈ I, entonces:
Z
f (x) · g 0 (x)dx = F (g(x)) + C, ∀x ∈ I
1.1. ANTIDIFERENCIACIÓN
3
Demostración 1 Por hipotesis, F 0 (s) = f (s), si s ∈ J. Entonces por la regla de la cadena Dx (F ◦
g) = F 0 (g(x)) · g 0 (x) = f (g(x)) · g 0 (x) si x ∈ I.
R
Nota: El teorema anterior nos permite obtener f (g(x))·g 0 (x)dx haciendo la sustitución u = g(x)
y du = g 0 (x)dx.
Ası́ podemoss escribir
Z
Z
f (g(x))g 0 (x)dx = f (u) · du = F (u) + C
Teorema 8 (Fórmula general para la antidiferenciación de potencias)
Si g es una función diferenciable en I, k cualquier número, r ∈ Q − {−1}, entonces ∀x ∈ I.
Z
(g(x))r+1
+C
k(g(x))r g 0 (x)dx = k
r+1
R √
3
x2 + 1 · 2xdx
Ejemplo 4 Encontrar
x2 + 1 = g(x), g 0 (x) = 2x,
R
Ejemplo 5 Encontrar
Z
Ejemplo 6
R
Z
2
√x
dx
x3 +8
1
1 du
√ =
3 u
3
Z
(g(x))4
(x2 + 1)4
+C =
+C
4
4
u = x3 + 8, du = 3x2 dx
1
u
−1
/2
2 1
2p 3
2 u /2
+ C = u /2 + C =
x +8+C
du = 1
3 /2
3
3
(5x − 4)10 dx =
u = 5x − 4, du = 5dx
R
(5x − 4)10 dx =
1
55 (5x
=
Ejemplo 7 Encontrar
Z
R
R
du
5
u10 ·
=
1
5
1
5
=
− 4)11 + C
R
u10 du =
1 u11
5 11
+C
12x−9
(2x2 −3x+5)6 dx
u = 2x2 − 3x + 5
12x − 9
dx =
2
(2x − 3x + 5)6
=
1.1.1.
(g(x))3 · g 0 (x)dx =
Z
−5(2x5
du = (4x − 3)dx/ · 3
3du = (12x − 9)dx
3du
=
u6
Z
3u−6 du =
3u−5
+C
−5
3
+C
− 3x + 5)5
Fórmulas Básicas de Integración
4.
Z
sen xdx = − cos x + C
dx = x + C
5.
Z
tan xdx = − ln | cos x| + C
du
= ln |u| + C
u
6.
Z
sec xdx = ln | sec x + tan x| + C
1.
Z
kf (x)dx = k
2.
Z
3.
Z
Z
f (x)dx
4
CAPÍTULO 1. ANTIDIFERENCIACIÓN. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.
7.
Z
sec2 xdx = tan x + C
8.
Z
sec x tan xdx = sec x + C
9.
Z
x
dx
√
= arc sen( ) + C
2
2
a
a −x
dx
1
|x|
√
10.
= arcsec
+C
2
2
a
a
x x −a
Z
Z
Z
11. [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx
Z
14.
Z
cos xdx = sen x + C
15.
Z
cot xdx = ln | sen x| + C
16.
Z
csc xdx = − ln | csc x + cot x| + C
17.
Z
csc2 xdx = − cot x + C
12.
Z
xn+1
xn du =
+ C, n 6= −1
n+1
18.
Z
csc x cot xdx = − cot x + C
13.
Z
ex dx = ex + C
19.
Z
1
x
dx
= arctan( ) + C
a2 + x2
a
a
Ejercicios Propuestos
I. Calcular las integrales:
Z
1.
x5 dx
2.
Z
(x +
3.
Z 4.
Z
√
5.
Z 6.
Z
7.
2
Z 1
x2 + √
dx
3
x
4
1
+ √ +2
x2
x x
dx
x) dx
√ 3
x x
√ −
dx
x
4
x2
√ dx
x
II. Integración por sustitución:
Z
1.
e5x dx
2.
Z
3.
Z
sen(ax) dx
4.
Z
ln x
dx
x
5.
Z
dx
sen2 (3x)
6.
Z
dx
cos2 (7x)
cos(5x) dx
1
√
dx
4
x
13.
Z
x
cot( ) dx
3
dx
1−x
14.
Z
tan(φ) sec2 (φ) dφ
dx
5 − 2x
15.
Z
(cot(ex ))ex dx
16.
Z 17.
Z
sen2 x cos x dx
18.
Z
cos3 x sen x dx
7.
Z
dx
3x − 7
8.
Z
9.
Z
10.
Z
11.
Z
cot(5x − 7) dx
12.
Z
dy
cot(3y)
tan(2x) dx
s tan(4s) − cot( ) ds
4
1.1. ANTIDIFERENCIACIÓN
19.
Z p
x2 + 1x dx
20.
Z
21.
Z
x dx
√
x3 + 1
22.
Z
cos xdx
sen2 x
Z
sen xdx
cos3 x
23.
xdx
√
2x2 + 3
5
36.
Z
arc cos2 (x)dx
√
1 − x2
37.
Z
38.
Z
39.
Z
2
40.
53.
Z
e a dx
arccot(x)dx
1 + x2
54.
Z
3x ex dx
xdx
x2 + 1
55.
Z
e−3x dx
56.
Z
(e5x + a5x )dx
57.
Z
ex
58.
Z
e 2 dx
59.
Z
ex x dx
60.
Z
(e2x )2 dx
61.
Z
(ax − bx )2
dx
ax b x
ex dx
3 + 4ex
x+1
dx
x2 + 2x + 3
Z
cos xdx
2 sen x + 3
Z
dx
x ln x
x
2
+4x+3
(x + 2) dx
x
Z
cot x
dx
sen2 x
41.
Z
dx
√
cos2 x tan x − 1
42.
Z
2x(x2 + 1)4 dx
26.
Z
ln(x + 1)
dx
x+1
43.
Z
tan4 x dx
27.
Z
cos xdx
√
2 sen x + 1
44.
Z
dx
(1 + x2 ) arctan x
62.
Z
28.
Z
sen(2x)dx
(1 + cos(2x))2
45.
Z
dx
cos2 x(3 tan x + 1)
63.
Z
e2x dx
2 + e2x
29.
Z
sen(2x)dx
√
1 + sen2 x
46.
Z
64.
Z
dx
1 + 2x2
65.
Z
dx
√
1 − 3x2
66.
Z
dx
√
16 − 9x2
67.
Z
dx
√
9 − x2
68.
Z
dx
4 + x2
69.
Z
dx
4 − 9x2
70.
Z
71.
Z
24.
25.
Z √
tan x + 1
30.
dx
cos2 x
31.
Z
cos(2x)dx
(2 + 3 sen(2x))3
47.
48.
Z
3
tan x
dx
cos2 x
dx
√
2
1 − x arc sen x
Z
cos(2x)
dx
2 + 3 sen(2x)
Z
cos(ln x)
Z
sen(3x)dx
p
3
cos4 (3x)
49.
33.
Z
ln2 x dx
x
50.
Z
cos(a + bx) dx
34.
Z
arc sen(x)dx
√
1 − x2
51.
Z
e2x dx
Z
arctan(x)dx
1 + x2
52.
Z
esen x cos x dx
32.
35.
dx
x
2
dx
− c2
a2 x2
x2 dx
5 − x6
6
CAPÍTULO 1. ANTIDIFERENCIACIÓN. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.
dx
p
x 1 − ln2 x
72.
Z
xdx
√
1 − x4
73.
Z
xdx
4
x + a4
74.
Z
ex dx
√
1 − e2x
79.
75.
Z
dx
√
3 − 5x2
Z √
1 + ln x
dx
80.
x
76.
Z
1.2.
cos xdx
+ sen2 x
a2
77.
Z
78.
Z
arc cos x − x
√
dx
1 − x2
Z
x − arctan x
dx
1 + x2
√
Z p
1+ x
√
81.
dx
x
82.
Z
dx
√
√ p
x 1+ x
83.
Z
ex dx
1 + e2x
Z p
1 + 3 cos2 x sen(2x) dx
84.
85.
Z
sen(2x)dx
√
1 + cos2 x
Aplicaciones de la Antidiferenciación
Una ecuación de la forma
dx
= f (x),
dy
(1.1)
es un ejemplo de una ecuación diferencial de primer orden.
dy
representa la derivada de y con respecto a x, una función F es una solución
Recordemos que dx
de (1.1) sobre un intervalo I ssi F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ I.
Supongamos que F es una solución de (1.1) sobre I y si C cte., entonces
y = F (x) + C,
(1.2)
también es solución.
Ası́ en orden a obtener todas las soluciones de (1.1) sobre I, nosotros obtenemos la antiderivada
general de f sobre I.
La ecuación (1.2) corresponde a una familia de curvas, cada una corresponde a valores diferentes de
C.
y = F (x) + C4
y = F (x) + C3
y = F (x) + C2
y = F (x) + C1
x=a
La condición y = y0 y x = x0 se llama condición inicial.
1.2. APLICACIONES DE LA ANTIDIFERENCIACIÓN
Ejemplo 8 Si la pendiente de una curva está dada por
Obtener la ecuación de la curva.
1
−3x /2
1/
2
dy
dx
7
−1
= −3x
/2
y la curva pasa por (4, −1).
1
+ C = −6x /2 + C
pero x = 4, y = −1
1
→ −1
=
−6(4) /2 + C
−1
=
−6 · 2 + C
c = 11
√
y = −6 x + 11
y=
También resolveremos ecuación diferencial de segundo orden de la forma
d2 y
= f (x),
dx2
antiderivando dos veces. Con cada antidiferenciación son introducidas nuevas constantes.
Ejemplo 9 En todo punto sobre un gráfico,
y (−1, 4), encontrar la ecuación del gráfico.
Sol: de
d2 y
2x
d2 y
dx2
= −4, y el gráfico pasa a través de los puntos (1, 2)
dy
= −4 ⇒ dx
= −4x + C1
2
+ C1 x + C2
⇒ y = −4x
2
y = −2x2 + C1 x + C2
∴ para (1, 2) ⇒ 2 = −2 · 12 + C1 · 1 + C2
2 = −2 + C1 + C2
C1 + C2 = 4
(−1, 4) ⇒ 4 = −2(−1)2 + C1 · −1 + C2
4 = −2 − C1 + C2
−C1 + C2 = 6
∴ C1 + C2 = 4
+ − C1 + C2 = 6
C1 = 4 − C2
2C2 = 10
C1 = 4 − 5
C2 = 5
C1 = −1
∴ y = −2x2 − x + 5
Si una partı́cula se mueve verticalmente cerca de la superficie de la tierra, esta está sujeta a una
aceleración hacia abajo debido a la influencia de la gravedad g, donde g ≈ 32f t/seg 2.
Si la gravedad es la única fuerza ejercida sobre la partı́cula, la aceleración de la partı́cula está dada
por:
a ≡ −g
el signo está elegido por el sentido del movimiento y en la dirección en la que g actúa.
Ejemplo 10 Una bola es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicialmente de
48f t/seg desde una altura de 64f t sobre el suelo.
(i) ¿Cuándo la bola llega a su máxima altura?
(ii) ¿A qué velocidad la bola toca el suelo?
Sol: t = 0 v = 48 ; s = 64 t = 0
8
CAPÍTULO 1. ANTIDIFERENCIACIÓN. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.
a
=
=
v =
(0, 48)48 =
∴ v(t) =
dv
dt
ds
dt
=v
s(t)
64
C2
∴ s(t)
=
=
=
=
=
−32
−32
−32t + C1
−32 · 0 + C1 ⇒ C1 = 48
−32t + 48
−32t + 48
−32t2
+ 48t + C2
2
−16 · 02 + 48 · 0 + C2
64
−16t2 + 48t + 64
(i) v = 0 ⇒ −32t + 48 = 0
48
6
3
= = seg
32
4
2
y la máx altura es:
t=
3
3
3
s( ) = −16( )2 + 48 · + 64 = 100f t
2
2
2
Luego cuando alcanza el suelo s = 0
−16t2 + 48t + 64 = 0
t2 − 3t − 4 = 0
(t − 4)(t + 1) = 0
t = 4 t = 1 (Descartado)
Transcurrido 4seg alcanza el suelo con una velocidad
v(4) = −32 · 4 + 48 = −80f t/seg
Ejercicios Propuestos
1. Encontrar f .
1
x2 ,
a) f 00 (x) = 2 + x3 + x6
e) f 0 (x) = 1 +
b) f 00 (x) = cos x
√
c) f 000 (t) = t − t
f ) f 0 (t) = 3t−2 , f (1) = 0
d ) f 0 (x) = 8x3 + 12x + 3, f (1) = 6
x > 0, f (1) = 1
g) f 00 (x) = 3ex +5 sen x, f (0) = 1, f 0 (0) = 2
h) f 000 (x) = sen x, f (0) = f 0 (0) = f 00 (0) = 1
2. La gráfica de f pasa por el punto (1, 6) y la pendiente de su tangente en (x, f (x)) es 2x + 1,
encontrar f (2).
3. Hallar una función f tal que f 0 (x) = x3 y la recta x + y = 0 sea tangente a la gráfica de f .
4. Una partı́cula se mueve de acuerdo con las ecuaciones dadas. Encuentre su posición.
√
a) v(t) = 1,5 t, s(0) = 0
b) a(t) = cos t + sen t, s(0) = 0, v(0) = 5
c) a(t) = 10 + 3t − 3t2 , s(0) = 0, s(2) = 10
1.3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
9
5. Se deja caer una piedra desde el mirador de una torre, a 450 m. sobre el piso.
a) Determine la distancia de la piedra al piso en el momento t.
b) Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al suelo?
c) Con qué velocidad llega al suelo?
d ) Si se lanza la piedra hacia abajo con una velocidad de 5 m/s, cuánto tarda en llegar al
suelo?
6. Se arroja hacia arriba una pelota, con velocidad de 48 pies/seg desde el borde de un acantilado
a 432 pies sobre el fondo. Calcule su altura sobre el fondo a los t segundos después. Cuándo
alcanza su altura máxima?, cuándo llega al fondo?.
7. Desde el borde del acantilado del ejercicio anterior se arrojan dos pelotas hacia arriba. La
primera se avienta a una velocidad de 48 pies/seg, y la segunda se arroja un segundo después,
a una velocidad de 24 pies/seg. Se encuentran alguna vez las pelotas?.
8. Las gotas de lluvia crecen al caer y su área superficial crece por consiguiente, aumenta la
resistencia a su caı́da. Una gota de lluvia tiene una velocidad inicial, hacia abajo, de 10 m/s
y su aceleración, también hacia abajo, es
a=
9 − 0,9t
0
si 0 ≤ t ≤ 10,
si t > 10.
Si la gota se encuentra inicialmente a 500 m sobre el piso, cuánto tarda en caer?.
9. Un automóvil viaja a 50 mi/h cuando se le aplican los frenos a fondo, produciendo una
desaceleración constante de 40 pies/seg 2. Qué distancia recorre hasta deternerse?.
10. Qué aceleración constante se necesita para aumentar la velocidad de un automóvil de 30 mi/h
a 50 mi/h en cinco segundos?.
11. Un automóvil frena con desaceleración constante de 40 pies/seg 2 y produce derrapones que
miden 160 pies hasta detenerse. A qué velocidad corrı́a el vehı́culo al aplicar los frenos?.
12. Se deja caer una piedra desde un acantilado y llega al fondo a una velocidad de 120 pies/seg.
Cuál es la altura del acantilado?.
1.3.
1.3.1.
Métodos de Integración
Integración por partes:
Es conocido que
Dx [f (x)g(x)] = f (x)g 0 (x) + f 0 (x)g(x),
∀x ∈ I.
Ahora, integrando respecto a x obtenemos
Z
Z
f (x)g(x) = f (x)g 0 (x)dx + f 0 (x)g(x)dx.
En consecuencia,
Z
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) −
Haciendo, los siguientes cambios de variales
Z
f 0 (x)g(x)dx.
10
CAPÍTULO 1. ANTIDIFERENCIACIÓN. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.
dv = g 0 (x)dx
v = g(x)
u = f (x)
du = f 0 (x)dx
Obtenemos la conocida fórmula de integración por partes
Z
Z
udv = uv − vdu
Ejemplo 11
Z
ln xdx = x ln x −
Z
dx = x ln x − x
u = ln x
du = x1 dx
Ejemplo 12
Z
x2 3x 2
x e dx =
e −
3
3
2 3x
Z
dv = dx
v=x
xe3x dx
u = x2
du = 2xdx
dv = e3x dx
v = 13 e3x
u=x
dv = e3x dx
du = dx
v = 31 e3x
R 2 3x
R
x2 3x
∴ x e dx = 3 e − 23 [ x3 e3x − 13 e3x dx]
=
x2 3x
3 e
−
2x 3x
9 e
+
2
3x
+
= x3 e3x − 2x
9 e
Z
Z
Ejemplo 13
sec3 xdx = sec x tan x − tan2 x sec xdx
u = sec x
du = tan x sec xdx
R
2
∴
1.3.2.
sec3 xdx
R
Z
sec3 xdx
2
9
R
2
27
e3x dx
R
e3x + C
dv = sec2 xdx
v = tan x
=
R
sec x tan x (sec2 x − 1) sec xdx
=
sec x tan x −
=
sec x tan x +
=
sec x tan x + ln | sec x + tan x| + C
sec3 xdx =
R
R
sec3 xdx + sec xdx
sec xdx
1
[sec x tan x + ln | sec x + tan x|] + C
2
Potencias de seno y coseno
Ahora veremos cómo se calculan integrales de expresiones que contienen potencias de funciones
trigonométricas.
i) Integración de potencias impares de seno o coseno:
Z
Z
2n+1
sen
(x) dx =
sen2n (x) sen(x) dx, n ∈ N
Z
=
(sen2 (x))n sen(x) dx
Z
=
(1 − cos2 (x))n sen(x) dx
1.3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
11
Finalmente se desarrolla (1 − cos2 (x))n y después se integra término a término. Las integrales
resultantes son inmediatas usando sustitución simple.
R
Ejemplo 14 Calcule sen5 (x) dx =
De lo anterior, sigue que
Z
Z
5
sen (x) dx =
sen4 (x) sen(x) dx,
Z
=
(sen2 (x))2 sen(x) dx,
Z
=
(1 − cos2 (x))2 sen(x) dx
Z
Z
Z
=
sen(x) dx − 2 cos2 (x) sen(x) dx + cos4 (x) sen(x) dx,
Como al hacer la sustitución u = cos(x), se obtiene que du = − sen(x) dx, sustituyendo
tenemos que
Z
sen5 (x) dx = − cos(x) +
1
2
cos3 (x) − cos5 (x) + C.
3
5
ii) Integración de potencias pares de seno o coseno:
En este caso se pasa al ángulo doble, consiguiendo ası́ reducir el exponente a la mitad. Si el
exponente resultante en algunas integrales es par se vuelve a pasar al ángulo doble y si es
impar se aplica i). Para esto se requieren las siguientes fórmulas trigonométricas:
cos2 (x) =
1 + cos(2x)
,
2
sen2 (x) =
1 − cos(2x)
2
Ası́, entonces:
Z
cos2n (x) dx =
Z
(cos2 (x))n dx =
Z 1 + cos(2x)
2
n
dx,
n ∈ N.
Z
sen2n (x) dx =
Z
(sen2 (x))n dx =
Z 1 − cos(2x)
2
n
dx,
n ∈ N.
Ejemplo 15 Calcule
R
cos6 (x) dx =
Como el exponente es par pasaremos al ángulo doble:
)3 .
cos6 (x) = (cos2 (x))3 = ( 1+cos(2x)
2
Luego,
Z
cos6 (x) dx
=
=
=
=
=
=
1 + cos(2x) 3
) dx,
(
2
Z
Z
Z
Z
1
dx + 3 cos(2x) dx + 3 cos2 (2x) dx + cos3 (2x) dx ,
8
Z
Z
1
3
1 + cos(4x)
2
x + sen(2x) + 3
dx + cos (2x) cos(2x) dx ,
8
2
2
Z
Z
1
3
3
3
2
x + sen(2x) + x + sen(4x) + cos(2x) dx − sen (2x) cos(2x) dx ,
8
2
2
8
3
3
1
1
1 5
x + sen(2x) + sen(4x) + sen(2x) − sen3 (2x) + C,
8 2
2
8
2
6
5
1
3
1
3
x + sen(2x) +
sen(4x) −
sen (2x) + C.
16
4
64
48
Z
12
CAPÍTULO 1. ANTIDIFERENCIACIÓN. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.
iii) Integración de potencias de seno por coseno:
Nos referimos a integrales de la forma:
Z
senm (x) cosn (x) dx,
m, n ∈ N.
Este caso se reduce a alguno de los anteriores, ya que:
Si m o n es impar aplicamos i).
Si m y n son ambos pares aplicamos ii).
Ejemplo 16 Calcule
Z
sen5 x cos4 xdx =
Aquı́, aplicamos el primer caso. A decir,
R
sen5 x cos4 x dx =
R
(1 − cos2 x)2 cos4 x sen x dx
=
R
R
R
cos4 x sen x dx − 2 cos6 x sen x dx + cos8 x sen x dx
=
− cos5
=
R
(1 − 2 cos2 x + cos4 x) cos4 x sen x dx
5
x
7
+ 2 cos7
x
−
cos9 x
9
+C
u = cos x, du = − sen x
1.3.3.
Sustituciones Trigonométricas
Este método se utliza para resolver integrales con radicales en su integrando de la forma:
p
p
p
a2 − u 2 ,
a2 + u 2 ,
u 2 − a2 .
La idea es realizar un cambio de variables, sustitución, de modo que se elimine los radicales. Esto
se consigue utilizando las identidades de pitagoras.
Las sustituciones de acuerdo al integrando están dadas en la siguiente tabla
Expresión del Integrando
√
a2 − u 2
√
a2 + u 2
√
u 2 − a2
Ejemplo 17 Calcule
Z
Sustitución Trigonométrica
u = a sen(θ) o u = a cos(θ)
u = a tan(θ) o u = a cot(θ)
u = a sec(θ) o u = a csc(θ)
x3
√
dx =
4 − 9x2
Nótese que de acuerdo a la tabla anterior podemos hacer la siguiente sustitución
3x = 2 sen(θ),
de donde, dx =
2
cos(θ)dθ
3
Ahora sustitutendo tenemos
Z
x3
√
dx =
4 − 9x2
Z
( 2 sen(θ))3
2
p 3
cos(θ)dθ
2
4 − (3 sen(θ)) 3